columnas - ejercicios resueltos

1

EJERCICIOS RESUELTOS

COLUMNASIsabel Luparia

La presente publicación tiene por objeto presentar ejemplos de proyecto,cálculo y verificación de secciones correspondientes a columnas simples yzunchadas sometidas a compresión simple para los alumnos de la cátedra deHormigón Armado de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional deLa Plata.

Decimos secciones y no columnas pues no se incluye en los ejemplos laconsideración de los efectos del pandeo que forman parte de otra publicación.

Los reglamentos o recomendaciones más importantes vigentes en el mundodifieren entre si en los diferentes valores y aún en los criterios de seguridad.Con la finalidad de ilustrar al alumno sobre la magnitud de estas diferencias,permitiéndole formar su criterio, se agregan dos tablas (una para columnassimples y otra para zunchadas) con los valores correspondientes a losreglamentos más usuales.

Debe tenerse presente que muchos de los ejercicios propuestos,independientemente del aspecto reglamentario, no tienen solución única y enesos casos se ha adoptado una solución indicándose los motivos por los cualesse eligieron los distintos valores.

A) COLUMNAS SIMPLES:

A.1) Dimensionar la armadura de una columna de 25x25 cm para soportar una cargaPD = 600 kN y PL = 400kN.

Datos: f’c = 20 Mpa fy = 420 Mpa

1.4 PD = 1.4 x 600 kN = 840 kNPU: máximo entre

1.2 PD + 1.6 PL = 1.2 x 600 + 1.6 x 400 = 1360 kN

PU = φ x Pn (máx) = φ x (0.80 x Pn)

φ: coeficiente de reducción de resistencia en función del tipo de rotura. Para columnassimples vale 0.65

∴ Pn = PU / (0.80 x 0.65) = 1360 kN / (0.80 x 0.65)

Pn = 2615 kN

Ag = 25 cm x 25 cm = 625 cm2

Pn = 0.85 x f’c x (Ag – Ast) + fy x Ast = 0.85 x f’c x Ag + Ast x (fy – 0.85 x f’c)

EJERCICIOS RESUELTOS COLUMNAS

2

⇒ Ast = (2615 kN – 0.85 x 2 kN/cm2 x 625 cm2 ) (42 kN/cm2 – 0.85 x 2 kN/cm2)

Ast = 38.5 cm2

Se adopta: 8 db 25 = 39.3 cm2 (+2%)

lo que conduce a una cuantía de: ρ = 39.3 / 625 = 0.063 (>0.01 y <0.08)

Estribos:en función de la armadura longitudinal adoptada corresponde adoptar estribos con un diámetrodbe = 8 mm y una separación igual al menor valor de:

- 16db longitudinal = 16 x 2.5 cm = 40 cm- 48 dbe = 48 x 0.8 cm = 38.4 cmlado menor de la columna = 25 cm

se adopta: dbe8 c/ 25 cm

A.2) Dimensionar la columna de la figura utilizando la mínima cantidad de aceroposible.

Datos: f’c = 20 MPa fy = 500 MPa PD = 1000 kN PL = 360 kN

Como se debe colocar la mínima sección de acero, la sección de hormigón será la máxima:

ρ mín. = Ast / Ag = 1 % ⇒ Ast = 0.01 x Ag


3


1.2 PD + 1.6 PL = 1.2 x 1000 + 1.6 x 360 = 1776 kN


∴ Pn = PU / (0.80 x 0.65) = 1776 kN / (0.80 x 0.65)

Pn = 3415 kN

Pn = 0.85 x f’c x (Ag – Ast) + fy x Ast = 0.85 x f’c x (Ag – 0.01 x Ag) + fy x 0.01 x Ag

= 0.85 x f’c x Ag (1 – 0.01) + fy x 0.01 x Ag

⇒ Ag = Pn / [0.85 x f’c x (1 – 0.01) + fy x 0.01]

Ag = 3415 kN / [0.85 x 2 kN/cm2 x (1 – 0.01) + 50 kN/cm2 x 0.01] = 1564 cm2

Ag = 4xbx15 cm + 15 cmx15 cm ⇒ b = 1564 cm2 – 15 cm x 15 cm = 22.3 cm 4 x 15 cm

se adopta b = 22.5 cm: Ag = 4 x 22.5cm x 15cm + 15cm x 15cm = 1575 cm

como el valor adoptado para b es prácticamente igual al calculado podemos determinarAs a partir de la cuantía mínima adoptada (Ast = 0.01 x Ag), pues esta expresión sesigue manteniendo.

Ast = 0.01 x 1575 cm2 = 15.75 cm2

se adopta: 12 db 12 + 8 db 8 = 17.56 cm2


- 16db longitudinal = 16 x 1.2 cm = 19.2 cm- 48 dbe = 48 x 0.6 cm = 28.8 cmlado menor de la columna = 15 cm


A.3) Calcular la máxima carga última que puede soportar una columna dedimensiones mínimas.


4

Datos: f’c = 20 MPa fy = 420 MPa

La mínima sección admisible para una columna es de 20x20cm.

⇒ Ag = 20 cm x 20 cm = 400 cm2

Para obtener la carga máxima (PUmáx.) debemos colocar la máxima cantidad de armadura,suponiendo que no existen empalmes adoptamos;

ρ máx. = Ast / Ag = 8% ⇒ Ast máx. = 0.08 x Ag = 0.08 x 20 x 20 = 32 cm2

⇒ Pn = 0.85 x f’c x (Ag – Ast) + fy x Ast

= 0.85 x 2 kN/cm2 x (400cm2 – 32cm2) + 42 kN/cm2 x 32cm2

Pn = 1970 kN

Para columnas simples se tiene:

PU = 0.65 x 0.80 x Pn = 0.65 x 0.80 x 1970 kN = 1024.4 kN

Para el armado de la columna adoptamos (2db20 + 1db16) en cada esquina (33.16 cm2)

Estribos:para diámetros de armadura longitudinal > 32mm y para paquetes de barras correspondeadoptar estribos con un diámetro dbe = 12 mm y una separación igual al menor valor de:

- 16 db longitudinal (equivalente)* = 16 x 3.25 cm = 52 cm- 48 dbe = 48 x 1.2 cm = 57.6 cmlado menor de la columna = 20 cm


* db equivalente = √ [(2 x 3.14 cm2 + 2.01 cm2) x 4 / π] = 3.25 cm

Si existieran empalmes de armadura longitudinal a lo largo de la columna la cuantía máximadebería limitarse al 4% para no sobrepasar en la zona de empalme la cuantía máxima del 8%.

Si calculamos la separación c entre armaduras longitudinales, se tiene: (adoptando unrecubrimiento de 3.00 cm, ambiente moderado)

c = 20cm – 2x3cm – 2x1.2cmx1.20 – 2x3.25cmx1.20 = 3.32 cm


5

valor que podría resultar inválido dependiendo del tamaño del agregado grueso del hormigón.Es por esto que en general no conviene trabajar en el límite superior de la cuantía.

A.4) Dimensionar una columna circular con cuantía mínima capaz de soportar unacarga PD = 2000 kN y PL = 1000 kN, suponiendo un hormigón de f’c = 25 Mpa y acero conun fy = 420 Mpa.


1.2 PD + 1.6 PL = 1.2 x 2000 + 1.6 x 1000 = 4000 kN


∴ Pn = PU / (0.80 x 0.65) = 4000 kN / (0.80 x 0.65)

Pn = 7692 kN

Se pide que esté armada con cuantía mínima, por lo tanto:

ρ mín. = Ast / Ag = 0.01

Pn = 0.85 x f’c x (Ag – Ast) + fy x Ast (1)

= 0.85 x f’c x Ag (1 – 0.01) + fy x 0.01 x Ag⇒ Ag = Pn / [0.85 x f’c x (1 – 0.01) + fy x 0.01]

= 7692 kN / [0.85 x 2.5 kN/cm2 x (1 –0.01) + 42 kN/cm2 x 0.01]

Ag = 3048 cm2

Ag = π x D^2 = 3048cm2 ⇒ Para redondear el valor de D, se adopta: D = 60 cm4

⇒ Ag = π x 60^2 = 2827.4 cm2 4

volviendo a la expresión (1) se vuelve a calcular Ast:

Pn = 0.85 x f’c x (Ag – Ast) + fy x Ast

= 0.85 x f’c x Ag – 0.85 x f’c x Ast + fy x Ast

⇒ Ast = (Pn – 0.85 x f’c x Ag) / (fy – 0.85 x f’c)

= (7692 kN – 0.85 x 2.5kN/cm2 x 2827.4 cm2) / (42 kN/cm2 – 0.85 x 2.5 kN/cm2)

Ast = 42 cm2 , se adopta: 14 db 20

Verificamos la cuantía: ρ = Ast / Ag = 42 cm2 / 2827.4 cm2 = 0.015 > 0.01, pero igual siguesiendo una cuantía pequeña.

Téngase presente que cuando se adopta como cuantía mínima 1% siempre que se redondea lasección de hormigón debe hacerse adoptando un valor menor al calculado pues si se elige unomayor se obtendría una cuantía menor que la mínima reglamentaria.


6


- 16db longitudinal = 16 x 2 cm = 32 cm- 48 dbe = 48 x 0.8 cm = 38.4 cmlado menor de la columna = 60 cm



7

A.5) Dimensionar la armadura de la columna de la figura para resistir una cargamáxima de: PD = 1000 kN y PL = 100 kN.



1.2 PD + 1.6 PL = 1.2 x 1000 + 1.6 x 100 = 1360 kN


∴ Pn = PU / (0.80 x 0.65) = 1400 kN / (0.80 x 0.65)

Pn = 2692 kN

Ag = 15 cm x 35 cm + 45 cm x 20 cm = 1425 cm2


⇒ Ast = (2692 kN – 0.85 x 2 kN/cm2 x 1425 cm2 ) (42 kN/cm2 – 0.85 x 2 kN/cm2)

Ast = 6.6 cm2

se verifica la cuantía : ρ = 6.6 / 1425 = 0.0046 < 0.01 (ρ mín.)

Por lo tanto se adopta la armadura correspondiente a la cuantía mínima:

Ast = ρ x Ag = 0.01 x 1425 cm2 = 14.25 cm2

se adopta: 12 db 12 = 13.6 cm2 (diferencia < 5%, aceptable)

Estribos:en función de la armadura longitudinal adoptada correspondeadoptar estribos con un diámetro dbe = 6 mm y una separaciónigual al menor valor de:

- 16db longitudinal = 16 x 1.2 cm = 19.2 cm- 48 dbe = 48 x 0.6 cm = 28.84 cmlado menor de la columna = 15 cm



8

A.6) Calcular la carga última y de servicio de la columna que se indica y verificar sudimensionado.

Datos: f’c = 25 Mpa fy = 420 Mpa PD= 1.50 x PL

As = 16 db 25

Primero verificamos la cuantía de la columna:

Ast = 16 x 4.91 cm2 = 78.56 cm2

Ag = 40 x 40 = 1600 cm2

⇒ ρ = Ast / Ag = 78.56 cm2 / 1600 cm2 = 4.9 % , aceptable

Debe tenerse presente que en caso de tener que empalmar las armaduras no podránempalmarse todas en la misma sección pues tendríamos una cuantía, en la zona de empalmede ρ = 9.8% > 8% (cuantía máxima).


= 0.85 x 2.5 x (1600 – 78.56) + 42 x 78.56 = 6532.6 kN

PU = 0.65 x 0.80 x Pn = 0.65 x 0.80 x 6532.6 kN = 3397 kN

haciendo: Pu = 1.2 PD + 1.6 PL

= 1.2 (1.5 x PL) + 1.6 PL ⇒ PL = 3397 kN / (1.2 x 1.5 + 1.6) = 999 kN

PD = 1.5 x PL = 1.5 x 999 kN = 1498.5 kN

Verificación de estribos:

• Estribo interno:

- db long. = 25 mm ⇒ dbe = 8 mm

y una separación igual al menor valor de:

- 16db longitudinal = 16 x 2.5 cm = 40 cm- 48 dbe = 48 x 0.8 cm = 38.4 cmlado menor de la columna = 40 cm

por lo tanto dbe8 c/ 30 cm ,es correcto.

• Estribo externo:

para paquetes de barras se debe adoptar un diámetro de estribos de: dbe = 12mmy una separación igual al menor valor de:

- 16db longitudinal equivalente * = 16 x 4.33 cm = 69 cm- 48 dbe = 48 x 1.2 cm = 57 cmlado menor de la columna = 40 cm


9

* db equivalente = √ [(3 x 4.91 cm2) x 4 / π] = 4.33 cm

Por lo tanto se ve que la separación del estribado externo es correcta (30 cm) pero no lo es eldiámetro de la barra (dbe = 10mm). Se tendría que haber adoptado: dbe 12 c/ 30cm.

A.7) Dimensionar la armadura de la siguiente columna para soportar una carga de:PD = 930 kN y PL = 930 kN.



1.2 PD + 1.6 PL = 1.2 x 930 + 1.6 x 930 = 2604 kN


∴ Pn = PU / (0.80 x 0.65) = 2604 kN / (0.80 x 0.65)

Pn = 5008 kN

Ag = 50 cm x 50 cm = 2500 cm2


⇒ Ast = (5008 kN – 0.85 x 2.5 kN/cm2 x 2500 cm2 ) (42 kN/cm2 – 0.85 x 2.5 kN/cm2)

Ast < 0

El Reglamento CIRSOC 201-02 en los casos en que la sección de hormigón viene impuestapor condiciones no estructurales indica que: “a los efectos del cálculo de la cuantía mínimapuede utilizarse un área efectiva reducida producto de despejar el área necesaria para obteneruna columna con cuantía mínima. En ningún caso el área efectiva a utilizar puede ser menor al50% del área bruta de la columna”, esto es:

ρ mín. = 0.01 = Ast / Ag

Pn = 0.85 x f’c x (Ag – ρ x Ag) + fy x ρ x Ag ⇒ Ag = Pn .

0.85 x f’c x (1 - ρ) + ρ x fy

Ag = 5008 kN .(0.85 x 2.5 kN/cm2 x (1 – 0.01) + 0.01 x 42 kN/cm2)

Ag ficticia = 1984 cm2 Ag real = 2500 cm2 ∴ Ag ficticia > 0.5 Ag real , correcto

⇒ Ast = 0.01 x Ag ficticia = 0.01 x 1984 cm2 = 19.8 cm2, se adopta (4db20 + 4db16)


10

lo que representa una cuantía real de: ρ = 19.8 cm2 / 2500 cm2 = 0.0079

valor que no es recomendable en elementos de gran compromiso estructural como lascolumnas (podría admitirse en parte inferior de pilotes). El Reglamento CEB-90 ha dejado sinefecto esta disminución de cuantía geométrica mínima pero tiene como valor de cuantíamínima: 0.008 < 0.01.

Por lo tanto se tiene:

• CIRSOC 201-02: As = 0.0079 x 50 cm x 50 cm = 19.8 cm2

• CEB-90: As = 0.008 x 50 cm x 50 cm = 20 cm2

A.8) Dimensionar la armadura de la siguiente columna para soportar una carga de:PD = 800 kN y PL = 600 kN, con la sección indicada en la figura:

Datos: f’c = 20 MPa fy = 420 MPa


1.2 PD + 1.6 PL = 1.2 x 800 + 1.6 x 600 = 1920 kN


∴ Pn = PU / (0.80 x 0.65) = 1920 kN / (0.80 x 0.65)

Pn = 3692.3 kN

Ag = 20 cm x 20 cm = 400 cm2

Pn = 0.85 x f’c x (Ag – Ast) + fy x Ast = 0.85 x f’c x Ag + Ast x (fy – 0.85 x f’c) (1)

⇒ Ast = (3692.3 kN – 0.85 x 2 kN/cm2 x 400 cm2 ) (42 kN/cm2 – 0.85 x 2 kN/cm2)

Ast = 74.7 cm2

se verifica la cuantía : ρ = 74.7 / 400 = 0.18 > 0.08 (ρ máx.)


11

Por lo tanto se debe redimensionar la columna, para ello se adopta una cuantía máximaρ = 0.08 suponiendo que no va a haber empalmes a lo largo de la columna.

Ast = ρ x Ag = 0.08 x Ag

⇒ Ag = Pn . 0.85 x f’c x (1 - ρ) + ρ x fy

Ag = 3692.3 kN .(0.85 x 2. kN/cm2 x (1 – 0.08) + 0.08 x 42 kN/cm2)

Ag = 750 cm2 ∴ b = √ 750 = 27.3 cm , se adopta b = 30 cm

por lo tanto: Ag = 30 cm x 30 cm = 900 cm2, nuevamente de (1) se calcula Ast:

⇒ Ast = (3692.3 kN – 0.85 x 2 kN/cm2 x 900 cm2 ) (42 kN/cm2 – 0.85 x 2 kN/cm2)

Ast = 53.7 cm2

se verifica la cuantía : ρ = 53.7 / 900 = 0.06 (> 0.01 y < 0.08)

se adopta: 12 db 20 + 4 db 25 = 57.3 cm2

Estribos:en función de la armadura longitudinal adoptada corresponde adoptar estribos con un diámetrodbe = 12 mm (paquetes de barras) y una separación igual al menor valor de:

- 16db longitudinal equivalente * = 16 x 3.46 cm = 55 cm- 48 dbe = 48 x 1.2 cm = 57 cmlado menor de la columna = 30 cm


* db equivalente = √ [(3 x 3.14 cm2) x 4 / π] = 3.46 cm

c = (30 – 2.5 x 2 – 2 x 0.8 x 1.20 – 4 x 2 x 1.20 – 2.5 x 1.2) / 2 = 5.24 cm

c = 5.24 cm < 15 dbe = 18 cm, por lo tanto no requiere un estribado intermedio.


12

0.30 m

0.30 m

Estr. db6 c/26cm

8 db16

A.9) Proyectar una columna simple para las siguientes condiciones

Materiales: - Hormigón: f’c = 20 MPa- Acero: fy = 420 MPa

Sección Transversal: - A definir

Estribos: - Recubrimiento = 0.02 m- Diámetro: A definir

Armadura Longitudinal: - A definir

Solicitación: - PD = 550 kN ; PL = 300 kN

Resolución: 1.4 PD = 1.4×550 = 770 kN

Pu = máximo entre ⇒ Pu = 1140 kN 1.2 PD + 1.6 PL= 1.2×550+1.6×300 = 1140 kN

Pn = Pu / (0.80φ) = 1140 / (0.80×0.65) = 2192 kN

Se adopta una cuantía geométrica “ρ = 0.025” por lo que resulta:

Ag = Pn / [0.85 f’c + ρ (fy - 0.85 f’c)] = 2192 /[0.85×2 + 0.025×(42 - 0.85×2)] =

Ag = 809.7 cm2

Se adopta una columna cuadrada de bx = by = 0.30 m con lo que resulta Ag = 900 cm2 y laarmadura se obtiene como:

Ast = (Pn - 0.85 f’c Ag) / (fy - 0.85 f’c) = (2192 - 0.85×2×900) / (42 - 0.85×2) =Ast = 16.41 cm2

Para la armadura longitudinal se adopta: 8 db16 = 8×2.01 = 16.08 cm2

Lo que conduce a una cuantía: ρ = 16.08 / 900 = 0.018

En función del diámetro de las barras longitudinales corresponde adoptar un estribado de 6 mmde diámetro con una separación igual al menor valor entre:

16 db longitudinal = 16×1.6 = 25.6 cm48 dbe = 48×0.6 = 28.8 cmlado menor columna = 30 cm

es decir, 26 cm.

Armado:


13

0.26 m

0.26 m

4 db25

4 db16

Estr. db8 c/26cm

A.10) Recalcular la columna del ejemplo anterior minimizando la sección de hormigón

Resolución:

Se adopta una cuantía geométrica “ρ = 0.04” para tener en cuenta la posibilidad de queexistan empalmes en el tramo considerado.

Ag = Pn / [0.85 f’c + ρ (fy - 0.85 f’c)] = 2192 / [0.85×2 + 0.04×(42 - 0.85×2)]

Ag = 661.83 cm2 por lo que se adopta bx = by = 0.26 m obteniéndose

Ast = (Pn - 0.85 f’c Ag) / (fy - 0.85 f’c) = (2192 - 0.85×2×676) / (42 - 0.85×2) =

Ast = 25.88 cm2

Para la armadura longitudinal se adopta: 4 db25 + 4 db16 = 27.68 cm2

Lo que conduce a una cuantía: ρ = 27.68 / 676 = 0.041 ≈ 0.04

En función del máximo diámetro de las barras longitudinales corresponde adoptar un estribadode 8 mm de diámetro con una separación igual al menor valor entre:

16 menor db longitudinal = 16×1.6 = 25.6 cm48 dbe = 48×0.8 = 38.4 cmlado menor columna = 26 cm

es decir, 26 cm.

Armado:

A.11) Calcular “Pu” para una columna simple con dimensiones y armaduraslongitudinales mínimas reglamentarias y adoptar su estribado.


Sección Transversal: - bx = by = 0.20 m


Armadura Longitudinal: - Ast = 4 db12 = 4×1.13 = 4.52 cm2


14

0.20 m

0.20 m

4 db12

b

Resolución:

La columna verifica las cuantías límites pues se tiene: 0.01 < 4.52 / 400 = 0.0113 < 0.08

Pu = 0.80 φ [0.85 f’c (Ag - Ast) + fy Ast] = 0.80×0.65×[0.85×2×(400-4.52)+4.52×42] =

Pu = 448 kN

En función del máximo diámetro de las barras longitudinales corresponde adoptar un estribadode 6 mm de diámetro con una separación igual al menor valor entre:

16 menor db longitudinal = 16×1.2 = 19.2 cm48 dbe = 48×0.6 = 28.8 cmlado menor columna = 20 cm

es decir, 19 cm.

Armado:

A.12) Desarrollar unas expresiones simples que permitan el predimensionado decolumnas simples cortas para resistencias usuales de hormigones y fy = 420 MPa.

Resolución:

Se adopta una cuantía geométrica de 0.02 que conduce a columnas de dimensionesrazonables y sencillas de armar y hormigonar aún en presencia de empalmes.

Ag = Pn / [0.85 f’c + ρ (fy - 0.85 f’c)] = 1.92 Pu / [0.85 f’c + ρ (fy - 0.85 f’c)]

Ag = 1.92 Pu / [0.85 f’c + 0.02 (42 - 0.85 f’c)] =1.92 Pu / (0.833 f’c + 0.84)

Para f’c = 20 MPa resulta Ag (cm2) ≈ 0.77 Pu (kN)



A.13) Calcular “PL“ para la siguiente columna


Sección Transversal: - Circular de 0.21 m de diámetro ⇒ Ag = π×212 / 4 =Ag = 346.36 cm2


15

0.21 m 6 db16

Estr. db6 c/15cm

Estribos: - Recubrimiento = 0.02 m- Diámetro: 6 mm- Separación: 15 cm

Armadura Longitudinal: - 6 db16 = 6 x 2.01 = 12.06 cm2 ⇒ ρ = 12.06 / 346.36ρ = 0.0348

Solicitación: - PD = 400 kN ; PL = ?

Resolución:

Se descarta que se trate de una columna zunchada dado que la separación entre estribos esmayor que 8 centímetros.

La cuantía geométrica de la armadura longitudinal vale 0.0348 por lo que se encuentra dentrode los límites reglamentarios.

El diámetro de los estribos es adecuado para el diámetro utilizado en las armaduraslongitudinales mientras que la separación de 15 cm resulta menor que el menor valor entre:

16 menor db longitudinal = 16×1.6 = 25.6 cm48 dbe = 48×0.6 = 28.8 cmmenor dimensión columna = 21 cm

La columna cumple entonces con las condiciones reglamentarias como para poder sercalculada como una columna simple.

Pu = φ Pn(máx) = φ 0.80 [0.85 f’c (Ag - Ast) + fy Ast] =

Pu = 0.65×0.80×[0.85×2.5×(346.36 - 12.06) + 42×12.06] =

Pu = 632.79 kN

recordando que 1.4 PD = 1.4 × 400 = 560 kN < Pu

Pu = 632.79 kN = máximo entre 1.2 PD + 1.6 PL

resulta que debe ser

Pu = 632.79 kN = 1.2 PD + 1.6 PL = 1.2 × 400 + 1.6 PL

de dondePL = (632.79 - 1.2×400) / 1.6 = 95.49 kN

Armado:


16

0.30 m

0.25 m

6 db12

Estr. db6 c/19cm

A.14) Calcular las armaduras de una columna simple para las siguientes condiciones

Materiales: - Hormigón: f’c = 20 Mpa- Acero: fy = 500 MPa

Sección Transversal: - bx = 0.25 m ; by = 0.30 m


Armadura Longitudinal: - A definir

Solicitación: - PD = 200 kN ; PL = a) 350 kN b) 100 kN

Resolución:

a) Pu = máximo (1.4×200 = 280 kN ; 1.2×200 + 1.6×350 = 800 kN) = 800 kN

Pn = Pu / (0.80 φ) = 800 / (0.80×0.65) = 1538.46 kN

Ast = (Pn - 0.85 f’c Ag) / (fy - 0.85 f’c) = (1538.46 - 0.85×2×25×30) / (50 - 0.85×2) =

Ast = 5.45 cm2 ⇒ ρ = 5.45 / (25×30) = 0.007

Por lo que no verifica cuantía mínima (ρmín = 0.01) y se procede a calcular el área efectivareducida necesaria para resistir “Pu” con cuantía mínima:

Area Efectiva Reducida = Pn / [0.85 f’c + ρ (fy - 0.85 f’c)] =

Area Efectiva Reducida = 1538.46 / [0.85×2 + 0.01×(50 - 0.85×2)] =

Area Efectiva Reducida = 704.75 cm2 > Ag / 2 = 375 cm2

Por lo que se adopta una armadura longitudinal igual a la cuantía mínima aplicada al áreaefectiva mínima calculada anteriormente:

Ast = 0.01×704.75 = 7.05 cm2

Se adopta la siguiente armadura: Ast = 6 db12 = 6.78 cm2 (dif. -3.8%)Estribos: db6 c / 19 cm

Armado:


17

0.30 m

0.25 m

4 db12

Estr. db6 c/19cm

b) Pu = máximo (1.4×200 = 280 kN ; 1.2×200 + 1.6×100 = 400 kN) = 400 kN

Pn = Pu / (0.80 φ) = 400 / (0.80×0.65) = 769.23 kN

Ast = (Pn - 0.85 f’c Ag) / (fy - 0.85 f’c) = (769.23 - 0.85×2×25×30) / (50 - 0.85×2)

Ast < 0

Por lo que no verifica cuantía mínima (ρmín = 0.01) y se procede a calcular el área efectivareducida necesaria para resistir “Pu” con cuantía mínima:

Area Efectiva Reducida = Pn / [0.85 f’c + ρ (fy - 0.85 f’c)] =

Area Efectiva Reducida = 769.23 /[0.85×2 + 0.01×(50 - 0.85×2)] =

Area Efectiva Reducida = 352.37 cm2 < Ag / 2 = 375 cm2

Por lo que se adopta una armadura longitudinal igual a la cuantía mínima aplicada a la mitaddel área bruta de la sección:

Ast = 0.01×375 = 3.75 cm2

Se adopta la siguiente armadura: Ast = 4 db12 = 4.52 cm2 (dif. +20.5%)Estribos: db6 c / 19 cm

Armado:

Conclusiones

Cuando se presentan problemas en los que el área de hormigón está fija y la cuantía resultantedel cálculo es menor que la mínima, el área de armadura puede determinarse de la siguienteforma:

Ast mín = máximo ( 0.01×Pn / [0.85 f’c + 0.01 (fy - 0.85 f’c)] ; 0.01 Ag /2) =

Ast mín = máximo ( Pn / [84.15 f’c + fy] ; 0.005 Ag)

A.14) Calcular “Pu” para la siguiente columna


Sección Transversal: - Circular de 0.50 m de diámetro


18

0.50 m 8 db16

Estr. db8 c/20cm

Estribos: - Recubrimiento = 0.02 m- Diámetro: 8 mm- Separación: 20 cm

Armadura Longitudinal: - 8 db16 = 16.08 cm2

Armado:

Resolución:

La separación de estribos es mayor que 8 cm por lo que no se trata de una columna zunchada.

El diámetro de los estribos es mayor que 6 mm por lo que resulta adecuado. La separación deestribos también cumple con los requisitos reglamentarios por lo que puede continuarse elcálculo como columna simple.

La cuantía geométrica vale: ρ = 16.08 / 1963.50 = 0.0082 por lo que, en principio, noverifica cuantía mínima.

Dado que la cuantía resulta superior a 0.005 (Ast > 0.01 Ag /2), calcularemos “Pu” a partir de laresistencia que produce la cuantía mínima aplicada al área efectiva reducida.

Área Efectiva Reducida = 16.08 cm2 / 0.01 = 1608 cm2

Pn = 0.85 f’c (Ag - Ast) + fy Ast = 0.85×2×(1608 - 16.08) + 50×16.08 = 3510.26 kN

Pu = φ 0.80 Pn = 0.65×0.80×3510.26 = 1825.34 kN

Conclusiones

“A priori” puede decirse que una columna no es reglamentaria cuando su cuantía geométrica esmenor que 0.005. Para cuantías mayores, y aplicando el criterio de suponer que la armaduraexistente corresponde a la cuantía mínima de un área efectiva reducida, se obtiene:

Pu = φ 0.80 [0.85 f’c (100 Ast - Ast) + fy Ast] = 0.52 (84.15 f’c + fy) Ast


19

B) COLUMNAS ZUNCHADAS

B.1) Calcular la carga de rotura de la siguiente columna:

Datos: f’c = 20 Mpa fy = 420 Mpa PD = PL

rec = 4 cm

Ag = π x (80 cm)2 / 4 = 5026.5 cm2

Ac = π x (72 cm)2 / 4 = 4071.5 cm2

Ast = 8 db 25 = 39.27 cm2

Asp = dbe 12 = 1.13 cm2

Como primer paso se debe verificar que realmente sea una columna zunchada, para eso sedebe cumplir:

ρs ≥ 0.45 (Ag / Ac -1) f’c / fy

ρs = 4 Asp / (s x hc) = 4 x 1.13 cm2 / (5 cm x 72 cm) = 0.0126

0.0126 ≥ 0.45 x (5026.5 cm2 / 4071.5 cm2 – 1) x 2 kN/cm2 / 42 kN/cm2 = 0.011, verificapor lo tanto es una columna zunchada.

Pn = PU / (0.85 x φ) = PU / (0.85 x 0.70)


= 0.85 x 2 kN/cm2 x (5026.5 cm2 – 39.27 cm2) + 42 kN/cm2 x 39.27 cm2

Pn = 10127.6 kN = 1.2 PD + 1.6 PL con PD = PL

PD = 10127.6 kN / (1.2 + 1.6) = 3617 kN ⇒ PD = PL = 3617 kN

B.2) Calcular el zuncho mínimo necesario para que la siguiente columna se comportecomo zunchada:


Primero verificamos que la cuantía de la columna esté dentro de los límites reglamentarios:

Ag = π x (30 cm)2 / 4 = 707 cm2

Ast = 8 db 16 = 16.08 cm2

⇒ ρ = 16.08 / 707 = 0.022 (> 0.01 y < 0.08), es correcto.


20

Ahora si calculamos la armadura del zuncho:

ρs ≥ 0.45 (Ag / Ac -1) f’c / fy

Ac = π x (22 cm)2 / 4 = 380.1 cm2

ρs ≥ 0.45 x (707 cm2 / 380.1 cm2 -1) x 2.5 kN/cm2 / 42 kN/cm2 = 0.023

ρs = 0.023 = 4 Asp / (s x hc)

⇒ Asp / s = ρs x hc / 4 = 0.023 x 22 cm / 4 = 12.65 cm2/m

Se adopta el diámetro mínimo reglamentario para zunchos, es decir 10 mm

La separación se calcula como: s = 0.79 cm2 / 12.65 cm2/m = 0.062 m, por lo tanto se adopta:

dbe 10 c/ 6 cm

La separación anterior verifica:

≤ 8 cms ≥ 2.5 cm

> tamaño máximo del agregado grueso a utilizar

B.3) Proyectar una columna simple y otra zunchada, ambas de sección circular, para las siguientes condiciones:


Sección Transversal: - A determinar

Estribos: - Recubrimiento = 0.04 m- Diámetro: A determinar- Separación: A determinar

Armadura Longitudinal: - A determinar

Solicitación: - PD = 380 kN ; PL = 500 kN

Resolución:

Para ambas soluciones se tendrá: Pu = 1.2 PD + 1.6 PL = 1.2×380 + 1.6×500 = 1256 kN

a) Columna Simple:

Pn = Pu / (0.80 φ) = 1256 / (0.80×0.65) = 2415 kN

Se adopta una cuantía geométrica “ρ = 0.02” por lo que resulta:

Ag = Pn / [0.85 f’c + ρ (fy - 0.85 f’c)] = 2415 /[0.85×3 + 0.02×(42 - 0.85×3)] =

Ag = 723.27 cm2

Se adopta una columna circular de 0.30 m de diámetro con lo que resulta Ag = 706.86 cm2 yla armadura se obtiene como:


21

8 db160.30 m

Estr. db6 c/26cm

Ast = (Pn - 0.85 f’c Ag) / (fy - 0.85 f’c) = (2415 - 0.85×3×706.86) / (42 - 0.85×3) =Ast = 15.52 cm2

Para la armadura longitudinal se adopta: 8 db16 = 8 × 2.01 = 16.08 cm2

Lo que conduce a una cuantía: ρ = 16.08 / 706.86 = 0.023

En función del diámetro de las barras longitudinales corresponde adoptar un estribado de 6 mmde diámetro con una separación igual al menor valor entre:

16 db longitudinal = 16×1.6 = 25.6 cm48 dbe = 48×0.6 = 28.8 cmmenor dimensión columna = 30 cm

es decir, 26 cm.

Armado:

b) Columna Zunchada:

Pn = Pu / (0.85 φ) = 1256 / (0.85×0.70) = 2110.92 kN

Se adopta la misma sección de hormigón que para el caso de la columna simple:

Ag = 706.86 cm2

Ast = (Pn - 0.85 f’c Ag) / (fy - 0.85 f’c) = (2110.92 - 0.85×3×706.86) / (42 - 0.85×3) =

Ast = 7.81 cm2

que conduce a una cuantía de 0.011 que se encuentra dentro de los límites reglamentarios.Para tal sección se adopta: 8 db12 = 8x1.13 = 9.04 cm2

La cuantía de zunchado debe verificar:

ρs ≥ 0.45 (Ag / Ac -1) f’c / fy = 0.45×(706.86 / 380.13 - 1)× 30 / 420 = 0.02763

siendo en este caso : Ac = π×hc2 / 4 = 380.13 cm2 con hc = 30 - 2×4 = 22 cm

Recordando que: ρs = 4 Asp / (s hc) queda Asp / s = ρs hc / 4 = 15.20 cm2/m

Se adopta el diámetro mínimo reglamentario para zunchos es decir, 10 mm.

La separación se calcula como: s = 0.785 / 15.20 = 0.05 m = 5 cm


22

Zuncho db10 c/5cm

8 db120.30 m

La separación anterior verifica:

≤ 8 cms ≥ 2.5 cm

> tamaño máximo del agregado grueso a utilizar

Armado:

c) Comparación (pesos de armaduras teóricas)

Se comparará el peso teórico de armadura por metro de columna. El peso por metro de unabarra de acero de área As es igual a :

0.785 kg/m/cm2 × As (cm2).

Para la columna simple:

Armadura longitudinal: El peso de acero de armadura longitudinal, para un metro de columnavale, siendo Ast = 15.52 cm2

Peso Arm. longitudinal = 0.785 kg/cm2/m × 15.5 cm2 × 1m = 12.17 kg/m

Armadura Transversal (Estribos): En este caso hay que evaluar la longitud de estribos para unmetro de columna. Considerando que el diámetro del eje de los estribos vale 22cm, y sumandounos 10cm para considerar el anclaje de cada estribo, su longitud es igual a : π × 22cm + 10cm= 79 cm; y por metro se tienen 1m / 0.26m = 3.85 estribos. De manera tal que :

Peso estribos = 0.785 kg/cm2/m × 0.28 cm2 × 0.79m/estribo × 3.85 estribo/m = 0.67 kg/m

è Peso Total de acero en la columna simple: 12.84 kg/m

Para la columna zunchada:

Armadura longitudinal: El peso de acero de armadura longitudinal, siendo Ast = 7.81 cm2 esigual a:

Peso Arm. longitudinal = 0.785 kg/cm2/m × 7.81 cm2 × 1m = 6.13 kg/m

Armadura Transversal (zuncho): De manera simplificada, se evaluará la sección de zuncho (yaexpresada en cm2/m) con una longitud igual al perímetro del eje medio del zuncho, que vale22cm, es decir que su longitud es igual a : π × 22cm = 69 cm; y entonces

Peso estribos = 0.785 kg/cm2/m × 15.20 cm2/m × 0.69m = 8.23 kg/m

è Peso Total de acero en la columna zunchada: 14.36 kg/m


23

Como puede apreciarse, para las condiciones del ejemplo, la columna zunchadapresenta un mayor consumo de acero que la columna simple. Esto se debe al particularenfoque que tiene el reglamento en lo referente a este tipo de columnas y a su seguridad (nose permite que el zunchado incremente la capacidad resistente de la columna -sólo compensala pérdida de resistencia producida por el descascaramiento- y no existen coeficientes dereducción de resistencia diferenciados entre el descascaramiento y la rotura de la columnazunchada).


24

BIBLIOGRAFÍA

1) CIRSOC 201-02

2) CÓDIGO MODELO CEB-FIP 1990

3) CÓDIGO MODELO CEB-FIP 1978

4) ACI 318-99, ACI 318R-99: Building Code Requirements for StructuralConcrete (ACI 318-99) and Commentary (318R-99)

5) CIRSOC 201: Proyecto, Cálculo y Ejecución de Estructuras de HormigónArmado y Pretensado

6) Proyecto de Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón(PRAEH)

7) LIMA, Luis Julián: Solicitaciones normales simples, tracción ycompresión.

columnas - ejercicios resueltos

Documents