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Cómo utilizar una frontera razonable para establecer
mecanismos de supervisión e incentivos en la
gestión hospitalaria
Diego Prior†
Jordi Surroca†‡
Universitat Autònoma de Barcelona
†Departament d’Economia de l’Empresa, Universitat Autònoma de Barcelona.
‡Correspondencia: Jordi Surroca, Departament d’Economia de l’Empresa, Universitat
Autònoma de Barcelona, Edifici B, 08193 Bellaterra (Barcelona), España. Tel: +34
935812257, fax: +34 935812555, e-mail: [email protected].
Cómo utilizar una frontera razonable para establecer
mecanismos de supervisión e incentivos en la
gestión hospitalaria
Resumen
En este trabajo estudiamos la fijación de objetivos en el marco de un esquema de remuneración por incentivos para los gerentes de hospitales. La remuneración de un gerente concreto se establece en función de las diferencias de resultados existentes entre el hospital al que éste pertenece y los hospitales más eficientes del sistema. Aceptada la necesidad de introducir semejante sistema de incentivos, queda por negociar entre la autoridad sanitaria y los gerentes de los hospitales cuáles son los objetivos que se deben alcanzar; en otras palabras, qué hospitales pueden servir de referencia para establecer los incentivos o cuál es la “frontera razonable”. La autoridad sanitaria estará interesada en que los objetivos estén muy próximos a su nivel potencial, mientras que los gerentes pueden desear metas más factibles. El resultado del proceso de negociación entre autoridad y gerentes es consensuar una frontera razonable a la cual no deben pertenecer hospitales inalcanzables. Precisamente, identificar esta frontera es el objetivo primordial del presente trabajo. La presencia de hospitales inalcanzables puede distorsionar el indicador de eficiencia, que es la base para el establecimiento de nuestro sistema de incentivos. Estos hospitales pueden asimilarse, en el contexto del análisis frontera, a observaciones extremas o influyentes. En el contexto no paramétrico de evaluación de eficiencia, los trabajos previos sobre identificación de observaciones influyentes presentan deficiencias las cuales pretendemos resolver. Así, proponemos un proceso iterativo que identificará la presencia de observaciones influyentes que inicialmente no formaban parte de la frontera. La exclusión de aquellas unidades más notoriamente influyentes ayudará a aflorar otras nuevas las cuales no necesariamente estaban en la frontera inicial.
2
1 Introducción
Cuando las organizaciones consumen un exceso de factores en la obtención de productos o
servicios, el proceso de producción es ineficiente y los costes están por encima de su nivel
mínimo. Existen varias razones de índole técnica que promueven la existencia de
ineficiencias: economías de escala, de gama y/o de diversificación, presencia de factores
que promueven congestión o un uso no óptimo de la capacidad instalada, entre otras.
Existen también otras fuentes de ineficiencia, basadas en el comportamiento de los
individuos, que dificultan la obtención del máximo nivel de eficiencia: la ausencia de
presión competitiva (Leibenstein, 1966), o los problemas de agencia generados en
situaciones de descentralización con información asimétrica (en este sentido, Laffont y
Tirole, 1986, perfilan cómo establecer esquemas de incentivos para regular organizaciones
descentralizadas).
En el sector público el análisis de la ineficiencia toma características propias. Así,
como indican Tullock (1965), Niskanen (1971, 1975) y Breton y Wintrobe (1975) entre
otros, la gestión burocrática puede crear incentivos adicionales para despilfarrar recursos,
no usarlos de forma óptima o también para producir en unas cantidades inadecuadas de
acuerdo con las necesidades existentes.
Concretando más en el sector que se analiza (hospitales españoles de la red de
asistencia pública), tal y como ponen de manifiesto Ventura y González (1998), entre los
años 1992 y 1997 el esquema que regulaba la relación entre la administración central (el
INSALUD) y cada hospital público que producía servicios sanitarios era el “contrato
programa”. De esta forma, cada año los hospitales negociaban separadamente los objetivos
3
de producción y los presupuestos que recibirían en el próximo ejercicio. Estábamos, por
tanto, delante de un sistema de remuneración prospectivo, cuyo funcionamiento pudiera
quedar desvirtuado por la tendencia hacia el ocultamiento de los niveles potenciales de
actividad que cada hospital sería capaz de mantener. De hecho, de acuerdo con las
conclusiones de Ventura y González (1998), la existencia de un “efecto ratchet” queda
totalmente confirmada al comprobar que, tomando una perspectiva dinámica, aquellos
hospitales que mejor cumplían sus objetivos de producción eran también los que
registraban un aumento superior en los objetivos del próximo periodo.
Dadas las anteriores consideraciones, el presente trabajo proporciona una
herramienta basada en el Análisis Envolvente de Datos que sirve para negociar el
establecimiento de objetivos de eficiencia y que contiene dos características esenciales: la
primera es que dichos objetivos están basados en la noción frontera de eficiencia técnica; es
decir, unos objetivos en los que se han controlado los factores de comportamiento que
induce ineficiencia. La segunda característica tiene que ver con la forma misma de
construcción de la frontera, así, aunque se persigue unos objetivos óptimos, también se
desea que dichos objetivos sean factibles e incontestables, es decir, conviene asegurarse de
que cualquier punto de la frontera es factible e independiente de la existencia o no de un
hospital concreto; en otros términos, la frontera que denominamos “razonable” es
estadísticamente independiente de cualquier unidad que pertenezca a ella. Precisamente,
esta segunda característica nos introduce en el ámbito de la detección de observaciones
influyentes y la medición de sus efectos sobre la eficiencia del resto de observaciones que
componen la muestra.
4
Los trabajos de Timmer (1971), Wilson y Jadlow (1982), Dusansky y Wilson (1994,
1995), Wilson (1995) y Pastor et al. (1999) son algunas aproximaciones a la problemática
de la identificación de observaciones influyentes en un contexto no paramétrico como el
que propone el DEA. Todas estas propuestas poseen un punto de partida común, que
nosotros compartimos; la eliminación de observaciones influyentes situadas en la frontera
produce cambios sustanciales en el parámetro a estimar −la eficiencia−, que son de menor
importancia con la eliminación de observaciones no influyentes de la frontera. Timmer
(1971) propone eliminar un porcentaje fijo de las observaciones que inicialmente se sitúan
en la frontera, para posteriormente explorar los cambios que dicha eliminación ha suscitado
en la estimación de un parámetro. Este proceso termina cuando la estimación de la
eficiencia se estabiliza. Wilson y Jadlow (1982) extienden el anterior modelo proponiendo
eliminar observaciones de la frontera sin especificar ningún criterio en este sentido. Al
igual que Timmer (1971), el proceso exploratorio se detiene al estabilizarse el parámetro.
Los modelos de Timmer (1971) y Wilson y Jadlow (1982) tienen una alta dosis de
subjetividad en la identificación de observaciones que potencialmente pueden ejercer una
influencia injustificada. Por ello, Dusansky y Wilson (1994, 1995) desarrollan una nueva
metodología basada en una clasificación de las observaciones atendiendo a su influencia,
determinada por la diferencia entre la eficiencia promedio de la muestra inicial y la
eficiencia promedio de la muestra si se excluye del análisis a la observación que se quiere
evaluar. Las observaciones con un ranking superior deberán ser investigadas, con el
objetivo de discernir si su influencia es importante o no y en el primero de los casos
proceder a su eliminación. La metodología, basada en el modelo de Banker et al. (1984), no
5
es sensible respecto a las observaciones eficientes (el modelo les asigna una puntuación
máxima igual a uno). Esta última característica es extensible a Pastor et al. (1999), aunque
la metodología propuesta es diferente. Ahora, la influencia de una observación se define
por la diferencia entre los índices de eficiencia del resto de observaciones de la muestra
bajo dos modelos DEA diferentes, el primero incluye en la evaluación a la observación en
cuestión y el segundo no. Posteriormente, un contraste estadístico no paramétrico sirve para
analizar si la influencia diagnosticada pertenece a un intervalo de tolerancia, situación en
que no se consideraría a dicha observación como una observación influyente. Wilson
(1995) resuelve el problema de la sensibilidad del análisis respecto a las observaciones
influyentes con la incorporación del modelo de Andersen y Petersen (1993) que excluye a
la observación cuya eficiencia se quiere calcular. El autor propone medir la influencia de
una observación r de la frontera sobre la base de tres elementos: el número de
observaciones cuya eficiencia cambia por la inclusión o no de r, el cambio promedio en la
eficiencia de las observaciones de la muestra por la eliminación de r, y el soporte para la
presencia de una frontera próxima a r (distancia entre r y la frontera que no la incluye). El
autor también propone un índice de importancia relativa de los efectos sobre la eficiencia
de la muestra de las observaciones en la frontera. La clasificación final de las observaciones
de la frontera equivale a una priorización de observaciones susceptibles de ser
posteriormente investigadas. El uso del modelo de Andersen y Petersen (1993) permite
incorporar la sensibilidad de las observaciones de la frontera, aunque con el coste de que
alguna de las medidas que Wilson (1995) propone no están definidas.
Todos los trabajos revisados tienen únicamente en consideración a las
observaciones de la frontera, excluyendo la posibilidad de que observaciones no situadas en
6
la frontera inicial sean igualmente influyentes. Si finalmente el investigador considera
oportuna la eliminación de las observaciones de mayor influencia, otras observaciones, que
no necesariamente definían la frontera inicial, pasarán a integrar el conjunto eficiente,
pudiendo ejercer de nuevo una influencia desproporcionada sobre la eficiencia del resto de
la muestra. Este problema de enmascaramiento (masking, en terminología anglosajona) ya
ha sido tratado anteriormente en un entorno paramétrico (Ezzamel y Mar-Molinero, 1990).
Por otro lado, los trabajos citados centran su atención en la identificación de observaciones
influyentes sin aportar directrices sobre el tratamiento de las mismas. La decisión del
investigador, fundamentada en un estudio individualizado de las observaciones priorizadas,
servirá de base para la elección de la muestra final.
El artículo está organizado del modo siguiente. Tras esta introducción, en la
siguiente sección presentamos la metodología que nos permite controlar y supervisar la
gestión hospitalaria. La Sección 3 recoge las variables y presenta los resultados obtenidos
de la aplicación del método propuesto. El artículo cierra con una síntesis de las principales
conclusiones obtenidas.
2 Relación de agencia en la gestión hospitalaria y Análisis
Envolvente de Datos
2.1 El problema de incentivos
En esta Sección, presentamos el problema económico al que se enfrentan las autoridades
sanitarias. Suponemos que un principal (la autoridad sanitaria) ha delegado a I agentes (los
7
gerentes de los hospitales), i , la tarea de transformación de los n recursos
productivos,
I,...,1=
( ) n+ℜi
nii xxx ∈= ,...,1 , en m productos hospitalarios, ( ) mi
mii yyy +ℜ∈= ,...,1 ,
( ) iin
ii yxxx →= ,...,1 [1]
En el marco de la relación de agencia, y dado que el agente tiene sus propios
intereses, el grado de consecución de los m productos, dada la utilización de los n recursos
productivos, dependerá del conflicto de intereses que emerge entre agente y principal, y de
la capacidad de los mecanismos de incentivos y control para evitar que las decisiones de los
gerentes resulten sesgadas hacia sus propios intereses.
Desgraciadamente, cuando intentamos valorar la gestión hospitalaria se plantea un
importante desafío que consiste en poder reunir la información necesaria para identificar la
función de transformación de recursos en productos y construir así la frontera de
posibilidades de producción. Por ejemplo, definamos la mencionada función de
transformación como ( ) iiii axy επ −⋅= , donde es el esfuerzo del agente, ia ( )ixπ el
producto por unidad de esfuerzo, cuando se emplean recursos, y recoge la
incertidumbre específica al agente i (Bogetoft, 1994). Si conocemos la frontera de
producción
ix iε
( )⋅π , es posible identificar el esfuerzo del agente i, a , como la relación entre el
producto total, , y el producto por unidad de esfuerzo cuando el consumo de recursos es
igual a ,
i
iy
ix ( )ixπ . En la literatura sobre Análisis Envolvente de Datos (Data Envelopment
Análisis, DEA, en inglés), la falta de información sobre a tecnología de producción se
supera mediante la construcción de una frontera empírica no paramétrica a partir de los
8
datos. No se requiere, por tanto, la imposición de una relación funcional que relacione las
variables independientes con las dependientes. A diferencia de las aproximaciones
paramétricas, que ajustan una línea de regresión para todos los datos, la resultados del DEA
son individualizados: cualquier modelo de análisis envolvente incluye I optimizaciones,
una para cada observación. Más concretamente, el DEA calcula un índice máximo de
eficiencia para cada observación (en nuestro caso, para cada agente o gestor de hospital) en
comparación con el resto de observaciones, con el único supuesto que cada una de ellas está
situada sobre la frontera extrema o por debajo de la misma y que el conjunto de pesos
obtenidos son posibles para cualquiera de las observaciones de la muestra. Las
observaciones que definen la frontera son Pareto-eficientes y el resto son indexadas de
acuerdo a una combinación convexa de las observaciones que definen el tramo (o tramos)
de la frontera más cercano(s), el denominado conjunto de referencia.
Para introducir las consideraciones sobre los incentivos, es preciso suponer que el
esfuerzo no es verificable y que supone un coste privado para el agente. Consecuentemente,
la decisión final sobre el esfuerzo es el resultado de la maximización de la utilidad
individual del agente, ( ) ( ) ( )iiiiiii avsuas −=,
i
U , que es la diferencia entre la utilidad que
le reporta su salario y la utilidad de reserva, s ( )ii av . Suponiendo que ambas funciones
tienen las propiedades adecuadas ( es creciente y cóncava y v también es creciente), la
solución a la maximización individual del agente i será . De modo que los niveles de
esfuerzo de los gerentes (agentes) de los I hospitales será
iu i
ia∗
( )Iaa ∗∗= ,...,1a∗ , que es el
equilibrio de Nash (véase Holmström, 1982).
9
Por otro lado, el problema del principal consiste en la identificación de los niveles
de esfuerzo que hacen máximo el bienestar, que es la suma de las utilidades de los I
agentes, . La solución al problema de maximización de la utilidad del
principal (la autoridad sanitaria) determina el nivel de esfuerzo Pareto-eficiente,
(∑=I
i
iii asUW , )
( )Ia ∗∗∗ ,...,1aa ∗∗∗ = . De modo que la diferencia entre la solución individual del agente y la
solución de óptimo social, ii a∗∗∗a , determina la importancia del problema de riesgo
moral.
Como no es posible observar los esfuerzos individuales de los agentes, y como no
conocemos la función de transformación de factores en productos, debemos aproximar el
problema de riesgo moral a través de las decisiones actuales de cada gerente en
comparación con las decisiones de los gerentes del resto de hospitales. La relación entre los
productos y el consumo actual de factores, ii xy , nos permite aproximar el esfuerzo del
agente i, . Mientras que el esfuerzo óptimo a podría aproximarse a través de la
relación entre el producto potencial que se obtendría si el agente aprovechase al máximo
todas las posibilidades de transformación de la tecnología,
ia∗ i∗∗
( )ixf , y el consumo actual de
recursos, relación que se puede cuantificar en ( ) if i xx . Por tanto, el problema de riesgo
moral en la provisión de esfuerzo por parte del agente podría aproximarse por
( ) iiiii yxfaaMH == ∗∗∗
1>i
, para un consumo dado de recursos productivos . De modo
que
ix
MH implica que el esfuerzo del agente i es subóptimo. Sin embargo, esta
aproximación también adolece de problemas, porque no disponemos de la información
necesaria para identificar la función de producción ( )ixf . En la siguiente Sección
10
presentamos la metodología DEA que nos puede ayudar a resolver este problema y
aproximar el problema de riesgo moral en la gestión hospitalaria.
2.2 Identificación de la frontera de esfuerzos eficientes con el Análisis
Envolvente de Datos
Para la descripción de la metodología DEA mantendremos la notación empleada en la
Sección anterior. La falta de información sobre la función de transformación de factores en
productos se soluciona en el Análisis Envolvente de Datos a partir de la construcción de un
conjunto de posibilidades de producción a través de los datos:
( )
=≥=≤≥= ∑∑∑===
IiyyxxyxT iI
i
iiI
i
iiI
i
i ,...,1,0,1,,:,111
λλλλ [2]
que es el conjunto convexo más pequeño que satisface la condición de libre disponibilidad
de factores y productos e incluye todas las observaciones. Este conjunto satisface
condiciones de convexidad y monotonicidad (véase Banker y Thrall, 1992).
A partir del anterior conjunto de posibilidades de producción, formulamos el
problema de medición de la relación entre el esfuerzo óptimo y el esfuerzo que resulta de la
maximización de la utilidad de cada agente a partir del siguiente programa lineal (Charnes
et al., 1978), que se resuelve I veces, una para cada agente:
11
,...,1;
,...,1; s.a
Max
1
1
,
nkxx
mjyy
a
k
I
i
iki
j
I
i
iji
=≤
=≥
=
∑
∑
=
=
∗∗
oo
ooo
oooo
λ
θλ
θλθ
[3]
donde el superíndice “ ” hace referencia al agente evaluado, que pertenece a I. La solución
al programa anterior, , representa la cantidad en que deben aumentar
proporcionalmente los m productos del hospital en cuestión para situarse en la frontera de
posibilidades de producción (o, en otros términos, la frontera de buenas prácticas en la
gestión de los intereses del principal). Por lo tanto, el hospital será eficiente únicamente si
. Los valores no negativos de identifican el conjunto de referencia de , esto
es, los hospitales dominantes de la frontera con las que
o
1* ≥oθ
1* =oθ *oλ o=i
o=i
o
se compara. Por ejemplo, si
está en la frontera, tendremos y , si o=i 1=ooλ 0=o
iλ ≠i , lo que dará lugar al vector de
ponderaciones . ( )0* =oλ ,...,0,1,0,...,0
La técnica DEA permite identificar un índice agregado de eficiencia cuyo valor es
igual al recíproco del escalar que soluciona el programa [3], 1* ≤oθ1 . Este índice permite
valorar en términos relativos la contribución de cada OI a la maximización de la misión o,
en otras palabras, mide la habilidad para producir el mayor volumen posible de outputs
( )im
i yy ,...,1 a partir de unas dotaciones fijas de factores ( )inx,...,ix1 , dadas las posibilidades
de transformación de la tecnología.
La medida *iθ1 nos permite valorar, en términos relativos, la gestión que el
gerente hace de los recursos para obtener los productos que interesan al principal.
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Consecuentemente, la ineficiencia atribuible a una gestión subóptima de los recursos se
mide a través de la distancia que separa a las decisiones actuales de un hospital particular
de aquéllas que la situarían en la frontera de buenas prácticas, distancia que se cuantifica en
( ) 11 *iθ− .
Siguiendo a Bogetoft (1994), para estimar el esfuerzo del agente i es conveniente
basarse en la producción de los agentes de todos los hospitales a excepción del agente
evaluado. En otras palabras, para estimar la diferencia que separa al esfuerzo del agente i
del esfuerzo óptimo, construimos una frontera en la que no está incluido i. La racionalidad
de esta medida se justifica por el hecho de que estamos aproximando el esfuerzo eficiente a
través de una tecnología común construida a partir de los datos. Los agentes cuyas
decisiones sitúen a su hospital sobre la frontera de posibilidades de producción obtendrían
una eficiencia 1* =oθ1 y, por tanto, serían indistinguibles. La ventaja no utilizar la
información sobre el agente i para estimar la frontera con la que éste se compara es que así
podemos ordenar también los hospitales eficientes.
Para introducir la variación propuesta por Bogetoft (1994), considérese una
modificación del programa [3] propuesta por Andersen y Petersen (1993):
,...,1;ˆ
,...,1;ˆˆ s.a
ˆ Maxˆ
1
1
ˆ,ˆ
nkxx
mjyy
a
k
I
ii
iki
j
I
ii
iji
=≤
=≥
=
∑
∑
≠=
≠=
∗∗
o
o
o
oo
o
o
oooo
λ
θλ
θλθ
[4]
13
Como se puede observar, el programa anterior presenta una estructura similar a [3]
con la única excepción de que, para construir el conjunto de posibilidades de producción,
no tenemos en cuenta las decisiones del agente evaluado o=i . Con esta modificación, el
índice no está censurado en 1, sino que ahora un hospital eficiente puede tener valores
inferiores a la unidad, . Si este es caso, se puede interpretar como la cantidad
que el hospital podría reducir proporcionalmente todos sus productos, manteniendo su nivel
de consumo de recursos productivos, y seguir siendo eficiente. Por otro lado, podemos
constatar cómo las observaciones por debajo de la frontera tienen un índice idéntico al
que se obtiene con el programa [3], esto es, (Andersen y Petersen, 1993).
Consecuentemente, el producto potencial que debería producir el hospital para
situarse en la frontera sería .
*ˆoθ
1ˆ * <oθ
o ⋅θ̂
*ˆoθ
oθ
*ˆoθ
*ˆ oθ=∗
o=i
oy
Consecuentemente, podemos aproximar el problema de riesgo moral del agente i, de
un modo similar a Bogetoft (1994: p.962),
( ) ii
ii
i
i
iii
yy
yxf
aaMH θθ ˆˆ
=⋅=== ∗
∗∗
[5]
de modo que el principal podría introducir un sistema de incentivos en función de la
distancia que separa las decisiones actuales del agente i de la frontera de posibilidades de
producción que no contiene al agente evaluado: ( )ii gs θ̂=
is
. Es más, como demuestra
Holmström (1982), el principal podría introducir un sistema de incentivos discontinuo tal
que el agente obtendría una remuneración igual a , cuando el agente se sitúa sobre la
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frontera o por encima de la misma (estamos en orientación a los productos), y una
remuneración igual a cero, cuando las decisiones del agente sitúan al hospital por debajo de
la frontera de posibilidades de producción.
2.3 Identificación de la frontera razonable
El sistema de incentivos que hemos definido remunera a los agentes en función de la
distancia que separa a sus decisiones actuales de las decisiones que situarían al hospital que
gestionan sobre una frontera que no le incluye. No obstante, pueden pertenecer a esta
frontera de comparación hospitales difícilmente alcanzables, ya sea por diferencias de
tecnología, porque operan en ámbitos territoriales diferentes o, simplemente, porque los
datos utilizados para aproximar los niveles de esfuerzo del agente contienen errores.
Considerando sin más estos hospitales, corremos el riesgo de diagnosticar como esfuerzo
subóptimo desviaciones respecto a una frontera inalcanzable, y esto podría tener un efecto
perverso sobre los incentivos del agente; anticipando que no puede alcanzar los objetivos
de esfuerzo definidos por el principal, el agente acaba esforzándose poco.
Sin embargo, aceptando la necesidad de la introducción de semejante sistema para
limitar el problema de riesgo moral, la autoridad sanitaria y los gerentes de hospitales
pueden negociar cuáles son los niveles de esfuerzo relevantes para la fijación del
mencionado sistema de incentivos, esto es, qué hospitales pueden servir de referencia para
establecer los incentivos o cuál es la “frontera razonable”. La autoridad sanitaria estará
interesada en que los objetivos estén muy próximos a su nivel potencial definido por la
mencionada función de transformación, mientras que los gerentes pueden desear metas más
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factibles. El resultado del proceso de negociación entre principal y agente consiste en
consensuar una frontera razonable a la cual no deben pertenecer hospitales inalcanzables.
Como se ha comentado previamente, la presencia de hospitales inalcanzables puede
distorsionar el indicador de esfuerzo óptimo, que es la base para el establecimiento de
nuestro sistema de incentivos. Estos hospitales pueden asimilarse, en el contexto del
análisis frontera, a observaciones extremas o influyentes. De hecho, valores de muy
pequeños indican que nos encontramos delante una observación atípica para la que no
existe una frontera cercana. En otras palabras, el hospital en cuestión podría reducir
sustancialmente sus productos, manteniendo fijo su consumo de recursos, y aún así
continuar siendo eficiente. Como apunta Wilson (1995), el resultado de la aplicación de la
modificación de Andersen y Petersen (1993), el denominado índice , puede constituir
una técnica de diagnóstico de la presencia de observaciones inalcanzables.
*ˆ iθ
*ˆ iθ
La noción de observación influyente constituye nuestro punto de partida para la
identificación de los hospitales inalcanzables (véase Timmer, 1971, Wilson y Jadlow, 1982,
Dusansky y Wilson, 1994, 1995, Wilson, 1995, y Pastor et al., 1999). Como sugiere esta
literatura (por ejemplo, Dusansky y Wilson, 1994), la eliminación de una observación
influyente de la frontera ocasiona un cambio en la eficiencia del resto de la muestra, que es
superior al cambio ocasionado por la eliminación de una observación no influyente. Esta
interpretación del concepto de observación influyente hace posible un constaste estadístico
(Banker, 1993, Simar, 1996, y Simar y Wilson, 1998).
Basándonos en lo anteriormente expuesto, proponemos un proceso iterativo de
evaluación de la eficiencia (en nuestro caso, el esfuerzo óptimo del agente) que consiste en
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identificar si la eliminación de la observación que ocupa el primer puesto en el ranking de
eficiencia del programa de Andersen y Petersen (1993) tiene un efecto sobre la distribución
del resto de la muestra. Así, primero, evaluamos a todos los hospitales con el programa [4]
e identificamos aquel hospital cuyo índice es inferior. El valor de indica que el
hospital i es la observación eficiente que tiene una frontera más alejada y, por consiguiente,
su eliminación conllevaría el mayor desplazamiento posible de la mencionada frontera. Lo
anterior nos sirve para conjeturar que el hospital i es la observación que ejerce una mayor
influencia sobre los indicadores de esfuerzo del resto de la muestra y, por tanto, queremos
identificar si la exclusión de i tiene un efecto estadísticamente significativo sobre la
eficiencia del resto de hospitales. En caso afirmativo, constatamos que el hospital i no
puede ser incluido en un sistema de incentivos para los gerentes, pues no es alcanzable. La
decisión de no considerar a dicho hospital en el proceso de fijación de incentivos permite a
la autoridad sanitaria ganar grados de libertad en el proceso de negociación con los gerentes
y facilita la consecución de un acuerdo.
*ˆ iθ *ˆ iθ
Supongamos que, aplicando el programa [4], el hospital r, ( )Ir ,...,1∈ , ha obtenido
el mínimo índice de eficiencia .*ˆ iθ 1 Para el diagnóstico de la influencia del mencionado
hospital ahora computamos de nuevo la eficiencia de cada hospital eliminando a r de la
muestra, lo que es equivalente a resolver el siguiente programa:
1 Si la orientación del programa [4] fuese hacia la minimización de los factores, elegiríamos el hospital
con un mayor índice de eficiencia, pues en este caso, las observaciones eficientes tendrían unos índices
superiores a la unidad y las ineficientes, un índice inferior a uno.
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,...,1;ˆ
,...,1;ˆˆ s.a
ˆ Maxˆ
,1
,1
ˆ,ˆ
nkxx
mjyy
a
k
I
rii
iki
jr
I
rii
iji
rr
=≤
=≥
=
∑
∑
≠=
−
≠=
−∗∗−
o
o
o
oo
o
o
oo
oo
λ
θλ
θλθ
[6]
Donde el subíndice “ r− ” indica que no se incluye la observación r en la muestra. Para
identificar la influencia de r, comparamos los índices de eficiencia que se obtienen con la
aplicación del programa [4] a la muestra total, pero sin tener en cuenta el índice
correspondiente a r, ( )**1*1*1 ˆ,...,ˆ,ˆ,...,ˆ Irr θθθθ +−=*θ̂ , y los índices obtenidos aplicando el
programa [6] a la muestra que no incluye a la observación r, ( )∗−∗−
∗− = I
rrr θθθ ˆ,...,ˆˆ 1 . Por
consiguiente, definiremos a r como una observación influyente si la distribución de
( )*ˆ Iθ* ,...,1*1*1* ˆ,ˆ,...,ˆˆ rr θθθθ +−= es estadísticamente diferente a la distribución de
( )∗−∗−
∗− = I
rrr θθθ ˆ,...,ˆˆ 1
( rri 1,1,...,1 +−=
. En este caso, r es eliminada definitivamente de la muestra y repetimos
de nuevo el proceso. Ahora aplicamos el programa [4] sobre la muestra que ya no incluye a
r, , e identificamos la siguiente observación con menor , que
supondremos que es el hospital s,
)I,..., *ˆ iθ
( )Is ,...,1∈ . Posteriormente, calculamos la eficiencia con
el programa [6] de la muestra sin incluir a s, observación cuya influencia estamos ahora
evaluando, ( Iss ,...,1,1,...,1 )r,1ri ,...,1 +−+−= . Para diagnosticar si r es una observación
influyente, contrastamos si la exclusión de s ocasiona un cambio estadísticamente
significativo en la distribución de la eficiencia del resto de observaciones. Este proceso
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iterativo concluye cuando no podemos rechazar la hipótesis nula de igualdad de
distribuciones.
El diagnóstico sobre la influencia de las observaciones está, por tanto, basado en la
identificación de cambios estadísticamente significativos en la distribución de nuestro
parámetro . Así, estamos suponiendo que los datos pueden tener errores y que,
consecuentemente, la medida de eficiencia del Análisis Envolvente de Datos es una
variable aleatoria con una distribución de probabilidad F (Banker, 1993).
*θ̂
2
Varios tests se han utilizado en la literatura sobre DEA para contrastar hipótesis
sobre la distribución de la eficiencia. En general, la literatura se ha decantado por el test de
Wilcoxon-Mann-Whitney Rank Sum para comparar las fronteras de dos diferentes tipos de
DMUs. Por ejemplo, Valdmanis (1992) utiliza este test para comparar la eficiencia de los
hospitales públicos y los privados, encontrando que los primeros son técnicamente más
eficientes en 7 de las 10 especificaciones de variables utilizadas. Sin embargo, en otros
trabajos se utilizan otros contrastes estadísticos. En este sentido, Giokas (2001) evalúa si
los hospitales griegos están en rendimientos constantes o en rendimientos variables a
escala, utilizando para dicha comparación los tests de Banker (1993) y el test no
paramétrico de Kolmogorov-Smirnov. No obstante, como argumenta Kittelsen (1993),
debemos aplicar el Wilcoxon Signed-Rank Test cuando las dos medidas de eficiencia están
calculadas para las mismas DMUs.3
2 Sin este supuesto carecería de sentido la utilización de métodos estadísticos. 3 Pero si los modelos están anidados, este test no es significativo porque el signo de cualquier cambio en la
eficiencia es el mismo para todas las unidades. Para modelos anidados se puede calcular los coeficientes de
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En nuestro caso, utilizamos el estadístico no paramétrico para muestras relacionadas
de Wilcoxon (matched-pairs) Signed Rank Test. La utilización de este test está justificada
en nuestro contexto porque, en primer lugar, no podemos hacer supuestos sobre la
distribución de la eficiencia calculada como en el programa [4], pues los fundamentos
estadísticos del Análisis Envolvente de Datos están circunscritos a los programas de
Charnes et al. (1978) y Banker et al. (1984). En segundo lugar, tampoco podemos utilizar
un test para muestras no relacionadas como el de Kruskal-Wallis, ya que la misma unidad
experimental es miembro de las dos poblaciones en estudio.
El test de Wilcoxon contrasta si dos distribuciones de probabilidad difieren en su
mediana calculando el siguiente estadístico:
( )
( ) ( )24
1214
1
+⋅+⋅
+⋅−
=+
nnn
nnTz [7]
Donde n es el número de observaciones de la muestra, que en nuestro caso variará con las
iteraciones. En la primera iteración 1−= In , que corresponde a la muestra total sin
considerar a la observación r, cuya influencia intentamos diagnosticar en esta iteración. Por
otro lado, T es el mínimo de dos valores, la suma de rangos positivos y la suma de rangos
negativos. Para calcular estos rangos, primero se calcula la diferencia entre
+
correlación de Pearsons o de Spearman, que reflejarán el cambio de ordenación de las unidades en función del
indicador de eficiencia.
20
( )**1*1*1* ˆ,...,ˆ,ˆ,...,ˆˆ Irr θθθθθ +−= y ( )∗−∗−
∗− = I
rrr θθθ ˆ,...,ˆˆ 1 , ordenando los valores absolutos de
dichas diferencias. Asignamos el rango 1 a la menor diferencia y n a la mayor diferencia.4
Finalmente, para obtener los rangos positivos (negativos) sumamos los rangos cuando las
diferencias son positivas (negativas). La hipótesis nula es que la distribución de
probabilidad de y es idéntica. Si z toma valores inferiores a *θ̂ ∗−rθ̂ 2αz− o superior a 2αz ,
podremos rechazar la hipótesis nula.
( )ir
i g −= θ̂
El hospital r es una observación influyente cuando rechazamos la hipótesis nula. En
este caso, r no debe considerarse como una referencia a la hora de diseñar un sistema de
incentivos para motivar a los gerentes del Sistema Nacional de Salud. El resultado de la
eliminación sucesiva de las observaciones influyentes es la denominada frontera razonable,
que es mucho más fácil de consensuar entre la autoridad sanitaria y los gerentes de los
hospitales porque plantea unos objetivos razonables. El sistema de incentivos remunerará a
los gestores en función de la distancia que separa las decisiones actuales del agente en
cuestión de la frontera razonable: s . Además, cambios ocasionados sobre las
observaciones de la nueva frontera, o la eliminación ulterior de alguna de ellas, no tendrán
efectos significativos sobre la eficiencia del resto de la muestra, por la presencia de
observaciones cercanas.
4 Si hay diferencias iguales, se asigna el promedio de los rangos que se hubiesen asignado.
21
3 Definición de variables, aplicación y resultados
La muestra de hospitales analizados y las variables representativas de niveles de producción
y de factores consumidos han sido tomadas de la encuesta EESRI que contiene información
de los hospitales trabajando en el sistema público de salud. 5 No se incluyeron hospitales
especializados ni de larga estancia para considerar únicamente hospitales generales, más
concretamente, se tomaron 137 hospitales generales con más de 200 camas.
Como indica Murray (1992), si en la selección de variables estamos interesados en
determinar el impacto final de los servicios hospitalarios, existen razones suficientes para
preferir variables de resultado final (outcome) (por ejemplo, el número de pacientes
tratados ponderados por los correspondientes pesos de la clasificación de Group Diagnostic
Related) en vez de indicadores de actividad (throughput), como el número de días de
internamiento en el hospital o el número de casos tratados. Desgraciadamente, nuestra base
de datos no contiene la información requerida y nos concentramos en la evaluación de la
actividad de los hospitales más que en los resultados de la actividad hospitalaria en
términos de producción de salud.6 De acuerdo con Chillingerian y Sherman (1990), nuestra
aplicación se concentra en la eficiencia de la gestión hospitalaria, pero el análisis puede ser
5 Estadística de Establecimientos Sanitarios con Régimen de Internado, año 1995. Ministerio de Sanidad y
Consumo. 6 Para verificar el impacto de los resultados cuando se consideran tanto variables de throughput como
de outcome en la evaluación de los hospitales españoles, contamos con una muy detallada investigación
(véase Calzado, García, Laffarga y Larrán, 1998), la cual señala las diferencias que se deducen de la
especificación de diferentes variables.
22
extendido hasta la eficiencia del personal médico en la producción de servicios sanitarios
(el valor de la salud añadida a los pacientes).
En conclusión, la definición final de las variables de producto queda de la siguiente
manera:
y1: Número total de altas, número de altas asignadas a medicina interna, especialidades
médicas, cirugía general y digestiva, traumatología, obstetricia y ginecología.
y2: Número total de estancias, número de estancias asignadas a medicina interna,
especialidades médicas, cirugía general y digestiva, traumatología, obstetricia y
ginecología.
y3: Número total de consultas externas, asistencia médica de pacientes externos para el
diagnóstico, el tratamiento y el seguimiento de los casos clínicos.
Por su parte, los recursos productivos considerados son:
x1: Personal médico y otros titulares superiores, personal médico ponderado a 40 horas
semanales de los distintos servicios del hospital, médicos de guardia, farmacéuticos y
otros titulares superiores.
x2: Otro personal, Ayudantes técnicos sanitarios y diplomados en enfermería,
fisioterapeutas, técnicos sanitarios y auxiliares de clínica, personal directivo y de
administración, administrativos y otros titulares de grado medio..
x3: Camas: Número de camas del hospital, como un indicador global del input capital y
representativo del volumen de inversión en edificaciones, instalaciones complejas ...
Creemos sin embargo que otras variables, como el nivel de inversión de los
hospitales, serían más apropiadas que el número de camas para medir el factor capital
físico; sin embargo, la falta de información fiable nos ha impedido su utilización.
x4: Consumos externos, compras de fármacos específicos, de material sanitario de consumo,
de comestibles y bebidas, de instrumental y pequeño utillaje sanitario, de ropa, de
material de consumo y reposición.
23
La Tabla 1 recoge los resultados de la aplicación de la metodología propuesta a la
muestra de hospitales especificada. Las cinco primeras columnas incluyen la información
necesaria para aplicar el método que se propone en la determinación de la frontera
razonable; las cinco columnas siguientes corresponden a los cálculos necesarios para
aplicar el método de Wilson (1995). Finalmente, las tres últimas columnas señalan si las
unidades analizadas son tomadas como unidades extremas de acuerdo con el método de
Wilson (en dos de los criterios) y la última columna se refiere a la decisión que tomaríamos
de acuerdo con el proceso propuesto en este documento.
[Tabla 1]
En la primera fila presentamos los valores que corresponden a la comprobación del
hospital número 22 (H22) como unidad extrema influyente. De acuerdo con el primer
criterio de Wilson este hospital es una unidad extrema porque, de acuerdo con el criterio de
supereficiencia de Andersen y Petersen (1993), la frontera únicamente puede llegar a
producir el 45,92 % de sus outputs. De igual forma, al eliminar este hospital del análisis el
valor promedio de los niveles de eficiencia pasan del 110,66 % al 110,43 %, movimiento
que es estadísticamente significativo de acuerdo con el test de Wilcoxon con un nivel de
significación del 1%. Tomando los resultados de la propuesta de Wilson, observamos
también que según dos de los criterios este hospital sería el segundo en el ranking de
observaciones extremas, de forma que en este caso existiría una total coincidencia entre el
proceso iterativo que proponemos y el método de Wilson.
24
Sin embargo, las divergencias entre ambos criterios comienzan a hacerse patentes a
partir de la etapa número 3. En efecto, el hospital número 75 es una observación extrema
para la cual el test de Wilcoxon confirma que también es influyente, pero si nos fijamos en
la penúltima columna, dicho hospital nunca sería considerado influyente porque, de
acuerdo con los procesos no iterativos de Wilson, su presencia afectaría solamente a un
único hospital. En el proceso iterativo, sin embargo, el hospital H75 aparece con un mayor
nivel de influencia, de acuerdo con el ya comentado test de Wilcoxon. De igual forma, en la
etapa 10 comprobamos que el hospital H19 puede ser calificado de extremo e influyente
según nuestro proceso iterativo, pero, sin embargo, nunca lo sería de acuerdo con
cualquiera de los procedimientos de Wilson. Los problemas de data-masking comentados
anteriormente aparecen a partir de la etapa número 11 y se presentan también en las etapas
números 12, 15 y 17, poniendo en evidencia cómo los hospitales H87, H23, H35 y H64 son
unidades extremas e influyentes a la vez, pero cuya importancia queda enmascarada por la
presencia de otras aún más extremas que ellas. Esta es, precisamente, la mayor debilidad
del método de Wilson 1995, dada su total incapacidad para detectar unidades extremas muy
influyentes inicialmente enmascaradas porque otras unidades aún más extremas impedían
detectarla. En este sentido, el proceso iterativo se revela como una herramienta
especialmente eficaz para detectar estos casos, para los cuales existe el riesgo de quedar
ocultos para el analista.
La Tabla 1 aporta también ejemplos de casos donde justamente la situación es la
contraria, es decir, unos hospitales que son aparentemente extremos e influyentes de
acuerdo con el método de una etapa de Wilson no serían necesariamente influyentes según
el proceso iterativo porque, neutralizados los hospitales precedentes con mayor nivel de
25
influencia, el nivel de eficiencia promedio deja de ser sensible a la presencia de un hospital
concreto, este sería el caso de los hospitales H27 y H30.
En conclusión, la Tabla 1 muestra bien a las claras las ventajas adicionales de la
utilización del proceso iterativo y de las limitaciones del uso de criterios similares a los de
Wilson, especialmente cuando se aplica en muestras en las cuales está latente el fenómeno
de data-masking.
4 Conclusiones
El objetivo de este trabajo ha sido la presentación de una metodología de evaluación de la
eficiencia que puede utilizarse para calibrar la contribución de los gerentes de hospitales a
la maximización de los productos definidos por la autoridad sanitaria. En el marco de una
relación de agencia, y dado que el agente (el gerente de cada hospital) tiene sus propios
intereses, el grado de consecución de los productos dependerá del conflicto de intereses que
emerge entre agente y principal (la autoridad sanitaria), y de la capacidad de los
mecanismos de incentivos y control para evitar que las decisiones de los gerentes resulten
sesgadas hacia sus propios intereses. Como no es posible observar los esfuerzos
individuales de los agentes, y como desconocemos la función de transformación de factores
en productos, en este trabajo aproximamos el problema de riesgo moral en la provisión de
esfuerzo por parte del agente a través de la relación entre el producto potencial y el
producto real. Precisamente, las técnicas de Análisis Envolvente de Datos (siglas DEA, en
inglés) están bien situadas para identificar el producto potencial que el hospital obtendría si
el agente aprovechase al máximo todas las posibilidades que ofrece la tecnología, dados los
26
recursos productivos. Concretamente, el DEA construye una frontera de posibilidades de
producción a partir de los datos definida por los hospitales que producen el mayor volumen
posible de productos con los recursos disponibles.
Los hospitales que definen la frontera son, en nuestro contexto de estudio, aquéllos
en que el problema de riesgo moral es menos importante y, consecuentemente, constituirán
los objetivos (o targets) que permiten evaluar la gestión de los gerentes del resto de
hospitales. No obstante, la presencia de hospitales inalcanzables puede distorsionar el
indicador de eficiencia, ocasionando un efecto perverso sobre el esfuerzo de los gerentes si
mantenemos a dichos hospitales como referentes para la evaluación del desempeño. Para
resolver este problema, proponemos un proceso iterativo que identifica a los hospitales
inalcanzables, las denominadas observaciones influyentes. En un contexto de negociación
entre autoridad sanitaria y gerentes, la eliminación de estos referentes inalcanzables facilita
la consecución de un acuerdo sobre el sistema de remuneración.
Partiendo de una definición aceptada de observación influyente, nuestra propuesta
extiende aportaciones anteriores para la identificación de observaciones influyentes (en
particular, la de Wilson, 1995). A través de un proceso iterativo es posible ampliar el
análisis de la influencia a observaciones que inicialmente no se situaban en la frontera. La
exclusión de aquellas observaciones más notoriamente influyentes hace emerger la
influencia de otras nuevas que estaban enmascaradas. Respecto al trabajo de Wilson (1995),
la metodología que proponemos trabaja a partir de una modificación de Charnes et al.
(1978), que es el equivalente en rendimientos constantes a escala del programa de Andersen
y Petersen (1993). Con ello, eliminamos la posibilidad de que alguna observación tenga un
índice de eficiencia no definido.
27
En nuestra aplicación a una muestra de 137 hospitales integrados en el Sistema
Nacional de Salud, diagnosticamos la presencia de 18 observaciones influyentes, que han
sido excluidas de la frontera y, por ello, no deberían considerarse para valorar la gestión de
los gerentes. Además, podemos constatar cómo propuestas anteriores, como la de Wilson
(1995), no detectan aproximadamente un 10 por ciento de observaciones que, siendo muy
influyentes, inicialmente eran calificadas como ineficientes, pues quedaban enmascaradas
por otras. El resultado del proceso iterativo es la identificación de una frontera razonable
constituida por 26 hospitales.
28
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31
Tabla 1. Observaciones influyentes
PROCESO ITERATIVO WILSON DECISIÓN
Iteración Hospital
potencialmente influyente
Eficiencia Andersen-Petersen (RCE)
Eficiencia promedio de la muestra con r
Z de Wilcoxon
Hospital potencialmente
influyente
Eficiencia Andersen-Petersen (RVE)
Nº DMUs que cambian su eficiencia al
eliminar j
Suma de los cambios de eficiencia dividido por nº observaciones
Cambio total de la
eficiencia Wilson Nuestro
criterio
Ranking r *ˆ iθ
( )*ˆ iE θ Z j *jα Ijn ∈
j
jss
ssj
jn
)( **∑≠
−
=∂
αα
*jα jjn ∂×*
Eliminada
0 H22 45.92% 110.66% -3.920*** H22 43.14% 17 4.42% 75.15% 2 2 Sí1 H20 57.31% 110.43% -3.296*** H20 grande 11 2.10% 29.36% 1 6 Sí2 H25 71.29% 110.45% -2.366** H25 78.26% 11 1.27% 13.94% 6 15 Sí3 H75 75.91% 110.73% -2.366** H75 78.93% 1 0.00% 0.00% 8 37 Sí4 H98 80.60% 110.61% -2.934*** H98 72.50% 24 0.84% 20.14% 4 11 Sí5 H31 66.99% 110.59% -4.457*** H31 88.07% 16 0.35% 5.53% 17 22 Sí6 H107 79.64% 110.66% -3.703*** H107 73.88% 10 1.37% 13.68% 5 16 Sí7 H104 78.10% 110.67% -4.107*** H104 84.07% 7 1.21% 8.45% 11 17 Sí8 H28 83.44% 110.73% -7.106*** H28 86.20% 48 1.05% 50.20% 15 4 Sí9 H47 74.87% 110.07% -9.103*** H47 82.46% 57 1.58% 89.90% 10 1 Sí
10 H19 83.30% 107.89% -4.457*** H19 99.59% 3 0.15% 0.44% 33 32 Sí11 H87 84.83% 107.73% -3.351*** Sí12 H23 84.24% 107.54% -2.429** Sí13 H26 87.20% 107.67% -4.372*** H26 98.02% 3 0.25% 0.75% 27 28 Sí14 H50 87.76% 107.59% -1.753* H50 grande 2 0.00% 0.00% 1 37 Sí15 H35 87.99% 107.71% -6.144*** Sí16 H3 88.98% 107.45% -3.408*** H3 84.53% 26 1.30% 33.76% 12 5 Sí17 H64 87.73% 107.34% -2.666*** Sí18 H82 88.93% 107.38% -1.604 No
.).( *
*
dnnn
n
jj
jj
+=
∂×
***/**/* Se puede rechazar la hipótesis nula al 1%/5%/10%.
32
Tabla 1. Continuación
PROCESO ITERATIVO WILSON DECISIÓN
Iteración Hospital
potencialmente influyente
Eficiencia Andersen-Petersen (RCE)
Eficiencia promedio de la muestra con r
Z de WilcoxonHospital
potencialmente influyente
Eficiencia Andersen-Petersen (RVE)
Nº DMUs que cambian su eficiencia al
eliminar j
Suma de los cambios de eficiencia
dividido por nº observaciones
Cambio total de la
eficiencia Wilson Nuestro
criterio
Ranking r *ˆ iθ
( )*ˆ iE θ Z j
*jα Sjn ∈
j
jss
ssj
jn
)( **∑≠
−
=∂
αα
*jα jjn ∂×*
Eliminada
H17 99.82% 1 0.00% 0.00% 36 36 NoH27 78.32% 33 0.75% 24.64% 7 9 NoH33 99.80% 3 0.22% 0.65% 35 29 NoH30 80.42% 42 1.70% 71.37% 9 3 No
H118 68.92% 7 1.05% 7.34% 3 18 NoH95 96.10% 39 0.64% 24.88% 25 8 NoH51 89.32% 7 0.40% 2.82% 18 26 No
H119 92.51% 1 0.60% 0.60% 21 30 NoH37 96.00% 21 0.75% 15.84% 24 13 NoH18 92.53% 14 0.42% 5.93% 22 21 NoH16 98.56% 13 0.22% 2.92% 29 25 NoH21 98.23% 11 0.31% 3.40% 28 24 NoH24 99.63% 6 0.09% 0.51% 34 31 NoH46 93.88% 4 0.92% 3.66% 23 23 NoH48 99.37% 7 0.06% 0.39% 32 33 NoH68 85.93% 5 4.41% 22.03% 14 10 NoH74 90.64% 4 1.66% 6.63% 19 19 No
H110 98.83% 4 0.07% 0.26% 30 34 NoH111 99.96% 3 0.01% 0.04% 37 35 NoH113 96.93% 3 0.27% 0.82% 26 27 NoH114 85.10% 38 0.48% 18.29% 13 12 NoH121 98.88% 33 0.18% 6.08% 31 20 NoH122 87.69% 17 1.69% 28.65% 16 7 NoH133 91.49% 18 0.79% 14.16% 20 14 No
.).( *
*
dnnn
n
jj
jj
+=
∂×
33
34