cmbukti 2 rgvas´ssitiéntinñn&y › fs › mathematics › documents... · 10,8% nigrfynþti...

saklviTüal&yPUminÞPñMeBj Royal University of Phnom Penh

mhaviTüal&yKNitviTüa -17-

CMBUkTI 2

rgVas´sSitiénTinñn&y

(Statistical Measures of Data)

rgVas´sSitiepßg@RtÚveKeRbIRásédIm,Isegçb nigBiBN’nasMnMuTinñn&y . tamn&yNamYyrgVas´mYycMnYnén

rgVas´sSitiTaMgen¼kMnt´p©iténsMnMuTinñn&ymYy ehIyeKehAfa rgVas´TItaMgp©it ¦rgVas´TMenarp©it (Measure of

Central tendency) . rgVasépßgeTotpþléGayrgVas´énbMErbMrYlTinñn&ykñúgcMenamtMélseg;t nigRtÚvEbgEckCa

rgVas´bMErbMrYl (Measure of Variation) . CarYmrgVas´sSitiTaMgBIrRbePTen¼ manRbeyaCn_kñúgkarBiBN’ráy

BiténtMélseg;tEdlCasMnMuTinñn&yrbseyIg .

2¿1- tMéláraËm¨t nigtMélsSiti (Parameters and Statistics)

Bakübec©keTs nigsBaØaNEdlnGnum&tedayGñksiStikñúgkarbkRsayTinñn&ysSitiGaRs&yTaMgRsúgfaetI

sMnMuTinñn&yCabÜBuyLasüúgmYy ¦CaKMrUtagEdlRtÚveRCIserIsBIbUBuyLasüúg . Ca«TahrN_ cUrBinitüemIlsMnMu

Tinñn&ydUcteTAEdltageGaycMnYnénkMhusénkarvayGtSbTEdleFIVeLIgedayelxaFikarkñúg 10 TMB&repßg@Kñaén

ÉksamYy£ 1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 4, 0 nig 2 . CadMbUgcUreyIgsnµtfa ÉksarmanEt 10 TMB&redIm,IeGay

Tinñn&ybeg;ItánCa bÜBuyLasüúgkMnt´tUcmYy . karsikßayägqabmYyénbUBuLasüúgen¼GacnaMeyIgeTAdl´kar

snñidæanmYycMnYn .Ca«TahrN_ eyIgGaceFIVesckþIfa cMnYnFMbMputénkMhusvayGtSbTelITMB&rmYyesµI 4 ¦eyIgGac

niyayfa mFümnBVnþ (mFümPaK) én 10tMélesµI 1,5 . tMél 4 nig 1,5 CalkçN£BiBN’naénbUBuLasüúg

rbseyIg . eyIgehAtMélEbben¼fa tMélá¨raËm¨ténbUBuLasüúg .

tMélá¨raËm¨t (Parameter)

niymn&y£ tMélelxNamYyEdlBiBN’nalkçN£mYyrbsbÜBuyLasüúgmYyehAfa tMélá¨raËm¨t .

CaTMlabéKtagtMélá¨raËm¨tedayGkßrRkic . dUecñ¼ehIy mFümnBVnþénbUBuLasüúgmYykMntéday . dUecñ¼

ehIysMrabbÜBuyLasüúgrbséyIgénkMhusvayGtSbT 51, . kMnt´sMKal´fa tMélá¨raËm¨tCatMélefr

EdlBiBN’nabUBuLasüúg .

}LÚven¼ cUreyIg«bmafa Tinñn&yEdltageGaycMnYnénkMhusvayGtSbTbeg;ItánCaKMrUtagmYyEdlTTYl

ánedayrabćMnYnkMhuselI 10 TMB&rEdlRtÚveRCIserIsedayécdnüBIÉksaminTanéá¼Bum<d¾eRcInmYy . c,as´

ehIy}LÚven¼bÜBuyLasüúgmansMnMuTinñn&yFMCagEdlRKanÉtCaBt’manmYyEpñkRtÚveKpþléGayedayKMrUtag. tMél

4 nig 1,5 }LÚven¼ CargVas´BiBN’naénKMrUtag ehIyminRtÚvcat´T ukCatMélá¨raËmténbÜBuyLasüúgeT .

tMélmYyEdlRtÚvKNnaBIKMrUtagehAfa tMélsSiti .



tMélsSiti (Statistics)

niymn&y£ tMélelxNamYyEdlBiBN’nalkçN£mYyénKMrUtagmYyehAfa tMélsSit .

tMélsSitimYyCaFmµtatagedayGkßrFmµtaéntYGkßrPasaGgéKøs . RbsinebItMélsSitiekIteLIgCamFüm

KMrUtageyIgnwgkMnt´vaeday x . sMrabKMrUtagécdnüénkMhusvayGtSbT eyIgman x = 1,5 . edayehtufa

KMrUtagécdnüCaeRcInGacekItmanBIbÜBuyLasüúgEtmYy eyIgnwgrMBwgfa tMélsSitiERbRbÜlBIKMrUtagmYyeTAKMrUtag

mYyeTot . müageTot RbsinebIKMrUtagécdnüTI 2 mYyEdlman 10 TMB&rRtÚveKeRCIserIsBIÉksarminTanéá¼Bum<

ehIycMnYnénkMhusvayGtSbTkñúgmYyTMB&rEdláncu¼kñúgtarag tMélFMbMputGacekIteLIgesµI 5 CMnYs 4

nigmFümnBVnþRbEhlCa nwgesµI 1,5 büEnþBitCaGacxusKña .

kñúgkarsikßasSitisnñidæanrbseyIg eyIgnwgeRbIRástMélsSitimYyCatMélá¨n´RbmaNéntMélá¨raËm¨t

bÜBuyLasüúgRtÚvKña . PaKeRcIn TMhMénbÜBuyLasüúgnwgmantMélFM ¦Gnnþ . edIm,IeGaydwgfa etItMélsSiti

á¨n´RbmaNtMélá¨raËm¨tedayPaBsuRkitbüNÑa CatMbUgeyIgRtÚvEtBinitüseg;tráyéntMélsiStiEdlánKNnakñúg

kareFIVKMrUtagdEdl@ EdlRbFanbTen¼RtÚveKBicarNaeBleRkay .

2¿2- rgVas´énTItaMgkNþal (Measures of Central Tendency)

edIm,IBinitüemIlsMnMuénTinñn&ybrimaN CakarmanRbeyaCn_edIm,IkMntrgVasélxEdlBiBN’naeGaylkçN£

énTinñn&y . viFImYyénviFIsMxan´@énkarBiBN’naRkúmmYyénrgVas´ eTa¼vaCaKMrUtagmYy ¦bÜBuyLasüúgmYyk¾eday

eKeRbIRásmFümPaKmYy (Average) .

mFümPaKmYyCargVas´mYyénp©itrbs´sMnMuTinñn&yenAeBleKtMerobTinñn&ytamlMdab´TMhMekIn ¦cu¼ . Ca

«TahrN_ ebIrfynþmYyrt´ánCamFüm 14,5 km kñúgsaMg 1 lIt tMélen¼GacRtÚveKcat´Tukfa CatMélEdl

bgHajp©iténtMélCaeRcIn . kñúgCnbT 1 lIténsaMgGacpþléGaycMgayeRcInCagkñúgmYylItsaMgenAtMbnćracr

mmajwkénTIRkúgFMmYy . tMél 4,5 kñúgn&yen¼kMnttMélp©it .

rgVasŃamYyEdlcgðúlbgHajp©iténsMnuMTinñn&ymYyEdltMerobtamlMdabekIn ¦cu¼énTMhMeKehAfa

rgVas´TItaMgp©it (Measure of Central Location) rWrgVas´TMenarp©it(Measure of Central Tendency) .

rgVasÉdleRbIsamBaØbMputKWmFüm (Mean) emdüan (Median) nigmUt (Mode) . rgVas´TItaMgp©itmYyénrgVas´

TItaMgp©itTaMgen¼ ehIyEdlRtÚvBinitüemIlmuneKKWmFüm .

mFümbÜBuyLasüúg (Population Mean)

niymn&y£ RbsinebIsMnMuTinñn&y nx...,,x,x 21 (mincaMác´xusKñaTaMgGs) tageGaybUBuyLasüúgkMntmYy

TMhM N ena¼mFümbÜBuyLasüúgesµInwg

N

x

N

i

i

1



«TahrN_1 £ cMnYnénnieyaCikenA{sfsSan 5 xusKñamansmaCik 3, 5, 6, 4 nig 6 . edaycat´TukTinñn&y

b¨UBuyLasüúgmYy cUrrkcMnYnmFüménbuK:liksMrab{sfsSanTaMg 5 .

dMeNa¼Rsay

edayehtufa eKcatTukTinñn&yCabUBuLasüúgkMnt´mYy

845

64653,

mFümKMrUtag (Sample Mean)

niymn&y£ RbsinebI sMnMuTinñn&y nx...,,x,x 21 (mincaMác´xusKñaTaMgGs´) tageGayKMrUtagkMnt´TMhM n ena¼

mFümKMrUtagesµInwg £

n

x

x

n

i

i

1

«TahrN_2£ GñkRtÚvBinitümHÚbGarharmñak´ánBinitüemIlKMrUtagécdnümYyénmHÚb 2 RtIsmuRTpøaksBaØaCaklak´mYy

7 kMbugedIm,IkMnt´PaKryénPaBminsuT§ . Tinñn&ydUcteTARtÚveKktRta 1,8 , 2,1 , 1,7 , 1,6 , 0,9 , 2,7 nig

1,8 . cUrKNnamFümKMrUtag .

dMeNa¼Rsay

BIKMrUtagen¼eyIgán£

%,,,,,,,,

x 817

81729061711281

Cajwkjab´ edIm,IsMrYlkñúgkarKNnamFüm eKKNnaedayeRbIviFIkUtTinñn&y (Coding Data) . Ca«TahrN_CYn

kalCakargayRsÜl eyIgbUk rWdk cMnYnefreGaytMélseg;tTaMgGs´rbs´eyIg ehIybnÞab´mkKNna mFüm .

etImFümfµITakTgya¨gdUcemþcCamYynwgmFüménsMnMuedIméntMélseg;t ? RbsinebIeyIgtag yi = xi + a ena¼

axn

)ax(

n

y

y

n

i

i

n

i

i

11

dUecñ¼ karbUkrWdkéncMnYnefreGaytMélseg;tTaMgGs´áneFVIeGaymFümERbRbÜledaytMélcMnYnefrena¼ .

edIm,IrkmFüméncMnYn –5, –3, 1, 4 nig 6 CatMbUgeyIgGacbUk 5 edIm,IeGaytMélseg;tTaMgGsviC¢manEdlesµInwg

0, 2, 6, 9 nig 11 manmFümesµI 5,6 . dUecñ¼tMéledImmanmFüm 5,6 – 5 = 0,6 .

}LÚven¼«bmafa eyIgtag yi = axi eKán£

xan

ax

n

y

y

n

i

i

n

i

i

11

dUecñ¼ RbsinebItMélseg;tTaMgGsRtÚvKuN rWEckedaycMnYnefrNamYytMélseg;tfµI nwgmanmFümesµInwgBhuKuN



énmFümedIm . mFüméntMél 4, 6, 14 esµI 8 dUecñ¼ehIy bnÞab´BIEcknwg 2 mFüménsMnMu 2, 3 nig 7

RtÚvEtesµInwg 4 .

rgVas´TItaMgp©itEdlmanplRbeyaCn_bnÞab´KWemdüan . sMrabbÜBuyLasüúgmYy eyIgkMntéGaytMél

emdüaneday ~ sMrabKMrUtageyIgsresr x~ .

emdüan (Median)

niymn&y£ emdüanénsMnMutMélseg;tmYytMerobtamlMdabékIn rWcu¼énTMhMtMél CatMélkNþalenAeBlcMnYnén

tMélseg;tCacMnYness rWCamFüméntMélBIrkNþalenAeBlcMnYnéntMélseg;tCacMnYnKU .

«TahrN_3£ enAelIkarRblgRbcaMRtImas 5 dgelImuxviCa¢sg:mviTüanisßitmñak´TTYlánBinÞú 93, 86, 92 nig

79 . cUrrkemdüansMrabbÜBuyLasüúgénBinÞúen¼ .

dMeNa¼Rsay

edaykartMerobBinÞútamlMdabékIn eyIgán£

79 82 86 92 93

dUecñ¼ ~ = 86

«TahrN_4£ cMNu¼nIkUTInsMrab´KMrUtagécdnümYyénárI 6 edImrbs´pøaksBaØaCak´lak´mYyRtÚváneKKNna

eXIjfa esµInwg 2,3 , 2,7 , 2,5 , 2,9 , 3,1 nig 1,9 g . cUrrkemdüan

dMeNa¼Rsay

RbsinebIeyIgtMerobcMnu¼nIkUTInTaMgena¼tamlMdabekIn eyIgán £

1,9 2,3 2,5 2,7 2,9 3,1

ehIyemdüanesµInwgmFümén 2,5 nig 2,7

dUecñ¼

mg,,,

x 622

72522

rgVas´TItaMgp©itTI 3 EdleyIgnwgbgHajKWmÜt (Mode)

mUt (Mode)

niymn&y£ mÜténsMnMutMélseg;tmYyKWCatMélseg;tEdlekIteLIgjwkjab´bMput rWedayeRbkg´FMbMput .

mÜtminmanCanic©kalena¼eT . krNIen¼CakarBitenAeBltMélseg;tTaMgGsekIteLIgedayeRbkgésµIKña .

sMrab sMnMuTinñn&yxø¼ GacmantMélCaeRcInekIteLIgedayeRbkg´FMbMput kñúgkrNIen¼eyIgmanmÜtCaeRcInCagmYy.

«TahrN_5£ RbsinebIGMeNayBIGñktaMglMenA Fairyway Forest eGaysmaKm Virginia Lung

RtÚveKkt´Rta esµInwg 9, 10, 5, 9, 9, 7, 8, 6, 10 nig 11 ena¼ 9 duløaEdlCatMélekIteLIgedayeRbkg´x<s´

CageKCamUt .

«TahrN_6£ cMnYnExßPaBynþEdlánTsßnaExmunedayKMrUtagécdnümYyénsisßviTüal&y 12 nakRtÚvánkt´Rta

dUcteTA 2, 0, 3, 1, 2, 4, 2, 5, 4, 0, 1 nig 4 . kñúgkrNIen¼ manmUt 2 KW 2 nig 4 edayehtufa 2 nig 4



ekIteLIgedayeRbkg´FMCageK . eKniyayfaráyen¼Ca ráyeTVmÜt (Bimodal) .

«TahrN_7£ KµanmÜtekIteLIgsMrabBinÞúmuxviCa¢sg:mviTüakñúg«TahrN_ 3 edayehtufa BinÞúnImYy@ekIteLIgEtmþg.

Casegçb cUreyIgBinitüemIllkçN£TMnak´TMngKñaénmFüm emdüan nigmUt . mFümCargVas´TItaMgEdleRbI

yägsamBaØbMputkñúgsSiti . eKgayRsÜlkñúgkarKNna ehIymFümbMerIeGayBt’manEdlGacrkánTaMgGs´ .

ráyénmFümEdlTTYlánkñúgkareFIVKMrUtagdEdl@ BIbÜBuyLasüúgmYyRtÚveKeRbIRásĆajwkjab´ dUecñ¼ehIyviFI

EdleRbIkñúgsSitisnñidæansMrabá¨n´RbmaNtMél RtÚvBwgEpðkelImFümKMrUtag . eKminKYreRbIva enAeBlmantMél

seg;tFM rWtUc hYsehtumYycMnYntUc . kñúg«TahrN_ 5 karcUlviPaKTanCamFümeGayeTAsmaKm Virginia

Lurg esµInwg $ 8,40 EdlCatMélRbEhleTAnwgtMélmÜt rWemdüanEdlesµInwg $9 . ya¨gNak¾eday Rbsin

ebIviPaKTanmYyEdl FMxøaMg «TahrN_ $ 90 CMnYstMél $11 ena¼viPaKTanmFümesIµnwg $ 16,30 EdlCatMél

FMxøaMgCagtMélPaKeRcInén GMeNay .

emdüanmanRbeyaCn_edaykarKNnagayRsÜl RbsinebIcMnYntMélseg;ttUclµm . vaminTTYl}T§iBlBI

tMélbrma . ehtudUecñ¼ vacUlrYmkñúgkarvas´tMélmFümPaKedaytMélBitCagKWfa $ 9 RbsinebIviPaKTanx<s´

bMputkñúg«TahrN_ 5 esµInwg $90 CMnYstMél $11 . kñúgkareda¼RsayCamYynwgKMrUtagEdlRtÚveRCIserIs

BIbUBuyLasüúgmFümKMrUtagCaFmµtanwgminERbRbÜleRcInBIKMrUtagmYyeTAKMrUtagmYyeTot dUcCatMélemdüaneT .

dUecñ¼ RbsinebIeyIgcg´á¨n´RbmaNtMélp©itrbsbÜBuyLasüúgEpñkelItMélKMrUtagmYy mFümmantMélefrCag

emdüan . edayehtuen¼ ehIymFümKMrUtagmYyRbEhlCamantMélRtwmRtÚvCagemdüanKMrUtagebIeKeFobvaeTAnwg

mFümbÜBuyLasüúg .

mÜt CargVasÉdleRbIRás´ticCageKénrgVasTaMgbI . sMrab´sMnMuTinñn&ytUc tMélrbsvaesÞIEtKµanRbeyaCn_

eTa¼CaeKmantMélen¼k¾eday . manEtkñúgkrNIénsMnMuTinñn&yFMeTIbvamann&y . RbeyaCn_CacMbgBIrbs´vaKWfa £

(1)¿ vaminRtÚvkarKNna

(2)¿ vaGaceRbIsMrabTinñn&yKuNPaB nigbrimaNpgEdr . dUecñ¼ RbsinebIkarhat´RáNCakILaedayrt´

EdlcUlcitþedaymnusßPaKeRcIn eyIgniyayfa karrMlwkCaCMerIsmUt .



lMhat A

1¿ cMnYnéncMelIyminRtwmRtÚvelIkarRblgsmtSPaBEdlmancMelIyRtÚv nig xusrbs´KMrUtagénsisß 15 RtÚváneK

ktRtadUcteTA 2, 1, 3, 0, 1, 3, 6, 0, 3, 3, 5, 2, 1, 4 nig 2 . cUrrk£

(a) mFüm (b) emdüan (c) mÜt

2¿ cMnYnlixitGnuBaØatsagsgÉdlánecjkalBIExmuneTAeGayRkúmh‘unsMng´ 12 enAkñúgTIRkúgtUcmYyKW 4, 7,

0, 7, 11, 4, 1, 15, 3, 5, 8 nig 7 . edaycatTukTinñn&yen¼CabUBuyLasüúgmYy cUrrk£


3¿ ry£eBlRbtikmµsMrab´KMrUtagécdnüén 9 kmµvtSúeRkamkMlaMgkatalIkrRtÚváneKkt´RtaKW 2,5 ; 3,6 ; 3,1 ; 4,3

2,9 ; 2,3 ; 2,6 ; 4,1 nig 3,4 vinaTI . cUrKNna£

(a) mFüm (b) mÜt

4¿ nieyaCikéneragcRkplitkmµmYysnüapþl´GMeNayCaduløaeTAeGaymUlniFishCIB£ 10, 40, 25, 5, 20, 10,

25, 50, 30, 10, 5, 15, 25, 50, 10, 30, 5, 25, 45 nig 15 . edaycat´TukTinñn&yfa bÜBuyLasüúgmYy

cUrKNna£

(a) mFüm (b) mÜt

5¿ GaRs&yeday GñkniBn§GtSbTbrisaSnviTüa Jacqueline Killeen pUsVatEdlmanenAkñúgemßAsabUeRbIRás´tam

pÞ¼qøgkatRbB&n§lUTwksðúybNþaleGaybwgERbeTACavalPkl,abÉdlCacugbBa©b´rIghYteTACavalxßac´ .

Tinñn&ydUcteTAbgHajBIbrimaNpUsaVtkñúgmYybnÞúkénexaGaveákKk´KitCaRkamsMrabKMrUtagécdnümYyénRbePT

emßAsab‘Uepßg@ EdlRtÜveRbIGaRs&yedaykarENnaMeRbIRás´£

emßAsab‘UeákKk pUsaVtkñúgmYybnÞúk (g)

A & P Blui Sail

Dash

Concentred All

Cold Water All

Breeze Oxydol

Ajax

Sears

Fab

Cold Power

Bold Rinso

48

47

42

42

41

34

31

30

29

29

29

26

sMrabTinñn&ypUsVatEdleGay cUrrk£


6¿ kñúgkarsikßary£eBls¶ÜténfñaMBN’eFIVBIGasIutfµImYy Tinñn&yKitCaemägRtÚváneKcu¼kUdedaykardk 5 BItMél

nImYy@ .



cUrrkmFümKMrUtagsMrab´ry£eBls¶ÜténbnÞ¼kþar 10 edayeRbIfañMBN’en¼RbsinebIrgVasÉdlándak´kUtKW£ 1,4 ;

0,8 ; 2,4 ; 0,5 ; 1,3 ; 2,8 ; 3,6 ; 3,2 ; 2,0 nig 1,9 emäg .

7¿ kñúgkará¨n´RbmaNkMlaMgdac´KitCaKILÚRkaménExßsnÞÜcRtIfµImYyeFVIBI Synthetic Tinñn&yRtÚváneKcu¼kUdeday

kardk 10 BItMélseg;tnImYy@ . cUrrkmFümKMrUtagsMrab´ 5 ExßTaMgen¼ . RbsinebIrgVasÉdláncu¼kUdKW £

0,4 ; –0,2 ; 1,5 ; 1,8 nig –0,7 .

8¿ cUrrkrgVas´énTItaMgp©it (mFümPaK) EdlcUlcitþCageKsMrab´KMrUtagEdltMélseg;trs´vaKW£

18, 10, 11, 98, 22, 15, 11, 25 nig 17 tageGaycMnYnrfynþEdlánlk´kñúgkMlugeBlExmkraknøgmken¼

edayTIPñak´garlk´rfynþ 9 epßg@ Kña . cUrbBa¢akCMerIsrbsGñk .

9¿ IQ (pleFobbBaØa) CamFüménsisß 10 nakkñúgfñakKNitviTüaKW 114 . RbsinebIsisß 9 nakman

IQ : 101, 125, 118, 128, 106, 115, 99, 118 nig 109 etI IQ mYyepßgeTotesµIbünµan ?

10¿ rfynþCak´lak´mYyCamFümebIkán 18 KILÚEm¨tkñúgmYylItelIpøÚvFM . etIeKRtÚvkareRbgsaMgbünaµnlItedIm,I

eFIVdMeNIrEdlmancMgay 450 KILÚEm¨t ?

11¿ enAkñúgsniñátfµI@en¼enA Daytona Beach RbtiPUGaceRCIserIskareFIVdMeNIrkMsanþmYykñúgdMeNIrkMsanþ 3

kEnøg£ Disneyworld, Marineland nig St-Augustine . cUrkMntĆMerIsCamÜtUrbs´RbtiPU 15 nak Edl

sMerccitþdUcteTA £ Disneyworld, St-Augustine, Disneyworld, Disneyworld, Marineland,

St-Augustine, Marineland, Disneyworld, Marineland, Marineland, Disneyworld, St-

Augustine, Disneyworld, Marineland nig Disneyworld .

12¿ r¨g´kNþal (Midrange) rgVas´énTItaMgEdlgayKNnamYyeTotKWr¨g´kNþal . r¨g´kNþalCamFüméntMél

tUcbMput nig FMbMputkñúgsMnMuénTinñn&y . cUrrkr¨g´kNþalkñúg £

(a) KMrUtagécdnüénlMhat´ 3

(b) bÜBuyLasüúgénlMhat´ 4

13¿mFümsrub (Weighted mean)£ CajwkjabéyIgcg´KNnamFümPaKnUvbrimaN k: x1, x2, ..., xk edaykar

eGayPaBsMxanéTAbrimaNmYycMnYneRcInCagbrimaNepßgeTot . eyIgteFIVdUecñ¼edaykarkMnt´PaBsMxan

w1, w2,...,wk eTAeGaybrimaN k ena¼EdlPaBsMxan´TaMgen¼tageGayrgVasPaBsMxan´rbs´vaRtÚvKña .

mFümsrub w ¦ xw kMntéday £

k

i

i

k

i

ii

w

w

xw

x

1

1

RbsinebIPaBsMxan´TaMgGsésµIKña eyIgTTYlánmFümnBVnþFmµtaéntMélseg;t k .

(a) etImFümPaKsMrab´sisßTTYlánBinÞú 85, 76 nig 82 elIkarRblg 3 nig 79 elIkarRblgbB©ab´kñúg

vK:sikßaCaklak´mYyesIµbunµan RbsinebIkarRblgbBa©brab´bBa¢Úl 3 dgeRcInCagkarRblg 3 eTot .



(b) tamdMeNIrvisßmkalmYy RKÜsarmYyánTijeRbgsaMg 21,3 lItedaytMél 39,9 esn kñúgmYylIt

18,7lIt edaytMél 42,9 esnkñúgmYylIt nig 23,5 lItedaytMél 40,9 esnkñúgmYylIt .

cUrrktMélmFümEdláncMNaykñúgmYylIt .

(c) smaKmRák´snßM nig Rák´kMcImYyeGayRák´x©ITijrfynþmYytMél $ 5000 edayGRtakarRák´

10,5% rfynþTI 2 tMél $ 6300 edayGRtakarRák´ 10,8% nigrfynþTI 3 tMél $ 4500 edayGRta

karRák 11% .

etIPaKryCamFümPaKsgeTAeGaysmaKmRák´snßMnigRák´kMcIsMrabkareGayx©IRák´TaMgbIelIken¼ esµIbünµan?

14¿ mFümbnßM (Combined Mean) : «bmafa k bÜBuyLasüúgkMntÉdlmanrgVas´ N1, N2, ..., Nk erogKña

manmFüm 1, 2, ... , k . mFümbnßM c énbÜBuyLasüúgTaMgGsKW£

k

i

i

k

i

ii

c

N

N

1

1

RbsinebIKMrUtagécdnü TMhM n1, n2, ..., n2 EdleRCIserIsBI k bÜBuyLasüúgTaMgen¼manmFüm kx,...,x,x 21

erogKña mFümKMrUtagbnßM cx énRKbTinñn&yKMrUtagTaMgGs´KW£

k

i

i

k

i

ii

c

n

xn

x

1

1

(a) fñaksSitibIEpñkmansisß 28, 32 nig 35 TTYlánBinÞúCamFüm 83, 80 nig 76 erogKñaelIkarRblg

bBa©bÉtmYy . etImFümbÜBuLasüúgbnßMsMrabEpñkTaMgbIesµIbünaµn ?

(b) karsÞg´mtiénKMrUtagécdnü mhaCnEdlcakecjBIsYnc,arkMsanþánbgHajfa karcMNayCamFüm

10,30 duløasMrabéBll¶ac . cMNayCamFümsMrabekµgRsI 20 nakkñúgKMrUtagKW $ 9,70 ehIysMrabekµg

RbúsKW $11,10 . etImanekµgRbúsbünaµnnakénAkñúgKMrUtagécdnü .

15¿mFümFrNImaRt (Geometric Mean): mFümFrNImaRt G én k cMnYnviC¢man x1, x2, ..., xk KWCarWsTI k

énplKuNcMnYnTaMgen¼£

kkx...,,x,xG 21

kMntcMnaMfa LÚkarIténmFümFrNImaRtén k cMnYnviC¢manesµInwgmFümnBVnþénLÜkarItrbs´va .

mFümFrNImaRtRtÚveKeRbIPaKeRcInedIm,IrkmFümPaKTinñn&yEdlpleFobéntYbnþbnÞabRbhak´RbEhlnwgcMnYn

efrmYy . Ca«TahrN_ krNIen¼ekIteLIgCamYyTinñn&y dUcCakMritbMErbMrYlpleFob tYelxsnÞsßn_esdækic©

TMhMbÜBuyLasüúgelIry£ eBl bnþbnÞab´Kña nig bBaHaRbhak´RbEhlKñaen¼Edr .

(a) rkmFümFrNImaRtén 1, 4 nig 128 .



(b) enAéf¶TI 1 ExmkraKNnIRák´snßMmYyman $ 1000 . RbsinebIminmanRák´dMkl nigkardkyk

bEnSmeToteTenAkñúgqñaM nigkarRák´TTYlán 5% CakarRák´smasRbcaMEx cUrrkbrimaNCamFüménsac´

Rák´kñúgKNnIRák´snßMenAGMlugeBl 6 ExdMbUg . (eRbILÚkarIt)

(c) enAkñúgry£eBl 4 qñaMbnþbnÞabKña nieyaCikmañk´TTYlánkartMeLIgRákébovtßr_RbcaMqñaMKitCaPaKryKW

7,2 , 8,6 , 6,9 nig 9,8% . dUecñ¼pleFobRákébovtßr_fµInImYy@eTAnwgRákébovtßr_munKW 1,072 , 1,086 ,

1,069 nig 1,098 . edayeRbILÚkarItcUrrkmFümFrNImaRtsMrab´pleFobTaMgbYnen¼ ehIybnÞab´mkkMnt´

kMenInPaKryCamFümsMrabnieyaCikrUben¼kñúgry£eBl 4 qñaM .

16¿ mFümGamU¨nic (Harmonic Mean) : mFümGamÜnic H én k cMnYn x1, x2, ..., xk KWCacMnYn k EcknwgplbUk

cMras´én k cMnYn£

k

i ix

kH

1

1

kñúgkarGnuvtþCakÉsþg mFümGamÜnicRtÚveKeRbIRásĆajwkjab´bMput kñúgkarKNnamFümPaKel,ÓnsMrab´

cMgaycrepßg@EdlcMgayrkßaefr ehIyk¾eKeRbIkñúgkarrkcMNayCamFüménrbséRbIRás´xø¼@ dUcCasg:hFn

enAeBlEdleKTijedaykarvinieyaKbrimaNTwkRákésµIKñakñúgmþg@ .

(a) enAtamdMeNIrvisßmkalmYyeTAkaNadaRKÜsarmYyeFIVdMeNIr 500 KILÚEm¨tkñúgmYyéf¶@ .

RbsindMeNIrmanry£eBl 3 éf¶ ehIyRKÜsarena¼eFIVdMeNIrkñúgel,ÓnmFüm 87km/h enAéf¶TI 1,93km/h enA

éf¶TI 2 nig 87km/h enAéf¶TI 3 cUrrkel,ÓnKitCamFümPaKsMrab´dMeNIrTaMgmUl .

(b) elaksaRsþcarüsaklviTüal&ymañk´vinieyaK $100 kñúgmYyExeTAkñúgsg:mhFnGPiDÆn_mYy .

sMrab´ry£eBl 4 ExcugeRkay tMélkñúgb&NÑPaKh‘unnImYy@enAkñúgmUlniFiKW $ 5,45 ; $ 5,76 ; $ 6,10 nig

$5,90 . KNnatMélCamFümkñúgb&NÑPaKh‘unnImYy@ EdláncMNayedayelaksaRsþacarükñúgkMlugeBl

en¼ .

(c) RbsinebICageQImñakcMNay $20 kñúgmYyExsMrabÉdkeKaléfø $ 4 kñúgmYyRbGbńig $ 20 kñúgEx

eRkaysMrab´RbePTEdkeKalEtmYyEdl}LÚvéfø $ 6 kñúgmYyRbGb etIKat´áncMNaybünaµn kñúgmYyRbGbĆa

mFümbünµansMrabEdkeKalEdlKat´ánTij .



2¿3- rgVas´bMErbMrYl (Measures of Variation)

rgVas´ 3 énTItaMgp©itEdlánniyaykñúgEpñk2.2 minánpþl´karBiBN’naTinñn&yRKb´RKanedayxøÜn vaeT .

eyIgcg´fa etItMélseg;trayáyya¨gNaBImFümrbsva . eKGacmansMnMutMélseg;tBIrEdlmanmFüm rW emdüan

esµIKña manbMErbMrYlTinñn&yénrgVas´rbs´va BImFümxusKñaya¨gxøaMg .

cUrBinitüemIlrgVas´xageRkamCalItsMrab´KMrUtagBIrénTwkRkÚcEdlánRckdb edayRkúmh‘un A nig B

KMrUtag A 0,97 1,00 0,94 1,03 1,11

KMrUtag B 1,06 1,01 0,88 0,93 1,14

KMrUtagTaMgBIrmanmFümesµIKñaKW 1,00 lIt . CakEsþgRkúmh‘un A RckTwkRkÚcmancMnu¼esµICagRkúmh‘un B.

eyIgniyayfa bMErbMrYlTinñn&y rWráyéntMélseg;tBImFümtisMrabKMrUtag A ticCagKMrUtag B . dUecñ¼kñúgkarTij

TwkRkÚc eyIgmanGarmµN_TukcitþeRcInCagEdlfa dbEdleyIgeRCIserIs nwgEk,rnwgmFümEdlánpßBVpßay

RbsinebI eyIgTijBIRkúmh‘un A .

sSitisMxan´bMputsMrab´vas´bMErbMrYlsMnMuTinñn&yKWr¨g´ (Range) nigva¨rüg´ (Variance) . rgVas ´gayKNna

bMputKWr¨g´ .

r¨g´ (Range)

niymn&y£ rg´énsMnMuTinñn&ymYyCaplsgrvagtMélFMbMput nwgtUcbMputkñúgsMnMuena¼ .

«TahrN_8£ IQ (Intellectual Quotient) énsmaCikRKÜsar 5 nakKW 108, 112, 127, 118 nig 113 .

cUrrkr¨g´ .

dMeNa¼Rsay

r¨g´én IQ TaMg 5 KW£ 127 – 108 = 19

kñúgkrNIénRkúmh‘unEdlRckTwkRkúc r¨g´sMrab´Rkúmh‘un A KW 0,17 lIt ebIeRbóbeFobnwgr¨g´ 0,26 lIt

sMrab´Rkúmh‘un B EdlcgðúlbgHajkarrayáÿTinñn&yeRcInCagsMrabRkúmh‘un B .

r¨gĆargVaséxßaymYyénbMErbMrYl CaBiessRbsinebITMhMénKMrUtag rWbÜBuyLasüúgFM . tMélr¨g´KitEtBItMél

brma ehIyminánRábéyIgGVImYyBIráyéntMél . Ca«TahrN_cUrBinitüemIlsMnMuTinñn&yBIrsMnMuTaMgBIrmanr¨g´ 12 :

sMnMu A 3 4 5 6 8 9 10 12 15

sMnMu B 3 7 7 7 8 8 8 9 15

kñúgsMnMu A mFümnigemdüanesµI 8 büEnþtMélERbRbÜlelIcenøa¼BI 3 eTA 15 TaMgRsúg . kñúgsMnMu B mFüm

nigemdüanTaMgBIresµI 8 büEnþtMélPaKeRcInEk,rnwgp©iténTinñn&y . eTa¼Caya¨gNak¾eedayr¨g´minánvas´bMEr

bMrYlenAcenøa¼tMélseg;tx<sĆag nigTabCagk¾eday vak¾mankareRbIRás´manRbeyaCn_manRbeyaCn_mYycMnYn .

kñúg«sßahkmµr¨g´sMrab´rgVaselIvtSúEdlecjBIExücgVak´plitkmµGacRtÚvkMntTukCamun . enAeBlNargVas´TaMgGs´



enAkñúgcenøa¼ r¨gĆak´lak´ eKniyayfa dMeNIrkarplitsSitenAeRkamkarRKbRKgrbseyIg .

edIm,ICMn¼KuNvibtþirbsr¨géyIgnwgBinitüemIlrgaVs´mYyénbMErbMrYlEdleGayeQµa¼fa va¨rügÉdlBinitüemIlTItaMgén

tMélseg;tnImYy@ eFobnwgsMnMuTinñn&y . eKGaceFVIteTAánedayBinitüemIlKMlatBImFüm . KMlaténtMél

seg;tRtÚvKNnaedayyktMélseg;tdknwgmFüménsMnMuTinñn&y . sMrabbÜBuyLakMnt´ N21 x,...,x,x bMErbMrYl

KW£

nx,...,x,x 221

dUcKñaen¼EdrRbsinebIsMnMuTinñ&yrbseyIg CaKMrUtag nx,...,x,x 21 KMlatKW £

xx,...,xx,xx n 21

tMélseg;tmYyFMCagmFüm nwgpþl´KMlatviC©man cMEnkÉtMélseg;tmYyEdltUcCamFümnwgpþl´KMlatGviC¢man .

edaykareRbobeFobKMlatsMrab´sMnMuTinñn&yBIrxagelI eyIgmantaragxageRkam £

sMMnMu A –5 – 4 –3 –2 0 1 2 4 7

sMnMu B –5 –1 –1 –1 0 0 0 1 7

eyIgeXIjfa KMlatPaKeRcInkñúgsMnMu B mantMéltUcCagkñúgsMnMu A EdlcgðúlbgHajfa manbMErbMrYl

ticCagkñúgcMenamtMélseg;tkñúgsMnMu B . eKalbMngrbséyIg}LÚven¼RtÚvrkrgVas´tMélelxmYyénbMErbMrYlEdl

bB©ÚalbMErbMrYlTaMgGs´BImFüm . dMeNIrkarCakÉsþgbMput RtÚvrkmFümPaKénKMlatBImFümdUcCaGñkGannwgRtÚveK

sYredIm,IeGayeda¼RsaykñúglMhat´ 1 TMB&r 42 EdlCaplbUkénbMErbMrYlBImFümesµI 0 sMrab´sMnMuNamYyénTinñn&y

ehtuen¼ ehIymFümrbsvak¾esµI 0 Edr . edIm,IeCosvagbBaHaen¼ eyIgGacrkrgVasmYyénbMErbMrYlEdlehAfa

KMlatmFüm (Mean Reviation) (emIllMhat´ 11 TMB&r 43) EdleFIVeGayeyIgKNnamFüméntMéldac´xatén

bMErbMrYl . tMéldac´xatmYyéntMélmYyminKitBIsBaØatamlkçN£BiCKNit . dUecñ¼tMéldac´xatén – 4 esµI 4 .

kñúgkarGnuvtþmFüméntMéldac´xaténKMlatBImFümkMreRbINas´ . kareRbIRás´éntMéldacxat eFVIeGaykar

KNnatamlkçN£KNitviTüamankarq:aMq:g . edIm,Ieda¼RsaybBaHaen¼eyIgKNnaedayelIkCakaerRKb´KMlat

TaMgGsrbsvakñúgkarKNnava¨rüg´ . kñúgkrNIénbUBuyLasüúgkMnt´TMhM N va¨rüg´kMntédaynimitþsBaØa 2 (

Ganfa siucma¨kaer ) EdlGacRtÚvánKNnaedaypÞal´BIrUbmnþplbUkdUcteTA£

va¨rügbUBuyLasüúg (Population Variance)

niymn&y£ ebIeKeGaybUBuyLasüúgkMnt Nx,...,x,x 21 ena¼va¨rüg´bUBuyLasüúgesµInwg

N

)x(

N

i

i

1

2

2

snµtfa sMnMuBIr A nig B CabUBuyLasüúg }LÚven¼ eyIgeRbIRás´KMlatkñúgtaragmunedIm,IKNnava¨rüg´ .

sMrabsMnMu A



9

124

9

7445

9

82222

9

1

2

2

)()()()(

)x(

i

i

ehIysMrabsMnMu B

9

78

9

7115

9

82222

9

1

2

2

)()()()(

)x(

i

i

edaykareRbóbeFobva¨rüg´TaMgBIrbgHajfa Tinñn&yénsMnMu A manbMErbMrYlCagTinñn&ykñúgTinñn&ysMnMu B .

edayeRbIRás´kaerénKMlatedIm,IKNnava¨rüg´ eyIgKNnatMélmYyCakaerénxñat . KWfa RbsinebIrgVas´

edImCah‘VÚt va¨rü¨gńwgKitCah‘VÚtkaer . edIm,ITTYlánrgVas´bMErbMrYlKitCaxñatedImdUcTinñn&yedImdUckrNIsMrab´r¨g´

eyIgKNnabJskaerénva¨rüg´ . rgVasÉbben¼ehAfa KMlatKMrU (Standard Deviation) .

«TahrN_9£ BinÞúxageRkampþléGayedayGñkvinicä&y 6 naksMrabsmµtSPaBGñkkILakñúgkarRbkYtkILaelatCa

lkçN£ GnþrCati£ 7, 5, 9, 7, 8 nig 6 . cUrrkKMlatKMrUsMrabbÜBuyLasüúgen¼ .

dMeNa¼Rsay

CadMbUgeyIgKNna

76

687975

ehIybnÞab´mk

3

5

6

110220

6

7222222

6

1

2

2

)()()(

)x(

i

i

KMlatKMrUpþléGayeday 2913

5,

va¨rüg´énKMrUtagmYykMntéday s2 CatMélsSitimYy . dUecñ¼KMrUtagécdnüTMhMxusKñaTMhM n EdlRtÚveRCIserIsBI

bÜBuyLasüúgEtmYyCaTUeTAnwgpþl´tMélxusKñasMrab´ s2 . kñúgkarGnuvtþn_ sSitiPaKeRcInbMputeKmins:al´tMél

á¨raËm¨t 2 ehIyRtÚveKá¨n´RbmaNBItMél s

2 . sMrabtMélá¨n´RbmaNlð eKRtÚvEtKNnatMélá¨raËm¨tBI

rUbmnþmYyEdlCamFümpþlńUvcMelIyBit 2 . KWfa ebIeyIgRtÚvykKMrUtagécdnüTaMgGs´TMhM n BIbUBuyLasüúg

mYyehIyKNna s2 sMrabKMrUtagnImYy@ mFümPaKéntMél s

2 TaMgGsKYrEtesµInwg 2

. tMélsSitimYyEdlá¨n´

RbmaNtMélá¨raËm¨tBittammFümPaKehAfa tMélminlMeGog (unbiased) .

CaGBÖnþrBaØaj eyIgnwgKitfa rUbmnþsMrab´ s2 CarUbmnþplbUkEtmYydUcEdláneRbIsMrab´ 2

Edr eday

manplbUkelItMélseg;tKMrUtag nigedayman CMnYseday x . kñúgesovePACaeRcIneKsresrEbben¼ büEnþ

tMélEdlánKNnaEbben¼sMrab´va¨rüg´KMrUtagmanlMnaMCakará¨n´RbmaNeRkamtMél 2 KitCamFümPaK .

edIm,ITUrTat´lMeGogen¼ eyIgCMnYs n eday n – 1 kñúgPaKEbg .



va¨rüg´KMrUtag (Sample Variance)

niymn&y£ ebIeKmanKMrUtagécdnümYy nx,...,x,x 21 va¨rüg´KMrUtagesµInwg

1

1

2

2

n

)xx(

s

n

i

i

«TahrN_10£ kareRbóbeFobtMélkaehVenAÉhaglkéRKÓgeTs 4 eRCIsedayécdnü 4 kñúgTIRkúg San

Diego ánbgHajBIkMenInBIExmun 12, 15, 17 nig 20 esn sMrab´kaehVmYydbTMgn´ 200 g . cUrrkvärüg´én

KMrUtagécdnüénkMenIntMélen¼ .

dMeNa¼Rsay

edaykarKNnamFümKMrUtag eyIgán£

164

20171512

x esn

dUecñ¼ 3

162016121615612

3

162222

4

1

2

2 )()()()(

)x(

si

i

3

34

3

4114 2222

)()()()(

RbsinebI x CacMnYnTsPaKEdlánkat´xÞgédayyklMeGógtUcbMput eyIgeFVIplbUklMeGogedayeRbI

rUbmnþva¨rüg´KMrUtagtamTMrg´xagelI . edIm,IeCosvagkrNIen¼ eyIgTayykrUbmnþKNnaEdlmanRbeyaCn+_Cag dUc

bgHajkñúgRTwsþIbTxageRkam .

RTwsþIbT 2.1: rUbmnþKNna rk s2

RbsinebI S2 Cavarüg´énKMrUtagécdnümYy TMshM n eyIgGacsresr£

)n(n

xxn

s

n

i

n

i

ii

1

1

2

1

2

2

sMraybBa¢ak

1

2

1

1

22

12

n

)xxxx(

n

)xx(

s

n

i

ii

n

i

i

edayeRbIRTwsþIbT 1.1 rhUtdl´ 1.3 eyIgán£

1

2

1

22

2

n

xnxxx

s

n

i

ii



edaykarCMnYs x eday

n

i

i n/x

1

nigedayKuNPakyknigPaKEbgedaytMél n eyIgTTYlán £

)n(n

xxn

s

n

i

n

i

ii

1

1

2

1

2

2

KMlatKMrU KMrUtagEdlkMntéday s kMnt´ánCarwskaerviC¢manénva¨rüg´KMrUtag .

«TahrN_11 £ cUrrkva¨rüg´énTinñn&y 3, 4, 5, 6, 6 nig 7 EdltageGaycMnYnénRtIEdlcab´án eday

KMrUtagGñkensaT 6 nakenAéf¶TI 19 Ex mifuna qñaM 1981 enAbwg Muskoka .

dMeNa¼Rsay

tamTMrg´tarag eyIgsresr

2ii xx

3 9

4 16

5 25

6 36

6 36

17149

317

n = 6

dUecñ¼

6

13

56

311716 22

.

.s

CajwkjabéKGacsMrYldMeNIrkarKNnarkva¨rüg´énsMnMuTinñn&yedaykareRbIkarkUtTinñn&y (Coding Data) .

KYrrlwkfa karkUtTinñn&yRtÚváneRbIRáskñúgEpñk 2.2 edIm,IKNnamFüm . }T§iBlénkarkUtTinñn&y edaydktMél

seg;tnImYy@ rWedaykarEcktMélseg;tnImYy@edaycMnYnefrmYy nwgCakarcabGarmµN_rbséyIg . eyIgnwg

Binitüseg;t}T§iBlTaMgGsén¼ sMrabÉtKMrUtagécdnü büEnþlT§plmansuBlPaBdUcKñasMrab´bUBuyLasüúg .

RbsinebIeyIgtag yi= x i + c eKán cxy dUecñ¼eKánva¨rüg´én yi KW £

111

1

2

1

2

1

2

2

n

)xx(

n

)cx()cx(

n

)yy(

s

n

i

i

n

i

i

n

i

i

dUecñ¼ehIy ebItMélseg;tnImYy@énsMnMuTinñn&ymYyRtÚveKbMElgCasMnMufµImYyedaykarbUk rWdkéncMnYnefr c va¨rüg´

énsMnMuTinñn&yedImesµInwgva¨rüg´énsMnMufµI .

}LÚven¼ eyIgtag yi = cx i eKán xcy . tamry£en¼eKGacsresr£

111

1

22

1

2

1

2

2

n

)xx(c

n

)xcxc(

n

)yy(

s

n

i

i

n

i

i

n

i

i



dUecñ¼ RbsinebIsMnMuTinñn&ymYyRtÚveKbMElgCasMnMufµIedaykarKuN rWEcktMélseg;tnImYy@edaycMnYnefr c va¨rüg´én

sMnMuedImKWesµInwgva¨rüg´énsMnMufµIEck rWKuNnwg c2 .

«TahrN_12£ KMrUtagécdnümYyénRbFanFnaKar 5 nakánbgHajfa Rákébovtßr_esµInwg $ 63 000

$ 48 000, $ 52 000, $ 35 000 nwg $ 41 000 . cUrrkva¨rüg´énsMnMuTinñn&yen¼ edaykareRbIviFIkUtsmrmü .

dMeNa¼Rsay

RbsinebIeyIgEckRákébovtßr_TaMgGsńwg 1000 bnÞab´mkdknwg 50 eyIgTTYlán 13, –2, 21, –15 nig

–9 Edl

1

5

1

i

ix nig

5

1

2 623

i

ix

}LÚven¼sMrabTinñn&ykUt

715545

16235 22 ,

.

)(.s

bnÞab´mkKuNnwg 10002 va¨rüg´énsMnMuRákébovtßr_edImKW £

s2 = 1,557 10

8

KMlatKMrUTMngCargVas´d¾lðbMputénbMErbMrYlEdleyIgman . yägNak¾edaymkdlćMnucen¼ vamann&yEt

eBlEdlsMnMuTinñn&yBIr rWeRcInEdlmanÉktargVas´dUcKña ehIymFümRbhak´RbEhlKña . dUecñ¼ eyIgGaceRbób

eFobva¨rüg´éntMélseg;ténRkúmh‘un 2 EdlRckTwkRkÚc nigtMélva¨rüg´FMCagcgðúlbgHajfa plitplrbs´Rkúmh‘un

mankarERbRbÜlxøaMgCag rWticCag eGayEtcMnYndbesµIKñaRtÚváneKeRbI . vaminmann&y nwgeRbóbeFobva¨rüg´énsMnMu

kMBséTA nwgva¨rüg´énsMnMuBinÞúsm,Ta .

kñúglMhat´ 19 TMB&r (45) nigkñúgEpñk 2.4 eyIgbgHajfa KMlatKMrUGacRtÚveKeRbIya¨gNaedIm,IBiBN’na

sMnMuéntMélseg;tEtmYy .

2¿4- RTwsþIbT Chebyshev (Chebyshev’s Theorem)

kñúgEpñk 2.2 nig 2.3 eyIgánBiBN’nasMnMuéntMélseg;trbs´bUBuyLasüúg rWKMrUtagedayeRbIp©it rWmFüm

PaK nigbMErbMrYlTinñn&yBImFümPaKen¼ . tMélBIrEdlGñksSitieRbICajwkjab´KW mFüm nigKMlatKMrU . RbsinebI

ráyénrgVas´mYymanKMlatKMrUtUc eyIgnwgrMBwgfa tMélPaKeRcInrbs´vasSitenAEk,r@mFümrbsva . eTa¼Caya¨g

Nak¾eday tMélFMénKMlatKMrUcgðúlbgHajbMErbMrYlFMCagEdleyIgnwg rMBwgfa tMélseg;träyáÿq¶ayBImFüm .

KNitviTUCnCatiru¨sßI P.L. Chebyshev (1821-1894) ánrkeXIjRbPaKénrgVasenAcenøa¼tMélBIr

NamYyqøú¼KñaeFobnwgmFümEdlTak´TgnwgKMlatKMrU . RTwsþIbT Chebyshev pþléGaytMélá¨n´RbmaNefr

mYyénRbPaKénrgVasÉdlenAcenøa¼ k KMlatKMrUénmFümsMrabcMnYnefr k .

RTwsþIbT 2.2: RTwsþIbT Chebyshev

ya¨gehacNasRbPaK 2

11

k énrgVas´rbs´sMnMuTinñn&yNamYyRtÚvEtenAcenøa¼ k KMlatKMrUénmFüm .



sMrab k = 2 eKGacniyayfa ya¨gehacNas 4

3

2

11

2 rW 75% énrgVasRtÚvEtenAcenøa¼ 2 KMlatKMrUenA

mçag@ énmFüm . KWfa 4

3 rWeRcInCagéntMélseg;trbs´bÜBuyLasüúgRtÚvEtenAcenøa¼ 2 .

edaykarcatTuksMnMuTinñn&yrbséyIgCaKMrUtagmYy ena¼sMrab´ k = 2 tamRTwsþIbTeyIgGacniyayfa ya¨g

ehacNas 4

3 énrgVas´RtÚvEtenAcenøa¼ sx 2 . dUcKñaen¼Edr eKGacniyayfa ya¨gehacNas

9

8 rW

RbEhlCa 88,9 % énrgVas´RtÚvEtenAcenøa¼ 3 sMrabbÜBuyLasüúgmYyrW sx 3 sMrabKMrUtagmYy .

enAeBl k = 1 RTwsþIbTminmanplRbeyaCn_eT . eKGacniyayfa ya¨gehacNas 01

11

2

énrgVasénAcenøa¼ 1 KMlatKMrUenA mçag@énmFüm . kñúgsSitisnñidæan eyIgGaceRbIRásćenøa¼mYyEdlánKNnaBI

KMrUtagmYyedIm,Iá¨n´RbmaNcenøa¼ bÜBuyLasüúgRtÚvKña . edayehtuen¼ehIy cenøa¼KMrUtag sx 2 GacRtÚveRbI

edIm,Iá¨n´RbmaNcenøa¼ 2 Edlmanya¨gehacNas´ 4

3 énrgVas´rbsbÜBuyLasüúg .

«TahrN_13£ RbsinebI IQ rbsKMrUtagécdnünisßit 1080 nakenAsaklviTüal&yFMmYymanBinþúmFüm 120

nigKMlatKMrU 8 cUreRbIRTwsþIbT Chebyshev edIm,IkMntćenøa¼Edlmanya¨gehacNas´ 810 én IQ kñúgKMrUtag .

BIcenøa¼en¼ eyIgeFVIkarsnñidæansSitimYyTak´Tgnwg IQ rbsnisßitenAsaklviTüal&y . etIeyIgGacc,asfa

mineRcInCag 120 BinÞúenAkñúgcenøa¼Na ?

dMeNa¼Rsay

dMeNa¼RsaysmIkar

4

3

1080

81011

2

k

eyIgeXIjfa k = 2 dUec¼

16120821202 .Sx

KWfa cenøa¼BI 104 eTA 36 manyagehacNas´ 4

3 rWya¨gehacNas 810 én IQ rbs´KMrUtagrbseyIg .

BIlT§plen¼ eKGaceFIVkarsnñidæanfa yägehacNas 4

3 én IQ sMrabsaklviTüal&yTaMgmUlenAkñúgcenøa¼BI

104 eTA 136 . RbsinebI

9

8

1080

96011

2

k

ena¼ k = 3 ehIyyagehacNas´ 9

8 rWyägehacNas 960 én IQ énKMrUtagrbséyIgRtÚvEtenAcenøa¼

120 3.8 rWBI 96 eTA 144 . dUecñ¼mineRcInCag 120 én IQ enAeRkam 96 nigxagelI 144 .

RTwsþIbT Chebyshev enAEtGnuvtþn_ánsMrab´ráyéntMélseg;tNamYy edayehtuen¼ehIyCaFmµta

lT§plrbs´vaexßay . tMélpþlédayRTwsþIbTKWCatMéleKaleRkamEtbueNaÑ¼ . KWeKdwgfa minticCag 4

3 én

sMnMurgVas´mYyRtÚvEtenAcenøa¼ 2 KMlatKMrUenAmçag@énmFüm büEnþeyIgminEdldwgfa etImaneRcInCag 4

3 éntMél



kñúgcenøa¼ en¼RbsinebIeyIgBitCaminánrkcenøa¼ nigrabcMnYnrgVasenAkñúgcenøa¼ena¼eT . kñúgCMBUk3 eyIgeXIjfa

CamYysMnMuTinñn&yFMlT§plxøaMgCagCaFmµtaGacekIteLIg .

2¿5- BinÞú Z (Z Scores)

kñúgkarvaytMéllT§plrbsńisßitEpñkKImInigesdækic© kñúgGMlugeBlrdUvekþAenAsaklviTüal&yNamYy

eyIgGaceRbóbeFobBinÞúCaelxsMrabmuxviC¢aTaMgBIr . RbsinebIeyIgsnµtfa nisßitTTYlánBinÞú 82 EpñkKImI nig

BinÞú 89 Epñkesdækic© etIeyIgGacsnñidæanfa Kat´TTYlánBinÞúlðRbesIrelImuxviC¢aesdækic©CagmuxviC¢aKImIrWeT ?

RbEhlCaeyIgKYrEtBinitüemIlfaetI nisßiten¼eFVIánlðya¨gNaeFobeTAnwgnisßitepßgeTotkñúgfñakńImYy@rbs´

Kat . etIvaminGacekIteLIgeTeRBa¼fa karRblgmYyBiákCagkarRblgmYyeTot ehIyKat´BitCaeFIVánRbesIrelI

muxviC¢aKImIeFobnwgnisßitepßgeTotEdláncu¼eQµa¼eronmuxviC¢aKImICagmuxviC¢aEpñkesdækic© ? dUecñ¼BinÞúmFümEpñk

KImIesµI 68 nigKMlatKMrU 8 cMEnkÉráyénBinÞúmuxviC¢aesdækic©manmFüm 80nigKMlatKMrU 6 .

dUecñ¼bBaHacMeBa¼muxKWCabBaHaénkareRbóbeFobtMélseg;tBIrBIbÜBuyLasüúgxusKñaBIredIm,IkMnt´kMriteFobrbs´va.

kñúgkarcgðúlbgHajrbséyIg sMnMuénBinÞúKImITaMgmUlCasMnMumYyénbÜBuyLasüúgTaMgLay sMnMuTaMgmUlénBinÞúmuxviC¢a

esdækic©tageGaybÜBuyLasüúgmYyeTot ehIyBinÞúrbsńisßitCatMélseg;tBIr . viFImYysMrab´dak´kMrittMélseg;t

TaMgBIrKWRtÚvbMElgtMélseg;tnImYy@eTACaÉktaKMrU (Standard Unit) EdleKehAfa BinÞú z (z score) rWtMél z

(z value) .

BinÞú z (z score)

niymn&y£ tMélseg;tmYy x BIbUBuyLasüúgmYyEdlmanmFüm nigKMlatKMrU manBinÞú z rWtMél z

kMntéday £

xz

BinÞú z mYyvasćMnYnKMlatKMrUEdltMélseg;tena¼enAxagelI rWxageRkammFüm . edayehtufa

CacMnYnviC¢manCanic© BinÞú z viC¢manvasćMnYnKMlatKMrUEdltMélseg;tmYyenAxagelImFüm ehIytMél z GviC¢man

pþléGaycMnYnKMlatKMrUEdltMélseg;tmYyenAxageRkammFüm . cUrkMntsMKal´fa ÉktaénPaKEbg nigÉktaén

PaKykrbsBinÞú z RtÚveKlubecal . edayehtuen¼ehIyBinÞú z KµanÉkta edayehtuen¼ GnuBaØateGayeKGac

eRbóbeFobtMélseg;tBIreFobnwgRkúmrbsva EdlmanÉktaxusKñaTaMgRsúg .

}LÚven¼cUreyIgKNnaBinÞú z RtÚvKñanwgBinÞúnisßitrbséyIgEpñkKImInigesdækic© . sMrabmuxviC¢aKImIeyIg

TTYlán £

7518

6882,z

nigsMrab´muxviC¢aesdækic©

5016

8089,z

eyIgeXIjfa nisßitEdlTTYlánBinÞúEpñkKImIman 1,75 KMlatKMrUxagelImFüménBinÞúKImI cMEnkÉEpñkesdækic©Kat´



manEt 1,50 KMlatKMrUxagelImFüménBinÞúmuxviC¢aesdækic© . kareRbóbeFobBinÞú z TaMgBIr }LÚven¼eyIgGac

niyayfa kic©kareFobrbsńisßitcMeBa¼EpñkKImIx<sĆagkic©karrbsKatEpñkesdækic© .

«TahrN_14£ CMnajvayGtSbTxusKñaRtÚvkarsMrabelxaFikarGaRs&yfa etIKateFVIkarEpñkkariyal&yc,abRkúm

h‘unKNnI rWsMrabkarRsavRCavEpñkKNitviTüaenAsaklviTüal&yFMmYy . edIm,IvaytMélebkçCnsMrab´tMENgTaMg

en¼ TIPañk´garpþl´kargarerobcMKMrUtagvayGtSbTKMrU 3 epßgKña . ry£eBlRtÚveKKitbBa©Úlkñúgkardak´BinÞúénKMrUtag

nImYy@EpðkelI cMnYnkMhuskñúgkarvayGtSbT . mFümnigKMlatKMrUsMrab´karRblgnImYy@ rYmCamYyBinÞúEdlTTYl

ánedayebkçCnfµI@mñak´RtÚvpþléGaykñúgtarag 2.1

tarag 2¿1 Tinñn&ysMrabKMrUtagkarvayGtSbTKMrU

KMrUtag BinÞúebkçCn mFüm KMlatKMrU

c,ab´

KNnI

viTüasaRsþ

141 sec

7 min

33 min

180 sec

10 min

26 min

30 sec

2 min

5 min

etIebkçCnen¼TMrgCasmnwgtMENgRbePTNapgeK ?

dMeNa¼Rsay

CadMbUg eyIgKNnaBinÞú z sMrab´KMrUtagnImYy@

c,ab´£ 3130

180141,z

KNnI£ 512

107,z

viTüasaRsþ£ 415

2633,z

edayehtufa el,ÓnsMxanCageK eyIgnwgBinitüemIltMél z EdltageGaytMélFMbMputenAxageqVgmFüm nigkñúg

krNIrbséyIgen¼KW –1,5 . dUecñ¼ ebkçCnBiessen¼mankMritx<sĆageKkñúgcMeNamvayGtSbTmankñúgEpñkKNnI

edayeFobeTAnwgGñkvayGtSbTkñúgBIrEpñkepßgeTot dUecñ¼ehIyeKKYrEtdak´kñúgtMEngEpñkKNnI .



lMhat´. B

1¿ eKeGayKMrUtagécdnü x1, x2, ..., xn bgHajfa £

n

i

i )xx(

1

0

2¿ edayeyageTAbÜBuyLasüúgénlixitGnuBaØatsagsgÉdlánecjeTAeGay 12 Rkúmh‘unsMNg´kñúglMhat´TI2

TMB&r 27 . cUrKNna£

(a) r¨g´

(b) va¨rüg´

3¿ edayeyageTAKMrUtagénry£eBlRbtikmµsMrab 9 vtSúrgnUvkatalIkrkñúglMhat´TI 3 TMB&r 27 . cUrKNna£

(a) rg´

(b) va¨rügédayeRbIniymn&y

4¿ cMnYnBinÞúEdlTTYlánedayRkúmkILaál´Tat Lacrosse sMrabrdUvCak´lak´mYyKW 4, 9, 0, 1, 3, 24, 12, 3,

30, 12, 7, 13, 18, 4,5 nig 15 . edaycatTukTinñn&yCabÜBuyLasüúg cUrKNnaKMlatKMrU .

5¿ edayeyageTAKMrUtagécdnüéncMelIyminRtwmRtÚvelIkarRblgsmtSPaBrbssisß 15 nak kñúglMhat´TI1TMB&r

27 .

cUrKNnava¨rügédayeRbI£

(a) rUbmnþkMntéday s2 enATMB&r 35 .

(b) rUbmnþKNnasMrab s2 kñúgRTwsIþbT 2.1 .

6¿ BinÞúmFüménnisßitmhaviTüall&yqñaMTI 4 20nak EdlRtÚváneKeRCIserIsedayécdnüBIfñak´RblgbBa©b´kar

sikßamandUcxageRkam£

cUrKNnaKMlatKMrU .

7¿ epÞógpÞatfa va¨rüg´énKMrUtag 4, 9, 3, 6, 4 nig 7 esµInig 5,1 ehIyedayeRbITinñn&yen¼ cUrrk£

(a) va¨rüg´énKMrUtag 12, 27, 9, 18, 12 nig 21

(b) va¨rüg´énKMrUtag 9, 14, 8, 11, 9 nig 12

8¿ rkva¨rüg´sMrab´bUBuyLasüúgEdlmanrgVas´ 2

1,

3

1,

4

1,

2

1 nig

6

1 edayeRbITinñn&yEdlándakkUd 6, 3, 4,

6 nig 2 .

3,2 1,9 2,7 2,4

2,8 2,9 3,8 3,0

2,5 3,3 1,8 2,5

3,7 2,8 2,0 3,2

2,3 2,1 2,5 1,9



9¿RákébovtßmhaviTüal&ysMrab´KMrUtagécdnümYyénRKÚbeRgónkñúgRbB&n§salardæénTIRkúgmYyRtÚváneKdak´kUdeday

karEckRákébovtßnImYy@nwg 1000 . cUrrkva¨rüg´énRákébovtßTaMgen¼ RbsinebItMélseg;tEdlándak´kUdKW£

18, 15, 21, 19, 13, 15, 14, 23, 18 nig 16 duløa .

10¿Rkúmh‘unrfynþtak´sIumYyánsakl,gKMrUtagécdnümYyénkg´rfynþEdlB&n§CMuvijedayExßlYsEdkEfbsMrab´

sBaØaCak´lakmYy ehIyánktTuksMNikRkLadUcteTA 48000, 53000, 45000, 61000, 59000,

65000, 63000, 49000, 53000 nig 54000 KILÚEm¨t . rkKMlatKMrUénsMnMuTinñn&yen¼ edayCadMbUgEck

tMélseg;tnImYy@ nwg1000 ehIybnÞab´mkdknwg 55 .

11¿KMlatmFüm(Mean Deviation): KMlatmFüménKMrUtagmYyman n tMélseg;tRtÚvkMntéday

n

i

i

n

|xx|

1

.

cUrrkKMlatmFüménKMrUtag 2, 3, 5, 7 nig 8 .

12¿RbsinebIráyén IQ rbsńisßitmhaviTüal&ykñúg Arizona manmFüm = 123 nig KMlatKMrU = 9

cUreRbIRTwsþIbT Chebyshev edIm,IkMntćenøa¼Edlman£

(a) ya¨gehacNas 4

3 én IQ

(b) mineRcInCag 9

1 én IQ

13¿ «bkrN_qugkarehVmYyeRKÓg RtÚveKtMrUvya¨gNaedIm,IeGayvaeRbIry£eBlCamFüm 5,8 naTI edIm,IqugkaehV

mYyEBgedayKMlatKMrU 0,6 naTI . GaRs&yedayRTwsþIbT Chebyshev etIPaKryénry£eBlEdl«bkrN_

qugkaehVen¼ RtÚváneRbIRás´ ehIyeRbIry£eBlNamYykñúgcenøa¼dUcxageRkam nwgesµIbunµan ?

(a) 4,6 naTIeTA 7,0 naTI

(b) 3,4 naTIeTA 8,2 naTI

(c) 4,3 naTIeTA 7,3 naTI

14¿karsikßacMNu¼nIkUTInénpøaksBaØaárICak´lakmYyárIbgHajfa CamFüm árImYyedImmannIkUTIn 1,52mg eday

KMlatKMrU 0,07 mg . GaRs&yedayRTwsþIbT Chebyshev etIcMNu¼nIkUTInBitCaenAcenøa¼tMélNasMrab´£

(a) ya¨gehacNas 25

24 énRKb´árITaMgGs´énpøaksBaØaen¼

(b) ya¨gehacNas 49

48 énRKb´árITaMgGs´énpøaksBaØaen¼

15¿ kñúglMhat´ 6 cUrKNnatMélPaKryénBinÞúCamFümEdlenAkñúgcenøa¼ 25x nig 35x . etIlT§pl

TaMgen¼RtÚvKñaCamYynwgRTwsþIbT Chebyshev ¦eT ?

16¿ Gñklkrfynþmañk´ánTTYlRák´kMér $ 245 elIKMrUrfynþtUc EdlRák´kMérCamFümesµInwg $ 200 edayKMlat

KMrU $ 50 . eRkaymkenAéf¶dEdlKatTTYlánRák´kMér $ 620 elIKMrUrfynþRbNitFMEdlRák´kMérCamFüm

esµI nwg $ 500 edayKMlatKMrU $150 . etIRákkMérrbsGñklkx<seFobsMrab´KMrUrfynþmYyNaCageKkñúg

cMeNamKMrUTaMgBIren¼ ?



17¿sItuNHPaBGb,brmasMrabTItaMgenAXøatBIKñaya¨gq¶ay 3 kEnøgenAshrdæenAéf¶TI 1 ExmkraqñaM 1980 RtÚván

eKktTuk£TItaMg A man 15o F TItaMg B 62

o F nig TItaMg C 3

o C . karBiinitüemIlmYyCamYynwgsSanIyn_

GakarFatuenAÉTItaMgTaMgbIen¼ánbeg;ItnUvTinñn&ydUcteTAsMrabTItaMgTaMgen¼enAkñúgry£eBl 20 qñaMmun £

sItuNHPaBmFüm

KMlatKMrU

TItaMg

A B C

20oF 71

oF 5

oF

4,5oF 6,9

oF 2,3

oF

edaykarniyayeRbóbeFobKña etITItaMgNaenAéf¶TI 1 ExmkraqñaM 1980 ánTTYlnUvéf¶RtCak´bMput .

18¿ Jane eFIVkareGayTIPañk´garelçanRkúgjÚy¨kmYyEdlnieyaCikmancMNUlCamFümqñaMmunen¼ $ 28 000 eday

KMlatKMrU $ 3000 . etI Jane ánTTYlRák´bünaµnqñaMmunen¼ebIBinÞú z rbsnagesµInwg –0,8 ?

19¿ emKuNbMErbMrYl (Coefficient of variation): KMlatKMrUminbgHajeGayeXIjedayÉkÉgeGayáneRcIneT

GMBIbMErbMrYlénsMnMuTinñn&yeTalmYy . RbEhlCa rgVas´smrmüCag KWemKuNbMErbMrYlEdlRtÚvkMntéday£

%100x

sV ¦ %100V

EdlsMEdgKMlatKMrUCatMélPaKryénmFü . edayehtufa Y CargVas´énbMErbMrYleFobKitCaPaKryemKuN

bMErbMrYlGacRtÚveRbIedIm,IeRbóbeFobbMErbMrYlénBIr ¦eRcInsMnMu eTa¼bIenAeBlkarseg;tRtÚveKsMEdgCaÉkta

rgVasépßgKñak¾eday .

(a) KNnaemKuNbMErbMrYl sMrab´ráyBinÞúEdlTTYlánedayRkúm Lacrosse kñúglMhat´ 4 .

(b) TMgnén 10 RbGbénpøaksBaØaCak´lakmYyrbsmHÚbeFVIBIRKab´FBaØCati mancMNu¼CamFüm 278g

edayKMlatKMrU 9,64g . RbsinebIRbGb´TaMgen¼RtÚváneKTijenA 10 hagepßgKña ehIytMélCamFüm

kñúgmYyRbGb´KW $ 1,29 edayKMlatKMrU $ 0,09 etIGñkGacsnñidæanfa TMgn´manlkçN£GUmÜEsnCagtMél

¦eT ?

cmbukti 2 rgvas´ssitiéntinñn&y › fs › mathematics › documents... · 10,8% nigrfynþti...

Documents