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  • 2(c) Calculer

    cos x

    x4 + 2x2 + 1dx.

    Astuce : Utiliser la propriete

    limba

    cos x

    (x2 + a2)(x2 + b2)dx =

    limba

    cos x

    (x2 + a2)(x2 + b2)dx

    et lexercice precedent.

    Corrige exercice 2.(a) Le denominateur de lintegrant, (x2 + a2)(x2 + b2) ne sannule jamais pour x R ; de plus eix(x2+a2)(x2+b2) = O( 1x4 ) si x , ce qui assure que lintegrale existe. La fonction

    f(z) =eizz

    (z2 + a2)(z2 + b2)=

    eiz

    (z ia)(z + ia)(z ib)(z + ib)a 4 poles simples. Ces poles sont ia, ia, ib et ib.Soit R > max{a, b}, 1R(t) = t avec t [R,R] et 2R(t) = Reit avec t [0, ] et soit R la

    somme. Par le theore`me des residus, on a doncR

    f(z)dz = 2i(Res(f, z = ia) + Res(f, z = ib)).

    Or,

    Res(f, z = ia) = limzia

    (z ia)f(z) = eia

    2iai(a+ b)i(a b) = ieia

    2a(a2 b2) ,

    Res(f, z = ib) = i eib

    2b(a2 b2) .

    Donc on obtient R

    f(z)dz = aeb beaab(a2 b2) .

    On va montrer que2R

    f(z)dz tend vers 0 si R tend vers :2R

    f(z)dz

    R 0

    eR sin(t)(R2e2it + a2)(R2e2it + b2) dt.

    Pour tout t [0, ], eR sin t 1. De plus, 1(R2e2it+a2)(R2e2it+b2) 1(R2a2)(R2b2) . Donc

    2R

    f(z)dz

    R 0

    1

    (R2 a2)(R2 b2) dt =R

    (R2 a2)(R2 b2)qui tend vers 0 lorsque R tend vers linfini.Donc

    I(a, b) = limR

    1R

    f(z)dz + 0 = limR

    R

    f(z)dz = aeb beaab(a2 b2) .

  • 3(b)

    limba

    I(a, b) = limba

    aeb beaab(a2 b2) = ()

    Par le theore`me de lHospital :

    () = ea(1 + a)

    2a3.

    (c) Il sut de poser a = 1 dans la reponse de lexercice precedent.

    cos x

    x4 + 2x2 + 1dx =

    e1(1 + 1)2 13 =

    e

    Exercice 3.(a) Calculer

    I =

    0

    x2 dx

    (x2 + 9)(x2 + 4)2.

    (b) Soit a > 0. Calculer 0

    dx

    x3 + a3.

    Astuce : Trouver une courbe simple fermee qui passe par les points 0, R, Rei23 , et qui nentoure

    quun seul pole.

    Corrige exercice 3.(a) On va utiliser le Therore`me des residus pour lintegrale

    R

    z2 dz

    (z2 + 9)(z2 + 4)2,

    ou` R est le contour donne par R = R1 R2 avec R1 = {z R | R z R} et R2 = {z C ||z| = R, Im(z) 0}. Les poles sont 3i,3i (ordre 1) et 2i,2i (ordre 2). Seul 3i et 2i sont dans Ret les residus en ces poles sont

    Res(f, 3i) = limz3i

    (z 3i)f(z) = 3i50

    ,

    et

    Res(f, 2i) = limz2i

    d

    dz

    (z 2i)2f(z) = lim

    z2id

    dz

    z2

    (z2 + 9)(z + 2i)2

    = lim

    z2i

    2z(z2 + 9)(z + 2i)2 (2z(z + 2i)2 + 2(z2 + 9)(z + 2i))z2

    (z2 + 9)2(z + 2i)4

    =

    13i200

    .

  • 4On a aussi R2

    z2 dz

    (z2 + 9)(z2 + 4)2

    Rmax|z|=R z2(z2 + 9)(z2 + 4)2

    = Rmax

    |z|=R

    1

    |z4||(1 + 9/z2)(1 + 4/z2)2|

    R 1R4

    max|z|=R

    1

    |(1 + 9/z2)(1 + 4/z2)2|

    R CR4 0 lorsque R .

    En eet 1|(1+9/z2)(1+4/z2)2| tend vers 1 lorsque z . Donc 1|(1+9/z2)(1+4/z2)2| < C si R est assez grand.Donc par le Theore`me des residus, on a

    x2 dx

    (x2 + 9)(x2 + 4)2= 2i (Res(f, 3i) + Res(f, 2i)) = 2i

    i200

    =

    100,

    et 0

    x2 dx

    (x2 + 9)(x2 + 4)2=

    200,

    car la fonction f(x) = x2

    (x2+9)(x2+4)2 est paire.

    (b) Lintegrale est bien definie car 1x3+a3 = o(x2) si x.

    Soit R > a et soit la courbe fermee definie par

    = 1 2 3,ou` 1(t) = t, t [0, R], 2(t) = Reit, t [0, 23 ], et 3(t) = (R t)ei

    23 , t [0, R]. On definit la

    fonction

    f(z) =1

    z3 + a3.

    Le point z0 = aei3 est le seul pole de f a` linterieur de . En consequence

    f(z)dz = 2iRes(f, z0) = 2i

    d

    dz

    z=z0

    (z3 + a3)

    1= 2i

    3z20

    1=

    2i

    3a2e2i/3.

    En utilisant 2

    f(z)dz 0 si R,car lim

    zzf(z) = 0, et legalite

    3

    f(z)dz = e2i/3 R0

    f(x)dx,

    on obtient

    limR

    f(z)dz = (1 e2i/3) 0

    1

    x3 + a3dx = 2i

    2i

    3a2e2i/3

    .

    Donc, 0

    1

    x3 + a3dx =

    2i

    3a2e2i/3

    1 e2i/3 =

    3a2

    2i

    ei/3 ei/3ei

    =

    3a2 sin(/3)=

    2

    33a2

    .

  • 5Exercice 4.(a) On cherche a` calculer I =

    0 (x

    4 + 1)1dx.Astuce : Trouver a, b C de sorte que (x4 + 1)1 = a(x2 + i)1 + b(x2 i)1.

    (b) Soient m,n appartenant a N, 0 < m < n. Montrer que 0

    xm1

    1 + xndx =

    nsin1(

    m

    n).

    Astuce : Trouver une courbe simple fermee qui passe par les points 0, R, Rei2n , et qui nentoure

    quun seul pole.

    Corrige exercice 4.(a) Comme

    1 (x

    4 + 1)1dx 0 et soit la courbe fermee definie par

    = 1 2 3,ou` 1(t) = tR, t [0, 1], 2(t) = Reit, t [0, 2n ], et 3(t) = (R t)ei

    2n , t [0, R]. On definit la

    fonction

    f(z) =zm1

    1 + zn.

  • 6Le point c = ein est le seul pole de f a` linterieur de . En consequence

    f(z)dz = 2iRes(f, c) = 2i

    d

    dz

    z=c

    1 + zn

    zm1

    1= 2i

    c

    m

    n

    .

    En utilisant 2

    f(z)dz 0 si R,car lim

    zzf(z) = 0, et legalite

    3

    f(z)dz = c2m R0

    f(x)dx,

    on obtient limR

    f(z)dz = (1 c2m) 0

    xm1

    1 + xndx = 2i(c

    m

    n). Dou`, en utilisant sinx = e

    ixeix2i ,

    on trouve le resultat cherche.