Circuits RLC

Matthieu Schaller et Xavier Buffatmatthieu.schaller@epfl.ch

xavier.buffat@epfl.ch

29 mars 2008

Table des matieres

1 Introduction 2

2 Calculs 22.1 Oscillateur amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.1 Oscillation libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.2 Oscillation forcee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Circuit electrique oscillant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Methode 53.1 Oscillation libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Oscillation forcee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Resultats 64.1 Caracteristiques du circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2 Oscillations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.3 Amortissement critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.4 Oscillations forcees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 Discussion 9

6 Conclusion 9

7 Annexes 10

1

1 INTRODUCTION 2

1 Introduction

Les oscillateurs sont omipresent dans tout les domaines de la physiqueainsi que dans la vie courante. Les equations differentiels qui les regissentsont tres semblable, voir meme identique dans la pluspart des cas. Ainsi,en etudiant un de ses phenomenes physiques, on peut obtenir des resultatsapplicable aux autres. Dans notre cas, on s’interresse a un circuit electriqueoscillant, dont les equations sont identiques a celle d’une masse suspenduea un ressort amorti par un frottement visqueux. On peut simuler des per-turbations du ressort en introduisant une tension variable dans le circuit,l’etude de la reponse du circuit est bien plus facile que celle de l’oscillateurphysique mais doit donner des resultats identiques.

2 Calculs

2.1 Oscillateur amorti

On considere le modele de l’oscillateur amorti de la maniere suivante :Une masse m est soumise a la force de rappel du ressort ~Fr = −k · ~x, ou kest la rigidite du ressort, a la force de frottement visqueux ~Ff = −η · ~v,ouη est la viscosite du milieu, ainsi qu’a une force de perturbation ~Fp = ~G(t).Par la loi de Newton, on a :

m~x = ~Fr + ~Ff + ~Fp = −k · ~x− η · ~x+ ~G(t) (2.1)

En considerant une oscillation sur un seul axe, pour le cas particulier d’unperturbation sinusoıdale donnee par G(t) = m · p · sin(Ωt), ou p et Ω sontdes constantes, on a l’equation differentielle suivante :

x+ 2λx+ ω0x = p · sin(Ωt) ou λ =η

2met ω0 =

√k

m(2.2)

2.1.1 Oscillation libre

Si on considere p = 0, i.e. le systeme ne subit pas de perturbation, ondistingue trois solutions de l’equation differentielle dependant des coefficientsλ et ω0. On considere le cas ou la masse est lachee d’une hauteur x0 sansvitesse initiale.

Si λ2 < ω20, alors

x(t) = x0e−λtcos(

√ω2

0 − λ2t− φ) ou tan(φ) = − λ√ω2

0 − λ2(2.3)

On parle d’amortissement faible, le mouvement est oscillatoire de pseudo-periode T = 2π/

√ω2

0 − λ2. On constate que sans frottement, i.e. λ = 0, ontombe sur l’equation d’un oscillateur harmonique.

2 CALCULS 3

Si λ2 > ω20, alors

x(t) = x0e−λt (α1e

ωt + α2e−ωt)

avec ω =√λ2 − ω2

0 α1 = ω−λ2ω α2 = ω+λ

2ω

(2.4)

On parle alors d’amortissement fort, le mouvement n’est pas periodique, lamasse se rapproche lentement de son point d’equilibre.

Si λ2 = ω20, alors

x(t) = x0e−λt(1 + λt) (2.5)

On parle alors d’amortissement critique, le systeme suit la meme trajectoireque dans le cas de l’amortissement faible sans le mouvement oscillatoire.

De facon generale, on obtient une solution approchee de l’equation differentiel2.2 :

S(t) =

αe−λtcos(√ω2

0 − λ2t− φ) si λ2 < ω20

e−λt(α1 + α2λt) si λ2 = ω20

e−λt(α1e

ωt + α2e−ωt) si λ2 > ω2

0

(2.6)

ou α, α1, α2 et φ sont des constantes d’integration determinees par lesconditions initiales.

2.1.2 Oscillation forcee

On considere maintenant le cas p 6= 0. La solution de l’equation 2.2est donnee par l’addition d’un mouvement permanent et d’un mouvementtransitoire. On a :

x(t) = A(Ω)sin(Ωt− ψ) + S(t)

avec tan(ψ) = 2λΩω2

0−Ω2 et A(Ω) = p√(ω2

0−Ω2)2+4λ2Ω2

(2.7)

Comme les autres constantes, ψ est determine par les conditions initiales.La fonction A(Ω) a un maximum en Ωr =

√ω0 − 2λ2, appele frequence de

raisonnance. Les courbes de A(Ω) et ψ(Ω) sont typique d’une raisonnance,thoriquement, elle ont l’allure des graphiques de la figure 1.

2 CALCULS 4

Ω0 = 44721, λ = 55.56, p = 1

Fig. 1 – Courbe theorique de l’amplitude et du dephasage des oscillationsde la masse

Fig. 2 – Schema du circuit RLC

3 METHODE 5

2.2 Circuit electrique oscillant

La figure 2 montre le circuit electrique etudie. On note Ux et Ix lestensions et courants dans l’element x. On a les equations suivantes :

Ir = IrR

Ic = C dUcdt

Il = lL

∫Ildt

Ir + Ic + Il = 0 (Kirchof)Uin − Ur − Ul = 0

(2.8)

En notant que Ur = Uc = U et en introduisant les equations de chaqueelement dans la premiere loi de Kirchof, on obtient l’equation :

CdU

dt+U

R+

1L

∫U − Uindt = 0 (2.9)

En derivant on obtient l’equation differentiel :

U +U

RC+

U

LC=Uin

LC(2.10)

En introduisant le coefficient λ = 1/2RC et ω0 = 1/LC, on retrouvel’equation 2.2 de l’oscillateur amorti.

3 Methode

On construit le circuit de la figure 2, en utilisant un generateur de fonc-tion pour Uin et en connectant la sortie a un oscilloscope ainsi qu’un pha-semetre entre les deux.

3.1 Oscillation libre

On utilise le generateur de fonction pour fournir un signal carre, ce quipermet d’observer le comportement du systeme lors d’un saut indiciel. Achaque saut, les conditions intitiales sont donnee par U(0) = U0 et U(0) = 0,ce qui correspond dans notre modele mecanique a lacher le ressort sans vi-tesse initiale.On etabit un regime faiblement amorti de facon a pouvoir faire quelques me-sures de la position de la courbe afin d’en deduire les differents coefficientsgrace a l’equation 2.6 dans le cas λ2 < ω2

0. On atteint l’amortissement cri-tique en diminuant progressivement la resistance. L’amortissement critiqueest atteint lorsque le signal lu sur l’oscilloscope est le plus proche du signalcarre mis en entree.

4 RESULTATS 6

3.2 Oscillation forcee

On utilise le generateur de fonction en mode sinus. On provoque ainsiune perturbation tel que suppose dans la section 2. On mesure plusieursvaleure de A(Ω) et ψ(Ω) afin d’en dessiner le graphique.

4 Resultats

4.1 Caracteristiques du circuit

Pour realiser les mesures, nous avons choisi les valeurs suivantes pour lesdifferents composants :

Composant Symbole ValeurResistance R 900 kΩCondensateur C 10 nFSelf L 50 mH

Fig. 3 – Caracteristiques du circuit

4.2 Oscillations libres

En enclenchant le generateur avec une forme d’onde carree a 100 Hz,nous obtenons, le resultat suivant en reponse du cricuit sur l’oscilloscope :

Fig. 4 – Reponse du circuit RLC

4 RESULTATS 7

On remarque clairement que l’on se trouve dans le cas d’un amortisse-ment faible. Pour essayer de determiner les valeurs de λ et de ω du circuit,nous avons essayer de mesurer la hauteur du maximum de chacune des os-cillations du circuit. Les valeurs obtenues sont resumees dans le tableausuivant :

Symbole Valeur theorique Valeur obtenue Incertitude Erreurλ 55.56 s−1 696.16 s−1 - 1350%ω 44721 s−1 44178± 657 s−1 1.49% 1.23%

Fig. 5 – Valeurs de λ et ω

On remarque que la precision sur ω est excellente et que la valeur esten accord total avec la theorie. La valeur du coefficient λ est par contrebeaucoup plus mauvaise.

4.3 Amortissement critique

En modifiant la valeur de la resistance, il est possible d’atteindre l’amor-tissement critique. Lorsqu’on s’en approche, le nombre d’oscillations diminueet l’on obtient le resultat suivant :

Fig. 6 – Reponse avec une resistance de R = 10 kΩ

Puis si l’on diminue encore, jusqu’a une resistance de R = 1150 Ω, onobtient l’amortissement critique recherche :

Si l’on utilise la theorie, on obtient une valeur de la resistance pourl’amortissement critique de 1118 Ω. Notre valeur experimentale est doncbien en accord avec la theorie.

4.4 Oscillations forcees

Nous avons utilise le generateur en mode (( sinus ))dans une bande defequence allant de 250 a 14000 Hz. Nous avons ensuite mesure l’amplitude

4 RESULTATS 8

Fig. 7 – Amortissement critique

Fig. 8 – Amplitude et dephasage en regime force

des oscillations sur l’oscilloscope et le dephasage grace au phasemetre. Lesdeux graphiques obtenus sont representes sur la figure 8.

On observe le pic attendu et le changement brusque de la phase auxalentours de 7100 Hz, comme prevu par la theorie. En effectuant quelquesmesures sur les graphes, on obtient les grandeurs caracteristiques du circuit :

Nom Valeur theorique Valeur obtenue Incertitude ErreurFrequence de resonnance 7117 Hz 7100± 150 Hz 2.11% 0.2%Facteur de qualite 402.49 500± 200 40% 19.6%

Fig. 9 – Caracteristiques du circuit

Les valeurs sont proches des valeurs theoriques, elles semblent donc cor-rectes. Il y a cependant des erreurs importantes sur le facteur de qualite.

5 DISCUSSION 9

5 Discussion

Les resultats obtenus lors des meusres en regime libre sont dans l’en-semble correct. La valeur de ω correspond quasiment exactement a celleobtenue par la theorie. Son incertitude est tres faible et elle aurait pu etreencore reduite en augmentant le nombre de mesures.La valeur du coefficient λ est par contre completement fausse, elle est beau-coup plus elevee que ce que predit la theorie. Cette erreur ne peut pas etredue au nombre trop faibles de mesures, car en augmentant ces dernieres, lavaleur reste quasiment la meme. Il faut donc chercher du cote des causesd’erreur potentielles. La principale cause d’erreur vient certainement de laresistance interne de la self. Nous avons mesure celle-ci et obtenu une va-leur d’environ 10 Ω, il faudrait donc recalculer le circuit en ajoutant uneresistance en serie avec la self. Et dans ce cas, le systeme n’est plus un oscilla-teur harmonique parfait. C’est certainement ce qui cause la plus grande par-tie de l’erreur sur cette mesure. Il est egalement possible que les voltmetreset l’oscilloscope influent via leur resistances internes sur le schema exact ducircuit. Ces effets sont certainements faibles mais difficilement calculables.Ces deux causes expliquent certainement une partie de l’erreur obtenue.

La valeur de la resistance pour obtenir un amortissement critique quenous avons obtenue est tres proche de la valeur theorique. Nous avons etelimite dans la precision de notre mesure par l’oscilloscope. Il est en effetdifficile d’observer exactement, etant donne la largeur de la courbe. le mo-memt exact ou l’on passe en regime critique. C’est le facteur qui a limitenotre mesure.

En regime force, nous avons obtenu des valeurs qui semblent correctsmais avec une grande incertitude a cause du fait que ces valeurs sont obte-nues par calcul a partir d’un graphe. Pour ameliorer la precision, il faudraitdessiner le graphe de maniere bien plus precise dans la zone du pic d’ampli-tude et pour cela effectuer un plus grand nombre de mesures.

6 Conclusion

L’etude des circuits RLC nous a permis de mesurer quelques caracteristiquesdes oscillateurs harmoniques difficiles a realiser pour un oscillateur (( mecanique )).Nous avons egalement pu calculer et realiser un circuit creant un amortis-sement critique, chose importante dans de nombreux circuits electroniques.

7 ANNEXES 10

7 Annexes

Valeurs pour les oscillations libres

Temps [µs] Tension [mV]0 192.2144 176.6288 159.4428 143.8572 129.7712 118.8852 104.7992 96.81136 87.51280 78.121420 71.871984 503120 21.87

Valeurs pour les oscillations forcees.

Frequence [Hz] Amplitude [mV] Dephasage [˚]250 125 -0.7500 250 -0.71000 500 0.91500 750 1.12000 1000 0.33400 1700 0.25000 2500 3.26000 3000 66500 3250 11.86700 3350 21.16850 3425 30.56960 3480 54.97033 3516 88.37460 3730 164.48000 4000 173.29000 4500 176.710000 5000 177.214000 7000 177.6