clases 6 y 7 (cap 3 nicholson)
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8/19/2019 Clases 6 y 7 (Cap 3 Nicholson)
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Capítulo 3PREFERENCIAS Y UTILIDAD
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Axiomas de Elección Racional• Completitud
– Si A y B son dos situaciones, el individuo
siempre puede especificar exactamente supreferencia sobre dichas posibilidades:• A se prefiere por sobre B• B se prefiere por sobre A
• A y B son igualmente atractivas
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• Transitividad – Si A se prefiere a B, y B se prefiere a C,
entonces A se prefiere por sobre C – Este supuesto es para garantizar que las
decisiones de los individuos seanconsistentes internamente
Axiomas de Elección Racional
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• Continuidad – Si A se prefiere a B, entonces las
situaciones “suficientemente cercanas” a Atambién deben ser preferidas sobre B – Este supuesto se utiliza para analizar las
respuestas de los individuos comorespuesta a cambios relativamentepequeños en el ingreso y los precios
Axiomas de Elección Racional
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Utilidad• Dados todos estos supuestos, es posible
demostrar que las personas son capaces deordenar jerárquicamente todas las situaciones
posibles, desde la menos deseada hasta lamás deseada
• Los Economistas llaman a ésta jerarquíautilidad – Si A se prefiere sobre B, entonces la utilidad
asignada a A excede la utilidad asignada a B
U (A) > U (B)
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• Dichas jerarquías o rankings de utilidadson ordinales por naturaleza – Muestran qué tan deseables son ciertas
cestas de bienes
• Debido a que las medidas de utilidad noson únicas, no tiene sentido elparticularizar cuánta más utilidad se ganaal pasar de A a B
• Tampoco es posible comparar utilidades
entre dos personas diferentes
Utilidad
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• La utilidad es afectada por el consumo debienes físicos, por actitudes sicológicas,presiones de grupo, experiencias personales, y
por el ambiente cultural general• Los Economistas por lo general dedican su
atención a evaluar opciones medibles, mientrasmantienen constantes las otras cosas quepuedan afectar la utilidad – Esto es llamado el supuesto ce ter i s p ar ibu s
Utilidad
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• Asumamos que un individuo debe escogerentre consumir los bienes x 1, x 2,…, x n
• Los rankings de dicho individuo pueden serrepresentados por una función de utilidad de laforma:
Utilidad= U ( x 1, x 2,…, x n; otras cosas)
– Esta función es única, pero puede sertransformada si dicha transformaciónpreserva la ordenación o rankings originales
Utilidad
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Bienes Económicos• En la función de Utilidad, se asume que
los x ’s son “bienes” – Un bien: más se prefiere a menos
Cantidad de x
Cantidad de y
x*
y*
Preferido sobre x*, y*
?
?Peor que
x*, y*
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Curvas de Indiferencia• Una Curva de Indiferencia muestra
combinaciones de bienes ante los cualesel individuo se muestra indiferente
Cantidad de x
Cantidad de y
x1
y1
y2
x2
U1
Las combinaciones (x 1, y 1) y (x 2, y 2)proveen el mismo nivel de utilidad
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Tasa Marginal de Substitución (TMS)• La pendiente negativa de una curva de
indiferencia en un punto es llamada laTasa Marginal de Substitución ( TMS )
Cantidad de x
Cantidad de y
x1
y1
y2
x2
U1
1
U U
dyTMS
dx
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• La TMS cambia cuando x , y cambian – Esto refleja la disposición del individuo a
intercambiar y por x
Cantidad de x
Cantidad de y
x1
y1
y2
x2
U1
En ( x 1, y 1), la curva de indiferencia es más empinada.La persona estaría dispuesta a sacrificar más y Para obtener unidades adicionales de x
En ( x 2, y 2), la curva de indiferencia esmás plana. La persona será más reacia
A sacrificar y para ganar más x
Tasa Marginal de Substitución (TMS)
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Mapa de Curvas de Indiferencia• Cada punto del plano debe tener una
curva de indiferencia pasando sobre él(completitud de las CI)
Cantidad de x
Cantidad de y
U 1 < U 2 < U 3
U1
U2
U3
Utilidad crece
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Transitividad• ¿Pueden intersectarse las CI?
Cantidad de x
Cantidad de y
U1
U2
A
BC
El individuo es indiferente entre A y C.
El individuo es indiferente entre B y C.Transitividad sugiere que el individuoDebe ser indiferente entre A y B
Pero B se prefiere sobre ADebido a que B contiene másde x y y que A
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Convexidad• Un conjunto de puntos es convexo si dos
puntos pueden ser unidos por una línea rectaque es contenida enteramente en el conjunto
Cantidad de x
Cantidad de y
U1
El supuesto de una TMS decreciente esequivalente al supuesto de que todas lascombinaciones de x y y que son preferidaspor sobre x * y y * forman un conjunto
convexo
x*
y*
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Convexidad• Si la CI es convexa, entonces la
combinación ( x 1 + x 2)/2, ( y 1 + y 2)/2 serápreferida tanto a ( x 1,y 1) como a ( x 2,y 2)
Cantidad de x
Cantidad de y
U1
x2
y1
y2
x1
Esto implica que combinaciones “bien balanceadas”Son preferidos sobre combinaciones que cargadas haciauno de los bienes
(x 1 + x 2)/2
(y1 + y 2)/2
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Utilidad y la TMS• Supongamos que las preferencias de unindividuo por hamburguesas ( y ) y bebidas( x ) pueden ser representadas por:
utilidad 10 x y
• Despejando y , tenemos
y = 100/ x • Construyendo la TMS = - dy /dx :
TMS = - dy /dx = 100/ x 2
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Utilidad y la TMSTMS = - dy /dx = 100/ x 2
• Note como mientras x sube, TMS cae – Cuando x = 5, TMS = 4 – Cuando x = 20, TMS = 0.25
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Utilidad Marginal• Supongamos que un individuo tiene una
utilidad de la formaUtilidad = U ( x,y)
• El diferencial total de U es
dy y U
dx x U
dU
• Sobre cualquier CI, la utilidad esconstante ( dU = 0)
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Derivando la TMS• Por lo tanto tenemos:
U constante
U dy
xTMS U dx y
• TMS es el cociente de la utilidadmarginal de x sobre la utilidad marginalde y
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Utilidad MarginalDecreciente y la TMS
• Intuitivamente, parecería que el supuesto deutilidad marginal decreciente se relaciona al
concepto de TMS decreciente – Una TMS decreciente requiere que lafunción de utilidad sea cuasi-cóncava
• Esto es independiente de cómo sea medida lautilidad
– La utilidad marginal decreciente sí dependede cómo es medida la utilidad
• Por tanto, estos dos conceptos son
diferentes
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Convexidad de las curvas deindiferencia
• Supongamos una función de utilidad dela forma:
utilidad x y
• Podemos simplificar el álgebra tomandologaritmos en ambos lados de la
igualdadU* ( x ,y ) = ln[ U ( x ,y )] = 0.5 ln x + 0.5 ln y
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Convexidad de las curvas deindiferencia
* 0.5
* 0.5
U y x xTMS
U x
y y
• Por lo tanto,
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Convexidad de las curvas deindiferencia
• Si la función de utilidad esU ( x ,y ) = x + xy + y
• No ganamos nada transformando lafunción, por lo que
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U y xTMS
U x y
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Convexidad de las curvas deindiferencia
• Supongamos que la función de utilidades:
2 2utilidad x y
• Para éste ejemplo es más fácil usar latransformación:
U* ( x ,y ) = [U ( x ,y )]2 = x 2 + y 2
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Ejemplos de funciones de Utilidad
• Utilidad Cobb-Douglasutilidad = U ( x,y ) = x y
donde y son constantes positivas – El tamaño relativo de y indican la
importancia relativa de los bienes
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Ejemplos de funciones de Utilidad
• Substitutos Perfectosutilidad = U ( x ,y ) = x + y
Cantidad de x
Cantidad de y
U1U2
U3
La CI será lineal.La TMS será constante a lo largo detoda la curva de indiferencia.
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Ejemplos de funciones de Utilidad
• Complementos Perfectosutilidad = U ( x ,y ) = min ( x , y )
Cantidad de x
Cantidad de yLas CI tendrán una forma de L. Lautilidad solo puede ser incrementadaal elegir más de los dos bienesconjuntamente.
U1
U2
U3
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Ejemplos de funciones de Utilidad• Utilidad CES (Constant elasticity of substitution)
utilidad = U ( x ,y ) =
cuando 0, ≤ 1. Además, cuando = 0 tenemos qué:
utilidad = U ( x ,y ) = ln x + ln y Modificando tenemos:
– Substitutos Perfectos = 1 – Cobb-Douglas = 0 – Complementos Perfectos = -
x y
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Ejemplos de funciones de Utilidad• Utilidad CES (Constant elasticity of
substitution) – La elasticidad de substitución ( ) se define
cómo:
= 1/(1 - ) para la función CES. Otros casos:
• Substitutos Perfectos =
• Proporciones Fijas = 0
lnln
x y
U y
U x
Mide cambios proporcionales dela razón (x/y) relativo a cambiosproporcionales de la TMS.Intuición: Qué tan “posible” esel intercambiar x por y
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Preferencias Homotéticas• Si la TMS depende solamente del
cociente de las cantidades de dosbienes, pero no de las cantidades dedichos bienes, la función de utilidad eshomotética – Substitutos Perfectos TMS es la misma
en cada punto – Complementos Perfectos (CI de forma L)
TMS = si y / x > / , no definida si y / x =/ , y TMS = 0 si y / x < /
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Preferencias Homotéticas• Para la función general Cobb-Douglas,
la TMS se computa:
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U x y y xTMS
U x y x
y
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Preferencias NO Homotéticas• Algunas funciones de utilidad NO
presentan preferencias homotéticas
utilidad = U ( x ,y ) = x + ln y
1
1
U xTMS yU y y
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Muchos Bienes• Supongamos una función de utilidad
para n bienes dada por utilidad = U ( x
1, x
2,…, x
n)
• El diferencial total de U es
n
ndx x
U
dx x
U
dx x
U
dU ...22
1
1
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Muchos Bienes• Podemos encontrar la TMS entre dos
bienes cualesquiera haciendo dU = 0
( por ) j ii ji
j
U dx x
TMS x xU dx
x
j j
i i
dx x U dx
x U dU 0
• Arreglando, tenemos:
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Superficies de Indiferenciapara n bienes
• Ahora vamos a definir superficies deindiferencia como un conjunto depuntos en n dimensiones que satisfacela ecuación
U ( x 1, x 2,… x n) = k
Donde k es cualquier constante
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Superficies de Indiferenciapara n bienes
• Si la función de utilidad es cuasi-cóncava, el conjunto de puntos para loscuales U k será convexo – Todos los puntos en una línea que une dos
puntos cualesquiera sobre la superficie de
indiferencia U = k también tendrán U k
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Puntos Importantes:• Si los individuos obedecen ciertos postulados
de comportamiento, serán capaces deestablecer una ordenación (ranking) cestas o
conjuntos de bienes – Dicho ranking puede ser representado por
medio de una función de utilidad – Al escoger, los individuos actúan “cómo si”
estuvieran maximizando esa función• Las funciones de utilidad para dos bienes
pueden ser ilustrados mediante un mapa de
curvas de indiferencia
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Puntos Importantes:• La pendiente negativo de una CI mide la
Tasa Marginal de Substitución ( TMS ) – Ella muestra la proporción en que un
individuo estará dispuesto a intercambiarcierto monto de un bien ( y ) por másunidades del otro bien ( x )
• La TMS decrece a medida que x essubstituido por y – Esto indica que los individuos prefieren
balancear sus decisiones de consumo
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Puntos Importantes:• Ciertas formas funcionales simples pueden
capturar diferencias importantes en laspreferencias de un individuo sobre dos o másbienes – La función Cobb-Douglas – La función lineal (Substitutos Perfectos)
–La función de proporciones fijas (ComplementosPerfectos)
– La función CES• Ella incorpora a los otros casos como casos
especiales
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Puntos Importantes:• Resulta bastante simple generalizar
nuestro modelo de preferencias de dos
bienes para el caso de muchos bienes – Las matemáticas para el caso de muchosbienes no son, sin embargo, especialmenteintuitivas, así que seguiremos con el casode dos bienes para acumular más intuición