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①②③

三角関数の合成とは？三角関数の合成の公式三角関数の合成の公式の使い方

三角関数の合成とは？2sin(θ＋ 30°)に加法定理を利用すると，　　2sin(θ＋ 30°)＝ 2sinθcos30°＋ 2cosθsin30°

　　　　　　　　＝ 2sinθ23＋ 2cosθ×

21

　　　　　　　　＝ 3 sinθ＋ cosθしたがって，逆をたどれば， 3 sinθ＋ cosθは rsin(θ＋α)の形に変形できる。では，　　sinθ＋ cosθ＝ rsin(θ＋α)のとき，rやαは？　　sinθ＋ 3 cosθ＝ rsin(θ＋α)のとき，rやαは？

　asinθ＋ bcosθの式を rsin(θ＋α)(r＞ 0)の形にすることを，三角関数の合成という。

三角関数の合成の公式3 sinθ＋ cosθの具体例で考えてみよう。3 sinθ＋ cosθを rsin(θ＋α)(r＞0)の形にするので，rsin(θ＋α)に加法定理を使ってみると，　　rsin(θ＋α)＝ rsinθcosα＋ rcosθsinα

　　　　 ＝ rcosα sinθ＋ rsinα cosθ

　　　　　　　 　　　　　 　　　　　　 3　　　　　　1

rの求め方rcosα＝ 3，rsinα＝ 1なので，　　r2cos2α＋ r2sin2α＝ ( 3 )2 ＋ 12 ＝ 4　　r2(cos2α＋ sin2α)＝ 4　　　　　　　　　　 ➡　　r2 ＝ 4　　r＝ 2(r＞ 0)

加法定理を利用して，三角関数のいろいろな公式を導きます。特に今回は，三角関数の合成の公式について学習し，その公式を使えるようにします。

－ 110 － 高校講座・学習メモ

ラジオ学習メモ

第3章　三角関数　［加法定理］

数学Ⅱ

講師加法定理の応用 ⑵三角関数の合成

第48回

学習のポイント

3 sinθ＋cosθのとき，　　　r＝ ( 3 )2＋12＝2asinθ＋bcosθのとき，　　　r＝ a2 ＋ b2

− 111 − 高校講座・学習メモ

数学Ⅱ 48 加法定理の応用 ⑵

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⃝αの求め方2cosα＝ 3，2sinα＝ 1なので，

　　cosα＝23，sinα＝

21

より，α＝ 30°

※右図のような直角三角形を考えると，30°であることがわかる｡　　　　　　　　　　　　　　⬇　　　 3 sinθ＋ cosθのとき，cosα＝

23，sinα＝

21

　　　asinθ＋ bcosθのとき，cosα＝a2 ＋ b2

a，sinα＝

a2 ＋ b2b

【三角関数の合成】

　　　asinθ＋ bcosθ＝ a2 ＋ b2 sin(θ＋α)

　　　ただし，cosα＝a2 ＋ b2

a，sinα＝

a2 ＋ b2b

三角関数の合成の公式の使い方■ sinθ＋ cosθ　sinθ＋ cosθ＝ 12 ＋ 12 sin(θ＋α)＝ 2 sin(θ＋α)

　ただし，αは，

　　cosα＝ 12，sinα＝ 1

2

　を満たす角である。　　したがって，α＝ 45°となるから，　sinθ＋ cosθ＝ 2 sin(θ＋ 45°)　　……（答）

■ sinθ＋ 3 cosθ　sinθ＋ 3 cosθ＝ 12＋( 3 )2 sin(θ＋α)＝ 2sin(θ＋α)

　ただし，αは，

　　cosα＝21，sinα＝

23

　を満たす角である。　　したがって，α＝ 60°となるから，　sinθ＋ 3 cosθ＝ 2sin(θ＋60°)　　……（答）

P(a，b)

α

O

b

a

y

x

a2 ＋ b2

P(1， 3 )3

y

xO

P(1， 1)

45°

1

1

y

x

2

O

P( 3 ，1)

O

30°

12

3

y

x

60°

1

2