ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE

Circuits I - circuits électriquesG. Gremaud

Equations constitutives des éléments passifs

Résistances

Equations constitutives des éléments passifs

Capacités

Inductances

Equations constitutives des éléments passifs

Equations de Kirchhoff d’un réseau

Noeuds

Soit un circuit électrique composé d'éléments passifs constituant les branches du réseau et reliés entre eux aux noeuds du réseau

Pour étudier le comportement électrique d'un tel réseau, on doit faire appel aux équations de Kirchhoff, qui traduisent que:

le courant électrique est une grandeur conservée

Mailles la tension électrique est un potentiel

Elements passifs en série et parallèle

Résistances en parallèle

A l'aide des équations de Kirchhoff et des équations constitutives des éléments, il est possible de trouver les équations différentielles qui régissent un réseau électrique.

Résistances en série

Equations différentielles d’un circuit

Circuit RCL

Equations différentielles d’un circuit

Introduisons alors les grandeurs définies comme suit

Grâce à ces nouveaux paramètres, on peut écrire l'équation différentielle sous la forme suivante:

Cette équation est une équation différentielle extrêmement courante en physique, qu'on appelle en général "l'équation de l'oscillateur harmonique amorti". Toute équation différentielle de ce type possède une solution qui est la somme:- d'une solution transitoire correspondant à la réponse transitoire de la sortie us(t), et calculée comme la solution de l'équation différentielle sans second membre (avec ue = 0),- d'une solution permanente correspondant à la réponse permanente us(t) à une entrée ue(t) donnée.

Solutions transitoires (oscillations libres)

Ces différentes solutions transitoires peuvent être mises en évidence très simplement si, à l'instant t=o, on passe d'une tension d'entrée constante ue(t) = ueo à une tension nulle ue(t) = o :

La solution transitoire de l'équation différentielle peut prendre trois formes:

Solutions transitoires (oscillations libres)

Solutions transitoires (oscillations libres)

La réponse transitoire us(t) est appelée oscillations libres et elle prend les allures suivantes :

Solutions permanentes (oscillations forcées)

Signal d’entrée continu

Signal d’entrée harmonique

Solutions permanentes (oscillations forcées)Gain A:

Solutions permanentes (oscillations forcées)

Pour l'amortissement faible , l'amplitude A(Ω) passe par un maximum pour Ω = Ωr telle que

On parle alors d'un phénomène de résonance, et la largeur de résonance ∆Ω , mesurée pour A(Ω) = Amax /21/2 , vaut:

On peut encore introduire la notion de facteur de qualité Q du circuit, défini par la relation

Q mesure en fait l'acuité de résonance ou sélectivité du circuit résonnant.

BattementsDans le cas d'amortissement faible , l'enclenchement de l'oscillation forcée à l'instant t=o peut conduire à l'apparition d'un régime transitoire de battements entre la solution transitoire et la solution permanente, car

Les dipôlesOn appelle dipôle un ensemble d’éléments à deux bornes

En règée général, le calcul d’un dipôle fait appel au calcul complexe (voir annexe dans polycopié)

Les dipôles

Exemple: circuit résonnant parallèle

Les quadripôlesSoit un réseau compliqué qu'on appelle un quadripôle, de par l'existence de deux bornes d'entrée et de deux bornes de sortie:

Si on impose une tension d'entrée ue(t), la sortie us(t) sera appelée la réponse du quadripôle.

Un tel réseau peut être représenté par la "boîte noire" suivante :

Si le réseau est constitué de résistances, de condensateurs et de selfs, ce sont uniquement les résistances qui fixeront la tension de sortie (self = court-circuit, condensateur = circuit ouvert), d’où

En réponse continue, on appelle gain A du circuit quadripôle la grandeur:

Réponse continue des quadripôles

Réponse harmonique des quadripôles

Si l'on impose la tension d'entrée harmonique, la réponse, dans le cas où le circuit est linéaire, est du type

Cette réponse peut être caractérisée par la fonction de transfert du quadripôle. Cette fonction de transfert joue un rôle très important en électronique (amplificateurs, filtres, règlages automatiques, etc.).

Réponse harmonique des quadripôles

Représentation réelle de la fonction de transfert: le diagramme de Bode

La représentation réelle de la fonction de transfert fait appel aux gain A et à la phase respectivement, donnés en fonction de la fréquence du signal d'entrée:

En général, on représente graphiquement 20 log10 A dans un diagramme en fonction du logarithme de la pulsation. Un tel diagramme, appelé diagramme de Bode, a l'avantage de présenter en général des droites. On exprime la pente de ces droites en dB/octave, un octave correspondant à un doublement de la fréquence.

Réponses temporelles des quadripôles

L'entrée ue(t) n'est pas toujours une fonction harmonique. Par exemple, on considère souvent les réponses d'un réseau à des sollicitations de type indiciel ou impulsionnel

Dans ce cas, le calcul de la réponse temporelle du réseau quadripôle peut se faire de plusieurs façons:

• recherche de la réponse transitoire par résolution des équations différentielles du réseau

• utilisation de la transformée de Fourier lorsqu'on a affaire à un signal d'entrée périodique et qu'on s'intéresse uniquement au régime permanent de la réponse (cf §.V.2.4)

• utilisation du calcul opérationnel (transformée de Laplace) pour les signaux d'entrée non périodiques (type indiciel, impulsionnel, etc.) et pour les régimes transitoires survenant lors de l'application soudaine d'un signal à l'instant t=0.

Réponses périodiques des quadripôlesla transformée de Fourier

Lorsqu'on recherche la réponse d'un circuit quadripôle à un signal périodique quelconque (signal carré, triangulaire, etc.), on peut employer la transformation de Fourier, qui est basée sur la propriété mathématique suivante:

Tout signal périodique de période T peut être décomposé en somme de sinus et cosinus aux fréquences harmoniques de la fréquence de base du signal, sous la forme

Les coefficients an et bn se calculent par les intégrales suivantes:

Réponses périodiques des quadripôlesla transformée de Fourier

Si le signal ue(t) est appliqué à un quadripôle avec une fonction de transfert connue

La réponse us(t) sera simplement donnée par:

qui n'est rien d'autre que la représentation de Fourier du signal périodique de période T présent à la sortie us(t).

Réponse des quadripôles non-linéaires:génération d’harmoniques et phénomènes chaotiques

Si le réseau considéré contient des éléments non-linéaires, la réponse us(t) à une sollicitation harmonique ue(t) dépend de l'amplitude ueo de la sollicitation, et la méthode du calcul complexe n'est alors plus utilisable!

Dans ce cas, la réponse à une sollicitation harmonique ue(t) n'est plus harmonique:

Le signal de sortie us(t) contient en fait des harmoniques de la fréquence fondamentale du signal d'entrée. Ainsi, les circuits non-linéaires conduisent à la génération d'harmoniques. Parfois même, en présence d'éléments fortement non-linéaires, il peut apparaître des phénomènes chaotiques: