cm - elaborato biscarini

Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale

Corso di laurea magistrale in Ingegneria Civile

APPUNTI DI COSTRUZIONI METALLICHE

Docente: Studente:

Prof. Ing. Franco Bontempi Giulio Biscarini 1242352

Assistenti:

Ing. Francesco Petrini

Ing. Paolo Emidio Sebastiani

Anno Accademico 2013 – 2014

INDICE

1 LA TEORIA DELLA PLASTICITA’ ................................................................................................................... 1

1.1 Plasticità del materiale .............................................................................................................................. 1

1.1.1 Stati di tensione monoassiali ....................................................................................................... 1

1.1.1.1 Legame costitutivo dell’acciaio ................................................................................... 2

1.1.1.1.1 Legame costitutivo sperimentale .................................................................. 2

1.1.1.1.2 Legami semplificati di calcolo ....................................................................... 2

1.1.1.1.3 Legami ciclici ................................................................................................. 4

1.1.1.2 La duttilità .................................................................................................................... 5

1.1.2 Stati di tensione non monoassiali ................................................................................................ 6

1.1.2.1 I criteri di rottura .......................................................................................................... 6

1.1.2.2 L’incrudimento ............................................................................................................. 7

1.2 Plasticità di sezione/elemento ................................................................................................... 9

1.2.1 Sezione soggetta a flessione semplice ..................................................................................... 9

1.2.1.1 Legame momento curvatura ..................................................................................... 10

1.2.1.1.1 Analisi in campo elastico ............................................................................ 11

1.2.1.1.2 Analisi in campo plastico ............................................................................ 11

1.2.1.1.3 Diagramma momento curvatura ............................................................... 13

1.2.1.2 La cerniera plastica .................................................................................................... 14

1.2.2 Sezione soggetta a presso-flessione ........................................................................................... 14

1.2.2.1 Analisi in campo elastico ............................................................................................ 15

1.2.2.2 Analisi in campo plastico ............................................................................................ 15

1.2.2.3 Confronti ..................................................................................................................... 16

1.2.3 Considerazioni ............................................................................................................................ 17

1.3 Plasticità di sistema .................................................................................................................. 18

1.3.1 Richiami .................................................................................................................................. 18

1.3.1.1 Definizione di duttilità ............................................................................................... 18

1.3.1.2 Definizione di collasso ............................................................................................... 18

1.3.2 Ridistribuzione dei carichi ...................................................................................................... 20

1.3.3 Capacità portante in campo elasto-plastico .......................................................................... 21

1.3.3.1 Analisi incrementale (Pushover) ................................................................................ 21

1.3.3.2 Soluzione analitica ..................................................................................................... 23

1.3.3.2.1 Analisi in campo elastico ............................................................................ 23

1.3.3.2.2 Analisi in campo elasto-plastico ................................................................. 23

1.3.3.2.3 Fase di scarico del sistema .......................................................................... 24

1.3.3.3 Analisi limite ............................................................................................................... 25

1.3.3.3.1 Il teorema statico ....................................................................................... 27

1.3.3.3.2 Il teorema cinematico ................................................................................ 28

1.3.3.2.3 Strutture intelaiate ..................................................................................... 30

2 FENOMENI DI INSTABILITA’ ...................................................................................................................... 33

2.1 Introduzione ai fenomeni di instabilità ...................................................................................... 33

2.1.1 Problemi di instabilità semplici o euleriani ................................................................................ 33

2.1.2 Determinazione del carico critico .............................................................................................. 33

2.1.2.1 Il criterio statico ......................................................................................................... 33

2.1.2.2 Il criterio energetico .................................................................................................... 34

2.1.3 Sistemi discreti elementari ........................................................................................................ 34

2.1.4 Presenza delle imperfezioni ........................................................................................................ 35

2.2 Studio del comportamento critico e post-critico di un‘asta rigida ............................................... 37

2.2.1 Condizione di vincolo 1 (Stabile-simmetrico) ................................................................ 37

2.2.1.1 Il criterio statico ............................................................................................. 37

2.2.1.1.1 Trattazione completa ..................................................................... 37

2.2.1.1.2 Linearizzazione degli spostamenti ................................................. 38

2.2.1.2 Il criterio energetico ....................................................................................... 38



2.2.2 Condizione di vincolo 2 (Instabile-simmetrico) ............................................................. 39







2.2.3 Condizione di vincolo 3 (asimmetrico) ........................................................................... 41






2.3 Studio del comportamento di un sistema di aste ...................................................................... 43

2.3.1 Trattazione completa .................................................................................................................. 44

2.4 Studio del comportamento di un sistema a due g.d.l. ............................................................... 45

2.4.1 Linearizzazione degli spostamenti .............................................................................................. 45

2.5 Studio del comportamento di un sistema ad ∞g.d.l. ............................................................... 46

2.5.1 La colonna di Eulero ................................................................................................................... 46

2.5.2 La lunghezza libera di inflessione .............................................................................................. 47

2.5.2.1 La colonna ................................................................................................................. 47

2.5.2.2 Il telaio ....................................................................................................................... 47

2.5.3 La curva di stabilità .................................................................................................................... 48

2.5.3.1 Valutazione della presenza delle imperfezioni ......................................................... 49

3 LE CONNESSIONI IN ACCIAIO ................................................................................................. 50

3.1 Definizioni ............................................................................................................................... 50

3.1.1 Classificazione ............................................................................................................................. 50

3.1.1.1 Classificazione secondo la tipologia delle componenti .............................................. 50

3.1.1.2 Classificazione secondo il sistema di collegamento usato ......................................... 51

3.1.1.3 Classificazione secondo il tipo di sollecitazione trasmessa ....................................... 52

3.1.1.4 Classificazione secondo la rigidezza del nodo ........................................................... 52

3.1.1.5Classificazione secondo la resistenza del nodo ........................................................... 53

3.1.1.6 Classificazione secondo la duttilità del nodo ............................................................. 54

3.1.1.7 Classificazione secondo i tipi di analisi ...................................................................... 54

3.2 Modellazione del nodo ............................................................................................................ 55

3.2.1 Metodo delle componenti ......................................................................................................... 55

3.2.1.1 Esempio: giunto saldato ............................................................................................ 55

3.2.1.1.1 Calcolo della resistenza delle componenti ............................................................. 56

3.2.1.1.1.1 Resistenza della zona soggetta a taglio ....................................... 56

3.2.1.1.1.2 Resistenza della zona compressa ............................................... 57

3.2.1.1.1.3 Resistenza della zona tesa .......................................................... 58

3.2.1.1.2 Calcolo del momento resistente ............................................................................. 58

3.2.1.1.3 Calcolo della rigidezza rotazionale .......................................................................... 58

3.2.1.1.4 Calcolo della capacità rotazionale .......................................................................... 58

3.2.1.1.5 Considerazioni .......................................................................................................... 59

3.3 Modellazione a elementi finiti del nodo .................................................................................... 59

3.3.1 La piattabanda ........................................................................................................................... 60

3.3.1.1 La non linearità di vincolo ......................................................................................... 62

4 COSTRUZIONI METALLICHE IN ZONA SISMICA ................................................................................... 65

4.1 Le azioni sulla struttura ........................................................................................................... 65

4.1.1 L’azione sismica .......................................................................................................................... 65

4.2 Basi della progettazione anti-sismica ....................................................................................... 65

4.2.1 Filosofie di progetto ................................................................................................................... 65

4.3 Le costruzioni in acciaio ........................................................................................................... 67

4.3.1 Il materiale – prescrizioni addizionali per le zone dissipative .................................................... 67

4.3.2 Tipologie strutturali ................................................................................................................... 67

4.3.2.1 Strutture intelaiate .................................................................................................... 67

4.3.2.2 Strutture con controventi concentrici ....................................................................... 67

4.3.2.3 Strutture con controventi eccentrici .......................................................................... 68

4.3.2.4 Strutture a mensola o a pendolo inverso ................................................................... 68

4.3.2.5 Strutture intelaiate con controventi concentrici ...................................................... 69

4.3.2.5 Strutture intelaiate con tamponature ....................................................................... 69

4.3.3 Il fattore di struttura ................................................................................................................... 69

4.3.3.1 Il fattore q0 .................................................................................................................. 69

4.3.3.2 Il rapporto αu/ α1 ....................................................................................................... 69

4.3.4 Zone dissipative e duttilità locale ............................................................................................... 70

4.3.4.1 Confronto tra le norme ............................................................................................... 70

4.3.4.2 Ordinanza 3274 ........................................................................................................... 70

4.3.4.3 NTC 2008 ..................................................................................................................... 71

4.4 Strategie di progettazione antisismica ...................................................................................... 73

4.4.1 La gerarchia delle resistenze....................................................................................................... 73

4.4.2 I sistemi dissipativi ...................................................................................................................... 73

4.5 Sistemi di dissipazione ordinari ................................................................................................. 74

4.5.1 Strutture intelaiate ..................................................................................................................... 74

4.5.1.1 Meccanismi di collasso ............................................................................................... 74

4.5.1.2 Le travi ........................................................................................................................ 74

4.5.1.3 Le colonne ................................................................................................................... 74

4.5.1.4 I nodi ........................................................................................................................... 75

4.5.1.4.1 Nodo trave-colonna .................................................................................... 75

4.5.1.4.2 Nodo colonna-fondazione........................................................................... 76

4.5.2 Strutture con controventi concentrici ........................................................................................ 76

4.5.2.1 Travi e colonne ............................................................................................................ 77

4.5.2.2 I collegamenti .............................................................................................................. 78

4.5.3 Strutture con controventi eccentrici .......................................................................................... 78

4.5.3.1 Verifica elementi di connessione ................................................................................ 78

4.5.4 Collegamenti ............................................................................................................................... 80

5 CRITERI DI PROGETTAZIONE ..................................................................................................... 81

5.1 Analisi strutturale .................................................................................................................... 81

5.2 Conceptual design ................................................................................................................... 81

5.3 Ottimizzazione strutturale ........................................................................................................ 82

5.3.1 Ottimizzazione locale (“Sizing”) ................................................................................................. 83

5.3.2 Ottimizzazione morfologica (“Morfing”) ................................................................................... 84

5.3.3 Ottimizzazione topologica .......................................................................................................... 84

5.3.4 Riepilogo ottimizzazione ............................................................................................................. 85

5.4 Requisiti strutturali .................................................................................................................. 86

5.4.1 Requisiti elementari .................................................................................................................... 86

5.4.1.1 Stati limite di esercizio ............................................................................................... 86

5.4.1.2 Stati limite ultimo ....................................................................................................... 86

5.4.2 Requisiti della struttura come sistema ....................................................................................... 87

5.4.2.1 Durabilità .................................................................................................................... 87

5.4.2.2 Robustezza .................................................................................................................. 90

5.4.2.3 Resilienza .................................................................................................................... 92

5.4.2.4 Le fasi della vita di una struttura.................................................................... 93

5.4.3 Metodi di calcolo dei requisiti strutturali ................................................................................... 93

5.4.3.1 Analisi pushover .......................................................................................................... 93

5.4.3.2 Analisi pushdown ........................................................................................................ 94

5.4.4 Effetti delle non linearità geometriche ....................................................................................... 96

5.4.4.1 Duttilità ....................................................................................................................... 96

5.4.4.2 Robustezza .................................................................................................................. 97

5.5 Strategie di progettazione ........................................................................................................ 99

5.5.1 Specializzazione ed integrazione .............................................................................................. 100

5.4.2 Evoluzione ed innovazione ....................................................................................................... 103

5.5.2.1 L’outrigger ................................................................................................................. 103

5.5.2.2 Sistemi di controventamento ................................................................................... 104

5.6 Criteri di progetto per edifici alti ............................................................................................. 105

5.6.1 Comportamenti globali ............................................................................................................. 105

5.6.1.1 Punzonamento .......................................................................................................... 105

5.6.1.2 Ribaltamento ............................................................................................................ 106

5.6.1.3 Scorrimento .............................................................................................................. 106

5.6.2 Effetti delle non linearità geometriche ..................................................................................... 107

5.6.2.1 Effetto P-∆ negativo ................................................................................................. 107

5.6.2.2 Effetto P-∆ positivo .................................................................................................. 107

5.6.2.3 Conclusioni ............................................................................................................... 108

5.6.3 Comportamenti elementari ...................................................................................................... 108

5.6.3.1 Strutture soggette a trazione .................................................................................... 108

5.6.3.2 Strutture soggette a compressione .......................................................................... 109

5.6.3.3 Strutture soggette a carichi orizzontali ..................................................................... 109

5.6.4 Comportamenti locali ............................................................................................................... 110

5.6.5 Problemi derivati dalla presenza di elementi parete ............................................................... 111

5.6.5.1 Elemento scomposto in fibre .................................................................................... 112

5.6.5.2 Conclusioni ................................................................................................................ 114

5.6.6 Sottostrutturazione .................................................................................................................. 115

5.6.6.1 Sottostrutturazione verticale .................................................................................... 115

5.6.6.2 Sottostrutturazione orizzontale ................................................................................ 116

5.7 Metodo di analisi strutturale .................................................................................................. 116

5.7.1 Trave forata .............................................................................................................................. 116

1

CAP.1 : La teoria della plasticità Nella teoria della plasticità si studia l’interazione tra forze e spostamenti, considerando il legame tra tensioni e deformazioni di tipo elasto-plastico. L’utilizzo di questo tipo di legame porta numerose conseguenze nella trattazione matematica del problema:

- Non validità del principio di sovrapposizione degli effetti - Non validità del teorema di unicità

- Utilizzo di equazioni non lineari ∗ =

1.1 Plasticità di materiale Nel seguente paragrafo si analizzeranno le leggi e i grafici sperimentali che legano tensioni e deformazioni di materiali caratterizzati da un comportamento di tipo elasto-plastico.

1.1.1 Stati di tensione monoassiali Tra gli stati di tensione monoassiali si definiscono due gruppi: 1) Il materiale con comportamento elasto-plastico ha un limite elastico ben definito (Es. acciaio).

Figura 1.1.1.I

2) Il materiale con comportamento elasto-plastico non ha un limite elastico ben definito (Es. calcestruzzo). In questo caso si determina tale limite effettuando una linearizzazione del legame.

Figura 1.1.1.II

2

1.1.1.1 Legame costitutivo dell’acciaio

1.1.1.1.1 Legame costitutivo sperimentale In seguito ad un prova a trazione monoassiale, si può ricavare dalle misurazioni effettuate durante la prova l’andamento delle deformazioni in relazione alle tensioni presenti nel provino di acciaio, che descrivono il legame costitutivo del materiale rappresentato in Fig.1.1.1.1.1.II.

Figura 1.1.1.1.1.I Figura 2.1.1.1.1.II

Dal grafico in Fig.1.1.1.1.1.II si possono definire: → 0.002%%& = '((*&)

1.1.1.1.2 Legami semplificati di calcolo Poiché effettuare analisi al calcolatore utilizzando il legame costitutivo sperimentale dell’acciaio risulta molto complicato e oneroso da un punto di vista computazionale, si preferisce adottare modelli in grado di cogliere con affidabilità solo quel particolare aspetto che di volta in volta si vuole: A) LEGAME RIGIDO-PLASTICO PERFETTO

SI CONSIDERA SI TRASCURA

Limite elastico si

Limite plastico si

Def. elastiche si

Icrudimento si

Snervamento si

non linearità si

Si associa al legame il modello reologico costituito da un blocco cui è applicata una forza (il comportamento è descritto da due parametri).

Figura 1.1.1.1.2.II

Figura 1.1.1.1.2.I

3

B) LEGAME ELASTO-PLASTICO PERFETTO


Limite elastico si

Limite plastico si

Def. elastiche si

Icrudimento si

Snervamento si

non linearità si

Si associa al legame il modello reologico costituito da un blocco cui è applicata una forza F attraverso una molla di rigidezza E (il comportamento è descritto da tre parametri ).

C) LEGAME ELASTO-PLASTICO BILINEARE INCRUDENTE


Limite elastico si

Limite plastico si

Def. elastiche si

Icrudimento si

Snervamento si

non linearità si

Il valore del modulo E1 si determina andando a fare un equivalenza in termini di energia rispetto al legame reale

(Vedi Fig.V) Si determina E1 Imponendo A1 = A2 Figura 1.1.1.1.2.V

Figura 1.1.1.1.2.VI

Figura 1.1.1.1.2.III

Figura 1.1.1.1.2.IV

4

Il modello reologico associato al legame è costituito da un blocco vincolato mediante una forza di rigidezza E0 e sollecitato da un forza F attraverso una molla di rigidezza E1 (il comportamento è descritto da quattro parametri ). D) LEGAME ELASTO-PLASTICO BILINEARE INCRUDENTE CON TRATTO DI SNERVAMENTO


Limite elastico si

Limite plastico si

Def. elastiche si

Incrudimento si

Snervamento si

non linearità si

Si associa al legame il modello reologico costituito da un blocco sollecitato da una forza F attraverso una molla di rigidezza E0 e vincolato da una molla di rigidezza E1 che si attiva solo una volta raggiunto un certo valore di deformazione (il comportamento è descritto da cinque parametri).

1.1.1.1.3 Legami ciclici Si può passare dai legami di calcolo appena descritti ai corrispondenti legami ciclici: A) LEGAME RIGIDO-PLASTICO PERFETTO B) LEGAME ELASTO-PLASTICO PERFETTO

Figura 1.1.1.1.2.VII

Figura 1.1.1.1.2.VIII

Figura 1.1.1.1.2.VIV

Figura 1.1.1.1.3.I

Figura 1.1.1.1.3.II

5

C) LEGAME ELASTO-PLASTICO BILINEARE INCRUDENTE D) LEGAME ELASTO-PLASTICO BILINEARE INCRUDENTE CON f TRATTO DI SNERVAMENTO

In aggiunta ai legami già visti si può considerare le legge di menagotto-pinto: Questo legame è molto utilizzato per descrivere le deformazioni cicliche prodotte da un evento sismico. Tale legame è descritto dalla legge: & = , ∗ - ε

ε&. + (1 − ,) ∗ εε&21 + ε

ε&34( 35

1.1.1.2 La duttilità La duttilità è una proprietà fisica della materia che indica la capacità di un corpo o di un materiale di deformarsi plasticamente sotto carico prima di giungere a rottura. Questa proprietà nell’ambito della duttilità di materiale può essere calcolata in due differenti modi:

6 µ& = ε7ε8

µ& = ε7'ε8ε9

:


Figura 1.1.1.1.3.IV

Figura 1.1.1.1.3.V

Figura 1.1.1.2.I

6

1.1.2 Stati di tensione non monoassiali A differenza degli stati monoassiali, dove il limite elastico è rappresentato da un valore specifico della tensione (tensione di snervamento), negli stati non monoassiali il limite di elasticità è rappresentato da una superficie di snervamento. Tale superficie rappresenta il luogo dei punti nello spazio delle tensioni che definiscono lo snervamento del materiale. Le differenti superfici proposte rappresentano i differenti criteri di rottura per i suddetti stati di tensione.

1.1.2.1 I criteri di rottura Si definiscono due criteri di rottura :

A) CRITERIO DI TRESCA Questo criterio afferma che lo snervamento si verifica quando la massima tensione tangenziale nel punto considerato ;<=> diviene uguale alla massima tensione tangenziale del provino di trazione al momento dello snervamento ;?. Dove: ;<=> = (@ ∗ A ∗ BC( − @D; C@ − FD; CF − (DG ;? = (@ ∗ max(?(; ?@; ?F) →?KèM

Al suddetto criterio, corrisponde nello spazio delle tensioni principali (σ1; σ2 ; σ3)

un dominio di resistenza avente la forma di un prisma a base esagonale irregolare e l’asse coincidente con la trisettrice del primo ottante.

Effettuando l’intersezione del prisma con il piano σ3 = 0, si ricava il dominio di resistenza per stati di tensione piani.

B)CRITERIO DI VON MISES Questo criterio afferma che lo snervamento del materiale si verifica quando l’energia elastica di deformazione immagazzinata raggiunge un valore critico, tale valore può essere determinato con la prova di trazione ed è pari all’energia di deformazione relativa alla tensione monoassiale di snervamento. Effettuando l’uguaglianza tra le energie di deformazione si ottiene che il materiale si snerva quando: ; = ;?. Dove:

- ; è la media delle tensioni tangenziali agenti su una sfera di raggio piccolo tendente a zero con il centro coincidente con il punto in esame .

; = N 14 ∗Π ∗ P % ∗ P ;?@ ∗ sinβΠ

& β =@Π&

1√15 ∗ V(( − @)@ + (@ − F)@ + (F − ()@

- ;? = (@ ∗ max(?(; ?@; ?F) →?KèM

Figura 1.1.2.1.I

Figura 1.1.2.1.II

Figura 1.1.2.1.III

7

Al suddetto criterio, corrisponde nello spazio delle tensioni principali (σ1; σ2 ; σ3) un dominio di resistenza avente la forma di un cilindro a base circolare avente asse coincidente con la trisettrice del primo ottante.

Confrontando i due criteri si osserva come il criterio di Von Mises indichi un valore della resistenza allo snervamento a taglio sempre maggiore o al più uguale al valore proposto da tresca.

1.1.2.2 L’incrudimento L’incrudimento rappresenta quel tratto successivo al tratto lineare-elastico o allo snervamento del legame costitutivo dell’acciaio per cui si ha una riduzione della rigidezza del materiale rispetto alla rigidezza del ramo elastico. L’incrudimento viene rappresentato in differenti modi in funzione dello stato tensionale. A) STATO DI TENSIONE MONOASSIALE L’incrudimento viene rappresentato da una pendenza (E1):

Figura 1.1.2.1.IV

Figura 1.1.2.1.V

Figura 1.1.2.1.VI

Figura 1.1.2.2.I

Figura 1.1.2.1.V

8

B) STATO DI TENSIONE PIANO I differenti tipi di incrudimento si differenziano per il percorso di carico con il quale si è arrivati al limite dello snervamento del materiale e per il cinematismo. In seguito si elencano come questi fattori influenzano la superficie di snervamento.

INCRUDIMENTO:

ISOTROPIA isotropo La superficie di snervamento cambia le dimensioni ma non la forma

Non isotropo La superficie di snervamento cambia le dimensioni e la forma

CINEMATISMO statico La superficie non si sposta

cinematico La superficie si sposta

CASO 1

- Isotropo - Statico

CASO 2

- Non Isotropo - Statico

CASO 3

- Isotropo - Cinematico

CASO 4

- Non Isotropo - Cinematico

La superficie di incrudimento

cambia le dimensioni ma non

la forma e non si sposta










9

1.2 Plasticità di sezione / elemento In questo paragrafo si evidenzieranno gli aspetti con i quali si descrive la plasticità di una sezione sottoposta differenti condizioni di sforzo quali flessione semplice (Es. travi) o pressoflessione (Es. Pilastri) e si analizzerà come il diverso stato tensionale della sezione faccia variare la duttilità della sezione stessa.

1.2.1 Sezione soggetta a flessione semplice Lo studio della plasticità di una sezione sottoposta ad uno stato di sforzo di flessione semplice è stato eseguito considerando la sezione di una trave sottostante alle seguenti ipotesi:

- Rotazione piana delle sezioni - Piccoli spostamenti (Assenza dei problemi legati all’instabilità) - Legame elasto-plastico perfetto isotropo - Validità della teoria di De Saint-Venant

Applicando sulla sezione un momento si può studiare l’andamento delle tensioni e delle rispettive deformazioni al variare della sollecitazione agente sulla sezione.

Figura 1.2.1.I

Si definisce il fattore di forma β = <W<X . Questo fattore ci fornisce delle indicazioni sul tipo di legame costitutivo infatti:

- β = 1 Legame elasto-plastico perfetto - β > 1 Legame elasto-plastico incrudente

Figura 1.2.1.II Figura 1.2.1.III

10

Come è indicato dalla Fig.1.2.1.I, il valore del momento ultimo della sezione varia in un range compreso tra il momento di prima plasticizzazione ed il momento plastico . Lo stato tensionale ultimo ammissibile per la sezione dipende dalla capacità della stessa di sfruttare le sue risorse plastiche:

- Se al raggiungimento della plasticizzazione della prima fibra, si è raggiunta la deformazione ultima della sezione, il momento ultimo coincide con il momento di prima plasticizzazione. Questo indica che la sezione non è riuscita a sfruttare le sue risorse plastiche, poiché tutto il materiale tra la fibra più esterna (che è quella plasticizzata ) e l’asse neutro è rimasto in campo elastico.

- Se il raggiungimento del momento ultimo avviene quando alcune fibre della sezione si trovano ancora in campo elastico si ha che Z[ < Z < Z] . Lo sfruttamento della riserva di plasticizzazione della sezione dipende dalla percentuale di materiale rimasto in campo elastico.

- Il raggiungimento del momento plastico indica che la sezione ha sfruttato tutte le sue risorse plastiche.

1.2.1.1 Legame momento curvatura Il diagramma momento curvatura rappresenta l’equivalente a livello di sezione del diagramma tensione deformazione definito a livello di materiale. Tale parallelismo è riassunto nella seguente tabelle:

Parametri Materiale Sezione / Elemento

Tensionali σy My,Mp

Deformativi εy, εu χy,χu

Duttilità µ& = εε^ µ& =χ

χ^

Per definire il legame momento-curvatura si studia un concio di trave di lunghezza unitaria inflessa lungo un arco di circonferenza (Fig.1.2.2.I).

Effettuando una similitudine tra gli archi si ottiene: ,_ = + `_

Dove:

a ,_ = b = 1_ = b + ε(c) = 1 + ε(c) → 1: = + `1 + ε(c)→ + ∗ ε(c) = + ` → dε(c) = χ = 1

: → ε(c) = ` ∗ χ

Figura 1.2.1.1.I

11

1.2.1.1.1 Analisi in campo elastico

e)`+ = * ∗ ε)c+ = * ∗ ` ∗ χ)`+ = <f ∗ g → χ = <∗f :

Si ricava il valore del limite elastico in termini di curvatura χy

^ =Z^ ∗ ℎ 25i →Z^ =^ ∗ jk →χ^ = Z^* ∗ i = ^ ∗ jk* ∗ i = * ∗ ε^ ∗ jk* ∗ i = ε^ ∗ (2 ∗ i) (ℎ)⁄i = 2 ∗ ε^ℎ

1.2.1.1.2 Analisi in campo plastico Per stati tensionali tali per cui si supera il limite elastico non esiste più un legame lineare tra tensioni e deformazioni. Infatti le tensioni assumono un valore costante pari alla tensione di snervamento (σy) e le deformazioni continuano ad aumentare.

L’andamento a farfalla delle deformazioni fa si che la plasticizzazione si diffonde dalle fibre esterne a massima deformazione verso l’asse neutro, con il rispettivo nucleo elastico che si riduce di ampiezza all’aumentare del momento esterno e per il quale vale il legame elastico precedentemente trovato. Il diagramma tensionale elasto-plastico della sezione può essere scomposto come mostrato in Fig.1.2.2.2.II in modo da poter ricavare l’andamento del diagramma momento-curvatura.

Considerando che: - We è il modulo elastico del nucleo elastico - Z è il modulo plastico - Ze è il modulo plastico del nucleo elastico

- χmnχ8 = @∗[mo

ZZ^ =jk ∗ ^Z^ + p ∗ ^Z^ − ^ ∗ pkZ^

Alla linearità tra tensione e deformazione

corrisponde una linearità tra il momento e

la curvatura

Figura 1.2.1.1.2.I

Figura 1.2.1.1.2.II

12

ZZ^ = Z Z^ ∗ qjk ∗ ^Z + 1 − ^ ∗ pkZ r = β ∗ sjkp + 1 − pkp t = β ∗ s1 −pk −jkp t Dove:

- β = <n<8

- p = <nu8

Dalla relazione appena ricavata si nota come:

<<8 = (pk; jk) → apk = (gk)jk = (gk) → gk = -χmn

χ8 .: → <<8 = β ∗ c -χmnχ8 .

Dove β *Φ (χk χ^⁄ ) dipende dalla tipologia della sezione considerata.

Si effettua la trattazione svolta per il caso di sezione rettangolare: Data la geometria della sezione si ricavano la proprietà geometriche: j = 112 ∗ , ∗ ℎFℎ 25 = 16 ∗ , ∗ ℎ@; jk = 112 ∗ , ∗ (2 ∗ gk)Fgk =23 , ∗ gk@; pk = , ∗ (2 ∗ gk)@4 = , ∗ gk@; p = , ∗ ℎ@4

Sapendo che: Z] =^ ∗ , ∗ ℎ2 ∗ ℎ2 = ^ ∗ , ∗ ℎ@4

Sostituendo tali equazioni nella relazione che lega il momento alla curvatura si ricava: ZZ^ =Z Z^ ∗ s1 − pk −jkp t = 32 ∗ x1 − , ∗ gk@ − 2 3 ∗ (, ∗ gk@)⁄, ∗ ℎ@4 y = 32 ∗ x1 − gk@ 3⁄ℎ@4 y = 32 ∗ q1 − 43 ∗ -gkℎ .@r ZZ^ =32 ∗ q1 − 13 ∗ -2 ∗ gkℎ .@r = 32 ∗ z1 − 13 ∗ χk

χ^ |@ Si è cosi determinato il legame momento curvatura per una sezione rettangolare. Si riporta in seguito una tabella riassuntiva:

CAMPO ELASTICO CAMPO ELASTO-PLASTICO

RELAZIONE M-χ χ = Z* ∗ i ZZ[ = β ∗ c -χ[χ.

VALORE LIMITE DEL MOMENTO Z[ = ^ ∗ j Z] = ^ ∗ p

VALORE LIMITE DELLA CURVATURA χ[ = 2 ∗ ε[ℎ χ[χ

= 2 ∗ gkℎ

Ricavando la stessa relazione per sezioni aventi geometria diverse si nota con il parametro β aumenti all’aumentare della percentuale di materiale vicina all’asse neutro; ossia più la sezione è una sezione compatta e maggiore sarà la differenza tra il momento di prima plasticizzazione ed il momento plastico.

β Rappresenta un indice delle riserve plastiche della sezione.

13

1.2.1.1.3 Diagramma momento curvatura Per graficare il diagramma momento-curvatura si utilizza il seguente procedimento:


Data una sezione si fissa un valore χ = χ*

ε = χ∗ ∗ g

Sfruttando l’ipotesi che la sezione ruota rimanendo piana si ricava:

∗ = (ε∗)

Sfruttando il legame costitutivo si ricava:

Z∗ =∗ ∗ ig

Ricavo il momento M*

Ho un numero di punti

(M*,χ*) sufficiente a

tracciare il diagramma?

NO SI Traccio il

diagramma

M/My

χ/χy

14

1.2.1.2 La cerniera plastica Quando in una sezione la fibra più esterna si plasticizza, il legame momento curvatura diventa non lineare. Quel tratto di trave dove tutte le sezioni hanno il suddetto comportamento si può facilmente determinare dalla relazione: <W~ @5 = <X~ @5 '∆~ @5 → β = <W<X = ~~'∆~ → b ∗ β − ∆b ∗ β = b → ∆b = ~∗(β'()

β

Dall’espressione appena ricavata, si nota come Il

∆L dipende solo dal parametro β. Nel caso di trave IPE, β ≅ 1.14 ne deriva che l’estensione della cerniera plastica sarà ∆b ≅0.123 ∗ b. Per determinare l’estensione della cerniera plastica si ipotizza di espandere la plasticizzazione a tutte le fibre facenti parte la sezione e di

considerare un valore di b ≅ ∆~@ (Fig.1.2.1.3.I).

Poiché il valore della χ in campo plastico è molto maggiore di quello in campo elastico, è possibile schematizzare la deformata concentrando tutta la plasticizzazione in un punto commettendo un piccolo errore rispetto al modello reale. Tale semplificazione ci permette di trattare il problema da un punto di vista analitico-numerico e diminuisce notevolmente l‘onere computazionale dello studio di problemi complessi composti da numerosi elementi.

1.2.2 Sezione soggetta a presso-flessione

La presso flessione è uno stato di sforzo tipico degli elementi colonna, dove le generiche sezioni dell’elemento sono soggette contemporaneamente sia ad un momento che ad uno sforzo di compressione.

Si nota come a causa dello sforzo normale, l’asse neutro non è più baricentrico. Gli obbiettivi che ci si propone consistono:

- studiare l’interazione tra il momento M e lo sforzo di compressione N diagrammando le curve di interazione - studiare la variazione del diagramma momento curvatura al variare dello sforzo nomale

Figura 1.2.1.2.I

Figura 1.2.2.I

15

1.2.2.1 Analisi in campo elastico In questo paragrafo si vuole determinare il dominio di interazione M-N al limite elastico. Si ipotizza di applicare un momento ed uno sforzo di compressione tali che la fibra inferiore si sia plasticizzata. Il diagramma delle tensioni che si genera sulla sezione può essere scomposto in due diagrammi: un diagramma dato dall’applicazione del solo momento flettente (flessione semplice) e l’altro dato dall’applicazione del solo sforzo di compressione (Fig.1.2.2.1.I).

eZ = ∗ j = ∗o ∗ ′ = , ∗ ℎ ∗ (^ − ) → u8u = o @5 ^9o @5 = 1 + @∗o9o : → ^ = ∗ 1 + @∗o9o

Determino i valori di N e M al limite elastico

Z[ = , ∗ ℎ@6 ∗ ^ =, ∗ ℎ@6 ∗ ∗ -1 + 2 ∗ ℎ&ℎ .

[ = , ∗ ℎ ∗ ^ = , ∗ ℎ ∗ ∗ -1 + 2 ∗ ℎ&ℎ . : Normalizzo i valori di N e M rispetto ad NY e MY

ZZ[ = 11 + 2 ∗ g& ℎ5[ = 1 − 11 + 2 ∗ g& ℎ5

→ [ = 1 − ZZ[ = 1 −Z ∗ βZ] : La relazione

X = <<X descrive nel piano N-M la curva interazione limite elastica che rappresenta quei valori di N

ed M per cui si elasticizza la prima fibra della sezione:

1.2.2.2 Analisi in campo plastico In questo paragrafo si vuole determinare il dominio di interazione M-N al limite plastico. Si ipotizza di applicare un momento ed uno sforzo di compressione tali che l’intera sezione si sai plasticizzata. Il diagramma delle tensioni che si genera sulla sezione può essere scomposto in due diagrammi (Fig.1.2.2.2.I).

Figura 1.2.2.1.I

Figura 1.2.2.1.II

Figura 1.2.2.1.I

Figura 1.2.2.2.I

16

a = 2 ∗ , ∗ ^ ∗ g&Z = p ∗ ^ −p[& ∗ ^ : Dove:

p = , ∗ ℎ@4p[& =, ∗ (2 ∗ g&)@4

: Determino i valori di N e M al limite plastico

6 [ = , ∗ ` ∗ ℎZ] = p ∗ ^ =^ ∗ , ∗ ℎ@4 : Normalizzo i valori di N e M rispetto ad NY e MP

NN =2 ∗ b ∗ Y& ∗ σb ∗ h ∗ σ =2 ∗ Y&hMM =σ ∗ b ∗ (h@ − 4 ∗ Y&@)4 ∗ 4σ ∗ b ∗ h@ → MM = 1 − -2 ∗ Y&h .@ = 1 − - NN.@ : La relazione

< = X descrive nel piano N-M la curva interazione limite plastica che rappresenta quei valori di N

ed M per cui tutta la sezione si è plasticizzata:

1.2.2.3 Confronti Se rappresento le due curve di interazione sullo stesso piano N-M si possono effettuare differenti considerazioni:

Figura 1.2.2.3.I

Figura1.2.2.2.II

17

Data una sezione sottoposta ad un momento M* ed una forza di compressione N* inferiori a limite elastico si può ricavare il valore del moltiplicatore dei carichi che mi porta la sezione al limite elastico come : = g

Arrivati sulla superficie di interazione limite elastico si può arrivare sulla superficie di interazione limite plastico aumentando ulteriormente i valori di M ed N. La lunghezza del segmento tra le due curve di interazione è un indice delle riserve plastiche della sezione in funzione del tipo di sollecitazione a cui la sto sottoponendo:

- Percorso 1 Si mantiene N = cost e si aumenta il solo momento flettente, la lunghezza del percorso fornisce indicazioni sulle risorse plastiche flessionali della sezione.

- Percorso 2 Si mantiene M = cost e si aumenta la sola forza di compressione, la lunghezza del percorso fornisce indicazioni sulle risorse plastiche che la sezione ha a compressione.

- Percorso 3 Si aumenta in maniera proporzionale sia N che M, la lunghezza del percorso fornisce indicazioni sulle risorse plastiche che la sezione ha a presso-flessione.

Una sezione prevalentemente compressa ha una bassa riserva di plasticità poiché quando si elasticizza la prima fibra si elasticizzano tutte le altre.

1.2.3 Considerazioni Si considera l’elemento descritto in Fig.1.2.3.I soggetto ad un forza concentrata V

Incrementando l’entità della forza V, alcune parti dell’elemento iniziano a platicizzarsi. A partire dalla Fig. 1.2.3.I, continuando ad incrementare il carico V, si analizzano due differenti condizioni di plasticizzazione:

Condizione A Condizione B

Figura 1.2.2.3.II

Figura 1.2.3.I

Alcune fibre

dell’elemento si

plasticizzano

Figura 1.2.3.II Figura 1.2.3.III

18

Poiché nella condizione B si è arrivati alla plasticizzazione di tutta una sezione, risulta la condizione più gravosa. Infatti in quando l’elemento ha raggiunto la condizione B, se si aumenta ulteriormente la forza V si porta l’elemento al collasso(Vedi curva pushover Fig.1.2.3.IV).

ATT. Oltre a controllare che la forza V sia sempre minore dalla capacità portante dell’elemento, si deve controllare che le deformazioni che si verificano in capo plastico siano contenute entro certi valori. Infatti nella realtà, il legame costitutivo non è elasto plastico-perfetto ma oltre valori di deformazione all’incirca pari al 5%, si rischia la rottura per lacerazione dell’elemento.

1.3 Plasticità di sistema

1.3.1 Richiami

1.3.1.1 Definizione di duttilità Si definisce la duttilità quel rapporto tra lo spostamento ultimo di collasso e quello misurato alla formazione della prima cerniera plastica.

Figura 1.3.1.1.I

1.3.1.2 Definizione di collasso Esistono differenti tipologie di collasso che sono riassunte nel tabella seguente

COLLASSO

GLOBALE

LOCALE

In seguito alla formazione di N° cerniere plastiche , la

struttura diventa un cinematismo

In seguito alla formazione di N° cerniere plastiche , si verifica

un cinematismo di una sola parte della struttura

Figura 1.2.3.IV

19

A) Collasso globale A1) trave appoggiata

Figura 1.3.1.2.I

Quando in mezzeria si raggiunge il valore del momento di plasticizzazzione si forma una cerniera plastica. Con la formazione della cerniera si genera un cinematismo dovuto al fatto che sono presenti tre cerniere allineate. Sistema isostatico : Basta la creazione di una sola cerniera plastica per innescare un cinematismo di collasso. A2) Telaio incastrato

Figura 1.3.1.2.II

Sistema 3 volte iperstatico : affiche si inneschi il cinematismo di collasso si devono formare 4 cerniere plastiche Conclusione: in una struttura n volte iperstatica si verifica un collasso globale quando si sono formate n+1 cerniere plastiche. B) Collasso locale

Figura 1.2.1.2.III

20

1.3.2 Ridistribuzione dei carichi Per ridistribuzione dei carichi si intende quel processo dove una struttura in seguito alla formazione delle prime cerniere plastiche può sopportare un ulteriore incremento di carico.

Consideriamo un trave incastrata con un carico verticale distribuito uniformemente: Il momento massimo è dato dal valore del momento nei

due incastri:

dZ= = 112@Z = 112@:

Quando il momento negli incastri eguaglia il momento

di plasticizzazione della sezione, si generano

contemporaneamente due cerniere plastiche:

Z= = Z =Z] =∗@12

In seguito alla formazione delle cerniere il sistema cambia schema statico da trave incastrata a trave appoggiata con agli estremi applicato un momento pari

al momento di plasticizzazione della sezione. Il sistema arriverà al collasso quando : Z =@8 = Z]

Dove P = P*+ ∆P In seguito alla formazione delle prime cerniere plastiche il sistema puo sostenere un ulteriore incremento di carico

pari a ∆P prima di arrivare al collasso: Z] =Z +Z =∗@24 + ∆@8 → ∆ =Z] − ∗@24 | ∗ 8@

Sostituendo all’equazione appena trovata il valore di ∗ =Z] ∗ 12@ Si ricava:

∆ =4 ∗ Z]@ M

= ∗ + ∆ =16 ∗ Z]@

Si ricava l’incremento di carico in percentuale: − ∗∗ ∗ 100 = 33% Diagramma dei momenti prima della formazione delle cerniere plastiche agli incastri:

Figura 1.3.2.II

Figura 1.3.2.I

21

Diagramma dei momenti dopo la formazione delle cerniere plastiche agli incastri:

Figura 1.3.2.III

ATT.!!! Il sistema è 3 volte iperstatico, quindi ci dovremmo aspettare la formazione di 4 cerniere plastiche affinché si inneschi un cinematismo di collasso. Tuttavia il sistema collassa alla formazione della 3° cerniera plastica poiché allineata con le altre due.

1.3.3 Capacità portante in campo elasto-plastico Nel seguente paragrafo si andrà a determinare l capacità portante di un sistema strutturale, considerando un legame di tipo elasto-plastico. IPOTESI:

- I carichi aumentano proporzionalmente - Modello di plasticità concentrata (cerniere plastiche) o diffusa. - Assenza del fenomeno dell’instabilità

DATI DEL PROBLEMA: - Strutturali: geometria, rigidezze, vincoli - Distribuzione dei carichi - Legame costitutivo elasto.plastico

OBBIETTIVI ANALISI: - Determinazione del moltiplicatore dei carichi che porta il sistema al collasso (λult) - Determinazione del moltiplicatore dei carichi cui corrisponde la formazione della prima cerniera plastica (λy)

METODI DI ANALISI: - Analisi incrementale: Porta alla determinazione di λult,λy - Soluzione analitica - Analisi limite : Porta alla determinazione di λult

1.3.3.1 Analisi Incrementale (Pushover)

L’analisi di pushover è un tipo di analisi non lineare statica che consiste nell’applicare distribuzioni di forze o spostamenti progressivamente crescenti alla struttura in modo da poter studiare la risposta del sistema in termini elasto-plastici fino al collasso globale o locale. Si è eseguita questo tipo di analisi su un telaio di Fig.1.3.3.1.I

DATI: Tutte le sezioni sono uguali e caratterizzate come segue:

- Duttilità infinita - My = Mu = 500 kNm

All’aumentare del parametro λ aumenta anche il diagramma dei momenti in tutto il sistema. Quando nella sezione più caricata si è raggiunto il limite plastico, si forma una cerniera plastica. In seguito alla formazione della cerniera plastica il sistema cambia schema statico ed i successivi incrementi agiranno sul nuovo schema statico (Fig1.3.3.1.II).

Figura 1.3.3.1.I

22

Dopo la formazione della cerniera plastica, si deve controllare che in seguito alla redistribuzione del momento la sezione che si era candidata per la prossima plasticizzazione (la sezione con il secondo valore di momento più grande) rimanga tale. Questo potrebbe non avvenire a causa del cambio dello schema statico che porta a massimizzare il momento in una sezione differente rispetto a quella identificata nello schema statico originario. Il problema elasto-plastico viene quindi risolto come una successione di problemi elastici, ognuno dei quali è caratterizzato da un differente schema statico ed un carico maggiorato di λ.

Figura 1.3.3.1.II

Quando si forma la 4° cerniera plastica il sistema diventa labile e si innesca un cinematismo di collasso (Fig.1.3.3.1.III):

Figura 1.3.3.1.III

Dall’analisi incrementale si ricavano i valori di: λult = 31.3 λy = 25.5 Se si rappresenta nel grafico l’andamento del moltiplicatore λ rispetto allo spostamento orizzontale del vertice in alto a destra si ricava la curva di pushover (Fig.1.3.3.1.IV).

Dalla curva di Pushover si può ricavare la duttilità del nostro sistema che è pari a :

µ = δδ^

Figura 1.3.3.1.IV

23

1.3.3.2 Soluzione analitica Nel seguente paragrafo si ricaveranno i valori limite per il campo elastico e plastico risolvendo in forma chiusa le equazioni derivanti da un sistema composto da tre aste:

Figura 1.3.3.2.I

1.3.3.2.1 Analisi in campo elastico Per determinare i valori limite del campo elastico si procede con il metodo degli spostamenti nell’ipotesi di piccoli spostamenti:

1) Si impone uno δ all’asta 2) Si scrive la congruenza 3) Si ricava l’equilibrio = g = ¡ = ¢: → δ = b ∗ ε = b ∗ * = b ∗ * ∗ → = * ∗ ∗ δb

¡ →dδ = δ ∗ cos -Π4.ε =δb = g* ∗ →δ ∗ cos(Π/4)b/ cos(Π/4) : → g = δ ∗ * ∗ b ∗cos@ -Π4.→ = 2 ∗ g

Poiché si sta lavorando con l’ipotesi di piccoli spostamenti, si ipotizza che nella configurazione deformata l’angolo a

45 gradi rimanga tale e che quindi se scriviamo l’equilibrio: + 2 ∗ g ∗ cos Π¦ =

Si risolve il sistema:

6 + 2 ∗ g ∗ cos -Π4. = → §, = 2 ∗ g → §¢¨ : → g = 2 + √2 = 2 ∗ 2 + √2

: Poiché X > Y la prima asta che si elasticizzerà sarà Poiché il legame è elasto-plastico perfetto, la plasticizzazzione avverrà quando: = 2 ∗ 2 + √2 = ^ ∗ →k =©2 + √2ª2 ∗ ^ ∗ →δk =b ∗ k* ∗ = b ∗ ^* Pel e δel Rappresentano rispettivamente quel valore del carico e dello spostamento per cui si forma la prima cerniera

plastica nell’asta .

1.3.3.2.2 Analisi in campo elasto-plastico

Si prosegue con l’analisi del sistema tenendo contro che l’asta si è plasticizzata e che quindi al suo interno sarà presente un valore di sforzo assiale costante:

24

6 = ^ ∗ = 2 ∗ g ∗ cos©Π 45 ª = − ∗ ^ → g = − ∗ ^√2 : Le aste ¡¢si elasticizzeranno quando : gk = ∗ ^ =«¬ − ∗ ^√2 →«¬ = ∗ ^ ∗ ©1 + √2ª

Quando il carico raggiunge il valore di Pcr si plasticizzano le aste ¡¢ e la struttura collassa. Si calcola la sovra resistenza come: «¬k = 1 + √2©2 + √2ª2 = √2 = 1.4 → +40% M′.

Si è poi determinato il δcr:

ε =∆bb = g* ∗ →δ ∗ cos©Π 45 ªb cos©Π 45 ª® = g* ∗ → δ«¬ = ∗ ^ ∗ b* ∗ ∗ cos©Π 45 ª@ = ^ ∗ b* ∗ -1 √25 .@ =2 ∗ ^ ∗ b* = 2 ∗ δk

Lo spostamento ultimo è pari a due volte quello al limite elastico, ovvero +100% di duttilità.

1.3.3.2.3 Fase di scarico del sistema

Si effettua uno scarico del sistema nella condizione di collasso incipiente dove l’asta si è già plasticizzata mentre

le aste ¡¢ no. Il comportamento del sistema è elastico lo scarico comporta:

- L’asta recupererà parte della deformazione plastica, risultando cosi compressa

- Le aste ¡¢ non riescono a recuperare tutta la loro deformazione elastica a causa della plasticizzazione

avvenuta in che si oppone a tale recupero, risultando cosi tese.

Se definiamo ∆P lo scarico si puo ricavare:

g = 2 + √2 = 2 ∗ 2 + √2

: → ∆g = ∆2 + √2∆ = 2 ∗ ∆2 + √2

Si definisce lo stato di sforzo assiale residuo nelle aste dopo lo scarico come:

¯k? = «¬ − ∆g k? = g«¬ − ∆g →

¯k? = ∗ ^ ∗ 1 − 2 ∗ ©1 + √2ª2 + √2 |

g k? = ∗ ^ ∗ 1 − ©1 + √2ª2 + √2 | :: →¬k? = −^ √22 + √2g¬k? = ^ 12 + √2

: Si nota come anche nella fase di scarico || = 2 ∗ |g| come accadeva nella fase elastica di carico. Si sono rappresentate le fasi di carico e scarico in un diagramma normalizzato Fig.1.3.3.2.3.I

25

Figura 1.3.3.2.3.I

1.3.3.3 Analisi Limite Questo metodo si basa su un principio energetico e data una distribuzione di carichi sulla struttura, permette di trovare il moltiplicatore ultimo di questi carichi λult. Per utilizzare il suddetto metodo si definisce la superficie limite nello spazio delle tensioni o dei carichi esterni, come quel luogo di punti che indicano uno stato di sollecitazione che porta la struttura al collasso.

Superficie limite nello spazio delle tensioni Superficie limite nello spazio dei carichi

Affinché sia garantito che data una combinazione di carichi il moltiplicatore λult è il massimo di quelli ammissibili, la superficie limite deve essere convessa. Infatti se si ipotizza di avere una superficie limite concava:

Chiamato ±² il versore della retta che rappresenta il percorso di carico si possono definire:

¡³³³³³ = ∗ (

*³³³³³ = ∗ @

§³³³³³ = ∗ F

Si può quindi definire che λ3 = λmax = λult ma esiste un λi < λmax che porta il sistema sulla superficie limite. In conclusione: affinchè ∃! ¸ =¹º» la superficie limite deve essere convessa.

¼½ + √½

− √½½ + √½

½ + √½½ ¼ + √½

Figura 1.3.3.3.I Figura 1.3.3.3.II

Figura 1.3.3.3.III

26

Per determinare il valore del moltiplicatore dei carichi che porta il sistema al collasso, è molto utile conoscere la superficie limite nello spazio dei carichi esterni applicati. Tuttavia, mentre si conoscono tali superfici nello spazio delle tensioni (criterio di Tresca e VonMises) , disegnare la superficie limite nello spazio Pi/Pj è molto complicato a causa delle numerose variabili che entrano in gioco come i vincoli, la struttura ed i carichi stessi. Per ovviare a questo problema e calcolare il λult si utilizzano 3 differenti teoremi:

- Teorema Statico

λcr è il massimo tra quelli staticamente ammissibili, compatibili con resistenze e vincoli.

- Teorema Cinematico

λcr è il minimo tra quelli cinematicamente ammissibili con vincoli esterni ed interni.

- Teorema Unicità

λcr tra tutti i λ possibili è l’unico che ammette stati sia cinematicamente che staticamente ammissibili.

Si determina con il metodo dell’analisi limite il valore del λult per un asta incastrata da un lato ed incernierata

dall’altro sottoposta ad una distribuzione di carichi come illustrato in Fig.1.3.3.2.IV

ipotesi: -Le sezioni ruotano rimanendo piane -Piccoli spostamenti -Legame costitutivo elasto-plastico perfetto -Duttilità infinità -I carichi aumentano proporzionalmente

Figura 1.3.3.3.IV

27

1.3.3.3.1 Il teorema statico Si vuole determinare il valore del carico critico (Pcr) con il teorema statico: 1) poiché si sta studiando u n problema iperstatico si studia il problema 1 ed il problema 2

Sommando il diagramma del momento dei due problemi si ottiene:

Problema uno ¾( = ¾@ = Z= = ¾′( ∗ = ∗ Z = ¾′( ∗ ( + ,) − ∗ , = ∗ Problema due ¾′′( =χb ¾′′@ = −χb Z′′= =−¾′′( ∗ = χb ∗ Z′′ =−¾′′( ∗ ( + ,) = χb ∗ ( + ,) Z′′« = χ Sommo i due problemi: Z= = Z= −Z= = − χb ∗ Z = Z −Z = ∗ − χb ∗ ( + ,) Z = Z = χ Condizioni di ammissibilità

1) Z= ≤ Z] →Z] ≥ − χ~ ∗

2)Z ≤ Z] →Z] ≥ ∗ − χ~ ∗ ( + ,)

3)Z ≤ Z] →Z]χ

poiché la trave ha un grado di iperstaticità pari a 1, se non sono soddisfatte due delle tre

condizioni di ammissibilità appena elencate, si innesca un meccanismo di collasso locale o globale. Se si formano le cerniere plastiche in A ed in B si innesca un meccanismo di collasso locale:



Figura 1.3.3.3.1.II

28

Affinché si inneschi un meccanismo di collasso globale deve formarsi la cerniera plastica in C + qualla in A o B

Si determinano i valori di Pcr per le due differenti condizioni: 1) Formazione delle cerniere plastiche in A e C

e«¬ − Âb ∗ = Z]Â = Z] →«¬ = Z] +Z]b = Z]b +Z]b : 2) Formazione delle cerniere plastiche in B e C

e«¬ ∗ − Âb ∗ ( + ,) = Z]Â = Z] →«¬ = Z] +Z] ∗ ( + ,)b ∗ = Z] ∗ b +Z]( + ,)b ∗ : Per il teorema statico si deve scegliere come valore di Pcr il massimo tra quelli staticamente ammissibili e compatibili con resistenze e vincoli. Nel caso 2 ho un valore di Pcr maggiore rispetto a quello calcolato nel caso 1. Tuttavia poiché si nota che il MA è maggiore del MB, e che quindi si formerà sempre prima la cerniera nel punto A, si sceglie come valore di Pcr quello ottenuto dal caso 1 perche staticamente ammissibile.

1.3.3.3.2 Il teorema cinematico

Si vuole determinare il valore del carico critico (Pcr) con il teorema cinematico: 1) Si devono individuare tutti i possibili cinematismi Per determinare i possibili cinematismi bisogna identificare le zone dove si possono formare le cerniere plastiche: - Le zone in corrispondenza di carichi e vincoli - Le zone in corrispondenza di cambiamenti bruschi di rigidezza/sezione poiché comportano una discontinuità dei momenti di inerzia (Fig.1.3.3.2.2.I)

Fig.1.3.3.3.2.I 2)Pcr è quel valore che corrisponde al cinematismo con la minor energia spesa nel lavoro di collasso Aggiungendo alle ipotesi fatte al Par.1.3.3.2 quella di deformazioni plastiche ≫ deformazioni elastiche si possono determinare i soli due cinematismi possibili per il nostro problema: Caso_1

Figura 1.3.3.3.2.II

Figura 1.3.3.3.1.IV Figura 1.3.3.3.1.V

29

Si determinano i lavori esterno ed interno e si impone l’uguaglianza tra di essi:

6b(. = «¬( ∗ Ä= + «¬( ∗ Ä= ∗ + ,b(. = Z] ∗ Å= +Z] ∗ Å : → «¬( ∗ Ä= + «¬( ∗ Ä= ∗ + , = Z] ∗ Å= +Z] ∗ Å

Dove :

dÅ= = ÅÆ + Å =Ä= + Ä= + ,Å = Ä + ,:

Caso_2


Si determinano i lavori esterno ed interno e si impone l’uguaglianza tra di essi:

6b@. = «¬@ ∗ Ä + «¬@ ∗ Ä ∗ + ,b@. = Z] ∗ Å +Z] ∗ Å →«¬@ ∗ Ä + «¬@ ∗Ä ∗ + , = Z] ∗ Å +Z] ∗ Å : Dove :

Å = Å′ + Å′Æ =Ä + Ä + ,Å = Ä

: Poiché il sistema è emisimmetrico si nota che : δ=ÇÈÉÊ , Å′ =Å , Å′ >Å

Quindi: b@. > b(.→ ab@. = [email protected](. = b(.: → b@. > b(.→δ=ÇÈÉÊ →«¬@ > «¬( Poiché per il teorema cinematico bisogna prendere il minore tra i Pcr si considera il P1

cr . «¬( ∗ Ä= + «¬( ∗ Ä= ∗ + , = Z] ∗ CÄ= + Ä= + , + Ä= + ,D «¬( ∗ 1 + + , = Z] ∗ s b + ∗ ( + ,)t →«¬( ∗- b + ,. = Z] ∗ s b ∗ ( + ,) + 1 + ,t «¬( = Z] ∗ -1 + 1b. → «¬( = Z] ∗ -Z] ∗ b +Z] ∗ ∗ b .

Si è ottenuto lo stesso valore fornitoci dal teorema statico Par.1.3.3.2.1., infatti per il teo. Unicità, il Pcr è l’unico che soddisfa entrambi i criteri.

30

1.3.3.3.3 Strutture intelaiate In questo par. si vuole andare a determinare una superficie limite per un telaio 1 volata iperstatico su cui agisce una distribuzione di carichi come illustrato in figura 1.3.3.2.3.I.


Si utilizza il teorema cinematico. 1) si identificano i possibili cinematismi di collasso:

31

Figura 1.3.3.2.3.III 1+Ë ∗ Å ∗ ℎ = Z]Ì∗Å +Z]Í ∗ Å 2) − Ë ∗ Å ∗ ℎ = Z]Ì ∗ Å +Z]ÍÅ 3)ËÅℎ + 12Å = Z]Î2Å +Z]Í2Å

4) − ËÅℎ − 12 Å = Z]Ì2Å +Z]Î2Å

5)ËÅℎ − 12Å = Z]Ì2Å +Z]Î2Å

6) − ËÅℎ + 12 Å = Z]Ì2Å +Z]Î2Å

Sono equazioni dirette, nel piano (H,V). 1)Ë = Z]Ì +Z]Í = 2) − Ë = Z]Ì +Z]Í = 3)Ë = − 2ℎ + 2Z]Îℎ + 2Z]Íℎ = − 2ℎ + 4) − Ë = 2ℎ + 2Z]Ìℎ + 2Z]Îℎ = 2ℎ +

5)Ë = 2ℎ + 2Z]Ìℎ + 2Z]Îℎ = 2ℎ +

6) − Ë = − 2ℎ + 2Z]Ìℎ + 2Z]Îℎ = − 2ℎ +

Diagrammando le equazioni appena ricavate nel piano H/V si determina: Se si ipotizza che H = V, il percorso di carico è descritto nel piano H/V dalla semiretta che fa da bisettrice del primo quadrante. Il valore di λcr è quel valore necessario per traslare il punto P0 , rappresentativo delle condizioni iniziali, al punto Pcr , rappresentativo delle condizioni di collasso. La distanza tra Pcr e P0 indica quanto il telaio è lontano dalle condizioni di collasso.

Figura 1.3.3.3.3.IV

32

Se si considera un telaio incastrato alla base si può ricavare, sempre attraverso il teorema cinematico, la superficie

limite illustrata in Fig.1.3.3.2.3.V

Figura 1.3.3.3.3.V

Entrambe le superfici limite viste sono doppiamente simmetriche. Questo poiché il momento d’inerzia delle sezioni

in acciaio è identico nelle due direzioni. Se questo non fosse vero si avrebbero delle superfici limite non simmetriche

33

PARTE 2 : FENOMENI DI INSTABILITA’

2.1 Introduzione ai fenomeni di instabilità Si consideri un sistema strutturale in una configurazione di equilibrio: in tale situazione, i carichi esterni applicati sono equilibrati dalla risposta strutturale. Sottoponendo l’elemento a carichi progressivamente crescenti, si possono manifestare spostamenti rilevanti rispetto alla configurazione iniziale della struttura scarica che in alcuni casi possono provocare il collasso della struttura. Tali spostamenti sono prodotti dal fenomeno dell’instabilità. E’ di interesse ingegneristico lo studio dei fenomeni di instabilità che in determinate circostanze (intensità di carico, geometria strutturale, tipo di vincoli) possono condurre una struttura al collasso, senza che la struttura stessa abbia raggiunto il limite di resistenza del materiale di cui è costituita. Esempi di instabilità in una struttura metallica sono : l’instabilità locale di una o più flange di travi o colonne, l’instabilità individuale delle colonne per carico di punta; l’instabilità globale di tutta la struttura.

2.1.1 Problemi di stabilità semplici o euleriani La gran parte dei problemi di instabilità per i sistemi strutturali reali appartiene alla categoria dei problemi di stabilità semplici o euleriani che sono caratterizzati dalle seguenti condizioni: Il sistema strutturale sotto esame ammette una configurazione banale, che si amplifica linearmente in maniera limitata al crescere del moltiplicatore dei carichi λ, risultando al limite trascurabile. Il sistema possiede dunque linearità pre-critica. La struttura deve composta di un materiale con comportamento elastico lineare e gli effetti delle non linearità geometriche non sono sentiti in fase pre-critica. Avvalendoci di queste ipotesi si possono scrivere le equazioni di equilibrio nella configurazione deformata utilizzano approssimazioni analitiche (confondere angolo con la sua tangente ecc…). Si può definire l’energia potenziale totale per il sistema strutturale, che è quindi conservativo. La determinazione del minimo valore del moltiplicatore dei carichi λ che mi innesca l’instabilità della struttura avviene attraverso un problema agli auto valori e alle autofunzioni (nei casi continui) o agli auto vettori (nei casi discreti). I problemi Euleriani di stabilità sono quindi caratterizzati dalla presenza di una configurazione di equilibrio (non necessariamente indeformata) che è legata linearmente al carico (in fase pre-critica si ha un comportamento lineare). Il carico deteriora la rigidezza che la struttura presenta nei confronti dei modi deformativi ortogonali alla configurazione banale. Raggiunto un determinato valore detto carico critico euleriano la rigidezza nei confronti di uno di questi modi si annulla ed il modo si sovrappone alla soluzione banale dando luogo ad una biforcazione nel percorso di equilibrio. In seguito a modestissimi incrementi di carico, poiché la struttura è priva di rigidezza si allontana dalla configurazione banale diventata adesso di equilibrio instabile verso una nuova configurazione di equilibrio stabile.

2.1.2 Determinazione del carico critico Si possono determinare i valori dei carichi critici di instabilità attraverso Il criterio statico ed il criterio energetico.

2.1.2.1 Il criterio statico In tale criterio il calcolo del carico critico è ricondotto alla ricerca dei punti di biforcazione nei percorsi rappresentativi della risposta strutturale, quando l’equilibrio diviene possibile in configurazioni adiacenti a quella banale (ramo pre-critico). Il carico critico di instabilità sarà il più piccolo valore di λ in corrispondenza del quale, accanto alla configurazione di equilibrio iniziale banale, esiste un ulteriore non banale configurazione di equilibrio. Nel criterio statico si abbandona la teoria del I° ordine, che con le sue ipotesi garantiva l’unicità della soluzione e non permetteva di determinare i punti di biforcazione, e si opera con la teoria del II° ordine. In tale teoria si rimuove solo parzialmente l’ipotesi di piccoli spostamenti presente nella teoria del I° ordine. Infatti si scrive l’equilibrio in una configurazione deformata ma ci si avvale lo stesso delle semplificazioni analitiche derivanti dal considerare piccoli spostamenti.

34

2.1.2.2 Il criterio energetico

Il criterio energetico deriva dalla considerazione che l'energia potenziale elastica totale ha derivata prima nulla in corrispondenza di una configurazione di equilibrio. Da questa considerazione, se quel punto rappresenta un massimo l'equilibrio è instabile, se rappresenta un minimo è stabile. Il carico critico di inabilità sarà quel valore di λ che sarà un massimo per l’energia potenziale elastica totale (il fatto di tenere nell’espressione analitica dell’energia i termini fino al secondo ordine , denota la cosiddetta teoria del II° ordine).

2.1.3 Sistemi discreti elementari Un sistema si definisce discreto se è possibile individuarne univocamente la configurazione attraverso un numero finito di N variabili dette coordinate lagrangiane. In tali sistemi scrivendo l’equilibrio tra sollecitazioni interne ed esterne, con riferimento alla configurazione perturbata (criterio statico) , si ricava l’equazione omogenea che risolve il problema, unitamente alle condizioni al contorno. L’equazione di equilibrio in forma vettoriale: ( KE-λKG )∙u = 0 Dove: u rappresenta il vettore delle coordinate lagrangiane KE rappresenta la matrice di rigidezza elastica ed è assunta costante (comportamento lineare del materiale) KG rappresenta la matrice di rigidezza geometrica che incorpora l’influenza che i carichi presenti nella configurazione banale esercitano per effetto di un cambiamento di geometria Il sistema ammette soluzioni diverse da quella banale (il sistema rimane nella configurazione indeformata) solo se il determinante della matrice ( KE-λKG ) è pari a zero. Risolvendo l’equazione det( KE-λKG ) = 0 si determinano N autovalori (il sistema ha N g.d.l.), dove ad ognuno di essi corrisponde un punto di biforcazione dell’equilibrio. Agli N autovalori saranno associati N autovettori che rappresentano le N deformate modali che il nostro sistema assume lungo il percorso di equilibrio diramato. Poiché gli autovettori sono definiti a meno di una costante moltiplicativa non è possibile determinare l’ampiezza della deformata critica ,anche in segno, ma solo la sua forma.

Fig. 2.1.3.I

Pcr

P

θ

35

Se si rimuove l’ipotesi di spostamenti geometricamente piccoli l’analisi di un sistema perfetto ad un grado di libertà porta all’individuazione di tre diversi comportamenti post-critici: STABILE SIMMETRICO Il carico che la struttura può sopportare dopo il raggiungimento del carico critico aumenta all’aumentare dello spostamento.

Fig. 2.1.3.II

INSTABILE SIMMETRICO Il carico che la struttura può sopportare dopo il raggiungimento del carico critico diminuisce all’aumentare dello spostamento.

Fig.2.1.3.III

ASIMMETRICO L’elemento diventa più resistente se lo spostamento è in una direzione, meno resistente se lo spostamento avviene nella direzione opposta.

Fig.2.1.3.IV

2.1.4 Presenza delle imperfezioni Le imperfezioni, cui tutte le aste reali sono soggette, non possono essere trascurate, poiche esse determinano una capacità portante minore di quella indicata dai carichi critici di biforcazione valutati su modelli perfetti. Se si considerano le imperfezioni l’equazione di equilibrio diventa non omogenea, assumendo la forma: ( KE-λKG )∙u = F

P

θ

Pcr

Pcr

P

θ

P

θ

Pcr

36

La presenza del termine noto F fa si che la configurazione indeformata u = 0 non sia necessariamente di equilibrio e ripristina l’unicità della soluzione, ossia la struttura presenta un unico ramo di equilibrio. I percorsi di equilibrio, rappresentati nel capitolo precedente nel caso privo di imperfezioni, per cause delle stesse vengono cosi modificati: Comportamento STABILE SIMMETRICO

Fig.2.1.4.I

Comportamento INSTABILE SIMMETRICO

Fig.2.1.4.II

Comportamento ASIMMETRICO

Fig.2.1.4.III

Si osserva come i percorsi di equilibrio ottenuti in assenza di imperfezioni rappresentano linee asintotiche per la risposta strutturale in presenza di imperfezioni.

P

θ

Pcr

θ

Pcr

P

θ

Pcr

P

37

2.2 Studio del comportamento critico e post-critico di un’asta rigida In classe è stato studiato il percorso di equilibrio di un asta rigida sottoposta a diverse condizioni di vincolo. Tali condizioni sono state scelte in modo che ognuna di esse mi determini un differente comportamento post-critico dell’asta.

2.2.1 Condizione di vincolo 1 (Comportamento post-critico stabile simmetrico) Si considera un asta rigida dove si bloccano gli spostamenti orizzontali e verticali dell’estremo inferiore con un vincolo di cerniera perfetto e si ipotizza di concentrare tutta le deformabilità dell’asta nella molla rotazionale di rigidezza k posta alla base della stessa. Cosi facendo si ottiene un sistema ad un unico grado di liberta di cui si è determinato l’autovalore (λcr) ed il rispettivo autovettore (la deformata modale).

DATI: P = 1 kN K = 100 kNm/rad L = 4000mm Fig.2.2.1.I

Il moltiplicatore dei carichi λcr ed il comportamento post- critico del sistema sono stati determinati utilizzando i due criteri:

2.2.1.1 Il criterio statico

2.2.1.1.1 Trattazione completa

IPOTESI Legame elastico lineare Invarianza delle condizioni al contorno SVOLGIMENTO Si determinano la componenti dello spostamento del punto B

a = b ∗ sin ÅM = b ∗ )1 − cos Å+: Si scrive l’equilibrio nella configurazione deformata Ð Z= = 0 → − ∗ + ∗ Å →− ∗ b ∗ sinÅ + ∗ Å = 0

(Å) = b ∗ ÅsinÅ

Si ottiene cosi il ramo post-critico rappresentato in fig.2.1.3.II

Fig.2.2.1.1.1.I

38

2.2.1.1.2 Linearizzazione degli spostamenti IPOTESI Alle ipotesi fatte nel par. precedente si aggiunge una terza riguardante l’entità degli spostamenti; ossia si ipotizza di avere piccoli spostamenti in modo da poterli descrivere come quantità cinematiche del primo ordine.

Ñ)A+ = Ð 3()!Ò

3Ç& ∗ (A − )3 → esin Å ≅ Åcos Å ≅ 1tanÅ ≅ Å: SVOLGIMENTO Si determinano la componenti dello spostamento del punto B a = b ∗ ÅM = 0 : Si scrive l’equilibrio nella configurazione deformata ÐZ= = 0 → − ∗ + ∗ Å →− ∗ b ∗ Å + ∗ Å = 0

«¬ = b∀Å

Si è cosi determinato il valore del carico «¬ a cui corrisponde il punto di biforcazione dell’equilibrio. Il percorso di equilibrio della struttura è rappresentato in Fig.2.1.3.I


2.2.1.2.1 Trattazione completa IPOTESI Si considerano le stesse ipotesi fatte al Par.2.2.1.1.1 SVOLGIMENTO Si determinano la componenti dello spostamento del punto B (cinematismo rappresentato in Fig. 2.2.1.1.1.I) a = b ∗ sin ÅM = b ∗ (1 − cosÅ): Si determina l’energia potenziale totale del sistema * ¸ =*k?¸ + *K3¸ =− ∗ M + 12 ∗ ∗ Å@ =− ∗ b ∗ (1 − cos Å) + 12 ∗ ∗ Å@

Si determina il punto di minimo dell’energia potenziale totale che rappresenta il punto di equilibrio del sistema Õ* ¸ÕÅ = − ∗ b ∗ sin Å + ∗ Å = 0 → (Å) = b ∗ ÅsinÅ Si ottiene cosi il ramo post-critico rappresentato in fig.2.1.3.II

2.2.1.2.2 Linearizzazione degli spostamenti IPOTESI Si considerano le stesse ipotesi fatte nei Par.2.2.1.1.1 e 2.2.1.1.2 estendendo lo sviluppo in serie di Taylor fino a termini del secondo ordine.

d sin Å ≅ Åcos Å ≅ 1 − Å@2tanÅ ≅ Å : SVOLGIMENTO Si determinano la componenti dello spostamento del punto B

6 = b ∗ ÅM = b ∗ 1 − 1 + Å@2 | = b ∗ (Å@2 ): Si determina l’energia potenziale totale del sistema * ¸ =*k?¸ + *K3¸ =− ∗ M + 12 ∗ ∗ Å@ =− ∗ b ∗ Å@2 | + 12 ∗ ∗ Å@

Si determina il punto di minimo dell’energia potenziale totale che rappresenta il punto di equilibrio del sistema

39

Õ* ¸ÕÅ = − ∗ b ∗ θ+ ∗ Å = 0 →«¬ =b ∀Å Il percorso di equilibrio della struttura è rappresentato in Fig.2.1.3.I

2.2.2 Condizione di vincolo 2 (Comportamento post-critico instabile simmetrico) Si considera un asta rigida dove si bloccano gli spostamenti orizzontali e verticali dell’estremo inferiore con un vincolo di cerniera perfetto e si ipotizza di concentrare tutta le deformabilità del sistema nella molla traslazionale di rigidezza k posta alla testa dell’asta. Cosi facendo si ottiene un sistema ad un unico grado di liberta di cui si è determinato l’autovalore (λcr) ed il rispettivo autovettore (la deformata modale).

DATI: P = 1 kN K = 100 kN/m L = 4000mm

Fig.2.2.2.I



2.2.2.1.1 Trattazione completa IPOTESI

Legame elastico lineare Invarianza delle condizioni al contorno SVOLGIMENTO Si determinano la componenti dello spostamento del punto B a = b ∗ sin ÅM = b ∗ (1 − cosÅ): Si scrive l’equilibrio nella configurazione deformata ÐZ= = 0 → − ∗ + ∗ ∗ b ∗ cos Å = 0 − ∗ b ∗ sin Å + ∗ b@ ∗ sinÅ ∗ cosÅ = 0 sin Å ∗ ( ∗ b@ ∗ cos Å − ∗ b) = 0 × sinÅ = 0 ∗ b@ ∗ cos Å − ∗ b = 0: → ×Å = 0Å ≠ 0: Per valori di θ = 0 si trova la soluzione banale mentre per valori di θ ≠ 0 si determina la funzione P(θ) che descrive il ramo di equilibrio post-critico del sistema. (θ) = k ∗ L ∗ cos θ

Si ottiene cosi il ramo post-critico rappresentato in fig.2.1.3.III.

Fig.2.2.2.1.1.I

40

2.2.2.1.2 Linearizzazione degli spostamenti IPOTESI Alle ipotesi fatte nel par. precedente si aggiunge una terza riguardante l’entità degli spostamenti; ossia si ipotizza di avere piccoli spostamenti in modo da poterli descrivere come quantità cinematiche del primo ordine(come descritte al par. 2.2.1.1.2). SVOLGIMENTO Si determinano la componenti dello spostamento del punto B a = b ∗ ÅM = 0 : Si scrive l’equilibrio nella configurazione deformata Ð Z= = 0 → − ∗ + ∗ ∗ b ∗ cos Å = 0 →«¬ = ∗ b∀Å



2.2.1.2.1 Trattazione completa IPOTESI Si considerano le stesse ipotesi fatte al Par.2.2.2.1.1 SVOLGIMENTO Si determinano la componenti dello spostamento del punto B (cinematismo rappresentato in Fig. 2.2.2.1.1.I) a = b ∗ sin ÅM = b ∗ (1 − cosÅ): Si determina l’energia potenziale totale del sistema * ¸ =*k?¸ + *K3¸ = ∗ M − 12 ∗ ∗ b@ ∗ sin Å@ = ∗ b ∗ (1 − cosÅ) − 12 ∗ ∗ b@ ∗ sinÅ@

Si determina il punto di minimo dell’energia potenziale totale che rappresenta il punto di equilibrio del sistema Õ* ¸ÕÅ = ∗ b ∗ sinÅ − ∗ b@ ∗ sinÅ ∗ cosÅ = 0 →sin Å ∗ ( ∗ b − ∗ b@ ∗ cos Å) = 0 × sinÅ = 0 ∗ b@ ∗ cos Å − ∗ b = 0: → ×Å = 0Å ≠ 0: Per valori di θ = 0 si trova la soluzione banale mentre per valori di θ ≠ 0 si determina la funzione P(θ) che descrive il ramo di equilibrio post-critico del sistema. (θ) = k ∗ L ∗ cos θ Si ottiene cosi il ramo post-critico rappresentato in fig.2.1.3.III.

2.2.1.2.2 Linearizzazione degli spostamenti IPOTESI Si considerano le stesse ipotesi fatte nei Par.2.2.2.1.1 e 2.2.2.1.2 estendendo lo sviluppo in serie di Taylor fino a termini del secondo ordine (come fatto al Par.2.2.1.2.2). SVOLGIMENTO Si determinano la componenti dello spostamento del punto B

6 = b ∗ ÅM = b ∗ 1 − 1 + Å@2 | = b ∗ (Å@2 ): Si determina l’energia potenziale totale del sistema * ¸ =*k?¸ + *K3¸ =− ∗ M + 12 ∗ ∗ b@ ∗ Å@ =− ∗ b ∗ Å@2 | + 12 ∗ ∗ b@ ∗ Å@

Si determina il punto di minimo dell’energia potenziale totale che rappresenta il punto di equilibrio del sistema Õ* ¸ÕÅ = − ∗ b ∗ θ+ ∗ b@ ∗ Å = 0 →«¬ = ∗ b∀ÅIl percorso di equilibrio della struttura è rappresentato in Fig.2.1.3.I

41

2.2.3 Condizione di vincolo 3 (Comportamento post-critico asimmetrico) Si considera un asta rigida dove si bloccano gli spostamenti orizzontali e verticali dell’estremo inferiore con un vincolo di cerniera perfetta e si ipotizza di concentrare tutta le deformabilità del sistema nella molla traslazionale di rigidezza k posta come mostrato nella Fig.2.2.3.I. Cosi facendo si ottiene un sistema ad un unico grado di liberta di cui si è determinato l’autovalore (λcr) ed il rispettivo autovettore (la deformata modale).

DATI: P = 1 kN K = 100 kN/m L = 4000mm

Fig.2.2.3.I



2.2.3.1.1 Trattazione completa

IPOTESI 1) Legame elastico lineare 2) Invarianza delle condizioni al contorno SVOLGIMENTO 1) Si determinano la componenti dello spostamento del punto B a = b ∗ sin ÅM = b ∗ )1 − cos Å+: Si scrive l’equilibrio nella configurazione deformata ∑ Z= = 0 → − ∗ + ÜÝ» ∗ ,» − ÜÝ^ ∗ = 0

Per determinare le componenti della forza di richiamo

esplicitata dalla molla si scompone l’allungamento ∆ della molla nelle due componenti x ed y:

d∆» = ∆ ∗ cos -Π4 − Å2.∆^ = ∆ ∗ cos -Π4 + Å2. → a ÜÝ» = ∗ ∆»ÜÝ^ = ∗ ∆^::

Si scrive l’equazione di equilibrio: ∗ b@ ∗ √2 ∗ ©√1 + sin Å − 1ª ∗ scos -Π4 − Å2. ∗ cos Å − cos -Π4 + Å2. ∗ sin Åt = ∗ b ∗ sinÅ

Per valori di θ = 0 si trova la soluzione banale mentre per valori di θ ≠ 0 si determina la funzione P(θ) che descrive il ramo di equilibrio post-critico del sistema.

Fig.2.2.3.1.1.I

42

)Å+ = ∗ b ∗ √2 ∗ ©√1 + sin Å − 1ª ∗ scos -Π4 − Å2. ∗ cos Åsin Å − cos -Π4 + Å2.t Si ottiene cosi il ramo post-critico rappresentato in fig.2.1.3.III.

2.2.3.1.2 Linearizzazione delgli spostamenti IPOTESI Alle ipotesi fatte nel par. precedente si aggiunge una terza riguardante l’entità degli spostamenti; ossia si ipotizza di avere piccoli spostamenti in modo da poterli descrivere come quantità cinematiche del primo ordine(come descritte al par. 2.2.1.1.2). SVOLGIMENTO Si determinano la componenti dello spostamento del punto B a = b ∗ ÅM = 0 : Si scrive l’equilibrio nella configurazione deformata ÐZ= = 0 → − ∗ + ÜÝ» ∗ ,» − ÜÝ^ ∗ = 0 ∗ b@ ∗ ©√1 + Å − 1ª ∗ (1 − Å) = ∗ b ∗ Å

«¬ = ∗ b ∗ ©√1 + Å − 1ª ∗ (1 − Å)Å



2.2.3.2.1 Trattazione completa IPOTESI Si considerano le stesse ipotesi fatte al Par.2.2.2.1.1 SVOLGIMENTO Si determinano la componenti dello spostamento del punto B (cinematismo rappresentato in Fig. 2.2.2.1.1.I) a = b ∗ sin ÅM = b ∗ (1 − cosÅ): Si determina l’energia potenziale totale del sistema * ¸ =*k?¸ + *K3¸ = ∗ b@ ∗ Þ2 ∗ ©1 − √1 + sinÅª + sinÅß − ∗ b ∗ (1 − cos Å) Si determina il punto di minimo dell’energia potenziale totale che rappresenta il punto di equilibrio del sistema Õ* ¸ÕÅ = ∗ b@ ∗ C−(1 + sin Å)'&.à ∗ cos Å + cos ÅD − ∗ b ∗ sin Å = 0 Per valori di θ = 0 si trova la soluzione banale mentre per valori di θ ≠ 0 si determina la funzione P(θ) che descrive il ramo di equilibrio post-critico del sistema. = ∗ btanÅ ∗ Þ1 + √1 + sinÅß Si ottiene cosi il ramo post-critico rappresentato in fig.2.1.3.III.

43

2.3 Studio del comportamento di un sistema di aste Si è studiato un sistema di aste composto da due aste rettilinee incernierate alla base e con un carico verticale P applicato al vertice dell’arco.

Fig.2.3.I

In tale sistema si possono verificare due differenti tipi di instabilità: 1) Instabilità a scatto

Fig.2.3.II

Dal percorso di equilibrio si nota come all’aumentare del carico P, aumenta lo spostamento verticale δ del vertice dell’arco. Esiste un certo valore del carico P tale che il sistema diventa instabile e si ha un improvviso cambiamento della forma dell’arco, che scavalca la corda e si dispone in una nuova posizione simmetrica rispetto a quella iniziale. 2) Instabilità Euleriana

Fig.2.3.III

La forza assiale presente in ciascuno dei due elementi può raggiungere il rispettivo carico critico, causando un fenomeno di instabilità locale nei singoli elementi che provoca una diramazione del percorso di equilibrio. Dopo aver descritto, in linea teorica, i differenti tipi di instabilità che si possono verificare nell’arco a tre cerniere, si vuole determinare quale tra i due fenomeni di instabilità si verificherà per primo. A tal fine, poiché il fenomeno che si verificherà sarà quello caratterizzato dal più piccolo valore del Pcr , si determinano i valori del carico che innescano le due differenti instabilità e si distinguono i due casi: Caso 1 ) Aste tozze L’instabilità a scatto si verifica mentre non si verifica quella Euleriana (Punto2 di Fig.2.3.IV). Caso 2 ) aste snelle Si verifica l’instabilità Euleriana in una delle due aste e non si verifica l’instabilità a scatto (Punto1 di Fig.2.3.IV).

Il percorso di equilibrio:

Fig.2.3.IV

2.3.1 Trattazione completa La seguente trattazione è svolta con il criterio staticoIPOTESI 1) Legame elastico lineare 2) Invarianza delle condizioni al contornoSVOLGIMENTO 1) Si considera la struttura rappresentata in Fig.2.3.I.In tale struttura lo sforzo normale agente nelle aste è pari a : = * ∗ ∗ ε * ∗ ∗ ∆bb&

Dove :

∆b b& 1 b → b ËsinÅ → Ë ¡ ∗ tan∆b b& ∗ -1 1 cos% ∗ tanÅsin Å . → ∆bb& Si è poi sostituito nella equazione dello sforzo normale presente nelle aste: * ∗ ∗ -1 1 cos% ∗ tan Åsin Å .

2) Si scrive l’equazione di equilibrio nella configurazione deformata 1 2 ∗ ∗ sin Å = 0 3) si ricava l’andamento del carico P in funzione del parametro fenomeno di instabilità a scatto. )Å+ 2 ∗ * ∗ ∗ -1 1 cos% ∗ tan Åsin Å .

PCRITICO

P

1

2

44

La seguente trattazione è svolta con il criterio statico

2) Invarianza delle condizioni al contorno

considera la struttura rappresentata in Fig.2.3.I. In tale struttura lo sforzo normale agente nelle aste è pari a :

tan Å b& ∗ cos Å ∗ tanÅ → b b& ∗ -cos Å ∗sinÅ1 1 cos% ∗ tanÅsin Å

Si è poi sostituito nella equazione dello sforzo normale presente nelle aste:

2) Si scrive l’equazione di equilibrio nella configurazione deformata

n funzione del parametro θ che descrive la curva di equilibrio nel caso di

.

CRITICO

θ

- tanÅÅ .

che descrive la curva di equilibrio nel caso di

45

2.4 Studio del comportamento di un sistema a due g.d.l. Si considera il caso di un sistema composto da una colonna con ad un estremo un vincolo di cerniera perfetta. Si sottopone la struttura ad un carico P concentrato nell’estremo libero e si concentrano le deformazioni della colonna nelle molle rotazionali di rigidezza k poste alla base del elemento ed a cavallo della cerniera che collega gli estremi delle due aste.

Fig.2.4.I

2.4.1 Linearizzazione degli spostamenti La seguente trattazione è eseguita con il criterio energetico IPOTESI 1) Legame elastico lineare 2) Invarianza delle condizioni al contorno 3) Piccoli spostamenti SVOLGIMENTO 1) Scrivo l’energia potenziale totale del sistema

* ¸ = *K3¸ + *k?¸ → e *K3¸ 12 ∗ ∗ Å(@ + 12 ∗ ∗ Å@@*k?¸ = 1 ∗ b)1 − cos Å(+ − ∗ b ∗ [1 − cos)Å( + Å@+]: Dove: = 1 ∗ L’ipotesi 3 permette di scrivere le funzioni trigonometriche con lo sviluppo in serie di Taylor fermandosi ai termini del secondo ordine come fatto al Par.2.2.1.2.2. * ¸ = 12 ∗ ∗ Å(@ + 12 ∗ ∗ Å@@ − ∗ b ∗ )Å( + Å@+@2 − ∗ b ∗ Å(@2

2) Determino i punti di minimo dell’energia potenziale rispetto ai due g.d.l.

Õ* ¸ÕÅ( = ∗ Å( − ∗ b ∗ )2 ∗ Å( + Å@+ = 0Õ* ¸ÕÅ@ = ∗ Å@ − ∗ b ∗ )Å( + Å@+ = 0 : Si scrive il sistema nella forma matriciale: a2 00 4 − :22b bb 2b4á ∗ -Å(Å@. = 00: →â ∗ = 0

dove â è la matrice di rigidezza strutturale che è composta dalla matrici â e âã che sono rispettivamente la matrice

di rigidezza elastica lineare della struttura e la matrice di rigidezza geometrica.

â = â − ∗ âã →6âã 22b bb 2b4â = 2 00 4

: Il sistema omogeneo ammetterà soluzione diversa da quella banale solo per quei valori di λ tali che: â 1 ∗ âã = 0

Risolvendo il problema agli autovalori si ricavano i due valori λ1,2 corrispondenti ai punti di biforcazione del percorso di equilibrio. Il carico critico sarà il minore tra i due autovalori. Determinati gli autovalori si ricavano i rispettivi autovettori che corrispondono alle due deformate modali del sistema.

46

1° Deformata modale per λ1 = 0.382 ∗ ä~ 2° Deformata modale per λ2 = 2.618 ∗ ä~

2.5 Studio del comportamento di un sistema ad ∞ g.d.l. 2.5.1 La colonna di Eulero

Si considera un asta incernierata alla base e con un carrello in testa che permette il solo abbassamento verticale. IPOTESI 1) L’asta è perfetta dal punto di vista geometrico 2) l’asta è composta da un materiale elastico lineare e non esistono imperfezioni di tipo meccanico 3) Il carico P è perfettamente allineato sull’asse verticale dell’asta 4) si immagina che l’asta possa deformarsi solo in un piano

Fig.2.5.1.I

SVOLGIMENTO Utilizzando il criterio statico si scrivere l’equazione di equilibrio nella configurazione deformata. Zk?¸ = ZK3¸ → a Zk?¸ ∗ g)A+ZK3¸ = * ∗ i ∗ χ)A+: Nell’ipotesi di linearizzazione della cinematica (teoria del II° ordine). χ)A+ ≅ g)A+ Si può ora scrivere la precedente equazione di equilibrio come equazione della linea elastica della colonna, nella sua configurazione deformata: *i ∗ g)A+ + ∗ g)A+ = 0 →g)A+ + *i ∗ g)A+ = 0 → g)A+ + %@ ∗ g)A+ = 0 Fig.2.5.1.II

L’integrale generale dell’equazione sarà: g)A+ ∗ sin)%+ + ¡ ∗ cos)%+ Si impongono le condizioni al contorno

6 g)0+ = 0 → 0g)b+ 0 →× ¡ 0%b Π ::

Il problema presenta soluzioni banali e non: 1) A = 0 ; B = 0 a cui corrisponde la soluzione banale Y(x) = 0

2) A = 0 ; %3 3Π~ a cui corrispondono soluzioni non banali (autofunzioni) del tipo: g)A+ ∗ sin)%3A+

Dove %3 sono gli infiniti autovalori cui sono associati i carichi. %3@ = @ ∗ Π@b@ = * ∗ i → «¬ = * ∗ i ∗ Π@ ∗ @b@

47

Agli infiniti g.d.l. della colonna sono associati infiniti valori possibili del carico critico. Ponendo n = 1 si ottiene il più piccolo di questi carichi conosciuto come il carico critico euleriano: = * ∗ i ∗ Π@b@

La deformata critica dell’asta è espressa come : g)A+ = ∗ sin -Π ∗ Ab .

2.5.2 La lunghezza libera di inflessione Le diverse condizioni di vincolo cui è soggetta la colonna influenzano il valore del carico critico. E’ tuttavia possibile ricondursi al caso della colonna di Eulero con l’accorgimento di sostituire al valore L della lunghezza geometrica

dell’asta il valore L0 =β * L che definisce la lunghezza libera di inflessione. Tale lunghezza rappresenta la distanza tra due successivi punti di flesso nella deformata critica.

2.5.2.1 La colonna

2.5.2.2 Il telaio

1) si considera un telaio dove il momento d’inerzia della trave è pari ad n volte quello delle colonne:

Si considerano due differenti deformate:

Fig.2.5.2.2.II Fig.2.5.2.2.III

Per determinare quale delle due si verificherà si studia il valore della lunghezza libera di inflessione delle colonne:

Nel primo caso si ha b& = b mentre nel secondo b& = ~@. Dati questi valori si ricavano i corrispondenti valori dei Pcr ,

si verificherà la deformata associata al più piccolo valore di Pcr. 2) Si considera un telaio dove il momento d’inerzia delle colonne è pari ad n volte quello della trave:

Deformata_1 Deformata_2

Fig.2.5.2.2.IV

Fig.2.5.2.2.I

Fig.2.5.2.1.I

48

Si considerano due differenti deformate:

Fig.2.5.2.2.V Fig.2.5.2.2.VI

In questo caso la lunghezza libera di inflessione della colonna sarà b& = 2b per il primo tipo di deformata ed b& = 0.7b per il secondo tipo.

2.5.3 La curva di stabilità Dal valore del carico critico si ricava la tensione critica Euleriana = Π@ ∗ * ∗ ib&@ ∗

Si introducono i Parametri:

ç = Ni ¨¨¨

b&ç b

L’espressione della tensione critica si modifica in:

Π@ ∗ *@

Si rappresenta tale espressione in un piano (σ-λ) (Fig.2.5.3.I)

Figura 2.5.3.I

Nel grafico appena visto non si è considerato che il materiale nella realtà non è indefinitamente elastico. Se si considera il limite di snervamento dato dal valore della tensione di snervamento σy si ottiene il grafico di Fig.2.5.3.II

Si nota in particolare che esiste, teoricamente, un punto C in cui il collasso della colonna avviene contemporaneamente per raggiungimento dello schiacciamento per plasticità e per instabilità Uguagliando le due equazioni che rappresentano i due fenomeni si ricava il valore della ascissa che descrive il suddetto punto chiamata snellezza di transizione:

= ^ Π∗è : → ∗ = Π ∗ é u8

σ

λ

Deformata_1 Deformata_2

= Π@ ∗ *@

In tale figura si associa ai punti che stanno al di sopra della curva

descritta dall’equazione della tensione di Eulero il collasso per

instabilità della colonna.

Figura 2.5.3.II

49

2.5.3.1 Valutazione della presenza delle imperfezioni

Nella realtà nessun elemento è privo di imperfezioni. Queste nel caso della colonna possono essere di diversi tipi: Imperfezioni geometriche Imperfezioni meccaniche Eccentricità dell’applicazione del carico Si considera in seguito uno sforzo assiale agente su una colonna con eccentricità e ≠ 0.

Si scrive l’equazione di equilibrio nella configurazione deformata: Zk?¸ = ZK3¸ → aZk?¸ ∗ [g)A+ + ]ZK3¸ = * ∗ i ∗ χ)A+ : * ∗ i ∗ g)A+ + ∗ g)A+ = 1 ∗ → g)A+ + %@ ∗ g)A+ = −%@ ∗

Risolvendo l’equazione differenziale si ricava il grafico seguente:

γ ¹ & ∗

: → §M& ç@g¹º» èà si osserva come all’aumentare del parametro m e quindi dell’imperfezione iniziale si ha un decremento del valore del carico critico sopportabile dalla tensione

Figura 2.5.3.1.I

Figura 2.5.3.1.II

50

CAP.3 : Le connessioni in acciaio

L’acciaio è fornito dall’industria siderurgica in elementi di forme tipiche e dimensioni unificate. Congiungendo questi elementi è possibile costruire una qualsiasi struttura. In questo senso assumo un ruolo fondamentale i collegamenti, che devono essere realizzati in modo che ciascun elemento semplice contribuisca alla capacità portante dell’insieme. I dispositivi costruttivi che hanno lo scopo specifico di connetter insieme due o più elementi strutturali, inizialmente indipendenti, prendono il nome di sistemi di collegamento. Questi sistemi di collegamento od unioni, rappresentano una zona critica delle costruzioni metalliche. Infatti il loro comportamento non può essere colto nell’ambito delle ipotesi che stanno alla base della teoria di De Saint Venant poiché tali zone sono regioni diffusive (D-regions) caratterizzate da concentrazioni di sforzi in cui vengono meno le ipotesi alla base della teoria stessa. Poiché l’errata progettazione di anche solo una delle unioni presenti in una struttura può portare al collasso della stessa (Es. collapse of I-35 highway bridge , Minneapolis, Fig.3.I), non si può trascendere dallo studio di tali regioni.

Le indicazioni progettuali presenti in letteratura sono basate su teorie e modellazioni semplificate, supportate da analisi sperimentali o numeriche agli elementi finiti.

3.1 Definizioni I collegamenti tra gli elementi in acciaio si possono raggruppare in due categorie principali:

- Unioni correnti: servono per creare profili composti a partire da ferri piatti e cantonali - Unioni di forza: uniscono tra loro i vari elementi strutturali per formare l’intera costruzione

3.1.1 Classificazione Le unioni tra elementi strutturali possono essere classificate in vari modi

3.1.1.1 Classificazione secondo la tipologia dei componenti Se si distinguono le giunzioni in base alla tipologia dei componenti che vengono collegati, si hanno:

1) Trave-colonna singolo (Fig.3.1.1.1.II) 2) Trave-colonna doppio 3) Continuità trave-trave(Fig.3.1.1.1.III) 4) Continuità colonna-colonna(Fig.3.1.1.1.IV) 5) Colonna Fondazione (Fig.3.1.1.1.V)

Figura 3.1

Figura 3.1.1.1.I

51

3.1.1.2 Classificazione secondo il sistema di collegamento usato Se si assume come criterio di distinzione il sistema di collegamento usato si distinguono in: 1) Unioni Chiodate

Tali unioni che erano molto usate fino alla prima metà del novecento, sono attualmente cadute in disuso nell’ambito dell’ingegneria civile poiché presentano differenti difetti o svantaggi rispetto ad altri tipi di unioni quali:

- Poiché i chiodi sono montati a caldo, nei gambi si generano spesso tensioni di trazione che possono portare alla rottura del chiodo stesso per distacco della testa del gambo.

- Non possono essere scomposte a meno che non si distruggano gli elementi di connessione. 2) Unioni bullonate

Molto usate nell’abito dell’ingegneria civile per i seguenti vantaggi: - Facilità e velocità di montaggio - Flessibilità della struttura nel caso in cui debba subire modifiche per far fronte a nuove esigenze - Riutilizzo delle parti strutturali

SVANTAGGI:

- Gli elementi strutturali sono indeboliti dalla presenza dei fori - La presenza dei fori comporta una distribuzione delle tensioni caratterizzata da punte locali

3) Unioni saldate

VANTAGGI: - Producono un più regolare flusso delle forze e consentono la realizzazione di giunti a completo ripristino. - Si evita l’indebolimento dovuto ai fori dei bulloni - Poiché le saldature occupano meno spazio, i giunti sono più snelli. - Gli elementi da unire non devono subire un trattamento iniziale come ed esempio per le bullnature dove

bisogna realizzare i fori SVANTAGGI:

- La loro realizzazione va affidata a maestranze esperte - Necessitano di accurati controlli per accertare che le saldature siano prive di difetti.

Figura 3.1.1.1.II Figura 3.1.1.1.III Figura 3.1.1.1.IV Figura 3.1.1.1.V

52

3.1.1.3 Classificazione secondo il tipo di sollecitazione trasmessa Le strutture in acciaio sono usualmente progettate facendo riferimento a modelli in cui i nodi hanno comportamento ideale. Generalmente, si accetta di rappresentare il comportamento dei nodi attraverso due modelli idealizzati: 1) Incastro perfetto (Fig.3.1.1.3.I) Tale tipologia di vincolo ideale implica: - completa continuità tra gli elementi collegati - trasferimento completo delle forze tra l’estremità della trave e la colonna - assenza di deformazioni parassite

2) Cerniera perfetta

Tale tipologia di vincolo ideale implica: - sufficiente capacità di rotazione della trave - assenza di momenti parassiti

L’utilizzo di questi comportamenti ideali comporta numerose semplificazioni nelle procedure di analisi e

progettazione anche se il comportamento reale delle diverse tipologie di unione è sempre intermedio.

3.1.1.4 Classificazione secondo la rigidezza del nodo La seguente classificazione è solo applicabile al nodo trave-colonna: 1) Nodo rigido

Si ipotizza che il nodo abbia un comportamento tale da non influenzare la distribuzione delle forze ,dei momenti e delle deformazioni della struttura. 2) Nodo semi-rigido

Il nodo interagisce con gli altri membri ed il livello di tale interazione è regolato dal momento e dalla rotazione di progetto del nodo stesso. Si ipotizza che tale nodo possa trasmettere forze interne e momento. 3) Nodo flessibile

Il nodo deve essere capace di trasmettere forze senza sviluppare momento che potrebbe interferire con altri elementi strutturali e deve consentire una rotazione sotto i carichi di progetto. E’ molto utile per andare a classificare un nodo in funzione della sua rigidezza il diagramma momento rotazione del nodo stesso (Fig.3.1.1.4.I).

Mj,R = momento flettente resistente Sj,ini = rigidezza rotazionale iniziale ΦCd = rotazione ultima

Figura 3.1.1.4.II

Figura3.1.1.3.I

Figura 3.1.1.3.II

Figura 3.1.1.4.I

53

Utilizzando il grafico di Fig.3.1.1.4.I si può classificare il nodo nelle tre categorie appena descritte utilizzando le seguenti relazioni: 1) Si definisce un nodo essere un nodo rigido quando: ë,K3K ≥â ∗ * ∗ /b

Dove: - Ib è il momento di inerzia della trave - Lb è la luce della trave - Kb è un valore medio di Ib/Lb di tutte le travi presenti nel piano.

Si assume Kb = 8 per strutture dove la presenza di sistemi di rinforzi limita gli spostamenti di almeno l’80%. Per tutte le altre strutture dove Kb/Kc ≥ 0.1 Kb= 25.

2) Si definisce un nodo essere un nodo flessibile quando: ë,K3K ≤ 0.5 ∗ â ∗ * ∗ /b

3) Si definisce un nodo essere un nodo semi-rigido quando:

â â«5 < 0.1 â ∗ * ∗ /b ≥ ë,K3K ≥ 0.5 ∗ â ∗ * ∗ /b

Anche nodi che soddisfano i requisiti del punto 1 o 2 possono essere a classificati come nodi rigidi. Si rappresenta in seguito un grafico dove vengono rappresentata tre zone, delimitate da dei valori di rigidezza, dove tutti i punti all’interno di suddette possono essere classificati come nodi rigidi, semi-rigidi o flessibili.

3.1.1.5 Classificazione secondo la resistenza del nodo Confrontando il momento resistente di progetto dell’unione con i rispettivi momenti resistenti degli elementi che il essa collega, si può classificare il l’unione in tre differenti categorie: 1) Nodo a completo ripristino

Il momento resistente di progetto del nodo deve essere maggiore o al più uguale del momento resistente di progetto degli elementi che collega 2) Nodo a cerniera

Il nodo deve poter trasmettere delle forze senza sviluppare un momento e deve consentire una rotazione sotto i carichi di progetto. Zë,¯í ≤ 0.25 ∗ Zî'?¸¬k3ï¸o

3) Nodo a parziale ripristino

Un nodo che non soddisfa ne i criteri del nodo a completo ripristino ne quelli del nodo a cerniere viene classificato come un nodo a parziale ripristino Si riporta in seguito un grafico rappresentativo di tutte tre le differenti tipologie di nodi:

Zona 1

Nodo Rigido

Zona 2

Nodo semi- Rigido

Zona 3

Nodo flessibile

54

Figura 3.1.1.5.I

3.1.1.6 Classificazione secondo la duttilità del nodo

Questo tipo di classificazione dipende dalle classificazioni fatte nei Par. 3.1.1.4 e 3.1.1.5. e si distinguono tre differenti categorie a cui i nodi possono appartenere:

Tab. 3.1.1.6.I

3.1.1.7 Classificazione secondo i tipi di analisi In funzione del tipo di analisi che si sta effettuando si arriva a differenti classificazioni del nodo. Infatti nel caso di un’analisi elastica globale, le uniche caratteristiche rilevanti per la modellazione sono quelle di rigidezza. Viceversa, se stiamo effettuando un’analisi rigido- plastica ci interessano principalmente le resistenze. Infine, in tutti gli altri casi, sia la rigidezza che la resistenza governano il modo in cui il nodo dovrebbe essere modellato. Nella seguente tabella sono riassunte le differenti classificazioni dei nodi a cui si è giunti, in funzione del tipo di analisi effettuata:

Tab. 3.1.1.7.I

55

3.2 Modellazione del nodo Il metodo che conferisce la più accurata conoscenza del comportamento dei nodi consiste nell’effettuare test sperimentali ; tuttavia, poiché i test risultano dispendiosi sia da un punto di vista economico che da quello dei tempi di esecuzione dell’esperimento, tali test vengono usati per validare dei modelli che mirano a prevedere il comportamento del nodo a partire dalle sue proprietà geometriche e meccaniche. I modelli per la previsione del comportamento dei nodi si dividono in 5 categorie: 1) test sperimentali 2) modelli empirici 3) modelli analitici 4) modelli agli elementi finiti 5) modelli meccanici (metodo delle componenti)

3.2.1 Metodo delle componenti

Il metodo delle componenti si basa sulla simulazione del nodo/collegamento con un insieme di componenti rigide e flessibili. Tale metodo si articola in tre fasi: 1) Identificazione delle componenti 2) Risposta delle componenti 3) Assemblaggio delle componenti

3.2.1.1 Esempio: Giunto saldato

Figura 3.2.1.1.I

Il primo passaggio da seguire consiste nell’identificare le differenti fonti di deformabilità che per il nodo in esame sono: 1) Pannello d’anima della colonna a taglio (CWS) 2) Anima della colonna in trazione (CWT) 3) Anima della colonna in compressione (CWC) 4) Flangia della colonna in flessione (CFB) 5) Anima e flangia della trave in compressione (BFC)

Figura 3.2.1.1.II

56

Si nota che non tutte le componenti sono dello stesso tipo:

Infatti mentre alcune di esse contribuiscono sia in termini di rigidezza che di resistenza , e vengono modellate con legami del tipo elasto-plastico; altre pongono una sola limitazione alla resistenza e vengono modellate

con legami di tipo rigido-plastico . Nel caso in esame, Le prime 3 componenti contribuiscono sia in termini di rigidezza che di resistenza , per cui vengono modellate con un legame di tipo elasto-plastico; le altre 2 componenti contribuiscono solo alla resistenza e per questo vengono modellate con un legame rigido-plastico.

In tale metodo, per i nodi saldati si ipotizza che la rottura delle saldature sia assolutamente evitata, poiché esse sono in grado di fornire piccolissime deformazioni dando vita a meccanismi di rottura fragili. Questa è la ragione per cui è auspicabile seguire criteri di progetto delle saldature, sempre a vantaggio di sicurezza e che prevedano sovraresistenze rispetto alla componente più debole.

3.2.1.1.1 Calcolo della resistenza delle componenti

3.2.1.1.1.1 Resistenza della zona soggetta a taglio

La resistenza plastica di progetto di un pannello d’anima non irrigidito, soggetto ad una forza di taglio, è data dall’espressione:

.¯í = «ð √3⁄ñ¹&

L’area di taglio Av può essere calcolata seguendo le direttive dell’Eurocodice:

Figura 3.2.1.1.III

57

3.2.1.1.1.2 Resistenza della zona compressa La resistenza di progetto allo schiacciamento di un anima di colonna non irrigidita , soggetta ad una forza trasversale di compressione , è data dall’espressione: Ü«,¯í = «ò« q1.25 − 0.5 ñ¹&¹,í « r ,kîîñ¹& Ma Ü«,¯í ≤î8ó¸ôómõõö÷9

Dove: ¹,í è la tensione normale massima di compressione La larghezza efficace dell’anima è data da:

- Per una colonna in profilo laminato ad I oppure ad H ,kîî tfb+2√2ab +5(tfc+rc)

- Per una colonna in profilo saldato ad I oppure ad H ,kîî = tfb+2√2ab +5(tfc+√2ac)

Se si vuole aumentare la resistenza dell’anima della colonna, si possono aggiungere piatti di rinforzo (Vedi fig. 3.2.1.1.1.1.I)

In aggiunta va calcolata la resistenza all’instabilità dell’anima della colonna considerata come membratura compressa.

Figura 3.2.1.1.1.2.III

Si considera come lunghezza libera di inflessione L0 = d Si considera come lunghezza efficace ,kîî )ℎ@ + ?@+@

La resistenza all’instabilità dell’anima della colonna è data da: Nø,ùú χAfγþ( χtbfγþ(

Figura 3.2.1.1.1.2.IV

Figura 3.2.1.1.1.2.V Figura 3.2.1.1.1.2.VI

Figura 3.2.1.1.1.2.I Figura 3.2.1.1.1.2.II

58

3.2.1.1.1.3 Resistenza della zona tesa La resistenza di progetto di un ala non irrigidita di una colonna soggetta a forze di tensione trasversale è data dalle seguenti formule: -Per una colonna laminata a sezione ad I oppure ad H

Ü ,¯í = Þ î)ò« + 2«+ + 7 « î«@ ßñ¹&

Ma Ü ,¯í ≤ Þî8¸õ©¸ôó@¬ó¸õóªßö÷9

Inoltre Ü ,¯í ≥ &.î8¸õõö÷9 altrimenti vanno previsti opportuni irrigidimenti.

3.2.1.1.2 Calcolo del momento resistente Determinati i valori di resistenza di ogni componente nodale , è necessario, per ricavare il legame, momento-rotazione del nodo, correlare le singole componenti tra loro, assumendo che la resistenza complessiva sia governata dalla resistenza della componente più debole. Z¯í min .¯í ; Ü«,¯í ; Ü ,¯í

Dove z è il braccio delle forze interne

3.2.1.1.3 Calcolo della rigidezza rotazionale

ë ©o'¸õª¸ôó∑ ) , +

Dove: - Sj è la rigidezza secante con riferimento allo snervamento (M < Mrd) - ki coefficiente di irrigidimento per il componente i-esimo - Fi forza nel componente i-esimo - Fi,Rd resistenza di progetto del componente i-esimo

Per il caso in esame:

- Anima della colonna, zona soggetta a taglio Ki = 0.24 - Anima della colonna,zona tesa Ki = 0.8 - Anima della colonna,zona compressa Ki = 0.8

3.2.1.1.4 Calcolo della capacità di rotazione La capacità rotazionale di un nodo viene determinata in seguito a dati empirici forniti in letteratura. - Si può assumere che un collegamento trave-colonna saldato non irrigidito, progettato in conformità con queste regole applicative, abbia una capacità di rotazione φCd di 0.015 radianti. - In un collegamento saldato trave-colonna, nel quale la colonna è irrigidita nella zona compressa ma non nella zona tesa, quando la resistenza al momento non è governata dalla resistenza della zona soggetta a taglio, la capacità di rotazione è pari a φCd =0.025 hc/hb

Figura 3.2.1.1.1.3.I

Figura 3.2.1.1.2.I

Figura 3.2.1.1.2.II

59

ATT.!!!!! 1) I metodi dati in questa appendice possono venire applicati anche a collegamenti trave-trave 2) Alcune parti dei metodi presenti possono venire applicate anche ale componenti corrispondenti di altri tipi di collegamento 3) Queste regole applicative non riguardano collegamenti nei quali la trave deve essere collegata all’anima della colonna 4) Queste regole di applicazione non devono essere utilizzate per membrature con sezioni diverse dalla sezione ad ad I oppure ad H

3.2.1.1.5 Considerazioni Nel caso in cui si voglia realizzare un giunto a completo ripristino, ma i valori calcolati del momento resistente M,Rd e della rigidezza S,ini sono tali da identificare il nodo con un nodo semi-rigido o a parziale ripristino, si possono inserire degli irrigidimenti in modo da ripristinare la continuità del nodo. 1) Irrigidimenti orizzontali Le due forze concentrate in corrispondenza delle ali della trave sono assorbite dagli irrigidimenti stessi che in genere vengono realizzati dello spessore delle ali della trave. 2) Irrigidimenti orizzontali + irrigidimento obliquo

Figura 3.2.1.1.5.II

3.3 Modellazione ad elementi finiti del nodo La modellazione agli elementi finiti è un è una tecnica numerica atta a cercare soluzioni approssimate di problemi descritti da equazioni differenziali alle derivate parziali. Nel campo dell’ingegneria civile si utilizza questa tecnica per andare a studiare le regioni diffusive dove non sono soddisfatte le ipotesi di De Saint Venant. L’obbiettivo che ci si propone nello studio di una zona diffusiva consiste nel andare a ricavare il grafico momento curvatura in modo da poter determinare:

- La rigidezza KΦ

- La capacità portante massima Z - La deformazione ultima ϕ - La legge non lineare che lega il momento e la rotazione

Figura 3.2.1.1.5.I

Figura 3.3.I

60

SLE Caratteristiche legate alla deformabilità della struttura/unione SLU Caratteristiche legate alla capacità portante ed alla duttilità della struttura/ unione Al fine di ottenere il grafico di Fig.3.3.I bisogna considerare differenti problemi: 1) Problemi legati alla non linearità del materiale 2) Problemi legati alla presenza di altre fonti di non linearità come ad esempio la non continuità tra due elementi adiacenti

3.3.1 La piattabanda Per andare ad analizzare questi due tipi di non linearità studiamo un caso semplice di piattabanda forata dove sarà posizionato un bullone soggetta ad una distribuzione di forze illustrata in Fig.3.3.II

Figura 3.3.1.I

Modello la struttura suddividendola in elementi. Il buco viene riprodotto utilizzando elementi a geometria ottagonale per poi proseguire nel modellare il resto della piattabanda con una mesh quadrilatera. Nella modellazione del foro non si sono utilizzati elementi triangolari poiché si avrebbero avuti elementi con dimensioni molto diverse e questo avrebbe portato ad una distorsione dei risultati. Il sistema di vincoli della piattabanda è composto da un insieme di cerniere e carrelli in modo che la lastra possa seguire la teoria dell’elasticità (si può verificare l’effetto Puoisson).

Figura 3.3.1.III

A causa della presenza del foro ho un andamento delle sigma differente da quello ipotizzato dalla teoria dell’elasticità se la lamiera fosse integra. Infatti si ha un andamento non lineare delle tensioni anche in campo elastico ed in presenza del foro si nota un picco di tensione. Se si aumenta il carico P le prime fibre che si snerveranno saranno quelle in corrispondenza del foro.

Le tensioni passeranno da un andamento non lineare descritto in Fig.3.3.IV ad un andamento costante pari alla tensione di snervamento.

Figura 3.3.1.II

61

Figura 3.3.1.IV

Si calcola il valore del carico p che porta alla crisi della lastra come: ^) 1 + ^

^ ) 1 + ^ Si può diagrammare la capacità della struttura nel piano F-U dove F è la risultante di trazione applicata alla piattabanda ed U lo spostamento orizzontale della stessa.

Il platoo è il tratto più problematico da determinare numericamente poiché a parità di forza F = Fy si hanno differenti soluzioni (differenti valori dello spostamento )

Per ovviare a questo problema si considera che il ramo plastico abbia un incrudimento positivo con valori di rigidezza molto bassi rispetto alla rigidezza del ramo elastico. Cosi facendo è cmq evidente quando si è abbandonato il ramo elastico a causa dei grandi incrementi di deformazioni dovuti a modesti incrementi di carico, e non sono più presenti i problemi dati dall’esistenza delle soluzioni multiple nell’analisi numerica.

Figura 3.3.1.VII

Figura 3.3.1.V

Figura 3.3.1.VI

62

3.3.1.1 La non linearità di vincolo Si ipotizza la lastra vincola con un bullone ad una lamiera esterna.

Figura 3.3.1.1.I

A causa dal gioco che esiste tra il foro ed il bullone, quando si sottopone la lastra alla forza di trazione solo la parte del bullone a contatto con la lamiera contribuirà ad opporsi alla sollecitazione. Si può modellare questa non linearità di contatto come una non linearità di materiale. Ossia si creano degli elementi link che lavorino o solo a trazione (comportamento NO-COMPRESSION ) o solo a compressione (comportamento NO-TENSION). Vediamo i differenti tipi di elementi che si possono creare: 1) Comportamento NO-TENSION

Si considera una biella soggetta a trazione composta di un materiale con un particolare legame costitutivo.

Impongo che la biella non lavori a trazione ma reagisca solo a compressione. Cosi facendo si possono modellare gli elementi che lavorano solo per contatto.

Vista A

Figura 3.3.1.1.II

Figura 3.3.1.1.III

63

2) Comportamento NO-TENSION + rottura fragile/duttile

Si possono modellare degli elementi link con comportamento NO-TENSION ed un legame costitutivo che preveda una rottura duttile o fragile in funzione delle necessità progettuali.

Figura 3.3.1.1.IV

3) Comportamento misto

Si considera un legame costitutivo che descriva un elemento che lavora prevalentemente a compressione ma per sforzi limitati reagisce anche a trazione.

Dove: Ü ^ = 120 ÷

150 Ü«^

Questo legame è più facilmente trattabile da un punto di vista numerica

I legami costitutivi visti si possono creare identici per comportamenti NO-COMPRESSION. Un buon elemento link che tiene conto del gioco tra bullone e lamiera è rappresentato dal seguente grafico:

per piccoli valori dello spostamento non si ha la mobilitazione di nessuna resistenza poiché il bullone si sta muovendo nella spazio presente tra lui e la lamiera.

Con l‘introduzione degli elementi link appena descritti si può modellare il bullone: Si modella la non linearità di contatto tra bullone e lamiera con 8 link NO-TENSION. I link 1 e 2 restano in deformate I link 3,4,5 si allungano non danno resistenza per il comportamento NO-TENSION I link 6,7,8 si accorciano danno un contributo alla resistenza Ovviamente più infittisco la lamiera è più si ottiene una misurazione corretta della pressione di rifollamento. L’area di “influenza” del link è un area media dello spicchio con il link che fa da bisettrice (Figura 3.3.1.1.VIII).

.

Figura 3.3.1.1.V

Figura 3.3.1.1.VI

Figura 3.3.1.1.VII

64

Se si inseriscono i link sui due piani (superficie esterna e interna della lamiera) possiamo valutare bene il taglio a cui è soggetto il bullone.

Figura 3.3.1.1.VIII

Figura 3.3.1.1.IX

65

Cap.4 : Costruzioni metalliche in zona sismica

4.1 Le azioni sulla struttura Le azioni che possono agire su una struttura sono molteplici:

- Carichi gravitazionali - Sisma - Vento - Neve - Variazioni di temperatura

Tutti i tipi di azione possono essere classificate in tre differenti gruppi in funzione del modo con cui possono venire schematizzate e del tipo di sollecitazione che impongono alla struttura: 1) statiche : azioni applicate alla struttura che non provocano accelerazioni significative della stessa o di alcune delle sue parti; b) pseudo-statiche : azioni dinamiche rappresentabili mediante un’azione statica equivalente; c) dinamiche : azioni che causano significative accelerazioni della struttura o dei suoi componenti.

4.1.1 L’azione sismica Secondo le NTC 2008 l’azione sismica è caratterizzata da 3 componenti traslazionali secondo gli assi X,Y e Z tra loro indipendenti che sono descritte in funzione del tipo di analisi dedotta, mediante una delle seguenti rappresentazioni: Modellazione dell’azione Tipologia di analisi 1) Accelerazione massima attesa in superficie Analisi statica lineare equivalente 2) Spettro di risposta atteso in superficie Analisi dinamica lineare 3) Accelerogramma Analisi dinamica non lineare Nella pratica progettuale l’analisi che viene usata più sesso è l’analisi dinamica lineare. Tale analisi che coglie con buona approssimazione le sollecitazioni dinamiche del sisma sulla struttura, pone dei limiti nello studio dei concetti come la duttilità, la dissipazione e l’isolamento.

4.2 Basi della progettazione antisismica Nella maggior parte dei casi l’approccio al problema della progettazione antisismica si basa sulla schematizzazione della struttura come un oscillatore elementare. Ossia si analizza la resistenza richiesta dal terremoto ad un sistema elastico ad un grado di libertà , equivalente in termini di rigidezza e smorzamento al sistema strutturale reale. La realizzazione di tale passaggio risulta molto complicata dato che la struttura è un sistema inelastico ed ha più gdl.

4.2.1 Filosofie di progetto

Filosofie di

progetto

Tradizionali (Stati limite)

Innovativa (Performance based design)

Comportamento dissipativo

Comportamento non dissipativo

Criteri più rigorosi per

selezionare il sistema

strutturale più adeguato

affinché, per specificati livelli di

intensità del sisma, il danno

possa essere contenuto entro

limiti prefissati

66

Per struttura con comportamento dissipativo si intende una struttura concepita in maniera tale da avere elementi strutturali o parti di elementi strutturali in grado di dissipare parte dell’energia sismica mediante cicli di deformazione inelastica. Sotto l’azione del sisma vi saranno dunque elementi progettati per fornire un comportamento plastico e quindi dissipativo ed altri progettati per un comportamento di tipo elastico. le zone dissipative si localizzino dove la plasticizzazione o l’instabilità locale o altri fenomeni di degrado dovuti al comportamento isteretico non influenzano la stabilità globale della struttura. L’utilizzo di elementi con comportamento plastico è fondamentale nella progettazione antisismica poiché ci permette di abbandonare lo studio delle sollecitazioni in campo elastico (spettro di risposta elastico) a favore di un campo anelastico (spettro di risposta anelastico). Cosi facendo, le sollecitazioni che il sisma trasmette alla struttura sono molto minori rispetto al caso di struttura con comportamento perfettamente elastico (anche dell’ordine di 4-5 volte). Risulta quindi fondamentale riuscire a realizzare una struttura con un comportamento dissipativo il più possibile simile a quello ipotizzato nelle fasi progettuali. La mancata realizzazione di questo obiettivo porterebbe a dimensionare un opera con sollecitazioni minori di quelle effettivamente agenti su di essa con conseguente crollo della struttura al primo evento sismico rilevante. Come progettare la struttura al fine di avere il comportamento dissipativo voluto?

In funzione della tipologia strutturale (Par.4.4.2) e della regolarità della struttura, le

NTC 2008 forniscono un fattore di strutture q che da un indicazione del

comportamento dissipativo della stessa.

si utilizza il fattore di struttura q per abbattare lo spettro elastico di risposta.

Si dimensiona la struttura con le sollecitazioni dello spettro di risposta anelastico: ATT.!!! Nella fase di dimensionamento è fondamentale, al fine di ottimizzare lo sfruttamento delle risorse plastiche, utilizzare delle particolari procedure di progettazione quali ad Es la gerarchia delle resistenze.

Si effettuano analisi non lineari Es. analisi pushover

Si ricava il fattore di struttura effettivo

Il fattore di struttura effettivo è maggiore

o al più uguale a quello ipotizzato?

si è progettato la struttura con il comportamento dissipativo voluto

SI

NO

67

4.3 Le costruzioni d’acciaio 4.3.1 Il materiale – prescrizioni addizionale per le zone dissipative La resistenza del materiale nelle zone dissipative, deve essere amplificata con un coefficiente di sovraresistenza γov (è il γRd della Norma), dato dal rapporto tra il valore di resistenza medio fym e quello caratteristico fyk al fine di considerare l’aleatorietà di fy. ≥ 1.20 ≥ 20% ¹ Ý = ñ¯í

Acciaio

S235 1.20

S275 1.15

S355 1.10

S420 1.10

S460 1.10

4.3.2 Tipologie strutturali

4.3.2.1 Strutture intelaiate Composte da telai che resistono alle forze orizzontali con un comportamento prevalentemente flessionale. In queste le zone dissipative sono collocate principalmente alle estremità delle travi in prossimità dei collegamenti trave-colonna, dove si possono formare le cerniere plastiche e l’energia viene dissipata per mezzo della flessione ciclica plastica.

Al fine di concentrare la plasticizzazione nella trave e non nella colonna, si deve progettare la struttura con uno schema travi deboli – pilastri forti (tipico delle GdR); per strutture metalliche, progettate principalmente per carichi verticali, è frequente invece che le travi abbiano un momento d’inerzia > di quello delle colonne. Una possibile soluzione per ovviare a questo problema consiste nell’utilizzo della trave Gerber.

4.3.2.2 Strutture con controventi concentrici Le azioni orizzontali sono assorbite prevalentemente da membrature soggette a forze assiali. In queste strutture, le zone dissipative sono collocate principalmente nelle diagonali tese. Pertanto possono essere considerati in questa tipologia solo quei controventi per cui lo snervamento delle diagonali tese precede il raggiungimento della resistenza delle aste strettamente necessarie ad equilibrare i carichi esterni.

VANTAGGI - Assenza di controventi

- Numerose zone dissipative

SVANTAGGI - Collegamenti costosi

- Difficoltà per la Gerarchia delle Resistenze

La dissipazione avviene per flessione o presso-flessione degli elementi

VANTAGGI - Spostamenti laterali contenuti

- Elementi dedicati alla dissipazione

SVANTAGGI - Vincoli architettonici

Lo snervamento dei diagonali tesi deve precedere il raggiungimento dell’instabilità dei diagonali

compressi.

68

Si possono distinguere tre categorie: 1) controventi con diagonale tesa attiva, in cui la resistenza alle forze orizzontali e la capacità dissipativa sono affidate alle aste diagonali soggette a trazione.

Figura4.3.2.2.I 2) controventi a V, in cui le forze orizzontali devono essere assorbite considerando sia le diagonali tese che quelle compresse; il punto d’intersezione delle diagonali giace su una membratura orizzontale che deve essere continua.

Figura4.3.2.2.II

c) controventi a K,in cui il punto d’intersezione delle diagonali giace su una colonna. Questa categoria non deve essere considerata dissipativa, in quanto il meccanismo di collasso coinvolge la colonna.

Figura4.3.2.2.III

4.3.2.3 Strutture con controventi eccentrici Le azioni orizzontali sono assorbite prevalentemente da membrature caricate assialmente, ma la presenza di eccentricità di schema permette la dissipazione di energia nei traversi per mezzo del comportamento ciclico a flessione e/o a taglio. I controventi eccentrici possono essere classificati come dissipativi quando la plasticizzazione dei traversi dovuta a flessione e/o a taglio precede il raggiungimento della resistenza ultima delle altre parti strutturali.

Figura4.3.2.3.I

4.3.2.4 Strutture a mensola o a pendolo inverso Costituite da membrature presso-inflesse in cui le zone dissipative sono collocate alla base. Un esempio sono i telai di edifici monopiano, in cui il 50% della massa è concentrata nel terzo superiore dell’altezza dell’edificio.

69

4.3.2.5 Strutture intelaiate con controventi concentrici Le azioni orizzontali sono assorbite sia dai telai che dai controventi agenti nel medesimo piano.

4.3.2.6 Strutture intelaiate con tamponature Strutture costituite da tamponature in muratura o calcestruzzo non collegate ma in contatto con strutture intelaiate.

4.3.3 Il fattore di struttura Il fattore di struttura è un parametro che rappresenta la duttilità globale della struttura. Il valore che si assume per il fattore di struttura q, per ciascuna direzione del sisma, dipende dalla tipologia strutturale, dal suo grado di iperstaticità e dai criteri di progettazione adottati e prende in conto le non linearità di materiale.

4.3.3.1 Il fattore q0 Può essere calcolato secondo la formula q = qKù Dove q0 = è il valore massimo del fattore di struttura che dipende dal livello di duttilità attesa, dalla tipologia strutturale e dal rapporto αu/ α1 KR = è un fattore riduttivo che dipende dalle caratteristiche di regolarità in altezza della costruzione (vale 1 per costruzioni regolari in altezza e 0.8 per le non regolari).

Figura 4.3.3.1.I

4.3.3.2 Il rapporto αu/ α1 αu/ α1 rappresenta il rapporto tra il moltiplicatore che causa l’ultima cerniera plastica e quello che causa la formazione della prima.

Figura4.3.3.2.I

70

Se non si effettua un analisi non lineare per determinare tale rapporto, sono specificati nelle NTC 2008 dei valori per le differenti tipologie costruttive (Tab.4.4.3.2.I).

Edifici a un solo piano αu/ α1= 1.1

Edifici a telaio a più piani, con una sola campata αu/ α1= 1.2

Edifici a telaio a più piani e più campate αu/ α1= 1.3

Edifici con controventi eccentrici a più piani αu/ α1= 1.2

Edifici con strutture a mensola/pendolo inverso αu/ α1= 1.0 Tab.4.3.3.2.I

- Il rapporto ρi = αu/ α1 è detto coefficiente di ridistribuzione plastica: è funzione del grado di iperstaticità strutturale e esprime la capacità della struttura di sopportare forze orizzontali superiori a quelle che producono la formazione della prima cerniera plastica - Il rapporto qµ = αe/ αu è uguale al rapporto µ = δu / δy

4.3.4 Zone dissipative e duttilità locale

4.3.4.1 Confronto tra le norme

4.3.4.2 Ordinanza 3274

Nell’ordinanza 3274 si classificano le membrature in funzione di un parametro “s”. Tale parametro è definito dal rapporto tra la tensione corrispondente alla capacità portante ultima della sezione fc e la tensione di snervamento del materiale fy . = «

Nel caso di profili a doppio T inflessi, esso è funzione di: - snellezza delle flange e dell’anima - proprietà del materiale - distribuzione del momento flettente lungo l’asse della membratura = « = 10.695 + 1.632λ@ + 0.062λ@ − 0.602 bL∗ ≤ min ;1.25 Dove: - bf = è la larghezza della flangia - L* = è la distanza tra la sezione della membratura in cui il momento flettente è nullo e la sezione dove si forma la prima cerniera plastica; per membrature inflesse o presso inflesse si può adottare la posizione L* = L/2 ipotizzando che la cerniera plastica si formi all’estremità delle membrature con un diagramma flettente che si annulla in mezzeria (vero se sulla struttura agiscono solo carichi orizzontali; considerando anche carichi verticali L* è un po’ più piccolo)

- λ ø@éî8 -λ ú,@ éî8

- d, ú@ 1 + ==ô ç ≤ d

ORDINANZA 3274

Classificazione delle membrature in categorie di duttilità sulla base della valutazione di un parametro di snellezza “s”, funzione di: - snellezza delle diverse parti che compongono la sezione - proprietà del materiale - distribuzione del momento flettente lungo l’asse della membratura

EC3 e NTC08

Classificazione delle membrature basata sulla valutazione di un parametro di snellezza “λ”, funzione di: - larghezza e spessore della sola parte compressa della sezione - proprietà del materiale

71

- tf e tw = spessori ala e anima - dw = altezza anima della colonna - A e Aw = area della sezione e area dell’anima - ρ = Nsd/Afy rapporto tra sforzo normale di progetto e sforzo normale plastico L’ordinanza 3274 classifica la sezione come duttile,plastica o snella in funzione al parametro s.

Figura 4.3.4.2.I

In funzione della classe della sezione si ha che il valore di Mc (momento flettente corrispondente al manifestarsi dell’instabilità locale) varia tra valori minori del momento di prima plasticizzazione e valori maggiori del momento plastico. ATT. Nel caso di membrature tese s si determina come:

= minîî8 ;1.25 Poiché ft/fy deve essere sempre > 1.2 (vedi Par. 4.4.1.) , le membrature tese sono sempre considerate come duttili. 4.3.4.3 NTC 2008

Le norme tecniche specificano che si deve garantire una duttilità locale sufficiente degli elementi che dissipano energia in compressione e/o flessione, limitando il rapporto larghezza - spessore b/t secondo le classi di sezioni trasversali. Le norme, classificano i differenti elementi strutturali in funzione della loro capacità rotazionale Cθ .

C! θ"θ θ# 1 θθ θ#θ 1 1

Essendo θu e θy le curvature corrispondenti rispettivamente della deformazione ultima e dello snervamento. Al variare della capacità rotazionale si distinguono le seguenti classi di sezioni: - classe 1 = La sezione è in grado di sviluppare una cerniera plastica con la capacità rotazionale richiesta senza subire riduzioni di resistenza. - Cθ > 3. - classe 2 = La sezione è in grado di sviluppare il primo momento resistente plastico, ma con capacità rotazionale limitata. - Cθ > 1.5. - classe 3 = Nella sezione le tensioni calcolate nelle fibre esterne compresse possono raggiungere la tensione di snervamento ma l’instabilità locale impedisce lo sviluppo del momento resistente plastico - classe 4 = quando per determinare la resistenza flettente, tagliante o normale bisogna tener conto dell’instabilità locale già in fase elastica. In tal caso nel calcolo della resistenza la sezione reale può sostituirsi con una sezione efficace.

4.3.4.3.I

72

Si definiscono : Le norme tecniche classificano le sezioni in funzione del parametro di snellezza

$ = %&

é'()

ATT. 1) “b” che indica la larghezza della parte compressa è indicata invece come “c” nella tabella seguente

ATT. 2) Viene definito ε V235/f+ considerando “E” uguale per tutti gli acciai

Figura 4.3.4.3.II

In funzione della classe di duttilità e del fattore di struttura q0 usato in fase di progetto, le prescrizione relative alle classi di sezioni trasversali per elementi in acciaio che dissipano energia sono definite nella seguente tabella:

Classe di duttilità Valore di riferimento di q0 Classe di sezione trasversale richiesta

CD “B” 2 < q0 < 4 Classe 1 o 2

CD “A” q0 >4 Classe 1

La tabella riporta i valori tipici di snellezza “s” per profili IPE e HEA. Tab 4.3.4.3.I

Classe 1

Compatte

Classe 2

Classe 3 Moderatamente snelle Classe 4 Snelle

73

4.4 Strategia di progettazione antisismica La progettazione antisismica si pone differenti obbiettivi: 1) Garantire una duttilità globale di progetto congruente con quella effettiva della struttura 2) Garantire in condizioni limite, una tipologia di collasso globale

4.4.1 La gerarchia delle resistenze Per perseguire tali obbiettivi si segue il criterio della gerarchia delle resistenze. Tale criterio prevede che: Gli elementi, o parte di essi, destinati alla dissipazione devono essere scelti e progettati in modo da favorire una particolare tipologia di collasso globale. Gli elementi, o parte di essi, non destinati alla dissipazione devono essere progettati in modo da fornire un’adeguata sovraresistenza. Per tenere conto delle incertezze sulle resistenze degli elementi si introduce un coefficiente di sicurezza α , che può essere usato per aumentare la resistenza dell’elemento duttile (caso A) o per ridurre la resistenza dell’elemento fragile (caso B).

Figura 4.4.1.I

L’OPCM 3274 prevede che la resistenza Rfi dell’elemento i-esimo fragile sia maggiore della somma delle sollecitazioni Sfi,G dovute ai carichi gravitazionali e delle sollecitazioni dovute all’azione sismica Sfi,E amplificate dal fattore α. ¾îK ≥ îK,ã + % îK,

4.4.2 I sistemi di dissipazioni

Figura 4.4.2.I

74

4.5 Sistemi di dissipazione ordinari 4.5.1 Strutture intelaiate

4.5.1.1 Meccanismi di collasso

Per strutture intelaiate si vuole garantire un meccanismo che preveda la formazione di cerniere plastiche nelle travi e alla base delle colonne primarie, mentre è assolutamente da evitare il meccanismo di piano debole.

Figura 4.5.1.1.I

4.5.1.2 Le travi Nelle sezioni in cui è attesa la formazione delle cerniere plastiche devono essere verificate le seguenti relazioni ZíZ ,¯í ≤ 1

í ,¯í ≤ 0.15

)í,ã + í,<+ ,¯í ≤ 0.50

Dove: - MEd , NEd , VEd sono i valori di progetto di momento flettente, sforzo assiale e taglio - Mpl,Rd , Npl,Rd , Vpl,Rd sono i valori della resistenza plastiche di progetto, flessionale, assiale e tagliante - VEd,G è la sollecitazione di taglio di progetto dovuta alle azioni non-sismiche - VEd,G è la forza di taglio dovuta all’applicazione dei momenti plastici equiversi Mpl,Rd nelle sezioni in cui è attesa la formazione delle cerniere plastiche

4.5.1.3 Le colonne

Le colonne devono essere verificate in compressione considerando la più sfavorevole delle combinazioni di sollecitazioni assiali e flessionali. Le sollecitazioni di progetto sono determinate nel modo seguente: í = í,ã + 1.1ñ¯í Ωí, Zí Zí,ã + 1.1ñ¯í ΩZí, í í,ã + 1.1ñ¯í Ωí, Dove: - MEd,G , NEd,G , VEd,G sono le sollecitazioni di compressione, taglio e momento dovute alle azioni non sismiche - MEd,E , NEd,E , VEd,E le sollecitazioni di compressione, taglio e momento dovute alle azioni sismiche - γRd = fattore di sovraresistenza

75

- Ω = è il minimo valore degli Ωi= Mpl,Rd,i/ MEd,i di tutte le travi in cui si attende la formazione di cerniere plastiche - Mpl,Rd,i è il momento plastico dell’i-esima trave

ATT. Data l’espressione del parametro Ω è evidente che minore è il tasso di sfruttamento delle travi e maggiore sarà il parametro e dunque maggiori saranno le sollecitazioni di progetto da considerare per le colonne. Il sovradimensionamento delle travi può quindi essere controproducente. La formazione di cerniere plastiche nelle colonne è ammessa per le sole colonne primarie. In tali colonne si ipotizza che si possa formare una cerniera plastica alla loro base. In questi casi, le sollecitazioni devono essere calcolate nell’ipotesi che sulle cerniere plastiche il momento flettente sia pari a Mpl,Rd. Il taglio di progetto deve rispettare la limitazione: í ,¯í ≤ 0.50

Minore è il tasso di sfruttamento delle travi e maggiore sarà il fattore e dunque maggiori saranno le sollecitazioni di progetto da considerare per le colonne. Il sovradimensionamento delle travi può quindi essere controproducente. Per assicurare lo sviluppo del meccanismo globale dissipativo è necessario rispettare la gerarchia delle resistenze tra la trave e la colonna: Ð Z, ,¯í ≥ ñ¯í Ð Z, ,¯í

Dove: - MC,pl,Rd è il momento resistente della colonna calcolato per tutti i livelli di sollecitazione assiale presenti nella colonna nelle combinazioni sismiche delle azioni - Mb,pl,Rd è il momento resistente delle travi che convergono nel nodo trave-colonna - γRd vale 1.3 per strutture in classe CD”A” e 1.1 per strutture in classe CD”B”

4.5.1.4 I nodi

4.5.1.4.1 Nodo Trave – Colonna I collegamenti trave – colonna devono essere progettati in modo da possedere un’adeguata sovraresistenza per consentire la formazione delle cerniere plastiche alle estremità delle travi. In particolare, il momento flettente resistente del collegamento trave – colonna Mj,Rd deve soddisfare la relazione : Zë,¯í ≥ 1.1ñ¯í Z, ,¯í

Dove Mb,pl,Rd è il momento resistente plastico della trave collegata. I pannelli nodali dei collegamenti trave – colonna devono essere progettati in modo da escludere la loro plasticizzazione e instabilizzazione a taglio. Tale requisito può ritenersi soddisfatto quando vale: ð ,íð ,¯í , ð,¯í < 1.0

Dove: - Vvp,Ed è la forza di rpogetto - Vvp,Rd è la resistenza a taglio per plasticizzazione - Vvb,Rd è resistenza a taglio per instabilità del pannello I pannelli d’anima delle colonne devono possedere una resistenza sufficiente a garantire lo sviluppo del meccanismo dissipativo delle strutture a telaio, che prevede la plasticizzazione delle sezioni delle travi convergenti nel nodo trave-colonna. Poiché si ipotizza la plasticizzazione delle sezioni delle travi convergenti nel nodo trave-colonna, si determina la forza di taglio agente sul pannello d’anima del nodo assumendo la completa plasticizzazione delle travi in esso convergenti.

76

Per questo motivo il pannello deve essere dotato di sufficiente sovraresistenza, di modo che consenta lo sviluppo del meccanismo dissipativo del telaio.

Può accadere che a causa di carichi gravitazionali grandi la trave abbia dimensioni maggiori della colonna e che quindi il momento resistente nella trave sia maggiore di quello della colonna. Per ovviare a questo problema e rispettare la gerarchia delle resistenze si può restringere le ali della trave in modo da ridurre il momento resistente della stessa a favorire la gerarchia delle resistenze.

4.5.1.4.2 Nodo Colonna-Fondazione Si è già specificato che è prevista la formazione di cerniere plastiche alla base delle colonne primarie ma non nell’elemento di fondazione, per questo motivo il nodo colonna-fondazione deve essere progettato in modo da risultare sovraresistente rispetto alla colonna ad esso collegata. Il momento resistente plastico del collegamento deve rispettare l’uguaglianza: Z,¯í ≥ 1.1ñ¯í Z«, ,¯í )í+ In cui Mc,pl,Rd è il momento resistente plastico di progetto della colonna, calcolato per lo sforzo normale di progetto Ned che fornisce la condizione più gravosa per il collegamento di base.

4.5.2 Strutture con controventi concentrici Descritte al Par.4.4.2.2

Figura 4.5.2.I

E’ possibile identificare due differenti fasi di comportamento: - La fase 1 dove i diagonali sono compressi ma ancora stabili - La fase 2 dove i diagonali sono ormai instabilizzati

Dotare il pannello di

un adeguata

sovraresistenza

Plasticizzazione delle

sezioni delle travi

convergenti nel nodo

Doge-bone section

Figura 4.5.1.4.1.I

77

Se si ricade nella fase 1 si procede andando a determinare le proprietà di vibrazione elastica dell’elemento e le forze di progetto per poi verificare la stabilità dei diagonali. Invece se si ricade nella fase 2 , si procede con la verifica di resistenza della diagonale tesa e successivamente di travi, colonne e collegamenti seguendo il criterio della gerarchia delle resistenze. Secondo le NTC08 , le strutture con controventi concentrici devono essere progettate in modo che la plasticizzazione delle diagonali tese preceda la rottura delle connessioni e l’instabilizzazione di travi e colonne. Le diagonali hanno funzione portante nei confronti dell’azione sismica e a tal fine, tranne che per i controventi a V, devono essere considerate solo le diagonali tese . Le membrature di controvento devono essere di classe 1 o 2 (Par. 4.4.4.2 ) . La risposta carico – spostamento laterale deve risultare indipendente dal verso dell’azione sismica. Per edifici con più di due piani, la snellezza adimensionale dei diagonali deve rispettare le seguenti limitazioni: 1.3 ≤ ≤ 2M ≤ 2M Per garantire un comportamento dissipativo omogeneo delle diagonali all’interno della struttura, i coefficienti di sovraresistenza Ωi = Npl,Rd,i / NEd,i , calcolati per tutti gli elementi di controvento, devono differire tra il massimo e il minimo non più del 25% (Npl,Rd,i è la resistenza dei controventi nei confronti dell’instabilità). La verifica delle diagonali segue la fase 2 descritta precedentemente: 1) Calcolo NEd in ogni diagonale teso dovuto a azione sismica 2) Verifica di resistenza NEd / Nt,Rd < 1 (dove Nt,Rd è la resistenza di calcolo a trazione del diagonale) 3) Calcolo Ωi = Npl,Rd,i / NEd,i per ogni diagonale e controllo che non differiscano più del 25%

4.5.2.1 Travi e colonne

Travi e colonne considerate soggette prevalentemente a sforzo assiale in condizione di sviluppo del meccanismo dissipativo devono soddisfare la relazione: í ,¯í )Zí+⁄ ≤ 1 In cui Npl,Rd è la resistenza nei confronti dell’instabilità , valutata tenendo conto dell’interazione con il momento flettente. Nei telai con controventi a V le travi devono resistere agli effetti dovuti a azioni non sismiche senza il contributo delle diagonali ed alle forze verticali squilibrate, che si sviluppano per effetto delle azioni sismiche, a seguito della plasticizzazione delle diagonali tese e della instabilizzazione delle diagonali compresse. Per determinare quest’effetto , si può considerare una forza pari a Npl,Rd nelle diagonali tese e a γpb Npl,Rd nelle diagonali compresse, essendo γpb = 0.30 il coefficiente che permette di stimare la resistenza residua a seguito dopo l’instabilizzazione. I collegamenti delle diagonali di controvento alle altre parti strutturali devono essere progettate nel rispetto dei requisiti di sovraresistenza .

Figura 4.5.2.II

78

4.5.2.2 I collegamenti Nel seguente paragrafo si illustra i passaggi che portano alla verifiche delle colonne in strutture a controventi concentrici secondo il criterio della gerarchia delle resistenze. 1)Si calcolano le sollecitazioni assiali NEd,E e NEd,G in ogni colonna dovute rispettivamente ad azione sismica e carichi 2) Si calcolano la sollecitazione di progetto í = í,ã + 1.1 ñ¯í . í, Dove Ω è stato già definito al Par.4.6.4 3) Si verificano le colonne í ,¯í )Zí+⁄ ≤ 1

Dove Npl,Rd è la resistenza della colnna nei confronti dell’instabilità , valutata tenendo conto dei momenti flettenti Med , anch’essi amplificati da Ω Zí = Zí,ã + 1.1 ñ¯í . Zí,

4.5.3 Strutture con controventi eccentrici

4.5.3.1 Verifica elementi di connessione

Figura 4.5.3.1.I

Nelle strutture con controventi eccentrici, la trave del telaio viene divisa dal controvento stesso in due o più parti una delle quali chiamata Link. Si progetta in campo plastico il solo elemento Link , che sarà quindi l’unico responsabile della dissipazione di energia, mentre le porzioni di trave esterne ai Link , i diagonali, le colonne e i collegamenti si progettano in campo elastico. Si può classificare l’elemento Link in funzione della sua lunghezza “e” e della sollecitazione che provoca la plasticizzazione dell’elemento: - corto quando la plasticizzazione avviene per taglio ≤ 0.8 )1 + %+ Z,¯í,¯í

- lungo quando la plasticizzazione avviene per flessione ≥ 1.5 )1 + %+ Z,¯í,¯í

- intermedio quando la plasticizzazione avviene per effetto combinato di taglio e flessione 0.8 )1 + %+ Z,¯í,¯í < < 1.5 )1 + %+ Z,¯í,¯í

Dove Ml,Rd e Vl,Rd sono la resistenza flessionale e a taglio di progetto dell’elemento di connessione , α è il rapporto tra il minore ed il maggiore dei momenti flettenti attesi alle due estremità dell’elemento di connessione. Per la sezioni a I, il momento resistente Ml,Rd ed il taglio resistente Vl,Rd sono definiti in assenza di sollecitazione assiale assiale dalle formule: Z,¯í = , î )ℎ − î+

Figura 4.5.2.2.I

79

,¯í = √3 î)ℎ 1 î+

Quando il valore della sollecitazione assiale di calcolo NEd presente nell’elemento di connessione supera il 15% della resistenza plastica a sollecitazione assiale della sezione dell’elemento Npl,Rd , va tenuta opportunamente in conto la riduzione della resistenza plastica a flessione e a taglio (Ml,Rd e Vl,Rd) del link dovuta alla presenza della sollecitazione assiale. L’angolo di rotazione rigida θp tra il link e l’elemento contiguo non deve eccedere il valore di 0.08 rad per link corti, 0.02 rad per link lunghi (per gli intermedi si interpola linearmente tra questi valori). La resistenza ultima degli elementi di connessione (Mu, Vu), a causa di diversi effetti, quali l’incrudimento, la partecipazione della soletta dell’impalcato, e l’aleatorietà della tensione di snervamento, è maggiore di M e V. Sulla base dei dati disponibili, la sovraresistenza si calcola mediante le relazioni: aZ 0.75Z,¯í 1.5,¯í :

¨ℎ 6Z 1.5Z,¯í 2 Z,¯í : La resistenza ultima per gli elementi intermedi si determina per interpolazione

Come già detto per le strutture con controventi concentrici al Par.4.6.4. i coefficienti di sovraresistenza Ωi, calcolati

per tutti gli elementi di collegamento, devono differire tra il massimo e il minimo non più del 25%. Tali coefficienti si

calcolano nel seguente modo:

¨ℎ ∶ Ω0 1.5 Z,¯í,KZí,K ∶ Ω0 1.5 ,¯í,Kí,K

: Dove: - Ml,Rd e Vl,Rd sono momento e taglio resistenti del link - MEd e VEd sono le sollecitazioni di calcolo ottenute dalla combinazione sismica. Le membrature che non contengono elementi di connessione devono essere verificate come indicato per i

controventi concentrici , in cui Ωi è il minimo tra tutti gli Ω0 = 1.5 12,34,5164,5 relativi agli elementi di connessione lunghi e

Ωi è il minimo tra tutti gli Ω0 = 1.5 72,34,5764,5 relativi agli elementi di connessione corti.

Figura 4.5.3.1.II

80

4.5.4 Collegamenti Nel caso di membrature tese con collegamenti bullonati, la resistenza plastica di progetto deve risultare inferiore alla resistenza ultima di progetto della sezione netta in corrispondenza dei fori per i dispositivi di collegamento. Pertanto si deve verificare che: ¬k? ≥ 1.1 ñ<@ñ<&

Ý Ý

essendo A l’area lorda, Ares l’area netta in corrispondenza dei fori (integrata da un’eventuale area di rinforzo) e γM0 e γM2 fattori parziali dati dalla Normativa. I collegamenti in zone dissipative devono avere sufficiente sovraresistenza per consentire la plasticizzazione delle parti collegate. Si ritiene che tale requisito di sovra resistenza sia soddisfatto per saldature a completa penetrazione. Nel caso di collegamenti con saldature a cordoni d’angolo e nel caso di collegamenti bullonati deve essere soddisfatto il seguente requisito: ¾ë,í ≥ 1.1ñ¯í ¾ ,¯í ¾,¯í

Dove: - Rj,d è la resistenza di progetto del collegamento - Rpl,Rd è la resistenza plastica di progetto della membratura collegata - RU,Rd è il limite superiore della resistenza plastica della membratura collegata.

81

Cap.5 : Criteri di progettazione 5.1 Analisi strutturale La progettazione strutturale è un processo non lineare iterativo dove si vuole trovare tra le n soluzioni possibili quella ottimale. Si riporta in seguito il processo iterativo di progettazione

Nella seguente trattazione è riportata l’analisi del processo progettuale scomposto in due macrofasi: 1) Conceptual design 2) Ottimizzazione strutturale

5.2 Conceptual design Il conceptual desgin si colloca nelle prime fasi del processo di progettazione. Durante questa fase si operano la maggior parte delle scelte strategiche, si prendono decisioni importanti che successivamente, solo con difficoltà, possono essere cambiate. Il conceptual design è la parte di progettazione meno supportata da strumenti dedicati e dipende dalle conoscenze e dalla sensibilità dell’ingegnere.

COMMISSIONE

STRUTTURA

Step K = 0 - Concezione strutturale - Pre-dimensionamento

CALCOLI

DATI - Geometria - materiale

- Vincoli - Condizioni di carico

RISULTATI

TEST SI NO

Step K = K+1 Modifica ANALISI VERA E PROPRIA

È un processo lineare anche se i calcoli non lo

sono

82

5.3 Ottimizzazione strutturale L’ottimizzazione strutturale è quel processo che ci permette di modificare e/o cambiare drasticamente il conceptual design di una struttura al fine di minimizzare il costo della stessa senza modificarne le funzionalità.

Es. Si considera il seguente edificio: Per minimizzare il costo della struttura bisogna andare a limitare: 1) Il volume di acciaio utilizzato per la costruzione Per fare ciò bisogna cercare di progettare elementi di dimensioni minime affinché svolgano la loro funzione. Nel caso di Fig.5.3.I si può pensare di progettare 7 differenti colonne con profili più tozzi per le colonne primarie che andranno via via rastremandosi progressivamente con l’altezza dell’edificio (n° suddivisioni colonne pari a 7). 2)Il costo legato alla manodopera Poiché uno dei costi legato alla manodopera è il numero di giunzioni che sono presenti nella struttura, limitare il costo della manodopera significa anche limitare il numero di giunzioni presenti nella stessa. Si rappresentano in un piano Costo/n° suddivisioni colonne i costi relativi al materiale ed alle unioni

- La curva rossa rappresenta la legge che lega il costo della struttura con il numero di suddivisioni di colonne.

- n* rappresenta il numero di suddivisioni di colonne ottimale per realizzare la struttura di minimo costo.

Es. parco eolico offshore

Figura 5.3.III

Figura 5.3.I

Figura 5.3.II

83

Il supporto della struttura è essenzialmente tubolare, con area di impronta allargata per una più omogenea ripartizione delle tensioni. I pali sono infissi per circa 30 metri nel fondale. L’oggetto entrerà in vibrazione: occorre controllare che la struttura non vada in risonanza e che gli spostamenti non siano eccessivi. La spinta orizzontale può essere molto importante (se il rotore pesa 300 t, la spinta sarà circa 100 t ) Il supporto peserà circa 1000 t = 1000000Kg. Considerando che si tratta di un parco eolico, il prezzo è molto alto: supponendo che il costo dell’acciaio si un po’ inferiore (data la grande quantità di materiale) abbiamo Singola turbina eolica ---- > Costo * Peso = 2€/Kg * 1000000 = 2 milioni di € Parco eolico (100 turbine) ----> 200 milioni di € Ottimizzazione Supponiamo di ridurre dell’1% il peso della struttura (diminuendo il diametro del tubo da 50 mm a 49.5mm). Vediamo che il risparmio è subito considerevole. Risparmio singola turbina eolica ---- > 20000 € Risparmio parco eolico (100 turbine) ----> 2 milioni di € Si possono identificare tre differenti livello di ottimizzazione: 1) Livello di ottimizzazione locale

2) Livello di ottimizzazione morfologico

3) Livello di ottimizzazione tipologico

5.3.1 ottimizzazione locale (“Sizing”)

Nel processo di ottimizzazione locale il conceptual design della struttura è stato ben definito e non è modificabile. Durante questa fase non si modifica la struttura aggiungendo nuovi elementi o togliendone degli altri ma si modifica la geometria degli elementi già presenti nella nostra struttura. Es. Ottimizzazione di una trave Vierendeel

Figura 5.3.1.I

La trave Vierendeel ha due correnti paralleli e montanti posti perpendicolarmente ai correnti. Se si ipotizza una distribuzione uniforme di carichi che agiscono verticalmente sulla trave sono note le caratteristiche della sollecitazione che ne derivano:

Fissato il conceptual design della trave come quello della trave Vierendeel si può ottimizzare la struttura andando a modificare le dimensioni dei correnti e dei montanti seguendo questi ragionamenti: 1) poiché il corrente superiore è compresso mentre quello inferiore è teso, si decide di utilizzare una sezione a doppio T tozza per gli elementi che compongono il corrente superiore cosi da evitare problemi di instabilità ed una sezione a doppio T snella per gli elementi che compongono il corrente inferiore poiché non sono affetti da problemi di instabilità.

Figura5.3.1.II

84

2) Dato l’andamento dei momenti si nota come gli elementi dei correnti che sono posizionati in prossimità dei vincoli saranno soggetti ad un minor valore del momento flettente e quindi potranno essere di dimensioni ridotte rispetto agli elementi che compongono la mezzeria del corrente dove si ha il momento massimo. 3) Dato l‘andamento del taglio si nota che i montanti posizionati vicino alla mezzeria della trave sono soggetti ad una minor sollecitazione di taglio rispetto a quelli posizionati in prossimità dei vincoli. Si può quindi pensare di dimensionare i montanti con dimensioni differenti in funzione della loro posizione nella trave.

Figura 5.3.1.II

NOTA! Esiste un analogia tra lo schema di funzionamento della trave Vierendeel e la trave a doppio T, Infatti: Nella trave Vierendeel i montanti hanno lo stesso ruolo dell’anima della trave a doppio T, ossia supportano il taglio mentre i correnti hanno lo stesso ruolo delle ali della trave a doppio T, ossia supportano il momento

5.3.2 ottimizzazione morfoligica (“Morfing”)

L’ottimizzazione morfologica è un processo evolutivo dove partendo da una geometria della struttura si giunge ad un redistribuzione delle masse secondo la disposizione che meglio asseconda il probabile flusso tensionale cui l’elemento sarà sottoposto durante la sua vita utile.

Figura 5.3.2.I

5.3.3 ottimizzazione topologica Per ottimizzazione topologica si intende quel processo atto a modificare lo schema strutturale in modo da favorire un percorso di scarico delle azioni agenti sulla struttura. Un esempio di ottimizzazione toppologica è rappresentato dall’inserimento dei controventi nello schema della struttura. In seguito si può effettuare l’ottimizzazione per morfing e sizig. Es. Ottimizzazione di una trave Vierendeel

Considerando la trave Virendeel sono possibili differenti opzioni date dall’ottimizzazione morfologica: Opzione_1

Si aggiungono due tiranti obliqui che collegano un puntone centrale con il corrente inferiore della trave. Cosi facendo si riducono notevolmente le deformazioni della struttura introducendo elementi il cui comportamento non dovrebbe provocare dei problemi. Infatti l’unico elemento compresso aggiunto è il puntone centrale che date le sue ridotte dimensioni può facilmente essere progettato come elemento tozzo evitando cosi i problemi legati all’instabilità.

Figura 5.3.3.I

85

Opzione_2

Si aggiunge un sistema di controventamento che trasforma lo schema statico da trave inflessa e sistema di travi reticolari. Tale sistema, come sappiamo, offre numerosi vantaggi poiché gi elementi costituenti il sistema reticolare non sono soggetti a flessione che è la sollecitazione che comporta deformazioni più grandi.

Figura 5.3.3.II

5.3.4 Riepilogo ottimizzazione Nei paragrafi precedenti abbiamo descritto tre differenti tipi di ottimizzazione:

- Locale Sizing Morfing

- Globale Topologica

Se andiamo a rappresentare sul piano costo- N° di ottimizzazioni (Fig.5.3.4.I) si possono identificare la curva relativa ad una struttura come una parabola. Il nostro obbiettivo consiste nell’andare ad abbassare il più possibile il costo della struttura, pur mantenendo la funzionalità per cui è stata progettata. Per ossia ottenere il miglior risultato possibili in termini di funzionalità-costo, si effettuano dei processi di ottimizzazione: 1) Ottimizzazione locale: Si parte da un punto appartenete alla nostra curva che è determinato in base al predimensionamento della struttura e poi con il Sizing ci si avvicina al minimo della parabola. Cosi facendo si cerca di raggiungere il minimo costo che il conceptual design impone per la nostra struttura. 2) Se si vuole abbassare ulteriormente il costo della struttura si deve procedere con ottimizzazioni di tipo morfologico o tipologico che, effettuando un salto innovativo della struttura, permettono di passare da una curva costo-N° ad un'altra ove in seguito si può effettuare il Sizig.

Figura 5.3.4.I

E’ un salto innovativo

86

5.4 Requisiti strutturali Come abbiamo già detto l’attività progettuale si basa sull’andare a determinare la struttura di minor costo che soddisfa tutti i requisiti strutturali. La definizione di tali requisiti è quindi un elemento imprescindibile della nostra trattazione. Si distinguono due differenti categorie di requisiti strutturali quali: 1) Requisiti elementari 2) Requisiti della struttura come sistema

5.4.1 Requisiti elementari I requisiti elementari dipendono dai singoli elementi di cui è composta la struttura. Si distinguono quattro differenti requisiti: 1) Rigidezza S.L.E. 2) Capacità portante 3) Assenza di instabilià S.L.U. 4) Duttilità

Fig.5.4.1.I

5.4.1.1 Sati limite di esercizio

Il primo parametro che si analizza di una struttura è la sua rigidezza. Tale parametro fornisce indicazioni riguardanti la capacità che ha un corpo di opporsi alla deformazione elastica provocata da un sistema di forze agenti sul corpo stesso. I limiti sulla rigidezza della struttura vengono imposti dalle norme nelle condizioni di esercizio, poiché se non soddisfatti non provocano il collasso della struttura ma la sua perdita di funzionalità. Per questo motivo è fondamentale rispettare tali limiti altrimenti si potrebbe avere una struttura che non collassa ma che non è neanche utilizzabile. I limiti imposti dagli S.L.E. sono:

- i drift di interpiano massimi devono essere limitati entro certi valori specificati dalle norme - La freccia di solai e travi deve essere limitata entro certi valori specificati dalle norme - Frequenze proprie di vibrazione dell’edificio - Frequenze proprie di vibrazione del solaio

5.4.1.2 Stati limite ultimi Dopo aver verificato che la struttura soddisfa i limiti imposti dagli S.L.E. si devono verificare i diversi requisiti imposti dagli S.L.U. 1) Capacità portante (λMAX)

Per capacità portante si intende la resistenza massima della struttura. 2) Instabilità

Si deve verificare data la presenza di elementi compressi, tali elementi non siano soggetti a problemi di instabilità 3) Duttilità

La duttilità è la capacità di un corpo o di un materiale di deformarsi plasticamente sotto carico prima di giungere a rottura. Questo parametro ha assunto un ruolo fondamentale nella progettazione antisismica poiché attraverso l’utilizzo di appositi elementi duttili-dissipativi si è potuto prescindere dallo studio delle sollecitazioni in campo elastico a favore di quello plastico (Cap.2).

87

Esistono differenti tipi di duttilità: a) Duttilità in caso di carico monotono crescente

b) Duttilità in caso di ciclo di carico e scarico

5.4.2 Requisiti della struttura come sistema Tali requisiti dipendono dalla complessità degli elementi che compongono la struttura e dalla loro interazione e disposizione all’interno della stessa. Si elencano in seguito i differenti requisiti: 1) Durabilità 2) Robustezza 3) Resilienza 4) Sostenibilità

5.4.2.1 Durabilità

Per durabilità si intende quella proprietà che descrive la conservazione delle caratteristiche fisiche e meccaniche della struttura nel tempo. A) CAUSE

Dovuta a:


Comportamento fragile Comportamento duttile

5.4.1.2.III

Figura 5.4.1.2.IV

DURABILITA’ (Perdita di capacità portante)

- Fenomeni ambientali (Corrosione)

- Carichi (Fatica)

- L’unione dei due

Cause descrivibili

in forma statistica

88

B) INTERAZIONE PROPRIETA’-STRUTTURA

Tale proprietà dipende dalla tipologia di elementi utilizzati nell’opera e dalla loro disposizione. Si considerano differenti tipologie di sezione a parità di area che devono essere utilizzate per realizzare un elemento fune ( non sussistono problemi legati all’instabilità).

Figura 5.4.2.1.I

Le sezioni 1 e 4 sono le peggiori, dal punto di vista della durabilità, poiché permettono la formazione di zone in cui l’acqua può ristagnare provocando un elevata corrosione. La sezione 3 è quella con la durabilità maggiore poiché data la sua geometria smaltisce meglio l’acqua rispetto alle altre. La sezione 2 è una soluzione intermedia, poiché in seguito a deformazioni potrebbe perdere la sua capacità di smaltire l’acqua piovana.

l’elemento di sezione 6 risulta più durevole in quanto tale sezione data la sua geometria permette di ripetere, durante un intervento di manutenzione, una completa verniciatura anti-corrosione. Invece ciò non è possibile per la sezione 5

Es_2 Si ipotizza di dover scegliere le sezioni di colonne posizionate in mare, come ad esempio le colonne delle

piattaforme petrolifere offshore.

Poiché la sezione tubolare ha una minor superficie a contatto con l’esterno, gli agenti atmosferici avranno su di essa un minor effetto corrosivo rispetto alla sezione a doppio T che si corrode da ambe le parti.

Figura 5.4.2.1.II

Figura 5.4.2.1.IV

Figura 5.4.2.1.III

89

C) DIAGRAMMA PROPRIETA’

Tutte le proprietà elencate al Par.5.4.2 possono essere riassunte in un'unica grandezza: La qualità della struttura. La durabilità può essere rappresentata nel piano Qualità-tempo. Es_Tirante

Si definisce la diminuzione del lato a della sezione del tirante di Fig.5.4.2.1.V secondo la seguente legge: )+ = & 1 Dove n sono il numero di anni che sono passati dalla messa in opera del tirante. )+ )& 1 +@ La resistenza varierà nel tempo secondo la legge: ¾)+ í ∗ )+ = í ∗ )& − +@

La funzione di decadimento della resistenza ha un andamento parabolico in funzione del numero di anni

Confronto

La struttura A è più resistente della struttura B La struttura B è più durevole della struttura A

D) INTERVENTI

Si possono distinguere due tipologie di interventi atti ad aumentare la durabilità di una struttura: 1) Si sovradimensiona l’elemento in modo da garantire la vita utile della struttura Es. Nell’ipotesi di progettazione di un palo di una piattaforma offshore, si è calcolato un sdesign pari a 20mm. Grazie ai dati presenti in letteratura sappiamo che ogni anno pero 1 mm per l’erosione dovuta agli agenti atmosferici. Se si vuole garantire una vita utile dal pari di 20 anni si andrà a dimensionare il palo con uno spessore s pari a 40mm cosicché dopo 20 anni la s del palo sarà pari a quella di design.

Figura5.4.2.1.V

Figura 5.4.2.1.VI

Figura 5.4.2.1.VII

90

2) Protezione catodica ( si immettono forzatamente elettroni nel metallo che si corrode che vanno a compensare quelli persi durante il processo di corrosione) 3) Intervento di manutenzione

5.4.2.2 Robustezza Per robustezza si intende la capacità della struttura di incassare eventi eccezionali discreti (Rappresenta il discreto della durabilità). A) CAUSE

Si possono identificare le azioni dovute ad eventi eccezionali ed accidentali in un nuovo stato limite chiamato Stato limite di integrità strutturale (SLIS). Si precisa che l’evento accidentale non ha nessuna base statistica mentre quello eccezionale si. Si rappresenta in seguito la distribuzione gaussiana delle azioni agenti sulla struttura in modo da poter identificare le differenze tre gli SLE, SLU e SLIS.

Figura 5.4.2.2.I

Am = Valore medio dell’azione. Ak = frattile superiore della distribuzione di probabilità dell’azione. Ad = Valore ottenuto aumentando con dei coefficienti specificati in normativa il frattile superiore.

Eventi eccezionali: - Sisma di elevata magnitudo Eventi accidentali: - Esplosioni - Incendi - Urti

Dovuta a:

Intervento di manutenzione

ORDINARIO

A causa del normale degrado della struttura dopo un certo numero di anni sono necessari dei lavori atti a recuperare una quota parte della capacità portante persa.

STRAORDINARIO

A causa di eventi speciali quali: - Gravoso Evento sismico - Scoppio di incendio - Esplosioni Si effettuando dei lavori necessari ad evitare il crollo della struttura per poi renderla nuovamente funzionale.

ROBUSTEZZA

Base statistica

incerta

91

Aa / Ae = Azioni accidentali / Azioni eccezionali ( si nota che tali azioni non ricadono all’interno dell’intervallo in cui è definita la distribuzione di probabilità) . B) INTERAZIONE PROPRIETA’-STRUTTURA

A parità di quantità e tipologia di materiale usato, in funzione di come viene progettata la struttura si possono avere dei valori di robustezza molto differenti. Es. Si considerano le seguenti strutture composte da tiranti:

I tiranti sono tali che: A3 = A1+A2

Osserviamo la differenza di comportamento delle due strutture in seguito al verificarsi di un evento accidentale: -La capacità portante della struttura 1, in seguito ad un evento accidentale che mette fuori uso uno dei suoi due tiranti, si dimezza.

Figura 5.4.2.2.II

- la capacità portante della struttura 2 in seguito ad un evento accidentale che mette fuori l’unico suo tirante, si annulla .

Figura 5.4.2.2.III

Appare quindi evidente che la struttura 1, che non collassa, ha una robustezza maggiore della struttura 2 , che invece collassa.

Figura 5.4.2.2.I

92

C) DIAGRAMMA PROPRIETA’

Si può rappresentare l’andamento della capacità portante (Qualità) della struttura descritta al punto B nello spazio qualità/tempo/eventi discreti.

Figura 5.4.2.2.IV

Confronti

La struttura A è più resistente della struttura B La struttura B è più robusta della struttura A poiché MB > MA

D) INTERVENTI

A causa della scarsa o assente base statistica riguardante gli aventi accidentali ed eccezionali, è difficile prevedere e di conseguenza determinare dei sistemi di protezione da tali eventi. Solo negli ultimi anni si è sviluppata un branca dell’ingegneria civile specializzata nella progettazione anti-incendio. Lo scopo di tale progettazione consiste nel andare aumentare la robustezza di strutture rispetto ad un evento accidentale come l’incendio.

Il cambio di degrado della struttura in seguito all’evento accidentale può essere

dovuto alla rottura di uno dei due tiranti che quindi non protegge più l’altro dalle

intemperie. Maggiore corrosione.

Figura 5.4.2.2.V

93

5.4.2.3 Resilienza Per resilienza si intende la facilità con cui si può ripristinare la capacità portante di una struttura. Es. Si vuole ripristinare la capacità portante dopo un evento accidentale. Minor è il tempo necessario per ripristinare la capacità portante e più la struttura è resiliente.

La struttura A è più resiliente della struttura B

5.4.2.4 Le fasi della vita di una struttura

Fase “As design” : In questa fase la struttura non è ancora stata realizzata e si conoscono i soli valori progettuali di design dovuti al conceptual design della struttura stessa. Durante questa fase si effettuano delle forward analysis atte a prevedere la successiva evoluzione delle varie fasi della struttura. Fase “As Built” : In questa fase la struttura è astata appena costruita. Si nota che i parametri che si ricavano dalla struttura in questa fase sono più bassi di quelli di design e questo è dovuto a: - Errori durante la fase realizzativa - Per risparmiare la struttura viene eseguita peggio

Fase “As Actual”: In questa fase si determinano i differenti parametri che la struttura ha in un determinato momento per poi andare a valutare se sono necessari interventi di manutenzione. Fase “As Failed”: In questa fase la struttura giunge alla fine della sua vita utile. Durante questa fase si possono effettuare back-analysis in modo da capire quali sono stati gli elementi che hanno portato la struttura al collasso.

5.4.3 Metodi di calcolo dei requisiti strutturali

Nel seguente paragrafo andremo ad illustrare due differenti metodi di calcolo numerico utili per determinare alcuni dei requisiti strutturali descritti nei paragrafi precedenti.

5.4.3.1 Analisi Pushover Per valutare la duttilità di una struttura si effettua un analisi non lineare che riesca a carpire l’entrata in campo plastico di alcune sezioni della struttura con la conseguente formazione delle cerniere plastiche.

Figura 5.4.2.3.I

Figura 5.4.2.4.I

94

Si applica una distribuzione di carico alla struttura e poi si moltiplica tale distribuzione per un moltiplicatore λ che verrà via via aumentato secondo step ben definiti. In seguito all’aumentare del moltiplicatore e quindi dei carichi agenti sulla struttura, si formeranno progressivamente delle cerniere plastiche nelle zone più sollecitate della struttura. La rappresentazione dell’andamento del moltiplicatore dei carichi rispetto allo spostamento di un punto ben definito dell’edificio, fornisce la curva di Pushover. Es. Si considerano le strutture A e B e si analizza quale delle due risulti la più duttile.

Figura 5.4.3.1.I

Andando a diagrammare il legame λ-∆ per le due strutture si ottiene:

Figura 5.4.3.1.II

- Le due strutture hanno una capacità portante più o meno confrontabile - La struttura A è più rigida della struttura B

Si determina la duttilità delle strutture come un parametro µ ∆∆^

- La struttura B è più duttile della struttura A

Il valore del ∆u è un valore che vene scelto tra lo spostamento in condizioni di collasso incipiente e lo spostamento che comporta una eccessiva riduzione della capacità portante della struttura. ATT. Il comportamento duttile delle due strutture appena descritto, ha valenza solo nel caso di carichi monotoni crescenti. Nel caso si considerano cicli di carico e scarico si potrebbe avere un inversione di comportamento (La struttura A potrebbe risultare più duttile della struttura B).

5.4.3.2 Analisi Pushdown L’analisi Pushdown come l’analisi Pushover è una analisi non lineare statica. Si moltiplica la distribuzione di carichi verticali agenti sulla struttura per un moltiplicatore λ via via crescente fino a portare la struttura al collasso.

∆∆∆∆ ∆∆∆∆

95

Questo tipo di analisi viene utilizzato per andare a diagrammare la curva caratteristiche della struttura in esame nel piano Q/M (M è la magnitudo dell’evento accidentale/eccezionale) in modo da poter avere un indicazione della robustezza della struttura. Es. si considera la seguente struttura

Figura 5.4.3.2.I

Si diagramma la legge che lega il moltiplicatore dei carichi λ allo spostamento ∆ in modo da determinare la capacità portante della struttura in seguito al verificarsi dell’evento accidentale/eccezionale. Ripetendo il procedimento per differenti livelli di magnitudo si può passare dal diagramma Cap.portante/Spostamento al diagramma Cap.portante / Magnitudo.

Figura 4.5.3.1.II

Si può legare la magnitudo alla percentuale di degradamento delle caratteristiche geometriche dell’elemento vittima dell’incidente.

MAGNITUDO M. DI INERZIA SEZIONE COLONNA AREA SEZIONE COLONNA

M0 Ix Iy A

M1 Ix/2 Iy/2 A/2

M2 Ix/3 Iy/3 A/3

M3 Ix/4 Iy/4 A/4

M4 Ix/5 Iy/5 A/5

96

5.4.4 Effetti delle non linearità geometriche In questo paragrafo, si vedrà come la presenza di non linearità geometriche andrà ad inficiare sui requisiti strutturali di duttilità e robustezza.

5.4.4.1 Duttilità Si considera la struttura descritta in fig5.4.4.1.I soggetta ad una distribuzione di carichi verticali costanti ed un forza orizzontale moltiplicato per un parametro λ che aumenta.

Figura 5.4.4.1.I

In seguito all’applicazione del sistema di forze illustrato, la struttura sbanderà lateralmente secondo la deformata descritta in fig.5.4.4.1.II.

Figura 5.4.4.1.II

Si osserva come il comportamento della struttura sia assimilabile a quello di una mensola tozza soggetta a due forze

concentrate in testa e si procede nella seguente maniera:

1) Si schematizza quindi la struttura come una mensola alla cui base si inserisce un vincolo costituito da una molla rotazionale. 2) Si ipotizza che il materiale che costituisce la mensola abbia un legame costitutivo di tipo elasto-plastico perfetto 3) Si ricava la curva di Pushover.

Se si effettua l’equilibrio nella configurazione deformata, a causa della presenza della forza verticale si ha una maggiore sollecitazione della struttura : Z = Ë ∗ ℎ + ∗ ∆ Si genera un ramo di softening che non compare in presenza del solo carico orizzontale.

Conclusione:

la presenza di non linearità geometriche porta, in alcuni casi, alla creazione di un ramo di softening che comporta una notevole riduzione della duttilità della struttura. Si ha un effetto negativo, in termini di duttilità, nel aver considerato le non linearità geometriche

Figura 5.4.4.1.II

Ramo di softening

Figura 5.4.4.1.III

97

5.4.4.2 Robustezza Si considera la stessa struttura di Fig.5.4.4.1.I dove pero sparisce la forza orizzontale e rimane la sola distribuzione di carico costante moltiplicata per un coefficiente λ.

Figura 5.4.4.2.I

Per andare a considerare gli effetti che le non linearità geometriche hanno sulla robustezza si elimina una colonna della nostra struttura.

Figura 5.4.4.2.II

Nell’ipotesi di piccoli spostamenti, dove non si considerano le non linearità geometriche, la struttura collassa poiché labile ( tre cerniere allineate). Se si rimuove l’ipotesi di piccoli spostamenti si nota come la struttura nella sua configurazione deformata raggiunga uno stato di equilibrio dovuto al innescarsi di un effetto fune (Vedi Fig.5.4.4.2.III).

Figura 5.4.4.2.III

Dalla deformata della struttura si nota come le cerniera in A ed in C subiscono solo uno spostamento orizzontale in funzione della rigidezza della sottostruttura di cui fanno parte. Si rappresenta allora la deformata di Fig.5.4.4.2.III con il sistema illustrato in Fig.5.4.4.2.IV.

98

Figura 5.4.4.2.IV

In Fig.5.4.2.2.IV si rappresenta un sistema dove i punti A e B sono vincolati tramite dei carrelli che permettono quindi gli spostamenti orizzontali dei punti e l’inflessione delle colonne viene modellata con della molle di rigidezza differente. Per determinare la rigidezza delle molle bisogna andare a studiare le due sottostrutture adiacenti al sistema composto dalle due travi che collegano i nodi A-B-C.

Conclusione:

Poiché a parità di evento accidentale/eccezionale, la struttura che non collassa è più robusta, la struttura analizzata nell’ipotesi di piccoli spostamenti è meno robusta della stessa struttura analizzata senza l’ipotesi di piccoli spostamenti. Si ha un effetto positivo, in termini di robustezza, dovuto al aver considerato le non linearità geometriche ATT. Condizione necessaria affinché si sviluppi un nuovo percorso di scarico è che la struttura sia iperstatica. Se si considera la struttura di Fig.5.4.4.2.I con sole cerniere come vincoli alla base delle colonne, in seguito alla perdita di funzionalità di una delle colonne primarie si ha il collasso immediato della struttura anche rimuovendo l’ipotesi di piccoli spostamenti (Vedi Fig.5.4.4.2.VII)

Evento

Figura 5.4.4.2.VI

Ü = â» ∗ ∆» Ü = âÆ» ∗ ∆Æ»

Figura 5.4.4.2.V

STRUTTURA Fig.5.4.4.2.I

STRUTTURA Fig.5.4.4.2.II

SI IPOTESI Piccoli spostamenti

NO IPOTESI Piccoli spostamenti

La struttura collassa

Si sviluppa un differente

percorso di scarico

99

Figura 5.4.4.2.VII

5.5 Strategie di progettazione

FUNZIONI DA SVOLGERE: - Raccolta carichi - Trasferimento carichi - Controventamento

STRATEGIE DI

PROGETTAZIONE

EVOLUZIONE

INNOVAZIONE

SPECIALIZZAZIONE

INTEGRAZIONE

Partendo da una solida base di conoscenze si migliora una delle

soluzioni già note

Si effettuano ricerche ed esperimenti atti ad estendere la

propria conoscenza per realizzare un opera non convenzionale

Parti idonee della struttura svolgono solo una particolare

funzione

Tutti gli elementi della struttura contribuiscono a

svolgere ogni funzione

100

5.5.1 Specializzazione ed integrazione Definizioni:

1) Una struttura si dice progettata per specializzazione se ci sono parti ben precise che svolgono certi compiti in termini di “ruoli strutturali”. 2) Una struttura si dice progettata per integrazione se non ci sono parti ben precise che svolgono certi compiti in termini di “ruoli strutturali”. Si esaminano i seguenti esempi: Struttura_1a

Figura 5.5.1.I

La struttura appena illustrata in Fig.5.5.1.I si identifica come una struttura progettata per specializzazione poiché: - Le travi, svolgono la funzione di raccogliere i carichi. - Le colonne, svolgono la funzione di trasferire i carichi a terra. - Il sistema di controventi, svolge la funzione di controventamento.

Struttura_2a

Figura 5.5.1.II

La struttura appena illustrata in Fig.5.5.1.II si identifica come una struttura mista poiché risulta essere una via di mezzo tra una progettazione per integrazione de una per specializzazione. Si identifica la seguente divisione dei ruoli strutturali:

- Le travi, svolgono la funzione di raccogliere i carichi. - Le colonne, svolgono la doppia funzione di trasferimento dei carichi a terra e di resistenza alle azioni

orizzontali. Struttura_2b

Figura5.5.1.III Figura5.5.1.IV

101

La struttura appena illustrata in Fig.5.5.1.III e 5.5.1.IV si identifica come una struttura mista poiché risulta essere una via di mezzo tra una progettazione per integrazione ed una per specializzazione. Si identifica la seguente divisione dei ruoli strutturali:

- Le travi, svolgono la funzione di raccogliere i carichi. - Le colonne svolgono la funzione di trasferimento a terra dei carichi. - Il nucleo ascensori in Cls svolge la doppia funzione di controventamento e trasferimento a terra dei carichi.

L’utilizzo di due elementi con proprietà molto differenti comporta l’insorgere di differenti problematiche: La lama di controventamento in Cls è sicuramente più rigida di ogni altro elemento della struttura, ciò comporta che si potrebbero avere dei problemi legati al fatto che il resto dell’edificio si deforma in maniera differente dalla lama stessa.

Come si nota dalla Fig.5.5.1.V, in seguito alla differente rigidezza tra la lama di controvento e le colonne di acciaio si perde il perfetto orizzontamento del piano e si potrebbero avere problemi legati alla rottura delle zone in cui si collegano le travi di acciaio al nucleo ascensore. Questo, soprattutto ai piani più alti dove l’effetto è maggiore, può portare all’inservibilità di alcuni piani. La soluzione più ovvia consiste nel andare a dimensionare la lama di controvento in modo che la sua rigidezza sia il più prossima possibile a quella delle colonne di acciaio. Cosi facendo, al momento della messa in opera della struttura si ha una perfetta omogeneità, in termini di deformazione, tra il nucleo ascensore ed il resto della struttura.

Dimensionare la lama di controvento in modo che abbia la stessa rigidezza del resto della struttura non basta, infatti bisogna tener conto del comportamento viscoso del Cls. Con il passare degli anni dalla messa in opera della struttura, il nucleo ascensore, in Cls, continua a deformarsi mentre il resto della struttura, in acciaio, no (Fig.5.5.1.VI). La def. viscosa è pari all 1 – 2 ‰ e non può essere trascurata in edifici alti.

Per limitare al minimo i problemi dati dall’utilizzo del nucleo ascensori in Cls come lama di controvento si eseguono le seguenti azioni: 1) Per realizzare il nucleo ascensori si realizza un Cls con un basso comportamento viscoso (Def. viscosa 0.5 ‰) 2) Si realizzano dei giunti molto duttili tra gli elementi in acciaio e la lama di controvento in Cls 3) Si dimensiona la lama di controvento in Cls in modo che alla messa in opera della struttura il nucleo ascensori subisca uno spostamento pari a :

∆? = ∆.º«« 1∆89.@ Dove : ∆? è lo spostamento durante la fase di messa in opera della struttura

Figura 5.5.1.V

Figura 5.5.1.VI

102

∆.º«« è lo spostamento assoluto verso il basso del nodo in testa alla colonna in acciaio dell’ultimo piano dell’edificio ∆:K?. è lo spostamento dovuto alle proprietà viscose del Cls Così facendo quando si sarà esaurita tutta la deformazione viscosa la lama di controvento si troverà più bassa di solo meta della deformazione viscosa totale.

Struttura_3

Figura 5.5.1.VII

La struttura appena illustrata in Fig.5.5.1.III si identifica come una struttura progettata per integrazione poiché non è possibile identificare una divisione dei ruoli strutturali tra i differenti elementi che la compongono ( un carico in qualsiasi punto sollecita tutta la struttura). Le strutture progettate per specializzazione sono meno robuste di quelle progettate per integrazione. Infatti se nella struttura_1, per un qualsiasi incidente ,il sistema di controventi non esplica più la sua funzione; la struttura crolla al contrario per avvenire il collasso della struttura_3, devono collassare tutte le sue colonne primarie. Si riassumono le differenti caratteristiche delle strutture progettate per specializzazione ed integrazione.

Robustezza G. Iperstaticità Duttilità Peso Flessibilità Smantellamento

Progettazione per

Specializzazione - - - + + +

Progettazione Per

Integrazione + + + - - -

Dove: - Per flessibilità si intende la facilità di modificare nel tempo la struttura ATT. Tali informazioni sono indicazioni di carattere generale che devono essere verificate con analisi specifiche caso per caso.

103

5.5.2 Evoluzione ed innovazione I concetti di progettazione per evoluzione o innovazione sono già stati trattati sotto nomi diversi al Par.5.3. Infatti si può associare alla progettazione per evoluzione, l’ottimizzazione per sizing ed alla progettazione per innovazione, l’ottimizzazione per morfing o topologica. Oltre all’esempio della trave Vierendeel (Par.5.3) si illustra in seguito l’innovazione proposta da Khan Fazlur.

5.5.2.1 L’Outrigger L’outrigger è un sistema di controventamento orizzontale che trasferisce gli sforzi taglianti delle travi in sforzi assiali nelle colonne esterne della struttura. L’utilizzo di tale sistema permette di realizzare edifici alti riducendo di molto gli spostamenti dovuti alle azioni orizzontali sulla struttura.

Figura 5.5.2.1.I

Si nota come entrambi gli edifici abbiano una deformata del tipo a mensola. Tuttavia la mensola associata all’edificio con l’Outrigger si deforma mantenendo le sezioni piane mentre in quello senza, la mensola si deforma non mantenendo le sezioni piane. Il principio di funzionamento dell’Outrigger è assai banale: Si considera il telaio di figura 5.5.2.1.II che è rappresentativo dello schema statico di un edificio alto senza Outrigger.

M;0ø<=<> H ∗ h M@<ø0=0AA<> N ∗ b

Si considera il telaio di figura 5.5.2.1.III che è rappresentativo dello schema statico di un edificio alto con Outrigger. M;0ø<=<> H ∗ h

Figura 5.5.2.1.II

Figura 5.5.2.1.III

104

M@<ø0=0AA<> N ∗ d La presenza dell’Outrigger fa si che le colonne esterne, che prima erano scariche, contribuiscano alla resistenza contro le azioni orizzontali grazie al generasi di una coppia di forze di braccio d. Poiché il braccio della coppia nella struttura senza Outrigger è molto minore di quello che si genera nella struttura con Outrigger , ≪ , la struttura con l’outrigger risulta molto più resistente alle azioni orizzontali di quella senza. Per la scelta del numero di Outrigger e della loro posizione nella struttura si effettuano delle analisi che confrontano le differenti possibilità in modo da identificare quella più favorevole in termini di funzionalità strutturale ed efficienza.

Figura 5.5.2.1.IV

5.5.2.2 Sistemi di controventamento Esistono differenti sistemi di controventamento:

1

2

3

4 5

6 7

8

9

10

105

Figura 5.5.2.1.I

1) Telai assemblati 2)Nucleo telaio con moduli montanti 3)Moduli di telai continui 4)Nucleo reticolare con moduli di montati 5) Moduli di telai continui con piani di irrigidimento 6)Nucleo reticolare con moduli di telai e piani di irrigidimento 7) Involucro di telai infittiti con moduli di montanti 8) Involucro di telai infittiti con moduli di telai 9) Involucro reticolare con modulo di montanti 10) Involucro reticolare con nucleo reticolare e moduli montanti

5.6 Criteri di progetto per edifici alti

5.6.1 Comportamenti globali

Per comportamenti globali si intendono quei comportamenti che ha la struttura, pensata come un unico corpo rigido, sotto l’azione di eccessivi carichi verticali e orizzontali. Si distinguono: 1) Punzonamento 2) Ribaltamento 3) Scorrimento

5.6.1.1 Punzonamento Per punzonamento si intende quel meccanismo di rottura dovuto allo sviluppo di un eccessiva sollecitazione assiale nel sistema pali-terreno che compone l’elemento di fondazione della struttura.

Di solito il sistema di fondazione utilizzato per edifici alti è la palificata. Tale sistema è costituito da una platea da cui partono un certo numero di pali. Poiché i sistemi palo-terreno e platea-terreno lavorano in parallelo, sarà più sollecitato il sistema più rigido. Dato che il sistema palo-terreno è molto più rigido del sistema platea-terreno, di solito si trascura il contributo dato dalla platea, e si considera che le forze gravitazionali siano tutte assorbite dal sistema palo-terreno. Se si considera la struttura di Fig.5.6.1.1.II: = ¾ ∗ 4 → ¾ :¦

Si deve verificare che: 1) lo sforzo assiale presente sul singolo palo non sia troppo elevato, cosi da evitare la rottura a schiacciamento del palo. 2) La capacità portante della palificata sia superiore di V.

Figura 5.6.1.1.I

Figura 5.6.1.1.II

106

5.6.1.2 Ribaltamento In caso di azioni orizzontali molto elevate si può verificare il ribaltamento della struttura.

Per analizzare questa tipologia di comportamento globale si procede con un approccio molto simile a quello seguito per il punzonamento. Si ipotizza che il solo sistema pali-terreno offra una resistenza al momento ribaltante poiché molto più rigido del sistema platea-fondazione Per quanto riguarda le sollecitazioni presenti nei pali si potranno avere pali compressi o tesi in funzione dei carichi orizzontali e verticali e della loro posizione nella platea.

5.6.1.2 Scorrimento

La presenza di grandi azioni di taglio sullo spiccato di fondazione, possono portare la struttura a subire uno scorrimento laterale.

Per studiare le sollecitazioni indotte nei pali dalle forze di taglio si utilizza la teoria approssimata di Broms. Nella suddetta teoria si differenziano due tipologie di pali : 1) Palo libero di ruotare in testa (modellato collegando il palo alla platea con una cerniera) 2) Palo Vincolato in testa (modellato collegando il palo alla platea con un incastro) Dopo questa distinzione ciascuna categoria viene a sua volta divisa in funzione dell’elemento meno resistente del sistema palo-terreno. a) Palo corto ------La rottura avviene nel terreno (Il terreno è l’elemento meno resistente) b) Palo intermedio------La rottura avviene sia nel palo che nel terreno (non esiste un elemento meno resistente dell’altro) c) Palo lungo-------La rottura avviene nel palo (Il palo è l’elemento meno resistente)

Un altro metodo che si può utilizzare per andare a studiare il sistema palo terreno consiste nell’andare a modellare il terreno con un numero finito di molle di rigidezza k crescente con la profondità (Suolo alla Winkler)

Figura 5.6.1.2.II

Figura 5.6.1.1.I

Figura 5.6.1.2.I

107

5.6.2 Effetti delle non linearità geometriche Nel par.5.4.4 si è già studiato come il tener conto degli effetti del secondo ordine può avere un impatto si positivo che negativo sulla struttura. Negli edifici alti, a causa della loro geometria non si può trascendere dal considerare tali effetti e quello che causano.

5.6.2.1 Effetto P-∆∆∆∆ negativo Si modella la nostra struttura come una mensola infinitamente rigida dove si concentra tutta la deformabilità in una mollo rotazionale di rigidezza k posta alla base della mensola.

Studiando il problema con la teoria del secondo ordine si nota che esiste un interazione tra il problema assiale e quello flessionale.

Si esegue l’equilibrio della struttura nella sua configurazione deformata (Fig.5.6.2.1.II) e si ottiene: Ð Z= = ZC + ZCC = Ë ∗ + ∗ ∆

La quota parte del momento calcolato con la teoria del secondo ordine MII aumenta il momento ribaltante.

5.6.2.2 Effetto P-∆∆∆∆ positivo In questo caso scrivendo l’equilibrio nella configurazione deformata si osserva che il momento del secondo ordine si contrappone al momento ribaltante Ð Z= = ZC + ZCC = Ë ∗ − ∗ ∆

Questo effetto positivo è surreale negli edifici alti ma tipico degli elementi tipo fune (Fig.5.4.4.2.IV).



108

5.6.2.3 Conclusioni La valutazione dell’incidenza degli effetti del secondo ordine su quelli del primo ordine, fornisce un indicazione sulla deformabilità globale dell’edificio. Esistono due metodi per calcolare l’incidenza degli effetti del secondo ordine: 1) Metodo statico

a) Calcolo gli spostamenti con la teoria del primo ordine ∆I (analisi lineare)

b) Calcolo gli spostamenti con la teoria del secondo ordine ∆II (analisi non lineare) c) Determino il rapporto percentuale tra i soli spostamenti dovuti alle non linearità geometriche e quelli calcolati con la teoria del primo ordine ÄÆ = ∆CC − ∆C∆C 100 Se δD è maggiore del 5-10 % l’edificio è troppo deformabile e va irrigidito. 2) Metodo dinamico

a) Effettuo un analisi agli auto valori per determinare i periodi propri di oscillazione della struttura b) Si ricava da un analisi dinamica lineare il Ñ∅,C c) Si ricava da un analisi dinamica non lineare il Ñ∅,CC d) Si determina il rapporto percentuale : ÄF Ñ∅,CC 1 Ñ∅,CÑ∅,C 100 Se δT è maggiore del 5-10 % l’edificio è troppo deformabile e va irrigidito

ATT. δT può variare anche in funzione della direzione che sto considerando.

5.6.3 Comportamenti elementari Nel seguente paragrafo si illustreranno alcuni dei criteri progettuali base che si possono utilizzare nella fase di concezione della struttura.

5.6.3.1 Struttura soggetta a trazione Si considera la struttura di Fig.5.6.3.1.I, se si suddivide il tirante in 4 tiranti ognuno della stessa forma, geometria e materiale, si ottiene il sistema rappresentato in Fig.5.6.3.1.II. Tale sistema risulta più robusto del primo poiché in seguito alla perdita di funzionalità di un unico tirante, lo sforzo assiale negli altri elementi aumenta di 1/3N: Prima della rottura:


109

Dopo la rottura: = 3⁄ 4⁄ 43 ∗

Anche se > , grazie all’utilizzo dei coefficienti di sicurezza durante la fase di dimensionamento dei tiranti la struttura non crolla, se invece si ha un unico tirante, la perdita di funzionalità di quello determina l’immediato collasso della struttura. Si effettua lo stesso ragionamento sui bulloni, infatti non si utilizza mai un unico bullone ma sempre almeno 3 poiché non si può mai essere certi che l’unico bullone presente sia stato eseguito correttamente. L’utilizzo di più elementi comporta anche delle controindicazioni: 1) più elementi metto → più connessioni ho → più la struttura costa

2) più elementi metto → più la situazione è complicata mentre bisogna cercare di utilizzare schemi semplici

5.6.3.2 Struttura soggetta a compressione Se si considera un problema simile a quello trattato al Par. precedente ma con degli elementi compressi invece che tesi, si osserva come si arriva a conclusioni totalmente contrapposte. Nel caso di elementi compressi bisogna verificare il valore del Pcr che innesca l’instabilizzazione della biella compressa. Si calcola tale valore per le due strutture illustrate in Fig.5.6.3.2.I e 5.6.3.2.II: Calcolo i Pcr

«¬( G@ ∗ * [ ∗ )2 ∗ +F]12 ∗ ℎ@ = G@ ∗ * ∗ ¦3 ∗ ℎ@ ∗ 2

«¬@ = 2 ∗ G@ ∗ * [ ∗ )+F]12 ∗ ℎ@ G@ ∗ * ∗ ¦6 ∗ ℎ@ →«¬@ «¬(4 : Nel caso di strutture con elementi compressi, anche se per ragioni di robustezza conviene dividere gli elementi, è preferibile non suddividere gli elementi per evitare la riduzione del Pcr che può diventare più piccolo fino ad un ordine di grandezza.

5.6.3.3 Struttura soggetta a forze orizzontali (Comportamento flessionale) Si considera una struttura soggetta prevalentemente a forze orizzontali (Es. vento , sisma). Si è già specificato che generalmente tali forze sono assorbite da specifici elementi della struttura che offrono una maggiore resistenza alla deformazione di tipo flessionale della struttura tanto più è elevato il loro momento di inerzia nella direzione di azione della forza esterna.


Struttura 1 Struttura 2

110

Si confrontano due strutture con le piante descritte dalle Fig.5.6.3.3.I e 5.6.3.3.II.


La struttura 1 ha un momento di inerzia identico per le due direzioni X ed Y pari a: ( = ∗ )+F12 = ¦12

La struttura 2 ha un momento di inerzia identico per le due direzioni X ed Y pari a: @ = 2 ∗ 4 ∗ -52 ∗ .@ = 25 ∗ ¦8 Si è calcolato il solo momento di trasporto dato dai lati verticali rispetto alla direzione di applicazione della forza. Confrontando i due momenti di inerzia risulta che @ ≫ ( ne consegue che la soluzione 2 offrirà un valore di momento resistente molto maggiore rispetto a quello fornito della sollecitazione 1. Riepilogo

Elementi tesi Si suddivide il carico. ATT. Problemi di costo e complicatezza della struttura

Elementi compressi

Si concentra il carico

Comportamento flessionale

Si centrifugano le aree

Conceptual design

111

5.6.4 Comportamenti locali

Le possibili deformate di un orizzontamento di un edificio alto in acciaio sono due:

1) Comportamento a lastra (Tipo diaphram)→ l’entità della deformata

è funzione della rigidezza nel piano dell’orizzontamento (Fig.5.6.4.II) Fig.5.6.4.II

2) Comporatmento a piastra →l’entità della deformata è funzione della

rigidezza fuori dal piano dell’orizzontamento (Fig.5.6.4.III) Fig.5.6.4.III

Poiché la rigidezza fuori dell’orizzontamento fuori dal piano è pari ad ((&÷ ((&& della rigidezza nel piano il solaio tende

ad inflettersi (Fig.5.6.4.IV) Per evitare l’inflessione del piano e mantenere i solai indeformabili al di fuori del loro piano si possono utilizzare differenti soluzioni: 1) Outrigger 2)Diagrid structural system (Controvento complessivo) 3) Nucleo ascensori 4) Pareti esterne

5.6.5 Problemi derivanti dalla presenza di elementi parete

Come descritto dal paragrafo precedente per evitare l’inflessione degli orizzontamenti fuori dal loro piano si possono utilizzare dei sistemi di pareti che irrigidiscono l’orizzontamento stesso. Tale sistema è molto vantaggioso per i motivi elencati al Par.5.6.3.3 ma comporta dei problemi se applicato su edifici troppo alti. In seguito ad una distribuzione di forze orizzontali agente sull’edificio, che può essere schematizzata come un momento concentrato applicato sulla testa della struttura, si ipotizza che la struttura si deformerà seguendo una

deformata di tipo a mensola, dove le sezioni ruotano restando piane. Questo comporta un andamento delle ε e quindi anche delle σ a farfalla(Fig.5.6.5.I). Nella realtà se andiamo a misurare il diagramma delle tensioni nelle pareti esterne, si vede che hanno un andamento non lineare(Fig.5.6.5.II), ossia non è soddisfatta l’ipotesi che la sezione ruota restando piana.

Fig.5.6.4.I

112

Si mettono a confronto i diagrammi delle tensioni sui vari piani: Piano X-Z Fronte Piano Y-Z SX

Come si nota, la nuova distribuzione delle

tensioni è in alcuni punti maggiore ed in altri minore a quella ipotizzata. In aggiunta dato che l’equilibrio della struttura deve essere sempre soddisfatto, entrambe le due distribuzioni sono in equilibrio con il momento applicato alla sommità dell’edificio. Si deduce che se si effettua l’integrale della differenza di tensione tra le due distribuzioni si ottiene un valore nullo.

5.6.5.1 Elemento scomposto in fibre Perché si ha una distribuzione di tensioni come descritta al Par. precedente? Per risolvere questo quesito si analizza un problema di più semplice geometria, la mensola.

Fig.5.6.5.1.I

Nell’ipotesi delle sezioni che ruotano pur rimanendo piane, la struttura descritta in Fig.5.6.5.1.I è isostatica e si può facilmente determinare il flusso delle tensioni al suo interno. Se si ipotizza che l’elemento mensola si costituito a sua volta da un certo numero di fibre, che noi scegliamo pari a 4 per semplicità della trattazione ed ipotizziamo che questi elementi siano liberi di deformarsi indipendentemente gli uni dagli altri, il sistema che prima era isostatico, diventa iperstatico (Fig.5.6.5.1.II). L’ipotesi di sezioni che ruotano restando piane, costringe i differenti elementi fibra che compongono la mensola a deformarsi come un unico

Figura 5.6.5.I Figura 5.6.5.II

Y

Z

X

Figura 5.6.5.III Figura 5.6.5.IV

Figura 5.6.5.1.II

113

elemento, trasformando il problema reale iperstatico in uno fittizio isostatico. Si deve tener conto che senza questa ipotesi, non si sarebbe in grado di determinare l’andamento delle tensioni in via analitica. Appurato che la mensola reale è un sistema iperstatico, in tali sistemi la sollecitazione viene assorbita in funzione alla rigidezza degli elementi, ossia l’elemento più rigido prende più sollecitazione. Si può facilmente vedere la distribuzione della sollecitazione in funzione della rigidezza degli elementi andando a considerare due differenti tipi di telaio: 1) Telaio con traverso rigido 2) Telaio con colonne molto rigide

Per valori del carico non troppo alti, i due sistemi si comportano alla stessa maniera ed il diagramma dei momenti è identico per i due tipi di telaio (Fig.5.6.5.1.V).

Figura5.6.5.1.V

Per valori del carico più elevati i due sistemi si comportano in maniera molto differente: 1) Telaio con traverso rigido Le colonne si in stabilizzano ed il traverso rigido non risulta più incastrato ma bensì incernierato (Fig.5.6.5.1.VI). Questo implica che all’aumentare del carico il momento si distribuirà sulla trave come se fosse solo appoggiata sulle colonne, ossia il momento in prossimità delle colonne non aumenta ed aumenta invece nella mezzeria della trave (Fig.5.6.5.1.VII).

2) Telaio con colonne molto rigide Data l’alta rigidità delle colonne queste, all’aumentare del carico non si instabilizzano e il diagramma dei momenti contnua ad aumentare come illustrato in Fig.5.6.5.1.V

Figura 5.6.5.1.III 5.6.5.1.IV

Figura 5.6.5.1.VIII

Figura 5.6.5.1.IX

114

Andando a confrontare il diagramma dei momenti finale della trave nei due telai, si nota come nel caso del telaio con traverso rigido, la trave, essendo più rigida, assorbe più momento rispetto all’altro, dove le colonne più rigide assorbono più momento (Vedi Fig.5.6.5.1.X).

Figura 5.6.5.1.X

Ritornando alla struttura illustrata in Fig.5.6.4.I si nota come le tensioni siano maggiori in prossimità degli spigoli, questo è dovuto al fatto scomponendo la struttura in fibre, le fibre negli spigoli sono più rigide delle fibre nella mezzeria della parete è assorbono quindi un maggior quantitativo della sollecitazione.

5.6.5.2 Conclusioni Nei paragrafi precedenti si è arrivati alla conclusione che per ottenere la soluzione al problema reale, bisogna andare a studiare la struttura scomposta in fibre. Poiché ciò risulta complicato si sfrutta l’ipotesi di sezioni che ruotano restando piane e si passa a studiare un problema fittizio. Che cosa comporta l’introduzione di questo vincolo sulla deformata della sezione?

Per rispondere a questa domanda si studiano due telai sollecitati dalla stessa forza orizzontale e con gli elementi trave e colonna identici ma con differenti condizioni di vincolo alla base: 1) Telaio incastrato alla base 2) Telaio incernierato alla base


In seguito all’applicazione della forza orizzontale H, le due strutture subiscono due spostamenti ∆ differenti. Ipotizzando di stare in campo elastico dove: aÜ = â( ∗ ∆(Ü = â@ ∗ ∆@ : → â( ∗ ∆( = â@ ∗ ∆@

Ma poiché è noto che ∆( < ∆@ affinché sia vera l’uguaglianza â( > â@. A parità di geometrie e materiale degli elementi che compongono la struttura, il telaio con più vincoli ,ossia quello con incastri alla base,ha una rigidezza maggiore del telaio con cerniere alla base. Trasportando la considerazione appena fatta alla nostra struttura (Fig.5.6.4.I) si deduce che inserendo l’ulteriore vincolo sulle possibili deformate della sezione (le sezioni ruotano restando piane) si analizza un problema con una rigidezza maggiore rispetto a quella reale, poiché il problema fittizio è più vincolato.

115

Per alleviare questo effetto si può aumentare il numero di fibre più rigide,cosi facendo, si ottiene un diagramma tensionale reale con un maggior numero di picchi che avranno un minor scarto dalla soluzione di Bernulli-Navier.

Figura 5.6.5.2.III

Si mettono a confronto i diagrammi delle tensioni sui vari piani:

Figura 5.6.5.2.IV

5.6.6 Sottostrutturazione

Nell’analisi strutturale di edifici complessi, al fine di avere una buona visione di tutte le problematiche presenti, si scompone la struttura in sottostrutture. Tali sottostrutture sono di solito identificate per la funzionalità che svolgono Es. sistema di controventamento, orizzontamenti, sistema di fondazioni ecc… In questo modo, si analizzano problemi più semplici che in seguito verrano assemblati nel modello globale 3D che è invece piuttosto complesso.

Figura 5.6.6.I

5.6.6.1 Sottostrutturazione verticale Si estrae una singola parete (interna e/o esterna) per analizzare come influisce sula struttura.

116

Figura 5.6.6.1.I

Per analizzare il comportamento accoppiato di due pareti, possiamo creare un modello fittizio, affiancando le due pareti e collegandole con delle bielle (elementi fittizi privi di massa).

Figura 5.6.6.2.II

5.6.6.2 Sottostrutturazione orizzontale

Si analizza il comportamento flessionale dei singoli orizzontamenti. Per isolare l’orizzontamento da analizzare si inseriscono dei vincoli di cerniera a metà altezza delle colonne (di solito è una zona a momento nullo) che arrivano e partono dal piano.

Di solito non è necessario analizzare tanti orizzontamenti poiché le destinazioni d’uso possibili sono limitate o con carichi confrontabili:

- Piano copertura

- Piano per uffici

- Piano per palestre o ristoranti

Figura 5.6.6.2.I

5.7 Metodo di analisi strutturale Nel seguente paragrafo si illustrerà come si può procedere nell’analisi di un elemento dove non sono soddisfatte e ipotesi di De Saint Venant e quindi dove non è valida la teoria di Bernulli-Navier. Il processo di analisi strutturale può essere compiuto in due differenti metodi: 1) Analisi EX-ANTE In seguito a: studi analitici e numerici , dati sperimentali su problemi analoghi si cerca di prevedere il comportamento di un dato elemento per poi andare a verificare se l’andamento che si era previsto è compatibile con quello reale determinato in seguito ad esperimenti. 2) Analisi EX-POST In seguito a risultati sperimentali, si calibra il modello in modo che la curva pushover ottenuta dal modello dia compatibile con quella ottenuta dai dat sperimentali. L’analisi EX-ANTE è più semplice da eseguire poiché si conosce il punto di arrivo

117

5.7.1 Trave Forata Si analizza una trave IPE appoggiata, con una parte dell’anima forata per una certa lunghezza della trave (Fig.5.7.1.I).

Figura 5.7.1.I

La presenza del foro fa si che vengano meno le ipotesi di De Saint Venant, quindi per studiare questo elemento si procederà per step. Inizialmente si effettueranno delle grandi semplificazioni, per inquadrare il problema , in seguito si rimuoveranno tali semplificazioni fino ad ottenere un risultato che sia accettabile. Step_1) Si modifica la geometria della trave in modo che siano valide le ipotesi di De Saint Venant, cosi che sia possibile studiare il problema in via analitica e delimitare un intervallo di possibili valori all’interno dei quelli sia probabile che ricada il valore della freccia della nostra trave. 1a) Limite inferiore

Si trascura la presenza del foro e si studia una trave di sezione omogenea illustrata in Fig.5.7.1.II

Poiché si trascura la presenza del foro è evidente come il valore della freccia in mezzeria che si determinerà in via analitica sarà un probabile valore di minimo [f1a]

1b) Limite superiore

Si determina il probabile valore massimo che la trave può avere in mezzeria andando a considerare il foro presente per tutta la lunghezza della trave. Si ipotizza una sezione ideale con il buco sempre presente (Fig.5.7.1.III).

Poiché si estende il foro per tutta la lunghezza della trave è evidente come il valore della freccia in mezzeria che si determinerà in via analitica sarà un probabile valore di massimo [f1b] ATT. attraverso lo step 1 si è eseguito un analisi di sensibilità poiché si ottiene un idea di quanto influisca il buco sulla deformabilità della struttura. Se f1b è un valore che si discosta poco da f1a , ciò significa che la presenza del foro influisce in maniera limita sulla deformabilità dell’elemento mentre se f1b è un valore che si discosta molto da f1a è vero il contrario.

Step_2) Si studia la trave andando a delimitare la sezione forata tra due nodi posti all’estremità del buco. In questa analisi si continua ad ipotizzare che la sezione forata, nonostante abbia le sue due estremità che non interagiscono tra loro, ruoti rimanendo piana.

Figura 5.7.1.II

Figura 5.7.1.III

118

Figura 5.7.1.IV Step_3)

Si studia la trave andando a rimuovere le ipotesi sul cinematismo della sezione forata fatte allo step_2, ossia la sezione forata ruota non rimanendo piana. Per andare a studiare questo comportamento si può andare a modellare il foro come segue: si delimita il buco con sei nodi posizionati come illustrato in Fig.5.7.1.V

Figura 5.7.1.V

- Le aste deformabili sono degli elementi monodimensionali che servono a cogliere e deformate indipendenti del corrente superiore ed inferiore

- I link rigidi sono degli elementi monodimensionali indeformabili che garantiscono che la sezione ruota restando piana

Modellando il modo in questa maniera, si possono andare a valutare oltre alla componente flessionale della deformata anche quella tagliante (Fig.5.7.1.VI).

Figura 5.7.1.VII

ATT. In seguito alla scoperta della componente deformativa tagliante, che è trascurata nella trave di Eulero-bernulli, si può arrivare ad una valutazione delle freccia maggiore di quel valore che si era ipotizzato essere il massimo allo step 1b. Questo non sarebbe avvenuto se allo step 1 si fosse utilizzata la teoria della trave di timoshenko che permette l’identificazione del valor medio della deformata dovuta al taglio. Step_ k-esimo)

si raggiunge inserendo degli elementi bidimensionali shell. Si può effettuare una modellazione ancora più avanzata, eseguendo un analisi agli elementi finiti utilizzando degli elementi bidimensionali quali:

119

- LST - S8 - L9 - ISO P4 - CST

Si possono riassumere i differenti valori della freccia calcolati nei precedenti step nel seguente grafico:

Figura 5.7.1.VIII

Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale

Corso di laurea magistrale in Ingegneria Civile

COSTRUZIONI METALLICHE

Esercitazioni

Docente: Studente:

Prof. Ing. Franco Bontempi Giulio Biscarini 1242352

Assistenti:

Ing. Francesco Petrini

Ing. Paolo Emidio Sebastiani Anno Accademico 2013 – 2014

INDICE

1 LA PLASTICITA’ ................................................................................................................................................ 1

1.1 Sistema di aste reticolari ............................................................................................................................ 1

1.1.1 Fase di carico ................................................................................................................................ 2

1.1.2 Fase di scarico ............................................................................................................................... 3

1.2 Trave iperstatica ........................................................................................................................ 4

1.2.1 Confronti .................................................................................................................................. 6

1.3 Telaio piano ............................................................................................................................... 7

1.3.1 Legame momento curvatura .................................................................................................... 7

1.3.2 Elementi soggetti a sola flessione ............................................................................................. 9

1.3.3 Elementi soggetti a pressoflessione ...................................................................................... 11

1.3.4 Confronti ................................................................................................................................. 12

2 FENOMENI DI INSTABILITA’ ...................................................................................................................... 13

2.1 Sistemi ad un grado di libertà ................................................................................................... 13

2.1.1 Sistema 1 ..................................................................................................................................... 13

2.1.1.1 Metodo analitico ......................................................................................................... 14

2.1.1.1.1 Sistema ideale ............................................................................................. 14

2.1.1.1.2 Sistema reale ............................................................................................... 14

2.1.1.1.3 Riepilogo dei risultati .................................................................................. 15

2.1.1.2 Metodo numerico ....................................................................................................... 16

2.1.2 Sistema 2 ..................................................................................................................................... 17


2.1.2.1.1 Sistema ideale ............................................................................................. 17

2.1.2.1.2 Sistema reale ............................................................................................... 18


2.1.2.2 Metodo numerico ....................................................................................................... 19

2.1.3 Sistema 3 ..................................................................................................................................... 20


2.1.3.1.1 Sistema ideale ............................................................................................. 20

2.1.3.1.2 Sistema reale ............................................................................................... 21


2.1.3.2 Metodo numerico ....................................................................................................... 22

2.2 L’instabilità a scatto ................................................................................................................. 24

1

PARTE 1 : Plasticità Nel seguente capitolo si riportano i differenti esercizi svolti riguardanti la teoria della plasticità.

1.1 Sistema di aste reticolari Si considera il sistema di aste in Fig.1.1.I.

DATI:

L = 3 m

Sezione tubolare

s = 1 cm

Dest = 15 cm

σy = 235 Mpa

Legame costitutivo elasto-pastico perfetto

Si eseguono due fasi:

1) Fase di carico fino al collasso del sistema strutturale

2) Fase di scarico a partire dalle condizioni di collasso incipiente

Entrambe le fasi vengono svolte sia da un punto di vista analitico che numerico.

La soluzione analitica è svolta nella trattazione teorica Par.1.3.3.2, mentre la trattazione numerica è stata svolta con

il programma di calcolo Straus7.

Nell’eseguire entrambe le due fasi si passa da lavorare in campo elastico a lavorare in campo plastico. Questo

comporta l’impiego di analisi non lineari o analisi incrementali che possono carpire la legge non lineare che si vuole

determinare.

Si possono effettuare due differenti tipi di analisi non lineari:

1) Analisi a controllo di forze

Si aumentano progressivamente i carichi agenti sulla struttura fino a portarla al collasso.

L’impiego di questa analisi è limitato allo studio del solo ramo pre-critico poiché il raggiungimento della capacità

portante massima comporta l’annullarsi della matrice di rigidezza che quindi non può più essere più invertita .

2) Analisi controllo di spostamenti

Si impone ad un punto uno spostamento congruente con il sistema di forze esterne applicato e si aumenta

progressivamente tale spostamento fino al collasso della struttura.

Il seguente esercizio è stato eseguito con un analisi non lineare a controllo di spostamenti, dove si è imposto uno

spostamento iniziale δ pari a 0.1 mm.

2

1.1.1 Fase di carico Si incrementa progressivamente lo spostamento fino ad un valore pari 10 cm e si rappresenta il diagramma che lega i

valori degli sforzi assiali presenti nelle aste con il carico P applicato alla struttura.

Eseguendo un analisi in controllo di spostamenti bisogna:

1) lanciare l’analisi e determinare le leggi che legano l’incremento di spostamenti con il carico P e con gli sforzi

assiali nelle aste (Fig.1.1.1.I).

Figura 1.1.1.I

Dove:

X è lo sforzo assiale nell’asta centrale

Y è lo sforzo assiale nell’asta laterale

2) Utilizzando le leggi ricavate al punto 1 si possono determinare le due leggi che legano il carico P con gli sforzi

assiali nelle aste (Fig.1.1.1.II).

Figura 1.1.1.II

Osservazioni:

1) Poiché il sistema è 1 volta iperstatico il collasso avviene quando si formano due cerniere plastiche.

2) Poiché è un sistema di travi reticolari con forze applicate nei soli nodi, sono presenti solo sforzi assiali di

compressione o trazione costanti lungo le aste, al raggiungimento del limite elastico si ha la plasticizzazione di tutta

la sezione per tutta la lunghezza dell’elemento.

3) Dal grafico di Fig.1.1.1.II si nota come al raggiungimento della plasticizzazione dell’asta centrale, si ha un cambio di

pendenza della curva che descrive l’incremento dello sforzo assiale nelle due aste ancora in campo elastico.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 20 40 60 80 100 120

X/Aσy

Y/Aσy

P/Aσy

Step [N°]

Curva Pushover

X/Aσy Y/Aσy P/Aσy

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5

X/Aσy

Y/Aσy

P/Aσy

Fase di carico

X/Aσy Y/Aσy

1.1.2 Fase di scarico Si decrementa progressivamente lo spostamento fino ad un valore pari 0 cm. e si rappresenta il diagramma che lega i

valori degli sforzi assiali presenti nelle aste con il carico P applicato alla struttura.

Eseguendo gli stessi passaggi fatti al Par. precedente si ricava il grafico che lega i valori degli sforzi assiali presenti

nelle aste con il carico P applicato alla struttu

Osservazioni:

1) Poiché lo scarico viene eseguito a partire da condizioni di collasso incipiente le due aste laterali sono in campo

elastico mentre quella centrale in campo plastico

2) A seguito dello scarico, l’asta centrale non recupera

plastiche mentre le due aste laterali poiché sono rimaste in campo elastico tentano di recuperare tutta la

deformazione subita nella fase di carico. Questo comporta che le aste laterali saranno soggette ad uno sforzo di

trazione mentre quella centrale ad uno sforzo

Si confrontano i risultati ottenuti dall’analisi analitica e quella numerica:

PUNTO SOLUZIONE ANALITICA

P1 [ P/Aσy] 1.707

P2[ P/Aσy] 2.414

P3[ P/Aσy] 1.707

P4[ X/Aσy] -0.4

P5[ Y/Aσy] 0.285

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1

0 0.5 1

X/Aσy

Y/AσyFasi di carico e scarico

X/Asigmay _ carico

X/Asigmay _ scarico

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1

0 0.5 1

X/Aσy

Y/Aσy

X/Asigmay _ carico

X/Asigmay _ scarico

P4

P5

3

Si decrementa progressivamente lo spostamento fino ad un valore pari 0 cm. e si rappresenta il diagramma che lega i

degli sforzi assiali presenti nelle aste con il carico P applicato alla struttura.


nelle aste con il carico P applicato alla struttura (Fig.1.1.2.I).

Figura 1.1.2.I


elastico mentre quella centrale in campo plastico

ntrale non recupera tutta la deformazione poiché ha subito delle deformazioni

mentre le due aste laterali poiché sono rimaste in campo elastico tentano di recuperare tutta la


trazione mentre quella centrale ad uno sforzo di compressione.

Si confrontano i risultati ottenuti dall’analisi analitica e quella numerica:

Figura 1.1.2.II

SOLUZIONE ANALITICA STRAUS7

1.715

2.413

1.715

-0.414

0.293

1.5 2 2.5

P/Aσy

Fasi di carico e scarico

Y/Asigmay _ carico

Y/Asigmay _ scarico

1.5 2 2.5

P/Aσy

Y/Asigmay _ carico

Y/Asigmay _ scarico

P1

P2

P3

Si decrementa progressivamente lo spostamento fino ad un valore pari 0 cm. e si rappresenta il diagramma che lega i



tutta la deformazione poiché ha subito delle deformazioni

mentre le due aste laterali poiché sono rimaste in campo elastico tentano di recuperare tutta la


Errore

0.46%

0.04%

0.46%

3.5%

2.8%

4

1.2 Trave Iperstatica Si considera la trave di figura 1.2.I

Figura 1.2.I

Dati:

Trave: IPE 200

L = 8 m

a = 3 m

b = 2 m

δ iniz = 5 mm

Per far si che il programma riconosca la formazione delle cerniere plastiche, si impone un diagramma M-χ non

lineare(Fig.1.2.II). In tale diagramma, si associa alla plasticizzazione della prima fibra, il raggungimento del momento

ultimo della sezione My = Mu = 500 KNm e si ricava :

=

Figura 1.2.II

La struttura è 1 volta iperstatica per carichi verticali.

A differenza dell’esercizio precedente, nel sistema strutturale di Fig.1.2.I si ha un comportamento prevalentemente

flessionale. Questo comporta che si formeranno delle cerniere plastiche nelle zone della trave dove il momento è

maggiore del momento di prima plasticizzazione.

Per tener conto della non linearità del legame momento curvatura si effettua un analisi incrementale a controllo di

forze.

Formazione 1° Cerniera plastica

Dal diagramma dei momenti descritto in Fig.1.2.II si

determina che nell’incastro si raggiunge il momento

massimo. Ciò indica che aumentando i carichi la prima

sezione che si elasticizzerà sarà quella corrispondente

al punto C.

In seguito alla formazione della cerniera plastica, lo

schema statico della trave cambia in trave

semplicemente appoggiata(Fig.1.2.IV).

Diagramma momenti schema statico di Fig.1.2.III

Figura 1.2.III

5

Figura 1.2.IV

Formazione 2° Cerniera plastica

Figura 1.2.V

Dato il nuovo schema statico, si osserva un uguale incremento del momento in A e i B.

Quando in A l’incremento del momento dato dal nuovo schema statico sarà pari a M’A = 500-346 = 154 kNm si

formerà la seconda cerniera plastica che porterà la struttura al collasso.

Diagramma dei momenti schema statico di Fig.1.2.V

Figura 1.2.VI

Sommando i diagrammi di Fig.1.2.V e 1.2.VI si ottiene:

Figura 1.2.VII

Per determinare la capacità portante massima si riportano i dati ottenuti dall’analisi incrementale nel piano P-∆,

ottenendo cosi la curva di Pushover.

6

Figura 1.2.VIII

Si riportano in seguito i valori del carico ed i corrispondenti spostamenti che corrispondono alla formazione delle

cerniere plastiche.

1° cerniera plastica 2° cerniera plastica

∆ 38 cm 60 cm

P tot = 2 P 356 kN 481 kN

P 178 kN 240.5 kN

1.2.1 Confronti Dall’analisi analitica svolta nella trattazione teorica al Par.1.3.3.2 si è ricavato il valore del carico limite della trave

pari a :

= +

=

500 ∗ 8 + 500 ∗ 3

3 ∗ 8= 229.2

Si confrontano i risultati ottenuti dall’analisi numerica, svolta con il programma di calcolo Straus7, con quelli ottenuti

dall’analisi analitica.

Straus 7 Teorema Statico Teorema cinematico Errore

P cr 240.5 229.2 KN 229.2 KN 4.9%

0

100

200

300

400

500

600

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

P [kN]

∆∆∆∆A [m]

Curva di Pushover

7

1.3 Telaio piano

Dati:

Tutti gli elementi sono travi di sez IPE 500

L = 12 m

H = 5 m

dx1 = 4 m

dx2 = 8 m

δx iniz = 8 mm

δy iniz = 10 mm

Si vuole determinare la curva Pushover della struttura nel piano V/∆ .

1.3.1 Legame momento curvatura A differenza dell’esercizio precedente, dove l’elemento trave è soggetto ad uno stato di flessione semplice, nel

sistema strutturale in questione, gli elementi che lo compongono sono soggetti ad uno stato di pressoflessione.

Per tener conto di questo nuovo stato tenso-defomativo, si è creato un programma con il software Matlab che ha

l’obbiettivo di andare a creare il legame momento curvatura al variare dello sforzo normale.

L’utilizzo del programma Matlab è stato necessario per andare a ricavare un diagramma momento curvatura che

tenga conto della plasticizzazione delle singole fibre in cui si è scomposta la sezione in esame.

Si riporta in seguito il programma: %Dati% %1) Si definisco i parametri geometrici e maccanici della sezione %Geometria% %IPE 500% b = 200 %mm h = 500 %mm Sa = 5.6 %mm e = 8.5 %mm A = 116*10^-4 %m^2 E = 200000 %Mpa% %2) Si ricava i valori tenso-deformativi corrispond enti al limite elastico epsy = 1.175*10^-3 chiy = epsy/(h/2)*10^3 %1/m sigy = epsy*E %Mpa %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%SVOLGIMENO%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 3) Si definisce la forza di compressione presente sulla sezione in esame N1 = 0 %kN sig1 = N1/A*10^-3 %Mpa eps1 = N1/(E*A) %% 4) Creazione matrici: n = [100] %è il numero di fibre in cui si pensa di discretizz are meta della sezione in esame. % si crea un vettore riga dentro al quale andremo a d inserire i risultati % ottenuti dall'integrazione delle sigma, calcolate sulle singole fibre, % effettuata con il metodo dei trapezi. Asig = zeros(1,n) %

8

% si crea un vettore riga dentro al quale andremo a d inserire il prodotto tra la forza concentrata ottenute dall'integrazione delle sigma %ed il braccio che ha tale forza rispetto all'asse neutro M = zeros(1,n) % rappresenta un vettore dove ogni componente è una quota parte del momento globale della sezione t = 200 %numero di incrementi in cui si discretizza la curv atura Mplot = zeros (1,t) % è un vettore riga dove ogni componente è data dal la sommatoria di tutti i momenti calcolati in M chiplot = zeros (1,t) % è un vettore riga dove ogni componente è data dal la discretizzazione della curvatura m = n-1 % 5) I cicli for s = 1 :t % il primo ciclo ha lo scopo di determinare i valor i di momento in funzione della discretizzazione della curvatura p = t-s for j = 0:m % Il secondo ciclo ha lo scopo di determnare il val ore di momento reagente della sezione data una curvatura % 5.1) Si impone una curvatura costante chi = 0.05*10^-3/p %1/mm % 5.2) Si ricava la tensione dovuta alla sola compo nente flessionale % della fibra j-esima sigfj = E*chi*h/2*(1-j/n) %Mpa % 5.3) Si ricava la tensione totale della fibra j-e sima sigtj = sigfj+sig1 %Mpa if sigtj > sigy % Il ciclo if ha lo scopo di determinare se la tens ione totale apena ricavata è minore o maggiore a quella di sner vamento sigfj = sigy-sig1 end % 5.4) Si ricava la tensione dovuta alla sola compo nente flessionale % della fibra j-esima+1 sigfj_1 = E*chi*h/2*(1-(j/n+1/n)) %Mpa % 5.5) Si ricava la tensione totale della fibra j-e sima+1 sigtj_1 = sigfj_1+sig1 %Mpa if sigtj_1 > sigy sigfj_1 = sigy-sig1 end % i seguenti cicli if servono per determinare se le generiche fibre % j-esiama e j-esiama+1 sono posizionate sull'ala o sull'anima della trave % in funzione di dove sta la fibra si avrà un trape zio di base b o Sa if h/2*(1-(j/n+1/n)) > (h/2-e) % 5.6) si effettua l'integrazione delle sigma calco late alla varie % fibre con il metodo dei trapezi e si posizione il risultato di ogni % integrazione in una delle componenti del vettore riga Asig Asig(1,j+1) = (sigfj+sigfj_1)*(h/(2*n))*1/2*b*1 0^-3 %kN end if h/2*(1-(j/n+1/n)) < (h/2-e) Asig(1,j+1) = (sigfj+sigfj_1)*(h/(2*n))*1/2*Sa* 10^-3 %kN end % 5.7 ) si ricava il momento dato da ogni forza con centrata derivante % dall'integrazione delle sigma M (1,j+1) = 2*Asig(1,j+1)*(h/2*(1-j/n)-1/(2*n))*10^ -3 %kNm % si determinano le matrici del momento e della cur vatura che verranno % plottate Mplot (1,s) = sum(M) chiplot (1,s) = chi end end

%%%%%%%%%%%%%%%PLOTTAGGIO%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% hold on figure(1) plot(chiplot*10^3,Mplot, 'LineWidth' ,2, 'Marker' , 'o' , 'MarkerSize' ,3, 'MarkerFaceColor' , 'b')

9

1.3.2 Elementi soggetti a sola flessione Inizialmente si è considerato il legame M-X trascurando la presenza dello sforzo normale.

Figura 1.3.2.I

Effettuando un analisi a controllo di spostamenti si è ricavata la seguente curva di Pushover

Figura 1.3.2.II

Si osserva che il collasso della struttura avviene in seguito alla formazione della 4 cerniere plastica poiché il telaio è

un sistema 3 volte iperstatico.

Si riportano in seguito i valori di V e spostamento corrispondenti ala formazione delle cerniere plastiche:

λ ∆∆∆∆ [cm]

1° cerniera plastica 238 2.5




0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

M [knm]

χ [1/m]

Legame M - χ

0

50

100

150

200

250

300

350

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

λλλλ

∆∆∆∆ [m]

Curva di Pushover-flessione

10

1° Cerniera Plastica (λ = 238)

2° Cerniera Plastica (λ=260)


1°

2°

3°

11


1.3.3 Elementi soggetti a presso-flessione

Per andare a ricavare i diagrammi momento curvatura di una sezione soggetta a presso-flessione bisogna

innanzitutto determinare il valore di sforzo assiale agente sulla sezione stessa.

Tali valori sono stati ricavati prendendo dei valori medi dello sforzo assiale presente nelle sezioni che si plasticizzano.

Formazione CP1 Formazione CP2 Formazione CP3 Formazione CP4

N Sezione 1 [kN] 116 121 122 127

N Sezione 2 [kN] - 202 204 214

N Sezione 3 [kN] - - 204 214

N Sezione 4 [kN] - - - 183

Figura.1.3.3.I

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

M [kNm]

χχχχ [1/m]

Momento - Curvatura

N = 0 N = 70 N = 100 N = 105 N = 140

4°

12

Poiché in funzione degli step di carico cambierà lo sforzo assiale presente nelle varie sezioni, si è effettuato un

analisi con restart dove alla formazione di ogni nuova cerniera plastica si modifica il legame momento curvatura .

Si riportano in seguito i valori di V e spostamento corrispondenti ala formazione delle cerniere plastiche:

λ ∆∆∆∆ [cm]





Figura.1.3.3.II

1.3.4 Confronti Si mettono a confronto i risultati ottenuti dall’analisi effettuata con un unico diagramma M-X e quella effettuata con

il restart.

Ci si aspetta che il sistema strutturale studiato con i digrammi M-X influenzati dalla presenza dello sforzo normale

risulti meno duttile e con una capacità portante minore del sistema con comportamento puramente flessionale.

Sistema -Flessione Sistema-Pressoflessione

Duttilità µ 2.1 1.75

Figura 1.3.4.I

ATT. Il gradino che si vede nella curva rossa è dovuto proprio al tipo di modellazione.

In corrispondenza di quello step di carico abbiamo inserito il nuovo legame M – χ : leggiamo quindi una discontinuità

data dall’improvviso cambiamento del legame.

0

50

100

150

200

250

300

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

λ

Δx [m]

Curva di pushover-prssoflessione

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600

λ

Δx [m]

Curve di pushover

Flessione Presso-flessione

13

PARTE 2 : FENOMENI DI INSTABILITA’ Nella seguente parte, ci si pone l’obbiettivo di determinare le curve di equilibrio, dei sistemi trattati nella sezione

teorica, in via analitica e numerica (con l’ausilio del software Strauss 7) e comparare i risultati ottenuti con i due

metodi.

2.1 Sistemi ad un g.d.l.

Figura 2.1.I Figura 2.1.II Figura 2.1.III

2.1.1 Sistema 1 Il sistema è costituito da un asta dove si è concentrata tutta la deformabilità nella molla di rigidezza rotazionale k

posta in A (Fig.2.1.I) .

Dati:

L = 4m

K = 100

P = 1 kN

! = 0,2,4,6[&'(]

Si studierà il sistema nelle seguenti condizioni:

Figura 2.1.1.I

14

2.1.1.1 Metodo analitico

Si determina la curva di equilibrio del sistema P(θ) utilizzando il criterio statico.

Si assume come unico gradi di libertà la rotazione θ e si considera la possibile imperfezione del sistema con una

rotazione iniziale θ0 di cui il sistema è affetto nella configurazione iniziale.

Figura 2.1.1.1.I (Sistema Ideale) Figura 2.1.1.1.II (Sistema reale)

2.1.1.1.1 Sistema Ideale

Si studia il sistema nelle ipotesi di piccoli e grandi spostamenti:

A) Ipotesi di piccoli spostamenti

1) Si scrive l’equilibrio nella configurazione deformata nell’ipotesi di piccoli spostamenti e si ricava la matrice di

rigidezza del sistema K* * ∗ = ∗ ∗ →*∗ = * − ∗

2) IL valore del carico P che annulla la matrice di rigidezza del sistema è il carico critico.

=* = 1004 * = 25*

B) Ipotesi di grandi spostamenti

1) Si scrive l’equilibrio nella configurazione deformata nell’ipotesi di grandi spostamenti e si ricava la matrice di

rigidezza del sistema K*

* ∗ = ∗ ∗ sin →*∗ = * − ∗ ∗ sin

2) L’equazione del carico P che annulla la matrice di rigidezza del sistema al variare di , descrive la curva di

equilibrio P( ). ( ) = * ∗ ∗sin

2.1.1.1.2 Sistema Reale Si studia il sistema affetto da imperfezioni nelle ipotesi di piccoli e grandi spostamenti:




* ∗ ( − !) = ∗ ∗ → * ∗ ∗ 31 − ! − ∗ * 4 = 0 →*∗ = * ∗ 31 − ! − ∗ * 4


equilibrio P( ). ( ) = * ∗ (1 − ! )

15



rigidezza del sistema K* * ∗ ( − !) = ∗ ∗ sin → * ∗ ∗ 31 − ! − ∗ ∗ sin * ∗ 4 = 0 →*∗ = * ∗ 31 − ! − ∗ ∗ sin * ∗ 4


equilibrio P( ). ( ) = * ∗ ∗sin ∗ 31 − ! 4

2.1.1.1.3 Riepilogo dei risultati

Si riportano in seguito i risultati per le differenti condizioni considerate:

Ipotesi

cinematiche Ipotesi geometriche Teoria

Equazione della curva di

equilibrio P(θ) Leggenda grafico

SIS

TE

MA

AD

UN

g.d

.l.

Ipotesi piccoli

spostamenti

sistema ideale θ0 = 0°

Teoria del II°

ordine

= * P.S.-S.I.

sistema reale

θ0 = 2° ( ) = * ∗ (1 − ! )

P.S.-S.R.2°

θ0 = 4° P.S.-S.R.4°

θ0 = 6° P.S.-S.R.6°

Ipotesi grandi

spostamenti


Trattazione

completa

( ) = * ∗ ∗ sin G.S.-S.I.

sistema reale

θ0 = 2° ( ) = * ∗ ∗ sin ∗ 31 − ! 4

G.S.-S.R.2°

θ0 = 4° G.S.-S.R.4°

θ0 = 6° G.S.-S.R.6°

Tab.2.1.1.1.3.I

Figura 2.1.1.1.3.I (Caso grandi spostamenti) Figura 2.1.1.1.3.II (Caso piccoli spostamenti)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

-60.0 -40.0 -20.0 0.0 20.0 40.0 60.0

P/Pcr

θ [Gradi]

Curve di equilibrio (grandi spostamenti)

G.S.-S.I. G.S.-S.R.2° G.S.-S.R.4° G.S.-S.R.6°

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-60.0 -40.0 -20.0 0.0 20.0 40.0 60.0

P/Pcr

θ

Curva di equilibiro (piccoli spostamenti)

P.S.-S.R.2° P.S.-S.I. P.S.-S.R.6° P.S.-S.R.6°

θ0

θ0

2.1.1.2 Metodo numerico Nel seguente metodo si è arrivati alla definizione delle curve di equilibrio per i soli sistemi reali (quelli affetti da

imperfezione) utilizzando il software di calcolo Straus7:

1) Si è modellato il sistema attribuendo all’asta

La rigidezza dell’asta è stata scelta in modo tale che la deformazione della stessa sia trascurabile rispetto alla

deformazione della molla (caratterizzata da un valore di rigidezza molt

2) Si è definito un load case composto da una forza concentrata agente sulla testa dell’asta pari a 1 kN

3) Sono stati definiti i diversi incrementi di carico dell’analisi non lineare statica

4) si è lanciata l’analisi nonlineare statica e

I risultati sono poi stati confrontati con quelli provenienti dalla trattazione anaitica nei grafici seguenti

Figura 2.1.1.2.I

-60.0 -40.0 -20.0

Curve di equilibrio (Grandi spostamenti)

MA.2° MA.4

16

Nel seguente metodo si è arrivati alla definizione delle curve di equilibrio per i soli sistemi reali (quelli affetti da


stema attribuendo all’asta un imperfezione geometrica iniziale, una sezione ed una rigidezza.


deformazione della molla (caratterizzata da un valore di rigidezza molto più basso).



4) si è lanciata l’analisi nonlineare statica e si sono estratti i dati


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

20.0 0.0 20.0 40.0

P/Pcr


MA.4° MA.6° S7.2° S7.4° S7.6°


un imperfezione geometrica iniziale, una sezione ed una rigidezza.




60.0

θ [Gradi]

17

2.1.2 Sistema 2 Il sistema è costituito da un asta dove si è concentrata tutta la deformabilità nella molla di rigidezza traslazionale k

posta in B (Fig.2.1.II) .

Dati:

L = 4m

K = 100 kNm

P = 1 kN ! = 0,2,4,6[&'(]

Il sistema è stato studiato nelle differenti condizioni descritte in Fig.2.1.1.I





2.1.2.1.1 Sistema Ideale Si studia il sistema nelle ipotesi di piccoli e grandi spostamenti:



rigidezza del sistema K* * ∗ 5 ∗ = ∗ ∗ →*∗ = * ∗ −

2) IL valore del carico P che annulla la matrice di rigidezza del sistema è il carico critico. = * ∗ = 100 ∗ 4* = 400*




* ∗ 5 ∗ sin ∗ cos = ∗ ∗ sin →*∗ = * ∗ ∗ cos −


equilibrio P( ). ( ) = * ∗ ∗ cos


18





* ∗ 5 ∗ ( − !) = ∗ ∗ → * ∗ 5 ∗ ∗ 31 − ! − * ∗ 4 = 0 →*∗ = * ∗ 5 ∗ 31 − ! − * ∗ 4


equilibrio P( ). ( ) = * ∗ ∗ (1 − ! )




* ∗ 5 ∗ (sin − sin !) ∗ cos = ∗ ∗ sin → * ∗ 5 ∗ ∗ sin ∗ 8(sin − sin !) ∗ cos ∗ sin − * ∗ ∗ 9 = 0 *∗ = * ∗ 5 ∗ 8(sin − sin !) ∗ cos ∗ sin − * ∗ ∗ 9


equilibrio P( ). ( ) = 8(sin − sin !) ∗ cos sin 9 ∗ * ∗

2.1.2.1.3 Riepilogo dei risultati Si riportano in seguito i risultati per le differenti condizioni considerate:

Ipotesi

cinematiche Ipotesi geometriche Teoria Equazione della curva di equilibrio P(θ) Leggenda grafico

SIS

TE

MA

AD

UN

g.d

.l.

Ipotesi piccoli

spostamenti


Teoria del

II° ordine

= * ∗ P.S.-S.I.

sistema reale

θ0 = 2°

( ) = * ∗ ∗ (1 − ! ) P.S.-S.R.2°

θ0 = 4° P.S.-S.R.4°

θ0 = 6° P.S.-S.R.6°

Ipotesi grandi

spostamenti


Trattazione

completa

( ) = * ∗ ∗ cos G.S.-S.I.

sistema reale

θ0 = 2° ( ) = 8(sin − sin !) ∗ cos sin 9 ∗ * ∗

G.S.-S.R.2°

θ0 = 4° G.S.-S.R.4°

θ0 = 6° G.S.-S.R.6°

Tab.2.1.3.1.3.I

Figura 2.1.2.1.3.I

2.1.2.2 Metodo numerico Nel seguente metodo si è arrivati alla definizione delle curve di equilibrio per i soli sistemi reali (quelli affetti da


1) Si è modellato il sistema attribuendo all’asta


deformazione della molla (caratterizzata da un valore di rigidezza molto



4) si è lanciata l’analisi nonlineare statica e s

I risultati sono poi stati confrontati con quelli provenienti dalla trattazione anaitica

Figura 2.1.2.2.I

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-40 -20 0 20

P/Pcr


G.S.-S.I. G.S.-S.R.2° G.S.-S.R.6°

-40 -30 -20 -


θ0

19

Figura 2.1.1.1.3.II



stema attribuendo all’asta un imperfezione geometrica iniziale, una sezione ed una rigidezza.







20 40

θ [Gradi]


G.S.-S.R.4°

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-60.0 -40.0 -20.0 0.0

P/Pcr


P.S.-S.R.2° P.S.-S.I.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

-10 0 10 20

P/Pcr


θ0


un imperfezione geometrica iniziale, una sezione ed una rigidezza.



20.0 40.0 60.0

P/Pcr

θ [Gradi]


P.S.-S.R.6° P.S.-S.R.6°

30 40

θ [Gradi]

20

2.1.3 Sistema 3 Il sistema è costituito da un asta dove si è concentrata tutta la deformabilità nella molla di rigidezza traslazionale k

posta in B (Fig.2.1.III) .

Dati:

L = 4m

K = 100 kNm

P = 1 kN ! = 0,2,4,6[&'(]

Il sistema è stato studiato nelle differenti condizioni descritte in Fig.2.1.1.I





2.1.3.1.1 Sistema Ideale Si studia il sistema nelle ipotesi di piccoli e grandi spostamenti




* ∗ 5 ∗ :√1 + − 1< ∗ (1 − ) = ∗ ∗ → * ∗ 5 ∗ ∗ =:√1 + − 1< ∗ (1 − ) − * ∗ > = 0

*∗ = * ∗ 5 ∗ =:√1 + − 1< ∗ (1 − ) − * ∗ > 2) IL valore del carico P che annulla la matrice di rigidezza del sistema è il carico critico.

= * ∗ ∗ :√1 + − 1< ∗ (1 − )




* ∗ 5 ∗ √2 ∗ :√1 + sin − 1< ∗ ?cos 3Π4 − 24 ∗ cos − cos 3Π4 + 24 ∗ sin @ = ∗ ∗ sin


21

* ∗ 5 ∗ ∗ sin ∗ A√2 ∗ :√1 + sin − 1< ∗ Bcos 3Π4 − 24 ∗ cos ∗ sin − cos CΠ4 + 2D E − * ∗ ∗ F = 0

*∗ = * ∗ 5 ∗ A√2 ∗ :√1 + sin − 1< ∗ Bcos 3Π4 − 24 ∗ cos ∗ sin − cos CΠ4 + 2D E − * ∗ ∗ F


equilibrio P( ).

( ) = * ∗ ∗ √2 ∗ :√1 + sin − 1< ∗ ?cos 3Π4 − 24 ∗ cos sin − cos 3Π4 + 24@





* ∗ 5 ∗ :G1 + − ! − 1< ∗ (1 − ) = ∗ ∗ → * ∗ 5 ∗ ∗ =:G1 + − ! − 1< ∗ (1 − ) − * ∗ > = 0

*∗ = * ∗ 5 ∗ =:G1 + − ! − 1< ∗ (1 − ) − * ∗ > 2) IL valore del carico P che annulla la matrice di rigidezza del sistema è il carico critico.

= * ∗ ∗ :G1 + − ! − 1< ∗ (1 − )




* ∗ 5 ∗ √2 ∗ :G1 + sin − sin ! − 1< ∗ ?cos 3Π4 − 24 ∗ cos − cos 3Π4 + 24 ∗ sin @ = ∗ ∗ sin

* ∗ 5 ∗ ∗ sin ∗ A√2 ∗ :G1 + sin − sin ! − 1< ∗ Bcos 3Π4 − 24 ∗ cos ∗ sin − cos CΠ4 + 2D E − * ∗ ∗ F = 0

*∗ = * ∗ 5 ∗ A√2 ∗ :G1 + sin − sin ! − 1< ∗ Bcos 3Π4 − 24 ∗ cos ∗ sin − cos CΠ4 + 2D E − * ∗ ∗ F


equilibrio P( ).

( ) = * ∗ ∗ √2 ∗ :G1 + sin − sin ! − 1< ∗ ?cos 3Π4 − 24 ∗ cos sin − cos 3Π4 + 24@

22

2.1.3.1.3 Riepilogo dei risultati Si riportano in seguito i risultati per le differenti condizioni considerate:

Ipotesi

cinematiche Ipotesi geometriche Teoria Equazione della curva di equilibrio P(θ) Leggenda grafico

SIS

TE

MA

AD

UN

g.d

.l.

Ipotesi piccoli

spostamenti


Teoria del

II° ordine

= * ∗ ∗ :√1 + − 1< ∗ (1 − ) P.S.-S.I.

sistema reale

θ0 = 2°

= * ∗ ∗ :G1 + − ! − 1< ∗ (1 − )

P.S.-S.R.2°

θ0 = 4° P.S.-S.R.4°

θ0 = 6° P.S.-S.R.6°

Ipotesi grandi

spostamenti


Trattazione

completa

( ) = * ∗ ∗ √2 ∗ :√1 + sin − 1<∗ ?cos 3Π4 − 24 ∗ cos sin − cos3Π4 + 24@ G.S.-S.I.

sistema reale

θ0 = 2° ( ) = * ∗ ∗ √2 ∗ :G1 + sin − sin ! − 1<∗ ?cos 3Π4 − 24 ∗ cos sin − cos3Π4 + 24@

G.S.-S.R.2°

θ0 = 4° G.S.-S.R.4°

θ0 = 6° G.S.-S.R.6°

Tab.2.1.3.1.3.II


2.1.3.2 Metodo numerico



1) Si è modellato il sistema attribuendo all’asta un imperfezione geometrica iniziale, una sezione ed una rigidezza.




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-40 -20 0 20 40

P/Pcr

θ [Grad]


G.S.-S.I. G.S.-S.R.2° G.S.-S.R.4° G.S.-S.R.6°

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-40 -20 0 20 40

P/Pcr

θ [Grad]

Curve di equilibrio (piccoli spostamenti)

P.S.-S.I. P.S.-S.R.2° P.S.-S.R.4° P.S.-S.R.6°

θ0

θ0

23




Figura 2.1.3.2.I

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

P/Pcr

θ [Grad]


G.S.-S.R.2° G.S.-S.R.4° G.S.-S.R.6° MA.2° MA.4° MA.6°

24

2.2 L’instabilità a scatto Si possono analizzare dei sistemi strutturali dove si possono verificare differenti fenomeni di instabilità(Teoria

Par.2.3). Uno di questi sistemi è l’arco a tre cerniere descritto in Fig.2.2.I.

Figura 2.2.I

In seguito all’applicazione della forza concentrata P si possono verificare due differenti tipi di instabilità:

1) le singole aste si in stabilizzano a causa di un eccessivo sforzo di compressione (Instabilità Euleriana)

2) In seguito ad un eccessiva forza P entrambe le aste subiscono un improvviso scatto (Fig.2.2.II)

Figura 2.2.II

Al fine di cogliere i differenti fenomeni di instabilità che si possono studiare nel sistema, si sono modellati sul

programma Straus7 due differenti archi a tre cerniere:

1) Arco a tre cerniere composto da due aste tozze

2) Arco a tra cerniere composto da due aste snelle

Arco a tre cerniere composto da aste tozze (IPE 600)

In questo arco, a causa delle proprietà geometriche degli elementi che compongono il sistema strutturale, il carico

critico Euleriano e di molto maggiore del carico che innesca il fenomeno di instabilità a scatto. L’instabilità a scatto

risulta quindi essere il fenomeno vincolante il massimo carico sopportabile dal sistema strutturale(Fig.2.2.III).

Figura 2.2.III

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

P [kN]

Δy [m]

Aste tozze

Controllo spostamenti Buckling Controllo forze

25

Arco a tre cerniere composto da aste snelle(IPE100)

In questo arco, a causa delle proprietà geometriche degli elementi che compongono il sistema strutturale, il carico

che innesca il fenomeno di instabilità a scatto è di molto maggiore del carico critico Euleriano. L’instabilità di Eulero

risulta quindi essere il fenomeno vincolante il massimo carico sopportabile dal sistema strutturale.

ATT. Mentre l’instabilità a scatto non è vincolata alle imperfezioni geometriche, quella Euleriana si. Ne consegue che

se si modella il sistema non affetto da imperfezioni su un qualsiasi programma di calcolo, il programma non leggerà

l’instabilità Euleriana ma solo quella a scatto. (Fig. 2.2.IV)

Figura 2.2.IV

Per ovviare a questo problema si è inserita un imperfezioni pari ad un carico uniformemente distribuito su un asta

che ne comporta l’inflessione(Fig. 2.2.V).

Figura 2.2.V

Figura 2.2.VI

-600

-400

-200

0

200

400

600

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

P [kN]

Δy [m]

Aste snelle

Controllo spostamenti Buckling Controllo forze

-600

-400

-200

0

200

400

600

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

P [kN]

Δy [m]

Aste snelle

Controllo spostamenti

Buckling

Controllo forze

Imperfezione

0

20

40

60

80

100

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

P [kN]

Δy [m]

Zoom

Buckling Imperfezione

cm - elaborato biscarini

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