Tema: trasferencia de calorObjetivo: Aplicar de variable compleja en la transferencia de calor en una tubera cilndrica.Marco conceptualToda funcin analtica genera un par de funciones armnicas. El problema de encontrar una funcin que sea armnica en una regin especfica y que satisfaga con las ecuaciones de frontera de transferencia de calor. Algunas veces la solucin puede ser encontrada por medio de un mapeo definido por una funcin analtica. Esto esencialmente, es una consecuencia de la regla del clculo de funcin de funciones, la cual implica que toda funcin armnica de y y se transforma en una funcin armnica de bajo el mapeo:

Donde es analtica. Ms aun las curvas de nivel de la funcin armnica en el plano son mapeoadas a las curvas de nivel correspondiente en el plano , de modo que la funcin armnica que tiene un valor constante a lo largo de una parte de la frontera de u8na regin o tiene una derivada normal cero a lo largo de una parte de la frontera es mapeada en una funcin armnica con la misma prioridad en el plano .Para el problema de transferencia de calor las curvas de nivel de una funcin armnica corresponden a las isotermas, y una derivada normal cero corresponde al aislamiento trmico. Condiciones de frontera en la transferencia de calorLas condiciones de frontera son necesarias para obtener un resultado nico de la solucin de un sistema de ecuaciones diferenciales, ya que al resolverlas se obtienen constantes arbitrarias. Las condiciones forzan las soluciones a una respuesta singular en vez de tener una familia de resultados. Esto se puedo hacer con condiciones iniciales conocidas o condiciones finales conocidas durante un proceso.Para describir por completo un problema de transferencia de calor, deben darse dos condiciones en la frontera para cada direccin del sistema de coordenadas a lo largo de la cual la transferencia de calor es significativa, es decir; es necesario especificar 2 condiciones de frontera para problemas unidimensionales, cuatro para los bidimensionales y seis para los tridimensionales.

Aplicacin:La transferencia de calor en estado estacionario.Se tiene una tubera cilndrica por la que pasa vapor a . La temperatura exterior de la tubera es la temperatura ambiente el radio exterior es de de radio en el crculo exterior, as que si elegimos el radio exterior como la unidad de longitud, el problema puede ser formulado con el de encontrar una funcin roica tal que:

Ilustracin 1: tubera cilndrica

En la regin entre los crculos y y sobre y sobre .En mapeo:

Se transforma el crculo en un crculo y el crculo en el crculo .

As el problema se transform en un problema de simetra axial en el plano que consiste en encontrar una funcin armnica tal que en y en . Las funciones armoniacas con tal simetra axial tiene la forma general:

Donde A y B son constantes. De la simetra axial se tiene que: en y en As y , y la solucin en el plano es:

Se necesita la solucin en el plano , que en general significa que obtenemos y en trminos de y , con y:

Ilustracin 2: mapeo

As: