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Canaux à surface libre et ressaut : compléments et exercices – LPAIL3S5 – Année 2010-2011 - Daniel Huilier

Compléments sur les écoulements à surface libre (en canaux)

et les ressauts hydrauliques. Ecoulement permanent uniforme Ecoulement permanent/stationnaire : en un point de l’écoulement les caractéristiques ne dépendent pas du temps, soit : ,....0t/y,0t/V =∂∂=∂∂ Ecoulement uniforme : la profondeur y, la pente S, la vitesseV, la section A restent constants le long d’une longueur donnée de canal L, soit ,....0L/y,0L/V =∂∂=∂∂ Dans le cas spécial des écoulements uniformes stationnaires, la ligne d’énergie et de charge sont parallèles au fond du canal (leurs pentes sont identiques) Ecoulement laminaire Comme pour les écoulements en conduites, l’écoulement est laminaire pour des nombres de Reynolds de moins de 2000, mais peut le rester jusqu’à des nombres de Reynolds de 10000. Pour un canal ouvert, on définira le nombre de Reynolds par :

ν=

RV4Re où R est le rayon hydraulique (Surface A divisée par le périmètre mouillé), V la

vitesse de l’écoulement et ν la viscosité cinématique (pour une conduite cylindrique, le diamètre D vaut 4R, R étant le rayon hydraulique et pour une section cylindrique totalement mouillée, le rayon hydraulique vaut D/4, ce qui est cohérent). Formule de Chezy pour les écoulements permanents uniformes La vitesse d’écoulement V en canal est donnée par la loi de Chezy (1768):

RSCV = où

- V = vitesse moyenne - C = Coefficient à préciser (en us et en SI en ) s/m 2/1

- R = rayon hydraulique - S = pente de la ligne d’énergie

Lois traditionnelles (en unités anglo-saxonnes , foot et en SI) :

fg8C = (valable en SI, f est sans dimension)

6/1Rn486.1C = (en us), 6/1R

n0.1C = (en SI) (Manning, 1895)

(n est considéré sans dimension, bien que non vrai, en principe ( ) et les valeurs données dans les tables SI ou anglo-saxonnes sont les mêmes)

3/1m/s

R/m16.157C

+= (en us),

R/m1956.86C

+= (en SI) (Bazin)

1


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

++=

S00281.065.41

Rn1

n811.1

S00281.065.41

C (en us), ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

++=

S00155.023

Rn1

n1

S00155.023

C (en SI) (Kutter)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

+−=RRe

Clog.42C (en us), ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

+−=RRe

Cx811.1log.20.23C 10 (Powell)

où n et m sont des facteurs de rugosité du canal. Débit volumique Pour un écoulement permanent uniforme, en termes de formule de Manning et en système international :

2/13/2 SRn0.1AAVQ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

Perte de charge (pente S) avec la formule de Manning

2

3/2L

R0.1n.V

LhS ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡== , la perte de charge en hauteur étant hL

Distribution verticale de vitesse La distribution verticale de vitesse v(y) peut être supposée parabolique pour des écoulements laminaires et logarithmique pour des écoulements turbulents. Pour un écoulement laminaire dans des canaux ouverts larges de profondeur moyenne , la distribution de vitesse est donnée par :

my

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ν= 2

m y21yygS)y(v , soit encore ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

μρ

= 2m y

21yygS)y(v

La vitesse moyenne V est donnée par :

ν=

3gSyV

2m ,

μρ

=3

gSyV

2m

Démonstration :

∫∫ ∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

=

−μρ====

)dzy(dydz

dydz)2/yyy()/g(

dA

da)y(v

dA

dQ

AQV

m

2m

( )∫ μρ

=−μρ

= my

0

2m2

mm 3

gSydy2/yyydzy

gSdzV

Pour un écoulement turbulent dans des canaux ouverts larges de profondeur moyenne , la distribution de vitesse est donnée par :

my

2


)y/yln(./5.2)y(v 00 ρτ= , soit encore )y/ylog(./75.5)y(v 00 ρτ= où est la contrainte pariétale s’exerçant essentiellement au fond du canal et est la référence locale du fond suivant la verticale (donc fonction de x) (ceci se démontre dans un cours de turbulence et est associé à la couche limite, théorie de von Karman…)

0τ 0y

Energie spécifique (E) On définit l’énergie spécifique E par l’énergie par unité de poids relativement au fond du canal ouvert : E = profondeur + énergie cinétique équivalente

g2/VyE 2+= Une expression plus exacte serait de corriger l’énergie cinétique d’un facteur de correction α. En termes de débit volumique q par unité de largeur de canal, la largeur du canal étant b (q = Q/b), il vient que :

2)y/q(g21yE +=

)yEy(g2q 32 −=

Pour un écoulement uniforme, l’énergie spécifique est conservée d’une section à l’autre. Dans le cas d’un écoulement non-uniforme, l’énergie spécifique peut croître ou décroître le long du canal. Profondeur critique La profondeur critique yc d’un écoulement à flux constant q dans un canal rectangulaire est donnée pour une énergie spécifique minimale. Dans ce cas :

gV

E32g/qy

2c

c3 2

c ===

Démonstration 22

2

yq

g21y

yb/Q

g21yg2/VyE ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

0gyq1

yq

g21y

dyd

dydE

3

22

=−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= implique que : , soit 3

c2 gyq = 3 2

c g/qy =

Par élimination de q, il vient que :

c2c

3c

c2c

2

c2

ccc y23

gy2gy

yyq

g21yg2/VyE =+=+=+=

De même en supposant que b = 1, q = yV = yc.Vc et :

3


gVy

gqy

2c

2c

23c == , soit cc gyV = et

2y

g2V c

2c =

En d’autres termes, le régime critique (de profondeur critique) correspond à un nombre de Froude égal à l’unité :

1==c

cC gy

VFr , où cgy est une vitesse de propagation des ondes de surface en eau peu

profonde (voir les enseignements multimédias sur le sujet, ceux d’Olivier Thual/Toulouse par exemple) Cas des canaux libres non rectangulaires :

Dans ce cas, 'b

Ag

Q 3c

2

=

où b’ est la largeur de la surface libre et Ac la surface critique. On peut réarranger la formule précédente en divisant par , ce qui donne (en se rappelant que 2

cA cc A.VQ = ) :

'bA

gV c

2c = , soit encore mcc gy'b/gAV ==

Où le rapport Ac/b’ représente une hauteur/profondeur moyenne ym. Démonstration :

22

AQ

g21yg2/VyE ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=+=

Pour un débit constant et comme l’aire A est une fonction de la hauteur y ( A = A(y)),

0dydA.

gAQ1

dydA.

A2

g2Q1

dydE

3

2

3

2

=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

La variation élémentaire dA = b’.dy. Par substitution dans l’équation précédente, il vient que :

1gA

'bQ3c

2

= , soit encore 'b

Ag

Q 3c

2

= .

C’est cette équation qui doit être satisfaite dans le cas des écoulements critiques dans les

canaux libres. Le problème qui se pose est que le dernier terme de droite 'b

A3c est une fonction

de la hauteur y et seule une méthode d’essai (dite trial & error) permet de déterminer yc.

En divisant Q2 par , en terme de vitesse moyenne2cA cc A/QA/QVV === , on obtient :

'bA

gV c

2c = , soit encore 'b/gAV cc =

Si l’on suppose que le rapport Ac/b’ représente une hauteur/profondeur moyenne ym , alors :

4


mgyA'b/gAAQ ==

et le cas critique donne : mcc gy'b/gAV == , soit encore 1gyV

m

2c =

L’énergie spécifique minimale devient alors :

mc2ccmin y

21yg2/VyE +=+=

Pour un canal rectangulaire on a évidemment cc y'bA = et l’on retrouve (avec ) le résultat plus classique

mc yy =

cc y23E = , cc gyV = et

2y

g2V c

2c =

En général pour un écoulement proche du régime critique, une instabilité de surface ondulatoire (rippling) indésirable apparaît, et le design des canaux libres doit éviter ce régime, mais comment le débit n’est pas toujours stable, il constitue un paramètre qui peut contrôler ou influencer le régime. Diagrammes d’écoulement à débit Q ou à énergie spécifique E constante

Expression du débit unitaire (b = 1) pour un canal rectangulaire d’énergie spécifique E imposée, application au régime critique :

On part des expressions 2)y/q(g21yE += , 2/132 )yE(g2y)yEy(g2q −=−=

On dérive la dernière équation par rapport à y et on en détermine le zéro (maximalisation) ; on obtient alors :

E32yc = , soit encore : 3

c

3

c2max gyE

32gq =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= , soit 3

cmax gyq =

5


Récapitulation des caractéristiques de l’écoulement critique dans les canaux rectangulaires

(a) énergie spécifique minimale 3 2min g/q

23E =

(b) débit maximal 3

c3cmax E

32ggyq ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

(c) hauteur critique 3 22ccc g/qg/VE

32y ===

(d) nombre de Froude 1gy/VFr ccc == (e) écoulement torrentiel – supercritique dans le cas où Fr > 1 et 1y/y c <(f) écoulement fluvial – sous-critique dans le cas où Fr < 1 et 1y/y c >

Exercices d’application Exercice 1 : (Giles-Evett-Liu, 10.35) Un canal rectangulaire transporte 6 m3/s. Déterminez la profondeur et la vitesse critique pour une largeur de canal b de 3 (cas a) ou de 4 mètres (cas b). Dans le cas (b) , qu’elle est la pente qui va provoquer un écoulement critique si on prend comme coefficient de rugosité de Manning n = 0.020 ? (a) m742.081.9/)3/6(g/qy 3 23 2

c === , s/m70.2742.0x81.9gyV cc ===

(b) m612.081.9/)4/6(g/qy 3 23 2c === , s/m45.2612.0x81.9gyV cc ===

On sait que :

2/13/26/1c S.R

n0.1RS.R

n0.1RSCV ===

Dans le cas (b), on aura, sachant que la surface A = 4m x 0.612m et le périmètre mouillé P = 4m (fond) + 2 x 0.612 m (les deux côtés) = 5.224 m, et R = A/P :

2/13/2

S224.5

612.0x4020.00.145.2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= , soit S = 0.00660

Exercice 2 : (Giles-Evett-Liu, 10.10) De l’eau coule dans un canal rectangulaire ouvert, en béton, dont la largeur est de 12 m et la profondeur de 2.5 m ; la pente S du canal vaut 0.0028 ; trouver la vitesse et le débit de l’eau. On prendra pour une surface en béton n = 0.013

Par la loi de Manning, 2/13/2 S.Rn0.1RSCV ==

Le rayon hydraulique vaut : m765.1m5.2m12m5.2

)m12)(m5.2(R =++

=

La vitesse est alors : s/m945.5)0028.0()765.1(013.00.1V 2/13/2 ==

6


Le débit volumique correspondant est alors : s/m178)s/m945.5)(m12)(m5.2(AVQ 3=== On pourra vérifier que le nombre de Froude est supérieur à 1, de l’ordre de 1.2 Exercice 3 : (Giles-Evett-Liu, 10.13) Quel est le débit dans un canal rectangulaire de 1.22 m de large, revêtu de ciment (n = 0.015), ayant une pente de 4m pour 10000 m, si l’eau a une profondeur de 610 mm. Utiliser à la fois la loi de Kutter et celle de Manning. a) Solution de Kutter Le coefficient de Kutter est donné par :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

++=

S00155.023

Rn1

n1

S00155.023

C

Le rayon hydraulique est : m305.0m61.0m22.1m61.0

)m61.0)(m22.1(R =++

=

Le calcul du coefficient de Kutter donne : s/m1.54C 2/1=Le débit est alors :

s/m444.00004.0)m305.0()s/m54)(m61.0)(m22.1(RSACAVQ 32/1 ==== b) Solution de Manning

s/m45.0)0004.0()m305.0(015.01)m61.0)(m22.1(S.R

n0.1ARSACAVQ 32/13/22/13/2 =====

soit encore si on calcule le coefficient de Manning : s/m7.54Rn0.1C 2/16/1 == et

s/m45.00004.0)m305.0()s/m7.54)(m61.0)(m22.1(RSACAVQ 32/1 ==== Les 2 lois donnent des résultats identiques Exercice 4 : (Giles-Evett-Liu, 10.41) Le débit d’un canal rectangulaire (n = 0.012) de 4.6 m de large est de 11.3 m3/s quand la pente est de 1 m sur 100 m. L’écoulement est-il surcritique ou sous-critique ? Solution : Il faut raisonner par l’inverse en cherchant la pente critique du problème, si celle-ci est inférieure à 1/100, l’écoulement en question sera surcritique, sinon dans le cas contraire, l’écoulement sera sous-critique. On sait que dans les conditions critiques :

3cmax gyq = , soit s/m456.2

m6.4s/m3.11q 2

3

max == et la hauteur critique sera :

m851.081.9/)456.2(g/qy 3 23 2maxc ===

On peut alors déterminer la pente critique pour la profondeur critique venant d’être calculée et ce à l’aide de la relation de Chezy-Manning :

7


2/1

c3/2 SR

n1AQ =

2/13/2

3 S)m851.0(2m6.4

)m851.0)(m6.4(012.00.1)m851.0)(m6.4(s/m3.11 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Soit . Cette pente critique est inférieure à 0.01, pente effective, donc l’écoulement sera torrentiel (surcritique).

0023.0Sc =

Exercice 5 : (Giles-Evett-Liu, 10.55) Un canal rectangulaire, de 6.1 m de large, transporte 11.3 m3/s d’eau et les déverse sur un tablier de 6.1 m de large sans pente avec une vitesse moyenne de 6.1 m/s provocant un ressaut hydraulique ; quel est la hauteur de ce ressaut ? quelle est l’énergie absorbée (perdue) par le ressaut ? Remarque : Le ressaut est un dissipateur d’énergie. Lorsqu’on effectue la conception de bassins de tranquillisation (stabilisation) de ressauts, la connaissance de la longueur du ressaut et de la profondeur aval y2 est importante. Il y a en général bonne dissipation d’énergie quand en amont, les conditions vérifient

80à20gyV

1

21 ≈

Rappel : (revoir le cours sur le ressaut, avec comme notations y = h) Si on considère un débit par unité de largeur 2211 yVyVq == , on sait que :

)yy(yy21

gq

2121

2

+=

Solution : Les conditions amont sont :

s/m1.6V1 = , s/m85.1)m1.6/()s/m3.11(q 23 ==m303.01.6/85.1V/qy 11 ===

Les conditions aval sont à calculer, sachant que la hauteur aval vérifie une équation en y2 du 2ème degré :

)yy(yy21

gq

2121

2

+= , )y303.0(y)303.0(21

81.9)85.1(

22

2

+= , soit

222 y152.0y045.0349.0 +=

Les solutions sont : - 1.67 m et + 1.37 m. On ne retiendra évidemment que la solution positive : . m37.1y2 = La hauteur du ressaut sera alors : 1.37 m – 0.303 m = 1.07 m Encore faut-il vérifier qu’il y a ressaut : la hauteur critique est donnée par

m70.081.9/)85.1(g/qy 3 23 2c === > y1

Par conséquent l’écoulement en amont est bien surcritique (torrentiel) à hauteur 0.303 m et l’écoulement en aval est sous-critique à hauteur 1.37 m.

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Perte énergétique :

En amont : msmx

smmg

Vyyqg

yE 2.2/81.92)/1.6(303.0

2)/(

21

2

221

12

111 =+=+=+=

Le nombre de Froude amont vaut : 54.3303.081.9

1.6

1

11 ===

xgyUFr

En aval la vitesse vaut ( ) s/m35.1)37.1)(1.6(/3.11)y.b/(QV 22 ===

Le nombre de Froude aval vaut : 37.037.181.9

35.1

2

22 ===

xgyUFr

msmx

smmg

Vyyqg

yE 46.1/81.92)/35.1(37.1

2)/(

21

2

222

22

222 =+=+=+=

La perte d’énergie par unité de temps (puissance dissipée) est donnée par :

kW9.81)m46.1m2.2)(s/m3.11)(s/m81.9)(m/kg10(H.gQP 3233 =−=Δρ= sachant que ρgQ est le flux massique et 21 EEH −=Δ Annexe : Démonstration de la formule de Chezy On considère le volume de contrôle de liquide ABCD et l’on fait un bilan de quantité de mouvement (équations de la dynamique) en écoulement uniforme permanent.

Si on fait le bilan dans la direction X+, inclinée d’un angle θ par rapport à l’horizontale : Force sur la surface AD – force sur la surface BC + W.sinθ – forces visqueuses = 0

0Lpsin.gALhgAhgA 0 =τ−θρ+ρ−ρ

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où p est le périmètre mouillée, la contrainte visqueuse de paroi τ0 s’appliquant sur la surface mouillée Lp. Par suite :

Lpsin.gAL 0τ=θρ , gRSsingRpsingA

0 ρ=θρ=θρ

=τ

sachant qu’on assimile S = tg(θ) à sin(θ) pour de faibles angles, que le périmètre hydraulique R = A/p. Par ailleurs, on définit pour un écoulement en conduite le coefficient de frottement f par le biais de :

8/Vf 20 ρ=τ , il vient que : RSCRS)f/g8(V ==

Soit fg8C = (valable en SI, f est sans dimension)

Si l’écoulement est laminaire, f est de l’ordre de 64/Re et on aura : C = Re)64/g8(

Ecoulement à surface libre dans les conduites circulaires

Sections droites les plus efficaces La section droite la plus efficace d’un canal ouvert est celle qui a la plus grande capacité, pour une pente, une aire et un coefficient de rugosité donnés. Si ces paramètres demeurent constants, la vitesse (et donc le débit) sera maximale quand le périmètre mouillé sera minimal. En se basant sur ces principes, la section droite la plus efficace peut être déterminée pour quelques formes courantes.

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La plus efficace de toutes les sections est le demi-cercle (a) qui a le plus faible périmètre mouillé pour une aire donnée. Pour une section rectangulaire (b), la plus efficace a une profondeur égale à la moitié de la largeur. Pour une section trapézoïdale, la plus efficace est celle du demi-hexagone régulier (côtés égaux et angles intérieurs de 120°). Pour une section triangulaire (c), la plus efficace a une pente égale à 1 (angle des côtés = 90°). Toutes ces sections sont rassemblées dans la figure ci-dessus. Exercice d’application : Canal trapézoïdal

L’examen de la formule de Chezy RSCV = indique que pour une surface de la section transverse et une pente donnée S, le débit d’un canal de rugosité donnée sera maximal quand le rayon hydraulique est maximal. Il s’ensuit que le rayon hydraulique va être maximum quand le périmètre mouillé est minimum. On a :

( θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= tg.yy

212byA ) où θ−= tg.yy/Ab

θ+= cos/y2bp , soit encore θ+θ−= cos/y2tg.yy/Ap

En déterminant le zéro (maximum) de p par rapport à y, on obtient :

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0cos

2tgyA

dydp

2 =θ

+θ−−= , soit 2ytgcos

2A ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−

θ=

D’où : 2y

cosy2tg.yy/ytg

cos2

ytgcos

2

pAR

2

2

MAXIMAL =

θ+θ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−

θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−

θ==

(1) pour un canal rectangulaire (θ=0°), A = 2y2 et aussi A = by, ceci donne y = b/2 ; en

plus R = y/2. Ainsi la meilleure profondeur est égale à la moitié de la largeur, avec le rayon hydraulique égal à la moitié de la profondeur.

(2) Pour tous les canaux en forme de trapèze, on obtient une meilleure section hydraulique pour R = y/2. La section symétrique est un demi-hexagone.

(3) Le cercle a le plus petit périmètre pour une surface donnée. Un canal ouvert en demi-cercle aura un débit d’eau supérieur à n’importe quel autre (pour la même surface, même pente et même facteur n).

Exercice d’application Déterminez (a) quelle doit être la section optimale d’un canal en forme de trapèze, n = 0.025, devant transporter 12.7 m3/s. Pour éviter l’érosion, la vitesse ne doit pas dépasser 0.91 m/s et les côtés doivent avoir une pente de ½ ( )5/1cos =θ . (b) Quelle doit être la pente S du canal ? Solution

5y2b

)y2(2y2by

A2yR

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=ρ

== , ou y45y2b −= (1)

2y2by91.0/7.12V/QA +=== ou (2) y/)y285.13(b 2−=

En égalant (1) et (2), nous obtenons y = 2.37 m. Reportant dans (2), on obtient b = 1.1 m, pour ce trapèze, y = 2.37 m et b = 1.1 m Avec la loi de Manning :

2/13/2 SR)n/1(V = , , soit S = 0.00042 2/13/2 S)2/37.2)(025.0/1(91.0 =

Sources diverses : Cours de l’EPFL

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