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Comunicações ÓpticasComunicações Ópticas

Abel CostaAbel Costa

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Programa:Programa:nn Introdução: Sistemas de Comunicação por Fibra ÓpticaIntrodução: Sistemas de Comunicação por Fibra Ópticaw Elementos de um sistema de comunicaçãow Elementos de um sistema de comunicação por fibra ópticaw Evolução dos sistemas por fibra ópticaw Vantagens da fibra óptica como meio de transmissão

nn Fibras Ópticas: Estruturas e Teoria de Propagação Fibras Ópticas: Estruturas e Teoria de Propagação w A natureza da luzw Definições e leis básicas da ópticaw Estruturas e análise de raios e modos em fibras ópticas w Teoria electromagnética em guias de onda cilíndricasw Fibras monomodow Fibras multimodo de índice gradual

nn Características de Transmissão: Atenuação e DispersãoCaracterísticas de Transmissão: Atenuação e Dispersãow Atenuaçãow Dispersãow Não-linearidades da fibra óptica

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nn Fibras Ópticas: Materiais e Técnicas de Fabrico, e Cabos ÓpticosFibras Ópticas: Materiais e Técnicas de Fabrico, e Cabos Ópticosw Materiais e técnicas de fabricow Cabos ópticos

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Bibliografia:Bibliografia:

w “Optical fiber communications”, Gerd Keiser, 2ª edição, McGraw-Hill (1991);w “Optical fiber communications”, John Senior, 2ª edição, Prentice-Hall (1992);

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Introdução: Sistemas de Comunicação por Fibra ÓpticaIntrodução: Sistemas de Comunicação por Fibra Óptica

nn Elementos de um sistema de comunicaçãoElementos de um sistema de comunicação

MessageSource Transmitter

TransmissionChannel

ReceiverMessageDestination

A figura representa os elementos fundamentais de um sistema de comunicação:

- Fonte da informação: origem das mensagens a transmitir;

- Transmissor: tem como função converter as mensagens num formato adequado às características do meio (ou canal) de transmissão;

- Meio de transmissão: é o meio físico que interliga a origem com o destino, ou seja, faz a ligação entre o transmissor e o receptor; pode ser classificado como guiado ou não-guiado;

- Receptor: tem a função de extrair do sinal vindo do meio, possivelmente atenuado e distorcido, a informação transmitida, reconvertendo-a, com o máximo de fidelidade, nas mensagens originais para serem entregues ao seu destino.

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nn Espectro electromagnético usado em comunicaçõesEspectro electromagnético usado em comunicações

A invenção do telégrafo por Morse em 1838 deu origem à era das comunicações eléctricas.

Dado que a quantidade de informação que pode ser transmitida está directamente relacionada com a frequência da portadora, na qual a informação é impressa, então um aumento da sua frequência implica, em teoria, um aumento da largura de banda de transmissão e, em consequência, uma maior capacidade de transmitir informação. Assim, a tendência em sistemas de comunicação é o uso de frequências cada vez mais elevadas (ou, equivalentemente, de comprimentos de onda mais curtos).

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nn Elementos de um sistema de comunicação por fibra ópticaElementos de um sistema de comunicação por fibra óptica

Os elementos básicos de um sistema de comunicação por fibra óptica são:

- Transmissor óptico: consiste na fonte de luz (LED ou LD) e circuito de modulação associado;

- Cabo de fibras ópticas: é o cabo que contém as fibras ópticas, garantindo a sua protecção mecânica e ambiental;

- Receptor óptico: consiste de um fotodetector (PIN ou APD) mais circuito de amplificação, decisão e regeneração do sinal.

Componentes adicionais incluem: conectores ópticos; juntas; acopladores ou divisores ópticos; multiplexadores/desmultiplexadores ópticos; amplificadores ópticos; etc.

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nn Evolução de 4 gerações de sistemas por fibra ópticaEvolução de 4 gerações de sistemas por fibra óptica

A figura mostra a evolução dos sistemas de fibras ópticas, os quais com base nas suas características (tipo de fibra, janela de transmissão, tipo de dispositivos activos, etc) são, em geral, classificados em quatro gerações, tendo por base desta classificação o parâmetro “taxa de transmissão em Gbit/s x distância de transmissão (1 km)”.

De notar que o desenvolvimento de novas tecnologias e progressos em cada geração implica sistemas de maior capacidade de transmissão de informação.

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nn Vantagens da fibra óptica como meio de transmissão:Vantagens da fibra óptica como meio de transmissão:

w Grande largura de banda

w Baixa atenuação

w Tamanho e peso reduzido

w Imunidade a interferências electromagnéticas

w Isolamento eléctrico

w Fiabilidade e facilidade de manutenção

w Matéria-prima abundante e potencial baixo custo

- Enorme largura de banda: a gama de de frequências da portadora óptica de 1013 a 1016 Hz resulta num potencial de largura de banda excedendo, em várias ordens de grandeza, as de condutores metálicos e mesmo de ondas rádio milimétricas. Apresenta larguras de banda teóricas da ordem de 50 THz, as quais no momento estão longe de serem alcançadas;- Baixa atenuação: os cabos de fibra óptica, fabricados hoje em dia, apresentam fibras com pequena atenuação (baixas perdas) quando comparada com meios de transmissão convencionais (cabos metálicos, microondas, etc). Tal permite cobrir distâncias de transmissão elevadas (da ordem das centenas de quilómetros) sem o auxílio de repetidores ou amplificadores, reduzindo assim os custos e a complexidade do sistema;- Tamanho e peso reduzido: o baixo peso e reduzidas dimensões das fibras ópticas (da ordem de um cabelo humano) são uma vantagem considerável sobre os cabos metálicos. Tal é importante em condutas saturadas nos grandes centros urbanos, bem como em aviões, navios e satélites;- Imunidade a interferências electromagnéticas: deriva de ser um meio dieléctrico, donde ser imune a “crosstalk”, descargas eléctricas (naturais, como relâmpagos, ou provocadas pelo homem) e ruído impulsivo (accionamento de interruptores, de motores, etc), o que tem particular interesse em aplicações militares;- Isolamento eléctrico: dado serem constituídas por vidro, o qual é um material isolador eléctrico, não é necessário cuidados com malhas de terra, curto-circuitos, etc.

- Segurança e privacidade : dado ser um guia de onda em que o sinal óptico é fortemente confinado no interior da sua estrutura, tem inerente um grau de segurança elevado. Por outro lado, a sua intrusão para fins de escuta é difícil e de detecção relativamente fácil, o que garante a privacidade e aumenta a segurança;

- Fiabilidade e facilidade de manutenção: resulta essencialmente da sua baixa atenuação, o que implica menos repetidores ou amplificadores ao longo do sistema, logo maior fiabilidade do mesmo. Além do mais, os dispositivos ópticos apresentam, hoje em dia, tempos de vida médios de 20 a 30 anos;

- Matéria-prima abundante e potencial baixo custo: resulta do facto de a sílica ser a principal matéria-prima de que é fabricada a fibra óptica. Ora, a sílica é extraída da vulgar areia, material abundante e barato. Todavia, o seu processo de fabrico é bastante complexo, logo muito oneroso, e o custo dos componentes activos é elevado, o que torna os sistemas por fibras ópticas apenas competitivos ou mandatórios apenas em aplicações específicas; é o caso de transmissão a longa distância, sistemas de muito alto débito, sistemas de comunicação em ambientes adversos, etc.

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Fibras Ópticas: Estruturas e Teoria de PropagaçãoFibras Ópticas: Estruturas e Teoria de Propagação

nn A natureza da luz:A natureza da luz:w Aproximação corpuscularw Aproximação ondulatóriaw Natureza quântica da luz: conceito de dualidade partícula - onda

Na aproximação corpuscular, a radiação luminosa consiste de ínfimas partículas, invisíveis ao olho humano, viajando em linha recta. Esta teoria descreve adequadamente certos efeitos ópticos macroscópicos tais como a reflexão e refracção da luz, falhando todavia em fenómenos de menor escala como a interferência e difracção da luz.

Na aproximação ondulatória, a radiação luminosa é interpretada como uma onda electromagnética, e representada como um trem de frentes de onda esféricas; define-se frente de onda esférica como a união de todos os pontos do trem de ondas que estão em fase.

O conceito de dualidade partícula-onda foi introduzido pela mecânica quântica. Nesta teoria tornou-se evidente que os conceitos de partícula e onda, os quais a nível macroscópico parecia óbvio serem mutuamente exclusivos, deveriam ser “fundidos” ao nível submicroscópico. A imagem de uma partícula atómica (como electrões, neutrões,etc) como uma concentração localizada de matéria não era suficiente: na verdade, estas “partículas” originavam fenómenos de interferência e difracção idênticos aos observados em ondas luminosas. Assim, introduziu-se o conceito de dualidade partícula-onda, consubstanciado na famosa relação entre massa e energia E=mc2 da teoria da relatividade.

Quando o comprimento de onda da luz é muito inferior às dimensões dos objectos ou obstáculos sobre que incide, a frente de onda aparece como linhas rectas (ondas planas); nestas condições, a luz pode-se representar por raios luminosos, os quais indicam a sua direcção de propagação e são perpendiculares à frente de onda. De notar que, apesar de um conceito útil, o raio luminoso representa uma abstracção sem realidade física. Com base neste conceito, fenómenos ópticos à escala macroscópica podem ser analisados apenas por processos geométricos de traçado de raios. Tal constitui a chamada aproximação da óptica geométrica.

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nn Leis básicas da ópticaLeis básicas da ópticaw Reflexão: θi = θr = θ1

w Refracção: n1 senϕ1 = n2 senϕ2 (lei de Snell-Descartes)

Os conceitos de reflexão e refracção podem ser interpretados considerando raios luminosos associados a ondas planas viajando em meios dieléctricos.

A figura mostra o que acontece quando um raio luminoso incide na interface de separação de dois meios diferentes: parte é reflectido para o meio inicial, enquanto o restante sofre uma curvatura (ou refracção) ao entrar no segundo meio. Esta curvatura resulta da diferença da velocidade da luz nos dois meios, os quais apresentam índices de refracção diferentes. A lei de Snell-Descartes traduz matematicamente o fenómeno da refracção, relacionando os índices de refracção dos meios com os ângulos dos raios relativamente à normal.

Define-se índice de refracção de um meio como a razão da velocidade da luz no vazio c ( c ≈ 3.108

m/s) em relação à velocidade da luz nesse meio vi

As figuras seguintes ilustram estes fenómenos: reflexão para uma interface ar-vidro (figura a); reflexão e refracção de um feixe de luz incidente numa lâmina de vidro (figura b).

(a) (b)

1≥=i

ivc

n

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nn Reflexão interna totalReflexão interna total

Quando n1 ≥ n2, à medida que o ângulo de incidência aumenta também aumenta o ângulo de refracção. Verifica-se que para um determinado ângulo de incidência ϕc,, designado por ângulo crítico, o raio emerge paralelo à interface, isto é, ϕ2 = 90o. Nesta condição

(1)

Para raios incidentes segundo ângulos maiores que ϕc verifica-se que o raio é praticamente todo reflectido para o meio original (eficiência de ~ 99,1%). A este fenómeno dá-se a designação de reflexão interna total .

A figura seguinte ilustra este fenómeno de reflexão interna total: à medida que o ângulo de incidênica é aumentado, o ângulo de refracção também vai aumentando, até que para o ângulo crítico de incidência o ângulo de refracção apresenta o valor de 90º. Acima deste limite, não existe raio refractado.

1

2

nn

sen c =ϕ

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nn Variações de fase na reflexãoVariações de fase na reflexãocomponente normal (2)

componente paralela (3)

1

122

1

122

1.cos.2

.1.cos.

2

θθδ

θθδ

sennn

tg

sennn

tg

P

N

−=

−=

δN e δP são as variações de fase das componentes normal e paralela, respectivamente, ao plano de incidência na fronteira entre dois meios.

A figura mostra as variações de fase para uma interface vidro-ar: n = 1,5 e θc = 48o (onde n = n1 / n2).

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nn Estrutura da fibra ópticaEstrutura da fibra óptica

A estrutura do guia de onda , designado por fibra óptica, é a de um cilindro sólido. É constituída pelo núcleo, de índice de refracção n1 , o qual é rodeado pela bainha, de índice de refracção n2 ( n1 > n2 ). Apesar de não ser necessário, em princípio, uma camada adicional de protecção encapsula a fibra óptica, sendo em geral de material plástico com alguma elasticidade e resistente à abrasão.

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nn Tipos de fibra ópticaTipos de fibra óptica

Variações na composição material do núcleo originam os dois tipos de fibra mais vulgares esquematizados na figura.

No primeiro caso, o índice de refracção do núcleo é uniforme em toda a sua extensão, sofrendo uma variação abrupta (“degrau”, ou em inglês “step”); esta fibra designa-se por fibra de índice em degrau (ou fibra “step-index” ).

No segundo caso, o índice de refracção do núcleo não é homogéneo mas varia com a distância radial ao centro da fibra; esta é a fibra de índice gradual ( ou fibra “graded-index” ).

Quer as fibras tipo “step-index” ou “graded-index” podem ainda ser subdivididas em monomodo(“singlemode”) ou multimodo (“multimode”).

Como o nome indica, fibras monomodo suportam apenas um único modo de propagação. Ao invés, as fibras multimodo suportam a propagação de centenas de modos.

De reparar que na figura estão indicadas as dimensões típicas das diferentes fibras, o que dá uma ideia da sua escala dimensional.

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nn Raios e modos de propagaçãoRaios e modos de propagação

w A aproximação do traçado de raios no interior da fibra é válida apenas no limite de pequeno comprimento de onda.

w Na aproximação modal (ou electromagnética), a radiação electromagnética que viaja ao longo da fibra é representada pela sobreposição de modos guiados.

w Para luz monocromática, viajando ao longo do eixo da fibra (direcção positiva do eixo dos zz), a sua dependência temporal e espacial pode ser representada por

(4)

β - componente segundo z da constante de propagação k, ¦ k ¦ = 2 π / λω - frequência angular

)zt(je βω −

Para modos guiados, β assume certos valores discretos, os quais são determinados a partir das equações de Maxwell e das condições fronteira dos campos eléctrico e magnético na interface núcleo-bainha.

O traçado de raios (ou aproximação da óptica geométrica) para descrever a propagação de luz nas fibras apenas é válido no limite de pequeno comprimento de onda, isto é, quando a razão do raio em relação ao comprimento de onda da radiação é grande. Do ponto de vista formal, a aproximação do traçado de raios só é válida no limite de comprimento de onda nulo (λ=0); todavia, para λs pequenos relativamente às dimensões do núcleo da fibra e quando o número de modos guiados é elevado (fibras multimodo), os resultados obtidos são relativamente precisos. A vantagem desta aproximação reside na sua simplicidade e na interpretação física das características de propagação numa fibra óptica.

Apesar da sua utilidade, a aproximação da óptica geométrica exibe um certo número de limitações e discrepâncias quando comparada com a análise modal ou electromagnética, baseada na propagação de radiação electromagnética no interior da fibra. Um caso importante é a análise de fibras monomodo, correctamente explicada apenas pela teoria electromagnética. Problemas envolvendo fenómenos de coerência ou interferência são outros fenómenos apenas descritos correctamente pela análise modal. Outra discrepância ocorre quando a fibra óptica é uniformemente dobrada com um raio de curvatura constante: a análise modal prevê, acertadamente, que cada modo guiado sofre alguma perda por radiação; ao invés, a análise geométrica prevê que alguns raios continuam a propagar-se sem sofrerem perdas.

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nn Aproximação da óptica geométrica em fibras “Aproximação da óptica geométrica em fibras “stepstep--indexindex””

A figura representa a propagação de um raio meridional numa fibra “step-index” ideal: perfeitamente homogénea e cilíndrica, sem descontinuidades ou imperfeições na fronteira núcleo-bainha.

Raios meridionais são aqueles confinados aos meridianos da fibra, que são os planos que contêm o eixo de simetria da fibra (o eixo do núcleo). Podem ser guiados (que são confinados ao núcleo e se propagam ao longo da fibra) e não-guiados, que são refractados para fora do núcleo.

Da análise da figura e da lei de Snell-Descartes, o ângulo mínimo ϕmin que permite reflexão interna total para o raio meridional é

(5)

É possível escrever esta relação em função do ângulo de aceitação máximo θo,max como

(6)

Tal obtém-se sabendo que ϕ = π / 2 e usando a relação fundamental da trigonometria.

1

2min

nn

sen =ϕ

( )21

22

211max,. nnsennsenn co −== θθ

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nn Abertura numérica NAAbertura numérica NAw Para fibras “step-index” e raios meridionais define-se como

(7)

Definindo-se a diferença relativa do índice de refracção núcleo-baínha ∆

(8)para ∆ << 1

a expressão da abertura numérica NA escreve-se como(9)

22

21max,. nnsennNA o −== θ

21

22

21

2nnn −

=∆

1

21

nnn −

≈

∆≅ 21nNA

Dado que a abertura numérica está relacionada com o ângulo de aceitação máximo, é um parâmetro útil para descrever a capacidade de colectar luz de uma fibra óptica e para calcular eficiências no acoplamento de potência óptica fonte de luz → fibra óptica.

É um parâmetro adimensional, inferior à unidade, com valores variando entre 0,14 e 0,50, dependendo das dimensões e características das fibras.

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nn ExemploExemplow Mostre que o ângulo sólido de aceitação no ar é dado por

w Mostre que o ângulo sólido (no ar) para um único modo de radiação electromagnético entrando ou saindo do núcleo é

w Um valor típico para a diferença do índice de refracção relativo é de 1 % para fibras projectadas para uso em sistemas d longa distãncia. Assumindo que a aproximação da óptica geométrica é válida, estime:a) a abertura numérica da fibra;b) o ângulo sólido de aceitação no ar quando o índice de refracção do núcleo é 1,46;c) o ângulo crítico na interface núcleo-baínha da fibra.

( ) ( )22 21 2n n NAπ πΩ = − =

2

2modo aλ

πΩ =

Solução:

O ângulo sólido de aceitação é:

Assim,

dS=r2.senθ.dθ.dφDonde,

Para θ0 pequenos, tem-se

Assim,

Mas como NA=senθ0 vem que

( )

3

2

1S

S

r d Sr

dS r d Sr

Ω =

=

∫∫

∫∫

r uri

r ur∵ P

( )

02

0 0

02 1 cos

sen d dπ θ

φ θθ θ φ

π θ= =

Ω =

= −

∫ ∫

( )1 22 20 0 0

1cos 1 1

2sen senθ θ θ= − −;

2 20 0

12 1 1

2sen senπ θ π θ

Ω − − = ;

( ) ( )22 2 20 1 2sen NA n nπ θ π πΩ = = −;

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Para um modo de radiação electromagnética entrando ou saindo da abertura do núcleo, o ângulo externo é dado pelo ângulo de difracção do campo distante (“far-field”) de um feixe gaussiano

Ângulo de campo distante

De acordo com a alínea anterior,

Usando a eq. (9) com ∆=0,01 tem-se para a abertura numéricaNA=n1(2∆)1/2=1,46.(2.0,01)=0,21

Para ângulos pequenos, o ângulo de aceitação no ar é dado porΩ=πsen2θa=π(NA)2=π.0,04=0,13 rad

Usando a eq. (8) para a diferença do índice de refracção relativo

Da eq. (5) vem que o ângulo crítico na interface núcleo-baínha éΦχ=sem-1(n2/n1)=sem-10,99=81,9º

10 tg

a aλ λθ

π π− =

;2 2

2 20 0 2modo sen

a aλ λπ θ πθ π

π π Ω = =

; ;

1 2 2 2

1 1 1

1 1 1 0,01 0,99n n n n

n n n−

∆ = − ⇒ = − ∆ = − =;

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nn ““SkewSkew--raysrays””

São raios que não são confinados a um único plano, mas seguem um percurso helicoidal na sua propagação no interior da fibra, atravessando assim diferentes planos. São, por isso, mais difíceis de traçar.

Apesar dos “skew rays” constituírem uma parcela significativa do número total de raios guiados, a sua análise, bastante complexa, não é necessária para se obter uma ideia geral da propagação de raios no interior de uma fibra óptica. Assim, para a maior parte dos casos, a análise de raios meridionais é considerada adequada.

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nn Representação de onda associada a raios de luzRepresentação de onda associada a raios de luz

A teoria da óptica geométrica parece permitir que qualquer raio de luz incidente segundo um ângulo θ1inferior ao ângulo crítico θc possa propagar-se ao longo da fibra. Todavia, quando a fase da onda plana associada ao raio é considerada, apenas raios incidentes segundo certos ângulos iguais ou inferiores a θc , isto é, para valores discretos de θ1 , são permitidos propagarem-se na fibra. Consideremos a figura acima esquematizada. À medida que o raio se propaga sofre uma variação de fase dada por

(10)

k1 é a constante de propagação no meio n1; k=k1/n1 é a constante de propagação no vácuo; s é a distância percorrida pelo raio

Ora, a fase da onda plana, associada ao raio, que é duplamente reflectida na interface núcleo-bainha, deve ser a mesma da onda incidente, ou seja, a onda deve interferir construtivamente consigo própria. Da figura, a variação total de fase de A → B → C, com duas reflexões em A e B, deve ser um múltiplo inteiro de 2π. Da eq. (10) tem-se que

(11)

e da eq. (2) - assumindo por simplicidade que a onda é polarizada normal ao plano de incidência

(12)

com n = n1/n2. Então, a seguinte condição deve ser satisfeita

(13)

onde M é um inteiro que determina quais os ângulos de incidência permitidos aos raios que se propagam nas fibras.

λπδ snsknsk .2.... 1

11 ===

=

1sen2d..1 θ

δ knAC

−=

1

122

1 .1cos

2θθ

δsenn

narctg

Msen

dkn.22

..21

1

1 πδθ

=+

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nn Distribuições de Distribuições de EE para vários modos guiados num “para vários modos guiados num “symmetricalsymmetrical--slabslab””

Um “symmetrical-slab waveguide” é composto de material dieléctrico com índice de refracção n1ensanduichado por material dieléctrico com índice de refracção n2 < n1 . Tal estrutura representa a forma mais simples de guia de onda óptico, servindo de modelo para a compreensão da propagação das ondas electromagnéticas no interior da fibra óptica.

A figura ilustra os padrões de campo de vários modos de ordem inferior, os quais representam soluções das equações de Maxwell para o “slab-waveguide” . A ordem de um modo é igual ao número de zeros através do guia de onda (a intensidade nula é representada pela linha tracejada).

Da figura pode-se observar que o campo eléctrico dos modos guiados não está completamente confinado à parte central do “slab”, ou seja, não se anulam na fronteira entre os dois meios; ao invés, estendem-se parcialmente na região correspondente ao segundo meio. Conclui-se também que o campo varia harmonicamente na parte central do guia de onda, enquanto fora desta região apresenta um decaimento exponencial. Para modos de ordem inferior, a maioria da energia está concentrada na zona central da “slab”, ao contrário do que acontece para modos elevados, em que a distribuição do campo penetra mais profundamente no segundo meio.

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nn Teoria electromagnética de propagação de modos em fibras ópticasTeoria electromagnética de propagação de modos em fibras ópticasw Equações de Maxwell

(14a)

(14b)

(14c)

(14d)E - campo eléctricoH - campo magnéticoD - densidade de fluxo eléctricoB - densidade de fluxo magnético

0B.

0D.

DH

BE

=∇

=∇

∂∂

=×∇

∂∂−=×∇

→

→

→→

→→

t

t

Nas equações de Maxwell, acima escritas, supõe-se que o meio é dieléctrico , isotrópico e linear, sem correntes nem cargas livres. Os quatro vectores de campo estão relacionados por

(15)

onde ε é a permitividade dieléctrica e µ é a permeabilidade magnética. De relembrar que no vazio

Nota: Um meio diz-se dieléctrico quando a sua condutividade σ é desprezável, ou seja, as suas propriedades eléctricas e magnéticas são completamente determinadas por ε e µ.; por outro lado, dado a fibra ser um meio não-magnético µ é aproximado por µ0.

→→

→→

=

=

HB

ED

µ

ε

1-1-70

2-1-290

88

0

.mWb.A104

.m.NC1036

1

m/s1031099792458,21

0

−

−

×=

⋅=

×≈×==

πµπ

ε

εµc

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w Equações de onda

(16)

(17)2

22

2

22

HH

EE

t

t

∂∂

=∇

∂∂=∇

→→

→→

εµ

εµ

A partir das equações de Maxwell pode-se derivar uma relação definindo a propagação das ondas do campo electromagnético, que se designam por equações de onda.

Método:

Aplicando o rotacional à eq. (14a), usando a identidade vectorial ∇x(∇xE) = ∇(∇. E) - ∇2E e recorrendo à eq. (14c) obtém-se a equação de onda para o campo eléctrico E.

Por um raciocínio análogo, obtém-se a segunda equação de onda para o campo magnético.

Para coordenadas rectangulares cartesianas e cilíndricas polares, as equações de onda acima escritas são válidas para uma das três componentes de cada campo vectorial, isto é, satisfazem a equação de onda escalar

(18)

onde ψ representa qualquer uma das componentes de E ou H, e vP é a velocidade de fase no meio dieléctrico:

(19)

De notar que a velocidade de fase é a velocidade de propagação de um ponto de fase constante na onda electromagnética.

2

2

2P

2

v1

t∂∂

=∇ψ

ψ

µε

1vP =

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w Soluções das equações de onda(20)

(21))(0

)(0

).,(HH

).,(EE

ztj

ztj

er

er

βω

βω

φ

φ

−→→

−→→

=

=

Considerando a fibra óptica cilíndrica e o sistema de coordenadas polares da figura (onde se assume que a propagação dos modos é ao longo do eixo dos zz), verifica-se que a solução básica da equação de onda é uma sinusóide, sendo a mais importante a onda plana uniforme que apresenta uma dependência funcional dada pelas expressões eqs. (20) e (21).

Substituindo as eqs. (20) e (21) em (14a) e (14b), respectivamente, e por manipulação adicional obtém-se

(22a)

(22b)

(22c)

(22d)

onde q2 = εµ ω2 - β2. De notar que uma vez conhecidas as componentes Ez e Hz todas as outras componentes podem ser determinadas.

∂

∂+

∂∂

−=

∂∂

−∂

∂−=

∂

∂−

∂∂

−=

∂

∂+

∂∂

−=

rrqj

rrqj

rrqj

rrqj

zz

zzr

zz

zzr

EHH

EHH

HEE

HEE

2

2

2

2

εωφ

β

φεω

β

µωφ

β

φµωβ

φ

φ

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w Equações de onda em coordenadas cilíndricas

(23)

(24)0HH1H1H

0EE1E1E

22

2

22

2

22

2

22

2

=+∂

∂+∂

∂+∂

∂

=+∂

∂+

∂∂

+∂

∂

zzzz

zzzz

qrrrr

qrrrr

φ

φ

Se as condições fronteira não conduzirem ao acoplamento entre as componentes do campo electromagnético, soluções de modos podem ser obtidas para as quais Ez = 0 ou Hz = 0.

Quando Ez = 0 os modos são designados por transversos eléctricos, abreviando-se para modos TE. Quando Hz = 0 os modos designam-se por transversos magnéticos, ou recorrendo a siglas, modos TM.

Modos híbridos existem se Ez ou Hz são não-nulos. Designam-se neste caso por modos HE ou EH, dependendo de Hz ou Ez , respectivamente, terem a maior contribuição para o campo transverso

No caso de fibras ópticas, estão presentes modos híbridos, o que torna a sua análise bastante mais complexa do que no caso em que apenas existam modos TE ou TM (caso, por exemplo, de guias de onda metálicas ocas).

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nn Fibras de índice em degrau (“Fibras de índice em degrau (“stepstep--indexindex”)”)w Usando o método de separação de variáveis, a solução da eq. (23) é da forma

(25)Como já pressuposto (ver eq. 4):

(26)

e supondo F2 periódica em φ(27)

Substituindo na eq.(25) e usando a eq. (23) obtém-se

(28)

( ) ( ) ( ) ( )tFzFFrFAz 4321 ....E φ=

( ) ( ) )(43 . ztjetFzF βω −=

( ) νφφ jeF =2

01

12

221

21

2=

−+

∂∂

+∂

∂F

rq

rF

rr

F ν

De notar que a dependência em φ é periódica devido à simetria cilíndrica da fibra, o que se traduz no facto de a componente F2 dever ser a mesma quando φ varia de 2π.

De referir que uma equação idêntica a (28) pode ser obtida para Hz.

A eq. (28) é uma equação diferencial conhecida, tendo como solução a função de Bessel .

Na derivação, assume-se uma fibra “step-index”, com núcleo homogéneo de índice de refracção n1 e raio a, o qual é rodeado por uma bainha de dimensão infinita e índice de refracção n2 . A razão de a bainha ser infinita resulta de os modos guiados no núcleo terem um decaimento exponencial fora do mesmo, devendo ser desprezáveis (i. e., nulos) na fronteira externa da bainha - na prática, a bainha tem uma espessura suficiente para o campo dos modos guiados ser desprezável na fronteira da mesma.

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As expressões para Ez e Hz no núcleo são

(29)

(30)

As expressões para Ez e Hz na baínha são

(31)

(32)

( ) ( )

( ) ( ) )(

)(

...H

...E

ztjjz

ztjjz

eeurJBar

eeurJAar

βωνφν

βωνφν

−

−

=<

=<

( ) ( )

( ) ( ) )(

)(

...H

...E

ztjjz

ztjjz

eerKDar

eerKCar

βωνφν

βωνφν

ϖ

ϖ

−

−

=>

=>

A, B, C e D são constantes arbitrárias.

Jν (ur) representam as funções de Bessel do 10 género de ordem ν , com

u2 = k12 - β2 e k1 = 2π n1 / λ (33)

Kν (ϖ r) representam as funções de Bessel modificadas do 20 género de ordem ν , com

ϖ2 = β2 - k22 e k2 = 2π n1 / λ (34)

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De reparar que, do gráfico, as funções de Bessel Jν (r) são funções oscilatórias gradualmente amortecidas com respeito a r. Pode-se também notar que o campo é finito para r =0, sendo representado pela função de Bessel J0 de ordem zero. Todavia, o campo anula-se quando r → ∞ . Assim, as soluções na bainha são funções de Bessel modificadas Kν .Estas funções decaem exponencialmente com r, como pode ser observado na parte inferior (b) da figura.

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Valores de β possíveis que representam soluções de modos guiados

n2 k = k2 ≤ β ≤ k1 = n1 k (35)

com k = 2π /λ constante de propagação do vazio.

A condição acima para os valores de β resulta de duas condições de corte (“cutoff conditions”):

i) da definição da função de Bessel modificada: Kν (ϖr) → e-ϖr se ϖr → ∞ ; mas como Kν (ϖr) → 0 se r → ∞ , então ϖ > 0 ⇒ β ≥ k2 ;

ii) deriva da função Jν (ur): dentro do núcleo o parâmetro u deve ser real para que F1 seja real, o que implica que k1 ≥ β .

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Para um guia de onda cilíndrico (a fibra) todos os modos de prop agação são híbridos, excepto aqueles para os quais ν =0 : neste caso, duas equações de valores próprios resultam, cujas soluções correspondem a modos TE0m (Ez = 0) e TM0m (Hz = 0).

Quando ν ≠ 0 a situação é bastante complexa, sendo necessário recorrer a métodos numéricos para se determinar os modos de propagação, que correspondem a soluções da equação transcendental

(36)

Nota: Para uma dedução exaustiva da eq.(36) ver “Optical Electronics in Modern Communications”, capítulo 3, 5ª edição, de Amnon Yariv, Oxford University Press (1997).

( ) ( )2 2

2 21 2 2 2

'

'

1 1. . .

( )

( )

J K k J k Ka u

JJ

uJ ua

KK

K a

ν ν ν ν

νν

ν

νν

ν

βνϖ

ϖ ϖ

+ + = +

=

=

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w Frequência normalizada V

(37)

w Constante de propagação normalizada b

(38)

( ) ( )22

21

22222 .

2. nn

auaV −

=+=

λπ

ϖ

22

21

22

2

2

22

nn

nk

V

ab

−

−

==

βϖ

De notar que a frequência normalizada V é um parâmetro adimensional, donde algumas vezes se designar por número V ; com base nesta variável, pode-se determinar quantos modos uma fibra óptica pode suportar.

Relembrando as eqs. (7) e (8), pode-se rescrever eq. (37) como

V = 2π / λ . a . NA= 2π / λ . a . n1 . √2∆ (39)

De notar que V combina informação sobre três parâmetros importantes no desenho de uma fibra óptica: a, raio do núcleo; ∆, diferença relativa do índice de refracção núcleo-bainha; λ, comprimento de onda da radiação luminosa.

Da expressão para os modos guiados dada pela eq. (35), que define os limites para β (n2k e n1k, respectivamente), tem-se que 0 ≤ b ≤ 1.

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Da figura conclui-se que cada modo apenas pode existir para valores de V que excedam um certo valor limite. Os modos deixam de existir (“cutoff”) quando β / k = n2.

De notar que o modo HE11 não tem “cutoff” e só se anula quando o diâmetro do núcleo é zero. Este é o princípio no qual a fibra monomodo se baseia - um único modo de propagação. Por uma escolha apropriada do raio do núcleo a , n1 e n2 de maneira que

(40)

que representa o valor para o qual a função de Bessel J0 , de ordem inferior, é zero; quando a expressão (40) é válida, verifica-se que todos os modos excepto HE11 se anulam.

No caso de uma fibra multimodo, com um valor de M (número total de modos) elevado, uma relação aproximada entre o parâmetro V e M pode ser derivada para o caso de uma fibra “step-index”

(41)

( ) 405.2221

22

21 ≤−= nnaV

λπ

( )2

2 222

212

22 VnnaM =−≅λ

π

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nn ““Weakly guidingWeakly guiding fiberfiber approximationapproximation””

∆ << 1 (42)

donde a eq. (36) poder ser escrita como

(43)

com1 para os modos TE e TM

j= ν + 1 para os modos EHν − 1 para os modos HE

( ))(

)(

)(11

aK

a

ua

uau

j

j

j

j KJJ

ϖ

ϖϖ −− −=

As equações acima representadas indicam que, na aproximação ∆ << 1, todos os modos caracterizados por um conjunto comum de j e ν satisfazem a mesma equação característica. Tal significa que estes modos são degenerados.

A resolução da eq. (43), tendo em contas as eqs.(33) e (34), permite calcular o valor próprio u, e portanto β, em função da frequência normalizada. Assim, as características de propagação dos vários modos, a sua dependência do comprimento de onda e parâmetros da fibra podem ser determinadas.

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Nota: Comparar a figura com a figura de dois quadros atrás.

Qualquer combinação de um modo HEν+1,m com um modo EHν-1,m constituirá, igualmente, um modo guiado. Tais modos, obtidos da combinação de modos degenerados, designam-se por modos linearmente polarizados, representando-se pela notação LPjm ; de notar que só faz sentido falar de modos LP na “weakly guiding fiber approximation”. Em geral, tem-se

1. Cada modo LP0m é derivado de um modo HE1m ;

2. Cada modo LP1m resulta dos modos TE0m , TM0m e HE2m ;

3. Cada modo LPν m (ν ≥ 2 ) deriva dos modos HEν +1 e EHν -1 .

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A figura ilustra as quatro possíveis direcções dos campos eléctrico e magnético e as correspondentes distribuições de intensidade para o modo LP11 .

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Na figura é esquematizada a composição dos dois modos LP11 a partir dos modos exactos e seus campos eléctricos e magnéticos transversos, e respectivas distribuições de intensidade.

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A figura mostra os perfis de intensidade do campo eléctrico para os 3 modos LP (a) de ordem mais baixa, em conjunto com a distribuição do campo eléctrico dos modos exactos (b e c), que são seus constituintes.

Observar, a partir das configurações dos modos exactos, que a intensidade do campo na direcção transversa (Ex ou Ey) (parte d para Ex) é idêntica para os modos exactos que pertencem ao mesmo modo LP - daqui resulta a designação linearmente polarizado.

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nn Fluxo de potência em fibras “Fluxo de potência em fibras “stepstep--indexindex””w Fracção do fluxo de potência no núcleo para o modo ν

(44)e na baínha

(45)

−

−=

−+ )().()(11

11

2

2

2

uauauaJ

Vu

P JJPcore

νν

ν

PPPP coreclad −=1

Como já anteriormente discutido (ver figura do quadro da página 23), o campo electromagnético para um dado modo não tende para zero na fronteira núcleo-bainha, mas varia de um comportamento oscilatório (núcleo) para um decaimento exponencial (bainha). Assim, a energia electromagnética de um modo guiado é transportada parte no núcleo e parte na bainha: tanto mais distante um modo está do seu “cutoff” mais concentrada a sua energia no núcleo; ao invés, à medida que o “cutoff” se aproxima, maior é a percentagem da energia que viaja na bainha; na zona de “cutoff”, o campo não mais decai fora do núcleo e o modo torna-se um modo radiativo.

No caso de fibras ópticas que suportam a propagação de muitos modos, a fracção da potência total na bainha é aproximada por

(46) MPPclad 2

1

34 −≅

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nn Fibras monomodo (“Fibras monomodo (“singlesingle--mode fibersmode fibers”)”)w São aquelas que apenas suportam um modo de propagação.

É o tipo de fibras mais corrente em telecomunicações. Principais razões:w Exibem as maiores larguras de banda de transmissão e as menores perdas

w Dispõem de uma qualidade de transmissão superior a qualquer outro tipo de fibra

w Oferecem uma capacidade de evolução substancial para suportar futuros serviços de banda larga

w Apresentam compatibilidade com a tecnologia de óptica integrada em desenvolvimento

w Asseguram, em elevado grau, que a sua instalação é “ à prova do futuro” pois exibem tempos de vida médios superiores a 25 anos

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Características das fibras monomodo:

w Apresentam diâmetros do núcleo de alguns comprimentos de onda (tipicamente, entre 8 -12 µm)

w Diferença relativa do índice de refracção núcleo baínha ∆ pequena (entre 0,2 e 1%)

w Apenas o modo fundamental LP01 pode propagar-se, o que para fibras “step-index” só é possível para a gama de valores

0 ≤ V≤ 2,405 (47)

Dado que apenas o modo LP01 existe, verifica-se que o limite para operação de um único modo depende do “cutoff” do modo guiado LP11 : este ocorre à frequência normalizada de Vc = 2,405 (ver figura do quadro da página 36).

Na prática, e dado a diferença do índice de refracção núcleo-bainha variar entre 0,2 e 1%, o diâmetro do núcleo deve ser ajustado ligeiramente abaixo do valor de “cutoff” do modo LP11, ou seja, V um tudo nada inferior a 2,4. A título exemplificativo, valores típicos para fibra monomodo são: diâmetro do núcleo de 8,5 µm, diferença relativa de índices de ∆ ≈ 0,3% a um comprimento de onda de 1,3 µm, donde resulta que V ≅ 2,355.

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w “Mode-field diameter”

Muitas propriedades do modo fundamental LP01 são caracterizadas pela extensão radial do seu campo electromagnético, donde a distribuição espacial da radiação é que importa conhecer e não o diâmetro do núcleo e a abertura numérica da fibra. Assim, o “mode-field diameter- MDF” é um parâmetro fundamental para a caracterização da fibra monomodo: inclui a dependência da penetração do campo em função do comprimento de onda (por outras palavras, nem toda a radiação luminosa é transportada no núcleo, conforme esquematizado na parte esquerda da figura).

Para fibras monomodo do tipo “step-index” ou “graded-index”, operando perto do comprimento de onda de “cutoff”, o campo é bem aproximado por uma distribuição gaussiana (parte direita da figura): neste caso, o MDF define-se como a distância entre os pontos para os quais a amplitude do campo decaiu de 1/e (0,37) do seu valor máximo.

Um outro parâmetro, directamente relacionado com o “mode-field diameter”, é o denominado “spot size” ou “mode-field radius” ω0 : MFD = 2 ω0 .

Todavia, para fibras reais e com perfis de índice arbitrários, a distribuição do campo não é estritamente gaussiana. Vários modelos foram propostos para caracterizar e medir o MDF, sendo que o designado por “definição de Petermann II” é bastante aceite, sendo recomendado pelo ITU-T (ex-CCITT).

Para os interessados em aprofundar este tópico, recomenda-se o artigo: K. Petermann, Electron. Lett., vol. 19, pp. 712-714, 1983.

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w Propagação de modos em fibras “single-mode” Existem dois modos de propagação degenerados, que apesar de análogos são

independentes; Apresentam planos de polarização ortogonais; Propagam-se com diferentes velocidades de fase; Têm índices de refracção efectivos distintos, sendo a sua diferença chamada de

birefringência da fibra Bf : Bf = ¦ nx - ny ¦ = ¦ βx -β y ¦ .

O facto de termos dois modos de propagação degenerados resulta de o modo fundamental LP01 ser na realidade a combinação de dois modos HE11 (ver tabela do quadro da página 36). Apresentam planos de polarização ortogonais, os quais podem ser arbitrariamente escolhidos como polarizações horizontal (H) ou vertical (V), conforme ilustrado na figura. Em geral, o campo eléctrico da radiação é uma sobreposição linear destes dois modos de polarização, dependendo também da polarização da luz na entrada da fibra.

Em fibras ideais, perfeitamente cilíndricas, os dois modos são degenerados com constantes de propagação iguais (kx = ky) donde um modo excitado com o seu estado de polarização na direcção dos xx não interagirá com o modo com o estado ortogonal segundo yy, isto é, a luz injectada na fibra manterá o seu estado de polarização inicial ao longo da fibra. Todavia, as fibras reais apresentam imperfeições (núcleos não circulares, não-concentricidade núcleo-bainha, tensões laterais assimétricas, variações nos índices de refracção, etc) que quebram a simetria circular, levantando a degenerescência dos dois modos (kx ≠ ky). Daí propagarem-se com velocidades de fase ligeiramente diferentes, de que resulta a birefringência da fibra Bf , a qual também se pode definir pela seguinte expressão

β = k0 ¦nx - ny¦ (48)

Se ambos os modos são excitados, então verifica-se, devido à birefringência, um atraso de fase entre eles. Quando esta diferença de fase é um múltiplo inteiro de 2π, os dois modos estarão em fase donde o seu estado de polarização inicial à entrada da fibra será reproduzido. O comprimento da fibra sobre o qual ocorre este batimento designa-se por “fiber beat length - LP”

LP = 2π / β (49)Em fibras monomodo convencionais Bf não é constante ao longo da fibra mas varia aleatoriamente devido a flutuações na secção do núcleo e não-homogeneidade do seu índice de refracção. Em consequência, luz injectada na fibra com polarização linear rapidamente alcança um estado de polarização arbitrário.

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w A aproximação gaussiana

A figura mostra o perfil do campo electromagnético do modo fundamental no interior de uma fibra monomodo “step -index” para dois valores da frequência normalizada. Dependendo do valor de V, uma porção significativa da energia do modo propaga-se na região da bainha; mesmo para o valor de “cutoff” Vc somente 80% da energia viaja no interior do núcleo.

Pode-se observar da figura que a forma do modo fundamental LP01 é semelhante a uma curva gaussiana, o que permite aproximar a distribuição exacta do campo por uma distribuição gaussiana. A razão da aproximação gaussiana para a distribuição transversa do campo reside na sua simplicidade em relação à solução exacta, sendo muito útil nos cálculos envolvendo eficiências de acoplamento na entrada da fibra bem como perdas em juntas e conectores. Neste contexto, descreve com bastante precisão o campo no interior do núcleo, originando valores para a constante de propagação β do modo guiado bastante aproximados aos valores correctos.

Nesta aproximação apenas um parâmetro, o “mode-field raius” ω0 , é necessário para definir a distribuição radial da amplitude do campo. Este é aproximado pela seguinte fórmula empírica, com uma precisão melhor que 1%

(50)

r - raio do núcleo

λc - comprimento de onda de “cutoff”

λ - comprimento de onda da radiação luminosa

Nota: Para uma explicação mais detalhada ver Senior, págs. 67 - 73.

++=

cc

rλλ

λλ

ω

623

0 0149,0434,065,0

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nn Fibras de índice gradual (“Fibras de índice gradual (“gradedgraded--index fibersindex fibers”)”)

Não têm um índice de refracção constante no núcleo, mas sim um decréscimo gradual desde um valor máximo n1 no eixo da fibra até ao valor n2 - constante - na bainha. Matematicamente,

(51)

A equação expressa de modo conveniente o perfil do índice de refracção do núcleo da fibra em função do parâmetro α : para α = ∞ representa um perfil “step -index”; para α = 2 um perfil parabólico; para α =1 um perfil triangular.

Hoje em dia, o perfil do índice de refracção que produz os melhores resultados em termos das características das fibras multimodo é o aproximadamente parabólico com α ≈ 2. É tal a difusão de tais fibras que o termo “índice gradual” usado sem mais especificação adicional refere-se a fibras com perfil aproximadamente parabólico. Daqui em diante, quando nada for dito em contrário, o termo “fibras multimodo de índice gradual” representa este tipo de perfil.

[ ]( ) ( ) )(,121

)(0,)/(21)(

2121

1

21

1

baínhaarnnn

núcleoararnrn

≥=∆−≅∆−=

≤≤∆−= α

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Usando a aproximação da óptica geométrica, o decréscimo gradual do índice de refracção do centro do núcleo origina uma multitude de refracções dos raios, uma vez que eles efectivamente incidem sobre um grande número de interfaces sucessivas, passando de regiões de índice de refracção elevado para outras de índice inferior.

Este mecanismo é ilustrado na figura, onde se pode observar a curvatura gradual do raio, com um ângulo de incidência cada vez maior, até que as condições de reflexão interna total se concretizam; nesse instante, o percurso do raio altera-se, propagando-se agora em direcção ao núcleo.

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A figura esquematiza uma fibra multimodo com perfil de índice de refracção parabólico. Como se pode ver, os raios meridionais parecem percorrer caminhos curvos na sua propagação ao longo da fibra

Apesar de muitos modos distintos serem excitados na fibra “graded-index”, as diferentes velocidades de grupo dos modos tendem a ser normalizadas pelo perfil do índice. Recorrendo novamente ao traçado de raios, verifica-se que os raios que viajam mais perto do eixo da fibra percorrem distâncias menores que aqueles que se propagam na zona mais externa do núcleo. Todavia, a zona central da fibra corresponde a uma região de índice de refracção elevado donde os raios que viajam nesta zona fazem-no a uma velocidade inferior que os raios externos. Existe, assim, uma compensação dos percursos mais longos, que se traduz numa redução da dispersão da fibra - os diferentes raios, apesar de se propagarem ao longo de percursos distintos, demoram aproxi madamente o mesmo tempo a efectuar a sua propagação no interior da fibra.

Uma situação análoga existe para os “skew rays”.

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w Abertura numérica NA de fibras multimodo “ graded-index”

A determinação da abertura numérica para este tipo de fibras é bem mais complexa que no caso de fibras “step -index”.

Considerações de óptica geométrica mostram que a luz incidente no núcleo da fibra na posição rpropagar-se-á como modo guiado somente se estivar dentro da abertura numérica local NA(r) nesse ponto, definindo-se como

(52)

onde NA(0) representa a abertura numérica no eixo da fibra

(53)

A figura mostra as aberturas numéricas para fibras multimodo com diferentes perfis do índice de refracção α .

( )[ ] ( ) ( )ar

ararNAnrnrNA

<=

≤−≅−=

0

,10)( 21

22

2 α

( ) ( )[ ] ( ) ∆≅−=−= 200 121

22

21

21

22

2 nnnnnNA

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w Modos em fibras multimodo “ graded-index” A análise de modos usa métodos aproximados; o mais usado é o método WKB, de

Wenzel, Kramers e Brillouin

De maneira idêntica à fibra “step-index”, a seguinte equação de onda escalar deve ser resolvida

(54)

Pelo método WKB, as soluções dos modos guiados são obtidas assumindo Ex a forma

(55)

( )[ ] 011 222

2

2

22

2=−+

∂∂

+∂∂

+∂∂

ψβφψψψ

krnrrrr

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )zjsenl

lrjSrGrjSrG β

φφ

exp.cos

.expexp21

E 21x

−+=

Nota: Para uma dedução da expressão do número total de modos guiados usando o método WKB ver Senior, págs. 50-55.

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O número de modos guiados suportados por uma fibra multimodo “graded-index” é

(56)

Usando a eq. (39) vem

(57)

( ) ∆

+= ..

22

1 aknMα

α

+≅

2.

2

2VM

αα

No caso do núcleo da fibra ter um perfil de índice de refracção parabólico tem-se que

(58)

o que representa metade do número de modos guiados suportados por uma fibra multimodo “step -index” - ver eq. (41).

4

2VM ≈

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Características de Transmissão: Atenuação e DispersãoCaracterísticas de Transmissão: Atenuação e Dispersão

Os principais factores que determinam o desempenho da fibra óptica como meio de transmissão são:

nn AtenuaçãoAtenuação

nn DispersãoDispersão

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A atenuação do sinal (também designada por perda ) é um dos parâmetros mais importantes da fibra, pois determina, em grande medida, a distância máxima entre o transmissor e o receptor. Dado que repetidores ( e mesmo amplificadores ópticos) são caros de fabricar, instalar e manter, o grau de atenuação da fibra tem uma grande influência no custo do sistema.

Desde 1970, ano em que a histórica barreira dos 20 dB/km foi ultrapassada, registou-se um tremendo progresso no fabrico de fibras ópticas (à base de sílica), sendo hoje em dia as perdas da ordem de 0,2 dB/km. Em laboratório, o limite fundamental, em termos de atenuação, para este tipo de fibras foi praticamente atingido. Assim, intensa investigação está em curso para desenvolver fibras ópticas, fabricadas com outros materiais, que possam exibir perdas ainda substancialmente mais baixas, quando usadas a comprimentos de onda mais elevados - na região do infra-vermelho médio; foram já relatadas fibras com perdas de 0,01 dB/km @ 2,55 µm, com possibilidades de perdas ainda menores para comprimentos de onda entre 3 µm e 5 µm.

A outra característica importante da fibra é a sua largura de banda, a qual é limitada pela dispersão do sinal no interior da fibra. Os mecanismos de distorção na fibra causam o alargamento dos sinais ópticos à medida que se propagam ao longo da fibra. Se os sinais viajarem uma grande distância é possível que interfiram com os seus vizinhos, podendo provocar sérias distorções que se traduzem em erros na recepção. Assim, a dispersão determina o número de bits de informação que se podem transmitir num dado período de tempo.

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nn AtenuaçãoAtenuação

w Unidades: o decibel

(59)

α - coeficiente de atenuação em dB/kmL - comprimento da fibraPin - potência óptica injectada na fibraPout - potência óptica à saída da fibra

( )

=

out

inPP

LkmdB 10log10.α

A atenuação das fibras ópticas, como no caso de condutores metálicos, é em geral expressa em unidades logarítmicas, o decibel dB . O decibel é usado para comparar dois níveis de potência, sendo definido, para um determinado comprimento de onda, como a razão da potência óptica na entrada da fibra Pin em relação à potência óptica no extremo da saída Pout :

(60)

Esta unidade logarítmica tem a vantagem de que operações de multiplicação e divisão reduzem-se a meras adições e subtracções, enquanto que potenciação e raízes reduzem-se a multiplicação e divisão, respectivamente.

Em sistemas de comunicação por fibras ópticas é usual exprimir a atenuação em decibeis por unidade de comprimento (dB/km), representando-se pelo símbolo α dB de acordo com a eq. (59).

De notar que quando se diz que a fibra introduziu uma perda de 3 dB/km tal significa que a potência óptica ao fim de um quilómetro de fibra reduziu-se para 50% do seu valor inicial.

=

out

in

PPdB 10log10

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Vários mecanismos são responsáveis pela atenuação podendo agrupar-se em:

w Absorção

w “Scattering”

w Perdas por curvaturas: macro e micro-curvaturas

w Perdas por radiação devido a acoplamento de modos

w Perdas devido aos “leaky rays”

Estes mecanismos são influenciados pela composição material da fibra óptica, a técnica do seu fabrico e a sua estrutura de guia de onda.

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w Absorção material

A absorção é causada por três mecanismos diferentes:

Absorção devido a defeitos da estrutura atómica

Absorção extrínseca devido a impurezas

Absorção intrínseca pelos átomos constituintes do material da fi bra

A absorção material é um mecanismo de perda relacionado com a composição material e o processo de fabrico da fibra óptica, do qual resulta a dissipação, sob a forma de calor, de alguma da potência óptica transmitida.

Defeitos da estrutura atómica são imperfeições no material que compõe a fibra, tais como a falta de moléculas, agrupamentos de densidade elevada de grupos de átomos, etc. Em geral, as perdas devido a estes defeitos são desprezáveis quando comparadas com a absorção extrínseca ou intrínseca. Todavia, a situação altera-se se a fibra for exposta a níveis intensos de radiação nuclear.

A absorção extrínseca é causada pelas impurezas existentes no material da fibra. Resulta, essencialmente, de metais de transição (ferro, crómio, cobalto, níquel, etc), variando a sua concentração entre 1 a 10 partes por 109 átomos, provocando perdas entre 1 a 10 dB/km. Melhores técnicas de fabrico conduziram a níveis de concentração aceitáveis. Um outro mecanismo de absorção extrínseco é causado pela presença do ião OH (água). Concentrações de poucas partes por 109 do ião OH são necessárias para se obter valores de atenuação inferiores a 20 dB/km.

A absorção intrínseca é devido à interacção da luz com um ou mais componentes do vidro de que é fabricada a fibra. É o principal factor que determina o limite inferior fundamental da absorção de uma fibra. Resulta de ressonância electrónica na região do ultra-violeta (absorção UV) e de ressonância atómica na região do infra-vermelho próximo (absorção IR). A absorção UV resulta da interacção do campo electromagnético com a estrutura electrónica da fibra; ocorre absorção quando um fotão interage com um electrão na banda de valência, excitando-o para um nível de energia superior. A absorção IR resulta da interacção do campo com a estrutura atómica da fibra, havendo transferência de energia do campo para as ligações químicas da estrutura.

Ressonâncias entre o campo electromagnético e a estrutura da fibra conduz a regiões de atenuação elevada, pelo que são de evitar.

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w “Scattering”

“Rayleigh scattering”

“Mie scattering”

As perdas por “scattering” resultam de variações microscópicas na densidade do material, de flutuações na sua composição e de defeitos estruturais resultantes do processo de fabrico. Estes efeitos originam variações no índice de refracção, as quais ocorrem em distâncias pequenas quando comparadas com o comprimento de onda da radiação. Estas variações provocam o espalhamento da luz (do inglês “scattering” ), um fenómeno designado por “Rayleigh scattering”; este fenómeno é responsável pelo espalhamento da luz solar na atmosfera, dando origem à cor azulada do céu. O “Rayleigh scattering” produz uma atenuação proporcional a λ−4 , a qual se reduz drasticamente com o aumento do comprimento de onda, como se mostra nas figuras seguintes para o caso de fibras multimodo “graded index” e “single mode”.

“Scattering” também pode ocorrer quando as não-homogeneidades do material são comparáveis em dimensões com o comprimento de onda da luz. O espalhamento provocado por tais defeitos ocorre, em geral, no sentido da propagação, sendo designado po “Mie scattering”. Todavia, por controlo adequado durante o fabrico e por um aumento da diferença relativa do índice ∆ consegue-se reduzir a atenuação provocada pelo “Mie scattering” para níveis insignificantes.

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Observar que o mínimo de atenuação para esta fibra ocorre a 1,55 µm, sendo de 0,2 dB/km.

Tradicionalmente distinguem-se três regiões onde a atenuação apresenta valores atractivos; tais regiões designam-se por janelas de transmissão:

Comprimento de onda Perdas

1a. Janela λ = 850 nm ≈ 3 dB/km2a. Janela λ = 1300 nm ≈ 0,5 dB/km

3a. Janela λ = 1550 nm ≈ 0,2 dB/km

No início, os sistemas de transmissão por fibra óptica operavam na janela de 850 nm devido à disponibilidade dos outros dispositivos, nomeadamente fontes de luz e fotodetectores; com o evoluir da técnica, novos materiais e novas estruturas foram sendo alcançadas, e o uso das regiões de menor atenuação (2a. e 3.a janelas) começaram a ser exploradas.

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Perdas por curvaturas:

w Curvaturas macroscópicas

w Curvaturas microscópicas

Perdas radiativas ocorrem sempre que uma fibra sofre uma curvatura. As fibras podem ser sujeitas a dois tipos de curvaturas:

- curvaturas macroscópicas, onde o designado raio de curvatura R (ver figura do quadro seguinte) é grande quando comparado com o diâmetro da fibra; ocorre quando a fibra instalada tem de passar por uma esquina, por exemplo.

- curvaturas microscópicas, resultam de flutuações aleatórias de pequena escala no raio de curvatura do eixo da fibra (ver figura de dois quadros à frente); podem resultar de quando as fibras ópticas são incorporadas em cabos.

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w Perdas por curvaturas macroscópicas

Verifica-se que à medida que o raio de curvatura R decresce, as perdas aumentam exponencialmente até que um ponto, denominado de raio de curvatura crítico Rc , é atingido. Uma vez este limiar ultrapassado, as perdas tornam-se extremamente grandes. Qualitativamente estas perdas podem serexplicadas tendo em conta as distribuições do campo dos diferentes modos. Relembrar (ver figura) que qualquer modo guiado no núcleo apresenta “caudas” (do inglês “tails”) na bainha, as quais decaem exponencialmente em função da distância ao núcleo. Como estas “tails” se propagam em simultâneo com o restante campo no núcleo, tal significa que parte da energia de um modo se propaga na bainha. Ora, quando uma fibra é curvada, a “tail” do campo que viaja no extremo mais distante do centro de curvatura deve propagar-se com uma velocidade superior para acompanhar o restante campo no núcleo. Todavia, a uma certa distância crítica xc esta cauda teria de viajar a uma velocidade superior à velocidade da luz no vácuo, o que não sendo possível significa que a energia óptica contida além de xc(parte tracejada) é radiada, ou seja, há uma perda de energia do modo guiado.

Matematicamente, esta perda pode ser expressa por um coeficiente de atenuação da radiação αr

αr = c1 exp(-c2 R) (61)onde c1 e c2 são constantes independentes do raio de curvatura. Para fibras multimodo, o raio de curvatura crítico Rc pode ser estimado de

(62)

Da expressão conclui-se que as perdas por curvaturas macroscópicas podem ser reduzidas se: i) as fibras apresentarem diferenças de índice de refracção maiores; ii) operarem a comprimentos de onda o mais curtos possíveis. É também possível estimar um raio de curvatura crítico para fibras monomodo

(63)

onde λc é o comprimento de onda de “cutoff” da fibra monomodo.

( )21

22

21

21

4

3

nn

nRc

−≅

π

λ

( )

3

21

21

996,0748,220−

−

−≅

cc

nnR

λλλ

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w Perdas por curvaturas microscópicas

Uma outra forma de perdas resulta do acoplamento de modos devido a microcurvaturas aleatórias da fibra. Estas são causadas por não-uniformidades no fabrico ou por pressões laterais não-uniformes durante o fabrico do cabo de fibras. Este último efeito é muitas vezes referido por “cabling or packaging losses”. Um método de minimizar as perdas por microcurvaturas é pela extrusão de uma camada compressível em redor da fibra. Quando forças externas são aplicadas, a camada protectora será deformada mas a fibra tenderá a permanecer relativamente direita, sendo o impacto atenuado, conforme a figura seguinte ilustra.

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nn DispersãoDispersão

A figura ilustra a distorção sofrida por vários impulsos na sua propagação ao longo da fibra. Pode-se observar que cada impulso vai alargando, chegando-se à situação em que se verifica sobreposição com os impulsos vizinhos, tornando-se por vezes indistinguíveis na recepção. Tal efeito é conhecido como interferência inter-simbólica - ISI (do inglês “Intersymbol Interference”).

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A dispersão é consequência de dois efeitos:

w Dispersão intramodal

w Dispersão intermodal

Dispersão intramodal ou cromática traduz-se no alargamento do impulso, ocorrendo num único modo. É o resultado da velocidade de grupo ser função do comprimento de onda (relembrar que a velocidade de grupo é a velocidade com que a energia de modo viaja na fibra); assim, o efeito da dispersão cromática é tanto mais pronunciado quanto maior a largura espectral da fonte óptica. Esta largura espectral é a banda de comprimentos de onda em que a fonte emite. É, em geral, caracterizada pela largura espectral rms (“root -mean-square”) σλ. Para fontes LED é aproximadamente 5% do comprimento de onda central; por exemplo, para um LED com pico de emissão a 850 nm, a sua largura espectral típica é da ordem dos 40 nm. No caso de díodos laser, os valores típicos oscilam entre 1 a 2 nm.

Dispersão intermodal (ou, abreviadamente, dispersão de modos) resulta do facto de cada modo de propagação ter um valor diferente da sua velocidade de grupo para a mesma frequência. Assim, como os diferentes modos, que constituem um impulso, viajam ao longo da fibra a diferentes velocidades de grupo, a largura do impulso depende dos tempos de transmissão do modo mais rápido e do modo mais lento. De referir que é este mecanismo o responsável pela diferença básica, em termos de dispersão, dos três tipos de fibras até aqui estudados: fibras multimodo “step-index”, fibras multimodo”graded-index” e fibras “single-mode”.

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A figura ilustra o efeito da dispersão em cada um dos três tipos de fibra já estudados. Observar que o maior alargamento do impulso transmitido ocorre na fibra multimodo “step-index”, notando-se uma melhoria significativa na fibra “graded-index”. Por fim, a fibra “single-mode” apresenta a menor dispersão, sendo, por isso, a que tem maior largura de banda.

Todavia, o alargamento dos impulsos depende da distância percorrida no interior da fibra; assim, a dispersão de uma fibra é usualmente especificada como o alargamento temporal do impulso na unidade de comprimento - p. ex., ns/km ou ps/km.

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As duas principais causas de dispersão intramodal são:

w Dispersão material

w Dispersão de guia de onda (do inglês “waveguide dispersion”)

A dispersão material resulta da variação do índice de refracção do núcleo em função do comprimento de onda, o que provoca a dependência da velocidade de grupo de um dado modo do comprimento de onda; ou seja, o alargamento do impulso ocorre mesmo quando diferentes comprimentos de onda seguem o mesmo percurso. É também referido como dispersão cromática ou espectral, dado que é o mesmo fenómeno que ocorre na decomposição do espectro da luz branca pelo prisma óptico.

“Waveguide dispersion” é um fenómeno relacionado com a estrutura de guia de onda da fibra. Ocorre, essencialmente, em fibras monomodo dado este tipo de fibras apenas confinar cerca de 80% da energia óptica do modo no núcleo. A dispersão de guia de onda resulta, assim, dos 20% da energia que se propaga na bainha a uma velocidade superior à do núcleo. Depende do desenho da fibra, assunto já brevemente abordado anteriormente. Em fibras multimodo, onde a maioria dos modos propaga-se longe do “cutoff”, este efeito é desprezável quando comparado com a dispersão material.

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w Atraso de grupo τg por unidade de comprimento L

(64)

w Velocidade de grupo Vg(65)

w Atraso total das componentes espectrais dum modo à distância L(66)

Se a fonte é caracterizada pelo seu valor rms σλ , o alargar do impulso é

(67)

Designa-se por Dispersão o factor(68)

λβ

πλβτ

dd

cdkd

cVL g

g

211 2

−===

1−

=

dkd

cVgβ

δλλ

τδτ

d

d g=

+−== 2

222

2 λ

βλ

λβ

λπσ

σλ

τσ λ

λd

ddd

cL

d

d gg

λ

τ

d

d

LD g1

=

No caso da largura espectral da fonte não ser elevada, o atraso por unidade de comprimento ao longo do percurso é aproximadamente dτg / dλ. Para componentes espectrais as quais estão distantes δλ, espraiando-se por uma zona δλ/2 à esquerda e à direita de um comprimento de onda central λ0 , a diferença total numa distância L é dada pela eq. (66).

Se a largura espectral da fonte δλ poder ser caracterizada pelo seu valor rms σλ então resulta a eq. (67).

O parâmetro D, designado por dispersão, define o alargamento do impulso em função do comprimento de onda; é medido em ps / nm . Km . Resulta da dispersão material e da dispersão de guia de onda.

Na maioria dos livros de texto sobre comunicações ópticas é comum analisar a contribuição individual de cada um dos termos da dispersão, considerando o outro nulo, sendo depois adicionados os resultados assim obtidos para se obter a dispersão total do modo. O valor assim obtido representa uma boa estimativa da dispersão intramodal total. É com esta perspectiva que serão analisados os quadros seguintes.

Todavia, na realidade os dois mecanismos responsáveis pela dispersão intramodal total estão intrinsecamente relacionados. É apenas por simplificação da análise e obtenção das expressões que são considerados em separado.

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w Dispersão material

(69)

Para uma fonte com largura espectral rms σλ vem

(70)

onde Dmat(λ ) é a Dispersão Material

−=

λλτ

ddn

ncL

mat

( ) λλ σλλ

λσ

λτ

σ LDd

ndc

Ld

dmat

matmat =−== 2

2

No cálculo da dispersão material, considera-se uma onda plana propagando-se num meio dieléctrico de extensão infinita, com um índice de refracção n(λ) no núcleo. Em tal caso, a constante de propagação β é dada por

β = 2πn(λ) / λ (71)

De notar que se escreveu explicitamente a dependência do índice de refracção em função do comprimento de onda.

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O gráfico acima representa a eq. (70) para um comprimento unitário L e uma largura espectral unitária da fonte óptica de σλ , considerando o caso de fibra de sílica. De reparar, que a dispersão material pode ser reduzida quer pela utilização de fontes com larguras espectrais reduzidas ou pela operação a comprimentos de onda mais elevados ( ≈ 1,3 µm ).

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w Dispersão de guia de onda

(72)

No caso da fonte ter uma largura espectral rms σλ

(73)

onde Dwg(λ) é a “Waveguide Dispersion”

( )

( )λσλ

σσ

λ

τσ

λ

λλ

wg

wgwg

DLdV

Vbdc

VLnd

d

=

∆−== 2

22

( )

( )

∆+≅

∆+==

dVVbd

nncL

dkkbd

nncL

dkd

cL

wg

22

22β

τ

Na eq. (72) o segundo termo entre parêntesis representa o atraso de grupo resultante da “waveguide dispersion”.

Para fibras monomodo práticas, considerando ∆ = 0,01 e n2 = 1,5 tem-se

(74)

Comparando com a dispersão material (λ = 900 nm)

(75)

torna-se evidente que, para comprimentos de onda pequenos, a dispersão material predomina. No entanto, para comprimentos de onda elevados ( 1,3 µm ), que corresponde à região de menor dispersão material na sílica, a “waveguide dispersion” pode ser o mecanismo dominante na distorção dos impulsos ópticos.

λσσ λ

cLwg 003,0

−≅

λσσ λ

cLmat 02,0

−≅

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A figura da esquerda representa o gráfico do parâmetro de guia de onda b e as suas derivadas d(Vb)/dVe Vd2(Vb)/dV2 em função do número V.

A figura da direita ilustra a importância, em termos quantitativos, da dispersão material e da dispersão de guia de onda em função do comprimento de onda para fibras monomodo de silício - valores típicos.

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w Dispersão intermodal

(76)

Em fibras “step-index”, o alargamento rms devido à dispersão intermodal é

(77)

No caso de fibras “graded-index”, com perfil optimizado, o alargamento é

(78)

c

nL

cnL

ncnL

TTT∆

≈−=−= 11

2

21

minmaxmodδ

c

nL

321

mod∆

≈σ

cnL

320

21

mod∆

≈σ

A dispersão intermodal ou de modos resulta das diferenças de propagação entre os vários modos de uma fibra multimodo. Dado que os diferentes modos viajam a velocidades de grupo distintas, a largura do impulso na saída depende dos tempos de transmissão do modo mais rápido e do modo mais lento. Usando a aproximação da óptica geométrica e com o auxílio da figura

tem-se que o raio axial percorre a distância L no tempo mínimo dado por(79)

O raio meridional extremo (injectado na fibra segundo θa ) exibe o tempo máximo do percurso

(80)

donde resulta a eq. (76)

( )1min nc

Lvelocidadedistância

T ==

2

21

max ncnL

T =

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De referir que a dispersão intermodal não existe em fibras monomodo (apenas há a propagação de um único modo), sendo apenas importante para fibras multimodo.

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w Dispersão em fibras multimodo “graded-index”

(81)2intramodal

2intermodal σσσ +=

σintermodal é a largura rms do impulso devido à dispersão intermodal, e σintramodal é a largura rmsresultante do alargamento do impulso em cada modo devido à dispersão material e de guia de onda. Todavia, como se trata de fibras multimodo, a dispersão de guia de onda é desprezável quando comparada com a dispersão material, donde σintramodal ≈ σmat .

Para o caso de fibras multimodo “graded-index” a expressão que representa a contribuição da dispersão intermodal é dada pela eq. (78), considerando que o perfil do índice de refracção corresponde ao valor óptimo (de notar que α é função do comprimento de onda)

(82)

A expressão para a dispersão intramodal é assaz complexa. Para os interessados sugere-se consultar o livro do Keiser, páginas 107-112.

5122 ∆−≅optα

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w Fibras monomodo com dispersão modificada

(83)( )44 844 7648476 ""

2

22

2

2

waveguidedispersãomaterialdispersão

wgmatTotaldV

Vbdc

Vn

d

ndc

DDDλλ

λ ∆−−=+=

Como já anteriormente abordado, a dispersão de uma fibra monomodo de sílica apresenta valores mínimos a 1300 nm, enquanto que o seu mínimo de atenuação situa-se a 1550 nm. Idealmente, para se obter a máxima distância de transmissão com a máxima capacidade de transferência de informação, a fibra deve ter uma dispersão nula para o comprimento de onda de atenuação mínima.

Como se pode ver da figura, para comprimentos de onda superiores a 1300 nm, as componentes Dmate Dwg têm sinais opostos; em teoria, deveria ser possível cancelar uma com a outra, para um determinado comprimento de onda mais elevado. Na prática, tal é possível através do ajuste dos parâmetros de desenho da fibra, obtendo-se assim novos tipos de fibra monomodo designados genericamente por fibras monomodo com dispersão modificada.

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O gráfico mostra a dispersão intramodal total em função do comprimento de onda para fibras monomodo com diâmetros do núcleo de 4, 5 e 6 µm, respectivamente.

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w Perfis do índice de refracção

A dispersão material é difícil de alterar, mas é possível a modificação da “waveguide dispersion”variando o perfil do índice de refracção de simples “step -index” para perfis mais complexos (ver figura).

Várias configurações foram consideradas, quer alterando o perfil do índice de refracção do núcleo quer da bainha.

A figura mostra os perfis de três grandes categorias de fibras monomodo: fibras optimizadas a 1300 nm (também designadas de fibras “standard” ou “non-dispersion shifted fibers”), fibras “dispersion-shifted” e fibras “dispersion-flattened”.

O tipo de fibras com maior implementação em redes de telecomunicações são as fibras optimizadas a 1300 nm, com perfis do núcleo aproximadamente “step -index”, e baínha do tipo “matched-cladding” ou “depressed-cladding”.

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w Perspectiva tri-dimensional dos perfis do índice de refracção

A figura ilustra os perfis de vários tipos de fibra monomodo:

(a) “matched-cladding 1300 nm optimized”

(b) “depressed-cladding 1300 nm optimized”

(c) “triangular dispersion-shifted”

(d) “qraduple-clad dispersion-flattened”

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Características de dispersão típicas para fibras monomodo do tipo (a) “1300 nm optimized”, (b) “dispersion-shifted” e (c) “dispersion-flattened” .

co parte 1 - web.fe.up.pthsalgado/co/co_parte1.pdf · nfibras Ópticas: estruturas e teoria de...

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