circulo de mohr

Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de La Plata

ESTRUCTURAS III Para alumnos de la carrera de Ingeniería Aeronáutica y Mecánica de la UNLP

CIRCULO DE MOHR para el cálculo de tensiones principales en el plano y el espacio

Autores:

Ing. Federico Antico Sr. Santiago Pezzotti

Revisado por:

Ing. Juan Pablo Durruty

-2008-

ESTRUCTURAS III Círculo de Mohr

Circulo de Mohr:

• Breve reseña: Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza. Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones.

• Teoría del círculo de Mohr para dos dimensiones: Considere un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas. Consideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano xy (ver figura 1), de modo de que no existan esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas. Esta suposición se hace con el fin de no complicar por demás la matemática siendo el objeto de este desarrollo conocer el desarrollo matemático a fin de ser asociado con el modelo físico:

figura 1

En la figura 1, además de los ejes x e y, se muestra otro par de ejes coordenados los cuales han sido rotados un ángulo θ respecto del eje z (normal al plano), el par de ejes x1 e y1 son normal y tangente al plano Aθ respectivamente. Queremos obtener una relación entre las tensiones en las áreas Ax , Ay y Aθ.

Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje x:

0cos.A.sen.A.A. xx =θσ+θτ−σ− θθθθ (1)

Ahora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje y:

y y.A .A .cos .A .sen 0θ θ θ θ−σ + τ θ + σ θ = (2)

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Considerando que Ax =Aθ.cosθ y que Ay =Aθ.senθ, re escribimos las ecuaciones 1 y 2:

0A donde ,0cos.sen.cos.x ≠=θσ+θτ−θσ− θθθ (1-1)

y.sen .cos .sen 0, donde A 0θ θ θ−σ θ + τ θ + σ θ = ≠ (2-2)

Multiplicando la ecuación (1-1) por cosθ, la (2-2) por senθ y sumando ambas se llega a:

θσ+θσ−θσ−= 2y

2x sen.cos.0 (3)

Y considerando las relaciones trigonométricas:

( )

( ) )4(

22sencos.sen

22cos1sen

22cos1cos

2

2

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

θ=θθ

θ−=θ

θ+=θ

Se llega a:

( ) ( )θ

σ−σ+

σ+σ=σθ 2cos.

22yxyx (5)

Analizamos las ecuaciones (1-1) y la (2-2) para obtener el corte en el plano θ: Multiplicando la ecuación (1-1) por senθ, la (2-2) por cosθ, sumando ambas y considerando las relaciones trigonométricas (4) se llega a:

( )

θσ−σ

−=τθ 2sen.2

yx (6)

Obsérvese que las ecuaciones (5) y (6) no son mas que las componentes cartesianas de los puntos correspondientes a una circunferencia en el plano xy, la ecuación de la circunferencia se obtiene considerando la relación trigonométrica , entonces reemplazando en (5) y (6) se obtiene:

2 2sen cos 1θ + θ =

( ) ( )2 2

x y x y2

2 2θ θ

⎡ ⎤ ⎡σ + σ σ − σσ − + τ =⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎦

Esta circunferencia es lo que denominamos “Círculo de Mohr” para dos dimensiones. En esta circunferencia el ángulo formado por la recta con origen en el centro de la misma

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+σ

2yx y un punto cualquiera perteneciente al perímetro de la circunferencia, tiene

valor 2θ, siendo θ el ángulo de inclinación del plano para el cuál las tensiones sobre esa superficie valen σθ y τθ. Consideremos σx< σy.

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θτ τ

σyσ xσ 2θ

θσ

Así como se calculó el estado tensional en el plano θ a partir de las tensiones principales, el proceso se puede hacer de manera inversa. Conociendo el estado de carga para una cierta terna de ejes se pueden conocer las tensiones principales de un sistema dado. El estudio hecho hasta aquí es similar al que haremos para un estado tridimensional de tensiones.

• Teoría del círculo de Mohr para estados tensionales tri - dimensionales:

1. Introducción: Sea un tetraedro con tres caras ortogonales las cuales definen un punto O el cuál adoptamos como nuestro origen de coordenadas, y la cuarta cara es un plano oblicuo.

O

Sean las tensiones y las áreas correspondientes a cada una de las i caras del tetraedro.

iσ iA

El equilibrio de fuerzas de este sólido se puede expresar a partir de la siguiente ecuación vectorial:

∑ =σ−σν 0dA.dA. i_i

_ (a)

Como , donde es el coseno del ángulo entre los vectores normales a los planos dA y .

ii .dAdA ν= iυ

idADe esta manera la ecuación (a) se puede escribir de la forma:

∧ν υσ=σ tj.. iij

_ (b)

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Ahora la componente normal al plano oblicuo de υσ se puede obtener proyectando esta sobre la dirección ν:

υσ=σ υυυ . (c)

Considerando que el versor ν tiene coordenadas cartesianas , entonces:

es el versor en la dirección Xi.

iυ∧∧

υ=υ iii_

t donde ,t. Considerando la ecuación (b) entonces la (c) se puede escribir como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛υ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛υσ=σ

∧∧υυ mmjiij t..t.. (d)

Luego la tensión total sobre el plano oblicuo se puede expresar en función de sus componentes normal y coincidente con el plano oblicuo:

22s

2υυυυ σ=σ+σ , ver figura I

_υυσ

_sυσ

_

figura 2 Entonces a partir de (b) y (d) se llega a:

( )2jiijjijmim2

s ..... υυσ−υυσσ=συ (e)

2. Teoría del circulo de Mohr para estados tensionales tri - dimensionales: Supongamos que elegimos los ejes coordenados de modo que estos son los principales (ejes principales: aquellos en donde la tensión normal de las caras es máxima o nula y el corte nulo). El tensor de tensiones en ese caso para un elemento cúbico será:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσ

σ=σ

III

II

I

ij00

0000

υσ ∧υ

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Si queremos conocer el versor ν de un cierto plano, conociendo su estado tensional y recordando (d), (e) y que la suma de las componentes cartesianas al cuadrado del versor ν es uno ( )12

32

22

1 =υ+υ+υ , se obtienen las siguientes ecuaciones:

23

22

21

23

2III

22

2II

21

2I

2

23III

22II

21I

1

...

...

υ+υ+υ=

υσ+υσ+υσ=σ

υσ+υσ+υσ=σ

υ

υυ

Este es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Suponga que las tensiones principales tienen magnitudes tal que: IIIIII σ>σ>σ . Las incógnitas de este sistema son:

1. ( )( )

( )( )IIIIIII

2sIIIII2

1 ..

σ−σσ−σσ+σ−σσ−σ

=υ υυυυυ

2. ( )( )

( )( )IIIIIIII

2sIIII2

2 ..


=υ υυυυυ

3. ( )( )

( )( )IIIIIIIII

2sIII2

3 ..


=υ υυυυυ

Como los cuadrados de los cosenos son mayores a cero, entonces evaluando los signos de los denominadores de las ecuaciones 1,2 y 3, los numeradores de los mismos deben cumplir:

( )( ) 0. 2sIIIII ≥σ+σ−σσ−σ υυυυυ

( )( ) 0. 2

sIIII ≤σ+σ−σσ−σ υυυυυ

( )( ) 0. 2sIII ≥σ+σ−σσ−σ υυυυυ

Estas tres ecuaciones generan tres circunferencias en el plano y son las ecuaciones que definen los círculos de Mohr para un estado tridimensional de tensiones, las circunferencias son simétricas respecto del eje de ordenadas y las tensiones principales se ubican en el eje de ordenadas. Las desigualdades de esta indican el conjunto de estados tensionales posibles en ese punto para distintos planos, con distintas inclinaciones. Una gráfica a modo de ejemplo se presenta a continuación:

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Caso particular: Existe un caso en donde las tensiones principales son iguales en módulo, este caso se denomina de tensiones hidroestáticas, en éste, el círculo de Mohr se representa por un punto. Se llama así porque este caso se da cuando por ejemplo un objeto cúbico diferencial se sumerge en un líquido, sus seis caras están sometidas a la misma tensión y esta es normal a todas las caras, no importa la inclinación de este objeto, las tensiones siempre serán normales.

• Ejemplo práctico de aplicación de Circulo de Mohr

El ejemplo a continuación es un ejemplo demostrativo (sin valores numéricos) del análisis mediante el Circulo de Mohr. Sea una viga empotrada con Presión Interna, Momento Torsor y una carga P aplicada en el extremo libre.

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Sección:

Se desea conocer el tensor de tensiones para ciertos puntos del sistema dado, según el estado de cargas. El tensor de tensiones será de la forma:

x x xr

x r

rx r r

θ

θ θ θ

θ

σ σ σ⎡ ⎤⎢ ⎥σ σ σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ σ σ⎣ ⎦

Punto 1:

x

x

0 0 0

0 0 0

θ

θ θ

σ⎡ ⎤⎢ ⎥σ σ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

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Punto 2:

x

x

r

0 0 0

0 0

θ

θ θ

σ⎡ ⎤⎢ ⎥σ σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦

Punto 3:

x

x

0 0 0

0 0 0

θ

θ θ

σ⎡ ⎤⎢ ⎥σ σ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Cabe destacar que tanto en el punto 1), como el 2), la tensión de corte esta dada por el Momento Torsor. En cambio para el punto 3), la tensión de corte esta dada por el Momento Torsor y la Carga aplicada en el extremo libre. También se observa que en todos los puntos analizados la tensión σR es principal.

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• Bibliografía: “Introducción a la teoría de elasticidad” (Godoy-Prato-Flores) “Mechanics of elastic bodies” (Universidad de Nebraska), texto on –line. http://em-ntserver.unl.edu/NEGAHBAN/Em325/intro.html“Solid mechanics” (Wiki Free Books), texto on – line. http://en.wikibooks.org/wiki/Solid_Mechanics

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http://em-ntserver.unl.edu/NEGAHBAN/Em325/intro.html

http://en.wikibooks.org/wiki/Solid_Mechanics

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