commande numérique des systèmes michel de mathelin, iulia

Commande Numérique des Systèmes

Ecole Nationale Supérieure de Physique de Strasbourg2ème année

Michel de Mathelin, Iulia Bara

et Jacques Gangloff

Cours 2ème partie

Programme de la deuxième par tie (1)

• Chapitre VII : Synthèse des correcteurs numériques– Objectifs– Synthèse par transposition à partir du continu– Prise en compte du bloqueur – PID numériques– Auto-réglage des PID– Placement des pôles dominants– Prédicteur de Smith– Commande avec modèle interne– Synthèse algébrique : correcteurs RST– Analyse de la robustesse et des performances

Programme de la deuxième par tie (2)

• Chapitre VIII : Représentations d’état– Représentation d’état des systèmes échantil lonnés– Obtention des équations d’état et fonctions de transfert– Résolution des équations d’état– Stabilit é– Commandabili té, observabilit é et minimali té– Formes canoniques– Placement des pôles par retour d’état

• Chapitre IX: Aspects pratiques– Définition du cahier des charges– Choix de la période d’échantil lonnage– Prise en compte des saturations– Prise en compte de la quantification– Conditionnement numérique du correcteur

• E. Godoy et E. Ostertag, Commande numérique des systèmes.

Elli pses, Collection Technosup, Paris, 2003.

• R. Longchamp, Commande numérique de systèmes dynamiques.

Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1995.

• E. Ostertag, Systèmes et asservissements continus.

Elli pses, Collection Technosup, Paris, 2004.

• M. Rivoireet J.-L. Ferrier, Commande par calculateur et identification.

Eyrolles, Paris, 1997.

Bibliographie – ouvrages en français

• K. Aström andB. Wittenmark, Computer controlled systems : theory anddesign.PrenticeHall , EnglewoodCliffs, 1984, 1990.

• G. Franklin, J. Powell , and A. Emami-Naeini, Feedback control of dynamicsystems.Addison Wesley, Wokingham, 1988.

• G. Franklin, J. Powell , and L. Workman, Digital control of dynamic systems.Addison Wesley, Wokingham, 1989.

• T. Kailath, Linear Systems.PrenticeHall , EnglewoodCliffs, 1980.

• B. Kuo, Automatic control systems.PrenticeHall , EnglewoodCliffs, 1991.

• B. Kuo, Digital control systems.Harcourt Brace& Jovanovich, Orlando, 1992.

• K. Ogata, Modern control engineering.PrenticeHall , EnglewoodCliffs, 1990.

Bibliographie – ouvrages en anglais

VII .1 Objectifs (1)

• Asservissement numérique d’un système continu

VII . Synthèse des cor recteurs numériques

C(z) G(s)r(k)

v(t)

u(k) y(t)

ym(k)

δu(t) δy(t)ε(k)

- BOZ

H(s)Te

G(s) Fonction de transfert du système

H(s) Fonction de transfert du capteur

r Signal de consigne ou de référence

u Signal de commande

y Signal de sortie (grandeur à réguler)

ym Mesure de la sortie

F(z)

δu Perturbation d’entréeδy Perturbation de sortiev Bruit de mesure

C(z) Correcteur

F(z) Préfilt reε Erreur d’asservissement

Régulateur numériqueCapteur

Système


• Objectifs de la synthèse:Stabilit é:

– Le système en boucle fermée est stable

Performance: – Suivre les variations de la consigne– Comportement en boucle fermée conforme à un

modèle – Rejeter les perturbations et le bruit

Robustesse:– Conservation de la stabilité et des performances

malgré les incertitudes sur le modèle (dynamiques non modélisées, non linéarités, incertitudes paramétriques, …)



• Outils pour la synthèse:Stabilit é:

– Critère de Jury– Critère de Nyquist

Performance: – Lieu d’Evans (placement des pôles de la boucle

fermée) – Calcul des erreurs en régime permanent– Simulation (vérification a posteriori)

Robustesse:– Marges de stabilit é (diagramme de Nyquist)– Simulation (vérification a posteriori)



• Méthodes simples pour la synthèse (monovariable):– Transposition de correcteurs continus– Utili sation de PID– Autoréglage– Placement de pôles (lieu d’Evans, retour d’état)– Modèle interne– Méthodes algébriques (RST)

• Méthodes avancées pour la synthèse (multivariable):– Commande optimale : minimalisation d’un critère quadratique sur

l’erreur d’asservissement et la commande– Commande robuste : prise en compte optimale de bornes sur les

incertitudes pour la stabilit é et la performance – Commande non linéaire : prise en compte de modèles non linéairesdu

système à asservir


VII .2 Transposition à par tir du continu (1)

• Principe:

1. Synthèse d’un correcteur continu

2. Le correcteur numérique est obtenu par approximation de la fonction de transfert du correcteur continu à l’aide d’équations aux différences de différentes manières :

– Echantil lonnage-blocage

– Approximation d’Euler (différence vers l’arrière)

– Approximation d’Euler (différence vers l’avant)

– Transformation bili néaire (ou homographique)



A. Echantill onnage-blocage :


Cc(s) u(t)e(t)

Se comporte approximativement comme:

Cc(s) u(t)e(t) BOZ BOZ

TeTe ε(k)

C(z)u(k)

−= −

s

(s)CzzC cZ)1()( 1

si la période d’échantil lonnage est suff isamment petite

Conserve la stabilit é


B. Approximation d’Euler (différence vers l’arrière):


Conserve la stabilit é

Approximation de la dérivée:

e

e

T

Ttxtx

dt

dx )()( −−≈zT

z

T

zs

ee

11 1 −=−→−

•

Plan s Plan z

•1

)1

()(1

ec T

zsCzC

−−==




Remarque:

−+=−⇒

−=⇔−=

−

sT

sTz

sTz

T

zs

e

e

ee

1

1

2

1

2

1

1

11 1

si s est sur l’axe imaginaire alors

++

−==

+

+−=

−+=−

2222

22

22

22

1

2,

1

12arctanavec

2

1

1

21

2

1

1

1

2

1

2

1

ωω

ωωϕ

ωωω

ωω

ϕ

e

e

e

ej

e

ee

e

e

T

T

T

Te

T

jTT

jT

jTz




Approximation de l’ intégrale:

∑∫

=+==→

+−=→=n

keee

e

t

e

kTxTInTtI

txTTtItIdxtI

1

0

)()0()(

)()()()()( ττ11

1−−

→z

T

se

x(t)

t0 Te 2Te 3Te 4Te

Approximation du retard:

sTz

ez

e

sTe

−=→

=−

−−

11

1


C. Approximation d’Euler (différence vers l’avant):


Ne conserve pas la stabilité

Approximation de la dérivée:

e

e

T

txTtx

dt

dx )()( −+≈eT

zs

1−→

•

Plan s Plan z

•1

)1

()(e

c T

zsCzC

−==


C. Approximation d’Euler (différence vers l’avant):


Approximation de l’ intégrale:

∑∫

−

=+==→

−+−=→=1

0

0

)()0()(

)()()()()(

n

keee

ee

t

e

kTxTInTtI

TtxTTtItIdxtI ττ

1

1

−→

z

T

se

x(t)

t0 Te 2Te 3Te 4Te 5Te


sTz

ez

e

sTe

+=→

=

−

−−

1

11

1


D. Approximation bili néaire (homographique):


Conserve la stabilit é et la forme de la réponse en fréquence

Dans la lit térature anglo-saxonne: Tustin’s approximation

1

12

+−→

z

z

Ts

e

•

Plan s Plan z

•1

)1

12()(

+−==

z

z

TsCzC

ec




Remarque:

sT

sT

zz

z

Ts

e

e

e

21

21

1

12

−

+=⇔

+−=

si s est sur l’axe imaginaire alors

++

−==

+

+−=

−

+=

22

22

22

22

22

41

,

41

41

2arctanavec

41

41

21

21

ω

ω

ω

ωϕ

ω

ωω

ω

ω

ϕ

e

e

e

e

j

e

ee

e

e

T

T

T

T

e

T

jTT

jT

jT

z




Approximation de l’ intégrale: approximation trapézoïdale

( )

( )∑

∫

=

−++==

−++−=→

=

n

kee

ee

ee

e

t

TkxkTxT

InTtI

TtxtxT

TtItI

dxtI

1

0

))1(()(2

)0()(

)()(2

)()(

)()( ττ

1

1

2

1

−+→

z

zT

se

x(t)

t0 Te 2Te 3Te 4Te 5Te


sT

sT

z

e

eez

e

e

sT

sTsT

e

e

e

21

21

1

2/

2/1

+

−=→

==

−

−−−


• Conclusions:

1. La méthode s’appuie sur les résultats d’une synthèse de correcteur analogique sur la base du modèle du système qui est également continu.

2. La synthèse ne prend pas en compte le bloqueur et le déphasage introduit par celui-ci dans la boucle d’asservissement.

3. Les performances du correcteur numériques seront au mieux celles du correcteur analogique.

4. Les performances du correcteur numérique se rapprocheront d’autant plus de celles du correcteur analogique que la période d’échantill onnage est petite.


VII .3 Pr ise en compte du bloqueur (1)

• Principe:

1. La transmittance échantill onnée du système ouvert avec le bloqueur est calculée (fonction de transfert en z ).

2. Une transformation bil inéaire (transformation en w ) est appliquée à cette transmittance échantil lonnée pour obtenir une fonction transfert continue du système ouvert avec bloqueur.

3. Une synthèse de correcteur analogique est réalisée sur cette fonction de transfert continue.

4. Une transformation bil inéaire est appliquée au correcteur analogique synthétisé pour obtenir le correcteur numérique.



1. Calcul de la transmittance échantil lonnée du système ouvert :

2. Transformation bili néaire :


G(s)u(t)

BOZ

Te

G(z)

u(k) y(k)

1

12

21

21

+−=⇔

−

+=

z

z

Tw

wT

wT

zee

e

)

21

21

()(w

T

wT

zGwGe

e

c

−

+==

Conservation de la stabilité


2. Transformation bili néaire (suite) :


')2

tan(22

1

12

22

22

ωωωω

ωω

ω

ω

jT

Tj

ee

ee

Te

e

Tw e

eT

jT

j

Tj

Tj

eTj

Tj

eee

ee

e

e

==+

−=+−=

−

−

•

Plan wPlan z

•1

si z est sur le cercle unité alors

••

Conservation de la forme de la réponse en fréquence

)()'( eTjc eGjG ωω =

eTje ω

'ωj


3. Synthèse d’un correcteur analogique :

4. Transformation bili néaire :


wT

wT

zz

z

Tw

e

e

e

21

21

1

12

−

+=⇔

+−=

)1

12()(

+−==

z

z

TwCzC

ec

Conservation de la stabilité et de la forme de la réponse en fréquence

Cc(w) Gc(w)La réponse en fréquence désirée doit prendre en compte la transformation des abscisses

VII .4 PID numériques (1)

A. Forme analogique (rappel) :


]1

1[)( sTsT

KsC di

pc ++=

Cc(s)e(t) u(t)

∫ ++=t

di

p dt

tdeTde

TteKtu

0]

)()(

1)([)( ττ

PID idéal

PID réel]1

11[)(

sN

TsT

sTKsC

d

d

ipc

+++=

avec 5≥N


B. Formes numériques (transposition du continu) :


1. Echantil lonnage-blocage: ])1(

1

11[)(

d

e

T

NTe

ip

ez

zN

z

T

TKzC

−−

−+−

+=

2. Différences vers l’arrière: ]1)1(

)1(

1

11[)(

−+

−+−

+=z

T

NTzN

z

zT

TKzC

d

e

e

ip

3. Différences vers l’avant: ])1(

)1(

1

11[)(

d

e

e

ip

T

NTz

zN

z

T

TKzC

−−

−+−

+=

4. Transformation bili néaire: ])

21()

21(

)1(

1

1

21[)(

d

e

d

ei

ep

T

NTz

T

NTzN

z

z

T

TKzC

−−+

−+−++=


C. Formes standards :


Correcteur P: pKzC =)(

Correcteur PI: ]1

11[)(

−+=

z

T

TKzC e

ip

Correcteur PD: ]1)1(

)1(1[)(

−+

−+=z

TNT

zNKzC

d

ep

]1)1(

)1(1

11[)(

−+

−+−

+=z

TNT

zN

z

T

TKzC

d

e

e

ipCorrecteur PID:


D. Schéma forme standard :


1)1(

)1(

−+

−

zT

NTzN

d

e

Kpr(k) u(k)

ym(k)

ε(k)

- BOZ

Te

PID numérique

)1( −zT

T

i

eui(k)

ud(k)


D. Schéma forme standard (suite):


1)1(

)1(

−+

−

zT

NTzN

d

e

Kpr(k) u(k)

ym(k)

ε(k)

- BOZ

Te

PID numérique sans dérivation de l’entrée

)1( −zT

T

i

eui(k)

ud(k)-Kp


E. Equations aux différences :


Correcteur PID sans dérivation de l’entrée:

)]1()([1

)1(1

1)(

)1()1()(

)()()()(

)()()(

−−+

−−+

=

−+−=

++=−=

kyky

T

NT

NKku

T

NTku

kT

TKkuku

kukukKku

kykrk

mm

d

e

pd

d

ed

i

epii

dip

m

ε

εε


E. Equations aux différences (suite) :


Forme incrémentale du correcteur PID:

)]1()([1

)1(1

1)(

)1()()1()]1()([)1()(

)()()(

−−+

−−+

=

−−+−+−−+−=

−=

kyky

T

NT

NKku

T

NTku

kukukT

TKkkKkuku

kykrk

mm

d

e

pd

d

ed

ddi

epp

m

εεε

ε

)1()()1()1()()1()( −−+−−−+−= kukukT

TKkKkuku dd

i

epp εε


F. Anti-saturation du terme intégral (anti-windup):


Saturation (CNA, actionneur)

U

U

U

U

U

−<≤>

−=

)(

)(

si

si

si

)()(

ku

u(k)

ku

kukus

us(k)u(k)U

-U

Commandecalculée

Commandeappliquée

Risque d’emballement du terme intégral en cas de saturation


F. Anti-saturation du terme intégral (suite):


1. Intégration conditionnelle: Principe : bloquer l’ intégration quand la commande sature

)()()()(

)(

)(

si

si

)1(

)1()1()(

)()1()1()()(

)()()(

0

0

0

kukukKku

ku

ku

ku

kT

TKku

ku

kukT

TKkukKku

kykrk

dip

i

i

epi

i

di

epip

m

++=

>≤

−

−+−=

+−+−+=

−=

ε

ε

εε

ε

U

U


F. Anti-saturation du terme intégral (suite):


2. Anti-saturation standard: Principe : recalculer le terme intégral pour ne pas saturer

)()()()()(

)(si))()((

)(si)1()1(

)(si))()((

)(

)()1()1()()(

)()()(

0

0

0

0

kukukukKku

kukukK

kukT

TKku

kukukK

ku

kukT

TKkukKku

kykrk

sdip

dp

i

epi

dp

i

di

epip

m

=++=

−<+−−

≤−+−

>+−

=

+−+−+=

−=

ε

ε

ε

ε

εε

ε

UU

U

UU

VII .5 Auto-réglage des PID (1)

A. Méthode de Takahashi basée sur la réponse indicielle


y(t)

t

Tu TgCorrecteur P:

eu

gp TT

TK

+=

Correcteur PI:

Tangente au point d’ inflexion

2

2

135,0

2

9,0

+

−+

=e

u

eg

eu

gp

TT

TT

TT

TK 2

2

27,0

+

=e

u

eg

i

p

TT

TT

T

K


A. Méthode de Takahashi basée sur la réponse indicielle (suite)


Correcteur PID:2

2

3,02,1

+

−+

=e

u

eg

eu

gp

TT

TT

TT

TK

2

2

6,0

+

=e

u

eg

i

p

TT

TT

T

K

e

gdp T

TTK

2=


B. Méthode de Takahashi en boucle fermée:


−=

c

ecp T

TKK 16,0

c

c

i

p

T

K

T

K 2,1=

Principe : augmenter le gain en boucle fermée avec une correction proportionnelle jusqu’à la mise en oscill ation

Gain critique : Kc

Période des oscil lations : Tc

Correcteur PID:

4

3,0 ccdp

TKTK =

VII .6 Placement des pôles dominants

Principe: placer à l’aide du lieu d’Evans les pôles dominants

de la fonction de transfert du système bouclé dans une région désirée


enen TjTnn eezjs ωξξωωξξω

212,1

22,1 1 −±−=→−±−=Pôles dominants:

pôles dominés

constantenξω

constanteξ

pôles dominants

VII .7 Le prédicteur de Smith (1)

Synthèse particulière dans le cas des systèmes avec un retard important


)(

)()1( 1

zGz

s

sGZzz

d

d

−

−−

=

−=

Nombre de pôles important et déphasage important

Correcteur e-Ts G(s)r(k) u(k) y(t)

ym(k)

ε(k)

- BOZ

Te

Fonction de transfert du système (boucle ouverte):

avec eT

Td =


Principe: Asservir la sortie d’un modèle sans retard (prédicteur)


C(z) e-Ts G(s)r(k) u(k) y(t)

em(k)

- BOZ

Te

-

G(z) z-d-

yp(k)

)(kyp est la prédiction de la sortie future : ))(( eTdky +

correcteur numérique

)(kem est renvoyé sur l’entrée pour compenser les perturbations et les erreurs de modèle


Schéma équivalent:


C(z) e-Ts G(s)r(k) u(k) y(t)

- BOZ-

(1-z-d)G(z)

)()()1(1

)(

)(

)(

zGzCz

zC

zE

zUd−−+

=

Le correcteur C(z) est synthétisé sur le système sans retard

Te

e(k)

)()(1

)()(

)(

)(

zGzC

zGzCz

zR

zY d

+=

−

)()(1

)()(

)(

)(

zGzC

zGzC

zR

zYp

+=

VII .8 Commande avec modèle interne (1)

Principe: Rétroaction de l’écart entre le système et un modèle


CorrecteurSystèmestable

r(k) u(k) y(t)

em(k)

BOZ

Te

-

Modèle -

Si le modèle est parfait et s’ il n’y a aucune perturbation, le signal de contre-réaction est nul


ym(k)

Si le correcteur est stable le système bouclé est stable


Schéma-bloc:


C(z) G(s)r(k)u(k) y(t)

em(k)

BOZ

Te

-

Gm(z) -

Soit stable et


ym(k)

p(t)

−= −−

s

sGZzzzG d )(

)1()( 1 { })()( sPZzP =

e(k)

( )( ))()()()()(1

1)( zPzR

zGzGzCzE

m

−−+

=


VI I . Synthèse des cor recteurs numériques

)()(1

)()(

)()(1

)()(

zGzC

zCzF

zGzF

zFzC

mm −=⇔

+=

( ) ( ) )()()()(1

)()(1)(

)()()(1

)()()( zP

zGzGzC

zGzCzR

zGzGzC

zGzCzY

m

m

m −+−+

−+=

)()()()()( zPzEzGzCzY +=

Equivalence avec un correcteur série classique:

Hypothèse du modèle parfait:

)()()(1

1)(

)()(1

)()()( zP

zGzFzR

zGzF

zGzFzY

++

+=

Soit

)()( zGzGm = )())()(1()()()()( zPzGzCzRzGzCzY −+=

Si le correcteur est stable le système bouclé est stable



)1()1(et stable)(avec)()()( 11 −− == NII GQzQzGzQzC

Principes pour la synthèse du correcteur:

A. Hypothèse du modèle parfait

où GI(z) est la partie inversible de G(z)

et GNI(z) est la partie non inversible contenant les retards et les zéros non compensables

)()()()( zGzGzGzG NIIm ==

)())()(1()()()()( zPzGzQzRzGzQzY NINI −+=

Le système bouclé est stable, l’erreur de position est nulle et les perturbations constantes sont rejetées



)1()1(et stable)(avec)()()( 11 −− == NII GQzQzGzQzC

Principes pour la synthèse du correcteur (suite):

B. Cas général du modèle imparfait

où GI(z) est la partie inversible de Gm(z)

et GNI(z) est la partie non inversible)()()()( zGzGzGzG NIIm ≠=

( ) ( ) )()()()()(1

)()(1)(

)()()()(1

)()()(

11

1

zPzGzGzGzQ

zGzQzR

zGzGzGzQ

zGGzQzY

NII

NI

NII

I

−+−+

−+= −−

−

En pratique, si Q(z) est un filt re passe-bas, de fréquence de coupure suff isamment petite alors le système bouclé est stable, l’erreur de position est nulle et les perturbations constantes sont rejetées



Règles standards pour la synthèse du correcteur:

Soit

avec zi les zéros à partie réelle positive à l’ intérieur du cercle unité

zj les zéros à partie réelle positive à l’extérieur du cercle unité

zk les zéros à partie réelle négative

nrqpmpzz

zzzzzzg

zGn

ii

r

q

kk

p

jj

m

ii

m +<++−

−−−=

∏

∏∏∏

=

=== avec)(

)()()(

)(

1

111

∏ ∏

∏

= =

=

−−

−=

m

i

p

j ji

q

n

iic

zzzzz

pzgzQzC

1 1

1

)1

()(

)()()( avec

10

1

)1()(

)1()1( 1

<<−−=

= −

ααα

z

zzQ

GC m

VII .9 Synthèse algébr ique (1)


9.1 Le correcteur RST:

A. Schéma

avec 1−z

yr(k) u(k) y(k)

δu(k) δy(k)ε(k)

-)( 1−zT

)(

11−zS

)( 1−zR

)(zG

)(),(),( 111 −−− zTzSzR polynômes en

et )( 1−zS monique 1)0( =S

Soit

1

)(

)()(

1

1

≥

= −

−−

d

zA

zBzzG

d

avec 1−z)(),( 11 −− zAzB polynômes en

premiers et )( 1−zA monique 1)0( =A



B. Equations du système bouclé

)()(

)()(

)(

)()(

)())()(()(

)()(

1

1

1

1

1

1

zYzS

zRzY

zS

zTzU

zYzUzUzA

zBzzY

r

d

−

−

−

−

−

−−

−=

++= δδ (1)

(2)

)()()()(

)()()()(

zYBRzAS

ARzU

BRzAS

BRzzY

BRzAS

ATzU

zYBRzAS

ASzU

BRzAS

BSzzY

BRzAS

BTzzY

dd

d

rd

dd

d

rd

d

δδ

δδ

−−

−

−

−−

−

−

−

+−

+−

+=

++

++

+= (3)

(4)



C. Objectifs de la synthèse

1. Le suivi de consigne obéit au modèle suivant:

)(

)()(

1

1

−

−−

=zA

zBzzM

m

md

τααeT

m ezzA−−− =−= avec1)( 11

avec 1)1( =M )1()1( mm AB =

l’erreur de position est nulle

Exemples de modèle:

Modèle d’ordre 1 de constante de temps τ:

Modèle d’ordre 2 de pulsation naturelle ωn et de facteur d’amortissement ξ:

22211 1avec)cos(21)( ξωβααβα ξω −==+−= −−−−en

Tm TezzzA en

)()()()( zYA

BzzMYzY

BRzAS

BTzzY r

m

md

rrd

d −

−

−

==+

= (5)

et )( 1−zAm monique 1)0( =mA



C. Objectifs de la synthèse (suite)

2. Rejet des perturbations d’entrée:

3. Rejet des perturbations de sortie:

Rejet des perturbations:

11

1)( −−

=z

zUδ )()1()( 11

11 −−− −= zSzzSPerturbation constante:

)()( zUBRzAS

BSzzY

d

d

δ−

−

+=

21

1

)1()( −

−

−=

z

zTzU eδ )()1()( 1

1211 −−− −= zSzzSPerturbation rampe:

)()( zYBRzAS

ASzY

dδ−+

=

Perturbation constante:

Perturbation rampe:

)()()1()()( 11

11

111 −−−−− −= zSzAzzSzA

)()()1()()( 11

11

2111 −−−−− −= zSzAzzSzA

)()1()(que tel 11

11 −−− −=∃ zSzzSp p (6)



D. Compensation des pôles et des zéros

1. Compensation des zéros:

)()()( 111 −−−+− = zBzBzB

m

md A

B

BRzAS

BT =+ −

)( 1−+ zB

)()()1()()()( 12

1110

11 −−+−−−+− −== zSzBzzSzBzS p

cf. (5)

Soit

avec moniquecontient les zéros que l’on souhaite compenser

1)0( =+B

)( 1−− zB contient les zéros que l’on ne souhaite pas compenser(zéros en dehors du cercle unité, zéros à partie réelle négative, …)

(7)

)()()()(0

0

0

0

0

zYRBzAS

ASzU

RBzAS

BSzzY

RBzAS

TBzzY

dd

d

rd

d

δδ −−−−

−

−−

−−

++

++

+=



D. Compensation des pôles et des zéros (suite)

2. Compensation des pôles:

)()()( 111 −−−+− = zAzAzA

m

md A

B

RBzAS

TB =+ −−

−

0

)( 1−+ zA

)()()()()()( 10

1110

11 −−+−−−+− == zTzAzTzRzAzR

cf. (5) et (7)Soit

avec moniquecontient les pôles que l’on souhaite compenser

)( 1−− zA moniquecontient les pôles que l’on ne souhaite pas compenser(pôles en dehors du cercle unité, pôles sur le cercle unité, …)

(8)

)()()(

)()(00

0

00

0

00

0 zYRBzSA

SAzU

RBzSAA

BSzzY

RBzSA

TBzzY dd

d

rd

d

δδ −−−

−

−−−+

−

−−−

−−

++

++

+=

et



E. Calcul du correcteur RST

m

md A

B

RBzSA

TB =+ −−−

−

00

0

)()()( 10

110

−−+− = zAzBzT m

cf. (5), (6), (7) et (8)

mB

(10)

doit contenir −B +−= mm BBB (9)

m

md A

B

RBzSA

T +

−−− =+ 00

0

)()()()()()()1( 10

110

112

11 −−−−−−−−−− =+− zAzAzRzBzzSzAz mdp (11)

Equations diophantiennes

avec moniqueet stable, ajouté pour le filt rage des perturbations0A

)()1()( 12

110

−−− −= zSzzS p

Suivi de consigne Rejet de perturbation



F. Résolution des équations diophantiennes

)()()()()()()1( 10

110

112

11 −−−−−−−−−− =+− zAzAzRzBzzSzAz mdp

020 ,, TSR

{ } 1)(deg 12 −=− mzS

{ }{ }{ })()(deg

)(deg

)()1(deg

10

1

1

11

−−

−−−

−−−

==

−=

zAzAq

zBzm

zAzn

m

d

p

mnq +<• Si alors il existe une solution unique d’ordre minimal

telle que et

Soit

{ } 1)(deg 10 −=− nzR

Cf. (11)

(11) est une équation polynomiale d’ordre n+m-1avec n+mcoeff icients inconnus

système de n+m équations à n+m inconnues



F. Résolution des équations diophantiennes (suite)

{ } 1)(deg 12 −=− mzS

mnq +≥• Si alors il existe deux solutions d’ordre minimal

telles que :

1. et

2. et

{ } mqzR −=− )(deg 10

(11) est une équation polynomiale d’ordre qavec q+1 coeff icients inconnus

système de q+1 équations à q+1 inconnues

{ } nqzS −=− )(deg 12 { } 1)(deg 1

0 −=− nzR



F. Résolution des équations diophantiennes (suite)

)( 12

−zS

0,, AAA m−• Comme sont moniques, en posant

dans (11), on obtient

est monique

1)0(2 =S

02, RS• Si est une solution particulière de l’équation

diophantienne (11), alors

est également une solution de cette équation quelque soit

−−−−−− −−+ AzzQRBzzQS pd )1)((,)( 110

12

)( 1−zQ

01 =−z

il existe une infinité de solutions d’ordre supérieur



G. Fonctions de transfert en boucle fermée résultantes

)()()()(0

0

0

0 zYAA

SAzU

AAA

BSzzY

A

BBzzY

mm

d

rm

md

δδ−

+

−+−−

++=

+A doit être stable et de préférence amorti

)()()()(0

0

0

0 zYAAB

ARzU

AA

RBzzY

AB

ABzU

mm

d

rm

m δδ +

−−

+

+

−−=

+B doit être stable et de préférence amorti

(12)

(13)

(14)

)()()()()()(0

0

0

0 zYAA

SAzU

AAA

BSzzY

A

BBzAzYzYzE

mm

d

rm

md

mr δδ

−

+

−+−−

−−−=−=



H. Objectifs supplémentaires pour la synthèse1. Erreur de vitesse (erreur d’ordre 1) nulle:

2. Erreur d’accélération (erreur d’ordre 2) nulle:

3. Erreur d’ordre r nulle :

avec

)(),( 10

1 −−+ zBzBm

Cf. (13)

(15)

)()()()( zYA

BBzAzYzYzE r

m

md

mr

+−−−=−=

21

1

)1()( −

−

−=

z

zTzY e

r )()1( 10

21 −−+−− −=− zBzBBzA md

m

Equation diophantienne

)()1( 10

31 −−+−− −=− zBzBBzA md

m

)()1( 10

)1(1 −+−+−− −+= zBzBBzA rm

dm



I. Récapitulatif

1. Définition des pôles et des zéros à compenser

2. Définition du modèle de suivi de consigne

)()(

)()(

)(

)()(

11

11

1

1

−−−+

−−−+−

−

−−

==zAzA

zBzBz

zA

zBzzG

dd

)( 1−+ zBavec moniqueet contenant les zéros que l’on souhaite compenser

)( 1−− zB contenant les zéros que l’on ne souhaite pas compenser

)( 1−+ zA moniqueet contenant les pôles que l’on souhaite compenser

)( 1−− zA moniqueet contenant les pôles que l’on ne souhaite pas compenser

)(

)()(

)(

)()(

1

11

1

1

−

−+−−−

−

−−

==zA

zBzBz

zA

zBzzM

m

md

m

md

avec )1()1(,1)0( mmm ABA ==)()1( 1

0)1(1 −+−+−− −+= zBzBBzA r

md

m



I. Récapitulatif (suite)

3. Ajout d’ intégrateurs pour le rejet de perturbation

4. Choix d’un filt re supplémentaire pour les perturbations

5. Résolution des équations diophantiennes

)( 10

−zA

)()1()( 11

11 −−− −= zSzzS p

1)( 10 =−zA

)()()()()()()1( 10

110

112

11 −−−−−−−−−− =+− zAzAzRzBzzSzAz mdp

)()()( 10

110

−−+− = zAzBzT m )(),(),( 10

12

10

−−− zTzSzR

stable et monique par défaut

avec )( 12

−zS monique



I. Récapitulatif (suite)

6. Calcul du correcteur RST

7. Réalisation du correcteur

�+++== −−−−+− 22

110

10

11 )()()( ztzttzTzAzT

�+++== −−−−+− 22

110

10

11 )()()( zrzrrzRzAzR

�+++=−= −−−−+−− 22

11

12

111 1)()()1()( zszszSzBzzS p

�

��

−−−−+−++−−−−−=⇒

−= −

−

−

−

)1()(

)1()()2()1()(

)()(

)()(

)(

)()(

10

1021

1

1

1

1

kyrkyr

kytkytkuskusku

zYzS

zRzY

zS

zTzU

rr

r



9.2 Correcteur à temps d’établissement fini:

A. Système :

Soit

B. Modèle de suivi de consigne particulier:

)()(

)()(

)(

)()(

11

11

1

1

−−−+

−−−+−

−

−−

==zAzA

zBzBz

zA

zBzzG

dd





)()()(

)()( 11

1

1−+−−−

−

−−

== zBzBzzA

zBzzM m

d

m

md

avec 1)1()1( =+−mBB

)()1()()(1 10

)1(111 −+−−+−−− −+= zBzzBzBz rm

d

1)( 1 =−zAm

et (erreur d’ordre r nulle)



9.2 Correcteur à temps d’établissement fini (suite):

C. Résolution des équations diophantiennes:

D. Calcul du correcteur à temps d’établissement fini:

)()()()()()1( 10

10

112

11 −−−−−−−−− =+− zAzRzBzzSzAz dp

)()()( 10

110

−−+− = zAzBzT m )(),(),( 10

12

10

−−− zTzSzR

avec )( 12

−zS monique

)()()( 10

11 −−+− = zTzAzT

)()()( 10

11 −−+− = zRzAzR

)()()1()( 12

111 −−+−− −= zSzBzzS p




E. Fonctions de transfert en boucle fermée:

)()()()(0

0

0

0 zYA

SAzU

AA

BSzzYBBzzY

d

rmd δδ

−

+

−+−− ++= Cf. (12)

Cf. (13))()()()()1()()()(0

0

0

010

)1(1 zYA

SAzU

AA

BSzzYzBzzYzYzE

d

rr

r δδ−

+

−−+− −−−=−=

Réponse à une consigne de type avec rnkkky nr ≤Υ= )()(

11

1

)1(

)()( +−

−

−=

nr z

zPzY )()()1()( 11

0)(1 −−−−−= zPzBzzE nr

Temps d’établissement fini minimal si est minimal )( 10

−zB

{ })()()1(deg0)( 110

)(10

−−−−−=>∀= zPzBzkkk nrε




F. Correcteur à réponse pile (« dead beat control »)

Cf. (14)

Réponse à une consigne de type avec rnkkky nr ≤Υ= )()(

11

1

)1(

)()( +−

−

−=

nr z

zPzY

1111

1)(1

1

1)()()()1()( −

−−+−−−

−−=

zzPzBzAzzU m

nr

{ })()()()1(degconstante)( 1111

)(10

−−+−−−−=>∀= zPzBzAzkkku mnr

Temps d’établissement fini et réponse pile

)()()()(0

0

0

0 zYAB

ARzU

A

RBzzY

B

ABzU

d

rm δδ +

−−

+

+

−−=

Cas particulier : si et si le système contient r intégrateurs 1)( 1 =−+ zB

)()1()( 11

11 −−− −= zAzzA r



9.3 Correcteur série:

A. Schéma

avec 1−z

yr(k) u(k) y(k)

δu(k) δy(k)ε(k)

- )(

)(1

1

−

−

zS

zR )(zG

)(),( 11 −− zSzR polynômes en et )( 1−zS monique

)()( 11 −− = zTzRCorrecteur RST avec

Moins de degrés de liberté dans la synthèse du correcteur



9.3 Correcteur série (suite):

B. Système :

Soit

C. Modèle de suivi de consigne:

)()(

)()(

)(

)()(

11

11

1

1

−−−+

−−−+−

−

−−

==zAzA

zBzBz

zA

zBzzG

dd





et (erreur d’ordre r nulle)

)(

)()(

)(

)()(

1

11

1

1

−

−+−−−

−

−−

==zA

zBzBz

zA

zBzzM

m

md

m

md

avec )1()1(,1)0( mmm ABA ==

)()1( 10

)1(1 −+−+−− −+= zBzBBzA rm

dm



9.3 Correcteur série (suite):D. Ajout d’ intégrateurs pour le rejet de perturbation et le suivi de

consigne :

E. Compensation des pôles et des zéros:

F. Résolution des équations diophantiennes (sans filt re supplémentaire)

)()1()( 11

11 −−− −= zSzzS p

)()()1()()()( 12

1110

11 −−+−−−+− −== zSzBzzSzBzS p

)()()( 10

11 −−+− = zRzAzR

)()( 10

1 −−+ = zRzBm

)()()()()()1( 110

112

11 −−−−−−−−− =+− zAzRzBzzSzAz mdp

20,SR

Le choix de est imposé+mB

)1()1()1( 0 mARB =−

0)1(1)1( BzBBzA r

md

m+−+−− −+= si p+m>rsoit )()1()( 1

111 −−−−− −= zAzzA m

Marges de stabilit é

••

CG(ejωTe)

1-1•

cω

ϕδ

g1−

g′−1

•

Diagramme de Nyquist

Critère de Nyquist:Le système asservi (en boucle fermée) est stable ssi CG(ejωΤe)encercle le point -1 dans le sens anti-horlogiqueun nombre de fois égal au nombre de pôles instables de la boucle ouverte

VII .10 Robustesse (1)


eT

πω =

0=ω

Marges de stabilit é (suite)

B. Marge de retard ττ

= retard qui entraîne l’ instabilit é

{ } ( )( )

eci

i

i

Tji

Tjci

T

eCG

eCG

eci

eci

ωϕτ

πϕ

ωω

ω

min

argsoit

1que tellespulsations lessoit

=⇒

+=

=

A. Marge de phase ϕϕ

= déphasage qui entraîne l’ instabilit é (retard de phase)



Marges de stabilit é (suite)

D. Marge de module δδ

= distance minimale entre CG(ejωΤe) et -1

{ }∞

∈

∈=⇒

+

=+=S

eCG

eCG

e

e

Tj

Tj 1

)(11

sup

1)(1inf δδ

ωω

ω

ω

R

R

∞∞∞= LH ou norme

C. Marges de gain g et g’ < 1

= gain qui entraîne l’ instabili té



commande numérique des systèmes michel de mathelin, iulia

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