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<ul><li><p>2(c) Calculer </p><p>cos x</p><p>x4 + 2x2 + 1dx.</p><p>Astuce : Utiliser la propriete</p><p>limba</p><p>cos x</p><p>(x2 + a2)(x2 + b2)dx =</p><p>limba</p><p>cos x</p><p>(x2 + a2)(x2 + b2)dx</p><p>et lexercice precedent.</p><p>Corrige exercice 2.(a) Le denominateur de lintegrant, (x2 + a2)(x2 + b2) ne sannule jamais pour x R ; de plus eix(x2+a2)(x2+b2) = O( 1x4 ) si x , ce qui assure que lintegrale existe. La fonction</p><p>f(z) =eizz</p><p>(z2 + a2)(z2 + b2)=</p><p>eiz</p><p>(z ia)(z + ia)(z ib)(z + ib)a 4 poles simples. Ces poles sont ia, ia, ib et ib.Soit R &gt; max{a, b}, 1R(t) = t avec t [R,R] et 2R(t) = Reit avec t [0, ] et soit R la</p><p>somme. Par le theore`me des residus, on a doncR</p><p>f(z)dz = 2i(Res(f, z = ia) + Res(f, z = ib)).</p><p>Or,</p><p>Res(f, z = ia) = limzia</p><p>(z ia)f(z) = eia</p><p>2iai(a+ b)i(a b) = ieia</p><p>2a(a2 b2) ,</p><p>Res(f, z = ib) = i eib</p><p>2b(a2 b2) .</p><p>Donc on obtient R</p><p>f(z)dz = aeb beaab(a2 b2) .</p><p>On va montrer que2R</p><p>f(z)dz tend vers 0 si R tend vers :2R</p><p>f(z)dz</p><p> R 0</p><p> eR sin(t)(R2e2it + a2)(R2e2it + b2) dt.</p><p>Pour tout t [0, ], eR sin t 1. De plus, 1(R2e2it+a2)(R2e2it+b2) 1(R2a2)(R2b2) . Donc</p><p>2R</p><p>f(z)dz</p><p> R 0</p><p>1</p><p>(R2 a2)(R2 b2) dt =R</p><p>(R2 a2)(R2 b2)qui tend vers 0 lorsque R tend vers linfini.Donc</p><p>I(a, b) = limR</p><p>1R</p><p>f(z)dz + 0 = limR</p><p>R</p><p>f(z)dz = aeb beaab(a2 b2) .</p></li><li><p>3(b)</p><p>limba</p><p>I(a, b) = limba</p><p>aeb beaab(a2 b2) = ()</p><p>Par le theore`me de lHospital :</p><p>() = ea(1 + a)</p><p>2a3.</p><p>(c) Il sut de poser a = 1 dans la reponse de lexercice precedent. </p><p>cos x</p><p>x4 + 2x2 + 1dx = </p><p>e1(1 + 1)2 13 =</p><p>e</p><p>Exercice 3.(a) Calculer</p><p>I =</p><p> 0</p><p>x2 dx</p><p>(x2 + 9)(x2 + 4)2.</p><p>(b) Soit a &gt; 0. Calculer 0</p><p>dx</p><p>x3 + a3.</p><p>Astuce : Trouver une courbe simple fermee qui passe par les points 0, R, Rei23 , et qui nentoure</p><p>quun seul pole.</p><p>Corrige exercice 3.(a) On va utiliser le Therore`me des residus pour lintegrale</p><p>R</p><p>z2 dz</p><p>(z2 + 9)(z2 + 4)2,</p><p>ou` R est le contour donne par R = R1 R2 avec R1 = {z R | R z R} et R2 = {z C ||z| = R, Im(z) 0}. Les poles sont 3i,3i (ordre 1) et 2i,2i (ordre 2). Seul 3i et 2i sont dans Ret les residus en ces poles sont</p><p>Res(f, 3i) = limz3i</p><p>(z 3i)f(z) = 3i50</p><p>,</p><p>et</p><p>Res(f, 2i) = limz2i</p><p>d</p><p>dz</p><p>(z 2i)2f(z) = lim</p><p>z2id</p><p>dz</p><p>z2</p><p>(z2 + 9)(z + 2i)2</p><p>= lim</p><p>z2i</p><p>2z(z2 + 9)(z + 2i)2 (2z(z + 2i)2 + 2(z2 + 9)(z + 2i))z2</p><p>(z2 + 9)2(z + 2i)4</p><p>=</p><p>13i200</p><p>.</p></li><li><p>4On a aussi R2</p><p>z2 dz</p><p>(z2 + 9)(z2 + 4)2</p><p> Rmax|z|=R z2(z2 + 9)(z2 + 4)2</p><p>= Rmax</p><p>|z|=R</p><p>1</p><p>|z4||(1 + 9/z2)(1 + 4/z2)2|</p><p> R 1R4</p><p>max|z|=R</p><p>1</p><p>|(1 + 9/z2)(1 + 4/z2)2|</p><p> R CR4 0 lorsque R .</p><p>En eet 1|(1+9/z2)(1+4/z2)2| tend vers 1 lorsque z . Donc 1|(1+9/z2)(1+4/z2)2| &lt; C si R est assez grand.Donc par le Theore`me des residus, on a </p><p>x2 dx</p><p>(x2 + 9)(x2 + 4)2= 2i (Res(f, 3i) + Res(f, 2i)) = 2i</p><p> i200</p><p>=</p><p>100,</p><p>et 0</p><p>x2 dx</p><p>(x2 + 9)(x2 + 4)2=</p><p>200,</p><p>car la fonction f(x) = x2</p><p>(x2+9)(x2+4)2 est paire.</p><p>(b) Lintegrale est bien definie car 1x3+a3 = o(x2) si x.</p><p>Soit R &gt; a et soit la courbe fermee definie par</p><p> = 1 2 3,ou` 1(t) = t, t [0, R], 2(t) = Reit, t [0, 23 ], et 3(t) = (R t)ei</p><p>23 , t [0, R]. On definit la</p><p>fonction</p><p>f(z) =1</p><p>z3 + a3.</p><p>Le point z0 = aei3 est le seul pole de f a` linterieur de . En consequence</p><p>f(z)dz = 2iRes(f, z0) = 2i</p><p>d</p><p>dz</p><p>z=z0</p><p>(z3 + a3)</p><p>1= 2i</p><p>3z20</p><p>1=</p><p>2i</p><p>3a2e2i/3.</p><p>En utilisant 2</p><p>f(z)dz 0 si R,car lim</p><p>zzf(z) = 0, et legalite </p><p>3</p><p>f(z)dz = e2i/3 R0</p><p>f(x)dx,</p><p>on obtient</p><p>limR</p><p>f(z)dz = (1 e2i/3) 0</p><p>1</p><p>x3 + a3dx = 2i</p><p>2i</p><p>3a2e2i/3</p><p>.</p><p>Donc, 0</p><p>1</p><p>x3 + a3dx =</p><p>2i</p><p>3a2e2i/3</p><p>1 e2i/3 =</p><p>3a2</p><p>2i</p><p>ei/3 ei/3ei</p><p>=</p><p>3a2 sin(/3)=</p><p>2</p><p>33a2</p><p>.</p></li><li><p>5Exercice 4.(a) On cherche a` calculer I =</p><p>0 (x</p><p>4 + 1)1dx.Astuce : Trouver a, b C de sorte que (x4 + 1)1 = a(x2 + i)1 + b(x2 i)1.</p><p>(b) Soient m,n appartenant a N, 0 &lt; m &lt; n. Montrer que 0</p><p>xm1</p><p>1 + xndx =</p><p>nsin1(</p><p>m</p><p>n).</p><p>Astuce : Trouver une courbe simple fermee qui passe par les points 0, R, Rei2n , et qui nentoure</p><p>quun seul pole.</p><p>Corrige exercice 4.(a) Comme</p><p>1 (x</p><p>4 + 1)1dx 0 et soit la courbe fermee definie par</p><p> = 1 2 3,ou` 1(t) = tR, t [0, 1], 2(t) = Reit, t [0, 2n ], et 3(t) = (R t)ei</p><p>2n , t [0, R]. On definit la</p><p>fonction</p><p>f(z) =zm1</p><p>1 + zn.</p></li><li><p>6Le point c = ein est le seul pole de f a` linterieur de . En consequence</p><p>f(z)dz = 2iRes(f, c) = 2i</p><p>d</p><p>dz</p><p>z=c</p><p>1 + zn</p><p>zm1</p><p>1= 2i</p><p>c</p><p>m</p><p>n</p><p>.</p><p>En utilisant 2</p><p>f(z)dz 0 si R,car lim</p><p>zzf(z) = 0, et legalite </p><p>3</p><p>f(z)dz = c2m R0</p><p>f(x)dx,</p><p>on obtient limR</p><p>f(z)dz = (1 c2m) 0</p><p>xm1</p><p>1 + xndx = 2i(c</p><p>m</p><p>n). Dou`, en utilisant sinx = e</p><p>ixeix2i ,</p><p>on trouve le resultat cherche.</p></li></ul>