11

22

Ângulo ao centroÂngulo ao centro

Ângulo ao centro é um ângulo que tem o vértice no centro da

circunferência e cada lado contém um raio dessa circunferência.

AOB é um ângulo ao centro

33

• Amplitude do ângulo ao centroAmplitude do ângulo ao centro

Amplitude do arco correspondente

Amplitude do ângulo ao centro

A cada ângulo ao centro corresponde um arco,

que é a sua intersecção com a circunferência.

Reciprocamente, a cada arco corresponde um

ângulo ao centro

A amplitude do ângulo ao centro é igual a amplitude do

arco correspondente.

44

Exercício:

Determine a amplitude do ângulo x e do seu arco correspondente.

1.

2.

º90ˆ x

º60ˆ x

A amplitude do arco correspondente é também 90º.

A amplitude do arco correspondente é também 60º.

55

Ângulo inscritoÂngulo inscrito

Ângulo inscrito é um ângulo que tem o vértice na circunferência e

os lados contém cordas dessa circunferência.

AVB é um ângulo inscrito

66

• Amplitude do ângulo inscritoAmplitude do ângulo inscrito

O

C

BA 120°

60°

Na figura, [ABC] é um triângulo equilátero.

Logo, º60ˆ BCA

O arco AB tem de amplitude 120º.

Então,

º120ˆ BOA e º60ˆ BCAPortanto,

BCABCA ˆ2

1ˆ

A amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude

do ângulo ao centro correspondente.

OUA amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude

do arco que ele contém.

77

Alguns Exemplos:

88

Exercícios: determine a amplitude dos ângulos pedidos.

1.

2.

2

º86ˆ x º43

2

º40ˆ x º20

º86ˆ y

º40ˆ y

99

Propriedades1. Ângulos inscritos que contêm o mesmo arco

BEABDABCA ˆˆˆ porque os três ângulos contêm o mesmo

arco AB.

,

Então,

Os ângulos inscritos que

contêm o mesmo arco são

geometricamente iguais.

50º

50º

50º

1010

2. Ângulos inscritos numa semi-circunferência

º90ˆˆˆ BEABDABCA

Então,

Um ângulo inscrito

numa semi-circunferência

é um ângulo reto.

90º

90º

90º

1111

3. Ângulo ao centro, arcos e cordasNa figura estão representados

dois ângulos ao centro iguais, as cordas e

os arcos correspondentes.

º40ABCD

ABCD Então,

Numa circunferência, as

cordas correspondentes a dois ângulos

ao centro iguais são geometricamente

iguais, e reciprocamente.

Numa circunferência, os arcos correspondentes a dois ângulos ao

centro iguais são geometricamente iguais, e reciprocamente.

1212

4. Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência

CBAa ˆ2ˆ

CDAb ˆ2ˆ

)ˆˆ(2ˆˆ CDACBAba

Mas,º360ˆˆ ba

Portanto,

º360)ˆˆ(2 CDACBALogo,

º180ˆˆ CDACBA

Então, A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa

circunferência é 180º.

1313

Exercícios: determine a amplitude dos ângulos pedidos.

1.

2.

Pela propriedade 1 vêm: º62ˆ x

º622ˆ y º124

A amplitude do arco correspondente ao ângulo

(inscrito) de 130º é de 260º.

Logo, º260º360ˆ x º100

1414

3.

4.

Usando a propriedade 2 vêm:

)º30º90(º180x̂

º120º180º60

OBABAO ˆˆ Então, º96º84º180ˆ AOB

Logo,

º482

º96ˆ x

1515

Ângulo de vértice internoÂngulo de vértice interno: a medida de um ângulo de : a medida de um ângulo de vértice interno é igual à semi-soma das medidas dos vértice interno é igual à semi-soma das medidas dos arcos determinados pelos seus lados.arcos determinados pelos seus lados.

1616

Ângulo de vértice externoÂngulo de vértice externo:: A medida de um ângulo de A medida de um ângulo de vértice externo é igual à semi-diferença dos arcos de vértice externo é igual à semi-diferença dos arcos de terminados pelos seus lados. terminados pelos seus lados.

1717

Ângulos de segmentoÂngulos de segmento:: é todo ângulo cujo vértice é todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência, sendo um de seus lados pertence à circunferência, sendo um de seus lados secante e o outro, tangente à circunferência. A medida secante e o outro, tangente à circunferência. A medida de um ângulo de segmento é igual à metade do arco por de um ângulo de segmento é igual à metade do arco por

ele determinadoele determinado. .

1818

EXEMPLOS DE ÂNGULOS QUE NÃO EXEMPLOS DE ÂNGULOS QUE NÃO PERTENCEM À CIRCUNFERÊNCIAPERTENCEM À CIRCUNFERÊNCIA

1919

2020