compléments exercices
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2(c) Calculer
cos x
x4 + 2x2 + 1dx.
Astuce : Utiliser la propriete
limba
cos x
(x2 + a2)(x2 + b2)dx =
limba
cos x
(x2 + a2)(x2 + b2)dx
et lexercice precedent.
Corrige exercice 2.(a) Le denominateur de lintegrant, (x2 + a2)(x2 + b2) ne sannule jamais pour x R ; de plus eix(x2+a2)(x2+b2) = O( 1x4 ) si x , ce qui assure que lintegrale existe. La fonction
f(z) =eizz
(z2 + a2)(z2 + b2)=
eiz
(z ia)(z + ia)(z ib)(z + ib)a 4 poles simples. Ces poles sont ia, ia, ib et ib.Soit R > max{a, b}, 1R(t) = t avec t [R,R] et 2R(t) = Reit avec t [0, ] et soit R la
somme. Par le theore`me des residus, on a doncR
f(z)dz = 2i(Res(f, z = ia) + Res(f, z = ib)).
Or,
Res(f, z = ia) = limzia
(z ia)f(z) = eia
2iai(a+ b)i(a b) = ieia
2a(a2 b2) ,
Res(f, z = ib) = i eib
2b(a2 b2) .
Donc on obtient R
f(z)dz = aeb beaab(a2 b2) .
On va montrer que2R
f(z)dz tend vers 0 si R tend vers :2R
f(z)dz
R 0
eR sin(t)(R2e2it + a2)(R2e2it + b2) dt.
Pour tout t [0, ], eR sin t 1. De plus, 1(R2e2it+a2)(R2e2it+b2) 1(R2a2)(R2b2) . Donc
2R
f(z)dz
R 0
1
(R2 a2)(R2 b2) dt =R
(R2 a2)(R2 b2)qui tend vers 0 lorsque R tend vers linfini.Donc
I(a, b) = limR
1R
f(z)dz + 0 = limR
R
f(z)dz = aeb beaab(a2 b2) .
-
3(b)
limba
I(a, b) = limba
aeb beaab(a2 b2) = ()
Par le theore`me de lHospital :
() = ea(1 + a)
2a3.
(c) Il sut de poser a = 1 dans la reponse de lexercice precedent.
cos x
x4 + 2x2 + 1dx =
e1(1 + 1)2 13 =
e
Exercice 3.(a) Calculer
I =
0
x2 dx
(x2 + 9)(x2 + 4)2.
(b) Soit a > 0. Calculer 0
dx
x3 + a3.
Astuce : Trouver une courbe simple fermee qui passe par les points 0, R, Rei23 , et qui nentoure
quun seul pole.
Corrige exercice 3.(a) On va utiliser le Therore`me des residus pour lintegrale
R
z2 dz
(z2 + 9)(z2 + 4)2,
ou` R est le contour donne par R = R1 R2 avec R1 = {z R | R z R} et R2 = {z C ||z| = R, Im(z) 0}. Les poles sont 3i,3i (ordre 1) et 2i,2i (ordre 2). Seul 3i et 2i sont dans Ret les residus en ces poles sont
Res(f, 3i) = limz3i
(z 3i)f(z) = 3i50
,
et
Res(f, 2i) = limz2i
d
dz
(z 2i)2f(z) = lim
z2id
dz
z2
(z2 + 9)(z + 2i)2
= lim
z2i
2z(z2 + 9)(z + 2i)2 (2z(z + 2i)2 + 2(z2 + 9)(z + 2i))z2
(z2 + 9)2(z + 2i)4
=
13i200
.
-
4On a aussi R2
z2 dz
(z2 + 9)(z2 + 4)2
Rmax|z|=R z2(z2 + 9)(z2 + 4)2
= Rmax
|z|=R
1
|z4||(1 + 9/z2)(1 + 4/z2)2|
R 1R4
max|z|=R
1
|(1 + 9/z2)(1 + 4/z2)2|
R CR4 0 lorsque R .
En eet 1|(1+9/z2)(1+4/z2)2| tend vers 1 lorsque z . Donc 1|(1+9/z2)(1+4/z2)2| < C si R est assez grand.Donc par le Theore`me des residus, on a
x2 dx
(x2 + 9)(x2 + 4)2= 2i (Res(f, 3i) + Res(f, 2i)) = 2i
i200
=
100,
et 0
x2 dx
(x2 + 9)(x2 + 4)2=
200,
car la fonction f(x) = x2
(x2+9)(x2+4)2 est paire.
(b) Lintegrale est bien definie car 1x3+a3 = o(x2) si x.
Soit R > a et soit la courbe fermee definie par
= 1 2 3,ou` 1(t) = t, t [0, R], 2(t) = Reit, t [0, 23 ], et 3(t) = (R t)ei
23 , t [0, R]. On definit la
fonction
f(z) =1
z3 + a3.
Le point z0 = aei3 est le seul pole de f a` linterieur de . En consequence
f(z)dz = 2iRes(f, z0) = 2i
d
dz
z=z0
(z3 + a3)
1= 2i
3z20
1=
2i
3a2e2i/3.
En utilisant 2
f(z)dz 0 si R,car lim
zzf(z) = 0, et legalite
3
f(z)dz = e2i/3 R0
f(x)dx,
on obtient
limR
f(z)dz = (1 e2i/3) 0
1
x3 + a3dx = 2i
2i
3a2e2i/3
.
Donc, 0
1
x3 + a3dx =
2i
3a2e2i/3
1 e2i/3 =
3a2
2i
ei/3 ei/3ei
=
3a2 sin(/3)=
2
33a2
.
-
5Exercice 4.(a) On cherche a` calculer I =
0 (x
4 + 1)1dx.Astuce : Trouver a, b C de sorte que (x4 + 1)1 = a(x2 + i)1 + b(x2 i)1.
(b) Soient m,n appartenant a N, 0 < m < n. Montrer que 0
xm1
1 + xndx =
nsin1(
m
n).
Astuce : Trouver une courbe simple fermee qui passe par les points 0, R, Rei2n , et qui nentoure
quun seul pole.
Corrige exercice 4.(a) Comme
1 (x
4 + 1)1dx 0 et soit la courbe fermee definie par
= 1 2 3,ou` 1(t) = tR, t [0, 1], 2(t) = Reit, t [0, 2n ], et 3(t) = (R t)ei
2n , t [0, R]. On definit la
fonction
f(z) =zm1
1 + zn.
-
6Le point c = ein est le seul pole de f a` linterieur de . En consequence
f(z)dz = 2iRes(f, c) = 2i
d
dz
z=c
1 + zn
zm1
1= 2i
c
m
n
.
En utilisant 2
f(z)dz 0 si R,car lim
zzf(z) = 0, et legalite
3
f(z)dz = c2m R0
f(x)dx,
on obtient limR
f(z)dz = (1 c2m) 0
xm1
1 + xndx = 2i(c
m
n). Dou`, en utilisant sinx = e
ixeix2i ,
on trouve le resultat cherche.