CLASSI SECONDE – Formulario (con esercizi)

LEGGE DI COULOMB - CAMPO ELETTRICO

Germano D’AbramoVersione 1.0 – 02/05/2016

(N.B. Si invita a trovare errori e/o imprecisioni o a richiedere una stesura del testo piu semplice.)

La forza di Coulomb

Dall’osservazione dei fenomeni elettrostatici fatta in laboratorio, sappiamo che corpi carichi elettri-camente (per strofinio o per contatto con un corpo precedente caricato) esercitano reciprocamenteuna forza attrattiva o repulsiva.

Con l’introduzione della convenzione di Franklin e, successivamente, del modello atomico della ma-teria, abbiamo compreso che tutti i fenomeni visti in laboratorio si possono spiegare con l’esistenzadi due soli tipi di elettrizzazione (di carica): una che chiamiamo positiva e una che chiamiamonegativa. Queste corrispondono alla tipologia di elettrizzazione rispettivamente del protone edell’elettrone, i costituenti dell’atomo. Le cariche dello stesso segno si respingono, men-tre quelle di segno diverso si attraggono.

La carica elettrica costituisce dunque una nuova grandezza fisica, nuova rispetto a quelle viste sinora,e la sua unita di misura e il Coulomb (C). Inoltre, si e compreso che esiste un valore minimo dicarica che un corpo puo avere e ogni carica posseduta puo essere solo un multiplo intero di questovalore minimo. Il valore minimo costutiusce la carica elettrica fondamentale e corrisponde allacarica dell’elettrone (o del protone). Il suo valore assoluto e pari a:

|e| = 1.6022× 10−19C

Esercizio svolto: Quanti elettroni devo trasferire su un corpo per caricarlo di una carica negativadi Q = −2 mC (milli Coulomb)?

Soluzione: La carica Q = −2 × 10−3 C e dovuta a N elettroni, ciascuno di carica pari a e =−1.6022× 10−19C, quindi si ha che,

Q = N · e −→ N =Q

e=

−2× 10−3 C

−1.6022× 10−19C' 1.25× 1016 elettroni

La forza che due cariche elettriche Q1 e Q2, poste ad una distanza r, si esercitano reciprocamentee un vettore diretto lungo la congiungente dei centri delle cariche. Il verso del vettoredipende dal segno delle cariche allo studio.

Attenzione: quando disegni i vettori delle forze, ricordati che il vettore forza che agisce su unacarica deve essere disegnato con la coda e non la punta sulla carica. Inoltre, ricordando ilterzo principio della dinamica, il vettore forza che la carica Q1 esercita sulla carica Q2 e uguale edopposto al vettore forza che la carica Q2 esercita sulla carica Q1

Nel vuoto, il modulo della forza (la lunghezza del vettore) e dato dalla legge di Coulomb:

F = k0|Q1| · |Q2|

r2

La costante k0 vale:

k0 = 8.9875× 109N ·m2

C2

Ricordiamo che le parentesi “dritte” in |Q| obbligano a considerare come priva di segno la quantitanumerica Q che e in mezzo, ad esempio : | − 3 nC| = 3 nC e | + 5 mC| = 5 mC. Se le due carichesi trovano immerse in un mezzo materiale, la legge che esprime il modulo della forza tra di esse e lastessa, cambia solo il valore della costante k, che in genere diminuisce.

Esercizio svolto. Calcola il modulo della forza di attrazione che due cariche opposte Q1 e Q2 di1 C si esercitano se sono poste ad una distanza di 1 m.

Soluzione. Applico la legge di Coulomb, trascurando i segni delle cariche dato che mi interessal’intensita (il modulo) della forza:

F = koQ1 ·Q2

r2= 8.9875× 109N ·��m2

��C2

1 ��C · 1 ��C

1 ��m2' 9× 109 N

A lezione abbiamo ricordato che una carica di 1 C e una carica enorme. La forza appena ricavata celo conferma. Questa forza e pari alla forza peso esercitata da una superpetroliera!

Se io volessi calcolare il vettore forza elettrica esercitato su una carica Q da piu cariche puntiformi,come dovrei fare? In questo caso si applica il principio di sovrapposizione:

Principio di sovrapposizione. La forza elettrica totale che esercitano piu cariche su una caricaQ e la somma vettoriale delle forze che ciascuna di esse eserciterebbe su Q se fosse presente da sola.

Questo e possibile poiche la forza con cui interagiscono due cariche elettriche non e alterata dallapresenza di altre cariche elettriche.

Nella tabella che segue puoi trovare la formula diretta e le formule inverse della legge di Coulomb:

Formula diretta Formule inverse

F = k0Q1·Q2

r2Se conosco la forza F , il valore delle caricheQ1 e Q2, allora la distanza r e:

k0 = 8.9875× 109N·m2

C2

r =√

k0Q1·Q2

F

Se conosco la forza F , la distanza r ela carica Q1, allora l’altra carica Q2 e:

Q2 = F ·r2k0·Q1

Esercizio 1.

Esercizio 2.

Esercizio 3.

Esercizio 4.

Esercizio 5.

Il campo elettrico

Considerazioni di carattere fisico, ma anche logico, hanno portato gli scienziati a ritenere che la forzaelettrica tra due cariche non si possa trasmettere istantaneamente a distanze molto grandi e senzail supporto si alcun mezzo materiale che la trasmetta (ricordiamo che la legge di Coulomb e validaanche nel vuoto). Allo scopo di ovviare a questa difficolta concettuale fu introdotto, alla fine del’700, il nuovo concetto di campo di forze elettriche, o semplicemnete campo elettrico.

L’idea alla base del concetto di campo elettrico e semplice: la presenza di una distribuzione di carichemodifica lo spazio circostante e attribuisce a ogni suo punto P la proprieta di esercitare unaforza ~F su una carica Q0 collocata in esso. Per esplorare le proprieta del punto P, utilizziamo unacarica di prova Q0, cioe una carica positiva tanto piccola da non alterare in modo significativo lecaratteristiche della distribuzione di cariche.

Ponendo Q0 in P si verifica sperimentalmente che la forza ~F che si esercita su Q0 e proporzionale aQ0: quindi il rapporto ~F/Q0 e indipendente da Q0.

Ha senso quindi introdurre la seguente definizione:

Il campo elettrico ~E, generato da una distribuzione di cariche in un punto qualunque P dello

spazio, e dato dal rapporto tra la forza ~F , esercitata in quel punto dello spazio sulla carica di prova

Q0, e la stessa carica di prova Q0

~E =~F

Q0

Ricorda che il campo elettrico e un vettore. Ti puo aiutare immaginare la seguente situazione. Unao piu cariche generano nello spazio circostante un campo elettrico. Se tu potessi vedere con i tuoiocchi il campo elettrico, vedresti in ogni punto dello spazio delle “freccette” di lunghezza, direzionee verso opportuni. Per sapere come e fatta la “freccetta” in un punto preciso dello spazio, dovrestiprendere una carica positiva di prova Q0, metterla in quel punto, misurare il vettore forza ~F (di-

rezione, verso e intesita) e poi dovresti fare la divisione ~F/Q0.

Il campo elettrico si misura in Newton su Coulomb(

NC

)

Importante: il principio di sovrapposizione visto prima per la forza di Coulomb vale anche per icampi elettrici! Il campo elettrico totale che una distribuzione di cariche genera in un punto P e lasomma vettoriale dei singoli campi elettrici che ciascuna carica genera in P. Nella figurache seguie potete vedere un esempio di campo elettrico totale generato nel punto P da due carichepuntiformi, Q1 e Q2.

Il campo elettrico ~E continene tutta l’informazione fisica necessaria per determinare la forza elettrica~F , dovuta a una distribuzione di cariche, su una carica Q posta in qualsiasi punto dello spazio. Ilmodulo F della forza e:

F = Q · E,

mentre se Q > 0, il vettore forza e il vettore campo elettrico hanno la stessa direzione e lo stessoverso; se, invece, Q < 0, il vettore forza e il vettore campo elettrico hanno la stessa direzione everso opposto.

Quindi, se io conosco il vettore campo elettrico ~E in un punto dello spazio, posso sapere quale forzasubira una carica Q che decido di posizionare in quel punto. Ovviamente, la forza su Q0 e prodottada una distribuzione di cariche, ma io non ho bisogno di conoscere come e fatta questa distribuzione,poiche mi basta sapere quanto e il campo elettrico nello spazio.

Campo elettrico generato da una carica puntiforme

Deriviamo il campo elettrico prodotto dalla distribuzione di carica piu semplice che c’e: una singolacarica puntiforme Q posta nel vuoto e fissa in un punto O. Su una carica di prova positiva Q0

collocata in un punto P a distanza r da Q agisce una forza nella direzione OP di modulo (dalla leggedi Coulomb):

|F | = k0|Q| ·Q0

r2

e quindi il modulo del campo elettrico e:

E =|F |Q0

= k0|Q| · ��Q0

r21

��Q0

= k0|Q|r2

Per riassumere, il campo elettrico creato nel punto P dalla carica puntiforme Q posta in O e unvettore ~E che:

• ha modulo E = k0|Q|r2 ;

• e diretto lungo la direzione OP;

• il verso e uscente da O se Q e positiva, diretto verso O se Q e negativa.

Esercizio svolto. Calcola l’intensita del campo elettrico prodotto da una carica puntiforme Q =+3 nC a una distanza r di 10 cm.

Soluzione. Il modulo del campo elettrico e dato da:

E = k0Q

r2= 8.9875× 109N ·��m2

C�2

3× 10−9 ��C

10−2 ��m2' 2.7× 103 N/C

La direzione sara radiale uscente o entrante?

Esercizio 6.

Esercizio 7.

Esercizio 8.

Esercizio 9.

Esempi di linee di campo elettrico

Campo elettrico di una carica puntiforme

Campo elettrico di due cariche puntiformi

Campo elettrico uniforme tra due lastre cariche

L’energia elettrica e la differenza di potenziale elettrico

Il campo elettrico ha un’altra importante proprieta: esso contiene energia, perche ha la capacita dicompiere lavoro. Considera un campo elettrico uniforme ~E, come quello che si puo trovare tra duepiastre metalliche caricate una positivamente e l’altra negativamente.

Considera, inoltre, una carica positiva q che all’interno del campo si sposta dalla posizione A allaposizione B. Poiche il campo elettrico esercita una forza di modulo F = q ·E e la carica si muove daA a B lungo un tratto s, il campo elettrico compie un lavoro pari a:

WA→B = F · s = (q · E) · s = q · E · s

Se si aumenta il valore della carica q, lasciando tutto il resto invariato, il lavoro WA→B fatto dalcampo elettrico aumenta. Se invece dividiamo WA→B per la carica q, otteniamo una proprieta in-trinseca del campo elettrico tra i punti A e B e cioe la capacita del campo di fare lavoro.Questa nuova grandezza fisica si chiama differenza di potenziale del campo tra i punti A e B:

La differenza di potenziale VA − VB (chiamata anche tensione o voltaggio) e uguale al lavoroWA→B che la forza del campo compie quando la carica positiva di prova q si sposta da A a B, divisoper la carica q

VA − VB =WA→B

q

L’unita di misura della differenza di potenziale e il Volt (V) (in onore di Alessandro Volta).

1 Volt =1 Joule

1 Coulomb

Quando su una pila stilo leggiamo la scritta 1,5 V, questa ci da il valore della differenza dipotenziale fra il polo caricato positivamente e il polo caricato negativamente e quindi,in un certo senso, la sua capacita di fare lavoro (illuminare lampade, far girare motorini elettrici etc.).

Nel caso di un campo elettrico uniforme tra due piastre cariche con valori opposti, la differenza dipotenziale fra le piastre e:

Importante: intorno a cariche positive il potenziale e maggiore, mentre intorno al carichenegative il potenziale e minore. Quindi, se io mi muovo da una zona A, con cariche positive, a unazona B, con cariche negative, la differenza di potenziale VA−VB e maggiore di zero. Viceversa,se passo da B ad A, VA − VB e minore di zero.

Esercizio svolto. Una carica elettrica di 3 mC viene spostata da un punto A a potenziale VA = 10 Va un punto B a potenziale VB = 5 V. Quanto lavoro WA→B compie il campo sulla carica quandoquesta passa da A a B?

Svolgimento. La differenza di potenziale tra il punto A e il punto B e VA − VB = 5 V. Poiche,

VA − VB =WA→B

qallora WA→B = q · (VA − VB),

quindi,

WA→B = q · (VA − VB) = 3× 10−3 C · 5 V = 1.5× 10−2 J.

Comportamento delle cariche in una differenza di potenziale elettrico

Le cariche positive tendono a spostarsi da dove il potenziale elettrico e alto (VA) verso punti incui e piu basso (VB). Infatti, le carice positive si allontanano spontaneamente dal polopositivo di una pila, per andare verso il polo negativo. Cio avviene perche, in questo modo, illavoro fatto dal campo sulla carica e positivo: carica positiva q > 0, differenza di potenziale positivaVA − VB > 0 −→ lavoro positivo WA→B = q · (VA − VB) > 0.

Le cariche negative tendono a spostarsi da dove il potenziale elettrico e basso (VB) verso puntiin cui e piu alto (VA). Infatti, le carice negative si allontanano spontaneamente dal polonegativo di una pila, per andare verso il polo positivo. Anche in questo caso, cio avvieneperche in questo modo il lavoro fatto dal campo sulla carica e positivo. Cio avviene perche, in questomodo, il lavoro fatto dal campo sulla carica e positivo: carica negativa q < 0, differenza di potenzialenegativa VA − VB < 0 −→ lavoro positivo WA→B = q · (VA − VB) > 0 (meno per meno fa piu!).

Esercizio 10. Una carica positiva q si trova in un punto A, da cui potrebbe raggiungere i punti Be C. Tra i punti A e B c’e una differenza di potenziale VA − VB = 15 V. Tra i punti A e C c’e unadifferenza di potenziale VA − VC = −12 V. Il moto spontaneo della carica positiva q la fara spostareda A a B, o da A a C?

Esercizio 11. Immagina di voler spostare una sferetta con carica negativa Q = −5 mC dal polopositivo al polo negativo di una pila da 1.5 V. Perche questo processo non e spontaneo? Quantolavoro devi fare per portare a termine questa operazione?

Esercizio 12. Trova la differenza di potenziale elettrico tra le piastre:

Esercizio 13. Una particella carica 3.0 × 10−7 C, inizialmente ferma, viene accelerata da unadifferenza di potenziale di 3 × 102 V. Quanto lavoro fa il campo sulla particella? Qual e la suaenergia cinetica finale?

Condensatori

Il condensatore e un dispositivo inerte, capace di accumulare delle cariche elettriche. Nonva confuso con la pila o la batteria! Anche una batteria “produce” delle cariche elettriche (in realtaproduce un flusso continuo di cariche elettriche, chiamato corrente), ma usa processi chimici al suointerno.

Il condensatore e solo un oggetto che puo ospitare delle cariche elettriche che noi trasferiamo su diesso. E un dispositivo usatissimo nei circuiti elettronici (macchine fotografiche, computer, cellulari,TV, taser, praticamente tutto), soprattutto dove serve della carica elettrica pronta per l’uso.

In pratica, anche una sfera di metallo e un condensatore. Essa, infatti, puo essere caricata elettrica-mente. Tuttavia, sarebbe di poca utilita pratica. Il campo elettrico prodotto dalle cariche potrebbedisturbare gli altri componenti dei circuiti elettronici di cui fa parte.

Lo schema di condensatore piu usato e il condensatore piano: un condensatore piano e formatoda due lastre metalliche parallele (dette armature), elettrizzate con cariche uguali e opposte,sistemate ad una distanza piuttosto piccola rispetto alla loro estensione.

In questo caso, il campo elettrico generato dalle cariche rimane confinato tra le due arma-ture e il condensatore risulta dall’esterno complessivamente neutro (ricordate che la caricatotale e zero, Qtot = (+Q) + (−Q) = 0).

I condensatori si distinguono per la loro capacita di accumulare cariche. Questa capacita si misurafisicamente facendo il rapporto:

C =Q

VA − VB

,

tra la carica Q accumulata sull’armatura positiva e la differenza di potenziale VA − VB che si viene

a creare tra l’armatura positiva (A) e quella quella negativa (B). L’unita di misura dell capacita e

il Farad (F) (in onore di Micheal Faraday).

1 Farad =1 Coulomb

1 Volt

Immaginate di dover caricare un condensatore piano con della carica elettrica positiva +Q su unalastra e una carica uguale ed opposta −Q sull’altra. Mentre lo state caricano, comincia a crearsi unadifferenza di potenziale tra le piastre, e piu lo caricate, maggiore diventera la differenza di potenziale.

Questa differenza di potenziale rende sempre piu difficoltoso aggiungere altra carica. Quindi, se in uncondensatore riesco a mettere molta carica (Q grande) creando poca differenza di potenziale(quindi con poca fatica), questo condensatore avra una capacita alta:

C =Q (alta)

VA − VB (bassa)= Capacita alta

Questo, in breve, e il motivo per cui i fisici hanno trovato una definizione cosı strana di capacita.

Un’analogia semplice potrebbe essere la seguente: dovete gonfiare un palloncino con dell’aria. Se ilpalloncino e fatto di gomma rigida, sara difficile gonfiarlo molto, poiche appena immettiamo unpoco di aria (l’equivalente della carica elettrica Q) la pressione interna cresce subito (l’equivalentedella differenza di potenziale VA − VB) e incontreremo molta difficolta nel procedere, quindi:

Capacita (“facilita” di contenere una certa quantita di aria) =aria immessa

pressione interna dell’aria