clase 13 sistemas de ecuaciones

Previo a sistemas de ecuaciones lineales Sistema de ecuaciones lineales

CLASE 13: SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

Andrea Sandoval

Universidad de Chile

[email protected]

23 de mayo de 2016

Metodos Matematicos III FEN, Universidad de Chile


Resumen

Previo a sistemas de ecuaciones linealesCombinacion linealTransformacion lineal

Sistema de ecuaciones linealesSistema de ecuaciones linealesSolucion de un sistema de ecuacionesClasificacion de un sistema de ecuaciones linealSistemas homogeneosExistencia de solucion unica de un sistema linealSolucion de un sistema lineal



Combinacion lineal

Resumen





Combinacion lineal

Combinacion lineal

Sea {x1, ..., xn} ∈ Rn. Se define una combinacion lineal de {x1, ..., xn}como α1x1 + ...+ αnxn ∀ α1, .., αn ∈ R

Ejemplo:

x1 =

(12

)y x2 =

(34

)entonces una combinacion lineal con

α1 = 2 y α2 = 4 es:

α1x1 + α2x2 = 2(

12

)+ 4

(34

)=

(1420

)



Transformacion lineal

Resumen







Sea T una funcion con dominio en Rn y recorrido Rm, se llamatransformacion lineal si cumple con:

1. T (X + Y ) = T (X ) + T (Y )

2. λ T (X ) = T (λX )

con X ,Y ∈ Rn y λ ∈ R



Sistema de ecuaciones lineales

Resumen







Se llama sistema de n ecuaciones con m variables (incognitas)(x1, x2, · · · , xm) a:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1mxm = b1...

...an1x1 + an2x2 + an3x3 + · · ·+ anmxm = bn

Donde los aij ∈ R reciben el nombre de coeficientes y los bi elde terminos independientes.



Solucion de un sistema de ecuaciones

Resumen







Se dice que S1,S2, · · · ,Sn, con Si ∈ R es una solucion al sis-tema S si se verifican las n ecuaciones de S, es decir, si alsustituir en el sistema xi por Si las igualdades se convierten enidentidades numericas.



Clasificacion de un sistema de ecuaciones lineal

Resumen






Clasificacion de un sistema de ecuaciones linealSegun sus soluciones, existen tres tipos de Sistemas de Ecua-ciones Lineales:

1. Sistemas Incompatibles: no tienen solucion, pues no hay unconjunto de valores para las incognitas xi que satisfaga todaslas ecuaciones simulaneamente. El conjunto de soluciones esvacıo. Un ejemplo es el sistema:

x − y = 4y − x = 0

No hay ningun valor de x e y que satisfaga ambas ecuaciones.





2. Sistemas Compatibles Indeterminados: hay infinitas so-luciones pues existen infinitos conjuntos de valores para lasincognitas xi que satisfacen las ecuaciones simultaneamente.Si el sistema tiene mas de una solucion, entonces tiene infini-tas soluciones si el cuerpo de numeros en que se definen lassoluciones es infinito.

x − y = 4y − x = −4





3. Sistemas Compatibles Determinados: hay solucion unica,existe uno y solo un conjunto de valores para las incognitas xique satisfacen las ecuaciones simultaneamente. Un ejemplo esel siguiente sistema:

x − y = 4x + y = 0



Sistemas homogeneos

Resumen





Sistemas homogeneos

Sistemas homogeneosUn sistema lineal que tiene todos sus terminos independientesiguales a cero, es decir bi = 0 ∀i ∈ {1, ...,n} recibe el nombrede sistema homogeneo. De esta forma, todo sistema lineal dela forma:

Ax = b (1)

Tiene asociado el sistema homogeneo:

Ax = 0 (2)

Nota: Un sistema homogeneo es siempre compatible puestoque (0, ...,0) es siempre solucion del sistema, nos referimos adicha solucion como la solucion trivial.



Sistemas homogeneos

Sistemas homogeneos

De los sistemas homogeneos se puede obtener informacion delsistema original, como por ejemplo, a partir del numero de solu-ciones del sistema homogeneo, se puede extraer el numero desoluciones del sistema original.

La siguientes proposiciones resumen lo anterior.

Proposicion 1: Si un sistema homogeneo tiene solo una so-lucion diferente a cero, entonces el sistema homogeneo tieneinfinitas soluciones.



Sistemas homogeneos

Sistemas homogeneos

Proposicion 3: Si (s1, ..., sm) es una solucion del sistema linealy (h1, ...,hm) una solucion del sistema homogeneo asociado, en-tonces (s1 + h1, ..., sm + hm) tambien es solucion del sistema li-neal.

Proposicion 4: Si un sistema lineal tiene dos soluciones distin-tas, entonces tiene infinitas soluciones.

Proposicion 5: Si un sistema lineal tiene una unica solucion,entonces su sistema homogeneo asociado tiene solo la soluciontrivial.



Sistemas homogeneos

Sistemas homogeneosProposicion 6: Sean S y S′ dos sistemas compatibles. Diremosque S es equivalente a S′ (S ≈ S′) si S y S′ poseen el mismoconjunto de soluciones.

Las siguientes operaciones transforman un sistema en otro equi-valente:

1. Permutar dos ecuaciones2. Multiplicar una ecuacion por λ ∈ < − {0}3. Sumar una ecuacion a otra4. Sumar una ecuacion, una combinacion lineal de las

restantes



Existencia de solucion unica de un sistema lineal

Resumen






Existencia de solucion de un sistema lineal

Para saber cuando existe solucion, cuando hay infinitas solu-ciones o cuando no existe solucion, se necesita tener claro lossiguientes conceptos:

I Vectores linealmente dependientes (ld) y linealmente inde-pendientes (li).

I Rango de una matriz.




Vectores li o ld

Un conjunto de vectores (~vi)ki=1 es linealmente independiente

(li) si ∀ α1, ..., αk ∈ R, se cumple que si:

α1~v1 + α2~v2 + ...+ αk~vk = ~0

Entonces, α1 = α2 = ... = αk = 0.

En caso que que existan α1, ..., αk ∈ R no todos nulos, los vec-tores seran linealmente dependientes (ld). Ejemplo: estudiarlos vectores ~v1 = (1,1,3), ~v2 = (0,1,2), ~v3 = (1,2,5).




Rango de una matriz

Se llama rango de una matriz A, denotado por Rg(A), al rangodel conjunto de vectores columna que la conforman. Y el rangode los vectores columna es el numero de vectores columna l .ique posee la matriz A.

El Rg(A) se encuentra a traves del numero de peldanos de cual-quiera de sus matrices escalonadas. O sea, se busca la matrizescalonada de A y el numero de filas no nulas de esta matrizescalonada, es su rango.




Existencia de solucion unicaComo deben recordar, para obtener la solucion de un sistemade ecuaciones se puede utilizar la regla de Cramer, en donde seocupa el determinante de la matriz que forman los parametrosque acompanan a las variables del sistema.

I Si el determinante es cero, el sistema no tiene solucion uni-ca (se indefine la solucion), lo cual es equivalente a que lamatriz A no es invertible. Y la matriz A no es invertible, siel Rg(A) es menor que el numero n de variables incogni-tas del sistema. Esto se explica porque en el caso que elRg(A) es menor que el numero de columnas de la matrizA (que es el numero de incognitas del sistema), la matriztiene columnas que son ld .



Solucion de un sistema lineal

Resumen







Para encontrar la solucion de un sistema lineal se puede utilizarel algoritmo de resolucion de SEL (por metodo de Gauss). En elcual:

1. Se considera una matriz ampliada (A|B).2. Se obtiene una matriz escalonada (Ar |Br ).3. Se resuelve el problema de forma ascendente.





Para el algoritmo de resolucipon de SEL necesitamos recordarque es una matriz escalonada:

Se llama matriz escalonada o reducida de A ∈ Mn×m a cual-quier matriz Ar ∈ Mn×m que se obtiene de A mediante operacio-nes elementales y en la que el primer elemento no nulo de la filase encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la filaanterior. Las filas nulas, si las hay, en una matriz escalonada,deben estar al final.




Ejemplos de matrices escalonadasPara el algoritmo de resolucipon de SEL necesitamos recordarque es una matriz escalonada.Ejemplos de matrices escalonadas

1. A =

[1 20 1

]2. B =

1 3 40 2 10 0 0

3. C =

4 3 40 8 30 0 20 0 0




Teorema de Rouche-FrobeniusEste teorema nos de la existencia de soluciones del sistema deecuaciones lineal.

Si Ax = b es un sistema de m ecuaciones con n incognitas,entonces:

1. Si Rg(A) 6= Rg(A|B), el sistema es incompatible o noexiste solucion

2. Si Rg(A) = Rg(A|B) = n, el sistema es compatibledeterminado y tiene solucion unica.

3. SiRg(A) 6= Rg(A|B) = k < n, el sistema es compatibleindeterminado y su solucion depende de n− k parametros.


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