clase 3 mantenimiento

METODOS ESTADCTICOSEN

MANTENIMIENTO(Un enfoque prctico)

DISTRIBUCIONES ESTADSTICASEN CONFIABILIDAD Y MANTENIBILIDAD

DISTRIBUCIN BINOMIALEs una distribucin discreta que se aplica a eventos mutuamente excluyentes tales como:

Pasar no pasarFallar no fallar

Esta distribucin permite hallar la probabilidad de que ocurra k veces un evento despus de n pruebas, siempre que se conozca la probabilidad de ocurrencia del evento ( p= ) o su no ocurrencia [q = 1-p)].

La expresin matemtica de la probabilidad de k xitos es como sigue:

n

kP(k) = ( ) Pk(1-P)n-k

La esperanza matemtica E(x)= np

La varianza V(x) = np(1-p) = npq q = (1-p)

DISTRIBUCIN BINOMIAL (EJEMPLO)Un proceso es controlado a travs de 5 resistencias elctricas de las cuales se requiere que al menos 3 estn siempre operativas durante el procesamiento de de un lote de productos que dura 8 horas. Si la probabilidad de falla de una resistencia cualquiera durante el perodo de 8 horas es 0.1, Cual es la probabilidad de que el proceso tenga xito?

5

5P(5) = ( )

( (0.9)(5) (0.1)(5-5) = 0.59049

P(4) = ( ) (0.9)(4) (0.1)(5-4) = 0.2932454

P(3) = ( ) (0.9)(3) (0.1)(5-3) = 0.0729053


DISTRIBUCIN BINOMIAL (EJEMPLO CONT.)

La esperanza matemtica E(x)= np =4.5

La varianza V(x) = np(1-p) = npq ; q = (1-p)= 0.1

V(x) = 0,45

Probabilidad de que el proceso fracase es: P(frac.) = 1-P(5)-P(4)-P(3)= 0.043

La probabilidad de xito ser:P(ext.) = 1-P(frac)= 0.956


DISTRIBUCIN NORMAL (O DE GAUSS)

Una variable X real se dice que tiene una distribucin normal entre - < x < si su funcin densidad tiene la expresin:

f(x) = eEs una funcin continua que se aplica a eventos que tienen que ver con desgaste y propiedades relacionadas con fenmenos naturales tales como:

Desgaste de piezasFenmenos de envejecimientoEstatura de personas Etc.

- (x )222

1(2)1/2


F(x)=Pr(x ) = -

1

(2)1/2 e dx-1/2( )X -

2

= Desv. Stand. = Esperanza

Esta distribucin permite hallar la probabilidad de ocurrencia para un intervalo determinado de la variable aleatoria.La expresin matemtica de la funcin distribucin es probabilidad de ocurrencia para el intervalo (x ), la cual tiene la expresin:


Haciendo el cambio de variable:

Z = (X - )/

f(z)=(2)1/2

1 e -z2/2

F(z) = Pr(Z z ) =(2)1/2

1 -Z

e du-u2/2

= 0 = 1


z = 0 = 1

0.3989

0 1 2 3-3 -2 -1

34.1% 13.6% 2.1%34.1%13.6%2.1%

f(z)


EJEMPLO:

Supongamos que la temperatura en Caracas durante el mes de mayo se distribuye normalmente y tiene una media de 26 grados centgrados y una desviacin estndar de 6. determine la probabilidad de que la temperatura este entre 28 y 32.

= 26 = 6

I t = (x- )/ = (28-26)/6 =0.33II t = (x- )/ = (32-26)/6 =1.00

.33 1.0

p =P(28 T 32)= P(0.33 T* 1)

p = P(00 T* 1) P(0 T* 0.33)

p = (0.3413 - 0.1293) =0.212 = 21,2%0


DISTRIBUCIN LOG-NORMALEs una distribucin continua que se aplica a los eventos que tienen que ver con desgaste y propiedades relacionadas con fenmenos de vida. Se utiliza tambin para el anlisis del tiempo para reparar.

Esta distribucin permite hallar la probabilidad de ocurrencia para un intervalo determinado de la variable aleatoria.La expresin matemtica de la funcin densidad es como sigue:

f(t) = 1t(2)1/2 e dx

-1/2( )Lnt - 2


Su funcin distribucin:

F(t) =-

t1

t (2)1/2e dt( )Lnt -

2

Haciendo el cambio de variable:

Z = (Lnt - )/ dz = dt/ t

E(t) = exp( + 1/2 2) V(t) = exp(2 + 2 2)- exp(2 + 2)

F(t) = -

1

(2)1/2( )-z2/2(Lnt - )/ e dz


DISTRIBUCIN DE POISSON:

P(K, ) = ()X e-

K!

Donde = NP P= Probabilidad de ocurrenciaN= Nmero de tentativas

OTRA FORMA DE LA DISTRIBUCIN DE POISSON:

P(X =N) =P(N,RT) =(RT)Ne-(RT)

N!R= 1/(TMEF)

= 2 =

= RT2 = RTR= = 1/(TMEF) , T es el tiempo


DISTRIBUCIN DE POISSON (ejemplo):

La distribucin Poisson es particularmente til para el anlisis de fenmenos de rara ocurrencia.Ejemplos:La Probabilidad de que un parabrisas de automvil se fracture accidentalmente por efecto del impacto de un objeto contundente es de una vez cada 20000 horas. Determinar la probabilidad de que no se rompa en 40000 horas, en 10000 horas.

De acuerdo con los datos TMEF = 20000 =>R = 1/TMEF = 1/20000 =0.00005

T = RT donde T es el tiempo

Para una duracin de 40000 horas sin fallas RT = 0.00005*40000 =2P(x = 0) = (RT)0e-2/0!= 0.1353

Para duracin de 10000 horas RT = 0.00005*10000 = 0.5P(x = 0) = (RT)0e-(0.5)/0!= 0.606


P(X =k) =P(k,Rt) =(RT)ke-(Rt)

K!R= = 1/(TMEF)

En caso de fallas independientes entre si e independientes del tiempo (como es el caso de la vida til), la probabilidad de k averas en el instante t se puede expresar por la ley de Poisson como:

La confiabilidad probabilidad de que no haya averas, ser:

R(t) = e -tYa que para 0 averas k = 0

DISTRIBUCIN EXPONENCIAL:

(RT)0= 1 ; K! = 0! =1 y por lo tanto:


-R(t) =

dte

La ley exponencial de la confiabilidad se puede obtener tambin a partir de la ecuacin fundamental de la confiabilidad asumiendo que es constante

La cual se transforma en:

R(t) = e -tQue representa la probabilidad de supervivencia entre 0 y t



La probabilidad de fallas f(t) ser por definicin:

La esperanza y la varianza para esta distribucin son:

f(t) = dF(t)/dt o lo que es lo mismo:

f(t) = d(1- R(t))/dt = e -t


E(t) = TMEF = 1/

E(t) = TMEF = tf(t)dt = t e- t dt = 1/ 0

t 0

t


Y para t = 1/ la funcin R(t) toma el valor:

R(t) = e -/ R(t) = e -1= 1/e = 0.368

V= 1/ 2 y = 1/ En forma similar la varianza se obtiene:


Representacin grfica de la funcin confiabilidad para la funcin exponencial:

t

f(t) f(t) =e-t


t

Ln R(t)

R(t) = e -t0

-1

(2.3)/

R(t)1

0.1

0.01-2

LnR(t) =-t Log R(t) = - t/2.3


Duracin de vida asociada a una confiabilidad dada para vida normal (distribucin exponencial).

R(t) =e -tSabemos que:

LnepR(t) = -tt = -(1/ ) LnepR(t)t = (1/ ) Lnep 1

R(t)Por ejemplo, para una confiabilidad del 99% la duracin de vida ser:

t = 0.01/ = 0.01 TMEF



DISTRIBUCIN DE WEIBULL:

= parmetro de forma > 0 = parmetro de escala > 0 = parmetro de posicin - < < +

Para todo t

E(x) = + (1+ 1/ )

t - -( )t-

f(t) = / ( ) -1 e

V(x) = 2( (1 + 2/) - 2 (1+ 1/ ))

F(t) = 1-e-( )t -


La confiabilidad correspondiente es:

R(t) = 1- F(t) = e-( )t - Para =0 y =1 R(t) se transforma en:

R(t) = e-( )t

0

t(t) d(t)

R(t)=e-De la ecuacin fundamental de la confiabilidad

En caso de (t) constante se cumplir que: = 1/


La tasa de fallas ser:

(t) = f(t)/R(t) = f(t)/(1- F(t))

(t) =(/)[(t- )/ ]-1

Si < 1, (t) decrece corresponde al perodo de infanciaSi = 1, (t) es constante corresponde al perodo de vida tilSi > 1, (t) crece corresponde al perodo de desgaste


En forma ms especfica:

1.5< < 2.5: Corresponde a fenmeno de fatiga3 < < 4 :Fenmeno de desgaste, corrosion(iniciado en el

instante t = ). = 3.5: f(t) es simtrica siminlar a la distribucin normalLos sistemas electrnicos se caracterizan por tener un valor de constante durante periodos largos. Los sistemas electromecnicos no llegan a tener un valor de constante, razn por la cual deben ser analizados con el modelo de Weibull.


En forma ms especfica:

R(t) = e-( )t - LnR(t) = - ( )t -

Ln(1/R(t)) = ( )t -

[Ln(1/R(t))] = t - 1/

Para R(t) = 0.90

L10 = + [Ln(1/0.90] ; L10 = + (0.105)1/ 1/

Expresin para determinar la vida de un bien una vez que se conozcan , ,

t = + [Ln(1/R(t))]1/


LA METODOLOGIA ESTADISTICAEN MANTENIMIENTO

EL PROBLEMA:

ESPACIO MUESTRAL A EVALUAR

Caractersticas estimadas

MUESTRACaractersticasprevistas

ESTADSTICADESCRIPTIVAHistogramaValor medio

Diagrama acumulado

ESTADSTICA PROBABILISTICAFUNCIN DENSIDAD f(t)

ESPERANZA E(t)FUNCIN DISTRIBUCIN F(t)

AJUSTE DE LA MUESTRA

Tests de evaluacin

PROCEDIMIENTO

PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIN

Para el caso de CONFIABILIDAD

Ordenar la informacin de los TAF ( TEF), en forma ascendente

Numerar las observaciones de 1 en delante de acuerdo al orden. La ltima observacin ser la n.

En caso de dos observaciones iguales se puede tomar la media de los nmeros de orden para la representacin.

Se procede a calcular la probabilidad de ocurrencia de falla utilizando las expresiones que se indican a continuacin.


Antes, recordemos que:

R(t) = 1 - F(t)

y que la funcin distribucin se extiende desde - hasta +

Por definicin F(t) = Pr( T < t ), esta funcin que es siempre creciente admite dos asntotas:

F(-)=0 y F() = 1

tn0

1

F(t)

- tiF(ti)


Para t = 0 F(i) = 0 y F(t) = Para t = tn F(i) = 1 y F(t) = 1-

CASO DE GRANDES MUESTRAS n > 50

F(i) = ni/NF(i) =

Numero de la fallaNumero de fallas totales

F(i) = Pr(T < ti)

por lo tanto F(i) = F(t)Para los valores de t=0 y t=tn, tendremos:

Para t = 0, F(i) = 0 y F(t) = Para t = tn, F(i) = 1 y F(t) = 1-


Excepto para los valores extremos es despreciable

CASO DE MUESTRAS 20 < n < 50

F(i) = ni/(N+1)

F(i) = (ni - 0.3)/(N+0.4)

CASO DE MUESTRAS n < 20

Si en este caso se desea determinar la funcin confiabilidad R(i) se utilizar la expresin:

R(i) = (N - i + 0.7)/(N + 0.4)


Una vez ontenidos los valores de F(i) y R(i) se procede a su repesentacin grfica utilizando una hoja de papel Weibull(ver ejemplo adelante).

Se traza la mejor recta entre los puntos de la muestra.

PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIN (cont....)

Con P(s) = 36.8% se procede a determinar el valor de Se traza una recta paralela por el punto o se traza una

recta paralela a la trazada por los puntos de la muestra.

Para efectos del tratamiento experimental utilizaremos la ecuacin de Weibull de dos parmetros cuya ecuacin es:

R(t) = e-( )t


Se prolonga la recta as obtenida hasta que corta al eje y se determina el valor de k, que corresponde al valor del punto de corte.

Con los valores anteriores se procede a calcular el TMEF utilizando la relacin:


TMEF = (1+ 1/ )


Ejemplo:Se tiene la siguiente informacin de la historia de fallas de un equipo:

TIEMPOS ANTES DE FALLAR: 60, 120, 242, 451, 160, 28, 183, 339, 135, 376, 42, 99, 389, 77, 660, 845, 16, 536, 17.

ORDEN TEF P(F) P(S)

1 16 0,04 0,962 17 0,09 0,913 28 0,14 0,864 42 0,19 0,815 60 0,24 0,766 77 0,29 0,717 99 0,35 0,658 120 0,40 0,609 135 0,45 0,55

10 160 0,50 0,5011 183 0,55 0,4512 242 0,60 0,4013 339 0,65 0,3514 376 0,71 0,2915 389 0,76 0,2416 451 0,81 0,1917 536 0,86 0,1418 660 0,91 0,0919 845 0,96 0,04

EJEMPLO No 1

P(f) = ORDEN- 0,3

N+ 0,4

P(S) = 1- P(F)


10

100

200

1000

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.O

PAPEL TIPO WEIBULL

.01 .1 1 5 10 20 30 40 50 60 70 80 85 90 93 95 96 97 98 98.5 99.0 99.4 99.5 99.7 99.8 99.9

Ps(t) = e-( )t

2500.9

=250

O.368 = 0.9

Caso en que el parmetro es distinto de cero en este caso la funcin distribucin tiene la siguiente expresin:

F(x) =1- exp{-[(t- )/()]}Donde es el punto correspondiente al arranque de la funcin.Si > 0 hay supervivencia segura entre t=0 y t= Si = 0 las fallas empiezan en el origen del tiempoSi < 0 las fallas comienzan antes del origen del tiempo


< 0 = 0 > 0t

f(t)

El trmino (t- ) corresponde a un cambio de origen por traslado de la abscisa t = En los casos en que se determine la posible existencia de distorsin en la informacin deber procederse a correccin de la informacin siguiendo alguna de las metodologas apropiadas para el caso de las cuales la ms comn y rpida es la determinacin de en base a la relacin siguiente:

=

Veamos un ejemplo:Los tiempos de reparacin de un conjunto electromecnico naval, son como sigue: 55, 57, 59, 61, 72Los rangos medios correspondientes son: 12.94, 31.47, 50.00, 68.53, 87.06


t2 - t1.t32

2t2 t1 t3


t1=53

t2=59

t3=68t2 - t1.t32

2t2 t1 t3 = = 41

= 21 = 62- 41 =2.2

Otra forma de resolver el problema es utilizar la forma genrica de la ecuacin de desconfiabilidad:

F(x) = 1 exp [- (t-t0)/(-t0)]

Con lo cual la expresin de la desconfiabilidad quedara como:

F(x) = 1 exp [- (t-t0)/(-t0)]

El valor t0 corresponde a la variable . En nuestro caso: = 41F(x) = 1 exp [- (t-41)/(62-41)]2.2

F(x) = 1 exp [- (t-41)/21]2.2


Para el caso de MANTENIBILIDAD:

M(t) = g(t)dt donde g(t) = funcin duracin de reparacin M(t) es la probabilidad de que una reparacin tenga una duracin TTR < t, M(t) = P(TTR < t)La expresin matemtica de la funcin M(t) segn la distribucin de Gumbel es como sigue:

M(t) = P(t T)= e-e-a(t-)t = Tiempo real de reparacinT = Tiempo de referenciaa = Parmetro de dispersin = Parmetro de posicin


La tasa de reparacin se calcula mediante la expresin(t) = g(t)/[1-M(t)]

El tiempo medio para reparar se calcula mediante la expresin

TMPR = + 0.5778/aEl valor de se determina a partir del grfico trazado con la informacin de campo en papel Gumbel.

El valor de corresponde a una probabilidad de falla de 36.8%

y el valor de a corresponde a la pendiente geomtrica de la curva, se determina graficamente tal como se indica ms adelante.


Por analoga con la tasa de fallas se puede definir una tasa de reparacin (t) donde (t)dt es la probabilidad de que la reparacin se termine en el instante t + dt

(t) =(1/(1-M(t)))dM/dt

Tiempo total de reparacinNmero total de reparaciones

Sabemos que: M(t) =P(TTR < t)Sabemos adems que el nmero de reparaciones seraproximadamente igual al nmero de fallas.El valor aproximado del TMPR se computa como:

TMPR =


USO DE LA DISTRIBUCIN EXPONENCIAL EN MANTENIBILIDAD

En los casos de reparaciones de corta duracin la distribucin exponencial resulta particularmente prctica para el anlisis de la mantenibilidad.En este caso:

(t)= =1/r r= TMPRy la funcin densidad de reparacin ser:

g(t)= e-t y M(t) = 1- e-t


PROCESAMIENTO GRFICO DE LA INFORMACIN

Ordenar la informacin de los TPR, en forma ascendente

Numerar las observaciones de 1 en delante de acuerdo al orden. La ltima observacin ser la n.

En caso de dos observaciones iguales se puede tomar la media de los nmeros de orden para la representacin.

Se procede a calcular la probabilidad de ocurrencia de reparacin, tratar en la misma forma que la informacin de falla.


Una vez obtenidos los valores de P(f) se procede a su representacin grfica utilizando una hoja de papel Gumbel (ver ejemplo adelante).

Se traza la mejor recta entre los puntos de la muestra.

Con P(f) = 36.8% se procede a determinar el valor de Se determina la pendiente geomtrica de P(f) para calcular

el valor de a



5 6 7

99.7 99.8 99.9

-2 -1 0 1 2 3 4

0.01 0.1 1 5 10 20 30 40 50 60 70 80 85 90 93 95 96 97 98 98.5 99 99.3 99.5

ANALISIS DE INFORMACINDE CAMPO

36.8%

X

Y a = (X/ Y)Para evaluar X debe utilizarse la variable reducida y para Y debe utilizarse la escala de las ordenadas.

EJEMPLO No 2

En la hoja historial de una mquina se encontr la siguiente enformacin referente a las reparaciones a que fue sometida durante un perodo de dos aos:

Tiempos para reparar: 12.5h, 21.8h, 37h, 28.3h, 31.5h, 43h, 25.7h, 19h, 18.2h

Representar los tiempos para reparar en una hoja de papel Gumbel y derminar el tiempo medio para reparar y la expresin matemtica de la funcin de reparacin.


ANALISIS DE INFORMACINDE CAMPO (ejemplo 2)

ORDEN TPR P(F) P(S)

1 12,5 0,07 0,932 18,2 0,18 0,823 19,0 0,29 0,714 21,0 0,39 0,615 25,7 0,50 0,506 28,3 0,61 0,397 31,5 0,71 0,298 37,0 0,82 0,189 43,0 0,93 0,07

EJEMPLO No 2

5 6 7

99.7 99.8 99.9

-2 -1 0 1 2 3 4

0.01 0.1 1 5 10 20 30 40 50 60 70 80 85 90 93 95 96 97 98 98.5 99 99.3 99.5

0

10

20

30

40

=21.5

36.8%X=0,7

Y=8

ANALISIS DE INFORMACIN DE CAMPO (ejemplo 2)(solucin segn distribucin Gumbel)

M(t) = P(t T)= e-e-0.09(t-21.5)

EJEMPLO No 2

= 21.5 a = (X/ Y)=0.7/8=0.09 TMPR = + 0.5778/a

TMPR = 21.5 + 0.5778/0.09=27.92

M(t) = P(t T)= e-e-0.1(t-21.5)

ANALISIS DE INFORMACIN DE CAMPO(ejemplo 2)

(solucin segn distribucin Gumbel)

EJEMPLO No 2a) Primera aproximacin, con el mismo TMPR

En el caso especfico que nos ocupa el resultado puede asumirse como exponencial, con TMPR = 27.28

TMPR = r = 27.28 =1/r =1/27.28=0.037

M(t) = P(t T)=1- e-0.037t


(solucin segn distribucin exponencial)

b) Utilizando papel semi-log.En la lmina que sigue se resuelve el problema utilizando papel exponencial.

10

20

40

23

0.1 1.0 2.0 3.0 4.0 10.0 20.0 50.0 100.0

ORDEN TPR P(F) P(S)

1 12,5 0,10 0,902 18,2 0,20 0,803 19,0 0,30 0,704 21,0 0,40 0,605 25,7 0,50 0,506 28,3 0,60 0,407 31,5 0,70 0,308 37,0 0,80 0,209 43,0 0,90 0,10

EJEMPLO No 2

27

M(t) = P(t T)=1- e-0.037t1/ = TMPR = 27

30 M(t) = P(t T)=1- e-0.043t1/ = TMPR = 23

ANALISIS DE INFORMACIN DE CAMPO (Ejemplo 2)


10 20 30 30

ORDEN TPR P(F) P(S)

1 12,5 0,10 0,902 18,2 0,20 0,803 19,0 0,30 0,704 21,0 0,40 0,605 25,7 0,50 0,506 28,3 0,60 0,407 31,5 0,70 0,308 37,0 0,80 0,209 43,0 0,90 0,10

EJEMPLO No 2

ANALISIS DE INFORMACIN DE CAMPO(Ejemplo 2)


23

M(t) = P(t T)=1- e-0.037t

= 3.25 = 3.77 - 3.25=0.52

MTTR= e( +(1/2)2) = 29.29

ORDEN TPR P(F) P(S)

1 12,5 0,10 0,902 18,2 0,20 0,803 19.00 0,30 0,704 21.00 0,40 0,605 25,7 0,50 0,506 28,3 0,60 0,407 31,5 0,70 0,308 37.00 0,80 0,209 43.00 0,90 0,10

EJEMPLO No 2

10

100


(solucin segn distribucin logartmica normal)

OR

D

E

N

A

D

A

S

D

E

L

A

C

U

R

V

A

N

O

R

M

A

L

E

S

T

A

N

D

A

R

I

Z

A

D

A

AR

E

A

S

D

E

L

A

C

U

R

V

A

N

O

R

M

A

L

E

S

T

A

N

D

A

R

I

Z

A

D

A

PARAMETROS DE LA FUNCION DE WEIBULL

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