circunferencia ii
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Circunferencia y Círculo I
CLASE Nº 11
Aprendizajes esperados:
• Identificar los elementos primarios de Círculo y Circunferencia, como: área y perímetro, sector y segmento circular, arco de circunferencia, etc.
• Aplicar conceptos asociados a Circunferencia y Círculo en la resolución de ejercicios propuestos en guía G-9.
1.Definición
Contenidos
1.1 Circunferencia
2. Elementos de la Circunferencia y del Círculo2.1 Radio
2.2 Cuerda
2.3 Diámetro
1.2 Círculo
2.4 Secante
2.5 Tangente
2.6 Sagita y Apotema
2.7 Arco de circunferencia
2.8 Sector Circular
2.9 Segmento Circular
3. Áreas y Perímetros3.1 Área del Círculo
3.2 Perímetro de la Circunferencia
3.3 Medida de un arco de circunferencia
3.4 Área y Perímetro de un sector circular
3.5 Perímetro de un segmento circular
1. Definición1.1 Circunferencia
Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan (igual distancia) de un punto fijo llamado centro.
1.2 CírculoRegión del plano limitado por una circunferencia
•o
•o circunferenciacírculo
2. Elementos de laCircunferencia y del Círculo
2.1 Radio (r)
o rA O: centro de la circunferencia
OA: radio = r
Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la circunferencia.
2.2 CuerdaSegmento que une dos puntos distintos de la circunferencia.
AB: CuerdaA
B
2.3 Diámetro (d)Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.Corresponde a la cuerda de mayor longitud.
AB: diámetro = d = 2r
A Brr
d
O•
O: centro de la circunferencia
2.4 SecanteRecta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos, formando una cuerda.
A
B•
•
AB: Cuerda
AB: Secante
A: Punto de tangencia
2.5 TangenteRecta que intersecta en un sólo punto a la circunferencia. Este punto es llamado “punto de tangencia” o “punto tangencial”.
O: centro de la circunferencia
OA ┴ L
OA: radio
LA
r
O
2.6 Sagita y ApotemaSi el radio es perpendicular a una cuerda, la divide en dos segmentos iguales y el punto de intersección (P), divide al radio en dos segmentos llamados sagita y apotema.
O: centro de la circunferencia
OA: radio
D
CA
O
P
•
•
•
sagita
PA: sagita
OP: apotema
En la figura, el radio OA es perpendicular a la cuerda CD en su punto medio P. CP=PD
2.7 Arco de circunferenciaCorresponde a una parte de la circunferencia. Su lectura es en sentido anti-horario (contrario a los punteros del reloj).
A
B
•
•
Los puntos A y B de la circunferencia,determinan el arco AB.
AB : arco de circunferencia
2.8 Sector CircularCorresponde a una fracción del área del círculo determinada por un ángulo del centro (α). Su perímetro corresponde a 2 radios más la longitud de un arco de circunferencia.
Sector circular
O: centro de la circunferencia
r : radio
A
BAB : arco de circunferencia
B
A
2.9 Segmento CircularEs una parte del área del círculo, determinada por una cuerda y un arco de la circunferencia.
Segmento circular
O : centro de la circunferencia
AB : arco de circunferencia
AB : cuerda
3. Áreas y Perímetros
Área círculo = π ∙ r2
3.1 Área del CírculoSi r es el radio, entonces:
Ejemplo:Determinar el área del círculo cuyo diámetro mide 20 cm.
Solución:
Si el diámetro mide 20 cm, entonces el radio mide 10 cm.Luego, el área del círculo es:
A = π ∙ 102 A = 100π cm2⇒
Perímetro = 2π∙r
3.2 Perímetro
Perímetro = π ∙ d
Si r es el radio y d el diámetro, entonces:
Ejemplo:
ó
Determinar el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 15 cm.
Solución:
P = 2π∙15 ⇒ P = 30 π cm.
Un arco corresponde a una parte de la circunferencia. Luego, es una fracción del perímetro (2πr) o del arco completo (360°). En ambos casos, su medida depende del ángulo del centro que lo determina (α).
3.3 Medida de un Arco de Circunferencia
AB :arco de circunferencia
O:centro de la circunferencia
r :radio
Arco 2πr ∙ α360°
=
= α
3.4 Área y Perímetro de un Sector Circular
O: centro de la circunferencia
r : radio
A
B
AB : arco de circunferencia
A sector α ∙ πr2
360°=
Psector = + 2r
Psector 2πr ∙ α360°
+ 2r=
3.5 Perímetro de un Segmento Circular
Segmento circular
AB : cuerda
AB : arco de circunferencia
Psegmento = + AB
Psegmento 2πr ∙ α360°
+ AB=
B
A
α
O : centro de la circunferencia
Ejemplo de aplicación:
Determinar el área y perímetro de la zona achurada de la figura.O: centro de la circunferencia.
Solución:
A Sector 80∙π∙42
360°=
A Sector 2∙π∙16
9=
=
A Sector 32π 9
Psector 2π⋅4 ∙80
360°+ 2∙4=
Psector 16π 9
+ 8=
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