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Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2012

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Il problema: un percorso a ostacoli

• Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici

Primo incontro


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Emma Castelnuovo

• .... Il punto di partenza dell’apprendimento deve essere il problema, non la teoria bella e fatta, e la prima soluzione deve essere escogitata costruttivamente …

• Poi verrà, se verrà, la sistemazione rigorosa, deduttiva, la teoria compiuta.


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Elementi che caratterizzano un problema:

• la presenza di un obiettivo da raggiungere

• il possesso di informazioni iniziali

• l’insufficienza delle conoscenze, degli strumenti,

… a disposizione per conseguire tale obiettivo

• le difficoltà al raggiungimento della meta

• l’individuazione di nuove informazioni tramite

l’attuazione di un ragionamento


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I problemi costituiscono un aspetto portante della matematica sia come

contenuto che come metodo

• “fare matematica è in prima istanza affrontare problemi”,dato che “l’attività di soluzione dei problemi è l’intima natura della matematica” (D’Amore)

• Antiseri sostiene che insegnare matematica per problemi significa catturare i problemi dei bambini per farli inciampare in problemi nuovi e alla loro portata, in modo che essi possano mettersi in gioco nella risoluzione, senza paura di sbagliare.

• …, l’insegnamento della matematica per problemi permette di creare le condizioni necessarie per sollecitare un apprendimento della matematica significativo (Carla Alberti, 2005 cap.secondo)


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Il problema rappresenta un momento iniziale e

fondamentale del processo di apprendimento.

Questo approccio deve tener conto anche delle conoscenze che l’alunno possiede e che gli permettono una comprensione della situazione problematica presentata

“…Attraverso un problema si crea quella

interazione allievo-oggetto della conoscenza, che

consente di superare l’ostacolo stesso.

Tale superamento è in realtà la costruzione di una

nuova conoscenza” (Guy Brousseau)


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È problema ogni situazione in cui si conoscono alcune informazioni e

se ne devono trovare di nuove ricorrendo alle varie forme

dell'intelligenza.


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PROBLEMA Le conoscenze sono necessarie, ma non sufficienti

ESERCIZIOLe conoscenze sono necessarie e sufficienti


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PER RISOLVERE UN PROBLEMA OCCORRE:

• Ragionamento• Intuizione• Creatività• strutturazione


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PER RISOLVERE UN ESERCIZIO OCCORRE:

• Riproduzione di schemi noti

• Uso di tecniche operatorie

• Memorizzazione


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Problemi … di geometria


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L’apprendimento e l’insegnamento della geometria

La geometria: primo capitolo della fisica

Galileo Galilei (1564-1642) nel dialogo “Ilsaggiatore” scrive: “La filosofia [o scienza della natura] è scritta in questo grandissimo libro, che continuamente ci sta aperto inanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto.


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Egli è scritto in lingua matematica, e i

caratteri

son triangoli, cerchi ed altre figure

geometriche,

senza i quali mezzi non è possibile

intenderne

umanamente parola; senza questi è un

aggirarsi vanamente per un oscuro

laberinto”.


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Galileo

Per Galileo, dunque, la matematica è la chiave per interpretare la realtà e la geometria, in particolare, è il primo strumento per la sua lettura. Tale preminenza è confermata dalla Storia della Scienza, dato che la geometria è stata la prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico.


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Cos’è lo spazio?

Il termine nella nostra lingua è usato con diversi significati :

nel senso comune (per esempio, per indicare una superficie non occupata da corpi, il “luogo” immenso dei corpi celesti, una “estensione” che contiene i corpi)

in ambiti disciplinari (per esempio, in matematica si parla di spazio topologico, affine, metrico, euclideo, vettoriale, bidimensionale, tridimensionale, degli eventi, …)

si può affermare quanto Sant’Agostino sostiene a proposito del tempo: “cos’è dunque il tempo [lo spazio]? Se nessuno mi interroga, lo so; se volessi spiegarlo a chi m’interroga, non lo so”

LO SPAZIO DELLA GEOMETRIA È LO SPAZIO FISICO REALE?


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“Non esiste nel mondo fisico nulla che

corrisponda ai concetti astratti di retta, e di

triangolo, non si possono quindi “misurare” gli

angoli di un triangolo (astratto), né affermare che

nello spazio fisico sia verificata una determinata

geometria (astratta). Le proprietà […] dei corpi

possono essere rappresentate da una teoria

astratta soltanto in modo più o meno

approssimato. La geometria euclidea ci dà questa

rappresentazione con una approssimazione

ampiamente sufficiente per tutte le esigenze della

pratica” (Fano).


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Quale rapporto tra figure e disegni?

figuraente ideale, sottoinsieme di punti in uno spazio geometrico, non presente nella realtà, ma che la realtà può richiamare

disegno

rappresentazione “materiale” di una figura

imperfetto e particolare

figura individuata completamente dalla sua definizione geometrica,

solo questa è base sicura per la deduzione corretta di tutte le

proprietà della figura stessa.


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SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO

• Esecuzione di spostamenti nello spazio

• Rappresentazione di spostamenti nel piano: avvio allo studio delle linee

livello 6 – 8 anni


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ITINERARIO DIDATTICO

1. Esecuzione di spostamenti nello spazio

1.1Esecuzione di percorsi legati

- all’esplorazione dell’ambiente - al gioco

- alla fiaba


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ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED ESTERNO ALL’EDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a:

•Far conoscere ai bambini il nuovo ambiente

•Mettere in rilievo la necessità dei punti di riferimento

•Sperimentare la nozione di verso

ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO

•I giochi come il girotondo contribuiscono all’intuizione di linea chiusa

•I percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare all’intuizione di linea aperta


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ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO FANTASTICO

•Racconti come Pollicino, Cappuccetto Rosso presentano uno svolgimento anche spaziale

IN GENERALE L’ ESECUZIONE DI PERCORSI FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITÀ DI ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO

L’esecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e la padronanza del linguaggio (verbale e grafico) .


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VARI TIPI DI PERCORSI

• Percorsi liberi

• Percorsi guidati

ATTENZIONE

I percorsi che si considerano devono essere accompagnati dalla condizione secondo la quale non è possibile “ritornare sui propri passi”


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RIFLESSIONE E ANALISI caratteristiche dei percorsi effettuati

• il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono

• il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti

• si passa una sola volta da ogni punto.

• si passa più di una volta per uno stesso punto


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ITINERARIO DIDATTICO

2. Rappresentazione di spostamenti nel piano

2.1 Rappresentazione di percorsi su foglio bianco

- esplicitazione dei concetti di linea e verso

- distinzione di linee aperte/chiuse, semplici/intrecciate - confini e regioni


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CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONI

Diagramma ad albero

APERTA

CHIUSA

SEMPLICE

INTRECCIATA

SEMPLICE

INTRECCIATA

LINEE


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Diagramma di Carroll

SEMPLICE INTRECCIATA

CHIUSA

APERTA


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Diagramma di Eulero - Venn

LINEE

semplice chiusa

ab

d

c


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REGIONI E CONFINIUna linea chiusa e semplice suddivide il piano in due regioni, distinte in regione interna e regione esterna rispetto alla linea che funge da confine.

Come di definisce una regione esterna e interna a livello teorico?

REGIONE ESTERNA è quella che può contenere la retta per intero; quella INTERNA non può contenere una retta


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Osserviamo, rappresentiamo, riflettiamo

Progressivamente l’insegnante proporrà situazioni indipendenti dall’esperienza diretta dei bambini e già rappresentate graficamente; si suggerisce di proporre inizialmente schede che mettono in evidenza di volta in volta uno solo dei concetti geometrici che si intendono analizzare.


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AVVENTURE NEL BOSCO

Cappuccetto Rosso deve portare le provviste alla nonna. Per arrivare alla sua casa attraversa il bosco

Traccia una delle strade che C.R. può percorrere per arrivare alla casa della nonna

Segna la casella con la risposta giusta

La linea che hai tracciato è

APERTA CHIUSA

Semplice intrecciata

oppure


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C. R., mentre va dalla nonna, incontra lo scoiattolo Codalunga che vuol fare merenda con le ghiande. Per raggiungere le ghiande Codalunga attraversa il bosco; sulla strada incontra alcuni animaletti, nell’ordine indicato dalle frecce

Traccia la strada percorsa da Codalunga per arrivare alle ghiande

Segna la casella con la risposta giusta.

La linea che hai tracciato è

APERTA CHIUSA

Semplice intrecciata

oppure


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ATTENZIONENel caso di percorsi in cui sono fissati i punti di partenza, di arrivo e alcuni di passaggio, la traiettoria che unisce tali punti non è univocamente determinata, quindi le linee che rappresentano i diversi spostamenti possono presentare caratteristiche diverse. Ne segue che le risposte alle consegne formulate non sono uniche; per tale ragione si suggerisce di confrontare le diverse soluzioni fornite dai bambini per mettere in evidenza la loro validità.

Esempio

Se si fissano P come punto di partenza, Q come punto di passaggio e A come punto di arrivo, sia la linea continua che quella tratteggiata rispettano i vincoli dati ma sono una intrecciata e l’altra semplice.

P

Q

A


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Ora lo scoiattolo Codalunga osserva la farfalla Cleo che si è posata sulla viola. Poco dopo Cleo riprende il volo: va sulla margherita, poi sul tulipano, quindi sulla rosa e infine torna al punto di partenza.

Traccia il percorso di Cleo

Segna le caselle con la risposta giusta

Il percorso di Cleo è rappresentato da una linea

APERTACHIUSA

INTREC.SEMPL.


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GLI ANIMALI DELLA FATTORIA

Claudio e Silvia stanno giocando con le costruzioni della fattoria e decidono di unire con un filo quelli che appartengono alla stessa specie. Ecco come hanno collegato i cani e le oche.


La linea che rappresenta il filo che unisce i cani è

La linea che rappresenta il filo che unisce le oche è


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Anche Luca e Mara partecipano al gioco: Ecco come hanno collegato i maiali e i gatti della fattoria


La linea che rappresenta il filo che unisce i maiali è

La linea che rappresenta il filo che unisce i gatti è


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LA STRADA NASCOSTADopo un’intera giornata passata a pascolare nel prato, la pecorella Camilla vuole tornare a casa.

Speriamo che in mezzo a questo labirinto Camilla trovi la strada giusta.


Il percorso di Camilla è rappresentato da una linea

Traccia il percorso che deve fare la pecorella

Camilla


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CRICRI A SPASSOÈ una bellissima giornata di sole e Cricri, il grillo, vuole andare a saltellare nel prato. Parte dalla sua tana e, saltando saltando, incontra una chiocciola che sta cercando della tenera erbetta, un bruco che sonnecchia su un fungo ed una coccinella. Tutto contento per il bel giretto torna soddisfatto nella sua tana.

Traccia il percorso del grillo Cricri

Metti una crocetta nella tabella per indicare le caratteristiche della linea che hai tracciato

aperta chiusa

Sempl.

Intrec.


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CRICRI A SPASSOCricri si è così divertito a saltellare nel prato che decide di fare un altro giretto. Parte ancora dalla sua tana, ma va prima a salutare il bruco, poi a chiacchierare con la chiocciola e, infine, prima di tornare nella sua tana, passa dalla coccinella.



aperta chiusa

Sempl.

Intrec.


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CRICRI A SPASSOFare salti nel prato per andare a trovare i suoi amici diverte tanto Cricri, che decide di continuare. Parte sempre dalla sua tana e, saltando saltando, va dal bruco, poi dalla coccinella, infine si ferma a giocare dalla chiocciola



aperta chiusa

Sempl.

Intrec.


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CRICRI A SPASSOIl grillo Cricri e il suo amico bruco insieme si divertono sempre moltissimo, per questo Cricri vuole andare da lui per una gara di salto in alto ma, prima di arrivare da lui , passa a salutare la chiocciola e poi la coccinella.


Metti una crocetta nella tabella per indicare le caratteristiche della line che hai tracciato

aperta chiusa

Sempl.

Intrec.


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ATTIVITÀ ALL’ARIA APERTALuca e Enrica si stanno allenando per un torneo di "Palla avvelenata". In cortile hanno segnato una linea chiusa semplice per delimitare la zona di lancio. Il bambino che sta nella regione interna al confine ha a disposizione cinque palline per colpire l'avversario che si trova nella regione esterna. Nella prima partita il lanciatore è Luca, che ha già tirato due palline senza colpire Enrica. - Segna con una crocetta la

casella giusta.

Luca è nella regione

alla linea chiusa.

interna esterna

Enrica è nella regione

alla linea chiusa.

interna esterna


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DUE BUONE AMICHELisa la coccinella e Tina la lumaca sono molto amiche e, non passa giorno senza che si incontrino a casa di una o dell’altra.Ecco il cammino fatto da una delle due amiche per andare a trovare l’altra.

Puoi dire quale delle due amiche ha eseguito il percorso? Perché?

Confronta la tua risposta con quella dei tuoi compagni.

OB.: rappresentazione di percorsi


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DUE BUONE AMICHELa lumaca Tina va in visita dalla coccinella Lisa, seguendo la stradina disegnata.

Traccia con un colore il suo percorso e segna le frecce che ne indicano il verso.

Il giorno dopo la coccinella restituisce la visita alla lumaca, percorrendo la stessa stradina

- Traccia con un altro colore il percorso della coccinella e segna le frecce che ne indicano il verso.

- Che cosa noti?…………


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LA TARTARUGA CAMMINA, CAMMINALa tartaruga Luigina va a trovare la sua piccola amica. Altri animali che sono andati prima di lei a trovare la tartarughina hanno seguito i percorsi che vedi tracciati. Ma Luigina che si muove adagio, adagio vuole trovare il cammino più corto.

Traccia il cammino che dovrà fare Luigina

La via più breve è quella …

OB.: il percorso più breve fra due punti


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IL BRUCO PUCIl bruco Puc vuole raggiungere la sua mela: Nel tragitto incontra un fungo, lo assaggia, ma non gli piace. Prosegue fino ad incontrare un riccio: si spaventa e scappa. Dopo aver annusato un fiore raggiunge la mela di cui è ghiotto e la mangia velocemente

OB.: percorsi formati da tratti rettilinei

•Evidenzia con il colore il cammino del bruco.

•Segna con un altro colore i punti nei quali il bruco ha cambiato direzione.

•Quante volte il bruco ha cambiato direzione?...


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MILENA COMPIE TRE ANNIMilena compie tre anni: la mamma le ha fatto una torta speciale e i nonni le hanno regalato due libri di fiabe. Se Milena parte dal punto P e segue il percorso descritto dalle frecce seguenti, andrà a mangiare la torta o a leggere i libri?

OB.:percorsi su griglia formati da tratti rettilinei – uso di codici

Traccia sulla griglia il percorso fatto da Milena, sapendo che ogni freccia corrisponde a un lato del quadretto della griglia

Milena è andata a ………


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LA FAMIGLIA LEPROTTINIPapà Leprottini ha corso tutto il giorno ed ora si sta riposando. Deve ancora percorrere il tratto di strada che vedi disegnato per raggiungere mamma Leprottini e il loro piccolo leprotto

* Descrivi, usando le frecce, il percorso che papà Leprottini deve fare per arrivare dal suo leprotto, usa una freccia per ogni lato –quadretto, abbiamo iniziato il lavoro.


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MAMMA CAPRA VA E TORNAMamma capra, per raggiungere il suo capretto, fa il seguente percorso:

2d, 3a, 6d, 1a, 1d, 2a.a significa alto rispetto al foglio

d significa destra rispetto a te

Il numero indica di quanti lati quadretto è ogni spostamento.

Con un codice simile al precedente, ora scrivi tu le istruzioni che permettono a mamma capra di tornare al punto di partenza, percorrendo lo stesso tragitto

Confronta le istruzioni dei due percorsi. Che cosa noti?


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STELLINA È GOLOSA D’INSALATALa chiocciolina Stellina ha molta fame. Per raggiungere il cespo d’insalata deve muoversi sulle linee del reticolo e può spostarsi solo in basso rispetto al foglio o a sinistra rispetto a te.

Traccia con un colore un percorso che stellina può fare per arrivare al cespo d’insalata.

Descrivi il percorso che hai segnato utilizzando i codici:

s significa sinistra

b significa basso

Indica con un numero di quanti lati quadretto è ogni spostamento di Stellina.

1b 1s 1b 2s


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STELLINA È GOLOSA D’INSALATAAnche oggi la chiocciolina Stellina ha molta fame e decide di ritornare a mangiare alcune foglie d'insalata. Non vuole ripetere il percorso già fatto, ma deve sempre rispettare le regole precedenti.

Traccia con un colore un secondo possibile percorso di Stellina

Descrivi il percorso con lo stesso codice che hai usato l’altra volta

2b 3s

Confronta i tuoi due percorsi con quelli dei tuoi compagni.

Che cosa noti? ……………..


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POSSIBILI PERCORSI SU RETICOLOLe schede presentate sono relative all’individuazione dei

possibili percorsi su un reticolo, quando si fissano punti di partenza e di arrivo e si vincola all’utilizzo di un solo verso per ognuna delle due direzioni del reticolo stesso; questo significa che le situazioni devono essere formulate con i termini di una sola delle seguenti possibilità:

•Destra, alto

•Destra, basso

•Sinistra, alto

•Sinistra, basso


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Si invitano i bambini a confrontare le misure rispetto al lato quadretto, dei vari percorsi, in modo da evidenziare che la loro lunghezza resta invariata.

Gli alunni noteranno che la lunghezza complessiva dei tratti orizzontali e quella dei tratti verticali sono uguali rispettivamente alle lunghezze dei due lati perpendicolari del rettangolo che ha come vertici opposti i punti di partenza e di arrivo.


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Disegniamo quattro dei possibili percorsi che uniscono P con A , in ciascuno di essi la misura, rispetto al lato-quadretto, dei tratti orizzontali è 5 e quella dei tratti verticali è 3, quindi ogni percorso è lungo 8 lati-quadretto.

In attività simili si dovrà fare attenzione a non richiedere tutti i diversi percorsi possibili tra due punti fissati, perché il loro numero è il risultato di un calcolo combinatorio e può essere molto elevato.


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• Problema – SCALA

La figura mostra una scala che ha 14 gradini

e un’altezza totale di 252 cm.

Qual è l’altezza di ciascuno dei 14 gradini?

Domanda: competenza classe 1. Valutazione relativa al livello 2: 421. Punteggio: punti 1 per la risposta corretta (18 cm ) , punti 0 altrimenti.

OCSE PISA 2003


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Indica per ciascun progetto se è possibile realizzarlo con 32 metri di tavole.

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