classical fields lecture notes james binney

95

Upload: 005235

Post on 07-Apr-2015

81 views

Category:

Documents


6 download

TRANSCRIPT

Page 1: Classical Fields Lecture Notes James Binney

���������������� ����������� ��������

� ��������������� ����!�#"$�%��������&'��

(�)+*-,/.102.302.1465872729�:;�< ,=*>)+?�@A725CBD9�)+EF5CGH:

I'58JLKNM>9�O8PQM>E�R 9�)+PTS>U-U-VXWZYA58O[M\)F:]R 9�)+PTS>U-UD^

_�`a`1bdc>egfh5=iXjLkNlnm+oqp>rNs�lntuo\kvlHoxwytzk2{|lH}�tzk�~ {���}��C�>lntz��tzln������Mq:�?a� ��7DBD9�)+72*2� ; @A(���fh585=i��� }x���C�\{L{|tus+�>� ��� }Lo\m|��o��%��tu}��Cp\{L����. ��.d� M>72?NM>��W#��. I�.d��58,=EFJLK25CG+�'fh(�9�)+�DM>P�*-71i|�fh58585=i��ymF�>��tzl/�>lntuo\k �>k¡px��o�{|¢�o\�8o+£>����¤¡.8�2¥¦9�587D§�9�)+�'fz¥¨58O89�:Ni

©�ª1«-ª2¬�­z`¡®°¯�`1±�b�e]¤²G+�2?³:µ´�¶���9�O[M\G+5CB³58E·G+58J�¸6*�B>M\)+5[M>72J�9QM>72?º¹6*>)F»�G+K29�9�58�-KDG�9�P�¼§�9�?2?29�?x� < 9�)+J�58EF9�E

Page 2: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������������� ���� �#"$�%��������&'��

; §NEF9�)FBD9�)+E�¹�K2*]P�*�BD9%)+9�O[M\G+5CBD9%G+* *-729�M>72*>G+K29�)�?2*]72*>G�M>OC¹yMq:³E�M>�>)+9�9�M\§�*-�³G$G+K29�B>M>O8�29�E$*-,� �NM>7DG+5CG+589�E��2EF�2JLK�M>EyE���9�9�?a�1PQM>EFE��³9�729�)+�>: 9�G+J>�NM>EFEF* J�5[M\G+9�?]¹�5CG+KQG+K29�E+M>P�9��NKD:³EF58JqM>OaE·:³E·G+9�P�.RyK29�E���9�J�5[M>OG+K29�*>)F: *-,�)+9�O[M\G+5CB³5CGH:xG+9�O8O8E��2E�K2*�¹ ¹69�PQMq:��2)+9�?258J�G%G+K29XB>M>O8�29�E%P�9qM>EF�³)+9�? §²:M>7D:X*>§NEF9�)FBD9�)�*-72J�9�¹69 »³72*�¹ G+K29 B>M>O8�29�E�M>EFEF58�-729�?�§²:X*-729��1M\)FG+58J��2O[M\)�*>§NEF9�)FBD9�)q� ,=*>)�9 < M>P��NO89*-�³)+EF9�OCBD9�E�.

¤���9�J�5[M>O )+9�O[M\G+5CB³5CGH:]G+9qM>JLK29�E$�2EAG+*QG+K2587³»�*-,�9 < ��9�)+589�72J�9�M>E�§�9�5872�]PQM>?29%�� *-,�39�BD9�7DG+E��8�9qM>JLK ¹�5CG+K M ?29 �N725CG+9 O8* JqM\G+58*-7�587µG+K29�,=*-�³)·¼/?258P�9�72EF58*-7NM>OyJ�*-7DG+587²�2�2P *-,�E��1M>J�9�G+58P�9>.��A7D:�-5CBD9�7]*>§NEF9�)FBD9�)�M>EFEF58�-72E6G+*�9qM>JLK]9�BD9�7DG�M��2725 � �29��\¼uG+��NO89�*-,�7²�2P�§�9�)+E%f��������������Di|. ; , J�*-�³)+EF9K29�JqM>7�?2*�G+K258E�587�PQM>7D:D�DPQM>7D:�¹yMq:³E�.�46�³G�E���9�J�5[M>O2)+9�O[M\G+5CB³5CGH:�J�O[M>58P�E�G+KNM\G�G+K29�)+9AM\)+9 J�9�)FGLM>587E���9�J�5[M>O8OC:µ,zMqBD*-�³)+9�? E·:³E·G+9�P�E�,=*>)QM>EFEF58�-725872� J�* *>)+?2587NM\G+9�E�G+* 9�BD9�7DG+E���G+K29 EF*\¼/JqM>O8O89�? 58729�)FG+5[M>OJ�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P�E�. ; JLK2* *-EF9�E�*-729�58729�)FG+5[M>O�E·:³E·G+9�P�M>72?ºM>72*>G+K29�)�*>§NEF9�)FBD9�)q� ;�� �dEF9�G+E���Mº?25! �9�)+9�7DG *-729>.�46�³G M>J�J�*>)+?25872�¦G+*ºE���9�J�5[M>O�)+9�O[M\G+5CB³5CGH:�G+K29�J�* *>)+?2587NM\G+9�E�f�� � ��� � ��� � ��� � i ;��M>EFEF58�-72E G+*�M>7D:]9�BD9�7DG�JqM>7]§�9�)+9�O[M\G+9�?]G+* ; � E�J�* *>)+?2587NM\G+9�E%f��������������Di�*-,�G+K29�E+M>P�9$9�BD9�7DG�§²:

"#$% � �� �� �� �& '(*)

"#$% ��+�,+�-+�.+

& '(0/2143

"#$% �� � �& '( � f�¶-.8¶�i

¹�K29�)+9 % 58E�G+K29AE���9�9�?]*-,aO858�-KDGyM>72? f���+5���,+6���-+7���.+�i�58E6M�EF9�G6*-,d7²�2P�§�9�)+E6JLKNM\)LM>J�G+9�)+58E·G+58JA*-,aG+K29GH¹6*X*>§NEF9�)FBD9�)+E��¡M>E�58EyG+K298��9:�XPQM\GF)+5 < 1 .¸6O89qM\)+OC:D� f���+6���,+6���-+6���.+qi M\)+9�G+K29%J�* *>)+?2587NM\G+9�E ; � M>EFEF58�-72E�G+*�G+K29%9�BD9�7DG�G+KNM\G�PQM\)F»³EyG+K29*>)+58�-587�*-, ; � E�J�* *>)+?2587NM\G+9�E�.<;1*>)�EF58P��NO858J�5CGH:�¹69�EFKNM>O8O�M>EFEF�2P�9�G+KNM\GQf���+6���,+6���-+6���.+qi )>= .���7�-9�729�)LM>O 1 JqM>7Q§�9�)+9 �2)+9�EF9�7DG+9�?�M>E�G+K29?�2)+* ?2�2J�Gy*-,aPQM\GF)+58J�9�E��-9�729�)LM\G+5872��M�)+*>GLM\G+58*-7a� M�§�* *-E·G�1M\)LM>O8O89�O-G+*AM�J�* *>)+?2587NM\G+9�?25C)+9�J�G+58*-7�M>72?�M�EF9�J�*-72?%)+*>GLM\G+58*-7A@ 1�)CB � 3D1 + 3DB ��¹�K29�)+9 B )+*>GLM\G+9�EG+K29%J�* *>)+?2587NM\G+9�M < 9�E�EF* M>E�G+*QM>O858�-7�G+K29�§�* *-E·GA?25C)+9�J�G+58*-7�¹�5CG+K'MXJ�* *>)+?2587NM\G+9%?25C)+9�J�G+58*-7a� 1 +9 �9�J�G+E%G+K29�§�* *-E·G�M>O8*-72��G+K29��-5CBD9�7�M < 58E�M>72? B � )+*>GLM\G+9�E�G+K29QJ�* *>)+?2587NM\G+9�E�G+*'M>7D:º?29�EF5C)+9�?�N7NM>O *>)+589�7DGLM\G+58*-7a.6��, B 58E�JLK2*-EF9�7�EF�2JLKxG+KNM\G�G+K29E�N¼HM < 58E §�9�J�*-P�9�E�G+K29�§�* *-E·GA?25C)+9�J�G+58*-7a� 1 +KNM>E G+K29�,=*>)+P

1 + )"#$

F GIHAF U UGIHAF F U UU U ¶ UU U U ¶

& '( ¹�K29�)+9 HKJMLN5%F:J ¶ NPO ¶ GQHSRUT f�¶-. S-i

;1*>)�EF58P��NO858J�5CGH:�¹69�J�*-7�N729�*-�³)+EF9�OCBD9�E G+*�*>§NEF9�)FBD9�)+E ¹�K2*-EF9�E��1M\G+5[M>OaJ�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P�EM\)+96M>O858�-729�?a�DM>72?�¹�K2*-EF9�)+9�O[M\G+5CBD9�P�*>G+58*-7%O8589�E�M>O8*-72��G+K29�5C) fhP��³G+�NM>O8OC:8�1M\)LM>O8O89�O=iA�N¼HM < 9�E�.�RyK29�7587¦f�¶-.8¶�i 1�)C1 +�M>72?]¹69��-9�G G+K29�,zM>P�58O85[M\)y9 � �NM\G+58*-72E *-,�M���*>)+9�7DG+��GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7A@� � ) F � GQFAL � N5% R� � ) F � GQFAL �� � ) �� � ) �

f�¶-.WVDi

Page 3: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� ��������� ���������������������� ���"!#�%$��&���'���)(*!�+-,'.*/ «>¬�`1±\c ��*>)+9�7DG+� GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-72EP�5 < ��QE��1M>J�9�M>72?�G+58P�9>�-EF*�5CG�58E��2EF9�,=�2ONG+*�?29 �N729729�¹ J�* *>)+?2587NM\G+9�E�¹�K258JLK¨M>O8O�KNMqBD9'?258P�9�72EF58*-72EQ*-,�O89�72�>G+Ka. ¥¦9�¹ )+5CG+9:� + J % �|�I�10 J � �� R J �¡� �32 J �³�NM>72? )+9�,=9�) G+*�M��-9�729�)LM>OaJ�*-P���*-729�7DG *-,dG+K29��\¼uBD9�J�G+*>)�f�� + ���10 ��� R ���32qi6M>E �54�.fnRyK29�)+9qM>EF*-7 ,=*>)yO[M\§�9�O8O85872��G+K29AJ�*-P���*-729�7DG+E�¹�5CG+KQEF���9�)+EFJ�)+5!�2G+Ey)LM\G+K29�)�G+KNM>7 EF�³§NEFJ�)+5!�2G+E6¹�58O8O9�P�9�)+�-9�EFK2*>)FG+OC:D. i�RyK29�7 ¹69�¹ )+5CG+9�M���*>)+9�7DG+��GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7 M>E� 4 )76 4�8 � 8 � f�¶-. �DMDi¹�K29�)+9

9 J"#$

F GIHAF U UGIHAF F U UU U ¶ UU U U ¶

& '( T f�¶-. �>§

��7�f�¶-. �DMDi�G+K29;:$­h® c�¬ / ­h®µc <>=?=ºª2¬�­z`¡®�«-`¡® .*/ ®�¬�­z`¡®'58E�§�9�5872���2EF9�? 587�G+KNM\G�G+K29�EF�2P�PQM\G+58*-7EF58�-7A@ 08CB + KNM>E6§�9�9�7]*-P�5CGFG+9�?Q,=*>)y§2)+9�B³5CGH:D.>D�*-�Q»³72*�¹�5CGq� E�)+9qM>O8OC:XG+K29�)+9$§�9�JqM>�2EF9�E M6� ��9qM\)+EGH¹�58J�9�*-7 G+K29$)+58�-KDG·¼/KNM>72?�EF58?29�*-, G+K29�9 � �NM\G+58*-7a�N*-72J�9���'M>72? *-72J�9�?2*�¹�7a.

¥¨KD:�?2*�¹69�¹ )+5CG+9�G+K29�)+*�¹°5872?29 < *-, 9 M>EAMXEF���9�)+EFJ�)+5!�2G�M>72?�G+K29�J�*-O8�2P�7�5872?29 < M>E�MEF�³§NEFJ�)+5!�2G�F� »D9�:4�2)+*5��9�)FGH:µ*-,AM'��*>)+9�7DG+�]GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7µ58E�G+KNM\G G f % � � i R / � � R / � � R / � � R )G f % �Fi R / � R / � R / � R . RyK258E 58E M>7NM>O8*-�-*-�2EaG+* G+K29�,zM>J�G�G+KNM\G 58,²GH¹6* BD9�J�G+*>)+E>GQM>72?HG � M\)+9)+9�O[M\G+9�?§²:]M%)+*>GLM\G+58*-7 PQM\GF)+5 < �²G+K29�7JI � RK / I � RL / I � RM ) I RK / I RL / I RM .�¤ *XM���*>)+9�7DG+�AGF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-758E�M�EF*>)FG�*-, P�* ?25!�N9�?a�2,=*-�³)·¼/?258P�9�72EF58*-7NM>Oa)+*>GLM\G+58*-7a.�¥¨K29�7 ¹69�)+*>GLM\G+9�M�BD9�J�G+*>)NG ¹69�O85C»D9$G+*E+Mq: G+KNM\G%G+K29�O89�72�>G+K7O GPO�58E%587DB>M\)+5[M>7DG]fh5n. 9>.8� E·GLMq:³E%J�*-72E·GLM>7DG|i|. �A7NM>O8*-�-*-�2EFOC:�¹69�?29 �N729QG+K29O89�72�>G+K *-, G+K298�\¼uBD9�J�G+*>)RQ G+*�§�9

O QPO J G f�� + i R / f�� 0 i R / f�� R i R / f�� 2 i R T f�¶-.TS-iU�`N¬ / c>efh5=iQ¥¦9�?2*-7a� G�9 < GF)LM>J�G�M�E � �NM\)+9$)+* *>G §�9�JqM>�2EF9�¹69�KNMqBD9�72*X�-�NM\)LM>7DG+9�9�G+KNM\GVO QPOXWgU³.fh585=i �\¼uBD9�J�G+*>)+E G+KNM\G KNMqBD9�729��DM\G+5CBD9�O89�72�>G+K2E�M\)+9�JqM>O8O89�?�¬�­Y= /X, Z ­zb / ��¹�K258O89�G+K2*-EF9�¹�5CG+K ��*-EF5CG+5CBD9

O89�72�>G+K2E�M\)+9�c�[ ª1« /X, Z ­zb / .\�9�J�G+*>)+Ey¹�5CG+K ��9�)+*XO89�72�>G+KxM\)+9�E+M>58? G+*�§�9%®]< ZYZ .fh58585=iQ��BD9�)F:�§�* *>»�*-7 )+9�O[M\G+5CB³5CGH:��2EF9�E�M ?25! �9�)+9�7DG�J�*-7DBD9�7DG+58*-7a.]RyK29XEF58�-7¦*-,�G+K29XO89�72�>G+K2E%*-,

E��1M>J�9|¼/O85C»D9�BD9�J�G+*>)+E�58E JqM>O8O89�?]G+K29_^·EF58�-7NM\G+�³)+9�*-,�G+K29�P�9�GF)+58J�`2.RyK29 O89�72�>G+K2E�*-,I�\¼uBD9�J�G+*>)+E�M\)+9 EF��a�J�589�7DG+OC:�58P���*>)FGLM>7DG�,=*>)�5CG�G+*x§�9 �2EF9�,=�2O6G+*'KNMqBD9]M

¹yMq:�*-,�¹ )+5CG+5872�]G+K29�P�G+KNM\G�?2* 9�E�72*>G%587DBD*-OCBD9�¹ )+5CG+5872� *-�³G%M>O8O�G+K29XJ�*-P���*-729�7DG+E�9 < �NO858J�5CG+OC:D.R *�M>JLK2589�BD9�G+K258Ey¹69�587DGF)+* ?2�2J�9�G+K258E PQM\GF)+5 < �³JqM>O8O89�?]G+K29cbZ­h® b1`³¯�c�bd­d= / ¬�±\­h« @

e J"#$G ¶ U U UU ¶ U UU U ¶ UU U U ¶

& '( T f�¶-.3VDi

RyK29�7 ¹69�KNMqBD9O QPO ) Q 3 e 3 Q � f�¶-. ^>MDi

*>)�587 J�*-P���*-729�7DG�,=*>)+PO QPO ) � 4�f 4 8 � 8 T f�¶-. ^�§

RyK29���5872E·G+9�587¦J�*-7DBD9�7DG+58*-7¦58E�K29�)+9�§�9�5872���2EF9�?¦G+*�?³)+*5�¦GH¹6*�EF�2P�PQM\G+58*-7 EF58�-72E�.Q¥¦9X¹ )+5CG+9§�*>G+K *-, e � Ey5872?258J�9�E�M>EyEF�³§NEFJ�)+5!�2G+E�EF*�G+KNM\G 9qM>JLK�EF�2P�58Ey*�BD9�)�*-729���xM>72? *-729�?2*�¹�7 5872?29 < .

Page 4: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� (*����$����X! ���"$�( ��$����������������� ���"!#�%$��&���'���)(*!� �

� ` . ªN±\­zª1®�¬�ª1®��v«-`¡®�¬�±�ª . ªN±\­zª1®�¬ .*/ «>¬�`1±\c ¥¦9�¹ )+5CG+9�G+K29�)+9�EF�2OCGA*-, PQM\GF)+5 < P��2OCG+5!�NO85 ¼JqM\G+58*-7 *-, Qº§²: e M>E � 4 J f 4 8 � 8 T¥¦9�KNMqBD9��,+ ) G � + ) G?% �|� � 0 ) �10�� � R ) � R M>72? � 2 ) �32\.�RyK²�2E�G+K29�O89�72�>G+K�*-, Q¦58E

� 4 � 4 ) G?% R � R / � R / � R / � R TA*>G+58J�9 G+KNM\G6K29�)+9AM>E�9�BD9�)F: ¹�K29�)+9A9�O8EF9>�²¹69$M\)+9�EF�2P�P�5872��*�BD9�)6*-729���]M>72? *-729�?2*�¹�7Q5872?29 < .��7�*>)+?29�) G+*XE·G+58J+» )+58�-58?2OC:QG+*�G+K258Ey)+�2O89>�2¹69�?29 �N729

f 4 8 J f 4 8 J"#$G ¶ U U UU ¶ U UU U ¶ UU U U ¶

& '( T f�¶-.�Di

U�`N¬ / e¥¦9�KNMqBD9 f 4 � f � 8 )�� 48 ��*>)A587'PQM\GF)+5 < ,=*>)+P e 3 e )�� �¡¹�K29�)+9 � M>72? � 48 M\)+9%GH¹6*�¹yMq:³E*-, ¹ )+5CG+5872�XG+K29 � 9:�Q58?29�7DG+5CGH:�PQM\GF)+5 < .��AO8EF* f 4 8 ) f 4 � �

8� �¡EF*Q587'M�EF9�72EF9 e 58E�P�9�)+9�OC:

G+K29���³¼/���M>72? ?2*�¹�7 ¼/?2*�¹�7x,=*>)+P�E *-,�G+K29�58?29�7DG+5CGH:]PQM\GF)+5 < .;N)+*-P � 4 ¹69�JqM>7 )+9�J�*�BD9�)?�54¡� � 4 ) f 4 8 � 8 T f�¶-.��Di

� 4 58E M �\¼uBD9�J�G+*>)q�³§N�³G�*-, M�EFO858�-KDG+OC:�?25! �9�)+9�7DG GH: ��9AG+KNM>7 � 4 �³§�9�JqM>�2EF9��272?29�)AM���*>)+9�7DG+�GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7 ¹69�KNMqBD9

� �4 ) f 4 8 � � 8 ) f 4 8 68� � � ) f 4 8 6

8� f � � � �

)"#$G ¶ U U UU ¶ U UU U ¶ UU U U ¶

& '("#$

F GIHAF U UGIHAF F U UU U ¶ UU U U ¶

& '("#$G ¶ U U UU ¶ U UU U ¶ UU U U ¶

& '("#$�,+� 0� R� 2& '(

)"#$F HAF U UHAF F U UU U ¶ UU U U ¶

& '("#$�,+� 0� R� 2& '( J 6 4

8 � 8 �f�¶-.8¶�UDi

¹�K29�)+9�¹69�KNMqBD9�?29 �N729�?�M�729�¹ PQM\GF)+5 <

6 4 � J f 4 8 68� f � � T f�¶-.8¶-¶�i

A*>G+58J�9$G+KNM\G G+K29$GF)LM>72E���*-EF9�*-, 6 48 58EyG+K29�587DBD9�)+EF9�*-, 6 4 8 @

6 4 � 6 48 )�� 8� � f�¶-.8¶�S-i

¹�K29�)+9�¹69�KNMqBD9�M>�DM>587]¹ )+5CGFG+9�7]G+K29 ��9 �X58?29�7DG+5CGH:]PQM\GF)+5 < M>E � 8� .

Page 5: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� ��������� ���������������������� ���"!#�%$��&���'���)(*!�:;Q / ±\«D­hc /������ e

; §2GLM>587 f�¶-.8¶�S-i�,[)+*-P G+K29�)+9 � �25C)+9�P�9�7DG G+KNM\G,=*>)�M>7D:%GH¹6*�BD9�J�G+*>)+E>Q�����>¹696KNMqBD9 � �4 � � 4 )� 4 � 41.\�9�J�G+*>)+E�¹�5CG+K�G+K29�5C)$5872?258J�9�E�§�9�O8*�¹ M\)+9�JqM>O8O89�?'«-` . ªN±\­zª1®�¬ f�� 4 i|.R\�9�J�G+*>)+E�¹�5CG+Kx5872?258J�9�EM\§�*�BD9 M\)+9 JqM>O8O89�? «-`¡®�¬�±�ª . ªN±\­zª1®�¬ f��542i|. �%EFKNM>O8OyJqM>O8O�G+K29�P ?2*�¹�7 M>72?����BD9�J�G+*>)+E�.�RyK29*5��9�)LM\G+58*-7�*-,aEF9�GFG+5872�%GH¹6*%5872?258J�9�E69 � �NM>O¡M>72?QEF�2P�P�5872��,[)+*-P U�G+*<V�58E�JqM>O8O89�?Q«-`¡®�¬�±�ª1«>¬�­z`¡®�.��7 MQJ�*-7DGF)LM>J�G+58*-7�*-729�5872?29 < P��2E·G$§�9���ºM>72?�*-729�?2*�¹�7a.A�NM>7DG+5CG+589�E$O85C»D9V@ 4 � 4 � 4 KNMqBD972*>G+K25872�'G+*'?2*'¹�5CG+K �NKD:³EF58J�E�. �A7µ58P���*>)FGLM>7DG�P�*>G+5CB>M\G+58*-7¦,=*>)�¹ )+5CG+5872���54¦)LM\G+K29�)�G+KNM>7 Q58EQG+*�?258E·G+5872�-�258EFKgG+K29���¨,[)+*-P G+K29'?2*�¹�7¨,=*>)+P *-,�Q. ; ,[G+9�7�M>7v9 < �2)+9�EFEF58*-7¨58EQ9 � �NM>O8OC:B>M>O858?],=*>) ���*>)y?2*�¹�7]BD9�J�G+*>)+E��2)+*�B³58?29�?]G+K29A§1M>EF58J$)+�2O89�E M\)+9�*>§�9�:D9�?a�NM>72?]G+K29�7]5CG 58Ey729qM\G+9�)G+* �2EF9]J�*-7DBD9�7DG+58*-7NM>OyBD9�J�G+*>)X72*>GLM\G+58*-7�G+KNM>7µG+* E·G+58J+»�587�5872?258J�9�E�. ;1*>)X9 < M>P��NO89>��58,�ª M>72?� M\)+9]BD9�J�G+*>)+E�M>72? b 58E�M PQM\GF)+5 < �¹69�JqM>7 587DG+9�)��2)+9�GQª ) b 3 � M>E I 4 ) � 4 8�� 8 �6M>EI 4 )�� 4 8

� 8 � *>)%587�:D9�G%*>G+K29�)�¹yMq:³E�.�46�³G%58,�:D*-� 9�BD9�)%9 < �2)+9�EFE�M �\¼uBD9�J�G+*>)%587 J�*-P���*-729�7DG,=*>)+P��2:D*-�¦¢�r²{|lyJ�*-P�9�J�O89qM>7xM>72?�E+Mq:]¹�K29�G+K29�)�:D*-�a� )+9��-5CB³5872��G+K29���'*>)�G+K29�?2*�¹�7�BD9�J�G+*>)q�M>E 587 �54 ) f % �������������Di|.

�AJ�J�*>)+?25872�]G+* E���9�J�5[M>O )+9�O[M\G+5CB³5CGH:D�aM>O8O � �NM>7DG+5CG+589�E$*-, �NKD:³EF58JqM>O�587DG+9�)+9�E·G�JqM>7'§�9��>)+*-���9�?587DG+*��¡¼uG+��NO89�E�.����� ��, ¬ <1[ Z / c � +-, cq«-ª Z ªN±\c �; 7¦EF*-P�9�G+K25872�-E�M>O8O�*>§NEF9�)FBD9�)+E�M>�>)+9�9>� ,=*>)�9 < M>P��NO89�G+K29�JLKNM\)+�-9 M>72?ºG+*>GLM>OE��N587¦*-,�G+K29QM>79�O89�J�GF)+*-7a.�RyK29�EF9 � �NM>7DG+5CG+589�E�M\)+9XJqM>O8O89�? +-, cq«-ª Z ªN±\c�*>)�)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J�587DB>M\)+5[M>7DG+E�.�RyK29XO89�72�>G+K*-, M �\¼uBD9�J�G+*>)�58E�M �\¼/EFJqM>O[M\)q.����� +-, ¬ <1[ Z / c � +-,'.*/ «>¬�`1±\c ���, ; P�9qM>EF�³)+9�E�G+K29�¹yMqBD9|¼uBD9�J�G+*>)$M>72?x,[)+9 � �29�72J�:x*-,M��NK2*>G+*-7�G+*X§�9��¦M>72?�� �NG+K29�7'M>7x*>§³¼EF9�)FBD9�) ;�� ¹�K2*�P�*�BD9�E M\G E���9�9�? L M>O8*-72� ; � E��N¼HM < 58E P�9qM>EF�³)+9�E�¹yMqBD9|¼uBD9�J�G+*>)�� � M>72?�,[)+9 � �29�72J�:� � �-5CBD9�7]§²: "#

$� � N5%� �K� �L� �M

& '(*)

"#$

F GIHAF U UGIHAF F U UU U ¶ UU U U ¶

& '("#$� N5%� K� L� M

& '( T f�¶-.8¶.V-MDi

RyK29�PQM\GF)+5 < ,=*>)+P�*-, G+K258E 9 � �NM\G+58*-7 58E� � � N5%� � � ) 9 3 � � N5%� � ¹�K29�)+9 9 J

"#$

F GIHAF U UGIHAF F U UU U ¶ UU U U ¶

& '( T f�¶-.8¶.V\§

U�`N¬ / c>efh5=i]RyK29y��*>)+9�7DG+�yGF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7�PQM\GF)+5 < 9 58E�?258P�9�72EF58*-72O89�EFE��DEF*!� KNM>E�G+*$§�9y?25CB³58?29�?�§²: %

G+*��-5CBD9 G+K29�E+M>P�9�?258P�9�72EF58*-72E6M>E"��§�9�,=*>)+9�§�9�5872�E�N�³Gy587DG+*�G+K29�O[M>E·G �NO[M>J�9�*-,dM �\¼uBD9�J�G+*>)¹�5CG+K���.

Page 6: Classical Fields Lecture Notes James Binney

����� ��� � ��� �" ��� �)(*������� � ���'�"!������H� �)(�� ���(���$ � ��� �fh585=i \�9�J�G+*>)+E6¹ )+5CGFG+9�7]587]5CGLM>O858J�§�*-O8?2,zM>J�9Xf ��i6M\)+98V�¼uBD9�J�G+*>)+E��³¹�K258O89AG+K2*-EF9A¹ )+5CGFG+9�7]587]��*-PQM>7

§�*-O8?2,zM>J�9Qfhb�iyM\)+9 �\¼uBD9�J�G+*>)+E�.��, ¹69�?29 �N729 � + J � N5% �³G+K29�7

b � ) 9 3 b 5n. 9>.8� � � 4 ) 6 4-8 � 8 T f�¶-.8¶ �²i:;Q / ±\«D­hc /�� ��� e

�$9�G+9�)+P�58729X¹�K29�G+K29�)%G+K29��NK2*>G+*-7¦58E�§NO8�29Q*>)�)+9�?¦EFK258,[G+9�?¦§�9�GH¹69�9�7�5CG+E�9�P�58EFEF58*-7 §²: ;M>72?�5CG+Ey?29�G+9�J�G+58*-7]§²: ;�� .���9�O[M\G+9AG+K258EyG+*�G+K29 � �29�E·G+58*-7 *-,�¹�K29�G+K29�) ;�� 58E M6� �2)+*DM>JLK25872�*>) )+9�J�9�?25872�Q,[)+*-P ; .RyK29�O89�72�>G+K *-,�M<�NK2*>G+*-7a� E?�\¼uBD9�J�G+*>)�58EyG+K29�EFJqM>O[M\)

O b O J G f � + i R / f � 0 i R / f � R i R / f � 2 i R ) G � R% R / O � O R ) U T; 729�JqM>7 �2)+*�BD9�G+KNM\G G+K258Ey)+9qM>O8OC: 58E�M�EFJqM>O[M\) §²:]§2)+�³G+9�,=*>)+J�95@

O b � O ) G f � � + i R / f � � 0 i R / f � � R i R / f � � 2 i R) G�� F � % GQHAF � 0�� R / �IG HAF � % / F � 0�� R / f � R i R / f � 2 i R) G�F R � ¶ GQH R � � R% R / F R � ¶ G H R � f � 0 i R / f � R i R / f � 2 i R) G f � + i R / f � 0 i R / f � R i R / f � 2 i R T�A72*>G+K29�)A,zM>P�58O85[M\)��\¼uG+��NO895@�58, *>§NEF9�)FBD9�) ; P�9qM>EF�³)+9�E�9�729�)+�>:�� M>72?xP�*-P�9�7DG+�2P [�,=*>)

EF*-P�9��1M\)FG+58J�O89>�³G+K29�7 ;�� ¹�58O8OaP�9qM>EF�³)+9 � � M>72? ! � �-5CBD9�7]§²:� � � N5%! � � ) 9 3 � � N5%! � � f�¶-.8¶ S-i

*>)�EF9�GFG+5872�#" + J � N5% �³¹69�KNMqBD9$" � 4 )76 4 8 " 8 .RyK29�O89�72�>G+K *-,�G+K29�P�*-P�9�7DG+�2P�¼/9�729�)+�>: �\¼uBD9�J�G+*>) *-, M �1M\)FG+58J�O89$*-,�)+9�E·G�PQM>EFE&% +�') U�58E(·�2E·G G?% R G+58P�9�E�G+K29�E � �NM\)+9A*-,a5CG+E�)+9�E·G6PQM>EFE)% +>.�¥¦9�EFK2*�¹¨G+K258E�§²: M\)+�-�25872�%G+KNM\G�5CG6?2* 9�EF7a� G

PQM\GFG+9�)�587X¹�K2*-EF9�,[)LM>P�9y¹69�9�B>M>O8�NM\G+9�M�EFJqM>O[M\)q. ¥¦9�JLK2* *-EF9 G+K29?�1M\)FG+58J�O89>� E�)+9�E·G�,[)LM>P�9>.RyK29�7! ) UXM>72?*� ) % " + ) % + % R �NEF*G f�" + i R / f�" 0 i R / f�" R i R / f�" 2 i R ) G % R+ % R T���,+ - , ¬ <1[ Z / c � ª1®�¬�­hc � =?= / ¬�±\­h« � ��� ±�ª1® b�¬ / ® c�`1±\c ���,dG+K29A9�O89�J�GF)+58J�M>72? PQM>�-729�G+58J?�N9�O8?2E P�9qM>EF�³)+9�?Q§²: ; M\)+9$M\)F)LM>72�-9�?]587DG+*�G+K29�M>7DG+58E·:³P�P�9�GF)+58JPQM\GF)+5 <�. �

/ 4 8 J"#$

U � K N5% � L N5% � M N5%G � K N5% U 0 M G 0 LG � L N5% G 0 M U 0 KG � M N5% 0 L G 0 K U

& '( fu¤²�6�2725CG+ELi�� f�¶-.8¶�VDi

Page 7: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� ��������� ���������������������� ���"!#�%$��&���'���)(*!�G+K29�7 ; � ¹�58O8OaP�9qM>EF�³)+9 � � M>72? 0 � M>E

"#$

U � � K N5% � � L N5% � � M N5%G � � K N5% U 0 � M G 0 � LG � � L N5% G 0 � M U 0 � KG � � M N5% 0 � L G 0 � K U

& '( J / � 4 8 ) 6 4 � 6

8� / � � T f�¶-.8¶�^-i

A*>G+9�G+KNM\G / 4 8 GF)LM>72EF,=*>)+P�E��\{%t �'5CG�¹69�)+9�G+K29E�2)+* ?2�2J�G " 4 " 8 *-, GH¹6*Q?2*�¹�7 ¼uBD9�J�G+*>)+E�fz¹�K258JLK5CG�58EF7a� G|i|. ; § (·9�J�G+E�G+KNM\G GF)LM>72EF,=*>)+P�587]G+K258E ¹yMq: M\)+9�JqM>O8O89�? EF9�J�*-72? ¼u)LM>7³» G+9�72EF*>)+E�.. 58E JqM>O8O89�?]G+K29�b ª-Qd¯ /�ZYZ��/�Z � ¬ / ® c�`1±².

:;Q / ±\«D­hc /�� + � eR�)LM>72EF,=*>)+P / � � ¹�5CG+K�G+K29¦PQM\GF)+5 < 6 4 8 ?29 �N729�?°§²: f�¶-.8¶.V\§¡iQG+*gEFK2*�¹ G+KNM\G'M>7 *>§³¼EF9�)FBD9�)A¹�K2*QP�*�BD9�E�M\G�E���9�9�? L ?2*�¹�7�G+K29 �N¼HM < 58E�*-,�M>7x*>§NEF9�)FBD9�)A¹�K2*QEF9�9�E��N9�O8?2E�� )f � K ��� L �LUDiM>72?�� ) U³����9�)+J�9�5CBD9�E �N9�O8?2E�� � ) f � K � F � L �LUDi�M>72?�� � ) fnU�LU� FAL � L N5% i|. YA587DG @ EF5872J�9 9 58E�E·:³P�P�9�GF)+58J>��¹69yJqM>7�¹ )+5CG+9 .I� ) 9 3 . 3 9 . �YA9�72J�9y?29�?2�2J�9yG+K296�-9�729�)LM>O)+�2O89�E�� � � ) � � � � �� ) F f�� � /�� 9���i|��� � � ) � � � � � ) F f�� � G � 9�� N5% R i|.\�9�)+58,[:G+KNM\G�f 0 R G � R N5% R i ) f 0 � R G � � R N5% R i|.¤ *-P�9ºV�¼uG+��NO89�E�J�*>)F)+9�E���*-72?�G+*�9�O89�P�9�7DG+E�*-,�M\)+9qM³.#RyK258E�J�*>)F)+9�E���*-72?29�72J�9º¹6*>)F»³E�M>E

,=*-O8O8*�¹�E�.�¥¨5CG+K M>7D:µGH¹6*º?258E��NO[M>J�9�P�9�7DG+E���E+Mq: < M>72? . ��¹69xM>EFEF* J�5[M\G+9 G+K29 �1M\)LM>O8O89�O8*-�>)LM>P§�*-�272?29�? §²: <ºM>72? . .��72,=*>)+PQM\G+58*-7QM\§�*-�³G6G+K29AEF58��9$M>72? *>)+589�7DGLM\G+58*-7Q*-,aG+K258E �1M\)LM>O8O89�O8*-�>)LM>P58E�J�*-7DBD9�:D9�?'§²: G+K29�M>7DG+58E·:³P�P�9�GF)+58J$G+9�72EF*>)������ J�� � L � G�� � L �d��587:�1M\)FG+58J��2O[M\)q�¡58,�< ) . �G+K29�7�� ) U³.�� KNM>E ,=9�¹69�)�?29��>)+9�9�E�*-, ,[)+9�9�?2*-P�G+KNM>7]G+K29�9�58�-KDG�7²�2P�§�9�)+E�587DBD*-OCBD9�? 587J<µM>72?. §�9�JqM>�2EF9$¹69�JqM>7 M>?2?]G+*V<�M>7D: P��2OCG+5!�NO89�*-, . ¹�5CG+K2*-�³G M6 �9�J�G+5872����NM>72? B³58J�9ABD9�)+E+M�,=*>) .M>72?_<�.

:;Q / ±\«D­hc /�� + � e¸6*-72EF58?29�)%GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7 <�� < � ) I < / � . � . � . � ) % < /! . ¹�5CG+K�G+K29�J�*>)F)+9|¼E���*-72?25872��PQM6� �N5872�"���#� � .�¤ K2*�¹ G+KNM\GG+K29 9 � �NM\G+58*-7�� � ) � 58P���*-EF9�E*-729 J�*-72E·GF)LM>587DG*-7�G+K29%7²�2P�§�9�)+E�I � � � % � .�YA9�72J�9�*-72OC: G V ) SX7²�2P�§�9�)+EAM\)+9%729�9�?29�?'G+*�E���9�J�58,[:$�.% 5CBD9�M��-9�*-P�9�GF)+58JqM>Oa587DG+9�)��2)+9�GLM\G+58*-7 *-, G+K258Ey)+9�EF�2OCGq.��7 G+K³)+9�9|¼/E��1M>J�9xG+K29xEF58��9'M>72?g*>)+589�7DGLM\G+58*-7 *-,�MQ�1M\)LM>O8O89�O8*-�>)LM>P PQMq:µ§�9xE���9�J�5!�N9�?g§²:

�-5CB³5872��G+K29�PQM>�-725CG+�2?29�M>72? ?25C)+9�J�G+58*-7 *-,�G+K29 72*>)+PQM>On. YA9�72J�9�587 G+K³)+9�9|¼/E��1M>J�9x,=�2O8O�5872,=*>)·¼PQM\G+58*-7µM\§�*-�³G�M>7 M>7DG+58E·:³P�P�9�GF)+58J]S ��� )LM>7³»�G+9�72EF*>)XJqM>7µ§�9 �1M>J+»D9�? 587DG+*'G+K29 G+K³)+9�9 J�*-P�¼��*-729�7DG+E�*-,�G+K29 V�¼uBD9�J�G+*>)�¹�K258JLK¦¹69�JqM>O8OG+K29�J�)+*-EFE�¼ �2)+* ?2�2J�G�*-,�G+K29��1M\)LM>O8O89�O8*-�>)LM>P�� E�EF58?29�E�.��7x,=*-�³)·¼/?258P�9�72EF58*-7NM>O E��1M>J�9�G+58P�9�9qM>JLK��1M\)LM>O8O89�O8*-�>)LM>P KNM>E$M�PQM>�-725CG+�2?29%M>72?xGH¹6*QP��³G+�NM>O8OC:��9�)���9�72?258J��2O[M\)�72*>)+PQM>O8E��1)+9 � �25C)+5872� �2BD9�7²�2P�§�9�)+E$,=*>)$5CG+EA,=�2O8O E���9�J�5!�NJqM\G+58*-7a.�¸6*-72EF9 � �29�7DG+OC:G+K29�)+9�58EA72* ?25C)+9�J�G�M>7NM>O8*-�-�29�*-,�G+K29�J�)+*-EFE��2)+* ?2�2J�G�M>72?'¹69�P��2E·G�)+9 �2)+9�EF9�7DG%M\)+9qM>EA?25C)+9�J�G+OC:¹�5CG+K�M>7DG+58E·:³P�P�9�GF)+58J�G+9�72EF*>)+E�.

:;Q / ±\«D­hc /��'&�� e¸6*-P��1M\)+9�G+K29XM\§�*�BD9�E·GLM\G+9�P�9�7DG+E$G+* G+K29�7²�2P�§�9�)�*-,�5872?29 ��9�72?29�7DG�J�*-P���*-729�7DG+E�*-,�M>7M>7DG+58E·:³P�P�9�GF)+58J �Q9 � PQM\GF)+5 < ,=*>) � ) S ��V���2.

Page 8: Classical Fields Lecture Notes James Binney

����� ��� � ��� �" ��� �)(*������� � ���'�"!������H� �)(�� ���(���$ � ��� ��C�NKD:³EF58JqM>O8OC:X587DG+9�)+9�E·G+5872��V�¼uG+��NO89�G+KNM\G6?29�EFJ�)+5C§�9�EyM>7 M\)+9qM%58E�G+K29�G+9�72EF*>)�f�� 4 " 8 G � 8 " 4 i

,=*>)+P�9�?�,[)+*-P G+K29�E��1M>J�9|¼uG+58P�9�J�* *>)+?2587NM\G+9%BD9�J�G+*>)��54 ) f % �������������Di M>72?'G+K29<�\¼/P�*-P�9�7DG+�2P*-, M<�1M\)FG+58J�O89>.��, G+K29�M>72�-�2O[M\)�P�*-P�9�7DG+�2P�M\§�*-�³G G+K29�*>)+58�-587 58E����2¹69�KNMqBD9

� 4 8 J f�� 4 " 8 G � 8 " 4 i )"####$

U . . . . . .% f�� � N5% R G � " K i U . . . . . .

% f ��� N5% R G � " L i G�� M U . . .% f � � N5% R G � " M i � L G�� K U

& ''''( � f�¶-.8¶ Di

¹�K29�)+9AG+K29$?25[M>�-*-7NM>O¡?2*>G+EyE·GLM>72?],=*>)yP�587²�2E�G+K29 � �NM>7DG+5CG+589�E6587QG+K29$O8*�¹69�)yO89�,[GyGF)+5[M>72�-O89�*-,dG+K29PQM\GF)+5 < .�RyK29�7²�2P�§�9�)+E�587 G+K29 �2)+E·G%J�*-O8�2P�7º*-,�G+K258E�PQM\GF)+5 < �-5CBD9 % % G+58P�9�EAG+K29 �1M\)FG+58J�O89>� E58725CG+5[M>O,��*-EF5CG+58*-7 BD9�J�G+*>)q.

¥¨5CG+K#9�BD9�)F:#V�¼uG+��NO89¨¹69��-9�G GH¹6* ,[)+9�9 EFJqM>O[M\)+E�. ��,xG+K29 V�¼uG+��NO89�58E *-,�G+K29�,=*>)+Pf � � L � G�� � L �1i|�³G+K29�7]*-729$*-,aG+K29�EF9�58E�GH¹�58J�9AG+K29$E � �NM\)+9�?]PQM>�-725CG+�2?29A*-,aG+K29$J�*>)F)+9�E���*-72?25872��1M\)LM>O8O89�O8*-�>)LM>P:@

� 4 8 f f 4 � f 8 � � � � i J � 4 8 � 4 8 ) G R�) � 3 �) f � 4 L 8 G � 8 L 4 i�f � 4 L 8 G � 8 L 4 i ) S O < O O . O G f�< 3 . i R TU�`N¬ / e

YA9�)+9y§²:XR�)5b ¹69 P�9qM>7 � � � ) � � � .RyKNM\G�58E��-G+K29 EF�2P 58P��NO8589�?�§²:XR�)�P��2E·G�M>OC¹yMq:³E§�9�*�BD9�)�*-729���'M>72? *-729�?2*�¹�7�5872?29 < .��B>M>O8�NM\G+58*-7�587�G+K29��1M\)FG+58J�O89>� E�)+9�E·G6,[)LM>P�9�EFK2*�¹�E�G+KNM\G�G+K29�EFJqM>O[M\) 0R � 4 8 � 4 8 ) O QPO O [RO G

f Q 3 [i R ) G f % + %�� +qi R �D¹�K29�)+9 � +�58E�G+K29�?258E·GLM>72J�9�fh587XG+K29�)+9�E·G�,[)LM>P�9�i §�9�GH¹69�9�7QG+K29��1M\)FG+58J�O89M>72? G+K29�*>)+58�-587�M\G�� ) U³.

�HG�58E�587DG+9�)+9�E·G+5872��G+*�9�B>M>O8�NM\G+9yG+K258E�E+M>P�9 EFJqM>O[M\)�,=*>)�G+K29 I�M < ¹69�O8O �N9�O8?XG+9�72EF*>)q.�¤²GF)LM>58�-KDG·¼,=*>)F¹yM\)+?�PQM\GF)+5 < P��2OCG+5!�NO858JqM\G+58*-7 EFK2*�¹�E G+KNM\G G+K29�?2*�¹�7 ¼/?2*�¹�7xEFKNM>?2*�¹°*-, /c4 8 58E�0

/ 4 8 J"#$

U G � K N5% G � L N5% G � M N5%� K N5% U 0 M G 0 L� L N5% G 0 M U 0 K� M N5% 0 L G 0 K U

& '( fu¤²�6�2725CG+ELi � f�¶-.8¶ �Di

I'�2OCG+5!�NOC:³5872��9qM>JLKx9�O89�P�9�7DG�*-, / 4 8 §²:]G+K29�J�*>)F)+9�E���*-72?25872�Q9�O89�P�9�7DG�*-, /c4 8 ¹698�N72?% J 0R / 4 8 / 4 8 ) G 0R R�) . 3 .) 0R fh9qM>JLK�9�O89�P�9�7DG�*-, / 4 8 i�9�fhJ�*>)F)+9�E���*-72?25872��9�O89�P�9�7DG�*-, /c4 8 i) f 0 R G � R N5% R i T

f�¶-. S>UDi

R * 9 < GF)LM>J�G�M>72*>G+K29�)%EFJqM>O[M\)�,[)+*-P M�V�¼uG+��NO89�¹69X729�9�?ºG+*�587DGF)+* ?2�2J�9�G+K29 1 / . ­ , � ­ . ­=¬�ªc � = � ` Z @� ��� � ) � / ¶ 58, � HAF � 58E�M>7 9�BD9�7 ��9�)+P��³GLM\G+58*-7]*-,�U³¶�S5VG ¶ 58, � HAF � 58E�M>7 * ?2? ��9�)+P��³GLM\G+58*-7 *-, U³¶�S5VU *>G+K29�)F¹�58EF9>.

f�¶-. S ¶�i

0������ ��������������� �!� �#"$�%��� &(')���*+� � &,�.-$�0/%� *�12���01 *+��� 3(� �546���(�!1 � ���%��� &('7��-$�%��*+��� �8&,�8&1 4:9<;>=�?A@CBED!FG;>B!DEH @�?I�J FG;>BLKMH NCB<O�D5P=C9<BRQ5FSHGK�B!9 I K�P I ?TBR?>FUDEV

Page 9: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� ��������� ���������������������� ���"!#�%$��&���'���)(*!�U�`N¬ / e

¥¨K29�)+9qM>EA¹�K29�7 ��58E�* ?2?a��G+K29�J�:³J�O858J%587DG+9�)+JLKNM>72�-9�� 0 ��� R � T T T ������� 0 ����� ��� 058E�M>7º9�BD9�7 ��9�)+P��³GLM\G+58*-7º*-,�G+K29�� � ¹�K29�7 � 58E%9�BD9�7a� G+K258E ��9�)+P��³GLM\G+58*-7 58E�* ?2?a. fnR *�2)+*�BD9�G+K258E�9 < JLKNM>72�-9�� 0 M>72?����xM>72? G+K29�7�PQM\»D9!� G S�9 < JLKNM>72�-9�E�G+*�¹6*>)F» � 0 §1M>J+»]G+*G+K29%EF9�J�*-72?:�NO[M>J�9>. i ¤ *X¹�K29�)+9qM>EA,=*>)�V�¼/?258P�9�72EF58*-7NM>OaG+9�72EF*>)+E ��� �� ) � � � ³�N¹69�72*�¹ KNMqBD9� � � � ) G � ��� �\.� ��� ��M>O8O8*�¹�E �2E G+*�,=*>)+P�G+K29 �>< ª Z . *-, . @

/ ��� J 0R � ��� � / �)"#$

U 0 K 0 L 0 MG 0 K U G � M N5% � L N5%G 0 L � M N5% U G � K N5%G 0 M G � L N5% � K N5% U

& '( T

f�¶-. S-S-i

. JqM>7 §�9A*>§2GLM>58729�?],[)+*-P . §²:�G+K29AGF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7 � � �¦��� � G �x.�RyK29$*>G+K29�)yEFJqM>O[M\)58EyG+K29�GF)LM>J�9�*-, G+K29��2)+* ?2�2J�G�*-, . ¹�5CG+K 5CG+E ?2�NM>O @� J R�) . 3 .

) G fh9qM>JLK�9�O89�P�9�7DG�*-, / ��� i�9�fhJ�*>)F)+9�E���*-72?25872��9�O89�P�9�7DG�*-, / ��� i) � % � 3 � T

f�¶-. S5VDi

:;Q / ±\«D­hc /�� - � e¤ K2*�¹°G+KNM\G�¹�5CG+K�� 4 8 ) � 4 L 8 G � 8 L 4 �¡R�) � 3 � ) U³.6RyK258E�)+9�EF�2OCG�9 < �NO[M>5872E�¹�KD:��¦KNM>E*-72OC:AS�?29��>)+9�9�E�*-, ,[)+9�9�?2*-P fh� < 9�)+J�58EF98�²i|.

����+ � = , ¬ <1[ Z / c � c � =?= / ¬�±\­h« � ��� ±�ª1® bµ¬ / ® c�`1±\c ���PQM>�-58729�G+KNM\G$¹69�P�*�BD9�EF*-P�9�JLKNM\)+�-9�E%M\)+*-�272?a.�RyK29�7 G+K29�)LM\G+9XM\G$¹�K258JLK�¹69�?2*]¹6*>)F» o\kG+K29�9>. P�. �N9�O8?�58E �� ) G�� � 3�� ? 2��

) G ¶� + � � 3 ��� 9 � G ¶% R�� �� � � ? 2 �f�¶-. S6�²i

46�³G � 3 f�� 9 ��i ) � 3 f � 9 �]i G � 3 f � 9 ��i|�NEF*xf�¶-. S6�²i�JqM>7 §�9$)+9�¹ )+5CGFG+9�7�� ) ¶� + � � 3 f�� 9 ��i³? 2 � / ¶� + � � G � 3 f � 9 �]i / ¶% R � 3 � �� � � ? 2 �) ¶� +! f�� 9 ��i 3 ? R#" / ¶S � + � �� �%$ 0 R / � R N5% R'& ? 2 � T

f�¶-. S�S-i

��,�9�729�)+�>:�58E G+*�§�9ºJ�*-72EF9�)FBD9�?a��G+K29º9�729�)+�>:¨¹69º?29 �NO8*�:�P�*�B³5872�µG+K29ºJLKNM\)+�-9�E�KNM>E G+* �-*EF*-P�9�¹�K29�)+9>.U�AJ�J�*>)+?25872��G+*�f�¶-. S�S-i 9�729�)+�>:�¹�58O8O §�9�J�*-72EF9�)FBD9�?�58,1¹69 587DG+9�)��2)+9�G�G+K29)(�` ��®�¬�­h®+*.*/ «>¬�`1± , J ¶� + � 9 � f�¶-. S>VDi

Page 10: Classical Fields Lecture Notes James Binney

����� ����� � ��� �" ������� � ���'�"!������H� �)(�� ���(���$ � ��� �M>EyG+K29��N� < *-, 9>. P�.29�729�)+�>:D�1M>72?

¶S � + $ 0 R / � R N5% R'& f�¶-. S-^-i

M>EyG+K29�?29�72EF5CGH: *-, 9>. P�.29�729�)+�>:D.YA*�¹#?2*xG+K29 (�*�:³7DG+5872�'BD9�J�G+*>)�M>72?µG+K29 9>. P�. 9�729�)+�>:²¼/?29�72EF5CGH:4�2G�587DG+*'G+K29 EFJLK29�P�9 *-,�¡¼uG+��NO89�E F�;N)+*-P . ¹69�JqM>7 J�*-72E·GF)+�2J�G�G+K29�,=*-O8O8*�¹�5872�X58P���*>)FGLM>7DG6G+9�72EF*>) @

� 4 8 ) ¶� + G 0� f / � / � i f 4 8 G / 4 � / � 8 u� ) ¶� +� 0� R�)�f . 3 . i e G . 3 . � � f�¶-. S Di

¹�K29�)+9 . 58E��2M>Ey�2EF�NM>On� G+K29$I�M < ¹69�O8O �N9�O8? G+9�72EF*>)%f�¶-.8¶�VDi|. �HGq� E69qM>E·:�G+*�EF9�9AG+KNM\G R�) ) U³. �O85CGFG+O89$EFO8*-�XEFK2*�¹�E G+KNM\G�587]G+9�)+P�E *-, � M>72? � G+K29�G+9�72EF*>) 58E

� 4 8 )"##$

0R 4�� f 0 R / � R N5% R i�� K N5% � L N5% � M N5%� K N5%� L N5% � � �� M N5%& ''( � f�¶-. S �Di

¹�K29�)+9

� � � J ¶� +�� 0R � � � � 0 R / � R% R � G � 0!� 0 � / � � � �% R ��� f ����� ) ¶-�|S ��VDi T f�¶-.WV-UDiRyK²�2E�G+K29�9�729�)+�>:x?29�72EF5CGH:�587xG+K29%9>. P�.P�N9�O8?'58E�G+K29�U-U�J�*-P���*-729�7DGA*-, M>72?xG+K29%(�*�:³7DG+5872�BD9�J�G+*>)Q* J�J���N589�EXG+K29�P�5 < 9�? E��1M>J�9|¼uG+58P�9�J�*-P���*-729�7DG+E�*-, . �HG�G+�³)+72E�*-�³G�G+KNM\GXG+K29�V�9VºPQM\GF)+5 < � � � ?29�EFJ�)+5C§�9�E�G+K29��N� < *-,�G+K29 G+K³)+9�9�»³5872?2E�*-,AP�*-P�9�7DG+�2P:@ � � K ) �N� < *-,��N¼P�*-P�9�7DG+�2P#9�G+J>.

:;Q / ±\«D­hc /������ e¤ K2*�¹ G+KNM\G�MA�27258,=*>)+P PQM>�-729�G+58J �N9�O8?<�1M\)LM>O8O89�O²G+*AG+K29���¼HM < 58E�58E�M>EFEF* J�5[M\G+9�?�¹�5CG+K�G+9�72EF58*-7fh729��DM\G+5CBD9��2)+9�EFEF�³)+9�i�M>O8*-72��G+K29%M < 58E��NM>72? �2)+9�EFEF�³)+9%587]G+K298��9�)���9�72?258J��2O[M\)�?25C)+9�J�G+58*-72E�.�AE M>7]9 < M>P��NO89A*-, J�*-72EF58?29�)�M �NO[M>729$9>. P�. ¹yMqBD9A)+�272725872��M>O8*-72��� ­ ��*-O[M\)+58��9�? �1M\)LM>O8O89�O

G+*��� .�RyK29�7� ) fnU��� �LUDi³J�*-E�f � � G � �ai� ) fnU�LU��0�i³J�*-E�f � � G � �ai T� M>72? 0 M\)+9$)+9�O[M\G+9�? §²: G � � N � � ) � 9 � 0 ) � � N � ) � N5% .YA9�72J�9,) f � R N � + % �LU�LUDi³J�*-E R f � � G � �ai T

RyK29 �2)+E·G�G+9�)+P 587�*-�³)�9 < �2)+9�EFEF58*-7 f�¶-.WV-UDi�58E$72*-7 ¼/��9�)+* *-72OC:x*-7'G+K29�?25[M>�-*-7NM>On.�RyK29�EF9�J�*-72?G+9�)+P�58E 72*-7 ¼/��9�)+*Q*-72OC: 587 G+K298� � M>72?��-��EFO8*>G+E�M>72?]G+K29�)+9�JqM>72J�9�O8E G+K298�2)+E·G�G+9�)+P�.�¤ *"! 58E

� � � ) "$ ¶ U UU U UU U U

&( � R� + % R J�*-E R f � � G � �ai��

Page 11: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� ��������� ���������������������� ���"!#�%$��&���'���)(*!�M>72? �N7NM>O8OC:

� 4 8 )"#$¶ ¶ U U¶ ¶ U UU U U UU U U U

& '( � R� + % R J�*-E R f � � G � �ai T f�¶-.WV³¶�i

RyK29 E·GF)+9�EFEG+9�72EF*>) ! KNM>E�*-72OC:�M>7�9�7DGF)F:�587�G+K29I� �QEFO8*>G�§�9�JqM>�2EF9�*-�³)¹yMqBD9y58E9�72�DM>�-9�?X587�G+K29§N�2EF58729�EFE�*-,JqM\)F)F:³5872� �N¼uGH: ��9�P�*-P�9�7DG+�2P 587xG+K29E�N¼/?25C)+9�J�G+58*-7a�aG+K29%¹yMqBD9�¹6*-�2O8? �N�2EFK'§1M>J+»M�P�5C)F)+*>)��NO[M>J�9�?'587�M��NO[M>729 � ) J�*-72E·GLM>7DGq.�¸6O89qM\)+OC:]G+K29�(�*�:³7DG+5872�QBD9�J�G+*>)A58E$M>O8EF*Q?25C)+9�J�G+9�?M>O8*-72��G+K29���M < 58E��2¹�K258JLKxM>J�J�*-�27DG+E�,=*>)�G+K29�*5 1¼/?25[M>�-*-7NM>Od�2725CG+E�587 .���7 �2)+*5��9�)�)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J�2725CG+E�G+K29y¹yMqBD9y9�P��NO8*�:³E��2725CG�9�729�)+�>:�?29�72EF5CGH:�f�^·JqM6�N5CGLM>O³9�P��NO8*�:D9�?-`²i�G+*�JqM\)F)F:��2725CG �N� < 9�E�*-,9�729�)+�>:QM>72?�P�*-P�9�7DG+�2PTf�^�G+�³)+72*�BD9�)'`²i|. A*>G+58J�9yG+KNM\G�G+K29�¹yMqBD9>� E �NKNM>EF9�58E�G+K29�EFJqM>O[M\) G b 3 Q.¥¨K29�7v¹69'?2*µJ�*-EFP�*-O8*-�>:µ¹69>� O8O�729�9�? � 4 8 ,=*>) M �N�258?a. �yG]9qM>JLKv9�BD9�7DG M �N�258?vKNM>EM�E·GF)+9qM>P�5872�xP�*>G+58*-7�G+KNM\Gq� E%JLKNM\)LM>J�G+9�)+58��9�?�§²:ºG+K29 �\¼uBD9�O8* J�5CGH: � �µM>72?µM>7�M>EFEF* J�5[M\G+9�?¦)+9�E·G,[)LM>P�9>. ��7xG+K258E�)+9�E·GA,[)LM>P�9�G+K29�)+9>� E�M>7x9�729�)+�>:x?29�72EF5CGH:�� % R M>72?�M��2)+9�EFEF�³)+9 � .���,�G+K29 �N�258?58E ^ ��9�)+,=9�J�G'`XG+K29�)+9%M\)+9�72*�*>G+K29�)�E·GF)+9�EFEF9�E�fhEF�2JLKxM>EyB³58EFJ�*-�2E�EFK29qM\)|iyM>72? ¹69>� O8Od*-72OC: J�*-72EF58?29�)��9�)+,=9�J�G��N�258?2E�. � 4 8 KNM>EyG+*�§�9�M�E·:³P�P�9�GF)+58JAEF9�J�*-72? ¼u)LM>7³» G+9�72EF*>)�PQM>?29$,[)+*-P#G+K29�EFJqM>O[M\)+E��M>72? � �³G+K29�BD9�J�G+*>) � 4 M>72? G+K29$G+9�72EF*>) f 4 8 . � JqM>72?258?NM\G+9�58E� 4 8 ) f�� / ��N5% R i � 4 � 8 / � f 4 8 T f�¶-.WVDS-i�HGq� EyG+K29$G+9�72EF*>)�¹69�¹yM>7DG §�9�JqM>�2EF9%587]G+K29��N�258?a� E )+9�E·G�,[)LM>P�9�5CG §�9�J�*-P�9�E"#

$� % R U U UU � U UU U � UU U U �

& '( T

��� & � / ±\­ . ª2¬�­ .*/ c�`� ¬ / ® c�`1±\c�$9�)+5CB>M\G+5CBD9�E�¹�5CG+K�)+9�E���9�J�GXG+* M>7D:µE·:³E·G+9�P *-,�J�* *>)+?2587NM\G+9�E�JqM>7µ§�9 9 < �2)+9�EFEF9�? 587µG+9�)+P�E�*-,?29�)+5CB>M\G+5CBD9�Ey¹�. )q. Gq.NM>7D:]*>G+K29�)�E·:³E·G+9�P#§²: �2EF9�*-,�G+K29�JLKNM>587 )+�2O895@

�� � � 4 ) � � 8� � � 4 �� � 8 T f�¶-.WV-VDi��, G+K29��2)+58P�9�?�M>72?��27�2)+58P�9�? E·:³E·G+9�P�E�M\)+9�O8587³»D9�? §²: M���*>)+9�7DG+��GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7a�� � 8 ) 6

84 � 4 � f�¶-.WV5�²i

¹69�KNMqBD9�*-7�P��2OCG+5!�NOC:³5872��§²: 6 8 � M>72?�EF�2P�P�5872��*�BD9�)�E¡�6 8 � � � 8 ) 6 8 � 6

84 � 4 ) � � �

¹�K29�)+9�G+K29�O[M>E·G E·G+9 �x,=*-O8O8*�¹�Ey§²:¦f�¶-.8¶�S-i|.��$5! �9�)+9�7DG+5[M\G+5872��¹69��-9�G� � �� � � 8 ) 6 8 � T f�¶-.WVXS-i

RyK²�2E �� � � 4 )76 48 �� � 8 � f�¶-.WV-VDi

M>72? ¹69�EF9�9�G+KNM\G

� 4 J � N � � 4 ) � ¶% �� � � �� � � �� � � �� � � f�¶-.WVD^-iGF)LM>72EF,=*>)+P�E O85C»D9�M�?2*�¹�7 BD9�J�G+*>)q.

Page 12: Classical Fields Lecture Notes James Binney

�������� �'���&������� �N$��%���(���$ � � � �

U�`N¬ / c>efh5=i

�� � 4 *5��9�)LM\G+9�E *-7�EFJqM>O[M\)+EyG+* �2)+* ?2�2J�9�BD9�J�G+*>)+E @�� 4 J � �� � 4 J � 4 � J � � 4�� � 4 *5��9�)LM\G+9�E *-7 BD9�J�G+*>)+EyG+* �2)+* ?2�2J�9�S ��� )LM>7³» G+9�72EF*>)+E @� 4 8 J � 8

� � 4 J � 4 8 J 8 � 4�� � 4 *5��9�)LM\G+9�E *-7 G+9�72EF*>)+E G+*<�2)+* ?2�2J�9%K258�-K29�)·¼u)LM>7³» G+9�72EF*>)+E @

� 4 � 8 J � 0 � 8� � 4 J � 4 0 � 8 J 0 � 8 � 4RyK29�*5��9�)LM>72?a� E�5872?258J�9�E�JqM>7 §�9�9�5CG+K29�)���x*>)�?2*�¹�7A@� 48 ) � 4 8 .

fh585=i���, ¹69�J�*-7DGF)LM>J�G�G+K29�G+9�72EF*>)?�2)+* ?2�2J�9�?x§²: *5��9�)LM\G+5872��*-7xM�BD9�J�G+*>)q�N¹69��-9�GAMXEFJqM>O[M\)q�NG+K29�\¼/?25CBD9�)+�-9�72J�9�� ) � 4 4¡.fh58585=i�¥¦9 JqM>7v)+9�?2�2J�9�G+K29 7²�2P�§�9�) *-,�5872?258J�9�E *-7�MµK258�-K29�)·¼u)LM>7³»gG+9�72EF*>)]§²:vJ�*-7DGF)LM>J�G+58*-7A@

8 ) � 4 � 4 8 .fh5CBNi RyK29K�\¼HM>7NM>O8*-�-�29�*-,$GLM\»³5872��G+K29'J��³)+O$*-,%M¦BD9�J�G+*>)]58E G+*�M>7DG+58E·:³P�P�9�GF)+58��9 G+K29'G+9�72EF*>)

,=*>)+P�9�? §²: *5��9�)LM\G+5872�¦*-7vMºBD9�J�G+*>) @ / 4 8 ) f � 4 8 G � 8 4 i|.¨��, 8 ) � 8 � �yG+K29�7/ 4 8 ) U�§�9�JqM>�2EF9 �1M\)FG+5[M>Oa?29�)+5CB>M\G+5CBD9�E J�*-P�P��³G+9>.fzBNi � 7NM\G+�³)LM>Od�-9�729�)LM>O858�qM\G+58*-7 *-,�G+K29�?25CBD9�)+�-9�72J�9�G+K29�*>)+9�P�)+9qM>?2E

�� ? � Q � � �������� � 4 ) �� fh? 2 Q i 4 � ������� � f�¶-.WV Di¹�K29�)+9 �v58EAG+K29�§�*-�272?NM\)F:'*-,G+K29 �\¼/?')+9��-58*-7��X. A*>G+58J�9%G+KNM\G PQMq:xKNMqBD9�M>E$PQM>7D:5872?258J�9�E�M>E�5CGI�NO89qM>EF9�EAM>72?]G+KNM\G�*-729�*-,�G+K29�P PQMq:Q§�9�J�*-7DGF)LM>J�G+9�? ¹�5CG+K � 58,�:D*-�]¹�58EFKa.

:;Qdª*= [ Z / e��7µ9>. P�.�G+K29 �2EF�NM>O�BD9�J�G+*>)<��*>G+9�7DG+5[M>O�� M>72?�G+K29 9�O89�J�GF)+*-E·GLM\G+58J ��*>G+9�7DG+5[M>O � ,=*>)+P G+K29,=*-�³)�J�*-P���*-729�7DG+E�*-, M>7 ���BD9�J�G+*>)

4 ) f � N5% � K � L � M i 4 ) f G � N5% � K � L � M i T f�¶-.WV �Di; �³)�*-O8? ,[)+589�72?�G+K29�I�M < ¹69�O8OA�N9�O8? G+9�72EF*>) . 58EyG+K29�7

/ 4 8 ) � 4 8 G � 8 4 T f�¶-. �DUDiRyK²�2E�/ 0 R ) � L� � G � K� � ) 0 M M>72?�/U+ 0 ) � K% / ¶% � �� � ) G � K N5% .

� / ±\­ . ª2¬�­ .*/ c�¯�­=¬�� ± / c�[ / «>¬ ¬�` [ ±�`*[ / ±¦¬�­Y= / RyK29]K258E·G+*>)F:µ*-,�M �1M\)FG+58J�O89 ?29 �N729�EMµJ��³)FBD9�587¨E��1M>J�9|¼uG+58P�9>. ��9�G��¨§�9 M �1M\)LM>P�9�G+9�) ¹�K258JLK¨O[M\§�9�O8E ��*-587DG+E]*-7vG+K29�J��³)FBD9�587

Page 13: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� ��������� ���������������������� ���"!#�%$��&���'���)(*!�M¦J�*-7DG+587²�2*-�2EQ¹yMq:D. RyK29�7gG+K29'J�* *>)+?2587NM\G+9�E � 4 *-,���*-587DG+EQ*-7 G+K29'J��³)FBD9�M\)+9xJ�*-7DG+587²�2*-�2E,=�272J�G+58*-72E?�54af �¡i|. ;1*>) � � � ¶�G+K29�EFPQM>O8O�BD9�J�G+*>)

� Q J ?�Q? � � �

M>O8P�*-E·G (·*-5872E�GH¹6* ��*-587DG+E�*-7�G+K29%J��³)FBD9>. YA9�72J�9�5CG�58E G+58P�9|¼/O85C»D9�M>72? O � QPO��¨U³.I;1*>)$M>7D:]GH¹6*��*-587DG+E��ZM>72?x4¨*-7]G+K29�J��³)FBD9>�2¹69�?29 �N729� J ¶% � �� � G���� ?�Q? � ���� ? � f�¶-. �2¶�i

G+*�§�9�G+K29c[ ±�`*[ / ±�¬�­Y= / ?25! �9�)+9�72J�9%§�9�GH¹69�9�7��ZM>72?x4�M>O8*-72�XG+K29�J��³)FBD9>.���, G+K29�J��³)FBD9�58E�ME·GF)LM>58�-KDG�O858729>�N¹69�PQMq: GF)LM>72EF,=*>)+P�G+*�G+K29�J�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P 587 ¹�K258JLK �54 ) f % ���LU�LU�LUDi�M\GM>O8O,��*-587DG+E�*-7]G+K29�J��³)FBD9>�1M>72? G+K29�7

� ) ¶% � ��� G ? % �? � ?�f G?% �Fi? � ? � ) � � G � � T f�¶-. �²S-iYA9�72J�9�G+K29 7NM>P�9>. ¥¦9�)+9��DM\)+?¨G+K29�J�* *>)+?2587NM\G+9�E �54g*-,%9�BD9�7DG+E�M>O8*-72�µG+K29�GF)LM (·9�J�G+*>)F:vM>E,=�272J�G+58*-72E �54af � iA*-,�G+K29��2)+*5��9�)�G+58P�9>.��$5! �9�)+9�7DG+5[M\G+5872� ¹�. )q. Gq. � M>72?ºP��2OCG+5!�NOC:³5872� G+K³)+*-�2�-K§²: G+K29�)+9�E·G�PQM>EFE % +�¹69�*>§2GLM>587�M �\¼uBD9�J�G+*>)q�2G+K29�P�*-P�9�7DG+�2P

[ J % + ?�Q? ��T f�¶-. � VDi;N)+*-P G+K29%��9�)+*>G+K'J�*-P���*-729�7DGA*-,�G+K29%��'BD9�)+EF58*-7'*-, G+K258EA9 � �NM\G+58*-7 ¹69�KNMqBD9�?� ) F ? � �1G+K29K29qM\)FG+E6*-,A�1M>EFEF9�72�-9�)+E *-7]M%,zM>E·G6GF)LM>587 fzG+K29�:�PQM\)F»X*5 x�2725CG+E6*-, � i�M6� ��9qM\)6G+*%§�9qM\GyEFO8*�¹�OC:XG+*M�P�9�?258J�*-7]G+K29�E·GLM\G+58*-7 �NO[M\G+,=*>)+P fz¹�K2*-EF9$¹yM\G+JLK »D9�9 �NE��Fi|.���,- 1 ª ¯�c�`� / � = � ª1®�� = / «�� ª1® ­h«Dc�­h® ¬ / ® c�`1± �/`1±�=RyK29�)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58JA�-9�729�)LM>O858�qM\G+58*-7 *-,�A9�¹ G+*-7a� E EF9�J�*-72?�O[Mq¹ 58E

% + ? R Q? � R ) ?? � � % + ?�Q? � � ) ?-[

? � ) � � f�¶-. �-�²i¹�K29�)+9 ��58E6G+K29 +-, �/`1±\« / .�RyK29�O[M>E·G6G+K³)+9�9�J�*-P���*-729�7DG+Ey*-, � 4 M\)+9)(·�2E·GyG+K29 A9�¹ G+*-725[M>7 ,=*>)+J�9J�*-P���*-729�7DG+E � �·.�¥¨5CG+K � ) U�9 � �NM\G+58*-7ºf�¶-. �-�²i�E·GLM\G+9�EyG+KNM\GyG+K29���9�)+*>G+K J�*-P���*-729�7DG *-, � 4Q58EG+* ¶ N5% G+58P�9�E6G+K29$)LM\G+9�*-, JLKNM>72�-9�*-, G+K29��1M\)FG+58J�O89>� E 9�729�)+�>: % " + �NK29�72J�98�NKD:³EF58JqM>O8OC: � + 58E�¶ N5%G+58P�9�E6G+K29�)LM\G+9�*-,�¹6*>)F»³5872�X*-,�G+K29�,=*>)+J�9 �%.��7�EF�2P�PQM\)F:� 4 ) f�� N5% � � K � � L � � M i T f�¶-. � S-i

RyK29�?25CBD9�)+�-9�72J�9�*-,yf�¶-.8¶�VDi�J�*-72EF58E·G+E�*-,�G+K29�EF9�,=*-�³)�9 � �NM\G+58*-72E @/ 4 8 � 8 )

"###$

¶% � � K� � / ¶% � � L� � / ¶% � � M� �� 0 M N � � G � 0 L N � � G 0��� � � K N � �G � 0 M N � � / � 0 K N � � G 0��� � � L N � �� 0 L N � � G � 0 K N � � G 0��� � � M N � �& '''( )�� 0� � 3 �� 9 � G ¶% R � �� ��� T

f�¶-. �DVDi

Page 14: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� ���>������$�� � � ���)( � � �! ���)(-�"! �;� ( ���(���$ � �Y$ � � � �

RyK29���9�)+*>G+K�J�*-P���*-729�7DG�58E�§²:X(�*-58EFEF*-7a� E�9 � �NM\G+58*-7�9 � �NM>O2G+* � N f % � +qi ) %�� + �N�D¹�K29�)+9 �%58E�G+K29JLKNM\)+�-9�?29�72EF5CGH:D.�4�:��AP���9�)+9>� E$O[Mq¹��aG+K29�O[M>E·G�G+K³)+9�9�*-,�G+K29�EF9�9 � �NM\G+58*-72E�M\)+9�9 � �NM>O�G+* � + � �¹�K29�)+9 � 58E G+K29�J��³)F)+9�7DGA?29�72EF5CGH:D.�YA9�72J�9�58,�¹69�,=*>)+P M �\¼uBD9�J�G+*>)

� 4 ) f % �P��� K ��� L ��� M i�� f�¶-. �²^-i¹69�PQMq:Q¹ )+5CG+9$,=*-�³)�*-, I�M < ¹69�O8On� Ey9 � �NM\G+58*-72E�M>E

/ 4 8 � 8 ) � +�� 4 T f�¶-. � Di�HG�58E E·GF)LM>58�-KDG+,=*>)F¹yM\)+? G+*�BD9�)+58,[: G+KNM\G�I�M < ¹69�O8On� E *>G+K29�)�,=*-�³)�9 � �NM\G+58*-72E JqM>7 §�9�¹ )+5CGFG+9�7

/ 4 8 � � / / � 4 � 8 / / 8 � � 4 ) U f � ') E ') �¡i T f�¶-. � �Di:;Q / ±\«D­hc / c ��� � efh5=i ¤ K2*�¹ G+KNM\G ¹�K29�7 �d� � M>72? E%9 � �NM>O�¶-�DSAM>72? V�)+9�E���9�J�G+5CBD9�OC:D�Nf�¶-. � �Did§�9�J�*-P�9�E � 3 � ) U³.fh585=i]¤ K2*�¹ G+KNM\G ¹�5CG+K 9 � �NM\G+58*-7¦f�¶-. S-S-i�9 � �NM\G+58*-7ºf�¶-. � �Di�PQMq:]M>O8EF*�§�9$¹ )+5CGFG+9�7 / 4 8 � 8 ) U³.¸6KNM\)+�-9�J�*-72EF9�)FB>M\G+58*-7�58E 9 < �2)+9�EFEF9�?'M>E� + � 3 � ) � +�� 4 � 4 ) / 4 8 � 8 4 ) U� f�¶-.TS>UDi¹�K29�)+9�G+K29�O[M>E·G E·G+9 �x,=*-O8O8*�¹�Ey§²:]G+K29�M>7DG+58E·:³P�P�9�GF)F:Q*-, . .

RyK29�7NM\G+�³)LM>Od?29 �N725CG+58*-7�*-,�G+K29 �\¼/J��³)F)+9�7DGAM>EFEF* J�5[M\G+9�? ¹�5CG+K�M<�1M\)FG+58J�O89�*-, JLKNM\)+�-9���58E� ) � ?�Q? ��T f�¶-.TS ¶�i

¤ 5872J�9$G+K29$,=*>)+J�9$9 < 9�)FG+9�? *-7 M�JLKNM\)+�-9�? �1M\)FG+58J�O89A§²: M>7]9>. P�. �N9�O8?]KNM>E6G+*�§�9$O858729qM\)y587� �³G+K29�N9�O8?2Ey)+9 �2)+9�EF9�7DG+9�? §²: . �NM>72? G+K29��1M\)FG+58J�O89>� E�BD9�O8* J�5CGH:�BD9�J�G+*>)q�2M�EF�25CGLM\§NO89��\¼uBD9�J�G+*>)6G+*�GF)F: M>EG+K29�,=*>)+J�9�58E

� ) . 3 � T f�¶-.TS-S-iR 9�7DGLM\G+5CBD9�OC:�5872EF9�)FG+5872��G+K258E 587DG+*�f�¶-. �-�²idM>72?�P��2OCG+5!�NOC:³5872�yG+K³)+*-�2�-K%§²:�? � N ?� ) ¶ N.F G+*�*>§2GLM>587G+K29%M>J�J�9�O89�)LM\G+58*-7�M>E P�9qM>EF�³)+9�?�587]G+K29�O[M\§�*>)LM\G+*>)F:Q,[)LM>P�9>�2¹69��-9�G

?-[?� ) � . 3 ?�Q?� T f�¶-.TS5VDi

�HG�58E%E·GF)LM>58�-KDG+,=*>)F¹yM\)+?¦G+*'JLK29�J+»¦G+KNM\G%G+K29QO[M>E·G�G+K³)+9�9QJ�*-P���*-729�7DG+E�*-,6G+K29 ��µ,=*>)+P *-,6G+K258EBD9�J�G+*>)�M\)+9 ?

?� � % + F ? �?� � ) �2f � 9 � / �]i��¹�K258O89$G+K29���9�)+*>G+K J�*-P���*-729�7DG�58E

?�f % + %�F i?� ) � % � 3 � �

*>)q� 587 ¹6*>)+?2E���^�G+K29�)LM\G+9X*-,6JLKNM>72�-9�*-,�G+K29��1M\)FG+58J�O89>� E�9�729�)+�>: % % R 58E�9 � �NM>OG+* G+K29�)LM\G+9X*-,¹6*>)F»³5872�X*-,�G+K29���*>)+9�7DG+��,=*>)+J�9>. `

Page 15: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� ���������������������� ���"!#�%$��&���'���)(*!�� ª*<+* / ­h® . ªN±\­zª1® « / �yG]M¦J�O[M>EFEF58JqM>O�fh5n. 9>.�72*-7 ¼ � �NM>7DG+�2P O89�BD9�O=i�*-72OC: � M>72?!� M\)+9�NKD:³EF58JqM>O8OC:%P�9qM>725872�-,=�2O�� � 58E�(·�2E·G�M>7�M\§NE·GF)LM>J�G+58*-7�,[)+*-P ¹�K258JLK � M>72? ��JqM>7�§�96JqM>O8J��2O[M\G+9�?B³5[M / 4 8 ) f � 4 8 G � 8 4 i|.�¤ *X72*>G+K25872� �NKD:³EF58JqM>O�JLKNM>72�-9�E�58, ¹69$)+9 �NO[M>J�9��T§²:

� � J � / � 6 � f�¶-.TS6�²i¹�K29�)+9 6 f Q i�58E6M>7D:�EFJqM>O[M\)·¼uB>M>O8�29�?Q,=�272J�G+58*-7 *-,aE��1M>J�9|¼uG+58P�9�J�* *>)+?2587NM\G+9�E�.�RyK29AJLKNM>72�-9�f�¶-.TS6�²i587�� 58E JqM>O8O89�?xM�*1ª*<+* / ¬�±�ª1® c �/`1±�=ºª2¬�­z`¡®�.

% M>�2�-9AGF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-72E6JqM>7 §�9$�2EF9�? G+*�9�72EF�³)+9$G+KNM\G��TE+M\G+58E��N9�E M>7]M>?2?25CG+58*-7NM>O�9 � �NM�¼G+58*-7a. ��7M�1M\)FG+58J��2O[M\)q�A�-5CBD9�7�� ¹69 JqM>7�JLK2* *-EF9 6 E�. Gq.�� � E+M\G+58E��N9�E *-729º*-,�G+K29�EF9 �DM>�2�-9J�*-72?25CG+58*-72E @fh5=i 1 `1± / ®�¬� *1ª*<+* / @ R � 3 � � ) U 62) � 3 � f�¶-.TS�S-i

RyK29���*>)+9�7DG+�$J�*-72?25CG+58*-7ºf�¶-.TS�S-i�?2* 9�Ey72*>G �2725 � �29�OC: E���9�J�58,[:�� � EF5872J�9�PQM>7D:�72*-7 ¼uGF)+5CB³5[M>O,=�272J�G+58*-72E�E+M\G+58EF,[:� � ) U M>72? EF* �-5CBD9�7�*-729 6 E+M\G+58EF,[:³5872�]G+K29�S ��� *-,�9 � E�f�¶-.TS�S-i|��¹69JqM>7�J�*-72E·GF)+�2J�G�PQM>7D: *>G+K29�)+E 6 � ) 6Q/ � .fh585=i � `5< Z `5= � *>)�±�ª � ­zª2¬�­z`¡®¦*>) GF)LM>72E·BD9�)+EF9��DM>�2�-9

� 3 � � ) U � R 62) � 3 � f�¶-.TS>VDi��7 G+K258E �DM>�2�-9$G+K29%U� ���9 � 7 *-, G+K29�EF9�G � 8 / 4 8 ) � +�� 4 )+9qM>?2E

�% � + ) G)� +��.+ ) G � 8 f � + 8 G � 8 +qi) G � + � 8 8 / � 8 � 8 +) G � + � + + / � 8 � 8 +) � � � � +) G � R � N5%f�¶-.TS-^-i

5n. 9>.8�²587XG+K258E��DM>�2�-9�G+K29�9�O89�J�GF)+*-E·GLM\G+58J���*>G+9�7DG+5[M>ONE+M\G+58E��N9�E�(�*-58EFEF*-7a� E�9 � 7a�D¹�K258JLKQ9 < �NO[M>5872EG+K29��DM>�2�-9>� E 7NM>P�9>.

��� � � <>=?=ºªN± �RyK29 E���9�J�5[M>O�G+K29�*>)F:¦*-,6)+9�O[M\G+5CB³5CGH: )+9 � �25C)+9�E�G+KNM\G�M>7D: �NKD:³EF58JqM>O � �NM>7DG+5CGH:ºP��2E·G �2G�587DG+*�M>7�¡¼uG+��NO89'*-,�7²�2P�§�9�)+E�� ¹�K29�)+9 � ) ¶-��� �LV�q¶�U� T T T . (�KD:³EF58JqM>OAO[Mq¹�E P��2E·GQ§�9�9 < �2)+9�EFEF9�?�M>E9 � �NM\G+58*-72E J�*-72729�J�G+5872�XG+K29 �¡¼uG+��NO89�E�M>EFEF* J�5[M\G+9�?]¹�5CG+K ?25! �9�)+9�7DG?�NKD:³EF58JqM>O � �NM>7DG+5CG+589�E�.�RyK29�EF99 � �NM\G+58*-72EAP��2E·G�§�9�J�*-72E·GF)+�2J�G+9�?�587�M>J�J�*>)+?NM>72J�9�¹�5CG+KxG+K29%)+�2O89�E$*-,�G+9�72EF*>)$JqM>O8J��2O8�2E���¹�K258JLK��9�)+P�5CG *-72OC:,@fh5=iQG+K29 P��2OCG+5!�NO858JqM\G+58*-7 *-, �¡¼uG+��NO89�E%G+*',=*>)+P 9�5CG+K29�)�K258�-K29�)·¼u)LM>7³» �¡¼uG+��NO89�E fnM>E�587 � 4 8 )� 4 " 8 G � 8 " 4 i6*>)�O8*�¹69�)·¼u)LM>7³» �¡¼uG+��NO89�E%fnM>E 587 � 4 ) / 4 8�� 8 i|�2*>)R�� ���(�0&(����� ���(����� ��1 � �#"$�%����� *�& ��-$�%������� "A4 ���� 4 � 4)"A4�*�&*�1 ��'�4 � � ��� ���(� &(����*+��� �8&�� ��� R! � � � �" ��� ���(�$# *+->1 *�/%� *�&6��-$�%��*+�����%V

Page 16: Classical Fields Lecture Notes James Binney

������� ��� � ��� ���fh585=i�G+K29%M>?2?25CG+58*-7 *-, �¡¼uG+��NO89�E�o���l � }�{��>¢�}�mF�>k���.��7��1M\)FG+58J��2O[M\)q�D§�*>G+K�EF58?29�E�*-,�9�BD9�)F:�M>J�J�9 �2GLM\§NO89�9 � �NM\G+58*-7�M>OC¹yMq:³E�,=*>)+P B>M>O858? �¡¼uG+��NO89�E�*-,¡G+K29E+M>P�9$»³5872?a.

��9�E·G·¼/PQM>EFE��19�O89�J�GF)+58J%JLKNM\)+�-9�M>72? G+*>GLM>OdE��N587'M\)+9�EFJqM>O[M\)+E�f�¶�¼uG+��NO89�ELi|.yRyK29�P�*-E·G�58P���*>)·¼GLM>7DGI�\¼uBD9�J�G+*>)+E�f �\¼uG+��NO89�ELi�5872J�O8�2?29�M>7D: �1M\)FG+58J�O89>� E69�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2P [��³9>. P�.²J��³)F)+9�7DG �'*>)M>J�J�9�O89�)LM\G+58*-7�?-[ N ? � ��M>72?�G+K298��*>G+9�7DG+5[M>O � *-, G+K29%9>. P�. �N9�O8?a.6��P���*>)FGLM>7DG�V�¼uG+��NO89�E�5872J�O8�2?29M>7D:Q�1M\)FG+58J�O89>� E%M>72�-�2O[M\)%P�*-P�9�7DG+�2P�� M>72?ºG+K29�I�M < ¹69�O8O �N9�O8?¦G+9�72EF*>) . . �A7¦58P���*>)FGLM>7DG¶�U�¼uG+��NO89�58E G+K29�?29�72EF5CGH: *-,�G+K29�9�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2P#?2�29�G+*�G+K29�9>. P�.�N9�O8?a.

��7:�\¼uBD9�J�G+*>)�72*>GLM\G+58*-7 G+K29�»D9�:]9 � �NM\G+58*-7 *-, P�9�JLKNM>7258J�E�M>72?�9>. P�.NM\)+9. ) ?�Q

? � � [ ) % + . � � ) � .� ) . 3 � � ?-[

? � ) �

/ 4 8 ) � 4 8 G � 8 4 � / 4 8 � 8 ) � + � 4 � / 4 8 � 8 ) U�¹�K29�)+9 /c4 8 J f 4 � f 8 / � M>72? / 4 8 J 0R � 4 8 � / � .$RyK29�9�729�)+�>:²¼/P�*-729�7DG+�2P G+9�72EF*>)$*-,

G+K29�9>. P�. �N9�O8?�58E

� 4 8 ) ¶� +� 0� R�)�f . 3 . i f 4 8 G / 4 � / � 8 � T

Page 17: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� �������d��$ ���3��� ���*����R�� �3�� ���(*� �����"$�(��� � ��"������ � �'�����°���������$����&��������"X&'�

��*>GLM\G+58*-72E�fnM>72?���*>)+9�7DG+��GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-72ELi ,=*>)+P ¹�KNM\G�PQM\G+K29�PQM\G+58J�5[M>72E�JqM>O8O�M �>)+*-���§�9|¼JqM>�2EF95@5=iQ��,�:D*-��,=*-O8O8*�¹�*-729])+*>GLM\G+58*-7�§²: M>72*>G+K29�)q��G+K29])+9�EF�2OCG�J�*-�2O8?�§�9 M>JLK2589�BD9�? §²:�M�EF5872�-O89)+*>GLM\G+58*-7a�2587 PQM\G+K29�PQM\G+58JqM>O¡O[M>72�-�NM>�-9>�³G+K298�2)+* ?2�2J�G�*-,�GH¹6*X�>)+*-���P�9�P�§�9�)+E 58Ey5CG+EF9�O8, MP�9�P�§�9�) *-, G+K29��>)+*-��d.

585=i �$*-5872�º72*>G+K25872�ºJqM>7�§�9 J�*-72EF58?29�)+9�? G+*�§�9�M�)+*>GLM\G+58*-7 M\§�*-�³GX��9�)+*¦M>72�-O89>� 587 PQM\G+K29|¼PQM\G+58JqM>O�O[M>72�-�NM>�-9XG+K29�)+9X58E�M>7º58?29�7DG+5CGH: 9�O89�P�9�7DG��'EF�2JLK¦G+KNM\G���� ) ��,=*>)�M>O8O�>)+*-��P�9�P�§�9�)+E���.

58585=i �A7D:¦)+*>GLM\G+58*-7¦JqM>7�§�9Q)+9�BD9�)+EF9�?a�G+KNM\G�58E�9qM>JLK�)+*>GLM\G+58*-7��TKNM>E�M>7µ587DBD9�)+EF9�� � 0�EF�2JLKG+KNM\G�� � 0�� ) �1.

RyK29��>)+*-���*-,�)+*>GLM\G+58*-72Ey58E JqM>O8O89�?]G+K29$G+K³)+9�9|¼/?258P�9�72EF58*-7NM>O�c�[ / «D­zª Z `1±�¬�� ` *1`¡® ª Z *1±�`5<1[�*>)��� � + � .

��,�¹69 M\)+9 J�*-72J�9�)+729�?�¹�5CG+KvG+K29�9 �9�J�G�*-,�)+*>GLM\G+58*-72E]*-7vBD9�J�G+*>)+E���¹69 M>EFEF* J�5[M\G+9�9qM>JLK)+*>GLM\G+58*-7 ¹�5CG+K�M>7 *>)FG+K2*-�-*-7NM>OdPQM\GF)+5 < EF�2JLK'M>E

b#f �bU� �yi )"$ J�*-E�� G EF587 � UEF587 � J�*-E�� UU U ¶

&( T fuS .8¶�i

¥¨K29�7]G+K29�EF9�PQM\GF)+58J�9�EyM\)+9�P��2OCG+5!�NO8589�?a� ¹69$�-9�GyG+K29$PQM\GF)+5 < M>EFEF* J�5[M\G+9�? ¹�5CG+K G+K29��2)+* ?2�2J�G�*-,G+K29�GH¹6*�)+*>GLM\G+58*-72E @

� 2 ) � R � 0 � b 2 ) b R b 0 fuS . S-iI�M\GF)+58J�9�E6G+KNM\G M\)+9$M>EFEF* J�5[M\G+9�? ¹�5CG+K]M>O8O��>)+*-��]P�9�P�§�9�)+E6EF�2JLK]G+KNM\G6G+K258E�)+9�O[M\G+58*-7 K2*-O8?2E��NM\)+9E+M>58?]G+*X,=*>)+PTM�± / [ ± / c / ®�¬�ª2¬�­z`¡® *-,�G+K29��>)+*-��d.��)F§N5CGF)LM\)+58OC: PQM>7D: ?25! �9�)+9�7DGA)+9 �2)+9�EF9�7DGLM\G+58*-72E$*-,M��>)+*-��'O85C»D9�¤ ; f VDi�M\)+9E��*-EFEF5C§NO89>.�R *¹�58?29�7�*-�³)�K2*>)+58��*-72E�Mq¹yMq:],[)+*-P V 9:V�)+*>GLM\G+58*-7]PQM\GF)+58J�9�E��2J�*-72EF58?29�)�G+K29�,=*-O8O8*�¹�5872�XEFJLK29�P�9>.

��M>JLKg)+*>GLM\G+58*-7 P�*�BD9�E ��*-587DG+E M\)+*-�272?gE��NK29�)+9�E�.Z¸6*-72EF58?29�) G+K29xE��NK29�)+9�*-,A)LM>?258�2E���.(�*-EF5CG+58*-72Ey*-7 G+K258EyE��NK29�)+9%M\)+9$9�O89��DM>7DG+OC: ?29�EFJ�)+5C§�9�? §²: E·G+9�)+9�*-�>)LM6�NK258JqM>O8OC: �2)+*�(·9�J�G+5872�<��*-587DG+Ef����������DiA*-7¦G+K29QE��NK29�)+9�G+*:��*-587DG+E]f������ �LUDi�587ºG+K29 �NO[M>729 � ) UxM>E�EFK2*�¹�7�587ºG+K29 �N�-�³)+9>.fu¤²G+9�)+9�*-�>)LM6�NK258J8�2)+*�(·9�J�G+58*-72E�M\)+9�P��2JLK��2EF9�? §²:]J�)F:³E·GLM>O8O8*-�>)LM6�NK29�)+E�. i

RyK29��� ��9�) K29�P�58E��NK29�)+9�58EdPQM6� ��9�?�G+*�� R / � R ��� R �¹�K258O89%G+K29�O8*�¹69�)�K29�P�58E��NK29�)+9�58E$PQM6� ��9�?xG+*QG+K29�)+9�E·G*-,�G+K29 � � �NO[M>729>. ¤ �� ��*-EF9 � ) � ) U³. RyK29�7,[)+*-P G+K29]GF)+5[M>72�-O89�E<� ) ��f�� / �Di N ��.�@AEF5872��G+K258EG+*�9�O858P�587NM\G+9<��,[)+*-P�G+K29�9 � �NM\G+58*-7º*-,�G+K29�J�5C)+J�O89X¹69�-9�G M � �NM>?³)LM\G+58J'587M��¹�5CG+KvEF*-O8�³G+58*-7M� ) ��f�� R G� R i N f�� R / � R i|. 4yM>J+»²¼/EF�³§NE·G+5CG+�³G+5872��¹69�G+K29�7��-9�G� ) S!�� R N f�� R / � R i|.

Page 18: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� (*����$����X! ���"$�( ��$��d��$ ���3� � ���*����R�� �3�� ���(*� �����"$�(�� �>�¥¦9�?29 �N729 � J f�� / 5 ��i N ��. �HGq� E�J�O89qM\)�G+KNM\G�G+K29��NKNM>EF9A*-, � ¹�58O8ON§�9�G+K29�E+M>P�9�M>E�G+K29?�NKNM>EF9*-, � / 5D�¡.�¤ *�,[)+*-P � R / � R ) � R ����� M>72? G+K29�)+9�EF�2OCG+E ¹69�M>OC)+9qM>?³:]KNMqBD9>�N5CG�,=*-O8O8*�¹�EyG+KNM\G

� / 5D� ) S!� �¶ / ��� � � � ) � ¶ G ��� �¶ / ��� � T fuS .WVDi

¥º)+5CG+5872� � ) f R N f 0 �2¹69�KNMqBD9� / 5D� ) S!� f R f �0O f 0 O R / O f R O R � � ) � O f 0 O R G O f R O RO f 0 O R / O f R O R T fuS . �²i

¥¦9:� < G+K29'O89�72�>G+Kg*-,AG+K29'J�*-P��NO89 < S�¼uBD9�J�G+*>) f (�ª*< Z ­Xc�[�­h® `1±>i e J f f 0 � f R i�§²: EF9�GFG+5872�� ) O f 0 O R / O f R O R EF*�¹69�KNMqBD9�EF58P��NOC:� / 5D� ) S f R f��0 � � ) O f 0 O R G O f R O R T fuS .TS-i

� �2725CGLM\)F: GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7 e � e � J�� 3 e O89qMqBD9�E G+K29�72*>)+PQM>O858�qM\G+58*-7g587DB>M\)+5[M>7DGM>72?�G+K³)+*-�2�-K�9 � �NM\G+58*-72E�fuS .TS-i��-9�729�)LM\G+9�E�M 729�¹ ��*-587DG�*-7'G+K29�E��NK29�)+9>.%¥¦9�JqM>7 EFK2*�¹TfhEF9�9(�)+*>§NO89�P�ELi�G+KNM\G%M]�-5CBD9�7 �2725CGLM\)F:'GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7�O89qMqBD9�E�587DB>M\)+5[M>7DG�G+K29X?258E·GLM>72J�9�§�9�GH¹69�9�7?25! �9�)+9�7DG���*-587DG+E�*-7 G+K29�E��NK29�)+9>�¡EF*XG+K29�GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7 58E�M�)+*>GLM\G+58*-7a���*>G+9�7DG+5[M>O8OC: �NO8�2E�M>7587DBD9�)+EF58*-7a. ¸6*-7DBD9�)+EF9�OC:D�¡M>7D:])+*>GLM\G+58*-7 *-, G+K29�E��NK29�)+9%GF)LM>72EF,=*>)+P�E e 587DG+*�EF*-P�9�*>G+K29�)AE��N5872*>)e � 587'M��2725CGLM\)F:]¹yMq:D.�RyK²�2E�MX)+*>GLM\G+58*-7�58EAM>EFEF* J�5[M\G+9�?�¹�5CG+Kx9qM>JLK S 9�SX�2725CGLM\)F:�PQM\GF)+5 < � �M>72?µ�>kN�X)+*>GLM\G+58*-7]58E �-9�729�)LM\G+9�?�§²:]EF*-P�9 � .

:;Q / ±\«D­hc /��� � e¤ K2*�¹ G+KNM\G � ) e�� K e � ) e�� L e � ) e�� M e � fuS .3V-MDi¹�K29�)+9 e 58EyG+K29�J�*-P��NO89 < ¼/J�*-7 (·�2�DM\G+9|¼uGF)LM>72E���*-EF9%*-, e M>72?

� K J � U ¶¶ U � � � L J � U G 5

5 U � � � M J � ¶ UU G ¶ � fuS .3V\§¡i

M\)+9�G+K29!(�ª*< Z ­c�[�­h® =ºª2¬�±\­h« / c>. A*>G+58J�9�G+KNM\G�G+K29�:QM\)+9�YA9�)+P�5CG+5[M>7QM>72?QG+KNM\G � ��� � � )S\5 � � � � .469qM\)+5872�Q587�P�5872? G+KNM\G O f R O R ) � G O f 0 O R �¡O89�Gq� EAM\)F)LM>72�-9�G+K29%*>)+�-587NM>O�J�* *>)+?2587NM\G+9�E�587DG+*M�PQM\GF)+5 < @

J 0R � � � G 5D�� / 5D� G � � ) � O f 0 O R G 0R � f 0 f �Rf R f �0 O f R O R G 0R � � � fuS . ^-i

¹�K258JLK�JqM>7xM>O8EF*�§�9�¹ )+5CGFG+9�7� � � ) f � f��� G 0R � � � � T fuS .�Di

RyK29�GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7 e ���e J�� 3 e PQM6�NE� � � T¹�K29�)+9

�� � � )�� � f 2f � ��� f � i � G 0R � � � � )�� � 2f f f��� G 0R � � � i � � � 5n. 9>. � ) � � T fuS .��Di

Page 19: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� ��������� �������d��$ ���3��� ���*����R�� �3�� ���(*� �����"$�(��R *QG+K258E���*-587DGA¹69�KNMqBD9�J�*-7�N729�? *-�³)+EF9�OCBD9�EAG+* �2725CGLM\)F:xPQM\GF)+58J�9�E�587'*>)+?29�)$G+* �2)+9�EF9�)FBD9�G+K2972*>)+PQM>O858�qM\G+58*-7 O e O R ) ��. YA*�¹69�BD9�)q��M¦�-9�729�)LM>OAO858729qM\) GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7 e � �e ) b e5872?2�2J�9�E�G+K29$GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7

f � f��� ) � � � / 0R � � � � � �f � �f��� ) 0R b � � / � � G 5D�� / 5D� � G � � b ) 0R � � � / � � � � G 5D� �� � / 5D� � � � G � � � TfuS .8¶�UDi

��,²¹69�58P���*-EF9�G+K29)+9�E·GF)+58J�G+58*-7�?29�G�f�b i )�� ¶-��¹69¹�58O8O>§�9�PQM\»³5872�yMyGF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7$EF�2JLK%G+KNM\G� � R G � � R G � � R G � � R ) � R G � R G � R G � R .YA9�72J�9>� 58,¡¹69�EF9�G � ) % �|�D¹69�¹�58O8O³§�9?��9�)+,=*>)+P�5872�M���*>)+9�7DG+�'GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7a.ZRyK29 S 9 S¦J�*-P��NO89 < PQM\GF)+58J�9�E�¹�5CG+Kv�2725CG]?29�G+9�)+P�587NM>7DG M\)+9J�*-72EF58?29�)+9�?�G+*X,=*>)+P#G+K29��>)+*-��'¤ ��fuS � ¸ i�fu¤ � ) E���9�J�5[M>O�O858729qM\)|i|.:;Q / ±\«D­hc /���� = � e¤ K2*�¹ G+KNM\G ¹�5CG+K � ) % ��¹69�JqM>7�J�*-P��NO89�P�9�7DG 9 � �NM\G+58*-72E%fuS .3V-MDi�¹�5CG+K

% � ) e� � e T fuS .8¶-¶�i

RyK29�)+*>GLM\G+58*-72E�M\)+9 G+K29�EF�³§³¼/�>)+*-��]*-,�G+K29���*>)+9�7DG+�A�>)+*-���G+KNM\G6M\)+9�*>§2GLM>58729�?�§²:�)+9 � �25C)·¼5872� b G+*X§�9�72*>G�P�9�)+9�OC:]*-, �2725CG�?29�G+9�)+P�587NM>7DGq�2§N�³GA�2725CGLM\)F:D.�RyK29�S<9'S��2725CGLM\)F:]PQM\GF)+58J�9�E¹�5CG+K'�2725CG$?29�G+9�)+P�587NM>7DGA,=*>)+PTG+K29��>)+*-��º¤ @�fuS-i|.ARyK²�2EA¹69�KNMqBD9�EFK2*�¹�7'G+KNM\G�¤ ��fuS � ¸ i�JqM>7§�9�PQM6� ��9�? 587DG+*�G+K29���*>)+9�7DG+�%�>)+*-��d�1M>72?x¤ @�fuS-i6JqM>7 §�9�PQM6� ��9�? *-7DG+* ¤ ; f VDi|.

A*>G+58J�9�G+KNM\G�G+K29�EF9AGF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-72E�JqM>7272*>GyJLKNM>72�-9AG+K29$EF58�-7 *-,d*-, � ) % �|�³EF*�G+K29�:Q?2*72*>G 5872J�O8�2?29A)+9�BD9�)+E+M>O8Ey*-,dG+58P�9>. �HGyG+�³)+72Ey*-�³GyG+KNM\G6G+K29�: ?2*�72*>Gy5872J�O8�2?29�587DBD9�)+EF58*-72Ey*-,�E��1M>J�99�5CG+K29�)q.¦RyK29]PQM6� �N5872�-E�M\)+9]72*>G]¶�¼+¶ §�9�JqM>�2EF9 G b 5872?2�2J�9�E�G+K29]E+M>P�9�GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7�*-,E��1M>J�9|¼uG+58P�9%M>E�?2* 9�E;b . ¤ *�¹69�KNMqBD9%,=*-�272?�M�)+9 �2)+9�EF9�7DGLM\G+58*-7x*-, G+K29%EF�³§N�>)+*-��'*-,[ ±�`*[ / ±`1±�¬�� `d«�� ±�`¡® `5< c 1 `1± / ®�¬�]¬�±�ª1® c �/`1±�=ºª2¬�­z`¡® c�*>)R[ ±�`*[ / ± 1 `1± / ®�¬��*1±�`5<1[µ,=*>)�EFK2*>)FGq.

��7 J�O[M>EFEF58JqM>O8�NKD:³EF58J�ExE��N5872*>)+ExM\)+9º72* P�*>)+9�G+KNM>7�PQM\G+K29�PQM\G+58JqM>OA?29�B³58J�9�E�. 46�³G G+K29M>P��NO85CG+�2?29�E�I�� ,=*>)�M E��N587 ¼/KNM>O8,��1M\)FG+58J�O89XG+*�KNMqBD9�5CG+E�E��N587����*>)�?2*�¹�7�M>O8*-72�xM>7D:ºJLK2*-EF9�7M < 58EyGF)LM>72EF,=*>)+P��272?29�)A��*>)+9�7DG+��GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-72EyO85C»D9$G+K29�J�*-P���*-729�7DG+E *-,�M�E��N5872*>)q.� ��� � / ® / ±�ª2¬�`1±\c�HGq� E�9qM>E·:]G+*XEFK2*�¹°G+KNM\G G+K29QfhYA9�)+P�5CG+5[M>71i�(M>�2O85�PQM\GF)+58J�9�E 9 � . fuS .3V\§¡i �M>O8O�E � �NM\)+9����G+*XG+K2958?29�7DG+5CGH: PQM\GF)+5 < @ � R� ) �1.���9�GA®�§�9%MX�2725CG�BD9�J�G+*>)q�NG+K29�7 G+K258E��2)+*5��9�)FGH:�M6� �NO8589�E�9 � �NM>O8OC: G+*G+K29�PQM\GF)+5 <

��� J ® 3�� ) � � M � K G 5 � L� K / 5 � L G � M � T fuS .8¶�S-i

¥¦9�?29 �N729�G+K29�9 < ��*-729�7DG+5[M>Od*-, 5� ��� G+K³)+*-�2�-K G+K29���*�¹69�)�EF9�)+589�E9� �� �� ) � / 5� ��� G � R

S�� � R� G 5 ��2V�� � 2� /M3 3 3) � ¶ G � R

S�� / 3 3 3 � � / 5 � � G ��2V�� / 3 3 3 � ���) J�*-E�� � / 5qEF587�� ��� T

fuS .8¶.VDi

Page 20: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � � �;�(* � ����$ � � � �A*�¹ ,=*>)�M>7D: �³�29 �� �� 58E�M��2725CGLM\)F:]PQM\GF)+5 < @$ 9 �� �� & 9 �� �� ) $ J�*-E�� � G 5qEF587�� ��� & $ J�*-E�� � / 5qEF587�� ��� & ) $ J�*-E R � / EF587 R � & � T fuS .8¶ �²i

I'*>)+9�*�BD9�)q�29 �� �� J�*-7DGLM>5872E6G+K³)+9�9A,[)+9�9��1M\)LM>P�9�G+9�)+E�f ��M>72?QG+K29�GH¹6*�M>72�-O89�E�)+9 � �25C)+9�? G+*�E���9�J|¼58,[:�G+K29 ?25C)+9�J�G+58*-7 ®�i|. % 5CBD9�7�G+KNM\G�M>7D:µ)+*>GLM\G+58*-7µJqM>7�§�9 E���9�J�5!�N9�? §²:�G+K³)+9�9 �1M\)LM>P�9�G+9�)+Efh,=*>)A9 < M>P��NO89$G+K29%���2O89�)$M>72�-O89�ELi|�1¹69%P�58�-KDG�EF�2E���9�J�GAG+KNM\G�G+K29%�2725CGLM\)F: PQM\GF)+5 < )+9 � �25C)+9�?�G+*�-9�729�)LM\G+9�M>7D:])+*>GLM\G+58*-7�JqM>7 §�9%*>§2GLM>58729�?'M>E�9 �� �� ,=*>)$M6� �2)+*5�2)+5[M\G+9 �XM>72?'®�.���7x,zM>J�Gq�19 �� ��58E�G+K29APQM\GF)+5 < G+KNM\G�)+*>GLM\G+9�E�G+K29AJ�* *>)+?2587NM\G+9�E�§²:QM>72�-O89 G S ��M\§�*-�³G�G+K29AM < 58E6® � M>E6*-729APQMq:9qM>EF58OC: BD9�)+58,[: ¹�K29�7x®�58E *-729�*-, G+K29�J�* *>)+?2587NM\G+9�BD9�J�G+*>)+E�­H� � *>)�b�.:;Q / ±\«D­hc /�������� e

¤ K2*�¹ G+KNM\G ^�)+*>GLM\G+5872��` e ¹�5CG+K]G+K29�PQM\GF)+5 <

� M f � i J � 9 � ��� R UU 9 ��� R � fuS .8¶ S-i

KNM>E�G+K29x9 �9�J�G *-,A)+*>GLM\G+5872� G+K29µf����������Di�J�* *>)+?2587NM\G+9�E�G+K³)+*-�2�-K � M\§�*-�³G�G+K29 ��M < 58E�.¥¨KNM\G�KNM6� ��9�72E�G+* e ¹�K29�7 G+K29Qf����������Di�M < 9�E�M\)+9$)+*>GLM\G+9�?]G+K³)+*-�2�-K'S��1F

¤ 5872J�9xG+K29'(M>�2O85�PQM\GF)+58J�9�EQ9�7NM\§NO89'�2EQG+*��-9�729�)LM\G+9�M>7D: P�9�P�§�9�) *-,%¤ @�fuS-i�G+K³)+*-�2�-KgG+K258EP�9�JLKNM>7258EFP��A¹69 )+9�,=9�)xG+*�G+K29�P M>E G+K29 * / ® / ±�ª2¬�`1±\c�*-,�¤ @�fuS-i|. fnR *�§�9Q��9�?NM>7DG+58J>�$G+K29�-9�729�)LM\G+*>)+E�M\)+9 0R � �·. i� < ��*-729�7DG+5[M\G+5872� � ��� ¹69�*>§2GLM>587

9 �� �� ) � ¶ / � RS�� /M3 3 3 � � / � � / ��2V�� / 3 3 3 � ���

) J�*-EFK � � / EF5872K � ��� TfuS .8¶�VDi

RyK29�?29�G+9�)+P�587NM>7DG�*-,�G+K258E�PQM\GF)+5 < 58E�¶-@O J�*-EFK � � / EF5872K � ��� O ) ���� J�*-EFK � / � M EF5872K � f�� K G 5 � L i³EF5872K �f�� K / 5 � L i³EF5872K � J�*-EFK � G � M EF5872K � ����) J�*-EFK R � G � RM EF5872K R � G f�� RK / � RL i³EF5872K R � ) ¶ T

fuS .8¶�^-i

YA9�72J�9$G+K³)+*-�2�-KºfuS .8¶�UDi�9 �� �� �-9�729�)LM\G+9�E�M���*>)+9�7DG+�$GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7a.R *�EF9�9$¹�K258JLK]GF)LM>72EF,=*>)·¼PQM\G+58*-7 ¹69�M>O858�-7]G+K29 ��M < 58Ey¹�5CG+K�®�.�RyK29�7x9 �� �� 58E�M�?25[M>�-*-7NM>OdPQM\GF)+5 < M>72?� % � � / � � � � G 5D� �� � / 5D� � % � � G � ��� ) 9 �� �� � % � / � � G 5D�� / 5D� % � G � � � J�*-EFK � / EF5872K � U

U J�*-EFK � G EF5872K � �) � J�*-EFK � / EF5872K � U

U J�*-EFK � G EF5872K � � � f % � / �Di�fhJ�*-EFK � / EF5872K �Di f�� G 5D�2i�fhJ�*-EFK�� G EF5872K �Dif�� / 5D�2i�fhJ�*-EFK�� / EF5872K �Di f % � G �Di�fhJ�*-EFK � G EF5872K �Di �

) � f % � / �Di�fhJ�*-EFK � / EF5872K �Di R f�� G 5D�2if�� / 5D�2i f % � G �Di�fhJ�*-EFK � G EF5872K �Di R �

fuS .8¶ Di

Page 21: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� �������d��$ ���3��� ���*����R�� �3�� ���(*� �����"$�(��;N)+*-P G+K29�*5 1¼/?25[M>�-*-7NM>OAJ�*-P���*-729�7DG+E *-,�G+K258E]9 � �NM\G+58*-7a�?� � ) � ��� � ) �¡.0�A?2?25872� M>72?EF�³§2GF)LM>J�G+5872�XG+K29�?25[M>�-*-7NM>OdJ�*-P���*-729�7DG+Ey¹69�O89qM\)+7]G+KNM\G

% � � ) % ��fhJ�*-EFK R � / EF5872K R �Di / �DS�EF5872K ��J�*-EFK �� � ) % �FS�EF5872K��J�*-EFK � / �NfhJ�*-EFK R � / EF5872K R �Di ) � J�*-EFK�S � EF5872K�S �EF5872K�S � J�*-EFK�S � � � % �� � T fuS .8¶ �Di

RyK²�2EQ9 �� �� �-9�729�)LM\G+9�EXG+K29�§�* *-E·GQM>O8*-72��®°¹�5CG+K ��*>)+9�7DG+�x,zM>J�G+*>) F ) J�*-EFK�S �ºM>72?gE���9�9�?H ) GLM>72K�S �³.¥¦9�E+Mq: G+KNM\G�5 0R ��� 58EyG+K29��-9�729�)LM\G+*>)�*-,�G+K258E���*>)+9�7DG+��GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7a.RyK29�§�* *-E·G+E�GLM\»D9�7�*-7�G+K29�5C)�*�¹�7�?2*�72*>G�,=*>)+P M��>)+*-��Q§�9�JqM>�2EF9�G+K29��2)+* ?2�2J�G6*-,¡§�* *-E·G+EM>O8*-72��GH¹6*�72*-7 ¼ �1M\)LM>O8O89�O M < 9�E�JqM>7272*>G$M>OC¹yMq:³Ey§�9%9 < �2)+9�EFEF9�?'M>EAM�§�* *-E·GAM>O8*-72��M�G+K25C)+?xM < 58E @587��-9�729�)LM>O2M�)+*>GLM\G+58*-7�58E )+9 � �25C)+9�?�587�M>?2?25CG+58*-7�G+*�M�§�* *-E·Gq. 2 �AEMAE���9�J�5!�NJy9 < M>P��NO89>�>J�*-72EF58?29�)G+K298�2)+* ?2�2J�G

J 9 � �� ���9 � � ��\9 �� ���9 � �� � fuS . S>UDi¹�K258JLKº9 �9�J�G+E%M]§�* *-E·G�M>O8*-72�]G+K29 �µM < 58E���,=*-O8O8*�¹69�?�§²: *-729�M>O8*-72� G+K29���M < 58E��d,=*-O8O8*�¹69�? §²:587DBD9�)+EF9�§�*-E·G+E�M>O8*-72��G+K298��M>72? G+K29�7 G+K298�]M < 9�E�. ;1*>)�587�N725CG+9�EF58PQM>O �� � ¹69�KNMqBD9

0 � J 9 � �� ���9 � � �� ) f�� � � � L / 0R � R � /M3 3 3 i�f�� � � � K / 0R � R � /M3 3 3 i) ¶ / 0R f � R / � R i � � � � L / � � K / � � � L � K /M3 3 3 fuS . S ¶�i

YA9�72J�9 ) 0�� 0������ � / 0R f � R / � R i � / � � � L � K G � � L / � � K 9�� � / 0R f � R / � R i � / � � � L � K / � � L / � � K /M3 3 3) � / 0R f � R / � R i � / � � � L � K R G � � L / � � K R / ; f � 2 i

) � / � � � L � � K / ; f � 2 i ) � G S\5� � � M / ; f � 2 ifuS . S-S-i

RyK²�2E�G+K258E�EF9 � �29�72J�9�*-, §�* *-E·G+E�9 �9�J�G+E$M�)+*>GLM\G+58*-7 §²:xM>72�-O89E� � � M\)+*-�272?K�³.�¸6*-72EF9 � �29�7DG+OC:D�§�* *-E·G+E]M\)+9'58729 < GF)+58JqM\§NOC: 587DG+9�)FGH¹�58729�?v¹�5CG+Kg)+*>GLM\G+58*-72E���M>72?g¹69�P��2E·G]J�*-72EF58?29�)]G+K29',=*>)+PGLM\»D9�7�§²:xM��-9�729�)LM>O ��*>)+9�7DG+�%GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7a�NG+KNM\GA58E���MXGF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7 G+KNM\GAJ�*-P�§N58729�EAM§�* *-E·G ¹�5CG+K�M�)+*>GLM\G+58*-7a.�RyK29�7NM\G+�³)LM>Od*>§ (·9�J�G�G+*XJ�*-72EF58?29�)�58E

� J 9�� � � � �� ���� � � fuS . S5VDi¹�K258JLK�J�*-P�§N58729�E�MQ§�* *-E·G�M>O8*-72� = ¹�5CG+K M�)+*>GLM\G+58*-7�M\)+*-�272? ®�.8� S�9 SQJ�*-P��NO89 < PQM\GF)+5 <58E�?29 �N729�?�§²:�9�58�-KDG�)+9qM>O 7²�2P�§�9�)+E��aM>72?x¹�K29�7x¹69%)+9 � �25C)+9�G+K29�PQM\GF)+5 < G+*QKNMqBD9��2725CGA?29�G+9�)·¼P�587NM>7DGq�1¹69�58P���*-EF9�GH¹6*Q)+9�E·GF)+58J�G+58*-72E�*-7xG+K29�EF9�7²�2P�§�9�)+E���O89qMqB³5872�QEF5 < ?29��>)+9�9�E$*-,�,[)+9�9�?2*-P�.� � �NM\G+58*-7 fuS . S5VDi ,=*>) � KNM>EEF5 < �1M\)LM>P�9�G+9�)+E��-EF* �>kN��PQM\GF)+5 < ¹�5CG+K��2725CG�?29�G+9�)+P�587NM>7DGEFK2*-�2O8?§�9�*-, G+K258E�,=*>)+P�.�¸6*-72EF9 � �29�7DG+OC:D�1G+K29E�2)+* ?2�2J�G$*-, GH¹6*Q*>§ (·9�J�G+EA*-, G+K258E�GH: ��9�¹�58O8Od§�9�MXG+K25C)+?*>§ (·9�J�G�*-,2G+K296E+M>P�9�GH: ��9>�-EF*AG+K29�EF9y*>§ (·9�J�G+EU�2)+*�B³58?29 M�)+9 �2)+9�EF9�7DGLM\G+58*-7X*-,2G+K29��2)+*5��9�)��*>)+9�7DG+��>)+*-��d.

��9�PQM\)F»>M\§NOC:D��fuS . S5VDi�J�*-P�§N58729�E G+K298�NEF9��2?2*\¼uBD9�J�G+*>)$®�¹�5CG+K]G+K298��*-O[M\) BD9�J�G+*>);= .���, ¹69GF)LM>72EF,=*>)+P G+*%M < 9�E�G+KNM\G�M\)+9�P�5C)F)+*>)�58PQM>�-9�E�*-,�*-�³)�*>)+58�-587NM>O1M < 9�E�� ®x¹6*-7a� G�JLKNM>72�-9�EF58�-7a�²§N�³G= ¹�58O8On�NM>72? � ¹�58O8OaJLKNM>72�-9�587DG+*

� � J 9�� � � � �� ���� � T fuS . S6�²i2�� �� � ->�(�0&(�C�!�0&(�8& � � ���(� ����� '8� &6� " � �(�C�M*�� -���0/R�0����� �8&6� & ���(� ���(�%����47� " �.->� &�������">� � /R���(->1 � &('V

Page 22: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � � �)� � (*$ �;� (*�&���'���)(*��� � ��HG�,=*-O8O8*�¹�EG+KNM\G�G+K29 *>§ (·9�J�G+E � � P��2E·G�M>O8EF*8�2)+*�B³58?29�M$)+9 �2)+9�EF9�7DGLM\G+58*-7Q*-,1G+K29��2)+*5��9�)���*>)+9�7DG+��>)+*-��d.yRyK29�)+9 �2)+9�EF9�7DGLM\G+58*-72E��2)+*�B³58?29�?�§²: � M>72? � � M\)+9%58729 � �25CB>M>O89�7DG�587 G+K29%EF9�72EF9%G+KNM\GG+K29�)+9�58E 72*XPQM\GF)+5 < � EF�2JLK G+KNM\G � � ) � � � � 0�,=*>)�M>O8O � .

RyK29�)+9 M\)+9�GH¹6*�GH: ��9�E�*-,6(M>�2O85�E��N5872*>)+E�.:� )+58�-KDG·¼/KNM>72?29�?µ(M>�2O85�E��N5872*>) e�� 58E�GF)LM>72E�¼,=*>)+P�9�?µ§²: � �272?29�)QM���*>)+9�7DG+� GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7a�¹�K258O89]M�O89�,[G·¼/KNM>72?29�? *-729 e�� 58E�GF)LM>72E�¼,=*>)+P�9�?]§²: � � @

e�� ���e�� ) 9�� � � � �� ���� � e�� � e�� ���e�� ) 9�� � � � �� ���� � e�� T fuS . S�S-i

@A72?29�)AM�J�* *>)+?2587NM\G+9�587DBD9�)+EF58*-7�M�)+58�-KDG·¼/KNM>72?29�?xE��N5872*>) GF)LM>72EF,=*>)+P�Ey587DG+*�M�O89�,[G·¼/KNM>72?29�?*-729>�6M>72?�B³58J�9]BD9�)+E+M³. ¸6*-72EF9 � �29�7DG+OC:D��G+K29 (M>�2O85yE��N5872*>)+E�*-,�*-729]GH: ��9 ?2*º72*>GXEF�� ��*>)FGQM)+9 �2)+9�EF9�7DGLM\G+58*-7�*-,2G+K296,=�2O8O ��*>)+9�7DG+�y�>)+*-���fzG+K29��>)+*-���:D*-���-9�G §²:�M>?2?25872�$587DBD9�)+EF58*-7�G+K³)+*-�2�-KG+K29�*>)+58�-587'M>72?xG+58P�9�)+9�BD9�)+E+M>O�G+*�G+K29E�2)+*5��9�)$��*>)+9�7DG+���>)+*-��¡i|.�� � ­z±�ª1«�c�[�­h® `1±�58EAM��1M>5C)*-, E��N5872*>)+E��1*-729�*-, 9qM>JLK GH: ��95@

� ) f e�� � e�� i T fuS . S>VDi�HG6KNM>E6,=*-�³)yJ�*-P���*-729�7DG+E��²G+K29��2)+E·G6GH¹6*%§�9�5872�%G+K29AJ�*-P���*-729�7DG+E�*-, e�� �³9�G+J>.�¥¦9�)+9 �2)+9�EF9�7DG�MJ�* *>)+?2587NM\G+9�587DBD9�)+EF58*-7X§²:�G+K29�*5��9�)LM\G+58*-7�*-,�E·¹yM6� �N5872� e�� ¹�5CG+K e�� .RyK258E�J�*-7DBD9�7DG+58*-7QPQM\»D9�EEF9�72EF9�§�9�JqM>�2EF9AM>,[G+9�)�M�J�* *>)+?2587NM\G+9�587DBD9�)+EF58*-7 e�� )+9�PQM>5872E�M$)+58�-KDG·¼/KNM>72?29�?Q(M>�2O852E��N5872*>)q�²§N�³G§�9�JqM>�2EF9�¹69�M\)+9�72*�¹ �2EF5872��MQO89�,[G·¼/KNM>72?29�?ºJ�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P���5CG+EAGF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7�)+�2O89�58EG+K29 *-729y¹69I�2)+9�B³58*-�2EFOC:�M>EFEF* J�5[M\G+9�?�¹�5CG+KXM�O89�,[G·¼/KNM>72?29�?�E��N5872*>)q.�4�:�P�*�B³5872� e�� G+*$G+K29 O8*�¹69�)EFO8*>GA587 � ¹69�M\)F)LM>72�-9%G+KNM\G�¹69�?2*-7a� GAKNMqBD9�G+*QJLKNM>72�-9%G+K29�GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7 )+�2O89�E�¹69�M6� �NOC:G+*�G+K29$G+*5�xWZ§�*>GFG+*-P�EFO8*>G+E�.���7�EF�2P�PQM\)F:D�2M�J�* *>)+?2587NM\G+9�587DBD9�)+EF58*-7])+9 �2)+EF9�7DG+9�?x§²:

� � �� ) � U �� U � � e��e�� � *>) �� ) F + � ¹�K29�)+9 F + J � U �

� U � � fuS . S-^-i

¹�5CG+K � G+K29XS 9 SQ58?29�7DG+5CGH:'PQM\GF)+5 < .A��7'G+K258E$¹yMq:x�$5C)LM>J�E��N5872*>)+E�EF�� ��*>)FG%MQ)+9 �2)+9�EF9�7DGLM\G+58*-7*-,�G+K29�,=�2O8Od��*>)+9�7DG+�%�>)+*-��d.� ��� �][�­h® `1±Q­h® . ªN±\­zª1®�¬�c¥¨K29�7 ¹69$?2*�� M>�>)LM>72�-5[M>7 �N9�O8? G+K29�*>)F:D� ¹69>� O8O1§�9$587DG+9�)+9�E·G+9�?]587 ��*>)+9�7DG+�$587DB>M\)+5[M>7DG+E�.�¤ *�72*�¹¹69xM>E·»µ¹�KNM\G�587DB>M\)+5[M>7DG+E�¹69�JqM>7 PQM\»D9 *-�³G�*-,�E��N5872*>)+E�. ��,�G+K29 ��*>)+9�7DG+� GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7PQM\GF)+58J�9�E � M>72? � � ¹69�)+9A�2725CGLM\)F:'fnM>E�G+K29�:QM\)+9A,=*>) M �N�³)+9A)+*>GLM\G+58*-7a� � ) UDi|� e 3 e ¹6*-�2O8?§�9�M]��*>)+9�7DG+�X587DB>M\)+5[M>7DGq.�46�³G�587�G+K29 �2)+9�EF9�72J�9�*-,6M]72*-7 ¼/��9�)+* §�* *-E·Gq� � M>72? � � M\)+9�72*>G�2725CGLM\)F:D.�R M\»³5872��G+K29�YA9�)+P�5CG+5[M>7]M>? (·*-587DG+E�*-, 9 � �NM\G+58*-72E%fuS . S�S-i�¹69��N72?

e � ���e � ) e � 9�� � � � � �� ���� � � e � ���e � ) e � 9�� � � � � �� ���� � fuS . S Di

;N)+*-P 9 � �NM\G+58*-72E]fuS . S�S-i�M>72?¨fuS . S DiA¹69QEF9�9�G+KNM\G��272?29�) �2)+*5��9�)���*>)+9�7DG+��GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-72E§�*>G+K e � 3 e�� M>72? e � 3 e�� M\)+9�587DB>M\)+5[M>7DGq.R *%*>§2GLM>587QM � �NM>7DG+5CGH:�G+KNM\Gq� E�E·G+58O8ON587DB>M\)+5[M>7DG�¹�K29�7587DBD9�)+EF58*-72E�M\)+9�5872J�O8�2?29�?a�1¹69�M>?2? G+K29�EF9�GH¹6*X587DB>M\)+5[M>7DG+E�.��7 G+9�)+P�E *-,�G+K29�ª � � `¡­h®�¬Xc�[�­h® `1±

� J � F + ) f e � � e � i fuS . S �Di

Page 23: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� ��������� �#� � �>���X� �)(�� ���)( � *(���� �"! �*-�³)�587DB>M\)+5[M>7DG�58E

� 3 � ) e � 3 e�� / e � 3 e�� T fuS .WV-UDi¥¦9>� O8O�M>O8EF*<�N72?�5CG��2EF9�,=�2OdG+*�»³72*�¹ K2*�¹ G+*�J�*-72E·GF)+�2J�GAM �\¼uBD9�J�G+*>)�,[)+*-P M��$5C)LM>J�E��N5872*>)q.

� � �NM\G+58*-72EyfuS .3V-MDi M>72? fuS .8¶-¶�id58P��NOC:�G+KNM\G�272?29�))+*>GLM\G+58*-72E e � e � e � K e � e � L e �3M>72? e � M eGF)LM>72EF,=*>)+P O85C»D9�G+K29yJ�*-P���*-729�7DG+E*-,1M$,=*-�³)BD9�J�G+*>)q. YA*�¹ EFK2*-�2O8?�¹69y�-9�729�)LM>O858��96G+K29�EF9y9 < �2)+9�E�¼EF58*-72E�G+* G+K29XJqM>EF9�587 ¹�K258JLK )+58�-KDG·¼AM>72?¦O89�,[G·¼/KNM>72?29�?�E��N5872*>)+E%M\)+9X?258E·G+5872�-�258EFKNM\§NO89X§�9�JqM>�2EF9§�* *-E·G+EA* J�J��³)�F2� J�*-P���*-729�7DG$*-,�M�BD9�J�G+*>)$EFK2*-�2O8?�72*>GA§�9�587DB>M\)+5[M>7DGq��EF*]J�*-7DGF)LM\)F:�G+*�¹�KNM\GKNM6� ��9�72E�587%9 � �NM\G+58*-7 fuS .WV-UDi|��G+K29�O89�,[G�M>72?%)+58�-KDG E��N5872*>)+E EFK2*-�2O8?%§�9�*-,³G+K29�E+M>P�9�KNM>72?29�?2729�EFE�.46�³Gy§�*>G+K]KNM>OCBD9�Ey*-,dG+K29$�$5C)LM>J$E��N5872*>)�P��2E·G6§�9��2EF9�?a.�I'*>)+9�*�BD9�)q�N�272?29�)�587DG+9�)+JLKNM>72�-9�*-, e��M>72? e�� G+K29�G+58P�9�J�*-P���*-729�7DGyEFK2*-�2O8?]E·GLMq:XG+K29AE+M>P�9>�²¹�K258O89�G+K29AE��1M>J�9AJ�*-P���*-729�7DG+E6EFK2*-�2O8?JLKNM>72�-9 EF58�-7a.'RyK258E�EF�2�-�-9�E·G+E�G+KNM\G%G+K29QG+58P�9XJ�*-P���*-729�7DG�58E e � 3 e�� / e � 3 e�� ¹�K258O89�G+K29E��1M>J�9$J�*-P���*-729�7DG+EyM\)+9 e � � � e�� G e � � � e�� .�R *�M>JLK2589�BD9AG+K258E�)+9�EF�2OCGy587 M>7 9�O89��DM>7DGy72*>GLM\G+58*-7¹69�?29 �N729�G+K³)+9�9�729�¹°PQM\GF)+58J�9�E

F 0 J � U G � K� K U � � F R J � U G � L

� L U � � F 2 J � U G � M� M U � T fuS .WV³¶�i

RyK29�7 §�9qM\)+5872�X587�P�5872? G+K29�?29 �N725CG+58*-72E�fuS . S-^-i6M>72?¦fuS . S �Di�*-, F + M>72? � �2¹69�KNMqBD9�G+KNM\G� F + � ) f e � � e � i�f e�� � e�� i � F � � ) f e � � e � i�f G � � e�� � � � e�� i fuS .WVDS-i

M>Ey)+9 � �25C)+9�? � EF* � F 4 � 58E�M �\¼uBD9�J�G+*>)q.:;Q / ±\«D­hc /�������� e

¤ K2*�¹�G+KNM\G F + F � ) G�F � F + M>72?�G+KNM\G F � F � ) G�F � F � .yfnRyK258E�M>7DG+58J�*-P�P��³GLM\G+58*-78�2)+*5��9�)FGH:58E *-,[G+9�7 ¹ )+5CGFG+9�7 � F 4�� F 8 ) U³. iRyK29�E��N5872*>)$)+9 �2)+9�EF9�7DGLM\G+58*-7 *-,G+K29���*>)+9�7DG+���>)+*-�� 58E$,=�272?NM>P�9�7DGLM>O�587'G+K29�EF9�72EF9�G+KNM\G

9�BD9�)F: *>G+K29�)�)+9 �2)+9�EF9�7DGLM\G+58*-7vJqM>7 §�9xJ�*-72E·GF)+�2J�G+9�?g,[)+*-P 5CGq.g¥¦9�E·GLM\)FG+9�? §²: E·G+�2?³:³5872��M>79 < M>P��NO89$*-,�G+K258EI�NK29�72*-P�9�72*-7A@�G+K29�J�*-P���*-729�7DG+E *-, M�EF9�J�*-72? ¼u)LM>7³»]G+9�72EF*>)�587 E��N5872*>)�E��1M>J�9GF)LM>72EF,=*>)+P O85C»D9�G+K29XJ�*-P�§N587NM\G+58*-72E % � / �³��� G 5D�¡��9�G+J>� *-,�G+K29XJ�*-P���*-729�7DG+E�*-,6M �\¼uBD9�J�G+*>)q.;N)+*-P G+K29X)+�2O89Q,=*>)�GF)LM>72EF,=*>)+P�5872� G+K25C)+? ¼u)LM>7³»ºG+9�72EF*>)+E�*-7¦E��N5872*>)�E��1M>J�9>� ¹69QJ�*-�2O8?�9 < GF)LM>J�GG+K29�E��N587 ¼ 2 R )+9 �2)+9�EF9�7DGLM\G+58*-7Q*-,¡G+K29���*>)+9�7DG+���>)+*-��d� M>72?QEF*�*-7a.�RyK258E�J�*>)+729�)6*-,¡�>)+*-���G+K29�*>)F:58E GLM>�2�-KDG]587 � �NM>7DG+�2P�¼/P�9�JLKNM>7258J�E]J�*-�³)+EF9�E �272?29�) G+K29�K29qM>?25872��*-, M>?2?25CG+58*-7¨*-,�M>72�-�2O[M\)P�*-P�9�7DGLM³�8.QRyK29�G+*>GLM>OE��N587�M>72�-�2O[M\)�P�*-P�9�7DG+�2P�*-,�GH¹6*xE��N587 ¼/KNM>O8,��1M\)FG+58J�O89�E%JqM>7º§�9���9�)+*fhE��N587 ¼HUQ)+9 �2)+9�EF9�7DGLM\G+58*-7 *-,G+K29�� % i�*>)$*-729�fhE��N587 ¼+¶�)+9 �d. i|.�¥¨5CG+K'G+K³)+9�9�E��N587 ¼/KNM>O8, �1M\)FG+58J�O89�EG+K298��*-EFEF5C§NO89�E��N587xM>72�-�2O[M\)�P�*-P�9�7DGLM�M\)+9 2 R �1M>72? 0R .RyK29�E��N587 ¼ �¨)+9 �2)+9�EF9�7DGLM\G+58*-72EQ*-,�G+K29 ��*>)+9�7DG+���>)+*-�� KNMqBD9�M E���9�J�5[M>OI�2)+*5��9�)FGH:,@]G+K29�:M\)+9]­z±�± / �>< «D­ � Z / fh*>)�M>7 ­z±�± / [ ,=*>)�EFK2*>)FG|i%587�G+K29]EF9�72EF9 G+KNM\G�72*�O858729qM\)�EF�³§NE��1M>J�9 *-,yG+K29)+9 �2)+9�EF9�7DG+5872�QE��1M>J�9�58E 587DB>M\)+5[M>7DG��272?29�)�G+K29%M>J�G+58*-7]*-, G+K29�PQM\GF)+58J�9�Ey*-,�G+K29�)+9 �2)+9�EF9�7DGLM\G+58*-7a.� � ��������&��X����&��x&'� � ����

RyK29�EFKNM\)�� �2)+9�?258J�G+58*-72E�G+KNM\G6M\)+9�JLKNM\)LM>J�G+9�)+58E·G+58J�*-,aJ�O[M>EFEF58JqM>OP�NKD:³EF58J�E6M\)+58EF9�§�9�JqM>�2EF9A?29�E·GF)+�2J|¼G+5CBD9 � �NM>7DG+�2P 587DG+9�)+,=9�)+9�72J�9�9 < J�O8�2?29�E?�2)LM>J�G+58JqM>O8OC:]9�BD9�)F: ,=�³G+�³)+9%J�*-7�N�-�³)LM\G+58*-7x*-,�MXE·:³E·G+9�P:@

Page 24: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� � ��� (�� �" ! ����� �� � �]��� ���"!��" � ����� � ��� �(_ � � � � �� � � �

_�` Q � e . < ® «>¬�­z`¡® ª Z cµª1®��#¬�� / :�< Z / ±�� 1 ª *1±�ª1®+* / :�� < ª2¬�­z`¡® c��9�G��af��Fi §�9AM%,=�272J�G+58*-7Q*-,�G+K29�EFJqM>O[M\) �1M\)LM>P�9�G+9�) �|.�RyK29�7 M�,=�272J�G+58*-7NM>O / �af��Fi 158E�EF*-P�9)+�2O89 G+KNM\GXM>EFEF58�-72E�G+*�9qM>JLK�,=�272J�G+58*-7���M'EF5872�-O89 7²�2P�§�9�)q.4;1*>)�9 < M>P��NO89 / P�58�-KDG�§�9/ 0 J��� ��� ?��af��Fi�*>)$/ R J���� ��� ?��af��Fi ���f��Fi*>))/� J��� ��� ?��� f��Fi �af��Fi|�-¹�K29�)+9�� f��Fi�58E6M>7D:�-5CBD9�7º,=�272J�G+58*-7a� *>) /���� J �af�I³i G �af � i|�d¹�K29�)+9 I'M>72? � M\)+9�M>7D:�GH¹6* �-5CBD9�7 B>M>O8�29�E%*-,�|. RyK29%,=�272J�G+58*-7 �af��Fi6PQMq:]§�9�EFJqM>O[M\)·¼+�1BD9�J�G+*>)·¼6*>)�9�BD9�7xG+9�72EF*>)·¼uB>M>O8�29�?a.d\�9�J�G+*>)·¼uB>M>O8�29�?,=�272J�G+58*-72E �6f��Fi6JqM>7]§�9�G+K2*-�2�-KDG�*-,�M>E [ ª2¬�� c>.

(�KD:³EF58J�58E·G+E�M\)+9��1M\)FG+58J��2O[M\)+OC:]587DG+9�)+9�E·G+9�?�587 9 < GF)+9�P�58��5872��,=�272J�G+58*-72E�*-,�G+K29�GH: ��9/ �af��Fi ) � ?� � f ���%�� i�� fn4A¶-.8¶�i

¹�K29�)+9 � 58E M�»³72*�¹�7],=�272J�G+58*-7 *-,dGH¹6*�B>M\)+5[M\§NO89�E�.�RyKNM\G 58E��³G+K29�:Q¹�58EFK G+*<�N72?]G+K29$,=�272J|¼G+58*-7:�af��Fi6EF�2JLK�G+KNM\G�/ �af��Fi aGLM\»D9�E�MXO[M\)+�-9�)��\EFPQM>O8O89�)yB>M>O8�29�G+KNM>7xM>O8Od729qM\)F§²:�,=�272J�G+58*-72E�.RyK29�«-ª Z «X< Z < c�`� . ªN±\­zª2¬�­z`¡® c�EFK2*�¹�E�G+KNM\G�G+K29%9 < GF)+9�P�58��5872�X,=�272J�G+58*-7'58E G+K29%*-729�G+KNM\GE+M\G+58E��N9�E G+K29c:�< Z / ±�� 1 ª *1±�ª1®+* / � : 1 � 9 � �NM\G+58*-7A@

??� � � �� �� � G � �� � ) U T fn4A¶-. S-i

;1*>)��-5CBD9�7 � G+K258E 58E�M>7�*2. ?a. 9>.2,=*>)��af��Fi|.M]EFK29�O8O¹�58O8O §NO[M>E·G�G+K³)+*-�2�-Kº*-729XE���*>G�*-7�G+K29�)+* *-,�*-,6M]?2�2�-*-�³G�§�9�JqM>�2EF9�5CG�58E�M\G�G+K258E�E���*>GM>O8*-729 G+KNM\GXG+K29 � �NM>7DG+�2P M>P��NO85CG+�2?29�EX,=*>)�G+K29xEFK29�O8On� E��2)+9�EF9�72J�9'587DG+9�)+,=9�)+9xJ�*-72E·GF)+�2J�G+5CBD9�OC:D.��BD9�7µ587�J�O[M>EFEF58JqM>O �NKD:³EF58J�E�G+K29 P�*-E·G�9�O89��DM>7DG�¹yMq:¦G+*�?2*�?³:³7NM>P�58J�E�58E�G+*x¹ )+5CG+9 ?2*�¹�7 M>79 < �2)+9�EFEF58*-7¦,=*>)%G+K29��NKNM>EF9�*-,�G+K258E%M>P��NO85CG+�2?29X,=*>)%9qM>JLK4�1M\G+K §²: ¹�K258JLKºG+K29�E·:³E·G+9�P P�58�-KDGGF)LMqBD9�O�§�9�GH¹69�9�7º58725CG+5[M>OM>72?Q�N7NM>OJ�*-7�N�-�³)LM\G+58*-7a� M>72?K�N72?¦,=*>)�¹�KNM\G8�1M\G+Kº5CG�58E�E·GLM\G+58*-7NM\)F:M>72?�J�*-72E·GF)+�2J�G+5CBD9�587DG+9�)+,=9�)+9�72J�9%58EI��*-EFEF5C§NO89>.

RyK258E �NKNM>EF9�G+58P�9�E��� 58E]JqM>O8O89�?vG+K29'ª1«>¬�­z`¡® �6.Z�HG]58E M�EFJqM>O[M\)�M>72?¨58E *>§2GLM>58729�?v§²:587DG+9��>)LM\G+5872��M>O8*-72��G+K29��2)+*-E���9�J�G+5CBD9?�1M\G+K�G+K29�)LM\G+9�*-,aJLKNM>72�-9�*-,,�NKNM>EF9�¹�5CG+K��2)+*5��9�)�G+58P�9>� � @

� ) � ? � � T f V³.8¶�i¤ 5872J�9"� M>72? � M\)+9�EFJqM>O[M\)+E�� � P��2E·G §�9�G+* *2.+ ��� ��­h®+* Z / «�� ªN±�* / � [ ªN±�¬�­h« Z / ¯�­=¬�� *¡­ .*/ ® / � = � �/�Z �R *A?29�G+9�)+P�58729 � ¹696KNMqBD96*-72OC:�G+*$M>E·»�¹�KNM\GEFJqM>O[M\)+E JqM>7�§�96J�*-72E·GF)+�2J�G+9�?�,[)+*-P G+K29�¹6*>)+O8? ¼/O858729Q�f � iyM>72? � �NM>7DG+5CG+589�E EF�2JLKxM>E �'� . M>EFEF* J�5[M\G+9�? ¹�5CG+K]G+K29�9>. P�.�N9�O8?a.;�5C)+E·Gy¹69$72*>G+9$G+KNM\G �µEFK2*-�2O8?27a� G�?29 ��9�72? *-7]*-�³)�JLK2*-58J�9$*-, *>)+58�-587a�³EF*�*-72OC:Q?29�)+5CB>M\G+5CBD9�E�Q���Q�9�G+J EFK2*-�2O8?�* J�J��³)X587 � ��72*>GHQ¨5CG+EF9�O8,/. ;1�³)FG+K29�)+P�*>)+9>�G+K29 ����9 � 7 fn46* < ¶�i�587DBD*-OCBD9�E?25! �9�)+9�7DG+5[M\G+58*-7 ¹�5CG+K�)+9�E���9�J�G%G+*]G+K29�B>M\)+5[M\§NO89�G+KNM\G �1M\)LM>P�9�G+9�)+58��9�E���*-EF5CG+58*-7ºM>O8*-72�]G+K29X9 < ¼GF)+9�PQM>O��1M\G+Ka�2587]G+K258EyJqM>EF9 � .�¤ *�¹69A¹�58O8Oa�-9�G�M>E�S ��� ¼/*>)+?29�)�9 � 7]*-, P�*>G+58*-7a� 58, � ?29 ��9�72?2E�*-7�Q�³§N�³G�72*>G *-7]K258�-K29�)�?29�)+5CB>M\G+5CBD9�Ey*-,]Q�f � i|.�¤ 58P�58O[M\)+OC:D�DG+K29����º9 � 7]587DBD*-OCBD9�Ey?25! �9�)+9�7DG+5[M\G+58*-7

Page 25: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� �#� � �>���X� �)(�� ���)( � *(���� �"! �¹�. )q. Gq. G+K29$�-9�729�)LM>OA��*-EF5CG+58*-7QBD9�J�G+*>)dQ�NEF*�58,dG+K29�9 � 7]*-,�P�*>G+58*-7 58E6G+*�?29 ��9�72? *-7 . M>72?]72*>G5CG+E�?29�)+5CB>M\G+5CBD9�E�� � EFK2*-�2O8?�?29 ��9�72? *-7�� §N�³GX72*>G . .�¤ *'G+K29]587DB>M\)+5[M>7DG+E�G+*�J�*-72EF58?29�)�M\)+9fh5=i#O �QPO R ) G?% R ��fh585=i �Q 3 � M>72?µfh58585=i#O �?O R . ¥¦9%,=�³)FG+K29�)A)+9 � �25C)+9�G+KNM\G$M>7D:��DM>�2�-9|¼/?29 ��9�72?29�7DGJ�*-7DGF)+5C§N�³G+58*-7xG+* �gEFK2*-�2O8?x§�9E�1M\G+K ¼/5872?29 ��9�72?29�7DGq. �Q 3 ��E+M\G+58E��N9�EAG+K258E�)+9 � �25C)+9�P�9�7DGq�1¹�K258O89O �?O R ?2* 9�E�72*>Gq.:;Q / ±\«D­hc /���� + � e

¤ K2*�¹¨G+KNM\G�G+K29��DM>�2�-9|¼/?29 ��9�72?29�7DG J�*-7DGF)+5C§N�³G+58*-7�G+* �¦,[)+*-P �Q 3 �#58E �1M\G+K ¼/5872?29 ��9�72?29�7DGq�¹�K258O89�G+K29��DM>�2�-9|¼/?29 ��9�72?29�7DG�J�*-7DGF)+5C§N�³G+58*-7 ,[)+*-P�MQG+9�)+P �2)+*5��*>)FG+58*-7NM>O G+* O �?O R ¹6*-�2O8?72*>G §�98�1M\G+K ¼/5872?29 ��9�72?29�7DGq.¤ *XG+K29�EF58P��NO89�E·G G+K25872��G+*�GF)F: 58E

� ) � ? � f G % + % R / � �Q 3 � i�� f V³. S-i¹�K29�)+9$¹69>� BD9�5872J�O8�2?29�?]G+K29$)+9�E·G PQM>EFE&% +$,=*>)�,=�³G+�³)+9�J�*-7DBD9�72589�72J�9%M>72? ��58EyEF*-P�9$J�*-72E·GLM>7DGq.

@A72,=*>)FG+�27NM\G+9�OC: ¹69�JqM>7272*>G�M6� �NOC: G+K29%����9 � 7µfn46* < ¶�iyG+*�f V³. S-i M>E�5CGAE·GLM>72?2E�§�9�JqM>�2EF9¹69�¹yM>7DG�G+*QK2*-O8?xJ�*-72E·GLM>7DG�G+K29%9�BD9�7DG+EA*-,M\)F)+5CB>M>O M>72?x?29 �1M\)FG+�³)+9>�5Q 0 M>72?AQ R �1)LM\G+K29�)�G+KNM>7G+K29��2)+*5��9�)·¼uG+58P�9 9�O[M6�NEF9 §�9�GH¹69�9�7�G+K29�EF9�9�BD9�7DG+E�.�¤ *�¹69�KNMqBD9��2)+E·G�G+*�9�O858P�587NM\G+9 � ,[)+*-PTf V³. S-i587�,zMqBD*-�³)�*-,�EF*-P�9I�1M\)LM>P�9�G+9�) ��G+KNM\G�M>OC¹yMq:³E)+�272E�*�BD9�)�G+K29�E+M>P�9y)LM>72�-9>�²E+Mq:D� U$G+*X¶-.�@AEF5872�

? �? � ) ¶%

� G ���� ?�Q? � ���� � f V³.WVDi¹69�KNMqBD9

� ) � 0+ ? � � G % + % G f 4 8 ?� 4? � ?� 8? � / � ?� 4? � 4 � � f V³. �²i

¹�K258JLK�58E 72*�¹°587�M�,=*>)+P�G+KNM\GyG+*�¹�K258JLK ¹69�JqM>7xM6� �NOC:QG+K29����¦9 � 7a.6¤ 5872J�9�� �� � O G f 4 8 �� 4 ��

8 ) G f � 8 �� 8 / f 4 � ��54S O G f 4 8 �� 4 �� 8 ) G �� �O G f 4 8 �� 4 �� 8 ) G ?� � N ? �% ? � N ? � �

G+K29����¦9 � 7]:³589�O8?2E?? �� % + ?� �? � / � � � G � ?�54? � � 4� � � ) U T f V³.TS-i

I'�2OCG+5!�NOC:³5872��G+K³)+*-�2�-K §²:]? � N ? � G+K258Ey§�9�J�*-P�9�EU ) ?

? � � % + ?� �? � / � � � G � ?�54? � � 4� � �) % + ? L �? � / � ?�54? � � � �� � 4 G � 4� � � �) % + ? L �? � / � ?�54? � / 4 � Tf V³.3VDi

Page 26: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� ���%�'� (*!�� � �" ��$�� �>���X� �)(�� ���)( � �� � ���*�$ � ���RyK²�2E�*-�³)AM>J�G+58*-7 �-5CBD9�EyG+K29$)+9 � �25C)+9�?�9 � �NM\G+58*-7 *-, P�*>G+58*-7a.

¤ 5872J�9 4 ) f G � N5% � �]i|�³¹�5CG+K�� ) �|� f V³. �²i�JqM>7 §�9$¹ )+5CGFG+9�7� ) � ?��� G % R+ % R O ¶ G4L R N5% R / �2f G � / � 3 �]i��

��, G+K29��N9�O8?�58E 9�O89�J�GF)+*-E·G+58JQf � ) UDi6M>72? G+K29�P�*>G+58*-7 58E�72*-7 ¼u)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J>�³G+K29�M>J�G+58*-7 58E

� � � ?� G % + % R / � f � � �� ���Fi � � ¹�K29�)+9 � f � � �� i J 0R % + �� R G � � f � ���Fi T f V³. ^-i¤ 5872J�9 � ?� % + % R 58E$G+K29XE+M>P�9�,=*>)�M>O8OS�1M\G+K2E$G+KNM\G�E·GLM\)FG%M>72?Q�N7258EFK¦M\G$G+K29X�-5CBD9�7 9�BD9�7DG+E�� 5CG�NO[Mq:³E�72*])+*-O89�587K�N58J+»³5872� *-�³G�G+K29�GF)+�29<�1M\G+Ka.�¤ * 5CG�JqM>7 §�9�?³)+*5� ��9�?a� M>72? ¹69�*>§2GLM>587�G+K29,zM>P�58O85[M\)d[ ±\­h® «D­ [ Z / `� Z / ª1c�¬Xª1«>¬�­z`¡® @

� � ) U ¹�K29�)+9 � J � ?� � f � � �� ���Fi T f V³.�DiRyK29],=�272J�G+58*-7 � 58E�JqM>O8O89�?µG+K29 1 ª *1±�ª1®+*¡­zª1®�.º4�:¨f V³. ^-i�5CG�58E�587�G+K258E�JqM>EF9 G+K29]?25! �9�)+9�72J�9§�9�GH¹69�9�7�G+K29��1M\)FG+58J�O89>� Ey»³58729�G+58J�M>72? ��*>G+9�7DG+5[M>Oa9�729�)+�-589�E�.

¤²GLM\)FG+5872��¹�5CG+K�M>7�M>J�G+58*-7 KNM>E�PQM>7D:]M>?³B>M>7DGLM>�-9�E @� ¤ 5872J�9 � 58E�M�EFJqM>O[M\)q�³GF)LM>72EF,=*>)+P�5872��G+*X729�¹ J�* *>)+?2587NM\G+9�E�58E 9qM>E·:��� �HGq� EX9qM>E·:�G+*º9�72EF�³)+9�G+KNM\GXG+K29�9 � 72EX*-,AP�*>G+58*-7 M\)+9 ��*>)+9�7DG+�x587DB>M\)+5[M>7DG'fh*>) % M>O8O858O89qM>7

587DB>M\)+5[M>7DG�M>E�M6� �2)+*5�2)+5[M\G+9�i�§²:]58P���*-EF5872��G+K29�?29�EF5C)+9�?�587DB>M\)+5[M>72J�9�*-7 � �� % 5CBD9�7%G+K29�)+9 � �25C)+9�?�587DB>M\)+5[M>72J�9yM>72?%G+K29�§1M>EF58J�,=*>)+P *-,³G+K29�?29�EF5C)+9�?�9 � 72EyfhEF9�J�*-72? ¼/*>)+?29�)q�

O858729qM\)q�NE+Mq:Ni6*-72OC:]M�,=9�¹°EF58P��NO89�9 < �2)+9�EFEF58*-72E�M\)+9�JqM>72?258?NM\G+9�E�,=*>)�� M>�>)LM>72�-5[M>72E��� ¸69�)FGLM>587 J�*-72E·GLM>7DG+E *-, P�*>G+58*-7]JqM>7]§�9$)+9qM>?258OC: ?29�)+5CBD9�? ,[)+*-P�9�B³58?29�7DG�E·:³P�P�9�GF)+589�E6*-, �

f A* 9�G+K29�)q� EyG+K29�*>)+9�P i|.

+ ��� (�±\­h® «D­ [ Z / c�`� 1 ª *1±�ª1®+*¡­zª1® �/�Z ��¬�� / `1± �YA*�¹ ?2*$¹69y*>§2GLM>587<�1M\)FG+5[M>O³?25! �9�)+9�7DG+5[M>O29 � 72E�EF�2JLK�M>E�G+K29y¹yMqBD9y9 � 7�*>)�I�M < ¹69�O8On� E�9 � 72E�,[)+*-P� M>�>)LM>72�-5[M>72E F'¤���9�J�58P�9�7 �2)+*>§NO89�P:@?29�)+5CBD9�G+K29�¹yMqBD9�9 � 7

¶% R�� R �� � R G � R �� � R ) U T f V³.��Di��9��DM\)+? � f������ai M>E�M$EF9�G�*-,���¼/?258P�9�72EF58*-7NM>O BD9�J�G+*>)+E � K f��Fi|�-¹�K29�)+9I�QO[M\§�9�O8EJ�*-P���*-729�7DG+E*-, � .RyK29 � M>�>)LM>72�-5[M>7�KNM>E�G+*$§�9 M$EFJqM>O[M\)q�-EF* � � E5872?258J�9�E�KNMqBD96G+*$§�9�3EF*DM\»D9�?���d�-EF*-P�9�K2*�¹�.

¥¦9QPQM\»D9�M�EFJqM>O[M\)�*-�³G�*-, M>7¦*>)+?2587NM\)F: BD9�J�G+*>)%§²:¦?2*>GFG+5872��5CG%¹�5CG+K�M>72*>G+K29�)�BD9�J�G+*>) �vG+K258EEF*DM\»³E ���G+K29�5872?258J�9�E�*-,³§�*>G+K�BD9�J�G+*>)+E §²:%587DGF)+* ?2�2J�5872�$M�EF�2P *�BD9�) G+KNM\G�5872?29 < .S�A7NM>O8*-�-*-�2EFOC:D�¹69$EF*DM\» �� 5872?258J�9�EI��¹�5CG+K]�-9�729�)LM>O858�qM\G+58*-72Ey*-,�?2*>GI�2)+* ?2�2J�G+E��2G+KNM\Gy58E��2*-729$EF�2P�Ey*�BD9�)I��§²:P�9qM>72E *-, M>7�587DG+9��>)LM>O @

� ) ª 3 � ) � I � � � � � ) f ��� � i ) � ?� �$f��ai � f��ai T f V³.8¶�UDi

Page 27: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� �#� � �>���X� �)(�� ���)( � *(���� �"! �RyK258E�O89qM>?2E�*-729�G+* 9 < ��9�J�G�G+KNM\G�PQM>7D:Xfz§N�³G�72*>G M>O8O=i�M>J�G+58*-72Ed,=*>) �1M\)FG+5[M>O-?25! �9�)+9�7DG+5[M>O-9 � �NM\G+58*-72EM\)+9�9�B>M>O8�NM\G+9�? §²:]587DG+9��>)LM\G+5872�XM�� M>�>)LM>72�-5[M>7 ?29�72EF5CGH:��v*�BD9�)�E��1M>J�9�§�9�,=*>)+98��9�)+,=*>)+P�5872��G+K29�2EF�NM>O�587DG+9��>)LM>Oa*�BD9�)�G+58P�95@

� � ) � ?� � ?���$f � � �� i T f V³.8¶-¶�i��7�� M>�>)LM>72�-5[M>7µP�9�JLKNM>7258J�E����°58E�M�,=�272J�G+58*-7NM>Oy*-,yG+K29 �1M\)FG+58J�O89>� E�K258E·G+*>)F:4��f��Fi|. A*�¹ �°58EM],=�272J�G+58*-7NM>O*-,�G+K29<�N9�O8?a� E�K258E·G+*>)F: � f������ai|.�¤ * � KNM>E�E·G+9 � ��9�?º587DG+* � � E��NO[M>J�9>� M>72?K��KNM>E§�9�J�*-P�9$M>7]5872?29 ��9�72?29�7DG B>M\)+5[M\§NO89�¹�5CG+K]M�EF58P�58O[M\)�E·GLM>72?25872��G+*�G+KNM\Gy*-,A�|.�¸6*-72EF9 � �29�7DG+OC:D�³587f V³.8¶-¶�i�¹69>� )+9�587DG+9��>)LM\G+5872�X*�BD9�)�§�*>G+K E��1M>J�9%M>72? G+58P�9>.

��7�*>)+?29�)�G+*XPQM\»D9AG+K29%E·:³P�P�9�GF)F:�§�9�GH¹69�9�7:� M>72? �yJ�*-P��NO89�G+9$¹69�K29�72J�9�,=*>)FG+K�M>O8O8*�¹��G+*X587DBD*-OCBD9�?29�)+5CB>M\G+5CBD9�Ey¹�. )q. Gq.��M>Ey¹69�O8O�M>E ¹�. )q. Gq.�|�³G+K29�7�� ) �$f � � � 4 � i M>72?

� � ) � ?�³?���$f � � � 4 � i T f V³.8¶�S-i;�587NM>O8OC:D�>5CG?2* 9�EF7a� G�PQM\»D9�G+K25872�-EEF58�-725!�NJqM>7DG+OC:�P�*>)+9�J�*-P��NO858JqM\G+9�?�G+*�M>O8O8*�¹ E��1M>J�96G+*$§�9y,=�2O8OC:G+K³)+9�9|¼/?258P�9�72EF58*-7NM>On.�¤ * �Q§�9�J�*-P�9�EG+K29?V�¼uBD9�J�G+*>) � M>72?'f % ��� � i�§�9�J�*-P�9�EG+K29��2EF�NM>OP�\¼uBD9�J�G+*>)Q.�¤ 5872J�9%? � Q ) % ?��?�2 � �2¹69�¹ )+5CG+9$EF58P��NOC:

� � ) ¶% � ? � Q��$f � � � 4 � i T f V³.8¶.VDi�yG�9qM>JLK4�$§�9�GH¹69�9�74� ��M>72? ��� G+K29��N9�O8?a� E�J�*-7�N�-�³)LM\G+58*-7 � f���� � i$58E%JLK2*-EF9�7�EF�2JLK�G+KNM\G

G+K29 587DG+9��>)LM>O$f V³.8¶.VDi�G+K³)+*-�2�-K�G+K29 E��1M>J�9|¼uG+58P�9QBD*-O8�2P�9X§�*-�272?29�?�§²:4� ) � �$M>72? � ) ���x58E9 < GF)+9�P�58��9�?A@

�AE 587�� M>�>)LM>72�-5[M>7%P�9�JLKNM>7258J�E ¹69yM\)+9�E���9�J�58,[:³5872��M�EF*-O8�³G+58*-7%G+*�G+K29 S ��� *>)+?29�)�9 � �NM\G+58*-72E*-,dP�*>G+58*-7X§²:Q�-5CB³5872�%B>M>O8�29�E6*-,aG+K29E3J�* *>)+?2587NM\G+9�E��³M\G6GH¹6*%G+58P�9�E���� ��M>72? ���³� )LM\G+K29�)6G+KNM>7QG+K29J�* *>)+?2587NM\G+9�E�M>72?�BD9�O8* J�5CG+589�E�M\G�MxEF5872�-O89QG+58P�9>.���7�G+K258E�JqM>EF9 E���9�J�58,[:³5872�'G+K29�3J�* *>)+?2587NM\G+9�E��587DBD*-OCBD9�E �-5CB³5872��G+K29�,=�272J�G+58*-7NM>O�?29 ��9�72?29�72J�9�*-, � *-7 Q�M\G EF*-P�9�� < 9�? �|.

YA9�)+9>� E�K2*�¹ ¹69�9 < GF)+9�P�58��9���@U )�� � ) � � / � G � � ¹�K29�)+9 O �$f���� � iCO � O � f���� � iCO� ¶% � ? � Q � � �� � � / � �� f � 4 � i � 4 � �) ¶% � ? � Q � � �� � G �� � 4 � �� f � 4 � i � � / ? 2 Q 4 � �� f � 4 � i � T

f V³.8¶ �²i

YA9�)+9QG+K29 �N7NM>O6587DG+9��>)LM>O� 58E�*�BD9�)�G+K29]J�O8*-EF9�?�V�¼/EF�³)+,zM>J�9 G+KNM\G�§�*-�272?2E�G+K29 �\¼/?258P�9�72EF58*-7NM>O)+9��-58*-7 *-, E��1M>J�9|¼uG+58P�9$G+K³)+*-�2�-K ¹�K258JLK�v58E 587DG+9��>)LM\G+9�?a.�RyK29�EF�³)+,zM>J�9%J�*-72EF58E·G+E�*-, G+K29�58725CG+5[M>OM>72? �N7NM>O�KD: ��9�)+EF�³)+,zM>J�9�E�� M>72?�G+K29 V�¼/EF�³)+,zM>J�9�E·¹69 �2G�*-�³G$§²:�M]S�¼/EF�³)+,zM>J�9XM\G$E��1M\G+5[M>O �!M>E��

Page 28: Classical Fields Lecture Notes James Binney

�������c�"�� ( ���;$ � �-$�( �� �������"$�( �T�B>M\)+589�E$,[)+*-P � ��G+* ���³.�RyK258E$587DG+9��>)LM>O B>M>7258EFK29�E$§�9�JqM>�2EF9 � 58E$��9�)+* G+K³)+*-�2�-K2*-�³G$G+K29�?2*-PQM>587587DG+9��>)LM\G+9�?¨*�BD9�) @ºG+K29'B>M\)+5[M\G+58*-7 �#B>M>7258EFK29�E *-7gG+K29�58725CG+5[M>OAM>72? �N7NM>OAKD: ��9�)+EF�³)+,zM>J�9�E §²:KD: ��*>G+K29�EF58E��6M>72?�¹69 ,=*>)+J�9 5CG�G+*�B>M>7258EFK M\GXE��1M\G+5[M>O�� M>O8EF* 587 *>)+?29�)�G+* 9�72EF�³)+9 G+KNM\G�G+K29B>M\)+589�? �N9�O8? � / �vE+M\G+58E��N9�E G+K29�E+M>P�9A§�?³:]J�*-72?25CG+58*-7xM>EyG+K29��27DB>M\)+589�? �N9�O8? � .�RyK²�2E

� � ) ¶% � ? � Q � � �� � G �� � 4 � �� f � 4 � i � � f V³.8¶ S-i��,�G+K258E�58E�G+*%K2*-O8?Q,=*>)yM>7D: �$f���� � i G+KNM\G�B>M>7258EFK29�E6*-7�G+K29A58725CG+5[M>O1M>72? �N7NM>O¡KD: ��9�)+EF�³)+,zM>J�9�E��2¹69J�O89qM\)+OC: )+9 � �25C)+9$G+KNM\G � �� � G �� � 4 � � �� f � 4 � i � ) U T f V³.8¶�VDiRyK258E��d. ?a. 9>.�58E�G+K29����2O89�)·¼/� M>�>)LM>72�-9�9 � �NM\G+58*-7 ,=*>) MK�N9�O8?a. �HG�58EXG+K29 �N9�O8? 9 � �NM\G+58*-7�G+KNM\G,=*-O8O8*�¹�E ,[)+*-P�G+K29�� M>�>)LM>72�-5[M>7 ?29�72EF5CGH: ��.

+ �,+ B / ª Z cq«-ª Z ªN± �/�Z �¥¨KNM\G��d. ?a. 9>. E�JqM>7x¹69%?29�)+5CBD9�,[)+*-P MX� M>72�>)LM>72�-5[M>7x?29�72EF5CGH:x,=*>)$MX)+9qM>O EFJqM>O[M\)?�N9�O8? � F�RyK29EFJqM>O[M\)+EyG+*XJ�*-72EF58?29�)AM\)+9 � 5CG+EF9�O8,�M>72? ��*�¹69�)+E�*-, � .�RyK29�*-72OC: ¹yMq: G+*XPQM\»D9�M�EFJqM>O[M\)�*-�³G�*-,G+K29��>)LM>?2589�7DG � 4 � 58EyG+*XJ�*-7DGF)LM>J�G�5CG�*-7 5CG+EF9�O8,/.�¸6*-72EF58?29�)�G+K29�)+9�,=*>)+9� ) 0R f G O � � O R G � R � R i ) 0R $ G f ��� � � � � � � G � R � R'& � f V³.8¶�^-i¹�K29�)+9�G+K29�EF58�-7 *-,�O � � O R KNM>E$§�9�9�7ºJLK2*-EF9�7ºEF* G+KNM\G�5CG+E$J�*-7DGF)+5C§N�³G+58*-72E$G+*��°M\)+9�»�. 9>. G �d. 9>.M>72?QG+K29�G+9�)+P ¹�5CG+KQG+K29AJ�*-72E·GLM>7DG � 58E�G+K29��N9�O8?a� E6EF9�O8,8¼/9�729�)+�>:D.�RyK29�7 � � N � � ) G � R � M>72?� � N � f � 4 � i ) G 0R f f 4 � � � � / f �X4 � � � i ) G � 4 � �1EF*xf V³.8¶�VDi�:³589�O8?2E

U ) G � 4 � 4 � / � R � ) � R �� � + R G � R � / � R �) ¶% R�� R �� � R G � R � / � R � T

RyK²�2E�G+K29 ¹yMqBD9�9 � �NM\G+58*-7�9�P�9�)+�-9�E�¹�5CG+K � ) U�,[)+*-P G+K29�� M>�>)LM>72�-5[M>7Q?29�72EF5CGH:�¹�K258JLK 58E�G+K29EF58P��NO89�E·G���*-EFEF5C§NO89�,=�272J�G+58*-7�*-, � 4 � *-72OC:D.���, � ') U�¹yMqBD9�E�M\)+9�9�B>M>729�EFJ�9�7DGQfhJ�*-P��NO89 < � i�58,� � � % ��(·�2E·G%M>E$9�O89�J�GF)+*-PQM>�-729�G+58J�¹yMqBD9�E�M\)+9�9�B>M>729�EFJ�9�7DG�587 M �NO[M>EFPQM�§�9�O8*�¹ G+K29 �NO[M>EFPQM,[)+9 � �29�72J�:D.+ ��+ �_Z / ­h® , � `1± � `¡® / � < ª2¬�­z`¡®¥¨KNM\G��d. ?a. 9>. E$JqM>7'¹69�?29�)+5CBD9�,=*>)�MQJ�*-P��NO89 < ¼uB>M>O8�29�?�EFJqM>O[M\)��N9�O8? �dF I'5872*>)��-9�729�)LM>O858�qM\G+*-7*-, *-�³)�¹6*>)F»]*-7]G+K29�)+9qM>OdEFJqM>O[M\)��N9�O8?�O89qM>?2E �2E G+*

�$f ��� � 4 �yi ) G 0R � O � �cO R / � R O �cO R � T f V³.8¶ Di4�:?O � �cO R ¹69�P�9qM>7

O � �cO R ) G ¶% R�� � �� � � �� � / � � � 3 � � T f V³.8¶ �Di

Page 29: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� �#� � �>���X� �)(�� ���)( � *(���� �"! ��$5! �9�)+9�7DG+5[M\G+5872�º¹�. )q. Gq. � 58E�EFO858�-KDG+OC:µGF)+58J+» :µ§�9�JqM>�2EF9 � � 58E Mº,=�272J�G+58*-7 � � f �yi�*-, ��.g¥¦9KNM>72?2O89�G+K258E�§²: ¹ )+5CG+5872� � ) � / 5 L M>72?�GF)+9qM\G+5872�XG+K29�)+9qM>O M>72?x58PQM>�-587NM\)F: �1M\)FG+E�*-, � M>72?L M>E 5872?29 ��9�72?29�7DGA)+9qM>OA�N9�O8?2E @

� O �cO R� � ) �� � f � R / L R i ) S � �� O �cO R� L ) S L T

f V³. S>UDi;1�³)FG+K29�)

O � �cO R ) � f ��G 5 L i 3 � f � / 5 L i ) O � � O R / O � L O R T¤ *

� O � �cO R� f � 4 � i ) S � 4 � � � O � �cO R

� f � 4 L i ) S � 4 L T f V³. S ¶�iYA9�72J�9�G+K298�N9�O8?�9 � 72E�M\)+9

�� � 4 � 4 � G � R � ) U

�� � 4 � 4 LEG � R L ) U

� ���� � 4 � 4 � G � R � ) U T f V³. S-S-i

¤��N587 ¼HU �1M\)FG+58J�O89�E�*-,6PQM>EFE % +�M\)+9X9 < J�5CGLM\G+58*-72E�*-,6M EFJqM>O[M\) �N9�O8?ºG+KNM\G�E+M\G+58E��N9�E �" R � )G % R+ % R ��.�¤ �³§NE·G+5CG+�³G+5872� �� ) 5 �� � � M>72? �" � ) G 5 �� � �G+K258Ey§�9�J�*-P�9�EyG+K29���O89�587 ¼ % *>)+?2*-7�9 � 7� 4 � 4 � ) % R+ % R

�� R � T f V³. S5VDiRyK29�� � % 9 � 7�58E *>§2GLM>58729�?�,[)+*-P�9 � �NM\G+58*-72E%f V³. S-S-i�§²:]EF9�GFG+5872� � ) % + % N �� .RyK29�,=*-O8O8*�¹�5872� )+9�EF�2OCG EF58P��NO85!�N9�EdG+K29�B>M\)+5[M\G+58*-7�*-,2M>7�M>J�G+58*-7�G+KNM\G ?29 ��9�72?2E�*-7�M J�*-P��NO89 <�N9�O8? ��.�¤ �� ��*-EF9 � � f ��� � � i ) U³.¥¦9�KNMqBD9

U )�� � ) � �� � f � � / 5 � L i / � �� � � f � � G 5 � L i T¤ 5872J�9 � � M>72? � L M\)+9%M\)F§N5CGF)LM\)F:D� ¹69�J�*-72J�O8�2?29

U ) � �� � / � �� � �U ) � �� � G � �� � �� � � U ) � �� �U ) � �� � � T

RyK²�2E ¹69�JqM>7 �2)+* J�9�9�?xM>EyG+K2*-�2�-K � �¨M>72? � � � ¹69�)+9�5872?29 ��9�72?29�7DGq�1G+K2*-�2�-K G+K29�: M\)+9�72*>Gq.

Page 30: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� ��� ��� ���� ��� �N�� �������"$�(�� ���+ � & � ­z±�ª1« / � < ª2¬�­z`¡®��7g´|S . S ¹69 E+Mq¹ G+KNM\G�,[)+*-P M'�$5C)LM>JQE��N5872*>)�¹69 JqM>7µJ�*-72E·GF)+�2J�G�G+K29 EFJqM>O[M\) � 3 � M>72?�G+K29BD9�J�G+*>) � F 4 � .'��7µO858�-KDG�*-,�*-�³)�?258EFJ��2EFEF58*-7�*-,yG+K29 ��O89�587 � % *>)+?2*-7�9 � �NM\G+58*-7�5CG�58E�7NM\G+�³)LM>OG+*QGLM\»D9%G+K29 ��*>G+9�7DG+5[M>O 9�729�)+�>:'?29�72EF5CGH:'*-,�M �$5C)LM>JE�N9�O8?'G+*Q§�9E�2)+*5��*>)FG+58*-7NM>O G+* � 3 � .�;1*>)G+K29A»³58729�G+58J�G+9�)+P ¹69$J�*-�2O8? JLK2* *-EF9Xf � 4 � i�f � 4 � i§N�³G�M�EF58P��NO89�)yJLK2*-58J�9$58E65 � F 4 � 4 � �²¹�K29�)+9G+K29�,zM>J�G+*>)65158E�5872EF9�)FG+9�? ,=*>)6O[M\G+9�)�J�*-7DBD9�72589�72J�9>.6¸6*-72EF58?29�)�G+K29�)+9�,=*>)+9�G+K29?�N9�O8?Q9 � �NM\G+58*-7�G+KNM\G,=*-O8O8*�¹�E ,[)+*-P

� ) � 5 F 4 � 4 � G % + %�� � 3 � T f V³. S6�²i� B>M\)+5[M\G+58*-7 *-, � 5872?2�2J�9�EAM�J�*>)F)+9�E���*-72?25872��B>M\)+5[M\G+58*-7 587 � M>72?�G+K²�2EAJqM>�2EF9�E �vG+*�JLKNM>72�-9§²:

� � )�� � � 5 F 4 � 4 G % + %�� � � / � � 5 F 4 � 4 G % + %�� � � � f V³. S�S-i¤ �� ��*-EF9A¹69�JLK2* *-EF9�G+*%B>M\)F:X*-72OC:XG+K29?�2)+E·G6J�*-P���*-729�7DG6*-, � �DG+KNM\G658E�¹69AJLK2* *-EF9 � � ) f�I /5 � �LU�LU�LUDi|��¹�K29�)+9RI�M>72? � M\)+9y)+9qM>ON,=�272J�G+58*-72E�*-7XE��1M>J�9|¼uG+58P�9>.RyK29�7 � � ) f�I G 5 � �LU�LU�LUDi F + .¥¦9�J�*-72EF58?29�)�GH¹6* B>M\)+5[M\G+58*-72E���*-729�¹�5CG+K � ) U]M>72?'G+K29�7�*-729�¹�5CG+K I ) U]M>72? � EF9�G�9 � �NM>OG+*�G+K29�,=�272J�G+58*-7 I�G+KNM\G ¹69%�2EF9�?x587]G+K298�2)+E·G�JqM>EF9>. ;N)+*-P#G+K29�E·GLM\G+58*-7NM\)+5CGH:]*-, G+K29%M>J�G+58*-7 5CG,=*-O8O8*�¹�EyG+KNM\G

U ) � ? � Q�� f�I �LU�LU�LUDi F + � 5 F 4 � 4 G % + %�� � � / � � 5 F 4 � 4 G % + %�� � f�I �LU�LU�LUDi��U ) � ? � Q � f G I �LU�LU�LUDi F + � 5 F 4 � 4 G % + %�� � � / � � 5 F 4 � 4 G % + %�� � f�I �LU�LU�LUDi � T

f V³. S>VDi¤ �³§2GF)LM>J�G+5872�XG+K29�9 � �NM\G+58*-72E�M>72?�9 < �NO8*-5CG+5872��G+K29%M\)F§N5CGF)LM\)+58729�EFE *-,I�f Q i|�³¹69�*>§2GLM>587

U ) f�I �LU�LU�LUDi F + � 5 F 4 � 4 G % + %�� � � T f V³. S-^-i��9 ��9qM\G+5872�XG+K258E 9 < 9�)+J�58EF9�,=*>)�9qM>JLK�J�*-P���*-729�7DG�*-, � �³¹69�*>§2GLM>587]G+K29 � ­z±�ª1« / � < ª2¬�­z`¡®

U ) � 5 F 4 � 4 G % + %�� � � T f V³. S Di�AE�587xG+K29�JqM>EF9�*-, G+K29 ��O89�587 � % *>)+?2*-7�M>J�G+58*-7a�¡G+K29%9 � �NM\G+58*-7�¹69��-9�G�M\G�G+K29%9�72?�58E�G+K29�*-729¹69$¹6*-�2O8? KNMqBD9�*>§2GLM>58729�? 58,�¹69�KNM>?¦fh5872J�*>)F)+9�J�G+OC:Ni6M\)+�-�29�?]G+KNM\G � M>72? � M\)+9�5872?29 ��9�72?29�7DGB>M\)+5[M\§NO89�E�.

:;Q / ±\«D­hc /���� + � e¤ K2*�¹ G+KNM\G ¹�K29�7 ¹69%M>?2?�9 � �NM\G+58*-72E%f V³. S>VDi�¹69�*>§2GLM>587

U ) G � 4 � 5 F 4 G % + %�� �

M>72?µEFK2*�¹ G+KNM\G�G+K258E�58E (·�2E·G�G+K29 M>? (·*-587DG�*-,yG+K29 �$5C)LM>JQ9 � �NM\G+58*-7a. YA587DG @xf F + F 4 i )F + F 4¡.

Page 31: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� �#� � �>���X� �)(�� ���)( � *(���� �"! �+ �,- b ª-Qd¯ /�ZYZ�� c / � < ª2¬�­z`¡® c¥¨KNM\GQM\§�*-�³GXI�M < ¹69�O8On� EX9 � �NM\G+58*-72E F�RyK29�EF9xM\)+9xS ��� *>)+?29�)�587 �'��EF* ¹69 O8* *>»µ,=*>)QM�� M�¼�>)LM>72�-5[M>7 ?29�72EF5CGH: �gG+KNM\G�?29 ��9�72?2E�*-7�� M>72?�5CG+E ?29�)+5CB>M\G+5CBD9�E�� � 4 �'.�I'*>)+9�*�BD9�)q�1I�M < ¹69�O8On� E9 � 72EAM\)+9�O858729qM\)�587 G+K298�N9�O8?2E���M>72?�G+K²�2E�587 �'.y¤ * �¨EFK2*-�2O8?�§�9 � �NM>?³)LM\G+58J�587 ��M>72? � 4 �'.;�587NM>O8OC:D� � EFK2*-�2O8? §�9$587DB>M\)+5[M>7DG �272?29�) �DM>�2�-9AGF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-72E � � � � / � 6 �2M>72?]EFK2*-�2O8?587DBD*-OCBD9 � 4 � *-72OC: 587�G+K29%J�*-P�§N587NM\G+58*-7 J�*-7DGLM>58729�?'587 . . RyK29%EFK2*>)FG+O858E·G�*-,�,=�272J�G+58*-72EAE+M\G+58E�¼,[:³5872��G+K29�EF9�J�)+5CG+9�)+5[M�J�*-7DGLM>5872EAfh��QG+*%M>7��27258P���*>)FGLM>7DG�72*>)+PQM>O858�qM\G+58*-71i *-72OC:�*-729�JqM>72?258?NM\G+95@

������

f � � � 4 � i ) ¶� � + R�) . 3 .) G ¶� � + / 4 8 / 4 8

) ¶S � + f � R N5% R G 0 R i��

f V³. S �Di

¹�K29�)+9�G+K29�O[M>E·GQ9 � �NM>O85CGH:�58E�,[)+*-P f�¶-. S>UDi|. f A*>G+58J�9]G+KNM\G�58,A¹69xM>EFEF* J�5[M\G+9�� ¹�5CG+K »³58729�G+58J9�729�)+�>: f � ) G �� N5% /23 3 3 i�M>72?�0 ¹�5CG+K ��*>G+9�7DG+5[M>O�9�729�)+�>:D� �

�����

58Ey*-,dG+K29$,=*>)+P »�. 9>. G �d. 9>.8. iRyK298�N9�O8?�9 � �NM\G+58*-72E�M>EFEF* J�5[M\G+9�?]¹�5CG+K]G+K29�� M>�>)LM>72�-5[M>7¦f V³. S �Di�?29�72EF5CGH:�M\)+9

�� � � � � � ������ f � � 4 i� ) U T

A*�¹ � / 4 8� f � � � i ) �� f � � � i $ � 4 8 G � 8 4 &)�� �4 � �8 G � �8 � �4 �

f V³.WV-UDiEF*

� � ������ f � � � i ) G ¶� � + � f / 4 8 /c4 8 i

� f � � � i ) G ¶� � + � f / 4 8 f 4 � f 8 � / � � i� f � � � i) G ¶S � + f � �4 � �8 G � �8 � �4 i�/ 4 8

) G ¶S � + f / � � G / ��� i

) ¶� + / ��� Tf V³.WV³¶�i

RyK298�N9�O8?�9 � �NM\G+58*-72E�M\)+9$G+K29�)+9�,=*>)+9 � / ���� � � ) U� f V³.WVDS-iG+KNM\G�58E��P�X*-, I�M < ¹69�O8On� E <�N9�O8?�9 � 72E�,=*>)�M>7 9>. P�.�N9�O8?�587]B>M>J��2*2.

R *Q�-9�G�I�M < ¹69�O8On� E�9 � 72E�587�G+K29 �2)+9�EF9�72J�9�*-,�JLKNM\)+�-9�E�¹69%729�9�?'G+*QM>?2?�G+*�G+K29�M>J�G+58*-7��*>§2GLM>58729�?�§²: 587DG+9��>)LM\G+5872�ºf V³. S �Di�*�BD9�)�E��1M>J�9�G+58P�9>�aG+K29�M>J�G+58*-7�*-, �1M\)FG+58J�O89�E�587ºM]�-5CBD9�7 9>. P�.�N9�O8?a. ;1*>) M�EF5872�-O89$JLKNM\)+�-9�? �1M\)FG+58J�O89�G+K29$O[M\GFG+9�)y58E6�-5CBD9�7Q§²: f V³. S-i|. ¥¨KNM\G ?2* 9�E6G+K258EyEF�2�-�-9�E·G,=*>) G+K29�M>J�G+58*-7vM>EFEF* J�5[M\G+9�?g¹�5CG+KvM�E·¹yM\)+P *-,��1M\)FG+58J�O89�E *-,�JLKNM\)+�-9 � ��PQM>EFE % +xG+KNM\G]M\)+9

Page 32: Classical Fields Lecture Notes James Binney

�������c$ ���* � � �c���*�$ ���� �Y$ �R� (*�� �'(��)�]��� � ���'�" � � �

P�*�B³5872��¹�5CG+K �\¼uBD9�O8* J�5CGH: . f Q i M>72?�587]G+K29�5C)�)+9�E·G·¼/,[)LM>P�9�KNMqBD9�7²�2P�§�9�)�?29�72EF5CGH: ��f Q i F�¥¦9�O8On�G+K29],=*>)+P *-,�f V³. S-i�EF�2�-�-9�E·G+E�G+KNM\G�G+K29 �1M\)FGX*-, � ¹�K258JLK ?29 ��9�72?2E�*-7µ§�*>G+K�G+K29]9>. P�.S�N9�O8?M>72?�G+K29?�1M\)FG+58J�O89�E$fzG+K29 3587DG+9�)LM>J�G+58*-7XG+9�)+P�� i|�²58E �2)+*5��*>)FG+58*-7NM>ONG+*�G+K29�?2*>G �2)+* ?2�2J�G6*-, �#¹�5CG+KG+K29�J��³)F)+9�7DG�?29�72EF5CGH: � ) � � + . M>EFEF* J�5[M\G+9�?'¹�5CG+K'G+K29<�1M\)FG+58J�O89�E�.�¤ * ¹69�E���9�J��2O[M\G+9�G+KNM\G$G+K29587DG+9�)LM>J�G+58*-7XG+9�)+P 58E � 3 �'.�RyK29�J��³)F)+9�7DGy?29�72EF5CGH:XJ�*-7DGF)+5C§N�³G+9�?�§²:�M8�1M\)FG+58J�O89�*-,�JLKNM\)+�-9 �$G+KNM\GP�*�BD9�E *-7]G+K29�¹6*>)+O8? ¼/O858729  f � i|�258E

� f Q i ) � %%� ? � � � f Q G i ) � %%� ?� � f Q G i T f V³.WV-VDi:;Q / ±\«D­hc /�����&�� e

¸6K29�J+»¦G+K29QB>M>O858?25CGH:¦*-,�f V³.WV-VDi�§²:vfh5=i�EFK2*�¹�5872�'G+KNM\G�5CG�58E�?258P�9�72EF58*-7NM>O8OC:ºJ�*>)F)+9�J�Gq��fh585=iEFK2*�¹�5872��G+KNM\G � ?�2 � � ) �2fh?�� N ?�Fi|�D5n. 9>.8�>G+K296G+*>GLM>O³J��³)F)+9�7DG�58E (·�2E·G ��G+58P�9�E G+K29 A9�¹ G+*\¼725[M>7 BD9�O8* J�5CGH:D�2M>72?�fh58585=i�EFK2*�¹�5872��EF58P�58O[M\)+OC:�G+KNM\G G+K29$G+*>GLM>OdJLKNM\)+�-9�587�M>7D:]E��1M\G+5[M>OdEFO858J�958E�M>OC¹yMq:³E � .

@AEF5872��G+K258Ey)+9�EF�2OCGq�NG+K29�J�*-7DGF)+5C§N�³G+58*-7 G+*�G+K29�M>J�G+58*-7 ,[)+*-P�*-�³)�J�*-7 (·9�J�G+�³)+9�?�G+9�)+P 58E

� � ���� ��� � � ) ¶% � ? � QQf � 3 � i �� ) � � ? � Q�? � � 3 � f Q i � f Q G i) � � ? � � 3 � f i

f V³.WV5�²i

¹�K258JLKxM>�>)+9�9�E ¹�5CG+K¦f V³. S-i|.¤ *ºO8*-72�ºM>E�¹69 M\)+9 *-72OC:µ587DG+9�)+9�E·G+9�? 587��-9�GFG+5872��G+K29 �N9�O8? 9 � 72E���¹�K258JLK M\)+9 *>§2GLM>58729�?

§²:�B>M\)F:³5872� �'�¡¹69�?2*-7a� GA729�9�?'G+*�§�*>G+K29�)A¹�5CG+K�G+K29�J�*-7DGF)+5C§N�³G+58*-7xG+* � ,[)+*-P PQM\GFG+9�)AM>O8*-729fz¹�K258JLKº58E�5872?29 ��9�72?29�7DG�*-,�� i|.Q¤ *�O89�Gq� E�EF9�9X¹�K29�G+K29�)�G+K258E%M>J�G+58*-7 §�9��-9�G+E�I�M < ¹69�O8On� E�9 � 72E¹�5CG+K EF*-�³)+J�9�E @

� ) ¶% � ? � Q $ � 3 � / ¶� � + R�) . 3 . & T f V³.WVXS-i\�M\)F:³5872� �T¹�5CG+K]G+K29�M>58? *-,��2)+9�B³58*-�2Ey)+9�EF�2OCG+E��NG+K29��N9�O8?�9 � 72E�M\)+9�,=*-�272?�G+*�§�9

� 4 G ¶� + � / 4 8� � 8 ) U f V³.WV-VDi587 M>�>)+9�9�P�9�7DG ¹�5CG+Kºf�¶-. � Di|.RyK29�*>G+K29�)�,=*-�³)�I�M < ¹69�O8On� Ey9 � 72E ?2*-7a� G J�*-P�9$,[)+*-P�P�587258P�58��5872�G+K29%M>J�G+58*-7]§N�³G�,[)+*-P�G+K29�,zM>J�G G+KNM\G . 58E G+K298�\¼/J��³)+O�*-, �'.�¤ *XG+K29�: M\)+9��-9�*-P�9�GF)+58JqM>O�)LM\G+K29�)G+KNM>7 ?³:³7NM>P�58JqM>Oa587 7NM\G+�³)+9>.

+ � � U�` / ¬�� / ± � c�¬�� / `1± / = �/`1±]­h®�¬ / ±\® ª Z c � =?= / ¬�±\­ / c�$* 9�E A* 9�G+K29�)q� E�G+K29�*>)+9�P ,=*>)�G+K29%� M>�>)LM>72�-5[M>72E�*-,S�1M\)FG+58J�O89%P�*>G+58*-7�9 < G+9�72?�G+*Q� M>�>)LM>72�-5[M>7?29�72EF5CG+589�E],=*>) �N9�O8?2E F �AJ�G+�NM>O8OC: 5CG :³589�O8?2E�l��o�J�O8*-EF9�OC: )+9�O[M\G+9�?g)+9�EF�2OCG+E @�*-729�,=*>)]587DG+9�)+7NM>O

Page 33: Classical Fields Lecture Notes James Binney

�X� ��������� �#� � �>���X� �)(�� ���)( � *(���� �"! �E·:³P�P�9�GF)+589�E�M>72?X*-729�,=*>)�9 < G+9�)+7NM>ONE·:³P�P�9�GF)+589�E��-EF�2JLK M>E���*>)+9�7DG+��587DB>M\)+5[M>72J�9>. ¥¦9�?29qM>ON¹�5CG+K587DG+9�)+7NM>OdE·:³P�P�9�GF)+589�E��2)+E·Gq.

; ,[G+9�7��$f � � � 4 � i 58E�587DB>M\)+5[M>7DGx�272?29�)'EF*-P�9�GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7�*-,%G+K29Q�N9�O8? �'.*;1*>)9 < M>P��NO89>�D587�G+K29�JqM>EF9�*-,¡9>. P�. �µ58E�587DB>M\)+5[M>7DG��272?29�) � � � / � 6 ¹�K29�)+9 6 f Q i�58E�M>7D:�EFJqM>O[M\),=�272J�G+58*-7a. � ¥¨K29�729�BD9�)�G+K29�)+9�58E�M<��*-587DG·¼u§²:²¼ ��*-587DG�587DB>M\)+5[M>72J�9�*-,�G+K258E GH: ��9>�2¹69�JqM>7 ¹ )+5CG+9

U )�� � ) � �� � 3 � � / � �� f � 4 � i 3 � f � 4 � i) �� � 4 � � �� f � 4 � i � 3 � � / � �� f � 4 � i 3 � 4 f � � i) �� � 4 � � � 3 � �� f � 4 � i � �f V³.WVD^-i

¹�K29�)+9'G+K29:�N9�O8?¨9 � 72E f V³.8¶�VDi�KNMqBD9x§�9�9�7¨�2EF9�?a.ZRyK29 �N7NM>O�O858729'E·GLM\G+9�EQG+KNM\GQG+K29'J��³)F)+9�7DG?29�72EF5CGH: �X4 KNM>E B>M>7258EFK25872�X?25CBD9�)+�-9�72J�9>�N¹�K29�)+9� 4 J � � 3 � �� � 4 � T f V³.WV DiRyK29�B>M>7258EFK25872��*-, � 3 � 58P��NO8589�E6G+KNM\G G+K29�587DG+9��>)LM>O � J � ?�2&Q 4 �X4 J � ?� �1?� �2?� � �X4 � 4 ��� �58E%G+K29 E+M>P�9�,=*>)XM>7D:ºGH¹6*'O[M\)+�-9 V�¼/?258P�9�72EF58*-7NM>O�E��1M\G+5[M>O�EFO858J�9�E @ % 5CBD9�7¦GH¹6*'EF�2JLK�EFO858J�9�E�¹69JqM>7�9 < G+9�72?xG+K29�EF9�587DG+*QG+K29�J�O8*-EF9�?�EF�³)+,zM>J�9�§�*-�272?25872� MQE��1M>J�9�G+58P�9%BD*-O8�2P�9�§²:'M>?2?25872� G+K29V�¼/EF�³)+,zM>J�96,=*>)+P�9�?%§²:�M�BD9�)F:�O[M\)+�-9�E��NK29�)+58JqM>O EFK29�O8O2M>E 5CG��2)+*5�1M>�DM\G+9�E 587%G+58P�9�,[)+*-PZ*-729�E��1M\G+5[M>OEFO858J�9�G+*�G+K29A*>G+K29�) EF9�9��N�2.2M\§�*�BD9�f V³.8¶ �²i u. � 3 � ) U�58P��NO8589�E�G+KNM\G�G+K29 �N� < 587DG+*�G+K258E�BD*-O8�2P�9KNM>EyG+*�9 � �NM>O�G+KNM\G *-�³G *-,�5CGq�³EF* �2)+*�B³58?29�? � B>M>7258EFK29�E�*-7 G+K29$EFK29�O8On�³G+K29 �N� < 587 G+K³)+*-�2�-K]G+K299qM\)+O8589�) E��1M\G+5[M>OaEFO858J�9$KNM>EyG+*�9 � �NM>O�G+K29 �N� < *-�³GyG+K³)+*-�2�-K]G+K29$O[M\G+9�) EFO858J�9>.�RyK²�2E G+K29$587DG+9�)+7NM>OE·:³P�P�9�GF)F:Q*-, �vKNM>E��-9�729�)LM\G+9�?xM�J�*-72EF9�)FBD9�? �N� < � .: � = � «�� ªN±�* / «-`¡® c / ± . ª2¬�­z`¡® YA*�¹°?2* 9�E�G+K258E�58?29qMX¹6*>)F» *-�³G�587�9>. P Fº¤ 9�GFG+5872� � � )� 6 �³¹69�KNMqBD9 � 4 ) $ � � 6 & � � ������ f � 4 � i) ¶� + $ � � 6 & / �X4 �

f V³.WV �Di¹�K29�)+9Q�2EF9�KNM>E%§�9�9�7¦PQM>?29�*-,�f V³.WV³¶�i|.Q� � �NM\G+5872� G+*���9�)+*�G+K29�?25CBD9�)+�-9�72J�9Q*-,�G+K258E�¹69��N72?G+KNM\G

U ) � R 6� � 4 � � � / �X4 / � 6� � � �/ �X4� � 4) � 6� � � � 4 / �X4 �¹�K29�)+9�G+K29 �2)+E·GAG+9�)+P *-7xG+K29�)+58�-KDG$KNM>E�§�9�9�7�9�O858P�587NM\G+9�?x§²:�B³5C)FG+�29�*-, . � E�M>7DG+58E·:³P�P�9�GF)F:D.

¤ 5872J�9]¹69 JqM>7 M\)F)LM>72�-9],=*>) � 6 G+*�§�9�M>7D:�BD9�J�G+*>)�M\G�M��-5CBD9�7 ��*-587DGq�$f V³.WV �Di�58P��NO8589�E�G+KNM\G� 4 / �X4 ) U³.�RyK258E�58E (·�2E·G�f V³.WVDS-i|� G+K29�E·GLM>72?NM\)+? �N9�O8?�9 � 7 ,=*>)�9>. P�.2587 B>M>J��2*2.

R *x*>§2GLM>587µM�P�*>)+9�587DG+9�)+9�E·G+5872� A* 9�G+K29�)�587DB>M\)+5[M>7DG�*-729QKNM>E%G+*xE·GLM\)FG�,[)+*-P �Z,=*>)�G+K299>. P�.�N9�O8? �NO8�2E�M�PQM\GFG+9�)��N9�O8?a�1E+Mq: ��.��� ����� /R�M���(� �� �T�%���0&/R�L� � ���,���(�!1 �0*��.� � *�/R��� �8& -��� &/%� ->1 ��� � �� /E�,�.��*+���0� ���*+��� ����� �� � �

�� " ���=�?��#3+*+��� *+��� �8& ���� " �����!�8�.� 3+*+��� *+��� �8&�� � /E�*�&('��0� *+� �0*�/E�!-$�8� &C���A� � � �����.� � ��� � &C���%'���*�1� �� /E�M� � � &C3+*+��� *�&C�%V

Page 34: Classical Fields Lecture Notes James Binney

�������c$ ���* � � �c���*�$ ���� �Y$ �R� (*�� �'(��)�]��� � ���'�" � � �

�_Z / ­h® , � `1± � `¡® «X< ±�± / ®�¬ RyK29 ��O89�587 ¼ % *>)+?2*-7 �#f V³.8¶ Di�58E�587DB>M\)+5[M>7DG%�272?29�)�JLKNM>72�-9�E587'G+K29<�NKNM>EF9�*-,���d5n. 9>.8� � ��� � ��.�¥¨K29�7 � 58E�EFPQM>O8O�¹69�KNMqBD9 � � / 5 � L ) � � � 5� ���aEF*G+K29�JLKNM>72�-9�E�587]G+K29�)+9qM>O�M>72?�58PQM>�-587NM\)F: �1M\)FG+E *-, �vM\)+9

� � ) G � L � � L ) � � T f V³. �DUDi¤ 5872J�9Q¹69 M\)+9QJ�*-72EF58?29�)+5872� � G+*�§�9 Mx,=�272J�G+58*-7µ*-,�f � �+5 L i�M>72?¦G+K29�5C)�?29�)+5CB>M\G+5CBD9�E�� G+K29

?2*>Gy587 f V³.WV Di�KNM>E�G+*�§�9A587DG+9�)��2)+9�G+9�?�M>EyM�EF�2P#*�BD9�) � M>72? 5 L .@AEF5872��*-�³)6)+9�EF�2OCG+E�f V³. S ¶�i¹69�N72? G+KNM\G G+K29�J�*-72EF9�)FBD9�?�J��³)F)+9�7DGA58E� 4 )�� � � 4 � / � 5 L � 4 5 L) � �IG4L � �� � 4 / � �L

� � 4 �) �S\5 � � � � �� � 4 G � �

� �

� � 4 � Tf V³. �2¶�i

�HG%58E%EF58P��NO89�G+* BD9�)+58,[: � 3 � ) U]§²: GLM\»³5872�]G+K29�?25CBD9�)+�-9�72J�9QM>72?¦�2EF5872��G+K29 ��O89�587 ¼ % *>)+?2*-79 � �NM\G+58*-7�M>72?�5CG+EyJ�*-P��NO89 < J�*-7 (·�2�DM\G+9�G+*X9�O858P�587NM\G+9 �.

¸6*-72EF58?29�)QG+K29 �1M\)FG+58J�O89��N� < G+K³)+*-�2�-KgEF*-P�9 EFPQM>O8Oy)+9��-58*-7�� *-,$E��1M>J�9�G+58P�9>.vR *ºG+K29�1M>E·GAM>72?�,=�³G+�³)+9�� 58E §�*-�272?29�?�§²:]G+K29EV�¼/?258P�9�72EF58*-7NM>OdEF9�G+E�*-, 9�BD9�7DG+E G+KNM\G�* J�J��³)�587�EF*-P�9�NKD:³EF58JqM>O�J�*-7DGLM>58729�) fnM>7 9�P��2GH:�§�9�9�) JqM>7*F�i M\G�G+K29�G+58P�9�E ��+xM>72? � 0�� ��+�587 G+K29xJqM>7a� E)+9�E·G�,[)LM>P�9>.]��7¦E��1M>J�9�G+58P�9XG+K29�EF9QEF9�G+E�M\)+9X)+9 �2)+9�EF9�7DG+9�?�§²:4�\¼uBD9�J�G+*>)+E � � + �4 M>72? � � 0 �4 .]¥¦9*>)+589�7DGLM\G+9 � � + �4 EF*�G+KNM\Gy5CG���*-587DG+Ey587DG+*�G+K29��1M>E·Gq�³¹�K258O89 � � 0 �4 O8* *>»³E�G+*�G+K29$,=�³G+�³)+9>.�¤ 5872J�9$G+K29J�*-7DG+9�7DG+E�*-,�G+K29�PQMq:�72*>G�§�9��27258,=*>)+P���¹69�?29�J�*-P���*-EF9X§�*>G+Kº© � + � M>72?¦© � 0 � 587DG+*xM�O[M\)+�-97²�2P�§�9�)�*-,�EFPQM>O8O��N589�J�9�E�?2©º��9qM>JLK J�9�7DGF)+9�? *-7 M ?25! �9�)+9�7DG8��*-EF5CG+58*-7x¹�5CG+K2587'G+K29�JqM>7a.%RyK29§1M>O[M>72J�9%*-,�� � E §�*-�272?NM\)F: J�*-P��2)+58EF9�E�G+K29EV�¼/?258P�9�72EF58*-7NM>OdEF9�GA*-, 9�BD9�7DG+E�G+KNM\G�* J�J��³)A*-7 G+K29JqM>7a� E�EF�³)+,zM>J�9�M\G�G+58P�9�E §�9�GH¹69�9�7���+%M>72?�� 0 .y¥¦9�)+9 �2)+9�EF9�7DG$G+K258E?�1M\)FG�*-,�� � E�§�*-�272?NM\)F: §²:9�O89�P�9�7DG+E ? � � �4 f Q i|�N9qM>JLK�*-,�¹�K258JLK ��*-587DG+E�*-�³G�*-,�G+K29�JqM>7a.

RyK29Q7²�2P�§�9�)�*-,��1M\)FG+58J�O89�E%587ºG+K29�JqM>7µM\G ��+�58E ��fnUDi ) G ���� ��� � � ? � � + �8 � 8 � ¹�K258O89XG+K29

7²�2P�§�9�)?�2)+9�EF9�7DGAM\G�� 0 58E ��f�¶�i ) ���� ��� �� ? � � 0 �8 � 8 .��, �1M\)FG+58J�O89�7²�2P�§�9�)�58EyG+*�§�9�J�*-72EF9�)FBD9�?a�

G+K29�?25! �9�)+9�72J�9���f�¶�i G ��fnUDi�P��2E·Gy)+9 �2)+9�EF9�7DG�G+K29�7²�2P�§�9�)�*-, �1M\)FG+58J�O89�EyG+KNM\GyG+KNM\G �N*�¹ 587DG+*G+K29�JqM>7]§�9�GH¹69�9�7:��+�M>72? � 0 .�RyK²�2E?�1M\)FG+58J�O89�J�*-72EF9�)FB>M\G+58*-7])+9 � �25C)+9�E G+KNM\G� � �

��� ��� ��? � � 0 �8 � 8 / � � �

��� � � � � ? � �+ �8 � 8 ) G�� � ��������� �����

� ��� � � � ? �� �8 � 8 T

Page 35: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� ��������� �#� � �>���X� �)(�� ���)( � *(���� �"! �RyK²�2E�587xM�7NM\G+�³)LM>Od72*>GLM\G+58*-7 ¹69�KNMqBD9

? � 8 � 8 ) U�

� 8 � 8 ) U T f V³. �²S-iRyK258E�?258EFJ��2EFEF58*-7xM>72?�9 � �NM\G+58*-7¦f V³. �2¶�i�EFK2*�¹ G+KNM\G

�.+ ) �S\5 % � � � � �� � G � �

� �

� � � f V³. � VDi58EU�2)+*5��*>)FG+58*-7NM>O G+*$G+K29��1M\)FG+58J�O89y?29�72EF5CGH:�587�G+K29 J�* *>)+?2587NM\G+96)+9�E·G·¼/,[)LM>P�9>�²M>72?�§�9�JqM>�2EF9�587�G+KNM\G,[)LM>P�96? � � � ) ? R Q%� % ?�|�>G+K29 �N� < *-,P�1M\)FG+58J�O89�E�587�G+K29yJ�* *>)+?2587NM\G+9�)+9�E·G,[)LM>P�9658ES�2)+*5��*>)FG+58*-7NM>OG+* ��� ) � %

S\5 � � � � �� � �IG � �� �

� � � � T f V³. �-�²i4�:'J�*-P��1M\)+58EF*-7a�a72*-7 ¼u)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J � �NM>7DG+�2P�P�9�JLKNM>7258J�E$:³589�O8?2E$,=*>)�Y$M>P�58OCG+*-725[M>7 � )" R N S�%

??� � ? 2 � O �cO R ) � ? 2 � � � � �� � � / � � �

� � �) � ? 2 � � � � �G 5 �� � / � � � �5 �� �) ��S\5 % � ? 2�� � f � R � � i � G � � � R � �

) ��S\5 % ? R � � � f � � � � i � G � � � � � � T

f V³. � S-i

YA9�72J�9 G+K29 ��O89�587 ¼ % *>)+?2*-7X9 < �2)+9�EFEF58*-7�,=*>)�G+K29I�1M\)FG+58J�O89 �N� < 58E9�EFEF9�7DG+5[M>O8OC:�58?29�7DG+58JqM>O2¹�5CG+K�G+K2972*-7 ¼u)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J$*-729>�2§N�³G G+K29�9 < �2)+9�EFEF58*-72E�,=*>) G+K29��1M\)FG+58J�O89�?29�72EF5CGH: M\)+9$)LM\G+K29�)�?25! �9�)+9�7DG�587G+K29�GH¹6*XJqM>EF9�E�.

+ � � U�` / ¬�� / ± � c�¬�� / `1± / = ª1®�� 1 `1± / ®�¬��­h® . ªN±\­zª1® « /RyK29�� M>�>)LM>72�-5[M>7¦?29�72EF5CGH: � *-,yM���*>)+9�7DG+�|¼/J�*�B>M\)+5[M>7DG�G+K29�*>)F: ?29 ��9�72?2E�*-7 Qg*-72OC:�G+K³)+*-�2�-KG+K29��N9�O8? � M>72? 5CG+E�?29�)+5CB>M\G+5CBD9�E��³5n. 9>.8�²5CG6KNM>E672*�9 < �NO858J�5CG6E��1M>J�9|¼uG+58P�9�?29 ��9�72?29�72J�9>.y¸6*-72EF58?29�)M>7 587�N725CG+9�EF58PQM>OyEFK258,[GQ587 G+K29�J�* *>)+?2587NM\G+9�*>)+58�-587�¹�K258JLK JLKNM>72�-9�E�G+K29�J�* *>)+?2587NM\G+9�E�*-,�G+K29��*-587DGRQºG+*VQ � J Q / ªd�2¹�K29�)+9%ª�58E BD9�)F: EFPQM>O8On.�RyK29�7�G+K29�?25! �9�)+9�72J�9%587 G+K29�B>M>O8�29�*-, ��M\GQ M>72?�M\GAG+K29E��*-587DGNQ / ª'¹�K2*-EF9�J�* *>)+?2587NM\G+9�EA587'G+K29��27�2)+58P�9�?�,[)LM>P�9%J�*-5872J�58?29�¹�5CG+K_Q� EJ�* *>)+?2587NM\G+9�E 587 G+K29��2)+58P�9�? ,[)LM>P�9�58E

� � ) � � �� � 3 � �� � � / � �� f � 8 � i 3 �f � 8 � i� � � � I �

) � �� � 8 � � �� f � 8 � i � 3 ��

� � � / � �� f � 8 � i 3 � R �� � � � � 8 � I �) �� � 8 � � �� f � 8 � i 3 ��

� � � � I � Tf V³. �DVDi

Page 36: Classical Fields Lecture Notes James Binney

����� �c$ ���* � � �c���*�$ ���� �)( � �$ ���(*����� (*�&���'���)(*!� � �; 7XG+K29�*>G+K29�)�KNM>72?a� 58,1¹69�EF58P��NOC:%)+9��DM\)+? ��M>E�M�,=�272J�G+58*-7�*-,5Q G+K³)+*-�2�-KXG+K29I�N9�O8?2E��²¹69�KNMqBD9

� � ) I � � �� � � ) �� � 8 $ � �8� I � & T f V³. �²^-i

� � �NM\G+5872��G+K29�EF9�GH¹6*�9 < �2)+9�EFEF58*-72E�,=*>) � �g¹69�KNMqBD9

U ) �� � 8 � � �� f � 8 � i 3 ��

� � � G � �8� � I � T f V³. � Di

;1�³)FG+K29�)+P�*>)+9>��ª 58E�M>7 M\)F§N5CGF)LM\)F:�EFPQM>O8O�BD9�J�G+*>)XEF*º5CG+E�J�* 9&a�J�589�7DG�587 f V³. � Di%P��2E·G�B>M>7258EFKa.RyK²�2E�,[)+*-P�G+K29�,zM>J�G G+KNM\G �v?29 ��9�72?2E�*-7 Q¦*-72OC:QG+K³)+*-�2�-K G+K29��N9�O8?2E ¹69�JqM>7 J�*-72J�O8�2?29�G+KNM\GG+K29�G+9�72EF*>)

�� 84 J G � � �� f � 8 � i 3 �

� � 4 G � �84 � �� +�+ ) � �� �� 3 �� G � f V³. � �Di

KNM>E B>M>7258EFK25872� ?25CBD9�)+�-9�72J�95@ � 8 �� 84 ) U³. 58E]G+K29¦«-ª1® `¡® ­h«-ª Z / ® / ±�* � , =º`5= / ®�¬ <>=

G+9�72EF*>)q.xRyK29�B>M>7258EFK25872�'*-,y5CG+E%?25CBD9�)+�-9�72J�9Q9 < �2)+9�EFEF9�E�9�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2P J�*-72EF9�)FB>M\G+58*-7�587G+K29�E+M>P�9A¹yMq:]G+KNM\G � 8 � 8 ) U�58P��NO8589�EyJ�*-72EF9�)FB>M\G+58*-7�*-,��1M\)FG+58J�O89�E � G+K29�?25! �9�)+9�72J�9�§�9�GH¹69�9�7G+K29�GH¹6* JqM>EF9�E$58E�G+KNM\G � 8 �� 8

4 ) UQ58P��NO8589�E�J�*-72EF9�)FB>M\G+58*-7'*-,�,=*-�³) � �NM>7DG+589�E @�9�729�)+�>:'M>72? � ��]M>72?��XP�*-P�9�7DG+�2P�. A*>G+58J�9$G+K29�EF58P�58O[M\)+5CGH:Q*-,6f V³. � �Di�G+*�G+K29�J�*-7DBD9�7DG+58*-7NM>O�?29 �N725CG+58*-7�*-, ME·:³E·G+9�P�� EyY$M>P�58OCG+*-725[M>7A@�� ) " 4 ���4 G � .�A�DM>587��2EF5872� f V³.WV³¶�i|�-¹69?�N72?Q,=*>)�G+K29�JqM>72*-7258JqM>O19�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2P G+9�72EF*>)�*-,¡G+K29�9>. P�.�N9�O8? �� 8

4 ) G ¶� + � / � 8 � �� � 4 / 0� / ��� / ��� � 84 � T f V³.TS>UDi��BD9�7�¹�K29�7 ¹69 O8*�¹69�) � E<�2)+E·G�5872?29 < §²: �2)+9�P��2OCG+5!�NOC:³5872��§²: f � 8 ��G+K258EX58EF7a� GXE·:³P�P�9�GF)+58JO85C»D9$G+K29 *-,�´q¶-. �2.¥¦9>� ?]BD9�)F:]P��2JLK�O85C»D9 � G+*�§�9�E·:³P�P�9�GF)+58J>�³58, *-72OC:Q§�9�JqM>�2EF9%��5872E·G+9�587a� E9 � �NM\G+58*-72E�)+9 � �25C)+9�5CGAG+*Q§�9�EF*2.��AO8EF*Q¹69>� ?�O85C»D9%G+K29�9�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2PTG+9�72EF*>)$G+* ?29 ��9�72?*-7 � *-72OC:�G+K³)+*-�2�-K . .¥¦9$JqM>7 M\GFGLM>587Q§�*>G+K]�-*DM>O8E�§²: M>?2?25872��587DG+* � ¹�KNM\Gq� Ey729�J�9�EFE+M\)F: G+*��N�>)LM>?29�G+K29�?29�)+5CB>M\G+5CBD9�*-, � 587]G+K298�2)+E·G G+9�)+P 587DG+*�M>7 . .�RyK29�)+9 � �25C)+9�?�5CG+9�P�58E

�84 ) ¶� + / � 8 � 4� � � T f V³.TS ¶�i

��7�G+K296M\§NEF9�72J�9y*-,2EF*-�³)+J�9�E�fz¹�K258JLK�58E ¹�K29�7�¹69�¹6*-�2O8?�9 < ��9�J�G�G+K29�9�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2P°G+9�72EF*>)G+*�§�9�?25CBD9�)+�-9�72J�9|¼/,[)+9�9�i � 58E�5CG+EF9�O8, ?25CBD9�)+�-9�72J�9�,[)+9�95@

� 8 �84 ) ¶� + � R f / � 8 4 i� � 8 � � � ) U T f V³.TS-S-i

¤ * 58,�¹69X?29 �N729 J � / � � ¹�58O8O §�9XE·:³P�P�9�GF)+58J�M>72? ?25CBD9�)+�-9�72J�9|¼/,[)+9�9Q587�B>M>J��2*2.XRyK299�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2P#G+9�72EF*>)�*-, G+K29�9>. P�.�N9�O8?�58EyG+K29�7

� 84 ) G ¶� + � / � 8 � �� � 4 G / � 8 � 4� � � / 0� / ��� / ��� � 84 �) G ¶� + � / 4 � / � 8 / 0� / ��� / ��� � 84 �

f V³.TS5VDi

Page 37: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� ��������� �#� � �>���X� �)(�� ���)( � *(���� �"! �587�M>�>)+9�9�P�9�7DG ¹�5CG+K¦f�¶-. S Di|.

¥¨K29�7�JLKNM\)+�-9�E�M\)+9I�2)+9�EF9�7DGq�²G+K29I�N9�O8?�� M>�>)LM>72�-5[M>7�?29�72EF5CGH:�5872J�O8�2?29�E�M$G+9�)+P � 3 � ¹�K258JLK§2)+9qM\»³E�GF)LM>72EFO[M\G+58*-7NM>O�587DB>M\)+5[M>72J�9x58, � 58E�)+9��DM\)+?29�?vM>E � < 9�?a. ¸6*-72EF9 � �29�7DG+OC:D�yG+K29x9�729�)+�>:²¼P�*-P�9�7DG+�2P G+9�72EF*>)xPQM>?29 *-�³Gx*-, � 3 � / � �����

?2* 9�E¦k�o\l KNMqBD9ºB>M>7258EFK25872� ?25CBD9�)+�>BD9�72J�9>.(�KD:³EF58JqM>O8OC:D��G+K258E�58E�§�9�JqM>�2EF9 G+K29 9>. P�.S�N9�O8? 58EX9 < JLKNM>72�-5872�º9�729�)+�>: M>72? P�*-P�9�7DG+�2P ¹�5CG+KG+K29XJLKNM\)+�-9�E�.���,�¹69�M>?2?¦M G+9�)+P�G+*]G+K29�� M>�>)LM>72�-5[M>7 G+KNM\G�?29�EFJ�)+5C§�9�E�G+K29�?³:³7NM>P�58J�E�*-,�G+K29JLKNM\)+�-9�E��yG+K29�9�7DG+5C)+9x� M>72�>)LM>72�-5[M>7 � JLKNM\)+�-9�E �NO8�2EQ587DG+9�)LM>J�G+58*-72�NO8�2E�B>M>J��2�2P �N9�O8? � tz�=�§�9�GF)LM>72EFO[M\G+58*-7NM>O8OC:g587DB>M\)+5[M>7DGxM>72?��-5CBD9�)+58EF9�G+* M>7�9�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2P G+9�72EF*>) G+KNM\G�KNM>EB>M>7258EFK25872�Q?25CBD9�)+�-9�72J�9>.6��7�,zM>J�Gq�1¹69%JqM>7272*>G�)+9��DM\)+?'MXE·:³E·G+9�PTM>E�58EF*-O[M\G+9�?��27DG+58O�5CG�KNM>E §�9�9�79 < �1M>72?29�? G+*]G+K29 ��*-587DG�G+KNM\G�5CG+E�� M>�>)LM>72�-5[M>7 58E$GF)LM>72EFO[M\G+58*-7NM>O8OC:x587DB>M\)+5[M>7DGq� M>72?º�-5CBD9�E$)+58EF9G+*�M�J�*-72EF9�)FBD9�?�9�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2P#G+9�72EF*>)q.

¥¦9 EFKNM>O8ONEF9�9 §�9�O8*�¹ G+KNM\G�*-729 *-,¡G+K29 E·GF)LM>72�-9 ,=9qM\G+�³)+9�E�*-,¡�>)LMqB³5CGH:�58E�G+KNM\G�M�E·:³E·G+9�P G+KNM\G587DG+9�)LM>J�G+E�¹�5CG+Kº*>G+K29�)�E·:³E·G+9�P�E�*-72OC:º�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O8OC:xKNM>E�M�J�*-72EF9�)FBD9�?�9�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2PG+9�72EF*>)]9�BD9�7gG+K2*-�2�-Ka�?�NKD:³EF58JqM>O8OC:D�y5CG 58E 9 < JLKNM>72�-5872�µ9�729�)+�>:vM>72?vP�*-P�9�7DG+�2P ¹�5CG+Kg*>G+K29�)E·:³E·G+9�P�E � ,=*>)�9 < M>P��NO89Q§²:µ9�P�5CGFG+5872�'�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O�)LM>?25[M\G+58*-7a.µRyK258E�EF5872�-�2O[M\)X,=9qM\G+�³)+9 *-,�>)LMqB³5CGH: PQM\»D9�Ey5CG BD9�)F:]KNM\)+? G+*<�N587�9�729�)+�>:]?2*�¹�7�587 % . ��.

Page 38: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� � �c � ��$�( � ���>�*�$ � � �� � ��� �"X&��+�� �'�$"�� � � �'� � ���q&'�� � ����"�

�� �����%������&'��

+ ��� U / ¯�¬�`¡® � c � / `1± ��AJ�J�*>)+?25872�QG+* A9�¹ G+*-7a��9�BD9�)F:�§�* ?³:xM\GFGF)LM>J�G+E�9�BD9�)F:x*>G+K29�)�§�* ?³:�¹�5CG+K'M�,=*>)+J�9�G+KNM\GA58E��2)+*\¼��*>)FG+58*-7NM>O1G+*�G+K29��2)+* ?2�2J�G *-,aG+K29$PQM>EFEF9�E6*-,dG+K29�GH¹6*�§�* ?2589�E M>72?]587DBD9�)+EF9�OC: �2)+*5��*>)FG+58*-7NM>O¡G+*G+K29�E � �NM\)+9�*-, G+K29�?258E·GLM>72J�9�§�9�GH¹69�9�7�G+K29�P�.�YA9�72J�9�G+K29�,=*>)+J�9%*-7�MX�2725CG�PQM>EFE�M\G � G+KNM\G�58E�-9�729�)LM\G+9�? §²:�M�?258E·GF)+5C§N�³G+58*-7 *-, PQM\GFG+9�) *-, ?29�72EF5CGH: �¡f � � i658E

� f � i ) � � � � G �O � � G � O 2 �¡f � � i³? 2 � � � f �2.8¶�i

¹�K29�)+9 � ) V T VD^-S2f �²i 9¨¶�U � 0'0NP 2¡»³� � 0 EF9�J � R 58E A9�¹ G+*-7a� E J�*-72E·GLM>7DGq.Z��,$¹69�?29 �N729�G+K29*1±�ª . ­=¬�ª2¬�­z`¡® ª Z [�`N¬ / ®�¬�­zª Z�� f � i�§²:� f � i ) G � � �¡f � � i

O � � G � O ? 2 � � �M>72?�72*>G+58J�9$G+KNM\G ��� � ¶

O � � G � O � ) � � G �O � � G � O 2 �

¹698�N72? G+KNM\G ¹69�PQMq:Q¹ )+5CG+9 � M>E� f � i ) ��� � � �¡f � � i

O � � G � O ? 2 � �) G � � T f �2. S-i

��, ¹69$GLM\»D9$G+K29�?25CBD9�)+�-9�72J�9�*-, 9 � �NM\G+58*-7ºf �2.8¶�i|�³¹698�N72?� 3 � f � i ) � � ��� 3 � � � G �

O � � G � O 2 � �¡f � � i³? 2 � � T f �2.WVDi46�³G

��� 3 � � � G �O � � G � O 2 � ) G � � � f � � G � i fz¹�K29�)+9 � 58EyG+K29��$5C)LM>J � ¼/,=�272J�G+58*-71i f �2. �²i

M>E�*-729]PQMq:¦EFK2*�¹���*-7µG+K29]*-729]KNM>72?µ§²:µ9�B>M>O8�NM\G+5872�'G+K29]?29�)+5CB>M\G+5CBD9]M\G � ') � � ��M>72?�*-7G+K29�*>G+K29�)�KNM>72?¦§²:º�2EF5872��G+K29Q?25CBD9�)+�-9�72J�9�G+K29�*>)+9�P G+*x587DG+9��>)LM\G+9�G+K29QO89�,[G�EF58?29XG+K³)+*-�2�-K�MEFPQM>O8O�E��NK29�)+9%J�9�7DGF)+9�?�*-7 � ) � � .�¸6*-P�§N58725872��9 � �NM\G+58*-72E%f �2. S-i|�df �2.WVDi�M>72?�f �2. �²i�¹69�*>§2GLM>587(�`¡­hcqc�`¡® � c / � < ª2¬�­z`¡® � � � � ) � R � ) G � 3 � T f �2.TS-i

��O89��DM>7DG�G+K2*-�2�-K'5CGA58E��1G+K258E�9 � �NM\G+58*-7xJqM>7272*>GA)+9 �2)+9�EF9�7DG$G+K29%¹�K2*-O89�GF)+�³G+K'M\§�*-�³G$�>)LMqB²¼5CGLM\G+58*-7NM>O �NKD:³EF58J�E�EF5872J�9Q5CG�58E%72*>G�J�*-72E·GF)+�2J�G+9�?�M>J�J�*>)+?25872��G+*�G+K29�)+�2O89�E�*-,6G+9�72EF*>)�JqM>O8J��2O8�2E

Page 39: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� � � � �c � ��$�( � ���>�*�$ � � ���* �%�'� (*!�� � �"c$���� � �)���&�)�"�(*!�EF�2P�PQM\)+58��9�?µ587v´|S . ^ �658,yG+K29])+58�-KDG�EF58?29 *-,�9 � �NM\G+58*-7�f�S-i%58E�G+*�,=*>)+P M>7 �¡¼uG+��NO89>��5CGXP��2E·G,=*>)+P M�EFJqM>O[M\)AEF5872J�9�5CG�KNM>EA*-72OC: *-729�J�*-P���*-729�7DGq. ; 7xG+K29%*>G+K29�)AKNM>72?a��EF5872J�9�PQM>EFE�58E (·�2E·GM%PQM>7258,=9�E·GLM\G+58*-7Q*-,d9�729�)+�>:D� ¹69A9 < ��9�J�G6G+K29 � �NM>7DG+5CGH: ��M6� ��9qM\)+5872��*-7QG+K29AO89�,[GyEF58?29A*-,d9 � �NM�¼G+58*-7gf�S-iAG+* )+9 �2)+9�EF9�7DG�9�729�)+�>: ?29�72EF5CGH:D��M>72?ºG+K258E�¹69X»³72*�¹ G+* ,=*>)+P G+K29QU-U�¼/J�*-P���*-729�7DG%*-,G+K29 ¶�U�¼uG+��NO89 .�¤ * ¹69�9�5CG+K29�)�KNMqBD9�G+*QG+K2587³»x*-,EF*-P�9�EFJqM>O[M\)AG+K25872�QG+* �N�³G�*-7xG+K29�O89�,[G$587G+K29 �NO[M>J�9X*-, �N��*>)�¹69XKNMqBD9�G+*�M>�2�-P�9�7DG � ¹�5CG+KºM]¹�K2*-O89�§N�272JLK¦*-,�9 < GF)LM ��*>G+9�7DG+5[M>O8E�� 5CG+EJ�*-P��1M>7258*-72Ey587]EF*-P�9$729�¹ ¶�U�¼uG+��NO89 * �NM>72? EF*-P�9�K2*�¹ 9 < G+9�72?]G+K29$EF5872�-O89�9 � �NM\G+58*-7ºf �2.TS-i�G+*M�EF9�G�*-,�G+9�7�9 � �NM\G+58*-72E ,[)+*-P#¹�K258JLK G+K29�¹�K2*-O89�EF9�G�*-, ��*>G+9�7DG+5[M>O8E JqM>7 §�9�?29�G+9�)+P�58729�?a.

¸6*-72EF58?29�)LM\G+58*-7 *-,�G+K29 �2)+9�?258JqM>P�9�7DG�*-,�M �NKD:³EF58J�58E·G�¹�K2*]»³72*�¹�E�M\§�*-�³G�)+9�O[M\G+5CB³5CGH:'M>72?9�O89�J�GF)+*-E·GLM\G+58J�E§N�³G�72*>G�M\§�*-�³G�PQM>�-729�G+58EFPZ¹�58O8O2J�O[M\)+58,[:�G+K258E ��*-587DGq.RyK258E ��9�)+EF*-7�O8* *>»³E�M\G�G+K299�O89�J�GF)+*-E·GLM\G+58J�,=*>)+P�*-, (�*-58EFEF*-7a� E 9 � �NM\G+58*-7� R � ) G � N � +5� ¹�K29�)+9���58E�JLKNM\)+�-9�?29�72EF5CGH:D�

M>72? G+K2587³»³E^��58EF7a� G�M�EFJqM>O[M\)y§�9�JqM>�2EF9�*-,dG+K29���*>)+9�7DG+�|¼ ;�5CG+���-9�)LM>O8? J�*-7DGF)LM>J�G+58*-7ºfh587],zM>J�Gq� ��58E6G+K29�U� ��J�*-P���*-729�7DG�*-,¡G+K29�J��³)F)+9�7DG6?29�72EF5CGH: � i|���6EF* � JqM>7a� G�§�9�M�EFJqM>O[M\)�9�5CG+K29�)q.�¤ 9�9�P�E��|� O8ONKNMqBD9G+*�M>�2�-P�9�7DG � ¹�5CG+K�G+K³)+9�9y*>G+K29�)U��*>G+9�7DG+5[M>O8E��DE+Mq: K � L M>72? M .�RyK29�7�G+KNM\G � R ¹6*-7a� G?2*]9�5CG+K29�)q��§�9�JqM>�2EF9�5CGq� E�72* »³5872?'*-,��¡¼uG+��NO89>.$�|� O8O�)+9 �NO[M>J�9�5CGA¹�5CG+KxG+K29�?a� �AO89�P�§�9�)FG+5[M>7a�¹�K258JLK�58E�M�EFJqM>O[M\)q.�RyK29�7 �|� O8OdKNMqBD9

��� R G ¶% R � R� � R � � ) G �� + M>72? ��� R G ¶% R � R� � R � � ) G ���� + T `4�: G+K258EI��*-587DG�*-�³)�,[)+589�72?�¹6*-�2O8?]§�9�¹69�O8Od*-7]G+K29�¹yMq: G+*�M A*>§�9�O,�2)+58��9>.¥¦9 EFKNM>O8O2EF9�9yG+KNM\GG+K29 7NM\G+�³)LM>O2�-9�729�)LM>O858�qM\G+58*-7�*-,1G+K258E�M\)+�-�2P�9�7DGG+*$G+K29 JqM>EF9 *-,¡�>)LMqB³5CGH:

:³589�O8?2E�#� R G ¶% R � R� � R � * ) J�*-72E·GLM>7DG?9 T

YA*�¹69�BD9�)q�¡��5872E·G+9�587�EFK2*�¹69�?xG+KNM\G�G+K29�¹yMq: ,=*>)F¹yM\)+?x58E�72*>G�G+*XG+587³»D9�)�G+K²�2E�¹�5CG+K A9�¹ G+*-725[M>7�>)LMqB³5CGH:D�\§N�³GG+*�M>EFEF58�-7�G+*AG+K29 �>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O²,=*>)+J�9�M$�2725 � �29���*-EF5CG+58*-7�M>E�G+K29 ,=*>)+J�9y�-9�729�)LM\G+9�?§²:�G+K29�BD9�)F:�?³:³7NM>P�58J�E�*-,dE��1M>J�9�G+58P�9�5CG+EF9�O8,/.�RyK29AE·G+58P��2O8�2E�,=*>)6G+K258E�)+9�PQM\)F»>M\§NO89�587DG+9�O8O89�J�G+�NM>OO89qM6�º¹yM>E�G+K29XP�* ?29�)+7 ,=*>)+P *-, % M>O858O89�*2� E$,zM>P�*-�2E�*>§NEF9�)FB>M\G+58*-7 G+KNM\G%M>O8O�§�* ?2589�E�,zM>O8O�M\G�G+K29E+M>P�9�E���9�9�?a.+ ��� � / (�±\­h® «D­ [ Z / `�R:�� < ­ . ª Z / ® « /

� ® / ±�¬�­zª Z�� *1±�ª . ­=¬�ª2¬�­z`¡® ª Z =ºª1cqc �AE�J�*-7DBD9�7DG+58*-7NM>O8OC: E·GLM\G+9�? A9�¹ G+*-7a� E�O[Mq¹�E�*-, P�*\¼G+58*-7 M\)+9 �1M\)FG�?29 �N725CG+58*-7ºM>72? �1M\)FG�9�P��N5C)+58JqM>O O[Mq¹�.%RyK29<�N�³)+9�OC:'9�P��N5C)+58JqM>O J�*-7DG+9�7DG�JqM>7�§�9EF�2P�P�9�? �� §²:]G+K29�E·GLM\G+9�P�9�7DG+E @fh5=iQG+K29�P�*>)+9�JqM\)+9�,=�2O8OC:'*-729�58EF*-O[M\G+9�E�MQ§�* ?³:x,[)+*-P�9 < G+9�)+7NM>O�587 �N�29�72J�9�E���G+K29�P�*>)+9�729qM\)+OC:

?2* 9�E�5CG+EyBD9�O8* J�5CGH: � )+9�PQM>587 J�*-72E·GLM>7DGq����C�%� ����*+��� �8&� ��V �����<V

Page 40: Classical Fields Lecture Notes James Binney

����� � �"!����� � �$ � � �$ ��� �X� �'� � �(*��� � �fh585=i�¹�K29�7�EF9�BD9�)LM>OD*>G+K29�)F¹�58EF9�58EF*-O[M\G+9�?�§�* ?2589�E�� ) ¶-� T T T ��� 587DG+9�)LM>J�G ¹�5CG+K�*-729�M>72*>G+K29�)q�\5CG 58E��*-EFEF5C§NO89�G+*AM>EFEF58�-7�M�7²�2P�§�9�) % � G+*�9qM>JLK%§�* ?³:�EF�2JLK�G+KNM\G G+K29 � �NM>7DG+5CGH: ! J @ � % � � �)+9�PQM>5872E J�*-72E·GLM>7DGq.¥¦9$JqM>O8O % � G+K29�­h® / ±�¬�­zª Z =ºª1cqc$*-,d§�* ?³: ��.�¥¨K29�7]§�* ?2589�E M\)+9$587DG+9�)LM>J�G+5872�2�NM>72? G+K29�)+9�,=*>)+9KNMqBD9%JLKNM>72�-5872� 5872?25CB³58?2�NM>O�P�*-P�9�7DGLM ! � J % � � � �¡5CG�58E�J�*-7DBD9�72589�7DGAG+*Q58PQM>�-58729$G+KNM\G�G+K29�:M\)+9�M>J�G+5872��*-7º*-729QM>72*>G+K29�)�¹�5CG+K¦M � �NM>7DG+5CGH:7^·,=*>)+J�9�`2� � � J ?�" � N ?�|. 4�:�E·GLM\G+9�P�9�7DG fh585=i|�@ � � � ) U³.�A�DM>587�M>J�J�*>)+?25872��G+* A9�¹ G+*-7a�2G+K29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O¡,=*>)+J�9�§�9�GH¹69�9�7 §�* ?2589�E��µM>72? H 58E

� ��� ) / � � G � �O � � G � � O 2 �¹�K29�)+9�G+K29�J�*-72E·GLM>7DG / ) � � � � � 58E��2)+*5��*>)FG+58*-7NM>O G+*�G+K29 �2)+* ?2�2J�G�*-,�GH¹6*]7²�2P�§�9�)+E � �M>72? � � JLKNM\)LM>J�G+9�)+58E·G+58J *-,�G+K29�§�* ?2589�E �v¹69 JqM>O8OAG+K29�EF9 PQM>EFEF9�E *1±�ª . ­=¬�ª2¬�­z`¡® ª Z =ºª1cqc / c*-,�G+K29 §�* ?2589�E�.g��,�¹69:�NO[M>J�9 GH¹6*º§�* ?2589�E H M>72? F M\G�G+K29�E+M>P�9 ?258E·GLM>72J�9x,[)+*-P ����G+K29�5C)M>J�J�9�O89�)LM\G+58*-72E ¹�58O8O�§�9�587 G+K29$)LM\G+58*

O ? � � N ?�COO ? � � N ?�CO ) � � % �% � � � ) � �� � � ¹�K29�)+9�� 8 J � 8% 8 TRyK²�2E H M>72? F ¹�58O8O ,zM>O8O G+*�¹yM\)+?2E�� M\GAG+K29�E+M>P�9%)LM\G+9�*-72OC:�58,�� � ) � � . A9�¹ G+*-7',=*-O8O8*�¹69�?% M>O858O89�*�587xG+K2587³»³5872�XG+KNM\G$M>O8O�§�* ?2589�E�,zM>O8O M\G�G+K29%E+M>P�9�)LM\G+9>��M>72?xG+K29�)+9�,=*>)+9�M>EFEF�2P�9�?�fz¹�5CG+KMµEF�25CGLM\§NO89�JLK2*-58J�9�*-, �%i�G+KNM\G�� ) ¶ ,=*>)�M>O8O��1M\)FG+58J�O89�E�. 46�³G]587vG+K29�¶�^ ���J�9�7DG+�³)F:vG+K299 < ��9�)+58P�9�7DGLM>O�§1M>EF58E�*-,�G+K258E�E·G+9 ��¹yM>E 72*>G�E·GF)+*-72�2.+ �,+ � ­h«�b / � :��`N¬ . �`¡c :;Q][ / ±\­Y= / ®�¬�cRyK29xP�*-E·G�E·GF)LM>58�-KDG+,=*>)F¹yM\)+? ¹yMq:�G+*¦JLK29�J+» ¹�K29�G+K29�)� 58EXG+K29xE+M>P�9�,=*>) M>O8O�PQM>EFEF9�E�58E�G+*J�*-P��1M\)+9�G+K29 ��9�)+58* ?2E�*-,���9�72?2�2O8�2P�E�PQM>?29Q*-,y?25! �9�)+9�7DG�PQM\G+9�)+5[M>O8E�§N�³G�KNMqB³5872�xG+K29 E+M>P�9O89�72�>G+K2E�.�YA*�¹69�BD9�)q�aG+K29�58P���*-EFEF5C§N58O85CGH:x*-,�9�O858P�587NM\G+5872� ,[)+58J�G+58*-7NM>O )+9�EF58E·GLM>72J�9�G+* G+K29�P�*>G+58*-7*-,�M ��9�72?2�2O8�2P EF9�BD9�)+9�OC:x)+9�E·GF)+58J�G+EAG+K29�M>J�J��³)LM>J�:xG+KNM\G$JqM>7'§�9�M\GFGLM>58729�?�587'9 < ��9�)+58P�9�7DG+E$*-,G+K258Ey»³5872?a.

��7¦¶ �-UXMXYA�272�DM\)+5[M>7a��4yM\)+*-7 ��*-O[M>72?�B�.N� �*>GFB �*-E�JqM\)F)+589�?x*-�³GAMXP��2JLK�P�*>)+9�EF9�72EF5CG+5CBD9G+9�E·G�*-, G+K29 �2)+*5��*>)FG+58*-7NM>O85CGH:]*-, 58729�)FG+5[M>O M>72?x�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>OaPQM>EFE�.��ZP�* ?25!�N9�?�,=*>)+PT*-, G+K258E9 < ��9�)+58P�9�7DG�¹yM>E�)+9 ��9qM\G+9�? ¹�5CG+K �>)+9qM\G+9�)%M>J�J��³)LM>J�:�§²:���*>§�9�)FG%�$58J+»D9�M>72?ºK258E�E·G+�2?29�7DG+E%587(�)+5872J�9�G+*-7�587]G+K29�¶ �-V-U³� E�.;�58�2.�V EFK2*�¹�E�M EFJLK29�PQM\G+58JQM6� �1M\)LM\G+�2E%,=*>)�G+K29��$58J+»D9�9 < ��9�)+58P�9�7DGq. R6¹6* §1M>O8O8E�*-,yM6�³¼�2)+* < 58PQM\G+9�OC: 9 � �NM>Od¹69�58�-KDGAM\)+9%M\GFGLM>JLK29�?�G+*XG+K29�9�72?2E�*-,MXEFK2*>)FG�)+* ?a.yRyK258E�58E�M\GFGLM>JLK29�?�G+*M%¹�5C)+9AEF*�G+KNM\Gy5CG6JqM>7]9 < 9�J��³G+9�G+*>)+EF58*-7NM>O�*-EFJ�58O8O[M\G+58*-72E6M\§�*-�³G M%BD9�)FG+58JqM>O�M < 58E�.U;1*>)yEF58P��NO858J�5CGH:¹69�M>EFEF�2P�9�G+KNM\G M�729�¹ P�* *-7Q58E6729qM\)+OC:Q9�J�O85!�NEF5872��G+K29�¤ �27�M\G�G+K29AG+58P�9�*-,aG+K29$9 < ��9�)+58P�9�7DGq�¹�K258JLK�§�9��-5872E�M\G�?2�2E·»�.RyK29�7�587�G+K29 O8*�¹69�) �1M>729�O8EG+K29�M>J�J�9�O89�)LM\G+58*-7X*-,NG+K29y§1M>O8O8E�*-7XM>J�J�*-�27DG*-,1G+K29 ��M\)FG+Ka� E�E��N587XO8589�E�587�G+K29I�NO[M>729�*-,1G+K29I�1M6��9�)q�D¹�K258O89yG+KNM\G�?2�29 G+*�G+K29 ��M\)FG+Ka� E�)+*>GLM\G+58*-7M\§�*-�³G$G+K29X¤ �27ºM>72? I'* *-7�58E���9�)���9�72?258J��2O[M\)�G+* G+K29 �1M6��9�)q.%YA9�72J�9�¹69�PQMq:�,=*>)+�-9�G�M\§�*-�³GG+K29�E��N587�*-,G+K29���M\)FG+K�M>EA¹69�§1M>O[M>72J�9�G+K29�§�* *>»³E$M>EA)+9��DM\)+?2E$,=*>)+J�9�E���9�)���9�72?258J��2O[M\)�G+*QG+K29�1M6��9�)q.�RyK29y§1M\)�58E�M>O858�-729�? A*>)FG+K ¼�¤ *-�³G+K�M>72?�)+9�O89qM>EF9�?a.���,�x58E�58?29�7DG+58JqM>O2,=*>)�§�*>G+K�§1M>O8O8E�M>72?9 � �NM>ONG+*���,=*>)�G+K29���M\)FG+K M>E6M�¹�K2*-O89>�²G+K29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>ON,=*>)+J�9�G+*�¹yM\)+?2E�G+K29$¤ �27]M>72?QI'* *-7

Page 41: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� � � � �c � ��$�( � ���>�*�$ � � ���* �%�'� (*!�� � �"c$���� � �)���&�)�"�(*!�9 < M>J�G+OC:µ9 � �NM>O8E�G+K29xM>J�J�9�O89�)LM\G+58*-7 ?2�29 G+*�G+K29�5C)Q5872E·GLM>7DGLM>729�*-�2E�P�*>G+58*-7�GF)LM>72E·BD9�)+EF9 G+* G+K29��M\)FG+K ¼�¤ �27�O858729>�1M>72? G+K29�)+9�58E 72*�G+9�72?29�72J�:�,=*>) G+K29�¹�5C)+9$G+*�GH¹�58E·Gq.�46�³G�58, ��58E�M\§N72*>)+PQM>O8OC:O[M\)+�-9�,=*>)�*-729�*-,�G+K29�§1M>O8O8E��2E+Mq: G+KNM\G G+*�G+K29%¤ *-�³G+Ka�NG+K258Ey§1M>O8O�¹�58O8OaE·GLM\)FGyG+*X,zM>O8OaG+*�¹yM\)+?2EyG+K29¤ �27X,zM>E·G+9�)�G+KNM>7�G+K29y*>G+K29�)§1M>O8On�²M>72?�G+K29y)+* ?�¹�58O8O³E·GLM\)FG�G+*$GH¹�58E·G�587�G+K29y?25C)+9�J�G+58*-7�5872?258JqM\G+9�?a.¸6*-72EF9 � �29�7DG+OC:D�¡G+K29�§1M\)Xfz¹�K258JLK'KNM>E�M���9�)+58* ?'*-,�M\§�*-�³G$*-729�K2*-�³)|i ¹�58O8O *-EFJ�58O8O[M\G+9�M\§�*-�³G�M>79 � �258O85C§2)+58�2P ��*-EF5CG+58*-7]G+KNM\G 58E�E·»D9�¹69�? ¹�5CG+K])+9�E���9�J�G�G+*�G+K29 �¼�¤]O858729>.

¤ JLK29�PQM\G+58J�*-,�G+K29��$58J+»D9�9 < ��9�)+58P�9�7DG G+*X?29�G+9�)+P�58729 ��.�$�³)+5872�xG+K29�9�BD9�725872�2��G+K29XG+*>) � �29�*-7¦G+K29X¹�5C)+9�?2�29�G+*�G+K29Q9 < GF)LM �>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O,=*>)+J�9

*-7xG+K29�EF*-�³G+K29�)+7'§1M>O8O ?258P�587258EFK29�E�.��A,[G+9�)$P�58?27258�-KDG�G+K29%G+*>) � �29�E·GLM\)FG+E�G+* �>)+*�¹ZM>�DM>587a�¡§N�³G¹�5CG+K�)+9�BD9�)+EF9�? EF58�-7a.�4�:�?NMq¹�7 5CG+E�?258E��NO[M>J�9�P�9�7DGX*-, G+K29]J�9�7DGF)+9 *-,�*-EFJ�58O8O[M\G+58*-7µ58E�9 < M>J�G+OC:*5� ��*-EF5CG+9�G+*XG+KNM\GA*5��9�)LM\G+5872� M\G�?2�2E·»�.�4�: O8* *>»³5872�X,=*>)$M�J�*-P���*-729�7DGA587�G+K29%P�*>G+58*-7�*-, G+K29§1M\)�¹�5CG+K ��9�)+58* ?ºS6��K³)+E�M>72?�G+K29�9 < ��9�J�G+9�?Q�NKNM>EF9�¹�5CG+K')+9�E���9�J�G�G+*]EF*-O[M\)$G+58P�9>�a�$58J+»D9XM>72?K258E�J�*-O8O[M\§�*>)LM\G+*>)+E6¹69�)+9%M\§NO89$G+*X9�E·GLM\§NO858EFK]G+K29�O858P�5CG#O � G ¶�O � ¶�U � 0'0�.

¥¨KNM\G%PQM\G+9�)+5[M>O�EFK2*-�2O8?º§�9X�2EF9�?¦,=*>)�G+K29�§1M>O8O8E F \�M\)+58*-�2E$G+K25872�-E�¹69�)+9�GF)+589�? §N�³G%5CG�58EP�*-E·G�587DG+9�)+9�E·G+5872��G+*�J�*-P��1M\)+9yK29qMqB :�¹�5CG+KXO858�-KDG�M\G+*-P�E��-,=*>)�9 < M>P��NO89 M>O8�2P�587258�2P ¹�5CG+KX�-*-O8?a�§�9�JqM>�2EF95@fh5=iQG+K29 7²�2J�O89�5N*-,¡EF�2JLK�M\G+*-P�E�KNMqBD9yBD9�)F:�?25! �9�)+9�7DG �2)+*>G+*-7 �\729��³GF)+*-7X7²�2P�§�9�)+EAf �AO ) ¶.V N ¶ �2��A� ) ^ � N ¶-¶ Di|.fh585=iQEF�2JLK'M\G+*-P�EyKNMqBD9�BD9�)F: ?25! �9�)+9�7DGAJ�*-7DGF)+5C§N�³G+58*-72E G+*�G+K29�5C)�PQM>EFEy,[)+*-P:@

fnMDi]9�O89�J�GF)+*-E·GLM\G+58J$9�729�)+�>: 2�f�� ��i R � � 0 N % % R ��U T U-U-V�f �AO=i�*>)�U T U-U f �A�1i u�fz§¡i]*�BD9�)LM>O8O�§N5872?25872��9�729�)+�>: I�M>EFE�?29�,=9�J�G���% % R ) U T U-U � f �AO=i�*>)�U T U-U 5��f �A�1i u�fhJ�i B³5C)FG+�NM>OS��*-EF5CGF)+*-72E % � � N % % R �>V 9µ¶�U ��� f �AO=i�*>)�S 9µ¶�U ��� f �A�1i|� EF9�9 �d.�V-V]*-,

�ymF�>��tzl/�>lntuo\k�� ��}��C�>lntz��tzln��§²:]I�. % .146*�¹�O89�)�,=*>)�?29�GLM>58O8E u.YA9�72J�9],[)+*-P G+K29�EF9]9 < ��9�)+58P�9�7DG+E�¹69]PQMq:¦J�*-72J�O8�2?29 G+KNM\G O � G ¶�O � ¶],=*>)XM>O8O6,=*>)+P�E

*-,PQM>EFE�¼/9�729�)+�>:D�1¹�5CG+K�G+K29%9 < J�9 �2G+58*-72EA*-,9�729�)+�>:xM>EFEF* J�5[M\G+9�?x¹�5CG+K�¹69qM\»xM>72?'�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O

Page 42: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� (*����$����X! ���"$�( ��$ �5�(���$ � �;� (��;�(* � �)� ���������������� � �587DG+9�)LM>J�G+58*-72E�. �

� < GF)LM6��*-O[M\G+5872��¹�58O8?2OC:],[)+*-P#G+K29�EF9�9 < ��9�)+58P�9�7DG+Ey¹69�KD: ��*>G+K29�EF58��95@�a¬�±�`¡®+* (�±\­h® «D­ [ Z / `��:�� < ­ . ª Z / ® « / @ �c$ �X� �'� � �(*�;!�$ �)� � � ��� ��� (�� �)���'���� � ����(?��*$ � $ ���(*�$ ��� �X� �X����� �����"$�(��)� � �� �A�)( �J�)( �X!�!���" � ����� (�� ��� ��� $��>�� �Y ���(*!� � � ( �]��� ���"! �)�������� ( �)(� ��� ��� � �-�"! � � �)� ��� ������� ������$ ��� � � �X! � � � �� � �)� � ���* ������� $��-� ����'�"! � ���� ���*d� ��� ���R� �>(*$ � �� � �� ��d�3�� ���(*� �

��9qM>O³�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O �N9�O8?2E�M\)+9y729�BD9�)�K2*-P�*-�-9�729�*-�2E��-EF*AG+K29�:�s+�>kA§�9y?258E·G+5872�-�258EFK29�?�,[)+*-PM>7ºM>J�J�9�O89�)LM\G+5872� ,[)LM>P�9�*-,�)+9�,=9�)+9�72J�9>. ;1*>)�9 < M>P��NO89>�dJ�*-72EF58?29�)�M]E·GLM\)·¼u¹yM\)F)+58*>)�¹�K2*])+9��DM>5872EJ�*-72EFJ�58*-�2EF729�EFE%587ºM J�O8*-EF9�? JqM\§N587 EF*-P�9�G+58P�9�M>,[G+9�)�§�9�5872�]GLM\»D9�7K�2)+58EF*-729�)q.�YA9�)+9qM>JLK29�E�,=*>)K258E�¹yM\G+JLK¦M>72? »³72* J+»³E�5CG�G+*]G+K29 �N* *>)q.�;1*>)FG+�27NM\G+9�OC:�5CG�,zM>O8O8E�*-72OC:�EFO8*�¹�OC:D��EF*�5CG�J�*-7DG+587²�29�EG+*�G+58J+»�. ��E�K29 587�Mµf���*-EFEF5C§NOC:º9�O[M>E·G+58J�i�M>J�J�9�O89�)LM\G+5872�'E��1M>J�9�EFK25!�d��*>)�58E�K29 *-7�M>7µM>E·G+9�)+*-58?*F4�:º72*�¹ ,=�2O8OC:�M>O89�)FG�K29Q?29�G+9�)+P�58729�E�G+KNM\GE�NO8�2P�§�§�*>§NE�*-7�9�5CG+K29�)�EF58?29 *-,6G+K29QJqM\§N5874��*-587DGG+*�¹yM\)+?2E�M�E���*>G%EF*-P�9XG+9�7¦P�58O89�E�Mq¹yMq:D. YA9�5872E·GLM>7DG+OC: J�*-72J�O8�2?29�E�G+KNM\G%K29�58E%9�5CG+K29�)�*-7�M>7M>E·G+9�)+*-58?�*>)�G+KNM\G�*5� ��*-EF5CG+9 EF58?29�E�*-, K258E�JqM\§N587�M\)+9 M>J�J�9�O89�)LM\G+5872� Mq¹yMq:¦,[)+*-P *-729]M>72*>G+K29�)q.I'*-P�9�7DG+E�O[M\G+9�)�K29�BD9�)+5!�N9�E$G+KNM\G�K258E$§�*>§NE�KNMqBD9 k�o\l�P�*�BD9�? M6�1M\)FGq.�YA9�72J�9XK29�P��2E·G�§�9�587G+K29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O��N9�O8? *-,�M>7�M>E·G+9�)+*-58?a.:;Q / ±\«D­hc /���� - � e

¥¨KNM\G�¹6*-�2O8?xK29%KNMqBD9%J�*-72J�O8�2?29�?�58, K29�KNM>?x,=*-�272?xG+KNM\G�K258E�§�*>§NE?��*-587DG+9�?�� ��>��,[)+*-PM�E���*>G G+K25C)FGH: :²M\)+?2E�?258E·GLM>7DG�FRyK258E�9 < M>P��NO89]EFK2*�¹�EXG+KNM\G�M �>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O �N9�O8? 58EX�-9�729�)LM>O8OC:¨k�o\ly9 � �25CB>M>O89�7DG�G+*ºM>7

M>J�J�9�O89�)LM\G+5872��,[)LM>P�9�*-,�)+9�,=9�)+9�72J�9>. ;N)+*-P G+K29A(�)+5872J�5!�NO89�*-,a� � �25CB>M>O89�72J�9�¹69AP�9�)+9�OC:XJ�*-72J�O8�2?29G+KNM\G �NKD:³EF58J�E�587QM>7QM>J�J�9�O89�)LM\G+5872�%,[)LM>P�9�*-,¡)+9�,=9�)+9�72J�9$P��2E·G�O8* *>»�O85C»D9I�NKD:³EF58J�E6587QM8�1M\)FG+58J��2O[M\)GH: ��9�*-,2�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O5�N9�O8?a.�YA*�¹69�BD9�)q�\G+K258E *>§NEF9�)FB>M\G+58*-7�EF�2�-�-9�E·G+E�M�E·GF)LM\G+9��>:�,=*>)�?258EFJ�*�BD9�)+5872�K2*�¹ G+K25872�-EQ§�9�KNMqBD9�587vM�E·GF)+*-72�µ�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>OI�N9�O8?A@º¹69��2)+E·G ¹6*>)F»g*-�³GQG+K29'9 � �NM\G+58*-72E�-*�BD9�)+725872� P�*>G+58*-7x587�G+K29�M\§NEF9�72J�9�*-,�M��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O �N9�O8? fz¹�K258JLKx¹69��272?29�)+E·GLM>72?1i�¹�K29�7)+9�,=9�)F)+9�? G+*�M 72*-7 ¼/58729�)FG+5[M>O,[)LM>P�9�*-,�)+9�,=9�)+9�72J�9>.XRyK258E�58E�M �N�³)+9�OC:�PQM\G+K29�PQM\G+58JqM>O 9 < 9�)+J�58EF9>.RyK29�9 � �NM\G+58*-72E�¹69�?29�)+5CBD9 ¹�58O8ONJ�*-7DGLM>587XG+9�)+P�E�M>EFEF* J�5[M\G+9�?X¹�5CG+K �NEF9��2?2*\¼/,=*>)+J�9�Ey�-9�729�)LM\G+9�?X§²:*-�³)�M>J�J�9�O89�)LM\G+5872��,[)LM>P�9A*-,d)+9�,=9�)+9�72J�9>.y¤ 5872J�9$G+K29�)+9$58E6)+9qM>O8OC:Q72*��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O �N9�O8? �2)+9�EF9�7DGq�G+K29�EF9?�NEF9��2?2*\¼/,=*>)+J�9�G+9�)+P�E�¹�58O8O2§�9 )+9�E·GF)+58J�G+9�?Q587�,=*>)+P�.RyK29?�NO[M>7�58E�G+*�*>§2GLM>587�9 � �NM\G+58*-72E�,=*>)�NKD:³EF58J�E�587]G+K298�2)+9�EF9�72J�9%*-,�M�GF)+�29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O��N9�O8? §²: O858,[G+5872��G+K29�EF9�)+9�E·GF)+58J�G+58*-72E�.� � ��&'��"������q& � ��&'�$����� � �������������|�

¥¦9�E·GLM\)FG�§²:X?258EFJ�*�BD9�)+5872�%¹�KNM\G�G+K29�O[Mq¹�E�*-,�9>. P�.DM>72?�P�9�JLKNM>7258J�E�O8* *>»�O85C»D9 587QM�72*-7 ¼/58729�)FG+5[M>O,[)LM>P�9>. ��9�G�� � 4 §�9�EF�2JLK�M�72*-7 ¼/58729�)FG+5[M>O²,[)LM>P�9�M>72? � 4 M>7%58729�)FG+5[M>O²,[)LM>P�9>. RyK29�7�9qM>JLK �2)+58P�9�?J�* *>)+?2587NM\G+9�58E�M�EFP�* *>G+K],=�272J�G+58*-7:� � 4 f�� 8 i6*-, G+K29�,=*-�³)�58729�)FG+5[M>OaJ�* *>)+?2587NM\G+9�E�.���9�G��54af � i�§�9M>7 M\)F§N5CGF)LM\)F: GF)LM (·9�J�G+*>)F:�G+K³)+*-�2�-K'E��1M>J�9|¼uG+58P�9�M>72? �$f��54³i�M>7 M\)F§N5CGF)LM\)F:�EFJqM>O[M\)�,=�272J�G+58*-7�*-,G+K29�58729�)FG+5[M>OdJ�* *>)+?2587NM\G+9�E��54�.�RyK29�7�G+K29�)LM\G+9�*-, JLKNM>72�-9%*-, ��M>E���9�)+J�9�5CBD9�? §²:�M>7�*>§NEF9�)FBD9�)¹�K2*XP�*�BD9�E�M>O8*-72��G+K29$GF)LM (·9�J�G+*>)F: �54af � i658E

?��? � ) ?�54

? � � �� � 4 JML 4 � �� � 4 �� � �(�0�.��/R�8&C����� "��(��� &(�%'81 � '8� ">1 4����L���(���M*����.�0� � " *+���C�M�RV�� � ���%38�%���C��� &/R� ���0*��M� &C���%��*�/R��� �8&��*+����A&(� � &���!"$� � &C��� �M*+���01 47/R�8&&(�0/R��� �)� � �����01 �0/R�����C�M*+'8&(�%��� ��� �(� � � � ��(����� �!�01 4 �&1 � ���01 4����*+� ���(� 3+*�1 �(� � " � *����.�A/%� �*+��� ��� � ��� ���0*���� � &C���%��*�/R��� �8& �0&(�%��'�4 �� �T�%��� " ���C� ���*+��*����.�A/%� *+��� �6� � ��� �8V ��V(�0&(�%��'�48V

Page 43: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� � � � �5�(���$ � �;� ( �;�(* � �)�]���������������� ¹�K29�)+9�¹69�KNMqBD9�?29 �N729�?xG+K29�*>§NEF9�)FBD9�)q� E?�\¼uBD9�O8* J�5CGH: L 4 J ?� 4 N ? � .�¤ 5872J�9�§²:]G+K29�JLKNM>587 )+�2O89

�� � 4 ) � � � 8� � 4 �� � � 8 f�S .8¶�i¹69�KNMqBD9

?��? � ) L 4 � � � 8� � 4 � �� � � 8 T��, ¹69�?29 �N729�G+K29�*>§NEF9�)FBD9�)q� E?�\¼uBD9�O8* J�5CGH: 587]G+K29�72*-7 ¼/58729�)FG+5[M>OA�2)+58P�9�? ,[)LM>P�9AG+*�§�9L � 8 J � � � 8� � 4 L 4 � f�S . S-i

G+K29�7 ¹69�PQMq:�¹ )+5CG+9?��? � ) L � 8 � �� � � 8 T� 7NM\G+�³)LM>O19 < G+9�72EF58*-7 *-,�G+K258E6M\)+�-�2P�9�7DG�O89qM>?2E6�2E�G+*�?29 �N729�G+K29?�2)+58P�9�?QJ�*-P���*-729�7DG+E�*-,

M>7D:]���BD9�J�G+*>) 4 M>E �-5CBD9�7 587]G+9�)+P�E *-,�G+K29��27 ¼ �2)+58P�9�?�J�*-P���*-729�7DG+Ey§²: � 8 J � � � 8� � 4 4 T f�S .WVDi

A*>G+9�G+KNM\G�58,�G+K29<�2)+58P�9�? ,[)LM>P�9�¹69�)+9X58729�)FG+5[M>On�d¹69�¹6*-�2O8?ºKNMqBD9<� � 8 ) � 8+ / 684 �54�f�� 8+ M

J�*-72E·GLM>7DG �\¼uBD9�J�G+*>)|i|�-EF*$G+KNM\G � � � 8 N � �54 ) 684 M>72?�G+K296GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7 f�S .WVDid¹6*-�2O8?�)+9�?2�2J�9G+*�M�E·GLM>72?NM\)+?���*>)+9�7DG+��GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7]*-,�M>7 ���BD9�J�G+*>)q.

��, L 4�M>72? � 4 M\)+9�GH¹6* ��ºBD9�J�G+*>)+E�� M>O8O�58729�)FG+5[M>O*>§NEF9�)FBD9�)+E�¹�58O8OM>�>)+9�9X*-7�G+K29�B>M>O8�29�*-,G+K29�EFJqM>O[M\)

��J f 4 8 � 4 L 8 T f�S . �²iYA*�¹ JqM>7x¹69%)+9�J�*�BD9�)$G+K258E�7²�2P�§�9�)�,[)+*-P G+K29E�2)+58P�9�?'J�*-P���*-729�7DG+E L � 4 M>72? � � 4 F ;�5C)+E·GA¹699 < �2)+9�EFE L 4]587]G+9�)+P�E *-, L � 4 .¥¦9��2EF9�G+K29�JLKNM>587])+�2O89�G+*X9 < �2)+9�EFE�?� � 4 M>E

?� � 4 ) � � � 4� � 8 ?� 8 T f�S .TS-i�$5CB³58?25872��§²:]?� � � M>72? �2)+* J�9�9�?25872�XG+*�G+K29�O858P�5CGy?� � � � U�M\G�� < 9�? B>M>O8�29�E *-, M>O8OaG+K29�*>G+K29�)J�* *>)+?2587NM\G+9�E��2¹69��-9�G

� 4� ) � � � 4� � � � ) � � � 4� � 8 � � 8� � � � T f�S .3VDiRyK²�2E G+K29�PQM\GF)+5 < � � 8 N � � � � 58E G+K29 587DBD9�)+EF9 *-,�G+K29 PQM\GF)+5 < � � � 4 N � � 8 . (�)+9�P��2OCG+5!�NOC:³5872�9 � �NM\G+58*-7¦fuS-i�§²:]G+K258E PQM\GF)+5 < ¹69�EF*-OCBD9�,=*>) L 4,@

L 4 ) � �54� � � 8 L �8 T f�S . ^-i

@AEF5872��G+K258Ey)+9�O[M\G+58*-7]G+*X9�O858P�587NM\G+9�G+K29��27�2)+58P�9�?�J�*-P���*-729�7DG+E ,[)+*-P f�S . �²i�¹69��-9�G� ) � f 4 8 � �54� � � � �

� 8� � � � � � �

� L � � T

Page 44: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� (*����$����X! ���"$�( ��$ �5�(���$ � �;� (��;�(* � �)� ���������������� � ���, ¹69�?29 �N729

� �� � J f 4 8 � �54� � � � �� 8

� � � � � f�S .�Di¹69�KNMqBD9

� ) � �� � � � � L � � T f�S .��Di��5C»D9 f � � G+K29%�-9�729�)LM>O>= / ¬�±\­h«�¬ / ® c�`1± � �� � 58E�E·:³P�P�9�GF)+58J>� � �� � ) � �� � . YA*�¹69�BD9�)q�¡5CG�58E72*>G6729�J�9�EFE+M\)+58OC:�?25[M>�-*-7NM>On. �HG�58E�JqM>O8O89�?�G+K29�P�9�GF)+58JyG+9�72EF*>)6§�9�JqM>�2EF9A5CG6M>O8O8*�¹�E��2E�G+*%JqM>O8J��2O[M\G+9

G+K29�O89�72�>G+K2E *-, BD9�J�G+*>)+E EF�2JLK'M>E L � � .¥¦9�PQMq: �2EF9 � �� � G+*XO8*�¹69�)�5872?258J�9�E��

L �� J�� �� � L � � T f�S .8¶�UDi��9�G � � 4 8 §�96G+K29�G+9�72EF*>)¹�K258JLK�)LM>58EF9�E5872?258J�9�E�.�RyK29�7�587�*>)+?29�)G+KNM\G�G+K29y*5��9�)LM\G+58*-72E�*-,N)LM>58EF5872�M>72?�O8*�¹69�)+5872��§�9�P��³G+�NM>Oa587DBD9�)+EF9�E ¹69�)+9 � �25C)+9$G+KNM\G�,=*>)AM>O8O L � 4

�4� L � � ) L � 4 ) � � 4 � � � � � L � � T

5n. 9>.2G+KNM\G � � 4 � � �� � )�� 4� M>72?�K29�72J�9�G+KNM\G � � 4 � 58EyG+K29�587DBD9�)+EF9�*-, � � � � .:;Q / ±\«D­hc /���� ��� e

¤ K2*�¹ G+KNM\G G+K258E ?29 �N725CG+58*-7�*-, � � 4 � 58E 9 � �25CB>M>O89�7DG G+*�G+K29�?29 �N725CG+58*-7� � � � ) � � � �� � 4 �

� � �� � 8 f 4 8 T f�S .8¶-¶�i

¤ 58P�58O[M\)+OC:D� 58, ,=*>)�M>7D: G+9�72EF*>)+E . M>72? � ¹69�?29 �N729/ � � � J � � � �� � 4 �

� � �� � 8 / 4 8 M>72? � � � � J � �54� � � � �

� 8� � � � � 4 8 � f�S .8¶�S-i

¹69 9�72EF�³)+9ºG+KNM\G]G+K29K�2)+58P�9�?�*>§NEF9�)FBD9�)�¹�58O8O�§�9¦M\§NO89�G+*�JqM>O8J��2O[M\G+9�G+K29 EFJqM>O[M\) � �NM>7DG+5CG+589�E/c4 8 L 4 � 8 M>72?�� 4 8 L 4 � 8 ,[)+*-P �2)+58P�9�? � �NM>7DG+5CG+589�E�.�RyK29��-9�729�)LM>O858�qM\G+58*-7]G+*XG+9�72EF*>)+E�*-,�M\)F§N5 ¼GF)LM\)F:Q)LM>7³»]58E�*>§²B³58*-�2E�.

:;Q / ±\«D­hc /���� � � e¤ K2*�¹ G+KNM\G�58, � � 4 M>72? � � � 4 M\)+9$GH¹6*�72*-7 ¼/58729�)FG+5[M>Od,[)LM>P�9�E��³G+K29�GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7 )+�2O89�E

L � � 4 ) � � � � 4� � � 8 L �8 � L � �4 ) � � � 8� � � � 4 L � 8 f�S .8¶.V-MDi

/ � � 4 8 ) � � � � 4� � � � �� � � 8� � � � / �

� � 9�G+J f�S .8¶.V\§¡iM6� �NOC:D. YA587DG @ ?25CB³58?29�f�S .TS-i�§²:�?� � � � G+*�*>§2GLM>587XMA)+9�O[M\G+58*-7�9 � �25CB>M>O89�7DGG+* � � � � 4� � � � � �� � � 8 ) � � � � 4� � � 8 � .

Page 45: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� ��������� � � � �5�(���$ � �;� ( �;�(* � �)�]���������������� A*>G+58J�9�G+KNM\G�G+K29�)+9�58E�M>7 9qM>E·:'¹yMq:xG+* �N�-�³)+9X*-�³G$¹�K29�G+K29�)�G+*]P��2OCG+5!�NOC:�§²: � � 4 N � � � 8*>)6§²: � � � 4 N � � 8 ¹�K29�7 GF)LM>72EF,=*>)+P�5872��M>7 *>§ (·9�J�G � 4 �����2*>)�� 4 ����� @���,aG+K29��2)+58P�9AM\)+9A�� *-7QG+K29O89�,[Gq�A�N�³G�G+K29�P ��º*-7'G+K29�)+58�-KDG$§²:'�2EF5872� � � � 4 N � � 8 ��58,G+K29��27�2)+58P�9�E�M\)+9���º*-7�G+K29�O89�,[G�N�³G G+K29�P#*-7]G+*5� *-7 G+K29$)+58�-KDGy¹�5CG+K � �54 N � � � 8 .�RyK29�*>G+K29�) »³5872?]*-,�5872?29 < 587 G+K29�9 � �NM\G+58*-7¹�58O8O ^·JqM>72J�9�O�*-�³G'`�(·�2E·GAM>E 587 *>)+?2587NM\)F:]P��2OCG+5!�NO858JqM\G+58*-7 *-, ,[)LM>J�G+58*-72E�.�RyK29�EF9�)+�2O89�E�9 < G+9�72? 587

G+K29�*>§²B³58*-�2Ey¹yMq: G+*X?2*�¹�7 BD9�J�G+*>)+E�.RyK29%P�9�GF)+58J$G+9�72EF*>) � �4 8 9�7NM\§NO89�E��2E�G+*XJqM>O8J��2O[M\G+9�G+K29�O89�72�>G+K � *-,M>7D: J��³)FBD98� � 4 f �¡i6587

E��1M>J�9|¼uG+58P�95@��J � �

� ? � ��� � �4 8 ?� � 4? �?� � 8? � ��� T f�S .8¶ �²i

��,�G+K29�J��³)FBD9�58E�G+58P�9|¼/O85C»D9>� � 58E$(·�2E·G % G+58P�9�E$G+K29X9�O[M6�NEF9�� � *-,�G+58P�9�*-7 G+K29�¹yM\G+JLK¦*-,�G+K29*>§NEF9�)FBD9�)�¹�K2*-EF9 GF)LM (·9�J�G+*>)F: � � 4 f �¡i58E�. ��,¡G+K29�)+9�58E�M>7�58729�)FG+5[M>ON,[)LM>P�9�587X¹�K258JLK M>O8O2G+K29���*-587DG+E*-7¦G+K29QJ��³)FBD9QKNMqBD9�G+K29QE+M>P�9XB>M>O8�29Q*-,�� + � � J�*-5872J�58?29�E�¹�5CG+KºG+K29QO89�72�>G+K�*-,6G+K29QJ��³)FBD9 M>EP�9qM>EF�³)+9�?�¹�5CG+K�P�9�G+9�)d)+�2O89�E 9�G+J�§²:�M>7%*>§NEF9�)FBD9�) ¹�K2*�58E E·GLM\G+58*-7NM\)F:$587�G+KNM\G �2)+5CB³58O89��-9�?�,[)LM>P�9>.¥¦9�EFKNM>O8O1JqM>O8O � G+K29�ª��µ® / [ ªN±�ª*= / ¬ / ±AM>O8*-72��G+K29�J��³)FBD9AM>72?��2EF9�5CG�G+*�JLKNM\)LM>J�G+9�)+58��9?��*-587DG+E*-7]G+K29�J��³)FBD9>�1K29�72J�9�¹69�¹ )+5CG+9�� � 4 f � i|.& ��� :�� < ª2¬�­z`¡®g`�;=º`N¬�­z`¡®v­h®gª¦® `¡® , ­h® / ±�¬�­zª Z �/±�ª*= /¥¦9A72*�¹��2EF9AG+K29��2)+5872J�5!�NO89$*-,dO89qM>E·GyM>J�G+58*-7QG+*�*>§2GLM>587QG+K29A9 � �NM\G+58*-7Q*-,dP�*>G+58*-7�*-, M%JLKNM\)+�-9�?�1M\)FG+58J�O89�587�M�J�)LM>��:]J�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P�.���7]G+K258E�,[)LM>P�9AG+K29%M>J�G+58*-7¦f V³. �²i�)+9qM>?2E

� ) � 0+ ? � � G % + % G � �4 8 ?� � 4? �?� � 8? � / � ?� � 4? � �4 � � f�S .8¶ S-i

M>72? G+K29�����9 � 7]G+*�¹�K258JLK�5CG �-5CBD9�E )+58EF9�58EU ) ?

? �� % + � ���4 ?� � 4? � / � �� � G % + % �� � 4 �� � 8

S O G � �� � �� � � �� � � � � �4 8� � � � G �?� � 4? � � �4� � � � � f�S .8¶�VDi

¹�K29�)+9�M$?2*>G�?29�72*>G+9�E�?25! �9�)+9�7DG+5[M\G+58*-7�¹�. )q. Gq. �d.U�AE�587]´�V³.8¶-�-¹69 P��2OCG+5!�NOC:%G+K³)+*-�2�-K�§²:�? � N ? � �*>§2GLM>58725872�

U ) ?? � � % + � ���4 ?� � 4? � / � �� � G 0R % + ?� � 4? � ?� � 8

? � � � �4 8� � � � G �?� � 4? � � �4� � � �) % +�� � ���4 ? R � � 4? � R / ?� � 4

? � ?� � 8? � � � � ���4� � � 8 G 0R � � �4 8� � � � ��� / �

?� � 4? � � � ��� � � 4 G � �4� � � � �

f�S .8¶�^-i

��, ¹69�72*�¹°?29 �N729/ �4 � J � � ��� � � 4 G � �4� � � � � � � �4 8 � � J 0R � � � ���4� � � 8 / � � �� 8� � � 4 G � � �4 8� � � � � � f�S .8¶ Di

G+K29�7�f�S .8¶�^-i�GLM\»D9�EyG+K29�EF�2�-�-9�E·G+5CBD9�,=*>)+P

U ) � ���4 ? R � � 4? � R / ?� � 4? � ?� � 8

? � � �4 8 � � / �% + ?� � 4? � / �4 � T f�S .8¶ �Di

Page 46: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � � � � �������"$�(A$�� � $ ���"$�( � (_�V(*$�( ��� (* � �����)� ��� ��� � �_�` Q � e � ª Z «X< Z ª2¬�­h®+* � � ±\­hc�¬�`�� /�Z � � = � ` Z c

��7gG+K29'JqM>EF9 � ) U³�yG+K29��2)+E·G]O858729x*-,�9 � f�S .8¶�^-i�58EQ9 < M>J�G+OC: ¹�KNM\GQ¹69x¹6*-�2O8?v�-9�G 58,¹69%M6� �NO8589�? G+K29����¦9 � �NM\G+58*-7]G+* � ? � � �4 8 fh?� � 4 N ? � i�fh?� � 8 N ? � i|.�RyK258E�,zM>J�G�58Ey¹6*>)FG+K])+9|¼P�9�P�§�9�)+5872�AM>E�5CG *-,[G+9�7 �2)+*�B³58?29�E G+K2969qM>EF589�E·G ¹yMq:�G+*AJqM>O8J��2O[M\G+9�G+K29 ¸6K³)+58E·G+*5 �9�O E·:³P�§�*-O8E��¹�K258JLK]M\)+9�G+K29�J�* 9&a�J�589�7DG+Ey*-,,�2)+* ?2�2J�G+E6*-,aBD9�O8* J�5CGH:XJ�*-P���*-729�7DG+E�¹�K29�7QG+K29A?29�)+5CB>M\G+5CBD9�E587'f�S .8¶�^-i�M\)+9y¹6*>)F»D9�?XG+K³)+*-�2�-Ka. A*>G+9>�²K2*�¹69�BD9�)q�²G+KNM\G�¹69�KNMqBD9�72*%M��2)+58*>)+5�(·�2E·G+5!�NJqM\G+58*-7,=*>)�M6� �NOC:³5872� G+K29X��� 9 � 7�G+* G+K258E�587DG+9��>)LM>On��G+K29<�2)+* J�9�?2�³)+9�58E)(·�2E·G�M>7ºM>O8�-9�§2)LM>58J�GF)+58J+»G+KNM\G�58E (·�2E·G+5!�N9�?�§²:]*-�³)�?29�)+5CB>M\G+58*-7 *-,6f�S .8¶�^-i|.

R *XJ�O89qM>7 ��x*-�³)AM>J�Gq�³¹69�?29 �N729�� ¹�5CG+K�M>7 5872?29 < ��'M>E� � 4 ��� J�� � 4 8 � � ��� � 8 ) 0R � � 4 8 � � � �8 �� � � � / � � �� 8� � � � G � � ����� � � 8 � T f�S . S>UDi

A*>G+58J�9�G+K29?�1M\GFG+9�)+7 *-,�G+K258E�58P���*>)FGLM>7DG�,=*>)+P��2O[M@ G+K29�G+K³)+9�9�G+9�)+P�E�587�f T T T i�M\)+9 (·�2E·G6G+K29��2)+E·G?29�)+5CB>M\G+5CBD9$*-, � ¹�5CG+K G+K29�5872?258J�9�E J�:³J�O858JqM>O8OC: ��9�)+P��³G+9�?a.�RyK29�P�587²�2E M>EFEF58�-7�M\GFGLM>JLK29�EyG+*�G+K29G+9�)+P ¹�K258JLK �>)+*-��NE6G+K29A5872?258J�9�E6587QG+K29AE+M>P�9�¹yMq:QM>E���. A*�¹�P��2OCG+5!�NOC:³5872��9 � �NM\G+58*-7 f�S .8¶ �DiG+K³)+*-�2�-K §²: � � ��� M>72? ¹ )+5CG+5872� L � 4 J ?� � 4 N ? � �2¹69�JqM>7 ¹ )+5CG+9�5CG

? L � �? � ) G � � �4 8 L � 4 L � 8 / �% + / � � 4 L � 4 T f�S . S ¶�i

RyK258E�9 � �NM\G+58*-7�)+9�O[M\G+9�E$G+K29XM6� �1M\)+9�7DG�M>J�J�9�O89�)LM\G+58*-7 587 *-�³)�72*-7 ¼/58729�)FG+5[M>O,[)LM>P�9�G+* G+K29X9>. P�.,=*>)+J�9��-5CBD9�7X§²:�G+K29�EF9�J�*-72?�G+9�)+P *-7XG+K29y)+58�-KDGq� M>72?QM��NEF9��2?2*\¼/,=*>)+J�9A�-5CBD9�7�§²:�G+K29��2)+E·G�G+9�)+P�.RyK29��2)+5872J�5!�NO89$*-,�9 � �25CB>M>O89�72J�9$EF�2�-�-9�E·G+E6G+KNM\Gy�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O1,=*>)+J�9�Ey¹�58O8O1GLM\»D9�G+K29$E+M>P�9A,=*>)+PM>E �NEF9��2?2*\¼/,=*>)+J�9�E�.�RyK²�2E��ZEFK2*-�2O8? �NO[Mq:ºG+K29 E+M>P�9�)+*-O89 ,=*>)�G+K29 �>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O �N9�O8?�M>E .?2* 9�E�,=*>)�G+K29%9>. P�. �N9�O8?a. A*>G+58J�9�G+KNM\G�¹�K29�)+9�G+K29%9>. P�.1,=*>)+J�9%58E�*>§2GLM>58729�?�§²: J�*-7DGF)LM>J�G+5872� .¹�5CG+K . �aG+K29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O ,=*>)+J�9�58E�*>§2GLM>58729�?�§²:'J�*-7DGF)LM>J�G+5872����¹�5CG+K�l��o J�*5�N589�E�*-, . @A587� �NM>7DG+�2P P�9�JLKNM>7258J�E�5CG�,=*-O8O8*�¹�E�,[)+*-P�G+K258E$G+KNM\G�¹�K29�)+9qM>E8�NK2*>G+*-72E%M\)+9XE��N587 ¼/*-729 �1M\)FG+58J�O89�E���>)LMqB³5CG+*-72E%fhO85C»D9�OC:QG+*�§�9�?29�G+9�J�G+9�?�¹�5CG+K2587 S�:D9qM\)+E�� i�M\)+9�E��N587 ¼uGH¹6* �1M\)FG+58J�O89�E�. �AE�58E )+9 � �25C)+9�?§²: G+K298�2)+5872J�5!�NO89�*-, 9 � �25CB>M>O89�72J�9>�NG+K29�JLKNM\)+�-9|¼uG+*\¼/PQM>EFE )LM\G+58*�,=*>)��>)LMqB³5CGH: 58E��2725CGH:D.

�Z58E�JqM>O8O89�?ºG+K29 � � ±\­hc�¬�`�� /�Z c � = � ` Z .�;N)+*-P 5CG+E%?29 �N725CG+58*-7¨f�S . S>UDi�5CG�58E%E·:³P�P�9�GF)+58J587º5CG+E��2)+E·G�GH¹6* 5872?258J�9�E�.��°JqM>7272*>G�§�9�M G+9�72EF*>)%EF5872J�9QM>O8O5CG+E�J�*-P���*-729�7DG+E%M\)+9X��9�)+*�587ºM>758729�)FG+5[M>O�,[)LM>P�9>�aEF* 58,�5CG$GF)LM>72EF,=*>)+P�9�?�O85C»D9�MQG+K25C)+? ¼u)LM>7³»xG+9�72EF*>)q� M>O8O 5CG+E$J�*-P���*-729�7DG+E$¹6*-�2O8?§�9���9�)+*X587xM>7D:]J�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P�. A*>G+58J�9�,[)+*-P f�S . S>UDi�G+KNM\G G+K29�)+9�O[M\G+58*-72EFK25!��§�9�GH¹69�9�7��M>72? *xP�5C)F)+*>)+E�G+K29�)+9�O[M\G+58*-72EFK25!� §�9�GH¹69�9�7 . M>72?��'� G+KNM\Gy58E�� *x58E�G+K29���*>G+9�7DG+5[M>O¡,=*>) �>)LMqB³5CGH:587]G+K29�E+M>P�9A¹yMq: G+KNM\G � 58EyG+K298��*>G+9�7DG+5[M>Od,=*>)�9�O89�J�GF)+*-PQM>�-729�G+58EFP�.

469�O8*�¹¨¹69A¹�58O8O �N72? 5CG6�2EF9�,=�2OaG+*�KNMqBD9�M>7 9 < �2)+9�EFEF58*-7],=*>)� 587 G+9�)+P�E�*-,�?2*-�³§NO89$?29�)+5CB>M�¼G+5CBD9�E�*-, G+K29%58729�)FG+5[M>O�J�* *>)+?2587NM\G+9�E�¹�5CG+K�)+9�E���9�J�G�G+*XG+K29%72*-7 ¼/58729�)FG+5[M>O *-729�E�.�;N)+*-P f�S .�Di M>72?f�S .8¶ Di�¹69�KNMqBD9

S � �4 8 � � ) f � � � �� � � 8� � � �� � � � �

� �� � � 4 � / �� � � 4

� � � �� � � � �� �

� � � 8 � G �� � � �� � � �� � � 4 �

� �� � � 8 ��� T

Page 47: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� � � � �5�(���$ � �;� ( �;�(* � �)�]���������������� ¥¨K29�7�¹69]?25! �9�)+9�7DG+5[M\G+9 G+K29�EF9 �2)+* ?2�2J�G+E���G+K29 GH¹6*�G+9�)+P�E��-9�729�)LM\G+9�?�§²:�G+K29]O[M>E·G<�2)+* ?2�2J�G¹�58O8O�9qM>JLKx§�9%JqM>72J�9�O8O89�?x§²:'M�G+9�)+P �-9�729�)LM\G+9�?x§²:�*-729%*-, G+K29E�2)+E·G�GH¹6* �2)+* ?2�2J�G+E�.ARyK29�GH¹6*)+9�PQM>58725872��G+9�)+P�Ey¹�58O8O�§�9�58?29�7DG+58JqM>On.�RyK²�2E ¹69�KNMqBD9

� �4 8 � � ) f � � � � �� � � � � R � �� � � 4 � � � 8 T f�S . S-S-i��M>58EF5872��G+K29�O[M>E·G 5872?29 < �N¹69�*>§2GLM>587

� � �4 8 J�� � ��� � �4 8 � � ) f �� � � � �� � �� � �� � � f � � � � �� � � � � R � �� � � 4 � � � 8 ) � � � �� � � � R � �� � � 4 � � � 8 T f�S . S5VDi

& ��� � ` . ªN±\­zª1®�¬ � ­ � / ± / ®�¬�­zª2¬�­z`¡®¥¦9�EFKNM>O8O¡729�9�?QG+*�J�*-P��1M\)+9�BD9�J�G+*>)+E6M\G�?25! �9�)+9�7DGI��*-587DG+E�*-7�G+K29�J��³)FBD9>.��7 M>7Q58729�)FG+5[M>O¡,[)LM>P�9G+K258EQ58EQ9qM>E·:,@�GH¹6*¦BD9�J�G+*>)+E M\)+9�G+K29xE+M>P�9x5! M>O8O G+K29�5C) J�*-P���*-729�7DG+E M\)+9�G+K29'E+M>P�9>. 46�³G587K�1M>EFEF5872� ,[)+*-P M>7 58729�)FG+5[M>O G+*�M 72*-7 ¼/58729�)FG+5[M>O�,[)LM>P�9�§²:'9 � �NM\G+58*-72E�f�S .WVDi|��¹69�JLKNM>72�-9�G+K29J�*-P���*-729�7DG+E$*-,�BD9�J�G+*>)+E$587�M ��*-EF5CG+58*-7 ¼/?29 ��9�72?29�7DG�¹yMq:D.�¤ *QGH¹6* BD9�J�G+*>)+E�G+KNM\G�M\)+9�9 � �NM>O 587G+K29�EF9�72EF9�G+KNM\G�587 M>7 58729�)FG+5[M>O ,[)LM>P�9�M>O8O G+K29�5C)�J�*-P���*-729�7DG+E�M\)+9�9 � �NM>On�dJqM>7 KNMqBD9�?25! �9�)+9�7DGJ�*-P���*-729�7DG+E�587µMx72*-7 ¼/58729�)FG+5[M>O�,[)LM>P�9>.x¥¦9 729�9�?�M�¹yMq:�*-,y?25[M>�-72*-EF5872�xG+K258E�J�*-72?25CG+58*-7�*-,K258?2?29�7x9 � �NM>O85CGH:D.

¤ �� ��*-EF9$G+KNM\G 587 M>7 58729�)FG+5[M>O�,[)LM>P�9A¹69$KNMqBD9�M%BD9�J�G+*>)I�N9�O8? � f Q i|.�4�:�f�S .WVDi�G+K258E6�-5CBD9�E)+58EF9�G+*]M�BD9�J�G+*>)��N9�O8? � � f Q � i�587�M 72*-7 ¼/58729�)FG+5[M>O ,[)LM>P�9>.8�AE�¹69��-*]M>O8*-72�]MQJ��³)FBD9HQ�f � i G+K29)LM\G+9�*-, JLKNM>72�-9�587]G+K29�BD9�J�G+*>)�*-,�G+K298�N9�O8?�58E�� J ?

? �� ) ?� � �

? � � �� � � � � f�S . S6�²i¹�K29�)+9�G+K29�M�a�729 �1M\)LM>P�9�G+9�) � 58EA?29 �N729�?�§²:�f�S .8¶ �²i|.�@AEF5872� f�S . ^-iy¹69�P�*�BD9�G+K29 � *-7xG+K29)+58�-KDG�587DG+*�G+K298�2)+58P�9�? E·:³E·G+9�P M>72?��-9�G� 4 ) ?� � �

? � �� � � � � �� 4

� � � � � � �) ?� � �? � � � �54� � � � �

� �� � � � / � R �54� � � � � � � � � � � T;�587NM>O8OC:D� �2)+9�P��2OCG+5!�NOC:³5872��§²: � � � 8 N � �54 M>72?��2EF5872�'f�S . S5VDi�¹69��-9�G� � 8 J � � � 8� � 4

� 4 ) ?� � �? � � � �� 8� � � � / � �

8� � � � � T f�S . S�S-i

f A*>G+58J�9�G+KNM\G � � 8 �NG+K29HE� ���J�*-P���*-729�7DGA587 G+K29 �2)+58P�9�?�E·:³E·G+9�PT*-, G+K29�BD9�J�G+*>) ��'�158E�p²}���k�}+p§²:�G+K258E�9 � �NM\G+58*-7a.��HG�P��2E·G%72*>G�§�9�J�*-72,=�2EF9�?º¹�5CG+K G+K29�)LM\G+9X*-,�JLKNM>72�-9X¹�5CG+K � *-,�G+K29 E� ��J�*-P���*-729�7DG�*-, � � .µ��7 f�S . S ¶�i|��§²:�J�*-7DGF)LM>E·Gq��? L � � N ? � 58E�(·�2E·G�G+K29])LM\G+9]*-,�JLKNM>72�-9�*-,�G+K297²�2P�§�9�) L � �a. i���, ¹69�?29 �N729�M�729�¹ GH: ��9�*-, ?29�)+5CB>M\G+5CBD9>�³G+K29%«-` . ªN±\­zª1®�¬ � / ±\­ . ª2¬�­ .*/ §²:

� 8� � J � � � 8 J � � 8� � � � / � �

8� � � � � f�S . S>VDi

Page 48: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � � �%$��&���'���)(*� � ��� ���(*���������"$�( � �G+K29�7�9 � �NM\G+58*-7¦fuS�S-i�JqM>7 §�9$¹ )+5CGFG+9�7

� � 8 ) ?� � �? � � � � 8 T f�S . S-^-i

RyK29QEF9�J�*-72?¦G+9�)+P 587ºG+K29Q?29 �N725CG+58*-7vf�S . S>VDi$*-,�G+K29QJ�*�B>M\)+5[M>7DG�?29�)+5CB>M\G+5CBD9XKNM>E%G+K29�,=*-O ¼O8*�¹�5872���NKD:³EF58JqM>O 587DG+9�)��2)+9�GLM\G+58*-7a.�;1*>)�9qM>JLK�B>M>O8�29%*-,����¡E+Mq:�� ) ¶-�1¹69%KNMqBD9�MXPQM\GF)+5 < � � 80 � .¥¨K29�7]¹69$P��2OCG+5!�NOC:XG+K258EyPQM\GF)+5 < §²: � �106¹69$*>§2GLM>587 G+K29$��*>)+9�7DG+�$GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7QPQM\GF)+5 < 9¹�K258JLK G+9�O8O8E��2E�§²:�K2*�¹ P��2JLK G+K29�E���9�9�?�M>72?º*>)+589�7DGLM\G+58*-7�*-,�G+K29�,[)LM>P�9��2EF9�?¦M\G Q ?25! �9�)+E,[)+*-P�G+KNM\G �2EF9�?'M\G�f�� + ���10 / � �10 ��� R ���32qi|. ���, � 58E�)+9qM>O8OC:�G+K29 E+M>P�9�M>O8O M>O8*-72� G+K29 J��³)FBD9>�yM>72? *-72OC:�EF9�9�P�E�G+*ºJLKNM>72�-9 §�9�JqM>�2EF9¹69 M\)+9]�2EF5872� M�72*-7 ¼/58729�)FG+5[M>O6J�* *>)+?2587NM\G+9]E·:³E·G+9�P���¹69]KNMqBD9 � � 8 ) U³��M>72?µG+K²�2E�G+KNM\G�G+K29^·�>)LM>?2589�7DG'` � � � 8 *-, � 8 9�5CG+K29�)�B>M>7258EFK29�E�*>)�58E#^ ��9�)���9�72?258J��2O[M\)'`�G+*�G+K29�?25C)+9�J�G+58*-7�?� � � N ? �587]¹�K258JLK ¹69%M\)+9�P�*�B³5872�2.

YA*�¹ ?2* 9�E � *5��9�)LM\G+9�*-7�?2*�¹�7 BD9�J�G+*>)+E F'¸6*-72EF58?29�)?? �f � 4 0 � 4 i ) ?� � �

? � �� � � � f � 4 0 � 4 i) ?� � �? �

� � � � 4� � � � � 0 � 4 / � 4 � �0 � 4� � � � � �) ?� � �

? �� $ � � � 4 & 0 �4 G � � 4� � � � 0 �4 / � 4 � 0 �4� � � � �) ?� � �

? �� $ � � � 4 & 0 �4 / � 4 � 0 �4� � � � G � � �� 4 � 4 0 �� � TRyK258E EF�2�-�-9�E·G+E�G+KNM\Gy¹69�?29 �N729

� � 0 �4 J � 0 �4� � � � G � � �� 4 0 �� f�S . S Di,=*>)yG+K29�7]¹69A¹�58O8O�KNMqBD9 � � f �4 0 � 42i ) 0 � 4 � � �4 / �4 � � 0 � 4 M>72? � ¹�58O8O�*5��9�)LM\G+9$*-7]EF�2JLK�2)+* ?2�2J�G+E�O85C»D9�M>7D:]*>G+K29�)�?29�)+5CB>M\G+5CBD9�*5��9�)LM\G+*>)q.

RyK29�E+M>P�9�M\)+�-�2P�9�7DG�M6� �NO8589�? G+* � �NM>7DG+5CG+589�E O85C»D9 � �4 8 � 4 0 � 8 O89qM>?2E G+*�G+K29$)+�2O89�E� �4 8 � � J � � � �4 8 J � � �4 8� � � � G � � �� 4 � � 8 G � � �� 8 � 4 � f�S . S �-MDi� � 4 8

� � J � � � � 4 8 J � � � 4 8� � � � / � � 4� � � � 8 / � � 8� � � 4 � T f�S . S �\§¡iA*>G+58J�9�G+KNM\G�9qM>JLK'5872?29 < )+9 � �25C)+9�EAM �a¼/E·:³P�§�*-On�1¹�5CG+K'M��NO8�2E�*>)$M�P�587²�2E�EF58�-7�M>J�J�*>)+?25872� M>EG+K29�5872?29 < 58E ��x*>)�?2*�¹�7a.� � &��.'8* �('����>�01 � ���(�%����� �0� ���� �)� �(�0* � �M'��0&(�%��*�1 � �%� � ��� �(���$&(�6/R� 3+*+��� *�&C� �(�%��� 3+*+��� 38�0� " ���M��" �.�0/R���� ���*+� 1 � 38�M� & �.->*�/R�0� �����(�%�����*�& �.->*�/R� ����� �!�8V#� &,���(�M��� �!->1 �0�.� /%*��.�� 1 � 38�0��� &,���(�!�5��� � �� �!�0&��� �8&*�1 �.->*�/R�� " /R�C�!->1 ���&��>�#"$�%���� " ��� � �� /E�7���(� *�&*�1 ��'��(�#� " * # �����0&C�������*�&� " ���<�M*+��� �8&6� � � �1 ��� ->1 � /%*+��� �8& "A47*�&(�����(�%�/R�C�!->1 ��M&��>�#"$�%���C��*04������ 0 V � �(��/R� 3+*+��� *�&C���(�%��� 3+*+��� 38��� � &(� ��� 4 ��� 4�� ����� 4 V � " :� � ���(� � *038� " �&/R��� �8&� " *)�.->� &����%�%���)->*+����� /%1 �#� " /E�*+��'�� � ��� 4 -��� 38�0�����)"$� ���(� ���%'��1 *+� �8V ��V(-$�����0&C��� *�1UV

Page 49: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� � � � �5�(���$ � �;� ( �;�(* � �)�]���������������� ��7µG+K29 E+M>P�9QE��N5C)+5CG�¹69 ?29 �N729]G+K29 *5��9�)LM\G+58*-7µ*-, � *-7µEFJqM>O[M\)+E�G+*x§�9]58?29�7DG+58JqM>O�¹�5CG+K�1M\)FG+5[M>Oa?25! �9�)+9�7DG+5[M\G+58*-7A@ � � � ) � �� � � �¥¨KNM\G�M>J�G+58*-7'?2* 9�E � KNMqBD9�*-7xG+K29�P�9�GF)+58J�G+9�72EF*>)�Fg¤ �� ��*-EF9�G+KNM\G � M>72?'_ M\)+9%GH¹6*

BD9�J�G+*>)E�N9�O8?2E�G+KNM\G�9�BD9�)F: ¹�K29�)+9QKNMqBD9�G+K29QE+M>P�9�J�*-P���*-729�7DG+E%587µM>7¦58729�)FG+5[M>O�,[)LM>P�9>.�RyK29�7� � � 4 ) � � 0 � 4 ) U³. �AO8EF* 4 0 4 ) � �4 8 � 4 0 � 8 58E�9�BD9�)F: ¹�K29�)+9�G+K29�E+M>P�9>.�YA9�72J�9%,=*>)AM>O8OJ��³)FBD9�E�� � f � iU ) ?

? � $ � �4 8 � 4 0 � 8 & T��9 �NO[M>J�5872��? N ? � ¹�5CG+K fh?� � � N ? � i � � M>72?]?25! �9�)+9�7DG+5[M\G+5872��9qM>JLK]5CG+9�P#587QG+K29A§2)LM>J+»D9�Gq�³¹69$�-9�G

U ) ?� � �? �

� $ � � � �4 8 & � 4 0 � 8 / � �4 8 $ � � � 4 & 0 � 8 / � 4 $ � � 0 � 8 & � �) ?� � �

? � � 4 0 � 8 � � � �4 8 T

¤ 5872J�9�?� � � N ? � � � 4 M>72? 0 � 8 M\)+9�M>O8O�M\)F§N5CGF)LM\)F:D�³5CG�,=*-O8O8*�¹�EyG+KNM\G� � � �4 8 ) U T f�S .WV-UDi��7 ¹6*>)+?2E��2G+K29]sLo\�\�>m|tn�>kNl�p²}�m|tz�\�>lntz�>}�o���l � }%¢�}�lnm|tus�lH}�k2{qo\m�t={%�>� ��>��{���}�m+o�.

��,8�54af � iX58E]M¦E·GF)LM>58�-KDG]O858729>��M>O8O�J�*-P���*-729�7DG+E *-,$G+K29 ^�GLM>72�-9�7DG BD9�J�G+*>)'`µ?�54 N ? � M\)+9J�*-72E·GLM>7DG 587¨M>7v58729�)FG+5[M>O�,[)LM>P�9>. YA9�72J�9�587¨M>7D:gJ�* *>)+?2587NM\G+9xE·:³E·G+9�P G+K29xGLM>72�-9�7DG BD9�J�G+*>)� � 4 f � i6*-, M�E·GF)LM>58�-KDG�O858729�E+M\G+58E��N9�E G+K29�*2. ?a. 9>.

U ) ?� � �? � � � ?� � 4? � T f�S .WV³¶�i

¤ �³§NE·G+5CG+�³G+5872��,=*>) � � G+K258Ey§�9�J�*-P�9�EU ) ?� � �

? � � �� � � �?� � 4? � / � � 4� � ?� � �? � �

) ? R � � 4? � R / � � 4� � ?� � �? � ?� � �

? �f�� � 4 f � i6M�E·GF)LM>58�-KDG�O858729>. i f�S .WVDS-i

:;Q / ±\«D­hc /���� � � e; §2GLM>587µf�S .WVDS-i�§²: 9 < GF)+9�P�58��5872��G+K29�587DG+9��>)LM>O�f�S .8¶ �²i�¹�5CG+K])+9�E���9�J�G�G+*XB>M\)+5[M\G+58*-72E *-, G+K29�1M\G+K � � 4 f � i|�NM�E·GF)LM>58�-KDG�O858729�58EyG+K29�O89qM>E·G�?258E·GLM>72J�9�§�9�GH¹69�9�7�GH¹6* ��*-587DG+E�.��7 G+9�)+P�E6*-,�J�*�B>M\)+5[M>7DG ?29�)+5CB>M\G+5CBD9�E�� A9�¹ G+*-7a� E6O[Mq¹ *-,�P�*>G+58*-7�f�¶-. �-�²i�M>72?]G+K29$I�M < ¹69�O8O

9 � �NM\G+58*-72E%f�¶-. � �Di�§�9�J�*-P�9 % + L � � � � L � 4 ) � � 4 � f�S .WV-V-MDi/ � 4 8�8 ) � +�� � 4 T f�S .WV-V\§¡i

RyK29�*>G+K29�)�O[Mq¹�E�*-,�9>. P�.1f V³.WVDS-iyf�¶-. � �Di )+9�PQM>587X�272JLKNM>72�-9�?�§�9�JqM>�2EF9�G+K29A¸6K³)+58E·G+*5 �9�ONE·:³P�§�*-O8E587DGF)+* ?2�2J�9�?�587��-*-5872��*�BD9�)�,[)+*-P �1M\)FG+5[M>O�G+*XJ�*�B>M\)+5[M>7DG�?29�)+5CB>M\G+5CBD9�E�PQM>�-58JqM>O8OC:�JqM>72J�9�On.:;Q / ±\«D­hc /�� � = � e(�)+*�BD9$G+KNM\G �4 � 8 G � 8 � 4 ) �4 � 8 G � 8 � 4 .

Page 50: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � (�� ���� ( � �R� �-&� � �& �,+ � <>=?=ºªN± �RyK29)+�2O89�E ,=*>)�GF)LM>72EF,=*>)+P�5872�y§�9�GH¹69�9�7%72*-7 ¼/58729�)FG+5[M>O-,[)LM>P�9�E M\)+9G+K29�E+M>P�9�M>EdG+K2*-EF9�,=*>) PQM\»³5872�)+9��-�2O[M\)���*>)+9�7DG+��GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7 ¹�5CG+K]G+K29�EF�³§NE·G+5CG+�³G+58*-72E

6 48 � � � � 8� � � � 4 � 6 4-8 � � � � � 4� � � 8 T RyK²�2E � �4 ) � � � 8� � � � 4 � 8 T

RyK29$I'587³»D*�¹�E·»³5aP�9�GF)+58J e 58E6)+9 �NO[M>J�9�?]§²:QG+K29$P�9�GF)+58J�G+9�72EF*>))* � ¹�K258JLK])+9�PQM>5872E6E·:³P�P�9�GF)+58J§N�³G�58E�72*xO8*-72�-9�)�5CG+E�*�¹�7¦587DBD9�)+EF9>�J�*-72EF9 � �29�7DG+OC: G+K29���³¼/���M>72?¦?2*�¹�7 ¼/?2*�¹�7µ,=*>)+P�E�*-, *M\)+9�587��-9�729�)LM>Od?258E·G+5872J�Gq.

��7�M�72*-7 ¼/58729�)FG+5[M>O�,[)LM>P�9VQgG+K29��1M\)FG+5[M>O�?29�)+5CB>M\G+5CBD9X*5��9�)LM\G+*>) � 4 J � N � � 4 EFK2*-�2O8?¦§�9)+9 �NO[M>J�9�? ¹�5CG+K]G+K29�J�*�B>M\)+5[M>7DG�?29�)+5CB>M\G+5CBD9�*5��9�)LM\G+*>) � 4 @

� 4 � ) � 4 � 8� 4 J � 4

8 ) � 4 8 / � 84 � � � � 4 0 8 � ) � 4 0 8 � / � 84 � 0 � � / � �4 � 0 8 �� 4 8 ) � 4 8 G � �4 8 � � � 4 0 8 � ) � 4 0 8 � G � �4 8 0 � � G � �4 8 0 8 �

RyK29�¸6K³)+58E·G+*5 �9�OdE·:³P�§�*-O �g58E

� 4 ��� ) 0R � 4 8 � � � 8 �� � � / � � � 8� � � G � � ���� � 8 � TRyK29�J�*�B>M\)+5[M>7DG�?29�)+5CB>M\G+5CBD9�*-,+* M>OC¹yMq:³EyB>M>7258EFK29�E @ � * ) U

� � �������|� �� � �$" � ���� � �'� � �q&'� ����q& ���������� �'������"X&'�

A*�¹gG+KNM\G�¹69�KNMqBD9�J�*-P��NO89�G+9�?�*-�³) �2)+*-�>)LM>P�P�9 ,=*>)6?258EFJ�*�BD9�)+5872�%¹�KNM\G �NKD:³EF58J�E6O8* *>»³E�O85C»D9�587M�72*-7 ¼/58729�)FG+5[M>Oa,[)LM>P�9>�³5CGy58E M��-* * ? 58?29qM%G+*�GLM\»D9$M%)+9�E·G ,[)+*-P�M>O8O¡G+K29�EF9�M>J�)+9�Ey*-,�5872?258J�9�E�M>72?EF�2P�PQM\)+58��9AG+K298�NKD:³EF58JqM>OdJ�*-7DG+9�7DG�*-, *-�³)�,=*>)+P��2O[M>9>.

¥¦9�KNMqBD9�?29 �N729�? � �NM>7DG+5CG+589�E � �4 8 ��" �4 � / �4 8 ��� �4 � � � 4��� 9�G+J ¹�K258JLK�9�7NM\§NO89��2E�G+*��2EF9AM�72*-7 ¼58729�)FG+5[M>O�J�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P Q � G+*<�N72?]G+K29�E��1M>J�9|¼uG+58P�9AGF)LM (·9�J�G+*>)F:Q*-, M�JLKNM\)+�-9�? �1M\)FG+58J�O89$587M>7�9>. P�..�N9�O8?a. ¥¦96?29 �N729�?�G+K29�EF9 � �NM>7DG+5CG+589�E 587�G+9�)+P�E *-,2G+K296P�*-P�9�7DGLM³�\9>. P�..�N9�O8?�G+9�72EF*>)9�G+J587 M>7Q�272?29�)+OC:³5872��58729�)FG+5[M>O1J�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P Q M>72?�G+K29�J�* *>)+?2587NM\G+9�GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7 Q � f Q i

Page 51: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� � �X� �d� �X����� � �;�$ � ���� ���* � � (�� ���� (����"�� � � � �������"$�(��G+KNM\G J�*-��NO89�E G+K29�58729�)FG+5[M>OdM>72? 72*-7 ¼/58729�)FG+5[M>OdE·:³E·G+9�P�E�.�46�³G ¹69�KNMqBD9�,=*-�272?�,=*>)+P��2O[M>9�f�S .8¶.VDiM>72? f�S . S>UDi¹�K258JLK 9�7NM\§NO89A�2E6G+*�JqM>O8J��2O[M\G+9�G+K29�B>M>O8�29�E � � �4 8 9�G+JA*-,�M>O8O¡729�9�?2,=�2O � �NM>7DG+5CG+589�E6587 MEF9�J�*-72?]72*-7 ¼/58729�)FG+5[M>O�J�* *>)+?2587NM\G+9AE·:³E·G+9�P ¹�5CG+K2*-�³G�)+9�,=9�)+9�72J�9$§1M>J+»QG+*%G+K29$58729�)FG+5[M>O¡E·:³E·G+9�P Q.

¤ 5872J�9Q¹69QEFKNM>O8O�72*'O8*-72�-9�)�729�9�?�G+*�)+9�,=9�)�J�*-72E·GLM>7DG+OC: G+*�M>7¦58729�)FG+5[M>O�E·:³E·G+9�P�� ¹69Q72*�¹?³)+*5�'G+K29�J�*-7DBD9�7DG+58*-7'G+KNM\G�G+K29��27�2)+58P�9�?'E·:³E·G+9�P Qµ58EA58729�)FG+5[M>On�¡,[)+*-P K29�)+9�*-7 �>�=��{|��{|lH}�¢�{�>m+}�lHo��|}��\{L{|r ¢�}+pQlHo��|}%k�o\k��Htzk�}�m|lntn�>��r kN�8}|{L{�}���� tus�tzln� �X{�1}Ls�t �6}+pQ�\{�tzk�}�m|lntn�>�3.

RyK29I�2)+5872J�5!�NO89�*-,¡9 � �25CB>M>O89�72J�9 EF�2�-�-9�E·G+EG+KNM\G�M$�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O��N9�O8?X¹�58O8O³O8* *>»�BD9�)F:�P��2JLKO85C»D9yM��NEF9��2?2*\¼/,=*>)+J�9�587XM>7XM>J�J�9�O89�)LM\G+5872��,[)LM>P�9y*-,N)+9�,=9�)+9�72J�9>.�RyK29�¸6K³)+58E·G+*5 �9�O2E·:³P�§�*-O �¦�-9�7 ¼9�)LM\G+9�E6G+K29��NEF9��2?2*\¼/,=*>)+J�9%M>EFEF* J�5[M\G+9�? ¹�5CG+K M>7 M>J�J�9�O89�)LM\G+5872��,[)LM>P�9>�2EF*�¹�K29�7�M��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O�N9�O8?�58E��2)+9�EF9�7DG ��¹�58O8O �NO[Mq:�G+K29�)+*-O89�*-,G+K29 A9�¹ G+*-725[M>7',=*>)+J�9 � .A¥¦9�KNMqBD9�58?29�7DG+5!�N9�?�G+K29P�9�GF)+58J!*�M>E6G+K29A)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J��-9�729�)LM>O858�qM\G+58*-7 *-,�G+K29 A9�¹ G+*-725[M>7 ��*>G+9�7DG+5[M>O � *-7 G+K29��>)+*-�272?G+KNM\G �gJqM>7 §�9$¹ )+5CGFG+9�7 587]G+9�)+P�E *-, ?29�)+5CB>M\G+5CBD9�E�*-,+* (·�2E·GAM>E � ) G � � .

��7 A9�¹ G+*-7a� E�G+K29�*>)F: � M>72? � M\)+9�)+9�O[M\G+9�?QG+*%G+K29A?29�72EF5CGH: ��*-,d�>)LMqB³5CGLM\G+5872�%PQM\GFG+9�)�B³5[M(�*-58EFEF*-7a� E%9 � �NM\G+58*-7gf �2.TS-i|. RyK29X)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J��-9�729�)LM>O858�qM\G+58*-7º*-,�f �2.TS-iAEFK2*-�2O8?º§�9QM�EF9�J�*-72? ¼*>)+?29�)?�d. ?a. 9>.N587 * �N*>)�9 � �25CB>M>O89�7DG+OC:D�NM<�2)+E·G·¼/*>)+?29�)?�d. ?a. 9>.N587���.�¥¨KNM\G�58EyG+K258E 9 � �NM\G+58*-7*F

¤ 5872J�9A¹69$JqM>7]PQM\»D9 � M>EyO[M\)+�-9AM>E6¹69AO85C»D9AEF58P��NOC:X§²:QJLK2* *-EF5872�XME��9�)FBD9�)+EF9$J�* *>)+?2587NM\G+9E·:³E·G+9�P��\5CG 58E J�O89qM\) G+KNM\G G+K29�GF)+58J+»�587E�N72?25872�AEF�25CGLM\§NO89 �N9�O8?�9 � �NM\G+58*-72E 58E G+*?�N72?�M�?25! �9�)+9�7DG+5[M>O*5��9�)LM\G+*>)�*-7 �Z¹�K258JLKµ?25! �9�)+9�7DG+5[M\G+9�EXMq¹yMq:�M>O8O�G+K29 J�*-7DGF)+5C§N�³G+58*-7�G+* � G+KNM\G�58E�JqM>�2EF9�?µ§²:P�9�)+9E��9�)FBD9�)+EF5CGH:'*-,�G+K29�J�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P�.�RyK29�»D9�:�G+* �N72?25872�]G+K258EA*5��9�)LM\G+*>)��2)+*�BD9�E$G+*§�9 M>7�9 < M>P�587NM\G+58*-7º*-,6G+K29Q�-9�*-P�9�GF)+58JqM>O)+9�O[M\G+58*-72EFK25!�NE%§�9�GH¹69�9�7�G+K29 O89�72�>G+K2E�*-,yO858729�E�M>72?G+K29�PQM>�-725CG+�2?29�Ey*-,�M>72�-O89�Ey§�9�GH¹69�9�7xO858729�E�.

¥¦9%KNMqBD9%EF9�9�7xG+KNM\G�G+K29%P�9�GF)+58J�G+9�72EF*>)A9�7NM\§NO89�EA�2E�G+*�?29 �N729%G+K29%O89�72�>G+Kx*-,M>7D:�J��³)FBD9587µE��1M>J�9|¼uG+58P�9>��M>72?�5874�1M\)FG+58J��2O[M\)�G+*'?29�G+9�)+P�58729QG+K³)+*-�2�-K�f�S .WVDS-i$¹�K258JLK�J��³)FBD9�EHQ � f � i%M\)+9E·GF)LM>58�-KDGq. A*�¹ EF�� ��*-EF9%¹69�?³)LMq¹ZM�E·GF)LM>58�-KDGAO858729�587'M���*>)FG+58*-7x*-,�E��1M>J�9�587�¹�K258JLKxG+K29�)+9�58E72*%�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O �N9�O8? M>72?XG+K29�7�?³)LMq¹�M��2725CG�J�5C)+J�O89�M\)+*-�272?�EF*-P�9���*-587DG�*-7XG+K258E�O858729>.RyK29�772*]PQM\GFG+9�)�¹�KNM\G�J�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P ¹69��2EF9�,=*>)$G+K29�JqM>O8J��2O[M\G+58*-72E���¹69�EFKNM>O8OS�N72?'G+KNM\G$G+K29O89�72�>G+K � *-,dG+K29$J�5C)+J��2P�,=9�)+9�72J�9�58Ey9 < M>J�G+OC: � ) V T ¶ �2¶ S � T T T G+58P�9�E�G+K29$O89�72�>G+K *-,dG+K29$J�5C)+J�O89>� E?25[M>P�9�G+9�)q. YA*�¹µJ�*-P�9CF]4�:�JLKNM>72�-5872��G+K29�J�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P ¹69�JqM>7%JLKNM>72�-9 *�M\G M>7D:��-5CBD9�7��*-587DG6G+*�M>O8P�*-E·GyM>7D:QB>M>O8�29 EF9�9�f�S .�Di u.¤ *�K2*�¹ J�*-P�9�G+KNM\G6¹�K29�7 ¹69$9�B>M>O8�NM\G+9AG+K29$587DG+9��>)LM>Of�S .8¶ �²i�*�BD9�)�GH¹6*�J�*-P��NO89�G+9�OC:]?25! �9�)+9�7DG�EF9�G+E�*-,���*-587DG+E��N¹69%M>OC¹yMq:³E �-9�GAM>72E·¹69�)+E�587 G+K29�E+M>P�9)LM\G+58* Fº�HGAP��2E·G�§�9%G+KNM\G!*¦M\GA*-729E��*-587DG�t={%k�o\l6tzk¡p²}�1}�k¡p²}�kNl�o��)* �>l6k�}�t8£ � �|o\r m|tzk £ 1o\tzkNlh{�@* P��2E·G�E+M\G+58EF,[: EF*-P�9�?25! �9�)+9�7DG+5[M>O�9 � �NM\G+58*-7a.���5872E·G+9�587a� E�58?29qM³�¡M>72?�5CG ¹yM>E��N�³)+9%PQM>�-58J>�³¹yM>EG+KNM\G�5CG�58E l � t={�?25! �9�)+9�7DG+5[M>O69 � �NM\G+58*-7¦¹�K258JLKµG+9�O8O8E��2E�G+KNM\G�G+K29�)+9 58E�72*��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O �N9�O8?�2)+9�EF9�7DGq�1*-72OC: M<��9�)FBD9�)+EF9�J�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P�.���9�G��2E��N72? G+K258E�?25! �9�)+9�7DG+5[M>Od9 � �NM\G+58*-7a.

RyK29�)+9�M\)+9 PQM>7D:��-9�*-P�9�GF)+58JqM>O�)+9�O[M\G+58*-72EFK25!�NE�587 M>?2?25CG+58*-7µG+*�G+K29]*-729 (·�2E·G�?258EFJ��2EFEF9�?¹�K258JLK *�P��2E·GQ,=�³)+7258EFKg58,�G+K29�)+9x58E�72*¦�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O��N9�O8? �2)+9�EF9�7DGq.C;1*>)Q9 < M>P��NO89>��G+K29�)+9M\)+9'¶ -U��Q587�M�GF)+5[M>72�-O89>. 46�³G�G+K29Q»D9�:ºG+*'G+K29 9 � �NM\G+58*-7¦¹69]M\)+9 EF9�9�»³5872�'G+�³)+72E�*-�³G�G+*x§�9EF*-P�9�G+K25872��EFO858�-KDG+OC: * ?2?a.�HG 58EyG+*�J�*-72EF58?29�) ¹�KNM\G�KNM6� ��9�72E ¹�K29�7 ¹69�EFO858?29�M�BD9�J�G+*>)�M\)+*-�272?M�J�O8*-EF9�?QJ��³)FBD9 ¹�K258O89y§�9�5872�%JqM\)+9�,=�2O172*>G�G+*�)+*>GLM\G+9yG+K29 BD9�J�G+*>)q. ��,¡¹69�?2*�G+K258E�*-7QM$GLM\§NO89>�DG+K29BD9�J�G+*>)AfnM���9�72J�58On�²E+Mq:Ni ¹�58O8O2§�9y§1M>J+»X587X5CG+E�*-O8?XJ�*-7�N�-�³)LM\G+58*-7QM\G�G+K29�9�72?�*-,1G+K29�9 < ��9�)+58P�9�7DG @

Page 52: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � � �>�*c! ��� �&��� ����H���(���$ � � �

46�³G�*-7�M�E��NK29�)+9�G+K25872�-E �-*X?25! �9�)+9�7DG+OC:,@

��7�,zM>J�Gq��*-7 M'E��NK29�)+9�*-,y)LM>?258�2E � �G+K29 M>72�-O89 G+K³)+*-�2�-Kµ¹�K258JLK M ��9�72J�58O6)+*>GLM\G+9�E�*-7µ§�9�5872�^ �1M\)LM>O8O89�O ¼uGF)LM>72E���*>)FG+9�?-`�M\)+*-�272?%M J��³)FBD9�58E�9 � �NM>O-G+*yG+K29�M\)+9qM 9�72J�O8*-EF9�?�§²:$G+K258E�J��³)FBD9�?25CB³58?29�?§²: � R .- ��� � / «X< ± . ª2¬ < ± / ¬ / ® c�`1±��, ¹69 �1M\)LM>O8O89�O ¼uGF)LM>72E���*>)FG�M�BD9�J�G+*>) ��M\)+*-�272?'M�J�O8*-EF9�?xJ��³)FBD9 Q�f � iy587�E��1M>J�9|¼uG+58P�9>�2¹69%KNMqBD9G+KNM\GAM\G�9qM>JLK���*-587DG�*-7 G+K29�J��³)FBD9 �Q 3 � � ) UxfzG+K258E�58E (·�2E·G$MXE·GLM\G+9�P�9�7DG�*-, G+K29%587DB>M\)+5[M>72J�9M>O8*-72��G+K29�J��³)FBD9�*-, �'� EyJ�*-P���*-729�7DG+E�587�M>7�58729�)FG+5[M>Oa,[)LM>P�9�i

U ) ?� �? � � � 4 ) ?� �

? � � � 4

� � � / � 4 ��� � � T fnV³.8¶�i

¸6*-72EF9 � �29�7DG+OC:D�2G+K29�G+*>GLM>OaJLKNM>72�-9�587 9qM>JLK�J�*-P���*-729�7DG 4 *-7 �-*-5872��M\)+*-�272?�58E

� 4 ) � 4

� � �?� �? �

? � ) G � 4 ��� � ?� �? � ? � T fnV³. S-i

��7 G+K258E�587DG+9��>)LM>O §�*>G+K � 4 ��� M>72? � M\)+9x,=�272J�G+58*-72EQ*-, � G+K³)+*-�2�-K Q�f � i|.vYA*�¹69�BD9�)q�y58,�¹69J�*-72EF58?29�)y*-72OC:�587�N725CG+9�EF58PQM>O1O8* *5�NE�¹69�PQMq:X9 < �1M>72? 9qM>JLK J�*-P���*-729�7DG6*-, � M>72?��#587 ��*�¹69�)

Page 53: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� ��������� � �X� �d� �X����� � �;�$ � ���� ���* � � (�� ���� (����"�� � � � �������"$�(��EF9�)+589�E�M\§�*-�³G�EF*-P�9���*-587DGq�NE+Mq: '�2*-7 G+K29�O8* *5� @

� 4 ��� f Q i ) � 4 ��� f i / f�� 8 G � 8 i � � 4 ���� � 8 /M3 3 3 4 f Q i ) 4 f i / f�� 8 G � 8 i � 4

� � 8 /M3 3 3fnV³.WVDi

I'�2OCG+5!�NOC:³5872� G+K29�EF9XGH¹6*x9 < �1M>72EF58*-72E%G+*-�-9�G+K29�)�M>72?¦EF�³§NE·G+5CG+�³G+5872�xG+K29X)+9�EF�2OCG�587DG+*�fnV³. S-i|��¹69�-9�G

� 4 ) G � � 4 ��� � ��� / � � 4 ��� � �� � 8 / � �� 4 ���� � 8 � � f��

8 G � 8 i / 3 3 3 � ?� �? � ? � T¤ 5872J�9 G+K29 �2)+E·GXE � �NM\)+9 §2)LM>J+»D9�GX58E�J�*-72E·GLM>7DGq��5CG�JqM>7µ§�9 GLM\»D9�7µ*-�³G+EF58?29 G+K29]587DG+9��>)LM>O6EF58�-7a.��7DG+9��>)LM\G+5872��5CG+EyJ�* 9&a�J�589�7DG ?� � N ? � M\)+*-�272?]*-�³) J�O8*-EF9�? J�*-7DG+*-�³)y¹69AG+K29�7]*>§2GLM>587]��9�)+*2.�RyK29EF9�J�*-72?¦E � �NM\)+9X§2)LM>J+»D9�G%PQMq: M>O8EF*]§�9XGLM\»D9�7º*-�³G+EF58?29�G+K29�587DG+9��>)LM>OEF58�-7a.���7DG+9��>)LM\G+5872�¦fnV³.8¶�iM>O8*-72�X*-�³)�J�*-7DG+*-�³)�¹698�N72?

� � 4

� � � ���� � $ � � G � � & ) G � � � 4 ��� � � $ � � G � � & / ; f � R i�� fnV³. �²iEF*�¹69�PQMq: 9�O858P�587NM\G+9Xf � 4 N � � 8 i6,[)+*-P fnV³.WVDi6M>72?��-9�G

� 4 ) � � 4 ��� � � 8 � � G � � 4 ���� � 8 � � � f�� 8 G � 8 i�?� � /M3 3 3) � � 4 ��� � � 8 � G � � 4 � �� � 8 � � � � 8 ?� � /M3 3 3

fnV³.TS-i

RyK29�587DG+9��>)LM>O8E 587�fnV³.TS-i�,=*>) ¹�K258JLK E ) ��B>M>7258EFK §�9�JqM>�2EF9%9qM>JLK�EF�2JLKx587DG+9��>)LM>Od58E EF58P��NOC:QG+K29JLKNM>72�-9�587 0R f�� �1i R *-7º�-*-5872��M\)+*-�272?ºG+K29XO8* *5�d. ;1�³)FG+K29�)+P�*>)+9>��¹�K29�7 � ') E¡��G+K29�587DG+9��>)LM>O� � 8 ?� ��58E�9 � �NM>O6587µPQM>�-725CG+�2?29]M>72?µ*5� ��*-EF5CG+9]587µEF58�-7�G+*'G+K29 587DG+9��>)LM>O� � �N?� 8 M>E�G+K258E�N58J�G+�³)+9�*-,�G+K29Qf�� �A��� 8 i �NO[M>729�EFK2*�¹�E @

¥¦9�?29 �N729�G+K29�?25C)+9�J�G+9�?xM\)+9qM�9�72J�O8*-EF9�?�§²: G+K29�O8* *5�]G+*�§�9�G+K29�M>7DG+58E·:³P�P�9�GF)+58J�G+9�72EF*>)��� 8 � J � 8 ?� � T fnV³.3VDi

Page 54: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � � �� �'���&�����"$�(_$��%���* ���"�� � � � �������"$�(�� � �RyK258E ?2*-729�¹69�PQMq:Q¹ )+5CG+9

� 4 ) � � 4 ��� � � 8 � G � � 4 � �� � 8 � � � ���8 � / T T T fnV³. ^-i

��7�G+K29�M\§NEF9�72J�9�*-,�M��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O,�N9�O8?a� � 4 ) UX,=*>)$M>7D: 4¡.I;1�³)FG+K29�)+P�*>)+9>�N§²:xM>7M6� �2)+*5�2)+5[M\G+9$JLK2*-58J�9�*-,�O8* *5� ��� 8 �]JqM>7]§�9$EF9�G 9 � �NM>O�G+*�M>7D: �-5CBD9�7 M>7DG+58E·:³P�P�9�GF)+58J G+9�72EF*>)q.��¤ *�5CG�58E�G+9�P��2G+5872��G+*'J�*-72J�O8�2?29 G+KNM\G�G+K29 E � �NM\)+9�§2)LM>J+»D9�G�587�G+K29 O[M>E·G�9 � �NM\G+58*-7¦B>M>7258EFK29�E�.YA*�¹69�BD9�)q�D¹�K29�7�¹69 J�*-7DGF)LM>J�G6M>7QM>7DG+58E·:³P�P�9�GF)+58J�G+9�72EF*>)�¹�5CG+KQM$G+9�72EF*>)�*-,¡P�5 < 9�?�E·:³P�P�9�GF)F:D�*-72OC:�G+K29QM>7DG+58E·:³P�P�9�GF)+58J<��*>)FG+58*-7º*-,�G+K29�P�5 < 9�? G+9�72EF*>)�J�*-7DGF)+5C§N�³G+9�E%G+*�G+K29�EF�2P�E�. YA9�72J�9,[)+*-P G+K29�B>M>7258EFK25872��*-, � 4X,=*>)yM\)F§N5CGF)LM\)F: 4�M>72? ��� 8 ��¹69�JqM>7 5872,=9�)y*-72OC:�G+K29�B>M>7258EFK25872�*-,�G+K29���*>)FG+58*-7�*-,�G+K29�E � �NM\)+9�§2)LM>J+»D9�G�G+KNM\G�58E�M>7DG+58E·:³P�P�9�GF)+58Jy*-7Q9 < JLKNM>72�-9�*-,]E�M>72? ��.�¥¦9G+K29�)+9�,=*>)+9�?29 �N729�G+K29%«X< ± . ª2¬ < ± / ¬ / ® c�`1±�M>E P�587²�2EyGH¹�58J�9$G+K258EI�1M\)FG *-,�G+K29�E � �NM\)+9$§2)LM>J+»D9�G587¦fnV³. ^-i

� 4� � 8 J � � 4 � �� � 8 G � � 4 8 �� � � / � 4 8 � � � � � G � 4 ��� � � 8 � � fnV³.�Di

M>72? )+9�¹ )+5CG+9�fnV³. ^-i6M>E � 4 ) G 0R � 4� � 8 � ��� 8 � /M3 3 3 fnV³.��Di¤ 5872J�9 � 4�58E�G+K29�?25! �9�)+9�72J�9�§�9�GH¹69�9�7'GH¹6*QBD9�J�G+*>)+EAG+KNM\G$M\)+9%§1M>EF9�? M\GAG+K29�E+M>P�9E��*-587DGq��5CG58Ey5CG+EF9�O8, M�BD9�J�G+*>)q. ;1�³)FG+K29�)+P�*>)+9>�³§�*>G+K ��M>72? ��� 8 � M\)+9AG+9�72EF*>)+E�.�YA9�72J�9 � 4� � 8 P��2E·G�M>O8EF*§�9%M�G+9�72EF*>)�M>E�5CG+E 7NM>P�9$58P��NO8589�E�.���7 G+K29�M\§NEF9�72J�9%*-,�M��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O��N9�O8?]¹69�KNMqBD9

� 4� � 8 ) U T fnV³.8¶�UDi

RyK258E$58EAG+K29�)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J%�-9�729�)LM>O858�qM\G+58*-7�*-,G+K29 A9�¹ G+*-725[M>7�9 � �NM\G+58*-7 � R � N � � � � � � ) U *-,¹�K258JLK�� M6�NO[M>J�9>� EA9 � �NM\G+58*-7'58E�G+K29%GF)LM>J�9>.��AE��2)+*-P�58EF9�?a��5CGA58E��2)+E·G·¼/*>)+?29�)�587 � M>72?�EF9�J�*-72? ¼*>)+?29�)587 * .�A*>G+58J�9�G+KNM\G5CG�58E 72*-7 ¼/O858729qM\)�587%§�*>G+K�G+K29�EF9 � �NM>7DG+5CG+589�E��>G+K258E�58E�K258�-K2OC:%EF58�-725!�NJqM>7DGfnM>72?]BD9�)F:]5872J�*-7DBD9�72589�7DG � i|.

- ��� � / ±\­ . ª2¬�­z`¡® `� ¬�� / . ­ /�Z � :�� < ª2¬�­z`¡® c��, ¹69 M\)+9 G+*���N�>)LM>?29¦fnV³.8¶�UDi�587DG+*�G+K29 )+9�O[M\G+5CB³58E·G+58JQ�-9�729�)LM>O858�qM\G+58*-7µ*-,�(�*-58EFEF*-7a� E�9 � �NM\G+58*-7f �2.TS-i|�N¹69�P��2E·G�)+9 �NO[M>J�9%G+K29%��9�)+* *-7�G+K29%)+58�-KDG�¹�5CG+KxEF*-P�9�G+K25872��G+KNM\G�587DBD*-OCBD9�E�G+K29�?29�72EF5CGH:*-,6PQM>EFE�¼/9�729�)+�>:D.�¥¦9�KNMqBD9�EF9�9�7 9 � �NM\G+58*-72EQf�¶-. S �Di G+KNM\G�G+K29�PQM>EFE�¼/9�729�)+�>:º?29�72EF5CGH:º,=*>)+P�E*-729XJ�*-P���*-729�7DG�*-,�M]E·:³P�P�9�GF)+58J�EF9�J�*-72? ¼u)LM>7³» G+9�72EF*>) .���,�¹69�¹yM>7DG%M]J�*�B>M\)+5[M>7DG�G+K29�*>)F:*-, �>)LMqB³5CGH:Q¹69�M\)+9��-*-5872��G+*XKNMqBD9�G+*�M>O8O8*�¹�G+K29�PQM>EFE�¼/9�729�)+�>:]?29�72EF5CGH:]G+*�§2)+5872��M>O8*-72��M>O8Od5CG+E,[)+589�72?2E�587 587DG+*�G+K29��N9�O8?�9 � �NM\G+58*-72E�.�¤ *XJ�*-72EF58?29�)�)+9 �NO[M>J�5872��G+K29���9�)+*X587�fnV³.8¶�UDi�¹�5CG+K

J�*-72E·GLM>7DG�9 � ��� TRyK258E�KNM>EA*-72OC: GH¹6*Q5872?258J�9�E��¡¹�K29�)+9qM>E�G+K29�O89�,[GA*-, fnV³.8¶�UDiyKNM>EA,=*-�³)A5872?258J�9�E�.�YA9�72J�9%¹69�P��2E·G9�5CG+K29�)A�2EF9�* fz¹�K258JLK�58E�G+K29�*-72OC: �-9�729�)LM>O8OC: MqB>M>58O[M\§NO89�G+9�72EF*>)|i6G+*QM>?2?�GH¹6*�P�*>)+9�5872?258J�9�E�*-7

��� �� � � � *!1 � ���>*������(� �� ��/ ������ �8& � "�� �����(->1 �0� � &����AV �L���(� � �RV � � ���%38�%���C���(� *+��'��>�!�0&C� /%*�&7"$� � (� � �(-"A4�* � �� &(')���(�#/E�*�&('��0� � *+�����& � �5���)&(�8&�� /R��->1 *�&*+��->*+����RV

Page 55: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� � �X� �d� �X����� � �;�$ � ���� ���* � � (�� ���� (����"�� � � � �������"$�(��G+K29�)+58�-KDGq�1*>)�¹69�P��2E·G�J�*-7DGF)LM>J�GAMq¹yMq:]GH¹6*�5872?258J�9�E�*-7 G+K29�O89�,[Gq.��HG�58E�72*>G�KNM\)+? G+*�EF9�9�G+KNM\GG+K29�EF9�GH¹6*XJ�*-�³)+EF9�EAM\)+9�9 � �25CB>M>O89�7DGq.¥¦9�?2*X5CG G+K29�EF9�J�*-72?�¹yMq:D.

¥¨K258JLKºGH¹6* 5872?258J�9�E�EFK2*-�2O8?º¹69�J�*-7DGF)LM>J�G�F�¥¦9�O8On��,[)+*-P�G+K29X?29 �N725872��9 < �2)+9�EFEF58*-7gfnV³.�Di*-729�PQMq: EFK2*�¹ G+KNM\G�� 4 8 ��� KNM>EyG+K29�,=*-O8O8*�¹�5872�XE·:³P�P�9�GF)+589�E @

� 4 8 ��� ) � ����4 8 � � 4 8 � � ) G � 4 8 ��� ) � 8 4 ��� T fnV³.8¶-¶�i

��7º¹6*>)+?2E�� B 58E�E·:³P�P�9�GF)+58J�*-7º587DG+9�)+JLKNM>72�-9Q*-,�G+K29��2)+E·GE�1M>5C)%*-,65872?258J�9�E�¹�5CG+K G+K29�EF9�J�*-72?�1M>5C)q��M>72?µM>7DG+58E·:³P�P�9�GF)+58J��272?29�)�587DG+9�)+JLKNM>72�-9 *-,�G+K29�5872?258J�9�E%¹�5CG+K2587¦9qM>JLK�*-,�G+K29�EF9 �1M>5C)+E�.RyK²�2E�¹69Q�-9�G���9�)+*�58,y¹69QJ�*-7DGF)LM>J�G�¹�5CG+K2587µM>7D: �1M>5C)q��M>72?�G+K29 E+M>P�9 M>72E·¹69�)�fzG+*�¹�5CG+K2587µMEF58�-71i658,�¹69�J�*-7DGF)LM>J�G�§�9�GH¹69�9�7 �1M>5C)+E�.�HG�58E J�*-7DBD9�7DG+58*-7NM>OdG+*X?29 �N729�G+K29 B ­h«D«D­�¬ / ® c�`1±�§²:

� ��� J � 4�X4 � T fnV³.8¶�S-i

U�`N¬ / e��7 G+9�)+P�Ey*-, ��� � ��� 58Ey§²:¦fnV³.�Di

� ��� ) � � 44 �� � � G � � 4 ���� � 4 / � ��X4 � 4� � G � 4 � 4 � ���� T fnV³.8¶.V-MDi;1�³)FG+K29�)+P�*>)+9>�2§²:ºf�S . S>UDi

� 4 �X4 ) � 44 � ) 0R � 4 8 � � 4 8� � � T fnV³.8¶.V\§¡i¥¨K258O89 � ��� KNM>E�G+K29�)+58�-KDG�7²�2P�§�9�)y*-,a5872?258J�9�E�G+*��-*%*-7�G+K29AO89�,[G6*-,a*-�³) �N9�O8? 9 � �NM\G+58*-72E��G+K29�O[Mq¹ ¹69XEF9�9�»�58E�72*>G � ��� ) � ��� §�9�JqM>�2EF9�PQM>EFE�¼/9�729�)+�>:�J�*-72EF9�)FB>M\G+58*-7 58E�9 < �2)+9�EFEF9�?º§²:G+K29�B>M>7258EFK25872��*-,aG+K29$J�*�B>M\)+5[M>7DGy?25CBD9�)+�-9�72J�9$*-, .YA9�72J�9A¹�KNM\G+9�BD9�) �-* 9�E6*-7QG+K29$O89�,[Gy*-,d*-�³)�N9�O8?Q9 � �NM\G+58*-72E�P��2E·G6KNMqBD9���9�)+*�?25CBD9�)+�-9�72J�9>.�@A72,=*>)FG+�27NM\G+9�OC:D�²G+K29�?25CBD9�)+�-9�72J�9A*-, � ��� 58E�72*>GM>OC¹yMq:³E ��9�)+*2.�YA*�¹69�BD9�)q�N5CG G+�³)+72E�*-�³G G+KNM\G�fhEF9�9 ��� ��9�72?25 < 4 i

� � � � � ) 0R � � � � fnV³.8¶ �²i¹�K29�)+9�G+K29 B ­h«D«D­�cq«-ª Z ªN± � 58E ?29 �N729�?�§²:

� J � � � T fnV³.8¶ S-i;N)+*-P fnV³.8¶ �²i�5CG ,=*-O8O8*�¹�EyG+KNM\G�M�G+9�72EF*>)�PQM>?29�*-�³G�*-, � 48 ��� ¹�K258JLK � �\{���9�)+*�?25CBD9�)+�-9�72J�9�58E

� ��� J f�� ��� G 0R � ��� �%i T fnV³.8¶�VDi

� 58E6JqM>O8O89�?QG+K29�:$­h® c�¬ / ­h®µ¬ / ® c�`1±�§�9�JqM>�2EF9AG+K29��d. ?a. 9>.8� E6¹�K258JLK]?29�EFJ�)+5C§�9$G+K29A�-9�729�)LM\G+58*-7]*-,M��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O��N9�O8? §²:]PQM\GFG+9�)�M\)+9

� ��� ) G �� �% � � ��� T fnV³.8¶�^-i

Page 56: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� ��� �>�* �c � ��$�(-���)(�1� � ��� ���YA9�)+9 �#58E A9�¹ G+*-7a� EA�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O J�*-72E·GLM>7DGq��M>E$¹69�EFKNM>O8O�EFK2*>)FG+OC:xEFK2*�¹�.E�A7 M>OCG+9�)+7NM\G+5CBD9>�M>72? *-,[G+9�7QKNM>72?2589�)q�2,=*>)+P *-,�fnV³.8¶�^-i�58E�*>§2GLM>58729�?Q§²:�J�*-7DGF)LM>J�G+5872��§�*>G+KQEF58?29�E6*-,�G+K29A9 � �NM\G+58*-7G+*X*>§2GLM>587

� � � ) f�� � � G 0R � �� �%i ) G � ) G �� �% � � � � T¤ �³§NE·G+5CG+�³G+5872�XG+K258EyB>M>O8�29�*-,��Z587DG+*xfnV³.8¶�^-i�¹69��-9�G

� ��� ) G �� �% � $ � ��� G 0R � ��� � � � & T fnV³.8¶ Di

� � �NM\G+58*-72E6fnV³.8¶�^-iaM>72?]fnV³.8¶ DidM\)+9�G+K29�)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J9 � �25CB>M>O89�7DG+E *-,³(�*-58EFEF*-7a� E 9 � �NM\G+58*-7 � R � )� � � �N. �AE�9 < ��9�J�G+9�?a��G+K29�EF9 9 � �NM\G+58*-72E�M\)+9 EF9�J�*-72? ¼/*>)+?29�)�587¦G+K29QG+9�7 ��*>G+9�7DG+5[M>O8E � 4 8 M>72?587DBD*-OCBD9�M>O8O�G+K29�9�729�)+�>:²¼/?29�72EF5CGH:�� E�,[)+589�72?2E�587 .

RyK29�)+9�58E M�J�O8*-EF9�M>7NM>O8*-�>:�§�9�GH¹69�9�7�fnV³.8¶ Di�M>72? 5CG+Ey9>. P�. J�*-�27DG+9�)��1M\)FG /c4 8�8 ) � +��X4 M>E

PQMq:Q§�9�EF9�9�7�§²:]EF�³§NE·G+5CG+�³G+5872��,=*>) B ,[)+*-P fnV³.8¶.VDi� � 44 �� � � G � � 4 ���� � 4 / � ��X4 � 4� � G � 4 � 4 � ���� ) G �� �% � $ � ��� G 0R � ��� � � � & T fnV³.8¶ �Di

¥¦*>)+EF9�E·G+58O8On�-G+K29�)+9�O[M\G+58*-72EFK25!��f�S . S>UDi §�9�GH¹69�9�7 ��M>72?�G+K29 G+9�72EF*>) ��*>G+9�7DG+5[M>O * 58E�M��-* * ?X?29qM>OP�*>)+9�J�*-P��NO89 < G+KNM>7QG+K29$J�*>)F)+9�E���*-72?25872��9>. P�.²)+9�O[M\G+58*-7 / 4 8 ) 8 � 4 G 4 � 8 .�¤ *�5CGy58E�KNM\)+?2OC:EF�³)��2)+58EF5872��G+KNM\Gy72*>GyPQM>7D:�9 < M>J�GyEF*-O8�³G+58*-72E6*-,dG+K29$��5872E·G+9�587 9 � �NM\G+58*-72EyM\)+9�»³72*�¹�7 ��46�³G6¹69EFKNM>O8Oa§�9%M\§NO89$G+*X?29�?2�2J�9%EF*-P�9$9 < GF)+9�P�9�OC: 587DG+9�)+9�E·G+5872��EF*-O8�³G+58*-72E 729�BD9�)FG+K29�O89�EFE�.

- �,+ � / U / ¯�¬�`¡® ­zª1® 1 ­Y=¦­=¬¥¦9�72*�¹ JLK29�J+»�G+KNM\G���5872E·G+9�587a� E$G+K29�*>)F: M>�>)+9�9�E$¹�5CG+K A9�¹ G+*-7a� E$¹�K29�7gfh5=i�G+K29<�N9�O8?º58E$BD9�)F:¹69qM\»�M>72?�fh585=i�G+K29?�N9�O8?Q58E��-9�729�)LM\G+9�?�§²:�EFO8*�¹�OC:²¼/P�*�B³5872��PQM\GFG+9�)q.RyK29?�2)+*>G+*>GH: ��9�*-,aEFO8*�¹�OC:²¼P�*�B³5872��PQM\GFG+9�)y58E�3?2�2E·Gq�D@�G+K29$PQM\GFG+9�) M\Gy9qM>JLK 9�BD9�7DGdQºKNM>E M�¹69�O8O�?29 �N729�? �2)+*5��9�)yBD9�O8* J�5CGH:. f Q i|�³M>72? 587�G+K29�)+9�E·Gy,[)LM>P�9�?29 �N729�? §²: . G+K29APQM\GFG+9�)�?29�72EF5CGH:Q58E ��+\.(�KD:³EF58JqM>O8OC:X5CG�58E�J�O89qM\)G+KNM\Gy587 G+K258E6)+9�E·G ,[)LM>P�9�G+K29$*-72OC:Q72*-7 ¼/��9�)+*XJ�*-P���*-729�7DGy*-, 58E � +�+ ) ��+ % R �NM>72?],[)+*-P G+K258E5CG�,=*-O8O8*�¹�E 9qM>EF58OC:QG+KNM\G�587�M��-9�729�)LM>O�,[)LM>P�9�M�?2�2E·G�KNM>E

� 4 8 ) ��+ L 4 L 8 T fnV³. S>UDi

¤ 5872J�9XG+K29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>OS�N9�O8?¦58E%M>EFEF�2P�9�? BD9�)F:�¹69qM\»�� ¹69XJqM>7 �N72?�M 729qM\)+OC: 58729�)FG+5[M>OJ�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P�.���7 G+K258E E·:³E·G+9�P

� ��� ) f ��� / � ��� ¹�K29�)+9 O � ��� O � ¶ T fnV³. S ¶�i¥¦9�729��-O89�J�G�E � �NM\)+9�E�M>72?�K258�-K29�)���*�¹69�)+E�*-, ��.�4�: f�S . S>UDi�¹69�G+K29�7 KNMqBD9

� 4 ��� ) 0R f 4 8 � � � 8 �� � � / � � 8 �� � � G � � ���� � 8 � T fnV³. S-S-i

¸6*-72EF58?29�) G+K29�9 � �NM\G+58*-7%*-,2P�*>G+58*-7�f�S . S ¶�i�G+*�¹�K258JLK%G+K258E �-5CBD9�E�)+58EF9�,=*>)M�72*-7 ¼u)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J,[)+9�98�1M\)FG+58J�O89�f�I � 4 ) UDi|.�RyK29�P�*>G+58*-7]58E �-*�BD9�)+729�? §²:�M��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O¡,=*>)+J�9� 4 ) G � 4 ��� L � L � � fnV³. S5VDi

Page 57: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� � �X� �d� �X����� � �;�$ � ���� ���* � � (�� ���� (����"�� � � � �������"$�(��¹�K29�)+9 . 58E�G+K29 �1M\)FG+58J�O89>� E��\¼uBD9�O8* J�5CGH:D.�¤ 5872J�9 G+K29 ��9�)+*>G+K J�*-P���*-729�7DG L + ) F % *-,�G+K29 �\¼BD9�O8* J�5CGH: *-,M�72*-7 ¼u)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J �1M\)FG+58J�O89%58E�BD9�)F:�P��2JLKxO[M\)+�-9�)�G+KNM>7�M>7D:�*-, . � E�E��1M\G+5[M>O J�*-P�¼��*-729�7DG+E��-¹69y9 < ��9�J�G�G+K296?2*-P�587NM>7DG G+9�)+PZ587�G+K29658P��NO8589�?�EF�2P *-, fnV³. S5VDiaG+*A§�9�G+KNM\G�,=*>)�¹�K258JLK� ) H ) U³.�RyK²�2E�¹69�9 < ��9�J�G � 4 � G�F R % R � 4 +�+ T fnV³. S6�²i�°GH: �N58JqM>OaE��1M\G+5[M>OdJ�*-P���*-729�7DG�*-, G+K29�9 � �NM\G+58*-72E *-, P�*>G+58*-7 58E G+K29�7

F ??� � F ?� �?� � ) G�F R % R � � +�+ � G?% R 0R � S � � � +� � + G � � +�+� � � � T��,1G+K29��N9�O8?X58E�E·GLM\G+58*-7NM\)F:�587�*-�³)�JLK2*-EF9�7�J�* *>)+?2587NM\G+9yE·:³E·G+9�P fnM>72?�¹69�M\)+9y,[)+9�9 G+*A§�* *-E·G��27DG+58O5CG�58ELi|�³G+K29�7 � � � + N � � + ) UXM>72? G+*XO89qM>?25872�X*>)+?29�)�587 LN5%

? R � �?� R ) �� � � $ 0R % R � +�+ & T fnV³. S�S-i

��, G+K258E 58EyG+*�M>�>)+9�9$¹�5CG+K A9�¹ G+*-7a� EyG+K29�*>)F:D�2¹69$)+9 � �25C)+9� ) G 0R % R � +�+5� fnV³. S>VDi

¹�K29�)+9 � 58EyG+K29 A9�¹ G+*-725[M>7 �>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O���*>G+9�7DG+5[M>On.¥¦9�72*�¹°JLK29�J+»]¹�K29�G+K29�)���5872E·G+9�587a� EI�N9�O8?�9 � �NM\G+58*-72E�fnV³.8¶ Di�)+9�?2�2J�9�587]G+K29�E+M>P�9A¹69qM\»²¼�N9�O8?�O858P�5CG�G+*x(�*-58EFEF*-7a� E�9 � �NM\G+58*-7¦,=*>) � .]¥¦9Q9 < ��9�J�G�G+K29QEF*-�³)+J�9Q*-, � G+*�§�9�G+K29Q9�729�)+�>:

?29�72EF5CGH: � % R ) � +�+ �³¹�K29�)+9 58E�G+K29$9�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2P G+9�72EF*>)q�2EF*�¹69$J�*-72J�9�7DGF)LM\G+9�*-7QG+K29U-U�¼/J�*-P���*-729�7DG�*-,yfnV³.8¶ Di|.;N)+*-P fnV³.8¶.V-M³� §¡i|�dfnV³. S ¶�i6M>72?�fnV³. S-S-i|� � ��� 58EyG+* �2)+E·G�*>)+?29�)�587 �

� ��� ) 0R f 4 8 � � R � 4 8� � � � � � G � R � � 8� � 4 � � � G � R � 8 �� � 4 � � � / � R � ���� � 8 � � 4 � T fnV³. S-^-i

��7 �1M\)FG+58J��2O[M\)q�2,=*>)AM�G+58P�9|¼/5872?29 ��9�72?29�7DG?�N9�O8?� +�+ ) �8+�+ ) 0R � R � +�+ ) G ¶% R � R � T

��,2G+K29�*-72OC:%J�*-7DGF)+5C§N�³G+*>)�G+*�G+K2969�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2P G+9�72EF*>)58E�MA?2�2E·G*-,2E·GLM\G+58*-7NM\)F:8�1M\)FG+58J�O89�E�� 58E �-5CBD9�7]§²:¦fnV³. S>UDi�¹�5CG+K . ) f % �LU�LU�LUDi|. YA9�72J�9 � �� ) G ��+ % R M>72? G+K29%U-U�¼/J�*-P���*-729�7DG�*-,fnV³.8¶ Di�58E

� +�+ ) G ¶% R � R � ) G � � �% R ��+M>E 9 < ��9�J�G+9�?a.

Page 58: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� � �d� �X����� �����"$�(��)�5�� � �'�-� � � �T�- ��+ � <>=?=ºªN± �RyK29�J��³)FB>M\G+�³)+9�G+9�72EF*>) � 48 ��� G+9�O8O8E%�2E�§²:ºK2*�¹ P��2JLK�M BD9�J�G+*>)�JLKNM>72�-9�E�*-7º§�9�5872�:�1M\)LM>O8O89�OGF)LM>72E���*>)FG+9�? M\)+*-�272?gM�EFPQM>O8OyJ�5C)+J��25CGq. YA9�72J�9]¹69�?29�G+9�J�GXG+K29 �2EF9�*-,AM J�)LM>��:µJ�* *>)+?2587NM\G+9E·:³E·G+9�P�,=*>) �1M\G E��1M>J�9|¼uG+58P�9$§²:]EF9�9�5872�X58,�G+K29$J��³)FB>M\G+�³)+9�G+9�72EF*>) B ) U³.���, B ') U�G+K29�)+9�58E MGF)+�29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O��N9�O8?a.

RyK298�2)+9�EF9�72J�9%*-, PQM\GFG+9�)�M\GdQ¦58E EF58�-7NM>O8O89�?]§²: � ��� f Q i J � 4�X4 � f Q i#') U³.;1*>)+PQM>O8OC:D�²G+K29�)+9�58E�M�,zM\)·¼u)+9qM>JLK25872� M>7NM>O8*-�>:Q§�9�GH¹69�9�7��2. )q.1M>72?�9>. P�.D@� ��� �)� �"�� ��� � $�� � � ���)( � � � ��� 4 � � 4 8/ 4 8 ) G f 4 � 8 G 8 � 4 i � � 4 � ��� ) 0R f � 4 � � � / � 4 � � � G � ��� � 4 i� 4 ) �% + / 4 � L � � � 4 ) G � 4 ��� L � L �/ 4 8 � 8 ) � +�� 4 � 9 � . fnV T ¶ �Di/ 4 8 � � / / 8 � � 4 / / � 4 � 8 ) U � � �� 4 8 � � / � �� 8 � � 4 / � �� � 4 � 8 ) U

fn465[M>72JLK25a58?29�7DG+5CGH:Ni

RyK29��1M\)LM>O8O89�O §�9�GH¹69�9�7 A9�¹ G+*-7a� E�G+K29�*>)F:gM>72?g�2. )q.�58EQO89�EFEQG+58�-KDG @ � � * � � � ���� R � � � ��� .��7¦M ¹69qM\»��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O��N9�O8? ¹69XJqM>7ºKNMqBD9 * � e ¹�5CG+K G S � N5% R M>E�M>7º9�E·G+58PQM\G+9�*-,

f � +�+ G f +�+�i|.� � �$������� ����� ���������|�

RyK29yEF58P��NO89�E·G�M6� �NO858JqM\G+58*-72E�*-, % �gM\)+96G+*�¹69qM\»��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O �N9�O8?2E��-¹�K258JLKXM\)+9y�27D§N5 � �25CG+*-�2E587]G+K29�@A725CBD9�)+EF9�M\G�O[M\)+�-9�M>E K29�)+9�*-7���M\)FG+Ka.

� ��� � ±�ª . ­=¬�ª2¬�­z`¡® ª Z B / � c � ­ �u¬¥¦9�KNMqBD9 (·�2E·G�EF9�9�7�G+KNM\G�587�M�¹69qM\»��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O �N9�O8? � +�+ � f +�+ G S � N5% R 58E�J�O8*-EF9�OC:�)+9�O[M\G+9�?G+*µG+K29 A9�¹ G+*-725[M>7¨�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O?��*>G+9�7DG+5[M>On. RyK258E J�*-72J�O8�2EF58*-7�KNM>E]587DG+9�)+9�E·G+5872���NKD:³EF58JqM>OJ�*-72EF9 � �29�72J�9�E�.]¸6*-72EF58?29�)�M>7º*>§NEF9�)FBD9�)�M\G�)+9�E·G%587ºM ¹69qM\»��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>OS�N9�O8?a.�¥¦9�JLK2* *-EF9E��1M\G+5[M>O�J�* *>)+?2587NM\G+9�E�EF*XG+KNM\G�G+K29 �N9�O8?xM>72?�G+K29%*>§NEF9�)FBD9�)$M\)+9�E·GLM\G+58*-7NM\)F:D.���9�G�G+K29�*>§NEF9�)FBD9�)§�9�M\G���*>G+9�7DG+5[M>O � M>72?�*>§NEF9�)FBD9�MQE·GLM\G+58*-7NM\)F:xM\G+*-P M\G���*>G+9�7DG+5[M>O � �².�¤ 9�GFG+5872� � ) � + 587f�S .8¶ �²i�M>72?�?25! �9�)+9�7DG+5[M\G+5872��§�*>G+KXEF58?29�E�*-,¡G+K258E�9 � �NM\G+58*-7X¹69��N72?XG+KNM\G�G+K29�*>§NEF9�)FBD9�)q� E �2)+*5��9�)G+58P�9$9�O[M6�NEF9�E�M\G�M�)LM\G+9

? � ?� ) G � 4 8 ?� 4?� + ?�

8?� +

)�� G � +�+ � ¶ / S �% R�Z¶ G O � O% R fz§�9�JqM>�2EF9 � �gUDi T

fu^ .8¶�i

Page 59: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� � �C��� &� � � � �� � �X� �X����� ¤ 58P�58O[M\)+OC:D�²G+K29%M\G+*-P�� E �2)+*5��9�)�G+58P�9$9�O[M6�NEF9�E�M\G�M�)LM\G+9

? � �?� ) ¶ G O � ��O% R T fu^ . S-i

��,AG+K29xM\G+*-P 58E�9�P�5CGFG+5872�º9>. P�.)LM>?25[M\G+58*-7 *-,$,[)+9 � �29�72J�: E¡�yG+K29�7g?2�³)+5872�µM>7 587DG+9�)FB>M>O � � *-7'G+K29�*>§NEF9�)FBD9�)q� E�J�O8* J+»x5CG$¹�58O8O 9�P�5CG�f�E�� � i?9�fh? � � N ? � i ¹yMqBD9�,[)+*-7DG+E�. ; ,�J�*-�³)+EF9>�aG+K29�EF9¹yMqBD9�,[)+*-7DG+E�¹�58O8O�GLM\»D9�EF*-P�9XG+58P�9xfnM>E�P�9qM>EF�³)+9�?¦§²:¦9�5CG+K29�)�J�O8* J+»Ni$G+*�)+9qM>JLK�G+K29Q*>§NEF9�)FBD9�)q�§N�³G�§�9�JqM>�2EF9�*-�³)�EF5CG+�NM\G+58*-7 58E�E·GLM\G+58J>�2G+K29%?29�O[Mq:]§�9�,=*>)+9�9qM>JLKx,[)+*-7DG�)+9qM>JLK29�E�G+K29%*>§NEF9�)FBD9�)�58EM>OC¹yMq:³E�G+K29AE+M>P�9>.�YA9�72J�9AG+K29�,[)+*-7DG+E6¹�58O8ON§�9�)+9�J�9�5CBD9�? 587QG+58P�9 � � *-7QG+K29�*>§NEF9�)FBD9�)q� EyJ�O8* J+»M>72? G+K29�*>§NEF9�)FBD9�)�P�9qM>EF�³)+9�E�,[)+9 � �29�72J�:

� ? � �? � � E ) ¶ G O � �-O N5% R¶ G O � O N5% R E � � ¶ G O � � G � O% R � E T fu^ .WVDi

��7 ¹6*>)+?2E @)LM>?25[M\G+58*-7]G+KNM\G J�*-P�9�E ��x*-�³G�*-,�M��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O¡¹69�O8Od58Ey)+9�?2EFK258,[G+9�?a.:;Q / ±\«D­hc /�� � ��� e

¸6*-72EF58?29�)�M$PQM>JLK258729y¹�K258JLKXO8*�¹69�)+E§�* < 9�E�,=�2O8O2*-,¡9 < J�5CG+9�?XM\G+*-P�E�*-7�)+*5��9�E�?2*�¹�7�MA¹69�O8On�?29�9 < J�5CG+9�E�G+K29�M\G+*-P�EM\GG+K29 §�*>GFG+*-P��6�N�2O8O8EG+K29�M\G+*-P�E�§1M>J+»���QM>72?�G+K29�7X)+9�9 < J�5CG+9�EG+K29M\G+*-P�E6¹�5CG+K]G+K29��NK2*>G+*-72E )+9�O89qM>EF9�?xM\GyG+K29�§�*>GFG+*-P�M>72?]§�9qM>P�9�? ���G+*�G+K29�G+*5�d.�¤ K2*�¹G+KNM\G6G+K258EyPQM>JLK258729�¹�58O8O1B³58*-O[M\G+9�9�729�)+�>: J�*-72EF9�)FB>M\G+58*-7]�272O89�EFE6G+K29��NK2*>G+*-72E��³,[)+9 � �29�72J�589�EM\G G+*5�xM>72? §�*>GFG+*-P#*-, G+K29$¹69�O8OdE+M\G+58EF,[:ºfu^ .WVDi|.

� ��� � � � ±�` � ��® ª*=¦­h«Dc��7 % � G+K29�9�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2P G+9�72EF*>)�*-,�M<��9�)+,=9�J�G��N�258?�f�¶-.WVDS-i�J�O89qM\)+OC:Q§�9�J�*-P�9�E

� 4 8 ) f�� / ��N5% R i � 4 � 8 / � � 4 8 T fu^ . �²i¥¦9A72*�¹�EFK2*�¹ K2*�¹¨G+K29A9 � �NM\G+58*-72E6*-,dKD:³?³)+* ?³:³7NM>P�58J�E�9�P�9�)+�-9�,[)+*-P � 4 � 4 8 ) U³.�¥¦9AKNMqBD9

U ) � 8 � 4 � 4 f�� / ��N5% R i / f�� / ��N5% R i � 4 f � 4 �8 i / � 4 8 � �� � 8 � fu^ .TS-i

¹�K29�)+9�¹69>� BD9��2EF9�? f�S .WV-UDi|. R *y)+9�J�*�BD9�) G+K29�,zM>P�58O85[M\)d9 � �NM\G+58*-72E�*-, KD:³?³)+* ?³:³7NM>P�58J�Ed¹69�M>EFEF�2P�9G+KNM\G % � � +�� � � M>72?]G+KNM\G � 4 8 ) f 4 8 / � 4 8 ¹�5CG+K O � 4 8 O � ¶-.�RyK29�7 G+K29�U�9 � �NM\G+58*-7]PQMq:§�9%M6� �2)+* < 58PQM\G+9�? §²:

U ) % � 4 � 4 f�� / ��N5% R i / f�� / ��N5% R i � 4 f % � 4 i G � �� � + T fu^ .3VDi

¥¦9�P��2OCG+5!�NOC:�G+K258E 9 � �NM\G+58*-7 §²: � � N5% M>72? EF�³§2GF)LM>J�G�5CG ,[)+*-P#G+K29 ��9 � �NM\G+58*-7]*-,�G+K29�EF9�G�fu^ .TS-iG+* �N72?

U ) f�� / ��N5% R i � 4 � 4 �� / � �� � � /

� �% � �� � + fu^ . ^-i

Page 60: Classical Fields Lecture Notes James Binney

������� ��� � $�(-�"!�!�$ $ � � � (����� � � �d� �X����� �����"$�(��)� � �X� � ���A*�¹ 587]B³589�¹ *-,6fnV³. S�S-i�¹69�JqM>7]¹ )+5CG+9

� 4 � 4 �� ) � 4 � � �� � 4 / �

�4 � � 4 � � � � � �� � / �

� � � �� � � / �� +�+ � + � +

� ? � �?� / % R 0R � S � � � +� � + G � � +�+� � � � �

fu^ .�Di

¹�K29�)+9�G+K29�?29�)+5CB>M\G+5CBD9�*-, � � 58E�G+K29����2O89�)+5[M>7Q?29�)+5CB>M\G+5CBD9�*-,aKD:³?³)+* ?³:³7NM>P�58J�E�.�¥¦9�729��-O89�J�G�G+K29?29�)+5CB>M\G+5CBD9�*-, � � +%¹�. )q. Gq. � + *-7xG+K29��>)+*-�272?2EAG+KNM\GAG+K29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O �N9�O8?�58EA729qM\)+OC:xE·GLM\G+58J>�M>72? 587�fu^ . ^-i�¹69A729��-O89�J�G6G+K29�?29�)+5CB>M\G+5CBD9�*-,d(µ¹�. )q. Gq.DG+58P�9�*-7QG+K29��>)+*-�272?2E6G+KNM\G65CG�58E6EFPQM>O8O89�)G+KNM>7�G+K29 ?29�)+5CB>M\G+5CBD9�¹�. )q. Gq.�� � §²:�M',zM>J�G+*>)�*-, *>)+?29�) %�� N5% �¹�K29�)+9 %�� 58E%G+K29 EF*-�272?�E���9�9�?a.RyK29�7�EF�³§NE·G+5CG+�³G+5872�'fu^ .�Di�587DG+*xfu^ . ^-i6M>72? �2EF5872� � +�+ ) G S � N5% R ¹69�*>§2GLM>587

f�� / ��N5% R i ? � �?� ) G � �� � � G f�� / ��N5% R i � �� � � T fu^ .��Di

��7 G+K29�O858P�5CG � � � % R G+K258E�M>�>)+9�9�Ey¹�5CG+K ���2O89�)q� E�9 � �NM\G+58*-7]*-, KD:³?³)+* ?³:³7NM>P�58J�E�.� � �NM\G+58*-7xfu^ .3VDi 58E�M�E·GLM\G+9�P�9�7DG�*-,�9�729�)+�>:�J�*-72EF9�)FB>M\G+58*-7A@ � % R J�*-7DGLM>5872E�§�*>G+K�G+K29 �N�258?a� E

)+9�E·G·¼/PQM>EFE 9�729�)+�>: ��+ % R M>72?¨5CG+EQG+K29�)+P�* ?³:³7NM>P�58Jx587DG+9�)+7NM>OA9�729�)+�>: � . ¤ 5872J�9 ��+'58E]J�*-7 ¼GF)+5C§N�³G+9�? §²: M�J�*-72EF9�)FBD9�?�7²�2P�§�9�)�*-,�§1M\)F:D*-72E��N¹69�KNMqBD9%M>7�M>?2?25CG+58*-7NM>OaJ�*-72EF9�)FB>M\G+58*-7�9 � �NM�¼G+58*-7 � 4 f���+ � 42i ) U³��M>72?'G+K258E$9 � �NM\G+58*-7')+9�?2�2J�9�E�587'G+K29 A9�¹ G+*-725[M>7�O858P�5CG�G+* G+K29�,zM>P�58O85[M\)9 � �NM\G+58*-7 *-, J�*-7DG+587²�25CGH:

? ��+?� / ��+ � � �� � � ) U T fu^ .8¶�UDi

� �,+ ��ªN±�=º`¡® ­h«�«-`a`1± � ­h® ª2¬ / c � � ±�ª . ­=¬�ª2¬�­z`¡® ª Z�� ª .*/ c¥¦9�,=*>)+P��2O[M\G+9�?%G+K2969 � �NM\G+58*-72E *-,�NKD:³EF58J�E�587�M\)F§N5CGF)LM\)F:%J�* *>)+?2587NM\G+9�E�M>E�M�PQM\G+K29�PQM\G+58JqM>O>)+�2EF9G+*�9 < GF)LM>J�G�G+K29y58P��NO858JqM\G+58*-72E�*-,NG+K29��2)+5872J�5!�NO89 *-,19 � �25CB>M>O89�72J�9>.46�³G�587 % ���DM>E587�9�BD9�)F:�*>G+K29�)§2)LM>72JLKQ*-,,�NKD:³EF58J�E��³5CGq� E ��*-O85CG+58J>�²9�BD9�7XB³5CGLM>On�-G+*%�2EF9�G+K29�§�9�E·G�J�* *>)+?2587NM\G+9�E�,=*>)�G+K29 (·*>§d.�¤ *�¹69?2*-7a� GA)+9qM>O8OC:�¹yM>7DGAG+K29�,[)+9�9�?2*-P G+* �2EF9�M>7D:x*-O8?�J�* *>)+?2587NM\G+9�E���¹69�729�9�?ºM�¹yMq:x*-,�JLK2* *-EF5872�EF9�72EF5C§NO89QJ�* *>)+?2587NM\G+9�E�.Q¥¨K29�7�?258EFJ��2EFEF5872�x§NO[M>J+» K2*-O89�E�M>72?�J�*-EFP�*-O8*-�>:x¹69>� O8O§�9��-�258?29�?¦G+*M�J�* *>)+?2587NM\G+9XE·:³E·G+9�P §²: G+K29�E·:³P�P�9�GF)+589�E�*-,�G+K29��2)+*>§NO89�P�. 46�³G%�-9�729�)+58J �2)+*>§NO89�P�E�?2*-7a� GKNMqBD9�P��2JLKxE·:³P�P�9�GF)F: M>72?�G+K29�7x¹69%EFK2*-�2O8?'�2EF9�J�* *>)+?2587NM\G+9�E�G+KNM\G�E+M\G+58EF,[: G+K29 � ªN±�=º`¡® ­h«*1ª*<+* / «-`¡®�� ­=¬�­z`¡®

� 4 8 � �4 8 ) U T fu^ .8¶-¶�i��7�(�)+*>§NO89�P EF9�G6SA:D*-�XJqM>7�EFK2*�¹gG+KNM\G�G+K29 KNM\)+P�*-7258J �DM>�2�-9 J�*-72?25CG+58*-7�58E�E+M\G+58E��N9�?X¹�K29�7XG+K29J�* *>)+?2587NM\G+9�EAEFKNM\)+9%¹�5CG+K�¸yM\)FG+9�EF5[M>7xJ�* *>)+?2587NM\G+9�E�G+K29E�2)+*5��9�)FGH: G+KNM\G�G+K29�:xE+M\G+58EF,[: G+K29%¹yMqBD99 � �NM\G+58*-7A@ � � ) U³.�R * �2)+E·G�*>)+?29�)�587 � 4 8 G+K29��DM>�2�-9�J�*-72?25CG+58*-7])+9qM>?2E

U � f 4 8 f ��� � � � � 8� � 4 / � � 4 �� � 8 G � � 4 8� � � � ) S � 4 � �X4 G � � � ¹�K29�)+9 � J � �� T fu^ .8¶�S-i

� � �NM\G+58*-7ºfnV³. S-^-i�JqM>7 §�9$)+9�¹ )+5CGFG+9�7� ��� ) 0R

� � R �� � � � � � G �� � 4 � �� 4 �� � � / � � 4�� � � � / � ����� T fu^ .8¶.VDi

Page 61: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� � �C��� &� � � � �� � �X� �X����� ¥¨K29�7µfu^ .8¶�S-i�58E��2EF9�? G+K³)+9�9�*-,�G+K29�G+9�)+P�E JqM>72J�9�O�M>72? ¹69�KNMqBD9

� ��� ) 0R � ��� T fu^ .8¶ �²i��9�Gq� E�EF9�9�¹�KNM\G�KNM6� ��9�72E�¹�K29�7�¹69��2EF9�G+K258E�,=*>)+P *-, G+K29���58J�J�5dG+9�72EF*>)A587�fnV³.8¶ Di�¹�K29�7� 4 8 *-7¦G+K29�)+58�-KDG�58E�,=*>)�M:��9�)+,=9�J�G �N�258? 9 � .6fu^ . �²i u.x¤ 5872J�9 � � � � ) G?% R ¹69 KNMqBD9 � �� )V � G � % R �NEF*xfnV³.8¶ Di�)+9qM>?2E

� ��� ) G ¶�V�� �% � f�� / ��N5% R i � � � � / 0R f�� % R G � i f ��� � T fu^ .8¶ S-i;N)+*-P G+K29�* J�J��³)F)+9�72J�9º*-,��*-7vG+K29�O89�,[G 5CG],=*-O8O8*�¹�EQG+KNM\G % � �2)+9�?258J�G+E]G+K29�9 < 58E·G+9�72J�9�*-,*1±�ª . ­=¬�ª2¬�­z`¡® ª Z ¯�ª .*/ c G+KNM\G �2)+*5�1M>�DM\G+9xM\GQG+K29xE���9�9�?v*-,$O858�-KDGq.�RyK29x)+58�-KDGQEF58?29x*-,AG+K258E9 � �NM\G+58*-7 �2)+*�B³58?29�E%M EF*-�³)+J�9X,=*>)�G+K29�EF9�¹yMqBD9�E�587�G+K29�E+M>P�9�¹yMq:'G+KNM\G$G+K29�9>. P�.aJ��³)F)+9�7DG � 4�2)+*�B³58?29�EyG+K29$EF*-�³)+J�9�,=*>)�9�O89�J�GF)+*-PQM>�-729�G+58J�¹yMqBD9�EyG+K³)+*-�2�-K G+K29�M>7NM>O8*-�-*-�2Ey9 � �NM\G+58*-7 4 )� +�� 4 .

��, G+K29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O,�N9�O8?�58E�E·GLM\G+58J�587]G+K29�)+9�E·G�,[)LM>P�9�*-, G+K29��N�258?a�1587 G+K258E�,[)LM>P�9>�1M>72?�2EF5872� � +�+ ) G S � N5% R �2G+K29%U-U�J�*-P���*-729�7DG�*-, 9 � �NM\G+58*-7¦fu^ .8¶ S-i�)+9qM>?2E� R � ) � � ��f�� / V ��N5% R i T fu^ .8¶�VDi

;N)+*-P G+K258E�9 � �NM\G+58*-7�¹69�EF9�9�G+KNM\G % � �2)+9�?258J�G+E�G+KNM\G �2)+9�EFEF�³)+9�58E M EF*-�³)+J�9�*-, G+K29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O�N9�O8?�5872?29 ��9�72?29�7DG+OC:%*-, G+K29�9�729�)+�>:%?29�72EF5CGH:�G+KNM\Gq� E M>EFEF* J�5[M\G+9�?�¹�5CG+K%5CGq.���7�G+K29�9qM\)+OC:�@A725CBD9�)+EF9M>72?X5872EF58?29yBD9�)F:�PQM>EFEF5CBD9yE·GLM\)+E�G+K29 9�729�)+�>:�?29�72EF5CGH:X58E?2*-P�587NM\G+9�?�§²:�§NO[M>J+»²¼u§�* ?³:�)LM>?25[M\G+58*-7a�,=*>) ¹�K258JLK � ) 02 � % R .�¤ *X,=*>)�G+K258E �N�258?�(�*-58EFEF*-7a� E�9 � �NM\G+58*-7 )+9qM>?2E� R � ) �� � � T fu^ .8¶�^-i

RyK29�,zM>J�G+*>) Q*-7'G+K29�)+58�-KDG$58P��NO8589�E�G+KNM\G$§NO[M>J+»x§�* ?³:�)LM>?25[M\G+58*-7'58EAGH¹�58J�9�M>E���*�¹69�)+,=�2O�M>E�MEF*-�³)+J�9�*-, �>)LMqB³5CGH:]M>Ey)+9�E·G·¼/PQM>EFE 9�729�)+�>:D.

� ��+ � /��/ «>¬�­z`¡® `� 1 ­ * ��¬ � � � ±�ª . ­=¬��U�ª1­ .*/ ¬�± / ª2¬ = / ®�¬ � EF58P��NO89º§1M>J+»²¼/*-,8¼uG+K29|¼/9�7DBD9�O8*5��9 M\)+�-�2P�9�7DGx§1M>EF9�? *-7 G+K29�¤²GF)+*-72�(�)+5872J�5!�NO89�*-,A� � �25CB>M>O89�72J�9�EFK2*�¹�E�G+KNM\G�O858�-KDGQP��2E·GX§�9x?29 �N9�J�G+9�? §²:�G+K29�¤ �27gM>72?vM>O8O8*�¹�E�2E�G+* *>§2GLM>587'M � �258J+»�*>)+?29�)·¼/*-,8¼/PQM>�-725CG+�2?29�9�E·G+58PQM\G+9%*-,�G+K29�PQM>�-725CG+�2?29%*-,�G+K258EA9 �9�J�G @ G+K29¤¡. (�.a*-,���.a58P��NO8589�E�G+KNM\G$G+K29<�1M\G+K *-,�M �NK2*>G+*-7'§�9qM>P�P��2E·G$§�9XM6� �2)+*DM>JLK29�? §²:�M �1M\)FG+58J�O89§�9qM>P 587QG+K29AO858P�5CG�M>E�G+K29��1M\)FG+58J�O89�E��³E���9�9�? L � % .�¤ *�O89�Gq� E�JqM>O8J��2O[M\G+9�G+K29A?29 �N9�J�G+58*-7]*-,d,zM>E·Gfz§N�³G�72*-7 ¼u)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J�i �1M\)FG+58J�O89�Ey§²: G+K29�¤ �27a.

¤ 5872J�9XG+K29�§�9qM>P�58E�,zM>E·Gq� 5CG+E�?29 �N9�J�G+58*-7 ¹�58O8O�§�9XEFPQM>O8On��M>72? ¹69XJqM>7º9�E·G+58PQM\G+9�G+K29X729�G�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O 58P��N�2O8EF9�?29�O85CBD9�)+9�?�G+*]9qM>JLKK�1M\)FG+58J�O89�§²:�587DG+9��>)LM\G+5872� G+K29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O ,=*>)+J�9

Page 62: Classical Fields Lecture Notes James Binney

����� ����5�! ���"$�( $�� �1� � �*� � �d� �X����� � �M>O8*-72��M�E·GF)LM>58�-KDG O858729>.�¥¦9$729��-O89�J�GyB>M\)+5[M\G+58*-72E6587 G+K29��1M\)FG+58J�O89>� E6E���9�9�? �1M\)LM>O8O89�O¡G+*�G+K258EyO858729>�EF* � � L �|.�YA9�72J�9 M>,[G+9�)�M �2:²¼u§²:�G+*'¹�5CG+K2587�?258E·GLM>72J�9 � *-, G+K29�¤ �27a��G+K29 �1M\)FG+58J�O89 KNM>EXMJ�*-P���*-729�7DG�*-, BD9�O8* J�5CGH: ��9�)���9�72?258J��2O[M\)�G+*�G+K29�*>)+58�-587NM>OaO858729�*-, PQM>�-725CG+�2?29

L � � ¶% � �� � / � ?� ) S � �+ �ºI���-R�� ?P�L ) % R � f���i� L � �+ ? �

f�¶ / � R i 2 � R �¹�K29�)+9

� f � i J S � �% R fu^ .8¶ Di

58EQG+K29 ��«��a¯�ªN± �²cq«�� ­ Z � ±�ª � ­Y< c'M>72?v(�: G+KNM>�-*>)LM>E����2EF9�,=�2OA)+9�EF�2OCG]KNM>EQ§�9�9�7 �2)+9�EFEF9�?¨587DG+*EF9�)FB³58J�9>.�RyK29$EF�³§NE·G+5CG+�³G+58*-7 � ) EF5872K �%9�7NM\§NO89�E6*-729�G+*�EFK2*�¹¨G+KNM\G6G+K29A587DG+9��>)LM>O¡9 � �NM>O8E�¶-.�¤ *G+K29�§�9qM>P�58E ?29 �N9�J�G+9�?�G+K³)+*-�2�-K G+K29�EFPQM>O8OaM>72�-O89

��� L �L � � % RLR � T��7 G+K29�O858P�5CG L � % �2G+K258EyG+9�72?2E G+* � N � ��U T D^�S � � ,=*>) � ) ���6.B /�Z ª2¬�­ . ­hc�¬�­h«Q¬�± / ª2¬ = / ®�¬ � �2)+*5��9�)�JqM>O8J��2O[M\G+58*-7]¹�58O8O�EFK2*�¹ G+KNM\G�*-�³) 729��-O89�J�G�*-,�)+9�O[M�¼G+5CB³5CGH:�KNM>EyJ�*-E·Gy�2E M�,zM>J�G+*>)y*-, S �2M>72?]I'�³)��NKD:�� E O[Mq¹�72*>GH¹�5CG+K2E·GLM>72?25872�2�³G+K29�GF)+�29$?29 �N9�J�G+58*-758E�O[M\)+�-9�) G+KNM>7�*-�³)�7NM>5CBD9�9�E·G+58PQM\G+9��2)+9�?258J�G+E�.���7¦¶ �³¶ ���-9�729�)LM>Od)+9�O[M\G+5CB³5CGH:QK25CG�G+K29�K29qM>?2O858729�E¹�K29�7 5CG+E �2)+9�?258J�G+58*-7 ,=*>)���¹yM>E6J�*-7�2)+P�9�?Q§²:�P�9qM>EF�³)+9�P�9�7DG+E6PQM>?29�?2�³)+5872��M%EF*-O[M\)69�J�O85!�NEF9>.

¤ 5872J�9�¶ �D^ �A*>§NEF9�)FB>M\G+58*-72E�*-,NG+K29y�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O ?29 �N9�J�G+58*-7X*-,1O858�-KDGKNMqBD9y§�9�J�*-P�9658P���*>)·¼GLM>7DG�M>E·GF)+*-72*-P�58JqM>OdG+* *-O8E�,=*>)$?29�G+9�)+P�58725872�Q72*>G$*-72OC: G+K29�E·GF)+�2J�G+�³)+9�*-,�G+K29�I'58OC» :]¥�Mq:'M>72?G+K29y?258E���*-EF5CG+58*-7�*-,N?NM\)F»�PQM\GFG+9�)q�\§N�³G�9�BD9�7�G+K29yEFJqM>O896*-,NG+K29y@A725CBD9�)+EF9>. ��7�G+K29�EF9 M6� �NO858JqM\G+58*-72EG+K29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O �N9�O8?�58E�M>OC¹yMq:³E�¹69qM\»µf O � O N5% R � ¶�i|�aM>72?�,=*>)$G+K258E$JqM>EF9�¹69�JqM>7�?29�)+5CBD9�M�-9�729�)LM>Od,=*>)+P��2O[M�,=*>)�?29 �N9�J�G+58*-7�§²: M>7xM\)F§N5CGF)LM\)F:Q¹69qM\»]�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O��N9�O8?a.

4�:�58P���*-EF5872� G+K29�KNM\)+P�*-7258J �DM>�2�-9�J�*-72?25CG+58*-7°fu^ .8¶-¶�i�G+K29�P�9�GF)+58J *-,$M�¹69qM\»��yE·GLM\G+58J�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O��N9�O8?�JqM>7]§�98�N�³G�587DG+*�G+K29�,=*>)+P fhEF9�9�(�)+*>§NO89�PT¤ 9�GAS-i

? � R ) � ¶ / S �% R � ?� R G4% � R � ¶ G S �% R � fh?� R / ? � R / ?P� R i T fu^ .8¶ �Di

��9�G�fh?���+? ���+?P�Diy§�9�G+K29�JLKNM>72�-9�587�G+K29�E��1M\G+5[M>O�J�* *>)+?2587NM\G+9�EA*-,M��NK2*>G+*-7'587�G+58P�9�?�|�¡G+K29�7EF5872J�9�? � KNM>E G+*�B>M>7258EFKxM>O8*-72�XM<�NK2*>G+*-7a� E ¹6*>)+O8? O858729>�2¹69�KNMqBD9�,[)+*-P fu^ .8¶ �Di�G+KNM\G

?� ) ¶% � ¶ G S � N5% R¶ / S � N5% R � 0 � R ? � �

� ¶% � ¶ G S �% R � ? �fu^ . S>UDi

¹�K29�)+9�? � J O ?� R / ? � R / ?P� R 58E�G+K29XJ�* *>)+?2587NM\G+9X?258E·GLM>72J�9�§�9�GH¹69�9�7ºGH¹6* ��*-587DG+E�*-7 G+K29)LMq:D.�¤ 5872J�9 �� U³�D9 � �NM\G+58*-7xfu^ . S>UDi E·GLM\G+9�E�G+KNM\G�587X*-�³)�J�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P O858�-KDG �2)+*5�1M>�DM\G+9�E

Page 63: Classical Fields Lecture Notes James Binney

�X� ��������� � �C��� &� � � � �� � �X� �X����� �2)+9�J�58EF9�OC:gM>EQ5CGX¹6*-�2O8?g58,AG+K29�)+9�¹69�)+9x72*��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O��N9�O8? §N�³G E��1M>J�9x¹69�)+9:�NO8O89�? §²: MP�9�?258�2P�*-,�)+9�,[)LM>J�G+5CBD9�5872?29 < � ) ¶ G S �% R W ¶ T fu^ . S ¶�iRyK²�2EXO8* *>»³5872�xG+K³)+*-�2�-K M')+9��-58*-7�G+KNM\GX58E ��9�)+P�9qM\G+9�?µ§²:�M��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O �N9�O8?�EFK2*-�2O8?�§�9O85C»D9�O8* *>»³5872� G+K³)+*-�2�-KºM EFK29�9�G%*-,�§�*>§2§NOC:��-O[M>EFE @$G+K29X58PQM>�-9�E$*-,�§1M>J+»³�>)+*-�272?ºO858�-KDG�EF*-�³)+J�9�E¹�58O8O�§�9�EFK258,[G+9�? 587 ��*-EF5CG+58*-7�M>E�¹69�O8O�M>E$?258E·G+*>)FG+9�?�587'EFKNM6��9XM>72?�JLKNM>72�-9�? 587x§2)+58�-KDG+729�EFE$§²:)+9�,[)LM>J�G+58*-7a.

RyK29�EF9�9 �9�J�G+E�M\)+9yP�*-E·G�)+9qM>?258OC: � �NM>7DG+5!�N9�?�§²:��2EF9 *-,�;19�)+PQM\Gq� E��2)+5872J�5!�NO89>�D¹�K258JLKXE·GLM\G+9�EG+KNM\GdG+K29 �1M\G+K2EdGLM\»D9�7�§²:$O858�-KDGd)LMq:³Ed§�9�GH¹69�9�7�MyEF*-�³)+J�9�M>72?%M>7�*>§NEF9�)FBD9�) 9 < GF)+9�P�58��9�G+K29�9�O[M6�NEF9*-,aJ�* *>)+?2587NM\G+9�G+58P�9�M>E �NK2*>G+*-72E �1M>EFE�§�9�GH¹69�9�7]EF*-�³)+J�9$M>72? *>§NEF9�)FBD9�)q.�� RyK²�2E��³¹69�?29�G+9�)+P�58729G+K298�1M\G+K2E ,=*>)�¹�K258JLK G+K29�O858�-KDG·¼uGF)LMqBD9�OaG+58P�9

� ) ¶% � ? � � fu^ . S-S-i

58E�E·GLM\G+58*-7NM\)F:�¹�5CG+KX)+9�E���9�J�G�G+*�EFPQM>O8O2JLKNM>72�-9�E�587XG+K29��1M\G+Ka.�¤ 5872J�9�¹69�M\)+9�587DG+9�)+9�E·G+9�?Q587�O858�-KDG�1M\G+K2EAG+KNM\G�M\)+9�729qM\)+OC:x)+9�J�G+58O858729qM\)q�¡¹69�PQMq:�*>)+589�7DG�*-�³)$J�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P EF�2JLK�G+KNM\G$*-729J�* *>)+?2587NM\G+9>�¡E+Mq: �³��5872J�)+9qM>EF9�EAP�*-72*>G+*-7258JqM>O8OC: M>O8*-72��G+K29E�1M\G+Ka. ¥¨K29�7'¹69�9�P��NO8*�::��)LM\G+K29�)G+KNM>7 � M>E G+K29�587DG+9��>)LM\G+58*-7]B>M\)+5[M\§NO89>� fu^ . S-S-i�§�9�J�*-P�9�E

% � ) � ?P����f � i � � ?�?P� � R / � ? �?P� � R / ¶ � 0 � R J � ?P� � f���������� � ��� � ���Di T fu^ . S5VDi;�5872?25872� G+K29 �1M\G+K8��f �Di�G+KNM\G 9 < GF)+9�P�58��9�EdG+K258E�587DG+9��>)LM>OD58E M E·GLM>72?NM\)+?8�2)+*>§NO89�P°587�G+K29�JqM>O8J��2O8�2E*-,�B>M\)+5[M\G+58*-72E�.�RyK29�?29�EF5C)+9�?:�1M\G+K E+M\G+58E��N9�E G+K29����2O89�) � � M>�>)LM>72�-9�9 � �NM\G+58*-7

??P� � ��f � i � � ?�?P� � R / � ? �?P� � R / ¶ � � 0 � R³?�?P� � ) � �� � � �

?�?P� � R / � ? �?P� � R / ¶ � 0 � R fu^ . S6�²i

¥¦9x587DG+9��>)LM\G+9 §�*>G+KgEF58?29�EQ*-,�G+K258EQ?25! �9�)+9�7DG+5[M>O�9 � �NM\G+58*-7 ¹�5CG+K )+9�E���9�J�GQG+* �º§�9�GH¹69�9�7gG+K29EF*-�³)+J�9%M>72? G+K29�*>§NEF9�)FBD9�)q.�¤ 5872J�9

? � ) � � ?�?P� � R / � ? �?P� � R / ¶ � 0 � R ?P��¹698�N72?

� ��f � i ?�? � � ��� �� ��� � � � ) � �

? � � �� � T fu^ . S�S-i46*>G+K'G+K29�EF*-�³)+J�9XM>72?�G+K29�*>§NEF9�)FBD9�)%M\)+9XM>EFEF�2P�9�?�G+*]O8589�,zM\)�,[)+*-P G+K29�?29 �N9�J�G+5872��PQM>EFE��a587)+9��-58*-72Ey¹�5CG+K2587]¹�K258JLK � ) ¶-�NEF*

?�? � ���� ��� � G ?�

? � ���� � ��� � � � ) � �

? � � �� � T fu^ . S>VDi

��� �C4(��� /%*�1 1 4�%�<�M*+� � �T-��� &/%� ->1 ��*+-->1 � �0� "$�0/%* ��.� � �(�0&����(� ��� �!� �01 *+->�.� � � &(���2�.��*+��� �8&*+��4��+&(�0� '8�C"$���(��� &('->*+����2*�1 1 � �:���(� ��">�.�%��38�%� ����� �.�%� �%���(���.���(��/R� *+� �� �T�%���0&C� ��� �!�0� � �(�0&L� � � �2� &!�� �T�%���0&C�2->�*��.�0� � " �8��/%� 1 1 *+��� �8& V� �(�0�.�$�� �T�%���0&C� � 3(� �%� � �>*038�%��*+'��������%�%���V

Page 64: Classical Fields Lecture Notes James Binney

����� ����5�! ���"$�( $�� �1� � �*� � �d� �X����� � �

RyK29 �N�-�³)+96EFK2*�¹�E G+KNM\G G+K29�O89�,[G·¼/KNM>72?�EF58?296*-, G+K258E 9 � �NM\G+58*-7%58E G+K296M>72�-O89�G+K³)+*-�2�-K%¹�K258JLKG+K29��2)+*�(·9�J�G+58*-7]*-7DG+*�G+K29����D¼ �NO[M>729A*-,dG+K29A)LMq: ,[)+*-P EF*-�³)+J�9$G+*�*>§NEF9�)FBD9�)�58E6§�9�7DGq.¥¦9$?29 �N729� K G+*�§�9�G+K258E�M>72�-O89�M>72?Q72*>G+9 G+KNM\G�9 � �25CB>M>O89�7DG�)+9�O[M\G+58*-72E�K2*-O8?�,=*>)�G+K29?���¼ �NO[M>729>.�YA9�72J�9�G+K29M>72�-O89�§�9�GH¹69�9�7'G+K29�?25C)+9�J�G+58*-7'*-, G+K29%)LMq:xM\G�G+K29�EF*-�³)+J�9�¤xM>72?�M\G�G+K29�*>§NEF9�)FBD9�) ; 58E��-5CBD9�7§²:

� ) G�� �

�� � ��? � � fu^ . S-^-i

¹�K29�)+9 G+K29�587DG+9��>)LM>ON58E�M>O8*-72��G+K29 )LMq:�� E �1M\G+K�M>72? � � ?29�72*>G+9�E�G+K29�?29�)+5CB>M\G+5CBD9I��9�)���9�72?258J��2O[M\)G+*�G+K29��1M\G+Ka.�¥¨K29�7 ¹69�EF�³§NE·G+5CG+�³G+9�,[)+*-P fu^ . S ¶�i�,=*>) ���³¹69�KNMqBD9

� ) S% R � �

�� � � ? � ) �% R � � � R � fu^ . S -MDi

¹�K29�)+9� R J ¶

S � �

� ? � T fu^ . S \§¡i

RyK29 ��*>G+9�7DG+5[M>O � 58E )+9�O[M\G+9�?gG+*�G+K29�O89�72E�� E]PQM>EFE�¼/?29�72EF5CGH: �µ§²:g(�*-58EFEF*-7a� E]9 � �NM\G+58*-7a�� R � ) � � � �N.�¥¦9%*>)+589�7DG�*-�³)AJ�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P EF*�G+KNM\G�G+K29 �QM < 58EI�1M>EFEF9�E�G+K³)+*-�2�-K�G+K29*>§NEF9�)FBD9�)�M>72? 58E6GLM>72�-9�7DG G+*�G+K29$O858�-KDGI�1M\G+K 729qM\) G+K29$O[M\GFG+9�)q� E���*-587DG *-, J�O8*-EF9�E·G�M6� �2)+*DM>JLK G+*G+K29�?29 �N9�J�G+*>)q.�RyK29�7 ¹69�587DG+9��>)LM\G+9�(�*-58EFEF*-7a� E 9 � �NM\G+58*-7]¹�5CG+K])+9�E���9�J�G�G+* �@

� ��� J � � � � M �M

��?P� ) � M �M

�#� R� � / � R �� � R � ?P�) � R� � M �M � ?P� / � � �� � �

M �M T

fu^ . S �Di

; 7]M>J�J�*-�27DG6*-,�G+K29�EFPQM>O8O8729�EFE�*-,�G+K29�?29 �N9�J�G+58*-7]M>72�-O89>�²G+K29�587DG+9��>)LM>O¡*�BD9�)I�%*-, � 587�G+K29?�2)+E·GG+9�)+P�*-7 G+K29�)+58�-KDG�EF58?29X*-,�G+K258E�9 � �NM\G+58*-7 ?25! �9�)+E�5872EF58�-725!�NJqM>7DG+OC: ,[)+*-P GH¹�58J�9�G+K29 � �NM>7DG+5CGH:� R G+KNM\G�58E�?29 �N729�?¦§²:gfu^ . S \§¡i|.XI'*>)+9�*�BD9�)q� G+K29XE � �NM\)+9�§2)LM>J+»D9�G�587gfu^ . S �Di�)+9 �2)+9�EF9�7DG+E%G+K29�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O2M>J�J�9�O89�)LM\G+58*-72E�G+KNM\G�G+K29�O89�72EF5872�%*>§ (·9�J�G��-9�729�)LM\G+9�E6M\G�EF*-�³)+J�9�M>72?Q*>§NEF9�)FBD9�)q.���7�2)LM>J�G+58JqM>O M6� �NO858JqM\G+58*-72E�G+K29�EF96JqM>7%§�9�729��-O89�J�G+9�?�§�9�JqM>�2EF96EF*-�³)+J�96M>72?�*>§NEF9�)FBD9�)M\)+9�9 < GF)+9�P�9�OC:)+9�P�*>G+9$,[)+*-P�G+K29�O89�72E�.�YA9�72J�9Qfu^ . S �Di�:³589�O8?2E

S���� � � R� � R � fu^ .WV-UDi¹�K258JLKº58E$58?29�7DG+58JqM>O�¹�5CG+K�G+K29�GH¹6*\¼/?258P�9�72EF58*-7NM>O�(�*-58EFEF*-7 9 � �NM\G+58*-7a.�¸6*-72EF9 � �29�7DG+OC:D�dG+K29<��*\¼G+9�7DG+5[M>O � R G+KNM\GQ�-*�BD9�)+72EXG+K29x?29 �N9�J�G+58*-7 G+K³)+*-�2�-K 9 � �NM\G+58*-7°fu^ . S -MDi�58EXG+K29x�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O

Page 65: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� ��������� � �C��� &� � � � �� � �X� �X����� ��*>G+9�7DG+5[M>O�G+KNM\G�¹6*-�2O8?�§�9 �-9�729�)LM\G+9�?�tzkv�����·p>tz¢�}�k2{|tuo\k¡�>� �o\m|�Cpº§²:¦G+K29]O89�72E�� E �2)+*�(·9�J�G+9�??29�72EF5CGH: �A.�A7¦58P���*>)FGLM>7DG�E���9�J�5[M>O�JqM>EF9�58E�G+KNM\G%587 ¹�K258JLKºG+K29�PQM\GFG+9�)�?258E·GF)+5C§N�³G+58*-7º58E%9 �9�J�G+5CBD9�OC:G+KNM\G%*-,yM ��*-587DG�PQM>EFE � � G+KNM\G%58E�� G+K29�?29 �N9�J�G+5872�xPQM\GFG+9�)�?258E·GF)+5C§N�³G+58*-7¦58E�J�*-7�N729�?¦¹69�O8O5872EF58?29%G+K29�58P��1M>J�G?�1M\)LM>P�9�G+9�) � � *-,�9�BD9�)F: )LMq:�*-,587DG+9�)+9�E·Gq.ARyK29�7 � R f � � i ) � � O87HO � � OM>72?

� ) � � �% R � � T fu^ .WV³¶�i��7E�1M\)FG+58J��2O[M\)q�\¹�K29�7�O858�-KDG�,[)+*-PZM�E·GLM\) G+KNM\G O8589�E §�9�K25872?�G+K29 ¤ �27 (·�2E·G�>)LM>��9�E G+K29 ¤ �27a� E�O858P�§d�� � ) ���¨EF* � ) S � N ��� ) ¶ T ^�SM\)+J�EF9�JX58E�9 < M>J�G+OC:xGH¹�58J�9X*-�³)%72*-7 ¼u)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J�9�E·G+58PQM\G+9fu^ .8¶ �Di|. ��7�G+K29�9qM\)+OC: ¶ � �-U>E�G+K29�YA5!� �1M\)+J�*-E�E+M\G+9�O8O85CG+9�P�9qM>EF�³)+9�?XG+K29?��*-EF5CG+58*-72E�*-,aM%,=9�¹>9y¶�U �E·GLM\)+E%M\G�B>M\)+58*-�2E�G+58P�9�E�*-,�G+K29X:D9qM\)q. ¤ 5872J�9XG+K29 ��*-EF5CG+58*-72E�¹69�)+9QM>J�J��³)LM\G+9�G+*�*-,�*>)+?29�)�*-729P�58O8O85[M\)+J�EF9�J>�DG+K29A9 �9�J�G+Ey*-,dO858�-KDG6?29 �N9�J�G+58*-7Q§²:�G+K29�¤ �27Q¹69�)+9�M6� �1M\)+9�7DGy*�BD9�)6G+K29�¹�K2*-O89�E·» :D.

RyK29�EF5CG+�NM\G+58*-7g¹�K29�7vG+K29'EF*-�³)+J�9>�APQM>EFE M>72?¨*>§NEF9�)FBD9�)�M>O8O�O8589'*-7¨M�E·GF)LM>58�-KDG]O858729'58E?29�EFJ�)+5C§�9�? §²:XG+K29��N�-�³)+95@�)LMq:³E�G+KNM\G69�72J�*-�27DG+9�)yG+K29APQM>EFE�M\G6EFPQM>O8O158P��1M>J�G �1M\)LM>P�9�G+9�)6J�)+*-EFEG+K29xEF*-�³)+J�9 � *>§NEF9�)FBD9�) O858729x587g,[)+*-7DG *-,AG+K29'*>§NEF9�)FBD9�)q�y¹�K258O89�)LMq:³E�G+KNM\G �1M>EFEQG+K29xPQM>EFE M\GO[M\)+�-9�58P��1M>J�G?�1M\)LM>P�9�G+9�)+E�J�)+*-EFE�§�9�K25872?'K29�)q.�RyK29�)LMq:]G+KNM\G?�1M>EFEF9�E�G+K29%PQM>EFE ¹�5CG+K�58P��1M>J�G�1M\)LM>P�9�G+9�) ��� )+9qM>JLK29�E�G+K29%*>§NEF9�)FBD9�)q. ¤ 5872J�9>�¡587 G+K29�72*>GLM\G+58*-7 *-, G+K29 �N�-�³)+9>� � � � ���,N�� ��� �� � � ���,N�� � M>72? � ) � � / � � �N5CG�,=*-O8O8*�¹�Ey¹�5CG+K�M�O85CGFG+O89�M>O8�-9�§2)LM�,[)+*-P fu^ .WV³¶�i�G+KNM\G

��� ) � � �% R � ��� � �� ��� / � � T

�AOCG+K2*-�2�-K 5CGQ?29 ��9�72?2E]*-7 G+K29�)+9�O[M\G+5CBD9 ��*-EF5CG+58*-72EQ*-,$EF*-�³)+J�9>� *>§NEF9�)FBD9�)]M>72?g?29 �N9�J�G+*>)q� ���58E��2EF�NM>O8OC:µJqM>O8O89�?µG+K29J:$­h® c�¬ / ­h® ±�ª � ­Y< c *-,�G+K29]?29 �N9�J�G+*>)q.µ��,�G+K29]EF*-�³)+J�9>�6?29 �N9�J�G+*>)QM>72?*>§NEF9�)FBD9�)�M\)+9�J�*-O858729qM\)�M>E 587vG+K29 �N�-�³)+9>��G+K29�*>§NEF9�)FBD9�)�EF9�9�E M�§2)+58�-KDG])+5872�µ*-,�)LM>?258�2E ���M\)+*-�272? G+K29�?29 �N9�J�G+*>)q.6RyK29�M>72�-�2O[M\) )LM>?258�2E�*-, G+K258Ey)+5872�X58EyG+K29c:$­h® c�¬ / ­h® ª1®+* Z /

� � J � � �% R �� ���

� � f � ��� / � � i T fu^ .WVDS-i¥¨K29�7�G+K29�EF*-�³)+J�9�M>72?�O8589�E�G+* *-729�EF58?29�*-,G+K29�*>§NEF9�)FBD9�) � ?29 �N9�J�G+*>)�O858729>��G+K29���5872E·G+9�587x)+5872�?29��-9�729�)LM\G+9�Ey587DG+*�*-729$*>)6P�*>)+9$M\)+J�E�. �A7 58PQM>�-9�*-,aG+K29AJ�O8�2E·G+9�) *-,d�DM>O[M < 589�E ��§�9�O8OaS-S ¶ %G+KNM\G¹yM>E *>§2GLM>58729�? §²: G+K29$YA�³§2§NO89%¤��1M>J�9�R 9�O89�EFJ�*5��9��2)+*�B³58?29�E EF9�BD9�)LM>OdE���9�J�GLM>J��2O[M\) 9 < M>P��NO89�Ey*-,G+K258EI�NK29�72*-P�9�72*-7a.

Page 66: Classical Fields Lecture Notes James Binney

����� ����5�! ���"$�( $�� �1� � �*� � �d� �X����� � �

¥¨K29�7xG+K29�?29 �N9�J�G+5872�QPQM>EFE ?258E·GF)+5C§N�³G+58*-7�58E�72*>GAM < 58E·:³P�P�9�GF)+58J>�³EF9�BD9�)LM>O�58PQM>�-9�E *-, G+K29EF*-�³)+J�9�PQMq:�,=*>)+P�.RyK29R:$­h® c�¬ / ­h® � ±�`¡cqc�J�*-72EF58E·G+E�*-,�,=*-�³)�58PQM>�-9�E*-,aM$§1M>J+»³�>)+*-�272? � �NM>E+M\)�¤ ; S-S5VD^ / U-V-UXS%G+KNM\G�KNM6� ��9�72E�G+*XO8589�M>O8P�*-E·G 9 < M>J�G+OC:Q§�9�K25872?xM�E��N5C)LM>O��DM>O[M < : M\G )+9�?2EFK258,[G� ) U T U5� . 0 +

��7��-9�729�)LM>O G+K29�G+58P�9�)+9 � �25C)+9�?�,=*>)��NK2*>G+*-72E�G+* �1M>EFE$,[)+*-PTG+K29�EF*-�³)+J�9�G+*QG+K29�*>§NEF9�)FBD9�)58E�?25! �9�)+9�7DGX,=*>)�9qM>JLKµ58PQM>�-9Q*-,yG+K29 EF*-�³)+J�9>.¦¤ 5872J�9 G+K29 O8�2P�5872*-EF5CGH:º*-,�M � �NM>E+M\)�GH: �N58JqM>O8OC:B>M\)+589�Ey*-7 G+58P�9�EFJqM>O89�E6*-, M�:D9qM\)�M>72?]9�BD9�7 O89�EFE��³G+K29�?25! �9�)+9�72J�9�Ey§�9�GH¹69�9�7 G+K29AG+58P�9�E6*-, �N58�-KDGG+*�9qM>JLK 58PQM>�-9�JqM>7 §�9$P�9qM>EF�³)+9�?]§²:QJ�)+*-EFE�¼/J�*>)F)+9�O[M\G+5872��M>E6,=�272J�G+58*-72E *-,dG+58P�9�G+K29$P�9qM>EF�³)+9�?§2)+58�-KDG+729�EFEF9�E *-,d9qM>JLK]58PQM>�-9>.RyK29�EF9AG+58P�9�?25! �9�)+9�72J�9�E 9�7NM\§NO89A*-729AG+*�J�*-72E·GF)LM>587QG+K29$EFJqM>O89A*-,G+K29%@A725CBD9�)+EF9>�¡EF5872J�9�G+K29�:xM\)+9�J�O89qM\)+OC: �2)+*5��*>)FG+58*-7NM>OdG+*XG+K29%?258E·GLM>72J�9�G+*2�¡M>72?�G+K29�)+9�,=*>)+9%G+K29O858729qM\)yEFJqM>O89�*-,/� G+K29$?29 �N9�J�G+*>)q. ;1*>)y9 < M>P��NO89$M�?29�O[Mq: *-,�¶�S � V? §�9�GH¹69�9�7]GH¹6*�58PQM>�-9�E6587 4UDS ¶ / VXS-^%:³589�O8?2E YA�³§2§NO89�J�*-72E·GLM>7DG�� + � V-U�»³PgE � 0 I���J � 0 . 0'0

RyK29���5872E·G+9�587])LM>?258�2E 58E�M�?258P�9�72EF58*-7NM>O8OC:Q58P���*>)FGLM>7DG � �NM>7DG+5CGH:Q§�9�JqM>�2EF9�O89�72EF5872�XEF58�-7258,8¼58JqM>7DG+OC: P�* ?25!�N9�E6G+K29�M6� ��9qM\)LM>72J�9�*-, M�EF*-�³)+J�9$G+KNM\G�O8589�E6¹�5CG+K2587�M\§�*-�³G ��� *-,�G+K29�?29 �N9�J�G+*>) �*>§NEF9�)FBD9�)$O858729>�¡¹�K258O89�M�EF*-�³)+J�9%G+KNM\G$O8589�E�,=�³)FG+K29�)$G+KNM>7 ��� ,[)+*-P G+K258EAO858729�¹�58O8O�§�9�EF9�9�7'BD9�)F:P��2JLKxM>E�5CG ¹6*-�2O8? §�9%58, G+K29�?29 �N9�J�G+*>)�¹69�)+9%72*>G?�2)+9�EF9�7DGq.6�HG�58E�J�*-7DBD9�7DG+58*-7NM>OdG+*�E+Mq:]G+KNM\G�MEF*-�³)+J�9�58E O89�72EF9�?x58, 5CG�O8589�Ey¹�5CG+K2587 ��� *-, M�?29 �N9�J�G+*>)q.0 + �C�%��� �.���0&�.�0&��%� *�1UV � ����� � ��� DEF�� I ?�� DEF�� I P; �+D � ����� � ���(V0'0�� ����"$�%�����%� *�1UV � ����� � � � &,-���A/�V � ��� �C4�!- V � ��� � �.�%�M*�1 �.� �A*��*�� � � 1 1 � *8�M� � ����� ��� DEF�� I ?��� � � � � �

� � � �(V

Page 67: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� ��������� � � � �>�* ��! � ���� ����! �-� � � ��$�� �����"$�(¸6*-72EF58?29�)XG+K29 JqM>EF9 587�¹�K258JLK�§�*>G+K�G+K29]EF*-�³)+J�9�M>72?µG+K29 ?29 �N9�J�G+*>)QM\)+9]E·GLM\)+E�G+KNM\GXO8589

¹�5CG+K2587]G+K29�I'58OC» :Q¥�Mq:,@� ��� ) � � ) ¶�U�» ��J ) V T U <9º¶�U 0 � P � � ) U T �Nf � N � �i 0 � R PQM>E T

RyK258E�M>72�-O89X58E�G+* *�EFPQM>O8O�G+* §�9�P�9qM>EF�³)+9�?¦9�BD9�7º¹�5CG+KºG+K29�YA�³§2§NO89 ¤��1M>J�9 R 9�O89�EFJ�*5��9>. 46�³G5CG�58E�9qM>E·:ºG+*xEFK2*�¹ G+KNM\G%G+K29�)+9�O[M\G+5CBD9�P�*>G+58*-7º*-,yG+K29QEF*-�³)+J�9>�?29 �N9�J�G+*>)XM>72?¦G+K29]¤ �27�¹�58O8OJqM>�2EF9$G+K29�M>P�*-�27DGy§²:Q¹�K258JLK ?29 �N9�J�G+58*-7 PQM>�-725!�N9�E6G+K29A§1M>J+»³�>)+*-�272? E·GLM\)yG+*�JLKNM>72�-9�¹�5CG+K2587EF9�BD9�)LM>ON¹69�9�»³E�.�¤ *�§²:XP�*-725CG+*>)+5872�$G+K29 §2)+58�-KDG+729�EFEF9�E6*-,�P�58O8O858*-72E*-,�E·GLM\)+E�O89�72EF5872�%9�BD9�7DG+E�JqM>7§�9%?29�G+9�J�G+9�?�9�BD9�7xG+K2*-�2�-K�G+K29�5C)AJ�*-72E·G+5CG+�29�7DG$58PQM>�-9�E�JqM>7272*>G�§�9%)+9�EF*-OCBD9�?a.�RyK258E�G+9�JLK2725 � �29KNM>E<�2)+*�BD9�?µG+*'§�9]M���*�¹69�)+,=�2O6¹yMq:�*-,�?29�G+9�J�G+5872� ,zM>587DG�*>§ (·9�J�G+E�587�G+K29]I'58OC» :º¥�Mq: � G+K29*>§ (·9�J�G+E�G+K29�P�EF9�OCBD9�E%M\)+9�G+* *],zM>587DG�G+*]§�9XEF9�9�7a� §N�³G�G+K29�:ºM\)+9�?29�G+9�J�G+9�?º§²:�G+K29X9 �9�J�G�G+K29�:KNMqBD9�*-7 O8�2P�5872*-�2Ey§1M>J+»³�>)+*-�272?�E·GLM\)+E�. 0 R

RyK29µ9 �9�J�G+E *-,��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O%?29 �N9�J�G+58*-7 JqM>7ZM>O8EF*g§�9µ58P���*>)FGLM>7DGx¹69�O8O�*-�³G+EF58?29 ��� .¤���9�J�5!�NJqM>O8OC:D� ¹�K29�7]O858�-KDGy,[)+*-P#M>7]9 < G+9�72?29�?]EF*-�³)+J�9$EF�2JLK�M>EyM��DM>O[M < : �1M>EFEF9�EyG+*�*-729AEF58?29$*-,M�O[M\)+�-9�PQM>EFE6J�*-72J�9�7DGF)LM\G+58*-7a�2?25! �9�)+9�72J�9�E 587QG+K29A?29 �N9�J�G+58*-72E EF� �9�)+9�? §²:Q)LMq:³E�G+KNM\G6J�*-P�9�G+*G+K29�*>§NEF9�)FBD9�)6,[)+*-P ?25! �9�)+9�7DG ��*-587DG+E�*-7XG+K29�EF*-�³)+J�9�¹�58O8ON?258E·G+*>)FG�G+K29�*>§NEF9�)FBD9�)q� E�58PQM>�-9 *-,¡G+K29EF*-�³)+J�9>.���7 �1M\)FG+58J��2O[M\)q�>G+K29658PQM>�-9�¹�58O8O²G+9�72?�G+*�§�9yE·GF)+9�G+JLK29�?�587�G+K29y?25C)+9�J�G+58*-7 ��9�)���9�72?258J��2O[M\)G+*%G+K29AO858729�*-7�G+K29AE·» :XG+KNM\G�)+�272E6,[)+*-P G+K29AEF*-�³)+J�9�G+*%G+K29�PQM>EFE�J�*-72J�9�7DGF)LM\G+58*-7a.�RyK258E69 �9�J�G58EAJqM>O8O89�?x¯ / ªNb Z / ® cq­h®+*�.�4�:�P�9qM>EF�³)+5872��G+K29�EFKNM6��9�E$*-,�DM>O[M < : 58PQM>�-9�E�587�G+K29�B³58J�58725CGH: *-,M�J�O8�2E·G+9�)�*-, �DM>O[M < 589�E��2*-729�JqM>7 J�*-72E·GF)LM>587 G+K29�J�O8�2E·G+9�)q� E �>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O��N9�O8?a. 0�2� � & � <>=?=ºªN± �% � �2)+9�?258J�G+E�G+KNM\G�M��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O�N9�O8?�PQM\»D9�E�J�O8* J+»³E)+�27QEFO8*�¹ §²:�M�,zM>J�G+*>)�¶ G O � O N5% R G+KNM\GPQM>7258,=9�E·G+E�5CG+EF9�O8,�587��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O�)+9�?2EFK258,[G+E�.�RyK29%9 � �NM\G+58*-72E�*-,�KD:³?³)+* ?³:³7NM>P�58J�E��N)+9�J�*�BD9�)+9�?,[)+*-P � 4 � 4 8 ) U³� �2)+9�?258J�G�G+KNM\G��2)+9�EFEF�³)+9'M>�2�-P�9�7DG+EXG+K29 58729�)FG+5[M *-,APQM\GFG+9�) @ 587 ���2O89�)q� E9 � �NM\G+58*-7 ��58E�)+9 �NO[M>J�9�?%§²: � / ��N5% R .�RyK29�KNM\)+P�*-7258J��DM>�2�-9�J�*-72?25CG+58*-7 � 4 8 � �4 8 ) U�EF58P��NO85!�N9�EG+K29�9 � �NM\G+58*-72E§²:X�-�258?25872���2E�G+*�EF9�72EF5C§NO89 ^·729qM\)y¸yM\)FG+9�EF5[M>7-`�J�* *>)+?2587NM\G+9�E�.�¥¨5CG+KX5CG+E�K29�O!��¹69EF9�9�G+KNM\G % � �2)+9�?258J�G+E$G+K29�9 < 58E·G+9�72J�9�*-,��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O�¹yMqBD9�E���M>72? �2)+9�?258J�G+E$G+KNM\G��2)+9�EFEF�³)+958E�M EF*-�³)+J�9�*-,��>)LMqB³5CGH:µ587 5CG+E�*�¹�7 )+58�-KDGq��EF*º(�*-58EFEF*-7a� EX9 � �NM\G+58*-7 KNM>E�G+* §�9 P�* ?25!�N9�?�G+*� R � ) � � ��f�� / V ��N5% R i|.¦��7µG+K29 JqM>EF9 *-,��2OCGF)LM\)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58JQPQM\GFG+9�)�EF�2JLK M>E�§NO[M>J+»²¼u§�* ?³:)LM>?25[M\G+58*-7a� � ) 02 � % R EF*XG+K29�E·GF)+9�72�>G+Kx*-, �>)LMqB³5CGH: 58E�9 �9�J�G+5CBD9�OC: ?2*-�³§NO89�?a. % )LMqB³5CGH: M6� ��9qM\)+EG+*�9�72?2*�¹#G+K29 B>M>J��2�2P ¹�5CG+K�M'72*-7 ¼uGF)+5CB³5[M>O�)+9�,[)LM>J�G+5CBD9 5872?29 < � ) ¶ G S � N5% R � ¶ � G+K258E�NK29�72*-P�9�72*-7�58E�M>7�M>E���9�J�G�*-,¡G+K29�EFO8*�¹�5872��*-,�J�O8* J+»³EG+KNM\G�M\)+9 �>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O��*>G+9�7DG+5[M>O³¹69�O8O8E�.RyK29�?258E·G+*>)FG+58*-7]*-,�G+K29�58PQM>�-9�Ey*-, ?258E·GLM>7DG�*>§ (·9�J�G+EyG+*�¹�K258JLK � ') ¶��-5CBD9�Ey)+58EF9�72*�¹ �2)+*�B³58?29�EM�J�)+�2J�5[M>OA�2)+*>§�9�*-, G+K29�@A725CBD9�)+EF9>.� � �'��� � ���������� ���q����� "X� ������"X&

A*�¹ G+KNM\G�¹69�KNMqBD9 G+K29��N9�O8?�9 � �NM\G+58*-72E�fnV³.8¶ Di 5CG�58E�7NM\G+�³)LM>O2G+*�EF9�9�»�G+K29�EF*-O8�³G+58*-7 * G+KNM\G�?29|¼EFJ�)+5C§�9�E�G+K29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O�N9�O8?Q587�G+K29�EF*-O[M\)�E·:³E·G+9�P�.S� �2EF9�,=�2O¡E·G+9 � 587�G+K258E�?25C)+9�J�G+58*-7�¹6*-�2O8?§�9�G+*<�N72?�G+K29�P�9�GF)+58J�M>EFEF* J�5[M\G+9�? ¹�5CG+K�M<��*-587DG�PQM>EFEy587xM>7 *>G+K29�)F¹�58EF9�9�P��2GH: �2725CBD9�)+EF9>.0 R �C�%��� ��-$� � � �A� �%� *�1UV � � ��� � � S*��.����� ��->����� � ����� ��� �0�2��C�%�� *�� �.�%� � ������ ���0�� ������� � � DEF�� I P; �+D� �� ����� � ��� � � *�1 �.� � 4A-��� *�&(�L�%��*�1UV � ��� � � � DEF�� I P; �+D� �� � ��� �

� �AV

Page 68: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� (*����$����X! ���"$�( ��$ �>�* ��! � ���� ����! �-� � � ��$�� �����"$�( � �RyK29'¹yMq: ¹69�?29�)+5CBD9'P�*-E·G EF*-O8�³G+58*-72EQG+*���5872E·G+9�587a� E 9 � �NM\G+58*-72E 58E]M\G )+* *>GQG+K29'E+M>P�9

M>E�G+KNM\G�§²: ¹�K258JLKº¹69QM\)+9�M>J�J��2E·G+*-P�9�?ºG+*�EF*-OCBD9X*>G+K29�)E�1M\)FG+5[M>O?25! �9�)+9�7DG+5[M>O�9 � �NM\G+58*-72E�� ,=*>)9 < M>P��NO89xI�M < ¹69�O8On� E 9 � �NM\G+58*-72E�. ��,$¹69'¹yM>7DG]G+*4�N72?¨G+K29'9�O89�J�GF)+*-E·GLM\G+58J���*>G+9�7DG+5[M>OA5872EF58?29MµJLKNM\)+�-9�? E��NK29�)+58JqM>O�EF�³)+,zM>J�9>�A¹69ºE·GLM\)FG]§²:¨O8* *>»³5872�µ,=*>) ��*>G+9�7DG+5[M>O8E]*-,�G+K29 E���9�J�5[M>O�,=*>)+P� f � � �� � i ) ��f � i���f �Di�9 � � .$¥¦9XM\)+9�72*>G$58725CG+5[M>O8OC:�J�9�)FGLM>587'G+KNM\G�EF�2JLK EF*-O8�³G+58*-72E$9 < 58E·Gq��§N�³G¹69�GF)F: G+K29�58?29qMx*-�³G�M>7D: ¹yMq:¦587ºG+K29�»³72*�¹�O89�?2�-9�G+KNM\G�58,�G+K29�)+9 M\)+9Q72*xEF�2JLKµEF*-O8�³G+58*-72E%¹69EFKNM>O8O ?29�)+5CBD9%5872J�*-72EF58E·G+9�7DG$J�*-72?25CG+58*-72EA*-7 � M>72?�� M>72?xG+K²�2EA?258EFJ�*�BD9�)$*-�³)AP�58E·GLM\»D9>�N§N�³GA58,72*x5872J�*-72EF58E·G+9�72J�589�E�M\)+58EF9>� ¹69�EFKNM>O8O��-9�G�M B>M>O858?¦EF*-O8�³G+58*-7�M>72?¦5CG%¹�58O8O�72*>G�PQM\GFG+9�)�G+KNM\G%¹69,=*-�272?x5CGy§²: O89qM6�N5872�X587DG+*�G+K29�?NM\)F»�.

(�)+* J�9�9�?25872�]587'G+K258E$E��N5C)+5CGAG+*�¹yM\)+?2EAG+K29�P�9�GF)+58J%*-�³G+EF58?29XM ��*-587DG$PQM>EFE���¹69 �2)+E·G�M\)+�-�29G+KNM\G�¹69�EFK2*-�2O8?Q§�9$M\§NO89�G+* �N72?]J�* *>)+?2587NM\G+9�E�587�¹�K258JLKQG+K29�P�9�GF)+58J�58E�?25[M>�-*-7NM>On.�R *%EF9�9�¹�KD:G+K258E 58E EF*2�-EF�� ��*-EF9�¹69yM\)+9��-5CBD9�7�M�P�9�GF)+58J�G+9�72EF*>) *�,=*>)�EF*-P�9�GH¹6*\¼/?258P�9�72EF58*-7NM>O²E��1M>J�9>.RyK29�7,[)+*-P EF58P��NO89�PQM\GF)+5 < M>O8�-9�§2)LM ¹69�»³72*�¹ G+KNM\G%M\G%M>7D: ��*-587DG%587�G+K29XE��1M>J�9�¹69XJqM>7Q�N72? GH¹6*P��³G+�NM>O8OC:E��9�)���9�72?258J��2O[M\)�?25C)+9�J�G+58*-72E��DG+K29 9�58�-9�7DBD9�J�G+*>)+E <'M>72? . *-, * �DEF�2JLKXG+KNM\G * ¹6*-�2O8?�§�9M ?25[M>�-*-7NM>O�PQM\GF)+5 < 58,�*-�³)�J�* *>)+?2587NM\G+9�?25C)+9�J�G+58*-72E�J�*-5872J�58?29�?�¹�5CG+K <gM>72? . . A*�¹ 58PQM>�-58729PQM\)F»³5872�]G+K29Q?25C)+9�J�G+58*-72E#<�� . M>E%EFPQM>O8OJ�)+*-EFEF9�E�*-7�M��>)+58?¦*-, ��*-587DG+E%587ºG+K29QE��1M>J�9>.x¤ 5872J�9*�58E%M EFP�* *>G+K2OC:'B>M\)F:³5872� ,=�272J�G+58*-7�*-, ��*-EF5CG+58*-7a��G+K29�*>)+589�7DGLM\G+58*-7 *-,6729�58�-KD§�*-�³)+5872�xJ�)+*-EFEF9�E¹�58O8ON§�9�EF58P�58O[M\)q. YA9�72J�9�¹69�PQMq:X?³)LMq¹¨EFP�* *>G+K�J��³)FBD9�E�G+K³)+*-�2�-KQ729�58�-KD§�*-�³)+5872��J�)+*-EFEF9�E�� G+K²�2EJ�*�BD9�)+5872�%G+K29�E��1M>J�9�¹�5CG+K M�J��³)FB³58O858729qM\)6�>)+58?a.U;�587NM>O8OC:D�²58,�¹69AM\)+9AM\§NO89�G+*%O[M\§�9�O¡9qM>JLKQJ��³)FBD9A*-,G+K258E�?2*-�³§NOC:�587�N725CG+9A,zM>P�58OC:�*-,aJ��³)FBD9�E6¹�5CG+K�7²�2P�§�9�)+E�f�I � � i|�DG+K29�EF9A7²�2P�§�9�)+E�¹�58O8O1J�*-72E·G+5CG+�³G+9M B>M>O858?%J�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P°,=*>) G+K29�E��1M>J�96M>72? *�¹�58O8O-§�9�?25[M>�-*-7NM>OD587�G+K258E J�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P�.

��,d¹69$E·GLM\)FGy,[)+*-P G+K29$P�9�GF)+58J�G+9�72EF*>) *-, M �\¼/E��1M>J�9>�2G+K29AEF5CG+�NM\G+58*-7 58Ey,=�272?NM>P�9�7DGLM>O8OC:�G+K29E+M>P�9�M>E6587Q*-�³)�GH¹6*\¼/?258P�9�72EF58*-7NM>O19 < M>P��NO89>�²G+K29A*-72OC:X?25! �9�)+9�72J�9$58E�G+KNM\G�G+K29�)+9$M\)+9�72*�¹�,=*-�³)E���9�J�5[M>O ?25C)+9�J�G+58*-72E�M\G�9qM>JLK2��*-587DGq. ¤ *º5CG�58E�)+9qM>EF*-7NM\§NO89 G+* J�*-7 (·9�J�G+�³)+9�G+KNM\GX¹69 JqM>7��N72?J�* *>)+?2587NM\G+9�E 587 ¹�K258JLK G+K29�P�9�GF)+58J$*-,�M>7D:]EF58P��NO89�E��1M>J�9�G+58P�9�58E 9�BD9�)F: ¹�K29�)+9�?25[M>�-*-7NM>On.;1�³)FG+K29�)+P�*>)+9>�²EF5872J�9�G+K29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O �N9�O8?X¹69�EF9�9�»XG+*�?29�EFJ�)+5C§�9�58EG+58P�9|¼/5872?29 ��9�72?29�7DGq�¹69%EFK2*-�2O8?x§�9�M\§NO89�G+*�JLK2* *-EF9%J�* *>)+?2587NM\G+9�E�587xEF�2JLK�MX¹yMq:]G+KNM\GA72*-729%*-, G+K29%P�9�GF)+58J�J�* 9&a�¼J�589�7DG+E$?29 ��9�72?2E�*-7xG+58P�9>.��AO8EF*QG+K29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O �N9�O8?'¹�58O8O�§�9�E��NK29�)+58JqM>O8OC:xE·:³P�P�9�GF)+58J>�1EF*G+K29�)+9�P��2E·Gy§�9�J�O8*-EF9�?'S�¼/EF�³)+,zM>J�9�E�*-7 ¹�K258JLK]G+K29��-9�*-P�9�GF)F:Q58EyG+KNM\G�*-, M�E��NK29�)+9>.���,�¹69�O[M\§�9�OG+K29�EF9�EF�³)+,zM>J�9�E�¹�5CG+K�G+K29 J�* *>)+?2587NM\G+9�E�f � ���Fi�M>72?X5872?258JqM\G+9I��*-EF5CG+58*-7�*-7X9qM>JLKXEF�³)+,zM>J�9�¹�5CG+K�G+K29M>72�-O89$B>M\)+5[M\§NO89�E%f �� � i|�³¹69�KNMqBD9

? � R J�� 4 8 ?� 4 ?� 8) G � f � i % R ?� R / f � i�fh? � R / EF587 R �>? � R i / 0]f � i�? � R T f ³.8¶�i

¥¦9%729 < G?� < G+K29%P�9qM>725872��*-, � §²: ?29�G+9�)+P�58725872�XG+KNM\G�G+K29%E��NK29�)+9%¹�5CG+K�O[M\§�9�O8E�f � ���Fi6EFK2*-�2O8?KNMqBD9%M\)+9qM � � � R .�RyK258E :³589�O8?2E

? � R ) G � f � i % R ?� R / � R fh? � R / EF587 R �>? � R i / 0]f � i�? � R T f ³. S-i

RyK29�P�9�GF)+58J$72*�¹ GLM\»D9�EyG+K29�,=*>)+P

� 4 8 )����

"#$G?% R � U U UU 0 U UU U � R UU U U � R EF587 R �

& '( T f ³.WVDi

Page 69: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� � � � �>�* ��! � ���� ����! �-� � � ��$�� �����"$�(:;Q / ±\«D­hc /�� ����� e

4�:¦PQM\»³5872�xM>7µM6� �2)+*5�2)+5[M\G+9QJ�* *>)+?2587NM\G+9�GF)LM>72EF,=*>)+PQM\G+58*-7 Q � f Q i�EFK2*�¹ G+KNM\G%¹�K29�7a��M>EK29�)+9>��*-729Q�2EF9�E<��)LM\G+K29�)�G+KNM>7 % �%,=*>)�G+K29 U� ��xJ�* *>)+?2587NM\G+9>��G+K29 �\¼uBD9�J�G+*>)�*-, M:�NK2*>G+*-7§�9�J�*-P�9�E � 4 ) f � N5% R ����i|.¥¦9�729 < G�JqM>O8J��2O[M\G+9�G+K29A¸6K³)+58E·G+*5 �9�O¡E·:³P�§�*-O8E�. ¥¦9�J�*-�2O8? �2)+* J�9�9�?Q?25C)+9�J�G+OC:X,[)+*-P f�S . S>UDi|�

§N�³G�¹�K29�7¦*-729�¹yM>7DG+E�G+*�JqM>O8J��2O[M\G+9�O[M\)+�-9X7²�2P�§�9�)+E�*-,y¸6K³)+58E·G+*5 �9�O�E·:³P�§�*-O8E�5CG�58E��-9�729�)LM>O8OC:P�*>)+9�J�*-E·G·¼/9 �9�J�G+5CBD9%G+*��2EF9%G+K29 �2)+* J�9�?2�³)+9�?29�EFJ�)+5C§�9�?�587'46* < S .y¥¦9�M6� �NOC:]G+K29����µ9 � 7�G+*G+K29�� M>�>)LM>72�-5[M>7

��J G?% R � � ?�? � � R / 0 � ? �? � � R / � R � � ? �? � � R / EF587 R � � ? �? � � R � f ³. �²i�N72?25872�

U ) ?? � � � ?�

? � �U ) ?

? � � 0 ? �? � � / 0R % R � � � ?�? � � R G 0R 0 � � ? �? � � R G � � � ? �? � � R / EF587 R � � ? �? � � R �U ) ?

? � �C� R ? �? � � G � R EF587 ��J�*-E�� � ? �? � � RU ) ?

? � � � R EF587 R � ? �? � � Tf ³.TS-i

�A,[G+9�)X?25! �9�)+9�7DG+5[M\G+5872�'G+K29 �2)+* ?2�2J�G+EX587�G+K29�EF9 9 � �NM\G+58*-72E�¹69]JqM>7µ)+9qM>?�*5 G+K29�¸6K³)+58E·G+*5 �9�OE·:³P�§�*-O8E6§²: J�*-P��1M\)+5872��G+K29�)+9�EF�2OCG+5872�X9 � �NM\G+58*-72E *-, P�*>G+58*-7Q¹�5CG+K¦f�S .WVDS-i�@

� ���� ) � �� � ) � �S �

����� ) 0 �

S 0 �� ��� ) G �0 �

� ��� ) G � EF587 R �0 ��� � ) % R � �

S 0� ���� ) G EF587 ��J�*-E�� � ��

� ) � �� � ) ¶�� ���) � �

�� ) ¶� � �

� � ) � �� � ) J�*>G � T

f ³.3VDi

YA9�72J�9

� 4�4 ) 0 �

S 0 / S� / � �S �

� � 4 � 4 ) J�*>G �� � 4� 4 ) U� � 4

� 4 ) U T f ³. ^-i

4�: KNM\)+?�EFO8*-��M>72?�fnV³.8¶.VDi�*-729�JqM>7�72*�¹ *>§2GLM>587

� � � ) G % R � � �S 0 / % R � �� 0 � 0 �0 / � ��� G % R � �� 0 f ³.�-MDi

���� ) � � �

S � G � �� � � 0 �0 / � ��� G 0 �� 0 f ³.�\§¡i

� ��� ) G ¶ / �S 0 � G 0 �0 / � �

�� / ¶0 f ³.�>J�i

� ��� ) EF587 R � � ��� f ³.�>?1i� 4 8 ) U � ') E T f ³.�>9�i

Page 70: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� � �%$�(�� � �)(*����$�� � $ ���"$�( � �¥¦9�)+9 � �25C)+9 � 4 8 ) U�9�BD9�)F: ¹�K29�)+9A9 < J�9 �2GyM\G � ) U fz¹�K29�)+9�G+K29�EF9�9 < �2)+9�EFEF58*-72E6,zM>58O¡M>7D: ¹yMq:Ni|.I'�2OCG+5!�NOC:³5872��f ³.�-MDi�§²:�0 N5% R � M>72?xM>?2?25872�XG+K29$)+9�EF�2OCG�G+*�f ³.�\§¡i�:³589�O8?2E

0 �0 ) G � ��

0 � ) J�*-72E·GLM>7DG T f ³.��Di

�AE � � � G+K29 P�9�GF)+58J�EFK2*-�2O8?�§�9�J�*-P�9QG+KNM\G�*-, �1M\G�E��1M>J�9�G+58P�9Q,=*>)�¹�K258JLK 0 ) � ) ¶-.RyK²�2E 0]f � i ) ¶

� f � i � � � U T f ³.8¶�UDi

4�: f ³.�>J�i�G+K29�9 � �NM\G+58*-7 � ��� ) U�72*�¹ §�9�J�*-P�9�E

U ) � ��� ) G ¶ / ��� � / � � ) ¶ / J�*-72E·GLM>7DG N>� T f ³.8¶-¶�i

4�:gfnV³. S>VDi$¹69Q»³72*�¹ G+KNM\G�M>E � � � M>72?�G+K29 �N9�O8?�§�9�J�*-P�9�E%¹69qM\»�� � � ¶ / S � N5% R )¶ G � N>� ��¹�K29�)+9 � 58E�G+K29 PQM>EFE�M\G�G+K29 J�9�7DGF)+9�M>72?�G+K29���«��a¯�ªN± �²cq«�� ­ Z � ±�ª � ­Y< c � 58E?29 �N729�?�§²:� J S � �% R T f ³.8¶�S-i

YA9�72J�9�¹69�PQMq: 58?29�7DG+58,[: G+K29�J�*-72E·GLM>7DG�587¦f ³.8¶-¶�i6M>E G�� �N�-5CB³5872�� ) ¶ G � � T f ³.8¶.VDi

¸6*-O8O89�J�G+5872��9�BD9�)F: G+K25872�XG+*-�-9�G+K29�) ¹69�KNMqBD9�G+K29 ��«��a¯�ªN± �²cq«�� ­ Z � = / ¬�±\­h«

� 4 8 )����

"#$G?% R �

�� 0 � R � R EF587 R �

& '(*)

"#$G?% R f�¶ G � N>� i f�¶ G � N>� i � 0 � R � R EF587 R �

& '( T

f ³.8¶ �²iRyK29�P�9�GF)+58J f ³.8¶ �²i�?29�B³5[M\G+9�E$PQM\)F»D9�?2OC:',[)+*-P G+K29�P�9�GF)+58J�M>EFEF* J�5[M\G+9�?�¹�5CG+K�E��NK29�)+58JqM>O ��*-O[M\)J�* *>)+?2587NM\G+9�E fz¹�K258JLKvKNM>E � � � ) G?% R M>72? �

��� ) ¶�iX,=*>) B>M>O8�29�E *-, � ��vG+*µM¦,=9�¹ G+58P�9�EO[M\)+�-9�)�G+KNM>7 � .���, � KNM>E%G+K29 E+M>P�9�PQM>EFE�M>E%G+K29 ¤ �27a�XI�� ) ¶ T � � 9�¶�U 2 + »³�N��¹69 �N72?� ) S T �XS »³P].� ��� � `¡® c�¬�ª1®�¬�c�`�Nb `N¬�­z`¡®�HG�58E�J�O89qM\)�G+KNM\GXM:��*-EFEF5C§NO89]EF*-O8�³G+58*-7�G+*xG+K29 ��¼/9 � �NM\G+58*-7�*-,yG+K29]EF9�G�f ³.TS-i�58E � )�� R ��G+KNM\G58E�� M �1M\)FG+58J�O89XJqM>7ºP�*�BD9�M>OC¹yMq:³E�587 G+K29�9 � �NM\G+*>)+5[M>OU�NO[M>729X*-,�G+K29XJ�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P�.X¥¦9EFKNM>O8O6M>EFEF�2P�9�G+KNM\G�*-�³)�J�* *>)+?2587NM\G+9QE·:³E·G+9�P KNM>E%§�9�9�7µ*>)+589�7DG+9�?�G+*'9�72EF�³)+9 � )�� R .�RyK29 �9 � �NM\G+58*-7 *-,dG+K29$EF9�G%f ³.TS-i�58P��NO8589�E�G+KNM\G ?� N ? � ) J�*-72E·GLM>7DG N�� .��7]E���9�J�5[M>O�)+9�O[M\G+5CB³5CGH:D�²?� N ? �58E�J�*-72E·GLM>7DG%M>72?�¹69�JqM>O8O G+K258E$J�*-72E·GLM>7DG F .�¤ *]O89�Gq� E�JqM>O8O G+K29�J�*-72E·GLM>7DG�*-,�587DG+9��>)LM\G+58*-7'G+KNM\GM\)+58EF9�E�K29�)+9 F G+* *2.�RyK29�7 ¹69�KNMqBD9 ?�

? � ) F� T f ³.8¶ S-i

Page 71: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� � � � �>�* ��! � ���� ����! �-� � � ��$�� �����"$�(¤ 58P�58O[M\)+OC:D�NG+K29 � 9 � �NM\G+58*-7'*-,G+K29�EF9�G�f ³.TS-i 58P��NO8589�E�G+KNM\G � R fh? � N ? � i ) J�*-72E·GLM>7DG�.%¸yM>O8O85872�G+K258E J�*-72E·GLM>7DG F � �³¹69�*>§2GLM>587]G+K29�E·GLM\G+9�P�9�7DG�*-, M>72�-�2O[M\)·¼/P�*-P�9�7DG+�2P#J�*-72EF9�)FB>M\G+58*-7

� R ? �? � ) F � T f ³.8¶�VDi

RyK29 �NKD:³EF58JqM>O 587DG+9�)��2)+9�GLM\G+58*-7 *-, F 58E�J�O[M\)+5!�N9�? §²: �-*-5872� §1M>J+» G+* G+K29v?29 �N725CG+58*-7G?% R ? � R ) G?% R � ?� R / �� 0L? � R / � R ? � R *-,��2)+*5��9�)QG+58P�95@�?25CB³58?25872� §�*>G+K EF58?29�EX§²: ? � R

M>72?��2EF5872�X9 � �NM\G+58*-72E�f ³.8¶ S-i�M>72?�f ³.8¶�VDi�¹69�*>§2GLM>587

G?% R ) G % R F R� / ¶

�� ? �? � � R / F R � R� R T f ³.8¶�^-i

��9qM\)F)LM>72�-5872�2�2¹69�KNMqBD9 % RF R ) % R�G ¶� 2 � ? �?� � R G � R� R T f ³.8¶ Di

� < �1M>72?25872��G+K29$)q. Ka. E�.2587 ��*�¹69�)+E�*-, � N>� M>72? G+K29�7 �2EF5872��G+K29$§N5872*-P�5[M>O�G+K29�*>)+9�P#G+*�GLM\»D9�ME � �NM\)+9�)+* *>Gq�³¹69��N72?

F ) ¶ / % � R � G % R � S � / 0R � ? �?� � R � ¶ / V � � / 3 3 3 � / � RS �-R /M3 3 3 � T f ³.8¶ �Di

¤ 5872J�9 G?% R � N S � 58E G+K29 A9�¹ G+*-725[M>7 ��*>G+9�7DG+5[M>O�9�729�)+�>: G � � N>� �15CG�58E�J�O89qM\)�G+KNM\G F % R 58E (·�2E·GG+K29�9�729�)+�>: ��9�)Q�2725CG�PQM>EFEX*-,�G+K29�*>)F§N5CG+5872�K�1M\)FG+58J�O89>�yM>E�¹69�P�58�-KDGXKNMqBD9xM>7DG+58J�5!�1M\G+9�?�§²:M>7NM>O8*-�>:Q¹�5CG+K]G+K29�E���9�J�5[M>O ¼u)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J$JqM>EF9>.

¥¨5CG+K � ) � R G+K29 � ¼/9 � �NM\G+58*-7 *-, P�*>G+58*-7]58EU ) ? R �

? � R / 0R % R � �0 � ?�? � � R / 0R 0 �0 � ? �? � � R G �0 � ? �? � � R T¥¨5CG+K¦f ³.8¶�UDi|��f ³.8¶ Di6M>72?¦f ³.8¶ �Di�G+K258Ey§�9�J�*-P�9�E

U ) ? R �? � R / 0R F R % R � �� G ��F R � R� 2 G 0R � �� � ? �? � � R T f ³. S>UDi

¥¦9�EFKNM>O8O�EF9�9�G+KNM\G�587 A9�¹ G+*-7a� EAG+K29�*>)F:'EFO858�-KDG+OC:xP�* ?25!�N9�?�,=*>)+P�EA*-,�G+K29 �2)+E·Gq�dEF9�J�*-72?¦M>72?G+K25C)+?]G+9�)+P�E * J�J��³)q.�RyK29�O[M>E·G )+9 �2)+9�EF9�7DG+EAM�729�¹��1E���9�9�?�?29 ��9�72?29�7DG$,=*>)+J�9>.:;Q / ±\«D­hc /�� ��+ � e;N)+*-P�f ³.8¶�VDi�M>72?ºf ³.8¶ DiEFK2*�¹�G+KNM\G � R ) � 2 % R � � N fuS � R i�M>72?]K29�72J�9AG+KNM\G6G+K29$M>72�-�2O[M\)

,[)+9 � �29�72J�:�*-, M�J�5C)+J��2O[M\)�*>)F§N5CG�M>E�EF9�9�7 §²: M>7�*>§NEF9�)FBD9�)AM\G�587�N725CGH:]58E? �?� ) � �� 2

9 < M>J�G+OC:]M>E�587 A9�¹ G+*-7a� EyG+K29�*>)F:D.

:;Q / ±\«D­hc /�� ��+ � eI'�2OCG+5!�NOC:ºf ³. S>UDi�§²: S

? �? � M>72? 587DG+9��>)LM\G+9$G+K29$)+9�EF�2OCG�G+*�)+9�?29�)+5CBD9�G+K29�9�729�)+�>: 9 � �NM\G+58*-7

f ³.8¶ Di|.

Page 72: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� � �>�* �% �'� �*�� �"$�(_$�� � ��! ��� � �� ��� � / ( / ±\­ � /�Z ­z`¡® `�;b / ±\«X< ± �¥¨K29�7���5872E·G+9�587%587DGF)+* ?2�2J�9�?��2. )q.�587�¶ �³¶�V³��G+K29�*-72OC:�EF58�-725!�NJqM>7DG ?258EFJ�)+9 �1M>72J�:�§�9�GH¹69�9�7 A9�¹ G+*\¼725[M>7 ?³:³7NM>P�58J�E�M>72? EF*-O[M\)6E·:³E·G+9�P *>§NEF9�)FB>M\G+58*-72E�¹yM>E�G+K29�)LM\G+9A*-,dM>?³B>M>72J�9$*-,�G+K29���9�)+58K29�O858*-7*-,dI'9�)+J��³)F:D. ; 729$*-,d�2. )q.8� E�9qM\)+OC:�GF)+58�2P��NK2E�¹yM>E6G+*�M>J�J�*-�27DG ,=*>)6G+K258E6?258EFJ�)+9 �1M>72J�:D.¥¦9$E·GLM\)FG§²: )+9�B³589�¹�5872� A9�¹ G+*-7a� Ey)+9�EF�2OCG+E�,=*>)�P�*>G+58*-7 587]G+K29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O��N9�O8?�*-, M<��*-587DG�PQM>EFE�.U / ¯�¬�`¡® ­zª1® =º`N¬�­z`¡® ªN±�`5< ®��°ª [�`¡­h®�¬ =ºª1cqc RyK29�9 � �NM\G+58*-7 *-,�P�*>G+58*-7�*-,6M �1M\)·¼G+58J�O89Q587¦G+K29 A9�¹ G+*-725[M>74�N9�O8?µ*-, MxPQM>EFE � O8* JqM\G+9�?µM\G%G+K29 *>)+58�-587�58E �� ) G � � � N>� 2 )G 0R % R � � N>� 2>. ; 7�J�)+*-EFEF5872��G+K258E�9 � �NM\G+58*-7]G+K³)+*-�2�-K�§²: � ¹69�*>§2GLM>587 �� ) U�¹�K29�)+9 �°58E G+K29M>72�-�2O[M\)�P�*-P�9�7DG+�2PTBD9�J�G+*>) � J � 9 �� .<;N)+*-P G+K29�J�*-72E·GLM>72J�:�*-,M� ¹69�?29�?2�2J�9�G+KNM\G�G+K29P�*>G+58*-7�58E�J�*-7�N729�?�G+*�G+K29 �NO[M>729 � 3 � ) U ��9�)���9�72?258J��2O[M\)XG+*'G+K29 M>72�-�2O[M\)�P�*-P�9�7DG+�2PBD9�J�G+*>)���. ��9�G � M>72? � §�9���*-O[M\)�J�* *>)+?2587NM\G+9�E%,=*>)%G+K258EE�NO[M>729>.x¸6*-72EF9�)FB>M\G+58*-7¦*-,yM>72�-�2O[M\)P�*-P�9�7DG+�2P°)+9 � �25C)+9�E � R �� ) � �>¹�K258O896G+K2969 � �NM\G+58*-7�*-,1P�*>G+58*-7%*-, � 58E �� G � �� R ) G 0R % R � N>� R .��O858P�587NM\G+5872� �� 587�,zMqBD*-�³)�*-, � G+K29�O[M\GFG+9�) )+9qM>?2E

U ) ? R �?� R / % R � S �-R G � R� 2 T f ³. S ¶�i

RyK258E�58E�G+K29 A9�¹ G+*-725[M>7µM>7NM>O8*-�-�29Q*-,%f ³. S>UDi�@�G+*'EF9�9QG+K258E�)+9�JqM>O8O�G+KNM\G � ) ¶ G � N>� M>72?� � N�� � � N>� R .

¥¦9�*>§2GLM>587�G+K29�EFKNM6��9�*-, A9�¹ G+*-725[M>7X*>)F§N5CG+E�§²:�9�O858P�587NM\G+5872���,[)+*-PTf ³. S ¶�i G+K³)+*-�2�-KXG+K29EF�³§NE·G+5CG+�³G+58*-7�?� ) f � R N>� i�? � � M>72?�9�O858P�587NM\G+5872� � 587�,zMqBD*-�³)�*-,aM�729�¹vB>M\)+5[M\§NO89 � J ¶ N>� . ¥¦9G+K29�7 �N72?

? R �? � R / � ) % R � S � R T f ³. S-S-i

RyK258E�58E (·�2E·G�G+K29 9 � �NM\G+58*-7�*-, P�*>G+58*-7�*-,�M'EF58P��NO89QKNM\)+P�*-7258JQ*-EFJ�58O8O[M\G+*>)q.º¤ *'G+K29 *>)F§N5CG�58E�-5CBD9�7]§²:

� f � i ) ¶� ) ¶

J�*-Eqf � G � +�i / 0R % R � N>� R � f ³. S5VDi¹�K29�)+9 M>72? � +%M\)+9�EF�25CGLM\§NO89�J�*-72E·GLM>7DG+E�*-, 587DG+9��>)LM\G+58*-7a.�RyK258E�58E�M>J�G+�NM>O8OC:QG+K29�9 � �NM\G+58*-7 *-,M>7]9�O8O85!�NEF9�¹�5CG+K *-729$,=* J��2E M\G6G+K29$*>)+58�-587a.�46�³G6G+K29$P�*-E·G658P���*>)FGLM>7DG ��*-587DGy58E6G+KNM\GyEF5872J�9AG+K29)+58�-KDG�EF58?29�*-,f ³. S5VDi 58E ��9�)+58* ?258J 587 � ¹�5CG+K���9�)+58* ?QS��� � f � / S�� i ) � f � i�,=*>)6M>7D: � M>72?XG+K²�2Ef ³. S5VDi6?29 �N729�E�M s��8o�{q}+p�J��³)FBD9>.A¸6*-72EF9 � �29�7DG+OC:D��M��NO[M>729�GA587x�272?258E·G+�³)F§�9�?�*>)F§N5CGAM\)+*-�272?xG+K29¤ �27 ¹6*-�2O8?�M>OC¹yMq:³E J�*-P�9$J�O8*-EF9�E·G G+*�G+K29%¤ �27�fh587]G+K29)(FM\)+�-*-7a�%^·P�*�BD9AG+K³)+*-�2�-K ��9�)+58K29�O858*-7-`²iM\G�G+K29%E+M>P�9�B>M>O8�29%*-, � .?�AJ�G+�NM>O8OC:]G+K29 ��9�)+58K29�O85[M�*-,�M>O8OdG+K29 �NO[M>729�G+E��2)+9�J�9�EFE���G+KNM\GA58E��1G+K29�:P�*�BD9ABD9�)F:]EFO8*�¹�OC: M\)+*-�272? G+K29��NO[M>729�*-,�G+K298�NO[M>729�Gq� E *>)F§N5CGq.

RyK29��NO[M>729�G�¹�5CG+K G+K29�P�*-E·G�)LM6�N58?2OC:K�2)+9�J�9�EFEF5872�:��9�)+58K29�O858*-7¦58E�I'9�)+J��³)F: §�9�JqM>�2EF9Q5CG�58EG+K29?�NO[M>729�G�¹�5CG+KXG+K29AEFK2*>)FG+9�E·G�:D9qM\)q. �HG+E ��9�)+58K29�O858*-7 �2)+9�J�9�EFEF9�E6§²: S-^>V�EF9�J�*-72?2Ey*-,dM\)+J�f�S-^>V � � i��9�)�J�9�7DG+�³)F:D.�I'*-E·G�*-,G+K258E��2)+9�J�9�EFEF58*-7º58E$JqM>�2EF9�? §²:'G+K29��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O �N9�O8? *-,�0-��N5CG+9�)q. 0 �0 � � &(�#�M*04 �& �(�%���.��*�& � �(� �����(->� ���%� /%* ��.�0���6�%��/ �(��4 � � -$�%��� �(�01 � �8& ���!-���0/R�0����"A47� �M*+'8� &� &('����(->� ���%� � ��M*���� ��� "$� �&� " ���<�M1 4!�� �.����� "��(��� �M� &M*�&!*�&&��1 �� /R�0&C����� �#�8&����(->� ���%� � � ����">� �%V � �� � �M*+���%��� *�1A-��1 1 ���6�%��/ �(��4���(�5� *+� ��RV � �0&/R���6�%��/ �(��4 � �#&(�%�L*�/%/R�01 �%��*+��� �8&���� � *+� ��L���(� ���& " *�1 1 �!� � � � ���6�!�������.���%�%->1 4 ���*�&:*��

� R V � �� �!� &����(��&:��1 � '8�C��1 4 �(�%-���0���.�0�L���(� " ������(�0&/R4 *+�!� �� /E��6�%��/ �(��4 � � ��* �� ��!�8��/%� 1 1 *+���0�)*+�����& �:� ����!�0*�&,3+*�1 �(��� *�& � ���(�0�.�M��* �� *�1 �8��/%� 1 1 *+��� �8&�L'���* ���*�1 1 4 '��%� ���(��� " ->�*��.�)� � ��� ���(�M� 38�%��*�1 12������*+��� �8& *+"$���(����(� ���& V

Page 73: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� ��������� � � � �>�* ��! � ���� ����! �-� � � ��$�� �����"$�(��7xG+K29�O[M\G+9�¶ � �� J�9�7DG+�³)F:'469�EFEF9�O EFK2*�¹69�?�G+KNM\GA?258E·G+�³)F§1M>72J�9�*-,I'9�)+J��³)F:�� E$*>)F§N5CG�§²:'M>O8O�G+K29�NO[M>729�G+E��-5CBD9�E�)+58EF9QG+*ºM'729�G �2)+9�J�9�EFEF58*-7 *-,NS5VDS � � ��9�)XJ�9�7DG+�³)F:D.�RyK²�2E�469�EFEF9�O6¹yM>EXM\§NO89 G+*M>J�J�*-�27DG%,=*>)%M>O8O�§N�³G �-� � � ��9�)�J�9�7DG+�³)F: *-,�I'9�)+J��³)F:�� E8�2)+9�J�9�EFEF58*-7a.Q¤ 5872J�9XI'9�)+J��³)F:�� E�:D9qM\)�58EU T S6��EF58?29�)+5[M>Oa:D9qM\)+E�O8*-72�2� �-� � � ��9�)�J�9�7DG+�³)F: J�*>)F)+9�E���*-72?2E�G+*XU T ¶�U-V � � ��9�)�I'9�)+J��³)F:]:D9qM\)q.B /�Z ª2¬�­ . ­hc�¬�­h«#[ ± / « / cqcq­z`¡® ¥¦*>)F»³5872�$,[)+*-PTf ³. S>UDi 587XJ�O8*-EF9�M>7NM>O8*-�>:%¹�5CG+K�G+K29 *-�³) A9�¹y¼G+*-725[M>7 JqM>O8J��2O[M\G+58*-7a�³¹69�9�O858P�587NM\G+9 � §�9�GH¹69�9�7�f ³.8¶�VDi6M>72?�f ³. S>UDi�G+*�*>§2GLM>587

U ) F ��-R ?? � � F ��-R ? �? � � / 0R F R % R � �� G ��F R � R� 2 G 0R � �� F R � R� � � ? �? � � R T

¥¦9�?29 �N729 � J ¶ N>� �2EF�³§NE·G+5CG+�³G+9%,=*>) � M>72?�?25CB³58?29$G+K³)+*-�2�-K §²: G�F R � R � R G+*X*>§2GLM>587? R �? � R / � f�¶ G � � i / 0R � ¶ G � �

� ? �? � � R ) % R � f�¶ G � � iFS � R T f ³. S6�²i

¥¨5CG+K]G+K29�K29�O!�x*-,6f ³.8¶�^-i�¹69�JqM>7 EF58P��NO858,[:QG+K258E�EF58�-725!�NJqM>7DG+OC:,@,[)+*-P f ³.8¶�^-i�¹69�KNMqBD9�G+KNM\G

¶�

� ? �? � � R ) % R

� ��R G % RF R���R G � R � f ³. S�S-i

EF*xf ³. S6�²i�EF58P��NO85!�N9�EyG+*? R �? � R / � G 2 R � � R ) � % RS F R � R T f ³. S>VDi

RyK29�*-72OC:�9�EFEF9�7DG+5[M>O�?25! �9�)+9�72J�9�§�9�GH¹69�9�7 G+K258E'9 � �NM\G+58*-7 M>72?°5CG+E A9�¹ G+*-725[M>7 9 � �25CB>M>O89�7DGq�f ³. S-S-i|�y58E�G+K29�M6� ��9qM\)LM>72J�9'*-,�MºG+9�)+P 587 � R *-7gG+K29xO89�,[Gq.Z¤ *¦G+K29'*-EFJ�58O8O[M\G+58*-72E�587 � M\)+972*�¹�72*-72O858729qM\)�)LM\G+K29�)�G+KNM>7�KNM\)+P�*-7258J>��M>72?µ¹69]JqM>7 72* O8*-72�-9�)�¹ )+5CG+9]?2*�¹�7 M>7 M>7NM>OC: G+58JEF*-O8�³G+58*-7a.��HG�58E��dK2*�¹69�BD9�)q� M6� �1M\)+9�7DG�G+KNM\G�EF*-O8�³G+58*-72EAG+*ºf ³. S>VDi�M\)+9��272O85C»D9�OC:xG+* §�9 ��9�)+58* ?258J¹�5CG+K���9�)+58* ? S��'M>72?�G+K²�2E�¹69�?2*%72*>G�9 < ��9�J�G�)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J *>)F§N5CG+E�M\)+*-�272? M8��*-587DG�PQM>EFE�G+*�§�9J�O8*-EF9�?a.%��9�G��2E�JqM>O8J��2O[M\G+9�?'G+K29�M>72�-O89�§�9�GH¹69�9�7ºEF�2J�J�9�EFEF5CBD9<��9�)+58K29�O85[M]M>72? J�*-P��1M\)+9�5CG$¹�5CG+K469�EFEF9�On� E�?258EFJ�)+9 �1M>72J�: *-,�U T ¶�U-V � � .¥¨5CG+K�f ³. S�S-i�¹69�KNMqBD9�G+KNM\G G+K29�M>72�-O89 � � §�9�GH¹69�9�7'M6��*\¼�M>72? ��9�)+58K29�O858*-7 58EyG+K29�)+9�,=*>)+9

� � ) � � ��

? �? �,N ? � ) � � �

� ? �O % R N>��R�G � f�¶ G � � i G �,R f�¶ G � � i � f ³. S-^-i

¹�K29�)+9 � JC% R N.F R � R M>72? � 0 � � R M\)+9yG+K29�EFPQM>O8O89�E·G�M>72?�O[M\)+�-9�E·G�B>M>O8�29�E�*-, � M>O8*-72��G+K29�*>)F§N5CGq.RyK29X?29�72*-P�587NM\G+*>)�587 f ³. S-^-iA587DBD*-OCBD9�E�M]J��³§N58J�587 � .�R6¹6* )+* *>G+E�*-,�G+K29�J��³§N58JQM\)+9 � 0 M>72?� R �NEF*X58,�G+K29�G+K25C)+?])+* *>G�58E � 2 G+K29�J��³§N58J�PQMq:Q§�9�¹ )+5CGFG+9�7��f � G � 0 i�f � R G � i�f�¶ G �,N � 2 i�� f ³. S Di¹�K29�)+9 � 58E6M%J�*-72E·GLM>7DG�G+*%§�9�?29�G+9�)+P�58729�?a.�¸6*-P��1M\)+5872�%J�* 9&a�J�589�7DG+E�*-, � R M>72? � 2�587�f ³. S DiM>72? G+K29�?29�72*-P�587NM\G+*>)�*-,6f T S-^-i�¹698�N72?

� R @ G � � ¶ / � 0 / � R� 2 � ) G ¶ � 2 @ �� 2 ) � �

Page 74: Classical Fields Lecture Notes James Binney

����� �5 � ��� ������ �_$�( � ���)(* � ���_�)( � � �)��� ��� � *(���� �"! � � �EF*

� 2 ) ¶� G f � 0 / � R i � ¶� M>72? � ) ¶ G � f � 0 / � R i T f ³. S �Di

RyK²�2E � 2 � PQM < f � 0 � � R iyM>72? ¹�5CG+K 9 � �NM\G+58*-72E%f ³. S Di6M>72?�f ³. S �Di�¹69�JqM>7])+9�¹ )+5CG+9�9 � �NM\G+58*-7f ³. S-^-i6M>E

� � ) ¶

� � � � ��

? �O f � G � 0 i�f � R G � i � ¶ / 0R �� 2 / 3 3 3 �� ¶ / 0R � f � 0 / � R i � � �

� ? �O f � G � 0 i�f � R G � i f�¶ / 0R � � i

� � ¶ / 2 R � 0R f � R / � 0 i Tf ³.WV-UDi

;1*>)AI'9�)+J��³)F: 0R f � 0 / � R i � ¶ N>��� ��� � ) ¶ N f�S T -V 9¦¶�U � »³P�i|�¡EF*�G+K29E��9�)+58K29�O858*-7x*-,�I'9�)+J��³)F:EFK2*-�2O8?xM>?³B>M>72J�9�587 *-729�I'9�)+J��³)F:]:D9qM\) §²:

V�� � ��� ��� � � U T U � -V � �587 9 < J�9�O8O89�7DGAM>�>)+9�9�P�9�7DG ¹�5CG+K�469�EFEF9�On� E ?258EFJ�)+9 �1M>72J�:D.

��7 ¶ �D^�S�YA�2O8EF9'W R Mq:³O8*>)�?258EFJ�*�BD9�)+9�?vMK�N�2O8E+M\)q�y(6¤ � ¶ �³¶.V / ¶�V³��G+KNM\G �2)+*�BD9�? G+* §�9*-729'J�*-P���*-729�7DG *-,�M¦G+58�-KDG]M>72?v9�J�J�9�7DGF)+58J'§N587NM\)F:,@�G+K29x§N587NM\)F:2��9�)+58* ?v58E]^ 2� K¨M>72?gG+K299�J�J�9�7DGF)+58J�5CGH:º58E � ) U T V³¶�^ . RyK29���9�)+5[M>E·GF)+*-7º*-,�G+K258E�*>)F§N5CG%KNM>E�§�9�9�7�EFK2*�¹�7ºG+* �2)+9�J�9�EFE%§²:� T S-S ��: ) � 0q. 46*>G+K¦J�*-P���*-729�7DG+E%KNMqBD9QPQM>EFE�J�O8*-EF9XG+* � ) ¶ T �²S�I�� M>72?�M\)+9 �2)+9�EF�2PQM\§NOC:729��³GF)+*-7�E·GLM\)+E��²M>OCG+K2*-�2�-K �N�2O8EF9�E�M\)+96?29�G+9�J�G+9�?X,[)+*-P *-72OC:�*-729y*-,2G+K29�P�.�RyK²�2E�(6¤ � ¶ �³¶.V / ¶�V58EAM�E·:³E·G+9�P 587�¹�K258JLK'�-9�729�)LM>O�)+9�O[M\G+5CB³5CGH: 58E�*-,S�2)+58P�9%58P���*>)FGLM>72J�9�)LM\G+K29�)AG+KNM>7'M�PQM\)+�-587NM>OJ�*>)F)+9�J�G+58*-7a.

:;Q / ±\«D­hc /�� � &�� e¤ K2*�¹ G+KNM\G$G+K29�EF9�P�5 ¼/PQM (·*>)�M < 58E$*-,�G+K29�*>)F§N5CG�*-,�(6¤ ��¶ �³¶.V / ¶�V 58E I ) ¶ T � 9µ¶�U �aP �M\§�*-�³G�G+K³)+9�9�G+58P�9�E�G+K29�)LM>?258�2E�*-,6G+K29]¤ �27a��M>72?¦G+KNM\G%G+K29Q9qM>JLK�729��³GF)+*-7�E·GLM\)�P�*�BD9�E¹�5CG+K�M�E���9�9�?x*-, *>)+?29�)$S-S>U�»³PgE � 0 .

� �,+ / c�¬�c � ª1c / � `¡® ( Z ª1® / ¬�ªN± ��ª1®�� (c< Z c�ªN± � ��® ª*=¦­h«Dc��,d*-729$J�O[M>58P�E�G+*%»³72*�¹¨G+K29A*>)F§N5CG+E6*-,aG+K29��NO[M>729�G+EyM>72? *�587QG+K29$587DG+9�)FBD9�725872��E��1M>J�9>�2*-729$JqM>7JqM>O8J��2O[M\G+9�G+K29AG+58P�9A,=*>) M�EF58�-7NM>O¡G+* �1M>EFEy,[)+*-P#*-729��NO[M>729�GyG+*�M>72*>G+K29�) *>)yG+K29�G+58P�9�)+9 � �25C)+9�?,=*>)�M>7 9>. P�.aEF58�-7NM>O�G+*])+9qM>JLKº�2E�,[)+*-P M]E���9�J�5!�N9�? ��*-587DG�*-�³G+EF58?29�G+K29Q¤ *-O[M\)�¤²:³E·G+9�P�. % . ��.JqM>7¦§�9�G+9�E·G+9�?�§²:¦J�*-P��1M\)+5872��G+K29�EF9QJqM>O8J��2O[M\G+9�?¦G+58P�9�E�¹�5CG+K�*>§NEF9�)FBD9�?µ?29�O[Mq:³E�.'RyK29�)+9 M\)+9GH¹6*]PQM>587xGH: ��9�E$*-,�9 < ��9�)+58P�9�7DG$G+* J�*-72EF58?29�) @Xfh5=i�M EF58�-7NM>O �-* 9�E$*-�³G�,[)+*-P ��M\)FG+Ka�a§�*-�272J�9�E*5 xM �NO[M>729�Gy*>)6E+M\G+9�O8O85CG+9�¹�5CG+K2587�G+K29�¤ *-O[M\) ¤²:³E·G+9�P M>72?Q)+9�G+�³)+72E6G+*��2E��dfh585=i�M�E·G+9qM>?³:�E·GF)+9qM>P*-, EF58�-7NM>O8E )+9qM>JLK29�E��2E�,[)+*-PTM<�N�2O8E+M\)�M>,[G+9�)�GF)LMqBD9�)+EF5872��G+K29�¤ *-O[M\)A¤²:³E·G+9�P�.

��7%9qM>JLK�JqM>EF9�G+K29�G+58P�9 � � f��Fi�)+9 � �25C)+9�?�,=*>) G+K29�EF58�-7NM>O-G+*�)+9qM>JLK��2E 58E M J�*-P��NO89 < ,=�272J�G+58*-7*-,�G+K29 �1M\)LM>P�9�G+9�)+EQf�^·*>)F§N5CGLM>O9�O89�P�9�7DG+E `²iAG+KNM\G%?29 �N729 �NO[M>729�GLM\)F: *>)F§N5CG+E�M>72?�M>7D:�)+9�O89�B>M>7DG�N�2O8E+M\)�*>)F§N5CG+E�.���7��2)LM>J�G+58J�9]G+K29�EF9 �1M\)LM>P�9�G+9�)+E�KNMqBD9]G+* §�9�M>? (·�2E·G+9�? G+* *5�2G+58P�58��9 G+K29 �2G§�9�GH¹69�9�7 G+K29�JqM>O8J��2O[M\G+9�? M>72? *>§NEF9�)FBD9�?�B>M>O8�29�E�*-, � � .�RyK²�2E$G+K29�EF9�9 < ��9�)+58P�9�7DG+E$72*>G�*-72OC:G+9�E·G�2. )q.8�\G+K29�:�M>O8EF*�)+9 �N729y*-�³)�»³72*�¹�O89�?2�-9�*-,2G+K296E·GF)+�2J�G+�³)+9y*-,³G+K29 ¤ *-O[M\)�¤²:³E·G+9�P M>72?�J�9�)FGLM>587�N�2O8E+M\)+E�.

Page 75: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� � � � �>�* ��! � ���� ����! �-� � � ��$�� �����"$�(_�`5< ® «D­h®+* cq­ *¡® ª Z c�¯�­=¬�� ­h®�¬�� / c�` Z ªN±Xc ��c�¬ / = RyK29A9qM\)+O8589�E·G�¹6*>)F»�587DBD*-OCBD9�?�§�*-�272J|¼5872��)LM>?NM\) EF58�-7NM>O8E *5 xG+K29�5872729�)?�NO[M>729�G+E�. ; 729�P�9qM>EF�³)+9�EyG+K29�?29�O[Mq: §�9�,=*>)+9$G+K29��2)+E·G�EF58�-7NM>O8E)+9�G+�³)+7a.�RyK258E �-5CBD9�E � �

RyK29�)+9%M\)+9$GH¹6*�58P���*>)FGLM>7DGy?25�a�J��2OCG+589�E @fh5=i]RyK296)+9 �N9�J�G+5872�8�NO[M>729�GLM\)F:�EF�³)+,zM>J�9 58E72*>G�M$EFP�* *>G+K�P�5C)F)+*>)q. YA9�72J�96G+K296)+9�G+�³)+725872���N�2O8EF9

KNM>E�M�J�*-P��NO89 < EFKNM6��9>. ; 729�O8* *>»³E6,=*>)yG+K29�O89qM>?25872�X9�?2�-9�*-,dG+K29��N�2O8EF9�M>72?]GF)+589�E6G+*��2EF9,[)+9 � �29�72J�:�5872,=*>)+PQM\G+58*-7A@

fh585=i RyK29�P�*-E·G�587DG+9�)+9�E·G+5872� O858729�E�*-,�EF58�-KDG��1M>EFEAJ�O8*-EF9�G+*�G+K29�¤ �27a.�;N)+9�9%9�O89�J�GF)+*-72EA729qM\)AG+K29¤ �27xJqM>�2EF9�G+K29$)+9�,[)LM>J�G+5CBD9�5872?29 < G+*X?25! �9�)�,[)+*-P��2725CGH:D.� M\G+9�)�9 < ��9�)+58P�9�7DG+EJ�*-72J�9�7DGF)LM\G+9�?X*-7�G+58P�5872�AEF58�-7NM>O8EEF9�7DG�G+*�M\)FG+5!�NJ�5[M>O³E+M\G+9�O8O85CG+9�E�.¤ 5872J�9

M�E+M\G+9�O8O85CG+9�58E�G+* *�EFPQM>O8O-G+*��-5CBD9�M�?29�G+9�J�GLM\§NO89�)LM>?NM\) )+9 �N9�J�G+58*-7a�-*-729 �2)+*-�>)LM>P�P�9�EdG+K29�E+M\G+9�O8O85CG+9G+*$)+9�E���*-72?XG+*%M��N�2O8EF9�,[)+*-P ��M\)FG+K�§²:�9�P�5CGFG+5872��M$EF58P�58O[M\)U�N�2O8EF9�M>,[G+9�)�M$»³72*�¹�7XEFPQM>O8O³?29�O[Mq:D.¥¨5CG+KvG+K258EQG+9�JLK2725 � �29 *-729�?2* 9�E]72*>G]KNMqBD9'G+*�¹6*>)F)F:vM\§�*-�³G �NO[M>729�GLM\)F: G+*5��*-�>)LM6�NKD:D. 4�:EF9�72?25872�XEF58�-7NM>O8EyM\G EF9�BD9�)LM>Oa,[)+9 � �29�72J�589�E *-729$JqM>7]9�O858P�587NM\G+9�G+K29�9 �9�J�G *-,�?258E���9�)+EF58*-7 §²: ,[)+9�99�O89�J�GF)+*-72E�M>O8*-72��G+K29�O858729�*-, EF58�-KDGq.�A7NM>OC:³EF58E *-,�G+K29�EF9º?NM\GLMµKNM>E G+* �2)+* J�9�9�?�B³5[M�M�J�*-P��N�³G+9�) �2)+*-�>)LM>P ¹�K258JLK M>? (·�2E·G+E*>)F§N5CGLM>O9�O89�P�9�7DG+E�� G+K29�PQM>EFEF9�E�*-,�G+K29 �NO[M>729�G+E�M>72?�M>E·G+9�)+*-58?2E�� G+K29X*>§NO[M\G+9�729�EFE%*-,�G+K29 ¤ �27a�G+K29�*>)+589�7DGLM\G+58*-7�*-,aM>7X58729�)FG+5[M>ONJ�* *>)+?2587NM\G+9 E·:³E·G+9�P��D9�G+J>.8�²�27DG+58ONG+K29I�2G�*-,1G+K29��2)+9�?258J�G+9�?�� � � EG+*%G+K29$*>§NEF9�)FBD9�? � � � E�58E6*5�2G+58P�58��9�?a. ; 729��N72?2EyG+KNM\G�G+K29$M>�>)+9�9�P�9�7DG6¹�5CG+KQ�2. )q. 58E69 < J�9�O8O89�7DGq.

Page 76: Classical Fields Lecture Notes James Binney

����� �5 � ��� ������ �_$�( � ���)(* � ���_�)( � � �)��� ��� � *(���� �"! � ���RyK29 � �NM>O85CGH:�*-,dG+K29��2G 58E672*>)+PQM>O8OC:#(·�2?2�-9�?]§²: JqM>O8J��2O[M\G+5872� �2)+9�?258J�G+58*-72E ,[)+*-P G+K29$P�9�G·¼

)+58J)0 �? � R ) G �n¶ G � �

� / 0R H � � � � R � % R ?� R / � ¶ / F � �� ? � R / � R fh? � R / EF587 R �>? � R i � f ³.WV³¶�i

¹�K29�)+9 ��� H M>72? F M\)+9�?258P�9�72EF58*-72O89�EFEI�1M\)LM>P�9�G+9�)+EyG+*�§�9�?29�G+9�)+P�58729�?]§²: �2GFG+5872��G+K29�JqM>O8J�� ¼O[M\G+9�?]G+*�G+K29�*>§NEF9�)FBD9�? � � � E�.��,�¹69�58?29�7DG+58,[: �X¹�5CG+K

� J 0R ��G 0R � / O � f ��G � i � � f ³.WVDS-iG+K258E�P�9�GF)+58J�M>�>)+9�9�E�¹�5CG+K G+K29�¤ JLKD¹yM\)+��EFJLK258O8?�P�9�GF)+58J�f ³.8¶ �²i���xG+*�*>)+?29�) � N>� 587�E��1M>J�9�M>72?f � N>� i R 587'G+58P�9�¹�K29�7 � ) H ) F ) ¶-.]fz��7�G+K29�9 � �NM\G+58*-72E$*-,�P�*>G+58*-7xG+K29<� �/¼/J�*-P���*-729�7DG*-, � 4 8 58E6P��2OCG+5!�NO8589�?Q§²:QG+K29�O[M\)+�-9�E·GyJ�*-P���*-729�7DG+Ey*-, L 4¡. i�YA9�72J�9�58,���5872E·G+9�587 ¹yM>E6)+58�-KDGq�³G+K29*>§NEF9�)FB>M\G+58*-72E�EFK2*-�2O8?�O89qM>?]G+* ��� ¶�9�G+J>.���M\GLM�,[)+*-P�P�58EFEF58*-72EyG+*XI'9�)+J��³)F:�WZI�M\)+E��-5CBD9

� G ¶ ) fuS T ¶ � ¶ T �Di�9 ¶�U � �H:G ¶ ) f G S T � � V T ¶�i 9º¶�U � 2F G ¶ ) f G U T ^ � ¶ T ^-i 9º¶�U � 2� R ) f G ¶ T � � ¶ T S-i 9º¶�U ���¹�K29�)+9 � R 58E�M<�1M\)LM>P�9�G+9�)�?29�EFJ�)+5C§N5872�XG+K29�*>§NO[M\G+9�729�EFE�*-,�G+K29�¤ �27a.

�HG�58E 587DG+9�)+9�E·G+5872�XG+KNM\G G+K29��2)+9�J�58EF58*-7�*-, G+K29�EF9�P�9qM>EF�³)+9�P�9�7DG+E 58E EF�2JLK�G+KNM\Gfh5=iQG+K29�:�?29�G+9�)+P�58729 G+K29 58729�)FG+5[M>O6,[)LM>P�9]*-,�)+9�,=9�)+9�72J�9xM>E�M>J�J��³)LM\G+9�OC:�M>E�JqM>7�§�9 ?2*-729]§²:

O8* *>»³5872��)+58�-KDG�M>J�)+*-EFE G+K29�@A725CBD9�)+EF9%M\G � �NM>E+M\)+Ey¹�5CG+K])+9�?2EFK258,[G�� ) S fhEF9�9�§�9�O8*�¹Ai|�fh585=i�G+K29�: ,=�³)+7258EFK¦G+K29X§�9�E·G�9�E·G+58PQM\G+9�E�*-,�G+K29XPQM>EFE�*-,�G+K29�M>E·G+9�)+*-58?�¸69�)+9�E]fzG+K29X*-O8? B>M>O8�29�2)+*�BD9�? G+*�§�9�587 9�)F)+*>) §²: ¶ S��Xi|�fh58585=iQ�$5C)LM>J E���9�J��2O[M\G+9�? G+KNM\G A9�¹ G+*-7a� E?^·J�*-72E·GLM>7DG'`ºP�58�-KDGX?29�J�)+9qM>EF9'M>E�G+K29�@A725CBD9�)+EF9 9 < ¼�1M>72?2E�.�RyK29�EF9%P�9qM>EF�³)+9�P�9�7DG+Ey:³589�O8? �� N � ) fnU T S � U T �²i 9º¶�U � 0'02: ) � 0q.(c< Z c�ªN±�¬�­Y=¦­h®+* RyK29x?258EFJ�*�BD9�)F: *-,$(6¤ � ¶ �³¶.V / ¶�Vº587 ¶ �D^�S ,zM>J�58O85CGLM\G+9�?gM¦?³)LM>PQM\G+58J9 < G+9�72EF58*-7 M>72?')+9 �N729�P�9�7DG�*-,)+9�EF�2OCG+EA§1M>EF9�? *-7�EF*-O[M\)·¼/E·:³E·G+9�P ?³:³7NM>P�58J�E�.�4�:�B³5C)FG+�29�*-,�5CG+EE��N587a�aG+K29 �N�2O8E+M\)�58E$M>7 M>J�J��³)LM\G+9�J�O8* J+»�G+KNM\G�58E$JqM\)F)+589�? M\)+*-�272? M ,zM>E·G�M>72?�9�J�J�9�7DGF)+58JX*>)F§N5CG587xM�E·GF)+*-72���>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O,�N9�O8?a. RyK29�G+58P�9�GLM\»D9�7�,=*>)�G+K29�9�O89�J�GF)+*-PQM>�-729�G+58J8�N�2O8EF9�E�5CG�9�P�5CG+EG+*�)+9qM>JLK���M\)FG+K 58E�M6 �9�J�G+9�? §²:fh5=iQG+K29���*-EF5CG+58*-72E M>E ,=�272J�G+58*-72E *-,�G+58P�9A*-,�(6¤ � ¶ �³¶.V / ¶�V�M>72?]G+K29$��M\)FG+K � �2. )q.³KNM>EyG+*�§�9�2EF9�?�G+*�JqM>O8J��2O[M\G+9�G+K29�EF9�G+*�G+K29$)+9 � �25C)+9�?xM>J�J��³)LM>J�:��fh585=i�B>M\)+5[M\G+58*-72EQ587gG+K29'�>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>Oy)+9�?2EFK258,[G *-,$G+K29��N�2O8E+M\) M>E 5CG P�*�BD9�EQJ�O8*-EF9�) G+*µM>72?

,=�³)FG+K29�)A,[)+*-P�5CG+E J�*-P��1M>7258*-7a�fh58585=i�B>M\)+5[M\G+58*-72E%587ºG+K29Q9 �9�J�G+5CBD9�)+9�,[)LM>J�G+5CBD9Q5872?29 < *-,�G+K29�B>M>J��2�2P M>O8*-72��G+K29QO858729�*-,yEF58�-KDG

,[)+*-P ��M\)FG+K¨G+*�G+K29K�N�2O8E+M\) � G+K29 P�*�B³5872���>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O?�N9�O8?2E�*-,�(6¤ � ¶ �³¶.V / ¶�V³� E0 � � �� ���M*04�"$� ���(���('8�C� � " *�� '��0&(�%��*+��� �7"A4���(->*�& �� &(')���(� " �&/R��� �8&��� *�& ��� � " ��(V � ��� & -$� ���%��� � "

� CV

Page 77: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� � � � �>�* ��! � ���� ����! �-� � � ��$�� �����"$�(J�*-P��1M>7258*-7�M>72?'*>§ (·9�J�G+E$587xG+K29�EF*-O[M\)$E·:³E·G+9�P M>O8O PQM\»D9%72*-7 ¼/729��-O858�-5C§NO89�J�*-7DGF)+5C§N�³G+58*-72EG+*�G+K29�P�9qM>EF�³)+9�? ?29�O[Mq:³E��

fh5CBNiQ9�BD*-O8�³G+58*-7X*-,¡G+K29��N�2O8E+M\)�*>)F§N5CG�G+KNM\G�58E�?³)+5CBD9�7X§²:�G+K29y)LM>?25[M\G+58*-7X*-,��>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O ¹yMqBD9�E�.RyK29$9�BD*-O8�³G+58*-7 *-,dG+K29$*>)F§N5CGy58E��2)+9�?258J�G+9�? §²: JqM>O8J��2O[M\G+5872��G+K29$9�729�)+�>:]M>72? M>72�-�2O[M\)yP�*\¼

P�9�7DG+�2P G+KNM\G�G+K29 ¹yMqBD9�EXEFK2*-�2O8? JqM\)F)F:�Mq¹yMq:µ587 M��-5CBD9�7µG+58P�9>��M>72?µG+K29�7 M>? (·�2E·G+5872� G+K29*>)F§N5CG�G+*%9�72EF�³)+9$�-O8*>§1M>ONJ�*-72EF9�)FB>M\G+58*-7Q*-, � M>72? � .�$5! �9�)+9�7DG�B>M\)+5[M>7DG+E�*-,a�2. )q.-�2)+9�?258J�Gy?25! �9�)·¼9�7DGA)LM\G+9�EA*-, ��M>72? � O8*-EFE�. ; 72OC:x��5872E·G+9�587a� E�*>)+58�-587NM>O6fnM>72?'EF58P��NO89�E·G|i6G+K29�*>)F:�EF�2J�J�9�EFEF,=�2O8OC:�2)+9�?258J�G+E G+K29�*>§NEF9�)FBD9�?�9�BD*-O8�³G+58*-7 *-,�G+K298��9�)+58* ? �� ) G S T ��9 ¶�U � 0 R .� ��+ � / ��«��a¯�ªN± �²cq«�� ­ Z � ��­h®+*5< Z ªN±\­=¬��;1*>) � ) � J S � � N5% R �2G+K29�J�*-P���*-729�7DG � � � *-,�G+K29�¤ JLKD¹yM\)+��EFJLK258O8?xP�9�GF)+58JXf ³.8¶ �²i�B>M>7258EFK29�E�.YA9�72J�9�G+K29�GF)LM (·9�J�G+*>)F: � ) � 58E�7²�2O8OD)LM\G+K29�)�G+KNM>7�G+58P�9|¼/O85C»D9>. ;1�³)FG+K29�)+P�*>)+9>�\EF5872J�9 � � � JLKNM>72�-9�EEF58�-7XM\G � ) � �-G+K296GF)LM (·9�J�G+*>)F: � ) J�*-72E·GLM>7DG � � 58EE��1M>J�9|¼/O85C»D9>.�¸6*-72EF9 � �29�7DG+OC:�M>7�9 < �NO8*>)+9�)¹�K2* ��9�729�GF)LM\G+9�EXG+* � � � 58EX?2* *-P�9�?A@�72*ºPQM\GFG+9�)XK2*�¹TKNM\)+? K29 �2)+9�E�K258EX)+* J+»D9�G+E��6K258EGF)LM (·9�J�G+*>)F:�P��2E·G6)+9�PQM>587�G+58P�9|¼/O85C»D9>.�YA9�72J�9AK29$JqM>7272*>G��1M>EFEy,[)+*-P G+K29$J�*-72?25CG+58*-7 ? �-N ? � �gUG+K³)+*-�2�-K�G+K29%J�*-72?25CG+58*-7x? �-N ? � ) U�M>E�K29%P��2E·GA58, K29�58E G+*Q9�EFJqM6��9>. YA9%58E�JqM\)F)+589�?x?2*�¹�7xG+*� ) UXM>E EF�³)+9�OC: M>E :D*-��M>72? �yM\)+9�JqM\)F)+589�?�587DG+*X729 < G :D9qM\)q.

�HG 58Ed587DG+9�)+9�E·G+5872��G+* 587DBD9�E·G+58�DM\G+9�G+K258E �2)+9�?258JqM>P�9�7DG P�*>)+9J�O8*-EF9�OC:D.�¤ �� ��*-EF9�,=*>) EF58P��NO858J�5CGH:G+KNM\G%*-�³)%9 < �NO8*>)+9�)q� E%M>72�-�2O[M\)%P�*-P�9�7DG+�2P � 58E���9�)+*'M>72? G+KNM\G�M\G8� ) � ) U K29�58E�,zM>O8O85872�G+*�¹yM\)+?2E G+K29�J�9�7DGF)+9�M\G�)LM>?258�2E � +$¹�5CG+K G+K29�E���9�9�?xK29�¹6*-�2O8?�KNMqBD98�N58J+»D9�?x��xKNM>?xK29�,zM>O8O89�7M>O8O�G+K29X¹yMq: ,[)+*-P )+9�E·G�M\G%587�N725CGH:D. RyK29�7¦9�B>M>O8�NM\G+5872��f ³.8¶�^-i$M\G%587�N725CGH:�¹69��N72?ºG+KNM\G�G+K29J�*-72E·GLM>7DG F 58E *-729>.�YA9�72J�9>�N§²:ºf ³.8¶�^-i�G+K29�9�O[M6�NEF9�*-, G+58P�9$*-7 K258Ey¹yM\G+JLKxM>E�K29�,zM>O8O8E G+* � 58E

� � ) � ���

�� ? �? � ? � ) ¶% � �

����

? �� ¶ G �

) ¶% � � � ��

���

� � ? � ) SV % � � $ � 2 � R+ G � 2 � R & � f ³.WV-VDi¹�K258JLK�58E���9�)+,=9�J�G+OC:E�N725CG+9>.U;1�³)FG+K29�)+P�*>)+9>�-K296J�O89qM\)+OC:�)+9qM>JLK29�E � ) � ¹�5CG+K�? �-N ? � �gU³. YA9�72J�9K29�¹6*-�2O8?]§�9�¹69�O8O�M>?³B³58EF9�? G+*<�2)+9�K258E )+* J+»D9�G+Ey§�9�,=*>)+9�K29�)+9qM>JLK29�E � .

¥¨KD: ?2* 9�E ����

?25CBD9�)+�-9'M\G � ) � F ��E�G+K258EQ?25CBD9�)+�-9�72J�9xJqM>�2EF9�?g§²: �>)LMqB³5CGH:�*>)Q*-�³)JLK2*-58J�9A*-,aJ�* *>)+?2587NM\G+9�E F �HG�58E�E·GF)LM>58�-KDG+,=*>)F¹yM\)+?a�³58,�G+9�?258*-�2E�� G+*�JLK29�J+»�G+KNM\G672*�J�*-P���*-729�7DG+E�*-,G+K29%J��³)FB>M\G+�³)+9�G+9�72EF*>) � 4 8 ��� ?25CBD9�)+�-9�M\G � . ¤ *�*-�³)A9 < �NO8*>)+9�)�JqM>7�9�72?2�³)+9%G+K29�G+58?NM>Od,=*>)+J�9�EK29X9 < ��9�)+589�72J�9�E�58,�K29�58E�E·G+* J+» :'9�72*-�2�-Ka.�RyK29�)+9qM>EF*-7 �

���

?25CBD9�)+�-9�E%M\G � G+�³)+72E�*-�³G�G+*]§�9G+KNM\G$¤ JLKD¹yM\)+��EFJLK258O8?a� EAJ�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�PTM>EFEF58�-72E G+*QM>O8Od9�BD9�7DG+E�G+KNM\G�* J�J��³)AM\G � G+K29�G+58P�9J�* *>)+?2587NM\G+9?� ) �¨. �AE6M�E���9�J�5!�NJA9 < M>P��NO89>�²O89�G6�2E�JqM>O8J��2O[M\G+9�G+K29�G+58P�9 J�* *>)+?2587NM\G+9AM\G�¹�K258JLK*-�³)�9 < �NO8*>)+9�)�J�)+*-EFEF9�E � ) � @

� ) � �+ ?�? � ? � ) � ���

�� ?�? � ? �? � ? � T

¥¨5CG+K¦f ³.8¶ S-i6M>72?�f ³.WV-VDi�G+K258Ey§�9�J�*-P�9�E� ) � ���

�� ? �

� � ¶ G � ) ¶

� � � ���

�� � 2 � R ? ���G � ) � T f ³.WV5�²i

Page 78: Classical Fields Lecture Notes James Binney

����� �>�* ��! � ���� ����! �-� � � ��� (�� �)�����'��� �T�RyK²�2E�72*]PQM\GFG+9�)�¹�K29�7 *-�³)�9 < �NO8*>)+9�)�EF9�G+E�*5 �dM>7�*>§NEF9�)FBD9�)�¹�K2*]�2EF9�E%¤ JLKD¹yM\)+��EFJLK258O8?a� E�J�*\¼*>)+?2587NM\G+9�E�M>OC¹yMq:³E�M>EFEF58�-72E?� ) � G+*XG+K29�9�BD9�7DG$M\G�¹�K258JLK G+K29%9 < �NO8*>)+9�)�J�)+*-EFEF9�E � ) � .�¥¦9EFK2*-�2O8?µ72*>G%§�9 EF�³)��2)+58EF9�?�G+KNM\G�EF�2JLK M�,=* *-O858EFK�J�*-7DBD9�7DG+58*-7µO89qM>?2E%G+*'MxEF5872�-�2O[M\)�P�9�GF)+58J>�58,¹69�JLK2* *-EF9�J�* *>)+?2587NM\G+9�E �'�6587�*>)+?2587NM\)F:'E��1M>J�9�587�EF�2JLK¦MQ¹yMq:xG+KNM\G�M>O8OS��*-587DG+E$*-7'G+K29�9�?2�-9*-,M�)+�2O89�)$M\)+9�M>EFEF58�-729�?�G+K29%E+M>P�9�G+K³)+9�9%7²�2P�§�9�)+E �'�F��M>7�9 < �2)+9�EFEF58*-7',=*>)�G+K29�O89�72�>G+Kx*-, G+K29)+�2O89�)$587xG+9�)+P�EA*-,�G+K29�J�* *>)+?2587NM\G+9�EA*-,G+K29%)+�2O89�)q� EA9�72?2E�58EA�-*-5872��G+* 587DBD*-OCBD9%P��2OCG+5!�NO858JqM\G+58*-7§²:]EF*-P�9�Mq¹�,=�2O8OC: §N58�X7²�2P�§�9�)+E��

R *�§2)+5872�XG+K258E��2)+*>§NO89�P �272?29�)AJ�*-7DGF)+*-Od¹69�729�9�?�G+*XJLK2* *-EF9�M�729�¹ J�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P�.��7º¶ �-V-U�I�. �$)+�2E·»>M>O�EFK2*�¹69�?�G+KNM\G ¹�K29�7�729�¹°J�* *>)+?2587NM\G+9�E%f � � ��� � iyM\)+9�?29 �N729�?�G+K³)+*-�2�-K

� � R G � � R ) � R � �� G ¶ � 9�����

� � ) � � J�*-EFK f % � N>� i G ¶EF5872K f % � N>� i ) � � GLM>72K � % �S � �

f ³.WVXS>MDiG+K29�P�9�GF)+58JAGLM\»D9�EyG+K29�72*-7 ¼/EF5872�-�2O[M\)�,=*>)+P

? � R ) � R fh? � R / EF587 R �>? � R i / �1fh? � � R G ?� � R i � � 9 � � � ��� T f ³.WVXS�§¡iRyK29AO858729�E � � ) J�*-72E·GLM>7DG M\)+9$M>OC¹yMq:³E�G+58P�9�O85C»D9>. ��M>?25[M>O8OC:�?25C)+9�J�G+9�? �NK2*>G+*-72E6P�*�BD9AM>O8*-72�%G+K29� S ��O858729�E�? � � ) � ?� � 587�G+K29xf � � ��� � i��NO[M>729>.���7Q�1M\)FG+58J��2O[M\)q�dG+K29X7²�2O8OO858729 � ) � §�9�J�*-P�9�E� � ) � � .���, ¹69 �NO8*>G�J��³)FBD9�E�*-, J�*-72E·GLM>7DG � M>72? �y587 G+K29Qf � � ��� � i��NO[M>729>�N¹69��-9�GAM<�N58J�G+�³)+9%O85C»D9G+K258E

�HG�58E$72*�¹ *>§²B³58*-�2EAG+KNM\G�¤ JLKD¹yM\)+��EFJLK258O8?a� E%J�* *>)+?2587NM\G+9�E�f � ���Fi�§2)+9qM\»�?2*�¹�7¦M>E � � ) � � 58E�M6�³¼�2)+*DM>JLK29�?a.�R *��2)+E·G�*>)+?29�)�587 % � N>� f ³.WVXS>MDid§�9�J�*-P�9�EU� � � 0R % � � � N>� �DEF*�� � PQMq:�§�9yJ�*-72EF58?29�)+9�?M E·GF)+9�G+JLK29�?µ,=*>)+P *-, ��M\G � ) �¨. A9qM\) � ) � ��� � � � � M>72?º§²: f ³.WVXS>MDi�M>O8O9�BD9�7DG+E�J�*>)·¼)+9�E���*-72? G+* O[M\)+�-9 �$M>E�9 < ��9�J�G+9�?a.XRyK29�)+9��-58*-7K� � � � � J�*>)F)+9�E���*-72?2E�G+* � � � .<�yG � ) U³�J�*>)F)+9�E���*-72?25872��G+*�� � R G � � R ) � R �G+K29�)+9 58E�M�§�*-7NM�¼ �N?29]EF5872�-�2O[M\)+5CGH:¦587�G+K29 �>)LMqB³5CGLM\G+58*-7NM>O�N9�O8?a.

RyK29A¤ JLKD¹yM\)+��EFJLK258O8?Q)LM>?258�2E � J�*>)F)+9�E���*-72?25872��G+*�G+K29�PQM>EFE�*-,¡G+K29�¤ �27Q58E�S T �-V�»³P .�RyK29§NO[M>J+»�K2*-O89�E�G+KNM\GU��*�¹69�) � �NM>E+M\)+E�M>72?�*>G+K29�)�BD9�)F:�M>J�G+5CBD96�DM>O[M>J�G+58J67²�2J�O89�52KNMqBD9�¤ JLKD¹yM\)+��EFJLK258O8?)LM>?2585a§�9�GH¹69�9�7 G+K29�)LM>?258�2E�*-,�G+K29�¤ �27xM>72? G+KNM\G�*-,�G+K29���M\)FG+Ka� E *>)F§N5CGq.

Page 79: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� ���X� �%$ � � $��"$ ��:;Q / ±\«D­hc /�� ��- � e

¤ K2*�¹#G+KNM\G�M'J��³§N58J]O858�-KDG·¼u:D9qM\)�*-, ¹yM\G+9�)�fhEF�� ��*-EF9�?�5872J�*-P��2)+9�EFEF5C§NO89�i�¹6*-�2O8?�§�9]J�*-7 ¼GLM>58729�? ¹�5CG+K2587 5CG+E�¤ JLKD¹yM\)+��EFJLK258O8?�)LM>?258�2E�.

� � & � <>=?=ºªN± �RyK29�P�9�GF)+58JA*-�³G+EF58?29�M ��*-587DG PQM>EFE6JqM>7]§�9A¹ )+5CGFG+9�7 G+*�O8* *>»QO85C»D9AG+KNM\Gy*-, *>)+?2587NM\)F: E��NK29�)+58JqM>O��*-O[M\)�J�* *>)+?2587NM\G+9�E¹�5CG+K�¶ � f�¶ G � N>� i�587�G+K29�� ��EFO8*>G�M>72?�¶�� ¶ N f�¶ G � N>� i�587�G+K29 �>� EFO8*>Gq.RyK29�EF5872�-�2O[M\)+5CGH: *-,�G+K29�EF9�J�*>)F)+9�J�G+58*-7¦,zM>J�G+*>)+E�¹�K29�7 � ) � ) S � � N5% R 58E�72*>GE�NKD:³EF58JqM>O8OC:587DG+9�)+9�E·G+5872�2.�YA*�¹69�BD9�)�G+K29]�-9�*-P�9�GF)F:¦*-,�E��1M>J�9�G+58P�9 ��� EF5872�-�2O[M\)XM\G � ) U�M>72? � ) � ���E���9�J�5[M>O 587xG+KNM\G$M>7 ^·*-�³GH¹yM\)+?-`Q)+�272725872� �NK2*>G+*-7x*-7xG+K258E�E��NK29�)+9�¹6*-�2O8?�M>J�G+�NM>O8OC: 72*>GAP�*�BD9Mq¹yMq:],[)+*-P�G+K29�J�9�7DGF)+9>.

RyK29$¤ JLKD¹yM\)+��EFJLK258O8? P�9�GF)+58J�M>J�J�*-�27DG+E�,=*>)�G+K29�O[M>E·G�¶�U � *-,¡G+K29��2)+9�J�9�EFEF58*-7Q*-,�I'9�)+J��³)F:�� E��9�)+58K29�O858*-7'M>72?x,=*>)�G+K29�P�9qM>EF�³)+9�?�§�9�72?25872�Q*-,O858�-KDG�§²: G+K29�¤ �27a.�RyK29%PQM>�-725CG+�2?29�*-, §�*>G+KG+K29�EF9A9 �9�J�G+Ey58E�*-,d*>)+?29�)"� 9 � N>� �²¹�K29�)+9!���M��M>72? � 58E�G+K29AEFPQM>O8O89�E·G�?258E·GLM>72J�9$*-,�G+K29�G+9�E·G§�* ?³: ,[)+*-P G+K29 ¤ �27a. �$9�GLM>58O89�?¦E·G+�2?2589�E%*-,�G+K29 ¤ *-O[M\)�¤²:³E·G+9�P�� E�?³:³7NM>P�58J�E�EFK2*�¹ G+KNM\G�M>7D:9�)F)+*>)+E�587]G+K29��2. )q.8� E J�*>)F)+9�J�G+58*-72E G+* A9�¹ G+*-725[M>7 ?³:³7NM>P�58J�E�M\)+9�EFPQM>O8O89�)yG+KNM\G���U T ¶ � .� �#"�� � "X��" ��

� ��� :�= [�­z±\­h«-ª Z _�ª1cq­hc469�GH¹69�9�7g¶ �DS>U�M>72?g¶ �DS 5CG%§�9�JqM>P�9XJ�O89qM\)�G+KNM\G�G+K29Q@A725CBD9�)+EF9�58E ��*5�N�2O[M\G+9�?¦§²:ºJ�*-�27DG+O89�EFE�DM>O[M < 589�E6O85C»D9AG+K29$I'58OC» :�¥�Mq:D�NM>72? G+KNM\GyG+K29�EF9�M\)+9$)+9�J�9�?25872�X,[)+*-P#*-729�M>72*>G+K29�) ¹�5CG+KQBD9�O8* J|¼5CG+589�E6G+KNM\G M\)+9��2)+*5��*>)FG+58*-7NM>O¡G+*�EF9 �1M\)LM\G+58*-7a.���,�¹69$,=*-O8O8*�¹¨G+K29$GF)LM (·9�J�G+*>)+589�E6*-,�G+K29�EF9$�DM>O[M < 589�E§1M>J+»¦587�G+58P�9>� ¹69 �N72?�G+KNM\G�EF*-P�9x¶�U�0 + : )�M>�-*xG+K29 P�9qM>7¦?29�72EF5CGH:�*-,6G+K29 @A725CBD9�)+EF9 P��2E·GKNMqBD9%§�9�9�7'9 < GF)+9�P�9�OC: K258�-Ka.���72?29�9�?a�dM�7NM>5CBD9%9 < GF)LM6��*-O[M\G+58*-7�O89qM>?2E�G+*�G+K29%J�*-72J�O8�2EF58*-7'G+KNM\GM<�N725CG+9�G+58P�9$587]G+K29��1M>E·GAM>7D:]?29�72EF5CGH:]¹yM>Ey)+9qM>JLK29�?a�¡72*XPQM\GFG+9�) K2*�¹ �>)+9qM\Gq.

��7�¶ �5�DV % . % M>P�*�¹ M\G%¸6*>)+729�O8On��M>72?¦S>UQ:D9qM\)+E�O[M\G+9�)���.a�$58J+»D9�587�(�)+5872J�9�G+*-7a� M\)+�-�29�?G+KNM\G�G+K29�O[M\)+�-9�M\§N�272?NM>72J�9 fnM\§�*-�³G�S�S��#§²:�¹69�58�-KDG|i *-,YA9%587�G+K29E�2)+9�EF9�7DG�@A725CBD9�)+EF9�J�*-�2O8?KNMqBD9A§�9�9�7 �-9�729�)LM\G+9�?]EF*-P�9AP�587²�³G+9�E M>,[G+9�)yG+K29$,=*>)+PQM\G+58*-7Q*-,dG+K29$@A725CBD9�)+EF9$58, M�§NO[M>J+»²¼u§�* ?³:)LM>?25[M\G+58*-7��N9�O8? �NO8O8E�G+K29?�2)+9�EF9�7DG @A725CBD9�)+EF9>.�RyK29��2)+E·Gy9�E·G+58PQM\G+9�*-,�G+K29AJ��³)F)+9�7DGyG+9�P���9�)LM\G+�³)+9*-,�G+K258E�)LM>?25[M\G+58*-7:�N9�O8?'¹yM>E�S�S ���¡§N�³G$G+K258EAO[M\G+9�)A,=9�O8O G+*�� V ��.���7µ¶ �-V5� ��.¡(�9�72��5[M>E�W ��.¥¨58O8EF*-7xM\G�469�O8Od� M\§NE�?258EFJ�*�BD9�)+9�?�G+K258E J�*-EFP�58J$§1M>J+»³�>)+*-�272?�EF9�)+9�72?25!�N5CG+*-�2EFOC:D.�RyK258E GF)+58�2P��NK*-,NG+K296§N58�\¼u§1M>72�AG+K29�*>)F: � �258J+»³OC:�»³58O8O89�?�M>O8O 587DG+9�)+9�E·G�587�M\GFG+9�P��2G+E G+*�J�*-72E·GF)+�2J�G�MAE·G+9qM>?³:²¼/E·GLM\G+9J�*-EFP�*-O8*-�>:D.

�HG�58E72*�¹ »³72*�¹�7�G+KNM\G�G+K29 E���9�J�GF)+�2P *-,1G+K29 J�*-EFP�58Jy§1M>J+»³�>)+*-�272?X58E�M>J�J��³)LM\G+9�OC:�(�O[M>72J+»²¼5[M>7 ¹�5CG+K � ) S T ^ � U T ¶ ��. �A7º*>§NEF9�)FBD9�)%¹�K2*�P�*�BD9�E�¹�5CG+K�)+9�E���9�J�G%G+* G+K29XJ�9�7DGF)+9�*-,�*-�³)% M>O[M < :�M\G�� �DU-U�»³PgE � 0 587'MQJ�9�)FGLM>587'?25C)+9�J�G+58*-7�¹6*-�2O8?'EF9�9�G+K29�E+M>P�9%E���9�J�GF)+�2P 587'M>O8O ?25 ¼)+9�J�G+58*-72E�� G+*�¹�5CG+K2587QM%,=9�¹ �1M\)FG+E�587x¶�U �\.U�yGyM>7D:���*-587DG�587�G+K29�@A725CBD9�)+EF9AM%7NM\G+�³)LM>O¡E·GLM>72?NM\)+?*-,�)+9�E·G�58E�?29 �N729�?µM>E�G+KNM\G�*-,yM>7º*>§NEF9�)FBD9�)%¹�K2*-EF9XJ�*-EFP�58J�§1M>J+»³�>)+*-�272?¦58E�58EF*>GF)+*5�N58J>. ¤ �2JLK*>§NEF9�)FBD9�)+EyM\)+9�JqM>O8O89�? ��< ®�� ª*= / ®�¬�ª Z ` � c / ± .*/ ±\c>. �A7D:�GH¹6*%,=�272?NM>P�9�7DGLM>O¡*>§NEF9�)FBD9�)+E�)+9�J�9�?29,[)+*-P *-729�M>72*>G+K29�)�¹�5CG+K�M�E���9�9�? L � � N ¶.V T V % : )��2¹�K29�)+9 � 58EyG+K29�5C)�EF9 �1M\)LM\G+58*-7a. 0 �0 � ���.�����8&(�C�!�%��� � ��� ���� � + � � � ��� + � � � � �(�:� � 0 �6-T/ � 0 V

Page 80: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � � �*�'�" � � �)(-( � ���'�"! � ����%$�(�� ��� �X! ��� (��_���* �)(-��� � �Y� � �* ��

¶�¼/E��NK29�)+95@S�¼/E��NK29�)+95@V�¼/E��NK29�)+95@

3 3 3�¡¼/E��NK29�)+95@f�� 0 ��� R i ) fhEF587 � �+J�*-E � i

f�� 0 ��� R ��� 2 i ) fhEF587 � EF587 ��+J�*-E � EF587 ��+J�*-E �Dif�� 0 ��� R ��� 2 ��� � i ) fhEF587 � EF587 ��EF587 f �+J�*-E � EF587 ��EF587 f �+J�*-E���EF587 f �+J�*-E f if�� 0 � T T T ��� � � 0 i ) fhEF587 � 0 EF587 � R T T T EF587 �#�,� T T T �+J�*-E �#��� 0 EF587 �#�,�+J�*-E �#�Ni

�AE�G+K29�@A725CBD9�)+EF9�9 < �1M>72?2E��\G+K29 �NK2*>G+*-72E *-, G+K29�J�*-EFP�58J§1M>J+»³�>)+*-�272?�M\)+9�?2*5� �NO89�) EFK258,[G+9�?G+*XO8*�¹69�)�,[)+9 � �29�72J�589�EAM>72? G+K29�G+9�P���9�)LM\G+�³)+9$JLKNM\)LM>J�G+9�)+58��5872�XG+K29�5C)�?258E·GF)+5C§N�³G+58*-7�,zM>O8O8E�.� ��� . ±\­ / �>=ºª1® ® b / ¬�±\­h«DcRyK29��2)+E·GE·G+9 ��G+*�¹yM\)+?2ES�N72?25872��MAEF*-O8�³G+58*-7�*-,N��5872E·G+9�587a� E�9 � �NM\G+58*-72E G+*$?29�EFJ�)+5C§�96G+K2969 < �1M>72? ¼5872��@A725CBD9�)+EF9$58E�G+*�JLK2* *-EF9�M��-* * ? J�* *>)+?2587NM\G+9AE·:³E·G+9�P�.RyK29$J�*-EFP�58J�)LM>?25[M\G+58*-7�§1M>J+»³�>)+*-�272?58E�M��>)+9qM\G�K29�O!�µ587¦G+K258E @�¹69QPQMq: E+Mq: G+KNM\G�GH¹6*x9�BD9�7DG+E�* J�J��³)�M\G%G+K29QE+M>P�9��NO[M>J�9Q58,�G+K29�:* J�J��³)�*-7ºG+K29X¹6*>)+O8? ¼/O858729�*-,yM�EF5872�-O89X,=�272?NM>P�9�7DGLM>O�*>§NEF9�)FBD9�)q.�¤ 58P�58O[M\)+OC:D�aGH¹6*x9�BD9�7DG+E%G+KNM\G* J�J��³)�M\GA?25! �9�)+9�7DG��NO[M>J�9�EAPQMq: §�9�E+M>58?xG+*Q* J�J��³)$EF58P��2OCGLM>729�*-�2EFOC:�58, G+K29%§1M>J+»³�>)+*-�272?'G+9�P�¼��9�)LM\G+�³)+9AP�9qM>EF�³)+9�?Q§²:Q,=�272?NM>P�9�7DGLM>O�*>§NEF9�)FBD9�)+E6O8* JqM>O1G+*%G+K2*-EF9A9�BD9�7DG+EyM\)+9�G+K29AE+M>P�9>. ¥¨5CG+KG+K258E 7NM\G+�³)LM>Od?25CB³58EF58*-7 587DG+*XE��1M>J�9%M>72? G+58P�9A¹69$¹6*-�2O8?�9 < ��9�J�G�? � R G+*�§�9�*-,�G+K29�,=*>)+P

? � R ) G?% R ?� R / � � � ?� � ?� � � f �³.8¶�i� 58EyG+K29�P�9�GF)+58J$*-,�M�V�¼/E��1M>J�9�*-, EF58P��2OCGLM>729�*-�2E 9�BD9�7DG+E�.

RyK29�E·GF)+�2J�G+�³)+9�*-, � 58E�E·GF)+*-72�-OC:')+9�E·GF)+58J�G+9�?º§²:�G+K29X,zM>J�G�G+KNM\G%,=�272?NM>P�9�7DGLM>O�*>§NEF9�)FBD9�)+E*>§NEF9�)FBD9�G+K29�J�*-EFP�58J%§1M>J+»³�>)+*-�272?�G+* §�9�K258�-K2OC:x58EF*>GF)+*5�N58J5@�G+K29<�NK2*>G+*-72EAG+K29�:x)+9�J�9�5CBD9�¹69�)+9O[M>E·G%EFJqM\GFG+9�)+9�?µM\G�M ��*-587DG�EF9�BD9�)LM>O�G+K2*-�2E+M>72?2E�*-,6P�58O8O858*-72E�*-,6O858�-KDG�:D9qM\)+E�Mq¹yMq:D� M\G�M G+58P�9¹�K29�7]G+K29$P�9qM>7 ?29�72EF5CGH:]*-,dG+K29$@A725CBD9�)+EF9A¹yM>E�M\§�*-�³G$¶�U � G+58P�9�E�5CG+E��2)+9�EF9�7DG B>M>O8�29>.��7],zM>J�Gq��27DG+58O�G+K29�EF9 �NK2*>G+*-72E�J�*-O8O858?29Q¹�5CG+KµM>7µ*>§NEF9�)FBD9�)q� E�G+9�O89�EFJ�*5��9QG+K29�:�KNMqBD9 §�9�9�7 �2:³5872��,[)+9�9�OC:G+K³)+*-�2�-K¦E��1M>J�9�EF5872J�9XG+K29X@A725CBD9�)+EF9X¹yM>E%M P�9�)+9 ¶�U � � *-,�5CG+E8�2)+9�EF9�7DG�M>�-9>. ¸6*-72EF9 � �29�7DG+OC:D�¹�K29�7�Mx,=�272?NM>P�9�7DGLM>O�*>§NEF9�)FBD9�)�J�*-P��1M\)+9�E%G+K29QG+9�P���9�)LM\G+�³)+9QK29QEF9�9�E�587�G+K29Q,=*>)F¹yM\)+?�M>72?§1M>J+» ¹yM\)+?�?25C)+9�J�G+58*-72E��>K29�58E J�*-P��1M\)+5872�?�NKD:³EF58JqM>O²J�*-72?25CG+58*-72E 587�G+K29�9qM\)+OC:�@A725CBD9�)+EF96M\G���*-587DG+EG+KNM\G�M\)+9�72*�¹ EF9 �1M\)LM\G+9�?�§²: G+K2*-�2E+M>72?2E�*-, P�58O8O858*-72E6*-, O858�-KDG :D9qM\)+E�.�¤ 5872J�9�G+K29�EF9�J�*-72?25CG+58*-72EM\)+9�,=*-�272?QG+*�§�9�58?29�7DG+58JqM>ONG+*�¹�5CG+K2587QM�,=9�¹ �1M\)FG+E�587�¶�U³�3U-U-U$¹69�J�*-72J�O8�2?29�G+KNM\G�G+K29�@A725CBD9�)+EF958E69 < GF)+9�P�9�OC:XK2*-P�*-�-9�729�*-�2E6*-7]M>7D:�G+58P�9|¼/EFO858J�9?� ) J�*-72E·GLM>7DG�.YA9�72J�9AG+K29A�-9�*-P�9�GF)F:�*-,dEF�2JLKM�E��1M>J�9>�N¹�K258JLK�58E ?29�EFJ�)+5C§�9�?�§²: � �NEFK2*-�2O8? §�9�9 < GF)+9�P�9�OC: K2*-P�*-�-9�729�*-�2EyG+* *2.� G+K29�*>)+9�P 587g?25! �9�)+9�7DG+5[M>O��-9�*-P�9�GF)F:�E·GLM\G+9�E�G+KNM\G]M>7D: K2*-P�*-�-9�729�*-�2E M>72?v58EF*>GF)+*5�N58JV�¼/E��1M>J�9�P��2E·G §�9%M�EFJqM>O89�? BD9�)+EF58*-7 *-, *-729�*-, G+K³)+9�9�§1M>EF58J�P�* ?29�O8E @� ­ � . Z ª2¬ºc�[ ª1« / ; §²B³58*-�2EFOC:ºG+K258E�M>?2P�5CG+E�E��NK29�)+58JqM>O���*-O[M\)�J�* *>)+?2587NM\G+9�E�587�¹�K258JLKµG+K29O858729�9�O89�P�9�7DG�JqM>7 §�9$¹ )+5CGFG+9�7

? � R ) ? � R / � R fh? � R / EF587 R �>? � R i T f �³. S-i

Page 81: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� ���X� �%$ � � $��"$ ��� ­h­ � � / + , c�[ � / ± / ¤ �� ��*-EF9x¹69:�1M\)LM>P�9�G+9�)+58��9 G+K29xJ�* *>)+?2587NM\G+9�EQ*-,���*-587DG+E Q°587gM�\¼/?258P�9�72EF58*-7NM>Od���2J�O858?29qM>7 E��1M>J�9 fh72*>G+K25872��G+*�?2*X¹�5CG+K E��1M>J�9�G+58P�9�i�§²:

f�� 0 ��� R ��� 2 ��� � i ) I�fhEF587��QEF587 ��J�*-E � �+EF587 �QEF587 ��EF587 � �+EF587��QJ�*-E���+J�*-E��yi TRyK29�7x5CG�58E�9qM>E·:]G+*�EFK2*�¹°G+KNM\G @ 4 � R4 ) I R .yYA9�72J�9�M>E�¹69�B>M\)F:]G+K29�G+K³)+9�9�M>72�-O89�E�f ��� �� � iG+K29���*-587DGPQ P�*�BD9�E�*�BD9�)�M<V�¼/E��NK29�)+9>.�RyK29$EFPQM>O8O1BD9�J�G+*>) � � ��� G+KNM\G (·*-5872E6GH¹6* ��*-587DG+E6¹�K2*-EF9J�* *>)+?2587NM\G+9�E ?25! �9�)�*-72OC: §²: M�EFPQM>O8OaJLKNM>72�-9 � � 587 � 58E

� � ��� ) � Q� � � �) I�f G EF587��QEF587 ��EF587 � �+EF587 �QEF587 ��J�*-E � �LU�LUDi � � T¤ 58P�58O[M\)+OC:D�� � � � ) I�fhEF587��QJ�*-E���J�*-E � �+EF587 �QJ�*-E���EF587 � � G EF587 �QEF587 ��LUDi � �� ��� � ) I�fhJ�*-E��QEF587 ��J�*-E � �+J�*-E��QEF587 ��EF587 � �+J�*-E��QJ�*-E��� G EF587 �yi � � T�HG 58E E·GF)LM>58�-KDG+,=*>)F¹yM\)+?�G+*�JLK29�J+»%G+KNM\G G+K29�EF9�G+K³)+9�9�EFPQM>O8O-BD9�J�G+*>)+E�M\)+9�P��³G+�NM>O8OC:���9�)���9�72?258J��2O[M\)q.

YA9�72J�9%¹�K29�7x¹69�P�*�BD9�§²:xM>7�M\)F§N5CGF)LM\)F: EFPQM>O8O M>P�*-�27DG+E�f � ��� � �� � � i6*�BD9�)�G+K29�E��NK29�)+9>��G+K29?258E·GLM>72J�9�GF)LMqBD9�)+EF9�? � � 58E �-5CBD9�7]§²:

� � R ) O � ��� �&O R / O � � � ��O R / O � � ���&O R) I R f � � R / EF587 R � � � R / EF587 R �QEF587 R � � � R i T

f �³.WVDi��, ¹69�587DGF)+* ?2�2J�9%M�729�¹°J�* *>)+?2587NM\G+9�587 �NO[M>J�9�*-, �

� J I�EF587�� ? � R ) f�I R G � R i³?�� R � f �³. �²iM>72?�?29 �N729�G+K29�«X< ± . ª2¬ < ± / � *-,�G+K29�E��NK29�)+9�M>E

� J ¶I R � f �³.TS-i

G+K29�7�f �³.WVDi�§�9�J�*-P�9�E? � R ) ? � R

¶ G � �-R / � R fh? � R / EF587 R ��? � R i T f �³.3VDi

A*>G+58J�9$G+KNM\G�G+K29�S�¼/E��NK29�)+9%¹�5CG+KxM\)+9qM�� � � R KNM>E�)LM>?258�2E;I � � � .�RyK²�2E�¹�5CG+K2587]G+K29 V�¼/E��NK29�)+9G+K29%M\)+9qM>E�*-, G+K29�P�9�P�§�9�)+E *-,�MX729�E·G+9�?xEF9 � �29�72J�9%*-,S�¼/E��NK29�)+9�EA5872J�)+9qM>EF9�P�*>)+9�EFO8*�¹�OC: G+KNM>7G+K29�:Q¹6*-�2O8? 587]���2J�O858?29qM>7]E��1M>J�9>.Afu¤ 58P�58O[M\)+OC:D�D,=*>) J�*-72J�9�7DGF)+58J�EFPQM>O8O¡J�5C)+J�O89�Ey*-7 M%GH¹6*�E��NK29�)+9J�5C)+J��2P�,=9�)+9�72J�9 N S�� 5872J�)+9qM>EF9�E�P�*>)+9�EFO8*�¹�OC:QG+KNM>7])LM>?258�2E�. i

Page 82: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � � �*�'�" � � �)(-( � ���'�"! � � �� ­h­h­ � � �][ / ± � ` Z ­h« c�[ ª1« / ��,¹69�EF9�G � ) U³�aG+K29�O858729�9�O89�P�9�7DG�f �³.3VDi�*-,G+K29�V�¼/E��NK29�)+9§�9�J�*-P�9�E�G+K29XO858729|¼/9�O89�P�9�7DG f �³. S-i�*-, �1M\G%���2J�O858?29qM>7ºE��1M>J�9>.QRyK29�O858729�9�O89�P�9�7DG%*-,�G+K29X*-72OC:*>G+K29�)�K2*-P�*-�-9�729�*-�2E��158EF*>GF)+*5�N58J V�¼/E��1M>J�9%58E��-5CBD9�7 §²:¦f �³.3VDi�¹�5CG+K � EF9�G�9 � �NM>OaG+*QMX729��DM\G+5CBD97²�2P�§�9�)q.�RyK258E$E��1M>J�9�58E$JqM>O8O89�? � �][ / ± � ` Z ­h«�c�[ ª1« / �dM>72?�58E$KNM\)+?29�)�G+*QB³58EF�NM>O858��9�G+KNM>7'G+K29V�¼/E��NK29�)+9>.yRyK29�JLKNM\)LM>J�G+9�)+58E·G+58J8�2)+*5��9�)FGH: *-, KD: ��9�)F§�*-O858J�E��1M>J�9%58EyG+KNM\G�587�5CG�M�S�¼/E��NK29�)+9%¹�5CG+KM\)+9qM � � � R KNM>E )LM>?258�2E

� ) � �+ ? �O ¶ / O � O � R ) ¶O O � O EF5872K� 0 � � O O � O � � � T

RyKNM\GA58E���587�G+K258E�E��1M>J�9�G+K29�M\)+9qM>EA*-,�M�EF9 � �29�72J�9�*-,�729�E·G+9�?ºS�¼/E��NK29�)+9�E$5872J�)+9qM>EF9$���\{|lH}�m�G+KNM>7587 ���2J�O858?29qM>7�E��1M>J�9>.

��7 EF�2P�PQM\)F:D� M%E��1M\G+5[M>O¡EF9�J�G+58*-7 *-,dEF58P��2OCGLM>729�*-�2E�9�BD9�7DG+EyP��2E·G6,=*>)+P 9�5CG+K29�) M V�¼/E��NK29�)+9>��1M\GAE��1M>J�9�*>)AKD: ��9�)F§�*-O858J�E��1M>J�9>.���7x9qM>JLK'JqM>EF9%G+K29�O858729%9�O89�P�9�7DGAPQMq:]§�9�9 < �2)+9�EFEF9�?�587�G+K29,=*>)+P f �³.3VDi�¹�5CG+K M>7xM6� �2)+*5�2)+5[M\G+9$B>M>O8�29�*-, �µ.

¥¦9$¹yM>7DGyG+*��2EF9�J�* *>)+?2587NM\G+9�Ey*-7 G+K29�EF9�E��1M\G+5[M>O�EF9�J�G+58*-72E EF�2JLK]G+KNM\GyG+K29�J�* *>)+?2587NM\G+9�Ey*-,9qM>JLKµ,=�272?NM>P�9�7DGLM>O�*>§NEF9�)FBD9�)XM\)+9QJ�*-72E·GLM>7DGq.'RyK29�EF9]M\)+9QJqM>O8O89�?µ«-`5=º` . ­h®+* «-`a`1± � ­h® ª2¬ / c>.¤ 5872J�9A,=�272?NM>P�9�7DGLM>O�*>§NEF9�)FBD9�)+E M\)+9�)+9�J�9�?25872��,[)+*-P *-729$M>72*>G+K29�)q�³5CG6,=*-O8O8*�¹�E�G+KNM\G6*-�³)y?29�EF5C)+9�?J�* *>)+?2587NM\G+9�E�JqM>7272*>G M\GyM>O8ONG+58P�9�E�J�*-5872J�58?29�¹�5CG+K�G+K2*-EF9A587�¹�K258JLKQG+K29AO858729�9�O89�P�9�7DG�GLM\»D9�E�G+K29,=*>)+P#f �³.3VDi|. YA*�¹69�BD9�)q�-58,NM\G *-729�G+58P�9>�\,=*>)�9 < M>P��NO89�72*�¹��>G+K29�J�*-P�*�B³5872��J�* *>)+?2587NM\G+9�Eyf � � �� � iM\)+9�EF�2JLK�G+KNM\G G+K296O858729�9�O89�P�9�7DG58E *-,³G+K258E�,=*>)+P��\G+K29�7�M\GM>7�9qM\)+O8589�) G+58P�9>�\¹�K29�7�,=�272?NM>P�9�7DGLM>O*>§NEF9�)FBD9�)+E¹69�)+9yJ�O8*-EF9�)G+*$*-729 M>72*>G+K29�)q�-G+K29yEF9 �1M\)LM\G+58*-7 � � §�9�GH¹69�9�7X729�58�-KD§�*-�³)+5872��*>§NEF9�)FBD9�)+E¹yM>E�EF*-P�9�,[)LM>J�G+58*-7 I�f��Fi�*-,6G+K29�5C)�J��³)F)+9�7DG�EF9 �1M\)LM\G+58*-7a.xYA9�72J�9 M\G�M>O8O�G+58P�9�E�G+K29QP�9�GF)+58J�*-,E��1M>J�9�G+58P�9�JqM>7 §�9$¹ )+5CGFG+9�7

? � R ) G?% R ?� R / I R � ? � R¶ G � � R / � R fh? � R / EF587 R �>? � R i � � f �³. ^-i

¹�K29�)+9 � 58EyG+K29�J��³)FB>M\G+�³)+9�*-,�G+K29]s�r m|m+}�kNl�G+58P�9|¼/EFO858J�9�� ) ��+�M>72?_I�f���+qi ) ¶-.@AEF5872� G+K29]GF)+58J+»�*-,A46* < S'¹69 *>§2GLM>587�G+K29 9 � 72E�*-,�P�*>G+58*-7�§²: M6� �NOC:³5872� G+K29 ���2O89�)·¼

� M>�>)LM>72�-9�9 � �NM\G+58*-72EyG+*� ) G?% R �� R / I R � �� R

¶ G � �-R / � R � �� R / EF587 R � �� R � � T¹�K29�)+9�M�?2*>G�?29�72*>G+9�E�? N ? � .�@AEF5872��G+K29�J�*-7DBD9�7DG+58*-7�G+KNM\G�M �2)+58P�9�?29�72*>G+9�E�? N ?�6G+K29�9 � �NM�¼G+58*-72E *-, P�*>G+58*-7]M\)+9

U ) ?? � f G?% R ��Fi G I I � � �� R

¶ G � � R / � R � �� R / EF587 R � �� R � �U ) ?

? � � I R ��¶ G � � R � G I R � �� R � �

f�¶ G � � R i R / � � �� R / EF587 R � �� R ���U ) ?

? � f�I R � R ��Di G I R � R EF587 �J�*-E�� �� RU ) ?

? � � I R � R EF587 R � �� � Tf �³.�Di

Page 83: Classical Fields Lecture Notes James Binney

�X� ��������� ���X� �%$ � � $��"$ ��;N)+*-P#G+K29��2)+E·G�9 � �NM\G+58*-7]¹69$)+9qM>?�*5 'G+K29�72*-7 ¼uB>M>7258EFK25872� ��E ¹�5CG+K]G+*5��5872?29 < ��@

� ���� ) I I �% R f�¶ G � � R i � � � ��� ) I I � � R% R � � � ��� ) I I � � R EF587 R �% R T f �³.��-MDi

RyK29�9 � �NM\G+58*-7 *-, P�*>G+58*-7],=*>) � J�O89qM>72E����G+*U ) �� / S)I �

I �� �� / � �¶ G � � R �� R G � f�¶ G � � R i�f �� R / EF587 R � �� R i

,[)+*-P�¹�K258JLK ¹69$)+9qM>?�*5 'G+K29�72*-7 ¼uB>M>7258EFK25872� ��E ¹�5CG+K]G+*5��5872?29 < � @����� ) I �

I � ����� ) � �

¶ G � � R � � � ��� ) G�� f�¶ G � � R iA� � � ��� ) G�� f�¶ G � � R i³EF587 R � f �³.��\§¡i

RyK29%M>72�-�2O[M\)�9 � �NM\G+58*-72E *-, P�*>G+58*-7 M\)+9U ) �� / S)I �

I �� �� / S� �� �� G EF587 ��J�*-E�� �� R � U ) �� / S)I �I �� �� / S� �� �� / S�J�*>G�� �� ��

EF*�G+K29�)+9�PQM>58725872��72*-7 ¼uB>M>7258EFK25872� ��E�M\)+9

� �� � ) I �

I � � ��� ) ¶� � � �

��� ) G EF587 ��J�*-E��� �� � ) I �

I � � ��� ) ¶� � � �� � ) J�*>G � T

f �³.��>J�i

� �,+ � / � `¡c =º` Z ` *¡­h«-ª Z B / � c � ­ �u¬¥¦96»³72*�¹ G+KNM\GG+K29 @A725CBD9�)+EF9y58E9 < �1M>72?25872��§�9�JqM>�2EF9y¹69 *>§NEF9�)FBD96G+K29 ,[)+9 � �29�72J�589�E�*-,1E���9�J�GF)LM>OO858729�E�,[)+*-P�?258E·GLM>7DG��DM>O[M < 589�EAG+* §�9�EFK258,[G+9�? G+*�¹yM\)+?2E�O8*�¹69�)�,[)+9 � �29�72J�589�E�.��HG$G+�³)+72E�*-�³G�G+KNM\GG+K29�PQM>�-725CG+�2?29�*-,�G+K258E E���9�J�GF)LM>OdEFK258,[G�58Ey)+9�O[M\G+9�? 587�M�)+9�PQM\)F»>M\§NOC: EF58P��NO89A¹yMq: G+*�G+K29�EFJqM>O89*-,�G+K29�@A725CBD9�)+EF9�¹�K29�7 G+K29�O858�-KDG §²: ¹�K258JLK�¹69�EF9�9��DM>O[M < 589�EyEF9�G�*-�³G G+*�¹yM\)+?2E��2E�.

RyK29�± / � c � ­ �u¬E�X58E ?29 �N729�?�§²:¶ / � J � ��� � ��� � ��� � � T

��,¡¹69�9�O89�B>M\G+9�*-�³)�E·GLM\G+�2E�G+*�G+KNM\G�*-,aM�,=�272?NM>P�9�7DGLM>O1*>§NEF9�)FBD9�)q�2M>72?�EF�� ��*-EF9�G+KNM\G�G+K29AM\G+*-P�EG+KNM\G69�P�5CG�G+K29�)LM>?25[M\G+58*-7�¹69�)+9�J�9�5CBD9�¹69�)+9$E·GLM\G+58*-7NM\)F:�¹�5CG+K�)+9�E���9�J�G6G+*�M%O8* JqM>O¡,=�272?NM>P�9�7DGLM>O*>§NEF9�)FBD9�)q�³G+K29�7 � + ) � ��� N5% R *-7 9�P�58EFEF58*-7Q*-,�ME�NK2*>G+*-7]M>72? � + ) � ��� � N5% R *-7 5CG+E�*>§NEF9�)FB>M�¼G+58*-7a. 0 � RyK29 ?29 �N725CG+58*-7xf�S .8¶ �²i *-,1G+K29�M�a�729��1M\)LM>P�9�G+9�) � ,zM>58O8E¹�K29�7�M6� �NO8589�?�G+*�MAGF)LM (·9�J�G+*>)F:�54af �¡i6*-,�M<�NK2*>G+*-7a.��72E·G+9qM>? ¹69�?29 �N729 � §²:])+9 � �25C)+5872��G+KNM\G

?�54? � ) � 4 f � i�� f �³.8¶�UDi

0 � �C�%��� (�%��/%� �.�� � � �<V

Page 84: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� ��� ���"�� � � � �������"$�(�� �Y$ � �*�'�" � � �)(-( �%$ � � $��"$ � �" � � �¹�K29�)+9 � 4 58E%G+K29Q¹yMqBD9�BD9�J�G+*>) f � N5% R ����i�*-,6G+K29 �NK2*>G+*-7a.�RyK29Q9 � �NM\G+58*-7�*-,yP�*>G+58*-7¦*-,6G+K29�NK2*>G+*-7º58E�U ) � 4 � 4 � 8 .�I'�2OCG+5!�NOC:³5872�]G+K258E�9 � �NM\G+58*-7�G+K³)+*-�2�-K §²:�? �7N ?�|��¹69 �N72?º,=*>)�G+K29G+58P�9$J�*-P���*-729�7DG�*-, G+K29$)+9�EF�2OCG+5872��9 � �NM\G+58*-7

U ) ? �?� ?�54? � � � � N5% R� � 4 / � �4 � � ���

) ? � N5% R?� / ? �

?� � �4 � � 4 � � Tf �³.8¶-¶�i

¥¦9�9�B>M>O8�NM\G+9%G+K258E$,=*>)�M�)LM>?25[M>O8OC: �2)+*5�1M>�DM\G+5872� �NK2*>G+*-7a.�YA9�72J�9�,=*>)FG+K �2EF5872� G+K29�J�*-7DBD9�7DG+58*-7G+KNM\G �I ) ?�I N ?�|� f �³.��-MDi�E·GLM\G+9�EyG+KNM\G � �

��� ) �I ����N f�I % R i�¹�K258O89�f �³.8¶�UDi��-5CBD9�E ? �7N ?� ) ¶ N � + )% R N � �2EF*xf �³.8¶-¶�i�:³589�O8?2E

? �?� ) G �I

I $ � ��� � � � � & % R� ) G �II ���

¹�K29�)+9 ¹69�KNMqBD9��2EF9�? G+K29�7²�2O8OI�2)+*5��9�)FGH: *-, � 4�587�G+K29�,=*>)+P ����

���� / � � � f � N5% R i R ) U T��7DG+9��>)LM\G+5872��¹69��-9�G

¶ / � ) � ��� � ��� � ) I�f�� ��� � iI�f�� ��� i T��7Q¹6*>)+?2E���¶ / ���-5CBD9�E�G+K29A,zM>J�G+*>)�§²:�¹�K258JLKQG+K29A@A725CBD9�)+EF9AKNM>E69 < �1M>72?29�?]EF5872J�9AG+K29��NK2*>G+*-72E¹69')+9�J�9�5CBD9�¹69�)+9�9�P�5CGFG+9�?a. A*>G+58J�9xG+KNM\G G+K258E )+9�EF�2OCG KNM>E]§�9�9�7¨*>§2GLM>58729�?v¹�5CG+K2*-�³G �2EF5872���5872E·G+9�587a� E 9 � �NM\G+58*-72EyG+*X?29�G+9�)+P�58729$G+K29�?³:³7NM>P�58J�E *-,�G+K29�@A725CBD9�)+EF9>.� ��+ . ­ /�Z � :�� < ª2¬�­z`¡® c �/`1± . ±\­ / �>=ºª1® ® � `¡c =º` Z ` *¡­ / c¥¨K29�7 �2EF5872��9 � �NM\G+58*-72E�f �³.��Di�587 fnV³.8¶.VDiG+*�JqM>O8J��2O[M\G+9 � ��� �³5CGy58E6K29�O!�N,=�2O�G+*�58EF*-O[M\G+9$M>O8O1G+9�)+P�EG+KNM\G�587DBD*-OCBD9�M<�65872?29 < . ; 7298�N72?2E

� � � ) � � � ) U � � � ) � � 4� 4� � / � � � � � � ) V �I I� � � ) �� � � G � � �� �� � / S � �� � � � G � �� � � �

) �� � � G � �I I / S � �II � R � � � �% R �¹�K29�)+9 �� � � 58EyG+K29���58J�J�5aG+9�72EF*>)�*-,�G+K29EV�¼/E��1M>J�9�¹�K2*-EF9�P�9�GF)+58J$58E

� � � ) I R ?25[M>� � ¶¶ G � � R � � R � � R EF587 R � � T

¤ 5872J�9xG+K29 V�¼/E��1M>J�9�58EQK2*-P�*-�-9�729�*-�2E M>72?v58EF*>GF)+*5�N58J>�y5CG 58EQ*>§²B³58*-�2E�G+KNM\G ���� � . YA9�72J�95CG�58E�*-72OC:�729�J�9�EFE+M\)F:µG+* JqM>O8J��2O[M\G+9 *-729 72*-7 ¼/��9�)+*ºJ�*-P���*-729�7DG�*-, ��x��E+Mq: ��

���

. � G+9�?258*-�2EJqM>O8J��2O[M\G+58*-7]:³589�O8?2E

�� � � ) G S �I R � � � T f �³.8¶�S-i

Page 85: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� ��������� ���X� �%$ � � $��"$ ��YA9�72J�9

� ��� )"###$V �II G � f��Fi �

���N5% R G � f��Fi � ��� N5% R G � f��Fi � ��� N5% R

& '''( � f �³.8¶.V-MDi

¹�K29�)+9 � f��Fi J S � % RI R / �I

I / S � �II � R T f �³.8¶.V\§¡i¥¦9�72*�¹ G+�³)+7�*-�³)AM\GFG+9�7DG+58*-7]G+*XG+K29$)+58�-KDG�EF58?29�*-, G+K29���5872E·G+9�587�9 � �NM\G+58*-72E%fnV³.8¶ Di|.¥¦9

GLM\»D9 G+*�§�9�G+K29�9�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2P#G+9�72EF*>)�fu^ . �²i�*-,�M �N�258?�G+KNM\G�58E�M\G )+9�E·G�587 G+K29�,[)LM>P�9*-,�G+K29XO8* JqM>O�,=�272?NM>P�9�7DGLM>O*>§NEF9�)FBD9�)q.�¥¨5CG+K *-,�G+K29�,=*>)+P fu^ . �²i|� � �� ) V � G � % R .�¥¨5CG+K*-�³)�f���� � � �� � i J�* *>)+?2587NM\G+9�E�� � � ) f�¶-�LU�LU�LUDi|� � � ) f G?% R �LU�LU�LUDi|��M>72?�G+K29 � �/¼/9 � �NM\G+58*-7�*-,G+K29�EF9�G�fnV³.8¶ Di�)+9qM>?2E V �I

I ) G �� �% R f 2 R � / 0R � % R i T f �³.8¶ �DMDiRyK29 �>� ¼/9 � �NM\G+58*-7 )+9qM>?2E

G � S � % RI R / �II / S � �I I � R � � ���% R ) G �� �% � 0R f�� % R G � i � ��� T f �³.8¶ �>§¡i

��O858P�587NM\G+5872� �I�§�9�GH¹69�9�7 G+K29�EF9�9 � �NM\G+58*-72E :³589�O8?2EyG+K29�J�*-EFP�58J�9�729�)+�>:]9 � �NM\G+58*-7�I R / � % R ) �2 � � � I R T f �³.8¶ S-i¥¦9%M>O8EF*�KNMqBD9�G+K29�9 � �NM\G+58*-7]*-, PQM>EFE�¼/9�729�)+�>:]J�*-72EF9�)FB>M\G+58*-7

U ) � � � ��� ) � � � � � � � / � � ��� / � � � �% R � � � � / f�� / ��N5% R i � � f � � � � i�� f �³.8¶�VDi

¹�K29�)+9�¹69>� BD9��2EF9�?�f�S .WV-UDi|. A*�¹� � f � � � � i ) � � f � � � � i / � �� � � � � � / � � � � � � � � T¥¨5CG+K � ) �6G+K258E :³589�O8?2E � � f � � � �Ni ) � �� � ) V �I N I1. ;1*>)�� ) ��G+K298�2)+E·G�G+9�)+P�587�f �³.8¶ S-i�58E ��M>72? G+K29�EF9�J�*-72?�B>M>7258EFK29�E��1EF*�¹698�N72?

U ) �� / f�� / ��N5% R i V �II ? � I 2?�I ) G V�I R �% R T f �³.8¶�^-i

RyK29�)+9%M\)+9�G+K³)+9�98��*-EFEF5C§NO89�J�*-7DGF)+5C§N�³G+9�)+E�G+*�G+K29�J�*-EFP�58J�9�729�)+�>:]?29�72EF5CGH:D.B / c�¬ , =ºª1cqc / ® / ±�* � RyK29�)LM>72?2*-P P�*>G+58*-72E�*-,�DM>O[M < 589�E�¹�5CG+Kx)+9�E���9�J�G$G+*QG+K29�J�*-EFP�58J§1M>J+»³�>)+*-�272?')LM>?25[M\G+58*-7'M\)+9 � � ¶�U-U-U�»³PgE � 0 � % �dM>E$M\)+9%G+K29%)LM>72?2*-P P�*>G+58*-72E�*-,U�1M\)FG+58J�O89�E¹�5CG+K2587 �DM>O[M < 589�E�. ¤ *º587�G+K29 ,[)LM>P�9 *-,�G+K29 O8* JqM>OI;1�272?NM>P�9�7DGLM>O ; §NEF9�)FBD9�)q�6G+K29 9�729�)+�>:�*-,EF�2JLK PQM\GFG+9�)y58E6?2*-P�587NM\G+9�?Q§²: 5CG+E6)+9�E·G PQM>EFEyM>72? ¹69$PQMq:QM>?2*5�2G ,=*>) G+K29$,=*>)+P��2O[M]fnV³. S>UDi,=*>)�?2�2E·Gq��*>)�9 � �25CB>M>O89�7DG+OC:vfu^ . �²i�,=*>)XM���9�)+,=9�J�G �N�258?µ¹�5CG+K � ) U³. A�2P�9�)+58JqM>O8OC:D� � � � � � �¶�U � R � »³��P � 2 ) S T V�9¦¶�U � 9&\�P � 2 . % 5CBD9�7xG+KNM\G � ) U³��9 � �NM\G+58*-7�f �³.8¶�^-iy58P��NO8589�E � � � � �¶ N I 2�M>E ¹69$¹6*-�2O8?�9 < ��9�J�G�7NM>5CBD9�OC:D.

Page 86: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� ��� ���"�� � � � �������"$�(�� �Y$ � �*�'�" � � �)(-( �%$ � � $��"$ � �" � � �B /�Z ª2¬�­ . ­hc�¬�­h« =ºª2¬q¬ / ± �yG 9qM\)+OC:�G+58P�9�E�G+K29�@A725CBD9�)+EF9$¹yM>EyEF*�K2*>G G+KNM\Gy5CG+EyJ�*-72E·G+5CG+�29�7DG�1M\)FG+58J�O89�EyKNM>?]G+K29�)+PQM>O¡BD9�O8* J�5CG+589�E6729qM\) % .�I'*>)+9�*�BD9�)q�29�BD9�7�M\GyG+K29��2)+9�EF9�7DG�G+58P�9?�NK2*>G+*-72E *-,G+K29%J�*-EFP�58J�§1M>J+»³�>)+*-�272?x)LM>?25[M\G+58*-7�,=*>)+P EF�2JLK M�)+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J��DM>E�.6¥¦9�»³72*�¹ ,[)+*-P G+K29�)+P�*\¼?³:³7NM>P�58J�EyG+KNM\G�587 5CG+E )+9�E·G�,[)LM>P�9$G+K298�2)+9�EFEF�³)+9�*-,�M �NK2*>G+*-7��DM>E�58E *-729�G+K25C)+? *-, 5CG+E�9�729�)+�>:?29�72EF5CGH:D.YA9�72J�9>�³587�G+K29A,[)LM>P�9�*-,dME;1�272?NM>P�9�7DGLM>O ; §NEF9�)FBD9�)6G+K29�9�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2P G+9�72EF*>)*-,6EF�2JLKµM )+9�O[M\G+5CB³58E·G+58J��DM>E�58E%�-5CBD9�7 §²:gfu^ . �²iA¹�5CG+K � ) V � ) � � � � . ��O858P�587NM\G+5872� � ,[)+*-Pf �³.8¶�^-i�¹69��N72?�G+KNM\G � � � � � ¶ N I � .:;Q / ±\«D­hc /�� ����� e

��9�J�*�BD9�) � � � � �Z¶ N I � §²: J�*-72EF58?29�)+5872��G+K29�M>?25[M\§1M\G+58J$9 < ��9�72EF58*-7 *-, M��DM>E6¹�5CG+K )LM\G+58*�*-,�2)+5872J�5!�1M>O�E���9�J�5!�NJ�K29qM\G+E F ) � 2 .�yG]G+K29K�2)+9�EF9�7DGx9 ��* JLK¨G+K29�9�729�)+�>:¨?29�72EF5CGH:¨J�*-7DGF)+5C§N�³G+9�?¨§²:vG+K29�J�*-EFP�58J'§1M>J+»³�>)+*-�272?�58EI fuS T ^-i � �#¶ T ��9�¶�U ��9&\ P � 2>��¹�K258JLK 58E$EF58�-725!�NJqM>7DG+OC:xEFPQM>O8O89�)AG+KNM>7'G+K29�)+9�E·G·¼/PQM>EFE$9�729�)+�>:?29�72EF5CGH:�*-,¡?2�2E·Gq.�YA*�¹69�BD9�)q�²EF5872J�9�� � � � N � � � � � ¶ N I1�D,=*>) I � � ¶�U � � )LM>?25[M\G+58*-7�¹�58O8O³KNMqBD9y§�9�9�7?2*-P�587NM>7DGq.

©�ª1«X<><>= / ® / ±�* � RyK29'B>M>J��2�2P 58E]M�J�*-P��NO89 < ��72*-7 ¼/O858729qM\) ?³:³7NM>P�58JqM>O�E·:³E·G+9�P:@¦5CGJqM\)F)+589�E �N9�O8?2E'fh9�O89�J�GF)+*\¼/PQM>�-729�G+58J>��9�O89�J�GF)+*-7a�6P��2*-7a� � �NM\)F» T T T i�G+KNM\GX*>§�9�: �N9�O8? 9 � �NM\G+58*-72EG+KNM\GXM\)+9 EF*-P�9�G+58P�9�E%72*-7 ¼/O858729qM\)�M>72? M\)+9]M>OC¹yMq:³E�J�*-��NO89�?µG+*'*-729 M>72*>G+K29�)�§²:µ72*-7 ¼/O858729qM\)G+9�)+P�E�. �AJ�J�*>)+?25872��G+* � �NM>7DG+�2P�¼ �N9�O8?µG+K29�*>)F:D��9�BD9�7�587�G+K29]�>)+*-�272?�E·GLM\G+9 G+K29 �N9�O8?2EXKNMqBD972*-7 ¼/��9�)+*�P�9qM>7 ¼/E � �NM\)+9$B>M>O8�29�Ey§²: B³5C)FG+�29$*-, ��9�)+*\¼ ��*-587DG �N�2J�G+�NM\G+58*-72E�.¥¨K29�7�:D*-�]JqM>O8J��2O[M\G+9G+K29�9�729�)+�>:²¼/?29�72EF5CGH:XG+*�¹�K258JLK�G+K29�EF9��N�2J�G+�NM\G+58*-72E��-5CBD9y)+58EF9>�²:D*-�X*>§2GLM>587XG+K29�M>72E·¹69�)6587�N725CGH:D.¥¨K258O89�G+K258E�)+9�EF�2OCGy58E672*>Gy9�72J�*-�³)LM>�-5872�2�³5CG6?2* 9�EyO89qM>?QG+*�M%B>M>O858?Q9 < ��9�)+58P�9�7DGLM>O �2)+9�?258J�G+58*-7A@58,:D*-��JqM>O8J��2O[M\G+9�G+K29y��9�)+*\¼ ��*-587DG�9�729�)+�>:E��9�)��2725CG�BD*-O8�2P�9�587�G+K29yE��1M>J�96§�9�GH¹69�9�7�GH¹6*$�>)+*-�272?29�?JqM6�1M>J�5CG+*>)��NO[M\G+9�E��¡:D*-�'*>§2GLM>587'M�fh,=*>)+PQM>O8OC:]587�N725CG+9�i�9 < �2)+9�EFEF58*-7'G+KNM\GA?29 ��9�72?2E�*-7xG+K29�EF9 �³¼M\)LM\G+58*-7 §�9�GH¹69�9�7vG+K29:�NO[M\G+9�E�� � . RyK29x?25! �9�)+9�7DG+5[M>OA*-,AG+K258EQ9�729�)+�>: ¹�. )q. Gq. � 58E �N725CG+9�M>72?��*-EF5CG+5CBD9>.�RyK²�2E�G+K29�9�729�)+�>:�?29�72EF5CGH:�§�9�GH¹69�9�7 G+K29 �NO[M\G+9�E$)+58EF9�E�M>E$G+K29 �NO[M\G+9�E�P�*�BD9�M6�1M\)FGq.4�:¦J�*-72EF9�)FB>M\G+58*-7µ*-, 9�729�)+�>:D�:D*-�µKNMqBD9QG+*x¹6*>)F»�*-7�G+K29 �NO[M\G+9�E�G+*'�-9�G�G+K29�P M6�1M\)FG � G+K29�NO[M\G+9�E�M\GFGF)LM>J�G�*-729%M>72*>G+K29�)�fzG+K29 � ª1cq­Y=¦­z± / � / «>¬\i|.�RyK258E��2)+9�?258J�G+58*-7xKNM>E §�9�9�7xJ�*-7�2)+P�9�?9 < ��9�)+58P�9�7DGLM>O8OC:D.

RyK29�¸yM>EF58P�5C)�9 �9�J�G�EF�2�-�-9�E·G+EG+KNM\G?25! �9�)+9�72J�9�E�587���9�)+*\¼ ��*-587DGB>M>J��2�2P 9�729�)+�>:�M\)+9��NKD:³E�¼58JqM>On�d9�BD9�7º58,�§1M>EF9�O858729�B>M>O8�29�E%M\)+9�72*>Gq��M>72? ¹69�J�*-7 (·9�J�G+�³)+9XG+KNM\G$¹�K29�7 G+K29�9�729�)+�>:²¼/?29�72EF5CGH:*-,�G+K29�B>M>J��2�2P 58E�,=*>)�M>7D: )+9qM>EF*-7'�>)+9qM\G+9�)�G+KNM>7'5CG+E�P�587258P��2P�B>M>O8�29>�1G+K29�9 < J�9�EFE$9�729�)+�>:�58EJ�O[M>EFEF58JqM>O8OC: PQM>7258,=9�E·Gq. � B>M>J��2�2P ¹�5CG+K¦9 < J�9�EFE�9�729�)+�>:¦58E%JqM>O8O89�?�MQ3,zM>O8EF9�B>M>J��2�2P��8. ; §²B³5 ¼*-�2EFOC: M�B>M>J��2�2PTP��2E·G §�9���*>)+9�7DG+�%587DB>M\)+5[M>7DGq�1EF*XG+K29�9�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2P#G+9�72EF*>)�*-,�MX,zM>O8EF9B>M>J��2�2P P��2E·G §�9%M�P��2OCG+5!�NO89$*-,�G+K29�P�9�GF)+58JAG+9�72EF*>)q.�RyK²�2E

� 4 8 ) G � � 4 8 f �xM�J�*-72E·GLM>7DG�i T f �³.8¶ Di

��7�MxO8* JqM>O8OC:º,[)+9�9�OC:²¼/,zM>O8O85872�',[)LM>P�9 � 4 8 ) f 4 8 �EF* M:��*-EF5CG+5CBD9Q9�729�)+�>:�?29�72EF5CGH:�J�*>)F)+9�E���*-72?2EG+* � � U³.%�HG�,=*-O8O8*�¹�E$G+KNM\G�M],zM>O8EF9�B>M>J��2�2P 9 < 9�)FG+E�M 729��DM\G+5CBD9<�2)+9�EFEF�³)+9>� � ) G �d.�¥¨K29�7¹69 �NO8�2� � ) G � % R ) � 587DG+* f �³.8¶�^-i%¹69 �N72? � ) J�*-72E·GLM>7DG���EF* G+K29 9�729�)+�>:²¼/?29�72EF5CGH: *-,G+K29]B>M>J��2�2P 58E��272JLKNM>72�-9�? §²:�J�*-EFP�58J]9 < �1M>72EF58*-7a.2�TEF58P��NO89 �NKD:³EF58JqM>O�M\)+�-�2P�9�7DGXEFK2*�¹�EG+K29�J�*-72729�J�G+58*-7�§�9�GH¹69�9�7x729��DM\G+5CBD9��2)+9�EFEF�³)+9�M>72?�J�*-72E·GLM>7DG�9�729�)+�>:²¼/?29�72EF5CGH:,@���PQM>�-58729A¹�KNM\GKNM6� ��9�72E�¹�K29�7�¹69�5872J�)+9qM>EF9�§²: ? � G+K29�BD*-O8�2P�9�*-, MXJ�:³O85872?29�)�J�*-7DGLM>58725872��MX,zM>O8EF9�B>M>J��2�2P�.

Page 87: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� ��������� ���X� �%$ � � $��"$ ��RyK29 ,zM>O8EF9yB>M>J��2�2P�� E�PQM>EFE5872J�)+9qM>EF9�E�§²: �

�����

? �X�DEF*�5CG+E9�729�)+�>:�5872J�)+9qM>EF9�E�§²: ������% R ? ��.RyK29

O[M\GFG+9�)�5872J�)+9qM>EF9�P��2E·GA9 � �NM>OdG+K29�¹6*>)F»�?2*-729�*-7�G+K29 �N58E·G+*-7a� G � ? ��.�RyK²�2E�G+K29 �2)+9�EFEF�³)+9�*-,G+K29�,zM>O8EF9$B>M>J��2�2P 58E � ) G �

�����% R .

U�`N¬ / eRyK29�J�*-72E·GLM>7DG ��KNM>E��2725CG+E�*-, 9�729�)+�>: ?29�72EF5CGH:D.���7º¶ �³¶�^ �2,[)+*-PTMX?29�EF5C)+9�G+*XJ�*-72E·GF)+�2J�GAME·GLM\G+58J��2725CBD9�)+EF9>����5872E·G+9�587�)+9 �NO[M>J�9�?�� 4 8 587�G+K29 �N9�O8? 9 � �NM\G+58*-72E$§²: � 4 8 G 6 � 4 8 .%YA9JqM>O8O89�? 6 ��¹�K258JLK'KNM>E$�2725CG+EA*-,O89�72�>G+K

� R G+K29�«-`¡c =º` Z ` *¡­h«-ª Z «-`¡® c�¬�ª1®�¬D. �HG$58EA9qM>E·:�G+*EF9�9�G+KNM\G 62) �� ��� N5% � .¥¦9�72*�¹ )+9�G+�³)+7�G+*]9 � �NM\G+58*-7 f �³.8¶ S-iAM>72?�)+9 �NO[M>J�9 �¡f��Fi §²: �¡f���+qi�G+58P�9�E I�f��Fi � � �a¹�K29�)+9

I�f���+qi ) ¶XM>72? � ) V��� �LUQ,=*>)$G+K29�JqM>EF9�E�*-,�?2�2E·Gq�d)LM>?25[M\G+58*-7 M>72?�B>M>J��2�2P 9�729�)+�>:D�a)+9�E���9�J|¼G+5CBD9�OC:D. ¥¦98�N72?

�I R )������ ������� �V�I �¡f���+qi G � % R fh?2�2E·G|i�� �V�I R �¡f���+qi G � % R fz)LM>?25[M\G+58*-71i�� �V I R �¡f���+qi G � % R fzB>M>J��2�2P i|.

f �³.8¶ �Di

¸6�³)F)+9�7DG+OC:xG+K29�@A725CBD9�)+EF9�58E$9 < �1M>72?25872�2�aEF* �I � U³.�� � �NM\G+58*-7µf �³.8¶ �Di�E·GLM\G+9�E�G+KNM\Gq�a58,�5CG58E6PQM\GFG+9�)�?2*-P�587NM\G+9�?a�³5CG�¹�58O8O¡9 < �1M>72? ,=*>) 9�BD9�)y58, � � U³.�46�³Gy58, � � U]fzG+K29AJqM>EF9$587�¹�K258JLKE��1M\G+5[M>OdEF9�J�G+58*-72E�M\)+9 V�¼/E��NK29�)+9�ELi|�NG+K29�9 < �1M>72EF58*-7 ¹�58O8OaJ�9qM>EF9�¹�K29�7

I ) �� � �¡f���+�iV % R � ) ¶fu^ T S 9 ¶�U 0 + O858�-KDG : )Li R � 9 �¡f���+qi

¶�U � R � »³��P � 2 TRyK²�2E%*-�³)%O8*-72�-9�B³5CGH:�KNM>72�-E%�2OCG+58PQM\G+9�OC:x*-7¦K2*�¹ G+K29�)LM>?258�2E%*-,�J��³)FB>M\G+�³)+9�*-,�G+K29�@A725CBD9�)+EF9J�*-P��1M\)+9�Ey¹�5CG+K EF*-P�9$G+9�72E�*-,�§N58O8O858*-72E *-, O858�-KDG :D9qM\)+E�.:;Q / ±\«D­hc /�� � � � e

��7DG+9��>)LM\G+9Qf �³.8¶ �Di�587]G+K29�JqM>EF9�*-, ?2�2E·G�G+*�EFK2*�¹

% O O � OI�

��f�I³i ) � � G 0R EF587�S � ¹�K29�7�� � U � J M\)+J�EF587 f O I N I � i 0R EF5872KAS � G � ¹�K29�7�� �vU � J M\)+J�EF5872K f O I N I � i ¤²»D9�G+JLK I�f��Fi�587]G+K29�GH¹6*XJqM>EF9�E�.

RyK29�E���9�J�5[M>O¡JqM>EF9�� ) U%?25CB³58?29�E6M�?2* *-P�¼/O[M>?29�7�,=�³G+�³)+9A,[)+*-P *-729A*-,a�2OCG+58PQM\G+9y§�*>)+9�?2*-P�. ��7G+K258E JqM>EF9�G+K298�2)+9�EF9�7DG�?29�72EF5CGH: 58E �-5CBD9�7 §²:

�� � f���+qi ) V �I R

�� �cI R ���� � � T f �³. S>UDi

RyK29$?258E·GLM>72J�9A§�9�GH¹69�9�7 729qM\)F§²: ,=�272?NM>P�9�7DGLM>Oa*>§NEF9�)FBD9�)+E�� � � �7I�f��Fi � � � 5872J�)+9qM>EF9�E�M\GyM)LM\G+9 �I � � ) f �I N I³i � � .ARyK²�2EXf �I N I³i 58E�G+K29 � �NM>7DG+5CGH: � 587'YA�³§2§NO89>� EA)+9�O[M\G+58*-7 L ) � � .��HG+EJ��³)F)+9�7DG�B>M>O8�29�O8589�E�729qM\)�^�S »³PgE � 0 I���J � 0 587¦58?258*>G+58J�M>E·GF)+*-72*-P�58JqM>O�2725CG+E���G+K258E�GF)LM>72EFO[M\G+9�EG+*QS T � V<9º¶�U � 0�� E � 0 �NEF* �

� � f���+�i ) ¶ T U-V<9º¶�U � R � »³��P � 2 T f �³. S ¶�i

Page 88: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� ��� � ( �*�����"$�( � �RyK29�§�9�E·G�*>§NEF9�)FB>M\G+58*-7NM>O�9�B³58?29�72J�9%EF�2�-�-9�E·G+E�G+KNM\G�G+K29%M>J�G+�NM>O�?29�72EF5CGH: *-,�PQM\GFG+9�) 58E�MX,zM>J�G+*>)*-,�EF9�BD9�)LM>ONO8*�¹69�)�G+KNM>7�G+K258E @��272O89�EFE�B>M>J��2�2P 9�729�)+�>:X58E�EF58�-725!�NJqM>7DGq�DG+K29�,=�³G+�³)+9�58E�P�*>)+9 O85C»D9�OC:G+*]§�9�§�*>)+5872�]G+KNM>7º*>G+K29�)F¹�58EF9>. A*>G+9�G+KNM\G�58, � � �

� � �dG+K29�@A725CBD9�)+EF9X58E�E��1M\G+5[M>O8OC:'587�N725CG+9M>72?�J�*-7DGLM>5872E 587�N725CG+9�PQM>EFE��³¹�K258O89�58, � � �� � G+K29�G+*>GLM>OaPQM>EFEy58E��N725CG+9>.

:;Q / ±\«D­hc / c � ��� � efh5=i ¤ K2*�¹ ,=*>)'M�?2�2E·G·¼/?2*-P�587NM\G+9�? �2725CBD9�)+EF9º¹�5CG+K�� ) U�G+KNM\G_I ) f�� N ��+qi R � 2 .�YA9�72J�9

9�E·G+58PQM\G+9AG+K29%M>�-9�*-,�G+K29�@A725CBD9�)+EF9�58, �¡f���+qi ) �� � f���+�i|.

fh585=i]¤ K2*�¹°,=*>)AM�)LM>?25[M\G+58*-7 ¼/?2*-P�587NM\G+9�?]�2725CBD9�)+EF9�¹�5CG+K � ) U�G+KNM\GRI ) O � N ��+>.fh58585=i]¤ K2*�¹gG+KNM\G�587 A9�¹ G+*-7a� EG+K29�*>)F:�G+K29 )LM>?25[M>O2J�* *>)+?2587NM\G+9RI�f��Fi�*-,�M8�1M\)FG+58J�O89 9�P�§�9�?2?29�?�587

MAK2*-P�*-�-9�729�*-�2EE��NK29�)+58JqM>O2J�O8*-�2?�*-,1P��³G+�NM>O8OC:��>)LMqB³5CGLM\G+5872���1M\)FG+58J�O89�E ¹�K258JLKXM\)+9658725CG+5[M>O8OC:)+9�J�9�?25872�%,[)+*-P G+K29 *>)+58�-587�¹�5CG+K�E���9�9�?2E �2)+*5��*>)FG+58*-7NM>O³G+*$)LM>?258�2E��²*>§�9�:³E�f �³.8¶ S-i|. ��?29�7DG+58,[:G+K29%M>7NM>O8*-�-�29�*-, � 587 G+K258E JqM>EF9>.

� � & � ® � ª2¬�­z`¡®¥¨K29�7XM�G+K29�)+P�* ?³:³7NM>P�58J�E·:³E·G+9�PZ58E )LM6�N58?2OC:%9 < �1M>72?29�?XM>72?�G+K29�)+9�,=*>)+9 M>?25[M\§1M\G+58JqM>O8OC:�J�* *-O89�?a�5CG 58E�O85[M\§NO89G+*83EF���9�)+J�* *-On�q¹�K29�7%5CG 9�72J�*-�27DG+9�)+E G+K29�G+9�P���9�)LM\G+�³)+9�M\G�¹�K258JLK�MI�NKNM>EF9�GF)LM>72EF5CG+58*-7¹6*-�2O8? * J�J��³)�58,�5CG$¹69�)+9XEFO8*�¹�OC:'J�* *-O89�?a.<� J�O[M>EFEF58J�9 < M>P��NO89�*-,�G+K258E��NK29�72*-P�9�72*-7º58EA¹yM\G+9�)B>M6��*-�³)X587 Mx¥¨58O8EF*-7�J�O8*-�2? JLKNM>P�§�9�) @]M�EF�2?2?29�7 9 < �1M>72EF58*-7�EF���9�)+J�* *-O8E�G+K29 B>M6��*-�³) (·�2E·G§�9�,=*>)+9�?29�§2)+58E ,[)+*-P M�J�*-O8O858EF58*-7 �N589�E6G+K³)+*-�2�-Ka�1M>72?]¹yM\G+9�) ?³)+*5�NO89�G+Ey)LM6�N58?2OC: J�*-72?29�72EF9%M>O8*-72�G+K29�GF)LM>J+»³E *-,�G+K29�?29�§2)+58E�.

¤ 5872J�9]G+K29 B>M>J��2�2P 58EXM�J�*-P��NO89 < ��72*-7 ¼/O858729qM\)X?³:³7NM>P�58JqM>O6E·:³E·G+9�P���5CG�58E�9 < ��9�J�G+9�?�G+*9 < K25C§N5CGU�NKNM>EF96GF)LM>72EF5CG+58*-72E�. ��7]¶ � ³¶��AO[M>7 % �³G+K�*-,1I�. �|.3R$.7��*-587DG+9�?�*-�³G 0�� G+KNM\GEF���9�)+J�* *-O85872�M\GdG+K29�G+9�P���9�)LM\G+�³)+9*-,³M6GF)LM>72EF5CG+58*-7�J�*-�2O8?�KNMqBD9�JqM>�2EF9�?�G+K29�B>M>J��2�2P G+*yE·G+�2P�§NO89G+9�P���*>)LM\)+58OC:587DG+*�M¦,zM>O8EF9�B>M>J��2�2P�.�RyK29�7 G+K29xJ�*-EFP�58J�EFJqM>O89x,zM>J�G+*>)Q¹6*-�2O8? *>§�9�: G+K29 G+K25C)+?g*5�2G+58*-7 5879 � �NM\G+58*-7¦f �³.8¶ �Di6M>72?]¹69�KNMqBD9

�I ) �� ���V % R I I�f��Fi ) I�fnUDi³9 < � � �� ���V % R � � T f �³. S-S-i

% )LM>72?��2725!�N9�?�G+K29�*>)+589�E�*-, G+K29�E·GF)+*-72�2�N¹69qM\» M>72?�9�O89�J�GF)+*-PQM>�-729�G+58J$,=*>)+J�9%EF�2�-�-9�E·G�G+KNM\G G+K29G+58P�9$J�*-72E·GLM>7DGAM>EFEF* J�5[M\G+9�?]¹�5CG+K]G+K258E 9 < ��*-729�7DG+5[M>Od�>)+*�¹ G+K�58E � ¶�U � 2 � E�.:;Q / ±\«D­hc /�� + = � e��9�GyG+K29��2)+9�EF9�7DG�M>�-9A*-,dG+K29$@A725CBD9�)+EF9A§�9����°M>72? G+K29$?258E·GLM>72J�9$*�BD9�)yG+K29 ! ��� ���(*� G+58P�9|¼

EFO858J�9�� ) ��� G+*%G+K29$P�*-E·G6?258E·GLM>7DGy,=�272?NM>P�9�7DGLM>O�*>§NEF9�)FBD9�) 5CGy58E6587 �2)+5872J�5!�NO89���*-EFEF5C§NO89AG+*EF9�9�§�9 � ��. ¤ K2*�¹°G+KNM\G�58, G+K29%@A725CBD9�)+EF9%KNM>?�587 �1M\G+9�?x,[)+*-P*� ) U�G+*XG+K29 �2)+9�EF9�7DGA?NMq:¹69�¹6*-�2O8?�KNMqBD9 � � ) % ���%�a¹�K258O89�¹69�¹6*-�2O8? KNMqBD9 � � ) S % ��� 58,G+K29�@A725CBD9�)+EF9�KNM>?§�9�9�7�M>OC¹yMq:³E �1M\G�M>72? )LM>?25[M\G+58*-7 ¼/?2*-P�587NM\G+9�?a.�RyK29$,=�³)FG+K29�E·G�,=�272?NM>P�9�7DGLM>Oa*>§NEF9�)FBD9�) ¹69JqM>7�EF9�9�58E E+M>58?]G+*�§�9�*-7]G+K29c[ ªN±�¬�­h« Z / � `1±\­ �D`¡®�. YA587DG @�2EF9%U ) � ��� ? � R / � � � ?� R . % �³G+Ka� E�587 �1M\G+58*-7NM\)F: J�*-7 (·9�J�G+�³)+9%KNM>E GH¹6*�BD9�)F:]EF9�?2�2J�G+5CBD98�2)+*5��9�)FG+589�E @

0���� ; �+D��� B��� ���� � � ���CV

Page 89: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� ���X� �%$ � � $��"$ ��fh5=iQ�HG�*5 �9�)+E6M>7�9 < �NO[M>7NM\G+58*-7�*-,¡¹�KD:XG+K29�@A725CBD9�)+EF9�58E�EF*%K2*-P�*-�-9�729�*-�2E�*-7 M�O[M\)+�-9�EFJqM>O89 §²:

EF�2�-�-9�E·G+5872��G+KNM\G�9�BD9�)F: G+K25872��¹69 EF9�9 PQMq:�KNMqBD9 9�P�9�)+�-9�?X,[)+*-P G+K29 9 < �NO8*-EF5CBD9y9 < �1M>72EF58*-7*-,�M�EF5872�-O89�JqM>�2E+M>O8OC:²¼/J�*-72729�J�G+9�? �N�2J�G+�NM\G+58*-7 587 G+K29��2)+9�587 �1M\G+58*-7NM\)F:]@A725CBD9�)+EF9>.

fh585=i��HG�*5 �9�)+E�M>7¦9 < �NO[M>7NM\G+58*-7º*-,�¹�KD: �¡f���+qi N �� � f���+qi�� ¶-@%¹�5CG+K G+K29�?29 �N725CG+58*-7¨f �³. S>UDiA*-,

�� � G+K29�J�*-EFP�58J$9�729�)+�>: 9 � �NM\G+58*-7¦f �³.8¶ S-i�JqM>7 §�9�¹ )+5CGFG+9�7

�¡f��Fi�� � f��Fi ) ¶ / � % R�I R T f �³. S5VDi

¥¨KNM\G+9�BD9�)QG+K29�58725CG+5[M>O6B>M>O8�29�*-,��µ�yM>,[G+9�) M EF��a�J�589�7DG 7²�2P�§�9�) *-, ��¼/,=*-O8?25872�¦G+58P�9�E �I§�9�J�*-P�9�E�9�72*>)+P�*-�2E�M>72?¦G+K29Q?29�B³5[M\G+58*-7¦*-,y9qM>JLKµEF58?29Q*-,�f �³. S5VDi$,[)+*-P �2725CGH: §�9�J�*-P�9�E9 < GF)+9�P�9�OC: EFPQM>O8On.

RyK29�587 �1M\G+58*-7NM\)F: ��9�)+58* ?�58E�EF�� ��*-EF9�?xG+*XKNMqBD9�9�72?29�?x¹�K29�7�G+K29�B>M>J��2�2P �N7NM>O8OC: PQM>?29$G+K29�NKNM>EF9�GF)LM>72EF5CG+58*-7�587DG+*�G+K296O8*�¹69�)·¼/9�729�)+�>:%J�*-7�N�-�³)LM\G+58*-7a�>)+9�O89qM>EF5872�A5CG+E ,=*>)+P�9�) 9�729�)+�>:�?29�72EF5CGH:M>E 72*>)+PQM>O�G+K29�)+PQM>O�)LM>?25[M\G+58*-7a.

� < GF)LM>*>)+?2587NM\)+58OC:D��EF9�BD9�)LM>O�M>E·GF)+*-72*-P�58JqM>OU�NK29�72*-P�9�7NM'M\)+9�9qM>EF589�)%G+*x9 < �NO[M>587º58,�¹69QO85CBD9587µM��2725CBD9�)+EF9QG+KNM\G�58E%72*�¹ P�58O8?2OC: ?2*-P�587NM\G+9�?º§²:ºB>M>J��2�2P 9�729�)+�>:²¼/?29�72EF5CGH:D. 0 � ��,6B>M>J��2�2P9�729�)+�>:²¼/?29�72EF5CGH:º58E�5872?29�9�?¦EF58�-725!�NJqM>7DG�72*�¹�� 5CG�¹�58O8OEF* *-7 §�9�J�*-P�9�?2*-P�587NM>7DG�M>72? ¹69�P��2E·G§�9 M\G�G+K29 E·GLM\)FG�*-,�M�729�¹�587 �1M\G+58*-7NM\)F:�9 �N58EF* ?29>.µRyK258E<�2)+*5��*-EF5CG+58*-7�58E�KNM\)+?29�)XG+*'§�9�O8589�BD9G+KNM>7 G+KNM\G�G+K29�O8*-72� JLKNM>587¦*-,6M>E·GF)+*-72*-P�58JqM>O�5872,=9�)+9�72J�9Q���*-7 ¹�K258JLK¦5CG�)+9�E·G+E�58E�EF*-P�9�¹�K29�)+9?29�,=9�J�G+5CBD9>.

� �,- � `¡c =¦­h« �a¬�±\­h®+*¡c�HGµ58E¦G+K2*-�2�-KDG�G+KNM\G�¹�K29�7 G+K29 B>M>J��2�2P JLKNM>72�-9�? 5CG+E4�NKNM>EF9v,[)+*-P M E·:³P�P�9�GF)+58J K258�-K ¼G+9�P���9�)LM\G+�³)+9',=*>)+P G+*�M�O89�EFE]E·:³P�P�9�GF)+58JqM>O�O8*�¹y¼uG+9�P���9�)LM\G+�³)+9',=*>)+P�� ?258EFJ�*-7DG+587²�25CG+589�E PQMq:KNMqBD9]M\)+58EF9�7�G+KNM\G�¹6*-�2O8?�KNMqBD9 ��9�)+EF58E·G+9�?µG+*�G+K29 �2)+9�EF9�7DGX?NMq:D.�RyK29 �-9�729�)LM>O658?29qMx58E�58O8O8�2E�¼GF)LM\G+9�? §²:]¹�KNM\G�KNM6� ��9�72E�¹�K29�7'MXO8�2P���*-, 5C)+*-7 J�* *-O8E�587���9�)+*�PQM>�-729�G+58J��N9�O8?�G+K³)+*-�2�-K G+K29¸6�³)+589%G+9�P���9�)LM\G+�³)+9 � � fnM\G�¹�K258JLK�5C)+*-7�§�9�J�*-P�9�EA,=9�)F)+*-PQM>�-729�G+58J�i|.��yG � � �>)+*-��NE$*-,�M\G+*-P�EK29�)+9�M>72?�G+K29�)+9 587�G+K29 O8�2P��X?29�J�58?29 G+*%M>O858�-7�G+K29�5C)�E��N5872E�587XEF*-P�9yJ�*-P�P�*-7�?25C)+9�J�G+58*-7a.�¤ 5872J�9G+K29A?25C)+9�J�G+58*-7Q58E6JLK2*-EF9�7 M\G�)LM>72?2*-P��²¹�58?29�OC:�EF9 �1M\)LM\G+9�?]�>)+*-��NE6JLK2* *-EF9A?25! �9�)+9�7DGy?25C)+9�J�G+58*-72E�.¤ *'O8*-72�'M>E%G+K29Q�>)+*-��NE%)+9�PQM>587¦58EF*-O[M\G+9�?ºG+K29�:¦JqM>7µM>O8O��>)+*�¹ §²:ºJ�*-7DB³5872J�5872��M>? (FM>J�9�7DG��27 ¼J�*-P�P�5CGFG+9�?'M\G+*-P�E�G+*]M>O858�-7x¹�5CG+K'G+K29�P�.�46�³G�9�BD9�7DG+�NM>O8OC:�G+K29�E·¹69�O8O85872�]�>)+*-��NEAG+*-�2JLK�9qM>JLK*>G+K29�) � G+K29�O8�2P��ºKNM>E�§�9�J�*-P�9XM PQM>EFE�*-,�587DG+9�)+O8* J+»³5872� ?2*-PQM>5872E�.�469�GH¹69�9�7ºG+K29X?2*-PQM>5872EM\)+9 )+9��-58*-72E�*-, K258�-K 0 M>72?�G+K29�)+9�,=*>)+9]*-,�O[M\)+�-9]PQM>�-729�G+58JQ9�729�)+�>:D.µ¤ * 5CG�58E�9�729�)+�-9�G+58JqM>O8OC:?29�EF5C)LM\§NO89�,=*>)A9qM>JLK'?2*-PQM>587�§�*-�272?NM\)F: G+*QEFK³)+587³»�.�46�³GA�2EF�NM>O8OC: G+K29�§�*-�272?NM\)F:'M\)+*-�272?'*-729?2*-PQM>587xJqM>7�EFK³)+587³»'*-72OC:x58,�G+K29�§�*-�272?NM\)+589�E�*-,�M>? (FM>J�9�7DG�?2*-PQM>5872EA�>)+*�¹�.%¤ *QG+K29�?2*-PQM>5872EM\)+9�9 �9�J�G+5CBD9�OC:]O8* J+»D9�?�587DG+* �NO[M>J�9>.

¥¨K29�7'G+K29%@A725CBD9�)+EF9%J�* *-O8E�GH¹6*\¼/?258P�9�72EF58*-7NM>O�?2*-PQM>587 §�*-�272?NM\)+589�EAPQMq: ,=*>)+P��N§N�³GAG+K29P�*-E·G�58P���*>)FGLM>7DG�?258EFJ�*-7DG+587²�25CG+589�E M\)+9�*-729|¼/?258P�9�72EF58*-7NM>O � E·GF)+5872�-E�.¨RyK29xJ�*-P��NO89 < �N9�O8? �M>EFEF* J�5[M\G+9�? ¹�5CG+K]JLKNM\)+�-9�? �1M\)FG+58J�O89�EyEF�2JLKxM>Ey9�O89�J�GF)+*-72E JqM>7]�-5CBD9A)+58EF9$G+*�M�E·GF)+5872�XO85C»D9�G+K258E�. R +��PQM>�-58729�G+KNM\G�5CG�58E�?29�J�58?29�?'G+KNM\G�G+K29 �N9�O8?xEFKNM>O8O 9�BD9�)F: ¹�K29�)+9%KNMqBD9�M>P��NO85CG+�2?29 O �cO ) ¶�M>72?

0 � �8V 'V � � " �.��*+���� ��� �%� *�1UV ��� I ?�� I F � �� DEF����� I 9 � ����� # ���CVR + � �(�������0*+�<�!�0&C���(�%��� � � *!1 � ����1 ��� 38�%����� �!->1 � �>� ��� &*���� �/E�7*�� � � &(�%'81 �0/R�������(� " *�/R�����*+� " �����01 �0/R�����8&� � � *���� ��*�/ �.->� &(������*+���(�%� ���*�& *)��/%*�1 *+�%V

Page 90: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � � �%$ � � �"! �3���'� (��X� � �:D*-��M\)+9XG+*-O8? G+*xE���9�J�58,[:º5CG+E �NKNM>EF9 U � M\)+�¡f �yi � S�� G+K³)+*-�2�-K2*-�³G�E��1M>J�9>. D�*-�¦?29�J�58?29�G+*EF9�G�M\)+� �$f � i ) � f � i|� ¹�K29�)+9 � 58E%G+K29Q�2EF�NM>O6J�:³O85872?³)+58JqM>O ¼ ��*-O[M\)�J�* *>)+?2587NM\G+9Q*-,yG+K29 ��*-587DG� .ºRyK258E�M>EFEF58�-72P�9�7DG�¹6*>)F»³E �N729]9�BD9�)F: ¹�K29�)+9 9 < J�9 �2G�M\G�:D*-�³)�J�* *>)+?2587NM\G+9 *>)+58�-587a� � ) U³.YA9�)+9 � M\)+�¡f �yi�?25CBD9�)+�-9�E�EF5872J�9�M>7D: �NKNM>EF9XJqM>7 §�9�)+9qM>JLK29�?�M\)F§N5CGF)LM\)+58OC:xJ�O8*-EF9�G+* � ) U³.��HG58E�72*>G�KNM\)+?�G+*���9�)+EF�NM>?29%*-729�EF9�O8,�G+KNM\G�§²:�M>? (·�2E·G+5872��G+K29�B>M>O8�29�E�*-, �v587'M>7D: �N725CG+9�BD*-O8�2P�9:D*-� JqM>7 P�*�BD9]§N�³G 72*>GQ9�O858P�587NM\G+9 G+K258E�EF5872�-�2O[M\)+5CGH:D��¹�K258JLKg58EQM>EFEF* J�5[M\G+9�? ¹�5CG+K MºO858729�*-,9�729�)+�>:²¼/P�*-P�9�7DG+�2P�.RyK258E�58E�M�J�*-EFP�58J�E·GF)+5872�2.

¥¨KNM\G�?2* 9�E$G+K29�9�729�)+�>:'P�*-P�9�7DG+�2PTG+9�72EF*>) O8* *>»�O85C»D9�587'G+K29�7NM\)F)+*�¹ZG+�³§�9XM\)+*-�272?� ) UX587 ¹�K258JLK ') UXF�¥¦9>� ?�9 < ��9�J�G G+*�§�9%��*>)+9�7DG+�%587DB>M\)+5[M>7DG�¹�5CG+K )+9�E���9�J�GAG+*�§�* *-E·G+E�1M\)LM>O8O89�O6G+* G+K29 E·GF)+5872�2� EXO858729>.g¤ *º587�G+K29¦f������DiE�NO[M>729 KNM>EXG+*�§�9 �2)+*5��*>)FG+58*-7NM>O6G+* G+K29I'587³»D*�¹�E·»³5 P�9�GF)+58J>.I�AO8EF*�5CGq� E�KNM\)+?�G+*QEF9�9�K2*�¹°G+K29%E·GF)+5872�QJ�*-�2O8?x§�9%JqM\)F)F:³5872�QM>7D: G+K25872�Q587G+K298�'*>)?�Q?25C)+9�J�G+58*-72E�.6¤ *

� 4 8 ) G � % R"#$G?% R U U UU U U UU U U UU U U ¶

& '( � f �³. S6�²i

¹�K29�)+9 ��58E�M�J�*-72E·GLM>7DGq.A*�¹ J�*-72EF58?29�)�G+K29�O858729�9�O89�P�9�7DG

? � R ) G?% R ?� R / � R+ fh? � R / EF587 R �>? � R i / ?P� R � f �³. S�S-i¹�K29�)+9 � +�58E�MAJ�*-72E·GLM>7DGq.RyK258E 58E�M>O8P�*-E·G G+K296O858729�9�O89�P�9�7DG�? � R ) G?% R ?� R / ? � R / � R ? � R / ?P� R*-, �1M\G E��1M>J�9�G+58P�9�587�J�:³O85872?³)+58JqM>O-��*-O[M\)+E�� � +���58E M »³5872?%*-,³)LM>?25[M>O-B>M\)+5[M\§NO89>.�RyK29�*-72OC:�72*-7 ¼/��9�)+*¸6K³)+58E·G+*5 �9�OdE·:³P�§�*-O8Ey�-9�729�)LM\G+9�? §²:¦f �³. S�S-i6M\)+9

� ���� ) G 0R EF587�S � � � �

� � ) � �� � ) J�*>G�� TRyK29�*-72OC: 72*-7 ¼/��9�)+*QJ�*-P���*-729�7DG+E *-, G+K29���58J�J�5dG+9�72EF*>)�M\)+9

� �� ) � �� ) G�� � R+ TRyK²�2E�� ) G S � � R+ M>72? G+K29���5872E·G+9�587 9 � �NM\G+58*-72E�fnV³.8¶�^-i�)+9qM>?

� � � G 0R � �� � )"#$� � R+ U U UU U U UU U U UU U U � � R+

& '(*) G �� �% � � ��

) �� � �% R"#$¶ U U UU U U UU U U UU U U ¶

& '( T

f �³. S>VDi

YA9�72J�9�¹�5CG+K�� � U'fz¹�K258JLK�J�*>)F)+9�E���*-72?2EAG+*]M���*-EF5CG+5CBD9�9�729�)+�>:x?29�72EF5CGH:'M>72?'G+9�72EF58*-7'587xG+K29E·GF)+5872�²i�G+K29�P�9�GF)+58J�f �³. S�S-i�EF*-OCBD9�E���5872E·G+9�587a� E 9 � �NM\G+58*-72E 5872EF58?29�G+K29�E·GF)+5872�2.

Page 91: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � ��������� ���X� �%$ � � $��"$ ��¥¨KNM\G6¹69�)+9qM>O8OC:X729�9�? 58E�G+K29�P�9�GF)+58J�*-�³G+EF58?29�G+K29AE·GF)+5872�2� ¹�K29�)+9�¹69�O85CBD9>.��9�G�G+K29A*-�³G+9�)

EF�³)+,zM>J�9%*-,�G+K29�E·GF)+5872��§�9 � ) ��.�RyK29�7 G+K29�9 < G+9�)+58*>)�P�9�GF)+58J$58E

? � R ) G?% R ?� R / � R+ � J�*-E R �J�*-E R � � ? � R / EF587 R �>? � R � / ?P� R T f �³. S-^-i

RyK258E6P�9�GF)+58J�*>§²B³58*-�2EFOC:#(·*-5872E6EFP�* *>G+K2OC:�G+*%G+K29A587DG+9�)+58*>)6P�9�GF)+58J�f �³. S�S-i*-7 � ) ��.�R *�EFK2*�¹

G+KNM\Gy5CGy58EyM%B>M>J��2�2P#EF*-O8�³G+58*-7 *-,���5872E·G+9�587a� E69 � �NM\G+58*-72E��³¹69AGF)LM>72EF,=*>)+P G+*�M�729�¹ J�* *>)+?2587NM\G+9EF9�G�f���� � � � � � ���Di|�³¹�K29�)+9�G+K298�yM>72?��XJ�* *>)+?2587NM\G+9�E�M\)+9�G+K29�*-O8? *-729�E�M>72?

� � J � + EF587 �J�*-E��

� � � J J�*-E�f ��i � T f �³. S Di

RyK29�P�9�GF)+58JXf �³. S-^-i�72*�¹ §�9�J�*-P�9�E? � R ) G?% R ?� R / ? � � R / � � R ? � � R / ?P� R � f �³. S �Di

¹�K258JLK¦58E$(·�2E·G%G+K29�J�:³O85872?³)+58JqM>O ¼ ��*-O[M\)�P�9�GF)+58JX*-, �1M\G%E��1M>J�9�G+58P�9>. 46�³G%*-7¦M O[M\)+�-9XEFJqM>O89XG+K29E��1M>J�9�G+58P�9�*-�³G+EF58?29�G+K29�E·GF)+5872��58E�BD9�)F:X* ?2?�§�9�JqM>�2EF9�G+K29�)LM>72�-9�*-, � � 58EAfnU�|S��$J�*-E �

�i|. RyK258E

,=*-O8O8*�¹�E,[)+*-P f �³. S Di M>72?�G+K29 ,zM>J�GG+KNM\G � 58E587�fnU�|S�� i u. ¸6*-72EF58?29�)�,=*>)�9 < M>P��NO89yM$O[M\)+�-96J�5C)+J�O89� � ) I � � +>.�RyK29�)LM>?258�2E *-, G+K258E J�5C)+J�O89�58E� ) � �

+ � � ��� ��� ? � � �7I � f �³.WV-U-MDi¹�K258O89�5CG+E J�5C)+J��2P�,=9�)+9�72J�9%58E

� ) � � � � � � � ? � � ) I³S���J�*-E�f ��i T f �³.WV-U\§¡i

¤ *XG+K29��2EF�NM>O �1M\G·¼/E��1M>J�9�)+9�O[M\G+58*-7 � ) S�� �Z?2* 9�E�72*>GAM6� �NOC:D.�RyK2587³»³5872��M\§�*-�³GAM�J�*-729%PQMq:K29�O!��G+*�J�O[M\)+58,[:�G+K258E%E·GF)LM>72�-9QE·GLM\G+9X*-, M6 aM>5C)+E�. �yG�9qM>JLK4��*-587DG�M J�*-729Q58E��1M\G�587ºG+K29�EF9�72EF9G+KNM\G�5CG%JqM>7 §�9XPQM>?29�*-�³G%*-,6M �N589�J�9X*-, �1M6��9�)%¹�5CG+K2*-�³G�E·GF)+9�G+JLK25872� G+K29��1M6��9�) fz:D*-� JqM>7a� GPQM\»D9 M �1M6��9�)QE��NK29�)+9xM>EX9qM>EF58OC:Ni|��§N�³G�J�5C)+J�O89�EX?258E·GLM>72J�9_I¦,[)+*-P G+K29 J�*-729>� EQM6��9 < KNMqBD9�MJ�5C)+J��2P�,=9�)+9�72J�9%EFPQM>O8O89�)yG+KNM>7xS�� I1.

YA*�¹ J�*-�2O8? ¹69�?29�G+9�J�G�M J�*-EFP�58J�E·GF)+5872� F ; �³)%§�9�E·G�§�9�G%58E�G+* O8* *>»�,=*>)%O858729�E�*-,6�>)LMqB²¼5CGLM\G+58*-7NM>O8OC:�O89�72EF9�?º*>§ (·9�J�G+E�.�R *]�272?29�)+E·GLM>72?ºK2*�¹ M]E·GF)+5872�]O89�72EF9�E%M>7 *>§ (·9�J�Gq�dG+K2587³»'*-,�G+K299 < G+9�)+58*>)�E��1M>J�9%M>E�M<�N589�J�9�*-,��1M6��9�) ¹�5CG+K�M�¹69�?2�-9%*-, M>72�-O89

� � ��� J S���f�¶ G J�*-E�� � i f �³.WV³¶�iJ��³GQ*-�³GQM>72? J�*>)F)+9�E���*-72?25872�4��*-587DG+E�M>O8*-72� G+K29 J��³G+E�58?29�7DG+5!�N9�?a.g(�O[M>J�9]G+K29�*>§ (·9�J�GXG+* §�9O89�72EF9�?xM\G )LM>?258�2E � � ) I��$*-7 G+K29�J��³GAM>72? :D*-�³)+EF9�O8, ?25C)+9�J�G+OC:]*5� ��*-EF5CG+9%M\G � � ) I .

Page 92: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� � �����'� � � �)(-� � �)�������"$�( � ���Mq:³EAGF)LMqBD9�O�*�BD9�)$G+K29 �1M6��9�)�587�E·GF)LM>58�-KDG$O858729�E��dEF* :D*-��JqM>7�EF9�9�G+K29�*>§ (·9�J�G�M>O8*-72�QGH¹6*

O858729�E *-, EF58�-KDG�EF9 �1M\)LM\G+9�? §²:xS$� �2¹�K29�)+9EF587�f � G 0R � � ��� i� I R / I R� / S)I I���J�*-E�f � G 0R � � ��� i )

EF5877� I�� TRyK29xO[M\)+�-9�E·G���*-EFEF5C§NO89�B>M>O8�29�*-,6� 58E�J�O89qM\)+OC: 0R � � ��� .g�HGQEFK2*-�2O8? §�9:��*-EFEF5C§NO89 G+*¦?29�G+9�J�G MJ�*-EFP�58J$E·GF)+5872��§²:]O8* *>»³5872��,=*>)�M�O858729�587]G+K29�E·» : 9�5CG+K29�)�EF58?29�*-,�¹�K258JLK�O8589$P�9�P�§�9�)+Ey*-, �1M>5C)+E*-, EF58P�58O[M\) *>§ (·9�J�G+E�.

RyK29 PQM>EFES��9�)��2725CG�O89�72�>G+K � *-,NG+K29 E·GF)+5872�A¹6*-�2O8?X,=*-O8O8*�¹ 58P�P�9�?25[M\G+9�OC:�,[)+*-P � � ��� @ ,[)+*-PG+K29�587DG+9�)+58*>)�P�9�GF)+58JXf �³. S�S-i�5CG ,=*-O8O8*�¹�EyG+KNM\G G+K29�E·GF)+5872�2� E J�)+*-EFE�¼/EF9�J�G+58*-7NM>O M\)+9qM�58E

) � ���+ � +�? � � R�+ � +aEF587 �>? � ) S�� � R+ f�¶ G J�*-E�� � i T

YA9�72J�9%�2EF5872�'f �³. S>VDi�¹69%KNMqBD9�G+KNM\G G+K29�E·GF)+5872�2� E�PQM>EFEI��9�)A�2725CG�O89�72�>G+K�58E � ) � ) % R f�¶ GJ�*-E��

�i N f � �%i ) % R � � ��� N f �� �%iA5872?29 ��9�72?29�7DG+OC:º*-,�G+K29XE·GF)+5872�2� E8�NKD:³EF58JqM>O¹�58?³G+K � +>.�RyK29�)+9

¹6*-7a� G�§�9�)+* *-PT*-�³G+EF58?29�G+K29�E·GF)+5872��,=*>)AG+K29%@A725CBD9�)+EF9�M>E�¹69�»³72*�¹ 5CG��272O89�EFE � � 0� % R N � )V T VD^ 9g¶�U R � »³��P � 0�. (M\)FG+58J�O89 G+K29�*>)+58E·G+E�G+K2587³»µE·GF)+5872�-EXPQMq:�9 < 58E·G�¹�5CG+K O858729]?29�72EF5CG+589�E�*-,*>)+?29�)AM�G+K2*-�2E+M>72?³G+K�*-, G+K258E�.

� � � � <>=?=ºªN± �RyK29$J�*-EFP�58J$P�58J�)+*�¹yMqBD9�§1M>J+»³�>)+*-�272? ?29 �N729�E�M�7NM\G+�³)LM>OaJ�* *>)+?2587NM\G+9$E·:³E·G+9�P#,=*>) J�*-EFP�*-O8*-�>:D.; 7QO[M\)+�-9�EFJqM>O89�E�G+K29�@A725CBD9�)+EF9AM6� ��9qM\)+E�G+*�§�9�E·GF)+5C»³5872�-OC:�K2*-P�*-�-9�729�*-�2E�M>72?Q58EF*>GF)+*5�N58J>.RyK258E58P��NO8589�EdG+KNM\G 9 � �NM>O ¼uG+58P�9KD: ��9�)+EF�³)+,zM>J�9�EP��2E·G KNMqBD9�G+K29��-9�*-P�9�GF)F:�*-,³9�5CG+K29�)yfh5=iaG+K29 V�¼/E��NK29�)+9>�fh585=i �1M\G E��1M>J�9>�>*>)yfh58585=i�KD: ��9�)F§�*-O858J�E��1M>J�96M>J�J�*>)+?25872�$M>E�G+K29�P�9qM>7�J�*-EFP�58J�?29�72EF5CGH: ��58E �>)+9qM\G+9�)G+KNM>7a�d9 � �NM>O G+*2�a*>)�O89�EFE$G+KNM>7 �

� � � ¶�U � R � »³��P � 2>.��HG�58EA¹�58?29�OC:�§�9�O8589�BD9�?�G+KNM\G � ) �� � M>OCG+K2*-�2�-K P�9qM>EF�³)+9�P�9�7DG+E EF�2�-�-9�E·GAM�EFPQM>O8O89�)yB>M>O8�29>.

RyK29�J�*-EFP�58J'EFJqM>O89x¹�K29�7vG+K29�O858�-KDG ¹69'?29�G+9�J�G ,[)+*-P M�?258E·GLM>7DG]*>§ (·9�J�G]¹yM>E 9�P�5CGFG+9�?JqM>7¦§�9�?29�?2�2J�9�?�,[)+*-P G+K29X)+9�?2EFK258,[G��x*-,6G+K29�*>§ (·9�J�Gq� E�E���9�J�GF)+�2P:@ ¶ / � ) � ��� N � ��� � )I�f�� ��� � i N I�f�� ��� i|.]RyK29�P�*-E·G%?258E·GLM>7DG�*>§ (·9�J�G+E�M\)+9�EF9�9�7µM\G�M>7¦9 ��* JLK¦¹�K29�7 I'¹yM>E%EFPQM>O8O89�)G+KNM>7 72*�¹ §²:]P�*>)+9$G+KNM>7�M�,zM>J�G+*>)�S .

RyK29x9 < �1M>72EF58*-7 *-,AG+K29�@A725CBD9�)+EF9 ¹�58O8O J�9qM>EF9x*-72OC: 58, � � �� � .M�yG�9qM\)+OC:�G+58P�9�E�¹69

M>OC¹yMq:³E�KNMqBD9 � � �� � M>72?�G+K29%J�*-EFP�58J�EFJqM>O89%�>)+*�¹�E�M>ENI �C� R � 2\.6��, G+K29�¹�58O8?�E���9�J��2O[M\G+58*-72E

*-,�K258�-K ¼/9�729�)+�>: �NKD:³EF58J�58E·G+EQM\)+9 G+*�§�9]§�9�O8589�BD9�?a��BD9�)F:µ9qM\)+OC:µ*-7�G+K29�)+9 PQMq:�KNMqBD9]§�9�9�7gM>7587 �1M\G+58*-7NM\)F::�NKNM>EF9�587'¹�K258JLK I �Z9 � � M>72?'G+K29�9�7DG+5C)+9�*>§NEF9�)FB>M\§NO89�@A725CBD9�)+EF9��>)+9�¹ *-�³G$*-,�MEF5872�-O89 � �NM>7DG+�2P �N�2J�G+�NM\G+58*-7a. ��,2G+K29yJqM>O85C§2)LM\G+58*-72E *-,¡M>E·GF)+*-72*-P�9�)+E�M\)+96G+*�§�96§�9�O8589�BD9�?a�DM\§�*-�³GGH¹6* G+K25C)+?2E%*-,�G+K29�9�729�)+�>: ?29�72EF5CGH:º587 G+K29�@A725CBD9�)+EF9�58E�J��³)F)+9�7DG+OC:ºJ�*-7DGF)+5C§N�³G+9�?º§²:�B>M>J��2�2P9�729�)+�>:D�1M>72? G+K29�@A725CBD9�)+EF9�58E (·�2E·G�E·GLM\)FG+5872�X*-7�M�EF9�J�*-72?x587 �1M\G+58*-7NM\)F: 9 �N58EF* ?29>.� � � �µ��&'� ����$�

Page 93: Classical Fields Lecture Notes James Binney

�X� � � �-��( � �"!� �� �������������� �����������������

I�M>7D:XJqM>O8J��2O[M\G+58*-72E�587�)+9�O[M\G+5CB³5CGH:�M\)+9 §�9�E·G ��9�)+,=*>)+P�9�?X§²:XPQM\GF)+5 < P��2OCG+5!�NO858JqM\G+58*-7a.¸6*-7 ¼BD9�7DG+58*-7NM>O8OC: G+K298�2)+E·G�5872?29 < ��*-7xM�PQM\GF)+5 < � � O[M\§�9�O8E�M�)+*�¹ M>72?�G+K29�EF9�J�*-72?a� �QMXJ�*-O8�2P�7a.RyK29�7 ¹69�,=*>)+P#G+K298�2)+* ?2�2J�G � 3 � §²:]EF�2P�P�5872��*�BD9�)�M>? (FM>J�9�7DGA5872?258J�9�E @

$ � 3 � & � ) � � � 0 � RyK²�2E�G+*�9�B>M>O8�NM\G+9 � 8 J � 4 8 0 � 4�¹69I�2)+E·G�)+9qM\)F)LM>72�-9yG+*�9�72EF�³)+9�G+KNM\G�¹69�M\)+9 EF�2P�P�5872��*�BD9�)M>? (FM>J�9�7DGA5872?258J�9�E @

� 8 J�� 4 8 0 � 4) 0 � 4 � 4 8 ) fh_ 3 *di � 8 T

¥¦9�PQMq:QKNMqBD9�G+*�GF)LM>72E���*-EF9%M�G+9�72EF*>)�G+*�?2*XG+K258E @ 8 � J 0 4 8 � 4 �

) f 0�� i 8 4 � 4 � ) fh_�� 3 � i 8 � T��7 �1M\)FG+58J��2O[M\) @

fh5=i ��$�� �)������ �"$ �� � � � � �>� ( �- � ���2)+9�P��2OCG+5!�NOC:�§²:�* � 587QE���9�J�5[M>O1)+9�O[M\G+5CB³5CGH:�G+K258E (·�2E·G6JLKNM>72�-9�EG+K29�EF58�-7 *-, G+K29$G+*5� )+*�¹��fh585=i ��$ � �)������ �"$ �� � ���!�$�( � � ( �- � ����*-E·G+P��2OCG+5!�NOC:µ§²: * � 587gE���9�J�5[M>O�)+9�O[M\G+5CB³5CGH:µG+K258E (·�2E·G

JLKNM>72�-9�E�G+K29�EF58�-7�*-,�G+K29�O89�,[G�J�*-O8�2P�7a.�$*-�³§NOC:]J�*-7DGF)LM>J�G+9�?'S ��� )LM>7³» G+9�72EF*>)+E�M\)+9$(·�2E·G�G+K29$GF)LM>J�9�*-, M<�2)+* ?2�2J�G�PQM\GF)+5 < @

4 8 0 4 8 ) 4 $ � 3 _�� & 4�4) GF)LM>J�9²f � 3 _ � i T

� /_/ [�cq­ Z `¡®gc � = � ` Z ��7 � ��!����)� )+9�O[M\G+5CB³5CGH:Q¹69�?29 �N729�G+K29���9�B³5 ¼�¸65CB³5CGLM�E·:³P�§�*-O�§²:� ��� � )

� U 58, M>7D: GH¹6*X5872?258J�9�E�9 � �NM>O) / ¶ 58, � � H � F � � J�:³J�O858J���9�)+P��³GLM\G+58*-7]*-,�U³�8¶-� S �WV) G ¶ 58, � � H � F � � M>7DG+58J�:³J�O858J���9�)+P��³GLM\G+58*-7]*-, U³�8¶-� S �WVfhE���9�J�5[M>Oa)+9�On.2*-72OC:Ni|.

�HGq� E�9qM>E·:�G+*QEF9�9�G+KNM\GA*-7x)LM>58EF5872� 9qM>JLK'5872?29 < ¹�5CG+K�M>7 e ¹69��-9�GAG+K29�E+M>P�9 �1M\GFG+9�)+7',=*>)AG+K29��xE·:³P�§�*-On.

RyK29 � E·:³P�§�*-O8E M\)+9��2EF9�,=�2O ,=*>) GLM\»³5872�X?29�G+9�)+P�587NM>7DG+E @� ��� � O �?O ) � � � 4 8 �� �� 4�

8� ��� � O __O ) � � � 4 8 0 � � 0 � � 0 4 � 0 8

Page 94: Classical Fields Lecture Notes James Binney

� �� �'���&�����"$�(_$�� � � � � � ) 0R � � � � �9�G+J>.

R�)LM>72EF,=*>)+P�5872��G+*XMXJ��³)FB³58O858729qM\) J�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P#¹698�N72?� � ��� � ) � � � �� � � �

� � �� � � �

� � �� � 4 �

� � � � 8 � � � 4 8

) � f Q � i� f Q i � ��� �f �³.8¶�i

46�³G �� � � ��� �� ) ���� � � ��

� � � �� � �� � � f � � ����) G � � f Q � i� f Q i �

R T¤ *�¹69�JqM>7 ¹ )+5CG+9�f �³.8¶�i6M>E � � ��� � ) O G O � 4 8 O � ��� � T f �³. S-i¤ 58P�58O[M\)+OC:D� � � + 0 R 2 ) O G O � 4 8 O ) ¶ N O G O � 4 8 O3.�YA9�72J�9�587��2. )q.¡G+K29 � E·:³P�§�*-O8E$M\)+9�72*>G�PQM>?29��Q*-,�72*-�2�-KDG6M>72?Q*-729>�D§N�³G�*-,�72*-�2�-KDG6M>72? O G O � 4 8 O3.U�AO8EF*%587X�2. )q.-G+K29��� M>72?�?2*�¹�7Q,=*>)+P�E*-, � M\)+9�?258E·G+5872J�Gq.

��7��-9�729�)LM>O � KNM>E�GH¹6*)(·*>§NE @ fh5=i 5CG9 < GF)LM>J�G+E�G+K296G+*>GLM>O8OC:�M>7DG+58E·:³P�P�9�GF)+58J �1M\)FG+E*-,NG+9�72EF*>)+E��fh585=i 5CG�PQM6�NE*-729|¼uG+*\¼/*-729 G+*>GLM>O8OC:�M>7DG+58E·:³P�P�9�GF)+58J � ��A)LM>7³»�G+9�72EF*>)+E�587DG+*$G+*>GLM>O8OC:�M>7DG+58E·:³P�P�9�G·¼)+58J�G+9�72EF*>)+E$*-, )LM>7³»�f � G ��i|.�RyK29�J�*>)F)+9�E���*-72?29�72J�9 . � . 58EAM>7'9 < M>P��NO89�*-,�G+K258E�PQM6��M\G¹6*>)F»�.

� ��� ������������� ��� � � � � � ) 0R � � �

¥¦9yJqM>7�JqM>O8J��2O[M\G+9 � � � � � M\G�M���*-587DG P�*-E·G�JLK29qM6�NOC:�M>E,=*-O8O8*�¹�E�. ¥¦9 M>?2*5�2G�MAO8* JqM>O8OC:%,[)+9�9�OC:,zM>O8O85872�QJ�* *>)+?2587NM\G+9�E·:³E·G+9�P M\G '.���7xG+K258EAE·:³E·G+9�PTG+K29�)+9�M\)+9�72* �NEF9��2?2*\¼/,=*>)+J�9�E%M\G '��EF* �fz§N�³G$72*>G$5CG+EA?29�)+5CB>M\G+5CBD9�ELi B>M>7258EFK29�EAG+K29�)+9>.�¸6*-72EF9 � �29�7DG+OC:D�dM\G J�*�B>M\)+5[M>7DG$?29�)+5CB>M\G+5CBD9�E$M\)+99 � �25CB>M>O89�7DG G+* �1M\)FG+5[M>Oa?29�)+5CB>M\G+5CBD9�E��1M>72? ¹69�*>§2GLM>587],[)+*-P fnV³.8¶.V-M³� §¡i6M>72?¦f�S . S>UDi

� � � � � ) �� � � � � � � � �� 4 �X4� � � G � � 4 � �� � 4 � �) 0R �� � � � � � � �� � � � � 4

8 � � 4 8� � � � �G 0R �� � � � � � � �� � 4 � � 48 � � � � 8� � � / � � 8 �� � � G � � � �� � 8 � � � T

fn4A.WV-i

¤ 5872J�9yG+K29yJ�*�B>M\)+5[M>7DG�?29�)+5CB>M\G+5CBD9y*-, * M>OC¹yMq:³E�B>M>7258EFK29�E�� M>72? � ) U$M\G '�²M>O8O �2)+E·G�?29�)+5CB>M\G+5CBD9�E*-, *�P��2E·G�B>M>7258EFK M\G '.��A)+*5� �N5872��,[)+*-P � � � � � M>O8ONG+9�)+P�E�¹�K258JLK J�*-7DGLM>587 M �2)+E·Gy?29�)+5CB>M\G+5CBD9*-,+* �2¹698�N72?� � � � � ) 0R � � � � 4 8 � � 2 � 4 8� � � � � � � � � G � 2 � � 8� � � � � � � � 4 G � 2 � 8 �� � � � � � � � 4 / � 2 � � �� � � � � 4 � � 8 � T

Page 95: Classical Fields Lecture Notes James Binney

��� � � �-��( � �"!� �RyK29AEF9�J�*-72?]M>72? ,=*-�³)FG+KQG+9�)+P�E�JqM>72J�9�O¡§�9�JqM>�2EF9A587Q9qM>JLK JqM>EF9�GH¹6*�*-,aG+K29?�1M\)FG+5[M>O1?29�)+5CB>M\G+5CBD9�EM\)+9AJ�*-7DGF)LM>J�G+9�? G+*-�-9�G+K29�) M>72? G+K29�G+K25C)+? 58E6J�*-7DGF)LM>J�G+9�? ¹�5CG+K]M>7 5872?29 < *-,dG+K29AJ�*-P���*-729�7DGy*-,*'§�9�5872��?25! �9�)+9�7DG+5[M\G+9�?a.�YA9�72J�9

� � � � � ) 0R �� � � � � � � � 48 � � R � 4 8� � � � � � G � R � 8 �� � � � � 4 � � T fn4A. �Di

;N)+*-P G+K29'?29 �N725CG+58*-7 fnV³.8¶ S-i�*-,$G+K29'��58J�J�5AEFJqM>O[M\)�� ¹69'KNMqBD9'587v*-�³)]E���9�J�5[M>O�J�* *>)+?2587NM\G+9E·:³E·G+9�P

� ) � � � � � � 4��4� � � G � � 4� �� � 4 �) 0R � � � � 4 8 � � R � 4 8� � � � � � G � R � 8 �� � � � � 4 G � R � 8 �� � 4 � � � / � R � � �� � 4 � � 8 � Tfn4A.TS>i

RyK29 �2)+E·G�M>72?�,=*-�³)FG+KµG+9�)+P�E�M\)+9]9 � �NM>On��M>EXM\)+9 G+K29]EF9�J�*-72? M>72?µG+K25C)+?a.µ¸6*-P��1M\)+5872�xG+K258E9 < �2)+9�EFEF58*-7 ¹�5CG+K¦f �³. �²i�¹69�*>§2GLM>587]G+K29�?29�EF5C)+9�?�)+9�O[M\G+58*-7a.