compter, d énombrer, calculer, r ésoudre des probl èmes ... · prononcer un mot de plus revient...

Compter, dCompter, déénombrer, calculer, rnombrer, calculer, réésoudre des problsoudre des problèèmesmes……Choisir des outils spChoisir des outils spéécifiques dans la cifiques dans la remreméédiation diation des troubles des troubles

de la cognition mathde la cognition mathéématiquematique

Alain MénissierOrthophoniste, DEA de linguistique et sémiotique,praticien- chercheur au LASELDI (Laboratoire de SémioLinguistique, Didactique et Informatique, E.A 2281)Ecole d’Orthophonie, UFR SMP19, rue Ambroise Paré, 25 041 Besançon [email protected]

Une rUne rééflexion sur le matflexion sur le matéérielriel

QualitQualitéés ds d’’un matun matéérielriel

� Banal et simple� Capable d’étayer l’objectif de rééducation:

son contenu ne doit pas être choisi en fonction de ses possibilités d’exploitation mais pour sa capacité à

servir de support à l’activité cognitive de l’enfant.

� Proche du potentiel cognitif de l’enfant:- critère d’adaptabilité à la situation- critère de pertinence d’analyse en termes de schèmes, d’invariants ou de rupture de développement.

Principe mPrincipe mééthodologiquethodologique

« Ne me dîtes pas avec quoivous travaillez, mais dîtes-moi commentvous travaillez ! »

Choisissons alors un matériel le plus simple :

Soit le dessin de deux pommiers et quelques jetons

Et voyons maintenant comment faire Beaucoup

avec peu…

Un matUn matéériel simple:riel simple:Dessinons deux pommiersDessinons deux pommiers

Analyser une situationAnalyser une situation --problprobl èèmeme

� 1°) Constater les états� 2°) Rechercher la combinaison de ses deux états.� 3°) Rechercher la relation, c’est à dire le lien qui unit les

deux états

AnalyserAnalyser une situationune situation --problprobl èèmeme

� 1°) Constater les états : se poser la question « Combien ? »

Compter ou dCompter ou d éénombrer ?nombrer ?

� Combien y a-t-il de pommes sur le pommier rouge?

� un, deux, trois, quatre, cinq.


� Combien y a-t-il de pommes sur le pommier rouge?Cinq, c’est un, un, un, un et encore un.

� Un jeu bien utile, le jeu de Lucky Luke (C. Berdonneau):« L’homme qui sort ses doigts plus vite son nombre »


� Dénombrer, c’est créer mentalement des unités numériques

� Dénombrer, c’est avoir la capacité d’énumérer ces unités� Dénombrer, c’est totaliser ces unités numériques

DDéénombrer:nombrer:le matle matéérielriel comptecompte--acteacte

DDéénombrer:nombrer:le matle matéérielriel comptecompte--acteacte

recto verso

Combien ?

Une situationUne situation--problproblèème intme intééressanteressante

� Des pommes, des assiettes…

� « Y aura-t-il assez d’assiettes, trop d’assiettes, ou exactement ce qu’il faut pour mettre une pomme dans chaque assiette? »

Une situationUne situation--problproblèème intme intééressanteressante

� L’enfant doit anticiper le résultat de la comparaison.

� L’enfant commence à réfléchir son comptage en termes de décomposition:

� Ce qui importe dans un comptage, c’est son étendue (« jusqu’à va ce comptage »)

� Prononcer un mot de plus revient à ajouter une unitésupplémentaire

� La chaîne numérique devient l’instrument de mesure de la taille des deux collections: 7 assiettes, c’est 5 assiettes comme les pommes et encore 2 assiettes toutes seules !

Exemple: Blanche-neige était-elle entourée

de plus ou moins de H nains?

Comprendre et analyser Comprendre et analyser

une situationune situation --problprobl èèmeme

� 2°) Rechercher la combinaison de ses deux états :Il y a 5 pommes sur le pommier rougeIl y a 3 pommes sur le pommier vertCombien y a-t-il de pommes en tout ?

Le calcul additif:Le calcul additif:le matle matéérielriel comptecompte--acteacte

première carte deuxième carte

Le calcul additifLe calcul additif

recto verso


� recto � Verso


recto verso

4

Le calcul additif rLe calcul additif rééflflééchi:chi:effectuer une additioneffectuer une addition

recto verso

57

Le calcul additif rLe calcul additif rééflflééchi:chi:effectuer une soustractioneffectuer une soustraction

recto verso

53

Le calcul rLe calcul rééflflééchi : trouver le nombre au verso chi : trouver le nombre au verso sachant que la somme des deux nombres sachant que la somme des deux nombres

est est éégale gale àà 1313

recto verso

?8

Au début, tu as présenté une situation-problème avec deux

pommiers, mais avant d’y revenir,

dis-nous donc ce qu’est un problème !

QuQu’’estest--ce quce qu’’un problun problèème?me?

Un problème peut se définir comme la « représentation qu’un système

cognitif construit à partir d’une tâche, sans disposer immédiatement d’une procédure admissible pour atteindre un but »

(Hoc, 1987)

CaractCaractééristiquesristiques propres propres aux aux éénoncnoncéés de s de problproblèèmes arithmmes arithméétiquestiques

� Un lexique réduit qui utilise des termes inducteurs d’opérations arithmétiques.

� Des données numériques.� Une ou plusieurs questions.� Une sériation des informations permettant

l’émergence de procédures de résolution.� Une organisation des phrases qui repose sur

des implicites (contrat didactique).

Notre choix mNotre choix mééthodologiquethodologique

� La difficulté d’un problème n’est pas liée à l’opération arithmétique requise pour sa résolution.

� Travailler sur la résolution de problèmes, c’est maîtriser les opérations sémantiques sous-jacentes.

� Le praticien doit donc connaître le type de problème choisi (à l’intérieur d’une typologie précise).

� Le praticien maîtrise et connaît l’opérateur de l’inconnue àrechercher.

Construire une base de donnConstruire une base de donnééeses(logiciels (logiciels «« Point dPoint d’’interrogationinterrogation »»)) àà partir des partir des

principaux critprincipaux critèères intervenant dans la rres intervenant dans la rééussite dussite d’’un un problproblèème :me :

� La structure sémantique des problèmes.

� L’ordre d’introduction des données.

� L’emplacement de la question.

� L’emploi de termes linguistiques spécifiques.

� Le temps des verbes utilisés.

� La pertinence des informations à traiter.

Comprendre et analyser Comprendre et analyser

une situationune situation --problprobl èèmeme

� 3°) Rechercher la relation, c’est à dire le lien qui unit les deux états:� - Pour cela, il faudra quantifier cette relation d’ordre, à partir des

questions « combien de plus, combien de moins »� - Et donc énoncer cette relation : le pommier rouge a 2 pommes de

plus que le pommier vert, comme le pommier vert a 2 pommes de moins que le pommier rouge.

ProblProblèème de type me de type comparaisoncomparaison

états

relation3

5?

- 2+ 2

Un problUn probl èème de type comparaison:me de type comparaison:Comprendre la relation dComprendre la relation d ’’ordre quantifiordre quantifi ééee

?

Le pommier vert a 3 pommes de plusque le pommier rouge

Un problUn problèème de type comparaison:me de type comparaison:Comprendre la relation dComprendre la relation d’’ordre quantifiordre quantifiééee

5

?

+ 3

états

relation

Un problUn probl èème de type comparaison: me de type comparaison: Comprendre la relation dComprendre la relation d ’’ordre quantifiordre quantifi ééee

introduction dintroduction d ’’un leurre numun leurre num éériquerique

?

Le pommier rouge a 3 pommes de plus

que le pommier vert

Un problUn problèème de type comparaison:me de type comparaison:Comprendre la relation dComprendre la relation d’’ordre quantifiordre quantifiééee

introduction dintroduction d’’un un «« leurre numleurre numéériquerique »»

énoncé linguistique

aspect conceptuel

5

?- 3+ 3

Un problUn probl èème de type comparaison:me de type comparaison:Comprendre la relation dComprendre la relation d ’’ordre quantifiordre quantifi ééee

introduction de numintroduction de num ééraux arabesraux arabes

?

Le pommier vert a 3 pommes de plusque le pommier rouge

5

Un problUn probl èème de type comparaison:me de type comparaison:rechercher la transformation oprechercher la transformation op éérante entre deux rante entre deux

relationsrelations

Le pommier vert a 2 pommes de moins que le pommier rouge

Le pommier vert a 4 pommes deplus que le pommier rouge


relationsrelations

- 2 + 4?


relationsrelations

(- 2) + x = ( + 4)

(- 2) + (+ 2) + x = ( + 4) + (+ 2)x = ( + 6)

- 2 + 4?


relations (avec des numrelations (avec des num ééraux arabes)raux arabes)

Le pommier rouge a 1 pomme de moins que le pommier vert

Le pommier rouge a 4 pommes deplus que le pommier vert

5 6


relations (avec des numrelations (avec des num ééraux arabes)raux arabes)

5 6

- 1 + 4+ 5

Un problUn probl èème de type comparaison:rechercher une me de type comparaison:rechercher une

transformation optransformation op éérante en lrante en l ’’absence dabsence d ’é’étatstats

1. On supprime les pommiers.

2. On travaille avec deux énoncés R1 et R2

3. On recherche la transformation T:

R2TR1

Un problUn problèème de type comparaison:rechercher une me de type comparaison:rechercher une transformation optransformation opéérante entre deux relationsrante entre deux relations

� On trouve le sous-but qui égalise les 2 quantités, donc on enlève 2 pommes rouges (relation d’équivalence).

� On enlève encore 3 pommes puisqu’il en faut 3 de moins:

(+ 2) + (- 2) + x = (- 3) + (- 2)x = (- 3) + (- 2) donc x = ( - 5)

Le pommier rouge a 2 pommes de plus que le pommier vert

Le pommier rouge a 3 pommes de moins que le pommier vert

T

Le problLe problèème dme d’’AliceAliceest un problest un problèème de type changementme de type changement

� Alice introduit une relation temporelle:

� Une transformation opère sur une mesure pour donner une mesure:

état initial état final

?- 8

5

Les typologies Les typologies de problde problèèmes additifsmes additifs

1. Catégorisation en fonction des relations sémantiques mais aussi en fonction des opérations arithmétiques mises en jeu (addition et soustraction):- problèmes de type changement,

de type combinaison, de type comparaison et de type égalisation

(Riley, Greeno et heller ; 1983)

Les typologies Les typologies de problde problèèmes additifsmes additifs

2. Catégorisation qui différencie le calcul numérique (opération arithmétique) du calcul relationnel (en référence avec les opérations de pensée):L’analyse se fait en fonction de trois concepts:- la mesure- les transformations- les relations (Vergnaud, 1981)

Performances dans la rPerformances dans la réésolution de problsolution de problèèmes mes additifs au cours du cycle III (202 enfants)additifs au cours du cycle III (202 enfants)

0102030405060708090

100

changement combinaison

CE 2CM 1CM 2

comparaisondouble

transformation

Un petit rappel avec un problUn petit rappel avec un problèème additif de me additif de type changement :type changement :

Alice avait 11 bonbonsau début.

Alice a maintenant 6 bonbons.

Combien de bonbons Alice a-t-elle

donnés à Marie?

11 6?

un problun problèème additif de type changement :me additif de type changement :recherche de la transformationrecherche de la transformation

Alice avait 11 bonbons au début.


Combien de bonbons Alice a-t-elle

donnés à Marie?

11 6?

Avant AprèsAction

un problun problèème additif de type changement :me additif de type changement :recherche de lrecherche de l’é’état finaltat final


Combien de bonbons a

maintenant Alice ?

Alice a donné5 bonbons à Marie.

11 ?- 5

un problun problèème additif de type changement :me additif de type changement :recherche de lrecherche de l’é’état initialtat initial

Combien Aliceavait-elle

de bonbons au début ?

Alice a maintenant6 bonbons

Alice a donné5 bonbons à Marie

? 6- 5

Une bonne faUne bonne faççon de travailler:on de travailler:la comprla comprééhension de rhension de réécitcit



Alice a donné5 bonbons

à Marie

Avant AprèsAction

Toujours la même situationToujours la même situation--problproblèème:me:des probldes problèèmes additifs mes additifs

aux problaux problèèmes multiplicatifsmes multiplicatifs……

Le pommier rougea 7 pommes. Le pommier rouge a trois fois plus de pommes que le pommier vert.

Combien de pommes a le pommier vert ?Ce rapport est ici un nombre sans unité (trois fois plus)

définissant une structure assez simple d’un point de vue mathématique. La difficulté provient de l’emploi de termes spécifiques

tels que : fois plus, fois moins, double, triple, moitié, tiers ou quart…

?

Ce problCe problèème est un problme est un problèème de me de comparaison multiplicative de grandeurscomparaison multiplicative de grandeurs

Ces problèmes se définissent par :

� Un seul domaine de grandeurs en jeu.

� Un rapport scalaire explicitement défini entre les deux grandeurs (x fois plus ou x fois moins).

Un problUn problèème multiplicatif me multiplicatif simplesimple

Une maîtresse a disposé les élèves de sa classe en groupes. Il y a 7 groupes de 4 élèves.

Combien y a-t-il d’élèves dans la classe ?

(exercice 11- évaluation des mathématiques en CE 2)Ministère de l’Education nationale

Direction de l’évaluation et de la prospective septembre 2005

7 x 4 = 28

RRéééécrivons la situation en crivons la situation en dissociant les informationsdissociant les informations

Dans sa classe,la maîtresse fait 7 groupes d’élèves.

En tout, il y a 28 élèves dans la classe.

Il y a 4 élèves dans chaque groupe.

Recherchons les opRecherchons les opéérateurs srateurs séémantiquesmantiquesde ce problde ce problèèmeme

groupes élèves

1 4

2 8

3 12

………. ……….

7 28

Recherchons les opRecherchons les opéérateurs srateurs séémantiquesmantiquesde ce problde ce problèèmeme

groupes élèves

(nombre d’unités) (mesure des valeurs)

référence à l’unité 1 4 valeur unitaire

quantité d’unités 7 28 valeur multipliée

Relation quaternaire: le nombre total d’enfants est au nombred’enfants dans un groupe ce que7 groupes est à un groupe.

x 7 x 7

Ce problCe problèème est un problme est un problèème de me de proportionnalitproportionnalitéé simple et directesimple et directe

Ces problèmes présentent comme caractéristiques de posséder:

� deux domaines de grandeurs.

� une relation multiplicative définie entre ces deux domaines de grandeurs : c’est le rapport fonctionnel.

Trois nombres étant connus, il s’agit de déterminer le quatrième (l’unité étant le troisième nombre).

Chaque problème est constitué de trois données : deux énoncés et une question.

Classification des problClassification des problèèmes mes de type multiplicatifde type multiplicatif

La structure mathématique des problèmes relevant du champ conceptuel multiplicatif peut s’analyser en quatre grandes classes :

1. Les problèmes de proportionnalité simple et directe.

2. Les problèmes de comparaison multiplicative des grandeurs.

3. Les problèmes de proportionnalité simple composée.

4. Les problèmes de proportionnalité multiple.

Pour conclurePour conclure

Si votre attention a été proportionnelle à la longueur de mon exposé,

sa compréhensionen est la valeur ajoutée,

le tout multipliée par votre motivation

à vous former et calculée en tenant compte du coefficient de réinvestissement dans votre

pratique professionnelle.

compter, d énombrer, calculer, r ésoudre des probl èmes ... · prononcer un mot de plus revient...

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