COMBINATÒRIA:

VARIACIONS

SI IMPORTA L’ORDRE

NO APARAEIXEN ELEMENTS REPETITS

Exemple: quants nombres de 3 xifres diferents es poden formar amb el nombres del conjunt

{ 0, 1, 2, 3, 4 } V5,3 = 5· 4 · 3 = 60 60 - 12= 48

VARIACIONS AMB REPETICIÓ

SI IMPORTA L’ORDRE

APAREIXEN ELEMENTS REPETITS

Exemple: En un concurs de fotografia es presenten tres persones i es reparteixen dos premis.

De quantes maneres es poden lliurar els trofeus si és possible que un mateix autor rebi els dos

premis?

VR 3,2= 3 2 = 9

Persona 1, persona 2, persona 3. Premi 1, premi 2.

!r Premi 2n premi

Andrea Andrea Andrea, Andrea

Laura Andrea, Laura

Sílvia Andrea, Sílvia

Laura Laura Laura, Laura

Andrea Laura, Andrea

Sílvia Laura, Sílvia

Sílvia Sílvia Silvia, Silvia

Andrea Sílvia, Andrea

Laura Sílvia, Laura

PERMUTACIONS

SI IMPORTA L’ORDRE

NO APARAEIXEN ELEMENTS REPETITS

TOTS ELS ELEMENTS

Exemple: Com poden seure 10 alumnes en 10 cadires?

P 10= 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 720 · 120 · 42 = 3.628.800

Com poden seure 5 alumnes en 5 cadires?

P5 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

COMBINACIONS ORDINÀRIES

NO IMPORTA L’ORDRE

NO APARAEIXEN ELEMENTS REPETITS

Quants combinats de sucs podem fer amb: taronja, llima, llimona, poma. Si cada combinat té

tres sucs.

V 4,3 4 · 3 · 2

C 4,3 = --------- = ----------------------

P 3 3 · 2 · 1

9.- En un menú podem triar de primer plat: sopa, amanida, macarrons. De segon plat: Carn o

peix. I de postres fruita, iogurt, pastís. Fes l’arbre amb totes les possibilitats.

10.- En un menú podem trobar els següents plats:

1r: sopa, amanida, embotits, espàrrecs.

2n: vedella, llom, truita.

Postres: gelat, iogurt, fruita

Begudes: vi, aigua, cocacola.

APRENEM A COMPTAR

Per celebrar la festivitat de Sant Esteve, la família

Gratacós decideix anar a dinar al restaurant Ca l'avi

Miquel. El menú és el següent:

Quants dinars diferents es poden triar?

Utilitza aquesta part del full per resoldre el problema de la manera que creguis més convenient

. Si no saps per on començar, una bona idea seria escriure tots els possibles dinars...

Un cop hagis resolt el problema a la teva manera, a la part del darrera del full se t'indica una

manera ordenada i útil en molts altres problemes, de comptar totes les possibilitats, sense

deixar-te'n ni una!

Primer plat

Amanida verda

Escudella

Canelons

Faves a la catalana

Segon plat

Vedella amb bolets

Rap a la marinera

Pollastre rostit

Postres

Crema catalana

Postres de músic

RESOLEM EL PROBLEMA D'UNA MANERA ORDENADA!

Omple el quadre següent, i després segueix les indicacions del final per comptar el nombre

total de dinars:

Primer plat Segon plat Tercer plat

Crema C.

Vedella

P. músic

Crema C.

Amanida Rap

P. músic

Crema C.

Pollastre

P. músic

Escudella

Canelons

Faves

NOMBRE DE DINARS:

Primer plat Segon plat Tercer plat

4 possibilitats X 3 possibilitats X 2 possibilitas

TOTAL:

1- A la Maria li ha trucat la seva amiga Alba i han quedat al parc per fer footing. La Maria no sap quina roba posar-se. Mira dins el seu armari i observa que té 3 samarretes (lila, rosa i blava), 3 pantalons curts (texans, ciclista i esport) i 2 parells de bambes (noves i velles). De quantes maneres diferents es podrà vestir?

Dinars diferents

DIAGRAMA EN ARBRE:

Samarretes Pantalons curts Bambes vestit

Velles l t v

texans

noves l t n

lila

ciclista

esport

rosa

blava

FORMES DIFERENTS DE VESTIR-SE:

Samarretes Pantalons curts Bambes

X X

2- Volem formar les síl·labes de dues lletres que comencin amb consonant i acabin en vocal (exemples: bu, ge, ve, la, ...) que es poden fer amb les 20 consonants (b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,q,r,s,t,v,w,x, z) i les 5 vocals (a,e,i,o,u). Quantes n'hi ha?

DIAGRAMA EN ARBRE (només el començament!):

Primera lletra (consonant) Segona lletra (vocal) Síl·laba

Hi ha _____ X ____ X ____ = formes diferents de vestir-se

Nombre de síl·labes: ______ X ______ =

3- Disposem de 4 sucs de fruita (pinya, llimona, taroja i poma), 2 licors diferents (anís i rom) i 3 caves diferents (brut, sec i dolç). Quants combinats diferents es poden fer barrejant un suc, un licor i un cava? Indica com es faria el diagrama en arbre (no cal que escriguis el diagrama sencer)

DIAGRAMA EN ARBRE

Suc Licor Cava Combinat

CÀLCUL DEL NOMBRE DE COMBINATS DIFERENTS:

VARIACIONS ORDINÀRIES

A la classe de 4t d'ESO s'ha d'elegir un delegat, un subdelegat i un encarregat de manteniment.

Es presenten cinc candidats; La Maria, en Joan, en Lluis, la Irene i en Carles. La votació es farà

omplint unes paperetes on s'ha d'indicar el nom de l'alumne triat per cada càrrec:

Quantes paperetes diferents es poden fer?

Aquest problema es pot resoldre fàcilment escrivint el diagrama en arbre corresponent. Però

alerta! Un mateix candidat no pot tenir dos càrrecs!

Delegat Subdelegat E. Manteniment Papereta

Maria

Delegat:

Subdelegat

Encarregat de manteniment:

Joan

.

.

.

.

NOMBRE DE PAPERETES DIFERENTS:

Dels 5 elements inicials ( la Maria, en Joan, en Lluis, la Irene i en Carles) n'hem fet grups

ordenats (per exemple, Maria-Joan Lluis no és el mateix que Joan-Maria-Lluis) de 3 elements

(els tres candidats que triem per als càrrecs).

El nombre total de grups s'expressa així:

V53 ((es llegeix: variacions de 5 elements agafats de 3 en 3)

Fixa't en la fórmula:

4- Escriu tots els nombres de 3 xifres diferents que es poden formar amb els dígits 5-6-7-8. Quants n'hi ha?

DIAGRAMA EN ARBRE:

1ª xifra 2ª xifra 3ª xifra Nombre

V53 = 5 · 4 · 3

Variacions ordinàries de m elements agafats de n en n són les diferents llistes

ordenades de n elements diferents i no repetits que es poden fer amb els m elements inicials.

Dues variacions són diferents si:

a) Tenen algun element duferent b) Canvia l'ordre dels elements

El nombre de variacions es calcula:

Vmn = m · (m-1) · (m-2) ....

(fins a tenir n factors)

NOMBRE TOTAL

Completa la fórmula: V =

Prenent com a model el primer paràgraf d'aquesta pàgina, completa:

Dels ___ elements inicials ( ) n'hem fet grups de _____ elements .

El nombre total de grups s'expressa així:

V (es llegeix: variacions de ____ elements agafats de ___ en _____

V =

PERMUTACIONS

a) De quantes maneres diferents es poden asseure 2 persones (p1 i p2 ) en una filera de 4

cadires (c1, c2, c3 i c4)?

DIAGRAMA EN ARBRE

P1 P2 Maneres d'asseure

C2

C3

C1

C4

C2

.

.

.

Càlcul del nombre de maneres:

V = =

b) De quantes maneres es poden asseure 4 persones en una filera de 4 cadires?

DIAGRAMA EN ARBRE: Continua el diagrama

P1 P2 P3 P4 Maneres d'asseure

C3 C4

C2 C4 C3

C3

C1

C4

Nombre total de possibilitats: V = =

Fixa't que aquest és un cas especial de variacions: tenim 4 elements i en fem grups de 4. Això implica que tots els elements entren a cada grup. Per tant, dues varicacions només es diferencien per l'ordre en que estan col·locats els seus elements. Per aquesta raó reben el nom de permutacions (permutar = canviar d'ordre) i es simbolitzen per la lletra P. En aquest cas:

V44 = P4 = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

5- Quantes paraules de 3 lletres diferents, tinguin o no significat, es poden fer amb les lletres de la paraula "POT"? Escriu-les totes

DIAGRAMA EN ARBRE:

1ª lletra 2ª lletra 3ª lletra Paraula

Càlcul del nombre de paraules. Completa:

V = P = · · · =

6- De quantes maneres diferents puc ordenar 3 llibres en un prestatge? I 10 llibres? (no facis el diagrama en arbre d'aquest cas, perquè és molt llarg )

Permutacions de m elements són les diferents llistes de m elements que es

poden fer ordenant-los de totes les formes possibles.

El nombre de permutacions és igual a:

Pm = Vmm = m · (m-1) · (m-2) · · ·1

FACTORIAL D'UN NOMBRE

El resultat del producte m · (m-1) · (m-2) · · ·1 s'anomena factorial del nombre m i

es representa per m!.

També podem escriure: Pm = m!

7- Calcula el valor de:

a) 5! =

b) 7! =

c) 10! =

d) 14! =

e) !4

!6 =

m! = m · (m-1) · (m-2) · · · 1

f) !3!·5

!10 =

VARIACIONS AMB REPETICIÓ

La revista El cor feliç publica cada setmana un horòscop en el qual es fan previsions sobre la

salut , els diners i l'amor , i a cada una d'aquestes àrees li assigna quatre puntuacions:

excel·lent (E), bo (B), regular(R) i malament (M). L'encarregat de la secció ha decidit no repetir

l'horòscop assignat a Capricorn mentre això sigui possible. Durant quantes setmanes podrà

assignar a Capricorn un horòscop diferent?

DIAGRAMA EN ARBRE

Salut Diners Amor Horòscop

E

B

E

R

M

B

E

R

M

.

.

Nombre total d'horòscops diferens: ____ · ______ · ______ =

Fixa't que en aquest cas tenim quatre (E, B, R i M) elements i n'hem fet grups ordenats (ERB no

és el mateix que BER) de tres elements que es poden repetir (per exemple EEE té sentit en

aquest cas). Per aquesta última raó s'anomenen variaciona amb repetició.

El nombre total de grups s'expressa així:

VR43 = 4 · 4 · 4 = 43

8- Quants nombres diferents de dues xifres (amb xifres repetides o sense repetir) es poden formar amb els dígits 1-2-3-4?

DIAGRAMA EN ARBRE

Primera xifra Segona xifra Nombre

Càlcul: VR = ___ · ___ = =

Variacions amb repetició de m elements agafats de n en n són les diferents

llistes ordenades de n elements, repetitts o no, que es poden fer amb els m elements inicials.

Dues variacions són diferents si:

c) Tenen algun element diferent d) Canvia l'ordre dels elements

El nombre de variacions es calcula:

VRmn = m · m · m · · · = mn

(fins a tenir n factors)

9- Tirem una moneda quatre vegades a l'aire i prenem nota, ordenadament dels resultats. Quants n'hi ha diferents?

DIAGRAMA EN ARBRE

1ª tirada 2ª tirada 3ª tirada 4ª tirada Resultat

Nombre de resultats diferents:

COMBINACIONS

a) A la classe de 4t d'ESO s'ha d'elegir un delegat, un subdelegat i un encarregat de

manteniment. Es presenten QUATRE candidats; La Maria, en Joan, en Lluis i la Irene. La votació

es farà omplint unes paperetes on s'ha d'indicar el nom de l'alumne triat per cada càrrec.

Escriu totes les papertes possibles:

DIAGRAMA EN ARBRE

Delegat Subdelegat E. Manteniment Papereta

Lluis M J L

Joan

Irene M J I

Maria

Nombre de paperetes diferents: V = =

b) Imaginem ara que tots els càrrecs fossin iguals (per exemple, es necessiten tres voluntaris

per organitzar la festa de Sant Jordi). Ara, a les paperetes només importa quins són els tres

noms elegits, però no l'ordre en què s'han posat. Quantes paperetes diferents es poden fer en

aquest cas?

Intentem aprofitar el diagrama en arbre anterior. De les 24 possibilitats, hem de treure

aquelles que tenen els mateixos noms (i que només es diferencien per l'ordre). Així, si agafem

M J L, haurem de treure M J L, J M L, J L M, L M J i L J M (és a dir, totes les permutacions

possibles)

Encercla M J L i ratlla totes les altres possibilitats que no s'han de tenir en compte. Continua el

procès i escriu finalment les quatre paperetes diferents que hi ha:

De quatre elements, n'hem fet grups de tres en els quals l'ordre no importa (dues paperetes

amb els mateixos noms ordenats de forma diferent es consideren iguals). Aquestes

agrupacions reben el nom de combinacions de quatre elements agafats de tres en tres:

C43 = 4

Fixa't, però que

41··2··3

2··3··4

P

VC

3

343

4

Aquests resultats es poden generalitzar fàcilment:

Combinacions de m elements agafats de n en n són els diferents grups de n

elements (on l'ordre no importa) que es poden fer amb els m inicials.

Dues combinacions són diferents si tenen algun element diferent, però són iguals si tenen

els mateixos element ordenats de manera diferent.

10- En una reunió de 10 persones, abans de començar es saluden totes entre elles. Quantes encaixades de mans es faran?

11- En una rifa, es reparteixen quatre premis iguals entre sis persones. De quantes maneres diferents es poden repartir?

NOMBRES COMBINATORIS

En matemàtiques es defineix:

Exemple:

102

20

1··2

·4··5

P

VC

2

5

2

252

5

n

nmn

mP

VC

n

m

12- Calcula:

a) 3

30

b) 2

7

c) 3

8

d) 5

6

e) 4

8