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Enrique R. AznarDpto. de Álgebra

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ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES

¿Cómo linealizar un problema?

1. Definición de espacio vectorial. 6Ejemplo 1 7Ejemplo 2 7Ejemplo 3 7Ejemplo 4 7Ejemplo 5 8

2. Propiedades de la aritmética vectorial. 8Lema 1 8

3. Dependencia e independencia lineal. 10Definición 1 10Ejemplo 6 10Ejemplo 7 11Ejemplo 8 11Definición 2 11Ejemplo 9 12

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Ejemplo 10 12Lema 2 12Lema 3 13Ejemplo 11 14Definición 3 14

4. Sistemas de generadores. 14Definición 4 14Ejemplo 12 15Lema 4 15Lema 5 16

5. Bases de un espacio vectorial. 17Definición 5 17Teorema 1 17Ejemplo 13 17Definición 6 18Ejemplo 14 19Ejemplo 15 19Teorema 2 20Definición 7 20Ejemplo 16 21Teorema 3 23Corolario 1 24Ejemplo 17 24

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6. Coordenadas. 25Lema 6 25Definición 8 26Ejemplo 18 26Teorema 4 27Ejemplo 19 27

7. Cambios de base. 28Definición 9 29Lema 7 30Corolario 2 30Ejemplo 20 31Ejemplo 21 31Ejemplo 22 33

8. Subespacios vectoriales. 34Definición 10 34Lema 8 34Ejemplo 23 35Ejemplo 24 35Ejemplo 25 35Lema 9 35Ejemplo 26 36Lema 10 36Lema 11 36

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9. Subespacio generado por un conjunto de vectores. 37Lema 12 37Definición 11 38Lema 13 38Definición 12 39Lema 14 39Teorema 5 39

10. Ecuaciones paramétricas de un subespacio. 40Definición 13 40Ejemplo 27 40Ejemplo 28 41Ejemplo 29 41Definición 14 41Ejemplo 30 41

11. Ecuaciones cartesianas de un subespacio. 43Lema 15 43Definición 15 44Ejemplo 31 44Ejemplo 32 45Ejemplo 33 46

12. Ejercicios. 48Ejercicio 1 48Ejercicio 2 48

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Ejercicio 3 48Ejercicio 4 49Ejercicio 5 49Ejercicio 6 49Ejercicio 7 49Ejercicio 8 49Ejercicio 9 50Ejercicio 10 50

13. Test de repaso. 50

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1. DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL.

Sea V un conjunto no vacío y K un cuerpo1, decimos que V es un espaciovectorial sobre K si:

1) En V hay definida una operación interna + tal que (V ,+) es un grupoabeliano. Es decir, ∀u, v, w ∈V se verifican las propiedades:(a) Asociativa (u + v)+w = u + (v +w)(b) Conmutativa u + v = v +u(c) Existencia de elemento neutro ∃0 ∈V tal que v +0 = v = 0+ v(d) Existencia de elementos opuestos ∃− v ∈V tal que

v + (−v) = 0 =−v + v2) En V hay definida una operación externa de K por V en V , que

denotamos2 por ., verificando ∀u, v ∈V y ∀λ,µ ∈ K :(a) Distributiva respecto vectores λ.(u + v) =λ.u +λ.v(b) Distributiva respecto escalares (λ+µ).u =λ.u +µ.u(c) Seudoasociativa λ.(µ.u) = (λµ).u(d) Unitaria 1.u = u donde 1 ∈ K

1K puede ser un cuerpo numérico. O sea, Q, R o C.2Aunque, a veces omitiremos el punto

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Los elementos del espacio vectorial suelen denominarse vectores, mientrasque los del cuerpo los llamaremos escalares. A la operación externa la lla-maremos producto por escalares.

Ejemplo 1. El conjunto de las matrices Mmxn(K ) con la suma de matricesy el producto por escalares es un ejemplo de espacio vectorial sobre K

Ejemplo 2. El propio cuerpo K puede considerarse un espacio vectorialsobre si mismo utilizando como producto escalar el propio producto interno.

Más generalmente, al producto cartesiano de K consigo mismo n veces,K n = {(x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ K }, podemos dotarlo de estructura de espaciovectorial sobre K , definiendo una suma interna y un producto por escalares.Así

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

λ(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . ,λxn)

Ejemplo 3. El conjunto de los polinomios, Pol (K ) = K [x], en una indeter-minada con coeficientes en el cuerpo K , con la suma usual de polinomios yel producto por de una constante por un polinomio es un ejemplo de espaciovectorial sobre K .

También, para cada n, el conjunto de todos los polinomios de grado menoro igual que n, Poln(K ), es de nuevo un espacio vectorial sobre K .

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Ejemplo 4. El conjunto de todas las funciones reales definidas en un ciertointervalo de la recta real, con la suma de funciones y el producto externodefinidos, ∀x ∈R, como:

( f + g )(x) = f (x)+ g (x)

(λ f )(x) =λ f (x)

es también un ejemplo de espacio vectorial sobre K .

Ejemplo 5. El espacio vectorial con un único vector, que ha de ser necesari-amente el vector cero o neutro para la suma, V = {0}, es el espacio vectorialmás pequeño que existe. Donde se define

0+0 = 0

λ0 = 0

2. PROPIEDADES DE LA ARITMÉTICA VECTORIAL.

El último ejemplo nos indica que el vector cero tiene ciertas propiedades nosólo para la suma. En realidad, para todo K -esp. vect. V , se verifican lassiguientes:

Lema 1. [Propiedades de la aritmética vectorial] Para cualesquiera es-calares λ,µ ∈ K y cualesquiera vectores u, v ∈V

1) 0.u = 0

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2) λ.0 = 03) λ.u = 0 implica λ= 0 o bien u = 04) −(λ.u) = (−λ).u =λ.(−u)5) λ.(u − v) =λ.u −λ.v6) (λ−µ).u =λ.u −µ.u7) λ.u =µ.u con u 6= 0 implica que λ=µ

8) λ.u =λ.v con λ 6= 0 implica que u = v

Demostración:

1) 0.v + v = 0.v +1.v = (0+1).v = 1.v = v para todo v .Como el neutro de la suma es único 0.u = 0

2) λ.0+ v = λ.0+ 1.v = λ.0+ (λ1

λ).v = λ.0+λ(

1

λ.v) = λ.(0+ 1

λ.v) =

=λ.(1

λ.v) = (λ.

1

λ).v = 1.v = v para todo v .

Como el neutro de la suma es único λ.0 = 03) Si λ= 0 todo demostrado. En caso contrario,

u = 1

λ.(λ.u) = 1

λ.0 = 0 por 2).

4) (−λ).u +λ.u = (−λ+λ).u = 0.u = 0 por 1).λ.(−u)+λ.u =λ.(−u +u) =λ.0 = 0 por 2).Como los opuestos son únicos, se tiene −(λ.u) = (−λ).u =λ.(−u)

5) λ.(u − v) =λ.(u + (−v)) =λ.u +λ.(−v) =λ.u −λ.v por 4).6) (λ−µ).u = (λ+ (−µ)).u =λ.u + (−µ).u =λ.u −µ.u por 4).

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7) λ.u = µ.u implica (λ−µ).u = 0. Ahora, si u 6= 0 por 3), se tieneλ−µ= 0. O sea, λ=µ como queríamos.

8) λ.u = λ.v implica λ.(u − v) = 0. Ahora, si λ 6= 0 por 3), se tieneu − v = 0. O sea, u = v como queríamos.

�

3. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL.

Como denotamos por letras griegas a los escalares y por letras latinas a losvectores. A partir de ahora, omitimos el punto en el producto externo.

Así, dado un conjunto de vectores {v1, . . . , vn} de un K -esp. vect. V ,

Definición 1. Llamaremos combinación lineal (c.l.) de estos vectores acualquier vector de la forma

λ1v1 + ·· · + λn vn

con λ1, . . . ,λn ∈ K escalares arbitrarios.

Ejemplo 6. En V =R4, el vector (1,2,−2,−1) es combinación lineal de u =(2,0,0,−2) y de v = (0,1,−1,0) ya que

(1,2,−2,−1) = 1

2u + 2v

A veces, un conjunto basta para obtener cualquier vector. Por ejemplo,

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Ejemplo 7. En V =R2, cualquier vector u = (a,b) es c.l. de e1 = (1,0) y dee2 = (0,1) ya que

ae1 + be2 = (a,b)

Sin embargo, otras veces es imposible. Por ejemplo,

Ejemplo 8. En V = R3, el vector (1,1,1) no puede ser c.l. de e1 = (1,0,0) yde e2 = (0,1,0) ya que cualquier combinación lineal de ambos es de la forma

λ1e1 + λ2e2 = (λ1,λ2,0)

Dado un conjunto de vectores S = {v1, . . . , vn} de un K -esp. vect. V .

Definición 2. Decimos que S = {v1, . . . , vn}, es linealmente dependiente(l.d.) si el vector cero es c.l. no trivial de ellos. Esto es, si

λ1v1 + ·· · + λn vn = 0

para ciertos escalares λ1, . . . ,λn ∈ K no todos nulos.En caso contrario, λ1 = ·· · =λn = 0, decimos que el conjunto es linealmenteindependiente (l.i.) sobre el cuerpo K 3.

Por ejemplo, en V =R2:

3A veces, diremos que S = {v1, . . . , vn} es K -l.i.

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Ejemplo 9. El conjunto S = {(1,0), (−2,1)} es R-l.i.ya que la igualdad

λ(1,0) + µ(−2,1) = (0,0)

equivale al sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

λ−2µ= 0

µ= 0

que claramente, admite sólo la solución λ=µ= 0

Sin embargo, en V =R3:

Ejemplo 10. Los vectores (1,0,0), (−2,1,0), (1,−1,0) son R-l.d.ya que la igualdad vectorial

x(1,0,0) + y(−2,1,0) + z(1,−1,0) = (0,0,0)

equivale al sistema lineal homogéneo

x −2y + z = 0

y − z = 0

que claramente, admite la solución no trivial x = y = z = 1

Dado un K -esp. vect. V y vectores u, v1, . . . , vn ∈ V , se pueden demostraralgunas

Lema 2. [Propiedades de la dependencia e independencia]

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1) Si 0 ∈ {v1, . . . , vn} entonces {v1, . . . , vn} es l.d.2) {u} es l.i. si y sólo si u 6= 03) Si {v1, . . . , vn} es l.d. entonces {v1, . . . , vn ,u} es l.d.4) {v1, . . . , vn ,u} es l.i. entonces {v1, . . . , vn} es l.i.

Demostración:

1) Basta comprobar que existe una c.l. no trivial, con 1 el escalar quemultiplica al vector cero y ceros el resto de escalares.

2) Por la propiedad anterior, el conjunto {0} es l.d.Sólo queda razonar que si u 6= 0 entonces de la igualdad λu = 0 sededuce λ= 0. Pero esto es la propiedad 3) de la aritmética vect.

3) Es inmediato, porque la misma c.l., no trivial, del conjunto {v1, . . . , vn}nos sirve para el conjunto {v1, . . . , vn ,u}

4) Si {v1, . . . , vn} fuera l.d., por la propiedad anterior, se tiene que{v1, . . . , vn ,u} sería l.d. lo que contradice la hipótesis. �

Por las propiedades de la aritmética vectorial, podemos despejar vectores(que tengan coeficiente distinto de cero) de un miembro a otro en una igual-dad vectorial. Entonces, se puede demostrar fácilmente el siguiente:

Lema 3. [Caracterización de la dependencia] Un conjunto de vectores{v1, . . . , vn} es l.d. si y sólo si uno de sus vectores es c.l. del resto. �

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El lema anterior afirma que si un conjunto es l.d., uno de sus vectores de-pende del resto. Pero esto no es cierto para todos. Por ejemplo, en R2

Ejemplo 11. Los vectores (−1,−1), (3,0), (2,2) son l.d. pero el vector (3,0)no es c.l. de los otros dos. Ya que la combinación lineal, no trivial, es

2(−1,−1) + (2,2) = (0,0)

y en ella el segundo vector no interviene.

Las definiciones anteriores pueden extenderse fácilmente a conjuntos infini-tos de vectores.

Definición 3. Si S ⊂V es un conjunto arbitrario de vectores, decimos que Ses l.d. si existe algún subconjunto finito suyo que sea l.d.Por el contrario, cuando todo subconjunto de S sea l.i. decimos que S es l.i.

Veamos a continuación, para que sirve el concepto de la dependencia lineal.

4. SISTEMAS DE GENERADORES.

Dado un K -esp. vect. V y S ⊂V un conjunto de vectores

Definición 4. Decimos que S genera a V , o S es un sistema de generadores(s.g.) de V , si todo vector del espacio es una c.l. de vectores de S.

Por ejemplo, en R2

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Ejemplo 12. Los vectores {(−1,−1), (3,0), (2,2)} forman o son un s.g.En efecto, todo vector (a,b) ∈R2 se puede poner como c.l. de ellos.Ya que la igualdad

x(−1,−1) + y(3,0) + z(2,2) = (a,b)

equivale al sistema lineal

−x +3y +2z = a

−x +2z = b

que está en forma escalonada y es compatible (indeterminado).

En realidad, en este ejemplo, el tercer vector sobra para ser un s.g.En efecto, esto es una propiedad que se demuestra en el siguiente:

Lema 4. Si S = {v1, . . . , vn ,u} es un s.g. y uno de sus vectores u dependedel resto. Entonces, el conjunto restante {v1, . . . , vn} es también un s.g.

Demostración: Si u =µ1v1 +·· ·+µn vn , ∀v ∈V se tiene

v = λ1v1 +·· ·+λn vn + λu = λ1v1 +·· ·+λn vn + λ(µ1v1 +·· ·+µn vn) == (λ1 + λµ1)v1 +·· ·+ (λn + λµn)vn

y todo está demostrado. �

Veamos ahora, la relación entre s.g. y conjuntos l.i.

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Lema 5. Si {v1, . . . , vm} es l.i y {u1, . . . ,un} es un s.g. Entonces, m ≤ n.

Demostración: Vamos a sustituir, sucesivamente, un vector del s.g por unvector del conjunto l.i. Como el proceso siempre se puede continuar, al finalagotaremos el conjunto l.i. y tendremos todo demostrado.Lo hacemos por inducción, analizando dos casos:

Primer caso: Como {u1, . . . ,un} es un s.g., v1 se puede poner como

v1 = λ1u1 +·· ·+λnun

Como v1 6= 0, no todos los coeficientes pueden ser cero, y podemosdespejar alguno de los ui . Numerándolos si fuera necesario, tenemosque u1 es c.l. del conjunto con n elementos {v1,u2, . . . ,un} queseguirá siendo s.g. por el lema anterior.

Paso de la inducción: Suponemos por inducción, que el conjunto den elementos {v1, . . . , vi ,ui+1, . . . ,un} es un s.g. Entonces, vi+1 sepuede poner como c.l. de ellos

vi+1 = λ1v1 +·· ·+λi vi + λi+1ui+1 +·· ·+λnun

Ahora, no todos los coeficientes λi+1, . . . ,λn pueden ser cero (yaque los vi son l.i.) y podemos despejar alguno de los restantesui+1, . . . ,un . Numerándolos si fuera necesario, tenemos que ui+1

es c.l. del conjunto con n elementos {v1, . . . , vi+1,ui+2, . . . ,un} queseguirá siendo s.g. (por el lema anterior) como queríamos. �

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5. BASES DE UN ESPACIO VECTORIAL.

Dado un conjunto de vectores B = {v1, . . . , vn} de un K -esp. vect. V ,

Definición 5. Decimos que B = {v1, . . . , vn}, es una base de V si es unconjunto l.i. y además un s.g.

Ahora podemos demostrar un resultado fundamental de la teoría de espaciosvectoriales.

Teorema 1. [Teorema de la base] Si V tiene una base finita, entonces todaslas bases son finitas con igual número de vectores.

Demostración: Sea B = {v1, . . . , vn} una base de V . Si B ′ es otra base,en particular B ′ es l.i. y B s.g. Entonces, por el lema anterior, B ′ tiene unnúmero finito, m, de vectores tal que m ≤ n.Recíprocamente, como B es l.i. y B ′ s.g. Entonces, también por el lemaanterior, n ≤ m. O sea, n = m como queríamos. �

Ejemplo 13. Los vectores e1 = (1,0, . . . ,0), . . . ,en = (0, . . . ,0,1) forman unabase del K -esp. vect. V = K n .En efecto, todo vector (b1, . . . ,bn) ∈ K n se puede poner como c.l. de ellos.Ya que la igualdad

λ1e1 + ·· · +λnen = (b1, . . . ,bn)

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λ1 = b1

...λn = bn

que está ya despejado y tiene solución única λ1 = b1, . . . ,λn = bn .Por la misma razón la igualdad vectorial

λ1e1 + ·· · +λnen = (0, . . . ,0)

tiene como solución única λ1 = ·· · =λn = 0. O sea, son l.i.

Esta base, B = {e1, . . . ,en}, es llamada la base canónica4 de K n .

Definición 6. Decimos que un espacio vectorial es finito generado si tieneuna base finita. Al número de elementos de cualquiera de sus bases se lellama la dimensión del esp. vect.

Por el ejemplo anterior, cualquier K n tiene dimensión n.Así, R2 tiene dimensión dos y R3 tiene dimensión tres, como era de esperar.

4Para cualquier cuerpo K , y cualquier n, existe la base canónica.

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Ejemplo 14. En el esp. vect. de todos los polinomios de grado menor oigual que n, Poln(K ), el conjunto más sencillo de monomios

{1, x, . . . , xn}

es una base5. Ya que constituyen un s.g y son l.i. En efecto, todo polinomio

f (x) = a0 +a1x +·· ·+an xn

es una c.l. de los monomios anteriores y sabemos por la definición depolinomio que f (x) = 0 si y sólo si a0 = a1 = ·· · = an = 0 y por tanto losmonomios, {1, x, . . . , xn}, son l.i.

Ejemplo 15. En el esp. vect. de las matrices de dimensión mxn, Mmxn(K ),el conjunto formado por las matrices ei j = (λi ′ j ′) con

λi ′ j ′ ={

1 si i ′ = i y j ′ = j

0 caso contrario

constituyen un s.g y son l.i. O sea, son una base de este esp. vect. En efecto,toda matriz se puede escribir como

(ai j ) =∑i j

ai j ei j

y es una c.l. de las anteriores y sabemos por la definición de matriz que(ai j ) = 0 si y sólo si ai j = 0 para todo i , j . O sea, estas matrices son l.i.

5Llamada la base standard de los polinomios.

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Por las propiedades de la aritmética vectorial, el vector cero nunca lo con-sideramos dentro6 de un s.g.

Además, el único esp. vect. que no puede tener una base, es el espacio cero,V = {0}, donde no existen otros vectores y por tanto no existen conjuntos l.i.

En otro caso, por una de las propiedades de la dependencia lineal, un vectorno nulo, u 6= 0, es siempre l.i. Esto lo usamos, para demostrar el siguiente

Teorema 2. [de existencia] De cada s.g. finito se puede extraer una base.

Demostración: Si el s.g. es además l.i todo está demostrado. En caso con-trario, existe una c.l. no nula entre dichos vectores y por tanto se puededespejar uno de ellos en función de los otros. Si lo quitamos, por un lemaanterior, el conjunto resultante seguirá siendo s.g.

Este proceso continua hasta encontrar un conjunto l.i. y por tanto una base.En el caso extremo llegamos a un s.g. unitario, {u}, formado por un únicovector no nulo que necesariamente será una base. �

Definición 7. Dada una matriz A = (ai j ) de llama espacio de columnas dela matriz al conjunto de todas las c.l. de sus columnas y se llama espaciode filas de A al conjunto de todas las c.l. de sus filas.

Como aplicación del último teorema (de existencia de bases) se tiene:

6Si está lo quitamos.

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Ejemplo 16. Halla, respectivamente, una base para los espacios de filas yde columnas de la matriz

A =(1 −1 92 0 5

)El espacio de columnas de A es el conjunto de los vectores

C (A) = { λ1(1,2)+λ2(−1,0)+λ3(9,5) ∈R2 : λ1, λ2, λ3 ∈R }

O sea, por definición, el conjunto {c1 = (1,2), c2 = (−1,0), c3 = (9,5)} es uns.g. del esp. vect. C (A) (el espacio de columnas de A) dentro de R2.Comprobamos si también son l.i. Como, la igualdad vectorial

λ1(1,2)+λ2(−1,0)+λ3(9,5) = (0,0)


λ1 −λ2 + 9λ3 = 0

2λ1 + 5λ3 = 0

que está escalonado. Podemos despejar λ1, λ2 en función de λ3. Luego,existen soluciones distintas de cero. En consecuencia, los vectores columnano son l.i. Existe al menos una c.l. entre ellos7. Por ejemplo,

5∗ (1,2)−13∗ (−1,0)−2∗ (9,5) = (0,0)

7Cualquier solución del sistema anterior sirve.

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Podemos quitar uno cualquiera de los vectores columna y seguiremos te-niendo un s.g. de C (A). Por ej., {c1 = (1,2), c2 = (−1,0)} es un s.g. de C (A).Además, estos dos vectores son l.i. ya que el sistema lineal

λ1 −λ2 = 0

2λ1 = 0

no admite mas que la solución trivial, λ1 = λ2 = 0.O sea, hemos encontrado una base de C (A). Por tanto, tiene dimensión dos.

Por otro lado, el espacio de filas de A es el conjunto de los vectores

F (A) = { λ(1,−1,9)+µ(2,0,5) ∈R3 : λ, µ ∈R }

O sea, por definición, el conjunto { f1 = (1,−1,9), f2 = (2,0,5)} es un s.g. delesp. vect. F (A) (el espacio de filas de A) dentro de R3.Para analizar si son l.i. Vemos que la igualdad vectorial

λ(1,−1,9)+µ(2,0,5) = (0,0,0)


λ + 2µ= 0

−λ = 0

9λ + 5µ= 0

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que tiene como únicas soluciones λ = µ = 0.

Por tanto, el conjunto de las dos filas, { f1, f2}, constituyen ya una base delespacio de filas de A, que también tiene dimensión dos.

O sea, di m(F (A)) = di m(C (A)) = 2 y la matriz es de rango pleno por filas8.

Dualmente, se pueden conseguir bases ampliando conjuntos l.i.Así, si V es un K -esp. vect. finitamente generado, se tiene

Teorema 3. [de ampliación] Cada subconjunto de vectores l.i. se puedeampliar hasta una base.

Demostración: Si el conjunto, {v1, . . . , vn}, de vectores l.i es también s.g.todo está demostrado.

En caso contrario, existe al menos un vector (no nulo) del espacio que noes c.l. de ellos. Por tanto, se puede añadir a ese conjunto obteniendo unsubconjunto con un elemento más, {v1, . . . , vn , v}.El conjunto resultante seguirá siendo l.i. ya que si

λ1v1 + ·· · +λn vn +λv = 0

se tiene λ= 0 porque si no v sería c.l. de los restantes.Y por la hipótesis de independencia, los demás coeficientes serán cero.

8Veremos mas adelante, que siempre las dimensiones coinciden con el rango de la matriz.Si coincide con el número de filas o de columnas, la matriz se llama de rango pleno.

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Finalmente, el proceso de ampliación no puede continuar indefinidamentepor el lema 6 y por ser el espacio f.g. �

Como consecuencia de los dos teoremas anteriores se tiene el siguiente

Corolario 1. [de caracterización de bases] Si V es un K -esp. vect. dedimensión finita y B = {v1, . . . , vn} ⊂V . Son equivalentes.

i) B es un conjunto l.i. maximalii) B es s.g. minimal

iii) B es una base �

Este corolario y el teorema anterior se usan con mucha frecuencia. Así,

Ejemplo 17. Amplíamos una base del espacio de filas de la matriz

A =(1 −1 92 0 5

)hasta una base de R3.

Como las dos filas, { f1 = (1,−1,9), f2 = (2,0,5)}, de la matriz eran l.i. bastaañadir un vector mas para obtener una base de R3.Veamos que nos sirve el primer vector canónico e1 = (1,0,0).En efecto, la igualdad vectorial

λ1(1,−1,9)+λ2(2,0,5)+λ3(1,0,0) = (0,0,0)

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λ1 + 2λ2 + λ3 = 0

−λ1 = 0

9λ1 + 5λ2 = 0

que tiene como únicas soluciones λ1 = λ2 = λ3 = 0. Por tanto, hemosdemostrado que el conjunto B = { f1, f2,e1} es una base de R3.

6. COORDENADAS.

Dada B = {u1, . . . ,un} una base de V K -esp. vect. y u ∈V un vector arbitrario

Lema 6. Existen λ1, . . . ,λn ∈ K únicos tales que u =λ1u1 +·· ·+λnun .

Demostración: Por ser B = {u1, . . . ,un} una base es un s.g.Por tanto, existen escalares λ1, . . . ,λn ∈ K tales que u =λ1u1 +·· ·+λnun .Ahora, si existieran otros µ1, . . . ,µn ∈ K tales que u = µ1u1 + ·· · +µnun ,restando ambas expresiones se tiene

0 = (λ1 −µ1)u1 +·· ·+ (λn −µn)un

Ahora, como B es l.i., se tiene que cada coeficiente λi −µi = 0 es cero.O sea, λi =µi para cada i , como queríamos. �

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Por tanto, dada una base cualquiera B = {u1, . . . ,un} de V y un vector u ∈V

Definición 8. Se llaman coordenadas de u respecto a B a este conjunto deescalares únicos y lo escribimos

u = (λ1, . . . ,λn)B

Así, podemos calcular coordenadas respecto a cualquier base.

Ejemplo 18. Dada la base B = { f1 = (1,−1,9), f2 = (2,0,5), e1 = (1,0,0)} deR3, obtenida en el ejemplo anterior. Vamos a hallar las coordenadas únicasdel vector e2 = (0,1,0) respecto de esta base.Como resolviendo el correspondiente sistema lineal se obtiene

e2 = (0,1,0) = −(1,−1,9) + 9

5(2,0,5) − 13

5(1,0,0)

las coordenadas únicas buscadas son e2 = (−1, 95 ,−13

5 )B .

Por las propiedades de la aritmética vectorial 1, podemos trabajar con coor-denadas respecto a cualquier base.Así, dados u = (λ1, . . . ,λn)B , v = (µ1, . . . ,µn)B ∈V y λ ∈ K , se tiene que

u + v = (λ1 +µ1, . . . ,λn +µn)B

λu = (λλ1, . . . ,λλn)B

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Ahora, si consideramos una c.l. igualada a cero, donde para cada i ,

λ1v1 + ·· · +λr vr = 0

conocemos sus coordenadas únicas vi = (ai 1, . . . , ai n)B respecto de una basecualquiera B . Usando la aritmética vectorial, obtenemos un sistema lineal

λ1a11 +·· · +λr a1n = 0...

......

λ1ar 1 +·· · +λr ar n = 0

homogéneo de n ecuaciones con r incógnitas.Luego para saber si existe una c.l. distinta de cero (i.e. para saber si losvectores son l.i.) basta aplicar el teorema de Rouché-Frobenius.Como consecuencia, tenemos demostrado el siguiente

Teorema 4. Un conjunto de r vectores {v1, . . . , vr } es l.i. si y sólo si la matriz(ai j ) formada por sus coordenadas respecto de alguna base tiene rango r .

Ejemplo 19. Si consideramos en Pol3(R), los polinomios p(x) = 2x3 +x +1y q(x) = x2 − 2x + 3 podemos comprobar que son l.i. sin mas que darnoscuenta que la matriz de sus coeficientes respecto de la base (de monomios)standard B = {1, x, x2, x3} (

2 0 1 10 1 −2 3

)tiene rango dos.

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7. CAMBIOS DE BASE.

Supongamos ahora que conocemos una base B ′ = {e ′1, . . . ,e ′

n} en función deotra B = {e1, . . . ,en}. Esto es, conocemos las coordenadas de los e ′

i en funciónde los ei , para cada i ,

e ′i = a1i e1 +·· ·+ani en

Entonces, para un vector arbitrario v = (y1, . . . , yn)B ′ ∈V referido respecto dela base B ′, tenemos la c.l. v = y1e ′

1 +·· ·+ yne ′n donde podemos sustituir los

e ′i , para obtener la c.l. respecto de la otra base. Así

v = y1(a11e1 +·· ·+an1en)+·· ·+ yn(a1ne1 +·· ·+annen) == (y1a11 +·· ·+ yn a1n)e1 +·· ·+ (y1an1 +·· ·+ yn ann)en == x1e1 +·· ·+xnen = (x1, . . . , xn)B

Como son únicas, la relación entre ambas coordenadas de v son

x1 = y1a11 +·· ·+ yn a1n...

...xn = y1an1 +·· ·+ yn ann

o bien,

x1...

xn

=

a11 . . . a1n... . . . ...

an1 . . . ann

y1

...yn

llamadas las ecuaciones del cambio de base escritas matricialmente porcolumnas9.

9También se pueden escribir por filas.

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Definición 9. Se llama matriz10 del cambio de base a la matriz

P =

a11 . . . a1n... . . . ...

an1 . . . ann

donde cada columna de la matriz representa un vector de la base B ′ respectode la base B .

Si llamamos X =

x1...

xn

, Y =

y1...

yn

a las coordenadas de un mismo vector v

respecto de dos bases B y B ′. Entonces, las ecuaciones del cambio de base,obtenidas antes, son X = P ·Y .

Como los papeles de las dos bases B ′ y B son intercambiables. También,existe una matriz cuadrada, Q, que da el cambio de base de B a B ′. Obte-niendose otras ecuaciones duales de cambio de base, Y = Q · X , que sepueden sustituir una en la otra, para obtener dos igualdades

X = P ·Y = P · (Q ·X ) = (P ·Q) ·X

Y = Q ·X = Q · (P ·Y ) = (Q ·P ) ·Y

10por columnas

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Como además, el vector v = (x1, . . . , xn)B = (y1, . . . , yn)B ′ ∈ V es arbitrario.Se puede demostrar fácilmente que los productos matriciales anteriores debenser la identidad.

P ·Q = I

Q ·P = I

O sea, hemos demostrado el siguiente

Lema 7. Las matrices respectivas del cambio de base entre B y B ′ son in-versas mutuamente Q = P−1, P = Q−1. En particular, tienen determinantedistinto de cero. O sea, son regulares.

Recíprocamente, se tiene que cualquier matriz regular P , con entradas en uncuerpo, se puede considerar como una matriz de cambio de base.Ya que las n columnas de una matriz regular sobre un cuerpo K , definen nvectores de K n que son necesariamente l.i. por el teorema 4.

Como di m(K n) = n, necesariamente las n columnas de la matriz definenuna base B ′ de K n , donde sus entradas son sus coordenadas respecto de labase canónica de K n , B = {e1, . . . ,en}.

Por tanto, se tiene demostrado el siguiente

Corolario 2. Toda matriz regular P es la del cambio de base de sus colum-nas a la base canónica.

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Ejemplo 20. Dada la base B = { f1 = (1,−1,9), f2 = (2,0,5), e1 = (1,0,0)} deR3, obtenida en un ejemplo anterior. Halla la matriz del cambio de base, dela canónica a esta nueva base. Escribe las ecuaciones matriciales corres-pondientes y aplícaselas al vector e1.

Para ello primero definimos la matriz P que tiene por columnas a estos vec-

tores P = 1 2 1−1 0 0

9 5 0

y hallamos su inversa que es la matriz pedida

Q = P−1 =0 −1 0

0 95

15

1 −135 −2

5

Por tanto, las ecuaciones del cambio de base pedidas son Y = Q ·X , dondeX son las coordenadas de un vector respecto de la base canónica e Y sonsus coordenadas respecto a la nueva base del ejercicio.Finalmente, las coordenadas pedidas son del vector e1 = (1,0,0) respecto dela nueva base, que se obtienen haciendo el producto matricial

Q ·e1 =0 −1 0

0 95

15

1 −135 −2

5

100

=0

01

O sea, la primera fila de la matriz Q.

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Ejemplo 21. La sucesión, {Ln(x)}n∈N de los polinomios de Laguerre se de-finen por sus dos primeros términos L0(x) = 1, L1(x) = 1 − x y por laecuación recurrente

Ln(x) = 2n −1−x

nLn−1(x)− n −1

nLn−2(x)

Razona que sus 3 primeros términos son l.i. y encuentra la matriz del cambiode base de la standard (de monomios) a esta nueva base

B = {L0(x),L1(x),L2(x)}

del esp. vect. Pol2(R).

En primer lugar, calculamos el polinomio siguiente

L2(x) = 3−x

2L1(x)−1

2L0(x) = 3−x

2(1−x)−1

2= x2 −4x +3−1

2= x2 −4x +2

2Observamos, que es de grado 2, con lo que seguro que el conjunto de estos3 polinomios {1, 1−x, x2

2 −2x +1} va a ser l.i.En efecto, la matriz de sus coeficientes respecto de la base standard {1, x, x2}

P =1 1 1

0 −1 −20 0 1

2

está escalonada y tiene determinate −1/2. O sea, P es regular y da el cambiode base a la standard. Finalmente, su matriz inversa Q = P−1 nos dará elcambio recíproco pedido.

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Ejemplo 22. La sucesión, {pn(x)}n∈N de los polinomios de Legendre se de-finen por sus dos primeros términos L0(x) = 1, L1(x) = x y por la ecuaciónrecurrente

pn(x) = 2n −1

nxpn−1(x)− n −1

npn−2(x)

Razona que sus 3 primeros términos son l.i. y encuentra la matriz del cambiode base de la standard (de monomios) a esta nueva base

B = {p0(x), p1(x), p2(x)}

del esp. vect. Pol2(R).

En primer lugar, calculamos el polinomio siguiente

p2(x) = 3

2xp1(x)− 1

2p0(x) = 3

2x2 − 1

2= 3x2 −1

2Observamos, que es de grado 2, con lo que seguro que el conjunto de estos3 polinomios {1, x, 3x2−1

2 } va a ser l.i.En efecto, la matriz de sus coeficientes respecto de la base standard {1, x, x2}

P =1 0 −1

20 1 00 0 3

2

está escalonada y tiene determinate 3

2 . O sea, P es regular y da el cambiode base a la standard. Finalmente, su matriz inversa Q = P−1 nos dará elcambio recíproco pedido.

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8. SUBESPACIOS VECTORIALES.

Sea V un K -esp. vect. y sea U ⊂V un subconjunto no vacío.

Definición 10. Decimos que U es un subespacio vectorial de V , y lo deno-tamos por U ≤V cuando para todo u, v ∈U y todo λ ∈ K

1) U es cerrado para la suma: u + v ∈U2) U es lícito para la multiplicación: λ ·u ∈U

Como, por definición, un subesp. vect. no puede ser vacío se tiene que∃u ∈U y entonces por el lema 1

0 = 0 ·u ∈U

También, ∀u ∈U se tiene −u = (−1) ·u ∈U y en general, por 1) y 2), paracualesquiera escalares λ,µ ∈ K y vectores u1,u2 ∈U se tiene que

λu1 + µu2 ∈U

Recíprocamente, tomando λ = µ = 1, obtenemos u + v ∈ U y para λ = 1,µ= 0, también tenemos λ ·u ∈U . Así, hemos demostrado la siguiente

Lema 8. [Caracterización de subespacios] Un subconjunto no vacío, es un

subespacio U ≤V si, y sólo si, ∀λ,µ ∈ K y ∀u1,u2 ∈U λu1 + µu2 ∈U

Esta propiedad se llama ser cerrado por combinaciones lineales (c.l.).

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Ejemplo 23. Todo esp. vect. V tiene al menos dos subesp. vect., el máspequeño U = {0} llamado subesp. cero y el más grande U = V . Estos dossubesp. vect. son llamados subesp. vect. impropios.

Ejemplo 24. En el esp. vect. de las matrices cuadradas V = Mn(K ) existenvarios subesp. vect. interesantes:

• El subconjunto de las matrices triangulares superiores.• El subconjunto de las matrices triangulares inferiores.• El subconjunto de las matrices diagonales.• El subconjunto de las matrices simétricas, At = A.• El subconjunto de las matrices antisimétricas, At =−A.

En el esp. vect. V = K [x] de todos los polinomios en una indeterminada, x,con coeficientes en el cuerpo K .

Ejemplo 25. El subconjunto de los polinomios de grado menor o igual quen, Poln(x), es un subesp. vectorial.En general, se tiene que Poln(x) ≤ Polm(x) si, y solo si, n ≤ m.

Por el teorema de ampliación 3, para todo subespacio U ≤V se tiene que

Lema 9. [dimensión de un subespacio] r = di m(U ) ≤ di m(V ) = n.Además, r = n si, y sólo si, U =V . También, r = 0 si, y sólo si, U = {0}.

Así, en R2 sólo existen subesp. propios de dimensión 1 (rectas por el origen).

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Ejemplo 26. El conjunto de las tuplas solución solución de una ecuaciónlineal y homogénea

π = {(x1, . . . , xn) ∈ K n : a1x1 +·· ·+an xn = 0}

es siempre un subesp. vect. de K n . En efecto, si (y1, . . . , yn) ∈πa1 y1 +·· ·+an yn = 0

Por las propiedades de la aritmética vect. 1, para todo λ,µ ∈ K

a1(λx1 +µy1)+·· ·+an(λxn +µyn) = 0

A este subesp. vect. π se le llama un hiperplano

Como todo subesp vect. es cerrado por c.l. También es cerrado por c.l.cualquier intersección de subespacios. Entonces, por el lema de caracteri-zación 8, se tiene que la intersección de subespacios vectoriales es de nuevoun subesp. vect. En particular, dados dos subespacios U1, U2 ≤V

Lema 10. U1 ∩U2 = {u ∈V : u ∈U1, u ∈U2} es un subesp. vect. de V .

Como consecuencia, dados dos hiperplanos π1, π2 definidos por las dos e.l.a1x1+·· ·+an xn = 0 y b1x1+·· ·+bn xn = 0. Se tiene que su intersección esel conjunto de tuplas solución del sistema formado por ellas.En general, se tiene que

Lema 11. El conjunto de las tuplas solución de cualquier s.l. homogéneo,con coeficientes en K es un subesp. vect. de K n .

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9. SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES.

Dado un subconjunto de vectores cualesquiera S ⊆ V , el subconjunto todaslas posibles c.l. de elementos de S forman un subesp. vect. de V .

L(S) = {λ1u1 +·· ·+λnun ∈V : λ1, . . . ,λn ∈ K , u1, . . . ,un ∈ S}

En efecto, si u, v ∈ L(S) son dos elementos arbitrarios de L(S). Entonces

λu +µv = λ(λ1u1 +·· ·+λnun) + µ(µ1u1 +·· ·+µnun) == (λλ1 +µµ1)u1 +·· ·+ (λλn +µµn)un ∈ L(S)

Dado S ⊆V , L(S) ≤V tiene una propiedad respecto a la inclusión.

Lema 12. L(S) ≤V es el más pequeño subesp. vect. que contiene a S.

Demostración: Si W ≤ V es un subesp. vect. y además S ⊆ W . Entonces,como los subespacios son cerrados por c.l. de sus propios vectores, se tiene

λ1u1 +·· ·+λnun ∈ w

∀λ1, . . . ,λn ∈ K y ∀u1, . . . ,un ∈ S. Por tanto, L(S) ⊆W como queríamos. �

Claramente, S es un s.g. de L(S). Además, por el lema de existencia 2 debases, cuando S es finito11 siempre se puede extraer una base del conjunto S.

11Aunque no sea finito casi siempre es posible.

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Observamos, también, que si S = {u1, . . . ,ur } es un s.g. de U = L(S).Entonces, también son s.g. de U los siguientes conjuntos:

• Intercambiando dos vectores {u1, . . . ,u j , . . . ,ui , . . . ,ur }• Multiplicando uno de los vectores por un escalar no nulo

{u1, . . . ,kui , . . . ,ur }• Sumando a uno de sus vectores otro multiplicado por un escalar

{u1, . . . ,ui +kuk , . . . ,ur }

Por tanto, todas las transformaciones elementales de filas o de columnastienen un análogo vectorial12.

Recordemos que dada una matriz, A de dimensión mxn, arbitraria con coe-ficientes en un cuerpo K , sus espacios de filas y de columnas son

Definición 11. Se denota por F (A) al subesp. vect. de K n generado por susm filas. Se denota por C (A) al subesp. vect. de K m generado por sus n filas.

Como el rango de una matriz se puede calcular por filas o por columnas yes único, se tiene que dada una matriz A. Entonces, por el teorema 4, lasdimensiones de sus espacios de filas y columnas coinciden. Esto es,

Lema 13. di m(F (A)) = di m(C (A)) = r ang o(A)

12Donde no hay distinción entre fila o columna

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Por el lema 12, dados dos subesp.vect. U1, U2 ≤V , siempre existe el menorsubesp. vect. que los contiene, ya que está definido por

L(U1 ∪U2) = {λ1u1 +·· ·+λnun ∈V : λ1, . . . ,λn ∈ K , u1, . . . ,un ∈U1 ∪U2}

Definición 12. Se llama suma de dos subesp. vect. al menor subesp. vect.que los contiene. Así, U1 +U2 = L(U1 ∪U2)

Como consecuencia de la definición, si B1 es una base de U1 y B2 es unabase de U2, se tiene que S = B1 ∪B2 es un conjunto de generadores (s.g.)del espacio suma. Del cual podemos extraer una base de U1 +U2. Así,

Lema 14. di m(U1 +U2) ≤ di m(U1)+di m(U2)

Como también U1∩U2 es un subesp. vect. Por el teorema 3, se puede ampliaruna base B de U1 ∩U2 hasta una base B1 de U1 y otra B2 de U2.

Así tenemos que, la unión B1 ∪B2 tiene exactamente di m(U1)+di m(U2)−di m(U1∩U2) elementos. Es fácil de razonar, que ese conjunto B1∪B2 es l.i.Por tanto, se tiene

Teorema 5. [Fórmula de las dimensiones]di m(U1 +U2) = di m(U1)+di m(U2)−di m(U1 ∩U2)

Cuando U1 ∩U2 = {0}, la suma se llama directa, y se escribe U1⊕

U2.En este caso, la dimensión del espacio suma es la suma de las dimensiones13.

13Esto avala el convenio, di m({0}) = 0, de la dimensión del espacio cero

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10. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UN SUBESPACIO.

Dado un subesp. vect. U < V , propio, de un esp. vect. V , de dimensión n,siempre existe al menos una base B ′ = {u1, . . . ,ur } con 0 < r < n. Entonces

Definición 13. Se llaman unas ecuaciones paramétricas de U a las ecua-ciones x =λ1u1 +·· ·+λr ur que representan las coordenadas de un x ∈U .

Si conocemos las coordenadas de los ui = a1i e1 + ·· · + ani en respecto deuna base B = {e1, . . . ,en} del esp. vect. V . Las correspondientes ecuacionesparamétricas son

x1 =λ1a11 +·· ·+λr a1r...

...xn =λ1an1 +·· ·+λr anr

Por tanto, para cada elección de bases de V y de U , respectivamente tenemosunas ecuaciones paramétricas diferentes.Pero siempre con r parámetros λ1, . . . ,λr ya la di m(U ) = r es la misma.

En R2, un subesp. propio está determinado o definido por un único vector,no nulo, B ′ = {(a,b)}. Por tanto, existe un único parámetro y

Ejemplo 27. Las ecuaciones paramétricas de cualquier subespacio, propiode R2, son las de una recta que pasa por el origen de coordenadas.

x1 =λax2 =λb

}

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En R3, un subesp. propio está determinado o definido por uno o dos vectoresl.i. Por ejemplo, si B ′ = {(a1, a2, a3), (b1,b2,b3)} existen dos parámetros y

Ejemplo 28. Las ecuaciones paramétricas de un subesp., de dimensión dosde R3, son las de un plano que pasa por el origen de coordenadas.

x =λa1 + µb1

y =λa2 + µb2

z =λa3 + µb3

Ejemplo 29. Las ecuaciones paramétricas de un subesp., de dimensión 1 deR3, son las de una recta que pasa por el origen de coordenadas.

x =λa1

y =λa2

z =λa3

En realidad, por definición, para cualquier esp. vect. V , siempre

Definición 14. Llamamos recta a un subesp. vect. de dimensión uno.Y llamamos plano a un subesp. vect. de dimensión dos14.

Ejemplo 30. Como en V = K n , un hiperplano es el conjunto de las tuplassolución de una única e.l. y homogénea

π = {(x1, . . . , xn) ∈ K n : a1x1 +·· ·+an xn = 0}

14Aunque, geométricamente existen otras rectas y planos que no pasan por el origen.

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Para hallar sus ecuaciones paramétricas basta resolver esa ecuación.O sea, despejar una de sus incógnitas (con su coeficiente distinto de cero).Por ejemplo, si an 6= 0 se despeja

xn = −a−1n a1x1 −·· ·−a−1

n an−1xn−1

Por tanto, unas ec. paramétricas de este hiperplano serán

x1 =λ1...

...xn−1 =λn−1

xn =−a−1n a1λ1 −·· ·−a−1

n an−1λn−1

Por tanto, un s.g. para este hiperplano está formado por los n −1 vectores

B = {(1,0, . . . ,0,−a−1n a1), . . . , (0, . . . ,0,1,−a−1

n an−1)}

Como además, la matriz de estas coordenadas1 0 . . . 0 −a−1n a1

......

......

0 0 . . . 1 −a−1n an−1

claramente tiene rango máximo n −1. Los vectores son l.i., B es una basedel hiperplano π y su dimensión es n −1.

Por ejemplo, en R3 los hiperplanos tienen dimensión dos (3-1=2) y coincidencon los planos que pasan por el origen.

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11. ECUACIONES CARTESIANAS DE UN SUBESPACIO.

Por lo visto en la sección anterior, todo subesp. vect., U ≤ V , de dimensiónr tiene siempre unas ecuaciones paramétricas con r parámetros

x1 =λ1a11 +·· ·+λr a1r...

...xn =λ1an1 +·· ·+λr anr

Hemos visto también que las ecuaciones paramétricas (y una base ) las pode-mos encontrar resolviendo sistemas lineales homogéneos con n incógnitas.

Recíprocamente, siempre que tengamos unas ecuaciones paramétricas conr parámetros, podemos pensar que son las soluciones de un cierto s.l. deecuaciones con n incógnitas, que necesariamente será homogéneo15.

Todo esto es posible eliminando los r parámetros entre las n igualdades.Eliminando r parámetros entre n igualdades, se obtienen n − r ecuaciones.

Así, dado un subespacio vect. U de dimensión r , en un espacio vect. V , dedimensión n, hemos demostrado que

Lema 15. Los vectores de U se pueden interpretar como las n-tuplas solu-ción de un s.l. con n − r ecuaciones (homogéneas) y n incógnitas.

15porque el vector cero es una solución, para λ1 = ·· · =λr = 0.

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Definición 15. Llamamos ecuaciones cartesianas o implícitas de U , a cualquiers.l. (homogéneo) que tenga exactamente como tuplas solución a sus vectores.

Observamos, que todo subesp. vect. propio, tiene siempre al menos unasecuaciones paramétricas y otras cartesianas16.

En cambio, el subespacio cero, {0}, tiene n ecuaciones cartesianas x1 =0, . . . , xn = 0 pero no tiene ecuaciones paramétricas.

Dualmente, el espacio total V tiene unas ecuaciones paramétricas con nparámetros x1 =λ1, . . . , xn =λn pero no tiene ecuaciones cartesianas.

Ejemplo 31. Halla, respectivamente, unas ecuaciones paramétricas y otrascartesianas para el espacio de filas de la matriz

A =(1 −1 92 0 5

)Sabemos que el espacio de filas de A es el conjunto de los vectores

F (A) = { λ(1,−1,9)+µ(2,0,5) ∈R3 : λ, µ ∈R }

Por el ejemplo 16, sabemos que sus dos filas constituyen una base del espa-cio de filas de A, que tiene dimensión dos.

16Si no sobran, el número de ecuaciones mas el de parámetros suman n.

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Por tanto, unas ec. paramétricas (e.p.) para este subespacio de R3 son

x =λ+2µy =−λz = 9λ+5µ

para hallar unas cartesianas (e.c.), podemos eliminar los dos parámetros.Primero λ,

x =−y +2µz =−9y +5µ

}y luego µ

x + y

2= z +9y

5Equivalentemente

5x −13y −2z = 0

que es la única e.c. del subespacio de filas. Por tanto, F (A) es un hiperplanode R3. O sea, un plano que pasa por el origen.

Ejemplo 32. En el espacio V = Pol2(R), de los polinomios reales de gradomenor o igual que dos. Halla unas e.p. y otras e.c. y una base del subespacio

U = {p(x) ∈R(x) : p(x) = p(−x)}

Recordamos que todo polinomio de V es de la forma p(x) = a0 +a1x +a2x2

y que la base standard (de monomios de V ) es el conjunto BV = {1, x, x2}.

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Ahora, la condición para que un polinomio esté en U es

a0 +a1x +a2x2 = p(x) = p(−x) = a0 −a1x +a2x2

O sea, 2a1x = 0 de donde a1 = 0 que es la única e.c. de nuestro subespacio.Como di m(V ) = 3, nuestro subespacio tendrá 3−1 = 2 parámetros y unase.p. son

a0 =λ

a1 = 0a2 =µ

Finalmente, una base de U se obtiene dando valores a los parámetros.Así, se obtienen los polinomios BU = {1, x2}.Por tanto, di m(U ) = 2

Ejemplo 33. Calcula una base del espacio nulo de la matriz

A =(1 −1 92 0 5

)y la amplías hasta una base de R3. Úsala para transformar A.Por definición, su espacio nulo está definido por las soluciones del s.l.

x − y + 9z = 02x + 5z = 0

}Por el ejemplo 16, sabemos que su determinante es 2 que coincide con el dela matriz ampliada pero es menor que el número de incógnitas.

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Como 3−1 = 2, la solución general de este s.l. se puede poner en funciónde un único parámetro. Por ejemplo,

x =−52λ

y = 132 λ

z =λ

Claramente, el espacio nulo de la matriz N (A) está generado por el vector

n1 = (−5, 13, 2)

O sea, tiene dimensión uno, di m(N (A)) = 1. Por tanto, para encontrar unabase de R3, basta añadir dos vectores que sean l.i. con n1.Por ejemplo, nos sirven e1 = (1,0,0) y e2 = (0,1,0) ya que la matriz

P =1 0 −5

0 1 130 0 2

tiene determinante distinto de cero17. Además, el producto de ambas matri-ces es una matriz mas sencilla que A.

A ·P =(1 −1 92 0 5

)·1 0 −5

0 1 130 0 2

=(1 −1 02 0 0

)

17Es regular y define un cambio de base a la canónica

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12. EJERCICIOS.

Ejercicio 1. En el esp. vect. de las matrices reales 2x2, M2(R), compruebasi las matrices siguientes(

2 4−1 0

),

(0 1−3 5

),

(4 71 −5

),

son l.d. o no. Calcula las e.p. y e.c. del espacio que generan.

Ejercicio 2. Prueba que el conjunto de las matrices 2x2 que conmutan con

A =(2 11 1

)es un subesp. vect. de V = M2(R). Calcula sus e.p. y e.c.

Ejercicio 3. Prueba que es un subesp. vect., el conjunto

U ={

p(x) ∈ Pol3(R) :∫ 1

0p(x)d x = 0

}Halla sus e.p. y sus e.c.

Las bases de los espacios de filas y de columnas de una matriz mxn sepueden ampliar hasta bases respectivas de K n y K m18. Así,

18Que dan cambios de base respecto a sus bases canónicas.

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Ejercicio 4. Transforma la matriz A, usando una base ampliada

A =(1 −1 92 0 5

)de su espacio de filas. Usa esta base para encontrar una factorización de A.

Ejercicio 5. Transforma la matriz A, usando una base ampliada

A =(1 −1 92 0 5

)de su espacio de columnas. Úsala para encontrar una factorización de A.

Ejercicio 6. Amplía el espacio nulo de A hasta una base de R3. Usa estabase y la del ejercicio anterior, para encontrar una factorización de A.

Ejercicio 7. Amplía el espacio nulo de la siguiente matriz, hasta una basede R3. 1 0 1

1 1 −11 0 1

Usa esta base y su espacio de columnas, para encontrar una factorización.

Ejercicio 8. Dados los subesp. vect.

U = {(a,b,c,d) ∈R4 : b + c + d = 0}

V = {(a,b,c,d) ∈R4 : a + b = 0; c = 2d}

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Calcula las e.p. y e.c. de los 4 subesp. U , V , U ∩V y U +V .

Ejercicio 9. Dado el subesp. vect.

U = {(a,b,c,d) ∈R4 : a + b + c = 0; c = 0}

Halla un otro subesp. vect. V <R4 tal que U ∩V = {0},

U +V = {(a,b,c,d) ∈R4 : a + b + c = 0}

Ejercicio 10. En el esp. vect. Pol3(R) se consideran los subesp. vect.

F1 ={

p(x) ∈ Pol3(R) : p(1) = 0}

F−1 ={

p(x) ∈ Pol3(R) : p(−1) = 0}

Calcula las e.p. y e.c. de los 4 subesp. F1, F−1, F1 ∩F−1 y F1 +F−1.

13. TEST DE REPASO.

Para comenzar el cuestionario pulsa el botón de inicio.Cuando termines pulsa el botón de finalizar.Para marcar una respuesta coloca el ratón en la letra correspondiente y pulsael botón de la izquierda (del ratón).

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1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Si multiplicamos un escalar por un vector nunca puede dar cero.(b) Si el producto de un escalar por un vector es cero, el escalar debe ser

cero.(c) Hay tantos múltiplos escalares de un vector, no nulo, como elementos

tiene el cuerpo.(d) En una c.l. se puede despejar cualquier vector implicado.

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) El vector cero es l.i.(b) Si {v1, . . . , vn} es l.i entonces {v1, . . . , vn , v} es l.i.(c) Si {v1, . . . , vn} es l.d. entonces {v1, . . . , vn , v} es l.d.(d) Un único vector siempre es l.i.

3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?.(a) Un conjunto de vectores l.i. minimal es una base.(b) Un s.g. maximal es una base.(c) Todo s.g. se puede ampliar hasta una base.(d) Toda base es un s.g. minimal.

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4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) De todo conjunto l.i. se puede extraer una base.(b) Todo conjunto l.i. es un s.g.(c) Toda base es un conjunto l.i. maximal.(d) Cualquier s.g. es l.i.

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Un esp. vect. finitamente generado tiene un número finito de bases.(b) Todo esp. vect. real, no nulo, tiene infinitas bases.(c) El espacio nulo tiene de base al vector cero.(d) El espacio nulo, {0}, puede tener cualquier dimensión.

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Un esp. vect. de dimensión uno tiene una única base.(b) Un esp. vect. de dimensión dos tiene dos bases.(c) Un sistema lineal de ecuaciones siempre define un esp. vect.(d) Un sistema lineal y homogéneo de ecuaciones siempre define un esp.

vect.

7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Todos los subesp. vect., no nulos, tienen unas e.p. y otras e.c.

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(b) El subespacio nulo, {0}, tiene e.p. pero no e.c.(c) El subespacio nulo, {0}, tiene e.c. pero no e.p.(d) El subesp. vect, total tiene e.c. pero no e.p.

8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) La suma de dos subesp. vect. se calcula juntando las e.c. de ambos.(b) La intersección de dos subesp. vect. se calcula juntando las bases de

ambos.(c) Para que exista la suma de dos subesp. vect. hace falta que tengan

una intersección no nula.(d) La intersección de dos subesp. vect. se calcula juntando las e.c. de

ambos.

9. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) La suma de dos subesp. vect. tiene de dimension la suma de sus

dimensiones.(b) La intersección de dos subesp. vect. tiene de dimension el mínimo

de las dos dimensiones.(c) La suma de dos subesp. vect. se calcula juntando las bases de ambos.(d) La suma de dos subesp. vect. tiene de dimension el máximo de las

dos dimensiones.

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10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) La unión de las bases de dos subesp. vect. es un conjunto l.i.(b) La intersección de las bases de dos subesp. vect. es una base de la

intersección.(c) Dados dos subesp. vect. siempre uno contiene al otro.(d) Si se juntan las bases de dos subesp. vect. se obtiene un s.g. del

espacio suma.

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¿cómo linealizar un problema?eaznar/matgeo/apuntes/esp_vectoriales.pdf · ejercicio 148 ejercicio...

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