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COMPORTAMENTO E CAPACIDADE RESISTENTE DE COLUNAS
DE AÇO SEHS
Tiago Figueiredo Diogo Pires
Dissertação para obtenção do grau de mestre em
Engenharia Civil
Júri
Presidente: Prof. Fernando Manuel Fernandes Simões
Orientador: Prof. Nuno Miguel Rosa Pereira Silvestre
Vogal: Prof. Nuno Filipe Ferreira Soares Borges Lopes
Julho 2012
Ao Avô Neca
Guia dos meus princípios
- iii -
AGRADECIMENTOS
Ao Professor Nuno Silvestre que, para além dos conhecimentos transmitidos, manteve uma total
disponibilidade, paciência e amizade no desenvolvimento deste trabalho. Uma inspiração na
procura de novos conhecimentos e na vontade de inovar.
- v -
RESUMO
Nesta dissertação pretende-se avaliar a capacidade resistente de perfis metálicos
tubulares ocos com forma semi-eliptica (“semi-elliptical hollow section” - SEHS) sujeitos a
compressão pura. As secções tubulares existentes no mercado tem uma característica em comum,
i.e., têm todas as paredes com a mesma forma: (i) as secções RHS (“rectangular HS”) e SHS
(“square HS”) têm todas as paredes planas e (ii) as secções CHS (“circular HS”) e EHS (“elliptical
HS”) têm todas as paredes curvas. A secção SEHS apresenta pela primeira vez e em simultâneo
uma parede plana e uma zona curva. O presente trabalho pretende averiguar a estabilidade destes
elementos planos e curvos, quer em regime elástico e de pré-encurvadura, quer em regime elasto-
plástico e de pós-encurvadura. Utilizam-se diferentes colunas com secção SEHS actualmente
disponíveis no mercado e procede-se à sua análise numérica utilizando o método das faixas finitas
(MFF) e método dos elementos finitos (MEF). No primeiro caso (MFF), utiliza-se o programa
CUFSM e obtêm-se as curvas de estabilidade de diversas secções SEHS, os modos críticos de
encurvadura e as respectivas cargas críticas. No segundo caso (MEF), recorre-se ao programa de
cálculo automático ABAQUS, efectuam-se análises não lineares de estabilidade a colunas com
diferentes comprimentos e secções transversais, e avalia-se o seu comportamento de pós-
encurvadura, mecanismos de colapso e os diferentes parâmetros que os influenciam. Tendo por
base os resultados alcançados por métodos numéricos, avalia-se a adequabilidade dos
regulamentos em vigor, em particular o Eurocódigo 3, como meio de dimensionamento de colunas
com as características estudadas. Finalmente, descrevem-se algumas recomendações
preliminares de dimensionamento de colunas SEHS.
Palavras-Chave: Encurvadura, Secção Semi-eliptica ocâ, Resistência última, Estruturas tubulares,
CUFSM.
- vi -
ABSTRACT
The aim of this thesis is to assess the ultimate resistance of steel semi-elliptical hollow sections
(SEHS) subjected to pure compression. The tube sections available in the market have a common
characteristic, i.e., they all have walls with similar shapes: (i) the RHS sections (“rectangular HS”)
and SHS (“square HS”) all have flat walls and (ii) the CHS sections (“circular HS”) and EHS
(“elliptical HS”) all have curved walls. For the first time, the SEHS section simultaneously presents a
flat and a curved wall. The aim of this work is to ascertain the stability of flat and curved elements,
both elastic and pre-buckling and in elastic-plastic and post-buckling. Different columns with SEHS
section currently available on the market are used and numerical analysis is carried out using the
Finite Strip Method (FFM) and the finite element method (FEM). In the first case (FFM), software
CUFSM is used and buckling curves, critical buckling modes and respective critical loads are
obtained for the various SEHS sections. In the second case (FEM), the finite element package
ABAQUS is used, nonlinear buckling analysis is carried out on columns of different lengths and
cross sections, and they are assessed for their post-buckling behaviour, collapse mechanisms and
the different parameters that influence them. Based on the results obtained by numerical methods,
the suitability of Eurocode 3 rules is studied. Finally, some preliminary recommendations regarding
SEHS column design are described.
.
Keywords: Buckling, semi-elliptical hollow section, ultimate resistance, tubular structures, CUFSM
- vii -
ÍNDICE
1. Introdução .................................................................................................................................... 1
1.1 Estruturas Tubulares ........................................................................................................... 1
1.2 Âmbito do trabalho .............................................................................................................. 4
1.3 Organização do trabalho ..................................................................................................... 6
2. Estabilidade de Estruturas de Parede Fina ................................................................................. 9
2.1 Introdução ............................................................................................................................ 9
2.2 Conceitos Gerais de Estabilidade Estrutural ..................................................................... 10
2.3 Instabilidade Local ............................................................................................................. 13
2.4 O Método das Faixas Finitas ............................................................................................. 19
2.5 Comportamento de Estabilidade das Colunas SEHS ....................................................... 24
2.6 Estudo Paramétrico ........................................................................................................... 28
3. Comportamento Não Linear e Resistência Última de Colunas SEHS ...................................... 32
3.1 Introdução .......................................................................................................................... 32
3.2. Modelo de elementos finitos de casca .............................................................................. 32
3.2.1. Tipo e Malha de Elementos Finitos ........................................................................... 34
3.2.2. Condições de Apoio e Carregamento ....................................................................... 34
3.2.3. Caracterização do Aço .............................................................................................. 35
3.2.4. Imperfeições geométricas iniciais e tensões residuais ............................................. 35
3.2.5. Tipos de análise ........................................................................................................ 36
3.3. Comportamento de Estabilidade ....................................................................................... 37
3.4. Resistência Última ............................................................................................................. 41
3.4.1. Considerações Gerais ............................................................................................... 41
3.4.2. Mecanismo de colapso I ............................................................................................ 42
3.4.5. Síntese e discussão de resultados ............................................................................ 57
4. Dimensionamento de Colunas SEHS de Acordo com o EC3 .................................................... 62
4.1. Regras para determinação da resistência das secções a tensões normais ..................... 62
4.1.1. EN 1993-1-1 .............................................................................................................. 62
4.1.2. EN 1993-1-5 .............................................................................................................. 70
4.1.3. EN 1993-1-6 .............................................................................................................. 75
4.2. Dimensionamento de uma Coluna SEHS de Referência.................................................. 81
4.3. Estudo Paramétrico ........................................................................................................... 85
5. Conclusão .................................................................................................................................. 89
6. Referências Bibliográficas ......................................................................................................... 91
ANEXO A - Utilização do programa CUFSM .................................................................................... 94
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 - Ponte Ferroviária Firth of Forth (1882-1890), Edimburgo ............................................... 1
Figura 1.2 - a) Torre de vigia desenhada por Graham Bell (1907); b) Sistema de ligação nodal em
treliças tridimensionais - MERO; c) Centro de exposições George Pompidou (1976), Paris ............. 3
Figura 1.3 - Exemplos da adaptabilidade das estruturas tubulares a diferentes formas
arquitectónicas; à esquerda: Centro de exposições, Sevilha; ao centro: Aeroporto de Kanzai,
Osaka; à direita: Torre Vasco da Gama, Lisboa. ................................................................................ 4
Figura 1.4 - Coluna em dupla secção elíptica e pormenor da ligação de base - Aeroporto de
Barajas, Madrid. .................................................................................................................................. 5
Figura 2.1 - Elementos com secção SEHS ("Semi-Elliptical Hollow Section") ................................... 9
Figura 2.2 - Trajectória de equilíbrio associada a instabilidade por ponto limite (“snap-through”)
(Reis & Camotim, 2000). ................................................................................................................... 10
Figura 2.3 - – Estruturas sujeitas a instabilidade por ponto limite (“snap-through”): (a) arco abatido
(h/l <<1); (b) calote esférica (Reis & Camotim, 2000) ....................................................................... 11
Figura 2.4 - Instabilidade bifurcacional. ............................................................................................ 12
Figura 2.5 - Instabilidade local de uma coluna tubular SHS. ............................................................ 14
Figura 2.6 - Variação dos coeficientes de encurvadura com a relação a/b. (Reis & Camotim, 2000).
........................................................................................................................................................... 15
Figura 2.7 - Modo de instabilidade de uma placa longa (Silvestre & Camotim, 2006). .................... 15
Figura 2.8- Limites de comportamento das secções EHS ("Elliptic Hollow Section"). ..................... 16
Figura 2.9 - Configurações de encurvadura de secções CHS (retirada de (Allen & Bulson, 1980)) 17
Figura 2.10 - Descretização das faixas finitas, deslocamentos independentes e carregamento
genérico aplicado. ............................................................................................................................. 19
Figura 2.11 – Curva de estabilidade de uma coluna com secção em C obtida utilizando o MFF. ... 23
Figura 2.12 - Geometria de uma secção SEHS. ............................................................................... 24
Figura 2.13 - Curva de estabilidade da secção SEHS com dimensões 276x252x5. ........................ 25
Figura 2.14 - Modos de encurvadura da secção SEHS com dimensões 252x276x5: a) MLP, b)
Modo Crítico de Encurvadura; c) Modo Misto; d) MD; e) Modo Misto; f) MG. .................................. 27
Figura 2.15 - Variação da carga crítica (Pcr) com o comprimento (L) da coluna SEHS. .................. 28
Figura 2.16- Curvas de estabilidade das colunas SEHS. ................................................................. 29
Figura 2.17 - Curvas de variação da carga crítica Pcr com o comprimento L das colunas SEHS. ... 30
Figura 3.1- Modo crítico de instabilidade da coluna SEHS 252x276x5 com L=1500 mm. ............... 38
Figura 3.2 - Modo crítico de instabilidade da coluna SEHS 252x276x5 com L=2500 mm. .............. 38
Figura 3.3 - Modo crítico de instabilidade da coluna SEHS 252x276x5 com L=7500 mm. .............. 38
Figura 3.4 - Modo crítico local da coluna SEHS 252x276x5 (L=1500 mm) ...................................... 39
Figura 3.5 – Curva de estabilidade da tipologia de coluna SEHS 252x276x5 ................................. 39
- ix -
Figura 3.6 - Comportamento de pós-encurvadura de elemento tipo placa, casca e coluna. ........... 41
Figura 3.7 - Curvas carga-deslocamento axial das colunas com L=1500 mm. ................................ 43
Figura 3.8 - Curvas carga-deslocamento axial das colunas com L=2500 mm ................................. 43
Figura 3.9 - Mecanismo de colapso da coluna com 2500mm e secção SEHS de dimensões
280x322x5. ........................................................................................................................................ 44
Figura 3.10 - Trajectória carga-deslocamentoo axial da coluna com 2500 mm de comprimento,
secção SEHS 252x276x5 e fy=750MPa. ........................................................................................... 46
Figura 3.11 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto A (=3.8; P/Pcr=0.87). .................. 47
Figura 3.12 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto B (=6.85; P/Pcr =1.48). ............... 47
Figura 3.13 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto C (=8.01; P/Pcr =1.66). ............... 47
Figura 3.14 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto D (=8.61; P/Pcr =1.27). ............... 47
Figura 3.15 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto E (=14.6; P/Pcr =0.82). ............... 47
Figura 3.16 - Curvas carga-deslocamento axial para colunas com mecanismo de colapso tipo II e
L≤2500 mm ........................................................................................................................................ 49
Figura 3.17 - Curvas carga-deslocamento axial para colunas com mecanismo de colapso tipo II e
L> 2500 mm ...................................................................................................................................... 49
Figura 3.18 - Mecanismo de colapso da coluna com 10000 mm de comprimento e secção SEHS de
dimensões 324x375x6.3. .................................................................................................................. 50
Figura 3.19 - Mecanismo de colapso da coluna com 2500 mm de comprimento e secção SEHS de
dimensões 203x223x5. ..................................................................................................................... 51
Figura 3.20 - Distribuição de tensões no colapso da coluna com 10000 mm de comprimento e
secção SEHS de dimensões 324x375x6.3. ...................................................................................... 51
Figura 3.21 - Distribuição de tensões no colapso da coluna com 2500 mm comprimento e secção
SEHS de dimensões 203x223x5.0.................................................................................................... 51
Figura 3.22 - Distribuição de tensões no colapso da coluna com L=10000mm e secção SEHS de
dimensões 203x223x5.0 e e0=+10.0. ................................................................................................ 52
Figura 3.23 - Mecanismos de colapso e distribuição de tensões da coluna com 12000mm e secção
SEHS de dimensões 225x259x5....................................................................................................... 52
Figura 3.24 - - Trajectória carga-deslocamento axial da coluna com 6000mm de comprimento e
secção SEHS de dimensões 225x259x5 .......................................................................................... 53
Figura 3.25 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto A (8.09;0.687). ............................. 54
Figura 3.26 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto B (9.34;0.775). ............................. 54
Figura 3.27 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto C (9.03;0.725). ............................. 54
Figura 3.28 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto D (12.2;0.537). ............................. 54
Figura 3.29 - Curvas carga-deslocamento axial das colunas longas. .............................................. 56
Figura 3.30 - Deformada apresentada no colapso pela coluna com 20000mm de comprimento e
secção SEHS de dimensões 280x322x5.0. ...................................................................................... 56
- x -
Figura 3.31 - Distribuição de tensões no mecanismo de colapso da coluna com 20000mm de
comprimento e secção SEHS de dimensões 280x322x5.0. Em cima, tensões a meio vão; em baixo,
tensões no apoio. .............................................................................................................................. 57
Figura 3.32 – Variação de Pu/Py com – propriedades geométricas. .............................................. 60
Figura 3.33 - Variação de Pu/Py com λ – mecanismos de colapso. ................................................. 60
Figura 4.1 - Quadro B.1 da EN 1993-1-1, referente aos factores de interacção kij para elementos
não susceptíveis à deformação por torção. ...................................................................................... 67
Figura 4.2 - Quadro B.3 da EN 19931-1, referente aos coeficientes de momento uniforme
equivalente Cm. .................................................................................................................................. 68
Figura 4.3 - Conceito de largura efectiva (Silvestre & Camotim, 2006) ............................................ 70
Figura 4.4 - Seccção SEHS efectiva. 1- Eixo principal da secção "bruta"; 2- Eixo principal da
secção efectiva; 3- Zona não efectiva ............................................................................................... 72
Figura 4.5 - Curva de dimensionamento em função dos parâmetros α, β, η, e . ..................... 76
Figura 4.6 - Geometria de uma casca cilíndrica, suas tensões de membrana e respectivas tensões
resultantes. ........................................................................................................................................ 78
Figura 4.7 - Condições de fronteira consideradas. ........................................................................... 78
Figura 4.8 - Variação de Pu,numérico/Pu,EC3 com a esbelteza ……………………………………...………89
Figura A.1 - CUFSM. 1. "Load" e "Save"; 2. "Input"; 3. "Propreties"; 4. "Analysis"; 5. "Post"; 6.
"Zoom" e "Rotate"; 7. “Print”, “Copy” e “Reset”. ................................................................................ 95
Figura A.2 - Menu "Input". 1. Definição de Materiais; 2. Definição de nós; 3. Definição de
Elementos; 4. Semi-comprimentos de onda; 5. Controlo de Layout; 6. Layout ................................ 96
Figura A.3 - Menu "Properties". 1. Propriedades da Secção; 2. Descretização da Secção; 3.
Definição do carregamento; 4. Representação do carregamento. ................................................... 98
Figura A.4 - Menu "Post". 1. Opções da deformada a exibir. 2. Carregamento de Ficheiros 3.
Opções de curva de encurvadura a exibir. ....................................................................................... 99
Figura A.5 - Curvas de encurvadura analisadas com deformadas longitudinais de semi-onda
sinosoidal e onda sinosoidal completa. ........................................................................................... 100
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LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 - Propriedades geométricas e mecânicas da secção SEHS de dimensões
252x276x5.0. ..................................................................................................................................... 24
Tabela 2.2 - Propriedades geométricas e mecânicas das secções SEHS estudadas. .................... 29
Tabela 2.3 - Cargas e Semi-comprimentos de onda críticos das secções estudadas. .................... 29
Tabela 3.1- Geometria, tensão de cedência e amplitude da imperfeição adoptadas nos modelos de
elementos finitos das colunas SEHS. ............................................................................................... 33
Tabela 3.2 - Cargas críticas e nº de semi-ondas da coluna SEHS252x276x5 para vários
comprimentos L. ................................................................................................................................ 37
Tabela 3.3 - Comparação de resultados da ALE obtidos através do MEF e MFF ........................... 40
Tabela 3.4 - Carga última de resistência das colunas SEHS com mecanismo de colapso tipo I. ... 44
Tabela 3.5 - Carga última de resistência das colunas SEHS com mecanismo de colapso tipo II. .. 50
Tabela 3.6 - Carga última de resistência das colunas SEHS com mecanismo de colapso tipo III. . 57
Tabela 3.7 - Síntese de resultados das análises não lineares realizadas às colunas SEHS. .......... 59
Tabela 4.1 - Limites máximos das relações largura-espessura para a definição de classes para
componentes comprimidos. .............................................................................................................. 64
Tabela 4.2- Escolha da curva de dimensionamento em função da secção transversal (retirado do
(Quadro 6.2 da EN 19931-1). ............................................................................................................ 66
Tabela 4.3 - Factores de imperfeição para as curvas de dimensionamento. ................................... 66
Tabela 4.4 - Fórmulas para determinação da largura efectiva. ........................................................ 71
Tabela 4.5 – Expressões para a largura efectiva utilizada na determinação da secção efectiva das
colunas SEHS de Classe 4. .............................................................................................................. 73
Tabela 4.6 - Condições de Fronteira das colunas SEHS. ................................................................ 78
Tabela 4.7 - Quadro D.1 da EN 1993-1-6. Parâmetro Cxb. .............................................................. 79
Tabela 4.8 - Quadro D.2 da EN 1993-1-6. Valor do parâmetro de qualidade de fabrico Q.............. 80
Tabela 4.9 - Cálculo de χz, para as colunas com secção SEHS de dimensões 252x276x5. ........... 83
Tabela 4.10 - Cálculo de χy, para as colunas com secção SEHS de dimensões 252x276x5. ......... 83
Tabela 4.11 - Cálculo de Nrk e Nb,Rd. ................................................................................................. 83
Tabela 4.12 - Cargas últimas das colunas com secção SEHS de dimensões 252x276x5 aferidas
segundo o EC3-1.1. .......................................................................................................................... 84
Tabela 4.13 - Cálculo do raio equivalente da semi-elipse da secção SEHS com dimensões
252x276x5. ........................................................................................................................................ 84
Tabela 4.14 – Carga última de resistência das colunas SEHS obtida pelo EC3. ............................. 86
Tabela 4.15 - Síntese de resultados aferidos pela analise numérica e pelo EC3. ........................... 87
- xii -
LISTA DE SÍMBOLOS
Capitulo 2
Pcr carga crítica de bifurcação
L comprimento da coluna
σ tensão
P carga pontual
A área da secção transversal
σcr tensão critica de bifurcação
σb tensão de bifurcação
ν coeficiente de poisson em regime elástico
E modulo de elasticidade
t espessura de um secção
b largura de uma placa
n número de semi-ondas transversais num elemento
m número de semi-ondas longitudinais num elemento
a valor do semi-comprmnento de onda de um elemento
Km coeficiente de encurvadura
2a eixo maior de uma elipse
2b eixo menor de uma elipse
r raio de curvatura
w largura da placa (w=2a)
K* coeficiente de encurvadura de uma placa com os bordos encastrados
Cx factor de redução
Deq,EHS diâmetro equivalente de uma secção elíptica,.
υSD factor de redução que tem em conta a deformação por esforço transverso
Cx,EHS factor que entra em linha de conta com o comprimento da coluna
factor de correcção
u vector dos deslocamentos globais
ui, vi, wi, θi graus de liberdade no nó i no referencial local
d vector dos deslocamneto nodais
N função de aproximação
ԑm deformação de membrana (extensão no plano a uma placa)
ԑb deformação por flexão (extensão no plano perpendicular a uma placa)
ԑi extensão segundo a direcção i
ϒij distorção
U energia de deformação interna
- xiii -
ke matriz de rigidez elástica de uma faixa finita
kem matriz de rigidez elástica de uma faixa finita para o comportamento de membrana
keb matriz de rigidez elástica de uma faixa finita para o comportamento de flexão
G módulo de distorção
W energia potencial das forças exteriores
Ti carga i com distribuição linear
Ui, Vi ,Wi, θi graus de liberdade no nó i no referencial global
K matriz de rigidez elástica no referencial global
h altura da secção transversal
b largura da secção transversal
t espessura da secção transversal
M massa por metro linear de um elemento
Ii momento de inércia em relação ao eixo i
ii raio de giração em relação ao eixo i
Wel,i módulo de flexão elástico em relação ao eixo i
Wpl,i módulo de flexão plástico em relação ao eixo i
It constante de torção
dg posição do centro de massa da secção transversal no eixo y-y
Capitulo 3
e0 amplitude da imperfeição geométrica inicial de um elemento
fy tensão de cedência
Lcr comprimento crítico de uma coluna
δ deslocamento axial de uma coluna
esbelteza normalizada
Ppl carga plástica resistente de uma secção transversal
Pu carga última de uma coluna
Capitulo 4
E valor de calculo do esforço axial actuante
My,Ed valor de cálculo do momento flector actuante segundo o eixo y-y
Mz,Ed valor de cálculo do momento flector actuante segundo o eixo z-z
NRd esforço axial resistente
Mi,Rd momemto flector resistente segundo o eixo i
Aeff área efectiva de uma secção transversal
Weff,min modulo de flexão efectivo de uma secção transversal segundo o eixo considerado
γMi factor de segurança
- xiv -
ΔMEd momento adicional actuante provocado pela excentricidade en
eN afastamento entre os centros de gravidade da secção efectiva e bruta
Χ coeficiente de redução
α factor de imperfeição
χLT coeficiente de redução devido à encurvadura lateral
Φ valor para o calculo do coeficiente de redução χ
kij coeficiente de redução devido à encurvadura lateral
beff largura efectiva
ρ facotr de redução para a encurvadura de placas
ψ quociente entre a tensão máxima e mínima numa placa
Kσ coeficiente de encurvadura de uma placa
σcr tensão critica elástica de uma placa
σx,Rd tensão meridional resistente à encurvadura de uma casca
σθ,Rd tensão circunferencial resistente à encurvadura de uma casca
τxθ,Rd tensão de corte resistente à encurvadura de uma casca
σx,Rk tensão meridional característica de resistência à encurvadura de uma casca
σθ,Rk tensão circunferencial característica de resistência à encurvadura de uma casca
τxθ,Rk tensão de corte característica de resistência à encurvadura de uma casca
α parâmetro de imperfeição elástica de uma casca
β parâmetro associado à interacção entre a instabilidade e a cedência plástica de
uma casca
η expoente de interacção
Cx factor de instabilidade de uma casca
ω parâmetro adimensional
- 1 -
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1. ASD
As estruturas metálicas e mistas aço-betão concebidas, dimensionadas e executadas com
recurso a perfis tubulares são cada vez mais frequentes, devido principalmente ao grande e rápido
avanço tecnológico e regulamentar que tem ocorrido nesta área da engenharia. Em particular, e no
que diz respeito às ligações estruturais entre elementos, tem havido um grande avanço na última
década com o desenvolvimento de nós pré-fabricados para rápida montagem de estruturas
tubulares em obra (Zhao et al, 2010). Não pretendendo ser exaustivo, apresenta-se na secção 1.1
um resumo histórico sobre a utilização de elementos tubulares em soluções estruturais.
1.1 ESTRUTURAS TUBULARES
O inicio da utilização de perfis tubulares metálicos remonta há muitas décadas atrás. Foi
apenas em meados do séc. XIX, com a construção da Britannia Railway Bridge (1846-1850), que
foram aplicadas as primeiras secções rectangulares ocas, e com a construção Saltash Railway
Brigde (1853-1859), onde foi usada a primeira secção elíptica. Quarenta anos mais tarde as
secções tubulares circulares ocas foram utilizadas na estrutura da Firth of Forth Railway Bridge
(1882-1890) – Figura 1.1.
Figura 1.1 - Ponte Ferroviária Firth of Forth (1882-1890), Edimburgo
O desenvolvimento levado a cabo por Henry Cort, em 1793, na transformação do ferro em
ferro forjado, garantindo assim maior ductilidade e melhor comportamento à tracção permitiu a
moldagem de placas, varões, carris e outras secções abertas em processos contínuos de
produção, que em conjunto com o melhoramento das técnicas de rebitagem a quente permitiu o
aparecimento de estruturas metálicas de maior dimensão e complexidade. A revolução industrial
- 2 -
do início do séc. XIX veio possibilitar a utilização de estruturas de ferro em edifícios industriais,
estações de transporte ferroviário e pontes com maiores vãos, requerendo dos engenheiros e da
comunidade científica um desenvolvimento de formas estruturais mais económicas e resistentes.
Desta forma, as secções tubulares, nomeadamente de secções rectangulares construídas de
cantoneiras rebitadas e as secções circulares, estabeleceram-se como elementos de grandes
vantagens económicas e estruturais devido à elevada relação resistência / peso. Com o progresso
na produção em larga escala de aço na forma líquida, alcançado por Henri Bessemer e Siemens-
Martin, foi possível produzir peças de maiores dimensões do que as conseguidas com ferro forjado.
Por outro lado, com um controlo mais acentuado da quantidade de carbono na liga de aço, foi
possível garantir diferentes níveis de resistência e ductilidade dos aços estruturais. A produção de
perfis tubulares de aço com melhor qualidade revelou-se um grande impulso para a indústria
metalúrgica, terminando rapidamente com o uso do ferro na construção estrutural.
Como tem sido hábito na história da engenharia estrutural, muitas soluções vêm
readaptadas de vertentes da engenharia com maiores avanços tecnológicos, como a engenharia
aeronáutica ou aeroespacial. No que diz respeito aos perfis tubulares, sublinha-se a tentativa de
Alexander Graham Bell (1907) construir, a partir de uma treliça tridimensional em perfis tubulares,
uma asa leve e resistente para aviões. Falhada esta primeira tentativa, a ideia foi então pela
primeira vez aplicada com sucesso na construção de uma torre de vigia (Figura 1.2 a)) recorrendo
a nós de aço e a perfis tubulares de dimensões semelhantes. Outro dos pontos de viragem para a
indústria metalúrgica ocorreu nos anos 20. Entre 1890 e 1920, as ligações metálicas eram todas
aparafusadas ou rebitadas. A execução da primeira treliça com todas as ligações soldadas permitiu
divulgar, industrializar e posteriormente desenvolver novas técnicas de soldadura para a
construção metálica. O aparecimento de novas técnicas para execução de ligações soldadas teve
uma grande aceitação entre os engenheiros estruturais, já que permitiu a ligação total de uma
secção transversal de um tubo a outro tubo, promovendo a transmissão de forças de uma forma
mais directa e efectiva, reduzindo ao mesmo tempo o peso adicional das ligações aparafusadas.
Assim, o uso de treliças planas foi largamente adoptado em pontes ferroviárias e edifícios
industriais e outros com exigência de grandes vãos livres. Nas décadas seguintes, apesar do
surgimento do betão armado que atrasou consideravelmente o progresso da indústria metalúrgica,
conceberam-se formas estruturais que permitiram reduzir a quantidade de aço utilizado e
desenvolver formas de massificar a produção desse tipo de estruturas. Um desses exemplos,
desenvolvido na Alemanha em 1942 por Max Mengeringhausen, é o sistema “MERO” (Figura 1.2
b)), consistindo originalmente numa esfera de 18 furos com diferentes ângulos que possibiltam o
encaixe de um conjunto de barras de dimensões standard, as quais permitiam fabricar e erguer
uma treliça espacial rápida e facilmente. A partir dos anos 60 normalizaram-se as secções
tubulares rectangulares e circulares (RHS e CHS) que permitiram reduzir o problema geométrico
das ligações entre perfis tubulares. A expansão da indústria petrolífera proporcionou fundos e
meios para que a investigação incidente sobre as estruturas tubulares encontrasse soluções
- 3 -
viáveis que garantissem a qualidade na execução de plataformas offshore e a longevidade
(reabilitação) dessas estruturas. Nos anos 70, o centro de exposições George Pompidou (1976),
projectado por Renzo Piano e Richard Rogers, mostrou novas soluções estéticas e vanguardistas
baseadas em estruturas tubulares metálicas – Figura 1.2 c).
Figura 1.2 - a) Torre de vigia desenhada por Graham Bell (1907); b) Sistema de ligação nodal em treliças tridimensionais - MERO; c)
Centro de exposições George Pompidou (1976), Paris
Na actualidade, as estruturas tubulares continuam competitivas face ao mercado de
construção existente, tendendo a indústria metalúrgica a desenvolver soluções que satisfaçam
todos os intervenientes na concepção e execução, quer de edifícios industriais, habitacionais,
públicos, quer de obras de arte. Sumariamente, podem-se enumerar as principais vantagens das
estruturas metálicas, alcançadas da necessidade de evolução constante da indústria metalúrgica
para continuar competitiva no mercado da construção civil:
Tempo reduzido de fabrico/montagem das estruturas metálicas, devido à necessidade de
pré-fabricação das peças a montar em obra. Com a massificação do corte, furação e
soldadura automatizada o tempo de execução de estruturas metálicas tende a reduzir;
Qualidade de materiais e de execução garantida – a indústria metalúrgica cada vez está
sob um maior conjunto de normas (e.g. EN1090) que garantem a qualidade dos materiais,
do fabrico e da montagem da estrutura;
A elevada resistência do aço garante elevada esbelteza e transparência às estruturas,
nomeadamente, quando se recorre a formas estruturais envolvendo perfis tubulares
(treliças bidimensionais ou espaciais);
Garantida sustentabilidade da construção, com todos os elementos a poderem ser
reciclados terminado o tempo de vida útil da estrutura, e com desperdícios de construção
mínimos;
Facilidade de transporte e manuseio das estruturas devido ao seu reduzido peso;
Menores cargas transmitidas às fundações;
Boa resistência à corrosão quando tomadas medidas adequadas para o efeito.
a) b) c)
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Adicionalmente, as estruturas metálicas tubulares têm grandes vantagens
comparativamente às estruturas metálicas com perfis de secção aberta:
Possibilidade de vencer grandes vãos com sistemas estruturais do tipo treliça (plana ou
espacial), garantindo simultaneamente um reduzido peso próprio da estrutura;
Fabrico facilitado devido ao reduzido número de diferentes ligações, chapas de reforço e
cutelos necessários, comparativamente às estruturas com secções abertas;
Elevada resistência à compressão e flexão, devido à elevada resistência torsional que as
caracteriza, resistindo mais eficazmente a fenómenos de instabilidade local das secções
transversais;
Possibilidade de trabalharem como elementos mistos, quando preenchidas com betão;
Fácil adaptação estrutural a formas arquitectónicas inovadoras – Figura 1.3;
Devido ao menor número de arestas expostas que apresentam, os elementos tubulares
garantem uma maior resistência à corrosão.
Figura 1.3 - Exemplos da adaptabilidade das estruturas tubulares a diferentes formas arquitectónicas; à esquerda: Centro de exposições,
Sevilha; ao centro: Aeroporto de Kanzai, Osaka; à direita: Torre Vasco da Gama, Lisboa.
1.2 ÂMBITO DO TRABALHO
Nas últimas décadas, tem sido visível uma grande interacção entre os agentes da
arquitectura e da engenharia estrutural. De facto, grandes desafios do ponto de vista estrutural
passaram a ter uma estética (formas e volumes) arrojada. Em parte, tal é devido ao facto dos
arquitectos terem passado a ser parte activa no processo de desenvolvimento de novas formas e
sistemas estruturais. Assim, a qualidade estética das estruturas passou a ter grande importância,
desde logo com a eliminação de “arestas vivas” na estrutura e com concepção de estruturas com
configuração mais “ondulada” – ver Figura 1.3. Tal interacção ocorreu não apenas à macro escala
das estruturas mas também à escala dos seus componentes, i.e., elementos estruturais. Foi com
- 5 -
este objectivo que recentemente a indústria metalúrgica procurou responder às necessidades do
mercado arquitectónico desenvolvendo duas novas formas de perfis tubulares: os perfis EHS
(Elliptical Hollow Section – (Corus, 2004; Condesa, 2012) e os perfis SEHS (Semi-Elliptic Hollow
Section – Ancofer 2008).
Os perfis EHS têm sido adoptados em diversas estruturas onde os arquitectos pretendiam
expor a estrutura metálica de uma forma clara, como foi o caso, entre outros, do edifício Legends
Centre, Oshawa, no Ontario, e do Aeroporto de Barajas, em Madrid (Figura 1.4). Recentemente
têm sido desenvolvidas inúmeros estudos aos elementos em secção EHS em diferentes campos.
Bortolotti et al. (2003), Pietrapertosa & Jaspart (2003) e Willibald et al. (2006) aprofundaram o
estudo sobre as ligações entre perfis com secção elíptica. Zhao et al. (2007) e Roufegarinejad &
Bradford (2007) investigaram o comportamento misto das secções e elementos elípticos. No que
diz respeito à resistência da secção e de elementos estruturais, destacam-se os trabalhos
realizados por Gardner & Chan (2007, 2008, 2009), Silvestre (2008), Chan & Gardner (2008a,
2008b, 2009) e Silvestre & Gardner (2010; 2011). Alguns destes trabalhos baseiam-se em
investigações realizadas nas décadas de 50 e 60, por Marguerre (1951) e Kempner (1964; 1968),
os quais estudaram formas de obter a tensão crítica de encurvadura e o comportamento pós-crítico
de secções ovalizadas.
Figura 1.4 - Coluna em dupla secção elíptica e pormenor da ligação de base - Aeroporto de Barajas, Madrid.
Os perfis SEHS (ver Figura 1.5) estão a emergir no mercado de forma mais lenta. As
secções tubulares existentes no mercado tem uma característica em comum, i.e., têm todas as
paredes com a mesma forma: (i) as secções RHS (“rectangular HS”) e SHS (“square HS”) têm
todas as paredes planas e (ii) as secções CHS (“circular HS”) e EHS (“elliptical HS”) têm todas as
paredes curvas. A secção SEHS apresenta pela primeira vez e em simultâneo uma parede plana e
uma zona curva. Devido à sua parede plana, permitem estabelecer com maior facilidade ligações
com elementos de outras secções transversais. Para além das características típicas dos perfis
tubulares, têm excelentes características estruturais quando solicitados simultaneamente a
- 6 -
momentos segundo os eixos de menor e maior inércia da mesma ordem de grandeza, uma vez
que possuem módulos de flexão semelhantes segundo os dois eixos centrais principais de inércia.
Quando sujeitos a compressão, como qualquer outra coluna tubular, constituem uma solução
interessante. No entanto, a comunidade técnica e científica não tem dedicado muita atenção a esta
nova forma estrutural. A falta de investigação aprofundada e de métodos de dimensionamento
sobre os perfis SEHS leva os engenheiros estruturais a terem a necessidade de desenvolver
complexos e dispendiosos modelos de elementos finitos ou, recorrentemente, dimensionar estes
perfis de uma forma conservativa. No âmbito da resistência plástica de perfis SEHS, cita-se o
estudo desenvolvido por Nowzartash & Mohareb (2010) sobre as interacções plásticas que se
desenvolvem em perfis SEHS quando sujeitos a combinações de acções genéricas (flexão
desviada composta com esforço normal). Embora a investigação conduzida por estes autores seja
proveitosa quando se tratem de secções SEHS espessas, a realidade mostra que algumas
secções SEHS cormercializadas (Ancofer 2008) têm espessuras que estão longe de poderem ser
consideradas espessas. Por este motivo, a possibilidade de encurvarem localmente e não
atingirem a tensão de cedência do aço é bastante provável. Daí que seja necessário investigar as
secções SEHS quando submetidas a compressão.
Figura 1.5 - Elementos com secção SEHS ("Semi-Elliptical Hollow Section")
Esta dissertação pretende dar um contributo para o estudo da capacidade resistente de
colunas com secção SEHS sujeitas a compressão pura. Pretende-se analisar a estabilidade
elástica (tensões críticas e os modos de encurvadura) e investigar o comportamento elasto-plástico
de 2ª ordem, descrevendo a evolução de tensões até à formação do mecanismo de colapso e
avaliar a carga última do elemento estrutural. Pretende-se ainda averiguar se os actuais
regulamentos de estruturas metálicas, que não têm procedimentos específicos para estas secções
transversais, permitem um dimensionamento económico e seguro destas secções.
1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
No capítulo 1 sintetiza-se a evolução histórica das estruturas metálicas, em particular as
estruturas com elementos tubulares enquadrando-as no mercado da construção civil actual com a
- 7 -
enumeração das suas vantagens face a estruturas constituídas por outros materiais. Em seguida,
caracterizam-se os perfis SEHS e as suas propriedades que motivaram o desenvolvimento desta
dissertação. Termina-se o capítulo com um sumário dos diferentes capítulos desta dissertação.
No capítulo 2 aborda-se a estabilidade elástica linear de colunas com secção SEHS.
Investigam-se os modos de encurvadura que este tipo de secção apresenta identificando os seus
modos críticos e correspondentes cargas de bifurcação. Como é sabido, em colunas sujeitas a
compressão pura podem ocorrer fenómenos de instabilidade de natureza (i) local, com a
deformação localizada das paredes da secção transversal, (ii) global, com a deformação do eixo
axial da coluna, e (iii) mistos local-global, nos quais intervêm tantos fenómenos de encurvadura
local como global. Neste sentido, tenta-se perceber qual ou quais destes fenómenos condicionam a
estabilidade da coluna SEHS. Para estudar a estabilidade elástica linear das colunas SEHS,
procedem-se a análises lineares de estabilidade (ALE) com recurso ao software de cálculo
automático CUFSM (Schafer & Adány, 2006). Este permite discretizar a secção de parede fina em
faixas finitas e resolver um problema de valores e vectores próprios, tendo como input a geometria
da secção e o semi-comprimento de onda da coluna e como output as cargas de bifurcação e os
modos de encurvadura. Estabelecem-se as curva de estabilidade em função do semi-comprimento
de onda da coluna, Pb(a), e em função do comprimento da coluna, Pb(L), para secções SEHS
comercializadas (Ancofer, 2008). No Anexo A, apresenta-se um manual de utilização do programa
CUFSM para realização de ALE.
No capítulo 3 pretende-se averiguar a capacidade resistente das colunas SEHS, bem
como as trajectórias de pós-encurvadura e os mecanismos de colapso envolvidos. A partir de
modelos numéricos em que se discretizaram as colunas SEHS utilizando elementos finitos de
casca, estuda-se o comportamento elástico das colunas comparando os resultados dos elementos
finitos com os obtidos no capítulo anterior, a partir dos modelos numéricos discretizados por faixas
finitas. Para se determinar a trajectória de pós-encurvadura das colunas SEHS é necessário
introduzir variáveis não-lineares de forma a realizar uma análise não linear de estabilidade (ANL).
Assim, no estudo da capacidade última das colunas, analisam-se as colunas SEHS com recurso a
análises geométrica e fisicamente não lineares, isto é, introduzem-se imperfeições geométricas no
elemento e adoptam-se aços com uma relação constitutiva elasto-plástica bilinear. A resistência
última de elementos estruturais está geralmente associada aos tipos de mecanismos de colapso. O
colapso de elementos sujeitos a esforço axial (colunas) ocorre geralmente por (i) plastificação
completa de uma determinada secção; (ii) instabilidade e cedência localizada de uma secção e (iii)
por instabilidade global do elemento estrutural. Tais mecanismos são dependentes não só da
relação entre a carga plástica e a carga crítica de encurvadura, mas sobretudo do comprimento da
coluna.
No capítulo 4, apresentam-se as regras de dimensionamento e verificação de segurança
existentes no actual regulamento europeu de estruturas de aço (EN1993 - Eurocódigo 3) e
particulariza-se para o caso de elementos estruturais sujeitos a compressão pura. Em resumo,
- 8 -
apresentam-se as disposições da EN1993-1-1 (2010), onde se abordam as regras gerais de
dimensionamento de elementos de aço sujeitos a carregamentos genéricos, com maior incidência
em procedimentos específicos para edifícios. Em seguida, descrevem-se algumas disposições
relevantes da EN1993-1-5 (2006), a qual estabelece as regras para o dimensionamento de
estruturas e elementos estruturais do tipo placa, isto é, elementos laminares. Finalmente,
apresenta-se um resumo das disposições da EN1993-1-6 (2007), a qual apresenta procedimentos
específicos para aferir a resistência e a estabilidade de cascas curvas, ou seja elementos
laminares com curvaturas não nula. Uma vez que a secção SEHS apresenta uma zona plana e
uma zona curva, pretende-se averiguar qual destas normas pode aferir com algum rigor a
capacidade resistente destas secções, comparando os valores de dimensionamento com os
resultados obtidos numericamente.
Finalmente, no capítulo 5 descrevem-se as conclusões mais relevantes do trabalho
desenvolvido. Reflecte-se sobre os objectivos alcançados e a necessidade de aprofundamento
futuro de determinadas matérias relativas ao dimensionamento de perfis SEHS e sua utilização em
soluções estruturais.
- 9 -
CAPÍTULO 2
ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS DE PAREDE FINA
2. ESTABILIDADE
2.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo apresenta-se o estudo do comportamento elástico de colunas com secção
semi-elíptica oca (“SEHS”) com objectivo de identificar, definir e compreender os diferentes modos
de instabilidade, locais e globais, que estas secções apresentam. Para tal, efectuaram-se análises
de estabilidade a colunas com secções SEHS comercializadas por um fabricante de perfis
metálicos (Ancofer, 2008).
O capítulo inicia-se com uma introdução dos conceitos gerais e fundamentais relativos à
estabilidade de colunas, nomeadamente no que diz respeito à instabilidade bifurcacional. A
compreensão das variáveis que definem a trajectória de equilíbrio dos elementos estruturais do tipo
coluna (i.e. elementos barra em compressão axial) será essencial no entendimento da análise
linear de estabilidade (ALE) das colunas SEHS.
Sendo as colunas SEHS constituídas por uma placa e por uma casca elíptica, (Figura 2.1),
abordam-se, em 2.3, as principais conclusões de investigações realizadas para averiguar e definir
a instabilidade deste tipo de elementos estruturais, balizando-se assim, os resultados a obter das
ALE.
Figura 2.1 - Elementos com secção SEHS ("Semi-Elliptical Hollow Section")
As ALE realizadas às colunas SEHS foram executadas com recurso ao software CUFSM,
desenvolvido por Ben Schafer (2006), que usa o Método das Faixas Finitas (MFF) para resolver o
problema de vectores e valores próprios necessário para determinar a carga de bifurcação e os
modos de instabilidade de colunas. Em 2.4, apresenta-se sucintamente o MFF e as variáveis
matemáticas envolvidas na determinação da curva de estabilidade de colunas.
No subcapítulo 2.5, apresenta-se a curva de estabilidade, isto é, a curva das cargas de
bifurcação em função do semi-comprimento de onda, de uma coluna SEHS exemplificativa dos
- 10 -
modos de instabilidade apresentados pelas colunas com secção semi-eliptica oca estudadas.
Descrevem-se em detalhe os modos de instabilidade exibidos pela secção dando-se relevância ao
modo de instabilidade crítico.
Finaliza-se o Capítulo 2 com o estudo paramétrico, ou seja, com a síntese dos resultados e
curvas de estabilidade obtidas das ALE efectuadas a seis colunas SEHS de diferentes dimensões.
2.2 CONCEITOS GERAIS DE ESTABILIDADE ESTRUTURAL
O comportamento de elementos estruturais, considerados individualmente ou em conjunto
(enquanto estrutura) e sujeitos a uma pequena variação das acções exteriores neles aplicadas,
permite caracterizar a estabilidade da sua configuração de equilíbrio. Esta pode definir-se como
estável, instável ou neutra, consoante a estrutura retome, não retome ou permaneça indiferente à
sua configuração inicial, respectivamente.
A instabilidade de uma estrutura, que evolui ao longo de uma determinada trajectória de
equilíbrio (denominada relação carga-deslocamento), corresponde à transição entre uma
configuração de equilíbrio estável e uma configuração de equilíbrio instável. Este fenómeno de
instabilidade pode ocorrer de duas formas:
Ocorrência de um ponto limite, i.e, de um ponto onde a trajectória de equilíbrio (não
linear) tem derivada (rigidez) nula. Neste ponto máximo, a estrutura transita
dinamicamente para uma configuração de equilíbrio afastada (Figura 2.2). Este
fenómeno é designado por instabilidade por ponto limite ou instabilidade por “snap-
through”. Na Figura 2.3 mostram-se alguns casos de estruturas que instabilizam por
ponto limite. Mais informação sobre o fenómeno de instabilidade por “snap-through”
pode ser encontrada em bibliografia especializada, nomeadamente em Bazant e
Cedolin (2003).
Ocorrência de uma bifurcação de equilíbrio, fenómeno designado por instabilidade
bifurcacional.
Figura 2.2 - Trajectória de equilíbrio associada a instabilidade por ponto limite (“snap-through”) (Reis & Camotim, 2000).
- 11 -
Figura 2.3 - – Estruturas sujeitas a instabilidade por ponto limite (“snap-through”): (a) arco abatido (h/l <<1); (b) calote esférica (Reis &
Camotim, 2000)
Neste estudo aborda-se de forma mais detalhada a instabilidade bifurcacional, visto ser
este tipo de instabilidade que intervém no comportamento estrutural das colunas metálicas com
secção SEHS. Na Figura 2.4, estão esquematizados genericamente os conceitos essenciais que
definem um problema de instabilidade bifurcacional de um elemento estrutural. A trajectória de
equilíbrio de um elemento estrutural é caracterizada por:
Trajectória de equilíbrio fundamental (linear ou não linear), a qual ocorre para níveis
de carga baixos e é estável neste caso;
Ponto de bifurcação, onde a trajectória fundamental passa de estável para instável.
Neste caso, a estrutura “procura” uma nova trajectória na vizinhança do ponto de
bifurcação que seja estável.
Trajectória de equilíbrio de pós-encurvadura, a qual surge para níveis de carga
elevados.
O ponto de bifurcação é aquele onde as duas trajectórias (fundamental e de pós-
encurvadura) se intersectam. A determinação deste ponto é fulcral na análise de estabilidade da
estrutura e o nível de carga para o qual ele ocorre denomina-se carga de bifurcação. Como um
sistema estrutural contínuo tem infinitos graus de liberdade, tem também infinitas cargas de
bifurcação. A carga de bifurcação mais baixa designa-se por carga crítica e é aquela que tem mais
relevância do ponto de vista do dimensionamento estrutural. Note-se que o diagrama de carga-
deslocamento da Figura 2.4 é relativo a uma estrutura “ideal”, na medida em que não incorpora
qualquer imperfeição geométrica inicial. Em estruturas “reais” (imperfeitas) não existe bifurcação de
equilíbrio na medida em que deixa de existir uma separação clara entre as trajectórias fundamental
e de pós-encurvadura. A trajectória de equilíbrio da estrutura imperfeita é tanto mais próxima da
trajectória da estrutura perfeita (fundamental e de pós-encurvadura) quanto menor for a amplitude
da imperfeição.
A análise de um problema de instabilidade bifurcacional envolve:
A determinação da carga crítica e da configuração deformada exibida quando ocorre a
bifurcação – “modo de encurvadura”. Estes dois parâmetros (carga crítica e modo de
instabilidade) são determinados numericamente através da realização de uma Análise
Linear de Estabilidade (ALE). Na ALE de um sistema estrutural, estabelecem-se as
equações de equilíbrio na configuração deformada, mas “linearizam-se” essas
- 12 -
equações relativamente aos deslocamentos envolvidos. Tudo se passa como se
fossem estabelecidas as equações de equilíbrio numa configuração deformada que
está apenas “ligeiramente afastada” da trajectória fundamental. Numa ALE, o sistema
de equações de equilíbrio corresponde a um problema de valores e vectores próprios,
cujos valores são as cargas de bifurcação e os vectores correspondentes são os
modos de instabilidade. Este tipo de análise não fornece qualquer informação sobre a
trajectória de pós-encurvadura.
Figura 2.4 - Instabilidade bifurcacional.
A determinação da trajectória de pós-encurvadura é essencial na obtenção da
resistência última do elemento estrutural sendo obtida através da realização de uma
Análise Não Linear (ANL), bastante mais complexa que a ALE. Como não adopta
nenhuma das hipóteses da linearidade geométrica e física, as equações de equilíbrio
são altamente não lineares e a sua resolução envolve técnicas incrementais-iterativas.
Numa ANL é possível obter, para além da trajectória de pós-encurvadura, as
distribuições de tensões, a carga máxima (última) e o modo de colapso (elasto-
plástico) da estrutura.
Este capítulo foca apenas a ALE, abordando-se a ANL no capítulo 3. Em relação aos
resultados de uma ALE, pode afirmar-se que o comportamento estrutural e a resistência última de
barras com secção de parede fina são fortemente afectados pela ocorrência de diversos
fenómenos (modos) de instabilidade. Esses fenómenos de instabilidade podem ser de dois tipos:
Fenómenos de instabilidade “global” – são caracterizados pela ocorrência de
deformação do eixo da barra, sofrendo as suas secções transversais unicamente
deslocamentos de corpo rígido no seu próprio plano (uma rotação de torção e duas
translações de flexão, no caso mais geral). São exemplos bem conhecidos, a
instabilidade de colunas (barras comprimidas) por flexão ou flexão-torção.
Fenómenos de instabilidade “local” – envolvem, essencialmente, deformações das
paredes da barra, permanecendo o seu eixo na configuração indeformada. É ainda
conveniente distinguir entre fenómenos de instabilidade local associados apenas a
- 13 -
deslocamentos de flexão das paredes (i.e., os bordos longitudinais do perfil
permanecem indeformados) e também a deslocamentos de membrana (i.e., que
provocam deformações nos bordos longitudinais).
Em geral, é possível associar o tipo de instabilidade (local ou global) ao comprimento do
elemento estrutural (coluna) em estudo. Tal é conseguido através da obtenção da curva de
estabilidade que representa a variação dos valores de carga crítica Pcr em função do comprimento
L da coluna em estudo. No que diz respeito ao comportamento de estabilidade, uma coluna com
secção de parede fina pode ser classificada, de acordo com o seu comprimento L, como:
“Barra curta”, se a instabilidade ocorrer num modo local.
“Barra longa”, se a instabilidade ocorrer num modo global.
“Barra intermédia”, se a instabilidade ocorrer numa “combinação” de um modo local
com um modo global ou num modo com características de ambos os modos, como por
exemplo, o modo distorcional (Silvestre & Camotim, 2006).
Este capítulo foca-se na ALE e na determinação da carga crítica (Pcr) em função do
comprimento L da coluna e na obtenção dos respectivos modos de encurvadura, estabelecendo
assim, a curva de estabilidade Pcr(L) das secções SEHS.
2.3 INSTABILIDADE LOCAL
Os elementos estruturais com secções de parede fina, tais como as colunas com secção
SEHS, têm como característica a elevada esbelteza das paredes. Por este motivo, a instabilidade
local destes elementos revela-se determinante quando se têm em perspectiva a sua estabilidade e
resistência. Nesta secção, referem-se alguns conceitos sobre a instabilidade local que têm
relevância para o entendimento sobre a estabilidade de colunas com secção SEHS. Como se
observa na Figura 2.1, uma secção SEHS tem uma forma muito peculiar pois é constituída por
duas partes distintas:
Uma zona plana (parede recta), que se assemelha a uma placa apoiada na zona
elíptica.
Uma zona curva (parede elíptica), que se assemelha a um painel de casca apoiado na
zona plana.
Por este motivo, aborda-se em seguida o comportamento de instabilidade local de
estruturas laminares (i) de placas e (ii) de cascas.
Para ilustrar a instabilidade local de estruturas laminares constituídas por placas, comece-
se por considerar uma coluna tubular SHS (Square Hollow Section), representada na Figura 2.5,
sujeita a carga axial. Por conseguinte, as paredes planas da coluna estão submetidas a uma
tensão axial de valor σ= P/A, sendo A correspondente à área da secção transversal. A coluna SHS
instabiliza quando as chapas que constituem as suas paredes planas atingem a tensão crítica, σc,
- 14 -
como se mostra na Figura 2.5. Este fenómeno designa-se por “instabilidade local” e consiste na
encurvadura das placas que constituem as paredes da coluna (placas submetidas a compressão
axial uniforme) permanecendo o eixo indeformável. Assim, ocorre um fenómeno de “instabilidade
bifurcacional” em tudo semelhante ao retratado em 2.2.
Figura 2.5 - Instabilidade local de uma coluna tubular SHS.
Como se observa na Figura 2.5, cada parede comporta-se como uma placa longa apoiada
nas paredes adjacentes. Assim, e para apresentar alguns aspectos relativos à encurvadura de
placas, recorre-se a uma placa rectangular de comprimento “a”, largura “b” e espessura “t”,
simplesmente apoiada em todos os bordos e submetida a compressão axial uniforme. A partir das
equações variacionais dos modos de instabilidade, conjuntamente com as condições de fronteira, é
possível obterem-se as tensões de bifurcação da placa, assim como os seus modos de
instabilidade (Reis & Camotim, 2000). Obtém-se então a expressão da tensão de bifurcação para
placas longas simplesmente apoiadas,
(2.1)
em que
(2.2)
onde n é o número de semi-ondas transversais e m é o número de semi-ondas longitudinais
apresentadas pela placa quando instabiliza. A tensão crítica de bifurcação σcr resulta da
combinação de valores m e n que minimiza o valor de
. Facilmente se conclui que o objectivo
se consegue com n=1, independentemente do valor de m. Então, vem
(2.3)
A Figura 2.6 apresenta a variação dos “coeficientes de encurvadura” Km com a relação a/b,
para vários valores de m. Tratando m como uma variável continua e impondo a condição
(2.4)
de modo a determinar o valor mínimo de Km, obtêm-se
(2.5)
Tal significa que uma placa longa instabiliza com semi-comprimentos de onda longitudinais iguais à
sua largura, conforme se apresenta na Figura 2.7, e que a tensão critica de bifurcação toma o valor
- 15 -
(2.6)
Finalmente, refere-se que o comportamento de pós-encurvadura de placas é bastante
estável e pouco sensível às imperfeições geométricas, pelo que normalmente se considera que as
placas e estruturas laminares constituídas por placas exibem uma elevada resistência pós-critica.
Figura 2.6 - Variação dos coeficientes de encurvadura com a relação a/b. (Reis & Camotim, 2000).
Figura 2.7 - Modo de instabilidade de uma placa longa (Silvestre & Camotim, 2006).
Para ilustrar a instabilidade local de estruturas laminares com forma elíptica (i.e., cascas
ovais), comece-se por citar os primeiros estudos realizados por Marguerre (1951), Kempner e
Chen (1964), Kempner e Chen (1968) e Hutchinson J.W (1968). Dependendo da relação entre os
eixos maior (2a) e menor (2b) da elipse, a secção pode aproximar-se do comportamento do tipo
placa, em casos de secções elípticas com geometrias mais “esbatidas” (com a relação a/b a tender
para infinito – ver Figura 2.8), ou apresentar deformações semelhantes a secções cilíndricas ocas
(Circular Hollow Section - CHS), quando a relação entre os dois eixos se aproxima da unidade (ver
Figura 2.8).
- 16 -
Figura 2.8- Limites de comportamento das secções EHS ("Elliptic Hollow Section").
É reconhecido que uma casca cilíndrica circular quando sujeita a compressão uniforme
poderá apresentar três diferentes configurações de encurvadura, como se representa na Figura
2.9. As configurações denominadas “ring” (anel) e “chessboard” (xadrez) ocorrem normalmente
para deslocamentos reduzidos, numa fase inicial da encurvadura (próxima do ponto de bifurcação).
O primeiro é caracterizado por deslocamento radiais em forma de ondas ao longo do comprimento
da casca, com os deslocamentos a serem constantes em torno do perímetro de qualquer das suas
secções transversais. O modo de encurvadura conhecido como “chessboard”, toma a forma de
ondas nas duas direcções, longitudinal e transversal, configurando-se como um padrão de
depressões e saliências rectangulares em toda a superfície da casca cilíndrica. O modo de
encurvadura com forma de diamante (“diamond”), menos comum que os dois anteriores,
geralmente ocorre em regime de pós-encurvadura com deslocamentos axiais de valor
substancialmente superiores aos que caracterizam os dois primeiros modos (Allen & Bulson, 1980).
Note-se ainda que as cascas exibem modos de instabilidade cujos valores das cargas de
bifurcação estão sempre muito próximos, pelo que as cascas são muito sensíveis a fenómenos de
interacção e acoplamento modal.
A tensão crítica elástica de uma casca cilíndrica foi determinada, segundo Rotter JM.
(2004), individualmente por Lorenz (1908), Timoshenko (1910) e Southwell (1914) e tem a seguinte
expressão:
(2.6)
sendo r e t o raio de curvatura e a espessura da secção, respectivamente. Actualmente a EN1993-
1-6 regulamenta uma adaptação desta expressão para o cálculo da tensão crítica elástica de uma
- 17 -
casca cilíndrica, introduzindo uma nova variável Cx definida em função do comprimento da casca.
Esta expressão será abordada em mais detalhe no capítulo 4 deste documento.
Figura 2.9 - Configurações de encurvadura de secções CHS (retirada de (Allen & Bulson, 1980))
Abordadas as estruturas que limitam superior e inferiormente as tensões de encurvadura
elásticas para colunas com secção EHS, será interessante fazer uma breve apresentação das
expressões referidas em diferentes fontes bibliográficas para o cálculo da tensão de bifurcação
elástica de colunas EHS. Recentemente, têm sido desenvolvidas inúmeras investigações,
nomeadamente por Ruiz-Teran e Gardner (2008), Silvestre e Gardner (Submited), Chan e Gardner
(2008a; 2008b) e Nowzartash e Mohareb (2010), que aprofundam o estudo sobre o comportamento
de perfis com secção elíptica (Elliptical Hollow Section - EHS), baseados tanto em modelos de
elementos finitos, como em ensaios experimentais. A investigação realizada por Kempner (1962) e
Hutchinson (1968) permitiu concluir que a tensão de encurvadura elástica de secções EHS é muito
próxima da tensão crítica de uma coluna CHS, mas com um raio igual ao raio máximo de curvatura
da secção EHS, dado por
(2.7)
vindo como valor aproximado da tensão crítica de secções EHS:
(2.8)
Recentemente, no manual de dimensionamento disponibilizado por um fabricante dos perfis EHS
(Corus, 2004), foi proposto tomar como raio equivalente
(2.9)
uma vez que os valores fornecidos por (2.8) eram demasiado conservativos para valores de
a/b>1.5. Como referido por Ruiz-Teran e Gardner (2008), embora estas expressões tendam para o
valor de σCHS quando a/b se aproxima do valor unitário, satisfazendo assim o limite assumido à
partida de σCHS, estas não satisfazem o outro limite imposto quando a/b tende para infinito, sendo
portanto demasiado conservativas. A investigação realizada por Silvestre (2008) permitiu aferir
- 18 -
uma expressão que possibilita a determinação da carga crítica de bifurcação de colunas com
secção EHS com o rácio entre eixos b/a>0.35, com um erro máximo de apenas 5%:
;
(2.10)
propondo para valores de b/a<0.35 a adopção do modelo de uma placa com largura 2a e com os
dois bordos longitudinais fixos, cuja equação para determinação da sua tensão crítica de
bifurcação já é largamente conhecida.
Ruiz-Teran e Gardner (2008) desenvolveram uma expressão que satisfaz todas as condições e
limites de comportamento assumidos inicialmente, propondo assim, que a tensão de bifurcação
elástica para colunas EHS seja determinada da seguinte forma:
(2.11)
onde,
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
Neste conjunto de expressões, L é comprimento da coluna, w é a largura da placa (w=2a), K* é o
coeficiente de encurvadura para placa com todos os bordos encastrados (conservativamente
K*=6.97), υSD é o factor de redução que tem em conta a deformação por esforço transverso, Cx,EHS
é o factor que entra em linha de conta com o comprimento da coluna, Cx é o factor dado pelo EC3-
1-6, DEq,EHS é o diâmetro equivalente da secção EHS e é o factor de correcção.
Todos as equações anteriormente apresentadas, seja para placas ou para cascas, são
exactas apenas em casos muito simples, fornecendo valores aproximados na grande generalidade
dos casos. Por exemplo, no caso da instabilidade local de colunas SHS (cujas paredes tem
comportamento de placa), as expressões das placas simples são aproximadas na medida em que
não têm em consideração a interacção (compatibilidade) entre as diversas placas (paredes da
secção). Por outro lado, no caso da instabilidade local de colunas EHS (cujas paredes têm
comportamento de casca), as expressões fornecidas são aproximadas na medida em que não têm
em consideração a variação do raio de curvatura da parede da secção. Por este motivo, os valores
exactos das tensões críticas apenas podem ser obtidos por intermédio de análises numéricas,
utilizando o método dos elementos finitos (de casca) ou o método das faixas finitas. Em seguida,
- 19 -
aborda-se o método das faixas finitas e uma implementação (CUFSM) levada a cabo por B.
Schafer (2006).
2.4 O MÉTODO DAS FAIXAS FINITAS
O Método das Faixas Finitas (MFF) surge da necessidade de avaliar exactamente a
instabilidade de secções de parede fina, tanto ao nível local, das paredes da secção, como ao nível
global do elemento (e.g. instabilidade por flexão-torção). O MFF consegue aferir correctamente a
instabilidade de secções, garantindo características mecânicas essenciais, tais como o equilíbrio e
a compatibilidade entre elementos. O MFF convencional permite avaliar todas as instabilidades que
ocorrem num membro sujeito a cargas longitudinais: compressão, flexão ou combinações destas.
Recentemente, uma evolução do método convencional (“constraint finite strip method” – cFSM)
permite o estudo aprofundado de fenómenos de encurvadura específicos, a partir de
decomposição modal, ou a classificação das soluções de estabilidade dadas pelo MFF
convencional em diferentes modos de encurvadura (Schafer & Adány, 2006).
O MFF aplicado a elementos de parede fina baseia-se numa discretização em faixas
longitudinais paralelas ao eixo axial da barra a estudar, como se observa na Figura 2.10. Este
método destaca-se de outros métodos, nomeadamente o Método dos Elementos Finitos (MEF),
devido ao reduzido número de deslocamentos independentes e ao número de incógnitas
necessárias para atingir resultados próximos dos reais. Como não tem discretização (ou nós) na
direcção longitudinal, o MFF é bastante mais eficiente que o MEF. Na Figura 2.10, apresentam-se
os deslocamentos independentes de uma faixa, as suas dimensões e carregamento genérico
aplicado nos bordos. Em seguida, descreve-se sucintamente o MFF, descrito por Schafer e Adány
(2006), para realizar ALE em secções de parede fina.
Figura 2.10 - Descretização das faixas finitas, deslocamentos independentes e carregamento genérico aplicado.
Matriz de rigidez elástica. O vector dos deslocamentos globais u = [u v w]T
é aproximado com
recurso aos deslocamentos nodais d e a funções de aproximação N, tal que
u = Nd = [Nuv Nw][duvT|dwθ
T]T
(2.16)
sendo que os deslocamentos em coordenadas locais, apresentados na Figura 2.10, podem ser
definidos por d = [u1 v1 u2 v2|w1 θ1 w2 θ2] ou na forma matricial por d = [duvT|dwθ
T]. Para os
deslocamentos no plano da faixa finita, ou seja, deslocamentos de membrana, u e v, recorrem-se a
- 20 -
funções de aproximação lineares na direcção transversal, enquanto na direcção longitudinal da
faixa utilizam-se funções sinusoidais, tal que,
u=
(2.17)
v=
(2.18)
Os deslocamentos fora do plano da faixa finita, w, são definidos a partir de uma função de
aproximação polinomial de 3º grau, tal que,
w=
(2.19)
Assim, a deformação da faixa finita pode ser decomposta em duas partes: a deformação de
membrana e a deformação de flexão,
(2.20)
As deformações de membrana, ԑm, são relativas à linha média da faixa finita e obedecem aos
pressupostos dos estados planos de tensão. As deformações por flexão, ԑb, regem-se pela teoria
de Kirchoff para lajes finas, permanecendo nulas na linha média da faixa, sendo exclusivamente
dependentes de ω. As duas parcelas são dadas por:
(2.21)
(2.22)
Como demonstrado, ԑm e ԑb, podem ser escritos como termos das funções de aproximação, N,
derivadas segundo a direcção longitudinal e transversal, e dos deslocamentos nodais, d. A matriz
de rigidez elástica ke pode ainda ser determinada a partir da energia de deformação interna,
(2.23)
em que as tensões e as deformação se relacionam através da relação constitutiva σ=Eԑ. Como o
comportamento de membrana (u, v) é separado do comportamento por flexão (w), as respectivas
matrizes de rigidez elásticas devem ser integradas em separado, obtendo-se,
(2.24)
e
(2.25)
As matrizes de kem e keb vêm,
- 21 -
(2.26)
;
;
(2.27)
(2.28)
;
;
;
;
(2.29)
Matriz de Rigidez Geométrica. Considera-se o elemento carregado com uma carga com variação
linear nos seus bordos (T1, T2), como ilustrado na Figura 2.1. A matriz de rigidez geométrica pode
ser escrita recorrendo ao potencial das forças exteriores que se desenvolve no bordo onde o
carregamento é aplicado,
(2.30)
Tal como na definição da matriz de rigidez elástica, as derivadas do campo de deslocamentos
podem ser escritas em função das derivadas das funções de aproximação, N, e dos
deslocamentos nodais, d, como por exemplo,
(2.31)
Substituindo as referidas equivalências em (2.30), obtém-se a definição da matriz de rigidez
geométrica,
(2.32)
- 22 -
A matriz de rigidez geométrica deve ser dividida em duas partes. Uma parcela referente aos
campos de deslocamentos u e v, equivalentes às deformações de membrana, kgm, e outra parcela
relativa ao campo de deslocamentos w, ou deformação por flexão, kgb, tal que,
(2.33)
(2.34)
Substituindo e integrando, obtêm-se as matrizes de rigidez geométrica,
(2.35)
(2.36)
onde
Matriz de rigidez global. De modo a escrever as matrizes elástica, Ke,, e geométrica, kg, de rigidez
globais, deve-se proceder à mudança de coordenadas do sistema local para o global de cada faixa
finita e à sua compatibilização com as faixas finitas adjacentes. Como notação usa-se: u, v, w e θ
como representantes dos graus de liberdade no referencial local, e U, V, W e Θ como graus de
liberdade no referencial global; k para as matrizes de rigidez no referencial local e K para as
matrizes de rigidez no referencial global. A mudança de coordenadas do nó “i” da faixa finita “j”,
orientadas segundo o referencial apresentado na Figura 2.10 e segundo o ângulo α(j)
, é conseguida
através da seguinte matriz de transformação,
e
(2.37)
Reunindo todos os graus de liberdade numa só matriz vem:
(2.38)
A transformação das matrizes de rigidez da faixa finita j vem:
;
(2.39)
Com todos os deslocamentos independentes em coordenadas globais, as matrizes de rigidez
globais (linear e geométrica) traduzem-se no somatório das matrizes de rigidez de todas as faixas
finitas, tal que,
;
(2.40)
Análise linear de estabilidade (ALE). Pelo Princípio da Estacionariedade da Energia Potencial
(PEEP), o sistema de equações de equilíbrio do MFF conduz a um problema de valores (cargas de
- 23 -
bifurcação) e vectores próprios (modos de instabilidade). Para um dado modo de instabilidade, υ, e
uma dada carga de bifurcação, λ, a formulação do problema é descrita por
(2.41)
sendo Ke e Kg as matrizes de rigidez que dependem do comprimento da faixa finita (ou da barra),
designado por a. Assim, o valor da carga crítica e o correspondente modo de encurvadura são
ambos funções de “a”. A equação é resolvida para diferentes comprimentos do elemento (valores
de a), de modo a obter o valor de carga de bifurcação e o correspondente modo de encurvadura.
Desta forma, a utilização do MFF torna muito simples a descrição da curva de estabilidade de uma
dada secção. Por exemplo, numa coluna com secção em C, tem-se =Pcr e a resolução do
problema traduz-se na curva representada na Figura 2.11, em que cada ponto da curva é uma
solução do problema para um dado comprimento “a” da coluna. Como o MFF utiliza uma única
função sinusoidal em todo o comprimento, deve referir-se que o comprimento “a” da coluna
corresponde ao seu semi-comprimento de onda, ou “half-wavelength”. Por outro lado, como a
curva exibe mínimos locais correspondentes aos modos de instabilidade locais, constata-se que
uma coluna pode exibir várias semi-ondas de encurvadura local. Neste caso, a carga crítica não
deve ser retirada directamente da curva para uma semi-onda (que se representa na Figura 2.11)
mas na correspondente ao nº de semi-ondas real.
No entanto, o MFF descrito apenas é válido para os elementos simplesmente apoiados e
com empenamento livre nas extremidades, o que se deve às funções de aproximação utilizadas
(seno e co-seno). Por outro lado, o MFF também é aplicado unicamente para barras submetidas a
carregamentos uniformes ao longo do eixo. É possível, com base no MFF, conseguir aplicar
condições de fronteiras e carregamentos mais complexos definindo as deformações longitudinais
u, v e w em função de séries de funções trigonométricas (ou splines), levando a um problema de
valores próprios de uma complexidade superior (Schafer & Adány, 2006) e muitas vezes não tão
eficiente como o MEF. O programa de cálculo automático CUFSM, baseado no MFF e
desenvolvido por B. Schafer, é aplicado em seguida para estudar o comportamento de estabilidade
de colunas com secção SEHS. No anexo A, procede-se a uma descrição sobre as instruções de
utilização do CUFSM.
Figura 2.11 – Curva de estabilidade de uma coluna com secção em C obtida utilizando o MFF.
- 24 -
2.5 COMPORTAMENTO DE ESTABILIDADE DAS COLUNAS SEHS
Introduzidos os principais conceitos sobre a análise linear de estabilidade no âmbito do
MFF, apresenta-se de seguida uma abordagem ao comportamento de estabilidade local e global
de uma coluna com secção SEHS. Para este efeito, seleccionou-se a secção SEHS com
dimensões 275x256x5 representada na Figura 2.12. Para além das dimensões, a Tabela 2.1
também fornece as propriedades geométricas (área, momentos de inércia, módulos de flexão,
constante de torção e posição do centro de massa) disponibilizadas pelo fabricante dos perfis
(Ancofer, 2008).
Figura 2.12 - Geometria de uma secção SEHS.
Tabela 2.1 - Propriedades geométricas e mecânicas da secção SEHS de dimensões 252x276x5.0.
h
[mm]
b
[mm]
t
[mm]
M
[Kg/m]
A
[cm2]
Iz
[cm4]
Iy
[cm4]
iz
[cm]
iy
[cm]
Wel,y
[cm3]
Wel,z
[cm3]
Wpl,y
[cm3]
Wpl.z
[cm3]
It
[cm4]
dg
[cm]
252 276 5.0 33.6 42.8 3779 3955 9.39 9.61 287 259 371 340 6784 10.131
Para a avaliação do comportamento de estabilidade das colunas SEHS, considerou-se um
material elástico linear com módulo de elasticidade E= 210 000 N/mm2, G=80000 N/mm
2 e ν= 0,3,
correspondentes ao módulo de elasticidade, módulo de distorção e coeficiente de Poisson,
respectivamente. Adoptaram-se as condições de apoio típicas no MFF, permitindo-se as rotações
segundo todas as direcções nas secções extremas da coluna, assim como os deslocamentos
axiais. Os deslocamentos transversais são restringidos nos dois apoios (i.e. a barra é modelada
como simplesmente apoiada). Relativamente ao carregamento, e como se pretende estudar
unicamente o comportamento à compressão uniforme, considera-se uma carga uniformemente
distribuída na área da secção.
Apresentados os aspectos relativos à definição geométrica e material da coluna SEHS
252x276x5.0, procede-se à exposição dos resultados obtidos através do programa CUFSM. A
Figura 2.13 mostra a curva de estabilidade obtida, nomeadamente a variação da carga de
bifurcação, Pb (em kN), com o semi-comprimento de onda “a” (em mm).
- 25 -
Como se constata, a secção instabiliza em diferentes modos de encurvadura consoante o
semi-comprimento de onda, variando também a carga de bifurcação. Na generalidade identificam-
se três famílias de modos de encurvadura: Modo Local de Placa (MLP), Modo Distorcional (MD) e
Modo Global (MG). No entanto, podem ainda identificar-se alguns modos “mistos”, ou seja, modos
que apresentam caracteristicas relativas a mais do que um dos três modos referidos.
Modo Local de Placa. Esta configuração de modo de instabilidade exibe-se para semi-
comprimentos de onda reduzidos (a<400 mm), encontrando-se portanto dentro dos valores
esperados, ou seja, da mesma ordem de grandeza da largura da parede plana (placa). Verifica-se
que os bordos longitudinais (i.e. que unem a parede constituída por uma placa plana à zona curva,
constituída pela parede elíptica) estão sujeitos apenas a movimento de rotação, não tendo
qualquer movimento de translação dos nós de ligação nem empenamento das paredes. A coluna
sofre apenas instabilidade a nível local (flexão transversal das paredes). A estabilidade da coluna
SEHS é condicionada pela zona da secção mais susceptível de deformar, isto é, a parede
constituída por uma placa. Tal deve-se ao facto do raio de curvatura da placa (parede plana) ser
infinito, enquanto no caso da zona elíptica o raio é variável e finito. Assim, a deformada
apresentada pela secção deve-se exclusivamente à instabilidade da zona “recta” da secção, devido
à deformação por flexão que apresenta. A zona elíptica, apenas se deforma por compatibilidade
com a placa adjacente. Na Figura 2.14 a) e b), apresentam-se os modos de encurvadura locais de
placa, pela definição referida por Prola (2001). Refere-se ainda que a curva de estabilidade
apresenta um mínimo local na zona do MLP, pelo que este será certamente o modo crítico de
instabilidade com uma ou várias semi-ondas.
Figura 2.13 - Curva de estabilidade da secção SEHS com dimensões 276x252x5.
- 26 -
Modo Distorcional. Para semi-comprimentos de onda no intervalo 900<a<2500 mm, a coluna
SEHS apresenta características que normalmente definem os modos de instabilidade distorcionais.
Como mostra a Figura 2.14 d), os bordos longitudinais (cantos da secção) apresentam movimento
de translação nas duas direcções. Este facto implica que a secção exiba deslocamentos de
empenamento (ou longitudinais) variáveis ao longo da linha média da secção. A placa exibe
elevados deslocamentos de empenamento, assim como a casca eliptica nas regiões com
curvaturas menos assentuadas. Por outro lado, as paredes da secção (plana e curva) também
flectem transversalmente. Por isso, pode afirmar-se que o modo distorcional apresenta
características dos modos locais (flexão transversal das paredes) e dos modos globais
(empenamentos). Segundo Silvestre e Camotim (2006), este modo ocorre para semi-comprimentos
de onda de valor 5 a 10 vezes superior ao do modo local de placa, como se constata na curva de
estabilidade da Figura 2.13. Refere-se ainda que a curva de estabilidade não apresenta um mínimo
local na zona do MD, pelo que este não será ,à partida, o modo crítico de instabilidade.
Modo Global de Flexão. Para valores do semi-comprimento de onda a>5000 mm, o modo de
encurvadura é “puramente” global (sem apresentar deformações locais nas paredes). O modo de
encurvadura global caracteriza-se pela flexão da coluna em torno do eixo de menor inércia da
secção (z-z) e pela não deformação das chapas que constituem a secção, sofrendo esta
unicamente deslocamentos de corpo rígido, nomeadamente de translação como mostra a Figura
2.14 f). De referir, que modos críticos globais de flexão exibem uma única semi-onda. No caso de
uma barra simplesmente apoiada nas duas direcções, com rotação de torção impedida e
empenamento permitido em ambas as extremidades, o comprimento da semi-onda corresponde ao
comprimento da barra. Para outras condições de fronteira (i.e., barras com contraventamento
laterais), estes modos podem exibir múltiplos semi-comprimentos de onda. No caso do modo
global, a curva de estabilidade é marcadamente descendente para comprimentos crescentes.
Modos Mistos. Nos intervalos de comprimentos que separam os modos de instabilidade puros,
existem modos de instabilidade com características mistas. Os modos de encurvadura mistos
apresentam configurações deformadas que demonstram caracteristicas comuns a diferentes
modos de instabilidade. Veja-se os modos de instabiliadde apresentados na Figura 2.14 c) e e).
Por exemplo, para semi-comprimentos de onda 400<a<900 mm, o modo de instabilidade passa
suavemente de um modo local de placa para um modo distorcional. O modo de encurvadura
exibido na Figura 2.14 c), localiza-se na curva de estabilidade na transição entre o MLP e o MD. A
sua deformada mostra ainda a deformação por flexão da zona “recta” (placa) da secção,
aparentando ser responsável por parte da deformação apresentada na zona eliptica. No entanto
simultaneamente a este fenomeno, os bordos longitudinais sofrem pequenas translações e o
empenamento típico do MD. Por outro lado, para semi-comprimentos de onda 2500<a<5000 mm, o
modo de instabilidade passa suavemente de um modo distorcional para um modo global de flexão.
- 27 -
Neste caso, embora a curva seja sempre descendente a partir de 2000 mm, constata-se que os
modos de instabilidade para comprimentos entre 2000 e 5000 mm não são puramente globais,
tendo ainda uma componente distorcional. A Figura 2.14 e), mostra o modo misto distorcional-
global.
Figura 2.14 - Modos de encurvadura da secção SEHS com dimensões 252x276x5: a) MLP, b) Modo Crítico de Encurvadura; c) Modo
Misto; d) MD; e) Modo Misto; f) MG.
Um sistema estrutural discreto, com inúmeros graus de liberdade, terá diferentes
configurações de equilíbrio adjacentes (modos de instabilidade), às quais correspondem cargas de
bifurcação (Pb) de determinado valor. A configuração de equilíbrio associada à menor das cargas
de bifurcação designa-se como o modo de instabilidade crítico e carga crítica de bifurcação,
respectivamente. Observando a curva de estabilidade apresentada na Figura 2.13, conclui-se que
o modo de instabilidade crítico para a secção em estudo será o MLP, para semi-comprimento(s) de
onda com 220 mm. Como as colunas SEHS são livres de se deformarem com múltiplos semi-
comprimentos de onda (n), o comprimento real da coluna (L) compreende um número múltiplo de
semi-comprimentos de onda com a configuração do MLP. Como apresentado na Figura 2.15, para
n≥2, a curva Pb(L) da coluna SEHS apresenta mínimos relativos para valores de Pcr=1547 kN e
com modos de instabilidade semelhantes ao modo crítico determinado pela ALE do CUFSM. Como
referido inicialmente, os sistemas estruturais instabilizam para o menor dos valores das suas
cargas de bifurcação, independentemente do número de semi-comprimentos de onda
a) b) c)
d)
e) f)
- 28 -
apresentados na sua deformada longitudinal. Assim, o modo de instabilidade e carga de bifurcação
crítica, determinado na curva de estabilidade da coluna com n=1, correspondem ao MLP se
L<7000 mm e ao MG se L ultrapassar esse valor (Figura 2.15).
Figura 2.15 - Variação da carga crítica (Pcr) com o comprimento (L) da coluna SEHS.
2.6 ESTUDO PARAMÉTRICO
Com o objectivo de evidenciar as principais características geométricas que influenciam a
instabilidade bifurcacional das colunas com secção SEHS, resumem-se em seguida os resultados
da análise de estabilidade efectuada para diferentes secções SEHS, comparando curvas de
estabilidade e modos críticos de instabilidade.
Apresentam-se na Tabela 2.2, as características geométricas e mecânicas das secções
SEHS analisadas. Das secções comercializadas (Ancofer, 2008), escolheram-se as secções SEHS
mais esbeltas na tentativa que estas apresentassem como modos de instabilidade críticos com a
forma do MLP ou MD. Nesta tabela, h, b e t são as dimensões da secção (ver Figura 2.12), M é
massa, A é a área, Iy e Iz os momentos de inércia em relação ao eixo y-y e z-z respectivamente, iy
e iz os raios giração em torno do eixos principais de inércia, Wel,y e Wel,z módulo de flexão elástico
relativo ao eixo y-y e z-z, Wpl,y e Wpl,z os módulos de flexão plásticos, Jt e Wt as constantes de
torção referentes à inércia e ao modulo de flexão respectivamente, dg a coordenada do centro de
gravidade da secção e S a superfície exterior por metro linear (área de pintura).
O material, condições de apoio e carregamento são os especificados na secção 2.5, para
a análise de estabilidade da coluna SEHS com dimensões 252x276x5.0.
Na Figura 2.16, representam-se as curvas de estabilidade Pb(a) das diferentes secções
obtidas através do CUFSM. A Tabela 2.3 mostra os valores mínimos da carga de bifurcação Pb, ou
- 29 -
seja da carga crítica no MLP, e os respectivos semi-comprimentos de onda. Novamente se faz
notar que (ver secção 2.5) as curvas de carga de bifurcação em função do semi-comprimento de
onda (a) (Figura 2.16) não traduzem, na realidade, os modos de instabilidade de colunas com esse
comprimento “a”. Na Figura 2.17 apresentam-se as curvas Pcr(L) que as colunas com secção
SEHS e comprimento L apresentam efectivamente.
Tabela 2.2 - Propriedades geométricas e mecânicas das secções SEHS estudadas.
h
[mm]
b
[mm]
t
[mm]
M
[Kg/m]
A
[cm2]
Iz
[cm4]
Iy
[cm4]
iy
[cm]
iz
[cm]
Wel,y
[cm3]
Wel,z
[cm3]
Wpl,y
[cm3]
Wpl.z
[cm3]
Jt
[cm4]
Wt
[cm3]
dg
[cm]
S
[m2/m]
203 223 5.0 26.9 34.2 1934 2047 7.51 7.73 167 184 206 238 3562 334 8.186 0.705
8.0 42.4 54.0 2966 3143 7.41 7.63 256 282 323 371 5454 505 8.186 0.705
225 259 5.0 30.8 39.2 2770 3144 8.41 8.96 214 243 270 315 5208 434 9.02 0.804
252 276 5.0 33.6 42.8 3779 3955 9.39 9.61 259 287 340 371 6784 520 10.131 0.879
280 322 5.0 38.6 49.1 5444 6137 10.50 11.20 334 381 444 494 10008 680 11.216 1.000
324 375 6.3 56.5 72.0 10680 12133 12.20 13.00 563 647 774 840 19460 1144 12.977 1.170
Figura 2.16- Curvas de estabilidade das colunas SEHS.
Tabela 2.3 - Cargas e Semi-comprimentos de onda críticos das secções estudadas.
Secção SEHS Lcr [mm] Pcr x106 [N]
203x223x8 180 7.534
203x223x5 180 1.894
225x259x5 200 1.609
252x276x5 220 1.547
280x322x5 250 1.307
324x375x6.3 290 2.223
- 30 -
Dos resultados obtidos relativamente ao comportamento das secções SEHS e à variação
das suas dimensões, retiram-se as seguintes conclusões:
O andamento das curvas de estabilidade para as secções estudadas não apresenta
diferenças qualitativas relevantes. Os modos de encurvadura que apresentam, são
semelhantes aos apresentados para a coluna de referência, SEHS 252x276x5,
descritos em 2.5.
O modo de encurvadura crítico em colunas curtas a longas é semelhante em todas as
secções, ou seja, o modo local de placa (MLP), não sendo apresentado qualquer outro
modo crítico com deformação da secção (e.g modo distorcional - MD).
As cargas críticas diminuem com o aumento da esbelteza da placa que constitui a
secção, tal como seria de prever. A espessura da placa revela-se um parâmetro
relevante, visto que o valor da carga crítica local aumenta bastante com um reduzido
aumento da espessura das paredes da secção (e.g. coluna com secção SEHS
203x223x8). O aumento da espessura da placa induz um aumento na rigidez de flexão
da mesma, o que se traduz num acréscimo da carga necessária para provocar a
instabilidade local da placa.
Figura 2.17 - Curvas de variação da carga crítica Pcr com o comprimento L das colunas SEHS.
O valor dos semi-comprimentos de onda dos modos críticos tendem a aumentar na
mesma proporção que a dimensão da placa. A variação da espessura das paredes da
secção não interfere com o semi-comprimento de onda crítico da secção, visto que este
- 31 -
parâmetro apenas apresenta variações com o aumento ou diminuição da dimensão da
secção.
Os momentos de inércia das secção influenciam a posição/andamento da curva de
Euler intrinsecamente associada à evolução da curva Pb(L) para o modo de
encurvadura global. Na Figura 2.17 nota-se que, para secções com momento de inércia
em torno de z-z menores, o modo global de instabilidade surge para comprimentos de
colunas mais reduzidos. Aparentemente, a excepção surge para a coluna
SEHS203x223x8, mas tal deve-se à ordem de grandeza da carga crítica ser muito
superior à das restantes colunas analisadas, o que resulta no facto do modo global de
instabilidade ocorrer em colunas com comprimento inferior a 2000 mm. Assim, constata-
se que colunas com maior relação largura/espessura das paredes da secção e maior
momento de inércia são caracterizadas por um MLP crítico para valores do
comprimento mais elevados.
- 32 -
CAPÍTULO 3
COMPORTAMENTO NÃO LINEAR E RESISTÊNCIA ÚLTIMA DE COLUNAS SEHS
3. COMPORTAMENTO NÃO LINEAR E RESISTÊNCIA ÚLTIMA
3.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo pretende-se analisar a resistência última de colunas de aço com secção
SEHS. Para tal, utiliza-se uma modelação das colunas com recurso ao método dos elementos
finitos de casca. Com base em análises física e geometricamente não lineares, pretende-se
descrever aprofundadamente os fenómenos associados à encurvadura local e global das colunas
de parede fina com secção SEHS, nomeadamente, as trajectórias de pós-encurvadura, a
capacidade resistente e os diferentes mecanismos de colapso.
Inicia-se este estudo com a descrição do modelo de elementos finitos e a explicação sobre
as análises numéricas realizadas, designadamente a discretização, condições de fronteira,
propriedades do material, imperfeições geométricas iniciais e soluções numéricas adoptadas nos
modelos desenvolvidos. Na segunda parte do capítulo, efectuam-se análises lineares de
estabilidade (ALE) às colunas SEHS para diferentes comprimentos, agora com recurso ao MEF.
Descrevem-se os modos de instabilidade exibidos pelas colunas de secção SEHS com diferentes
dimensões e comprimentos, comparando os resultados obtidos com os determinados no capítulo 2
a partir das ALE com base no Método das Faixas Finitas. Por fim expõem-se detalhadamente os
resultados obtidos das análises geométrica e fisicamente não lineares (ANL) das colunas SEHS,
nomeadamente as trajectórias de pós-encurvadura (curvas carga vs. deslocamento axial), as
cargas últimas das diferentes colunas, as distribuições de tensões nas colunas ao longo das
trajectórias de equilíbrio e também a configuração dos correspondentes mecanismos de colapso.
3.2. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS DE CASCA
Os modelos desenvolvidos foram construídos recorrendo ao programa de cálculo
automático ABAQUS (Simulia, 2008) . Modelaram-se colunas com diversas dimensões de secção
transversal SEHS (Ancofer, 2008), doravante designada de “tipologia de secção transversal
SEHS”. A Tabela 3.1 mostra na 1ª coluna as 6 tipologias estudadas (SEHS 203x223x8.0, SEHS
203x223x5.0, SEHS 225x259x5.0, SEHS 252x276x5.0, SEHS 280x322x5.0, SEHS 324x375x6.3).
Tal como se constatou com os resultados da ALE descrita no capítulo 2, o comportamento de
encurvadura de uma coluna depende largamente do seu comprimento L (barra curta, intermédia,
longa). Por isso, e para cada uma das tipologias, modelaram-se colunas com diferentes
comprimentos com o intuito de simular mecanismos de colapso associados a modos críticos de
instabilidade tanto de cariz local como global. Ao modelar-se colunas SEHS com comprimentos de
diferentes valores, pretende-se caracterizar eficazmente os seus diferentes comportamentos de
- 33 -
pós-encurvadura e definir as respectivas cargas últimas de resistência consoante o mecanismo de
colapso (elasto-plástico) que lhe está associado. Considerou-se (i) uma coluna com comprimento
reduzido, de modo a abranger mecanismos de colapso associados a modos de encurvadura locais
(coluna compacta), (ii) uma coluna com comprimento de valor muito elevado, para abranger
somente modos de encurvadura predominantemente globais (coluna longa), e (iii) duas colunas de
comprimento moderado a elevado, de modo a poder obter-se configurações de colapso da coluna
com deformação simultânea do seu eixo longitudinal (encurvadura global) e das suas paredes
(encurvadura local).
Tabela 3.1- Geometria, tensão de cedência e amplitude da imperfeição adoptadas nos modelos de elementos finitos das colunas SEHS.
Tipologia de secção L [mm] Imp. Geom. [mm] fyk [MPa]
SEHS 203x223x8.0
1500 +1.0 355 2500 +1.0 355
3500 +1.0 355
7000 +1.0 355
7000 +7.0 355
2500 +1.0 750
SEHS 203x223x5.0
1500 +1.0 355
2500 +1.0 355 5000 +1.0 355
10000 +1.0 355
10000 +10.0 355
2500 +1.0 750
SEHS 225x259x5.0
1500 +1.0 355
2500 +1.0 355
6000 +1.0 355
12000 +1.0 355 12000 +12.0 355
2500 +1.0 750
SEHS 252x276x5.0
1500 +1.0 355
2500 +1.0 355
7500 +1.0 355
15000 +1.0 355
15000 +15.0 355 2500 +1.0 750
SEHS 280x322x5.0
1500 +1.0 355 2500 +1.0 355
10000 +1.0 355
20000 +1.0 355
20000 +20.0 355
2500 +1.0 750
SEHS 324x375x6.3
1500 +1.0 355
2500 +1.0 355
10000 +1.0 355 20000 +1.0 355
20000 +20.0 355
2500 +1.0 750
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Para cada tipologia escolheram-se 4 comprimentos (L=1500 mm e L=2500 mm para todas
as tipologias e dois valores adicionais, que variam de tipologia para tipologia), num total de 24
geometrias de colunas SEHS. Em seguida, descreve-se com maior detalhe a discretização, as
condições de apoio, as propriedades do aço, a aplicação de cargas, as imperfeições geométricas e
soluções numéricas utilizadas.
3.2.1. Tipo e Malha de Elementos Finitos
Para discretizar a superfície média das colunas SEHS, utilizaram-se elementos finitos de
casca da biblioteca do ABAQUS denominados “S4R”. Esta escolha não obedeceu a qualquer
estudo prévio (de convergência de soluções) mas é apenas devida ao facto deste tipo de elemento
finito ser habitualmente utilizado em estudos similares, isto é, de barras com secção de parede fina
(Ruiz-Teran & Gardner, 2008; Chan & Gardner, 2008). Tal como descrito no manual do ABAQUS
(Simulia, 2008) o elemento finito S4R caracteriza-se por ser um elemento de casca (definida pelo
símbolo S – “shell”) de 4 nós, isoparamétrico com integração reduzida (definida pelo símbolo R),
apresentando 6 graus de liberdade por nó.
A integração dos elementos finitos de casca é efectuada através da regra de Gauss, que
consiste em aproximar o integral de uma função ao somatório dos produtos dos valores que essa
função toma nos pontos de integração (pontos de Gauss). No caso de cascas finas, como a sua
espessura é muito reduzida, pode surgir o fenómeno “shear-locking”, que corresponde a uma
sobrestimação da rigidez do modelo de elementos finitos, devido à rigidez de corte. Esta
sobrestimação pode ser evitada reduzindo o número de pontos de Gauss utilizados,
correspondendo tal a utilizar “integração reduzida”. O elemento S4R utilizado neste estudo tem
integração reduzida. A integração reduzida diminui a rigidez da malha de elementos finitos,
podendo tornar a malha menos rígida e provocar um mau condicionamento da matriz de rigidez
global, causando o aparecimento de deslocamentos espúrios, ou tornando mesmo a matriz de
rigidez singular. No entanto, a utilização de elementos finitos com integração reduzida também tem
o benefício de reduzir o esforço computacional associado à análise em causa.
No que diz respeito à malha de elementos finitos adoptada, refere-se que ela é (i) uniforme
ao longo do comprimento da coluna e (ii) transversalmente semelhante para cada uma das
tipologias de colunas SEHS. A secção transversal apresenta uma malha de 36 elementos finitos
cuja dimensão ao longo da linha média da secção varia entre 19.5 mm e 33.5 mm, consoante a
tipologia das colunas. Longitudinalmente foram utilizadas 125 fiadas de elementos finitos,
independentemente do comprimento da coluna. No total, têm-se 4500 elementos finitos e 4536
nós.
3.2.2. Condições de Apoio e Carregamento
No caso presente, pretende-se que as secções extremas das colunas sejam totalmente
encastradas (local e globalmente). De modo a simular as condições de apoio pretendidas nas
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secções extremas da coluna, utilizaram-se elementos finitos triangulares rígidos de 3 nós,
designados por R3D3 na biblioteca do ABAQUS. Estes elementos finitos pretendem modelar uma
placa rígida soldada nas extremidades da coluna, impedindo totalmente as rotações e os
deslocamentos numa extremidade e as rotações e os deslocamentos no plano na outra
extremidade. O único deslocamento permitido é o deslocamento axial nesta última extremidade, de
forma a aplicar a carga axial de compressão. Geometricamente, tal é conseguido conectando os
nós de cada secção extrema da coluna SEHS a um nó suplementar criado no centro de gravidade
dessa secção. Estas restrições conduzem ao impedimento total do empenamento e da deformação
das secções de apoio no seu plano. Relativamente ao carregamento, aplica-se uma força de
compressão unitária (P=1 N) no centro de gravidade da secção cujo deslocamento axial está livre.
3.2.3. Caracterização do Aço
No que diz respeito ao material, o aço é caracterizado pelo módulo de Young E=210.000
MPa, coeficiente de Poisson =0.3 e tensão de cedência fy=355 MPa (Ancofer, 2008). Na ALE, o
material considera-se elástico linear e isotrópico, introduzindo-se apenas os valores de E e . Na
ANL, o material considera-se isotrópico e elástico-perfeitamente plástico, introduzindo-se fy para
além de E e . Por outro lado, e para além de considerar o valor corrente da tensão de cedência do
aço em todas as tipologias de secção SEHS, adoptou-se ainda um aço de alta resistência com
fy=750 MPa para uma coluna de comprimento moderado (L=2500 mm) em cada tipologia de
secção SEHS. Tal adopção foi necessária de modo a obter resultados também para colunas muito
esbeltas, tentando conseguir uma gama de valores de esbelteza das colunas SEHS tão
abrangente quanto possível. A Tabela 3.1 mostra as tensões de cedência adoptadas em cada
caso.
3.2.4. Imperfeições geométricas iniciais e tensões residuais
Como é sabido, a trajectória de pós-encurvadura numa estrutura perfeita não é de fácil
obtenção devido à descontinuidade de rigidez apresentada no ponto de bifurcação entre a
trajectória fundamental e a trajectória de pós-ecurvadura. Para evitar a utilização de técnicas
complexas que permitam esse “salto” (da trajectória fundamental para a de pós-encurvadura), é
comum a introdução de parâmetros que eliminem a descontinuidade referida, reconfigurando a
trajectória de equilíbrio da estrutura como contínua (transição suave entre a trajectória fundamental
e de pós-encurvadura). Este parâmetro designa-se por imperfeição geométrica inicial, deixando a
estrutura de ser perfeita. Regra geral, existe uma forma simples de introduzir imperfeições iniciais
nos modelos geometricamente perfeitos de modo a se proceder posteriormente a uma ANL e obter
o comportamento último. No ABAQUS, existem as seguintes possibilidades para a incorporação de
imperfeições:
Introduzir directamente num conjunto específico de nós os valores dos deslocamentos
iniciais associados à imperfeição geométrica pretendida (via directa).
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Efectuar uma análise linear (AL) da barra submetida a um conjunto de cargas definidas a
priori que “forcem” a barra a deformar-se na configuração da imperfeição pretendida (via
indirecta).
Efectuar uma ALE da barra perfeita sob compressão e tomar a imperfeição geométrica
como uma combinação linear dos modos de instabilidade obtidos, com uma amplitude
definida a priori (via indirecta).
Como habitualmente é seguida a terceira opção (Chan & Gardner, 2008; Silvestre & Gardner,
2011) utilizando os resultados duma ALE (combinação de modos de instabilidade), também aqui se
opta por esta via indirecta. Como também é usual na literatura científica, utiliza-se uma imperfeição
geométrica com a forma apenas do modo crítico de instabilidade. No que diz respeito à amplitude
máxima da imperfeição, toma-se um valor reduzido da imperfeição igual a e0=1.0 mm para todas
as tipologias de secção SEHS. Em cada tipologia de secção SEHS também se adoptou um valor
adicional para a amplitude de imperfeição. No caso das colunas muito longas, tomou-se o valor
para e0=L/1000. A Tabela 3.1 mostra as amplitudes da imperfeição adoptadas em cada caso.
Tendo em conta os casos adicionais relativos à tensão de cedência (fy) e à amplitude da
imperfeição (e0), obtém-se um total de 36 modelos de colunas SEHS.
Como introduzido no capítulo 1, os perfis SEHS foram recentemente introduzidos no mercado.
Estes carecem ainda de estudo aprofundado por parte da comunidade científica e da indústria
metalúrgica. Há por isso escassa informação sobre o seu processo de fabrico e suas
consequências tanto a nível das imperfeições geométricas iniciais como ao nível das tensões
residuais. Assim sendo e não tendo estas relevância significativa no comportamento pós-
encurvadura, desprezam-se as tensões residuais nas colunas modeladas.
3.2.5. Tipos de análise
Como se referiu anteriormente, efectuam-se dois tipos de análise: (i) análise linear de
estabilidade (ALE) e (ii) análise não linear (ANL). A ALE tem dois objectivos: (i) obtenção da carga
crítica e modo crítico, (ii) com base neste, adopção da configuração geometricamente imperfeita da
barra a utilizar na ANL. A ALE necessita da instrução “BUCKLE” para determinar o parâmetro de
carga de instabilidade cr (menor valor próprio da equação característica). Com base neste valor e
no valor da força de compressão introduzida inicialmente (P=1 N), a carga crítica será dada por
Pcr=P×cr=cr (em N). Para efectuar uma ANL no ABAQUS, recorre-se à instrução “NLGEOM,
RIKS”. O método de Riks tem como algoritmo base o método de Newton-Raphson’s para resolver
as equações de equilíbrio não lineares da barra, e como variável de controlo o “comprimento do
arco” da curva P-d. Como se pretende avaliar a trajectória de equilíbrio, controlando a evolução do
deslocamento axial da extremidade carregada com o valor da força aplicada, utiliza-se ainda a
instrução “MONITOR” do ABAQUS (Encarnação, 2009).
- 37 -
3.3. COMPORTAMENTO DE ESTABILIDADE
Nesta secção pretende-se apresentar os resultados obtidos a partir das ALE efectuadas às
colunas SEHS com base nos modelos de elementos finitos. Nomeadamente, será interessante
comparar os resultados apurados (os valores das cargas críticas e os modos de instabilidade) com
os obtidos no capítulo 2, onde se recorreu a modelação numérica pelo método das faixas finitas.
Em seguida aborda-se em detalhe o conjunto de resultados obtidos para a tipologia SEHS
252x276x5. Na Tabela 3.2 apresentam-se os valores da carga crítica (Pcr) desta coluna SEHS para
comprimentos iguais a 1500, 2500, 7500 e 15000 mm. As colunas com comprimentos iguais a
1500 mm, 2500 mm e 7500 mm, têm uma carga crítica que varia entre 1605 kN e 1577 kN Embora
o comprimento da coluna varie significativamente (i.e., quintuplica) o valor da carga crítica mantém-
se praticamente inalterado, com uma variação de apenas 1.8%. No entanto, a coluna de maior
comprimento (L=15000 mm) apresenta um valor da carga crítica relativamente inferior (cerca de 15
%) aos das restantes colunas.
Tabela 3.2 - Cargas críticas e nº de semi-ondas da coluna SEHS252x276x5 para vários comprimentos L.
L [mm] Pcr [KN] Nº de semi-ondas (n) L/n [mm] Lcr, CUFSM [mm]
1500 1604.96 7 214
220 2500 1583.99 11 227
7500 1577.12 32 234
15000 1344.71 1 - 7500
As Figuras 3.1 a 3.4 mostram as formas do modo crítico de cada coluna. A observação dos
modos críticos de instabilidade permite concluir que a coluna curta e as duas colunas de
comprimento moderado a longo instabilizam num modo local. É de notar que o número de semi-
ondas longitudinal cresce à medida que o comprimento da coluna aumenta: para L=1500 mm
existem 7 semi-ondas (n=7), para L=2500 mm existem 11 semi-ondas (n=11) e para L=7500 mm
existem 32 semi-ondas (n=32). A Tabela 3.2 mostra os valores da relação L/n para estas três
colunas, notando-se que esta relação mantém-se entre 214 e 234 mm. Por isso, é de supor que o
comprimento da semi-onda de instabilidade local da tipologia SEHS 252x276x5 esteja próximo
destes valores. De facto, o valor do semi-comprimento de onda obtido através do método das
faixas finitas vale Lcr=220 mm (capítulo 2), o qual está bastante próximo dos valores obtidos pelo
modelo de elementos finitos. Note-se ainda que a amplitude das semi-ondas cresce das
extremidades para o meio vão da coluna devido ao facto da rotação local das paredes estar
impedida nas secções extremas. Contrariamente, a coluna muito longa instabiliza num modo global
de flexão, facto que comprova a razão pela qual a carga crítica resultou diferente dos restantes
casos. Refira-se ainda que o modo crítico de instabilidade da coluna muito longa reproduz
claramente a configuração de uma coluna bi-encastrada, cujo comprimento de encurvadura é
Lcr=L/2=7500 mm.
Sublinhe-se que a instabilidade local apresentada pelas 3 colunas (curta, de comprimento
moderado e longa) tem como característica comum o facto do modo local ser precipitado pela
- 38 -
encurvadura da parede plana (ou placa), apresentando a parede curva (semi-elíptica) apenas
deformações por compatibilidade, com a zona de maior curvatura a permanecer praticamente
indeformada - ver Figura 3.4. Nesta figura, nota-se claramente que a zona plana tem uma
deformação muito superior à zona curva.
Figura 3.1- Modo crítico de instabilidade da coluna SEHS 252x276x5 com L=1500 mm.
Figura 3.2 - Modo crítico de instabilidade da coluna SEHS 252x276x5 com L=2500 mm.
Figura 3.3 - Modo crítico de instabilidade da coluna SEHS 252x276x5 com L=7500 mm.
Na Figura 3.5 representa-se a curva de estabilidade desta tipologia de coluna, observando-se a variação d
Na Figura 3.5 representa-se a curva de estabilidade desta tipologia de coluna, observando-se a
variação da carga crítica, Pcr, com o comprimento da coluna, L. Para L<14230 mm (comportamento
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de instabilidade local), a curva Pb(L) foi obtida utilizando o MFF para vários semi-comprimentos de
onda (n=1, 2, 3,, …). Para L>14230 mm (comportamento de instabilidade global), a curva Pb(L), foi
obtida utilizando a formula de Euler com Lcr=0.5L para um único semi-comprimento de onda (n=1),
já que, no modelo numérico de elementos finitos se impôs condições de fronteira na coluna
semelhantes a uma barra bi-encastrada.
Figura 3.4 - Modo crítico local da coluna SEHS 252x276x5 (L=1500 mm)
Figura 3.5 – Curva de estabilidade da tipologia de coluna SEHS 252x276x5
Comparando Pb(L) com os resultados apresentados na Tabela 3.2, nomeadamente as três
primeiras colunas, constata-se que os pontos relativos às cargas críticas obtidas através do modelo
de elementos finitos (Pcr=1605.0 kN, Pcr=1584.0 kN, Pcr=1577.1 kN) estão bastante próximos da
curva obtida através do modelo de faixas finitas (Pcr=1547.2 kN). Este facto comprova que ambos
- 40 -
os métodos conduzem a valores muito semelhantes no que diz respeito à instabilidade local.
Apesar da rotação das paredes nas secções de apoio estar impedida (coluna encastrada no
modelo de elementos finitos), esta restrição reflecte-se marginalmente nos valores da carga crítica
do modelo de elementos finitos, os quais são apenas ligeiramente superiores a 1547.2 kN. Esta
pequena discrepância deve-se facto do número de semi-ondas ser elevado nos 3 casos (n=6, 11,
32) As condições de apoio (rotação locais nos apoios) não têm qualquer efeito nas semi-ondas
que ocorrem no meio vão da coluna, as quais controlam a encurvadura da coluna. No caso da
coluna muito longa, o ponto relativo à carga crítica obtida através do modelo de elementos finitos
(Pcr=1344.7 kN) também está bastante próximo da curva de Euler da coluna bi-encastrada
(Pcr=1392.1 kN) o que valida os resultados obtidos.
Na Tabela 3.3, mostram-se resumidamente os resultados obtidos para as várias tipologias
de coluna com vários comprimentos. Qualitativamente, as restantes colunas têm um
comportamento semelhante ao evidenciado pela coluna SEHS 252x276x5.0, concluindo-se que os
resultados obtidos pelos modelos de elementos finitos de casca e de faixas finitas são bastante
semelhantes.
Tabela 3.3 - Comparação de resultados da ALE obtidos através do MEF e MFF
MEF (ABAQUS) MFF (CUFSM)
Tipologia de coluna L [mm] Modo de instabilidade Pcr [KN] Lcr [mm] Pcr [KN]
SEHS 203x223x8.0
1500 Local 7646.2 180 7534.02 2500 Local 7591.4
3500 Local 7578.6 7000 Global (flexão zz) 4809.5 3500 4774.16
SEHS 203x223x5.0
1500 Local 1943.5 180 1893.63 2500 Local 1928.6
5000 Local 1924.2 10000 Global (flexão zz) 1557.3 5000 1553.08
SEHS 225x259x5.0
1500 Local 1661.0 200 1608.91 2500 Local 1644.2
6000 Local 1638.1 12000 Global (flexão zz) 1537.1 6000 1533.83
SEHS 252x276x5.0
1500 Local 1605.0 220 1547.18 2500 Local 1584.0
7500 Local 1577.1 15000 Global (Flexão z-z) 1344.7 7500 1343.12
SEHS 280x322x5.0
1500 Local 1365.9 250 1306.55 2500 Local 1343.7
10000 Local 1334.5 20000 Global (flexão zz) 1084.7 10000 1084.36
SEHS 324x375x6.3
1500 Local 2346.8 290 2230.76 2500 Local 2298.4
10000 Local 2275.5 20000 Global (flexão zz) 2113.3 10000 2111.03
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3.4. RESISTÊNCIA ÚLTIMA
3.4.1. Considerações Gerais
Os resultados apresentados no capítulo 2, obtidos através de modelos de faixas fintas, e
também na secção anterior, obtidos através de modelos de elementos finitos de casca, foram
baseados em análises linearizadas do comportamento geometricamente não linear de barras
comprimidas, i.e., ALE. Os resultados (cargas críticas e modos de instabilidade) fornecem uma
indicação da susceptibilidade das barras aos efeitos geometricamente não lineares. No entanto,
estes resultados não permitem avaliar o comportamento da coluna após ultrapassar a bifurcação
de equilíbrio. Para tal é necessário recorrer a análises intrinsecamente não lineares, i.e. ANL. Para
tal, inserem-se (i) imperfeições geométricas iniciais e (ii) comportamento elasto-plástico do aço.
As colunas SEHS são constituídas por dois tipos de parede (plana e curva). Como se referiu
no capítulo 2, as placas (parede plana) têm um comportamento de encurvadura e de pós-
encurvadura completamente diferente da casca (parede curva). Recorde-se que o comportamento
de pós-encurvadura da placa (parede plana) é estável e pouco sensível a imperfeições
geométricas iniciais enquanto o comportamento de pós-encurvadura da casca (parede curva) é
instável e muito sensível a imperfeições geométricas iniciais – ver Figura 3.7. Viu-se que o
comportamento de encurvadura da coluna SEHS é totalmente controlado pela parede plana
(comportamento de placa), tendo a zona curva apenas a função de restringir a deformação da zona
plana. Será de todo o interesse conhecer o comportamento de pós-encurvadura das colunas SEHS
e avaliar qual a parte da secção (plana ou curva) que mais controla a resistência última da coluna.
Figura 3.6 - Comportamento de pós-encurvadura de elemento tipo placa, casca e coluna.
Das análises não lineares realizadas para cada uma das 36 colunas cujas características se
representam na Tabela 3.1, evidenciaram-se 3 mecanismos de colapso distintos, associados a
trajectórias de equilíbrio com diferentes desenvolvimentos, normalmente relacionadas com os
comprimentos das colunas SEHS em estudo. A apresentação e análise de resultados divide-se em
- 42 -
três grupos (I, II e III) consoante as características evidenciadas, designadamente consoante as
trajectórias de pós-encurvadura e os mecanismos de colapso.
Em seguida, apresentam-se separadamente os resultados relativos a cada grupo de colunas.
3.4.2. Mecanismo de colapso I
O primeiro tipo de mecanismo de colapso, aqui designado de I, ocorre em cada uma das
seguintes 13 colunas SEHS:
203x223x5.0; L=1500; fy=355 324x375x6.3; L=2500; fy=355
225x259x5.0; L=1500; fy=355 280x322x5.0; L=2500; fy=355
252x276x5.0; L=1500; fy=355 203x223x5.0; L=2500; fy=750
324x375x6.3; L=1500; fy=355 225x259x5.0; L=2500; fy=750
280x322x5.0; L=1500; fy=355 252x276x5.0; L=2500; fy=750
280x322x5.0; L=2500; fy=750
324x375x6.3; L=2500; fy=750
252x276x5.0; L=2500; fy=355
Este grupo inclui todas as colunas com comprimento L=1500 mm e tensão de cedência fy=355
MPa, com excepção da coluna com secção 203x223x8.0, a qual revela um comportamento
substancialmente divergente das restantes. Este grupo também inclui todas as colunas com
comprimento L=2500 mm e tensão de cedência fy=750 kN, com excepção da coluna com secção
SEHS 203x223x8.0, L=2500 e fy=750. Incluem-se ainda neste grupo as colunas 252x276x5.0,
280x322x5.0, 324x375x6.3 com comprimento L=2500 mm e tensão de cedência fy=355 mm.
Portanto, incluem-se neste grupo a grande maioria das colunas curtas. Como se observará mais
adiante, o mecanismo de colapso I é extremamente localizado, sendo caracterizado por
esmagamento da secção central e formação de charneiras plásticas. Nas Figura 3.8 e 3.9
apresentam-se as trajectórias de equilíbrio das colunas (curvas carga – deslocamento axial) para
L=1500 e L=2500 mm, respectivamente. Note-se que a escala vertical das figuras se encontra
adimensionalizada em relação à carga crítica de cada coluna, neste caso “carga crítica local”.
O declive apresentado pela parte inicial das curvas (troço ascendente) é obviamente
diferente de coluna para coluna. Tal facto é devido aos diferentes valores da rigidez axial das
colunas (EA/L), o qual pode variar entre 28.7x106
N/mm (203x223x5.0-L=2500) e 100.8x106 N/mm
(324x375x6.3-L=1500). Aparentemente, os troços iniciais (ascendentes) de todas as curvas
parecem perfeitamente lineares. No entanto, isso não se verifica.
P/Pcr
- 43 -
Figura 3.7 - Curvas carga-deslocamento axial das colunas com L=1500 mm.
Figura 3.8 - Curvas carga-deslocamento axial das colunas com L=2500 mm
As curvas carga-deslocamento axial associadas estas colunas apresentam características
dispares em termos de resistência de pós-encurvadura, facto que se encontra intrinsecamente
ligado à esbelteza normalizada da secção, . Note-se que para valores de >1.130 (ver
Tabela 3.4), correspondente a L=1500 mm e secção SEHS de dimensões 280x322x5.0, as colunas
revelam uma capacidade de suportarem cargas superiores à sua carga de encurvadura critica
elástica sem entrarem em colapso. Nas colunas com <1.130, caracterizadas por uma resistência
pós-encurvadura insignificante ou inexistente, a curva carga-encurtamento axial desenvolve-se
linearmente até atingir a carga última Pu (máximos das curvas).
Nas colunas mais esbeltas ( >1.130), que exibem resistência pós-crítica, a trajectória de
equilíbrio ascendente divide-se em dois troços lineares cujo ponto intermédio correspondente,
aproximadamente, ao valor da carga crítica de encurvadura local (MLP). Como se verá mais à
frente, esta variação de inclinação da trajectória de equilíbrio deve-se sobretudo à degradação de
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 2 4 6 8 10 12 14
203x223x5225x259x5252x276x5280x322x5324x375x6.3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12 14
252x276x5280x322x5324x375x6.3203x223x5 ; fy=750MPa225x259x5 ; fy=750MPa252x276x5 ; fy=750MPa324x375x6.3 ; fy=750MPa280x322x5 ; fy=750MPa
Deslocamento Axial δ *mm+
P/Pcr
Deslocamento Axial δ *mm+
- 44 -
rigidez axial devido à instabilidade local da parede plana para P=Pcr e posteriormente ao início da
plastificação das fibras nessa parede.
Tabela 3.4 - Carga última de resistência das colunas SEHS com mecanismo de colapso tipo I.
Tipologia L [mm] fy [Mpa] e0 [mm] Py [kN] Pcr [kN] Pu [kN] Pu/Ppl
203x223x5.0 1500 355
1.0 1214.1 1943.5 0.79 1179.7 0.972
2500 750 2582.1 1928.6 1.157 2237.2 0.866
225x259x5.0 1500 355
1.0 1391.6 1661 0.915 1282.3 0.921
2500 750 2953.6 1644.2 1.342 2466.3 0.833
252x276x5.0
1500 355
1.0 1519.4
1605 0.973 1393.1 0.917
2500 1584 0.979 1382.8 0.91
2500 750 3231.4 1584 1.428 2629.4 0.833
280x322x5.0
1500 355
1.0
1743.1 1365.9 1.13 1543.5 0.886
2500 1743.1 1343.7 1.139 1531.8 0.879
2500 750 3707.1 1343.7 1.661 2996.3 0.808
324x375x6.3
1500 355
1.0
2556.0 2346.8 1.044 2262.3 0.885
2500 2556.0 2298.4 1.055 2277.8 0.891
2500 750 5436.0 2298.4 1.538 4483 0.824
Atingida a carga última de resistência da coluna, esta descreve uma trajectória
descendente, muito semelhante à trajectória de pós-encurvadura característica de elementos
casca, perdendo assim qualquer capacidade de suportar cargas de valores superiores e
aumentando rapidamente o seu deslocamento axial para cargas decrescentes. Em particular,
ressalva-se que a análise não linear efectuada à coluna SEHS com dimensões 280x322x5 e com
tensão de cedência do aço de valor 750 MPa, não permitiu encontrar um troço de equilíbrio
descendente na vizinhança do ponto máximo, apesar das tentativas de adoptar outros parâmetros
de controlo na solução numérica (e.g., diminuição do comprimento do arco e nº de iterações). É
previsível que a trajectória de pós-encurvadura desta coluna possa ser semelhante às das
restantes. Apresenta-se na Figura 3.9, o mecanismo de colapso característico deste grupo de
colunas, cujas trajectórias de pós-encurvadura foram apresentadas.
Figura 3.9 - Mecanismo de colapso da coluna com 2500mm e secção SEHS de dimensões 280x322x5.
- 45 -
O mecanismo de colapso associado a este grupo de colunas mostra (i) as secções
transversais de meio vão totalmente plastificadas (cor cinzenta na Figura 3.9), (ii) com um
mecanismo de charneira plástica que envolve grande deformação dessas secções e (iii) as
restantes zonas da coluna em regime elástico e sem qualquer deformação do eixo da coluna
(permanece recto). Devido a este motivo, os apoios extremos não são sujeitos a concentração de
tensões relevante, sendo que as suas secções apresentam tensões inferiores a 200MPa, com os
máximos a surgirem na zona mais curva da casca.
Ao contrário do que era esperado dos resultados obtidos na ALE, a casca (zona curva da
SEHS) contribui activamente para a resistência de pós-encurvadura das secções mais esbeltas.
Visto que o MLP obtido na ALE foi caracterizado pela encurvadura da placa (zona plana), seria de
esperar que o mecanismo de colapso fosse precipitado essencialmente por esse elemento.
Contrariamente, o mecanismo de colapso é realmente caracterizado pelo esmagamento de toda a
secção de meio vão. Com o objectivo de perceber este comportamento, apresenta-se em seguida
a evolução das tensões da coluna e o modo de deformação para diferentes pontos da curva carga-
deslocamento axial representada na Figura 3.10. Representam-se quatro pontos notáveis (A, B, C
e D). Da Figura 3.11 à Figura 3.15, pode observar-se a distribuição das tensões correspondentes
aos pontos A, B C e D, assim como as zonas plastificadas em diferentes pontos da trajectória de
equilíbrio.
O ponto “A” localiza-se na trajectória carga-deslocamento axial e, aproximadamente, na
zona onde o declive da curva se altera devido à degradação da rigidez axial da coluna. Com uma
carga aplicada de 85% da carga crítica, isto é, 1378.1 kN, a coluna apresenta-se em regime
elástico, não exibindo qualquer fibra plastificada. Nesta fase, grande parte da carga aplicada é
suportada pela placa, apresentando alternadamente zonas com tensões superiores ou inferiores à
tensão média instalada, como é visível na Figura 3.11. Esta alternância deve-se principalmente às
imperfeições iniciais que se adoptaram, e que têm a forma do modo crítico de encurvadura local.
Assim, nas zonas de elevada concentração de tensões regista-se um valor da tensão na ordem
dos 500MPa. A casca (zona curva) apresenta tensões uniformes na ordem dos 250MPa. Pelo facto
de se estar a atingir a carga crítica de encurvadura local, existe uma degradação de rigidez axial
puramente elástica associada aos efeitos geometricamente não lineares. Tal degradação tem o
efeito de diminuir o declive da trajectória para P/Pcr>1. No entanto, note-se que esta perda é
marginal pois a restante parte curva da coluna permanece elástica e sem instabilização.
No ponto B, com uma carga aplicada de 2344.3 kN, o valor das tensões médias é
duplicado relativamente à distribuição apresentada para o ponto A. A distribuição longitudinal das
tensões continua a ser simétrica relativamente à secção de meio vão, como é visível na Figura
3.12. Com o aumento da carga, verifica-se a plastificação das regiões da placa (a cinzento) onde já
se tinham registado valores de tensões acima do valor médio e que correspondem às zonas da
placa onde se localizavam algumas das onze semi-ondas do modo crítico de encurvadura local da
placa (zona plana). A observação da Figura 3.13 mostra que das onze semi-ondas existentes,
- 46 -
apenas as semi-ondas pares (2, 4, 6, 8, 10) tendem a plastificar. A entrada em cedência destas
zonas da placa é o principal motivo da perda de rigidez axial da coluna e, por conseguinte, da
alteração do declive da sua trajectória de equilíbrio. Embora a casca ainda permaneça sem fibras
em cedência, já não apresenta uma distribuição uniforme de tensões, como se tinha registado na
configuração A, e na zona de menor curvatura (junto à ligação com a zona plana) apresente uma
alternância de tensões inversa à verificada na placa, isto é, nas secções onde a placa apresenta
tensões elevadas, a casca tende a ter tensões de menor valor (e vice-versa).
Figura 3.10 - Trajectória carga-deslocamentoo axial da coluna com 2500 mm de comprimento, secção SEHS 252x276x5 e fy=750MPa.
No ponto C, a coluna atinge a sua carga última de resistência, Pu=2629.4 kN. Tal facto
ocorre a partir do momento em que a casca (zona curva) começa a apresentar zonas plastificadas,
nomeadamente na sua zona menos rígida, ou seja, a região com menor curvatura, ver Figura 3.13.
A observação da Figura 3.14 mostra que das cinco semi-ondas plastificadas em B (2, 4, 6, 8, 10)
apenas três (2, 6, 10) tendem a aumentar a região plastificada enquanto as restantes duas (4, 8)
diminuem essa zona. Assim, verifica-se que do ponto B para o ponto C existe um processo de
transferência de tensão de umas regiões para outras, sempre na placa (zona plana). No entanto,
começa a observar-se uma plastificação mais acentuada na semi-onda 6 (meio-vão) dos que nas
restantes semi-ondas 2 e 4, em especial na região da casca junto ao meio vão.
No ponto D (P=2011 kN), existe uma transferência de tensões de toda a coluna para a
zona central, apresentando a secção de meio-vão completamente plastificada, tanto na zona plana
como na zona curva. As outras secções da placa que apresentavam tensões de elevada ordem de
grandeza deixam de estar sujeitas a tais tensões, transferindo a carga (descarga elástica) que
suportavam para as secções de meio vão, ver Figura 3.14. Do ponto D para o ponto E
(P=1298.9kN), apenas ocorre o espalhamento da plasticidade na zona de meio vão, evidenciando-
se assim o mecanismo de colapso extremamente localizado, com o esmagamento da secção
central, e formação de evidentes charneiras plásticas.
A
B
C
D
E
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0 2 4 6 8 10 12 14
P/Pcr
Deslocamento Axial δ *mm+
- 47 -
Figura 3.11 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto A (=3.8; P/Pcr=0.87).
Figura 3.12 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto B (=6.85; P/Pcr =1.48).
Figura 3.13 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto C (=8.01; P/Pcr =1.66).
Figura 3.14 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto D (=8.61; P/Pcr =1.27).
Figura 3.15 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto E (=14.6; P/Pcr =0.82).
Desta forma, conclui-se que as colunas com secção SEHS podem apresentar uma elevada
resistência de pós-encurvadura que se deve não só à resistência intrínseca da zona plana (placa)
mas também (e surpreendentemente) à zona curva (casca), na medida em que esta permanece
em regime elástico para P>Pcr e garante que a coluna permaneça com elevada rigidez axial. Claro
que esta enorme reserva de resistência pós-crítica se perde assim que a zona curva (casca)
começa a plastificar. Mesmo nas colunas que exibem este tipo de mecanismo muito localizado e
colapsam para P/Pcr<1, isto é colunas com <1.130, a não existência de reserva de resistência
pós-crítica deve-se ao facto da tensão crítica se aproximar da tensão de cedência do aço,
passando a ser superior ( <1.0) em alguns casos.
- 48 -
3.4.3. Mecanismo de colapso II
O segundo tipo de mecanismo de colapso, aqui designado de II, ocorre em cada uma das
seguintes 13 colunas SEHS, todas com fy=355MPa.
203x223x8.0; L=1500 203x223x5.0; L=2500 225x259x5.0; L=12000
203x223x8.0; L=2500 203x223x5.0; L=5000 252x276x5.0; L=7500
203x223x8.0; L=3500 225x259x5.0; L=2500 280x322x5.0; L=10000
203x223x8.0; L=2500; fy=750Mpa 225x259x5.0; L=6000 324x375x6.3; L=10000
203x223x5.0; L=10000; e0=10.0
Este grupo inclui as colunas com L=2500 mm com secção SEHS com dimensões:
203x223x5, 203x223x8 e 225x259x5. As colunas com comprimentos compreendidos entre 3500 e
12000mm, assim como a coluna com 1500 mm de comprimento e secção SEHS de dimensões
203x223x8 apresentaram igualmente um comportamento com as características que se irão expor
nesta secção. As curvas carga-deslocamento axial são representadas na Figura 3.16 e na Figura
3.17, divididas segundo as colunas que têm comprimento menor ou igual a 2500mm e superior a
2500 mm, respectivamente.
Todas as trajectórias apresentadas mostram características semelhantes. Até atingirem a
carga última de resistência as trajectórias desenvolvem-se linearmente, decrescendo abruptamente
após esta ser alcançada. Após atingir o ponto máximo, a diminuição da carga suportada pela
coluna é tanto mais acentuada quando maior for a relação Pu/Pcr. Na Tabela 3.5 apresentam-se os
resultados da análise não linear às colunas com este tipo de mecanismo. Da sua observação
regista-se um acréscimo da capacidade resistente dos elementos com o aumento da sua
esbelteza. Com excepção da coluna com L=10000 mm e tipologia 280x322x5, a qual apresenta
uma margem de 14% de resistência pós-encurvadura, nenhuma coluna consegue suportar cargas
além da carga crítica de encurvadura elástica. Ressalve-se que embora certas colunas apresentem
um valor elevado para a relação Pu/Pcr, tal não se traduz na carga efectivamente por elas
suportada. Veja-se como exemplo a coluna SEHS 203x223x8 com L=2500 mm, que apresenta um
valor reduzido Pu/Pcr=0,26 mas consegue suportar uma carga Pu=1966.2KN, valor superior aos
valores máximos de todas as colunas deste grupo, à excepção da coluna com 10000mm de
comprimento tipologia 324x375x6.3.
As Figuras 3.19 e 3.20 mostram o mecanismo de colapso característico deste grupo de
colunas. É possível observar que o mesmo é caracterizado pela (i) deformação global do eixo
longitudinal da coluna em torno do eixo de menor inercia da secção, (ii) instabilidade local da placa
na zona de meio vão da coluna, com a casca a exibir apenas deformações por compatibilidade
com a placa, e (iii) elevada concentração de tensões nas secções extremas da coluna,
designadamente na zona da casca elíptica com maior curvatura e rigidez (ver Figuras 3.21 e 3.22).
- 49 -
Figura 3.16 - Curvas carga-deslocamento axial para colunas com mecanismo de colapso tipo II e L≤2500 mm
Figura 3.17 - Curvas carga-deslocamento axial para colunas com mecanismo de colapso tipo II e L> 2500 mm
O principal motivo para que o modo de colapso destas colunas exiba deformação do seu
eixo longitudinal tem a ver com a proximidade que a que a carga crítica global está da carga crítica
local. Recorde-se que, genericamente, estas colunas não são curtas e embora o modo crítico seja
local, o modo de instabilidade global conduz a cargas de bifurcação que podem estar próximas das
carga críticas locais. Note-se que, nas curvas de estabilidade da Figura 2.17 e para comprimentos
entre os 2500 mm e os 10000 mm, as colunas em análise apresentam cargas críticas de
instabilidade local mas as cargas de instabilidade global por flexão não se encontram muito
afastadas. Consoante o comprimento da coluna se aproxime do intervalo onde a curva de Euler de
encurvadura global é crítica, mais marcadamente o modo global de flexão influencia os resultados.
Nas colunas onde a carga de resistência plástica, Py, consegue ter maior mobilização,
nomeadamente na coluna com 2500 mm de comprimento e tipologia 203x223x5 e nas colunas
com tipologia 203x223x8.0 e comprimentos de 2500 mm e 3500 mm, o mecanismo de colapso
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 2 4 6 8 10
203x223x5203x223x8225x259x5203x233x8; fy=750MPA203x233x8; L=1500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 5 10 15 20
203x223x5 L=5000203x223x8 L=3500225x259x5 L=6000252x276x5 L=7500280x322x5 L=10000324.375x6.3 L=10000225x259x5;L=12000203x223x5;e0=10.0
P/Pcr
Deslocamento Axial δ *mm+
Deslocamento Axial δ *mm+
P/Pcr
- 50 -
caracteriza-se por apresentar maiores deformações de cariz local nas secções próximas dos
apoios, para além da secção de meio vão (ver Figura 3.19).
Tabela 3.5 - Carga última de resistência das colunas SEHS com mecanismo de colapso tipo II.
Tipologia L [mm] fy [Mpa] e0 [mm] Py [kN] Pcr [kN] Pu [kN] Pu/Py
203x223x8.0
1500
355 1.0
1917.0
7646.2 0.501 1965.1 1.025
2500 7591.4 0.503 1966.2 1.026
3500 7578.6 0.503 1962.8 1.024
2500 750 4077.0 7591.4 0.733 4023.5 0.987
203x223x5.0
2500
355 1.0
1214.1
1928.6 0.793 1166.8 0.961
5000 1924.2 0.794 1168 0.962
10000 10.0 1557.3 0.883 1004.5 0.827
225x259x5.0
2500
355 1.0 1391.6
1644.2 0.92 1289 0.926
6000 1638.1 0.922 1269.5 0.912
12000 1537.1 0.951 1317.3 0.947
252x276x5.0 7500 355 1.0 1519.4 1577.1 0.982 1361.1 0.896
280x322x5.0 1000 355 1.0 1743.1 1334.5 1.143 1467.9 0.843
324x375x6.3 10000 355 1.0 2556.0 2275.5 1.06 2216.4 0.867
A ligeira discrepância entre os mecanismos de colapso das colunas apresentados na
Figura 3.18 e na Figura 3.19 deve-se essencialmente à capacidade das colunas menos esbeltas
mobilizarem a sua resistência plástica nas secções de apoio. As distribuições de tensões dos
mecanismos de colapso associados aos dois tipos de mecanismo são apresentadas na Figura 3.20
e na Figura 3.21. A maior diferença é notada nas zonas junto às secções de apoio: enquanto nas
colunas mais compridas a plastificação ocorre por cedência da zona curva (casca) e ao longo do
comprimento (não existe uma secção com plastificação completa), nas colunas mais curtas a
plastificação ocorre por cedência de toda a secção (zonas plana e curva), deformação local da
zona curva e numa região muito delimitada do comprimento (junto aos apoios).
Figura 3.18 - Mecanismo de colapso da coluna com 10000 mm de comprimento e secção SEHS de dimensões 324x375x6.3.
- 51 -
Figura 3.19 - Mecanismo de colapso da coluna com 2500 mm de comprimento e secção SEHS de dimensões 203x223x5.
Figura 3.20 - Distribuição de tensões no colapso da coluna com 10000 mm de comprimento e secção SEHS de dimensões 324x375x6.3.
Figura 3.21 - Distribuição de tensões no colapso da coluna com 2500 mm comprimento e secção SEHS de dimensões 203x223x5.0.
Observem-se as Figuras 3.23 e 3.24, referentes aos mecanismos de colapso da coluna com
tipologia 225x276x5 e L=12000 mm e da coluna com tipologia 203x223x5, L=10000 mm e
e0=10.0mm. Aparentemente, ambas mostram deformação e distribuição de tensões no colapso não
enquadráveis no mecanismo tipo II, já que exibem a formação de duas rótulas plásticas
- 52 -
simetricamente em relação à secção de meio vão. Relembre-se que o mecanismo de colapso do
tipo II é condicionado sobretudo devido ao modo crítico de instabilidade local. Assim, será de
esperar que o número de semi-ondas apresentado pela coluna em fase elástica condicione a
distribuição de tensões últimas e mesmo o modo de colapso. Se a coluna exibe um número de
semi-ondas ímpar, o plano que contém a secção de meio vão é um plano de simetria do modo de
instabilidade da coluna. Logo, o mecanismo de colapso desenvolver-se-á de forma simétrica em
relação à secção de meio-vão, facto que pode ocorrer de duas formas distintas: (i) a semi-onda
central (meio-vão) instabiliza, ou (ii) as duas semi-ondas adjacentes à semi-onda central nas quais
a placa exibe um nível de compressão superior instabilizam e, no colapso, apresentam-se como
charneiras plásticas (Figuras 3.23 e 3.24). Nas colunas onde o modo crítico local se desenvolve
com um número de semi-ondas par, as colunas não se deformam de forma simétrica relativamente
ao meio vão, o que resulta na plastificação da semi-onda, em que a placa apresenta maiores níveis
de tensão instalada, mais próxima desta secção (Figura 3.21 e 3.22).
Figura 3.22 - Distribuição de tensões no colapso da coluna com L=10000mm e secção SEHS de dimensões 203x223x5.0 e e0=+10.0.
Figura 3.23 - Mecanismos de colapso e distribuição de tensões da coluna com 12000mm e secção SEHS de dimensões 225x259x5.
Por forma a compreender a evolução da carga com o desenvolvimento do mecanismo de
colapso, analise-se a evolução da distribuição de tensões associada ao desenvolvimento da curva
carga-deslocamento axial, considerando os pontos (A, B, C e D) assinalados na curva carga-
deslocamento axial da Figura 3.24.
- 53 -
No ponto A (P=1125.4 kN), a coluna apresenta-se ainda em regime elástico apresentando
uma significativa variação de tensões apenas na zona plana (placa) devido à influência das
imperfeições geométricas que têm a forma do modo crítico de instabilidade local. Devido ao facto
do modo local ter 28 semi-ondas, existe uma distribuição de tensões da fase de pré-encurvadura
que tem 11 regiões onde existem valores máximos de tensão, como se constata na Figura 3.25
nas zonas a encarnado. Por outro lado, a distribuição de tensões exibida na zona curva (casca)
denota uma maior uniformidade, com valores próximos dos 200MPa.
No ponto B (Pu=1269.53 kN), referente ao máximo da curva carga-deslocamento axial, a
coluna atinge a sua resistência última. Como se observa na Figura 3.27, as regiões da placa onde
se evidenciava (durante a fase elástica) uma maior concentração de tensões apresentam-se agora
plastificadas. A casca (zona curva) deixa de exibir uma distribuição uniforme de tensões,
registando-se a plastificação de algumas fibras na zona elíptica mais próximas da placa,
nomeadamente nas secções mais próximas do meio vão da coluna SEHS. Nos apoios denota-se
uma concentração de tensões na zona mais curva da casca elíptica, próxima da tensão de
cedência do aço, em oposição à placa, onde só se atingem valores de tensão de aproximadamente
210MPa.
Figura 3.24 - - Trajectória carga-deslocamento axial da coluna com 6000mm de comprimento e secção SEHS de dimensões 225x259x5
No ponto C (P=1187.6 kN), manifesta-se uma perda de rigidez axial da coluna e uma
transferência da plastificação da zona plana para a secção de meio vão (zonas plana e curva). A
Figura 3.27 mostra claramente este fenómeno, com o aparecimento de uma rótula plástica a meio
vão devido ao espalhamento da plasticidade da placa para a casca. Devido (i) à existência desta
rótula plástica e (ii) à proximidade da carga de instabilidade global (por flexão), a trajectória
descendente da curva carga deslocamento é caracterizada por um mecanismo global da coluna.
Como este mecanismo envolve flexão da coluna, as tensões nas secções próximas dos apoios
tendem a atingir a tensão de cedência do material nas zonas mais afastadas da linha neutra, isto é,
na casca. O ponto D (P=879.7 kN) corresponde ao mecanismo de colapso já descrito (Figura 3.29)
A
B
C
D
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 2 4 6 8 10 12 14
Deslocamento Axial δ *mm+
P/Pcr
- 54 -
com o espalhamento de plasticidade a ocorrer essencialmente ao longo do eixo da coluna,
aumentando assim a deformação global por flexão.
Figura 3.25 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto A (8.09;0.687).
Figura 3.26 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto B (9.34;0.775).
Figura 3.27 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto C (9.03;0.725).
Figura 3.28 - Distribuição de tensões correspondente ao ponto D (12.2;0.537).
Comparativamente às colunas com mecanismo do tipo I, pode afirmar-se que estas colunas
(i) não apresentam resistência pós-crítica (têm esbelteza <1.140) e (ii) o mecanismo de colapso
não apresenta forte esmagamento exclusivamente na secção de meio vão. Tal significa que a
instabilidade global por flexão, não sendo crítica, controla a resistência das colunas com
mecanismo do tipo II, não permitindo que a reserva de resistência pós-crítica da zona plana (placa)
se desenvolva. Sublinhe-se ainda que as colunas do tipo II, todas com imperfeição geométrica
local, exibem um modo de colapso com deslocamento da secção de meio vão no sentido da zona
curva (isto é, da casca). O facto da placa instabilizar para níveis de tensão bastante mais baixos
que a casca, faz com que as tensões se tendam a concentrar nos bordos longitudinais da placa e
em toda a casca. Este fenómeno implica que a secção efectiva (ou resistente) da SEHS seja
- 55 -
diferente da secção bruta, pois a zona intermédia da placa (entre bordos longitudinais) não conta
para a resistência da secção SEHS. Por este motivo, existe uma mudança do centro de gravidade
da secção bruta para a secção efectiva para zonas mais distantes da placa e mais próximas da
casca, originando um momento adicional que tende a “atenuar” das tensões de compressão na
zona curva a meio vão e a agravar as tensões de compressão na zona plana a meio vão. Este
momento implica que a secção se desloque no “sentido da casca” na zona de meio vão.
3.4.4. Mecanismo de colapso III
O terceiro tipo de mecanismo de colapso, aqui designado de III, ocorre em cada uma das
seguintes 10 colunas SEHS, em que todas têm fy=355MPa:
Este mecanismo de colapso manifesta-se em todas as colunas SEHS de maior
comprimento, designadamente nas tipologias de colunas 203x223x5.0, 203x223x8.0, 225x259x5.0,
280x322x5.0, 252x276x5.0 e 324x375x6.3 com L a variar entre os 7000mm e os 20000mm com e
sem imperfeições iniciais. Na Figura 3.29, apresentam-se as curvas carga-encurtamento axial das
colunas mencionadas, com as trajectórias de equilíbrio das colunas com e0=+1.0mm (valor por
defeito nas ANL executadas) a traço contínuo e as curvas das colunas com e0=L/1000 a tracejado.
A observação desta figura permite referir que não se conseguiu obter uma trajectória descendente
para grandes deslocamentos, tal como no caso das colunas com mecanismo do tipo I e II, mas
apenas a trajectória na vizinhança do ponto de carga máxima. Tal é devido ao facto do programa
ABAQUS ter apresentado alguns problemas na resolução do equilíbrio na vizinhança do ponto de
resistência última em muitas das colunas analisadas. Tentou solucionar-se o problema com
alteração (i) do número e amplitude dos incrementos, (ii) do método de resolução numérica, (iii) da
relação constitutiva do aço (incluindo algum endurecimento do aço), mas não houve sucesso nos
resultados. No entanto, e apesar de não se terem obtido trajectórias descendentes tão alargadas
quanto possível, obtiveram-se as cargas últimas que caracterizam a capacidade resistente das
colunas.
Embora as trajectórias de pós-encurvatura de determinadas colunas não tenham sido
calculadas muito para além do ponto de resistência última, admite-se que todas as colunas
apresentem trajectórias qualitativamente semelhantes já que apresentam uma evolução de tensões
e um mecanismo de colapso comum. As curvas carga-encurtamento axial das colunas longas e
com imperfeição global e0=L/1000 caracterizam-se por se desenvolverem linearmente até à
203x223x8.0; L=7000 203x223x8.0; L=7000; e0=+7.0
203x223x5.0; L=10000 225x259x5.0; L=12000; e0=+12.0
252x276x5.0; L=15000 252x276x5.0; L=15000; e0=+15.0
280x322x5.0; L=20000 280x322x5.0; L=20000; e0=+20.0
324x375x6.3; L=20000 324x375x6.3; L=20000; e0=+20.0
- 56 -
vizinhança do ponto máximo e, posteriormente, por uma transição suave para a trajectória
descendente. Este comportamento é geralmente observado em colunas com encurvadura por
flexão. Para comprimentos longos, nenhuma das colunas apresenta resistência de pós-
encurvadura, embora volte a ser a coluna com paredes mais esbeltas que regista o maior valor do
factor Pu/Pcr – ver Tabela 3.6 O aumento da amplitude das imperfeições geométricas iniciais
resulta, como esperado, numa perda substancial da capacidade resistente da coluna. Em algumas
curvas nota-se uma transição ainda mais suave da fase de pré-colapso para a fase de pós-
colapso, vincando o comportamento característico de colunas constituídas por materiais elasto-
plásticos. Apresenta-se na Figura 3.30 e 3.32 a deformada e distribuição de tensões do mecanismo
de colapso característico das colunas longas.
Figura 3.29 - Curvas carga-deslocamento axial das colunas longas.
Figura 3.30 - Deformada apresentada no colapso pela coluna com 20000mm de comprimento e secção SEHS de dimensões 280x322x5.0.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 5 10 15 20 25
203x223x5; L=10000
225x259x5; e0=+12.0
203x223x8; L=7000
203x223x8; e0=+7.0
252x276x5; L=15000
252x276x5; e0=+15.0
280x322x5; L=20000
280x322x5; e0=+20.0
324x375x6.3; L=20000
324x375x6.3; e0=+20.0
P/Pcr
Descolamento Axial δ *mm]
- 57 -
Figura 3.31 - Distribuição de tensões no mecanismo de colapso da coluna com 20000mm de comprimento e secção SEHS de dimensões
280x322x5.0. Em cima, tensões a meio vão; em baixo, tensões no apoio.
Tabela 3.6 - Carga última de resistência das colunas SEHS com mecanismo de colapso tipo III.
Tipologia L [mm] fy [Mpa] e0 [mm] Py [kN] Pcr [kN] Pu [kN] Pu/Ppl
203x223x8.0 7000
355 1.0
1917.0 4809.5 0.631 1947.9 1.016
7000 7.0 4809.5 0.631 1818 0.948
203x223x5.0 10000 355 1.0 1214.1 1557.3 0.883 1183.8 0.98
225x259x5.0 12000 355 12.0 1391.6 1537.1 0.951 1076 0.773
252x276x5.0 15000
355 1.0
1519.4 1344.7 1.063 1288.2 0.848
15000 15.0 1344.7 1.063 1034.1 0.681
280x322x5.0 20000
355 1.0
1743.1 1084.7 1.268 1053.22 0.604
20000 20.0 1084.7 1.265 914.1 0.525
324x375x6.3 20000
355 1.0 2556.0 2113.3 1.1 2058.4 0.805
20000 20.0 2556.0 2113.3 1.1 1667.4 0.652
A deformada apresentada no colapso das colunas longas é muito semelhante à do modo
de instabilidade crítico elástico de colunas com comprimentos significativos. A coluna encurva
globalmente em torno do eixo de menor inércia, z-z, não apresentando qualquer instabilidade ao
nível local das paredes. De facto, estas colunas apresentam o modo global de flexão como modo
crítico de instabilidade. Como este modo não exibe qualquer resistência pós-critica, não é possível
à coluna atingir valores de cargas associados ao modo de encurvadura local. Por este motivo,
estas colunas nunca apresentam mecanismos de colapso com influência da deformação local das
secções. Da análise da distribuição de tensões na coluna, verifica-se a plastificação de uma região
considerável na placa da zona de meio vão e a plastificação da zona mais curva da casca nos dois
apoios (a cinzento na Figura 3.32). Existe claramente um espalhamento de plasticidade ao longo
do comprimento da coluna, facto que conduzirá provavelmente ao comportamento típico de “rótula
plástica” (para grandes deslocamentos na trajectória descendente).
3.4.5. Síntese e discussão de resultados
Como se observou anteriormente, as colunas de aço SEHS podem ser classificadas em
três diferentes grupos, no que ao seu modo de colapso diz respeito: (i) mecanismo local com
esmagamento muito localizado nas zonas plastificadas (tipo I), (ii) mecanismo global com
deformação local nas zonas plastificadas (tipo II) e (iii) mecanismo global sem deformação local
nas zonas plastificadas (tipo III). O dimensionamento de elementos estruturais de aço é, de alguma
forma, dependente do tipo de modo de encurvadura e do tipo de mecanismo de colapso. Para tal,
existe a necessidade de apresentar os resultados obtidos não só do ponto de vista do tipo de modo
- 58 -
de colapso, mas também em função dos parâmetros materiais e geométricos mais relevantes. A
filosofia de dimensionamento de elementos estruturais metálicos assenta sempre no conceito de
esbelteza generalizada ( ), que mais não é que uma relação entre (i) uma grandeza que
tem em conta a resistência plástica da coluna (carga de cedência Py=Afy) com (ii) uma grandeza
que tem em consideração a rigidez e a sensibilidade à instabilidade da coluna (carga crítica
Pcr=Afcr). Na Tabela 3.7 sintetizam-se os resultados obtidos das análises não lineares às colunas
SEHS e rácios relevantes para discussão e comparação de valores.
Nas Figuras 3.33 e 3.34 apresentam-se diversos pontos, em que cada um corresponde a
uma coluna analisada anteriormente. No eixo vertical apresentam-se os valores da relação entre a
carga última Pu e a carga de cedência Py, e no eixo horizontal apresenta-se o valor da esbelteza
normalizada . As duas figuras divergem apenas na representação dada aos pontos. Na Figura
3.32 dá-se ênfase às propriedades geométricas e do material (pontos circulares pretos, pontos
circulares brancos e quadrados), enquanto na Figura 3.33 associam-se os pontos aos mecanismos
de colapso exibidos pelas colunas (pontos azuis, verdes e vermelhos). Analisando-se os pares de
valores ( ; Pu/Py) verifica-se que colunas com esbelteza normalizada de valor inferior a 0.60
conseguem explorar a plasticidade do material e não existe qualquer influência da instabilidade da
coluna, traduzindo-se por valores de Pu/Py unitários. Para >0.60, as colunas tornam-se sensíveis
aos fenómenos de instabilidade (local e/ou global), obtendo-se Pu/Py<1.0. Os círculos brancos
representam os valores correspondentes às colunas SEHS com fy=355MPa e maiores
imperfeições geométricas iniciais (e0=L/1000mm), enquanto os círculos pretos representam os
valores correspondentes às colunas SEHS com fy=355MPa e menores imperfeições geométricas
iniciais. Como seria expectável, e para valores de semelhantes, as colunas com e0=L/1000
apresentam menor capacidade resistente. Os quadrados representam os valores correspondentes
às colunas SEHS com menores imperfeições geométricas iniciais (e0=1.0mm) e a forma do modo
crítico de flexão local, mas agora com uma tensão de cedência mais elevada (fy=750 MPa).
Portanto, a diferença entre os círculos pretos e os quadrados reside principalmente na tensão de
cedência, a qual mais que duplica. Por este motivo, os quadrados estão bastante deslocados para
a direita pois representam as colunas com maiores esbeltezas.
Contrariamente ao que seria expectável, o aumento da tensão de cedência e, portanto, da
esbelteza, não induz um decréscimo no valor da relação Pu/Py. Normalmente, um aumento da
tensão de cedência permite que os fenómenos de instabilidade se desenvolvam para incrementos
de carga acima da carga crítica, o que conduz a um aumento de Pu menos significativo que o
aumento de Py. Neste trabalho, verificou-se que a utilização de um aço mais resistente implicou um
aumento semelhante no valor de Pu e no valor de Py, mantendo quase inalterável o valor da
relação Pu/Py. Tal evidência é devida ao facto das colunas muito esbeltas (com mecanismo de
colapso do tipo I – pontos vermelhos) terem elevada resistência pós-crítica, o que faz com que o
aumento de Pu seja muito mais efectivo que do que nos casos tradicionais e acompanhe o
- 59 -
aumento de Py. Este facto é facilmente visualizado na Figura 3.33, em que os quadrados formam
quase um “patamar” horizontal para aumento de esbelteza considerável. Do ponto de vista prático,
recomenda-se a utilização de aços de alta resistência para o fabrico destes perfis, pois tais aços
permitem obter uma reserva de resistência pós-crítica notável. No entanto, tal é verdade sempre
que se possa garantir um excelente controlo de qualidade no fabrico destes perfis, de forma a
assegurar imperfeições geométricas reduzidas.
Tabela 3.7 - Síntese de resultados das análises não lineares realizadas às colunas SEHS.
Tipologia L [mm] Py [KN] Pcr [KN] Pu [KN] Pu/Py Mecanismo
203x223x8.0
1500
1917
7646.2 0.501 1965.1 1.025 II
2500 7591.4 0.503 1966.2 1.026 II
3500 7578.6 0.503 1962.8 1.024 II
7000 4809.5 0.631 1947.9 1.016 III
7000 e0= +7.0 4809.5 0.631 1818.0 0.948 III
2500 fy= 750MPa 4077 7591.4 0.733 4023.5 0.987 II
203x223x5.0
1500
1214.1
1943.5 0.790 1179.7 0.972 I
2500 1928.6 0.793 1166.8 0.961 II
5000 1924.2 0.794 1168.0 0.962 II
10000 1557.3 0.883 1189.8 0.980 III
10000 e0= +10.0 1557.3 0.883 1004.5 0.827 II
2500 fy= 750MPa 2582.1 1928.6 1.157 2237.2 0.866 I
225x259x5.0
1500
1391.6
1661.0 0.915 1282.3 0.921 I
2500 1644.2 0.920 1289.0 0.926 II
6000 1638.1 0.922 1269.5 0.912 II
12000 1537.1 0.951 1317.3 0.947 II
12000 e0= +12.0 1537.1 0.951 1076.0 0.773 III
2500 fy= 750MPa 2959.6 1644.2 1.342 2466.3 0.833 I
252x276x5.0
1500
1519.4
1605.0 0.973 1393.1 0.917 I
2500
1584.0 0.979 1382.8 0.910 I
7500
1577.1 0.982 1361.1 0.896 II
15000
1344.7 1.063 1288.2 0.848 III
15000 e0= +15.0 1344.7 1.063 1034.1 0.681 III
2500 fy= 750MPa 3231.4 1584.0 1.428 2629.4 0.814 I
280x322x5.0
1500
1743.05
1365.9 1.130 1543.5 0.886 I
2500 1343.7 1.139 1531.8 0.879 I
10000 1334.5 1.143 1467.9 0.842 II
20000 1084.7 1.268 1073.8 0.616 III
20000 e0= +20.0 1084.7 1.268 914.4 0.525 III
2500 fy= 750MPa 3707.05 1343.7 1.661 2996.3 0.808 I
324x375x6.3
1500
2556
2346.8 1.044 2262.3 0.885 I
2500 2298.4 1.055 2277.8 0.891 I
10000 2275.5 1.060 2216.4 0.867 II
20000 2113.3 1.100 2058.4 0.805 III
20000 e0= +20.0 2113.3 1.100 1667.4 0.652 III
2500 fy= 750MPa 5436 2298.4 1.538 4482.0 0.824 I
208x322x5.0 20000 fy= 750MPa 3707.05 1084.7 1.849 1081.4 0.292 III
- 60 -
Figura 3.32 – Variação de Pu/Py com – propriedades geométricas.
Figura 3.33 - Variação de Pu/Py com λ – mecanismos de colapso.
Em particular, verificou-se que círculo preto de coordenadas (=1.268; Pu/Py=0.604), que
corresponde à coluna de tipologia 280x322x5.0, se encontra “desenquadrado” da aparente linha de
tendência formada pela dispersão dos pontos. Para verificar se esse resultado estaria correcto ou
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000
fy=355Mpa; e0=1.0mm
fy=355Mpa; e0=L/1000mm
fy=750MPa; e0=1.0mm
280x322x5.0; fy=750MPa; e0=1.0mm
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000
Mecanismo Local Tipo IMecanismo Local Tipo IIMecanismo Global Tipo III
Pu/Py
Pu/Py
- 61 -
se seria uma solução numérica “errada”1, efectuaram-se posteriormente várias análises com outros
parâmetros da estratégia incremental-iterativa (comprimento de arco, nº de incrementos, critério de
convergência nas iterações), concluindo-se que aquele valor se manteve praticamente inalterável
sem uma razão aparente para ao seu desfasamento em relação aos restantes pontos. Para se
entender melhor a tendência da(s) curva(s) de dimensionamento das colunas SEHS, efectuou-se à
posteriori uma analise adicional à coluna de tipologia 280x322x5.0 e L=20000 mm, mas agora com
tensão cedência de 750MPa. Com isto, pretendeu-se aumentar a esbelteza normalizada da coluna
com mecanismo de colapso global, de forma a entender se o rácio Pu/Py se aproximaria dos pontos
quadrados (com mecanismo de colapso local) ou se confirmaria a existência de duas linhas de
tendência (curvas de dimensionamento) distintas. Os valores obtidos são apresentados na última
linha da Tabela 3.7 e pelo ponto representado por uma cruz da Figura 3.32. Verificou-se que
colunas com mecanismo de colapso global (colunas longas), apresentam uma redução substancial
da sua carga última com o aumento da esbelteza, contrariamente ao verificado para coluna curtas
(com mecanismo de colapso local). A análise efectuada evidenciou a relevância do mecanismo de
colapso e por inerência do comprimento e esbelteza da coluna na determinação da carga de
compressão resistente. Para >1.13 verificam-se comportamentos dependentes do modo crítico
exibido: (i) para colunas curtas com modos críticos locais a resistência última Pu/Py é praticamente
independente do valor da esbelteza, e (ii) para colunas longas com modos de instabilidade globais,
o rácio Pu/Py reduz consideravelmente com o aumento de
1 Na evolução da configuração de equilíbrio com a carga aplicada, pode suceder que a análise prossiga por
uma trajectória de equilíbrio que não corresponda aquela estruturalmente mais aceitável, isto é, com um sentido físico mais familiar.
- 62 -
CAPÍTULO 4
DIMENSIONAMENTO DE COLUNAS SEHS DE ACORDO COM O EC3
4. DIMENSIONAMENTO SEGUNDO O EC3
4.1. REGRAS PARA DETERMINAÇÃO DA RESISTÊNCIA DAS SECÇÕES A TENSÕES
NORMAIS
Neste subcapítulo sintetizam-se os conceitos e regras de dimensionamento preconizados
pela norma EN 1993 (2005). Não tendo as secções SEHS uso corrente nas estruturas de edifícios
e em virtude de se tratar de uma secção recentemente introduzida no mercado, os regulamentos
europeus, nomeadamente o EC3, não indicam regras especificas para a verificação de segurança
de secções com geometria semi-elíptica oca. Neste capítulo, procura-se averiguar se os
procedimentos que esta norma europeia define para “secções similares” se coadunam a um
correcto dimensionamento dos elementos com secção SEHS quando submetidos a compressão
uniforme. Sendo as secções SEHS compostas por paredes (i) planas e (ii) curvas com
comportamentos estruturais distintos, é necessário recorrer às normas preconizadas para o
dimensionamento destes elementos individualmente. Nos pontos seguintes, expõem-se as regras
definidas nas normas EN 1993-1-1 (regras gerais de projecto de estruturas de aço), EN 1993-1-5
(regras para dimensionamento de elementos estruturais laminares planos ou placas) e EN 1993-1-
6 (regras para dimensionamento de cascas).
4.1.1. EN 1993-1-1
A EN 1993-1-1 (2010) é a norma europeia que define as regras gerais aplicáveis ao
projecto de edifícios e outras obras de engenharia civil em aço, obedecendo aos princípios,
requisitos de segurança e de utilização das estruturas indicadas na EN 1990 (2009). A Parte 1 do
Eurocódigo 3 (EN 1993-1) inclui regras e disposições aplicáveis a estruturas de edifícios e outras
estruturas correntes. As restantes partes incluem regras aplicáveis a estruturas mais específicas
como pontes, mastros, silos, entre outras. A norma EN 1993-1-1 ou, abreviadamente, EC3-1-1
encontra-se dividido em sete secções: 1- Generalidades, 2- Bases para o projecto, 3- Materiais, 4-
Durabilidade, 5- Análise estrutural, 6- Estados limites últimos e 7- Estados limites de utilização.
Este subcapítulo centrar-se-á na apresentação das regras referentes ao capítulo 6 do EC3-1-1,
nomeadamente as respeitantes a elementos sujeitos a compressão uniforme, já que serão estas
regras que possibilitarão uma apreciação dos valores de resistência de secções obtidos e a
comparação com os resultados numéricos apresentados.
- 63 -
4.1.1.1. Estados limites últimos de resistência das secções transversais
Segundo o EC3-1-1 (2010) no ponto 6.2.1 (7), a verificação de segurança aos estados
limites últimos poderá ser efectuada para todas as classes de secções transversais através da
soma linear da relação esforço actuante vs. esforço resistente. No caso das secções de classe 1, 2
ou 3, sujeitas a uma combinação de esforços NEd, My,Ed e Mz,Ed este método poderá ser aplicado
através do seguinte critério:
(4.1)
onde, NRd, My,Rd e Mz,Rd, são os valores de cálculo dos esforços resistentes, os quais dependem da
classe da secção transversal e podem incluir alguma redução associada ao efeito do esforço
transverso. Para secções de Classe 4, o critério de verificação de segurança preconizado no ponto
6.2.9.3 (2) é dado por
(4.2)
em que:
Aeff é a área efectiva da secção transversal, quando submetida a compressão uniforme;
Weff,min é o módulo de flexão efectivo da secção transversal (referente à fibra da secção onde a
tensão elástica é mais elevada), quando submetida apenas a um momento flector em
relação ao eixo considerado;
M0 é o coeficiente parcial de segurança relativo à resistência das secções transversais de
qualquer classe, sendo recomendada pelo EC3 a adopção de M0=1.0;
ΔMEd é o momento adicional actuante devido à distância entre os centros de gravidade das
secções efectiva (Aeff) e bruta (Ag), ou seja:
(4.3)
em que:
eN é excentricidade entre os centros de gravidade da secção efectiva e a da secção bruta
da secção transversal, quando esta se encontra submetida apenas a compressão.
Para o dimensionamento de colunas com secção semi-elíptica (SEHS), ou seja,
elementos que se encontrem apenas sujeitos a compressão mas com secção mono-simétrica em
torno do eixo y, a verificação aos estados limites últimos de resistência das secções impõem que o
valor de esforço de compressão actuante em cada secção transversal, NEd, deve cumprir a
condição,
(4.4)
No que diz respeito à classificação de secções, o EC3 não apresenta parâmetros
específicos para a classificação de secções tubulares semi-elípticas. Assim, para a classificação
das secções SEHS das colunas em estudo consideram-se os limites gerais impostos pelo
- 64 -
Eurocódigo para componentes internos e secções tubulares solicitados à compressão
apresentados na Tabela 4.1. Como é sabido, uma secção transversal, por norma é classificada de
acordo com a classe mais elevada, logo menos favorável, do conjunto dos seus componentes
comprimidos.
Tabela 4.1 - Limites máximos das relações largura-espessura para a definição de classes para componentes comprimidos.
Componentes internos
Classe Componente solicitado à
compressão
Distribuição de tensões nos
componentes (Compressão
positiva)
1 c/t ≤ 33ε
2 c/t ≤ 38ε
Distribuição de tensões nos
componentes (Compressão
positiva)
3 c/t ≤ 42ε
Secções tubulares
Classe Secção em compressão
1 d/t ≤ 50ԑ2
2 d/t ≤ 70ԑ2
3 d/t ≤ 90ԑ2
* Nota:
Resta referir, relativamente aos estados limites últimos de resistência das secções
transversais, que o EC3 1-1, no ponto 6.2.2.5, remete para a EN 1993-1-5 (2006) para a
determinação das larguras efectivas e por conseguinte da área efectiva de secções de Classe 4
compostas por placas. No que diz respeito ao dimensionamento de secções compostas por cascas
cilíndricas de classe 4, a alínea (5) do mesmo ponto remete para as regras definidas na norma EN
1993-1-6 (2007).
- 65 -
4.1.1.2. Estados limites últimos de resistência de colunas à encurvadura
As regras relativas aos estados limites últimos de encurvadura são apresentadas no
ponto 6.3. A alínea (1) do ponto 6.3.1.1 define que a segurança é verificada quando se cumpre o
critério,
(4.5)
sendo Nb,Rd o valor de cálculo da resistência à encurvadura da coluna que toma o valor,
para as secções transversais das Classes 1, 2 ou 3 (4.6)
para secções transversais da Classe 4 (4.7)
em que é coeficiente de redução para o modo de encurvadura relevante, dado por
(4.8)
onde,
; (4.9)
esbelteza normalizada de colunas de Classes 1, 2 ou 3; (4.10)
esbelteza normalizada de colunas de Classe 4; (4.11)
α factor de imperfeição;
Ncr valor crítico do esforço normal associado ao modo de encurvadura elástica relevante,
baseado nas propriedades da secção bruta.
O factor de imperfeição α correspondente à curva de dimensionamento apropriada deve
ser escolhido de acordo com a geometria da secção, tensão de cedência do aço e do eixo principal
de inércia segundo o qual a coluna encurva. As curvas de dimensionamento a considerar estão
definidas no Quadro 6.2. Para colunas com secção SEHS, sendo esta uma secção tubular
laminada a quente, considera-se a curva “a” quando a coluna é constituída por aço S355 e a curva
“a0” quando a tensão de cedência do aço é superior a 460MPa. Os valores do parâmetro α,
dependentes da curva de dimensionamento considerada, estão expostos nas Tabelas 4.2 e 4.3. O
EC3 define ainda regras para verificação de segurança dos estados limites últimos de resistência à
encurvadura para elementos uniformes sujeitos a flexão, nomeadamente elementos sujeitos a
fenómenos de torção ou flexão-torção. Sendo as secções em estudo tubulares e com elevada
rigidez de torção, tais fenómenos não se verificam. Por isso, não é necessário verificar a segurança
das colunas para este estado limite, como é esclarecido na cláusula (2) do ponto 6.3.2.1 do EC3.
- 66 -
Tabela 4.2- Escolha da curva de dimensionamento em função da secção transversal (retirado do Quadro 6.2 da EN 19931-1).
Secção Transversal Limites Encurvadura
em relação ao eixo
Curva de dimensionamento
S 235 S 275 S 355 S 420
S 460
ceõçceS
saralubce
acabdas a quente qualquer a a0
enformadas a frio qualquer c c
Tabela 4.3 - Factores de imperfeição para as curvas de dimensionamento.
Curva de dimensionamento a0 a b c d
Factor de imperfeição α 0.13 0.21 0.34 0.49 0.76
Resta referir a necessidade de considerar a interacção entre o esforço axial e o momento
flector actuante, ΔMEd, no caso de elementos com secção de Classe 4. Segundo 6.3.1.1 (2), os
efeitos da interacção de esforços são verificados pelos seguintes critérios:
(4.12)
(4.13)
em que:
NEd, My,Ed e Mz,Ed valores de cálculo do esforço de compressão e dos momentos máximos no
elemento, respectivamente, em relação aos eixos y-y e z-z;
ΔMy,Ed, ΔMz,Ed momentos adicionais actuantes;
y e z coeficientes de redução devidos à encurvadura por flexão;
LT coeficiente de redução devido à encurvadura lateral;
M1 coeficiente parcial de segurança global relativo à resistência dos elementos
em relação a fenómenos de encurvadura;
kyy, kyz, kzy e kzz factores de interacção.
Como já referido, para as colunas SEHS em estudo, o fenómeno de encurvadura lateral é
desprezável e os momentos actuantes segundo ambas as direcções são nulos. Os momentos
resistentes são calculados de formas distintas consoante a Classe da secção transversal:
para secções transversais da Classe 1 e 2 (4.14)
- 67 -
para secções transversais da Classe 3 (4.15)
para secções transversais da Classe 4 (4.16)
onde,
Wpl módulo de flexão plástico da secção transversal;
Wel,min módulo de flexão elástico da secção transversal referente à fibra da secção onde a
tensão elástica è mais elevada;
Weff,min módulo de flexão elástico da secção transversal efectiva referente à fibra da secção
onde a tensão elástica è mais elevada;
Para determinar os factores de interacção kyy, kzz, kyz, e kzy o EC3 propõe dois métodos. Nesta
dissertação recorre-se ao método alternativo 2, apresentado na Figura 4.1 e na Figura 4.2.
Figura 4.1 - Quadro B.1 da EN 1993-1-1, referente aos factores de interacção kij para elementos não susceptíveis à deformação por
torção.
- 68 -
Figura 4.2 - Quadro B.3 da EN 19931-1, referente aos coeficientes de momento uniforme equivalente Cm.
- 69 -
4.1.1.3. Fluxograma de Cálculo
Dados Geométricos Condições de Fronteira
ou ALE
Classificação de secções
Eslbeltezas normalizadas
;
Classe 1 2 3 4
Ai A A A Aeff Wy Wpl,y Wpl,y Wel,y Weff,y
Wz Wpl,z Wpl,z Wel,z Weff,z ΔMy 0 0 0 eNyNEd
ΔMz 0 0 0 eNzNEd
Imperfeições Geométricas –
Escolha da curva de
dimensionamento
Esforço Resistente
;
Cm=1
Factores de interacção Kyy, Kzz, Kyz, Kzy
Factor de imperfeição
α
Inequações de Interacção
Classe 4: EN 1993-1-5
EN 1993-1-5
- 70 -
4.1.2. EN 1993-1-5
A parte 1.5 do Eurocódigo 3 surge, entre outros aspectos, da necessidade de incorporar os
fenómenos de encurvadura local de secções esbeltas nos critérios de segurança e métodos de
dimensionamento do EC3-1-1. A clausula 5.5.2(1) da parte 1.1 do EC3 remete precisamente para a
EN 1993-1-5, de forma a considerar os problemas de encurvadura locais das secções de Classe 4.
A determinação directa da resistência de barras sujeitas a acções arbitrárias (incorporando a
possibilidade de encurvadura local) é complexa e ainda não constitui uma opção no projecto de
estruturas. Por isso, o EC3 preconiza a utilização de secções efectivas como forma indirecta de
considerar o efeito de encurvadura local no seu dimensionamento.
4.1.2.1. Critério de verificação de segurança
A verificação de segurança de elementos com secção transversal de Classe 4 sujeita a
tensões normais, segundo a cláusula (1) do ponto 4.2, deve ser feita de acordo com os critérios
definidos no EC3-1-1 (já apresentados anteriormente). As verificações de resistência de secções,
da estabilidade à compressão e à encurvadura lateral e torsional dos elementos devem ser
efectuados pelas normas estipuladas na parte 1-1. Porém, o cálculo das propriedades geométricas
relativas às secções efectivas, ou seja, Aeff, Ieff e Weff correspondentes à área efectiva, momento de
inércia efectivo e modulo de flexão elástico efectivo, respectivamente, é remetido para o EC3-1-5.
4.1.2.2. Conceito de largura efectiva
Von Kármán introduziu o conceito de largura efectiva em 1932 (von Kármán et al, 1932), como um
método semi-empírico para a avaliação da resistência última de uma placa comprimida
uniaxialmente, segundo o qual essa resistência pode ser estabelecida como o produto da tensão
de cedência do aço, fy, por uma largura efectiva, beff:
(4.17)
Figura 4.3 - Conceito de largura efectiva (Silvestre & Camotim, 2006)
Este método simplificado advém da constatação de que, em placas esbeltas, a maior parte
do carregamento é suportado pelas zonas contíguas aos bordos longitudinais da placa. Tendo por
base a Figura 4.3, von Kármán mostrou que a resistência última é obtida igualando a tensão crítica
- 71 -
uma placa equivalente, com uma largura reduzida beff, à tensão de cedência do aço, sendo a placa
efectivamente substituída por duas bandas com tensão constante e uma zona central
descarregada,
(4.18)
Logo,
(4.19)
sendo possível definir uma tensão média constante, σaν, dada por:
(4.20)
Esta expressão permite determinar (aproximadamente) a tensão média no colapso a partir de duas
quantidades fáceis de calcular (cr e fy), evitando-se assim a necessidade de conhecer o
comportamento detalhado de pós-encurvadura da placa.
4.1.2.3. Secção efectiva
A verificação de segurança de elementos com secção transversal de Classe 4 implica a
determinação da sua secção efectiva. Esta determinação é efectuada placa a placa, com base nas
respectivas larguras efectivas. As fórmulas propostas no EC3-1-5 derivam da evolução de várias
formulações enunciadas nas últimas décadas (Tabela 4.4), sendo a fórmula de Winter a mais
consensual. A secção efectiva deve ser aferida a partir da área efectiva das placas comprimidas, a
qual segundo a cláusula 4.3(1) e (2), para além das condições de fronteira e do gradiente de
tensões normais, deve ter em consideração o efeito combinado da encurvadura da placa, do “shear
lag” e a área das placas traccionadas. Mais explicações das regras impostas na EN 1993-1-5
relativas ao “shear lag” podem ser encontradas em (Silva & Gervásio, 2001). A Figura 4.4 ilustra
qualitativamente a secção efectiva de uma coluna com secção SEHS.
Tabela 4.4 - Fórmulas para determinação da largura efectiva.
Autor Ano
Winter (1947,1968)
para
Faulkner (1965,1977)
para
Gerard (1957)
Johamsson (1999)
para
As propriedades efectivas da secção transversal relevantes para cada tipo de esforço
aplicado são determinadas de forma independente. Isto é, para determinar a área efectiva da
secção, Aeff, esta deve estar sujeita apenas a um esforço axial de compressão. Por outro lado, para
- 72 -
determinar o módulo de flexão efectivo, Weff, a secção deve estar sujeita exclusivamente a um
momento flector na direcção pretendida (cláusulas 4.3(3) e (4)).
Figura 4.4 - Seccção SEHS efectiva. 1- Eixo principal da secção "bruta"; 2- Eixo principal da secção efectiva; 3- Zona não efectiva
Segundo o ponto 4.4, para uma placa sem reforços, a área efectiva da mesma ou
da sua parte comprimida, com área Ac, é aferida a partir de,
(4.21)
em que ρ é o factor de redução para encurvadura da placa, para elementos internos comprimidos,
sendo dado por,
para (4.22)
para ; em que (4.23)
em que,
(4.24)
Ψ quociente entre tensões máximas e mínimas na placa, determinado de acordo com o
Quadro 4.1 e o Quadro 4.2 do EC3-1-5. Para o caso de elementos submetidos a
compressão pura, ψ toma o valor unitário;
largura de cálculo da placa;
t espessura da placa;
kσ coeficiente de encurvadura da placa, determinado em função de ψ e das condições de
fronteira. Para placas longas kσ é dado pelos Quadros 4.1 e 4.2 do EC3-1-5 (CEN,
2006);
σcr tensão crítica elástica da placa tal que,
(4.25)
Na Tabela 4.5, apresenta-se as expressões para determinação da largura efectiva da placa das
secções SEHS e consequente determinação da secção efectiva das colunas com secções SEHS
submetidas a esforço axial de compressão.
- 73 -
Tabela 4.5 – Expressões para a largura efectiva utilizada na determinação da secção efectiva das colunas SEHS de Classe 4.
Distribuição de tensões Largura efectiva, beff Coeficiente de encurvadura kσ
- 74 -
4.1.2.4. Fluxograma de Cálculo
Dados Geométricos
Secção/Placa sujeita a compressão uniforme
Coeficiente de encurvadura kσ
Quadro 4.1 e 4.2 do EC3-1-5
Esbelteza normalizada
EC3-1-1: χ
Largura efectiva
; ;
Aeff Novo centroide G’
Secção sujeita a ΔMEd
Determinação de beff das placas paralelas ao eixo de flexão
Modulo de Flexão efectivo Weff,min
- 75 -
4.1.3. EN 1993-1-6
A norma europeia EN 1993-1-6 (EC3-1-6) (2007) expõe as regras e procedimentos para o
dimensionamento de cascas metálicas, tendo sido desenvolvida essencialmente para a verificação
de segurança de cascas cilíndricas. Nesta norma são definidos diferentes estados limites para a
verificação da segurança deste tipo de elementos estruturais, designadamente (i) estado limite
plástico, (ii) estado limite de plasticidade cíclica, (iii) estado limite de encurvadura e (iv) estado
limite de fadiga, correspondentes aos capítulos 6, 7, 8 e 9, respectivamente.
Neste ponto abordam-se as regras e procedimentos de cálculo referentes ao estado limite
de encurvadura de cascas. A metodologia apresentada pelo EC3 para determinação da resistência
última de uma casca baseia-se na aferição de resultados a partir do cálculo das tensões no
elemento. Em situações que envolvam carregamentos arbitrários, os efeitos das três tensões de
membrana, nomeadamente tensão de compressão meridional, tensão de compressão
circunferencial e tensão de corte, têm de ser incluídos e combinados, recorrendo a factores de
interacção para a avaliação da estabilidade da casca. Deste modo, a norma preconiza a
determinação individual de cada uma das tensões, estabelecendo-se o respectivo factor de
redução, para assim serem recombinadas numa equação de interacção.
Neste subcapítulo apresentam-se as regras de relevância para a aferição da capacidade
última de resistência da casca (zona curva) constituinte das secções SEHS das colunas em
estudo, designadamente as respeitantes à aferição da tensão meridional crítica elástica, a
respectiva esbelteza normalizada, a tensão meridional resistente e os factores de imperfeição que
as condicionam.
4.1.3.1. Resistência à encurvadura de cascas
Apresentam-se de seguida as disposições relativas ao ponto 8.5 do EC3-1-6, onde se
expõem os procedimentos e critérios gerais para verificação de segurança de elementos
estruturais do tipo casca. As tensões de dimensionamento à encurvadura são obtidas a partir das
seguintes expressões:
; (4.26)
em que,
tensão meridional resistente à encurvadura;
tensão circunferencial resistente à encurvadura;
tensão de corte resistente à encurvadura;
tensão meridional característica de resistência à encurvadura;
tensão circunferencial característica de resistência à encurvadura;
tensão de corte característica de resistência à encurvadura.
As tensões de colapso características são determinadas através do produto entre o factor
de redução, , pela tensão característica de cedência do aço, fyk, tal que,
- 76 -
; ; (4.27)
Os factores de redução devidos à encurvadura x, θ e τ devem ser determinados em
função da esbelteza relativa da casca , tal que,
se ;
se ; (4.28)
se ;
em que,
α parâmetro de imperfeição elástica da casca;
β parâmetro associado à interacção entre instabilidade e cedência plástica;
η expoente de interacção;
limite de esbelteza a partir do qual os efeitos de encurvadura condicionam o
dimensionamento da casca;
limite de esbelteza a partir do qual a coluna tem comportamento elástico em colapso.
Os valores dos parâmetros α, β, η e são definidos pelo Anexo D do EC3-1-6 e serão
abordados mais à frente, em 4.1.3.4. A Figura 4.5 apresenta a curva de dimensionamento para
cascas metálicas, evidenciando o significado dos parâmetros referidos e dos limites do cálculo do
factor de redução .
Figura 4.5 - Curva de dimensionamento em função dos parâmetros α, β, η, e .
Nesta figura evidenciam-se três zonas distintas de dimensionamento, com os limites
definidos de acordo com (4.31). Quando , o colapso do elemento ocorre em regime plástico
devido à sua baixa esbelteza (cascas espessas), isto é, o mecanismo de colapso é precipitado pela
cedência do aço e consequente degradação da rigidez das zonas plastificadas. Para valores de
, a casca colapsa devido à reduzida espessura das suas paredes (esbelteza elevada), que
provoca a perda de rigidez do elemento devido à instabilidade local, eventualmente condicionada
pelas imperfeições geométricas. No patamar intermédio, onde , a perda de rigidez da
- 77 -
casca deve-se tanto à entrada em cedência de determinadas fibras do aço, como à instabilidade
local e imperfeições geométricas apresentadas pelo elemento. O valor do limite plástico da
esbelteza relativa é definido na cláusula 8.5.2(5) por:
(4.29)
As esbeltezas normalizadas , correspondentes a cada uma das tensões de membrana,
são determinadas de forma semelhante às restantes esbeltezas normalizadas estipuladas no EC3:
; ; (4.30)
onde os valores das tensões críticas elásticas σx,Rcr, σθ,Rcr e τxθ,Rcr são definidos no Anexo D para
determinadas geometrias, condições de fronteira e casos de carga. Na ausência de expressões
apropriadas no Anexo D do EC3-1-6, as tensões críticas elásticas devem ser calculadas através de
análises numéricas do elemento. No caso de cascas que exibam um comportamento inteiramente
elástico, a expressão (4.30) corresponde a:
; ; (4.31)
4.1.3.2. Verificação de segurança
Neste ponto, apresentam-se sucintamente as regras impostas pelo EC3 para a verificação
de segurança de casca sujeitas a carregamentos genéricos. Na alínea (1) do ponto 8.5.3 é feita a
ressalva de que as tensões de flexão devidas à imposição de condições de fronteira devem ser
desprezadas. No entanto, no caso de carregamentos locais ou gradientes térmicos, devem-se ter
em conta considerações especiais sobre as tensões de flexão geradas. Assim, a filosofia seguida
pelo EC3 para a verificação de segurança de cascas impõe a limitação das tensões de membrana,
individualmente ou interactivamente. Segundo 8.5.3(2) os seguintes critérios devem ser cumpridos:
; ; (4.32)
em que σx,Ed , σθ,Ed e τθx,Ed são os valores de cálculo das tensões de membrana actuantes num
ponto da casca na direcção meridional, circunferencial e de corte, respectivamente.
Ainda que cada uma das tensões de membrana deva ser verificada individualmente,
quando mais do que uma componente de tensão esteja presente, o seguinte critério de interacção
que combina as diferentes tensões de membrana deve ser verificado:
(4.33)
Se σx,Ed e σθ,Ed forem tensões de tracção, a sua combinação deve ser ignorada e seu valor
considerado nulo. A localização e valores das tensões de membrana relevantes a adoptar na
equação de interacção, assim como os valores dos parâmetros kx, kθ, kτ e ki dependentes do factor
de redução de resistência da casca , são definidos no anexo D do EC3-1-6. Embora tenha sido
especialmente desenvolvida para cascas circulares, garante-se de forma conservativa, a
adaptação desta equação de interacção a qualquer geometria da secção transversal.
- 78 -
4.1.3.3. Tensão crítica meridional
Como já foi mencionado em capítulos anteriores, o comportamento de uma casca elíptica
tem como limites o comportamento de uma estrutura do tipo placa e o comportamento de uma
casca cilíndrica (Silvestre & Gardner, Submited). O EC3-1-6, no anexo D.1.1, estipula critérios para
serem utilizados em conjunto com as regras gerais apresentadas em 4.1.3.2 de modo a verificar a
segurança de cascas cilíndricas à encurvadura local. Na Figura 4.6, mostra-se esquematicamente
a geometria, dimensões características, graus de liberdade, tensões de membrana e respectivas
resultantes de uma casca cilíndrica. O comprimento de encurvadura da casca cilíndrica, L,
geralmente define-se em função das condições de fronteira da casca. As condições de fronteira
encontram-se definidas nas secções 2.3, 5.2.2, e 8.3 do EC3-1-6. Neste estudo consideraram-se
as colunas SEHS, com as restrições características de ensaios de compressão efectuados em
laboratório (Figura 4.7 e Tabela 4.6), isto é, bi-encastradas.
Figura 4.6 - Geometria de uma casca cilíndrica, suas tensões de membrana e respectivas tensões resultantes.
Figura 4.7 - Condições de fronteira consideradas.
Tabela 4.6 - Condições de Fronteira das colunas SEHS.
Nomenclatura Condição
de fronteira Descrição
Deslocamento radial
Deslocamento meridional
Rotação Meridional
BC1r Encastrado Todos os deslocamentos restringidos
w = 0 u = 0 βΦ = 0
A tensão meridional crítica, segundo a cláusula (3) do anexo D.1, deve ser aferida tal que,
(4.34)
em que Cx é o factor de instabilidade sob compressão meridional, condicionado pelo parâmetro
adimensional ω, dado por:
- 79 -
(4.35)
O parâmetro ω garante a adequação do factor de instabilidade Cx para diferentes
comprimentos da casca. Como é sabido, o comportamento de encurvadura da casca depende
fortemente do seu comprimento, L. O EC3-1-6 define 3 intervalos para a determinação do factor Cx,
(4.36)
em que Cxb é um parâmetro dependente das condições de fronteira, o qual pode ser retirado da
Tabela 4.7.
Tabela 4.7 - Quadro D.1 da EN 1993-1-6. Parâmetro Cxb.
Note-se que ao primeiro, segundo e terceiro intervalos correspondem o comportamento de
instabilidade de cascas curtas, cascas de comprimento moderado e cascas longas,
respectivamente. As cascas longas (
) quando sujeitas a carregamentos de compressão
axiais, além de apresentarem os fenómenos característicos deste carregamento poderão ainda
estar sujeitas a fenómenos de flexão global da casca. Quando uma casca está submetida a um
estado de tensão meridional linear com valor máximo σxE, este pode ser decomposto nas parcelas
de compressão uniforme, σxE,N e flexão global, σxE,M. Assim, para cascas longas que satisfaçam as
seguintes condições:
;
;
(4.37)
o EC3-1-6 preconiza que o factor Cx seja obtido por:
(4.38)
ou simplificadamente por:
(4.39)
4.1.3.4. Parâmetros para determinação da resistência meridional à encurvadura
Como foi exposto em 4.1.3.1, para determinar a resistência à encurvadura de uma casca
sujeita esforço axial de compressão, é necessário determinar um conjunto de parâmetros além da
carga crítica de encurvadura. Segundo a alínea (1) do ponto D.1.2.2, o factor de redução
meridional devido às imperfeições da casca cilíndrica, αx, é obtido a partir de:
Caso Extremidades da casca Condições de fronteira Cxb
1 Extremidade 1 BC1
6 Extremidade 2 BC1
2 Extremidade 1 BC1
3 Extremidade 2 BC2
3 Extremidade 1 BC2
1 Extremidade 2 BC2
- 80 -
(4.40)
em que Δwk é o valor característico da amplitude da imperfeição, determinado por:
(4.41)
onde Q é o parâmetro relativo à qualidade de fabrico da casca. As tolerâncias de fabrico
respeitantes a cada classe de qualidade de fabrico são apresentadas no ponto 8.3. O parâmetro Q
toma os valores apresentados na Tabela 4.8, consoante a qualidade de fabrico da casca.
Tabela 4.8 - Quadro D.2 da EN 1993-1-6. Valor do parâmetro de qualidade de fabrico Q.
Classe de qualidade Descrição Q
Classe A Excelente 40
Classe B Elevada 25
Classe C Normal 16
Outros parâmetros necessários para a verificação de segurança à encurvadura de cascas
cilíndricas sujeitas a compressão meridional são: (i) a esbelteza meridional limite ; (ii) o factor
relativo ao patamar elasto-plástico β; (iii) o coeficiente de interacção η. O anexo D no ponto
D.1.2.2(3) preconiza os seguintes valores:
; ; (4.42)
calibrados a partir de ensaios de instabilidade em cascas cilíndricas uniformemente comprimidas.
O EC3-1-6 indica ainda, que para cilindros de grande comprimento e que satisfaçam as
condições (4.40), a esbelteza meridional limite pode ser determinada a partir de:
(4.43)
com variáveis já conhecidas.
O Anexo D no ponto D.1.2.2 (5) estabelece, ainda, que a instabilidade meridional não
necessita ser verificada em cascas cilíndricas que verifiquem a seguinte condição:
(4.44)
- 81 -
4.1.3.5. Fluxograma de cálculo2
4.2. DIMENSIONAMENTO DE UMA COLUNA SEHS DE REFERÊNCIA
Pretende-se, neste subcapítulo, aplicar as regras preconizadas pelo EC3 para o
dimensionamento de colunas, placas e cascas, procurando encontrar um caminho viável para uma
correcta verificação de segurança das colunas SEHS. Os fluxogramas de cálculo apresentados,
servirão de guia para os cálculos seguidamente exibidos. A coluna com secção SEHS de
2 Retirado de Barros (2011)
Caso Extremidades
do cilindro Condições
de fronteira Cxb
1 Extremidade 1 BC1
6 Extremidade 2 BC1
2 Extremidade 1 BC1
3 Extremidade 2 BC2
3 Extremidade 1 BC2
1 Extremidade 2 BC2
Classe de qualidade
Descrição Q
Classe A Excelente 40
Classe B Elevada 25
Classe C Normal 16
Dados geométricos
;
Cilindros longos:
Cilindros curtos:
Cilindros médios:
Inequação de verificação de
segurança à encurvadura
- 82 -
dimensões 252x276x5 em aço S355 será exemplificadora dos cálculos efectuados para as
restantes colunas e apresentados em 4.3.
Comece-se por caracterizar a secção quanto à sua classe de resistência, com
ԑ=0.81; (4.45)
Sendo a secção de Classe 4, terá de se reduzir a sua área bruta para a sua área efectiva.
Considera-se a área total da semi-elipse, reduzindo apenas a área da placa.
Estando a coluna sob compressão uniforme, o factor ψ toma valor unitário e, por isso, tem-
se
(4.46)
logo,
(4.47)
Como a restante parte da secção SEHS é curva, não existe redução de largura definida
pelo EC3 para esta zona. Por isso, a zona curva considera-se totalmente efectiva. A secção
efectiva total configura-se simétrica em relação ao eixo y-y, como é mostrado na Figura 4.4, com
uma área:
(4.48)
A excentricidade adicional resulta da diferença geométrica dos centroides da secção
efectiva e da secção bruta. Assim, vem
(4.49)
resultando portanto na existência de um momento adicional em torno de z-z dependente da carga
axial de compressão aplicada (valor que se pretende determinar).
É ainda necessário aferir o módulo de flexão efectivo, relativo a z-z, e por consequência a
inércia efectiva da secção segundo o mesmo eixo. Estes parâmetros são calculados supondo a
aplicação de um momento segundo z-z na secção. O momento aplicado é apenas o provocado
pela excentricidade adicional. Assim, como a carga axial continua a ser aplicada no centro de
gravidade da secção bruta, o momento adicional gerado continuará a comprimir uniformemente a
placa e traccionará a casca elíptica. Obtém-se, portanto, a mesma secção efectiva admitida
quando a secção se encontra em compressão uniforme. Logo,
(4.50)
Desta forma, obtêm-se os valores dos esforços resistentes
(4.51)
(4.52)
Para determinar o valor do factor de redução, , é necessário aferir o valor da esbelteza
normalizada e do parâmetro Φ, dependentes de Ncr (carga de Euler) e do parâmetro das
imperfeições geométricas α. A carga de Euler
(4.53)
- 83 -
é dependente do comprimento da coluna em análise. Para possibilitar a comparação de resultados
com os obtidos nos capítulos anteriores, consideram-se os comprimentos aí especificados. Na
Tabelas 4.9 e 4.10, apresentam-se os cálculos da determinação de y e de z, respectivamente.
Tabela 4.9 - Cálculo de χy, para as colunas com secção SEHS de dimensões 252x276x5.
Iy [m4] L [m] Lcr,y [m] Ncr,y [KN] α (curva a) φ y
3.955E-05
15 7.5 1457.3 0.97
0.21
1.05 0.69
7.5 3.75 5829.1 0.49 0.65 0.93
2.5 1.25 52462.1 0.16 0.51 1.00
1.5 0.75 145728.0 0.10 0.49 1.00
Tabela 4.10 - Cálculo de χ<, para as colunas com secção SEHS de dimensões 252x276x5.
Iz [m4] L [m] Lcr [m] Ncr,z [KN] α (curva a) φ z
3.779E-05
15 7.5 1392.4 0.99
0.21
1.08 0.67
7.5 3.75 5569.7 0.50 0.65 0.93
2.5 1.25 50127.5 0.17 0.51 1.00
1.5 0.75 139243.0 0.10 0.49 1.00
Previsivelmente a coluna com maior comprimento é a mais afectada pelo coeficiente de
redução devido à instabilidade global. As outras, não tendo demonstrado instabilidade deste tipo,
seria espectável um coeficiente de redução próximo ou igual à unidade, tal como se verifica. Os
valores reduzidos da carga axial resistente, segundo os eixos z-z e y-y, são apresentados na
Tabela 4.11.
Tabela 4.11 - Cálculo de Nrk e Nb,Rd.
L [m] Aeff [mm2] fy [Mpa] NRd [KN] Nb,Rd,y [KN] Nb,Rd,z [KN]
15
3856 355 1368.9
940.48 919.24
7.5 1271.65 1267.00
2.5 1368.86 1368.86
1.5 1368.86 1368.86
Para aferir a carga axial máxima aplicável às coluna SEHS com dimensões 252x276x5,
segundo os critérios definidos por (4.12) e (4.13) é necessário ter em consideração a interacção de
esforços já que as colunas estão sujeitas a esforço axial e ao momento adicional em torno do eixo
z-z. Uma vez que o diagrama de momentos da coluna é linear e uniforme, ψ toma o valor unitário
e, por conseguinte, Cmy e Cmz vêm iguais a 1.0 (>0.4). Assim, da Figura 4.1 (Quadro B.1 do EC3)
obtêm-se os factores de interacção Kzz e Kyz por:
(4.54)
(4.55)
(4.56)
- 84 -
assumindoM0 = M1 =1.0
Substituindo (4.54) e (4.55) em (4.12) e (4.13) e reformulando-as de forma a por em evidência NEd
vem:
para < 1 (4.57)
para < 1 (4.58)
Utilizando a fórmula resolvente encontram-se duas soluções para cada inequação, considerando-
se a carga última admissível pela coluna, Pu, como o menor dos valores positivos encontrados. As
cargas últimas aferidas são apresentadas na Tabela 4.12.
Tabela 4.12 - Cargas últimas das colunas com secção SEHS de dimensões 252x276x5 aferidas segundo o EC3-1.1.
Secção SEHS L [m] Pu [KN]
252x276x5
15 782.7
7.5 1056.5
2.5 1153.3
1.5 1158.9
Como as colunas SEHS têm uma parte curva, que o EC3-1-5 não considera susceptível de
instabilizar localmente, devemos agora recorrer ao EC3-1.6 e fazer o mesmo tipo de exercício.
Recorrendo à secção de referência, com tipologia 252x276x5, calculam-se os parâmetros explica-
dos em 4.1.3. O primeiro problema diz respeito ao valor do raio a considerar. Como o raio de
curvatura da secção SEHS varia desde um valor mínimo (zona mais rígida) até um valor máximo
(zona mais flexível), não seria expectável utilizar um destes dois valores. Até porque a instabilidade
da zona curva não é controlada por qualquer destes pontos da casca. Assim, define-se um raio
equivalente, valor no intervalo entre os valores máximo e mínimo, através de uma metodologia
proposta por Chan e Gardner (2008a). De forma a aferir o raio equivalente da semi-elipse para
possibilitar o cálculo dos referidos parâmetros adimensionais, necessários para a determinação da
tensão meridional resistente da casca, recorre-se a (4.34). O valor da tensão crítica meridional,
σx,Rcr, admite-se igual ao valor da carga crítica encontrado através do CUFSM, e adopta-se o valor
unitário para o parâmetro Cx. Uma casca circular com o raio equivalente instabiliza para a mesma
tensão da casca semi-eliptica. É de notar que o raio equivalente da semi-elipse não deve ser
inferior ao seu raio equivalente mínimo, b2/a, nem superior ao seu raio equivalente máximo, a
2/b.
Os cálculos são sintetizados na Tabela 4.13.
Tabela 4.13 - Cálculo do raio equivalente da semi-elipse da secção SEHS com dimensões 252x276x5.
fyk [Mpa]
a [mm]
b [mm] t [mm] rmax (a
2/b) [mm]
rmin (b2/a) [mm]
σx,Rc r= Pcr,CUFSM/A
[Mpa[
req = 0.605ECx*t/σx,Rcr
[mm]
355 247 135.50 5 450.25 74.33 410.46 1757.51
- 85 -
Como é perceptível, o valor do raio equivalente aferido não se coaduna com as premissas
supramencionadas. O valor de req quadruplica o valor máximo admissível pois o valor da tensão
crítica da secção SEHS é controlado pela placa e não pela zona semi-eliptica. Como referido no
capítulo 2, o elemento estrutural do tipo placa pode ser considerado como uma casca de raio
infinito, levando assim o valor do raio equivalente da secção a ser muito superior à bitola imposta.
O valor de tensão de bifurcação da zona semi-eliptica seria muito mais elevado que o valor da
tensão crítica da placa. No entanto, o seu valor não se encontra nos primeiros 25 modos de
instabilidade obtidos da análise numérica. Por isso, torna-se complexo aferir o seu valor. Assim
sendo, constata-se que o regulamento em vigor para dimensionamento de cascas, o EC3-1.6, não
se prevê que seja o mais indicado para a verificação de segurança das secções SEHS.
4.3. ESTUDO PARAMÉTRICO
Apresentados os resultados obtidos por modelações numéricas de colunas com secção
SEHS (capítulo 3) e a metodologia de cálculo dos mesmos valores, preconizada pela EN1993,
sintetizam-se na Tabela 4.14 os resultados obtidos para todas as colunas SEHS estudadas
utilizando o esquema de cálculo explicado em 4.2. Por outro lado, a Tabela 4.15 permite comparar
os valores de carga última calculados pelo EC3 com os determinados numericamente pela ANL
efectuada no ABAQUS. Da análise dos valores apresentados nestas tabelas verifica-se que as
estimativas da carga última calculadas a partir dos procedimentos do EC3 não são aceitáveis.
Avaliando a relação entre a carga última aferida por métodos numéricos e pelo EC3
(Pu,numérico/Pu,EC3), observa-se que a estimativas obtidas da norma europeia são sempre seguras,
mas na generalidade excessivamente conservativas: a média e o desvio padrão de Pu,numérico/Pu,EC3
são 1.26 e 0.27, respectivamente. Fazendo uma análise em detalhe, percebe-se que as colunas
curtas com paredes menos esbeltas (203x223x8) denotam uma boa correlação entre os valores da
carga última resistente (Pu) obtidos pelo EC3 e pela análise numérica. Regista-se para estas
colunas um diferencial entre os dois métodos de apenas 5%. Se isolarmos as colunas com
comprimento reduzido a moderado verifica-se, um aumento coerente do rácio Pu,númerico/Pu,EC3 com
o aumento da largura das paredes da secção. Este quociente varia entre 3% e 35%. Porém as
colunas com mecanismo de flexão global do tipo III (colunas longas) apresentam valores da carga
última muito conservativos quando calculados pelo EC3. Por exemplo, as colunas de tipologia
252x276x5 e 324x375x6.3 com comprimentos de 15000 e 20000mm, respectivamente, apresentam
valores para a carga de colapso aferida numericamente cerca de 65% superiores aos calculados
pelo EC3. A Figura 4.8, que apresenta os pontos referentes a Pu,númerico/Pu,EC3 em função da
esbelteza normalizada, mostra com clareza: i) que as colunas com mecanismo de colapso tipo I
exibem rácios próximos de 1.2 com reduzido desvio padrão; ii) os resultados para colunas com
mecanismos de colapso do tipo II e III apresentam-se dispersos, com o rácio a variar entre 1.03 e
1.66 e com os valores a aumentarem com a esbelteza das colunas. Para colunas com
- 86 -
esbelteza elevada ( >0.46) os valores calculados pelo EC3 são superiores pelo menos em 20%
aos resultantes da análise numérica, mantendo-se sempre conservativos.
Pelas conclusões referidas no capítulo 3, seria expectável a não adequabilidade das
normas de dimensionamento dos perfis tubulares convencionais quando aplicadas aos perfis
SEHS. Relembre-se a capacidade da placa, em colunas curtas, em explorar a sua reserva pós-
crítica permanecendo a casca em regime elástico, elevando assim o valor de carga última admitido
pela coluna SEHS. Surpreendentemente, as maiores discrepâncias de valores verificam-se nas
colunas que exibem mecanismo de colapso de flexão global. Para as colunas mais esbeltas e com
mecanismo de colapso do tipo III, alcançar-se-iam resultados mais próximos dos pretendidos se se
assumisse o valor da carga de colapso igual ao valor da carga de Euler.
Tabela 4.14 – Carga última de resistência das colunas SEHS obtida pelo EC3.
Tipologia fy[Mpa] L[mm] Aeff
[mm2] Mz,Rd
[KN.m] z
Nb,Rd,z
[KN] Nb,Rd,y
[KN] Pu [KN] Pu/Py
203x223x5 355
1500
3211 54.3
0.13 1140.0 1140.0 1026.1 0.900
2500 0.21 1137.3 1138.8 1019.6 0.894
5000 0.42 1079.6 1083.2 963.4 0.845
10000 0.84 877.9 894.1 786.5 0.690
750 2500 2988 150.6 0.30 2192.6 2196.9 1852.0 0.827
203x223x8 355
1500
5400 100.1
0.13 1917.0 1917.0 1917.0 1.000
2500 0.22 1908.7 1910.9 1908.7 0.996
3500 0.31 1870.5 1873.8 1870.5 0.976
7500 0.61 1695.1 1705.8 1695.1 0.884
750 2500 5177 255.2 0.31 3784.1 3790.8 3582.0 0.922
225x259x5 355
1500
3567 68.6
0.11 1266.4 1266.4 1088.2 0.859
2500 0.19 1266.4 1266.4 1082.7 0.855
6000 0.45 1190.9 1200.4 1010.4 0.798
12000 0.89 936.8 980.5 802.7 0.634
750 2500 3324 187.5 0.26 2459.5 2468.4 2008.6 0.806
252x276x5 355
1500
3856 83.2
0.10 1368.9 1368.9 1158.9 0.847
2500 0.17 1368.9 1368.9 1153.3 0.843
7500 0.50 1267.0 1271.7 1056.5 0.772
15000 0.99 919.2 940.5 782.7 0.572
750 2500 3605 225.2 0.23 2684.6 2687.7 2171.5 0.803
280x322x5 355
1500
4285 105.9
0.09 1521.3 1521.3 1234.9 0.812
2500 0.15 1521.3 1521.3 1228.7 0.808
10000 0.58 1364.9 1383.0 1087.5 0.715
20000 1.16 844.3 913.4 711.9 0.468
750 2500 4018 282.4 0.20 3010.9 3013.7 2361.5 0.784
324x375x6.3 355
1500
6379 179.5
0.08 2264.5 2264.5 1875.1 0.828
2500 0.13 2264.5 2264.5 1867.4 0.825
10000 0.51 2087.6 2110.6 1697.0 0.749
20000 1.02 1483.1 1587.4 1239.3 0.547
750 2500 5968 483.2 0.18 4475.7 4475.7 3565.1 0.797
- 87 -
De acordo com os resultados preliminares obtidos neste trabalho, impera a necessidade de
estabelecer novos procedimentos de cálculo para colunas com secção SEHS. Os gráficos das
Figura 3.33 e 3.34 demonstraram tendências díspares das curvas de dimensionamento, consoante
o tipo de mecanismo de colapso exibido pelas colunas SEHS. Tais curvas de dimensionamento
terão que ser dependentes da esbelteza da coluna, mas possivelmente terão que existir curvas
calibrada para cada tipo de mecanismo.
Tabela 4.15 - Síntese de resultados aferidos pela analise numérica e pelo EC3.
EC3 A. Numérica
Tipologia fy[Mpa] L[mm] Pcr (carga de Euler)
[KN] z
Pu [KN]
Pu [KN]
Mecanismo
203x223x8 355
1500 110392.2 0.13 1917.0 1965.1 II 1.03
2500 39741.2 0.22 1908.7 1966.2 II 1.03
3500 20276.1 0.31 1870.5 1962.8 II 1.05
7000 5069.0 0.61 1695.1 1947.9 III 1.15
750 2500 39741.2 0.31 3582.0 4023.5 II 1.12
203x223x5 355
1500 71261.2 0.13 1026.1 1179.7 I 1.15
2500 25654.0 0.21 1019.6 1166.8 II 1.14
5000 6413.5 0.42 963.4 1168.0 II 1.21
10000 1603.4 0.84 786.5 1189.8 III 1.51
750 2500 25654.0 0.30 1852.0 2237.2 I 1.21
225x259x5 355
1500 102064.9 0.11 1088.2 1282.3 I 1.18
2500 36743.4 0.19 1082.7 1289.0 II 1.19
6000 6379.1 0.45 1010.4 1269.5 II 1.26
12000 1594.8 0.89 802.7 1317.3 II 1.64
750 2500 36743.4 0.26 2008.6 2466.3 I 1.23
252x276x5 355
1500 139243.0 0.10 1158.9 1393.1 I 1.20
2500 50127.5 0.17 1153.3 1382.8 I 1.20
7500 5569.7 0.50 1056.5 1361.1 II 1.29
15000 1392.4 0.99 782.7 1288.2 III 1.65
750 2500 50127.5 0.23 2171.5 2629.4 I 1.21
280x322x5 355
1500 200592.5 0.09 1234.9 1543.5 I 1.25
2500 72213.3 0.15 1228.7 1531.8 I 1.25
10000 4513.3 0.58 1087.5 1467.9 II 1.35
20000 1128.3 1.16 711.9 1073.8 III 1.51
750 2500 72213.3 0.20 2361.5 2996.3 I 1.27
324x375x6.3 355
1500 390573.1 0.08 1875.1 2262.3 I 1.21
2500 140606.3 0.13 1867.4 2277.8 I 1.22
10000 8787.9 0.51 1697.0 2216.4 II 1.31
20000 2197.0 1.02 1239.3 2058.4 III 1.66
750 2500 140606.3 0.18 3565.1 4482.0 I 1.26
- 88 -
Figura 4.8 – Variação do rácio Pu,numérico/Pu,EC3 com a esbelteza
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Mecanismo Tipo I
Mecanismo Tipo II
Mecanismo Tipo III
Pu,numérico/Pu,EC3
- 89 -
CAPÍTULO 5
CONCLUSÃO
5. CONCLUSÃO No presente trabalho estudou-se o comportamento estrutural de colunas constituídas por
perfis metálicos com secção transversal semi-eliptica oca (SEHS), ainda vagamente estudados. A
falta de investigação especificamente dedicada a esta tipologia de perfis leva ao
subaproveitamento das suas capacidades estruturais ou à necessidade de elaborar modelos
numéricos complexos para avaliar com rigor o seu comportamento estrutural. O presente estudo
teve o objectivo de aprofundar conhecimentos sobre a estabilidade deste tipo de perfis e o seu
comportamento pós-encurvadura. Apresentando a forma semi-eliptica, as secções SEHS
evidenciam dois tipos de elementos laminares, com características “antagónicas” (i.e. placa e
casca elíptica), facto que impossibilita uma antecipação rigorosa do seu comportamento de
estabilidade.
Estudaram-se diferentes secções SEHS comercializadas por um fabricante de perfis metálicos
(Ancofer, 2008). Com recurso ao programa de cálculo automático CUFSM obtiveram-se as curvas
de estabilidade das diferentes colunas, quer em função do valor do semi-comprimento de onda (a),
quer em função do comprimento das colunas. Percebeu-se a importância da zona recta da secção
(elemento laminar do tipo placa), enquanto controlador do modo crítico de instabilidade, isto é, o
modo local de placa (MLP). Concluiu-se que colunas de comprimento curto a moderado
apresentam como modo crítico de instabilidade o MLP, passando o modo global (MG) a ser modo
crítico em colunas de grande comprimento. Abordaram-se os restantes modos de instabilidade que
as secções SEHS poderão assumir (e.g. modo distorcional), embora tenham reduzida relevância
no corrente dimensionamento destas secções uma vez que nunca são críticos e têm cargas de
bifurcação muito elevadas.
Recorrendo ao programa de cálculo automático ABAQUS e desenvolvendo modelos de
elementos finitos de casca, simularam-se colunas SEHS de diferentes secções transversais e
comprimentos distintos. Utilizando modelos com material elástico linear, realizaram-se análises
lineares de estabilidade (ALE). Confirmou-se a proximidade dos resultados com os obtidos das
ALE executadas no CUFSM (baseado no Método das Faixas Finitas). Para avaliar a resistência
última de elementos estruturais com secção SEHS, foi necessário conhecer a sua trajectória de
pós-encurvadura. Para tal assumiu-se como material constituinte da coluna aços com uma relação
constitutiva elasto-plástica com diferentes tensões de cedência, e introduziram-se imperfeições
geométricas iniciais nas colunas SEHS. Através de análises geométrica e fisicamente não lineares
de estabilidade (ANL), obtiveram-se as trajectórias carga-deslocamento axial e os mecanismos de
colapso das colunas. Os resultados alcançados permitiram evidenciar 3 grupos com trajectórias de
equilíbrio e mecanismos de colapso distintos. A dispersão de pontos da esbelteza normalizada
- 90 -
( em função de Pu/Py, evidenciou (i) a capacidade de exploração da resistência
plástica das colunas SEHS com < 0.60; (ii) a influência dos fenómenos de instabilidade tanto
locais como globais para > 0.60; (iii) para valores de esbelteza normalizada elevados ( > 1.13),
a dependência da carga última resistente do mecanismo de colapso exibido pelas colunas.
Aplicando os procedimentos especificados no EC3-1-1, EC3-1-5 e EC3-1-6, sintetizados para
evidenciar as regras relevantes para o dimensionamento deste tipo de colunas, verificou-se que
estes conduzem a soluções muito conservativas (seguras mas pouco económicas), não se
ajustando a uma verificação de segurança rigorosa das colunas SEHS e revelando discrepâncias
na ordem de 67%.
Deste trabalho, retira-se a necessidade premente de aprofundar o estudo dos perfis SEHS. No
que diz respeito a elementos do tipo coluna, isto é sujeitos a compressão axial, realça-se a
importância realizar ensaios experimentais para calibrar os resultados numéricos e, se possível,
confirmá-los. É de interesse complementar os resultados obtidos neste trabalho com um estudo
paramétrico que contemple colunas com maior variabilidade de geometrias, de comprimentos, de
condições de apoio, de tensões de cedência e de imperfeições geométricas. Com uma elevada
abrangência de resultados é possível então calibrar eficazmente curvas de dimensionamento para
colunas SEHS. Para que estes perfis se tornem opções viáveis de utilização por parte dos
projectistas estruturais é necessário estuda-los ainda como elementos viga (submetidos à flexão) e
como elementos coluna-viga (submetidos a compressão e flexão). Tal como os perfis com secção
elíptica (EHS), os perfis SEHS parecem ter um grande potencial enquanto elementos estruturais
mistos aço-betão. Impõe-se portanto a realização de estudos numéricos e experimentais para
avaliar o seu comportamento enquanto colunas, vigas e vigas-coluna mistas.
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ANEXO A
UTILIZAÇÃO DO PROGRAMA CUFSM
O software CUFSM foi desenvolvido por Schafer, B.W. e Ádány, S., e apresentado na “18th
International Specialty Conference on Cold-Formed Steel Structures” em 26/27 Outubro de 2006,
Orlando, Florida com o objectivo de compreender e explorar o comportamento elástico de
elementos com qualquer secção de parede fina. Foi desenvolvido inicialmente com o intuito de
contribuir para a investigação do comportamento e dimensionamento de elementos enformados a
frio, baseando-se na teoria do método das faixas finitas convencional (descrita em 2.4).
O software calcula os diferentes modos e correspondente tensão de bifurcação, para
elementos de parede fina simplesmente apoiados. O CUFSM revela a sua utilidade mais prática na
capacidade de determinação de parâmetros como o Pcr e Mcr, usados frequentemente para
dimensionamento e verificação de segurança de elementos com secções de parede fina de aço.
Para além do referido, o programa proporciona a capacidade de decomposição das
soluções de estabilidade nos seus diferentes modos de deformação (local, distorcional e global),
calculando as respectivas contribuições. A partir da classificação dos modos de instabilidade, é
ainda possível focar a análise pretendida num dos modos identificados, permitindo assim análises
mais simplificadas e concretas de cada modo de encurvadura, (2008).
Nos seguintes capítulos pretende-se dar a conhecer o programa descrito, a sua interface e
respectivos menus e o modo de definição das diferentes variáveis para uma correcta utilização do
mesmo.
Interface
A interface do CUFSM é apresentada na Figura A.1.
Percorrendo os menus disponíveis encontra-se:
Botão “Load” e “Save”: Permitem abrir e salvar os ficheiros definidos. Para se
comparar diferentes análises realizadas, é necessário salva-las em diferentes
ficheiros, para posteriormente os carregar na janela de pós-processamento.
Menu “Input”: Definição da geometria, restrições, materiais entre outras variáveis
a definir pelo utilizador.
Menu “Properties”: Visualização das características mecânicas da secção
previamente definida e definição do carregamento pretendido.
Menu “Analyze”: Executa a ALE à secção e carregamento definidos
Menu “Post”: Apresentação da análise efectuada – curva de encurvadura,
classificação modal, comparação de resultados, entre outros.
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Botão “Z” e “R”: Controla a ampliação e a rotação dos grafismos apresentados.
Botão “Print”, “Copy” e “Reset”: Permitem a impressão de resultados, a sua
cópia, e o retorno às definições de origem do programa.
Figura A.1 - CUFSM. 1. "Load" e "Save"; 2. "Input"; 3. "Propreties"; 4. "Analysis"; 5. "Post"; 6. "Zoom" e "Rotate"; 7. “Print”, “Copy”
e “Reset”.
“Input”
Para definir o material da secção a modelar, como descrito em 2.5, o aço S355, é
necessário no campo correspondente á definição do material escrever-se:
“355 210000.00 210000.00 0.30 0.30 80000.00”
O programa permite definir tanto materiais ortotrópicos como isotrópicos. No nosso caso,
sendo o material isotrópico Ex=Ey=210000 KN/m2, assim como vx=vy=0.3. O número “355”,
corresponde ao nome do material, podendo ser qualquer número pretendido. O valor 80000.00
KN/m2 define o modulo de distorção do material.
Podem ser definidos diferentes materiais para a mesma secção, adicionando linhas, com
as propriedades dos materiais pretendidos, ao campo de definição dos materiais.
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Na definição da geometria da secção, é necessário definir os nós das faixas finitas que se
pretende utilizar para posteriormente se criar as faixas finitas pretendidas. Assim, antes de
proceder à modelação da secção/elemento deve dividir-se á priori a geometria “real” da secção
num número de nós/elementos apropriado. Não devem ser em número reduzido de modo a não
adulterar as propriedades mecânicas da secção, e também para que o equilíbrio entre os
diferentes elementos seja conseguido de um modo suficientemente aproximado à realidade. Deve
evitar-se um número excessivo de nós/elementos, para que a análise de resultados seja
processada em tempo útil.
Figura A.2 - Menu "Input". 1. Definição de Materiais; 2. Definição de nós; 3. Definição de Elementos; 4. Semi-comprimentos de onda; 5.
Controlo de Layout; 6. Layout
No caso das secções SEHS analisadas, optou-se pela definição da geometria a partir de
36 nós com espaçamento regular. A definição de cada nó segue a sequência: número do nó,
coordenada x do nó, coordenada z do nó, restrições do nó com o exterior segundo todas as
direcções (1 no caso de não haver restrições) e tensão aplicada no nó (poderá colocar-se qualquer
valor, já que o mesmo vai ser alterado posteriormente).
A título de exemplo, numa das secções modeladas (SEHS225x259x5), a definição dos nós
foi feita do seguinte modo:
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1 0.00 0.00 1 1 1 1 0.00 2 22.15 0.78 1 1 1 1 0.00 3 44.22 2.83 1 1 1 1 0.00 4 66.12 6.20 1 1 1 1 0.00 5 87.77 10.95 1 1 1 1 0.00
(...) 35 0.00 46.18 1 1 1 1 0.00 36 0.00 23.09 1 1 1 1 0.00
De modo a se concluir a definição geométrica da secção, é ainda necessário definir as
faixas finitas que a constituem, ligando os nós definidos com elementos de espessura pretendida.
No campo da definição de elementos, a definição destes segue a seguinte sequência: número do
elemento, nó inicial do elemento, nó final do elemento, espessura, nome do material do elemento.
Para o exemplo descrito, a definição dos elementos é seguidamente apresentada:
1 1 2 5.000000 355 2 2 3 5.000000 355 3 3 4 5.000000 355 4 4 5 5.000000 355
(…) 35 35 36 5.000000 355 36 36 1 5.000000 355
Com a modelação geométrica concluída, é possível visualizar o resultado final com recurso
às opções de visualização disponíveis, que permitem controlar a visibilidade das variáveis
definidas, desde o tipo de material definido para os elementos, ao número e coordenadas de cada
nó, o número dos elementos, e as restrições aplicadas a cada nó. Para a secção modelada como
exemplo, o resultado final é apresentado na Figura A.2.
No menu “input” é ainda necessário definir os semi-comprimentos de onda para quais o
CUFSM determinará os modos de encurvadura e respectivas cargas de bifurcação. O semi-
comprimento de onda será a dimensão de ½ da curva sinusoidal correspondente à deformada
longitudinal da barra em estudo. Como primeira análise é aconselhado a usar-se uma escala
logarítmica de modo a conseguir-se uma razoável definição da curva de encurvadura do elemento.
Posteriormente poderá acrescentar-se valores, para uma melhor definição de zonas importantes da
referida curva. No exemplo modelado, já com uma escolha de valores apropriados para uma
análise completa da curva de encurvadura, escolheu-se os seguintes valores de semi-
comprimentos de onda:
50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100.0 170.0 180.0 190.0 200.0 210.0 300.0 400.0 500.0 600.0 700.0 800.0 900.0 1000.0 1500.0 2000.0 2500.0 2760.0 3000.0 4000.0 5000.0 6000.0 7000.0 8000.0 9000.0 10000.0 20000.0 30000.0
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Como referido anteriormente, o modo crítico de encurvadura local de placas, estabelece-se
para valores de semi-comprimentos de onda na ordem da maior dimensão da secção. Daí a razão
para os valores introduzidos começarem na ordem das dezenas.
“Properties”
O menu “properties” tem como função principal a definição de carregamentos a aplicar á
secção modelada de modo a obter-se uma análise de acordo com o pretendido.
Na parte superior do ecrã é possível verificar as propriedades da secção modelada, que
devem estar de acordo com os valores esperados, caso contrário terá sido cometido algum erro na
definição geométrica da secção. São apresentados os valores dos momentos de inércia relativos
aos eixos principais da secção, das coordenadas do centro de gravidade da secção, entre outros.
Figura A.3 - Menu "Properties". 1. Propriedades da Secção; 2. Descretização da Secção; 3. Definição do carregamento; 4. Representação
do carregamento.
Sendo este estudo centrado exclusivamente na avaliação da capacidade resistente de
colunas á compressão, apenas é necessário compreender o funcionamento do CUFSM no que diz
respeito á aplicação de cargas axiais, embora o software tenha inúmeras potencialidades na
definição das cargas aplicadas, nomeadamente o cálculo de momentos de cedência com base na
tensão de cedência do material.
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De referir que os valores apresentados no gráfico da curva de estabilidade, no eixo “load
factor”, são valores proporcionais aos valores de referência que nestes campos se definirem.
Assim, de modo a obter-se compressão uniforme no membro em análise, optou-se por introduzir
directamente o carregamento pretendido. No campo “P”, introduz-se o valor unitário, de modo a
que os valores apresentados no gráfico da curva de estabilidade sejam correspondentes a cargas
críticas axiais dadas em KN. No caso de se pretender que a apresentação de resultados seja
exibida em termos de tensões na secção, no campo “P” deve introduzir-se o valor correspondente
à área da secção em análise.
“Post”
No ecrã “Post”, após execução da análise da secção modelada, tem-se acesso gráfico á
curva de estabilidade da secção para deformações longitudinais com deformada em semi-
comprimento de onda sinusoidal. A curva é definida com recurso aos semi-comprimentos de onda
introduzidos no “input”, aos quais correspondem valores de cargas de bifurcação associados a
diferentes modos de encurvadura.
Figura A.4 - Menu "Post". 1. Opções da deformada a exibir. 2. Carregamento de Ficheiros 3. Opções de curva de encurvadura a exibir.
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Com os comandos disponíveis do lado esquerdo do ecrã, é possível visualizar as
deformadas da secção para os diferentes semi-comprimentos de onda. A visualização das
deformadas é possível em 2D e 3D, consoante opção do utilizador. O ponto vermelho sobre a
curva é indicador do modo de encurvadura que está a ser visualizado.
O CUFSM, realiza ainda uma análise modal com 10 modos, cabendo ao utilizador escolher
em qual deste pretende analisar resultados. Os resultados relevantes, ocorrem no 1º modo de
deformação, nomeadamente o valor da carga crítica elástica e os modos de encurvadura mais
relevantes para análise e dimensionamento do elemento. Da análise de modos superiores, resulta
uma translação na curva na vertical e por conseguinte um aumento das cargas necessária para
que os modos de encurvadura ai apresentados se manifestem.
É ainda de referir que se fosse pretendido o estudo do elemento com deformação
longitudinal na forma de onda sinusoidal completa, dai não resultava qualquer benefício para a
análise do elemento, visto apenas ocorrer uma translação da curva de encurvadura para a direita.
Todos os valores relevantes se manteriam, nomeadamente o da carga crítica, havendo apenas
alteração do tipo de deformada longitudinal que o elemento apresentaria. Um elemento “real” é
livre de se deformar com inúmeras semi-onda sinusoidais, mas apenas interessará para análise do
elemento, o(s) mínimos da primeira semi-onda. Na Figura A.5, apresenta-se duas curvas de
encurvadura, uma resultante da análise para uma semi-onda sinusoidal, e outra referente à mesma
análise mas para deformada longitudinal com onda sinusoidal completa.
Figura A.5 - Curvas de encurvadura analisadas com deformadas longitudinais de semi-onda sinosoidal e onda sinosoidal completa.
Neste menu, é ainda possível carregar diferentes ficheiros com análises já executadas, e
compara-los num mesmo gráfico. Para o conseguir, é necessário carregar os ficheiros com o Botão
“Load another file”, e seleccionar quais dos ficheiros carregados se pretende visualizar no campo
“files to be plotted”.
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Opções mais avançadas, como a classificação modal de secções a partir de diferentes
normas são também possíveis com auxílio do CUFSM, encontrando-se os procedimentos
apropriados descritos em (2008).