clasa a xiia

Enunluri 113

Siptf,miina 24/Clasa a Xll'a

Tema sflptilmflnii

Ciiteva notiuni de teorieFie M * A. O aplicatie f: M x M -s(operafie algebricd) pe M.Notafii: 9(x, y): 16 o !, x * Y, x v Y, )t

Fie (M, *). Multimea Hc.M, H + A,,*" dac6 y * yeH,V x, yeH.Fie M = {a, ar,..., a,} mullime finiE qi ,,*" o lege de compozilie interne pe M, atunci

a2 aj an

__-____-_____ aij

Perechea (G, x) se numeqte gruP dacd:.

a) legea,,*" este asociativd, adicd (x * y) * z = x x (J * z), V x, y, zeG'

b) legea u*" are element neutru, adicd I eeG astfel incit x * e = e * x = x' Y xe G'

c) toate elementele lui G sunt simetrizabile, adicd a xeG xk G astfel inc6t

x' * x = x * x' = e (x' simetricul lui x).

Grupul (G, x) se numeqte grup comutalfu (abelian) daci legea ,,*" este comutativa' adicd

x*!=y*x,Vx,yeG.Fie (G, *) grup gi 11 submullime nevidd a lui G.

.F/ se numeqte subgrup al lui G dacd:

a)Vx,yeH=vxyeHb) Y xeH = x'e H, unde x'este simetricul lui x in G'

Fie (G, i.) qi (F, o) doui grupuri. o functie/: G + I se numeqte morftsm ile grupuri dacFt

f (x * y) = f (x) . /(y), V x, yeG.Dac6 morfismulf: G -> I. este funcfie bijectivi atunci/se nume$te izomorftsm iar (G, x)

qi (f, ") sunt grupuri izomorfe.Daci (G, x) qi (f, o) sunt grupuri 9i/: G -+ I este morfism atunci:

a) f (er) = e2, l)fide er Si e2 sunt elemente neutre ale lui G in I'b) /(ri = f(i), , ,. b, on-d" x, este simetricul lui x in G, iar (f(x))' este simetricul lui

/(x) in f.Dacd (G, .) este grup finit gi xe G. Se numeqte ordinul lui.r in G, cel mai mic numdr natural

nenul k cu proprietatea cd xk = e.

Si rezolvim!I. Pe mullimea A = {0,2,4,6} se defineqte operalia algebricd x * ! = lx - yl'

a) Sd se alcdtuiascd tabla operaliei algebrice pe mullimea A'b) Sd se rezolve ecuafiile: x * 2 = 4 9i y * 4 = y.

2. Si se aftte cd, mul-timea M este parte stabil[ in raport cu operalia specificatd.

a) M = (- 1, -), x " ! = ry + x + Y.

Grupuri

M, (x, y) + g(a y) se numeqte lege de compozifie

ly,xIyetc.se nume$te p arte snbil'd a lui M ln raport cu legea

al

a2

b)M=(-2,2),xoY=Ij4

"t u ={(

* y\l r, ,.Z)in raport cu adunarea matricelor'' t\-Y x) )

(0 o '..'lrl o'l I

al ru = )l - a I - ; I t ae IR I in tapott cu inmultirea matricelor'' U z| )

lr o a I\- )

3. Se considerl mullimea G = (2, *) pe care se defineqte legea de compozilie

x * ! = ry - 2x - 2y + 6,Y x, YeG.a) Si se studieze comutativitatea qi asociativitatea operaliei "*"'b) SI se verifice du"a l"g"a ,,*" admite element neutru qi sd se determine elementele

simetrizabile.c) Sd se calculeze n

-,1#;-,

4. Pe lR se defineqte reg"a ''* y = mx + y + 5' me lR' Sd se determine m astfel tnc6t legea

,,*" sd fie comutativS. (t234s6)5. 56 se determine simetrica permutarii oeSu, unde o = [; i t 6 5 4l6.56sea.trrtecdmullimeaGestegrupinraportculegeadecompoziliespecificata:

a) G =CU- r), Zr* Zz=zrzr+ i(zr+ zr)- 1- i, (V) z'zreC'

Matematicd - Bacalaureat

b)G=Z'x*Y=x-W1!'c)G=(1,*), x*!=J*'Y'-x2 -Yz +2'd)G=lR,x*)=x+Y+7.

(t lna o)

") G = {l;

-i- o ltr.(0, + -;}inraportcuinmullireamatricelor'tlo o,) )

J.Ardta|icdfunc}iaf,IR-+IR,/(x)=x3esteunizomorfismalgrupurilor(1R,.)qi(IR,+)

unde legea,,o" este data Prin x o ! = 1F;lt. Sd se arate ca tunclial IR + (0, + -)',f(x) = 5' este izomorfism lntre grupurile (lR' +)

qi ((0, + -;, ';'q.'ia t" determine ordinul elementului dat in grupul specificat:

-t\o' )i" t'ttr{nlt,'l'

Subiecte Examene Na[ionale

Variante BAC 2O12l. Pe mullimea G = (0, 1) se defineqte legea de compozilie asociativd

xyrtrL=" r 2xy-x-Y+l

1

a) Ardtali ca , = Z este elementul neutru al legii de compozitie "o"

Enunluri

b) Ar5tali cf, orice element din mullimea G este simetrizabil in rup/tt cu legea de

compozitie ,,"". /

c) Demonstrafl cdtf: G-+ lRf,/(x) = 1- t este un izomorfism de la grupul (G' ') la,xgrupul (lRT,.)

Varianti BAC 2OlO2. Pe mullimealR se defineqte legeax* y =Zxy -3x-3y +m,melt.

FiemullimeaM=lR\{1}.

a) Determinali rze IR astfel incdt x * y e M, pentru orice x, ye M .

b) Pentru m = 6 ardtati cd (M, x1 este grup.

c) Pentru rn = 6, demonstrafi c6 funcfial M -+ IR*, /(x) = 2x - 3 este un izomorfism

lntre grupurile (M, x1$i (lRx, .;.

Variante BAC 2OOB

3. Se considerd pe lR legea de compozilie datd de telalia x * y = xy - 5x - 5y + 30,

(V) x, yelR gi mullimea G = (5, -).a) 56 se determine eelR astfel incAt xelR, x * e = e * x = x.

b) SI se arate cd (G, x) este grup comutativ.

l**'='c) Sd se rezolve in grupul (G, x) sistemul ll

* z = x.

lz*x=Y4. Se considerl un grup (K, '), unde K = {e, a, b, cl, e este element neutru $i' a2=b2=c2=e.

a) Sd se rezolve in K ecuafia x3 = e.

b) Sd se arate c[ ab = c.

c) S5 se arate cd grupul 179, o) nu este izomorf cu grupul (Zq, +).

5. Se consider[ matricele

(r o\ (o l)o = [; iJ''= [o oJ

si 'nutti-eaG = {t,+ aA+bBt a' ben"'a+-rl'

a) Sd se arate cA orice matrice din G este inversabild.b) Sd se arate cd G este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile

din arftr(R).c) Sd se arate cd ecualia P = Izare o infinitate de solulii in G.

(r23 4s\ (t23 4s)6.Fieo,neS.,6=1. |.fi=l l-

13 2 | s 4)''- (z 3 I 4 s)

a) Sd se demonsffeze cd. oT. + fi6.b) Sd se determine numirul elementelor mullimii H = {r( I ne['{*}'c) Sd se arate cd H = {fr" I nelN*} este un subgrup al grupului (Sr, ').

z. se consid".r-uoi""t"A = (_01 f ,, = (_0, l) rt t = (l l) .=o 'B qi murrimea

G = lxe a,//z(C) I detX = 1).a) Sd se verifice cd Aa = 86 = Iz.

b) Sd se arate cA (G, .) este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelorinversabile de ordin doi, cu elemente numere complexe.

c) Sd se demonstreze cd C * 1r, pentru orice nelN*.

115

116 Matematici - Bacalaureat

E. Se considerl mullimea a,//z(Z), submul{imea

o = {*. cy',/,(z,) t x =(' "l} ,, matricile o, =l? 9.l ,, ,, = | i :lr ' \b a)t [o 0) [0 t)

a) Sd se verifice cd dacdx, yeZ, atwci * + yz = 6 dacd qi numai dacd x - y - 6.

b) Sd se arate cd mullimea H = G \ {Or} este un subgrup al grupului multiplicativ al

matricelor inversabile din e,//r(Z r).c) Sd se rezolve ecualia * = Iz, Xe G.

9. Pe multimea G = [0, 1) se defineEte legea de compozilie x * ! = lx + y], unde {a} este

partea fracfionard a numdrului real a.

23a) Sd se calculeze

a -

4.b) Sd se arate cd (G, *) este grup abelian.

c) SI se rezolveecuafia x * x * * =), *.C.

lmlro. Fie multimea Or= \; I m, neZ. m si n sunt impare| si G = Qux Z. Pe G se defineste

legea de compozilie (8r, kr) x (e, kr) = (egz, \ + k),Y Qt, ezeQo,Y k, kreZ.a) Si se arate cd (G, *) este grup abelian.b) Si se calculeze (1, 1; x (1,2) x... * (1,2008).c) Si se arute cdfunclial C -+ @* , f ((q, k)) = q ' 2k este un izomorfism lntre grupurile

(G, x) qi (Q*, .).11. Se considerd o( > 0 un numir real qi mullimea Go = (Cr, -). Pe lR se defineqte legea

de compozilie (x, y) -) x * ! - 3xy - 6(x + y) +7a,Y x, yelR.

a) Sd se arale cd pentru o( = 2, cuplul (Gr, *) este grup abelian'

b) Si se arata cd. grupurile (Gr, *) $i (Rf , ') sunt izomorfe, prin funclial G, -l Rf'f(x)=3x-6.

c) SI se arate cd, pentru orice o, > 2, mullimea Go este parte stabili a lui R in raport

cu operatia ,,*".t2. Fie legea de compozitrie ,,o" definitd pe IR prin

x o y = xy - x - y + 2,Y r, yelR qi func{iaf lR -+ lR,/(x) = x * 7.

a) Sd se arate cd (1, -) este parte stabili in raport cu ,,o".b) Sd se demonstreze cd,f (xy) =f (x) " "f()), V n, yelR.c) Sd se rezolve in lR ecualia ,ir

o ir o ... o x = 1025.

de 10 ori rI,3. Un grup (G, .), cu elementul neutru e, are proprietatea (p) dacd x2 = e, Y xe G.

a) Sd se verifice cd mul{imea ZrxZ, impreund cu legea de compozilie datd de

(a, b). (c, d) = (a + c, b + d),Y a, b, c, deZreste un grup cu proprietatea (p).

b) Sd se arate cd dacd un grup G are proprietatea (p) atunci (xy)'= *'y',Y x,yeG.c) S[ se arate cA orice grup care are proprietatea (p) este comutativ.

l4.Pe mullimea lR se considerd legea de compozilie x * ! = ax! - x - y + 6, V a yelR,

unde a este o constantd reald.

1

a) Pentru a = 1, sd se demonstreze cd, legea ,,x" este asociativd.

b) Sd se arate cdlegea ,,*" admite element neutru dacd qi numai au"F, o =!.c) Sa se arate cd daci intervalul [0, 6] este parte stabild a lui IR in raport cu legea ,,x",

. tl 1'latuncr d€

La, t ].

Enun[uri 117

Variante BAC 2OO715. Pe a.//2{R) se considerilegea de compozi.tie X* Y =X'Y +X+ Y,X, veo//r(lB);i

L. (o Ir\ Imultimea 6 = \lea,//,(I?)lA =l ^ l, a+ It,.,,,,,,,_[o "),_. -).

a) Sd se arate ca ,,*" este lege de compozifie pe G'

b) S[ se arate cA legea ,,*" este asociativ6.

c) SE se determine elementul neutru Ee a/{z(R), in raport cu legea ,,*"'d) Si se determine matricele XeG, care verificd ecualia X * X = 3Iz'

e) Sd se determine [l ']', ,.nr* net'{*.' \o o)''fl Utilizdnd metoda inducfiei matematice, sI se arate cd

Iz * Iz * ... * Iz = (2n - l)Iz, V nelfr\, n 2 2.'_-;#r, -

16. Sd se calculeze suma elementelor din grupul (Zra, +)'

17. Sd se calculeze i + : + 3 + .-. + ii in grupul (Zrr' +)'

1& SA se determine simetricul elementului 3 in grupul (Zr, +)'

19. Se considera marricele,,=(t^ l)' a= [l 0,l

r,i c = lAeo//r(lL1 t A' At = Irl'' [0 t) \o -t)

unde prin A' am notat transpusa mafficei A.

a) Sd se arate cd lreG qi CeG-b) S[ se urate cd dacd AeG gi Be G, atunci A ' B eG'

"i Sa ." arate ci dacd, AeG, atunci matricea A este inversabila s,i A-teG.

d) Si se arate cA (G, ') este grup in raport cu inmul.tirea matricelor'

e) S[ se arate ce funclia/: G + {- 1' 1}'/(A) = detA este surjectiva' dar nu injectivd'

[(cosa - sina) t ,.lRi este un subgrup al lui G'0 Sa se arate ca mullimea H = ill[sina cosa) )

g) Sd se dea exemplu de subgrup al lui G care are 2007 elemente'

or"a in ur""n!d !i-ai propu" s6 vezi c6t mai multe filme, si stai mai mult la televizor

sau pe lnternei in speran{a cd te vei mai relaxa, afl6 cd toate acestea ili diuneazd.

Daci vei avea un astfel de program, cu siguranli te vei intoarce mai obosit 9i mai

nervos la gcoali, pentru cd lntelectul tdu va lucra in continuare 9i nu se va odihni.

Agadar, lase telecomanda, inchide calculatorul, uitd de telefonul mobil 9i iegi la

plimbare in parc, ajut6-!i pdrinlii la treburile casnice, fd c|teva exercilii fizice, in aer

curat sau la sala, aleargd cu un prieten, mergi cu bicicleta 9i nu vei regreta.

118 Matematicd - Bacalaureat

S[ptflmflna 2l/Clasa a Xll-a

Tema sipt[mflniilnele qi corpuri

Cfiteva no[iuni de teorieInele:Fie A o mullime nevidd, iar ,,*" $i ,,o" doud legi de compozilie interne pe A.(A, x, o) se nume$te inel dacd:

a) (A, x) este grup abelianb) legea o,o" este asociativd gi are element neutru

c) legea ,,o" este distributivi fald, de legea ,,*", anume:

x o (y * z) = (x. y) * (x " z) $i (x * y) o z = (x " z) x (y . z), oricare ar fi x, y, zeA.Dac[ legea ,,o" este comutativi atunci inelul (A, *, o) se nume$te inel comutativ

Exemple de inele:a)(2,+,.), (Q, +,.), (lR, +,.), (C, +,.) inelenumerice

b) (%,,a,.) inelul claselor de resturi modulo n, unde Z,= {6,i,2,...,ii|} i*iY laeZl a(mod n)=K,7.=O,rL,ten1

c) (a4^(,4), +, .) inelul matricelor pitratice, unde, A este unul dintre inelele Z,q,lR,,C, nelN.Corpuri:ln inelul (K, +, .) elementul neutru al aduntrrii este 0 iar elementul neutru al lnmultiriiestel.UninelKsenume$tecorpdac60+lqiVxeK,x+0,estesimetrizabiltnraportcu inmullirea : Y xe K, x + O * 1 tt e K astfel lnc0t fl x = x{l = l.Corpul K este comutativ dac6 ,,'" este comutativd'Exemple de corpuri: (Q, *, .), (R, *,'), (C, *,'), (2,,, +, ') n primFie inelele (A, +, .) Si (A', +, .). O funcliel A -+ A'se nume$te moffism de inele dacd:

a) f (x + y) = f (x) + f(y), Y x, y eAb) f(x' y) = f(x)."f(y), V x, y eAc) /(1o) = lo,.

Dacd A gi A' sunt corpuri atunci / se numeste morfism de corpuri.Un morfism de inele / se nume$te izomorfism dacd funclia / este bijectiv[.

Si rezolvim!l. S[ se studieze dacd, (M, *, o) este inel, in urm6toarele cazwi:.

a) x x y = x I ! - 2 qi x o y = xy -2(x + fl + A,Y x, yeZ, M =2.b) x x y = x' ! $ip Y = *lnr, x, Y > 0, M = (0, + *).

2. Sd se arate cdpe mullimea A = {x + y.6 | x, yeZ} adunarea qi inmullirea numerelor

determind o structurd de inel.

,(0 0 ,)3. Stabiliti daca (A..u. o) este inel comutativ, undeO = {l o a o lf r, a, .elR}.t[,00, )

4. Pe multim ea Z, se definesc operafiile algebrice a * b = a + b + ) si a " b = ab + 4.

a) Verificali dacd (Zr, *, o) este inel.b) Sd se afTe (l(Zr) (mulfimea elementelor inversabile in Z).

r(o+bJi bJ, ) r

5. Se considerd mullimea U = ]l - I I o, r.Q l.t[ o a-b.'12) -)

Enun(uri 119

Sd se arate cd (M, +,.) este inel.6. Sd se verifice dacd mulfimea M impreund cu operafiile algebrice specificate determind

o structurd algebricd de inel:a) M = la + 3bi I a, beZl impreund cu adunarea qi inmullirea.

{(a b\ Ib) M = {l

--- - | ta, aeRf impreuni cu adunarea 9i inmullirea matricelor.

t[-b a) )

t(a )"\ Icl M = 1l ^

-, ll aeZ,rlimpreund cu adunarea si inmultirea matricelor.t[6d 0 )

J. Pe multimea lR x IR se definesc operaliile algebrice(a, b) + k, A = (a + c, b + d) qi (a, b)' @, A = @c + bd, aA.Stabiliti dacd (lR x IR, +, .) este inel comutativ.

8. Pe IR se definesc operafiile: x * ! = x +y -Z qix " y = xy -2x'2y + 6.

Sd se arate cd (lR, *, o) este corp comutativ. Determinafi a qi be IR astfel incdt funcfia

I IR -+ IR,"f(*) = ax + b si fie un izomorfismintre corpurile (lR, +,') s,i (lR, x, ').9. Pe C se defineqte operafia

Zr* 22= zrzr+ i(zr+ z2) - I - i, V zy z2eo qi zr" zrzr+ zz+ i.S{ se arate cd tripletul (C, ", x) este corp.

lax.dacdx>0to. pentru oicea >0 se considerafuncliaf: lR -+ lR,f(x, =

10, dacd.x < 0.

Sd se stabileascd dacd adunarea qi compunerea funcliilor determind pe mullimeaF = {fo I a > 0} o structurd de corp comutativ.

12. SedefinescpelR operaliilealgebrice xx!=#t;7+1 $iroy =W* *' * )S .

Sd se arate cd:

a) (lR, x, o) este co{p comutativ.

b) Sd se arate cd funclial lR -+ lR,/(x) = #' - verifici relafia:

f (x .y) = f (x) " f (y), V x, yelR. Stabilili daci funclia/este bijectivd.

!3. Se considerd corpurile (lR, +,') gi (lR, x, "), unde x * ! = x + y - 4 Si

x o y = xy - 4(x + y) + 20, V a yelR. Sd se determine a, beR,, pentru care funclia

I lR -+ IR,"f(r) = ax + b este izomorfism intre corpurile (lR, +, ') 9i (lR, x, ').(a b)

t4. Arilta1i cd funclial Atl6l -+ M, wrde f(a + bJsl = [r, o)""t" izomorfism intre

((a b\ Icorpurile (At$l, +, .) qi (M, +, .) etiind ci , = 1[rU o)t ', u.qy

Subiecte Examene Nationale

Variante BAC, 2OOBt. Se considerd cunoscut cd (2, x, ") este un inel comutativ, unde

x * ! = x + y - 3 9i x " y =xy -3x-3y + l2,Y x, yeZ.a) Sd se arate cd elementul neutru al legii de compozilie ,,"" este 4.

(o o o\

rr. Fie mullimea * = {1, o o I r ,.4}. (K, +, ') este un corp?

[o,o) )

120 Matematic6 - Bacalaureat

b) Sa se determine a, beZ astfel incat intre inelele (2, x, "1 9i (2, +, ') si existe un

izomorfism de forma/: Z -+ Z, f (x) = ax * b.

c) Sd se rezolve in Z eatalia 'c

o '

o "' o ;r = 22oog * ''de 2008 ori I

2. Fie Zrr= {d,i,2, ..., iO} inelul claselor de resturi modulo 21'

a) Sa-sl arute cdsuma elementelor inelului "tt"

0'

b) 56 se calculeze I' 2' .,.' 20.

c) 56 se determine numerul elementelor neinversabile ale inelului.

3. Se consideri mullimile^de clase de_re1tu1-t

2., = {0 , i, z, z, 4, 5 , 6l gi Zu = {0, l, 2, 3,.4,^5 | .. ^a) Sd se rezolve in corpul (Zr, +, ') ecuafia 3x2 + 4 = 0.

b) SI se determine ordinul elementului 3 in grupul (Zf ,').c) Sd se arate cd nu existd niciun morfism de grupuri

f: (Zu,f + (Zf , .) cu fQ) = 3.

4. Se considerd corpul (Zr:+: ')liH =

a) Si se arate cd, H = { 0, l, 2, 4} '

b) SI se arate cd, pentru orice aeZ., existd x,

c) Sd se arate cd {r2ooo I xeZr} = H.

Variantf, BAC 2OO7

yeZ, astfel lncdt a = x2 + !2.

5. Se considerd mullimea ZlJrl - {a + UJi I a, beZ}, care impreund cu operaliile de

adunare qi inmullire uzuale are structura de inel 9i funclia

f: v,lJil -> z, f (a + uJzl = a2 - 2b2, a, bez'a) Sd se arate cdf (x'y) =f (x) '/Cv), V x, veZlJi).b) Si se arate cdf (x) = 0 dacd qi numai dacd x = 0'

c) Sd se verifice/(l + Jil = - t.d)SSsearatec6mullimeaA={xeZ|Ji1lf(x)=1}con{inecelpu1in2007elemente.e)SdsearatecdmullimeaB={xeZ[Jillf(x)=-1}confinecelpulin2007elemente.f) Sd se arate cd dacd a + bJ, * 0, a, beZ, aunci (a + bJl)@' + u'Ji) = 1, unde

a'=---!-.b'= , b =.* - o, _2b2'" a2 -2b2

g) sd se arate cdmullimea elementelor inversabile din inelul ZIJ este C = AuB.

6. 5e considera inelele (224, +,.) qi (Zralxl, +, .). Un element a din inelul (A, +, ') se

nume$te nilpotent daci gi numai dacd existf, nelN*, astfel inc6t a' = 0'

a) Sd se arate cd 6 este nilpotent in inelul (2,u, +, '), iar 2 nu este nilpotent in inelul

1Zro, +,.).-6) Sar" aratecd,f =6*+I)estenilpotentininelul (Zz4ln,+,.), iar 8=x+ I nueste

nilpotent in (Zrol\, +,').c) SE se defronstreze cd AeZroeste nilpotent numai 9i numai dacd 6 divide a'

d) Sd se determine numirul elementelor nilpotente din inelul lz'u, + ,')'e) 56 se arate ci daclt A, beZrosunt nilpotente atunci/= kx + b este nilpotent in inelul

(Z*lX), +,.).

^ 6 ^isearate cdfeL24ln,f -hx3 +bxz+tx+ i estenilpotentdacdqinumaidacid,

b, t, d sunt nilpotente in inelul (%z+, + ,').g) Sd se determine numdrul polinoamelor de gradul 3 din inelul v'241n care sunt

nilpotente.

lxz I xeZr\.

Enun[uri

7. Se considerd matricele

(r oo\ (o lo\ (o otttttE,=10 0 0l,nr=10 0 01,E3=10 0

[o oo) [o oo) [oo5 = {Ae a,//3(C) I AX = XA,Y Xeo-//r(C)la) Sd se arate cd /reS.

121

b) Si se arate cd rang ({) = 1, V ie {1,2, 3}.c) Si se aftte cd dacd Ae a,/4(C) $i AE. = E l, V ie ll, 2, 3 ), atunci existd ae C, astfel

incdt A = als.d) Si se arate cd 5 = {alr l aeC}.e) Sd se arate cd (S, *, .) este inel, unde opera{iile,,+" gi ,,"'sunt cele uzuale.

0 Sd se arate cd funcfiaf, C -+ S,/(a) = al3este bijectivd.

r(a it) ^ )

E. Se considerd inelul Z^ $i multimea M = 1l . ^ lt d, beZol.' tlb a) -)

a) Si se determine numdrul elementelor inversabile fattr de inmullire din inelul Zo.

b) Sd se rezolve ec}a[i^a i2^= 2iinmriltjmeaZo.c) SE se calculeze 1 . 2 + 2 - 3 + 3 . I in inelalZo.d) SI se calculeze numdrul elementelor mullimii M.e) Sd se calculeze probabilitatea ca alegdnd o matrice din mullimea M, aceasta sd aibd

suma elementelor egali cu 0.

i. ln mul{imea a//r(C) se considerd matricele

l o\ (o o) {(, w) II^ = | ' " L o. = |

" " I pr""u- si submultimea G = i I I t z, we C f , unde

' [o t[-' (o o)' t(-, z) - )'prin Z s-a notat conjugatul numlrului complex z.

a) Si se verifice cd lreG gi OreG.b) Sd se aratecd, dacdz, weC qi lzl2 +lwl2 = 0, atunci z=w =0.c) Sd se arate cd, dacd P, QeG, aturci P . QeG.d) Sd se arate cd dacd, DeG, D + Oz, atunci D este matrice inversabili gi D-1e G.

e) Sd se gdseascd o matrice XeG, cuproprietatea X. C +C.X, unde , =(-^' :)[0 i)

f) Sd se arate ca dacd, A, Be G gi A . B = O, atunci A = Oz sar B = Oz.

g) Sd se arate cd mullimea G, impreund cu operaliile de adunare gi inmullire a

matricelor, determinii o structurd de corp necomutativ.

o =(i 1.l,, = [l l) u, r, = 11 :l, r*.,- eimurrmea 6 = tXeo//2(23)t* = rzt.(0 2) (r 2) [0 i)

a) Verificali cd. IreG.b) Ardtali cd, AeG 9i Be G.c) Demonstrali cd ABeG.d) G6siti cel mai mic numir natural z, nenul, penffu care (AB)n = 1r.

rr. tn mullimea a,//2(Zs)se considerd submutlimea "

= {(i, ;) ,, i,.Zr}

r\ (t 0 0)

ol,r,=lo r olsimullimeao) [o o t)

a) 56 se verifice "r t =

[; ij." r, ,,=

[; ;).t


b) Sd se arate cd, dacd i, jteZr;i i' - iiz = 0, atunci i = i = 6.

c) Sd se arate cd", dacd A, BeG, atunci A + BeG qi A ' Be G.

d) Sd se determine numdrul de elemente din mullimea G.

e) Sd se arate cd dacdAe G;iA*O,atunci existdBeG, astfelincAtA ' B = Iz.

f) Sd se arate cd operaliile de adunare qi de inmul{ire a matricelor determind pe

mullimea G o structuri de corp comutativ.g) Sd se dea exemplu de structurd de corp cu 9 elemente.

Varianti BAC 2OO412. in mullimea a//z(R) se considerd submulfimile

r(a b\ ) ((a 1-a) Ic = tlo rJ

I o.tR*, belRi si, = 1[o r ,J t ".m.i.

a) Sr se veritce ca [l o).r.[o t)

b) Sd se arate cd dacd A, BeG, atunci A ' BeG.c) Sd se arale cd dacd A, BeH, atunci A ' BeH.

d) Dacr t =(o ') ,, u = [] -*].

,rr, doud elemente din G, sd se calculez e A ' B(o t) [o t)

9i B .A.

e) Si se arate cd dacdXeH,atunci existi YeH astfelincdtX' Y = Y r= f t Ol

[o t)f) Sa se stabileascl dacd mu[imea H irzestratl cu operafiile de adunare qi inmullire a

matricelor formeazd o sffucturd de corp comutativ.

Variant[ BAC 2OO213. Se considerd inelulZugi funcfial: Zu-+ Zu,f(i; = i", unde nelNx.

a) Sd se verifice cd. dz - 6,Y 6eZu.b) Si se arate cd (i + i,)' = i3 + )3,Y i, i,eZu.c) Sd se determine cel mai mic numlr natural n >- 2 penttu care funcfia / este un

izomorfism de inele.

Recomandarea siDt[meniiCfriar Oaca te pregitegti pentru un examen, somnul trebuie sd-[i fie un aliat de nddejdegi nu un dugman. La vdrsta ta ai nevoie de 8-10 ore de somn. De preferat ar fi sd teculci inainte de ora 23 gi sd ai un program ritmic de culcare 9i trezire. Pentru a aveaun somn bun, nu uita s6-[i aerisegti camera (oxigenul are o importanld vitald), sd dormicu lumina stinsS, sd adormi in linigte (fdrd cSgtile cu muzicd in urechi), sd nu fii nervos/nervoasd inainte de culcare, sd servegti cina cu cel pulin 2-3 ore inainte de culcare,sd incetezi invdlatul cu cel pulin o jumdtate de ord inainte de a te culca si cam tot

atunci, sd ili inchizi gi calculatorul.

Enunturi

Siptimflna 26/Clasa a XII-a

Tema siptiminiilnele de polinoame Gu Goeficienfi

intr-un Gorp comutativ

Ciiteva notiuni de teorieForma algebricd a unui polinom in nedeterminate X peste corpul K, ,(e {Q, IR, C, Z,l ,

p prim este:/= o,rx' + ar-rX'-l + ... + arX + ao, iar as; a1, ...; ane K se numesc coeficieifiipolinomului/.(KlX7, +,.) este inelul polinoamelor in nedeterminata X cu coeficienfi in K.

f = aoe K se numeste polinom constant

,f = 0 se numeqte polinom nulGradul polinomului f = a,X" + a,_tX'-t + ... + aoe K[X] este grad(f) = n daci an * 0 qi

ai=0,i>n'Polinomul nul are gradul - -.grad(f + g) < max(gradff), grad(g))grad(f - s; = grad(/) + grad(g).Funcfia polinomial.d asociatd unui polinom f este f: K -+ K,

f(x) = arx" + ar-rx'-l + ... + arx + ao, x - variabildDacd ue K atunci/(o) = adn + ao_rtt!-t + ... + a1d, + 40 se nume$te valoarea polinomului/in punctul a.Teorema tmpdrfirii cu rest:f, geKlXl, g +0 = (11) q, reKlxl astfel incAt/= I .q + r, grad(r) < grad(g).

/- deimpdrlit; g - impdrfitor: q - cit; r - rest.

Dacd r = 0 = g/f (g divide f) sau/ig (/este divizibil cu g)Restul impdrfirii unui polinom/la x - a este f(a), x = a este rdddcind a unui polinomdacd f(a) = Q

Teorema lui B6zout: a este rldicina a lui/eK[X] <+ X - a I f..r = a este rdddcind de ordin p, pelN* pentru polinomul/e f(a) = 0, f(a) = f'(a) = ...=f<e-t)(g = 0 si/@)(d) + 0 unde/o)(a) este derivata de ordin p alfif it puncrul a.Relafiile lui Viite:Fie/= a,f, + an-rxn-l + ... + arx + aoeCfx),a,*osix,x2,..-xneO riddcinilepolinomuluilAtunci:

Sr=rr +xz+...+x,=-!!1' on

S, = xrx, + x{3 +,,, + x.-lx. = on-'

n-l n an

S, = xrx;xa + ... + xn,,xn-r*n = - o'-'

an

Sn = xrxrxr...x, = (- l)n!2.

Polinomul ireductibil in K[X] este polinomul f at grad(fl = n ) 0 pentru care nu existdpolinoamele S ;i heKlxl astfol incdt/ = I . h, Cradfl < n, grad(g) < n.ln caz contrar, spunem cI polinomul f este reduclibil in KlXl.

123


Orice polinom fe KIX) de gradul 1 este ireductibil peste K'Dacd, fe KlXl, grad(fl > 2 este ireductibil in KlXl, atunci / nu are rlddcini in K'

Si rezolvim!r. Se considerd polinomul/elRtXl,/= X2 + 3X + l.

Sd se calculeze f(0) + f(- 2) +/(1 + J3).^2. Sd se calculeze valoarea polinomului/ = 3x3 - 4x + 3eZr[X) pentru o( = 3'

3. Sd se determine melR pentru care polinoamelel geCffi,f = (*t -2)X3 +2mX + 6,

g = (m4 - DX4 + (m + 1)X3 + mX + 3 au acelaqi grad.

4. Determinali a, bel} pentru care polinoamele f, 8€ IRtXl, f = 3Xz + (a - 2)X + 2b'

g = (a - b)X2 + 3X + 4 sunt egale.

5. Determinali polinomul"f€lRtXl de grad 2 dacdLf(l) = - 3,f(0) = - 5,f(-6. Sd se efectueze suma qi diferenfa polinoamelor:

a)l gelRffi, f =3Xz -2X2 + 5X + 1,8 = -X2 + 6X -2;b)f SeCtXl, f = 2iXa + X2 -^1, 8 = (1 - i)Xo : X3 + 6;

c) f, geZrlXl, f = - x2 + X + l, I = X2 - X - l.7. 56 se efectueze produsul polinoamelor:

a)fi selRffi, f = Jix * l, g = Jix - t;b) I eeOlx), f = 2iX2 + 3X + L, I = 2iX' 3;

c) f, BeZJn,f = X + 2, 8 = X3 - 2X2 + I't. Se consideri polinomul f = (X2 - 3)' - 1. Sd se scrie forma algebricd a polinomului I9. Sd se efectueze in C[X] urmdtoarele impe4iri de polinoame;

a)f=X2+5X+6,8=X+3;c) f = 3xa + 4x3 - 6x2 + l, I = 2x + l.

b) f = - 3X3 + X2 * 2, g = X2 + l;

tO. SA se efectueze, utilizAnd schema lui Horner, imp64irea urmitoarelor polinoame:

a)f= Xa +X3 -3X2 +7X-2, g =X - 1; b)f=X5'3X3 +2X, g =X +2;c) f = 2X6 + 4X5 - 3X + l, I = 2X + l.

r!. sd se determine catul impdrtririi polinomului f = 3xs - 2mx2 + 5x - n Ia polinomul

g = X - 2, gtiind cd restul impA4irii este 3.

iz. sa se determine parametrii a, belR" astfel incdt polinomul f = xs + ax2 + bx + 3

impirlit laX - | qi X + 1 sd dea resturi egale respectiv cu 4 9i - 3.

rj. rie polinoamelel se lRtxl, f = X + Xs + XB + X80 + rzooo gi I =x2 - 1. Sd se

determine restul impdrlirii lui/la g.

14. sA se studieze dac6 polinomul/ectxl este divizibil cu polinomul gec[X], inurmltoarele caztri:

a)f=Xa+X3+X-3,9=X-l;c) f = Xa + ix3 + X - l, s = X2 - iX + l.

b)f=X3-l.g=X2+X+l;

15. Se se determine valorile parametrilor teali a, b pentru care polinomul

f =Xa + aX2 - bX+ 6 se divide cu polinomul I =X2 -3X +2.16:sasedetermineaelRpentrucarepolinomulf=x+adividepolinomul 8=2x'-x-6'1?. Se se determine valorile parametrilor teali m, n astfel incat polinomul

f = 4X3 -6X2 + mX + n sd fie divizibil cuX- 1 qi implrlit laX + 2 sddea restul - 2.

r.8. Determinali cel mai mare divizor comun al polinoamelor:

a)f =XB - l, g =X6 - 1; b),f = Xa +X3 +X2 + 1,8 =X'+X+ 7;

c)f=X3-3X+2,g=X+1.tg. se se verifice dacd x= 1 este rdddcind a polinomului f = xa - 6x2 + 2x - 3.

20. sd se determine a, bel? qtiind ca polinomul/= x4 - 2x3 + 6x2 + aX + b are rdddcina i'

2r. Sa se afle toate rdddcinile polinomulfi f = 3yz - 8x2 + 6X - 1 qtiind c5 are rrddcina

rt=1'zi. sa se determine m, neC gtiind cd polinomul/= xa + mX3 + nx2 + 9 are rdd6cina

dublS x, = 3

1)=6.

Enunluri

23. Descompunefi in factori ireductibili polinoamele.a) f = X2 - 16 pe IR[x]; b)f =25x4 - 9 pe Clxl;c)f =27x3 - l peQlxl.

24. Sd se arate cd polinomul I = X2 - XJ, + 1 este ireductibil peste Q [X].25. SA se verifice dacd polinomul f = yz + 2eZrlXT este ireductibll in ZrlXl.26. SA se calculeze suma pdtratelor rdddcinilor polinomului f = 3Xa + X3 - 5X + 4.7z7. Fie f = X3 + 2X2 + 3X + 4e Ctxl si xr xy x, rlddcinile lui /. Sa se calculeze

S, = ri + x]+ xl qi E = (x, + l)(xr+ 1)(x. + 1).

b)9f-4x2+3x+2=0inQ;

b)9f-6x2+l=0;d)x6=1.

b)x3-llx2-l1r+1=0;d)2xa+x3-2x2*x*2=0.

Subiecte Examene NationaleVariante BAC 2012r. Se considerd polinomul f = Xs + AXo + Z, |eZSn.

a) Ardtafi cd a5 = a, pentru orice aeZr.b) Aratali cd polinomul / este reductibil peste ZrlX).c) Ardtali cd polinomul / nu are rdddcini in V,r.

2. Se consideri inelul (4o +,.) qi funclial Z, -+ Z, f (x) = X3 + 2X2 + 4X + 3.

a) Calculati/til + ff:1.b) Descompunefi^in factori ireductibili peste Z, polinomulP=X3+2X2+4X+3eZrlX).c) Ardtali cd funcfia/nu este surjectivi.

Variante BAC 2O113. Se considerd polinomul f = (X + l)r0 + (X - Dto, avdnd forma algebricd

f = or{to + anxe + ... + arx + ao, unde ao, ..., aroelR,.

a) Determinafi restul impdrfirii polinomului/la X - i.b) Ardtafi cd to[i coeficienfii polinomului/sunt numere reale.c) Demonstrafi ci toate rddicinile polinomului/sunt numere reale.

4. Se considerd oe C qi polinomul / = X3 + ( 1 - a)X2 + (a - 2)iX + cx + (cr - 2) i e Cl\.a) Ar5tali cI polinomul / are rddlcina - l.b) Aratati c5, dacd p, q sunt numere complexe gi polinomul g = X2 + pX + SeOln

are doud rdddcini distincte, complexe conjugate, atunci p gi q sunt numere reale qi p2 < 4q.c) Determinafi aeC pentru care polinomul f are doud rdddcini distincte, complexe

conjugate.

Variante BAC 2O1O5. Fie m, neIR qi polinomul / = X3 - 3X2 + mX - n care are rdddcinile x1, x2, x1ec.

a) Determinali valorile reale m si z pentru care xr = 2 + i.b) Determinati valorile reale m qi n pentru care restul imparlirii polinomului / la

polinomul (X - 1)'este egal cu 0.c) Aratali cd,, dacd riddcinile polinomului/sunt reale Si lz > 0, n > 0, atunci xv x2, x3

sunt strict pozitive.

125

28. SA se determine solufiile ecualiilor:a)x3-2x2-x+2=0inZ;c)2x3-x2+2x-1=0inC.

29. SA se rezolve in C ecuatiile:a)xa+5x2+6=0;c)x3=8;

30. SA se rezolve ecualiile:a) 4x3 + 3x2 + 3x + 4 = 0;c) x4 - 8x3 + 14x2 - 8x + I = 0;

126

a) Sd se calculeze f(a).b) Si se calculeze lxrl + lxrl + lxrl + lxrl'c) Si se arate cd A = B.

t3. Se considera ecualia xa - 8x3 + axz + 8x + b = 0,


cu a, DelR qi cu soluliile xy x2, x3,

Variante BAC 2OO86. Fie ne]N, n 23, ao, or, ..., anez qi polinomul/ - a,X" + ao-rX'-l + ... + arX + ao.

a) SI se arute cdf(l) +"f(- 1) este numdr par.

b) Sd se arate cd, dacdf(Z) qi/(3) sunt numere impare, atunci polinomul/nu are niciorldicind inffeagI.

c) Sr se arate cdpolinomul I =X3 -X + 3a + l, aeZ, nu poate fi descompus in produs

de doud polinoame neconstante, cu coeficienfi intregi.

7. Pentru fiecare n€lN* considerim polinomulf = )(3n * 2x2 - 4x - lec[x]'a) Sa se arate cd f, nu este divizibil cu polinomul I = X - 2'

b) Sa se determine suma coeficientilor catului impartjrii^polin^omului /, la X - 1'

8. Se considerr polinoamelef =X3 + X +leZrlX) si g = 2X+leZrLX\a) Si se arate cdf(x) = 8@), (Y) xeZr.b) Sn se determine ridicinile polinomului / dh Z'c) SI se descompund polinomul/in factori ireductibili inZrlX)'

9. Se consid era a, iell qi potinomutT= x3 + 4aXz + 20x + b' cu rdddcinile xt' x2' x3ec''

a) 56 se determine xl, x), xl in cazul a = 2, b = O'

b) Sd se demonstreze "a

1rl - xr)z + (x, - xr)z + (xr- xr)2 = 8(4a2 - 15)'

c) 56 se determine a, b astfel inidt polinomul / sd aibi o riddcina dubld egalS c\ - a'

to. Se considerd ecualia x3 + px + q = 0' p' qel? si xy xyx, soluliile complexe ale acesteia'

a) $tiind cd, p = | si q = 0, si se determirte xv x2, x3'

b) Si se determine p 9i 4 qtiind cd' xr- I + i'

"jsa r" arate cdiAl i xl+ x!) =1(xl + x)+ xl)'(x2t + xl+ xl)2'

tt. Se considerd a, o, ieR' qi polinfmul/ = * i a*"+ bx + c' cu rddicinile x" x'' x'e0'astfel inctt lx,l S 1, lxrl 31,lxrl < 1.

a) Sd se demonstreze cd lal < 3.

b) Sd se arate cd, dacd c <0, polinomul are cel pulin o rldicind real6 in intervalul (0, -)'c) Sd se arar- cA, dacd a = l, c =- l, atunci b = - l'

12. Se considerr polinomul f = Xa - 2X2 + 9' cu rddlcinile x' x, x, xoe0' numirul

o= Ji+ iqimultimiteA = {g(a) lseQtXl} 9iB= {h(a) lfteQ[X], gradh<3]'

x*e C.a) Sd se arate cd (x, + xo)(x, + \) + )c1x4 + x/\ + (xt + x)x;\ + (xz + xr)xrxo= a - 8'

b) Sd se determine ae IR astfel incdt x, + x4 = xz + x3'

c) Sa se determine a, bel| astfel incdi xt, x2, x;xo sd fie in progresie aritmeticd'

14. Se considerd polinomul/= Xa + aX3 +'4x1 +"leGffi cu rddicinile x,' xy xy xoeC'

a) Sa se determine ae C astfel incdt polinomul / sd se dividd cu x + 1'

b) Si se aratecdpolinomul I =Xa + 4x2 + aX+ lareradicinile l' l' 1' l\x2x3x4

c) Si se arate cd, pentru orice aeC, polinomul/nu are toate rdddcinile reale.

Variante BAG 2OO715. SA se rezolve in mullimea numerelor reale ecuafia x4 - 3f + 2 = 0'

!6. Sa se calculeze suma riddcinilor polinomuhti f = yt + X2 + 2'

17. Sd se rezolve in mullimea numerelor reale ecuafia: x3 + 2x2 + x + 2 = 0'

18. Se considerE mu[imea 6 = y e IR [X1 | f, = I + X + x2 + "' + x"' ne IN ] qi polinoamele

, = 1t * x + X\(l * *1,t = 1r i i1t +x'i] + X4), g,= (1 + X +Xz+ "' +X')(1 + X"*1)

ii t ,= (1 + xX1 + X2X1 + Xa)...(l + X2\, V zelN.

Enunluri 127

a) S[ se arate c6 ge G si he G.b) Sa se calculeze ft(O) - g(0).c) Sd se arate cA polinoamele g qi h au o rdddcinl real6 comund.d) Sd se determine restul imp64irii polinomului h la polinomul g.

e) Sa se arate cf, g,€ G qi /r,e G, V zre IN.0 Si se determine nelN pentru care hn= 8,.g) Sa se arate cd pentru orice nelN, n> 2, cAfl imparlirii polinomului h,- gnla

polinomul x2n*2 este un polinom din mullimea G.19. SA se determine suma .rl + x2 + x3 + x4, unde x,, xz, x3, x4 reprezintd rdddcinilepolinomului/=#+x2+1.20. SA se determine suma coeficienlilor polinomului (5X - 4)3,

21. Se considerd polinomul /e lR[X],.f = X4 - 6X3 + l3xz - l2X + 4.

a) Sd se calculeze (x2 - 3x + 2)2.

b) Sd se determine rdddcinile polinomului/.c) Sd se determine restul impi4irii polinomului/la polinomul g = X + l.d) Sa se determine suma coeficienlilor polinomului (X2 - 3X + 2)4.

e) S[ se determine cea mai micd valoare a funcliei g: IR -+ IR, S(x) = x2 - 3x + 2.

22. Se considerd mullimea K= lkx + tt6,6eZrl qi polinomulT= r'+ )eZrlx).Pemullimea K se considerd legea ,,+" (adunarea polinoamelor cu coeficienfi in corpil Zr)si ,,." definitd,prin (Ax + b) " (Cx + d1= @d + bt)x + bd + 36t.

a) Sa se arate cd polinomul/nu are rdddciniinZr.b) Sa se arate cd polinomul/este iretrctibil?r' Zr[X).c) !d se verifice cdf(6x + b) " (tx + d11" @x + 0) = (6x + b) " l@x + d) . (fix + i)1,

v a, b, e , d, fr, itez,d) Sd se arate ca @x^+ b) " [(6r t d) + (fix + i;1 = ^ ^= l(Ax + b) " (ex + d)l + [email protected] + b) " (frx + Dl,V A, b, e , d,fi, ieZr.e) Sd se determine numdrul de elemente al mul-timii K.

0 Sd se arate cd, dacd. d. + 0 sau b * 0, atunci elementul h* + b este simetrizabil inraport cu legea ,,"".

g) Sd se arate cd g__g:____9 = g,Y geK.de 25 de ori

23. Se considerd polinomul/= X3 + aX2 + bX + c, unde a, b, celR, cu rlddcinrle x, x,(t r

xreC. Notdm So = rf + xl+ x\,V kelN*, So = 3, a = I ,, x2It))\xi x;

sr Srl

^s2 srlin functie de a, b, c.

s3 'snl

;'l ,, ^

= det(A A),.i)

unde prin Ar amtotat transpusa matricei A.a) SI se arate cd det(A) = (xr- xr)(x., - xr)(x, - xr).b) Si se verifice cd S, = - a qi S, = a2 -2b.c) SI se arate ca Sr*t * dS,*z + bS,*, * cS, = 0, V ne IN.d) Sn se calculeze S. $i So in funcfie de a, b, c.

e) Sd se verifice ci.4

(so s, sr).ar=ls, s2 &l

[t, E s^)

O Sa se calculeze determinantu, ^

= l::ls,


g) $tiind cd det (X ' Y) = det(X) ' det(Y), X, Ye o.//r(C), sI se arate cd x' x, xrel[dacl qi numai daci A > 0.

24. Se considerd polinomul/= * + 3X + 3.

a) Sd se arate ci polinomul/nu are rddacini ralionale.b) Sd se arate cd.polinomul/are o singurd rdddcind reald. Notdm cu ae IR unica riddcind

reald a polinomului/ qi c\ Q@) = {g(a) | SeQtxl}.c) Sa se verifice cd 0eQ@) Si leQ@).d) Sd se arate cd dacd u, Fe Q@), atunci o + $e Q@) 9i o . pe Q(a).e) Sd se arate cd Q@) = {p + qa + ra2l p, S, req,}.0 Sa se arate cd dacd, p, q, r<_q, qi p + qa + ra2 =0, atunci p - e = r = 0.g) Sd se arate cd a2oo7e IR \ Q.

25. Se considerd polinomul fn = |

(oneC[x], nelNx si matricele Or = I 0

Ioa) Sd se calculezef,(0).b) SI se calouleze f,(- l).

X(X+l).....(X+n-r)

c) Sd se arate cdfn= 4fx + l)(X + 2) . ... . (x + n),V nelN*.n!'

d) Si se arute cdpolinomulf are rdddcinile xr=- l,xz=-2, ...,xn= - n, V nelNx.e) Sd se ararc cA (1, - xA)(l, + xA + x2A2 + x3A31 = I, Y xeC.f) Sd se arate cd det(I, - xA) = 1, V xe C.g) Sd se calculeze det(lr@)).

26. Se considerd polinoamele/= a + bX + cX2 + dX3 Si g = X4 - 1, unde a, b, c, deC,iar g arc rdddcinile xp x2, x3, roe C qi matricele

X X(X+ l)+ - + ----r-----------r + ... +1! 2l nl.

o o) (r o o\o ol,l.=lo r olli Aeo-//r(C),cr.Aa=ot.o o) [o o 1)

(, b c d) (t I I t)ld a b cl lx, x) xr xolo=1, d a rltt'=lr,' -i -l -il[a c d ,) [,i .: i: -l)

a) SI se verifice cd g = (X2 - 1)(X2 + 1).

b) Sa se arate cd detY= (xr- xr)(xr- xr)(xo- xr)(xr- xr)(xo- xr)(xo- xr).

c) SI se determine rangul matricei V.

d) Pentru a = c = d = 0 qi b = l,sd,se calculeze A2 Ei Aa.

e) Pentru a = c = d = 0 $i b = l, sdse arate cd matriceaA este inversabild

Recomandarea siotimaniiDacd inci !i se mai pare cd teoremele de matematicd sunt scrise parcd ,,in limbachinezd", inseamnd cd mai ai nevoie sd Tnlelegi fiecare cuv6nt din aceastd ,,limbd amatematicii" gi anume: defini!ii, reguli, notalii etc" incearcd sd inlelegi toatecomponentele unei teoreme sau formule. Astfel, vei reugi sd inlelegi gi enunlurileproblemelor gi exerci[iilor pe care le vei avea de rezolvat la Bac. Nu iti poli permiteca la un astfel de examen sd nu inlelegi cerinlele.

Enunluri 129

Siptim0na 27 /Clasa a XII-a

Tema siptimflniiPrimitive

Cliteva nofiuni de teorieFunclia/:1-+ IR, admite primitive pe intervalul lclR dacd exist[ o funcfie F:1-+ IR,

derivabild, astfel incdt F'(x) = f(x), Y xe I.- Funcfia F se va numi primitiva functjei f pe intervalul 1.

- Mulfimea primitivelor se noteazd "" fft )4, 9i se numeqte inregrala nedefinitii a funcfieil

- Orice funclie continu5/: 1-+ lR admite primitive.

- Dacd o funcfie nu are proprietatea lui Darboux pe intervalul 1, atunci nu admite primitivepe 1.

-Dacd o funcfie/: 1 -+ IR are un punct de discontinuitate de spefa I, atunci/nu admiteprimitive.

- Dacd F este o primitivl a funcfiei/: 1 + IR, atunci f(r)d, = F(x) + C, C -mullimeafuncliilor reale constante.

- Operafia de calcul a primitivelor unei funcfii (care admite primitive) se nume$te

integrare.

-Fref, g: I -+ IR doud funclii care admit primitive 9i oelR, o t 0, atunci funcliile/+ g

qi q/admit primitive qi Jt/t ) + s(x)ldx = !f@)a* + ls(x)dx; [uf@ax = alf@)d*.Formula de integrare prin pdrli:

ff{ir'{ia, =f(x)g(x) - !f'A>rO>d*, unde/, g: I -+ lR sunt funcfii derivabile cu derivate

continue

t laax = ax + C, aell,D = lRn+1

2. lx'dtc =;i+ C, aeN. D = lR

a+7

3. )x'dx =;i + C, aelR - {- t }, D = (0. -)aax

4. )a'dx = il *C, celR] \ [- ll. D = IR

s. llar=lntxt+c.D=lR*Jx

o. [-fa, = Irl ryl+ C, aerR, D = rR* \ {+ a}'x'-a" ta lx+al

Z. [ "--l -A-= larctg' +C,a*0.D=lR

'x'+at a a

8. Jsinxdx = - cosr + C, D = IR

9. Jcosxdx = sin-x + C, D =lR

to. [ 1 ar=tsx+ C.D=mr{rz* +lLl*.2\J".r*2, t' '2 )


11. [-1-d, = - ctSx + C, D= lR \ {k7r I keZ}sln x

n. [tgxdx= - lnlcosxl + C, D= m r {fzt

* n Lt *.2}

13. Jctgrdx = lnlsinxl + C, D = IR \ {/cn I keZ}

A. l+dx = ln(x * ,P * i> + C, aetF,,D = lR

ix' + a'

15. I+d-x = ln(x * rp:j 1 + c, aelfl*, D = (- *, - a)v(a, * *),lx' - a'

16. I+dx = arcsinl + c, ae(0, + -;, 2t = (- a, a)

,lo, _ *.

Si rezolvim!l,. Sd se determine funcfial: D -+ lR a cdtei primitivi are forma:

2. $tiind cd F este o primitiva a funcliei/: D -+ lR s6 se determine funcliala) F(x) = sinx + cos3x; b) F.(x) = arcsinx + arctgr'

3. 56 se arute cE urmdtoarele funclii/: D -+ IR admit primitive pe domeniul de definifie:

a) F(x) = 3x2 + 2x + 5;

c) F(x) = *J*t;

b)F(r) =ff!,d) F(x) = ln(x + 3').

4. 56 se determine valorile parametrilor reali a gi D pentru care urm6toarele funclii admit

primitive:

a)/(x)= {x'z+3x+2'x37'Ix+),ir>I

(_lsin1. x ( 0

b)/(x) = I 2'[cosx, r > 0

la.e* +2.x<0a)f(x)=\.-'r \'' [(o-l)' x +3a,x>o'l@-u,*,,

b)/(x) = I x

lfril +2bx'x<r

5. Sd se determine valorile parametrilor teali a qi b pentru care funclia F: lR + lR,

13."*.*.0F(x) = {J e ' ^ - v

este primitiva unei funclii/: lR -+ lR.

[sinx+bcosx.x>0lo.r".r<o

6. Determinali aelR" astfel incAt funcfia/: IR + lR,/(x) = l--, ' - ^

admite primitivelx'+l,x>0

pe IR, iar pentru a determinat, sd se calculeze o primitivd a funcfiei/.( f 2 . ,

7. A-ratati cd funclia f: IR -+ IR. /(x) = ] r/*' + 2x + l' x < 0

admite primitive $i calculati

I l, x>oo primitivd a sa.

E. Se considerdfuncfia/: (0, + -; -+ IR,/(,r) = .+ ^ Sd se arate caF: (0, + -) -+x(x' + l)

1

IR, F(x) = lnx -;ln(xr + 1) este o primitivd alui.f.

9. Sd se determine o primitivd F a funcfiei/: TR -+ IR,/1x ) = arcsin - 2x

a, cu proprietatea" l+xF(0) = 1.

Lo. Calculafi urmdtoarele integrale nedefinite :

13. Se se rezolve urmltoarele integrale, utilizdnd integrarea prin pdrfi:

{lx2hxdx,x>o; b) Ir. eb*tdx,xell; c) Jx2sinxdx, xelR;

d) Jxarcsinxdx, xe(- 1, 1); "l Jfi' * lar, xelR.

14. SA se rezolve urmdtoarele integrale, utiliz6nd schimbarea de variabilS:

u) I(r' - 2x2 + 4x - 3)dx;

.) f+ * {'l*,'\x- x- )II. Calculafi:

u, [-i-t r b) [J0".,ux'+3 '{x2+3612. Sa se calculeze:

a; J1:sinx + 1)dx;

",(#, *,,)*,

a1 lzx21x3 - 1)dx, xelR;

") L4* * 6 dx, xelR;

u x'+3x+2

a) [ ^---]-dx,.r>o:'x" +4x+3. r 2x +lc) l-dxi

'(x + 1)'

I'6. Sd se calculeze urmltoarele integrale:

u,I I ar,Jx(x+1)

", [ 2r*1 dr,

r x2(x + 112

e) J1x + arctgx)dx;

il lrr + z')dx;

I lx' e-Lx;

kr [ *' dr,' Jx + 1

15. Se se calculeze integralele urmdtoarelor funcfii ra{ionale:

t; JloJi + 3.t)dx;

a,[[ I *l]*.'J[x+1 2x)

crjpar; arJ-Jo*',t*'-+9 'J25-x'z

a1 tPx'z - 3cos.r)dx;

a1 lQtgx + x)d*.

u; Jl-+='rr, x > o;

d)l-Ldx,x>1.'x.,/1 + lnx

ui [ 21*1 ar;' x(x' + 2)

at[. s d*.

" x" +x+l

b)J-rh(x+l)dx,x>0;

d) I(r,', + 1)d*;

0J{r'+x+l)d.,r;

r,1 JEIa,,, > o;

:l !'[o - * a., xe (- 3; 3);

D j(.""; - 1""*)*


Subiecte Examene NationaleVariante BAC 2OO8 (enunfuri partfiale)

t..Fie funclia/: IR -+ IR,/(x) = , I

3 + cosxa) Sd se determine o primitiv5 a restriciiei funcliei/la intervalul [0, n).b) Sd se demonstreze cd orice primitivd a funcfiei/este strict crescdtoare.

2. Fie funcfia/: IR -+ IR,/(x) = sin3.xcosx Ei F o primitivd a funcfie/pe IR. Si se arate cdexistd celR astfel incAt 4F(x) = sin4x + c.

3. Seconsiderd,a,bel|qifunclia/:lR-+lR,/(x) =fo*'- _ x'.x30^.rrsedetermine

fxcosx+b,x>0a 9i b qtiind cd funclia/este primitiva pe IR a unei funclii.4. Fie funclia/: IR + lR, f(x) -- e-'' si F o primitivd a sa.

a) Sd se calculeze * F(cos E- - r(1) .

b) Sd se arate cd funcfia g: IR -+ IR, S(x) = F(x) + f (x) are exact un punct de extremlocal.

5. Fie funclia/: (1, + -) -+ IR,/(x) = ,rO;lX,, + af--. Sd se determine o primitivi a

funcfiei /.6. Se considerd funcfial: [0, 1] -+ lR,"f(.r) = x(l - x)e'. Sd se arate cI existd a, b, ceIRastfel incdt funcfia F: IR -+ IR, F("x) - (ax2 + bx + c)e'sd fie o primitiva a lui/.

7. Fie funclia/: lR --> lR. /(x.1 = {-! '[smx, x > 0

a) Sd se atate cd funclialadmite primitive pe IR.

b) Sd se determine o primitivd a funcliei/pe IR.

lax+b,x<08. Fie a, bel? si functia F: IR -+ lR. Flxt = ] . , . Sa se determine numerele' Un'(x+I),x>0

reale a qi b astfel inc6t funcfia F sa fie primitiva unei funcfiil.

9. Se considerd funcfia/: fl,2l -+lR,,f(r) = -:. Sd se arate cd functia*J*'+ I

r.F: ll, 2l-+ IR, F(x) = 6V'' + I - I este o primitivd a funcliei/.

xLo. Se considerd func{iile F: (- 1, + -) -+ IR, F'(x) - aln(x + 1) + bln(f + 1) + carctgx

ci ,f: (- 1, + -) -+ lR,/(x) = . .?:, .:.(x+1)(x'+1)a) Sd se determine a, b, ceIR, astfel incAt F sd fie o primitiva altif.b) Sd se studieze monotonia funcliei F,in cazul in care ea este primitiva a funcliei/.

Variante BAC 2OO7 (enunluri parliale)

aI. Se considerd funcfia/: lR -+ IR, f(i = j:1. Daca F este o primitivd alui f care

verifici relafia F(0) = 1, sd se calculeze F(1).

Enunluri 133

I,2. Se considerd funcfia f: (e, + -) -+ IR, f(x) = Y t, se determine mullimea

primitivelor funcfiei /.13. Se considerd numerele reale a' az, ..., cttuqi funcfiile/, F: lR -+ IR,

f(x)= afinx + arsin2x+ ... + ansinnx gi F(x) = - arcosx -lcoszx-...-d'eosnx,rtrtde'2nne\i, n 2 2.

a) SE se arate cd funcfia F este o primitivd a funcfiei/pe lR.

b) Sd se verifice cd, F(x + 2kn) = F(x), keZ, Y xelt.c) Utiliz6nd rezultatul: ,,DacI o funcfie g: lR + lR este periodici qi monotona, atunci

funcfia g este constant6", sE se arate c6dacdf(x)> 0, V xelR, atunci funclia F este

constant,' I l

14. Se considerd funclia /,: lR + IR, unde ae lR ci ,f,(x) = ] "ot;' ' * o.

I a' x=oa) Sd se arate cdf o admite primitive dac6 gi numai daci a = 0.

b) 56 se determine valorile lui a pentru care funcyafj admite primitive.

15. Se consideri func(ial: lR -+ IR,/(x) = ,.*;.a) Si se verifice cd f (x + 2n) = f (x), V xe IR.

b) Sd se arate cd nu existd :W@)1l

c) Sd se arate cd,i.fA> <;, V xelR.

d) SI se arate cd orice primitivd a funclieileste strict crescdtoare pe IR.

Recomandarea sintimaniiC0teva recomanddri pentru rezolvarea cu succes a subiectelor de la BAC:

- incepe rezolvarea cu acele probleme de matematici care !i se par mai ugoare,pentru a face astfel o scurtd ,,incdlzire" a intelectului gi a reugi sd stimulezi 9iconcentrarea aten[iei;

- citegte cu aten[ie enuntul, rezolvd cerinta gi apoi nu uita sd mai citegti incd o datdenunful, pentru a te asigura cd ai rispuns la ceea ce se cere gi cd ai rezolvat toatecerin!ele;

- in situalia in care problema are mai multe cerinle, incearcd sd le abordezi pe toate,este posibil ca rezolvarea unor subpuncte sd nu depindi de rezolvarea celorlalte;

- verificd pe loc fiecare operalie; iti va lua mai pulin timp dec6t dacd ai ciuta gregealain exercifiul deja rezolvat. Dac6, totugi, ai gregit, ar fi recomandat sd rezolvi din nouexerciliul, dec6t sd incerci si identifici gregeala.


Sflptf,mflna 28/Clasa a Xll'a

Tema sfiptilmflnii

Inte$rala definitfl

Cdteva nofiuni de teorieFie dat intervalul la, bl, a, be IR, A = (o = *o 2, < "' < xn= D) o diviziune a intervalului

la, bl qi( = (8,, \r, ..., \,) cu (,e [x,, x,-r), i = t, , on sistem de puncte intermediare asociat

diviziunii A.

Num6rul re* I/(E,)( x, - x,_1) se nume$te sama Riemann asociatd functiei /, diviziunii

A si sistemului de puncte intermediare (.

- o funclie/ : la, bl+ lR se numeste integrabihl pe la, bfdu"u ,,liBo

>/(8,)t', - x,-r) = I

este finitd, unde llAll = E2tl*,- x,-,1 este norma diviziunii A'

tY luf {oa* qi se numegte integrala itefinitd a funcfiei/pe intervalul [a, b]'

- o funclie monotona pe intervalul la, bl este integrabila pe intervalul [a, b].

- o funclie continud pe intervalul la, bf este integrabila pe intervalul [4, b].

- Formula Leibniz-Newton: Fie f :-la, b) + IR o funclie integrabila care admite primitive

pe la, b). Atunci, pentru orice primitivd F a funcliei / are loc relalia:

l)f U>ar = F(b) - F(a).

- Teorema de meilie: DacF'f: la, bf --> IR este o funcfie continud, atunci existd cela' b]

1rbastfel incdt l'f@)dx = f(c).

b - aro-_ Formula d,e integrare prin pdrfi: Dacd,f , g: |a, b] --r lR sunt dou6 funclii derivabile, cu

derivate continue, atunci lbf @) ' g'(x)dx = f(x)g(x)lb.- luf 'ti ' s@)tuc

- Prima formuld de schimbare de variabild:

Fie la, bl + J 4 R, I interval din IR, / continui pe .I qi z derivabil6 cu derivata continud

rb 1u(b\ -..pe la, bf. Atunci l"tAAn ' u'(x)dx = !,1,,f (t)dt.

- A doua formuld. de schimbare de variabild:

Fiela, bl+ J 4 n, "f interval din IR,/continud pe J, ubijectivdiar u qi a-r derivabile cu

derivate continue. Atunci luf ,,u{,lld, = l),'J'iAXo')'(r)d,.

Si rezolvim!t. S5 se studieze integrabilitatea urmdtoarelor funclii pe domeniul de definilie:

lx-Z,xe[0,2]a)/: t0, 4l -+ IR, /G) =

tfr,-+ , x e (2, 4l;

[ ' .xe[o,j)b)/: t0. 3l + IR. fG\ = lx - 2

| 1,x=:

5. Sd se calculeze utilizAnd metoda integririi prin pnfi.

u1lozar"tgJiar; b) J"x2ln(x + l)dx; ") tr' ' lx - 1ld.x; ol jjff - roa,

6. SI se calculeze utilizdnd prima metod6 de schimbare a variabilei'

Enunluri

2. Fie funcfia f: l- 1, 1l -+ IR, f (x) =

integrabild qi calculali l'_rtt*r*.3. Sd se calculeze:

e1

a) J_,(3xo

+ 4x - 6)dx;

.l ['-la*;)o9x'+4

4. SI se calculeze:

cl dx - f"'dxu) J_,7;d*; b) J",;;

"lfitl*-l)6dx;

'f, ,L, u*'

ut [t I dr,'Jox+4

") [' -.].^.d*r')2(x+2)(x+3)9. SA se calculeze:

ro x*2a) I .drlr z(y + l),

t,O. Si se calculeze:

ur ['----f-_or;' Jo (r + l)(x2 + 2)

Variante BAC 2O1O

r. Fie sirul (1 ) -.. 1 = Y-t2x -lu*., 'n,nzl, n Jn ,r

a) Adtati cd s,irul (1,),,, este strict crescdtor.b) Ardtali ca girul (1,),,, este marginit.c) Calcula.ti limn(2 - I,).

135

-xel"-1.0.I'. Aratafi ca funcfia / este

ur J,'tJ; -tr[ln*tft

d) J"3sinxdx.

6,1 [,_L6,.Jol+x"

ulfitz, +s,ffidx;d)

Jo sin2.rco s22xdx.

e33h) I

-dx.')t2x-7

al ['----l-ar.Jox'+2x+l

atlirl4u

6, ir x(x - 2) *.' J-t 1y2 _ 4Xx + 3)


lz*)*.t[ ,.,. e (0, 1l

7. Sd se calculeze folosind cea de a doua metodd de schimbare a variabilei.

u) ['. 2'-ar: b) J'-I164 ") jr;G'' .rldx: d) jr'""rf* zar.'J4 l+Jx rier,+l r

E. S5 se calculeze integralele urmdtoarelor funclii ralionale:


2. Se considerd func[ial: IR -+ IR,/(x) = , _ "*--l91lt.tr

a) Calcutali J.yfrXr.

b) Ardtafi cd orice primitivl a tuncliei/este strict crescdtoare pe intervalul [Ot ilt' 2).T

c) Calculali l;* .71*1d*.

3. Se consideri girul ,,= !;#;*a) Calculali Ir+ Ir+ Ir.b) fuAtaf cd qirul este descrescitor.c) Calculafi,liml,.

Variante BAC 2OOg4. Pentru orice ne IN * se considerd fuictja f ,: lR -+ lR, /,(x) = I sin nr I qi numdrul

I = ['" f'(x) *-n Jn x

a) Sd se caLculeze lrtr<*l*.b) Sd se arate cd l,akr2.

c) Sd se arate ca r,>?(-l- * -! * * l).n\n +l n+2 2n)Variante BAC 2OOg

S. Fie funcfial: [0, -) -+ lR,.f(x) ={]lo' x' x + 0.

t o,x:oa) Sd se arate cd funcfia/este integrabili pe intervalul [0, 1].

b) Sd se calculeze fiffrp.c) Sd se carculeze lf(i)*

6. Fie funcfia/: tR --> tR,/(x) - {x3' xe(- -' 01

! + sinx, xe(0, co)

a) Sd se arute cd functia/este integrabili pe intervalul l- 2tu,2x).

b) Sd se catcuteze L|AW.c) Si se ,rrate cd, penffu orice nelNx, ff"f "{*)* =

rn.

!. Fie me lR gi tuncfia/: 10, 2l ->lR,.f(x) = {* - m' xefl' l)

' --'r \--' [xhx, xe(I,2]'

a) Sa se arate cd, pentru orice lelR, func[ialeste integrabild.

l- tlnt dtb) Sa se calculeze I--a;,c) Pentru . = t ,ail'aemonstreze ci, pentru orice /€ (0, 2) existi a, be[0,2], a + b,

ehastfel incAt ),f Arc* = @ - a) .f (t).

Enunturi 137

E. Se considerl qirul de numere reale (I,),.ry, definit de 1o = |;i t, = fi"o"'*a*,n e IN *.

a) Sd se calc:uleze Ir.b) Si se arate ci qirul este descrescdtor.

c) Sd se arate cd nInI-,, = ], V nelN*.nL 2'

9. Se consideri funcliile/: IR -+ lR,/(r) = I + cosx qi F: lR -+ IR, F(r) = x. [if{tldt.F

a) Sd se calculeze J.yfrXr.b) Sd se arate cd funcfia F este funcfie pari.c) Si se determine intervale de monotonie ale funcliei/.

ro. Se considera funclia/: lR + lR,/(x) - - x3 + 2!2 --5x + 8,

v xelR.x'+4a) Sd se calculeze fiffrl*.b) 56 se calculeze f.a 1x + f (x1 - 2)2dx..Jt

c) gtiind cd funclia/este bijectivi, s6 se calculer" fi,f,{ia*.tl. Se considerd funclia/: lR -+ lR, /(x) = x3 - 3x + 2.

a) Sd se calculeze Y f@) *.' Jzx-l

b) 56 se calculeze Y xz + 4 *.' r, f@)

c) Sd se determine punctele de extrem ale funcliei g: lR + lR, g(r) = !o'f {r)r'ar.

t2. Fie ae [0, l] si t,= li x .d.x, V nelN*.Jox+1

a) Si se calculeze Ir.

b) SI se demonstreze cd I- + I- , = L, Y n > 2.nn-ln

c) SE se arate ce,l!91, = 0.

13. Se considerE $irul (1,)o,1, I,= tte-fdx.a) Sd se calculeze Ir.

b) Si se arate ce In= nln-r- j, n** oice n) 2.

c) Sd se calculeze ,lim/,.

Variante BAC 2OOz14. Se considerd funclia/: (0, + -; --> lR,/(x) = lnr qi sirul (r,),-,, definit prin

.2" Isin(nx)lx = |

-dx..

n Jr xa) Sd se calcaleze f '(x), re (0, + -1.

bl Sd se arate ca f I. k.<ln(k+1)-lnk.i,Vke(0,+-;.

138 Matematicd -' Bacalaureat

c) Utiliz6nd metoda schimbdrii de variabild, sd se arate cd x,= !'*ffOr,V nelN*.

d) Utiliz6nd inegalitdfile de la punctul b), s6 se arate cd,

ln(2n+1)-ln(n+ t;<J- * -1= *... *' <tn2,ynelN*.n+l n+2 n+ne)Sdse aratecaxn=J"-s'!1-61* [,

t1l' dr+...+ [,= ttl'

dr,VnelN*.uunfi+t rt)(n+l)n+t n,ot2n-l)r+t

'

15. Se considerf, $irul (I,),rq, definit prin ^Io - ff r*. I,= trcosnxdx, n 2 1 qi (w,),,, definit

. I 3 2n-lPrffiwn=r'4 " 2, '\'lln+t'a) Sd se calculeze 1o $i 1,.

b) Utilizdnd metoda integrdrii prin p6rti, sd se arate cd I, = 4r.., y n 2 2, ne\\.'nn'

c) Utilizdnd metoda inducliei matematice, sa se arate cd lrn= + i 4#

;,V nelN*.

d) Sd se arate cd 1r,.,=? . ! . 2n J ., v nelN*.+r I 3 2n-l 2n+l'

In*t n

0 SI se verifice "iJ-z' - (*)r.{, V r.nV*.'2il+l

Eg) Si se arate ca )y*,= li.

46. Se considerd tunctiile conrinue/: [a, bl -+ IR qi g: [a, bl -+ lR qi funclia lz: [0, 1] -+ IR,

h(g = 11- xs , wde a, belF,, a < b.a) Sd se arate cd" h(x) > I - xe,Y .te [0, 1].

b) Sd se calculeze ln O>a*.

c) Sd se verifice cdt i2f 2(x) - 2tf (x)g(x) + g2(x) > 0, V re TR 9i V xe[a, b].d) Integr6nd inegalitatea de la punctul c), s6 se ante cd,

*!lt'a>a. - ztlu f a)s{r1ax + lb sr@)d; > 0, v re tR.

e) Sd se deducd inegaritatea (!ltorror*)' =(!'r,a>*) (ll*a>*).f) Utilizdnd inegalitatea de la punctul e) sd se arate cd., dac6u: t0, I -+ lR este o funcfie

continud, utun.i [[.,rfrlor)' < l'ur(*\d*.\J0 " .) J0

IJ. Se considerd func{iile/,: IR -+ IR qi g,: lR --> IR definite prin/o(x) = 1Si 8o(;) = e,,

respectiv/,*,(x)= I +[if plat $ig,*1(.r) =t+los,Q)dt,y nelN, VxelR.a) Si se verifice cdf ,(x) = I + x Ci gr(x) = e", V relR.b) Sd se caloulezef ,(x) qi gr(x), xelR.

Enunluri 139

c)UtilizAndmetodainducfieimatematice, sa se arate c|tf ,\x)= 1+: ** *..-+rn ' l! 2l ntqi g,(x) = e',Y neN, V.xelR.

d) Sd se scrie ecualia asimptotei cdtre - - la graficul func{iei go.

18. Se consideri qirul (1,),.p. definit prin 1o = J'e-'dx si I,= le*x!dt, nelN*.

a) Sd se calculeze 10.

b)Utilizdndmetodaintegrlriiprinpdrfi,sdsearate cdI,=- 1 * nln-r,Y rzelN*.,e

c) Si se arare ca 1,=4(, -( t *+ *.... +ll, v nerN*.e\- \' tt nl))'

!h

d) Sd se arate ca n 1x'e-'l xn,Y xe [0, l] qi V nelN*.

e)Sdsearateca '

' <1< I .vrelN*.(n+l)e " n+1f) UtilizAnd inegalitalile de la pct. e), sd se arate cd V ne IN *, ee IR - Q .

re. Se considera funcliile/: [r, ;] - R./,(x) = H v *.

[0. ]). f ,ror= n, v neIN*

n

si integralele t,= )lf ;xlax, V relN*.

a) Sd se calculeze}r11#,nelN*.

b) Sd se arate cd filrrclia f ,este continui pe intervalul [0, i.], V ne IN x.I 2)

c) Sa se calculeze integralele Ir$i Ir.

d) UtitizAndformula sina - sinb =2rino -b"or'!b, a, belF,,sd se arate cf,22

I -I .=-2-..in('-1)^,vnelN*,n >3.n nz n-l 2

e) Sa se arate ca lrn-, = !. V neIN*.-t 2'

fl Sase arateca r,,=z(t-i. + -+. *(-,,"' *)v zreN*.

Recomandarea siptimaniiUrmdtoarele recomanddri ar fi bine sd le recitegti gi in zilele de dinaintea suslineriiexamenului de bacalaureat la matematicd:

- incearcd sd nu intri in panicd. Nu ai motive, ai recapitulat materia 9i egti pregdtit.

- Emoliile exagerate pot compromite funclionarea intelectului.

- Trebuie sd ai incredere in fo(ele proprii gi sd i[i gdsegti linigtea interioard in aceastiperioadd: Doar astfel vei avea acces la informaliile stocate in memorie de-a lungulcomplexului proces de invdlare. Nelinigtea gi teama blocheazd mecanismelememoriei.


Siptimiina 29/Clasa a Xll-a

Tema sflptim0nii

Aplicafii ale integralei definiteCliteva noliuni de teorie

- Datlfunclia/: [a,b] -+ IR continud pozitivdsimullimea LY lf, y)elRxlR I a< x<b,0 < y <,f(x)) numitd subgraficul funcfiei/atunci !,are arie si aria qtr = lulyl4tt*.- Dacdf , g: la, b) -+ lR sunt funclii continue astfel incdt/(x) < S@), Y xela, bf, atllrciaria suprafefei plane cuprinsd intre graficele funcliilor/qi g gi dreptele de ecuafii x = a qi

rb nolx = D este egalh cu

J, I S(r) - f(x)ldx = aria(! ,).

- Dacd f : la, bl -+ lR este o funcfie continud, atunci corpul de rotafie determinat de f areeb -volum si Vr= n),f 'z(x\dx.

- Utiliz0nd integrabilitatea unei funclii/: [0, 1] -+ lR (funclie monoton5, func{ie continui)se poate calcula limita unui sir (an)n21al c6rui temen general a, se poate scrie sub forma

unei sume Riemann, oblinind: i},t(*)= jjfr,X^.

Si rezolv[m!I. Sd se calculeze aria subgraficului funcfiilor urmAtoare, f,:

a) f (x) = x2 + l; xe [-1, 0]; b),f(x) = 2',"xelO,3);

c) f (x) = J; + 2, xelt,2l; d) f(x) = *, xe[2,4].

2. Sd se calatleze aria figurii plane cuprinse intre graficele funcfiilor/ gi g, 17 ,, unde:a)f(x)= e-2'qiE(x)=e',xe[0, 1]; b)f(x)=x2-4 qig(x) = 2x-3,xe[- t,:1.

3. Sd se calculeze aria figurii plane cuprinse intre graficele funcfiilor, ! r, pentru:a)f (x) = x2 + x - l, s@) =2x2 -7; b)"f(x) = x3 -7x, B@) =2x.

4. Sd se determine aria suprafefei plane cuprinsd intre graficul funcfiei f qi axa Ox, inurmdtoarele caztlni:.

a) f (x) = - 2x + 3, ;re [0, 1]; b) "f(x) = coszx, xe [0, ru].

5. Sd se calculeze aria suprafefei cuprinsi intre graficul funclieil axa Ox gi dreptele deecualii x = 1 $i x = 2 inurmdtoarele cazuri;

a) f(x) = x3 - 1:

6. Sd se calculeze volumele corpurilor de rotafie determinate de funcfiile:

x2 -x+7b),f(x) = ----------:-.x+l

b)/: tl, 2l -+ lR, f(x) = 3x2 - x + l.

7. Sd se calcl'tleze volumul corpului obfinut prin rotirea graficului funcfiei/in jurul axeiOx, in urmdtoarele cazuri:

a)/: [0, 2] + IR,/(x) = ,/, +:; b)/: t0, 1l -+ IR,/(*) = s*J;(x +4.8. Sd se calculeze limitele urmdtoarelor siruri:

llnZ)a =

-+ ...*-:" n+l n+2 n+n

r -'ta) /:

10. i] - o,/1x) = sinx;

Enunluri

b) a,

141

le. kcla = -) srn-.nfin


Variante BAG 2OOBt. Fie funcfiile/: t0, 1l --> IR,"f(r) = 1n(1 + *);i s: [0, 1] -+ lR, s(x) = xaretry.

ala) Sa se calculeze J.ftJ;X-.

rlb) Si se calculeze

Jo S(x)dx.

c) Sd se calculeze aria suprafefei plane mirginitd de graficele funcliilor/ 9i g qi de

dreptele de ecualii r = 0 $i,r = 1. 1

2. Se considerd funcfiile/: lR + lR,/(x) =t - x+ arctgx qi g: lR -+ lR, g(x) = arctgx.

,z f,(x) dx.a) Sd se calculeze J, x

b) 56 se calculeze l*fl;frlo,.c) Si se calculeze aria suprafefei cuprinse intre graficele celor doui funcfii 9i dreptele

x=0$ix=1.

3. Se considerd funclia/: [0, l]_> R,,f(r) = cosx.

a) S[ se calculeze aria suprafefei cuprinse intre graficul funcliei/Ei axele de coordonate.

b) Sd se calculeze volumul corpului obtinut prin rotirea graficului funcliei/in jurul

axei Ox.

c) Sr se carcureze ;*(' -r(#)Xr(;) . r(i). .r(;))

4. Se considerl funcliile/,: lR + lR,/,(r) = *j,nelN*.a) Sd se calculeze aria suprafefei cuprinse intre graficul funcliei/,, axele de coordonate

qidreaptax=1.rl

b) Sd se calculeze lrx(f r(x))zdx.

c) Sd se Natecdn(f ,(l)+f ,(2)+...+f ,(fl)=L.

5. Se considerd funcfia/: lR + IR,/(r) = j:. . r.

a) Si se arate cdfuncfia F: IR -r lR, F(x) =4*"r, (?) xelR, este o Primitivd

pentru func.tial.b) Sd se calculeze aria suprafefei delimitate de dreptele x = O, x = l, Ox qi graficul

funcliei g(x) = (2x + 1)/(x).

c) Si se calculeze frgJ_,ffrfr, unde ne['[*.

142

6. Se consideri tuncfia/: [0, 1] -+ lR, "f(x) = x(x * l)e*.a) Sd se arate cd existl a, b, ceIR astfel incAt func{ia


F: lR -+ IR, f(x) = (ar,2 + bx + c)e'sd fie o primitivd a lui/b) SI se calculeze aria suprafelei plane cuprinse intre graficul func{ieilqi axa Ox.

c) Sd se calculeze volumul corpului oblinut prin rotirea graficului funcliei/in jurulaxei Ox.

7. Se considerd ae lR qi funcliile

I'-3r ta ,F61 =x2 + ax +5,vxerR.

(x'+l)lx'+l {x'+la) Si se arate cd F este o primitivd pentru funcfial.b) Pentru a = 2, sd se determine aria suprafefei plane cuprinsi intre graficul funcliei/,

axa Ox qi dreptele x = I $i x = 2.

c) Sd se determine ae lR astfel incat fir61a-x - lo ,r{*\a* = z.

E. Se considerd func[ial: (0, -) -+ TR.71*; = EJ;a) SI se arate cI funclia F: (0, -) -+ lR, F(x) = ZJiOnx - 2), este o primitivi pentru

funcfia/.b) Si se arate cd orice primitivd G a funcfiei/este crescitoare pe (1, -;.c) Si se calcaleze aria suprafefei plane cuprinse inffe graficul funcfieiJ axa Ox qi

dreptele de ecuafii * = L qi * = r.

9. Se considerd funclialo: lR + IR,/o(r) = 1 $i, pentru orice neltl*, se defineqte

/,: IR + R,f ^(*)

= [if ,-r@ara) Sd se arate cd f l(x) = 2f z@), V xe lR.

b) Sd se calculeze , ##c) Sd se calculeze volumul corpului ob{inut prin rotirea graficului g: [0, n] -+ [0, n],

g(r) =/,(x)sinx in jurul axei Ox.

Io. Fie functia/: ll,2) -+ IR,.f(r) = Jrr.a) Sd se calculeze [)f<l)a*.b) Sd se calculeze volumul corpului obfinut prin rotirea graficului functiei/in jurul

axei Ox.

c) S5 se arare c5 I;;* + !,"flid* = r.

x'{x' + 1

a) Si se arate cdtuncf,a F: tl, 2l-+ lR, P(x) = rrJ7A -' este o primitivn a tuncfieilx

b) Si se determine volumul corpului oblinut prin rotirea graficului funcflei/in jurulaxei Ox.

.z-c) SE se calculeze hn L

+ (n + k)2'n+@ k =r(n+ k)

Enunluri 143

42. Fie funclia/: t- l, ll --> IR,/(x) = .I-.rl I--------i

a) Sa se calculeze J_,x.{l - x'dx.

b) S[ se determine volumul corpului obtinut prin rotirea graficului funcliei/in jurul

axei Ox.r1

c) Sa se calculeze ly)o*'f?Nr.Variante BAC 2OO7

I3. Se considerd funcfial: IR --> IR,/(x) = * + ,{i 4.a) Sd se calculeze ig/fxlb) Sd se calc:ulezef'(x), xelR.c) Sd se arate cd funcfia/este cresc[toare pe lR.

.. f(x)- f(t)d) Si se calculeze lim'x-+l x -l

e) Sd se calculeze aria suprafelei plane cuprinsi intre graficul funcliei f',axa Ox qi

dreptelex=0$ix=1.

14. Se considerd funcfia/: (0, -) ->

a) Sd se arate cd/(x) = I - t

'-, x+l'b) SI se calaleze f '(x), xe (0, -)c) Sa se calculeze t,Sn-#

IIR, "f(x) = ,1, * 9.

V xe (0, *).

d) Sd se calculeze aria suprafe[ei plane cuprinsd intre axa Ox, gtaficul funcliei / qi

dreptelex=7$ix=2.e) Sd se calculeze ,lgifttl + fQ) + ... + f (n)).

Variante BAC 2OO5

15. Se considera funclia/: IR -+ IR./(x) = Ei - fr11a) SI se caluilezef'(x), xelR.b) Sd se arate cA funcfialeste strict descrescdtoare pe intervalul [0, -).c) Sd se calculeze ]5i/fxld) Si se determine ecualia simptotei la graficul funcfiei/cdtre - €.

e)Sdsecalculeze mW0 Sa se calculeze aria suprafefei plane cuprinsd intre graficul funcliei f, axa Ox 9i

dreptele de ecualii x = 0 $i x = 1.

I,6. Se considerl funcfia /: lR -+ IR, /(x) - ln(x2 + 2) - ln(xz + l).a) Sd se calculezef '(x), xelR.

b) Sa se catculeze m44/Qc) Sd se arate cd funclialeste strict crescdtoare pe intervalul (- -, 0l Ei strict

descrescdtoare pe [0, -).d) Sd se arate cd 0 <"f(r) 3lr2, V relR.

r0e) Sa se arate ca J.lntl + a21dt = xln(xz + a2) -2x +2a.arcte(L). V *.fn. V aelR*


I Sd se calculeze aria suprafelei plane cuprinse intre graficul funcliei f, axa Ox qidreptele de ecuafii x = 0 $i x = 1.

Variante BAC 2OO247. Se consideri funcf,a/: t-3,31-+ R,/(x) =9 - *. Notdm cu S suprafafa pland cuprinsdintre graficul functiei/9i axa Ox.

a) Sd se calculeze aria suprafefei S.

b) Sd se arate cd dreapta r = 0 desparte suprafafa S in doud regiuni cu arii egale.

c) Si se atate cddreapta y = g - +desparte suprafafa S in doud regiuni cu arii egale.it4

a8. Se considerl funclia/: lR - {- 1} -+ IR,/(x) = -l-.' l+xa) Sd se determine asimptota verticald a graficului functiei/.b) SI se determine asimptota la + - a graficului funcliei/.c) Sd se arate cdf(x) - I + x - * < 0,V x > 0.d) Sd se arate cdf(x) - I + x - x2 + x3 > 0, V x > 0.

e) Sdsededuclinegalitltile: l-x+*- x3<l< 1 -x +x2,Y x>0.l+xf) Sd se arate cdaria cuprinsd intre graficul functiei g: [0, + -) -+ lR, gt*l = j?,

axa Ox gi dreptele x = 0 Si x = 1, este un numir real cuprins in intervalul (0,91; 0,96).

Variante BAC 2OO149. Se consider6/: lR -+ lR,/(r) = 4 - *.

a) Sd se verifice cd' f(- x) = f(x).b) Si se calctleze f '(x), xe lR.

c) Sd se determine ae(-2,2) cu proprietateacddreaptax = a desparte suprafafa planicuprinsd intre graficul funcliei/gi axa Ox in doul regiuni de arii egale.

d) Sd se determine be(O,4) cu proprietatea ci dreapta )l = b despafie suprafafa plandcuprinsd intre graficul funcfieilgi axa Ox in doud regiuni de arii egale.

e) Sd se arate cd dreptele x = a Si! = b, determinate anterior, despart suprafafa plandcuprinsd intre graficul func.tiei/qi axa Ox in patru regiuni de arii egale.2o. a) Sd se determine a, b, ceR, pentru care

labc(r+lXr-rXr.X= **l* **z+ ^''r>o'

Se consideri funcfia.f: lR -+ IR,.f(-x)("* + l)(e' + 2)(e' +3)

b) Sa se determine asimptotele la graficul funcliei/.

c) Sd se calculeze !i;*,xelR, a > 0.

d) SI se calctleze aria suprafefei plane cuprinsd intre graficul func{iei f, axa Ox s,i

dreptele de ecua{ii x = 0 $i r = 1.

Recomandarea siptimaniiFelicitdri!Tocmai ai finalizat recapitularea materiei pentru BAC-ul la matematicS. in timpul rdmasp6nd la suslinerea efectivi a examenului scris, ar fi recomandat sd rezolvi teste dupdmodelul celor de la BAC, precum gi subiectele propuse la BAC in anii precedenli.lncearcd sd cronometrezi timpul de rezolvare al unui test lindnd cont ca acesta sdfie cu cel pulin 30-40 minute mai redus dec6t timpul oficial de la examen.

e) Fie funcfia F: IR -+ lR, F(x) = [ifOnt. Sd se calculeze limF(r).

Enun!uri 145

Test 1 recapitulativ Glasa a Xll'a

Subiectu! It. Sd se efectueze suma qi diferenfa polinoamelorl gelR[X], f(X) =9Xz - 5X + 9,

s(D=X_1.2.Fie(2,*),unde.r*!=x+y-l0.Sdsestudiezeasociativitatealegiidecompozilie

3. Aflati elementul neutru al grupului (%, ")unde x o ! = ry -3x-3y + l2,Y x, yeZ.4. Sd se determine funclia/: D -+ lR, a cdrei primitivl are forma F(x) = 4* + 3x - l-

5. Sd se calculeze t-"-] dx, x > 0.ux'+5x+46. Sd se calculeze aria suprafelei plane cuprinse intre graficul functiei/$i axa Ox pentru

functia/(x) = - 3x + 4, xe [0, 1].

Subiectul al ll-leal. Seconsideripolinomul/€lRtxl, f =X+ -8X3+ 22X2-24X+9.

a) Si se calouleze (f - 4x + 3)2.

b) 56 se determine rdddcinile polinomului/.c) Si se determine restul impdrfirii polinomuhif la polinomul I = X + 3.

2. Se considerd mullimea U,rtl = {a + UJ1 I a, beZ}, care, impreund cu operaliile de

adunaregiinmullirearestructuradeinelgifunclial ZLJll+Z,f(a+bJh=a2-7b2,a, be%.

a) Aratali cd,f(x .y) =f(x)'f(y),V x, yeZlJil.b) Sd se arate ce = 0 daci qi numai dacd x = 0.

c) Se considerd, xeZt"fil. Rezolvafi ecuafia x2 = 16 + 6Ji .

Subiectul al lll-leaI. Fie funcliile/, g: lR -r lR,"f(r) = 2x3 - l4x, g(x) = !a.

a) Afla.ti punctele de intersecfie ale graficelor funcfiilor/9i g't2 o2

b) Aflati Jltr)ax si J, e(x)dx.

c) Aflati aria figurii plane cuprinse intre graficele funcliilor/qi 8 pentru xe [0, 3]'2. Se consideri funcfia/; lO; 21 + IR,,f(x) = 3x2 - x + L.

a) Determinali punctul de extrem al funcliei/.b) Demonstra{i cd func{ialnu are puncte de inflexiune.c) Aflali volumul corpului de rotafie determinat de rotirea graficului func.tiei in jurul

axei Ox dacd xefl,2f.


Test 2 recapitulativ clasa a Xll-a

Subiectul Il. Sd se determine rldlcinile polinomului /e lR[X], ,f = X3 - 8X + 7 .

2. Sd se afle restul impafirii polinomului/e lRlXl,"f = X3 - 5X + 9 la polinomul ge IRffi,8=X.t. Verificali comutativitatea legii de compozilie date de formula

x L y - x2 + y2 - 5(x + y) - 25,r, y€lR.

4. Fie funcfia/: lR + lR,"f(x) = x3 - 5. Afla1i primitiva F: lR -+ lR a funcliei/curl \

proprietateaFl; l=e\z)5. Sa se calculeze l'--!-ar.Jl x'+3x+26. Sd se calculeze volumul corpului obfinut prin rotirea graficului funcfiei/in jurul axei

ox. dacFt f : [0, il - R, /(x) = cos,r.t'2)Subiectul al ll-lear,. Fie funclia/: ll;71 --> lR, "f(r) = x(x - 3)d.

a) Sd se determine punctele de extrem ale funcliei/.b) Sd se determine intervalele de monotonie ale funcliei/.c) Afla1i a, b, celt astfel incit F: IR -+ lR, F(r) = (af + bx + c)e'sd fie o primitivd a

lui/' x+r

2. Fie qirul fi),.ry*, unde/,: lR --r lR,/,(x) =f)-r(x),iarf o@) = € 2 ,nelN*.a) Calculati / r(x), f ,(x).b) Determinali termenul general al qirului ff),.N*.

r2c) Aflati

J,"fof, - t;Ar.

Subiectul al ll!-lea

a. Se consideri funcfial: lR - {8;9} --+ lR,/(r) = --2!-!--.x'-lJx+72a) Determinafi A, BelR pentru caref(x) = * *b) Calculati derivata funcliei/.c) Calculati derivata de ordinul 3 a funcliei/.

2. Fie funcfial: lR - t3) + lR,/(.r) - x2 - 3x-+ 4 * ,.x-3

a) Afla1i valorile aelR - {3} astfel incdt/(a) < 0.

b) Sd se afle asimptotele funcliei g: IR - {3} -+ lR, g(x) = 'f (D=.

(r + l)-c) Sd se afle aria suprafefei plane cuprinse intre graficul funcliei h(x) = f(x) - 1, axa

Ox qi dreptele de ecualii r = 0 Si x = 1.

clasa a xiia

Documents