closed-form solutions to constrained control allocation problem_bordignon, durham_1995

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Jo m w O F O i m a c e E a t : x a JW D n a ] m sV * k # & e $ a tt se s ab = s a b exr 19 9 5

C l o s e d F o r m So l u t i o n s t o C o n st r a i n e d C o n t r o l

A l l o c a t i o n P r o b l e m

\ f r x i n io " o ly r e c hn i c I n r t i l u t e a n d St a t t Un i v tr s i n B la c t sbw r g

Vi r g i n i a 24 06 10 20 3

T M p i p e r d M b e t h e m m l ts u f r e c e n t n s c a n h i n t o tb c p r o t r l c m o f

Uo { a M l s c r e r a l n igh t c o n t r o l t f r r c t n r s

m d a h y b r i d s o l u t i o n u t i l h i n F d a is : r c h a i n i n g I n t h is a n a l ni s t h e n u m b e r o f c o

n u o ls gr e a t e r t h a n t h c n u m b e r o f

a s s u m e d t o h c I n d i v i d u a l l y l i n e a r i n t h e i r c f r e c t s t h r o u gh o u t th e i r r a n ge s o f m o t i o n

a n d i n d e p e n d e n t o f o n c a n o t h e r

Rl \ r n m c t h rtd c a n y i e l d u s i n g a d m is s i b l e c o n t r o l d e l l ec t i o m D et a i l s o f t h e c a l c u l a t i o n

o f t h e r a r i o u s r o l u m es m e

p r a e n t e d R e \ u l l \ a r e p r es e n t e d f o r a s a m p l e p r o b l e m i n r o lm g 10 E i gh t c o n

t r o l e f f e c t o r s T h e er f e c t iv c n e ss e s o f

t h e v a r i o u s a l l u c a t i o n s c b e m e s a r e c o n t r a s t e d d u r i n g a n a gg r e s si r e r ol l a b o u t th e r e l o c i ty T c

c t o r a t l o \ r d y n a m i c

p r e s s u r e T h e p e r f o r m a n c e o f t h r e e s p e c i a l l y d e r i r e d g e n e r a l iz ed i n y e r s e s a d a i s y c h a

i n i n p s o l u t i o n n n d d i r e c t

c o n t r o l a l l o c a t i o n a r e c o m p a r e d

N o m e n c l a t u r e= m a t r i x o f c o n t r o l e f f e c t iv e n e s s= n u m b e r o f c o n t r o l s= v i c t o r o f m o m e n t s

d i m e n s i o n o f g e n e r a l iz e d m o m e n t s p a c e= v i c t o r n f c o n t r o l s

h o u n d a r y o f s e t Es u h s e l n f m o m e n t s a t t a i n a b l e u s i n g s o m e a l l o c a t i o n s c h e m e

s u b s e t o f a t t a i n a b l e m o m e n t s= s u b s e t o f c o n s t r a i n e d c o n t r o l s

0 ( E )

Su l r r s c r ip t

l ie s o n n

I n t r o d u c t i o nr p I I E c o n t r o l a l l o c a t io n p r o b l e m i s t o f i n d a s e t o f a d m i s s ib l eJL c o n t r o l e f f e c l o r d e n e c t i o n s t h a t w i l l g e n e r a t e a s pe c i fi e d se t o f

f o r c e s / m o m e n t s M a n y phy s i c a l s y s t e m s a r e d e s i g n e d w i t h the i d e ao f a s i n g l e c o n t r o l le r f o r e a c h c o n t r o l l e d d e g r e e o f f r e e d o m F o re x a m p l e i n t h c c a s e o f a i r p l a n e s e l e v a t o r s u s u a l l y c o n t r o l p i t c h in gm o m e n t s r u dd e r s c o n t r o l y a w i n g m o m e n t s a n d a i l e r o n s c o n t r o lr o l l i n g m o m e n t s W i t h t he s a m e n u m be r o f i n de pe n d e n t c o n t r o l s a n df o r c e s / m o m e n t s t o be g e n e r a t e d s o l u t i o n s t o t h e c o n t r o l a l l o c a t i o np r o b l e m a r e u n i q u e

A d d i t i o n a l c o n t r o l e f fe c t o r s m a y b e a d d e d t o th e phy s i c a l s y s t e mFo r p u r po s e s o f r e d u n d a n c y o r t o e x t e n d th e o p e r a t i o n a l e n v e l o peo f t h e s y s t e m M a n y m o de m a i r c r a f t h a v e m o r e t h a n t h r e e i np e n d e n t m o m e n t g e n e r a t o r s T h e s e a dd i t i o n a l m o m e n t ge n e r a t o r sm a y a r i s e f r o m t he f r e e i n g o f o pp o s i n g c o n t r o l s u r f a c e s t o o pe r a t ei n d e p e n d e n t l y o f o n e a n o t h e r T h e s e c o n t r o l s a r e a l l c o n s t r a i n e d t oc e r t a i n l i m i t s d e t e r m i n e d b y t he p h y s i c a l ge o m e t r y o f t he c o n t r o la c t u a t o r s o r b y o t h e r c o n s id e r a t i o n s I f t he c o n t r o l c o n s t r a i n t s a r en o t c o n s ide r e d t h e n a l l c o n t r o l d e n e c t io n s a r e a d m i s s i b l e a n d th em a t he m a t i c a l s o l u t i o n s t o th e a l l o c a t i o n o f t he s e c o n t r o l s a r e i n

g e n e r a l i n f i n i t e i n n u m b e r

R e c e i v e d A u g 19 1994 ; r e v i s i o n r e c e i v e d Ja n 24 19 95 ; a c c e p te d f o r

p u b l i c a f io n Pe b 1 1995 C o py r ig h t 1995 by K e n n e t h A B o r d ign o n a n d

W a y n e C D u r h a m P u b li s h e d b y t h e A m e r i c a n I n st i t u t e o f A e r o n a u t i c s a n d

A s t r o n a u t i c s I n c w i t h ix : r m i s si o n

G r a d u a t e S t u d e n t D e pa r t m e n t o f A e r o s pa c e a n d O c e a n E n gi n e e r i n g

S t u de n t M e n rb e r A IA At A s s is ta n t Pr o fe s s o r D e p a r t m e n

t a f A e r o s pa c e a n d O c e a n E n gi n e e r i n g

Se n i o r M e m be r A I A A

M a n y c l o s e d f o r m s o l ut i o n s t o th e c o n t r o l a l l o c a t i o n pr o blem

i n v o l v e i n v e r t i n g n o n s q u a r e m a t ri c e s u s i n g g e n e r a l i z e d i n v e r ses 1 I

M a th e m a t i c a l l y th e m o m e n t s p r o d u c ed b y c o n s t r a i n e d c o n t r o ls m a :

b e e x p r e s s e d a s a m a p p i n g of th e s u b s e t o f c o n s t r a i n e d c o n uo ls

i n t o t h e (l o w e r d i m e n s i o n ) m o m e n t s p a c e T h i s r e s u l t s i n a c l oseds u b s e t o f a t t a i n a b l e m o m e n t s (o r A n t S) I t m a y b e s ho w n that nog e n e r a l i z e d i n v e r s e c a n y i e l d a dm i s s

i b l e c o n t r o l s f o r e v e r y m o m enti n t h e A M S 5 T h e r e a r e v a r i o u s m e t h o d s o f w e i gh t i n g o r t a i lo r in :g e n e r a i i z e d i n v e r s e s th a t m a y i m p r o v e t h e i r c a p a b i l i ty t o pro v idea dm i s s ib l e c o n t r o l s

O th e r t h a n t h e u s e o f g e n e r a l i z e d i n v e r s e s th e r e a r e o n ly N co th e r m e th o d s c o m m o n ly u s e d t o s o l v e t h e a l l o c a t i o n p r o bl e m Tb :f i r s t i s w i d e l y u s e d i n r o bo t i c s a n d i n v o l v e s a u g m e n t i n g t he c o n N 1e f r e c t i v e n e s s m a t r i x e t o m ak e i t i n v e r t i b l e T h i s m e th o d e ffe c t iv elle x p l o i ts s o l u t i o n s [ h a t l i e i n th e n u l l s p a c e o f B w h i c h i s t he s ubjeao f o n g o i n g r e se a r c h b y th e a u th o r s T h e s e c o n d m e th o d i s c alledd a i s y c ha i n in g I n d a i s y c h a i n i n g o n e b r e a k s th e p r o b l e m u p in to h \ Co r m o r e s m a l l e r p r o b l e m s by u s i n g th e c o n t r o l e f f e c t o r s in gm u ps Itm a y be s h o w n Ln a t d a i sy c h a i n i n g l i k e g e n e r a l i z e d i n v e r s e s car noly i e l d a d m i s s ib l e c o n t r o l s f o r e v e r y m o m e n t i n th e A h t s 5 The u*o f th i s m e th o d w i l l be t r e a t e d by e x a m pl e

I n p r e \ t o u s w o r k s w e h a v e d e s c r ib e d a di r e c t m e t h o d o f 50 l \ iqthe a l l o c a t i o n p r o b l e m 5 7 T h e d i r e c t m e th o d y i e l d s a dm i ss i t t l e ct r o t s f o r e v e r y m o m e n t i n th e A X I S 1h e Fe a r e i n f i n i t e c o m bi n J ci , o f a dm i s s ib l e c o n t r o l s th a t g e n e r a t e m o m e n t s i n t h e i n t e r io r o f t :A h l S bu t o n th e bo u n d a r th e c o m b i n a t i o n s a r e u m qu c Th e di n :m e th o d c a l c u l a t e s a d m i s s ib l e c o n u o l s i n t h e i n t e r i o r n f th t A l lsa s s c a l e d d o w n v e r s i o n s o f t h e u n i qu e s o l u t i o n s o n Lhe h u nd : 1a n d p r o v id e s c o n t i n u o u s s o l u u o n s f o r c o n t i n u o u s l y v 3 r I n g r :m e n t d e m a n d s Th e d i Fe c t m e th o d i s th e r e f o r e u s e d a s a tw n c h : u \f o r c o m p a r i s o n o f t h e o th e r m e th o d sI n t hi s p a pe r w e o f f e r a s a s t a n d u d o f c o m p a r i s o n f o r t hc u r i Us o l u t i o n s t o the c o n t r o l a l l o c a t i o n p r o b l e m t h e i d e a u f U : t c u J u : : u m e o f m o m e n t ge n e r a t i n g c a pa b i l i ty o f a n a l lo c a t i o n : i , h e n : P ip r o c e d u r e f o r c a l c u l a t i n g th e s e v o l u m e s f o r s e \ e r i l sc h e n t s p?s e n te d he r e f o r t he fi r s t Li m e Th e r e a r e m m ! \ \ t h e r c u n m s


B ORD I GN O \ A : D D L TRH \ * l 100 1

a m a s } M x T l x s z n pe r e s G l i s a r e th e n a pp l i e d t o a t5 l T = Z D c = t = T k n c m n a s Lh z \ r l o c i t ! v i c t o r r o l l T h c@ c aa o a n : 2 : o d s m c o n t r a g o d d z t e n r J n i n g th e i r a b i l i t y 10

t n s m Z T z s m c a n r r e d h ! t h e h i gh e s t s t e a dy s t a l e r o l la = i c a n azsa n u s i n g a d m i s s i b l e c o n t r o l s T h i s e x a m p l e c l e a r l yt r E = t ine lo s s i n Fax m t l a l m a n e u \ r r a b i l r t ! t h a t c a n r cul t l m mr c t - = o f a i l o c a l i o n s c he m e

P r o h l c m S t a t e m e n tW c ms i d a n m d i m e n s i o n a l c o n u o l s p a c e U R T h e c

m B a r c o i H t r a i n c d t o m i n i m u m a n d m a x i m u m v a l u e s d e fi n e d by

( l )

Tk s u b s e t o f c o n t r o l s th a t l i e o n t h e b o u n d a r y o f n a (52) a r ed o e bTv U :

U _ tu l u a ( f 2) } (2 )T ZS : c o n t r o l s ge n e r a t e m o m e n t s t h r o u gh a m a pp i n g B o n t o

naBi oz z l m o m e n t s p a c e t h r o u gh a l i n e a r m a t r i x m u l t i p l i c a t i o nc f U B u - m w he r e B : R - + R w he r e m > n H e r e B i s t h eZ : eT : c t iv e n e s s m a t r i x w i t h r e s pe c t t o t h e m o m e n t s I n o r de rt o b v e u N qu z s o l u t i o n s o n t h e b o u n d a r i e s w e r e q u i r e t h a t e v e r y= X n FZi t i on o f B b e n o n s i n g u l a r

D z : : e by Q t h e i m a g e o f Q i n R " O C R T h e s u b s e t OG w f J : e r e p r e s : n t s a l l t he m o m e n t s t h a t a r e a t t a i n a b l e w i th i n t hec e : 3 : r z i n o f th e c o n t r o l s M o m e n t s th a t l i e o n t h e b o u n d a r y o f Oa ( ) a r e d e n o t e d b y a n a s t e r i s k :

m _ (m I m a (0 ) ) (3 )A u h t v e c t o r i n t h e d i r e c t i o n o f m i s d e n o t e d b y l i l

T hz c o n t r o l a l l o c a t i o n p r o b l e m i s d e f i n e d a s f o l l o w s : G i v e n B f 2a n d s o m e d : s i r e d m o m e n t m d @ d e t e r m i n e c o n t r o l s l l q t h a tge r z r a t e t h a t m o m e n t

M e t h o d sT n m e t h o d s u s e d [ o g e n e r a t e t he r e s u l t s p r e s e n t e d be l o w e x c e p t

rb o s e i n v o l v i n g d a i s y c h a i n i n g a r e b a s e d e n t i r e l y o n a l g o r i t h m s w i o F d i n R e f s 5 7 a n d 8 T h e a l g o r i t h m s w e r e i m p l e m e n t e d i n as r z z J a l o n e p r o g r a m c a l l e d C AT (f o r C o n t r o l A l l o c a t i o n T o o l b o x )T h P ; a y a m p e r m i t s u s e r i n pu t o f t h e c o n t r o l e f fe c t i v e n e s s m a t r i xa n d c o n t r o l l i m i t s T h e u s e r m a y t h e n c a l c u l a t e a n d d i s p l a y t he A M ST he p m y a m a c c e p r s i n p u t s o f t i m e h i s t o r i e s o f d e s i r e d m o m e n t sa l l o c a t e s th e c o n u o l s a n d p l o t s t h e de s i r e d m o m e n t s w i t h i n t h eA l I S A d d i t i o n a l l y t h e u s e r m a y c a l c u l a t e v a r i o u s ge n e r a l i z e d v e r s e sout i ons t o th e p r o b l e m a n d t h e s u b s e t s o f m o m e n t s a c h i e v e du s i n g th e s e s o lu t i o n s m a y b e d i s p l a y e d a s a fi gu r e w i t hi n t he A M S

I n t h e s u b s e qu e n t d i s c u s s i o n w e a s s u m e t he c o n t r o l c o n fi gu r a t i o nu s e d i n o u r e x a m p l e : 10 i n de p e n d e n t c o n t r o l s a n d 3 o r th o go n a lm o m e n t s

C A T Ba s ed o n R e f S Id c n t i fre s th e f a c e ts o f t h e A h t s i n 4 5 s t e p se a c h i n \ n l \ 7 n g a ' X 2 m J u i * i m r r s i o n

Fo r e a c h l a c c l t h u s dc t c r m i n c d a s o l u t i o n rn , t h e i n t e r s e c t i o n o fa l i n e t h r o u gh t h c Lr r i r i n w i t h t h c b e t i s c o m p u t e d a n d s t o r e d T h i ss o l u t io n l ?ubequcnt l y u s e d t o a l l o c a t e t h e cont ml s

C e n c m l iz e d I n t e r s t S o l u l i o n sG c n c r a l i z c d i n v e r s e s o l u t io n s t o t h c p r o b le m a r e d e fin e d a s a l l

m a t r i c c s P : R " + R ' s u c h th a t B P - / . T h e g e n e r a l iz e d v e r s e s o l u t i o n i s t h e n U - P m Qu i t e o f te n Th e m i n i m u m n o r m P(s o m e t i m e s e m p l o y i n g w e i g h t i n g b a s e d o n t h e l i m i ts o f t h e ct r o l l e r s ) i s u s e d I 5 71 c m i n i m u m n o r m s o l u t i o n i s o f t e n c a l l e d t h ePe n r o s e (o r Pe n r o s e M o o r e ) p s e u do in v e r s e o r s i m p l y t he p s e u dov e r s e T h e p s e u d o i n v e r s e i s c a l c u l a t e d a c c o r d i n g t o t h e w e l l k n o w nf o r m u l a v p - B T [ B B T ] I

W he n w e s p e a k o f t a i l o r i n g a g e n e r a l i z e d i n v e r s e s o l u t i o n w e

g e n e r a l l y w i l l m e a n t h a t w e s e e k a ge n e r a l i z e d i n v e r s e s u c h t h a t i nc e r t a i n s p e c i f i e d d i r e c t i o n s i n m o m e n t s p a c e t h e ge n e r a l i z e d i n v e r s ew i l l y i e ld s o l u t i o n s t h a t c o i n c i d e w i t h t h e A M S F o r e x a m p l e w em a y w i s h t h e g e n e r a l i z e d i n v e r s e t h a t y i e l d s t he m a x i m u m a m o u n t

o f r o l l i n g m o m e n t (w i t h i n l h e c o n t r o l c o n s t r a i n t s ) w i t h z e r o pi ti n g m o m e n t a n d z e r o y a w i n g m o m e n t G e o m e t r i c a l l y w e a r e s ei n g a 3 d i m e n s i o n a l s u b s p a c e o f t h e I O d im e n s i o n a l c o n t r o l s p a c ew h o s e i n t e r s e c t i o n w i t h t h e s u b s e t o f c o n s t r a i n e d c o n t r o l s m a p s t o

t he r e q u i r e d po i n t (S) i n m o m e n t s p a c e T h e p r o b l e m i s h a r de r t os t a t e t h a n i t i s t o s o l v e ; R e f 5 o u t l i n e s t h e m e t h o d u s e d B e c a u s ew e a r e s pe c i f y i n g a t h r e e d i m e n s i o n a l s u b s p a c e th e r e a r e a t m o s tt h r e e d i r e c t i o n s f r e e t o b e s p e c i fi e d

A n o the r m e t ho d f o r t a i l o r i n g a g e n e r a l i z e d i n v e r s e i s t o i n t r o d u c ea w e i g h t i n g m a t r i x N w h e n c a l c u l a t i n g t h e p s e u d o i n v e r s e T h i s i ss o m e t i m e s r e f e r r e d t o a s a w e i g h t e d p s e u d o i n v e r s e a n d i t i s ca ll a t e d f r o m t he e q u a t i o n P N (B N ) r [ B N ( B N ) T 1 1

T h e v a l u e s i n t h e m a t r i x N a r e u s u a l l y u s e d t o e m ph a s i z e /e m p h a s i z e c e r t a i n c o n t r o l s E x a m p l e s o f w e i gh t e d g e n e r a l i z e d v e r s e s c a n b e f o u n d i n R e f s 2 4

W he n w e s p e a k o f t h e b e s t g e n e r a l i z e d i n v e r s e w e m e a n th e

g e n e r a l i z e d i n v e r s e s u c h t h a t t h e v o l u m e o f m o m e n t s f o r w hi c h i t

y i e l d s a d m i s s ib l e c o n t r o l s n i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o th a t o fa n y o t he r g e n e r a l i z e d i n v e r s e I n C AT th e b e s t g e n e r a l i z e d i n v e r s ei s f o u n d b y s y s t e m a t i c a l l y v a r y i n g t h e e l e m e n t s o f P s u bj e c t t oB P _ I

.

u n t i l th e g r e a t e s t v o l u m e i s d e t e r m i n e d I n C A T w e u s ea s i m p l e x a l go r i t h m

i o t o m i n i m i z e t h e n e g a t i v e o f t h e v o l u m e th u sc a l c u l a t e d T he c a l c u l a t i o n s o f [ h e v o l u m e s a r e q u i t e c o m p l i c a t e da n d t h e r e i s n o g u a r a n t e e t h a t t he s o l u t i o n s f o u n d a r e g l o b a l m i n i m aSu r p r i s i n g ly h o w e v e r c l o s e e x a m i n a t i o n o f s o m e o f t h e s o l u t i o n sh a v e r e v e a l e d t h a t t h e s o l u t i o n s o b t a i n e d w e r e u n i q u e a n d gl o b a l

A n a i n a b l e M o m e n t S u b s e tT h e c o n t r o l s i n o u r e x a m pl e l i e i n a 10 d i m e n s i o n a l s p a c e W i t h

c o n s u a i n t s i m p o s e d t he s u b s e t o f c o n s t r a i n e d c o n t r o l s i s a di m e n si o n a l hy pe r bo x w h o s e d i m e n s i o n s a r e t h e r a n ge s o f m o t io nf o r e a c h c o n t r o l T h e A M S i s t h e i m a ge o f t h i s hy pe r b o x i n t h rd im e n s i o n a l m o m e n t s p a c e a s d e t e r m i n e d b y t h e m a pp i n g B T h ebo u n da r y o f t h e A M S i s m a de u p o f f a c e t s t h a t a r e i m a g e s o f f a c e t so f th e hy pe r bo x A f a c e i s a g e o m e t r i c f e a tu r e o f t he c o n s t r a i n e dc o n t r o l a n d A M S F a c e s a r e g e n e r a t e d i n m s p a c e b y p l a c i n g a l lbu t t w o o f t h e m c o n t r o l s a t e i t h e r o f t h e i r t w o l i m i t s a n d a l l o w i n gt w o t o v a r y y i e l d i n g 2 2 i n !/ [2 ! (m 2 ) 11 f a c e s i n t he s u b s e t o fc o n s t r a i n e d c o n t r o l s F a c e s i n t he A M S a r e t he i m a g e s o f t he f a c e sin t h e c o n s t r a i n e d c o n t r o l s u h s e t A f i\ c e t i s a n y rn c l t h a t l i e s o n t hebo u n d a r y o f t he s u b s e t s tp o r Q A l l f a c e s i n n a r e h \ t c t s h u t n 1l i c ei n p m a y o r m a y n o t b e a Fil c c t I n cp t l rc r e a r c l w o f a c e t s Gr o n ta n d b a c k ) f o r e a c h o f cor nbi t i at i uns n f c o n t m l x t u k e n t w t \ u t 11 l i l n cy ine l d i n g 2 m ! / [2 ! (m 2 ) ! j o r r n (m ] ) I a t c \ s I n o u r c x n m pl cth e hy pe r bo x h a s 2 l I (l !/ (2 ! = ! ) = I I 520 l a c e l s w i re r c a s l l wA M S h a s o n ly 2 10 !/ (2 ! 8 !) = n o f a c e t s 11w i r l t : w i l lu 11 I I \ t LI h y

D a is y C h a in i n gT he m e th o d o f d a i s y c ha i n i n g t o s o l v e t h e c o n t r o l a l l o c a t i o n p

l e m i s d e s c r i be d i n R e f 11 a n d d i s c u s s e d i n R e f 5 R e f e r e n c e 11 i su s e d t o i l l u s t r a t e th e m e t h o d T Yv o g r o u p s o f c o n t r o l s a r e s e l e c t e d :t h e r e a e r o dy n a m i c c o n t r o l s (u l ) a n d t h r e e th r u s t v e c t o r i n g c o n t r o l s(u 2 ) W i t h t h r e e m o m e n t s t o b e g e n e r a t e d t h e c o n t r o l e f f e c t i v e n e s sm a t r i x i s p a r t i t i o n e d i n t o t w o 3 3 m a t r i c e s B r a n i l B : :

B u - [ B I (4 )

F o r a g i v e n m o m e n t t o b e r e n e r a t e d th e a e r o J y n a m i c c o n tr o l sa r e fi r s t u s e d t o t h e p o i n t w h e r e o n e o r m o r e c o n t r o l s a r e s a t u r : r t c {Lt he n t h r u s t v e c t o r i n g c o n t r o l s n r e b m u gh t t u tv i r t h i t i s w t= nn o n e o f t he a e r o dy n a m i c c o n t r o l s a rc s J t u f \ In l

u l - B,

I m j U : - O (51

W he n a n y o f i h c n e n t dy n a m i c \ w n tm l s n r e s a lu r a t n l

S in c e i n i t \ i s a pp l ic a t i o n t t l m h l N : n r c squ a r e a m l a s s u m a , 1 v e r t ih l t the i r i n w rs e s a r e u n i4 u e A r k l t hc s o l u t io n s o b t a i n ed a r eu n iq u e l u r t he pa r t i r u l a r cont n\ gn w p i n g s c ho s e n I n t he e x a m pl e


13s 2 N d Ln e? t F - m D s s V

rx ip a a s

n c aJ k

m a f d z n n I W r d r n x z n m x le a = P O i - c e s= m E t z Ms o f o s i a g d m Ew i n g w h en B , a s d B j a r N o (\ q z ar e c l a M a c E a b c m m il m R c f 1

\ : o l n m e C = l c u \ a l i o n sC

dc n h t i w r r \ m m eT bc a b s a n $ r n m : R M \ a t l a i n a t t }c t \ a n a t lo c a t n m s c b c m c m l

e m a l l y h : r e#w c * c n t e d a s a c o n \ m n d t m c i = i o n a l L+! m h w n k uby (n 1 ) dncns t onal t ) hlJt x t s T \ ' ' ; a l m l 3 : C t h c \ p !u m l : o f s in : h mobcct t h c (S 1 ) 4 r m c n \ t o n a ! tv u r h l r n g \ : C : t s a r c u r a t o J a s th cb a se l o f r r d r m m s t o n a l r \ r a m l J \ \ \ r th t he i r a pe r c s a t t b c o n g n o fm o w = n t s p a c e 7 h c s u m o l t h c \ o l u M e s o f a l l t : c e r : T l : S B t b :v o l u m e o f t h c r ? J r m c n q \ o n a l t h l c c l W i : th e r c l 1 r e r : c sm J g z r ;m c i h a J f RT c a l c u l a t l n t t h c \ o l u m e s o l Fy r a m i l l s w i t : a h t t ra r y p : g t m s f m h i w s t h J t r n 1 ! a p p l l n ] 10 t n t h h : a Y n + \ l s L - d t ot h a t p m \ m a n u n c J b u t h c r m e ch c\ t s

T h c n v o l u m e o f p a r a l l c l e F t FW d i s t h e n I \ n h m i e c : o z e ol t s l a r e s U m e s t h e a l l l r u d e o n [ h a t l a c e I : l r n i $ a : n d1= i : = : !o b j e c t l n R d v l i n e J b t h c po i n t s A o - \ Th e n i t s \ T : tx e c m

c o m pu t e d b th e f o l l o w i n g e q u a t i o n " :

I n t h e n o m e n c l a t u r e o f R e f 12 t h e q u a n t i n i s sq u u t b : k : 5 i st h e o u t e r p r o rj u c t o f t he v e c t o r s T h e 1l n : c o m e s f r o m t : e fa c t IMth i s f o r m u l a c a l c u l a t e s t h e v o l u m e e n c l o s e d t ! Ln e V H I J : S c e z t h ep a r a l l e l e p i p e d d e s c r i b e d b y t h e v e c t o r s D u e t o t h e r r c pe r J : j c f tko u t e r p r o d u c t t h i s e q u a t i o n c a n a l s o tE w T i t t e n a s

V (c r ) ( I l n !) d e l n + pH e r e [ A ] i s a m a t r i x w h o s e r o w s a r e t h e v e c t o r s 4 J \ , \ : \T h c t e r m V (n ) i s a n o r i e n t e d v o l u m e B y th i s w e th= : i f rc h a n g e s i t s o r ie n t a t i o n t h e n V (n ) c ha n g e s i t s s i gn I : S i z q ? =i n t e r e s t e d i n t h e m a g n i t u d e a n d n o t t he o r i e n t a t i o n o f th e s e \ D : m i sw c t a k e t h c a h s o lu t e v a ] u e o f t h e a b o v e e q u r t i o n s T o L- z l c u l a t e L ev o l u m e o f n a n r z d i m e n s i o n a l v o lu m e Di \ i d e i [ s bo u n di n g o b k Bi n t o ( n 1) d i m e n s i o n a l o b j e c t s c o n ta i n in g n po i n ts t i e Di v id e t hp o l y g o n s i n t o t r i a n g l e s ) T o d o t h i s Th e c o n n e c t i \ i t y o f t h e \ - i so f t h e b o u n d a r y m u s t b e k n o w n U s e s o m e Fo i n : o n o r n i t h na s t h e n + 1 p o i n t Fr o m w h i c h t h e v e c t o r s a r e f o r m n ] 1f a e o t iis c o n t a i n e d w i t h i n n j t i s e a s y t o f o r m t h v e c t o r s b : t z l ; i = g t h e

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a l i c< a b o a By d ! i m yie *ds ad z i i b ts h ez &

A M S T k \ n lmc o f : y A M S i 3 D :

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" p h H k . Al b : b s o f th z n T r = N o

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y e t m ii : 55 ; uy w i z i n i r T gz a a ;

z s f : : S : F : c c i smi z : : r x l im e n s i a e a l 1 t p i T ' h

m o s ? 2 c f Ti s r i : = th p n p E s z i Z 3 : f i e

L z z is c c l i 0 0 k Bz E z C : : z z g C ; z 3 s i z P : : g

l 0 a - c : t i o n = : t i : z s m : T T o g i Tbe E :

p r o b *e x a s c f i l :

L m { h d t T H m m i mUK z # I e u z k a c c f k e c c z l s H t = 0 E X = = 3 T

w b s e : c f z : z i : 3 c e m : S : 2 I s z n m d i r i c t T ir i : i n g e i r H E M o n s o f e & e s F Gm c t z 5 : s

d in m n s i o n a l r W L : io : L T r E c o l n n m < o f t he g x i z a i =

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l l u s t r a t i o n : a ) n a d m ls a l b k c n a l r = b In R= b ) m h n S r I b B n i n = h i u n A d d ) t o e n e l

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at asc=#DN E D D 1TU 1 U l 10 0 3

P m m \ e N ; t w t \ s a m m w = i : i e 3 [ f = p )g r l = B r a R s I h W bm a s J em S B t l f t m r n L s o P t 3 f o l l= E 8 3 w 9 TM $m t : ac m # = = t P f n m 1 h a T \ fn r a t nM sahi wce \ a R ' T in s k : a P M T * a l l k rk x 4 n l P3 A Uix e m m n - a

3 f i= a R : m S ' m : : ig P u l l i I r c i l P j R ! h T j a n dC ce m c a a t H m p n T : : ! EM m r m r ain m t t \ m lr n c e l F i gu r e! ; m \ C ae t m er = x t m o f r l an d n T : \ m l m r e p r e s e n t se * ) x e o $ = Sz E q ia t \ h : c m t : i \ a , : h : C \ a h ! t m Lh t c o l u m nSW c t P Fi g c l d v Rn m t h c g H a : 1 \ r g t h ' " \ \ k F th c m a pg S T h m b r x b u n N P s a m 3 n t * : x t n n J a s w e l l An d i t s r r m Fe= c * m x \ 4 r J c w = c m a t : u x \ b f t : ! t h -C g r n : r a l t r a 3 i n \ r r s c = i t M n

N n k ? el Rn u n 3 f in i t F \ g i l * l c m w : t a U u a H h m m M n a lW w h c w As F t $ l d w i x r s e n i s a n w d 1 e : H i o n a l s p a

l l g n e r a l t k t mu i m= I : : L H x tl u a \ \ n g J a s fo l l o w s W e f i r s tc a t t - a= t h : : n r t r s L O { +v c l c h \ t f th e n j o f Q * i th th e r !u Ps W : 3AX : : a : ! : : i : i : : X n u e s : t a Ti i l i r e h : e s a l o n g e a c hi p 0 1 : h Lh e ? : W r , 1 1 : M c % m Lh : s J l u t i o n t o s ee i f i t l i e s

m m : x l , a t o r i I : : f L%t 1 : h m s J l g th e : e s o f n Bu t o n l y

Eh n j : ? i s t l + = U ? C r ; h o f t b i a : : S t : u s d : t a m i n ed i n t o

N = LT D =

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b : m e r t l a n : I n t e n t i o n I4

t d )e z 4 1

141 E o w at l x s s t l W : i n o f h i t ; : E r C : : e : c o : m 11 z n j m o m e n ts PI S w : e r e the G m n si o J c f e e n m m a t s F e i s l e s s th l n Ln a tc f t e c o a t m 1 SP H C m 3 i n o t b c r d e i i n i t i o n s U N H ?e d 10 c l a r i fyE : e ge o n m c : th FN : t \ t d i m e n s i e z L I c : ; e c t w i l l r e f e r t o a

s j s ? z = = 5 : Z : r d h z t t : V : R : z * ? : : z l i n e th r o u gh t w o

c d x p - c t s i x J : ; V : Z J : g : 3 : : z e \ SU C : 1 5 o n e o f t h e e d g e sF : TJ I i s I o zi e EBr r e ; c z d c T h e f 2 X o f th e b o x i n

di m e n s i z i c = s \ i e L z i s k 3 e 3 b ! p J i n t s a p o l y g o ni s k & d b l i e : : c hz a l m i s s ib l e c o n t r o l s U N o l o n g e r i n aW W H : c v : t t w m d H b : m M i m e n s i o n a l o bj e c t s LN eIJO W h : v e a n n d i m x t s i o n a I : : j : t b a m de d by ( m 11 d i m e n s i o n a lc bj ec G

I n c o n t r o l sp a ce i z e z s i : z d o : j x = t u v e Fhy s i c a l i n t e r p ret i c r e l a t ed t o w L : : : c iJ Z M : S H s = r m : e d z n : j qA h i c h a r e t r e e t o\ A z e r a r$ m e n s io m a l c b - i s 3 \ e x Z t w M c h e v e r y c o n t r o li s Z : 2 m ; n ; r m r m o r = 2 t i d o c t i o n o n e d i m e n s i o r u l j x t i s 2 g z o a n k : in H l : O H m z u o l i s f r e t o v a r y O n at d = z o : J : c ' k t P t C : Z : l s q r A l 3 m i n i m u m o r m m i m u md : t : t i o z r t H i t o v T h s Th c o u i w t i o n o f c o n t r o l s1 s s x i l : a ] \ \ t th s o m N ' n i c f i r : a x i o n u n i qu e ly d e t e r m i n e s th el oes t o n : z r o bj e c t 0 3 u h i : h Lh e P : i n t l i e s T h i s i s i m p o r t a n t f o ri 3 z mi g t : c o x x i v i-y o f d In : e r s m i o n s

n p 2 E t a m p l e o f a =l nul ar P r

t M e d i m e n s i o n a c u be a t a po i n t (m n - I ) b u t i t c a n n o t t e r s e c t a [ w o d i m e n s i o n a l f a c e o f t h c t h r e e d i m e n s io n a l c u be a t a

po i n L N o t e Ho w e v e r t h a t a t w o d i m e n s i o n a l p l a n e m a y i n t c r s e c ta t w o d i m e n s i o n a l o bj e c t o f a f o u r d i m e n s i o n a l ( o r h i g h e r ) n a ta s i n g l e po i n t I n d e a l i n g w i th h i g he r o r d e r p r o b l e m s i nt ui i on i su n r e l i a b l e

W e t h e r e f o r e g e n e r a l e e v e r y (m n ) d i m e n s io n a l o bj e c t a n dfi n d i t s i n t e r s e c t i o n w i th Fs F o l l o w i n g o u r d i s c u s s i o n a b o v e o n a n(m n ) d i m e n s i o n a l o bj e c t n c o n t r o l s a r e a t a m i n i m u m o r mam u m d e f le c t i o n a n d m n a r e f r e e t o v a r y W e g e n e r a t e th e (m n )d i m e n s i o n a l o bj e c t s by s e t t i n g e v e r y c o m b i n a t i o n o f m c o n t r o l sta k e n n a t a t i m e t o e v e r y c o m b i n a t i o n o f t h e i r m i n i m u m / m a x i m u md e ft e c t i o n s T h e r e a r e m ! / [n ! (m n ) !] c o m bi n a t i o n s o f c o n t r o ls e l e c t i o n s a n d 2 " c o m b i n a t i o n s o f m i n i m u m / m a x i m u m d e ne c t i o nf o r e a c h W e t h e n d e t e r m i n e t he v a l u e s o f t h e r e m a i n i n g ( f r e e )m n c o n t r o i s I f t he v a l u e o f e a c h o f t he m n c o n t r o l s t h u sd e t e r m i n e d l i e s w i t h i n i t s c o n s t r a i n t s the n t h e i n te r s e c t i o n i s w i th inn ; o th e r w i s e i t i s n o t I n F ig I c 6 o f t h e 12 p o s s i b l e i n t e r s e c t i o n sw e r e w i t h i n f 2 a n d 6 (n o t s h o w n ) w e r e w i th o u t

Th e d e t e r m i n a t i o n o f t h e i n t e r s e c t i o n s i s d o n e a s f o l l o w s :1) P a r t i t i o n P i n t o t w o s e c t i o n s s o t h a t P r c o r r e s p o n d s [ o th e n

c o n t r o l s t o b e s e t t o t h e i r m i n i m u m / m a x i m u m v a l u e s Pa r t i t i o n Us i m i l a r ly :

P I m - u l Pz m - u l

2 ) S e t t h e c o n t r o l s i n u l t o a l l p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s o f m i n i m u ma n d/o r m a x i m u m v a l u e s

3 ) S o l v e f o r m : m P : ' U . H e r e P I s h o u l d b e s qu a r e a n d i n v e r t i bl e I f P , i s s i n g u l a r

th e n th e r e a r e a n i n f i n i t e n u m b e r o f s o l u t i o n s o n a p a r t i c u l a r d i m e n s i o n a l o bj e c t Th i s c a n o c c u r i f t h e n d i m e n s i o n a l s u b s p a c ec o n t a i n s s o m e l o w e r d i m e n s i o n o bj e c t F ig u r e 2 s h o w s a n e x a m p l eo f t h i s o c c u r r e n c e I h e P

, c o r r e s p o n d i n g t o a s e a r c h a l o n g e dg e

w i u b e s i n g u l a r Th i s P , c a n be i g n o r e d be c a u s e t h e d e f i n i n g i n ts e c t i o n s ( 1 a n d 2 ) w i l l b e f o u n d b y s e a r c h i n g o t h e r e d g e s H o w e v e rn o t e t h a t s u c h i n t e r s e c t i o n s m a y b e f o u n d by s e a r c h i n g s e v e r a l e dg e s(i e i n t e r s e c t i o n 1 m a y be f o u n d by s e a r c h i n g e dg e 2 o r e dge 3 i nf f ig 2 )

4 ) So l v e f o r u 2 : u 2 - P z m5 ) R e pe a t I 4 t r y i n g a l l po s s i bl e c o m b in a t i o n s o f P r a n d P : S o l v i n g f o r t h e c o n t r o l s i n th i s m a n n e r g u a r a n t e e s t h a t th e y l i e i n

Fs I f c o n t r o l s i n u z a r e a t o r w i t h i n t h e i r l i m i t s [h e n t h a t po i n t i sa l s o o n a ( f 2) a n d i s a de fi n i n g i n t e r s e c t i o n

D e r e r i r g F t : t u = ? x7in e W 3 : L\ . I t n i s d c m i r i s Z c o m e x p o l : t o p e i n R A l i n e a r

5 c b s F : : e su c h a s P J I s c o n \ e x T h e in : m o : t i o n o f P , a n d n w i l lbe a c o a v e x Fo ! ! t o p e " T o L E : j t h i s po l ) l o pe i t i s s u f f ic i e n t t oi : d a l l a f t : e x t r e rm v : n : S o r t : \ e n i c e s o f th e p o l ) l o p e

T3 1 h e s e

e x t r e m e po in t s w M b c Fo t : Ts t h u m o n t M : t \ o u n d a r ) o f n a n d a l s oin t h e s u bs pa c e P s T hr o u gh 3 S" " : ma t i c m e t h o d o f c x a m i n a t r o n a n

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e l i m i n a t i o n I t i s po s s i b l e t o d e t e r m in e 3 11 s u c h po i n t s I n F ig l cth e Fo in t s i n q u s : i o n a r e th e s \ * v c r u c t s o f t h c $ h a d c d po l ) g o n

G n e n l h a l n a M m a r c i n re g c r s w i th m > n To fi n d t hc t r e m e po in t s o f t l r i m a s e ct i o n o f a n n d t m n s i o m l SPi Ce w I t h a nm d im e n s i o n a l o b j e c t I l ) o n e n ea J o n l y s c l r c h fo r po i n t s t r f t? r se c t i o n o n t he ( m n ! d t m c n s i o ru l o r s m a l l e r o b j e c t s w h i c ha r e o n t h e b o u n \ m o f t h e m d i m m s i o n a l o t Jec t FJ r i ru t a n e c al w o d i m c m i o m l p l \ n e m a y in k n = a a o m c a m c t u i o n a l a l ge cl

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M a p p i n g Po i n t s 10 M o m e n r Spa c eE a c h o f t h e i n t e r s e c t i o n p o i n t s t l e t e r m i n e d a b r \ \ e i s m u l t i p l i a i b !

B Yi e l d i n g t h e c o r r e s po n d i n g p o i n t s i n m o m e n t SPAL

D e re r m i n m g C n n n e c r i v i r y , r r , i n l rU n d e r t h e l i n e a r m a pp i n g U t h c CO W X po l y t o pc \ n R w i l l

r e m a i n a c o n v e x w l y t o pe i n N F u r t hc n n o n : Th c t wt lv I ! t o p c sw i l l t n Fc o r n c i n c a l l y s i n l i l a r : po i n t s t h \ t a r e c o n n c v t a l h , \ \ r m : : i \ nR a r c c o n n e c t e d h , r l i n c \ i i n N A s s u m e \ 11 F i g : l L I J t h a t t h c

p m pc r s e t l u e i \ c c s l t t r u u \ 4 2 b 5 \ 1 Hu t I \ \ t h r g h c r o n l c rp n \ b l c m s l h l + s c q u c n e c 15 l l \ u r c d r l l ic u l t [ L \ dc wm\ i ne T he m e t h o du f u c l c r m i n i n g t h c s l : q U C 11CC I \ M s Ct J u n i l i c v c r t l c t : \ r c l a t i u n s h t p sin c o n t r o l * p a c e F\ w e x a m p l e Th c b r t lx n n t f o u n d ( 1 \ i s o n a n e d g e* a j c e n t 10 t h c e u i- C c o n ta i n i n g lx \ r l u 4 w h r L h i \ a dj a c e n t t o t h e

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f r o m a n i n p l t t fi l c an d r c t u r n \ l h c mnl l cl t u j n v c x

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The fo l lo w in g e x a m ple a ppl ie s t hc a h r ) v e Le c hn iqu c \ l0 a Prol

l e m in v o l v i n g 10 i n de pc n uc n t cont ml 11, c d ' " ' " ' : " i :

b a se d o n a l i n e a r a pp r o xi m a t i o n l 0 t hc I7 I f$ l r ig h A n g le o f Al lat l

R e s e a r c h Ve h ic l e (t l A RV ) acmdynami c d a t a T hc m o de l w ase a r l i z e d a bo u t a n igh t c u n

d i t io n u f 10 0 00 r t M a c h ri 3 a n da n gle o f a t t a c k T hc

c[ t nl ml s a r c ho r i z n n l i l l t a i l s a i lc n m st r a i l in g e dge na ps a n d th r e e t

h r u \ t v i c t o r i n g c u n t r o l s The lcft ar,r igh t a i l e r o n s ho r i z o n t a l t a i l s a n

d t r a i l i n g e d ge fl a ps a re a l lowtd*m o v e i n de pe n de n t l y o f o n c a n o t he r a n d a r e t r e a t e d a s se pa r ate cort r o i s T he l c f t a n d r i gh t r u ddc r s a r c c o n s t r a i n e d to m o v e [ogether ana r e t r e a te d a s a s in gl e c o n t r o l T hc t hr u s t v e c t o r c o n t r o l e ffec tivcr uw a s a pp r o x i m a te d f r o m d a t a i n R e f 2 :

4 3 8 24 382

0 53300 53306 4 86 I O Z

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0 00 06 2 34 10 2

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1 000 IO !

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Fo r t h i s c o m bin a t io n o f B m a t r i x a n d c o n t r o l de fle c t io n bMs ho w n in T a bl e 1 the s u bs e t o f a t ta i n a b le m o m e n t s is as shown :Fig 3

I n thi s e x a m ple t he d e s i r e d m o m e n t s d e s c r i be a m a n c u v er b ora s a v e lo c i ty v e c to r r o l l T h i s i s a fi r s t o r d e r r o l l a c c e le ra ti on tbmthe i n s t a n t a n e o u s v e lo c i t y v e c to r w i th c o n s t a n t a n g le o f alla & I

r t lgs I r n \ l a i n i n g pn j n l 2 w h i r t l i \ a dj a c e n t t o t hc e dge c o n ta i nin g

I n l \ i a b r r i l l n rr m i n n a l p m h lr m \ w c w i l l r r f nr ma s i m i l a r a n a l y s i sI \ ) c t a r n t r r t n g l l , r t t t \ r r w c t l t t n t I I L P r w i t h t h c ho u n d i n g (m 1 )t l i r r t r n n \ l n l ! \ h r , I \ , ! t h r r n t l i m c m in n a l wh c m W c e x a m i n e t hegmmr l n t l l l : p i l \ 1 111 w h i c h c n c l l l l l i f \ c pn i n t s l ic a n d rhc n c o n n e c

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A t.

. I t n \ p n \ l r l r \ 1 l l l HF L I \ \ n clj a c c n t t o a k z d i m e n s io n a l o bje c t

i r r h r y \ l m r n c l r l l \ l n { l n A, t l i m c m i u n a l o bj e c t k3 < m i n (k . Kz )

111c U q u i l t n w I \ l c l i n c c m t o u s he r e i s k,

-k2 - m 3 I f k3 =

n i \ i l i r I I I w 11 I \ h l c L t q a r c i u c n l ic a l W c a r c t he r e fo r e in t e r e s ted i n\

, I r l / / 4 m O n a k,

d i m e n s i o n a l o bj e c t m k3 - j( n m r i \ l \ n l c n l : I r n i t l i r n u m n r m a x i m u m d e fl e c t i o n a n d k3 a r e f r e e l o\ r r y 1 1 , I i l i r I w l l (m ) ) d i m c n \ i n n a l n bj e c t s 10 hav e i n c o m m o nl h l \ 4

, t l l rr rc n i i t n : I I H h lc ( : I I \ m u s t b e po s s i b l e f o r e a c h t o a c h ie v e the

q : 1 c / , t n l r l l l \ l h n l t lc l i n c l hc k r d i m e n s i o n a l o bj e c t T ha t i s the r eI n \ n l \ w / I l l n l r o l \ l l l n l a r c ri x c d o n e a c h (m 3 ) d i m e n s io n a l o bj e c tI l l i l i r : l I l I C l i l r l i l i m : v n l t t c o r t h a t a r c f r e e c o n t r o l s t h a t m ay a ss u m ei l i r M l n l r r t nmmi r i ct t v n l l rc T he t e s t f o r a dj a c c n c y i s the r e f o r e toc o m i t : i r c i l i r c t t n l r l l l q n t i i r o i n l c r s e c t ia n po in t t w o a t a t i m e I f f o u rt w 111[ l r r I l l i l i r h n r n c c o n l r o l x a r c c o n s t r a i n e d t o t he s a m e l i m i t i n gv n l r l r I I I l l r c i i n c n n \ l ma i n c d a l e a c h po i n t the p o i n ts a r e a dj a c e n t

I l l Rc n c t n l i l ic n r u c r n f r e d u c t i o n i s p r e s e r v e d T h i s m e a n s t ha tw l rc n I n i t l l : I r r l m / < t o / < a l o s s o f m n d im e n s i o n s o c c u r si l i r i nl r l l : r l in n i [ t l Ps w i t h t hc bo u n d i n g (m 1) d i m e n s i o n a l Ic t I n l i l i c m ( l i m c n \ iu n a l s u h s e l be c o m e t he bo u n di n g (n 1)t l l m c l \ i n n n l [ l l J ic c l s o f l hc n d i m e n s i o n a l s u bse t n I n te r m s o fI l ) : I i l i c i n l c r s e c l i n n s o f l hc t w o d i m e n s i o n a l Ps w i t h t he b o ui l r ) : I w t r t [i r n c n + i n n n l r : i c c t s o f l h c t h r e e d im e n s io n a l s u bs e t n C { l l 11c i l i c I r t r l l n d i n i- o n c Ui m c n s i o n a l e dg e s o f t he t w o di m e n s io n a lul l r l r I l n g n i n : f m m a n y n u m be r o f c o n t r o l s t o th r e e m o m e n tsl l l c I : i r c l \ t r l n r c x u l t l mm i n t e r s e c t io n s o f Ps w i th the bo u n din g(/ I I I ) [ l i r n c m i t i n u l i l hj c c l s o f th e / n d im e n s i o n a l su bs e t Q

l l t t u r m t m i c t r\ p a c c i \ o f d i m e n s i o n g r e a t e r tha n 3 the n w eI l l l l \ l k r c p l r i \ c k n f \ hc i n t c n e c t i o n s t ha t g e n e r a t e t w o d i m e n s i o n a lI l l : l i r e s i t l / < n n t l d c l c r m i n c t he o r d e r i n g t ha t r e su l t s i n c l o se d cv c x I w o t l i m c n x i r m a l n hj c c t s (po ly go n s ) T he se t w o di m e n s io n a li rb lc c t s I TRTL \ t l hc ri h c o r d e r e d t o p r o d u c e c l o s e d c o n v e x t h rt l i l t w n x i t t n n t n hj c c t s n n d s o o n u n t i l the (n 1) di m e n s io n a l b o ui l r t : l l l Ic L I x n l n a r e Uc tc r m i n e d T h e o r de r in g o f the s eb : n c u 0 11 l l l c i r n dj a c c n c y i n Q W e w i l l di s c u s s o n ln l i l l e i r l l c r s e c t iu n s t ha t g e n e r a t e t w o d i m e n s i o n a ll i l i : t re r t t r d c r o r dc r i n g s p r o c e e d i n a s i m i l a r f a sh i o n

I n i l i c t h r e e m o m e n t p r o b le m f o r e a c h o f t he bo u n di n g (m 1)t l i m c m i o n n l o hj c c t s o n w h i c h i n t e r s e c t i o n s o c c u r w e o r de r t hep t t i n t l u t lc x c r i h c a c l o s e d c o n v e x p o l ygo n T he e dge s o f thi sIn t lyg { m a r c o n c d i m e n s i o n a l (n 2 1) a n d a r e i m a ge s o f t heUt t 2 ) d i rn c m i i u n a l o bj e c t s t ha t m a k e u p the (m 1) d i m e n s io n a lu bj c e t u f in t e r e s t T h e v e r t i c c s o f th i s po ly go n ar e z e r o d i m e n s io n a l(/ i 3 0 ) a n d a r e i m a ge s o f the (m 3) d i m e n s io n a l o bj e c t st l ru l m n k c u p t he ( l n I ) d i m e n s i o n a l o bj e c t o f i n te r e s t To l i n e : m c t lg c t w o v e r t ic e s m u s t b e a dj a c e n t i n n a n d t he r e fo r e thel w u (m 3 ) d i m e n s i o n a l o bj e c t s o f w h i c h the y a r e i m a ge s m u s t ben dj i i c e n t i n n

O n c e t hc c o n n e c t i v i ty o f the po i n ts i s k n o w n the bo u n di n g o bj e c t sc i m hc Ui v iUc t ! u p i n t o (n 1) d i m e n s io n a l o bj e c t s c o n ta i n i n g npo i n t s W i l l l t he r e s u l t i n g c l o se d a n d c o n v e x po l ygo n s w e t he ni l pp ly i h c v o l u m e c a l c u l a t io n s d e s c r ibe d a bo v e t o e a c h po lygo n to[Jc l c m l i n c i hc t o t a l v o l u m e o f m o m e n t s a t t a i n e d by t he ge n e r a l iz edi n v e r se u s i n g a d m i s s ib l e c o n t r o l s

Co n t r o l

T a b l e 1 C o n t r o ' s u r f a c e d e l l e c t i o n l i m i ts

Co m r o l s u r fa c eR igh t ho r i z o n t a l t a i lLe f t ho r i z o n t a l t a i l

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Co rn hi n e t l r u J d c r sr ight t r a i l i n g c t lgc n a pLe f t t r ai l i n g e d ge n a pRo l l t hr ul v t : c l u r v a n ePi t c h i hr u x l v i c t o r \ a n cYa w t h r u t t v i c t o r v * n

M i n i m u mv a l u e r a J

I ) u l# y C h n l n l n T l t c r e i # n t J n h v i o u R e a s y w a y In c a l c u l a t e t hc v o lu m e o f n l o m c m s

n l l a i n n b lc hy d a i s y c h a i n i n g s n l u t i n n s t h e a u t ho r s ha v e m a ppc l Ii l i c : i t l n in i l l l lc m n m e n l s n f s o m e r c p r e s c n l a t i v e t l a i s y c h r i m n g St rlu l in n s u s in p l l b r u t e f n r L c pu i n l a n d h l l u t r l a n a ly s i + I : n r v i \ r i n u s \ l l r c e l im i ll i n m m n c n l s pa c e t hc rn a g n i t u dc l t l thc m u l l l c n t Vc L t u r w a \I ; i r l t : d l i n l i l u n c c o n l l t l l i n i hc l rh n t u p w a s Ju l l s a t u r a \ c \ I Ih c r c x l r l l h n l t t l w c d l l ra t l hc l i ut7i cl n l n t t a in a h l e t n n n \ c n l \ l i n i \ \ lctcmttnc

, 1w n s c u n c a v c i n rsc v e r u l r r p i o m i w

i l l l L u r \ c LI t \ l n n r \ l l l l g s u r t ac e i l l \

I LI C t l i r i s y c ha i n i n g $ t t l r t l i t t n[7t l s l \ n c t m n p l i \ heu hy t lc l e r n \ i n m ;

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F O i D W a= i A O m _7 a 3 + M I 00 5

: T bs e m R n m g r x z z u d m i J l a F : c p x a m i l dRo Ba n m f o r Cx s a e l t i H c M i t im i = t he B m r i T hi srm z r

! : C il C : : c l t w o i n p c rs t o g r : Z fz s t o r d : r r e s ; qa n s e Th ebt n c i Jn s z n l r z n d th : r c a d ! & La t e r o s r a P

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A c r o r d r n r t o! , f FL 5 l D T9 7 A

14 u w d i n o o a Ju m x t m 7 : h \ f lL F 9 78 5c ' f the

c a u m m r z l t Ee c f M u m c o n s ta r t f o r l r \ r 1 1 Bj 7 n g q u aJi t i c s I !

1 ) d a m l l t h r m t h 30 d c g s h o u ld p c r f w w we d i n l l . f o ra - r m a n e u

v e r s w c s e t r e q u a l t o t h c m a x i m u m I n c l I v a l u e o fl l W e t h e n s pc e r fi e d t h a i t h c m a n e u w T w o u l d t fm m a n in i t i 1c o n d i t i o n o f i = t iJ) ck g t h ir o u gh a fi m l c o n d i t i o n o f l l - 60de g Fo r e a c h a l l o c a t i o n s c h e m e t h c s r e a d y s t a t e r o l l r a t e w a s c n a g ed u n t i l t h c s c h e m e c o u l d n o l o n ge r g c n c m t c M e r e q u i r e dm o m m t s

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R e s u l t sDh t t A Ho c * t i o n ( C A T )

71 e d i r e c t a l l o c a t i o n m e th o d u t i l i z e s a l l o f t h e a \ a i l a b l : m o mege n e r a t i n g c a p a b t l M e s a n d w a s a b l e t o pM o r m t h c m a n e u v e r w i t h1 s t e a d ! s t a t e r o l l r a t e o f 2 15 d e g S I T h e t i m e t h r o u gh 3 0 d e g w a s0 5T S w h i c h i s w e l l w i t h i n t he l e v e l 1 s pe c i h c a t i o n s I n f a c L a l l o fthe a l l o c a t i o n s c h e m e s m e t t hi s s pe c i fi c a t i o n T h e t i m e [ o c o m p l e t ethe 60 t o 60 d e g r o l l w a s 1 2 6 S Ff ig u r e 4 s h o w s a th r e e \ i e w o fth e r e q u i r e d m o m e n t s p l o t t e d w i t h i n t h e A I S

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F i g 4 R e q u i r e d m o m e n t s f u r v e l o c i t y v e c t o r r o l l

Ps e u do i n r e r s e71 e p s e u d o i n v e r s e w a s c a l c u l a t e d t o be

2 20 12 2022 9 602 9 609 4 923 17 73 17 71 4 7 73 95 8 10 4

0 30 15

0 75 000 75009 12 5 10 :

9 12 8 I O :

1 3 8 3 10 5

8 7 74 10 2

8 7 7 1 10 2

6 0 8 1 10 6

0 4 9 992 53 7 10 5

0 33500 33530 22 1 00 2 2 102 69 38 64 3 10 2

2 94 0 10 2

2 57 86 10 4

5 3 25

C l

F i g 5 n f o r p s c u d o i n v e r s e

C m

F i gu r e 5 s h o w s n f o r t h e p s e u d o i n v e r s e w i th i n a w i r e Fr a m e o fth e A M S T h i s n f i l l s 13 7 % o f t h e A M S T h e t i m e t hm u gh 30de g w a s 0 8 6 S A l t h o u gh t h i s i s w e l l w i tM n l e v e l 1 fl y i n g q uat i e s i l i s f a r b e l o w t h e m a x i m u m pe r f o r m a n c e th a t th e a i r m f t i sc a p ab l e o f T h e m a x i m u m s t e a dy s La t e r o l l r a t e a c h i e v a b l e w i th t h i ss c he m e w a s 10 5 d e g S 1 A n d th e t i m e t o c o m p l e t e t h e m a n e u v e rw a s 2 0 S

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F ig 6 n f o r b e s t g e n e r a l i z e d i n v e r s e

B es t G e n e r a l i z e d I n v e r s eT h e b e s t g e n e r a l i z e d i n v e r s e w a s c a l c u l a t e d [ o b e

6 04 7 10 3 0 6 60 01 3 2 1 10 2 0 6 5865 5 4 3 4 8 89 10 3

5 54 3 5 0 9 8 10 3

0 3 9 17 1 64 1 10 6

1 39 8 3 9 34 10 2

1 4 52 2 8 9 7 10 2

5 52 0 3 7 00 10 5

1 0 4 1 10 3 0 824 30 4 7 53 1 0 64 10 4

P be s

1 13 D 10 2 75 60 8 10 3

8 7 15 10 2

8 2 83 10 2

4 2 680 18823 182 10 2

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F i gu r e 6 s h o w s n f o r t h e be s t g e n e r a l i z e d i n v e r s e i n s i d e a w i r ef r a m e o f t he A M S Th i s n fi l l s 4 2 7 % o f t h e A h I S A s e x p e c t e dthe i n c r e a s e i n m o m e n t g e n e r a t i n g c a p a b i l i t y l e d t o b e t t e r pcr fm a n c o T he t i m e t h r o u gh 30 d e g w a s 0 6 8 S Th e m a x i m u m s t e as t a t e r o l l r a te a c h i e v a b l e w a s 15 6 d e g S I a n d t h c t i m e t o c o m pl e t ethe m a n e u v e r w a s 1 52 S

p o r t i o n o f t h e A M S Th u s i t w a s p o s s i b l e t o t a i l o r a g e n e r a l i z e d v e r s e t o th i s p a r t i c u l a r m a n e u v e r A g e n e r a l i z e d i n v e r s e w a s t a i l o r e dt o f i t t he A h i S e x a c a y a t th e f o l l o w i n g p o i n t s :

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T a i l u r c d G e n e r a l i z e d I n v e r s eB y e x a m i n i n g F i g 4 i t c a n b e s e e n t h a t t he d e s i r e d m o m e n t c ( H

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f f ig u r c 7 s h o w s n f i t r t hc t i l i l \ \ r r J ge n e r a l i t c t l i m r r s e i n s i d e aw i r e f r a m e t l t t hc A NTS Th i s 17 f i t l s o n l y 7 b q % \ l l t he A h t S He v e r s i n c e t h c I : n t i r e m : m e u v e r l i e s w i th i n t l n a t t a i n a b le r e g i o n Th i sgc n c r a l i r c t l i n \ I : r s e w a s a M e t o m a t c h t he t c s u l ls fr o m t he d i r e c ta l i m ' a t i o n m e \ ha !

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l A r k 1960

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I j l h l r h a l r l W I u l l c P a n d M a s o n W K i n e r n a t i c * a t u l A e r o dw n i c a

n f t hc V c l n c l r : / V e r l o r Rn l l / . . u r h t l l n f n u i d a n c Cn n r m l n n d t f

l f ' A n o n h \ i l l l n r y S pe c t ri c n t i n n R y i n g O n a l i r i c ] f f Pi M t d*l vEr i c l n :M l l ST D i 7 r} 7 A M r r c h 199 7

I ' A n o n M i l i m r y Spe c i f i c a i IOn n y in g ( in a l i l ie i u f Pi !m cl A i r p l sm q :M l t

. P B T = C N w 19 80

closed-form solutions to constrained control allocation problem_bordignon, durham_1995

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