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  • Canaux à surface libre et ressaut : compléments et exercices – LPAIL3S5 – Année 2010-2011 - Daniel Huilier

    Compléments sur les écoulements à surface libre (en canaux)

    et les ressauts hydrauliques. Ecoulement permanent uniforme Ecoulement permanent/stationnaire : en un point de l’écoulement les caractéristiques ne dépendent pas du temps, soit : ,....0t/y,0t/V =∂∂=∂∂ Ecoulement uniforme : la profondeur y, la pente S, la vitesseV, la section A restent constants le long d’une longueur donnée de canal L, soit ,....0L/y,0L/V =∂∂=∂∂ Dans le cas spécial des écoulements uniformes stationnaires, la ligne d’énergie et de charge sont parallèles au fond du canal (leurs pentes sont identiques) Ecoulement laminaire Comme pour les écoulements en conduites, l’écoulement est laminaire pour des nombres de Reynolds de moins de 2000, mais peut le rester jusqu’à des nombres de Reynolds de 10000. Pour un canal ouvert, on définira le nombre de Reynolds par :

    ν =

    RV4Re où R est le rayon hydraulique (Surface A divisée par le périmètre mouillé), V la

    vitesse de l’écoulement et ν la viscosité cinématique (pour une conduite cylindrique, le diamètre D vaut 4R, R étant le rayon hydraulique et pour une section cylindrique totalement mouillée, le rayon hydraulique vaut D/4, ce qui est cohérent). Formule de Chezy pour les écoulements permanents uniformes La vitesse d’écoulement V en canal est donnée par la loi de Chezy (1768):

    RSCV = où

    - V = vitesse moyenne - C = Coefficient à préciser (en us et en SI en ) s/m 2/1 - R = rayon hydraulique - S = pente de la ligne d’énergie

    Lois traditionnelles (en unités anglo-saxonnes , foot et en SI) :

    f g8C = (valable en SI, f est sans dimension)

    6/1R n 486.1C = (en us), 6/1R

    n 0.1C = (en SI) (Manning, 1895)

    (n est considéré sans dimension, bien que non vrai, en principe ( ) et les valeurs données dans les tables SI ou anglo-saxonnes sont les mêmes)

    3/1m/s

    R/m1 6.157C

    + = (en us),

    R/m1 956.86C

    + = (en SI) (Bazin)

    1

  • Canaux à surface libre et ressaut : compléments et exercices – LPAIL3S5 – Année 2010-2011 - Daniel Huilier

    ⎟ ⎠ ⎞

    ⎜ ⎝ ⎛ ++

    ++ =

    S 00281.065.41

    R n1

    n 811.1

    S 00281.065.41

    C (en us), ⎟ ⎠ ⎞

    ⎜ ⎝ ⎛ ++

    ++ =

    S 00155.023

    R n1

    n 1

    S 00155.023

    C (en SI) (Kutter)

    ⎟ ⎠ ⎞

    ⎜ ⎝ ⎛ ε+−=

    RRe Clog.42C (en us), ⎟

    ⎠ ⎞

    ⎜ ⎝ ⎛ ε+−=

    RRe Cx811.1log.20.23C 10 (Powell)

    où n et m sont des facteurs de rugosité du canal. Débit volumique Pour un écoulement permanent uniforme, en termes de formule de Manning et en système international :

    2/13/2 SR n 0.1AAVQ ⎟ ⎠ ⎞

    ⎜ ⎝ ⎛==

    Perte de charge (pente S) avec la formule de Manning

    2

    3/2 L

    R0.1 n.V

    L hS ⎥⎦

    ⎤ ⎢⎣ ⎡== , la perte de charge en hauteur étant hL

    Distribution verticale de vitesse La distribution verticale de vitesse v(y) peut être supposée parabolique pour des écoulements laminaires et logarithmique pour des écoulements turbulents. Pour un écoulement laminaire dans des canaux ouverts larges de profondeur moyenne , la distribution de vitesse est donnée par :

    my

    ⎟ ⎠ ⎞

    ⎜ ⎝ ⎛ −

    ν = 2m y2

    1yygS)y(v , soit encore ⎟ ⎠ ⎞

    ⎜ ⎝ ⎛ −

    μ ρ

    = 2m y2 1yygS)y(v

    La vitesse moyenne V est donnée par :

    ν =

    3 gSyV

    2 m ,

    μ ρ

    = 3

    gSy V

    2 m

    Démonstration :

    ∫∫ ∫ ∫∫

    ∫∫ ∫∫

    ∫∫ ∫∫

    =

    −μρ ====

    )dzy(dydz

    dydz)2/yyy()/g(

    dA

    da)y(v

    dA

    dQ

    A QV

    m

    2 m

    ( )∫ μ ρ

    =− μ ρ

    = m y

    0

    2 m2

    m m 3

    gSydy2/yyy dzy

    gSdzV

    Pour un écoulement turbulent dans des canaux ouverts larges de profondeur moyenne , la distribution de vitesse est donnée par :

    my

    2

  • Canaux à surface libre et ressaut : compléments et exercices – LPAIL3S5 – Année 2010-2011 - Daniel Huilier

    )y/yln(./5.2)y(v 00 ρτ= , soit encore )y/ylog(./75.5)y(v 00 ρτ= où est la contrainte pariétale s’exerçant essentiellement au fond du canal et est la référence locale du fond suivant la verticale (donc fonction de x) (ceci se démontre dans un cours de turbulence et est associé à la couche limite, théorie de von Karman…)

    0τ 0y

    Energie spécifique (E) On définit l’énergie spécifique E par l’énergie par unité de poids relativement au fond du canal ouvert : E = profondeur + énergie cinétique équivalente

    g2/VyE 2+= Une expression plus exacte serait de corriger l’énergie cinétique d’un facteur de correction α. En termes de débit volumique q par unité de largeur de canal, la largeur du canal étant b (q = Q/b), il vient que :

    2)y/q( g2 1yE +=

    )yEy(g2q 32 −=

    Pour un écoulement uniforme, l’énergie spécifique est conservée d’une section à l’autre. Dans le cas d’un écoulement non-uniforme, l’énergie spécifique peut croître ou décroître le long du canal. Profondeur critique La profondeur critique yc d’un écoulement à flux constant q dans un canal rectangulaire est donnée pour une énergie spécifique minimale. Dans ce cas :

    g V

    E 3 2g/qy

    2 c

    c 3 2

    c ===

    Démonstration 22

    2

    y q

    g2 1y

    y b/Q

    g2 1yg2/VyE ⎟⎟

    ⎞ ⎜⎜ ⎝

    ⎛ +=⎟⎟

    ⎞ ⎜⎜ ⎝

    ⎛ +=+=

    0 gy q1

    y q

    g2 1y

    dy d

    dy dE

    3

    22

    =−= ⎥ ⎥ ⎦

    ⎢ ⎢ ⎣

    ⎡ ⎟⎟ ⎠

    ⎞ ⎜⎜ ⎝

    ⎛ += implique que : , soit 3c

    2 gyq = 3 2c g/qy =

    Par élimination de q, il vient que :

    c2 c

    3 c

    c2 c

    2

    c 2

    ccc y2 3

    gy2 gy

    y y q

    g2 1yg2/VyE =+=+=+=

    De même en supposant que b = 1, q = yV = yc.Vc et :

    3

  • Canaux à surface libre et ressaut : compléments et exercices – LPAIL3S5 – Année 2010-2011 - Daniel Huilier

    g Vy

    g qy

    2 c

    2 c

    2 3 c == , soit cc gyV = et 2

    y g2

    V c 2 c =

    En d’autres termes, le régime critique (de profondeur critique) correspond à un nombre de Froude égal à l’unité :

    1== c

    c C gy

    V Fr , où cgy est une vitesse de propagation des ondes de surface en eau peu

    profonde (voir les enseignements multimédias sur le sujet, ceux d’Olivier Thual/Toulouse par exemple) Cas des canaux libres non rectangulaires :

    Dans ce cas, 'b

    A g

    Q 3c 2

    =

    où b’ est la largeur de la surface libre et Ac la surface critique. On peut réarranger la formule précédente en divisant par , ce qui donne (en se rappelant que 2cA cc A.VQ = ) :

    'b A

    g V c

    2 c = , soit encore mcc gy'b/gAV ==

    Où le rapport Ac/b’ représente une hauteur/profondeur moyenne ym. Démonstration :

    2 2

    A Q

    g2 1yg2/VyE ⎟

    ⎠ ⎞

    ⎜ ⎝ ⎛+=+=

    Pour un débit constant et comme l’aire A est une fonction de la hauteur y ( A = A(y)),

    0 dy dA.

    gA Q1

    dy dA.

    A 2

    g2 Q1

    dy dE

    3

    2

    3

    2

    =−=⎟⎟ ⎠

    ⎞ ⎜⎜ ⎝

    ⎛ −+=

    La variation élémentaire dA = b’.dy. Par substitution dans l’équation précédente, il vient que :

    1 gA

    'bQ 3 c

    2

    = , soit encore 'b

    A g

    Q 3c 2

    = .

    C’est cette équation qui doit être satisfaite dans le cas des écoulements critiques dans les

    canaux libres. Le problème qui se pose est que le dernier terme de droite 'b

    A3c est une fonction

    de la hauteur y et seule une méthode d’essai (dite trial & error) permet de déterminer yc. En divisant Q2 par , en terme de vitesse moyenne2cA cc A/QA/QVV === , on obtient :

    'b A

    g V c

    2 c = , soit encore 'b/gAV cc =

    Si l’on suppose que le rapport Ac/b’ représente une hauteur/profondeur moyenne ym , alors :

    4

  • Canaux à surface libre et ressaut : compléments et exercices – LPAIL3S5 – Année 2010-2011 - Daniel Huilier

    mgyA'b/gAAQ ==

    et le cas critique donne : mcc gy'b/gAV == , soit encore 1gy V

    m

    2 c =

    L’énergie spécifique minimale devient alors :

    mc 2 ccmin y2

    1yg2/VyE +=+=

    Pour un canal rectangulaire on a évidemment cc y'bA = et l’on retrouve (avec ) le résultat plus classique

    mc yy =

    cc y2 3E = , cc gyV = et 2

    y g2

    V c 2 c =

    En général pour un écoulement proche du régime critique, une instabilité de surface ondulatoire (rippling) indésirable apparaît, et le design des canaux libres doit éviter ce régime, mais comment le débit n’est pas toujours stable, il constitu

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