complÉments sur la cinÉmatique du...

COMPLÉMENTS SUR LA CINÉMATIQUE DU POINT

Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié MRUV• Il sert de modèle à de nombreuses études simplifiées. Pour ces mouvements,

accélérés (a>0) ou décélérés (a<0), l’accélération reste constante au cours du temps

• Soient :• ti : instant initial• a=ai : l’accélération (m/s²)• xi : le déplacement initial, à t=ti (m)• Vi : la vitesse initiale (m/s)• x(t) : le déplacement à l’instant t (m)• V(t) : la vitesse à l’instant t (m/s)

Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié MRUV• On peut exprimer t en fonction de V(t) et Vi

Exemple : conditions initiales �� 0, �� 0�� 0:

� ��

�

D’où ��

��

Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié MRUV

Travail et puissance d’une force

Rappel RFD : relation fondamentale de la dynamique (pour un solide en translation)Deuxième loi de Newton. Soit un corps de masse constante, l'accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse .

Ainsi, la force nécessaire pour accélérer un objet est le produit de sa masse et de son accélération : plus la masse d'un objet est grande, plus grande est la force requise pour l'accélérer à une vitesse déterminée (en un laps de temps fixé).

Quelle que soit la masse d'un objet, toute force nette non-nulle qui lui est appliquée produit une accélération.

Travail et puissance d’une force

Théorème de l’énergie cinétique

Théorème de l’énergie cinétique• Dans un référentiel galiléen, pour un corps ponctuel

de masse m constante parcourant un chemin reliant un point A à un point B, la variation d’énergie cinétique est égale à la somme des travaux W des forces extérieures et intérieures qui s’exercent sur le solide considéré :

• où EkA et EkB sont respectivement l’énergie cinétique du solide aux points A et B.

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MRUV : retour à notre skieur

Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié MRUV

Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié MRUV• Cas particulier : Equations horaires du mouvement sans déplacement initial et sans• vitesse initiale

Exercice 1: pour vous entraîner• Exercice 1

Un chariot de masse 2 tonnes est tracté sur des rails à une vitesse de 0,2 m/s.Calculer la tension du câble (on néglige les frottements).

Exercice 1 - corrigé• Exercice 1Un chariot de masse 2 tonnes est tracté sur des rails à une vitesse de 0,2 m/s.Calculer la tension du câble (on néglige les frottements).

formule : PFD : ΣF = m . a

Application : T – mgcos40° = 0

T = mgcos40°

T =2000x10xcos40°=15321N

Exercice 2• Une automobile de masse 850 kg est arrêtée sur une

route horizontale. Au démarrage, elle est propulsée par une force constante dont la composante horizontale a pour intensité 200 daN.

• 1) Quelle est la nature du mouvement ? Calculer l’accélération de la voiture.

• 2) Quelle distance aura-t-elle parcourue après 5 secondes ?

•

• 3) Quelle sera sa vitesse à cet instant ?

Exercice 2 - corrigé

Exercice 3 (pour vous entraîner)• Rolph Montag conduit une voiture à 50 km/h dans une rue

horizontale. La voiture a une masse de 1 060 kg. Soudain, il freine pour s’arrêter.

• En supposant que la décélération est constante pendant tout le freinage (a = -2 m/s²) :

•

• 1) Indiquer la direction et le sens de la force exercée sur la voiture, calculer son intensité

• 2) Calculer la durée du freinage• 3) Calculer la distance du freinage

Exercice 3 - corrigé• Ernst Jünger conduit une voiture à 50 km/h dans une rue

horizontale. La voiture a une masse de 1 060 kg. Soudain, il freine pour s’arrêter.

• En supposant que la décélération est constante pendant tout le freinage (a = -2 m/s²) :

Exercice 4 (pour vous entraîner)• Une automobile avec son conducteur a une masse de 1 000

kg. Pour simplifier on admettra, dans tout le problème, que la somme de toutes les forces de frottement est constante, parallèle au déplacement et égale à 150 N.

•• 1) L’automobile monte une pente de 2,5 % (tan a = 0,025) à la

vitesse de 72 km/h. Au cours de cette montée le chauffeur débraye (force motrice nulle). A quelle distance du point où il a commencé le débrayage, la voiture s’arrête-t-elle ?

•• 2) Au cours de cette même montée, la voiture roulant toujours

à 72 km/h, le chauffeur débraye et freine en même temps. La voiture s’arrête après 50 m. Calculer la valeur de la force résistante due au freinage.

•

Exercice 4 - corrigé

LES LEVIERS

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Moment d’une force• Le moment de force est l'aptitude d'une force à faire tourner un

système mécanique autour d'un point donné, que l'on nomme pivot (ou axe).

• Les composantes et la norme d'un moment de force sont exprimées en newton-mètre (Nm), dans le système international d'unités

• On choisit un sens positif et négatif en fonction du sens de rotation provoqué par la force sur le système mécanique

• Exemple :

• Le moment est dit positif si la rotation engendrée est anti-horaire(sens trigonométrique).

• Le moment est dit négatif si la rotation engendrée est horaire.

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Moment d’une force• Le moment de la force F par rapport à l’axe o ( MF ) est égal au

produit de la distance d de l’axe à la droite d’action de la force (bras de levier) par l’intensité de cette force en newton. Il s’exprime en mètre newton (mN).

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dFF ⋅=M

x od

F

A retenir• Le moment d’une force est égal au produit de l’intensité de cette force

par la distance de cette force à l’axe de rotation .

• A l’équilibre, la somme des moments des forces qui font tourner le solide dans un sens est égale à la somme des moments des forces qui le font tourner dans le sens contraire.

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Cas de nullité du moment d’une force• Puisqu'il s'agit ensuite d'établir la somme nulle des moments, on peut

naturellement s'intéresser aux cas de nullité individuelle des moments de force ; de par les propriétés du produit vectoriel :

1. la force est nulle2. le bras de levier est de longueur nulle. La force est donc appliquée

sur l’axe de rotation3. La force est colinéaire au vecteur levier, la droite d'action passe par

l’axe, ce qui inclut aussi le cas précédent.

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Méthodes de calcul du moment d’une force

1. le produit vectoriel

2. Produit de la Longueur du bras de levier par l’intensité de la force

3. Par projection : On considère les 2 composantes de la force dans un repère où un des axes est le levier et l’autre axe est orthogonal au premier : le moment de la composante de la force portée par l’axe sera nul, on n’en tient donc pas compte. Le moment de la force par rapport à l’axe sera donc égal à au produit de la norme de la composante orthogonal par la distance à l’axe du point d’application de la force.

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Moment d’une force : produit vectoriel

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Moment d’une force: bras de levier

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Moment d’une force: bras de levier

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3) Par projection : On considère les 2 composantes Fx et Fy de la force dans un repère où un des axes est le levier et l’autre axe est orthogonal au premier le moment de la composante de la force portée par l’axe sera nul car

��est colinéaire au levier.

Le moment de la force par rapport à l’axe sera donc égal à au produit de Fy par la distance à l’axe du point d’application de la force :

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Un levier est un solide très léger dont la forme est assimilable à une barre. Ilest soumis à trois forces :

la réaction du point d’appui R,

la force à vaincre ou résistance Fr,

la force motrice F appelée aussi parfois à tort Puissance (au sens deforce de puissance)

Selon la position relative de ces trois forces, on distinguera trois sortes deleviers :

levier inter-appui : l’appui est au centre

levier inter-résistant : la résistance ou la charge est au centre

levier inter-moteur ou inter-puissant : la force exercée est au centre

LEVIERS

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3 Les leviers• Étudier un mouvement en vue de l'optimiser, nécessite de :

1 - déterminer la direction du déplacement, ce qui va déterminer le type de mouvement.

2 - situer le point d'appui fixe (A), c'est à dire l'articulation

3 - situer le point d'application de la résistance (R), c'est à dire le centre de gravité de l'ensemble.

4 - situer le point d'application et la direction de la force musculaire (F), c'est à dire le point d'insertion du muscle.

3. Les leviers – différents types

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Levier inter-appui : le pied de biche Levier inter-résistant : la brouette

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1er genre Levier inter-appui

R

F

FrOA B

Fr . OA = F . OB

d’où

F = Fr . ( OA / OB )

et

R = Fr + F

On voit que plus la distance OB est grande par rapport à OA, plus l’effort F sera petit pour vaincre une même force Fr.

Applications : barre à mine, pied de biche, tenailles, cisailles à main, diable, chariot à bouteilles (1er temps).

Attention, c’est au point d’appui que la force exercée est la plus grande !

Leviers

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2ème genre Levier inter-résistant

Fr . OA = F . OB

d’où

F = Fr . ( OA / OB )

et

R = Fr - F

On voit que plus la distance OB est grande par rapport à OA, plus l’effort F sera petit pour vaincre une même force Fr.

Applications : brouette, cisaille à levier, casse noix, diable, chariot à bouteilles (2ème temps).

RF

Fr

O A B

Leviers

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3ème Genre Levier inter-moteur ou inter-puissant

Fr . OA = F . OB

d’où

F = Fr . ( OA / OB )

et

R = F - Fr

On voit que plus la distance OB est petite par rapport à OA, plus l’effort F devra être grand pour vaincre une même force Fr.

Applications : étaux à chaud, brucelles, pince à épiler…

R

F

Fr

O AB

Leviers

38Équilibre

Un système est en équilibre si :

- la somme des forces est nulle (force résultante = 0),

- la somme algébrique des moments des forces est nulle.

La barre ne tourne pas, on a donc en A une force dont le moment s’oppose à celui de la force exercée en C.

L’ensemble ne chute pas, on a donc en B une force opposée à la résultante des deux autres forces.

20 N

30 N

B

A1 m 2 m

10 N

C

On peut constater que, quel que soit le point de rotation choisi (A B C ou un autre), la somme des moments est nulle.

39Équilibre

Un système est en équilibre si :

- la somme des forces est nulle (force résultante = 0),

- la somme algébrique des moments des forces est nulle.

La barre ne tourne pas, on a donc en A une force dont le moment s’oppose à celui de la force exercée en C.

L’ensemble ne chute pas, on a donc en B une force opposée à la résultante des deux autres forces.

20 N

30 N

B

A1 m 2 m

10 N

C

On peut constater que, quel que soit le point de rotation choisi (A B C ou un autre), la somme des moments est nulle.

Les leviers osseux• " Il y a dans l'homme un instinct de

mécanique que nous voyons produire tous les jours de très grands effets dans des hommes fort grossiers…..

• Le paysan le plus ignorant sait partout remuer les plus gros fardeaux par le secours du levier, sans se douter que la puissance faisant équilibre est au poids comme la distance du point d'appui à ce poids est à la distance de ce même point d'appui à la puissance. S'il avait fallu que cette connaissance précédât l'usage des leviers, que de siècles se seraient écoulés avant qu'on eût pu déranger une grosse pierre de sa place »

• Essai sur les mœurs (in1756) Voltaire

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Les leviers osseux• Les mouvements des pièces squelettiques

sont comme des mouvements de leviers dont les points d’application sont les points d’insertion des muscles.

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Les poulies

• La poulie, si elle fonctionne sans frottement est une machine qui change la direction d’une force sans en modifier l’intensité. En anatomie on utilise ce terme pour désigner la forme d’un os, par exemple, la poulie astragalienne. Mais on désigne ainsi des ensembles fonctionnels nombreux.

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Leviers inter-appui

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Leviers inter-appui

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Leviers inter-résistants

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Leviers inter-puissants ou inter-moteurs

• L’action du grand fessier sur le fémur(extension de la hanche), l’action du quadriceps crural sur le tibia (extension du genou)

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Leviers inter-puissants ou inter-moteurs

• L’action du grand fessier sur le fémur(extension de la hanche), l’action du quadriceps crural sur le tibia (extension du genou)

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Avantage ou gain mécanique

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Avantage ou gain mécanique• Si AM > 1, le levier est efficace.• Si AM = 1, l’efficacité du levier est nulle.• Si AM < 1, le levier est inefficace.

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gain mécanique idéal et réel

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gain mécanique réel

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Avantage cinématique des leviers• C’est l’inverse de l’avantage mécanique. Il témoigne de l’amplitude ou de la

rapidité potentielle du mouvement. Avec ce « levier de vitesse » ce que l’on perd en force on le gagne en déplacement et donc en vitesse.

• Le corps humain est composé majoritairement de leviers inter-puissants ou inter-appui inefficaces.

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Avantage cinématique (AC) des leviers

• quand on doit maintenir une posture, le travail musculaire à produire est faible.

• On a par contre besoin couramment de produire des mouvements rapides. Dès que l’on va avoir un petit raccourcissement d’un muscle que l’on sollicite, cela provoque un déplacement de grande amplitude.

• L’avantage cinématique exprime l’amplitude du dépla cement ou la rapidité du mouvement .

• Si AC > 1, le levier sera inefficace mais rapide.• Si AC = 1, le levier sera neutre, ni efficace, ni rapide.

• Si AC < 1, le levier sera lent mais efficace.

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Exemple de calcul

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Le biceps ou la force musculaire se situe à une distance de 3 cm du coude (point d’appui) alors que la résistance R est à 36 cm. Le rapport de bras de levier est de 3/36 ou de 1/12 pour un avantage mécanique (AM) très faible de 0,083. Donc la force développée par le biceps devra être 12 fois supérieure à celle du bras de levier de la force motrice. Ainsi, on exercera toujours une force plus élevée que celle de la résistance. Ce type de levier est le plus commun dans le système musculo-squelettique.

Exemple de calcul

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Exemple de calcul :système simplifié

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Exemple de calcul O : centre de rotation.G : centre de gravité en avant du point d’appui.P : poids de la tête.I : point d’insertion moyen des muscles de la nuque.F : force des muscles de la nuque qui s’oppose à P.

On a donc un levier inter-appui puisque le centre de rotation se situe entre les points d’application de P et de F.

R = - (P + F) = force appliquée au niveau du centre de rotation qui s’oppose à P et à F.A l’état d’équilibre :Σ F = 0Σ M = 0P + F + R = 0 ( R = RP + RF )R = - P + ( - F )M P/O + M R/O + M F/O = 0P . OG . sin β + 0 - F . OI . sin α = 0

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Exemple de calcul : application numérique

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Exercice sur les moments des forces• Une poutre de 100 N et de 1 m de longueur supporte une

charge de 300 N à son extrémité droite. Un câble relié à un mur maintient la poutre en équilibre.(a) Quelle doit être la tension dans le câble ?(b) Quelles sont les composantes (horizontale et verticale) de la force exercée par le mur sur la poutre ?

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Solutions : attention il faut prendre en compte le poids de la poutre !!

(a) 484 N (b) Rx = 371 N et Ry = 89,3 N

Exercice sur les moments des forces

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ExerciceCalculer la force musculaire, FM, du biceps brachial pour maintenir la charge et calculer la force de réaction articulaire, FC, au niveau du coude.L’avant-bras et la main ont une masse de 3 kg, le centre de masse est situé à 15 cm de l’articulation du coude et le bras de levier du biceps est de 5 cm. Le poids possède une masse de 6 kg.La distance du poids P au coude est 40 cm.La force musculaire FM est localisée et dirigée vers le haut (c’est en tension) et les poids sont dirigés vers le bas

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Exercice: représentationCalculer la force musculaire, FM, du biceps brachial pour maintenir la charge et calculer la force de réaction articulaire, FC, au niveau du coude.L’avant-bras et la main ont une masse de 3 kg, le centre de masse est situé à 15 cm de l’articulation du coude et le bras de levier du biceps est de 5 cm. Le poids possède une masse de 6 kg.La distance du poids P au coude est 40 cm.La force musculaire FM est localisée et dirigée vers le haut (c’est en tension) et les poids sont dirigés vers le bas

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Exercice: solution

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QCM sur les moments des forces

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Soulever et porter correctement une charge

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Soulever et porter correctement une charge

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Règles de base

• Il faut penser à répartir la charge • Garder le dos droit (pour des charges supérieures à 5kg)

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Valeurs limites

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bibliographie• Bibliographie Physique ; Mpsi. Pcsi. Ptsi Editeur :

Hachette Education Collection : H Prepa

• Biophysique. Cours, Exercices, Annales Et Qcm Corrigés, 2e édition Auteur : Salah Belazreg, Rémi Perdrisot, Jean-Yves Bounaud Editeur : DUNOD Edisciences - collection : 100% 1re année Santé

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complÉments sur la cinÉmatique du...

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