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  • Circuits RLC

    Matthieu Schaller et Xavier Buffatmatthieu.schaller@epfl.ch

    xavier.buffat@epfl.ch

    29 mars 2008

    Table des matieres

    1 Introduction 2

    2 Calculs 22.1 Oscillateur amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    2.1.1 Oscillation libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.2 Oscillation forcee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2.2 Circuit electrique oscillant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    3 Methode 53.1 Oscillation libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Oscillation forcee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    4 Resultats 64.1 Caracteristiques du circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2 Oscillations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.3 Amortissement critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.4 Oscillations forcees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    5 Discussion 9

    6 Conclusion 9

    7 Annexes 10

    1

    mailto:matthieu.schaller@epfl.chmailto:xavier.buffat@epfl.ch

  • 1 INTRODUCTION 2

    1 Introduction

    Les oscillateurs sont omipresent dans tout les domaines de la physiqueainsi que dans la vie courante. Les equations differentiels qui les regissentsont tres semblable, voir meme identique dans la pluspart des cas. Ainsi,en etudiant un de ses phenomenes physiques, on peut obtenir des resultatsapplicable aux autres. Dans notre cas, on sinterresse a un circuit electriqueoscillant, dont les equations sont identiques a celle dune masse suspenduea un ressort amorti par un frottement visqueux. On peut simuler des per-turbations du ressort en introduisant une tension variable dans le circuit,letude de la reponse du circuit est bien plus facile que celle de loscillateurphysique mais doit donner des resultats identiques.

    2 Calculs

    2.1 Oscillateur amorti

    On considere le modele de loscillateur amorti de la maniere suivante :Une masse m est soumise a la force de rappel du ressort ~Fr = k ~x, ou kest la rigidite du ressort, a la force de frottement visqueux ~Ff = ~v,ou est la viscosite du milieu, ainsi qua une force de perturbation ~Fp = ~G(t).Par la loi de Newton, on a :

    m~x = ~Fr + ~Ff + ~Fp = k ~x ~x+ ~G(t) (2.1)

    En considerant une oscillation sur un seul axe, pour le cas particulier dunperturbation sinusodale donnee par G(t) = m p sin(t), ou p et sontdes constantes, on a lequation differentielle suivante :

    x+ 2x+ 0x = p sin(t) ou =

    2met 0 =

    k

    m(2.2)

    2.1.1 Oscillation libre

    Si on considere p = 0, i.e. le systeme ne subit pas de perturbation, ondistingue trois solutions de lequation differentielle dependant des coefficients et 0. On considere le cas ou la masse est lachee dune hauteur x0 sansvitesse initiale.

    Si 2 < 20, alors

    x(t) = x0etcos(20 2t ) ou tan() =

    20 2

    (2.3)

    On parle damortissement faible, le mouvement est oscillatoire de pseudo-periode T = 2/

    20 2. On constate que sans frottement, i.e. = 0, on

    tombe sur lequation dun oscillateur harmonique.

  • 2 CALCULS 3

    Si 2 > 20, alors

    x(t) = x0et(1e

    t + 2et)

    avec =2 20 1 = 2 2 =

    +2

    (2.4)

    On parle alors damortissement fort, le mouvement nest pas periodique, lamasse se rapproche lentement de son point dequilibre.

    Si 2 = 20, alorsx(t) = x0et(1 + t) (2.5)

    On parle alors damortissement critique, le systeme suit la meme trajectoireque dans le cas de lamortissement faible sans le mouvement oscillatoire.

    De facon generale, on obtient une solution approchee de lequation differentiel2.2 :

    S(t) =

    etcos(

    20 2t ) si 2 < 20

    et(1 + 2t) si 2 = 20et

    (1e

    t + 2et)

    si 2 > 20

    (2.6)

    ou , 1, 2 et sont des constantes dintegration determinees par lesconditions initiales.

    2.1.2 Oscillation forcee

    On considere maintenant le cas p 6= 0. La solution de lequation 2.2est donnee par laddition dun mouvement permanent et dun mouvementtransitoire. On a :

    x(t) = A()sin(t ) + S(t)

    avec tan() = 2202

    et A() = p(202)2+422

    (2.7)

    Comme les autres constantes, est determine par les conditions initiales.La fonction A() a un maximum en r =

    0 22, appele frequence de

    raisonnance. Les courbes de A() et () sont typique dune raisonnance,thoriquement, elle ont lallure des graphiques de la figure 1.

  • 2 CALCULS 4

    0 = 44721, = 55.56, p = 1

    Fig. 1 Courbe theorique de lamplitude et du dephasage des oscillationsde la masse

    Fig. 2 Schema du circuit RLC

  • 3 METHODE 5

    2.2 Circuit electrique oscillant

    La figure 2 montre le circuit electrique etudie. On note Ux et Ix lestensions et courants dans lelement x. On a les equations suivantes :

    Ir = IrRIc = C dUcdtIl = lL

    Ildt

    Ir + Ic + Il = 0 (Kirchof)Uin Ur Ul = 0

    (2.8)

    En notant que Ur = Uc = U et en introduisant les equations de chaqueelement dans la premiere loi de Kirchof, on obtient lequation :

    CdU

    dt+U

    R+

    1L

    U Uindt = 0 (2.9)

    En derivant on obtient lequation differentiel :

    U +U

    RC+

    U

    LC=Uin

    LC(2.10)

    En introduisant le coefficient = 1/2RC et 0 = 1/LC, on retrouvelequation 2.2 de loscillateur amorti.

    3 Methode

    On construit le circuit de la figure 2, en utilisant un generateur de fonc-tion pour Uin et en connectant la sortie a un oscilloscope ainsi quun pha-semetre entre les deux.

    3.1 Oscillation libre

    On utilise le generateur de fonction pour fournir un signal carre, ce quipermet dobserver le comportement du systeme lors dun saut indiciel. Achaque saut, les conditions intitiales sont donnee par U(0) = U0 et U(0) = 0,ce qui correspond dans notre modele mecanique a lacher le ressort sans vi-tesse initiale.On etabit un regime faiblement amorti de facon a pouvoir faire quelques me-sures de la position de la courbe afin den deduire les differents coefficientsgrace a lequation 2.6 dans le cas 2 < 20. On atteint lamortissement cri-tique en diminuant progressivement la resistance. Lamortissement critiqueest atteint lorsque le signal lu sur loscilloscope est le plus proche du signalcarre mis en entree.

  • 4 RESULTATS 6

    3.2 Oscillation forcee

    On utilise le generateur de fonction en mode sinus. On provoque ainsiune perturbation tel que suppose dans la section 2. On mesure plusieursvaleure de A() et () afin den dessiner le graphique.

    4 Resultats

    4.1 Caracteristiques du circuit

    Pour realiser les mesures, nous avons choisi les valeurs suivantes pour lesdifferents composants :

    Composant Symbole ValeurResistance R 900 kCondensateur C 10 nFSelf L 50 mH

    Fig. 3 Caracteristiques du circuit

    4.2 Oscillations libres

    En enclenchant le generateur avec une forme donde carree a 100 Hz,nous obtenons, le resultat suivant en reponse du cricuit sur loscilloscope :

    Fig. 4 Reponse du circuit RLC

  • 4 RESULTATS 7

    On remarque clairement que lon se trouve dans le cas dun amortisse-ment faible. Pour essayer de determiner les valeurs de et de du circuit,nous avons essayer de mesurer la hauteur du maximum de chacune des os-cillations du circuit. Les valeurs obtenues sont resumees dans le tableausuivant :

    Symbole Valeur theorique Valeur obtenue Incertitude Erreur 55.56 s1 696.16 s1 - 1350% 44721 s1 44178 657 s1 1.49% 1.23%

    Fig. 5 Valeurs de et

    On remarque que la precision sur est excellente et que la valeur esten accord total avec la theorie. La valeur du coefficient est par contrebeaucoup plus mauvaise.

    4.3 Amortissement critique

    En modifiant la valeur de la resistance, il est possible datteindre lamor-tissement critique. Lorsquon sen approche, le nombre doscillations diminueet lon obtient le resultat suivant :

    Fig. 6 Reponse avec une resistance de R = 10 k

    Puis si lon diminue encore, jusqua une resistance de R = 1150 , onobtient lamortissement critique recherche :

    Si lon utilise la theorie, on obtient une valeur de la resistance pourlamortissement critique de 1118 . Notre valeur experimentale est doncbien en accord avec la theorie.

    4.4 Oscillations forcees

    Nous avons utilise le generateur en mode (( sinus ))dans une bande defequence allant de 250 a 14000 Hz. Nous avons ensuite mesure lamplitude

  • 4 RESULTATS 8

    Fig. 7 Amortissement critique

    Fig. 8 Amplitude et dephasage en regime force

    des oscillations sur loscilloscope et le dephasage grace au phasemetre. Lesdeux graphiques obtenus sont representes sur la figure 8.

    On observe le pic attendu et le changement brusque de la phase auxalentours de 7100 Hz, comme prevu par la theorie. En effectuant quelquesmesures sur les graphes, on obtient les grandeurs caracteristiques du circuit :

    Nom Valeur theorique Valeur obtenue Incertitude ErreurFrequence de resonnance 7117 Hz 7100 150 Hz 2.11% 0.2%Facteur de qualite 402.49 500 200 40% 19.6%

    Fig. 9 Caracteristiques du circuit

    Les valeurs sont proches des valeurs theoriques, elles semblent donc cor-rectes. Il y a cependant des erreurs importantes sur le facteur de qualite.

  • 5 DISCUSSION 9

    5 Discussion

    Les resultats obtenus lors des meusres en regime libre sont dans len-semble correct. La valeur de correspond quasiment exactement a celleobtenue par la theorie. Son incertitude est tres faible et elle aurait pu etreencore reduite en augmentant le nombre de mesures.La valeur du coefficient est par contre completement fausse, elle est beau-coup plus elevee que ce que predit la theorie. Cette erreur ne peut pas etredue au nombre trop faibles de mesures, car en augmentant ces dernieres, lavaleur reste quasiment la meme. Il faut donc chercher du

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