cÁlculo de Áreas por integraciÓn...cÁlculo de Áreas por integraciÓn Área limitada por la...
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CÁLCULODEÁREASPORINTEGRACIÓN
Árealimitadaporlagráficadeunafunciónfcontinuaen[a,b],elejehorizontalylasrectasverticalesx=ayx=bCASO1.LafunciónespositivaLa función f(x)escontinuaen y .Eláreacomprendidaentre f(x),
y=0(ejeOX)ylasrectasx=ayx=benestecasoes:
[a,b] f (x) ≥ 0
A= f (x)dxa
b
∫
CASO2.LafunciónesnegativaSilafunciónesnegativa,porejemplo yqueremoscalcularsuáreaenelintervalo ,haremosesto:
Enestecaso,eláreaseríaelvalorabsolutodelresultado,esdecir,12.En general, el área comprendida entre la gráfica de f(x), el eje horizontal y lasrectasx=ayx=bes:
f (x) = −2x[2,4]
−2xdx2
4
∫ =−2x2
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
4
2
= −x2⎡⎣
⎤⎦4
2= −16− (−4) = −12
A= f (x)a
b
∫ dx
CASO3.LafuncióntomavalorespositivosynegativosLa función tiene zonasporencimaypordebajodel ejeOX.Para calcular el áreaseguimosestospasos:
1. SecalculanlospuntosdecorteconelejeOX,esdecir,hayqueresolverlaecuaciónf(x)=0.
2. Seordenandemenoramayor lasraíces(solucionesde laecuación),queseránloslímitesdeintegración.
3. Eláreaes lasuma de las integralesdefinidas (envalorabsoluto)de cadaintervalo.
A= f (x)a
d
∫ dx = f (x)a
b
∫ dx + f (x)b
c
∫ dx + f (x)c
d
∫ dx
Ejemplo:Calculaeláreadelasregionesdelplanolimitadaporlacurva
yelejeOX.1.
2. x=0,x=2yx=4
3. =
f (x) = x3 −6x2 +8x
x3 −6x2 +8x = 0
A= (x3 −6x2 +8x) dx0
2
∫ + (x3 −6x2 +8x) dx2
4
∫
=x4
4− 2x3 + 4x2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥0
2
+x4
4− 2x3 + 4x2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥2
4
= 4+ 4 = 8u2
Áreaentredoscurvas
Sif(x)yg(x)soncontinuasen[a,b]yf(x) g(x),eláreadelaregiónlimitadaporf(x),g(x),x=ayx=bes:
Paracalculareláreadelaregiónlimitadapordosfunciones,seguimosestospasos:
1. Secalculanlospuntosdondesecortanlasdosfuncionesparaconocerloslímites de integración. Para ello se igualan f(x) = g(x) y se resuelve laecuación.
2. Se ordenan de menor a mayor los puntos de corte (soluciones de laecuación).
3. Eláreaeslasumadelvalorlasintegralesdefinidas(envalorabsoluto)decadaintervalo.
Ejemplo:
≥
A= f (x)− g(x)a
b
∫ dx
A= f (x)− g(x)−4
4
∫ dx
Ejemplo:Calcula el área de la región limitada por las funciones y
1. f(x)=g(x)
2. x=-2,x=0yx=2
3. Eláreasería:
=
f (x) = x3 − 2xg(x) = 2x
x3 − 2x = 2x⇒ x3 − 4x = 0⇒ x(x2 − 4) = 0
A= f (x)− g(x)−2
2
∫ dx = f (x)− g(x)−2
0
∫ dx + f (x)− g(x)0
2
∫ dx
= x3 − 2x − 2x−2
0
∫ dx + x3 − 2x − 2x0
2
∫ dx =
= x3 − 4x−2
0
∫ dx + x3 − 4x0
2
∫ dx = x4
4−4x2
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
0
−2
+x4
4−4x2
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥0
2
=
=x4
4− 2x2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
0
−2
+x4
4− 2x2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2
0
= 0− (−2)4
4− 2 ⋅ (−2)2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥+24
4− 2 ⋅22
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−0
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥= 8u2