FACULTAD DE MEDICINA

cuRso: EtoEsTAoisTlcA ll

lnB, Mariana CuadÉ MorenoDPto. Estadíst¡ca

PRACNCA

Eiercicio 1)

Ur(;*".\. l0 hombres de una gran ciudad dio para t::Tt:l#;¡fr;ffi1f,

"""r.-, pl" ü.Ji, i" t". er¡rfa, ¿. to¿o. los habit¿ntes varones de dicha ciudad, c€n

un coeficiente de riesgo de 59ír.-

Ejercicio 2)

Las edades rl morir, Pars una mu€stra de 9 individuos faüecidos de h¡betculosis' dan una

mdü de 49 años v rma d*"i";; oü;d"tá" s t¡*' Suponiendo normal la disribución'

trattar timitet ¿e "ónft"*"

del 95 o"o para la media'

Ejercicio 3)

En una muesira de 35 c¡ballos de carrera enttc¡edos' por.est¡dios preüos se'conoce las

il'lsacl"* i"i;;;; ,i"o¿o tu InJa ¿" 85 puhaimin v la desviación tipica de 15

pulsac/min.

Hallar los limites'de confianz¡ del95o/oy ilel 99 %para el auíEnto medio verdadero de las

pulsaciones del corazón.

Ejercicio 4)

Un nutricionist¡ ilses estimar el c¡nteni¡lo viumínico de cisto alimento Toma uru

ir"r*'ár ":+t;; -"";; q*'"r "oot-¡¿o

promedio <te vitaminag por cáda 100

sramos €s de 12 mg y q"" "ü;ti; plir""¡*r "t

d" 2 tg' Enconlrar los lim-ites de

Ionfi"ruu del 95 o/"Para el promcdio poblacional' :

Ejercicio 5)

Una urna contiene una proporción desconocida de fichas rojas -y-

blancas'.Una mu€slt!

;;#;;0 ;"t "*,

tul*i¡;-d" con reposición indieé que el ?0 o/o de cllas eran ro¡as'

Hallar los límil6 de confianza "j Ss % V ¡i 99 oA para la pioporción rarl de fichas rojas en

b urna.

Ejercicio 6)

Se dsea estimar la proporción de pmonas con dia-beles ¡te un¡ noblación de 200 luibitantes

que acuden a un c€ntro de sal;¿ó" o* mu€slra de 40 persas *e s"b" qte 3 de ellas padece

de dicha enfermedatl.8"";;;t bt-lit"it"t de confiinza del 95 96 para la proporción

poblacional.

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-%,* x cmroct O-+ }ls+.-!,"í- T:S|.,.)-f4) }n. L Jr^\',:

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FACULTAD DE MEDICINA^f--.-- ,,

LUN)L': D]IJEJ I AUI) I ILA IIlng. Mariana Cuadra Moreno

Dpio. Éstadística

PRACTICA .

1. En un programa de salud, muchos participantes miden su progreso mediante el tiempoque les toma correr determinada distancia. Un predictor de este tipo lo constituye la)gsa derccupcración carciíaco (TRC). Los siguicnics ciatos son iicmpos (minuios y scgunffi), parauna caffera de 1,5 millas para hombres en el mes de setiembre.

Los TRCI son los de 40 - 49 años; los TRC2 de 50 - 59 años.

TRC1 Tiempos :12,24- 12,45- 11,04- 11,22- 11,58- 8,34- 11,16- 11,52- 8,28- 12,01-I1,03- 12,01- l1,31.

TRC2 Tiempos: 14,33- 10,35- 12,51- I1,28- I1,48- 14,05- 10,51- 18,50- 18,11.

Consfiuir un intervalo del95o/o para las diferencias entre las medias de las dos poblaciones.

2. Los tiempos fueron registrados de nuevo en mayo. Para el grupo TRCI en el mismoorden los tiempos fueron: 11,16- 12130- 11,30- 11106 11,28- 8,18- 11,44- 12,02- 8,28-ii,55- ii,27- 1i,37y 1i,46.

Construir un intervalo del95Yo para las diferencias entre las medias de las dos poblacioneso:^ l^: ..^- .¡^ ^^+:^-L-^ .. !^ i^¡ ^^^ ;^ral ul,r l¡lgJ \1l, ¡ELrt/lrrL,rv J la \¡t;l lllgJ \¡9 rrr4J\r.

3. Se saca una muesta de 50 alumnos resultando la desviación de los pesos igual a 208

É,rrur¡uD.

¿Entre qué valores estará la desviación típica de la población de alumnos para un nivel deconfianza dei 95 iiy 99 %?

;

4. Cuatrocientas pacientes de cierto hospital, regresaron a su control en promedio a los 70días rie aten<iirios por primera vez, siendo la desviación de ia muestra de 6,9 dÍas. Haga unaestimación del desvío estándar poblacional. Adoptar un coeficiente de riesgo del l% y del5o/o.

5. La desviación típica de las tensiones de ruptura de 100 cabfés probados por una empresaera de 180 lb. Hallar los límites de confianza a) 95 % y b) 99 o/o püa la desviación típica de+^;^^ i^- ^^L!^^ ;^ ^^^ +:-^It ut J tuJ vúllrllD uv 9Jv LrPv.

6.

'¡l-s

.t:

.;l:

ffirzeó$; Pruebas de hiPólesis

cienteeviclenciaparaindicarquelamediadelapoblacirlnesmcnorque95?sea cl = .10. ¿Qué suposicioneS son necesarias pafa que el procedimiento sea

válido?

ó.2.3Unaencuestaen64laboratoriosmédicosrevelóqueelpreciomediocobra--.-¿o por realizar cierta prueba es de sl2 con una desviación estándar de 56'

¿Prou..n estos datos la suficiente información para indicar que la media de

ia población es mayor que l0? Sea cr - '05'

6.2.4 Se hizo un estudio de una muestra de 25 expedientes de enfermos crónicos

atendidoscomopacientesexternos.ElnúmerometJiodeconsultasporpa-tienre fue O. +.s y ia desviación estándar de la muest¡a fue de 2' ¿Es posible

concluirapartirdeestosdatosquelamediadelapoblaciónesmayorquecuatrovisitasporpaciente?Suponerquelaprobabilidaddecom.eteruneÍTorde tipo I es de .05' ¿Cuáles son los supuestos que se deben cumplir?

6.2.5 En una muestra de 49 adolescentes que se Prestaron como su1etos para un

-i- esrudio inmunolófico, una variable de interés fue la prueba del dirímet¡o de

reacción o. tu pi.i a'un antígeno. La media dc la muest¡a y la desviación

estánda¡ fueron 21 y I I mrr, dt t'it"*u'ffi'É' poti6iñn-

ii*-*ffie,os que la media de la población es menor que 30?

Sea a = .05.

6.2.6 Nueve animales de laboratorio fueron infectados con cierta bacteria y luego

inmunosuprirnidos.Elnúmeromediodeorganismosaisladosposteriormentede los tejidos de dichos animales fue de ó.5 (datos codificados) con una des-

viaciónestiínda¡de.6'¿Esposibleconcluirapanirdeestosdatosquelame.dia de la población ., io"yo' que 6? Sea ct = '05' ¿Que supuestos se deben

cumplir'?

6.2.7 Una muestra de 25 eStudiantes de enfermería de primer año tuvo una caliñ-

cación media de 77 en una prueba para rnedir su actitud hacia el paciente

moribundo.Ladesviaciónestánda¡delamuestrafuedel0.¿Proporcionanesros datos evidencia suficiente como para indicar. a un nivel de signifi-

cación de .05, que la media de la población es menor que 80? ¿'Qué supues-

tos se deben cumPlir'?

6.2.8 Sc desea saber si es pOsible concluir que el consumo nrctlio diario de calorías

delapoblaciónrurllldeunpaísentlesarrolloesdemenosde2000..Unamuesrra de 500 individuos piodujo un consumo medio de 1985 y una des-

viación estándartie ll0' Sea ct = 05'

6.2.9Un¡encuesradel00hospitalesdetamañosimilarrevclóuncensomediotliario cn el servicio,Jc pediaría de 27 con una tjesviación estindrr de 6'5'

/4.e\

r1\EJercrcra{ -J. -_/

?61

evidencia para indicar que la media de

= .05.¿Proporcionan estos datos suñciente

ia población es mayor que 25? Sea a

6.2.l0Después<leseguirunprograma<.lecapacinciónensupervisióndchospitales

-._ durante una semano. io o¿*inirtradores de hospital obtuvieron una califi-

caciónmediadeT4enunaprueballevadaacabocomopartecielaevalua-ción ciel programa de capaciiación. La desviación estándar de la muestra fue

de 12. ¿Es posible.ontlui' a partir de estos datos que la media de la po-

blación.rrnuyorqu"?0?Seao='OS'¿Cuálessonlossupuestosquesede-ben cumPlir?

6.2.llseextrajounamuestraaleatoriadel6informesdeurgenciasdelosarchivosdeunserviciodeambulancias.Eltiempomedio(calculadoapartirdelosdaros de ru flru.ri"j para que las ambulancias llegaran a sus destinos fue de

l3 minutos. S";;;;; que la población de tiempos sigue una distribución

normal con una variantiu d" i' ¿Es posible concluir' en un nivel de '05 de

signihcación, que la media de la población es mayor que l0 minutos? :'

6.2.12 Los siguientes datos son los consumos de oxígeno (en ml) duranre la incu-

B- bación de una muestra aleatoria de l5 suspensiones celulares'

14.0' 14.1, l4'5, l3'2' I t'2' I4'0' t4'l' l2'?

Il'1. 13.?, l3'2; l6'0, l2'8' l4'4' l2'9

¿Proporcionanestosdatossulrcienteevidencia.aunnivelde.05designifr.cación, de que la media de la población no es igual a l2 ml? ¿Qué supuestos

se deben cumPlir?

6.2.13Unamuestraaleatoriade20profesoresuniversitariosaParenlement€Sanosproporcionótossiguientesuulo"tdecapacidadrespiratoria-máxima'¿Esporilt" concluir qrie la media máxima de respiración es de ll0 liuos por

minuto?

I32. 33,9t' tos, 67, 169' 54' 203' t90' 133

96.30. l8?' 91.63' 166,34' ll0' 157' 138

Sea ct = .01. ¿Qué supuestos se deben cumplir'?

6.2-1,1 Los siguienres datos son las presiones sistólicas sansuíneas (en mm Hg¡ de

l2pacientessometirloslter:rpiamedicamentosacontralahipenensión:

hr' '8"

\

183. l5?. t7.q, 157, l9'{. 163. l+-1. I l+' t78' 152' tl8' l58

Pruebas de hipótesis

¿Es posible concluir con base en estos daros que la media de ra pobración esmenor que 165? Sea g = .05. ¿eué supuestos se deben cumplir?

6'2' 15 ¿Es posible concluir que la eclad media de defunción por la enfermedad de cé-lulas falciformes por homocigosis es menor que 30 años.l una muestra de50 oacientes proporciona las siguientes edades en años.

15.5, 2.0, 45.1,

27.6, 45.0, 1.0,

6.9, 13.5, t.9,20.7, 30.9, 36.6,

23.7, 4.8, 33.2,

Sea ü, = .05. ¿eué supuestos deben cumplirse?

6'2.16 Los siguientes daros se refieren a ros niveres de presión in'aocula¡ (en mm, Hg) registrados en una muestra de 2l individuos de edad avanzada.

16.1, 12.0, 17.s,

t4.4, 17.0, t 0.0,

\4

r4.5, 12.9, 14.0,

r6.4, 24.2, t2.2,19.6

r.l, 18.2, 9.7, 28.t, 18.267 .4, 2.5, 61.7 , t 6.2. 3 1.72.6, 29.7, 13.5, 2.6, t4.4,.9, 7.6, 23.5, 6.3, 40.2

3.2, 38.0, 3.5, 21.8, 2.4

14.1, 12.9, t7.9, 12.0r 8.5, 20.8, 16.2, t 4.9

r.7, .8,

66.+, 2.0,

3t.2, 9.0,

l. r, 23.6,

27.t, 36.7,

la cual se extrajo_ra muesra es mayor que l4? sea c =.05. ¿Qué supuestosse deben cumplir?

6'2'17 suponer que ros.puntajes para el Ie (coeficiente de inrerigencia) de una po-biación adurta siguen una disrribuiión aproximadamente normar, con una' desviación est¿índa¡ de r5. una muesüa areatoria simpre de ti uautro, pro..-denres de esta población riene un Ie medio dc 105. con base en esros daros.¿es posible concluir que er Ie medio para la pobración es diferente de r00r)La probabilidad de comerer un error de ripo I es de .05.

6'2''18 un equipo de invcstigación se incrina a suponer que ra presión sisrórica san-guínea en una pobración de hombres sigue una distribución aproximada-mente nonnar con una desviación estdndar de t6. una rnu"r,.o areatoriasimple de 64 hombres presenró una media de presión sisrórica sanguínea de133. ¿Proporcionan estos datos sufrciente evidcncia para concruir, con unnivel de -05 de significacion. que ra media dc r:r poüración cs ma./rr queI 30?

:;.

E''¡l.É:€:=.+'1

¿

'ii.t-

@..*.'l¡*:llr.t*..r -{;i ,

:Í,#,f¡'''; :

@Prueba de hipótesis

Eis**'¡i

: la diftrencia enlre las medias de dos poblaciones 269

6.2.19 Una muestra alcatoria simple de l6 individuos extraída de una población deadultos proporcionó un peso promedio de 63 kg. Suponer que los pesos de lapoblación siguen una distribución aproximadamente normal con una va¡ian-cia de 49..,,Proporciona la muestra de datos la suñciente evidencia para con-cluir quc el peso medio dc la población es menor que 70 kg? La probabilidadde cometer un error de tipo I es de .01.

6.3 PRUEBA DE HIPÓTESIS: LA DTFERENCIAENTRE LAS MEDIAS DE DOS POBLACIONES

La prueba de hipótesis que comprende la diferencia entre las medias de dospoblaciones se utiliza con más flrecuencia pa¡a deterrnina¡ si es razonable ono concluir que las dos son distintas entre sí. En tales casos, se puede for-mular una u otra de las siguientes hipótesis.

\

- F.r

- P..r

- [r..1

t.2.3.

Ho: lLtHo: FrHo: *t

= Q, H.t: *t> 0, H.t: lLt< 0, H..r: l¡r

-lrr*0-lrr:<0- F,,.r > 0

Sin embargo, es posible probar la hipótesis de que la diferencia es igualque, mayor o igual que o menor o igual que algún valor distinto de cero.

Como se hizo en la sección anterior, la prueba de hipótesis que tienenque ver con Ia diferencia entre las medias de dos poblaciones se discute entres diferentes contextos: l) cuando el muestreo se realiza a parrir de pobla-ciones con distribución normal y variancias conocidas: 2) cuando el mues-treo se efectúa a partir de poblaciones con distribución norrnal y con varian-cias desconocidas, y 3) cuando el nruestreo se lleva a cabo a parrir de pobla-ciones que no presentan distribución normal.

iVfuestreo a partir de poblaciones con distribución normal: se conocenIas variancias de las poblaciones Cuando cada una de las dos muesrrasaleatorias simples independienres son e,rtraídas de una población que st-gue una distribución normal con variancia conocida. la esradística deprueba para probar la hipótesis nula de igualdad de las medias de las po-blaciones es

(6.3. r )

-- i +*:É'*- ;.l'{7

t¡a

?76Pruebas de hipélesis

4. Estadística tle prueba. Dado que se tienen muestras grandes' el teorema del lí-

mite central permite utilizar la ecuación 6.3.5 como estadística rie prueba-

S. Dis,tribución tle la estadística tle prueba. Cuando la hipótesis nula es verdadera.:

la estadística de prueba sigue una distribución aproximadamente normal es-

tánda¡.

6.'R:egta de decisión Sea d = .0L Esta es una prueba unilateral con un valor crítico

de z igual a2-33. Se rechaza ff' si z""r"ulad N>2'33'7 - Cólculo de Ia estadística de prueba

\

I 350=

- = 15.17

89

8. Decisién estadística. Se rechaza Ho Ya que z= 15.17 está en la región de re-

chazo.

9. Conclusión. Estos datos indican que la población que concufre al hospital A

tiene un ingreso medio familiar mayor que el de la población que concufre ai

hospiral B. Para esta prueba, p < .0001 ya que 15-t? > 3.89. Cuando se prueba

una hipótesis respecto a la diferencia entre las medias de dos poblaciones se

puede utilizar la figura 5.4.1 para decidir rápidamente si la estadística de prueba

debeserzot.

Algunas veces ni la estadística z ni la estadística f son estadísticas de

pn¡eba adecuadas para utilizarlas con los datos disponibles. Cuando esto

ocurre, es conveniente el uso de una técnica no paramétrica para probar una

hipótesis respecto a la diferencia entre las mediciones de tendencia central

de dos poblaciones. La prueba de la mediana y la estadística de prueba de

Mann-Whitney, que se estudian en el capítulo I l, se utilizan con mayor fre-cuencia como alternativa para las-es¡ádísticas ¿ y ¡.

EJERCICIOS

En cada uno de los siguientes ejercicios seguir el proccdimiento de los nueve pasos

para la prueba de hipótesis y calcular el valor p para cada prueba. Establecer las

suposiciones que sean necesarias para que el proccdimicnto sea váiido.6.3.1 Setenta pacientes que sufren de epilepsia se dividieron al azar en dos grupos

iguales. El grupo A recibió un tratamiento que incluía dosis diarias dc vita-

mina D. Ei grupo B recibió el Inismo tratamiento con la excepción de quc Ieste gn¡po se le dio un placcbo en lugar de la vi¡amina D El núrrrero mediode ataques convulsivos observados durante el periodo dc trata¡niento cn los

dos grupos de i.o = l5 y io = 24. Li¡; variancias de lls mucstras fucron sl, = $

(6800-5450)-o

'.,:i;¡L€€

(9Ejercicios zt I

y s/= 12. ¿Estos daros proporcionan evidencia suñcicnte Para indicar que la

uití*ino D es efectiva para disminuir el número de ataques convulsivos? Sea

c = .05.

6.3.2 Un epidemiólogo desea comparar doí'vacunas antirrábicas para averiguar si

es posible concluir que existe diferencia en su efectividad. Las Personas que

preuiamente habían sido vacunadas contra la rabia se dividieron en dos gru-

pos. El grupo I recibió una dosis de refuer¿o de la vacuna del tipo l' y el

lrupo Z iecibió una dosis de refuerzo de la vacuna del tipo 2. Las respuestas

áe los anricuerpos se registraron dos semanas después. Las medias, desvia-

ciones est¿indar y el tamaño de las muest¡as para los dos grupos fueron los

siguientes:

Grupo Tamaño de la ¡nueslra i

IIji\i

iil

I

2

IO

9

4.5 2.5

2.5 2.0

Sea cr = .05.

6.3.3 Se regisuaron los valores medios de la velocidad de conducción de un nervio

Inoto, .n l0 personas internadas en el centro de cont¡ol de envenenamientos

de un hospital metropolitano, con diagnóstico de envenenamiento con

metilmercurio. Se hicieron también determinaciones simiiar€s en 15 per-

sonas aparentemente sanas. Las medias y desviaciones estándar son las

siguientes:

Ind. envenenados 55

Ind. normales 63

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente para indicar que las medias de

ias.,poblaciones representadas por las mues6as son diferentes? Sea c¿ = .05.

6,3.4 ¿Es posible concluir que los niños crónicamente enferrnos tienden, en prome-

dio, a rener menos confianza en sí mismos que los niños sanos? Se aplicó

una prueba diseñada para estimaf la conhanza en sí mismos a ló niños cróni-

camente enfermos y a 2l niños sanos. Los puntajes medios y desviaciones

estándar lueron los siguientes:

,l

rlI

I

lr1l

rl

rii..i r

6

5

Niños ent'ermos 92.5

Niños sanos 26.9

4.13.2

Sea cr = .05

f::::rl

278

6.3.5

6.3.6

Pruebas de hipótesisUn investigaelor de enfermerÍa dcsea sabcr si losde e n fc rm iía o n i

". i'i

". r, i ¡ le ra ro y l * g r, ¿-"

"l " r" :i'r,ltfi *:1";:::rT:l;:enlermería difieren en cuando a tu, punia¡., ,n.¿¡o, obtenidos en un estudi.de personaridad' una muesrra de 50 graduados de.programas asociados (gru-po A) y una muesrra de 60 gradualu, ¿. uo.lr.,iir.;;; ¿;;;; rio.Jo"r_cionaron las siguientes mediasl desviaciones .r,rnd",

Muestra

AB

52.s t0.549.6 I t.2

Con base en esros datos, ¿qué puede conciuir el invesdgador? Sea c = .05.

una prueba diseñada oara medir las actitudes de ras madres en cuaRro al tra_bajo de parto y expulsión se_aplicó a ¿"r g*p", ¿" nuevas madres. La mues-tra I (asistentes) concurrieron a crases ¿e-instruccrón prenatal impanidas en

:1":::Ti:Tl?"0:"'i,,,0, t-u *u.,Ál i""l.",.,t no asisrieron a dichaspuntajes o" t* p*.il;:ii[rürl;medias v desviaciones esdndar de los

i

ltiir 1

Muestra

I2

l599

4.753.00

I.01.5

¿hoporcionan estos datos Ia evidencia suficiente para indicar que ras asisrenres,en promedio, tienen puntajes m¿ís elevado, qr" i^.our.ntes? Sea c = .05-6'3'7 Se midieron ras co¡centraciones de cortisor en dos grupos de muieres almomenro de drr a luz. Al _erupo I se le practicó una operación ces¡irea deurgencia después de inducid-o .i p*". r-"t'ael grupo 2 dieron a luz medianrcoperación cesárear vía vaginal d.r;;;;. pr,.r.n,.* .i;*j" cie partoesponúnearnenre' Er tamaño ¿" lur;r*,;r. Ios niveres medios á.t conirot,v las desviaciones es¡ándar fr*""l*'r, g"i.r,.r,

Muestra

t0l2

Iq

-r35

ti-r5OJ

¡10

¿Proporcionan esros datos Ia cvidencia suficienre para indicar que exisie una!:ff$r*

Ias conce ntraciones nre¿ias ¿.t'.".,r", en las dos poblaciones,)

Ejercicios

6.3.8 Se mi<iieron las concenrrrr.inn¡.. ,r- 'ilviduos. .o,nu",oln,':H:ffi::,'hoJLt ry!I": en gos muesras d;Jbrasros anurares cn ra médura ósea. La :"t Tul:t ¿icohtilicos co¡ 5¡6

a<lultos no alcohólicos aDarenreme"," "^:l:::ta,2,colsistió de 40 vana<lu I ros no atcohóric os aparen reme n re normares.-;, ffi :r" J:6flX :Ttoporfirina y ras desviaciones csrándar ¿r r"t ¿* muesrras 50n ras siguier

\

Muestra

340 25045 25

¿Es posible concluir con base en estos datos oue

::l ll; :{;;t;ili;;;; ;; il;,d: ;[ :,T ],:ñn:Tlil$

I

2

' 6.3.9 Un investigador está interesado en saber si los niñn" na¡ir^- __^'...- - ', .on acr¿ois metabor ica,-¿r" v'r"1""il$.:il:;:ff 'ff: ITT:::.:TIenfermedad difieren en ro que Árp""ou ras concentra"io*r'ri ru o¡n,cierta susrancia química. r-* .on...nou.ion., m"¿io., l.r"r*ür* *,uy el tamaño de Ia rnueska para ambos grupos son las siguientes:

iI

tMuestra

Con la condiciónSin la condición

/.0,"fJ340

ó.5

4.8f,.3

J.b

\\

-a" tQu' puede concluir ei investigador con base en estos resurtados? sea c = .r

6'J'10 varios investigadores desean saber si es.posible concruir que dos pot. ciones de niños difieren ,.rp..ro u iu ,aoa prorn.Aio en la cual Duedenminar por sí soios. Los inuesti_ead;;;;;;;; ,;r,;'"lffil;(edades en meses). --o-'-lMuesra en la población A:

9:5," 10.5, s.0" g.is, ld,s, 13.0,

Muesrra de la población B:

r0.0, 13.s, í0.0, s.s. lb.o. s.zs

12.0, t3.5, t2.0. n.a

¿Qué pueden concluir los investigudores? Sea q = .05.

6.J.11 ¿La privación,¡lñ ¡1.' l^-

'i

-.¿,

sensorial tiene :rlgún clecro sobre la frecuencia de las onc

Pruebas de hipótesis

Un intervalo de confianza del 95 por ciento para p/ se puede obtenercomo sigue:

U * tr, _ at2\s A

-20.t7 t 2.2010(6.68)

-20.17 + 14.70

, -34.97, _5.47

En el análisis de datos por parejas, si se conoce la variancia de la pobla-.ión d" las diferencias, la eitadistica de prueba adecuada es

o¿/ tñ (6.4.2)

Es improbable que od se conozca en la práctica.Si no se puede hacer la suposición de que los valores d, siguen una dis-

tribución normal, es posible utilizar el teorema del límite central si n esgrande. En tal caso, la estadística de prueba es la ecuación 6.4.2 con.rdempleado para'estimar o, cuando, como es generalmente el caso, se deslconoce esta última-

El uso de la prueba de comparaciones por parejas no deja de tener susproblemas. si son utilizados diferentes individuos y se les asigna aleato-riamente dos tratamientos, el tratar de formar parejas con los individuoscon respecto a una o más variables importantes puede requerir una graninversión en tiempo y dinero. otra desventaja es la pérdida de grados delibertad. Si no se utilizan observaciones por parejas se tienen 2n -2 gra-dos de libertad disponibles, comparados .on n - I cuando se utiliza esteprocedimiento.

. En general, para decidir si se utiliza o no el procedimiento de compara-ciones por parejas, se debe tener en cuenta tanto los aspectos económicoscomo por las ventajas que provee el control de variaciones extrañas.

-Si ni ¿ ni f son estadísticas de prueba adecuacras para utilizartas con losdatos disponibles, el investigad,cr podría utilizar.alguna récnica no para-métrica para probar una hipótesis acerca de la diferencia entre las medianas.En el capítulo I I se presenra la prueba del signo, que puede ser utilizada enesos casos.

\

i-t"o

*.

. .,--:-=

Ejercicios fa 285

EJERCrcros \'llEn los siguientes ejercicios poner en práctica el procedimiento de los nueve pasos

de la prueba de hipótesis en el nivcl de significación especificado. Determinar el

valor p para cada prueba.

l4.L Diez animales de laboratorio fuero¡r sometidos a condiciones que simulaban\\-- una enfermedad. Se registró el número de latidos ca¡diacos por minuto antes

y después del experimento de la siguiente forma:

Latidos por minuto Latidos por minuto

Aninal Antes Después Animal Antes Después

I2

3

45

¿Proporcionan estos datos la evidencia suhciente para indicar que la condición

experimental aumenta el número de latidos del corazón por minuto? Sea g = .05.

Se llevó a cabo un estudio para averiguar si un nuevo Procedirl!1to teraptl¡"

tico es más efrcaz que el procedimieqlo estándar para me.¡Mla dest¡eza di-

g@ i Edas-FuTrlizaro n vei ntic uauo parej as cie

individuos en el estudio y cada pareja se formó con base en el grado dei im-

pedimento, inteligencia y edad. A uno de los miembros de cada pareja se le

asignó aleatoriamente el nuevo tratamiento, mientras que el otro recibió el

tratamiento estánda¡. Al término del período experimental, se sometió a cada

individuo a una prueba de destreza digital y se obtuvieron las siguientes pun-

tuaciones.Seaa=.05.

Par Nuevo Estándar Par Nuevo Esrándar

4i67

3l70

i262

64

44.tÁa1

42

J3

63

70

84

88

110

105

u5148

176

l9tr58

67

8

9

l0

100

il067

79

86

178

179

140

16tt57

iL

f6.4-2

I

,i

I2

J

4

5

6

7

I9

0

I

2

+9

56

70

83

óJ

68

84

63

67

79

88.{8

54

12

637i83

5l82

5+

ri2

7l32

5t)

r3l+l5l6til8l920

2t22

23

2+

52

t3n9

73

78

64

7l42

5iJO

{o8l

286

6.4.3 Quince much¿chos <ie 12 años de edad fuer

iif"r.n,..' Los resultados son los siguientes:

\3/ Pruebas de hiPótesis

on medidos Por dos enfermeras

Individuo Enfermera I E'f'-'*"'z lnd'ividuo Enfermera I Enfermera2

I

2

3

4

3

6

8

142.9

I50.9l5 1.9

158. ll5 1.2

160.2

r 57.8

150.1

Estatura (cm) Estatura (cm)

Indíviduo Maitane Tarde Indivíduo Mañana Tarde

143.0

r51.5152. I158.0

l5 i.5r60.5158.0

150.0

142.1

159.9

r4 1.9

140.8

t47.1i43.6139.9

142.5

160.0

r42.O

i41.0148.0

144.0

141.0

9

l0llt2l3t4t5

¿Estos datos justiFrcan la conclusión de que hay diferencia en la exactitud de

las dos enfermeras'? St" " = ¡S' Construir el intervalo de conhanza del 95

por ciento Pila $¿.

Diez varones de Jó años de edad fueron medidos al momento de levantarse

por la mañana y al acostarse por la noche con los siguientes resultados

-2

6.1.4

I

2

J

4

f

iÉ

É

g

É

It

I

*É

a*E

itIli1l

:j3

t1Iu

i

l 69.7

168.5

165.9

tii.7179.6

r 68.2

r 65.5

164.4

lta-lI /O.O

168.8

r69.2167.9

r81.8r 63.3

r66.5t 67.{166.J

179.7

l6l..i

67

8

9

l0

¿Proveen estos datos la idenc

ló años de edad son más

., -l-

6.J.5 Un grupo de investigadores desea saber si es posible concluir (a = 05) que el

,flujo craneano O" ,.ngr.-.n t..i¿n nacidos-salurjlb.l;s es ll|::::: :::t: ]ictapa del sueño. Se colecraron los datos de l0 individuos durante sueño lctt-

vo ,v duranre sueño tranquiio Tales resulrados tueron los siguicntes:

cnte para indicar los

estarura por la

*-r.-*-4

..;_é+:.

-5.,,#¡t

Praeba de hipótesis: proporción tle una sola pobtación

Flujo sanguíneo durante-;---:----------JUeilo )ueilo

Individuo

Flujo sanguíneo du

\activo tranquikt Indivitluo Sue¡io

activoSueñi

I

2

3

4

5(;

rl

9

t0

38.8

51.3

43.8

64.929.8

43.4

44.833.9b2.7

40. I

2ti.¡J

34.8

3 1.8

56.6

29.0

37,2

36.39< ()

42.2

29.3

ltt2¡3

t4l5tfit7l8l920

JJ..'

+7..1?9i

60.riq9 ¡r

ti{).ri

45.7ri3.0

69.933.6

4Jt

4ii.l?fj.5

a J.:

30.üi! .rJJ. J

32. I

4ae

5 1.9

?8.7

tranquilo

6.5 PRUEBA DE HIPÓTESIS:PROPORCIÓN DE UNA SOLA POBLACIÓN

'LA.La prueba de hipótesis de proporciones poblacionales se realiza casi

.en limisma forma udrizada para ias medias cuando son sarisfechas ras condicionelnecesarias para emplear la curva normar. pueden efectuarue pru"ias unitoterales o b'aterares' dependiendo de Ia cuesrión que se pron,!.. tronao o$lspone de u¡a muesrra ro suficienter.n" gr-ae para ra apricaci#;;il;;rema del límite central. la estadística de prue"ba es

P-Pot fPoToV; (6.5.1l

l1:""1 cuando Ho es verdadera. sigue una distribución aproximadamennormal estándar.

Ei:fO!? ó.5./ Suponer quc hay inrerés por saber que proporción depoblación de conducrores de automóvires utirizan con reguraridad er cintrón dc seguridad del asienro. En una ."*;;;;;; ñ .;#:il*, ,¿ul,de uutomóviles. r23 tie e'os dijeron qr. ..gui.*cnre utirizaban er cinrurónseguridad del asienro. ¿Es posible .on.lui", a parrir de cs¡os daros que, enpoblación ¡nuestreada. la proporción ,1. qu,"n.s urlliza' resularmenrecinturón tje sesuridad del asienro no.r,i.lliO.; -- -""--" 'v¡urqr

Pruebas de hipótesk

Solución

l. Datos. Los datos se obtienen a paltir de las respuestas dc lo^s 300 conductores de

los cuales 123 poseen la característica de interés' es clecir' ? - qt '

Z. Suposiciores. ia distribución muestral de p presenta una distribución aproxi---

*odurn.nre normal de acuerdo con el teo¡9rn4a[e!-[mite central. si Ho es ver-

dadera, p -- 5 y ei error estándar' o; = 'i{'SX'S) / 300 8s importante observar

que ¡q-ut!i.i4 el valor hipotérico p para calcular op'.Esto se hace.debido a que

t"¿.f" p*.Ua esiá basada e¡ 14 pqgo_qlg1ón de q¡rg la hip-ótesis nula es verdade-

ra. Ei utilizar la proporción de la muestra, p, para calcular oo, no sería con-

gruente con este concePto'

3. Hipótesis

I

1

!

4.

6.

H,r: p = .59

H^: p * .50

Estadístíca de prueba. La estadística de prueba se obtiene mediante la ecuación

6.5. r .

Distribución de Ia estadística de prueba. Si la hipótesis nula es verdadera' la

estadística de prueba muestra una dist¡ibuc!ó! ap¡g-xipa-damente normal con

u:rq media de cero.

Regla de decisión- Sea d = .05. L.os valores cíticos de ¡ son tI.96. Se rechaza

Hn a menos que -1.96 ( z."l"ut"du ( 1.96.'Cdlculo de la estadística de prueba

-.09 = -3.1I.0289

Decisión estadística. Se rechaza Ho, ya que -3. I I < - I .96.

Conclusió¡. Se concluye que la proporción de la població¡ que usa resular-

mente el cinturón de seguridad del asiento no es de .50' Para esta prueba, p <

.002, ya que -3.1 I < -3.09.

EJERCICIO' QPara cada uno de los siguientes ejercicios. lleva¡ a cabo el procedimiento de los nue-

ve pasos para la prueba de hipótesis al nivel de signiñcación designado. Calcula¡ el

vaior p parr cada muestra.

6.5.1 En una rnuesrra de 1500 residcntes de un brrrio de la ciudad. quie nes partlcl-

taclos positivr)s en curnto a la anemia dc cúlulas t'llciiilrmcs. , Proporcionan

8.

9.

.41 - .50

(.5 X.5)

300

-:! .=e =::l

G*-- -);

:'/_. -f- 1-- 7-''

-ztg

estos cJatos la evidencia suticiente para indicar que Ia pnrporción de indivi-

;;;; ."" anemia de células falciformcs cn la población muesrreada es mayor

l

I

I

I

\l\i

6á./ Una muestra de 100 empleados cle un hospital'.los.cuales n"btT.::til: ""contacto con sangre o sus derivados' fue examinada para avengr¡a:,.t-trl"-

sentaban evidencia ,","1'ig*o de hepatitis B' Se. encontrg 0"" -"j,t:::t-t",::

que .06? 5sn cr = .05

ilffi ;;;;; ;";;i ;;' posi ti uos' ¿ Es p,osigie:gonc I uf ! 1, f::' *':'i::resulta¿os Positivos

datos que la ' "-....ffimayor qu" ' 15? Sea cf, =cn la población muestreíl^

- 6.5.3 Rntes del inicio de un programa de inmunización contra la rubeola en una

_ área metropolitana, una'enJuesta rcveló que 150 integrantes de una muesra

de 500 "ino,

O" i'l*-io t'uUiun sitio inmunizados contra esta enfermedad'

¿Son compatibles estos datos con el punto de vista de que el 50 por ciento de

losniñosa"p'i*a'iudedichaií¡eahabíansidoinmunizadosconrarubeola?Sea Cr = .05.

i

6.5.4 El siguiente cuestionario fue respondido por una muestraaleatoria simple de

-.250ginecólogos.Enlosrecuadrosapareceelnúmerodeginecóiogosqueeligió la respuesta correspondiente'\

1.¿Cuándoesnecesarioelegir,quéprocedimientoprefiereparaobtenermuestras

a. Dilatación y raspado Eb. Aspiración Vobra l-4

¿Ha revisado durante cl año pasado a una o"concentraciones

de plomo en la sangre lmás mujeres embarazadas con altas

2.

b- No

r-;-ll--lE3. ¿Acostumbra como rutina pone r al tanto a sus pacientes ctnbarazadas de quc

Ll t.t*ot es ticsgoso para ct feto l

I

{

n

b. No I rtl

,l

l

',J '

.01

j. Cúlculo de la estadística de prueba

6.6.t

Pruebas de hipétesis

.12_

- ()r¡o

- !.JZ.05 t¡l

B, Decisión estadística. Se rechaza Hs porque 2.32 > 1.645.

9. Conclusión Estos datos sugieren que el nuevo tratamiento es más efectivo queel habitual (P = '0102).

,EJERCICIOS (S

-En cada uno de los siguientes ejercicios, utilizar el procedimiento de los nuevepasos para la prueba de hipótesis. Determina¡ el valor de p de cada prueba.

Se efectuó una comparación con respecro a las distancias desde su domiciliohasta el hospital entre una muestra de pacientes dados de alta denro de iosseis primeros meses después cie su ingreso en un hospital del estado pa¡a en-fern¡edades mentales, y otra muestra de pacientes que lueron dados de altadespués de seis meses pe¡o dentro del siguiente años después de su admisión.Los rcsultados son los siguientes:

' Número de indiviriuosDuraciónd" It p;;r "rrrri" , 7\';ii;;I#)"!i,,r,< 6 meses

Más de 6 meses

100 75

r50 90

6.6.2

¿Proporcionan estos datos la suficiente evidencia pa¡a indicar oue la orooor-ción de quienes viven a más de 31.6 kmrhospiril6ii-

"n'r*bo.poblaciones? Sea cr = .05.

Un epidemiólogo en un país en desarrollo comparó una muesrra de 90 per-sonas adultas que padecían ciena entermedad neurológica. con una muesrrade 100 personas de conrrol comparabres pero que no padecían dicha enf'er-medad. Encontró que 69 de las personas que padecían ra eni'ermedad y 67 delgrupo de control esraban emplcadas en labores de subsisrencia. ¿Es posibleque el epidemiólogo concluya a partir de csros rictos que las dos fobtacionesrepresentadas por las muestras ditleren respecro a la proporcir5n empleadaen ocupaciones de subsistencia:, Sca cr =.05.

se deser saber si los niños tle dos grupos érnicos tiiilcren con respecto a llproporción de anémicos. De carir qrupo sc exrrrjo uni] rnucsrrr de niñ.s de

É-;..a:t2-:'"

.r:==fé::' -

\

#,,:,i.+i'.:

'ii::¡{a:'e

,^

Tl prueba de hipétesk: variancia de una.sola o*":on,

^^Y--,^" ,rc snirrrr ,.:"t.: (

-

il :: il",*,:i:';'"J"''Í,T i':'ff"ril1:;1:i;Tila:;.9;:il:J'"J;t;: sanemia. "

Crupoétnico

Númerode elementos

Núm. iLe

anénticos\

I

2

450375

r05120

6.6.4'

¿Proporcionan estos datos la suficiente evidencia para indlcar una diferencla

en las dos poblaciones ;; ;toJ; tu ptopo"ioi de anémicos? 5"x ü = '05

En un análisis de obesidad se obtuvieron ios siguientes resultados a panir de

muesras de hombres y mujeres enre las edades de 20 y 75 años:

Núm. de ind. con sobrePeso

VaronesMujeres

150

200

21

48

¿Es posible concluir a partir de estos datos que en las poblaciones muesu

das existe diferencta t" i;;;;;;;o*t ¿" indivlduos con sobrepeso? Sea

q = .05.

6.7 PRUEBA DE IIIPÓTESIS:VARIANCIA D;UÑ' SOT,¿. POBLACIÓN

Enlasección5.gseestudialamaneradeconstruirunintervalodeconfianzapara la variancia d" *;;;i*ion .on distribución normal. Los principios

generaies que.se p"'"ntuin tn dicha sección oueden ser utiiizados para pro-

bar una hipótesis "'ü;;'J; uu'lancia ¿e una pobiación"C"Td: ios datos

disponiblesparael.anáIisisformanunamuestraalea¡oriasimpie,extraídadepobiaciones qu"

"g*n-una distribución normal' la estadística de prueba

para probar hipótesrs "tt"o de la variancia de una población es

x2 = (n - l)s2/o: (6'7'l)

la cuai. cuando Ho es verdadera' sigue una distribución 12 con n - I grados

de libertad.

Ejemplo 6-7-l'IJntmuestra aleatoria simple de l5 esrudiantes de entermería

que participrron tn'"''ti-t*ft'l**nto eiectuó una prueba para medir su

destreze manual. t-" uo'ionti" de las obseruationei de la muestra tue de

ll1

I

flE

^te*r) - átlr

, =Waffi.rPRACTICA SEMANA

1'-r a tabla siguiente contiene !a edad {x) y !a rnáxima de !a presión sanguínea (y) de ungrupo de l0 mujeres:

Edad b6 42 z2 .36 63 47 FS 49 3A 42Presión 14,9 12,6 fS,g it,g 14,9 13,0 15,1 14,2 11,4 14,7a) Determine la recta de regresión de Y sobre X, justificando la adecuación de un

modelo lineal.

b) interprete la penciiente.

c) Mida la bondad del rnodelo.

d) Reaiice ras siguienies preciiceiones, sélo s!tlenen sentido:{. presrón sanguinea de una mu¡er de 5i años.* F¡,esión sanguínea cie una niña cje .iü años..l presién sanguinea dre un irorrrfxe rie 54 airos.

-'z-El crecimiento cje los niños desde ia infancia a la adolescencia generalmente sigue unpatrón lineai' se calcu¡ó uFrd i€ci. cte regresión ¡nediante ei n¡Étoero cre m¡n¡n¡oscuadradt¡s eon datss de aituras de niñas nortearnericanas de 4 a g añoe y ei resuitadofue; Fo = 80 Y Fr = 6' La variabie ciepencliente Y es ia aiiura ien cm.i j¡ x es ia eciad ienañosi.

a) lnterprete ros vaiores estimados der intercepto y cie ra penciiente.b) c'uát será ra aftura predic*ra de una niña de g años.c) uuai se¡"a ia aitura preciiota üe una mujei de zb anos. uomente er i-esuitado.

3-Un invesiigacior cree que ia inteiigencia eie ios niños, meeiicia a iravés eiei coefleientein¿eiectuai (ci en punicsi, ciepence ciei número cie hermancs. Toma una muesira aieaicria qei5 niños y ajusta urra feg¡-esiórr ií¡-¡eaisit-t-rpie. Los resi¡itacios aparecen €i-r ia tabia aeijiinta.

a) Eneuentre e interp

b) Dé ia ecuaciÓn de ia recta de regresion. inierprete ios estimadores en e¡ contextocle la pregunra.

[:

f t(6307- (rrt']t0

ci i 1io -l-th -t¿u 116 1'lu 1Ué 1U5 w e8i99i9e¡foo 90ie3¡90No Hmos i ¡ 1 1 4 zl2. 2 J 3 414 5 5 5

Eneuentre e i

f.

-3:

Dr CAI{LOS lAplA San¡CHtz lJpro DE ES l'AlJlS I tUA