Rev. IG, São Paulo, 2(1) :59-64,jan./jun. 1981

CÁLCULO APROXIMADO DE COEFICIENTES DEPERMEABILIDADE EM ROCHAS SEDIMENT ARES

DE AQUIFEROS

MOACYR DE CARVALHO *

RESUMO

o presente trabalho completa um anterior já publicado na Rev. IG, v. 1,n. 1.. ian./jun. 1980, versando sobre o cálculo aproximado de coeficientes depermeabilidade dos diversos estratos de sedimentos que, geralmente, compõemum aquífero.

Trata_se de um método que se baseia fundamentalmente na representaçãode um fenômeno mecânico ou seja da percolação da água em um meio poroso,através de um sistema de equações Eneares.

Embora a parte já publicada e a presente estejam ligadas pela mesma idéiacentral, são dois procedimentos distintos no que concerne à geração do sist.ema

. de eqüações.

ABSTRACT

The present paper is a complementof a previaus warIe publishedlu the Rev. IG, v. 1, n. I, Jan./Jun. 1980, dealing about approximate va1uationof permeability coefficients about several sediments beddings in which generallyaquifer are constituted.

The method is based fundamentally in the physical phenomenon presentation,that is, the w.ater filtration in the porous environment, thraugh a system of linearequations.

Although the luformation published and the present wark are linIeed by thesame central idea, there are two different proceedings in the equations systemgeneration.

INTRODUÇÃO

Na Revista do Instituto Geológi­co, v. I, n. 1 1980, apre-sentamos umametodologia com a finalidade de secalcular aproximadamente os coefi­cientes de permeabilidade de um aquí­fe-ro, pela formulação de um sistemade equações lineares, mediante certasrestriçõe-s baseadas nas seguintes su­posições:

• a estrutura do aquífero temcerta uniformidade, isto é, ocor­re segundo camadas contínuas

e com um certo grau de uni­formidade sedimentológica;

• cada camada de sedimentoscomporta-se como aquífero li­vre e independente;

• as camadas isoladas do aquífe­ro obedecem à equação deDUPUIT;

8 o rebaixamento total do lençól,sob bombeamento, se distribueproporcionalmente à espessurados sedimentos;

" Engenheiro - Pesquisador Científico - Assess oria de Programação - Instituto Geológico.

59

Rev. IG, São Paulo, 2(1) :59-64, jan.jjun. 1981

~ O diâmetro do poço tubular éconstante e o raio de influênciaé tomado aproximadamente emfunção da fração textural prin­cipal dos sedimentos presentesem cada camada (areia, argila,silte, etc.).

Estas hipóteses de base, eviden­temente necessárias para se procedertal avaliação, poderão ser melhoradas.Por exemplo, o rebaixamento total dis­tribuído proporcionalmente à espes­sura do aquífero poderá ainda consi­derar uma definida escala de valoresque guarde uma relação com a com­posição e a distribuição granulométri­ca dos estratos.

Como a investigação da metodo­logia comporta ainda uma idéia fun­damental, já que está interessada emobter valores aproximados de· permea­bilidade, é certo que estes valores sãopassíveis de serem melhorados em limi­tes satisfatórios para a sOlução proble­ma em foco, pois que se· trata de ulnmodelo sempre possível de ser modi­ficado de acordo com Os resultados desua aplicação. Em hidrologia é fre­quente a sugestão de vários modelospara a solução de problemas reais, commenor ou maior grau de aproximaçãonos resultados.

o método proposto consistiu emsupor que a vazão Q, obtida em tes­te de bombeamento de produção deum poço tubular, pode ser decompostasegundo a expressão:

I;Qi = Q i = 1,2, ... , n , oque é sempre possível, onde ,o índicegenérico i designa uma camada arbi­trária do aquífero. A partir de n p.o­ços tubulares situados numa área res­trita é possível obter-se o sistema 'deequações lineares

I;aijKj - Qj = O (1) ou AK = Qi, j = 1, 2, ,n

de solução única sob a condição de quea matriz quadrada A tenha o seu de­terminante Det (A) ~ O, onde os aijsão os elementos da matriz dos coefi­cientes do sistema.

60

Para o cálculo dos coeficientes aijadmitiu-se a fórmula

2

To lj (H- h)2aij --- ---- (2) como con-

24 H2 (InRj- 1m)sequência das hipóteses iniciais e dae-xpressão (1) acima, onde:

lj é a espessura da camada de or­dem j;

(H- h)2 = ao quadrado do rebai­xamento total;

H = altura do plano representa­do pelo nível estático a partirdo plano que passa pelo fun­do do poço;

Rj e r, respectivamente', o raio deinfluência e o raio do poço,sendo o primeiro relacionadocom a fração principal do se­dimento da camada j (nredo­minância percentual de areia,argila ou silte. . .).

Note-se que (2') é parte da equa­ção de Dupuit, ou seja, Qi = aij Kj,onde Kj é a incognita procurada, oque permite a formulação do sistema(1). Também os coeficientes estãoajustados para exprimir a vazão e ocoeficiente de permiabi'lidade- em uni­dades compatíveis.

OBJETIVO

Este trabalho visa mostrar a flexi­bilidade do método em questão, na de­mons.tração de que o sistema de' equa­ções (1) poderá ser gerado no ~nsaiode teste de um único poço tubularse, a partir da identificação dos estra­tos no curso da perfuração, desde quese introduza variações da vazão de Qno poço testado, tantas vezes quantoseja o número de estratos de sedimen­tos registrados.

Ora, a variação de Q medianteuma modificação na operação de bom­beamento traz como consequênciauma variação no rebaixamento, já queeste é uma função de Q em certos li­mites.

Rev. IG, São Paulo, 2(1) :59-64, jan.jjun. 1981

METODOLOGIA

JUSTIFICATIVA

Por exemplo, a potência de umabomba centrífuga se exprime por:

Hp com base no teorema de Ber­noulli e em simplificações se represen­ta por p~- ~ com variação segundo

d

perdas de carga no sistema, neste ca­so, perdas de energia específica depressão. Assim se pode por este proce·­dimento modificar Q e, por consequên­cia, o rebaixamento, isto é, o valor deh (nível dinâmico) é uma variável per­manecendo H constante.

sendo A a matriz dos coeficientes aijdo sistema, associada ao det (A). Qe K representam os vetores colunarespectivamente das vazões observa­das e dos coeficientes de permeabili­dade a serem determinados pela so­lução do sistema (1).

AK = Q,

Adotemos a linguagem da álgebramatricial para brevidade da exposição.O sistema (1) será designado:

ANÁLISEDO PROBLEMA

A nossa análise vai estar centra­da na comprovação do fato de que seum sistema de equações lineares de nequações e n incognitas, gerado pelaobservação das variações de vazão edo rebaixamento total de· um únicopoço tubular, são independentes entresi e constitue um sistema consistenteisto é, duas equações quaisquer do sis~tema não são combinações lineares.

Assim a metodologia adotada foi ade associar um mode10matemático aofenômeno físico considerado, que pu­desse ter aplicação. Consideramos, poroutro lado, que os ensaios de permea­bilidade em laboratório, ainda quemais precisos, são obtidos de amostrasde rochas e a sua quantidade a par deoutras dificuldades não permitem in­ferências estatísticas aceitáveis. Comodificuldade pode...se mencionar a ob­tenção de amostras de material nãoconsolidado.

(n rendimentoNo = 'Y Q Hp75 n

da bomba).

A medida de coeficientes de per­meabilidade, mesmo que aproximadadentro de limites razoáveis, é umaquestão de interesse no conhecimentoda estrutura de aquíferos bem comodo movimento da água através das ro­chas, do qual depende o seu' manejoracional, pois isto tem implicações naeconômia regional, tanto maioresquanto mais intensa for a exploraçãoda água procedente do aquífero. Pois,neste caso, é necessário manter emrelativo equilíbrio a capacidade dereearga do aquífero e a extração deágua através de poços tubulares'-

A presente investigação, tal comoa concebemos e justificamos, segueuma metodologia geralmente adotadapelos pesquisadores que se ocupamdesse segmento do ciclo hidrológico.Ela tem sido proposta, mais, por mo­delos matemáticos, o que é compreen­sível, em face das dificuldades impos­tas pelo método direto. Este, via deregra, exige fortes investimentos,grande dispêndio de tempo, além desua limitação dada as dimensões físi­cas do próprio problema.

Para a nossa finalidade é su'fi­ciente comprovar que no det (A)não ocorrem linhas ou' colunas pro­porcionais, nem nulas· Pois neste ca­so det (A) ~ O e o sistema admitesolução única e o modelo tem comple­ta flexibilidade em sua aplicação.

Tomadas duas linhas ou duascolunas arbitrárias do det(A) , deve­rão ser verificadas as relações se­guintes:

61

Rev. IG, São Paulo, 2(1) :59-64, jan.fjtm. 1981

ail~ --- ~ ..... ~ --- ~ --- ~ ~

ai+1,1 ai+l,2 ai+l,n al,j + 1 a2,j + 1

Para situar escrevemos o sistema AK = Q na forma expandida

3l'lKl + + aljKj + + alnKn Ql

ailKI + + 3ijKj + + ainKn

ai+I,IKI + + 3i+l,jKj + + ai+l,nKn

= Qi

Qi+l

aij (H- hi)2 ~ mai+ 1,j (H- hi+ 1) 2

onde h é uma variável relacionada àvariação de Q.

A relação anterior mostra a ine­xistência de proporcionalidadeo entreaij e ai+l,j, pois O lado direto da ex­pressão varia de acordo com umacurva durante uma variação contínuade Q. Sendo os coeficientes tomadosarbitrariamente resulta que entre aslinhas de det (A) não existem combi­nações lineares.

o mesmo acontece' com as colu­nas do determinante considerado. Naverdade, tomando novamente a fór­mula de cálculo de aij, verificamosque dois elementos quaisquer da li­nha i diferem entre si ou pela espes­sura da camada de sedimento cor­respondente, ou então pela diferençaInRj -1m, visto que Rj varia de cama­da para camada (granulometrias di­ferentes) .

mmonde

=Qn

Logo ~ ~ai,j + 1

indica uma constante.

A conclusão final é que· o sistemagerado pela via indicada é consis­tente, pois implica em det (A) ~ Oe a metodologia exposta em nosso tra­balho constante na Rev. IG. v. I, n. 11980, se estende para o caso em que onúmero de poços tubulares se reduzaa um, o que é o escopo deste traba­lho.

annKn

C=-----24H2 (InRj- 1m)

Tomando dois coeficientes arbi­trários da coluna j do det (A), pode­mos escrever:

anlKI + + anjKj + +

observando que o índice j indica aposição sucessiva das camadas de se,­dimento e também a coluna de ordemj do determinante det (A), enquan­t.o que o índice i designa a ordem daseqúações correspondentes à vazão ge­nérica Qi e a linha i do determinante.

Demonstremos que variando Qpor um incremento 6. Q, ou sejaI Qi + I - Qi I, = /1 Q, em correSípondên­cia com a variação do rebaixamento dolençól, obteremos duas equações do sis­tema, cujos coeficientes não são pro­porcionais, isto é, não são combinaçõeslineares entre- si.

Tomemos arbitrariamente doiscoeficientes aij e ai+ I, j (situados namesma coluna j do det (A) e mostre­mos que não se verifica a relação:

aij = m ou aij = ai+l,j X m,ai+l,j

onde m é uma constante, e por con­seauência sendo

Qi .' aij Kj e Qi+l = ai+l,j Kjtem-se Qi aij como---~m

Qi + I ai + l,jse quer demonstrar.

Nós temos admitido para cálculodos coeficientes aij a expressão se­guinte:

aij = C x (H -h) 2 onde para a ca­mada j considerada

12 é uma constante,7r j

62

Rev. IG, São Paulo, 2(1) :59-64, jan./jun. 1981

CONSIDERAÇÕESFINAIS

As investigações, que estamosrealizando em torno de aspectos hi­drogeológicos de aquíferos, relacio­nam-se com a avaliação de coeficien­tes de permeabilidade e contêm certoaspedo teórico, o que é uma caracte­rística geral no desenvolvimento demodelos visando representar um fe­nômeno complexo da natureza.

Outra faceta na abordagem des­tas questões são as hipóteses coloca­das em seus fundamentos, cuja vali­dade e posteriores ajustagem provêmdos testes experimentais a que sãosubmetidas. Por outro lado existemproblemas tais, que· pela sua extremacomplexidade, somente são viáveis desolução dentro de certos limites deprecisão.

No caso examinado, o fenômenode percolação da água em interstíciosde rochas apresenta contínua varia­ção, com nítido cunho probabilístico,em virtude de quantidade de variá­veis em ação.

Porém nas avaliações que entramem jogo variáveis que interferem nociclo hidrológico, pode-se chegar aaproximações de parâmetros com aprecisão necessária para se pro­por o problema considerado evidente­mente sem se procurar senão a pre­cisão possível.

O modelo que desenvolvemos es­tá dentro dessas limitações e a suaaplicabilidade dependerá não somen­te da maior ou menor exatidão comque' se obtenham os dados necessários

para a geração do sistema, mas tam­bém da ajustagem mais real das hi­póteses de base.

Um número suficiente' de testesexperimentais constitue a via neces­sária para se melhorar o método.

As medidas necessárias para aformação das equações do sistema (1)são: as vazões incrementadas, oscorrespondentes valores do nível dinâ­mico estabilizado e a granulometriado material interceptado pelo poçoe suas espessuras. A granulometriados sedimentos é necessária para aavaliação do raio de influência, comojá foi explanado na primeira parte dotrabalho publicado.

As simplificações, que o métodocomporta, consiste na possível redu­ção do número de equações do siste­ma (1). Assim, se ocorrerem camadasde sedimentos alternados onde os va­lores das frações prncipàis dos sedi­mentos (predomínio percentual desilte, areia, argila, etc.) estejam pró­ximos entre si, essas camadas pode­rão ser assimiladas a uma única comespessura total igual à soma das es­pessuras parciais. No caso de sedi­me11,:tosargilosos, estes poderão serexcluídos devido à baixa pe·rmeabili­dade da argila.

No entanto é necessário que ospares de valores Qi e hi, bem como asespessuras dos sedimentos sejam de­terminados com a melhor precisãopossível para que os valores dos coe­ficientes de permeabilidade se apro­ximem melhor de seus valores reais.

63