colorationducarrédesgraphesplanaires sans c4 ilkyoochoi ...coloration de carré idées de la preuve...
TRANSCRIPT
![Page 1: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/1.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Coloration du carré des graphes planairessans C4
Ilkyoo Choi, Daniel W. Cranston, Théo Pierron
JGA 2018
![Page 2: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/2.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Coloration traditionnelleColorier chaque sommet de sorte que deux sommets adjacentsreçoivent deux couleurs différentes :
Nombre minimum de couleurs = χ(G).
2/19
![Page 3: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/3.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Coloration de carréColorer le carré d’un graphe ⇔ tous les sommets à distance auplus 2 reçoivent des couleurs différentes.
Diamètre 2 ⇒ χ(G2) = 10.
3/19
![Page 4: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/4.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Bornes naïves
Pour tout graphe G ,
∆(G) + 1 6 χ(G2)
6 ∆(G)2 + 1
• Borne supérieure atteinte par Petersen.• Bon ordre de grandeur pour grand ∆.
4/19
![Page 5: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/5.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Bornes naïves
Pour tout graphe G ,
∆(G) + 1 6 χ(G2) 6 ∆(G)2 + 1
• Borne supérieure atteinte par Petersen.• Bon ordre de grandeur pour grand ∆.
4/19
![Page 6: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/6.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Bornes naïves
Pour tout graphe G ,
∆(G) + 1 6 χ(G2) 6 ∆(G)2 + 1
• Borne supérieure atteinte par Petersen.
• Bon ordre de grandeur pour grand ∆.
4/19
![Page 7: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/7.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Bornes naïves
Pour tout graphe G ,
∆(G) + 1 6 χ(G2) 6 ∆(G)2 + 1
• Borne supérieure atteinte par Petersen.• Bon ordre de grandeur pour grand ∆.
4/19
![Page 8: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/8.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Le cas planaire – Borne supérieure
Meilleure borne actuelle (Molloy and Salavatipour) :
χ(G2) 6⌈53∆(G)
⌉+ 78
Quand ∆ est grand (Amini, Esperet, van den Heuvel),
χ(G2) 6(32 + o(1)
)∆
5/19
![Page 9: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/9.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Le cas planaire – Borne supérieure
Meilleure borne actuelle (Molloy and Salavatipour) :
χ(G2) 6⌈53∆(G)
⌉+ 78
Quand ∆ est grand (Amini, Esperet, van den Heuvel),
χ(G2) 6(32 + o(1)
)∆
5/19
![Page 10: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/10.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Le cas planaire – Borne inférieure
Figure : Construction de Wegner
⇒ χ(G2) =⌊
32∆(G)
⌋+ 1 ⇒
((((((((((((hhhhhhhhhhhhχ(G2) 6 ∆(G) + O(1). /
6/19
![Page 11: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/11.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Le problème
Pour quelles classes de graphes peut-on garantirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1) ?
Pour grand ∆(G) :/ Maille 4 : pas suffisant (Wegner)., Maille g > 7 : χ(G2) 6 ∆(G) + 1 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 6 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Bonamy et al., 2015)., Pas C4 ni C5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Dong and Xu, 2017).
But : identifier les cycles à interdire pour obtenirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1).
7/19
![Page 12: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/12.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Le problème
Pour quelles classes de graphes peut-on garantirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1) ?
Pour grand ∆(G) :/ Maille 4 : pas suffisant (Wegner).
, Maille g > 7 : χ(G2) 6 ∆(G) + 1 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 6 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Bonamy et al., 2015)., Pas C4 ni C5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Dong and Xu, 2017).
But : identifier les cycles à interdire pour obtenirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1).
7/19
![Page 13: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/13.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Le problème
Pour quelles classes de graphes peut-on garantirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1) ?
Pour grand ∆(G) :/ Maille 4 : pas suffisant (Wegner)., Maille g > 7 : χ(G2) 6 ∆(G) + 1 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 6 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Bonamy et al., 2015).
, Pas C4 ni C5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Dong and Xu, 2017).But : identifier les cycles à interdire pour obtenirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1).
7/19
![Page 14: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/14.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Le problème
Pour quelles classes de graphes peut-on garantirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1) ?
Pour grand ∆(G) :/ Maille 4 : pas suffisant (Wegner)., Maille g > 7 : χ(G2) 6 ∆(G) + 1 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 6 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Bonamy et al., 2015)., Pas C4 ni C5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Dong and Xu, 2017).
But : identifier les cycles à interdire pour obtenirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1).
7/19
![Page 15: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/15.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Le problème
Pour quelles classes de graphes peut-on garantirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1) ?
Pour grand ∆(G) :/ Maille 4 : pas suffisant (Wegner)., Maille g > 7 : χ(G2) 6 ∆(G) + 1 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 6 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Bonamy et al., 2015)., Pas C4 ni C5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Dong and Xu, 2017).
But : identifier les cycles à interdire pour obtenirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1).
7/19
![Page 16: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/16.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Résultats
ThéorèmeEn interdisant un nombre fini de longueurs de cycles :
• Si C4 est autorisé, alors((((((((((((hhhhhhhhhhhhχ(G2) 6 ∆(G) + O(1). /
• Si C4 est interdit, alors χ(G2) 6 ∆(G) + 73. ,• Si G est sans C4 et ∆(G) est assez grand, alorsχ(G2) 6 ∆(G) + 2.,,,
8/19
![Page 17: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/17.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Idées de la preuve
9/19
![Page 18: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/18.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Déchargement sans décharger
Deux types de résultats :• Tout graphe sans C4 avec ∆ assez grand contientcertaines configurations.→ Déchargement
• Aucune configuration n’est présente dans un grapheminimal dont le carré n’est pas (∆ + 2)-coloriable.→ Étendre des colorations partielles
10/19
![Page 19: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/19.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Déchargement sans décharger
Deux types de résultats :• Tout graphe sans C4 avec ∆ assez grand contientcertaines configurations.→ Déchargement
• Aucune configuration n’est présente dans un grapheminimal dont le carré n’est pas (∆ + 2)-coloriable.→ Étendre des colorations partielles
10/19
![Page 20: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/20.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Déchargement sans décharger
Deux types de résultats :• Tout graphe sans C4 avec ∆ assez grand contientcertaines configurations.→ ((((((((hhhhhhhhDéchargement Tiroirs !
• Aucune configuration n’est présente dans un grapheminimal dont le carré n’est pas (∆ + 2)-coloriable.→ Étendre des colorations partielles
10/19
![Page 21: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/21.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Étape 1 : Réductibilité
Une configuration C est réductible si pour tout Gcontenant C ,
χ((G \ C)2) 6 ∆ + 2⇒ χ(G2) 6 ∆ + 2
Exemple : sommets de degré 1.
11/19
![Page 22: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/22.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Premières réductions
v est petit si dG(v) <√
∆.
Les petits sommets sont faciles à colorier ⇒ ils sont éloignésdans un contre-exemple minimum.
S
S
S S
S
S
2 2 S
2 2
B
S3
3
2
2BS
3
2
2B
S
S S SSS
2 2 222
B
12/19
![Page 23: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/23.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Premières réductions
v est petit si dG(v) <√
∆.Les petits sommets sont faciles à colorier ⇒ ils sont éloignésdans un contre-exemple minimum.
S
S
S S
S
S
2 2 S
2 2
B
S3
3
2
2BS
3
2
2B
S
S S SSS
2 2 222
B
12/19
![Page 24: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/24.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Premières réductions
v est petit si dG(v) <√
∆.Les petits sommets sont faciles à colorier ⇒ ils sont éloignésdans un contre-exemple minimum.
S
S
S S
S
S
2 2 S
2 2
B
S3
3
2
2BS
3
2
2B
S
S S SSS
2 2 222
B
12/19
![Page 25: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/25.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Régions
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
B
2
2
2
Figure : Une région de taille 5
13/19
![Page 26: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/26.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Réductibilité des régions
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
B
2
2
2
NG(B1) NG(B2)
cliqu
e d
···
G planaire ⇒ d 6 11.Si |région| > f (d), alors la région est réductible.
14/19
![Page 27: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/27.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Réductibilité des régions
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
B
2
2
2
NG(B1) NG(B2)
cliqu
e d
···
G planaire ⇒ d 6 11.
Si |région| > f (d), alors la région est réductible.
14/19
![Page 28: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/28.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Réductibilité des régions
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
B
2
2
2
NG(B1) NG(B2)
cliqu
e d
···
G planaire ⇒ d 6 11.Si |région| > f (d), alors la région est réductible.
14/19
![Page 29: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/29.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Étape 2 : Trouver une grande régionSoit G sans C4 avec grand ∆.
G 7→ G ′
2 7→
B S
S
S
7→ B
S
S
···
···
G ′ 7→ H7→
15/19
![Page 30: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/30.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Étape 2 : Trouver une grande régionSoit G sans C4 avec grand ∆.
G 7→ G ′
2 7→
B S
S
S
7→ B
S
S
···
···
G ′ 7→ H7→
15/19
![Page 31: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/31.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Transformation des régions
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
B
2
2
2
Région dans G ⇔ Multi-arêtes dans G ′.
16/19
![Page 32: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/32.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Transformation des régions
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
B
Région dans G ⇔ Multi-arêtes dans G ′.
16/19
![Page 33: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/33.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Transformation des régions
B B
Région dans G ⇔ Multi-arêtes dans G ′.
16/19
![Page 34: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/34.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Transformation des régions
B B
Région dans G ⇔ Multi-arêtes dans G ′.
16/19
![Page 35: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/35.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5.
Mais si u est petit ? /• Dans G ′, il y a plus de structure !• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.
G contient une grande région !
17/19
![Page 36: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/36.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5. Mais si u est petit ? /
• Dans G ′, il y a plus de structure !• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.
G contient une grande région !
17/19
![Page 37: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/37.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5. Mais si u est petit ? /• Dans G ′, il y a plus de structure !
• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.
G contient une grande région !
17/19
![Page 38: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/38.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5. Mais si u est petit ? /• Dans G ′, il y a plus de structure !• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,
• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.
G contient une grande région !
17/19
![Page 39: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/39.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5. Mais si u est petit ? /• Dans G ′, il y a plus de structure !• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.
G contient une grande région !
17/19
![Page 40: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/40.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5. Mais si u est petit ? /• Dans G ′, il y a plus de structure !• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.
G contient une grande région !
17/19
![Page 41: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/41.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
ConclusionRésultatsEn interdisant un nombre fini de longueurs de cycles :
• Si C4 est autorisé, alors((((((((((((hhhhhhhhhhhhχ(G2) 6 ∆(G) + O(1). /
• Si C4 est interdit, alors χ(G2) 6 ∆(G) + 73. ,• Si G est sans C4 et ∆(G) est assez grand, alorsχ(G2) 6 ∆(G) + 2.,,,
• Extension aux colorations par liste/par correspondance.
• Meilleure borne sur ∆ ?• Améliorer ∆ + 73 ?• Quid d’interdire un nombre infini de longueurs de cycles ?(Autoriser C4 ⇒ interdire tous les C4k+2 via Wegner.)
18/19
![Page 42: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/42.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
ConclusionRésultatsEn interdisant un nombre fini de longueurs de cycles :
• Si C4 est autorisé, alors((((((((((((hhhhhhhhhhhhχ(G2) 6 ∆(G) + O(1). /
• Si C4 est interdit, alors χ(G2) 6 ∆(G) + 73. ,• Si G est sans C4 et ∆(G) est assez grand, alorsχ(G2) 6 ∆(G) + 2.,,,
• Extension aux colorations par liste/par correspondance.
• Meilleure borne sur ∆ ?• Améliorer ∆ + 73 ?• Quid d’interdire un nombre infini de longueurs de cycles ?(Autoriser C4 ⇒ interdire tous les C4k+2 via Wegner.)
18/19
![Page 43: Colorationducarrédesgraphesplanaires sans C4 IlkyooChoi ...Coloration de carré Idées de la preuve Leproblème Pourquellesclassesdegraphespeut-ongarantir χ(G2) 6 ( G) + O(1)? Pourgrand(](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081411/60adef6c2daade268a6145b2/html5/thumbnails/43.jpg)
Coloration de carré Idées de la preuve
Merci pour votre attention.
19/19