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Circuitos de corriente alterna

En estos apuntes se presenta un resumen de contenidos tratados en más detalle en el libro:

“Física para la Ciencia y la Tecnología” (Volumen 2)

Autores P. A. Tipler y E. Mosca

Editorial Reverté (5a Ed) 2005

En particular, consultad los siguientes capítulos y secciones:

Capítulo 29

Os recomendamos que utilicéis estos apuntes como guía de los contenidos tratados en las

clases. Sin embargo, es importante que consultéis las fuentes originales para profundizar en

los conceptos trabajados en el aula. En este tema, una parte importante de los contenidos

tratados en el libro de referencia serán matizados en las clases. En aquellos apartados en que

se sigan otras fuentes os proporcionaremos las referencias apropiadas.

1. Introducción

La mayor parte de la energía eléctrica que se utiliza habitualmente se produce mediante

generadores de corriente alterna. El hecho de que la mayor parte de la corriente eléctrica sea

alterna reside en la facilidad con la que ésta se puede transportar minimizando las pérdidas

por efecto Joule. En los circuitos de corriente alterna (CA en español y AC en inglés) tanto

la f.e.m. como la intensidad varían con el tiempo y lo hacen de acuerdo con una función

periódica. Tal y como hemos visto en el estudio de la inducción electromagnética, una forma

sencilla de generar una f.e.m. alterna es mediante el uso de un generador constituido por una

espira (o bobina) que gira con velocidad angular constante en un campo magnético

homogéneo y constante. La forma de onda que se utiliza de forma más común en corriente

alterna es la de una onda sinusoidal (Figura 1).

Hasta ahora, hemos estudiado diferentes tipos de corrientes en función de su dependencia

temporal: transitorias (como las que aparecen y desaparecen al conectar o desconectar

circuitos RC y RL), continuas estacionarias, y finalmente alternas. Aunque algunas señales

alternas utilizadas en circuitos eléctricos no varían como una simple onda sinusoidal (sino

que se utilizan otras formas de onda periódicas tales como la triangular o las cuadradas), debe

destacarse que cualquier señal periódica puede expresarse como una suma de funciones

sinusoidales (tal y como se deriva del análisis de Fourier).

Si consideramos una señal sinusoidal (por ejemplo, una diferencia de potencial entre los

bornes de un elemento), su expresión matemáticamente es la siguiente:

V(t) = V0 · sin t

2

donde V0 es la amplitud de la señal. En este caso, el potencial varía entre V0 y -V0 .

Figura 1. Función sinusoidal de potencial

Como sabemos, la función seno es una función periódica, de modo el valor de la función en

el instante t será exactamente el mismo en un instante posterior t’ = t+T donde T es el período

de la función (T = 2 en el caso del seno). La frecuencia f se define como la inversa del

período f = 1/T y se mide en herzios (Hz o s-1

). Sin embargo, el argumento de la función seno

es la frecuencia angular quese define como = 2 π f.

2. Circuitos de corriente alterna

El comportamiento de bobinas y condensadores en corriente alterna es muy diferente del que

tienen en corriente continua. Considerad, por ejemplo, el caso de un condensador. En

corriente continua, cuando el condensador está totalmente cargado, se interrumpe el paso de

corriente, es decir, actúa como un circuito abierto. En cambio, en los circuitos de corriente

alterna, la carga fluye continuamente entrando y saliendo, alternativamente, de las placas del

condensador. En particular, si la frecuencia de la corriente alterna es grande, el condensador

prácticamente no impide el paso de corriente y se comporta prácticamente como un

cortocircuito. Por el contrario, si consideramos una bobina, puesto que generalmente tiene

una resistencia pequeña, en corriente continua se comporta casi como un cortocircuito (¡salvo

durante el transitorio!). Sin embargo, cuando la corriente que circula por el circuito está

variando, hemos estudiado que se genera una fem autoinducida (también conocida como

fuerza contraelectromotriz) que es proporcional al ritmo de variación de la corriente ( = -

L·dI/dt). De este modo, para frecuencias altas, tendremos que la fem autoinducida será alta y

la bobina actuará prácticamente como un circuito abierto.

Vamos a considerar, en primer lugar, distintos circuitos de corriente alterna que contengan:

Generador de corriente alterna y resistencia

Generador de corriente alterna y condensador

Generador de corriente alterna y bobina

Con esto, profundizaremos en el comportamiento de cada uno de estos elementos en corriente

alterna para, finalmente, combinarlos en un circuito RLC en serie que incluye un generador

de corriente alterna. Tal y como veremos, en este tipo de circuito aparecen oscilaciones

eléctricas forzadas.

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2.1 Fasores

En general, es útil introducir el concepto de fasor para representar las señales relevantes en el

análisis del comportamiento de los circuitos en corriente alterna (i.e. potencial eléctrico e

intensidad). Un fasor es un vector que rota alrededor de un eje con velocidad angular y que

posee las siguientes propiedades:

Una longitud que corresponde a la amplitud máxima de la señal.

Una velocidad angular que describe la rotación de un vector en dirección contraria

a las agujas del reloj.

La proyección del vector a lo largo de uno de los ejes corresponde al valor de la

cantidad alternante en un tiempo t. En el ejemplo de la figura, escogemos la

proyección sobre el eje horizontal si tomamos como función periódica el coseno.

Podríamos escoger igualmente la función seno, lo único que variaría en este caso es la

fase inicial del argumento. En ese caso hablaríamos de la proyección sobre el eje

vertical. Pueden interpretarse los ejes horizontal y vertical como los ejes x e y del

plano complejo, los fasores como vectores en este plano complejo y las componentes

x e y de los mismos como su parte real e imaginaria.

Figura 2. Ejemplo de un diagrama de fasores de la señal V(t) = V0 cost

2.3 Generador en corriente alterna

En el estudio de los circuitos de corriente continua se introdujo la noción de f.e.m. y fuente

de f.e.m como un elemento que produce y mantiene una diferencia de potencial en un circuito

para mantener la circulación de corriente en el mismo. Tras estudiar la inducción

electromagnética, hemos visto cómo se puede producir una f.e.m. sinusoidal como las que se

utilizan habitualmente en circuitos de corriente alterna. El símbolo que se utiliza para ilustrar

las fuentes/generadores de f.e.m. en corriente alterna es el que se presenta en la Figura 3.

Figura 3. Símbolo utilizado para denotar una fuente/generador de f.e.m. (que varía de forma sinusoidal) en corriente alterna

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2.4 Circuito compuesto por un generador de corriente alterna en serie con una

resistencia

Consideremos un circuito con una resistencia conectada en serie a un generador de corriente

alterna, tal y como se muestra en la Figura 4.

Figura 4. Circuito compuesto por una resistencia conectada en serie a un generador de corriente alterna

En el estudio de los circuitos de corriente continua se introdujo una metodología para el

análisis de los circuitos que se basaba en la denominada abstracción de parámetros

concentrados. Si bien la validez de esta metodología requería el cumplimiento de tres

condiciones, al estudiar los transitorios en circuitos RC y RL vimos que una evaluación

cuidadosa de la circulación del campo eléctrico a lo largo del circuito, junto con el

cumplimiento de la condición que las escalas temporales de interés fueran mucho mayores

que los retardos de propagación electromagnética en el circuito permitía un análisis riguroso

del circuito. Es por ello que haremos uso de esta misma metodología precisando aquellos

aspectos que sea necesario matizar en cada momento. Para plantear la ecuación diferencial

que gobierna el comportamiento del sistema, partimos de un punto A y un instante t en el que

asumimos que conocemos la polaridad de la f.e.m. y recorremos el circuito en el sentido de la

corriente para evaluar la circulación del campo eléctrico a lo largo del circuito:

donde hemos hecho uso de la ley de Ohm para expresar la caída de potencial a través de la

resistencia VR (t):

V(t) = I (t)·R

Por tanto, la corriente instantánea en el circuito viene dada por:

R

tV

R

tVtI

cos)()( 0

La relación entre la diferencia de potencial establecida por la fuente de f.e.m entre sus bornes

y la caída de potencial al atravesar la resistencia se verifica t. Es interesante observar la

5

evolución temporal de las señales (I, V) en la resistencia. Para ello, en la Figura 5 hacemos

uso de la noción de fasor. Un aspecto que debe destacarse es que I(t) y V(t) están en fase.

Figura 5. Representación con fasores de la evolución temporal de las señales V(t) y I(t) en un circuito con una resistencia

conectada en serie a un generador de corriente alterna

2.5. Valores eficaces en circuitos de corriente alterna

Ciertamente existen aparatos de medida como los osciloscopios que permiten medir las

señales (I,V) de los circuitos de corriente alterna y su dependencia temporal. Sin embargo, el

uso de amperímetros/voltímetros (tanto analógicos como digitales) es también común en

aplicaciones prácticas. ¿Qué tipo de medida nos ofrecen estos aparatos en el caso de corriente

alterna?

Una primera intuición para dar respuesta a las anteriores preguntas podría sugerir la

consideración del valor medio de las señales a lo largo de un período. Veamos qué ocurre

cuando calculamos, por ejemplo, el valor medio de la f.e.m del generador V(t) a lo largo de

un período. En primer lugar, debemos recordar que el valor medio

f (t) de una función

periódica f(t) con periodo T, se define como:

f (t) 1

Tf (t)dt

0

T

Por tanto, en el caso del voltaje se tiene:

0 cos 1

)(1

)(0

00

TT

dttVT

dttVT

tV

Intuitivamente ya podemos ver que el valor medio de una función coseno es cero si

consideramos la interpretación geométrica de la integral, es decir, la integral como el área

bajo la curva definida por la función. En cualquier caso, éste es un resultado que puede

comprobarse fácilmente teniendo en cuenta la definición de frecuencia angular y su relación

con el período.

6

02

cos 1

cos1

cos00

TT

dtT

t

Tdtt

Tt

Realmente, los amperímetros/voltímetros se diseñan para medir valor eficaces, que se

definen a partir del valor cuadrático medio de una función. Para cualquier función periódica

f(t) con periodo T el valor cuadrático medio se define como:

T

dttfT

tf0

22 )(1

)(

Para entender por qué se selecciona precisamente esta medida consideremos la intensidad que

circula por la resistencia (y por todo el circuito al ser éste en serie):

2

00

22

00

22

00

22

2

1

2cos

1 cos

1)(

1)( Idt

T

tI

TdttI

TdttI

TtI

TTT

El valor eficaz se define como la raíz cuadrada del valor cuadrático medio, por tanto:

2)( 02 I

tII ef

De forma análoga, se tiene para el potencial:

2)( 02 V

tVVef

Consideremos ahora qué potencia se disipa en la resistencia. Claramente, esta potencia

también varía con el tiempo. El valor instantáneo de la misma en un instante t, es:

RtItPR )()( 2

El valor medio de la potencia en un período puede calcularse tal y como hemos visto con

anterioridad considerando la definición de valor medio de la función a lo largo de un período:

RIRIRtItP efR ·2

1)()( 22

0

2

En este contexto, se puede interpretar el valor eficaz (y su elección) como aquella medida

que permite establecer una relación entre la señal (corriente) AC que produce el mismo

calentamiento por efecto Joule en la resistencia que el producido por una corriente

estacionaria DC cuyo magnitud fuese la del valor eficaz. Es muy importante que tengáis en

cuenta que si la señal presenta una dependencia temporal distinta de un seno (o coseno),

también variarán los valores eficaces. El valor eficaz, tal y como hemos dicho, se define

como la raíz cuadrada del valor cuadrático medio. El valor concreto que tome depende de la

señal que se considere.

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2.2 Circuito compuesto por un generador de corriente alterna en serie con una bobina

Consideremos ahora un circuito compuesto por un generador de corriente alterna en serie con

una bobina.

Figura 6. Circuito con generador de corriente alterna en serie con una bobina

Para plantear la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento del sistema partimos de

un punto A y un instante t en el que asumimos que conocemos la polaridad de la f.e.m.

Recorremos el circuito en el sentido de la corriente para evaluar la circulación del campo

eléctrico a lo largo del circuito:

La consideración de la ley de Faraday (y no la ley de los voltajes de Kirchhoff que ya no es

válida en este contexto al adquirir relevancia el fenómeno de inducción electromagnética en

el circuito como consecuencia de la presencia de una bobina), lleva a concluir que la

ecuación que gobierna el comportamiento del circuito es:

0)(

cos)(

)( 0 dt

tdILtV

dt

tdILtV

Tal y como se discutió al estudiar los transitorios en circuitos RL, en algunos libros de texto,

se suele introducir un símil en términos de una caída de potencial equivalente en la bobina.

Realmente, el comportamiento físico del sistema no responde a esta interpretación. La

descripción rigurosa del sistema debe hacerse en términos de la ley de Faraday y de la

naturaleza no conservativa del campo eléctrico. Si resolvemos la ecuación diferencial, se

encuentra que la intensidad de corriente que circula por el circuito es:

2cos

2cossin)( 000 t

Vt

L

Vt

L

VtI

L

L

donde χ L = L recibe el nombre de reactancia inductiva. La reactancia inductiva se mide en

ohmios () igual que la resistencia, sin embargo este término depende de la frecuencia

angular y de la autoinductancia de la bobina.

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Esto significa que hay un desfase de /2 entre el voltaje impuesto por el generador y la

corriente que circula por este circuito (en el que sólo tenemos un generador de fem

alterna y una bobina). El desfase entre la señal de voltaje proporcionada por el generador y

la corriente que se establece en el circuito es tal que la corriente está retrasada /2

respecto al voltaje, lo cual puede interpretarse en términos del comportamiento de la

autoinductancia de la bobina y la inercia que ésta presenta al establecimiento de una corriente

estacionaria.

Figura 7. Diagrama de fasores para el circuito compuesto por un generador de corriente alterna

conectado en serie con una bobina.

2.3 Circuito compuesto por un generador de corriente alterna en serie con un

condensador

Consideremos ahora un circuito compuesto por un generador de corriente alterna y un

condensador.

Figura 8. Circuito de corriente alterna con condensadores.

Siguiendo un planteamiento análogo al de las dos secciones anteriores, para encontrar la

ecuación diferencial que gobierna el comportamiento del sistema, partimos de un punto A y

un instante t en el que asumimos que conocemos la polaridad de la f.e.m. y recorremos el

circuito en el sentido de la corriente para evaluar la circulación del campo eléctrico a lo largo

del circuito:

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En este caso, en el circuito no se aprecia ningún fenómeno de inducción electromagnética

relevante (ya que el circuito no tiene una autoinductancia apreciable al no contar con ninguna

bobina) y se obtiene para la circulación del campo eléctrico a lo largo del circuito el siguiente

resultado:

Encontramos que la carga del condensador varía según la expresión:

tVCtVCtQ cos)( )( 0

y la intensidad que circula por el circuito viene, por tanto, dada por:

2cos

2cossin

)()( 0

00 tV

tCVtCVdt

tdQtI

C

donde

se denomina reactancia capacitiva. De nuevo, tenemos que la unidad de la

reactancia es el ohmio (). Su valor depende de la frecuencia a la que está operando el

generador en el circuito y de la capacidad del condensador.

Tal y como hemos visto en el análisis del circuito que contiene sólo una bobina y la fuente

fem alterna, la caída de tensión y la intensidad no están en fase. En esta ocasión, el voltaje

proporcionado por la fuente de fem alterna está retrasado /2 respecto a la corriente

que circula por el circuito. Este resultado puede interpretarse en términos de cómo se

comporta un condensador durante el período transitorio hacia el establecimiento de un voltaje

estacionario entre sus placas. Tened en cuenta que es precisamente la corriente (el ritmo al

que se acumulan las cargas positivas en la placa con carga +Q) la responsable de establecer

una diferencia de potencial entre las mismas. Es por ello que la corriente desde esta

perspectiva antecede al establecimiento de la diferencia de potencial entre las placas del

condensador. Este desfase tiene su origen en estos fenómenos transitorios y no podemos

olvidarnos de ellos al interpretar el comportamiento del circuito. En la siguiente sección, en la

que tratamos los circuitos RLC en serie revisitaremos estos conceptos.

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Figura 9. Diagrama de fasores para el circuito con generador fem alterna y condensador.

3. Circuito RLC en serie con un generador de corriente alterna

Tras analizar el comportamiento de cada uno de los elementos R, L y C cuando se encuentran

en un circuito con una fem alterna, vamos a estudiar cómo se comporta un circuito que los

incluya a todos ellos simultáneamente. Consideremos el circuito de la Figura 10 que

contiene los tres componentes R, L y C en serie con un generador de corriente alterna. Tal y

como hemos hecho anteriormente, para plantear la ecuación diferencial que gobierna el

comportamiento del sistema, partimos de un punto A y un instante t en el que asumimos que

conocemos la polaridad de la f.e.m. y recorremos el circuito en el sentido de la corriente para

evaluar la circulación del campo eléctrico a lo largo del circuito:

Figura 10. Circuito RLC en serie con un generador de corriente alterna

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La variación de flujo magnético que aparece en la ley de Faraday, en este circuito, teniendo

en cuenta la aproximación de parámetros concentrados y la presencia de una bobina con

autoinductancia L en el circuito, verifica la siguiente igualdad:

Teniendo en cuenta que I(t) = dQ/dt, la anterior ecuación se puede expresar como:

tVC

tQ

dt

tdQR

dt

tQdL cos

)()()(02

2

Ésta es una ecuación diferencial de segundo orden. No vamos a resolver la ecuación

diferencial sino que indicaremos su solución. Sin embargo, sí que debemos señalar que la

solución completa consta de una parte transitoria que depende de las condiciones iniciales

(como son las fase inicial del voltaje proporcionado por el generador y la carga inicial del

condensador) y una corriente estacionaria que es independiente de estas condiciones.

Nosotros nos centraremos en el estudio de la solución estacionaria e ignoraremos la solución

transitoria, que disminuye exponencialmente con el tiempo y es, finalmente, despreciable. Es

importante destacar que la corriente tiene la misma amplitud y fase en todos los

componentes del sistema puesto que todos ellos están en serie. La solución estacionaria de

esta ecuación diferencial establece que la intensidad que circula por el circuito es:

)cos()cos()(

)( 0

0 tZ

VtI

dt

tdQtI

donde Z se denomina impedancia del circuito (se mide en ) y toma el valor:

y el desfase entre la corriente que circula por el circuito y el voltaje proporcionado por la

fem de alterna es tal que:

Es importante destacar que el desfase entre las señales se mantiene constante a lo largo del

tiempo ya que los fasores están rotando a la misma velocidad angular . Por tanto, este

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ángulo de fase es el mismo para cualquier instante de tiempo que consideremos. El signo

del ángulo depende del balance entre la reactancia inductiva y capacitiva del circuito que

depende tanto de L y C, como de la frecuencia a la que está operando el circuito.

4. Impedancia

Hemos visto que las reactancias inductiva y capacitiva tienen un papel análogo a la

resistencia en cuanto que permiten relacionar intensidad que circula por un determinado

elemento y la caída de tensión en el mismo. Sin embargo, en los inductores y condensadores

ideales no se disipa energía, lo que sí ocurre como bien sabemos en las resistencias por efecto

Joule. Tal y como hemos adelantado, en un circuito RLC la impedancia es:

22 χ χL CZ R

mientras que la magnitud χ χL C recibe el nombre de reactancia total. A menudo se utiliza

una notación compleja para la impedancia de modo que ésta queda representada como un

número complejo cuya parte real corresponde a la resistencia y cuya parte imaginaria

corresponde a la reactancia total:

Podéis comprobar que la impedancia tal y como la hemos definido anteriormente corresponde

al módulo de este vector. Esta representación en el plano complejo permite también una

interpretación geométrica interesante. Desde una perspectiva geométrica, podemos observar

que es posible representar la impedancia mediante un triángulo rectángulo como el que se

muestra a continuación y que relaciona la reactancia total con la impedancia y el ángulo de

fase del circuito RLC. El signo del ángulo de fase quedará establecido por la relación

entre de modo que:

si

si

Figura 11. Representación geométrica de la impedancia haciendo uso del triángulo de impedancia

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Figura 11. Diagrama de fasores para un circuito RLC de carácter capacitivo y su relación con el triángulo de impedancia.

5. Resonancia

Si tenemos en cuenta la solución de la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento

del circuito RLC en serie, es posible llegar a una serie de conclusiones importantes sobre su

comportamiento. En primer lugar vemos que la corriente máxima que circula por el circuito

toma el valor:

00

VI

Z

Esta corriente máxima I0 depende de la frecuencia a la que está operando el circuito y está

dictada por la fem alterna. Esta ecuación indica que la corriente alcanza su valor máximo

cuando Z es mínima. Esto ocurre cuando los términos de reactancia capacitiva y reactancia

inductiva son iguales, es decir:

χ χL C

1ω

ωL

C

Esta igualdad se verifica sólo para una determinada frecuencia angular, que recibe el nombre

de frecuencia de resonancia:

0

1ω =

LC

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Precisamente en esta frecuencia angular se da el fenómeno denominado resonancia por el

cual la intensidad que circula por el circuito alcanza un máximo. Podemos comprobar

fácilmente que en resonancia, la impedancia se convierte en Z=R, y la amplitud de la

corriente es 00

VI

R

Además, si nos fijamos en el valor que toma el ángulo de fase en resonancia no existe

desfase entre la corriente y el voltaje proporcionado por la fem alterna, es decir, = 0.

La amplitud de la corriente aumenta considerablemente en esta situación tal y como podemos

observar en la Figura 12. De hecho, los circuitos resonantes se utilizan en los receptores de

radio en los que se varía la frecuencia de resonancia del circuito variando la inductancia o la

capacidad del mismo. Se produce la resonancia cuando la frecuencia natural del circuito se

iguala a una de las frecuencias de las ondas de radio recogidas por la antena. En la

resonancia, aparece una corriente relativamente grande en el circuito de la antena. En

situaciones óptimas, las corrientes debidas a las frecuencias de otras estaciones que no están

en resonancia son despreciables en comparación con la correspondiente a la frecuencia que

ha sintonizado el circuito. Podéis comprobar también que para valores de frecuencia angular

<0, el circuito tienen un carácter capacitivo en la medida que la reactancia capacitiva

domina sobre la reactancia inductiva ( . En cambio, cuando el circuito opera a

frecuencias >0, éste tiene un carácter inductivo en la medida que la reactancia inductiva

domina sobre la reactancia capacitiva ( .

Figura 12. La amplitud de la corriente como una función de en un circuito RLC.

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Enlaces de interés

Lecture 25: Driven LRC Circuits and Resonance (Prof. Walter Lewin, MIT)

http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-02-electricity-and-magnetism-spring-

2002/video-lectures/lecture-25-driven-lrc-circuits-and-resonance/