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Circuits et nombres 2-adiques

Gérard Berry

Chaire Algorithmes, machines et langages

Collège de France

Cours 2, le 9 avril 2013

G. Berry, Collège de France, cours 2

Ce cours reprend la théorie et la pratique

de Jean Vuillemin (Digital Equipment X ENS)

09/04/2013 2

Source du cours

J. Vuillemin. On circuits and numbers, IEEE Trans. on Computers, 43:8:868-79, 1994

G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013 3

Nombres 2-adiques (Hensel, ~1900)

• R est une complétion de Q. Est-ce la seule? Non : nombres p-adiques pour p premier nombre infinis écrits poids faibles d’abord

Ils unifient l’arithmétique infinie calculableet la logique Booléenne

• Beau, mais physique ? cf. Matière à Pensée, p. 32• Alain Connes / JP Changeux

• Jean Vuillemin : les entiers 2-adiques sont le bon• Jean Vuillemin : modèle des circuits numériques En un sens, nous allons créer leur physique


2 Z : anneau des entiers 2-adiques

x 2 x0 x1 x2 … poids faibles d’abord

opérations et de gauche à droite

x 2101010... 2 (10)

x 1 4x

x 1/3

x 2100000... 2001010...

0 200000... 2 (0)1 210000... 21(0) 2 201000... 201(0)

1 211111... 2 (1)2 201111... 2 0(1)

y 2010101... 2 (01)

y 2 x

y 2/3

ou x y 1


L’anneau des 2-adiques

1 / 2 n’existe pascar la somme de bits x0x0 ne peut pas valoir 1

p / q existe pour p, q entiers ssi q est impair(cf. Euclide)

Pas d’ordre compatible avec les opérations

1 0 1


2 Z comme algèbre Booléenne

• 2-adique x vu comme l’ensemble { i | xi 1 }

exemple: 1/3 2101010... { i | i pair }

• Opérations Booléennes point par point x y x y x (x y)n x n yn etc.

2100011...

2011100...

2111111...

x x 1

• Relation arithmético-logique fondamentale


Espace Métrique de Cantor

d(x,x) 0d(x,y) 2n n min t.q. xn yn

• Lemme : 2 Z est ultramétrique :

d(x,z) max (d(x,y), d(y,z))

Exemple : d (201111..., 201101... 1/8)

x

yz

d(x,z) min (d(x,y), d(y,z))


Espace Métrique de Cantor

• Compact – très différent des réels !

ex. ouvert de préfixe 210010

• Base d’ouverts : préfixes finis

x0 x1...xn { 2 x0 x1...xn y0 y1...yn... | y 2 Z }

110

0 0


Fonctions continues

• Lemme : f : 2 Z 2 Z continue ssi

f(x)n ne dépend que d’un nombre fini de xm

2 x0 x1......xm... 2 y0 y1...yn...

Continuité préservation de la finitude de l’information


Fonctions synchrones

x f(x)

x0 x1...xn... 0 x0 x1...xn...


Fonctions synchrones et contractantes

• Théorème f : 2 Z 2 Z est synchrone si et seulement si

f(x)n ne dépend que de x0x1...xn, i.e., est contractante

x,y. d(f(x),f(y)) d(x,y)

• Définition : f : 2 Z 2 Z synchrone ssi calculable par un

circuit synchrone (de mémoire finie ou infinie)

Preuve : « seulement si » trivial, Preuve : pour « si » voir la construction SDD diapo

x f(x)


Circuits de Moore et contraction strictes

• Une fonction f : 2 Z 2 Z est strictement contractante

ssi f(x)n dépend seulement de x0x1...xn1


• Un circuit synchrone est de Moore ssi tout fil entre une entrée et une sortie passe par au moins un registre

Théorème : une fonction est strictement contractante ssi elle est réalisable par un circuit de Moore

Circuitde Moore


Rebouclage des circuits de Moore

Circuitde Moore

f(x)x


Rebouclage des circuits de Moore


Lifschitz x,y. d(f(x),f(y)) 0,6 d(x,y)

Théorème de Banach : toute fonction Lifschitziennesur un compact a un point fixe unique

Circuitde Moore

f(x) xf(x)


L’addition dans l’espace

++

a0b0

s0

++1

a

1b

1s

r1

++2a

2b2s

2r

3r

r = 00

s a bmais en temps infini !

continuité :couper à n bits

pour n bits de sortie

s2n1 a2n b2n

x2n x mod 2n


Additionneur 3 bits (Full Adder)

abc

s

r

s a oux b oux cr (a et b) ou (b et c) ou (c et a)

++

ab

s

c r

oux

ouet

et

etbits

a b c s 2 r


Opérateurs 2-adiques de base

++

ab

s

cr

x 2 x

a b c s 2 r

x 1 2 x

2 x0 x1...xn... 2 0 x0 x1...xn...

2 x0 x1...xn... 2 1 x0 x1...xn...


Addition et soustraction dans le temps

++

ab

s

r2r

tick !

a b 2 r s 2 r

s a b

même équationque dans l’espace !

a b 1 2 r s 2 r

b 1 b

s a b

12 r

++

ab

s

r

b b 1

a b s


Addition mixte espace / temps

ri

++

ap

bp

sp

2ri

tick ! s a b

toujours lamême équation !

++

ai

bi

si

rp

a ap ai

b bp bi

s sp si

x y 2 x0 y0 x1 y1...

Code source constant pour tous les échanges espace / temps


Addition stéréo

++

ab

s

r

additionneurstéréo

Alterne deux additions dans le tempsstéréo canal gauche canal droit

sp si (ap ai) (bp bi)


Addition et soustraction dans le temps

++

ab

s

tick !

++

ab

s

a

bs

a

bs


Multiplication et division par une constante

x 3 x

_x y x / 3 preuve : y x 2 y

division seulementpar des entiers impairs!

preuve : x 2 x 3 x


Quasi-inverse

y 1 2 x y 1 / (12 x)x

y 2 x y 1y 1 2 x y

y 1 / (12 x)

?

contractante synchronemais mémoire infinie(cf. construction SDD diapo ??)


Quasi-racine carrée

y 1 4 z

z x 2 z 2

y 2 1 8 z 16 z

2

y 1 8 x

xz y

y 2 1 8 x 16 z

2 16 z

2

ça ne nous dit rien sur les bits qui passent !


Décomposition spatio-temporelle de f synchrone

f 0 0-prédicteur : f

0w = f (w0) pour tout mot w

f 0 premier bit sorti par f pour l’entrée 0...f 1 ... 1...

f 1 1-prédicteur : f

1w = f (w1)

f w dernier bit sorti par f pour le mot fini w

f u u-prédicteur : f

uw = f (wu) pour tout mots w, u


Automate de x 3 x

+x 3 x

00 10

01 11

0 / 0 1 / 1

0 / 1

1 / 1

0 / 10 / 0

1 / 0

1 / 0


0 /

1 / 10 / 00 /

09/04/2013 27

Prédicteur 0 de x 3 x

+x 3 x

00 10

01 11

0 / 0 1 / 1

0 / 1

1 / 1

0 / 10 / 0

1 / 0

1 / 0

00 10

01 11

1 /

0 /

1 /

0 /

1 /

1 /

0 /0

1 / 00 / 1

1 / 0

1 / 0

0 / 0


Etape de décomposition

f(x) = mux(x, f 1 2 f 1(x), f 0 2 f

0(x))

x

1

0

f 1

f 0f (x)

f 1

f 0


Forme normale SDD de f : 2z2z

Table de vérité dans l’espace et le tempsultra-rapide : chemin critique un mux

La moitié des bits disparaît à chaque cycle

1

0

f11

f10

x

1

0

f01

f00

x

f 01

f 00

f 11

f 10

f 1

f 0

x

1

0

f1

f0f (x)

...

...

...

...


SDD partagé de f : 2z2z à mémoire finie

1

0

f11

f10

x

1

0

f01

f00

x

f 01

f 00

f 11

f 10

f 1

f 0

x

1

0

f1

f0f (x)

...

...

...

...

f à mémoire finie nb fini de prédicteurs f u distincts

f à n registres SDD(f ) peut avoir 22 registresn


Trace d’une fonction synchrone

Tr(f) 2 f0 f1 f00 f01 f10 f11 f000 f001 ...

f0 2 f1 4 (Tr(f 0) ʘ Tr(f1 ))

Série formelle sur Z/2Z : S(f) = n Tr(f)n zn

Théorème :

f : 2 Z 2 Z est de mémoire finie

ssi S(f) est algébrique dans Z/2Z

L’application d’une trace Tr(f) à un argument x est continue calcul ?


Théorème (Van der Porten) : si f est à mémoire finie, alors le nombre réel

0, f0 f1 f00 f01 f10 f11 f000 f001 ...

est soit rationnel soit transcendant

09/04/2013 32

Des traces synchrones aux trancendants

Automatic Sequences: Theory, Applications, GeneralizationsJean-Paul Allouche et Jeffrey ShallitCambridge University Press (21 juillet 2003)

Cf. aussi cours 5 2010, systèmes finis,http://www.college-de-france.fr/site/gerard-berry/index.htm#|m=course|q=/site/gerard-berry/course-2009-2010.htm|p=../gerard-berry/course-2009-12-16-10h00.htm|

http://www.amazon.fr/exec/obidos/search-handle-url?_encoding=UTF8&search-type=ss&index=books-fr-intl-us&field-author=Jean-Paul%20Allouche

http://www.amazon.fr/exec/obidos/search-handle-url?_encoding=UTF8&search-type=ss&index=books-fr-intl-us&field-author=Jean-Paul%20Allouche

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http://www.amazon.fr/exec/obidos/search-handle-url?_encoding=UTF8&search-type=ss&index=books-fr-intl-us&field-author=Jeffrey%20Shallit

http://www.college-de-france.fr/site/gerard-berry/index.htm#%7Cm=course%7Cq=/site/gerard-berry/course-2009-2010.htm%7Cp=../gerard-berry/course-2009-12-16-10h00.htm%7C










Des fonctions continues aux circuits

f continue mais pas synchrone dilater le temps

nombre 2-adique : < valeur, validité >

0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 ...0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 ... 0 1 1 0 1

Théorème : toute fonction continue peut être réalisée par un circuit synchrone avec validité


• Les 2-adiques sont le bon modèle des circuits synchrones arithmétiques (seulement ?)

• La distance 2-adique, la continuité et le synchronisme sont des notions vraiment fondamentales

• La structure de l’espace des prédicteurs reste à comprendre

• La relation fonction continue / circuit synchrone à validité est encore largement à étudier (calcul?)

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Conclusion

Merci à Jean Vuillemin


Commutation opérateurs / délais

++

++

0)0(

ff que telle fonction toute pour Vrai

Utilisation: couper les chemins critiques

s’ 2 r’ 2 (abc)

abc

abc

s s’r r’

s’r’

s’ 2 r’ 2 a 2 b 2 c


1. Commutation opérateurs / registres

2. Le retiming comme optimisation fondamentale des circuits en temps

09/04/2013 36

Annexe – optimisation par retiming


Le retiming, un accélérateur majeur

++

++

++

Calcule 2s

0



++

++

++

Calcule 2s

Calcule 4s

0



++

++

++

n bits: latence n-1, temps 1

Calcule 4s

0

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