colis i ones

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Colisiones 1.Objetivos General Estudio del choque de dos partículas. Aplicación de los principios de conservación de cantidad de movimiento y energía. Especifico Verificar la conservación de la cantidad de movimiento lineal en el choque bidimensional de dos partículas. Determinar si se conserva o no la energía cinética durante el choque. Determinar el coeficiente de restitución del choque. 2. Fundamento Teórico Momento lineal Momento lineal o Cantidad de movimiento, en física, es la cantidad fundamental que caracteriza el movimiento de cualquier objeto. Es el producto de la masa de un cuerpo en movimiento y de su velocidad lineal. El momento es una cantidad vectorial, lo que significa que tiene magnitud, dirección y sentido. El momento lineal total de un sistema constituido por una serie de objetos es la suma vectorial de los momentos de cada objeto individual. En un sistema aislado, el momento total permanece constante a lo largo del tiempo; es lo que se llama conservación del momento lineal. Por ejemplo, cuando un jugador de tenis golpea una pelota, el momento lineal de la raqueta justo antes de

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Page 1: Colis i Ones

Colisiones

1. Objetivos

General

Estudio del choque de dos partículas.

Aplicación de los principios de conservación de cantidad de movimiento y

energía.

Especifico

Verificar la conservación de la cantidad de movimiento lineal en el choque

bidimensional de dos partículas.

Determinar si se conserva o no la energía cinética durante el choque.

Determinar el coeficiente de restitución del choque.

2. Fundamento Teórico

Momento lineal

Momento lineal o Cantidad de movimiento, en física, es la cantidad fundamental que

caracteriza el movimiento de cualquier objeto. Es el producto de la masa de un cuerpo

en movimiento y de su velocidad lineal. El momento es una cantidad vectorial, lo que

significa que tiene magnitud, dirección y sentido. El momento lineal total de un

sistema constituido por una serie de objetos es la suma vectorial de los momentos de

cada objeto individual. En un sistema aislado, el momento total permanece constante

a lo largo del tiempo; es lo que se llama conservación del momento lineal. Por ejemplo,

cuando un jugador de tenis golpea una pelota, el momento lineal de la raqueta justo

antes de golpear la bola más el momento de la pelota en ese instante es igual al

momento de la raqueta inmediatamente después de golpear la bola más el momento

de la pelota golpeada. En otro ejemplo, imaginemos a un nadador que salta desde un

bote inmóvil que flota sobre el agua. Antes de saltar, el bote y el nadador no se

mueven, por lo que el momento lineal total es cero. Al saltar, el nadador adquiere

momento lineal hacia delante, y al mismo tiempo el bote se mueve hacia atrás con un

momento igual en magnitud y dirección pero sentido contrario; el momento total del

sistema formado por el nadador y el bote sigue siendo nulo.

Page 2: Colis i Ones

La física actual considera la conservación del momento como una ley universal, que se

cumple incluso en situaciones extremas donde las teorías clásicas de la física no son

válidas. En particular, la conservación del momento lineal se cumple en la teoría

cuántica, que describe los fenómenos atómicos y nucleares, y en la relatividad, que se

emplea cuando los sistemas se desplazan a velocidades próximas a la de la luz.

Según la segunda ley del movimiento de Newton —llamada así en honor al astrónomo,

matemático y físico británico Isaac Newton—, la fuerza que actúa sobre un cuerpo en

movimiento debe ser igual al cambio del momento lineal por unidad de tiempo. Otra

forma de expresar la segunda ley de Newton es decir que el impulso —esto es, el

producto de la fuerza por el tiempo durante el que actúa sobre un cuerpo— equivale

al cambio del momento lineal del cuerpo.

Momento de inercia

Momento de inercia es la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su

velocidad de giro. A veces se denomina inercia rotacional. El momento de inercia

desempeña en la rotación un papel equivalente al de la masa en el movimiento lineal.

Por ejemplo, si una catapulta lanza una piedra pequeña y una grande aplicando la

misma fuerza a cada una, la piedra pequeña se acelerará mucho más que la grande. De

modo similar, si se aplica un mismo par de fuerzas a una rueda con un momento de

inercia pequeño y a otra con un momento de inercia grande, la velocidad de giro de la

primera rueda aumentará mucho más rápidamente que la de la segunda.

El momento de inercia de un objeto depende de su masa y de la distancia de la masa al

eje de rotación. Por ejemplo, un volante de 1 kg con la mayoría de su masa cercana al

eje tendrá un momento de inercia menor que otro volante de 1 kg con la mayoría de la

masa cercana al borde exterior.

El momento de inercia de un cuerpo no es una cantidad única y fija. Si se rota el objeto

en torno a un eje distinto, en general tendrá un momento de inercia diferente, puesto

que la distribución de su masa en relación al nuevo eje es normalmente distinta.

Page 3: Colis i Ones

Las leyes del movimiento de los objetos en rotación son equivalentes a las leyes del

movimiento de los objetos que se mueven linealmente (el momento de inercia

sustituye a la masa, la velocidad angular a la velocidad lineal, ...).

Energía

La magnitud denominada energía enlaza todas las ramas de la física. En el ámbito de la

mecánica, debe suministrarse energía para realizar trabajo; el trabajo se define como

el producto de la fuerza por la distancia que recorre un objeto en la dirección de la

fuerza. Cuando se ejerce una fuerza sobre un objeto pero la fuerza no hace que el

objeto se mueva, no se realiza trabajo. La energía y el trabajo se expresan en las

mismas unidades, como por ejemplo julios o ergios.

Si se realiza trabajo para elevar un objeto a una altura superior, se almacena energía

en forma de energía potencial gravitatoria. Existen muchas otras formas de energía:

energía potencial eléctrica y magnética, energía cinética, energía acumulada en

muelles estirados, gases comprimidos o enlaces moleculares, energía térmica e incluso

la propia masa. En todas las transformaciones entre un tipo de energía y otro se

conserva la energía total. Por ejemplo, si se ejerce trabajo sobre una pelota de goma

para levantarla, se aumenta su energía potencial gravitatoria. Si se deja caer la pelota,

esta energía potencial gravitatoria se convierte en energía cinética. Cuando la pelota

choca contra el suelo, se deforma y se produce fricción entre las moléculas de su

material. Esta fricción se transforma en calor o energía térmica

3. Metódica Experimental

1. Mediante la prensa fije la rampa de lanzamiento al borde de la mesa.

2. Con la cinta adhesiva, fije en el piso el pliego de papel sabana y sobre este,

coloque papel carbónico.

3. Con la ayuda de la plomada proyecte el borde de la rampa sobre el piso,

determinado de esa manera el origen “O” del sistema de coordenadas “x –

y”.

4. Realice al menos 5 lanzamientos de la esfera incidente m1. (sin la esfera

blanco m2)

Page 4: Colis i Ones

5. Con la huella de los impactos y el origen “O” trace el eje “x”. Perpendicular

a este, trace el eje “y”.

6. Mida la altura total de caída H y los alcances S para la esfera m1.

7. Fije la plaqueta móvil de modo de producir un choque bidimensional. Luego

gradué la altura de la esfera m2, en el tornillo de la plaqueta de tal manera

de lograr que los centros de masa estén al mismo nivel de colisión.

8. Ensaye el choque de las esferas cuidando que sus huellas no queden fuera

del pliego del papel.

9. Realice al menos 5 impactos de m1 sobre m2. A continuación mida los

componentes S1x: S1y: S2x: S2y de ambas esferas.

10. Determine las masas de las esferas.

Montaje

Para la primera parte el montaje es el siguiente:

Para la segunda parte el montaje visto lateralmente es el siguiente:

Page 5: Colis i Ones

La vista desde arriba es:

Page 6: Colis i Ones

4. Datos, Cálculos y resultados

masa de la esfera incidente (esfera mayor): m1 27,5 gmasa de la esfera blanco (esfera menor): m2 18,8 g

Altura de caída: H 81.0 cm

Lanzamiento de la esfera m1 (sin esfera m2)n 1 2 3 4 5 Promedio

S(cm) 48,4 47,8 48,2 47,8 48,8 48,2

1. Con la ecuación V 1=S√ g2H

y los valores promedios de S y H, calcule la

velocidad V1 de la esfera (1) un instante antes del choque.

V 1=48.2cm√ 977,5 cms22∗81cm

V 1=118.4cms

2. Propagando la ecuación V 1=S√ g2H

, calcule el error de la velocidad V1

y exprese V1 en la forma V 1=V 1±EV 1 . Para el cálculo de errores,

considere un nivel de confianza del 95 %.

n x(cm) xi -x (xi-x) 2 n y(cm)

1 48,4 0,2 0,04 1 81,02 47,8 -0,4 0,16 2 81,03 48,2 0,0 0,00 3 81,04 47,8 -0,4 0,16 4 81,05 48,8 0,6 0,36 5 81,0

Media 48,2 0,72 6 81,0

Sx 0,424264069 tc 2,776 Sy 0,1

Ex 0,52671 Ey 0,12415

V 1=S√ g2H

Page 7: Colis i Ones

lnV 1=ln(S√ g2H )

lnV 1=ln S+12ln g−1

2ln 2−1

2lnH

Diferenciando

dV 1V o

=dSS

−dH2H

EV 1V 1

= ESS

+EH2H

EV 1=¿

EV 1=118.4 (0.548.2

+0.12∗81.0

)

EV 1=1.3cms

V 1=(118.4±1.3 ) cms

3. Con las ecuaciones V 1X=S X√ g

2H , V 1Y

=SY √ g2H

, V 2X=S X√ g

2H,

V 2Y=SY √ g

2H calcule las velocidades de ambas esferas

inmediatamente después del choque.

Colisión de m1 y m2

n S1x (cm) S1y(cm) S2x (cm) S2y (cm)

1 11,0 13,2 11,0 52,8

2 10,8 12,9 10,8 53,5

3 11,3 13,3 10,7 52,0

4 10,8 12,8 11,3 53,1

5 11,3 12,9 10,9 53,6

Promedio 11,0 13,0 10,9 53

Page 8: Colis i Ones

Para V1x

V 1X=S1X √ g

2H

V 1X=11.0cm√ 977,5 cms22∗81cm

V 1X=27.02 cm

s

Para V1y

V 1 y=S1 y √ g

2H

V 1 y=13cm√ 977,5 cms22∗81cm

V 1 y=31.93 cm

s

Para V2x

V 2X=S2X √ g

2H

V 2X=10.9cm√ 977,5 cms22∗81cm

V 2X=26.77 cm

s

Para V2y

V 2 y=S1 y √ g

2H

V 2 y=53cm√ 977,5 cms22∗81cm

Page 9: Colis i Ones

V 2 y=130.2 cm

s

4. Con las ecuaciones V 1=√V 1x

2+V 1 y

2 , V 2=√V 2x

2+V 2 y

2 calcule las

velocidades totales de ambas esferas.

Para V1

V 1=√V 1x

2+V 1 y

2

V 1=√(27.02 cms )2

+(31.93 cms

)2

V 1=41.83cms

Para V2

V 2=√V 2x

2+V 2 y

2

V 2=√(26.77 cms

)2

+¿¿

V 2=132.92cms

5. Por propagación de errores de las ecuaciones V 1=√V 1x

2+V 1 y

2 ,

V 2=√V 2x

2+V 2 y

2 determine: V 1=V 1±EV 1 V 2=V 2± EV 2para un nivel de

confianza del 95%.

Para sus componentes horizontal y vertical de la velocidad utilizamos la tabla 2:

Para V1x

n x(cm) xi -x (xi-x) 2 n y(cm)

1 11,0 0,0 0,00 1 81,02 10,8 -0,2 0,06 2 81,03 11,3 0,3 0,07 3 81,04 10,8 -0,2 0,06 4 81,05 11,3 0,3 0,07 5 81,0

Media 11,0 0,25 6 81,0

Page 10: Colis i Ones

Sx 0,25099801 tc 2,776 Sy 0,1

Ex 0,31161 Ey 0,12415EV 1x=¿

EV 1x=27.02 (0.311.0

+0.12∗81.0

)

EV 1x=0.75cms

V 1x= (27.02±0.75 ) cms

Para V1y

n x(cm) xi -x (xi-x) 2 n y(cm)

1 13,2 0,2 0,03 1 81,02 12,9 -0,1 0,01 2 81,03 13,3 0,3 0,08 3 81,04 12,8 -0,2 0,05 4 81,05 12,9 -0,1 0,01 5 81,0

Media 13,0 0,19 6 81,0

Sx 0,21679483 tc 2,776 Sy 0,1

Ex 0,26914 Ey 0,12415

EV 1 y=¿

EV 1 y=31.93(0.313.0

+0.12∗81.0

)

EV 1 y=0.76cms

V 1 y=(31.93±0.76 ) cms

Propagando la ecuación:

V 1=√V 1x

2+V 1 y

2

lnV 1=12ln(V ¿¿1x¿¿ ¿¿2+V 1y

2)¿¿¿

Page 11: Colis i Ones

dV 1V 1

=12d

(V ¿¿1x¿¿ ¿¿2+V 1 y

2)

(V ¿¿1x¿¿ ¿¿2+V 1y

2)¿¿¿¿¿¿

dV 1V 1

=12

(2V ¿¿1x¿¿ dV 1x+2V 1y d V 1y

)

(V ¿¿1x¿¿ ¿¿2+V 1y

2)¿¿¿¿¿

EV 1V 1

=12

(2V ¿¿1x¿¿ EV 1x+2V 1 y

EV 1 y)

(V ¿¿1x¿¿ ¿¿2+V 1 y2)¿¿¿¿

¿¿

EV 1=12

(2V ¿¿1x¿¿ EV 1x +2V 1 yEV 1 y)

(V ¿¿1x¿¿ ¿¿2+V 1y

2)V 1 ¿¿¿¿¿¿

EV 1=122∗27.02∗0.75+2∗31.93∗0.76¿ ¿

27.022+31.93241.83

cms

EV 1=1.06cms

V 1=(41.83±1.06 ) cms

Para V2:

Para sus componentes horizontal y vertical de la velocidad utilizamos la tabla 2:

Para V2x

n x(cm) xi -x (xi-x) 2 n y(cm)

1 11,0 0,1 0,00 1 81,02 10,8 -0,1 0,02 2 81,03 10,7 -0,2 0,06 3 81,04 11,3 0,4 0,13 4 81,05 10,9 0,0 0,00 5 81,0

Media 10,9 0,21 6 81,0

Sx 0,23021729 tc 2,776 Sy 0,1

Ex 0,28581 Ey 0,12415

EV 2x=¿

Page 12: Colis i Ones

EV 2x=26.77(0.310.9

+0.12∗81.0

)

EV 2x=0.75cms

V 2x= (26.77±0.75 ) cms

Para V2y

n x(cm) xi -x (xi-x) 2 n y(cm)

1 52,8 -0,2 0,04 1 81,02 53,5 0,5 0,25 2 81,03 52,0 -1,0 1,00 3 81,04 53,1 0,1 0,01 4 81,05 53,6 0,6 0,36 5 81,0

Media 53,0 1,66 6 81,0

Sx 0,64420494 tc 2,776 Sy 0,1

Ex 0,79976 Ey 0,12415

EV 2 y=¿

EV 2 y=130.2(0.853.0

+0.12∗81.0

)

EV 2 y=2.05cms

V 2 y=(130.2±2.05 ) cms

Para V2

EV 2=12

(2V ¿¿2x¿¿ EV 2 x+2V 2 yEV 2 y)

(V ¿¿2x¿¿ ¿¿2+V 2y

2)V 2 ¿¿¿¿¿¿

EV 2=12

(2∗26.77∗0.75+2∗130.2∗2.05)26.772+130.22

132.92cms

Page 13: Colis i Ones

EV 2=2.16cms

V 2=(132.92±2.16 ) cms

6. Mediante las ecuaciones m1V 1=(m1V 1x+m2V 2 x

) (en el eje x)

0=(m1V 1y−m2V 2 y

) (En el eje y) .Verifique si se cumple Pi=P f en cada

eje. ¿En qué porcentaje difieren Pi y P f en cada eje? ¿Por qué?

Pi=P f

En el eje x: m1V 1=(m1V 1x+m2V 2 x

)

27.5 g∗118.4 cms

=¿)

3256 gcms

=¿

3256 gcms≠1246.3 g

cms

Pi≠P f

En el eje y: 0=(m1V 1y−m2V 2 y

)

0=(27.5 g∗31.93 cms

−18.8 g∗130.2 cms

)

0≠−1584.54 g cms

Pi≠P f

7. Con la ecuación 12m1V 1

2=12m1V 1

2+ 12m2V 2

2+k verifique si se conserva

o no la energía cinética. ¿Qué porcentaje se ha disipado al ambiente?

12m1V 1

2=12m1V 1

2+ 12m2V 2

2+k

12m1V 1

2−12m1V 1

2−12m2V 2

2=k

Page 14: Colis i Ones

k=1227.5g (118.4 cms )

2

−1227.5g(41.83 cms )

2

−1218.8 g(132.92 cms )

2

k=2619.52erg

Eo=1227.5 g(118.4 cms )

2

Eo=192755.2erg

%disipado= 2619.52erg192755.2erg

∗100

%disipado=1.4%

8. ¿Se conserva la Energía mecánica? ¿Se conserva la Energía total?

Efectué los cálculos necesarios para contestar estas interrogantes.

No se conserva se disipa pero en un muy pequeño porcentaje.

%disipado=1.4%

9. Con la ecuación e=V 2−V 1cos ¿¿ calcule el coeficiente de restitución

y determine el tipo de choque.

Para determinar los ángulos utilizamos un triangulo como ayuda para cada caso.

Page 15: Colis i Ones

PARA θ₁

tgθ1=1311

θ1=arctg(1311

)

θ1=49.76 °

PARA θ2tgθ2=

53.010.9

θ2=arctg(53.010.9

)

θ2=78.39 °

Page 16: Colis i Ones

e=V 2−V 1 cos (49.76 °+78.39 °)

V 1cos 78.39 °

e=18.

ES IMPOSIBLE QUE “e” SEA MAYOR A LA UNIDAD

e=V 2−V 1

V 1

e=132.92−41.83118.4

e=0.77

CON ESTE RESULTADO DEMOSTRAMOS QUE ES UN CHOQUE BIDIMENSIONAL

“INELASTICO”

5. Observaciones

La determinación del punto sobre el cual comenzamos a medir las distancias se

lo hizo con una plomada lo cual pudo acarrear cierto grado de incertidumbre

(error).

Otra causa para el posible error en las mediciones puede ser la influencia de la

resistencia del aire al movimiento, que fue mínima por ser la distancia de

estudio relativamente pequeña.

Para cada experiencia, al dejar caer la esfera incidente, se lo hacía de manera

arbitraria ya que la rampa no contaba con un sistema para que el lanzamiento

fuera uniforme.

En la determinación del coeficiente de restitución “e”, al usar la fórmula

propuesta por nuestra guía de estudio el resultado me salió algo si sentido, que

talves fue por los errores en las medidas de distancia respectivas.

6. Conclusiones

Se logro estudiar el choque de dos partículas de manera satisfactoria ya que nuestros

datos experimentales demostraron lo aprendido teóricamente.

Page 17: Colis i Ones

Además se pudo observar la aplicación de los principios de conservación de cantidad

de movimiento y energía, se observo que al ser un choque inelástico bidimensional se

disipo cierta cantidad de energía en el ambiente.

También se verifico la conservación de la cantidad de movimiento lineal en el choque

bidimensional de dos partículas. Se observo que no se conserva la energía cinética

durante el choque, hay un pequeño porcentaje que se disipa en el ambiente.

Se logro determinar el coeficiente de restitución del choque que nos dio la información

para decir con mucha exactitud que el choque bidimensional fue INELASTICO.

7. Cuestionario

a) En el fundamento teórico se afirmó que se conserva la cantidad de

movimiento siempre y cuando no actúen fuerzas externas sobre el

sistema, entonces, ¿cómo justifica usted la aplicación de la ecuación

Fext=0 en este experimento si durante el choque están actuando fuerzas

externas como el rozamiento y la fuerza gravitacional?

Para hacer el estudio como si fuera un sistema ideal por las cortas distancias que se

miden, y la poca influencia que tienen os factores externos.

b) Mencione ejemplos concretos en los cuales no se conserva la cantidad de

movimiento.

El choque de dos esferas separadas por una larga distancia sobre una

superficie rugosa.

El choque de dos partículas de plasto formo.

En general las esfera que no son lisas no conservarían la cantidad de

movimiento.

c) Considerando un choque en una dimensión, ¿Cómo serán las velocidades

de las esferas después del choque en los siguientes casos? a) m1=m2, b)

m1<<m2.

Page 18: Colis i Ones

a) Para este caso en choque es perfectamente elástico y los cuerpos intercambian sus

velocidades.

b) Si m1<<m2 y ambas esferas tienen velocidades, entonces la esfera m1 choca a m2 y

rebota con la misma velocidad que tenia y la esfera m2 también mantiene su

velocidad.

d) ¿En qué casos el coeficiente de restitución puede adoptar valores mayores

a uno?

No hay casos en la realidad donde “e” pueda adoptar valores mayores a 1. Este sería

un caso perfecto porque para cada rebote que daría una esfera con este coeficiente de

restitución este ganaría mayor altura hasta hacer que su movimiento sea infinito.

Además significaría que el sistema gana energía y esto no es así en la vida real.

e) ¿De qué factores depende el valor del coeficiente de restitución?

El coeficiente de restitución depende de las velocidades finales e iníciales de las

partículas que intervienen en la colisión, no se debe olvidar que las velocidades son

magnitudes vectoriales y que están poseen un modulo y un sentido.

f) ¿Por qué las fuerzas internas de un sistema no pueden producir un cambio

de velocidad de dicho sistema? Proporcione ejemplos.

Las fuerzas internas no producen cambio de velocidad de un sistema debido a que el

aumento en la cantidad de movimiento en una parte del sistema implica una

disminución de la cantidad de movimiento del resto del sistema.

g) ¿Durante la colisión qué porcentaje de energía mecánica se transformó en

otra forma de energía?, ¿Podría exponer otra manera (aparte del

porcentaje de la ecuación 12m1V 1

2=12m1V 1

2+ 12m2V 2

2+k de calcular la

energía mecánica transformada en otras formas de energía?

Otra forma de expresar esto podría ser hacer una diferencia porcentual entre la

Energía mecánica Inicial y la energía mecánica final.

Page 19: Colis i Ones

h) ¿Si la velocidad de una partícula de masa m se duplica, su energía cinética

también se duplica?, ¿se triplica?, ¿Por qué?

EC=12mV 2

Para V 1=V

EC 1=12mV 2

Para V 2=2V

EC 2=12mV 2

2=12m(2V )2=2mV 2

Por lo tanto:

Se cuadriplica la Energía cinética.

i) ¿En qué casos puede adoptar valores negativos: la energía cinética, la

energía potencial elástica, la energía potencial gravitatoria?

Las diferentes formas de energía no pueden adoptar valores negativos.

j) Un cuerpo de 2 kg de masa choca elásticamente contra otro cuerpo en

reposo y después de ello continúa moviéndose en su dirección original

pero con un cuarto de su velocidad inicial 1) ¿Cuál fue la masa del cuerpo

con el que chocó? 2) ¿Cuál es su velocidad del centro de masa de los

cuerpos si la rapidez inicial del cuerpo de 2kg fue 4m/s?

v0114=vf 1

v02=0

e=vf 2−vf 1vo1

−v02

Choque elástico e = 1

Page 20: Colis i Ones

v01−v02=vf 2−vf 1

v01=vf 2−vf 1

v01=vf 2−

14v01

54v01

=vf 2

Cantidad de movimiento:

m1v01+m2 v02=m2 vf 2+m1 vf 1

2v01=12v01+m2 vf 2

32v01

=54m2 v01

m2=1210

m2=1.2kg

La velocidad final:

k) Se cree que el meteoro Cráter en Arizona se formó por el impacto de un

meteorito con la tierra hace unos 2000 años. La masa del meteorito se

calcula que fue de 5x1010 kg y su rapidez fue de 7.2 km/s. ¿Qué rapidez

impartiría a la tierra tal meteorito en una colisión frontal?

m1=5 x1010 kg

V 1=7.2kms

Page 21: Colis i Ones

m2=5,974 x 1024 kg

Pi=Pf

m1V 1=(m1+m2)V 2

V 2=m1V 1

(m1+m2)

V 2=5 x1010 kg∗7.2 km

s

(5 x 1010kg+5,974 x1024 kg)

V 2=6.026 x 10−14 km

s

l) Después de una colisión totalmente inelástica dos objetos de la misma

masa y de la misma rapidez inicial se mueven con rapidez igual a la mitad

de la inicial. Determina el ángulo entre las velocidades de los dos objetos.

El ángulo debe ser de 45º

8. Bibliografía

Enciclopedia Barsa

Física Volumen 1

Autor: Resnick – Halliday – Krane

Física Universitaria

Autor: Sears – Zemansky – Young – Freedman