Trabajo, Energía y Potencial

Prof. Dr. Victor H. Rios

2014

Cátedra de Física Experimental II

Física III -14

Física III

METAS DE APRENDIZAJE

Al estudiar este capítulo, usted aprenderá:

• A calcular la energía potencial eléctrica de un conjunto de cargas.

• El significado e importancia del potencial eléctrico.

• A determinar el potencial eléctrico que un conjunto de cargas produce en

un punto en el espacio.

• El uso de las superficies equipotenciales para visualizar la forma en que

varía el potencial eléctrico en el espacio.

• A emplear el potencial eléctrico para calcular el campo eléctrico.

Física III -14

- El concepto físico de trabajo.

- Energía potencial eléctrica.

- Energía para la formación de un sistema de cargas puntuales

discretas.

- Aplicaciones a cristales iónicos

- Energía en el caso de sistemas continuos.

- Potencial y campo electrostático de una carga puntual.

- Mostraciones en clase

Contenidos

Física III -14

Este capítulo trata de la energía que se asocia con las interacciones eléctricas. Cada vez que se

enciende una luz, un reproductor de CD o un aparato eléctrico, se utiliza energía eléctrica, un e-

lemento indispensable de nuestra sociedad tecnológica. Así como el concepto de energía hizo

posible resolver con facilidad algunos tipos de problemas de mecánica, el empleo de las ideas de

energía hace más fácil la solución de una variedad de problemas de electricidad.

Introducción

Cuando una partícula con carga se mueve en un campo eléctrico, el campo ejerce una fuerza

que efectúa trabajo sobre la partícula. Este trabajo siempre se puede expresar en términos de la

energía potencial eléctrica. Así como la energía potencial gravitatoria depende de la altura de

una masa sobre la superficie terrestre, la energía potencial eléctrica depende de la posición que

ocupa la partícula con carga en el campo eléctrico. Describiremos la energía potencial eléctrica

utilizando un concepto nuevo, llamado potencial eléctrico o simplemente potencial.

Es frecuente que en el estudio de los circuitos, una di-

ferencia de potencial entre un punto y otro reciba el

nombre de voltaje. Los conceptos de potencial y voltaje

son cruciales para entender la manera en que funcio-

nan los circuitos eléctricos, y tienen aplicaciones de

gran importancia en los haces de electrones que se

utilizan en la radioterapia contra el cáncer, los acelera-

dores de partículas de alta energía y muchos otros

aparatos.

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Energía potencial eléctrica

La fuerza de atracción entre dos masas es conservativa, del mismo modo se puede demos-

trar que la fuerza de interacción entre cargas es conservativa.

El trabajo de una fuerza conservativa, es igual a la diferencia entre el valor inicial y el

valor final de una función que solamente depende de las coordenadas que denomina-

mos energía potencial.

El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector despla-

zamiento dl, tangente a la trayectoria.

dW = F * dl = F dl cosθ = F * dr

donde dr es el desplazamiento infi-

nitesimal de la partícula cargada q

en la dirección radial.

Fig.2 Esquema de la trayectoria

pBpA

B

A

EEldF

.

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Para calcular el trabajo total, integramos entre la posición inicial A, distante rA del centro

de fuerzas y la posición final B, distante rB del centro fijo de fuerzas.

El trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la posición A a

la posición B.

La fuerza de atracción F, que ejerce la carga fija Q sobre la carga q es conservativa.

La energía potencial es :

El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, para r = ∞, E p =0

Fig.2 Esquema de la trayectoria

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Energía potencial de una distribución de cargas discretas

Vamos a calcular ahora la energía necesaria para formar la distribución uniforme de

cargas positivas.

O bien, la energía que se liberaría cuando la distribución uniforme de carga positiva

explotase de modo que cada parte de ella estuviese a una distancia infinita una de la

otra.

Determinaremos la expresión de la energía de un sistema de tres cargas, y la ge-

neralizamos para una distribución continua de carga.

Consideremos un sistema de tres cargas puntuales fijas q1, q2 y q3, tal como se

indica en la fig.3

La energía de este sistema U vale :

Fig. 3

q1

q2q3 q2

q1 q1

q3 q2 q3

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Llamando V1 al potencial producido por las cargas q2 y q3 en la posición que ocupa q1. La

energía de la carga q1 en el campo producido por las otras dos es:

Análogamente, llamando V2 al potencial producido por las cargas q1 y q3 en la posición que

ocupa q2. La energía de la carga q2 en el campo producido por las otras dos es:

Del mismo modo, llamando V3 al potencial producido por las cargas q1 y q2 en la posición

que ocupa q3. La energía de la carga q3 en el campo producido por las otras dos es:

q2 q3

q1

q3

q2

q1

Sumando estas tres contribuciones ob-

tenemos el doble de las energías del

sistema de partículas

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Ejemplo 1 - Sistema de cargas puntuales

Dos cargas puntuales se localizan en el eje x, q1= - 2e en x = 0 y q2 =+e en x = a. a) Determine el

trabajo que debe realizar una fuerza externa para llevar una tercera carga puntual q3 = + e del in-

finito a x = 2a. b) Determine la energía potencial total del sistema de tres cargas.

SOLUCIÓN

La figura presenta el arreglo final de las tres cargas.

a) El trabajo que debe hacer una fuerza externa sobre q3 es igual a la diferencia entre dos canti-

dades: la energía potencial U asociada con q3 cuando está en x = 2a y la energía potencial que

tiene cuando está infinitamente lejos. La segunda de éstas es igual a cero, por lo que el trabajo

que debe realizarse es igual a U. Las distancias entre las cargas son r13 = a y r23 = a, por lo que a

partir de la ecuación anterior

Si q3 se lleva del infinito a lo largo del eje + x, es atraída por q1 pero repelida con más fuerza por

q2; por ello, debe hacerse un trabajo positivo para llevar q3 a la posición x = 2a.

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b) La energía potencial total del conjunto de tres cargas está dado por la ecuación :

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Generalización de la expresión de la energía para el caso continuo

N

i

ii VqU12

1

N

j ij

j

ir

qkV

1

N

i

N

j ij

jiji

r

qqkU

1 1

;2

Z

r'

v

XY

dq'r(r')

dτ'

Consideremos el caso de la distribución Volumétrica, la energía será:

´

´)(´)(´2

1)(

2

1

r rVrdrVqU

i

ii

Fig. 7

donde

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Concepto de potencial

Del mismo modo que hemos definido el campo eléctrico, el potencial es una propiedad del

punto P del espacio que rodea la carga Q.

Definimos potencial V como la energía potencial de la unidad de carga positiva imaginaria-

mente situada en P, V = Ep / q.

El potencial es una magnitud escalar

La unidad de medida del potencial en el S.I. de unidades es el volt (V)

r

QV

04

1

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Relaciones entre fuerzas y campos

Una carga en el seno de un campo eléctrico E experimenta

una fuerza proporcional al campo cuyo módulo es :

F = q E

cuya dirección es la misma, pero el sentido puede ser el mis-

mo o el contrario dependiendo de que la carga sea positiva o

negativa.

Relaciones entre campo y diferencia de potencial

Fig. 15 Campo eléctrico

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En la fig. 16, vemos la interpretación geométrica.

Fig. 6 Interpretación de E y V

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El campo eléctrostático ¨E¨ es conservativo,

lo que quiere decir que la integral del “E” a

lo largo de un camino cerrado es:

Dado el potencial ¨V¨ podemos calcular el vector campo eléctrico ¨E¨, mediante el operador

gradiente. Cuando se cumple esta condición podemos escribir:

CAMPOS CONSERVATIVOS – CONDICION ELECTROSTATICA

0. c ldE

Prueba

Un campo vectorial independiente del tiempo es conservativo cuando se deriva de un

campo escalar V(r) es denominado potencial de , es decir existe una función V (r) tal que:

rdErdVrdV

..)( es una diferencial exacta.

E

E

kz

Vj

y

Vi

x

VVE ˆˆˆ

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Interpretación física

En particular, si UF

representa el campo de fuerzas

El trabajo mecánico para trasladar una partícula de A a B, será:

)()(.

)(

)(

)(

)(

AUBUdUrdFW

BU

AU

Br

Ar

AB

x

y

z

)(Ar )(Br

A BF

F

Ya que UdrdF

. U( r ) es la energía potencial de la partícula en el campo de fuerzas

El trabajo del campo será:

UAUBUWAB )()(

Si el camino entre A y B es cerrado ( A= B), resulta:

0. rdFWC

AA

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Trabajo realizado por el campo eléctrico

El trabajo que realiza el campo eléctrico sobre una carga q cuando se mueve desde una

posición en el que el potencial es VA a otro lugar en el que el potencial es VB es:

Fig. 7 Campo y potencial eléctrico

)(. BApB

B

A

pA VVqEEldFW

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a) El campo eléctrico realiza un trabajo W cuando una carga positiva q se mueve

desde un lugar A en el que el potencial es alto a otro B en el que el potencial es más

bajo,

Si q > 0 y VA > VB entonces W > 0

b) El campo eléctrico realiza un trabajo cuando una carga negativa q se mueve desde un

lugar B en el que el potencial es más bajo a otro A en el que el potencial es más alto.

c) Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga positiva q

desde un lugar B en el que el potencial es más bajo hacia otro lugar A en el que el

potencial más alto.

A partir de la ecuación

d) Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga negativa q

desde un lugar A en el que el potencial es más alto hacia otro lugar B en el que el

potencial más bajo.

)(. BApB

B

A

pA VVqEEldFW

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Electrón volts

La magnitud e de la carga del electrón se usa para definir una unidad de energía que es útil en

muchos cálculos con los sistemas atómico y nuclear. Cuando una partícula con carga q se des-

plaza de un punto en el que el potencial es Vb a otro en que es Va, el cambio en la energía poten-

cial U es

Si la carga q es igual a la magnitud e de la carga del electrón, 1.602 x 10-19 C, y la diferencia

de potencial es Vab, el cambio en la energía es

Esta cantidad de energía se define como 1 electrón volt (1 eV):

A menudo se utilizan los múltiplos meV, keV, MeV, GeV y TeV.

CUIDADO Recuerde que el electrón volt es una unidad de energía, ¡no una unidad de

potencial ni de diferencia de potencial !!!

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Ejemplo 2 - Fuerza eléctrica y potencial eléctrico

En el interior de un acelerador lineal, un protón (carga +e = 1.602 x

10 -19 C se desplaza en línea recta de un punto a a otro punto b

una distancia total d = 0.50 m. A lo largo de esta línea, el campo

eléctrico es uniforme con magnitud E =1.5 x 10 7 V/m = 1.5 x107

N/C en la dirección de a a b. Determine a) la fuerza sobre el pro-

tón; b) el trabajo realizado sobre este por el campo; c) la diferencia

de potencial Va -Vb.

a) La fuerza sobre el protón está en la misma dirección que el

campo eléctrico, y su magnitud es

SOLUCIÓN

b) La fuerza es constante y está en la misma

dirección que el campo eléctrico, de manera

que el trabajo efectuado sobre el protón es

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c) La diferencia de potencial es el trabajo por unidad de carga, que es

Se obtiene el mismo resultado con más facilidad si se recuerda que 1 electrón volt es igual a

1 volt multiplicado por la carga e. Como el trabajo realizado es 7.5 x 10 6 eV y la carga es e, la

diferencia de potencial es (7.5 x 10 6 eV) / e = 7.5 x 10 6 V.

Ejemplo 3 - Potencial debido a dos cargas puntuales

Un dipolo eléctrico consiste en dos cargas puntuales, q1 = +12 nC y q2 = -12 nC, colocadas a una

distancia de 10 cm una de la otra (figura ). Calcule los potenciales en los puntos a, b y c sumando

los potenciales debidos a cada carga.

SOLUCIÓN

Para encontrar V en cada punto, se hace la suma algebraica

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En el punto a el potencial debido a la carga positiva q1 es

y el potencial debido a la carga q2 es

El potencial Va en el punto a es la suma de éstos:

Con cálculos similares se demuestra que en el punto b

el potencial debido a la carga positiva es +2700 V, el

potencial debido a la carga negativa es - 770 V, y

En el punto c, el potencial debido a la carga positiva es

El potencial debido a la carga negativa es 2830 V, y el potencial total es igual a cero:

El potencial también es igual a cero en el infinito (infinitamente lejos de ambas cargas).

Bibliografía

- Alonso; Finn. "Física ". Cap. 21. Addison-Wesley Iberoamericana.

- Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 22. McGraw-Hill.

- Halliday; Resnick. "Fundamentos de física". Cap. 29. CECSA.

- Roller; Blum. "Física". Cap. 28. Reverté.

- Serway. "Física". Cap. 25. McGraw-Hill.

- Tipler. "Física". Cap. 20. Reverté.

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Energía potencial eléctrica:

La fuerza eléctrica causada por cualquier conjunto de cargas es una fuerza conservativa. El trabajo W realizado

por la fuerza eléctrica sobre una partícula con carga que se mueve en un campo eléctrico se representa por el

cambio en una función de energía potencial U.

La energía potencial eléctrica para dos cargas puntuales q y q0 depende de su separación r. La energía potencial

eléctrica para una carga q0 en presencia de un conjunto de cargas q1, q2, q3 depende de la distancia de q0 a cada

una de las demás cargas.

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Potencial eléctrico:

El potencial, denotado por V, es energía potencial por unidad de carga. La diferencia de potencial entre dos pun-

tos es igual a la cantidad de trabajo que se requeriría para trasladar una unidad de carga de prueba positiva entre

esos puntos. El potencial V debido a una cantidad de carga se calcula mediante una suma (si la carga es un

conjunto de cargas puntuales) o mediante integración (si la carga es una distribución). La diferencia de potencial

entre dos puntos a y b, también llamada potencial de a con respecto a b, está dado por la integral de línea de El

potencial de un punto dado se encuentra obteniendo primero y después resolviendo la integral.

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Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial

eléctrico:

Si se conoce el potencial V como función de las coordenadas

x, y y z, las componentes del campo eléctrico en cualquier punto

están dadas por las derivadas parciales de V.

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Apéndice

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El dipolo eléctrico

El dipolo eléctrico es un tipo de distribución de carga que se presenta frecuentemente como vere-

mos en el tema dedicado a los dieléctricos.

Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas, una positiva +Q y otra negativa -Q del mismo va-

lor, separadas una distancia d.

El potencial en el punto P distante r1 de la carga –Q y r2 de

la carga +Q es

Expresamos r1 y r2 en función de r y q , que es la posición

del punto P expresada en coordenadas polares.

Fig. 17 Dipolo eléctrico

Teniendo en cuenta que d es pequeño frente a r, podemos obtener una buena aproximación em-

pleando el desarrollo en serie

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Para expresar de forma aproximada los cocientes r / r1 y r / r2.

Despreciando los términos de orden superior a d2 / r2

El potencial se expresa en función de r y θ

Es interesante destacar, que el potencial debido a un dipolo disminuye con la inversa del cuadrado

de la distancia r, mientras que para una carga puntual disminuye con la inversa de r.

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Fig. Potencial del Dipolo Eléctrico

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Uniones Intermoleculares

• Se establecen entre átomos cargados eléctricamente y que pertenecen a dos especies químicas

distintas.

• Las especies químicas son iones o moléculas. La carga eléctrica proviene de que estas

especies son iones, o átomos involucrados en un dipolo permanente o en un dipolo inducido.

Fuerzas Moleculares de Van der Waals

La base de las fuerzas de van der Waals es la

existencia de dipolos eléctricos en las moléculas

+-

m

Estos dipolos pueden ser permanentes, fugaces o inducidos.

• Los dipolos permanentes derivan de

la asimetría de las cargas electrónicas.

+ +

-

H H

O

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Fuerzas Moleculares de Van der Waals

El momento dipolar permanente se determina por espectroscopía (efecto Stark) o por la constante dieléctrica.

Momentos Dipolares (m)

m [D]

CCl4 0

H2 0

H20 1.85

HCl 1.08

HI 0.42

D (Debye): 3.3 x 10-30 C/m

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Fin

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