co je diferenciální počet?
DESCRIPTION
Jedna z nejjednodušších základních definic ve fyzice je zavedení průměrné rychlosti :. Zavést rychlost okamžitou je ale mnohem těžší. Jak na to?. Co je diferenciální počet?. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Co je diferenciální počet?
V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU GPL (www.gnu.org).
Jedna z nejjednodušších základních definic ve fyzice je zavedení průměrné rychlosti :
celkový
celková
t
sV
Zavést rychlost okamžitou je ale mnohem těžší. Jak na to?
11, ts
22 , ts
Co je diferenciální počet?
11, ts
22 , ts
Zjednodušme si život uvažováním pouze přímočarého pohybu (resp. pohybu pouze v jedné souřadné ose – složce vektoru). Potom dostaneme průměrnou rychlost vztahem :
21
21
ttss
V
O přesné rychlosti v obou bodech či mezi nimi toho ale mnoho nevíme. Trochu si pomůžeme, dáme-li body blíže k sobě:
11, ts
33 , ts
31
31
ttss
V
Tím jsme odhad okamžité rychlosti v bodě s1 trochu zlepšili, ale ne o moc.
Co je diferenciální počet?
Můžeme obě polohy přiblížit ještě více
41
41
ttss
V
a ještě více
51
51
ttss
V
a tak odhad dále zpřesňovat. Ovšem nelze dát oba body na trajektorii totožné, neboť bychom dělili nulou. Jak z toho tedy vybruslit?
11, ts
44 , ts
11, ts
55 , ts
Definice okamžité rychlosti
Okamžitá rychlost je definována jako limita
ttss
tvtt
0
00 lim
0
)(
Tato definice má smysl, neboť z matematického hlediska je poloha tělesa funkce času. Funkce je spojitá a nemá ostré zlomy (Newtonova mechanika nepočítá s transportními paprsky ze Star Treku ani s nekonečně velkými zrychleními) a tato limita musí vždy existovat. Limita typu
xxxfxf
xx
0
0 )()(lim
0
se nazývá derivace a má mnoho praktických aplikací, zejména ve fyzice a technice (pro obecné funkce samozřejmě existovat nemusí).
Směrnice tečny
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
12345678
11109
16 17
Mějme funkci y = f(x) a zkonstruujme k ní tečnu v bodě x = 8. Jak na to? Tečna je přímka, jež lze zapsat ve směrnicovém tvaru jako p(x) = k.x + q . Zkonstruovat tečnu tedy znamená určit koeficienty k a q. Pokud zjistíme k (směrnici, koeficient udává sklon), q snadno dopočítáme, neboť p musí procházet bodem [ 8, f(8) ]. Jak na to, když druhý bod neznáme?
qxkxp )(
Směrnice tečny
[x1,y1]
[x2,y2]
Δx = x2 – x1
Δy
= y
2 –
y1 qxky
qxky
22
11
22
11
xkyq
qxky
2212211 )( yxxkxkyxky
xy
xxyy
k
12
12
12
2112
xxyxyx
q
α
k = tg α
Směrnice tečny
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
12345678
11109
16 17
10
10 )()(xx
xfxfk
20
20 )()(xx
xfxfk
30
30 )()(xx
xfxfk
10 xx
20 xx
30 xx
Směrnice tečny, derivace
Buď f reálná funkce jedné reálné proměnné. Říkáme, že funkce f má v bodě x0 derivaci c, právě když existuje limita
Definice 68.
xxxfxf
tgkxx
0
0 )()(lim
0
Vidíme, že směrnici tečny lze zapsat jako
xxxfxf
cxx
0
0 )()(lim
0
Pak značíme
cxdxdf
xf )()( 00
kde k = f ’(x0) je derivace v bodě x0, nazýváme diferenciál funkce f v bodě x0. Diferenciál vyjadřuje přírůstek funkce v těsném okolí bodu . Pozor – diferenciál není přímo ta tečná přímka. Je to vlast-ně přímka, která je s tečnou rovnoběžná, ale prochází počátkem.
Diferenciál
Definice 69. Lineární zobrazení df : R -> R ve tvaru
fDx 0
axafafdfa )()()(
Na rozdíl od tečné přímky je diferenciál lineární zobrazení ve všech aspektech této definice (viz. přednášky z lineární algebry).
Na „nekonečně malém“ okolí diferenciál roste stejně jako funkce, tj. přírůstek funkce pro ξ -> 0 můžeme vyjádřit jako
)()()()( afdfafaf a
V limitně nulovém (infinitezimálním) okolí se tedy jakákoliv diferencova-telná funkce chová jako přímka.
K čemu je derivace?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
12345678
11109
16 17
xkdf 11
Derivace udává sklon tečné přímky (resp. diferenciálu). Čím vyšší je sklon, tím větší je k. Zde je evidentně k1 > k2, modrá křivka tedy v těsném okolí bodu 6 roste rychleji, než červená křivka. Derivace je tedy jakousi mírou „rychlosti růstu“ funkce v daném bodě.
xkdf 22
K čemu je derivace?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
12345678
11109
16 17
0)3( df
0)5.7( df
0)13( df
V bodech, kde se funkce „překlápí“ z růstu do klesání, tj. v lokálních extrémech je derivace nulová (tečná přímka je konstantní). Dokážeme-li tedy snadno určit derivaci funkce v libo-volném bodě, známe polohy všech lokálních extrémů – jsou jimi některá řešení rovnice f ’(x) = 0. Mohou ale existovat i taková řešení této rovnice, která lokálními extrémy nejsou!
Výpočet derivace
Pokud známe derivaci funkce v každém jejím bodě, máme definovanou novou funkci:
hxfhxf
xfRRfh
)()()(: lim
0
Výpočet derivace jako funkce spočívá ve vyjádření této (resp. definiční) limity pro každý bod x z Df. Pro všechny elementární funkce je nutné tento úkon provést zvlášť. Zde příklad pro f(x) = x2 :
000
00
0
220
0
00
2)())((
)()()(
limlim
limlim
00
00
xxxxx
xxxx
xxxx
xxxfxf
xf
xxxx
xxxx
Tedy (x2)’ = 2x. Parabola tedy zrychluje svůj růst úměrně s 2x.
Výpočet derivace
3 3 2 1 1 2 3 4 5
246810121416
4
x2
2x
Vztah mezi grafem funkce a její derivace lze demonstrovat na předchozím příkladu.
Tam, kde funkce klesá, je derivace
záporná. Tam, kde funkce roste, je
derivace kladná. V místě lokálních
extrémů je derivace nulová.
Derivace elementárních funkcí
xxfxxf
xxfxxfax
xfxxf
xxfxxf
aexfaxf
exfexf
xnxfxxf
xxfxxf
xfcxf
a
xx
xx
nn
sin)(cos)(
cos)(sin)(ln1
)(log)(
1)(ln)(
ln)()(
)()(
)()(
2)()(
0)()(
1
2
Výpočty derivací
Věta 28.Buďte f a g reálné funkce jedné reálné proměnné, které mají derivace v bodě x0. Potom platí následující rovnosti:
)(
)()()()(
)()()()()(
)()(
)()()(
02
0000
00000
00
000
xg
xgxfxgxfgf
xgxfxgxfxgf
xfcxfc
xgxfxgf
Výpočty derivací
Věta 29.Buďte f a g reálné funkce jedné reálné proměnné s definičními obory Df a Dg a nechť
)()()( 000 xgfxgxgf
fgg DHDg Potom pro derivaci složené funkce platí
Spočítejte derivace a zjistěte polohu lokálních extrémů funkcíPříklad
322
335
ln)()(1
cos)(
sin22cos)(cossin)(1)(
)()(112)(
2
xxfexfx
xxf
xxxfxxxfxxxf
xxxxfdcxbax
xfxxxf
x
Derivace vyšších řádů
Jelikož derivaci lze interpretovat jako funkci, je možné provést tzv. druhou derivaci – tedy výslednou funkci poderivovat ještě jednou. Stejným způsobem lze získat i derivace vyšších řádů. Derivace vyšších řádů se značí příslušným počtem čárek, tedy f, f ’, f ’’, f ’’’ atd., vyšší derivace pak číslem v závorce, např. f (6), f(45).
Spočítejte druhé derivace funkcíPříklad
322
335
ln)()(1
cos)(
sin22cos)(cossin)(1)(
)()(112)(
2
xxfexfx
xxf
xxxfxxxfxxxf
xxxxfdcxbax
xfxxxf
x
Spočítejte obecně n-té derivace funkcíPříklad
xaxfxxfxxf )(cos)(sin)(
L’ Hospitalovo pravidlo
Věta 30.Buďte f a g reálné funkce jedné reálné proměnné, jež mají v nějakém prstencovém okolí bodu a konečné derivace (prstencové okolí bodu a je Ha – {a}). Předpokládejme dále, že
0)()( limlim
xgxfaxax
nebo
)(lim xgax
a navíc na Ha - {a} je g nenulová. Potom platí
)()(
)()(limlim xg
xfxgxf
axax
Ukažte, že následující limity jsou a/b, 0, 1, e1/6 : Příklad
21
010
sin11
ln1
sinsin
limlimlimlimx
xxax
n
xx xx
xxe
xbxax
Úlohy o maximalizaci a minimalizaci
Určete obdélník pevně daného obsahu S, který má nejmenší obvod.Příklad
Do elipsy vepište obdélník, jehož strany jsou
rovnoběžné s osami elipsy a který má největší možný obsah.
Příklad 12
2
2
2
b
y
a
x
V jaké výšce nad středem kruhového stolu o poloměru a je třeba umístit svítidlo, aby osvětlení okrajů stolu bylo maximálně jasné? Jas osvětlení je dán vzorcem
Příklad
2
sin
rkI
kde φ je úhel sklonu paprsků, r vzdálenost zdroje od odvětlovaného místa a k svítivost zdroje.
Vyšetřování průběhů funkcí
Předpokládejme, že nepřítel nám zadal funkci a chce po nás, abychom mu nakreslili její graf bez pomoci výpočetní techniky. Jak na to? Budeme postupovat podle následujícího seznamu úkonů:
Určíme definiční obor funkce a také obor hodnot, je-li to možné. Tím si vymezíme prostor, kde se graf funkce bude nacházet. V bodech, kde je ve funkci dělení nulou, naznačíme tzv. svislé asymptoty – k těmto svislým přímkám se funkce bude limitně blížit.
Spočítáme limity funkce v nekonečnech a nevlastních bodech zleva a zprava. Získáme tak hrubou představu o tom, jak se graf chová „nalevo“ a „napravo“ od papíru, na který kreslíme a jestli u svislých asymptot půjde nahoru nebo dolu.
Spočítáme asymptoty – přímky, ke kterým se funkce bude blížit v nekonečnech.
Pomocí první derivace určíme polohu lokálních extrémů funkce a intervaly, ve kterých funkce klesá a roste.
Pomocí druhé derivace určíme polohu inflexních bodů a intervaly, ve kterých je funkce konvexní a konkávní.
Načrtneme graf.
Vyšetřování průběhů funkcí
Načrtněte graf funkcePříklad 2
3
1
1)(
x
xxf
Určíme definiční obor funkce. 1RD f
Spočítáme limity funkce v nekonečnech. Získáme tak hrubou představu o tom, jak se graf chová „nalevo“ a „napravo“ od papíru, na který kreslíme.
12
133
1
12
23
2
3
limlim xx
xxx
x
x
xx
2
3
0
1.
2
3
1
2
1
1limlim y
y
x
x
y
yxsubst
x
Tj. „vlevo“ jde funkce dolů, „vpravo“ nahoru, u svislé čáry zleva i zprava k +∞.
Vyšetřování průběhů funkcí
1 2 3 4 5 6 7 8 97 6 235 4
12345678
123
8
Co zatím víme:
)(lim xfx
)(lim xfx
)(lim1
xfx
Vyšetřování průběhů funkcí
Spočítáme asymptoty – přímky, ke kterým se funkce bude blížit v nekonečnech.
Asymptota je přímka, která se v limitě v nekonečnech chová stejně
jako funkce (viz obrázek). Defi-novat jí lze pomocí limity – je-li
0)(
0)(
lim
lim
qkxxf
qkxxf
x
x
pak přímka a(x) = kx+q je asymptota v plus resp. minus
nekonečnu.
Koeficienty asymptoty k a q lze spočítat postupně pomocí limit
xkxfqxxf
kxx
)()(
limlim
Důkaz pro toto tvrzení je velmi snadný, rozmyslete si jej sami.
Vyšetřování průběhů funkcí
Spočítáme asymptoty – přímky, ke kterým se funkce bude blížit v nekonečnech.
12
133
1
1)(23
23
2
3
limlimlim
xxx
xxx
xx
xxxf
kxxx
52
125
1
2133
1
2133
1
11
1
1
23
2
2
22
2
2323
2
23
2
3
lim
limlim
limlim
xxx
xx
x
xxxx
x
xxxxxx
x
xxxx
x
xq
x
xx
xx
Asymptoty v plus i mínus nekonečnu jsou shodné, je jimi přímka
5xy
Vyšetřování průběhů funkcí
1 2 3 4 5 6 7 8 97 6 235 4
7891011121314
543
8
Co zatím víme:
Ale je to opravdu tak, že se funkce k asymptotě blíží jen
shora? To je třeba ověřit, pokud je to možné.
Vyšetřování průběhů funkcí
Ověřme, zda je funkce v okol nekonečen větší či menší než asymptota, pokud je možné to snadno rozhodnout.
51
1)( 2
3
xx
xxf
3
1412
59313351052133
125133151
51
1
22
22323
223
23
2
3
x
xxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxx
xx
x
Vyšetřování průběhů funkcí
1 2 3 4 5 6 7 8 97 6 235 4
7891011121314
543
8
Co zatím víme:
3
15)(
3
15)(
3
15)(
xxxf
xxxf
xxxf
Vyšetřování průběhů funkcí
Pomocí první derivace určíme polohu lokálních extrémů funkce a intervaly, ve kterých funkce klesá a roste.
01
51
1
121311
1
121113
1
1)(
3
2
4
2
4
322
2
3
x
xx
x
xxxx
x
xxxx
x
xxf
150)(
xxxf
-1 1 5
05)0( f027
7)2( f 018)2( f 0
4
25)9( f
roste
roste
rosteklesá
minimumplato
Vyšetřování průběhů funkcí
1 2 3 4 5 6 7 8 97 6 235 4
5
10
15
20
58
Co zatím víme:
5.1315
15)5( 2
3
f
011
11)1( 2
3
f
Vyšetřování průběhů funkcí
Pomocí druhé derivace určíme polohu inflexních bodů a intervaly, ve kterých je funkce konvexní a konkávní.
konvexní funkcekřivka je „nad“ tečnou
konkávní funkcekřivka je „pod“ tečnou
Funkce je konvexní, pokud
0)( xf
Funkce je konkávní, pokud
0)( xfkonvexní
na ex
Tam, kde platí má funkce tzv. inflexní bod.0)( xf
Vyšetřování průběhů funkcí
3
2
1
51)()(
x
xxxfxf
10
10
10
x
x
x
6
2232
1
511311512
x
xxxxxxx
6
2
1
5131115211
x
xxxxxxxx
6
2222
1
1512311012211
x
xxxxxxx
66
2
1
124
1
1124
x
x
x
xx
Vyšetřování průběhů funkcí
1 2 3 4 5 6 7 8 97 6 235 4
5
10
15
20
58
Teď už víme vše, náčrtek vypadá takto:
Vyšetřování průběhů funkcí
Graf vykreslený počítačem
Rozvoj funkce do Taylorovy řady
Mějme funkci spojitou na Ha, leč komplikovanou. Může být výhodné ji aproximovat nějakou jednodušší – nejlépe polynomem. Tento polynom by měl mít podobné vlastnosti – růst (klesat) tam, kde roste (klesá) původní funkce, být konvexní (konkávní) tam, kde původní funkce a tak podobně. To můžeme dosáhnout tak, že zvolíme polynom, který má v bodě a shodných několik derivací s původní funkcí.
-π π
1
-1
π/2-π/2
Rozvoj funkce do Taylorovy řady
Věta 31.Buď f reálná funkce, jež má v bodě a konečnou n-tou derivaci. Pak existuje právě jeden polynom Tn stupně nejvýše n, pro který platí
nkafaT kkn ...,,2,1,0)()( )()(
Nultou derivací se rozumí původní funkce. Polynom Tn má tvar
n
j
jj
n axj
afxT
0
)(
!
)()(
Polynom nazýváme Taylorův.
Důkaz : Vezměme nějaký obecný polynom ve tvaru
n
j
jj axaxP
0
)(
Zde a reprezentuje posun po ose x od počátku souřadnic k bodu a. Budeme-li jej derivovat, jednotlivé členy postupně zmizí.
Rozvoj funkce do Taylorovy řady
Důkaz : Vezměme nějaký obecný polynom ve tvaru
n
k
kk axaxP
0
)(
Zde a reprezentuje posun po ose x od počátku souřadnic k bodu a. Budeme-li jej derivovat, jednotlivé členy postupně zmizí.
n
kj
kjj
k
n
j
jj
n
j
jj
n
j
jj
n
j
jj
n
j
jj
n
j
jj
axakjjjjxP
axajjjaxajjxP
axajjaxajxP
axajaxaxP
)1()2()1()(
)2()1()1()(
)1()(
)(
)(
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
0
Rozvoj funkce do Taylorovy řady
n
kj
kjj
k axakjjjjxP )1()2()1()()(
Nás především zajímá, jak vypadá polynom v bodě a. Hodnota závorky (x - a)j-k je zde nulová až na člen, ve kterém j=k. V tomto členu je hodnota závorky 1. V tomtéž členu se pak nutně musí z ostatního „hebdí“ stát k! a koeficient aj = ak. Proto
kk akaP !)()(
Polynom ovšem konstruujeme tak, aby jeho derivace v bodě a byly shodné s derivacemi funkce v bodě a a tedy
!
)()()(
)()()(
k
afaaPaf
k
kkk
n
j
jj
n axj
afxT
0
)(
!
)()(
Z podmínky na rovnost derivací jsme tedy opravdu získali polynom ve tvaru
Q.E.D.
Rozvoj funkce do Taylorovy řady
Definice 70. Označme si pro x z Ha
)()()( xTxfxR nn
n
j
jj
n axj
afxT
0
)(
!
)()(
Rn zde představuje chybu v aproximaci – rozdíl f(x) a Tn(x) v daném bodě. Identita
)()()( xRxTxf nn
se nazývá Taylorův vzorec (rozvoj) funkce f v bodě a. Rn se pak nazývá zbytek v Taylorově vzorci.
Pozn. : lze dokázat, že Taylorův polynom n-tého stupně je nejlepší možná aproximace funkce f(x), tj. že pro libovolný jiný polynom stupně n by zbytek Tn je v každém bodě Ha v absolutní hodnotě větší.
Rozvoj funkce do Taylorovy řady
Rozviňte do Taylorovy řady funkci f(x) = ex v bodě a = 0.Příklad
Zkonstruujme pro funkci f obecnou n-tou derivaci. To je snadné:
xnxn eexf )()( )(
Nyní ji vyčísleme v bodě a = 0:
1)0( 0)( ef n
Derivaci dosaďme do vzorce:
n
j
j
n
n
j
jn
j
jj
n
j
xxT
xj
axj
afxT
0
00
)(
!)(
0!
1
!
)()(
0 !n
nx
n
xe Lze dokázat, je to
však složité.
Rozvoj funkce do Taylorovy řady
Rozviňte do Taylorovy řady funkce sin x a cos x v bodě a = 0.Příklad
Zkonstruujme pro funkcei obecnou n-tou derivaci v bodě a = 0:
10cos)0(00sin)0(4
00sin)0(10cos)0(3
10cos)0(00sin)0(2
00sin)0(10cos)0(1
10cos)0(00sin)0(0
cossin
)4()4(
gfk
gfk
gfk
gfk
gfk
xxderivace
Z tabulky je vidět, že derivace se opakují a Taylorovy polynomy budou vykazovat jistou pravidelnost. Předně v rozvoji pro sinus budou jen liché členy, zatímco v rozvoji pro cosinus pouze sudé (pozn.: to souvisí i s tím, že sinus je funkce lichá a cosinus sudá).
Rozvoj funkce do Taylorovy řady
10cos)0(00sin)0(4
00sin)0(10cos)0(3
10cos)0(00sin)0(2
00sin)0(10cos)0(1
10cos)0(00sin)0(0
cossin
)4()4(
gfk
gfk
gfk
gfk
gfk
xxderivace
543210
!5
1
!4
0
!3
1
!2
0
!1
1
!0
0)sin( xxxxxxx
97531
!9
1
!7
1
!5
1
!3
1
!1
1)sin( xxxxxx
0
2
1
121
)!2()1(cos
)!12()1(sin
n
nn
n
nn
n
xx
n
xx
Rozvoj funkce do Taylorovy řady
Rozviňte do Taylorovy řady funkci ln( 1 + x ) v bodě a = 0.Příklad
Shrnutí
• Co je diferenciální počet
• Definice derivace (fyzikální a matematický pohled)
• Diferenciál
• Použití derivací
• Výpočet derivací
• Derivace vyšších řádů
• l’Hospitalovo pravidlo
• Úlohy o maximalizaci a minimalizaci
• Vyšetřování průběhu funkcí
• Rozvoj funkce do Taylorova polynomu