Revista Espao Energia - Modelo

Circuito RC Carga e Descarga do CapacitorUniversidade Tecnolgica Federal do Paran UTFPRResumoO experimento realizado teve por escopo, estudar o carregamento e o descarregamento de um circuito RC, em funo do tempo. Montou-se um circuito composto por um resistor, um capacitor e uma fonte. Primeiramente ligou-se a fonte e o circuito RC, logo aps foi feito a leitura da tenso no capacitor, no carregamento, em seguida retirou-se a fonte e foi feita a medio da tenso no descarregamento. Foi analisado o comportamento deste circuito bem como calculado a constante de tempo e o erro percentual em relao ao valor terico. Obtiveram-se os grficos do carregamento e descarregamento, foi observado que os grficos dos resultados obtidos seguem um padro similar de uma funo exponencial.

Palavras-Chave: Circuito RC, resistor, capacitor, carga e descarga, fsica experimental, constante de tempo.

1 IntroduoUm capacitor um dispositivo til para armazenar carga eltrica e energia, consistindo de dois condutores isolados um do outro, podendo conter um meio dieltrico entre eles. Um exemplo muito utilizado o capacitor de placas paralelas

Quando ligado um capacitor a uma fonte de tenso contnua, h uma transferncia de carga de um condutor para o outro at que a diferena de potencial entre os dois condutores devido s cargas iguais e opostas sejam iguais diferena de potencial entre os terminais da fonte.

A capacidade de armazenar cargas de um capacitor, capacitncia, est associada geometria do capacitor e constante dieltrica do meio isolante usado entre as placas. Neste experimento o capacitor do tipo eletroltico cujo dieltrico composto por duas folhas de alumnio separadas por uma camada de xido de alumnio, enroladas e embebidas um eletrlito lquido, como por exemplo, com cido brico.

Figura 1 Capacitor eletroltico. [5]

O capacitor eletroltico possui polaridade, ou seja, deve-se tomar cuidado ao ligar, pois invertendo a polaridade d-se o inicio da destruio da camada de xido, entrando em curto-circuito podendo at explodir. Se ligados em srie um capacitor, um resistor e uma fonte ou bateria, constri-se um circuito chamado de circuito RC em srie.

Figura 2 Circuito RC. [6]Quando este circuito ligado, h um perodo de transio, durante o qual a corrente e a queda de tenso esto variando de um valor inicial at um valor final em todos os dispositivos. Este tempo conhecido como transiente, logo aps o circuito dito estar em regime estacionrio.

A chave do circuito na figura 1, posicionado na parte superior o capacitor estar carregando at atingir um valor mximo de carga, Q = E.C. Na posio inferior o capacitor comea a ser descarregado em funo do resistor.Analisando o circuito atravs das Leis de Kirchhoff, obtm-se as equaes de carregamento e descarregamento, que sero demonstrados neste artigo, obtm-se a constante de tempo, , que possui uma dimenso de tempo e representa o tempo necessrio para que a d.d.p entre as placas atinja 63% do valor da tenso. O objetivo do experimento foi a de obter esta constante de tempo bem como analisar os grficos do carregamento e descarregamento do circuito RC que se espera obedecer ao grfico abaixo, os resultados obtidos sero discutidas nas sees posteriores.

Grfico 1, Carga e Descarga do circuito RC. [7]2 Reviso Terica

2.1 Capacitor

Podemos definir um capacitor, cujos elementos bsicos so dois condutores isolados entre si e que independente de sua forma so considerados como placas, como um dispositivo utilizado para armazenar energia eltrica. As cargas nas duas placas de um capacitor carregado possuem mesmos valores absolutos, porm de sinais opostos. Para o carregamento do dispositivo necessrio aplicar um diferena de potencial V entre as placas. O processo de carga consiste basicamente em transferir de uma placa do Capacitor para outra, uma quantidade q de carga, motivada pela diferena de potencial aplicada nos condutores, isso explica por que as cargas das placas possuem sinais contrrios. A carga e a diferena de potencial aplicada so diretamente proporcionais: (1) Onde C ser a constante de proporcionalidade que representa a carga acumulada entre as placas, necessria para manter uma diferena de potencial entre elas. Essa constante denominada capacitncia do capacitor, cujo valor depende somente da geometria das placas. A capacitncia a medida da capacidade de armazenamento de energia para uma tenso aplicada. A capacitncia de um capacitor depende apenas de fatores geomtricos j que a carga e a tenso aplicada so diretamente proporcionais.2.2 Circuitos RC Se conectarmos uma bateria aos terminais de um capacitor, aparecer uma corrente eltrica no circuito enquanto a diferena de potencial aplicada ao capacitor estiver variando no tempo, ou seja, enquanto o capacitor estiver se carregando. Isso ocorrer durante o breve intervalo de tempo em que a bateria estiver sendo conectada. Aps a o termino do carregamento do capacitor, a voltagem se torna constante e a corrente ser nula.

Figura 3: Circuito RC. Carga do Capacitor com a chave no ponto a e descarga com chave no ponto b[8].

Para o caso da fig.1, um circuito RC formado por um Capacitor, uma fonte de diferena de potencial e uma resistncia R. No momento em que a chave colocada na posio a o capacitor comea a carregar, no instante em que t=0. A corrente em um circuito RC possui apenas um sentido, porm sua intensidade varia com o tempo. Atravs das lei das malhas de Kirchhoff podemos obter equaes para carga e diferena de potencial em funo do tempo de carga e descarga de um capacitor atravs de um resistor. Aplicando a regra das malhas no circuito obtemos:V0 iR q/C = 0 (2)

Onde V0 a diferena de potencial da fonte. A corrente i e carga q do capacitor esto relacionadas atravs da seguinte equao:

i=dq/dt (3)

A combinao das equaes (2) e (3) resulta em:

V0 Rdq/dt q/C=0 (4)

Que consiste na equao diferencial da carga do capacitor em funo do tempo t. Para resolver essa equao deve se levar em conta as seguintes condies de contorno, inicialmente o capacitor est descarregado, portando em t=0 a carga no capacitor q=0. A carga ento aumenta e corrente diminui. No momento em que a diferena de potencial entre as placas do capacitor e a da fonte forem iguais o capacitor est carregado, ou seja, a tenso tende a um valor mximo q=CV0. Temos como soluo da equao (4):

Q(t) = CV0(1- e -t/RC) (5)

Podemos verificar que a soluo satisfaz a condio de que a carga igual zero no instante t=0. E que para um tempo longo a carga q igual a CV0. Da relao q=CV (Equao1) possvel ainda obter a diferena de potencial entre as placas do capacitor em funo do tempo, dividindo ambos os lados da equao (5) pela capacitncia C:

V(t) = V0(1- e -t/RC) (6)

Da mesma maneira, a diferena de potencial no capacitor no instante inicial igual a zero, e a tenso para um tempo longo igual diferena de potencial da fonte V0.

O produto RC conhecido como constante de tempo capacitiva do circuito, que representada pela letra . Para o caso de carga do capacitor essa constante consiste no tempo necessrio para que a ddp entre as placas do capacitor atinja 63% do valor final V0. Quanto maior o valor de , maior ser o tempo para o carregamento completo do capacitor.

Agora em um instante t=0 levando em conta que o capacitor esteja totalmente carregado com uma diferena de potencial V0, a chave deslocada para a posio b, e o capacitor comea a descarregar na resistncia do circuito, como h uma tenso entre os terminais de um resistor, h consequentemente um corrente atravessando-o. A equao diferencial que descreve a descarga do capacitor semelhante e equao (4) exceto pelo fato de que a fonte no esta mais ligada no circuito, resultando em:

Rdq/dt + q/C = 0 (7)

Inicialmente o Capacitor possui carga mxima, ou seja, em t=0 a carga q0. Quando o tempo passa a carga no capacitor diminui at que se descarregue totalmente, assumindo q=0. Dadas s condies de contorno da EDO a equao (7) possui como soluo:

Q(t) =q0 e -t/RC (8)

Na equao (8) q0 igual a carga do capacitor no instante inicial, onde q0 = CV0 . A diferena de potencial no capacitor pode ser obtida da mesma maneira que a equao (6), resultando em:

V(t) = V0 e -t/RC (9)

Para o caso de descarga do capacitor, a constante capacitiva representa o tempo necessrio para o capacitor descarregar at um valor de 37% de seu valor inicial. Quanto maior for a constante de tempo, maior ser o tempo de descarregamento. 3 Metodologia Experimental3.1 Material utilizado

Para o experimento em questo, foram utilizados os itens abaixo:

- Conjunto RC - Fonte de tenso contnua- 2 multmetros digitais- Conjunto de cabos- Cronmetro3.2 Desenvolvimento

Primeiramente foi montado um circuito com uma fonte, um resistor e um capacitor em srie, conforme a figura abaixo. Ento, ligou-se a fonte, e foi feito a leitura dos valores Vc e Vr em funo do tempo(intervalos de 10 segundos) e que foram anotados na tabela 1.

Zerou-se o cronmetro, e foram retirados os dois pinos da fonte, ligando o capacitor em srie com o resistor, para iniciar o processo de descarga do capacitor. Novamente foi feito a leitura dos valores de Vc e Vr nos tempos cronometrados que esto indicados na tabela 2.

Figura 4: Esquema da montagem do circuito RC [9].A Figura 3 mostra a montagem experimental do circuito RC e os multmetros utilizados nas funes voltmetro e ampermetro.

Figura 5: Esquema da montagem experimental do circuito RC.Utilizando os dados da tabela 1 e tabela 2 foram feitas, os grficos de Vc e Vr para a descarga e carga do capacitor. Determinou-se a constante de tempo pela anlise dos grficos e calculou-se o erro relativo entre o valor obtido no experimento e o valor obtido matematicamente, analisando os dados fornecidos pelo fabricante dos componentes.Tabela 1 Dados da carga do capacitor.

Tempo (s)Vc (V)Vr (V)Tempo (s)Vc (V)Vr (V)

101.5213.4131013.751.38

202.8912.0332013.821.32

304.0411.0733013.861.26

405.149.9434013.911.22

506.059.0235013.971.18

606.898.22360141.13

707.637.4337014.041.08

808.316.838014.081.07

908.96.239014.121.03

1009.465.6940014.141

1109.915.2241014.170.97

12010.364.7642014.190.94

13010.734.3543014.210.92

14011.084.0244014.240.89

15011.43.7245014.260.88

16011.683.4546014.270.86

17011.943.1547014.290.85

18012.152.9648014.310.83

19012.362.7749014.320.82

20012.542.5850014.330.81

21012.722.451014.340.79

22012.872.2352014.350.78

230132.1153014.360.77

24013.141.9954014.370.76

25013.241.8755014.380.75

26013.351.7656014.390.74

27013.441.757014.40.74

28013.531.5958014.410.73

29013.621.5159014.420.73

30013.691.4560014.420.72

Tabela 2 Dados da descarga do capacitor.

Tempo (s)Vc (V)Vr (V)Tempo (s)Vc (V)Vr (V)

1012.611.293100.710.69

2010.410.353200.660.65

309.729.593300.60.59

408.518.433400.560.56

507.717.693500.520.51

6076.93600.480.47

706.316.23700.450.44

805.745.693800.420.41

905.185.153900.390.39

1004.724.784000.360.36

1104.264.234100.340.33

1203.853.814200.310.31

1303.513.484300.290.29

1403.233.194400.280.27

1502.922.894500.260.26

1602.642.594600.240.24

1702.42.394700.230.22

1802.182.174800.210.21

19021.984900.20.2

2001.821.815000.190.19

2101.671.665100.180.18

2201.511.55200.170.17

2301.391.385300.160.16

2401.271.265400.150.15

2501.171.155500.150.14

2601.061.055600.140.14

2700.990.975700.130.13

2800.90.895800.120.12

2900.830.815900.120.12

3000.770.766000.110.11

4 Resultados Os dados foram obtidos durante a anlise do carregamento de um capacitor. Para isso foi medida a diferena de potencial de um resistor e a diferena de potencial do capacitor, ligados em srie, e como elas se comportam durante um intervalo de tempo. O grfico a seguir foi obtido pela plotagem dos pontos obtidos na tabela 1. A curva preta descreve a variao da diferena de potencial do capacitor durante o tempo, e a curva vermelha descreve a variao da d.d.p. do resistor.

Grfico 2 Grfico da Carga do Capacitor no Circuito RC. Com o grfico acima se pode determinar a constante de tempo RC. Para isso devemos igualar as funes que descrevem a variao de d.d.p. do resistor e do capacitor durante o processo. As funes de Vc e Vr so respectivamente:

[10]

[11] Igualando as duas funes e manipulando matematicamente, pode-se obter a relao . Com essa relao basta observar no grfico o tempo em que as funes se igualam, e assim obter a constante de tempo.

Como as funes se interceptam aproximadamente nos 70 segundos. Com essa estimativa obtemos o valor de 100,99 segundos para a constante de tempo. A tabela a seguir foi obtida medindo a diferena de potencial do capacitor e do resistor, ligados em srie, durante a descarga do capacitor. Com os dados obtidos pela tabela 2, foi possvel montar o grfico abaixo.

Grfico 3 Grfico da Descarga do Capacitor no Circuito RC. As curvas do capacitor de do resistor so praticamente idnticas. Esse fato previsvel, afinal a diferena de potencial do resistor fornecida pelo capacitor. As pequenas diferenas na medio deve-se a impreciso do aparelho de medio e falhas ao anotar os dados.

Tambm possvel obter a constante de tempo pelo grfico da descarga. Para isso basta observar em quantos segundos a funo tem seu valor inicial reduzido a aproximadamente 36,78%.

Por definio, a constante de tempo descrita por (constante capacitiva). O resistor utilizado no experimento possui resistncia de e o capacitor da marca HITANO possui capacitncia de e 25V, resultando numa constante de tempo de 88,22 segundos.

Comparando a constante de tempo obtida pelo grfico e pela definio, obtemos uma preciso de 87,36%. Essa preciso pode ser aumentada caso se obtenha o valor exato na qual as funes do primeiro grfico se equivalem.

5 Concluses

A prtica realizada permitiu o clculo da constante de tempo de um circuito RC utilizando uma fonte de tenso, resistor, capacitor e multmetros encontrados no mercado, a partir da leitura de tenses nos tempos de carga e descarga do capacitor. Com a chave do circuito ligada, a fonte alimenta o capacitor e o resistor com corrente, ficando as cargas armazenadas nas placas do capacitor. Com o passar do tempo, o aumento de carga no capacitor compensado pela reduo do fluxo de corrente pelo circuito, podendo at chegar a zero. Ao desligar a chave, a carga armazenada no capacitor flui pelo resistor, ento a constante capacitiva relaciona a resistncia e a capacitncia de modo que ocorra uma funo de decaimento da tenso do capacitor em funo do tempo, sendo a taxa de descarga do capacitor menor para maiores resistncias e capacitncias no circuito. O mtodo utilizado de se cronometrar o tempo e a cada 10s anotar os resultados, gera uma margem de erro grande, pois no tem como se ter uma boa preciso e pode haver erros do operador e instrumental, ou seja, erro acidental (aleatrio) e sistemtico respectivamente.

Apesar de tudo isso, analisando o comportamento de carga e descarga atravs do grfico, pode-se verificar que se seguiu um padro exponencial, assim como foi exemplificado no grfico 1.

6 Referncias[1]J. J. BROPHY. Eletrnica Bsica. (Guanabara Dois, RJ, 1978), pp 49-50 e 57-59.

[2] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fundamentos da Fsica Volume 3 Eletromagnetismo. Editora LTC.

[3] http://www.ifsc.usp.br/~strontium/Teaching/Material2010-2%20FFI0106%20LabFisicaIII/07-Capacitores.pdf 01/10/2013[4]TIPLER. ALLEN, P. Fsica para cientistas e engenheiros, Vol. 2-6 ed.: eletricidade e magnetismo. Rio de Janeiro: LTC, 2011.

[5]http://www.manutencaoesuprimentos.com.br/imagens/capacitor-eletrolitico.jpg 01/10/2013

[6]http://efisica.if.usp.br/apoio/desenhos/eletricidade/circuitoRC.gif 01/10/2013

[7]http://www.ifsc.usp.br/~strontium/Teaching/Material2010-2%20FFI0106%20LabFisicaIII/07-Capacitores.pdf 01/10/2013[8]http://www.dt.fee.unicamp.br/~www/ea513/node86.html 01/10/2013[9]http://dafis.ct.utfpr.edu.br/~godoi/arquivos/Turmas2013/fisicaexp3/ 01/10/2013_1410796550.unknown

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