computational geometry(madsg.com)

، شبکه آموزشی پژوهشی دانشجویان مادسیجایران

Madsg.com

!!مادسیج یعنی دهکده علم و دانش ایران

دوست حضرت نام به

محاسباتي ي هندسه

4فصل

سلطاني فاطمه89بهار

3

كاپ ماشينها، شكل مانند ما، اطراف اجسام از بسياري ... اتوماتيكي دهي شكل از استفاده با و پالستيكي هاي . فاز در هم را مهمي نقش كامپيوترها شوند مي ساختهبنابراين كنند، مي ايجاد ساختاربندي فاز در هم و طراحي

مي CAD/CAMامكانات مدرن كارخانه هر حياتي بخششئ. يك ساختن بيان به واقع در ساختاربندي فاز باشد : بايد كه اي شئ ماده مثل فاكتورهايي به باتوجه خاصقابل زياد مقدار به شئ آيا اينكه شئ، شكل شود، ساخته

. ... پردازد مي و نه يا باشد مي ساختنبا ساختن هندسي منظرهاي مطالعه به فصل اين درفلزي اشياء براي شده استفاده رايج پروسه يك كه قالبها، . اين فلزي اشياء براي شود مي پرداخته است، پالستيكي يا

. شود مي بيان گري ريخته عنوان به پروسه

مضاعف كار

مضاعف مقدمه همت

3

. 4-1شكل مايع فلز دهد مي شرح را گري ريخته پروسهقالب از شئ و گردد مي منجمد شود، مي ريخته قالب يك داخل . شود، نمي انجام سادگي همين به آخر مرحله آيد مي بيرون . است ممكن نيايد بيرون شئ قالب شكستن بدون است ممكنوجود اشيائي وگاهي بيايد، بيرون شئ قالب چرخاندن با تنها . اين در بنابراين كره مثل ندارد، وجود آنها براي قالبي كه دارندبتواند كه شئ يك براي قالبي وجود عدم يا وجود روي بر فصل

. گردد مي بحث شود خارج آن از

4-1شکل

Xَ

مضاعف كار


5

1قرارداد. شود: مي درنظرگرفته چندوجهي شئ

2قرارداد. شوند: مي گرفته درنظر اي تكه يك فقط قالبهامورد) كره مثل اشيائي ساخت براي اي دوتكه قالبهاي

). گيرند مي قرار استفاده

قالب: 3قرارداد از توان مي حركت يك با تنها را شئ هر ). (. آورد بيرون قالبش از توان نمي را پيچ يك مثال آورد بيرون

. است مناسب انتقالي حركت كار اين براي

مضاعف كار


6

:نه؟ يا است ساخت قابل گري ريخته با شئ يك مسئله : خارج آن از كه بيابيم مناسب قالب يك آن براي بايد اول پاسخ

شود. مي معين شئ شكل توسط قالب داخل حفره شكل شودكنند، مي ايجاد را متمايزي هاي قالب شئ مختلف جهتهاي ولي

باشد، سخت تواند مي جهت انتخاب اين از كه بسياري در چونديگر جهتهاي در درحاليكه شود، نمي خارج قالبش از شئ جهتها

. شود خارج است ممكن يك بايد شئ كه است اين جهت روي محدوديت top facetيك

. با درتماس كه است جايي تنها سطح اين باشد داشته افقي . بود نخواهد قالب

: است گري ريخته قابل شئ دوم پاسخبا جهت يك از top facetاگرحداقل

آمدن بيرون قابل جهت آن با متناسب. باشد قالبش از

مضاعف كار

مضاعف گري 4-1 همت ريخته ي هندسه

7

” قابل انتقال يك با شئ يك آيا اينكه تعيين روي بر ادامه در “ شود مي بحث نه يا باشد مي معين قالب يك از آمدن بيرون ” هر شئ يك گري ريخته قابليت روي گيري تصميم براي و

. “ شود مي واقع بررسي مورد ممكن جهت كنيد دو P فرض سطوح با كه است بعدي سه چندوجهي يك

يك بعدي .) top facetو دراينجا است شده طراحي معيناز دقيق تعريف يك كه نيست ارائه polyhedronنيازي

شود.( مطابق دقيقا اي حفره با مستطيلي بلوك يك مي P قالب

گيرد، باشد. مي قرار قالب داخل چندوجهي top facetوقتيقالب يعني باشد، قالب سطح باالترين با سطح هم بايد آندر شود شئ خروج مانع است ممكن كه اضافي قسمت هيچ

. ندارد اش بااليي سطح

مضاعف كار


8

مضاعف كار


سطح از P هر غير ناميده ordinaryسطح top facetبه. شود مي

سطح نام ordinaryهر نام ƒبه به قالب از سطح يك با‘ƒ ’. است متناظر كه دارد وجود جهت بردار يك بدون Pآيا بتواند

خارج انتقال طول در قالب داخلي سطوح با برخورد). ندارد ) ايرادي قالب درطول لغزيدن شود؟

قالب با تماس بدون سطح تنها كه top facetازآنجامحور مثبت جهت در بايد خروج جهت باشد zاست، ها

. است جهت روي بر موجود شرط تنها اين و

d

9

اگرƒ سطح ordinaryيك ، P آنگاه بايد باشد، يا سطح اينمتناظر سطح طرف يك روي ’ ƒ‘از بر يا و كند حركت قالب

‘ƒ ’ . دو بين زاويه به است نياز دقت اين ايجاد براي بلغزد. بعدي سه فضاي در بردار

: و شده گرفته درنظر مبدا يك از بردار دو بردار دو بين زاويهدو بين زاويه كوچكترين ساخته، را دو آن از گذرنده صفحه

. است موردنظر زاويه بردار

: سطح هر خارجي نرمال بردار با آن زاويه روي الزم شرطordinary،p 90حداقل (. لم (4-1باشد

مضاعف كار


d

10

چندوجهي: 4-1لمP قالبش از جهت در تواند ميحداقل زاويه اگر فقط و اگر شود، نرمال 90خارج با

سطوح تمام ordinaryخارجي ، P. بسازد :رفت طرف اثبات

سطوح از يكي خارجي نرمال با ordinaryاگر ، P يعنياز كمتر انتقال 90زاويه هنگام بسازد،

داخل نقاط .fتمام كند مي برخورد قالب با

مضاعف كار


d

d)( f

11

برگشت طرف : جايي در خلف نشان Pفرض بايد كند، برخورد قالب با

از كمتر زاويه كه خارجي نرمال يك كه با 90دهيم. دارد وجود سازد، كنيد مي از pفرض اي Pنقطه

سطح يك با كه اين ’ƒ‘است است، كرده برخورد قالبكه است معني بیرون pبدين سمت به تواند نمی

از بزرگتر زاويه بايد پس کند، با 90حرکتاز كمتر زاويه با نتيجه در مي 90بسازد،

سازد.

جهت Pچندوجهي: 4-1لم در تواند خارج مي قالبش ازحداقل زاويه اگر فقط و اگر تمام 90شود، خارجي نرمال با

ordinaryسطوح ، P. بسازد

d

)(

f)( f

d

d

12

: اگر لم جالب نتيجه انتقال Pيك از اي دنباله با بتوان رامي هم انتقال يك با آورد، بيرون قالبش از كوچك هايحل. به كمكي انتقال يك از بيش استفاده امكان پس توان

. كند نمي مسئله :لم در شده بيان ويژگي با بردار يافتن .4-1هدف كه بردار يك با بعدي سه فضاي در جهت يك

معين شود، مي شروع مختصات مبدا از . بودن مثبت به توجه با گردد بردار zمي

صفحه در نقاطي عنوان به را بردارها مي z=1اين درنظرگيريم.

:صفحه در نقطه هر بردار (x,y,1)مثل z=1نتيجه معرفبفرد .(x,y,1)منحصر برعكس و باشد مي

مضاعف كار


d

13

:لم داد، 4-1سؤال ارائه جهت روي را كافي و الزم شرايط ( صفحه جهت صفحه به شرايط اين يابد؟( z=1چگونه انتقال

سطح يك خارجي نرمال كنيد ordinaryفرضحداقل زاويه يك بردار سازد، 90باشد، مي با

: شود غيرمثبت و داخلي ضرب اگر فقط و اگر

صفحه روي صفحه نيم يك كننده توصيف نامساوي z=1اينصفحه اين روي خط يك چپ يا راست طرف در كه باشد مي

. باشد مي :،باشد نمي صحيح افقي سطوح براي شرط اين چون نكته

يا . و درنتيجه است برقرار همواره كهيا و شود نمي بررسي . شرط نيست برقرار هيچگاه كه

مضاعف كار


d

0

zyyxx dd

)1,,( yx ddd

d

),,(

zyx

0

yx 0

z0

z

14

افقي غير سطح هر روي Pبنابراين صفحه نيم يك معرفنيم z=1صفحه اين مشترك تقاطع در نقطه هر كه است،

شئ توان مي آن با كه است جهتي بردار معادل ها صفحه . نيز تهي تواند مي مشترك تقاطع اين درآورد قالبش از رااز شدن خارج قابل شئ كه است معني بدين كه باشد

. باشد نمي قالبش : در نقطه يك يافتن هندسي مسئله يك به مسئله تبديل

يا و ها صفحه نيم از شده داده مجموعه يك مشترك تقاطع. است تهي تقاطع اينكه گيري تصميم

موردنظر چندوجهي حداكثر nاگر باشد، داشته n-1سطح (. حضور عدم دليل به حداكثر است بحث مورد صفحه نيم

منهاي و افقي حضور 1سطوح عدم دليل ( top facetبه

مضاعف كار


15

گري ريخته قابليت تست براي شد گفته كه آنجا Pازعنوان به سطوح تمام گرفته top facetبايد نظر در

. شود مي بيان زير قضيه شوند، اگر: 4-2قضيهP با باشد nچندوجهي زمان سطح در

انتظار نياز )o)n2 مورد مورد حافظه براي )o)nوآيا كه گرفت تصميم توان مي سازي قابل Pذخيره

. اگر عالوه به نه يا است گري ريخته Pريخته قابلدر باشد يك گري و قالب يك توان مي مشابهي زمان

. يافت آن خروج براي مناسب جهت

مضاعف كار


16

كه كنيد خطي H={h1,h2,..,hn}فرض معادالت از اي مجموعهصورت به معادله هر كه باشد، .است aix+biy ≤ ci دومتغيره

ci وbi وai و هستند باشند aiو biثابت صفر توانند نمي .همزمان

در بسته صفحه نيم يك عنوان به معادله يك هندسي لحاظ ازR2 خط با . aix+biy = ci كه شود مي بيان شده كراندار

“ ” نقاط: تمام يافتن همه ∍ )R2 )x,yمسئله در معادله nكهدر شده واقع نقاط تمام يافتن ديگر عبارت به كند، صدق

هاي صفحه نيم مشترك مسئله.) Hتقاطع قسمت اين در). شود مي تر كلي قبل به نسبت

مضاعف كار

مضاعف ها 4-2 همت صفحه نيم تقاطع

17

: ها صفحه نيم مشترك ناحيه شكل تعيينo نواحي واشتراك است محدب ناحيه يك صفحه نيم هر

. است محدب نيز محدبo يكي مرز روي بايد مشترك تقاطع مرز روي نقطه هر

سازنده يالهاي درنتيجه شود، واقع ها صفحه ازنيمنيم از بعضي مرزي خطهاي همان مشترك ناحيه

. باشند مي ها صفحهo يك مرزي خط هر است، محدب تقاطع ناحيه كه آنجا از

. باشد يال يك سازنده حداكثر تواند مي صفحه نيمo :مشترك تقاطع يك nنتيجه صفحه نيمبا حداكثر كه است محدب چندضلعي n . است شده محدود يال

مضاعف كار


18

( فوق نشان( 4-2شكل را ها تقاطع اين از مورد چند( . شكل باشد نامحدود تواند مي هم تقاطع دهد و ii مي

iii )خط يا نقطه يك صورت به تواند مي هم ،شكل) ) ivباشد شكل( باشد تهي تواند مي هم (.vو

مضاعف كار


19

الگوريتمdivide-and-conquer مشترك تقاطع يافتن nبراييك پايه بر كه شود، مي ارائه صفحه نيم

INTERSECTREGIONCONVEX دو تقاطع محاسبه براي عادي. است محدب ناحيه

مضاعف كار


20

مضاعف كار


نتيجه در 2-7در چندضلعي دو اشتراك نقاط كه شد ديدهكه )o)nlogn+klognزمان است، محاسبه مجموع nقابل

و چندضلعي دو در رئوس بين kتعداد اشتراك نقاط تعداد . نواحي كه كرد توجه بايد اينجا در البته باشد مي ناحيه دولزوما يعني باشند هم نقطه يا و خط توانند مي مشترك

. باشند نمي چندضلعياگرv يال مشترك يال C1از e1نقطه بدون باشد، C2از e2و

اش~تراك چگ~ونگي ب~ه راس e2 ،vوe1توج~ه ي~ك c1 ⋂c2باي~دباشد،

نيم صفحه است،nاشتراك c1 ⋂c2 و از آنجا كه

كه راس دارد. اين نتيجه مي دهدn يال و nحداكثر n ≤ k:پس زمان اجرا برابر است با، o)nlogn(.

21

مضاعف كار


: الگوريتم كل اجراي زمان

:بنابراين

:در كه اي نواحي INTERECCONVEXREGIONS توجهگرفته درنظر بعدي دو شود مي گرفته اشتراك آنها ازبودند، نقطه يا خط آنها هردوي يا يكي اگر شوند، مي

. شود مي رها تمرين عنوان به و گردد مي آسانتر كار

1)2/(2)log(

1)1()(

nnTnno

nonT

)log()( 2 nnonT

22

محدب چندضلعي يك معرفي براي تر جزئي مشخصاتC :راست و چپ شامل Cمرز كه جداگانه، طور به

وقتي كه ترتيبي به ها صفحه نيم شده مرتب ليست ) اتفاق) شود، مي طي پايين به باال از راست يا چپ مرز

. با را مرز دو اين افتد داده نمايش )C(Lrightو )Lleft)Cمي. شود مي

يافتن با كه اند نشده مرتب اينجا در رئوس . آيند مي دست به متوالي خطوط اشتراك

مضاعف كار


23

افقي يال كه شود مي فرض الگوريتم، توصيف سادگي براي (. مي باشند، موجود نيز افقي يالهاي اينكه براي ندارد وجود

باال از مذكور يال اگر گفت به Cتوان متعلق كند محدود را). برعكس يا و باشد چپ مرز

الگوريتم يك جديد، يك sweepالگوريتم است، اي صفحهsweep line و داده حركت پايين سمت به صفحه روي را

از .C2و C1يالهايي شوند مي نگهداري دارند تقاطع آن با كه

بودن محدب به توجه وجود 4حداكثر C2و C1با متقاطع يالاز پيچيده داده ساختمان از استفاده جاي به پس 4دارد،

گر right_edge_C1و left_edge_C2 و left_edge_C1اشاره.) right_edge_C2 و تقاطع عدم درصورت شود مي استفادهnill)

مضاعف كار


24

4-3شكل

مضاعف كار


25

:شوند؟ مي اوليه مقداردهي چگونه گرها اشاره سؤال :اگر راس y1پاسخ باالترين )C1مؤلفه اگر از C1باشد، نامحدودي يال

باشد، داشته آنگاه y2و( = y1باال باشد مشابه طور = ystart بهmin)y1,y2( .تقاطع محاسبه قسمتي C2و C1براي روي تنها الزم توجه

مؤلفه با صفحه مساوي yاز يا . ystartكمتر درنتيجه را sweepاستخط ystartاز گرها اشاره تمامي اوليه مقدار و داده حركت به شروع

y=ystart. شود مي داده :الگوريتم در صف sweepسؤال به اي است؟ eventصفحه نيازي ها :پاسخevent يالهاي انتهاي و ابتدا درواقع تقاطع C2و C1ها محل دو و آن

با كه باشند پس sweepمي اند، داشته كه eventبرخورد بعديباالترين درواقع رسيم، مي آن به كه است بعدي يال كننده مشخص

end point در آن يال كه است درنتيجه sweepي دارد، eventقراراز استفاده با ثابت زمان در را به 4بعدي توان مي موجود گر اشاره

(. باشد نمي صف به نيازي و آورد را yبا end pointدست مساوي هايدر و گرفته درنظر راست به چپ قرار end pointاز هم روي كه هايي

). گيريم مي درنظر اول را يال ترين چپ دارند،

مضاعف كار


26

هر جديد event pointدر يال سري مي eيك ايجاد مرز رويروي كار براي اوال eشود، كه شود مي بررسي eابتدا

به است يا C2يا C1متعلق دارد قرار چپ مرز روي دوما ومناسب الگوريتم دو اين به توجه با سپس و راست مرز

. شود مي فراخواني كه الگوريتمي اينجا چپ eدر مرز روي دارد C1بر قرار

. است مشابه طور به بقيه شود، مي بيان كنيد حالت end point، e باالترين pفرض سه با است،

از eممكن يالي عنوان : Cبه يال يا شود مي گرفته درنظرباالترين Pبا عنوان يا end pointبه ،e∩ left_edge_C2 به

باالترين يا end pointعنوان ، e ∩ right_edge_C2 عنوان به. شود مي بررسي زير صورت به كه يال، باالترين

مضاعف كار


27

آياp مابين left_edge_C2 وright_edge_C2 قراريال باشد، اگر از eدارد؟ شروع با شركت Cدر pرا

آن مرزي خط كه را اي صفحه نيم سپس و دهيم ميبه eشامل را شود .)Lleft)Cمي كنيم مي اضافه

آياe با right_edge_C2 آنگاه داشت اگر دارد؟ تقاطعراس يك تقاطع : Cنقطه دارد ممكن حالت دو و است

1 .p راست گيرد، right_edge_C2سمت مي آنگاه قراردر بايد كه است يالي شروع تقاطع .Cنقطه گيرد قرار

2 .P چپ آنگاه right_edge_C2سمت گيرد، مي قراردر بايد كه است يالي پايان تقاطع .Cنقطه گيرد قرار

مضاعف كار


28

كه اي صفحه نيم اول حالت كند eدر مي تعريف راكه )Lleft)Cدر اي صفحه نيم و شده داده قرار

right_edge_C2 در كند مي تعريف در. )Lright)Cراقبال اين چون شود، نمي انجام كاري هيچ دوم حالتوارد نياز صورت در و اند گرفته قرار بررسي مورد

. اند شده ليستها

مضاعف كار


29

آياe باleft_edge_C2 تقاطع تقاطع نقطه داشت، اگر دارد؟از يال Cراسي و دو Cاست شود مي شروع تقاطع نقطه با كه

از قسمتي يا دارد، ممكن قسمتي eحالت يا استثابت left_edge_C2از زمان در دو اين بين گيري تصميم كه

. اگر گيرد مي چپ pصورت يال left_edge_C2سمت آن باشداز از eقسمتي قسمتي وگرنه توجه. left_edge_C2است با پس

يا حالت دو اين نيم Cبه left_edge_C2يا eبه و شده اضافهبه متناظرش . )Lleft)Cصفحه

مضاعف كار


30

:با متناظر صفحه نيم هم است ممكن نيم eسؤال هم وبا متناظر چه )Lleft)Cبه left_edge_C2صفحه به شود، اضافه

شوند؟ مي اضافه ليست به دو اين ترتيبي:پاسخleft_edge_C2 عنوان به كه شود مي اضافه وقتي تنها

يال تقاطع Cيك نقطه از شروع . eو left_edge_C2با باشد صفحه كردن اضافه داشته eبراي وجود است ممكن دليل دو

باشد:يال eيا عنوان باالترين Cبه در شروع آن end pointبا

) يا) اول حالت همان يعني يال eباشد عنوان از Cبه شروع بابا صورت right_edge_C2تقاطعش اين در )Lleft)Cبه eباشد،

و شود مي حالت) )Lright)Cبه right_edge_C2اضافه طبقو( به left_edge_C2دوم (. )Lleft)Cهم سوم) حالت همين طبق

حالت هردو در بايد پس بعد eاول شود . left_edge_C2اضافه

مضاعف كار


33

. است: نیاز مورد ثابت زمان یال یک به رسیدن برای نتیجه زمان: 4-3قضیه در تواند می محدب ناحیه دو )o)nتقاطع

(. حداكثر چون شود درنتیجه nمحاسبه و صفحه .( nنیم داریم یال يالهاي تمام شدن اضافه به منوط الگوريتم ترتيب Cصحت با

: یال یک باشد مي نقطه Cصحيح عنوان pو upper end بهpoint . آنگاه کنید فرض را از ، upper end pointیا pآن یال یک

C1 یاC2 تقاطع نقطه یا و اول. C2از ’eو C1از eاست مورد دربه که یال pوقتی رسیم دوم Cمی مورد در و شود می یافت همبه که اضافه upper end pointوقتی یال رسیدیم، اش تری پایین

.) (. نیم همه بنابراین دوم و اول حالتهای به توجه با شود می . هم شدن اضافه مناسب ترتیب اثبات شوند می اضافه ها صفحه

. باشد می ساده

مضاعف كار


34

قضیه به توجه الگوریتم 4-3با برایINTERSECTHALFPLANE: داریم

با: 4-4نتیجه مجموعه یک مشترک صفحه nتقاطع نیمزمان در تواند با )o)nlognمی و ذخیره )o)nمحاسبه

شود.

مضاعف كار


1)2/(2)(

1)1()(

nnTno

nonT

)log()( nnonT

35

درحالیکه شد یافت ها صفحه نیم مشترک نقاط تمام قبل قسمت درجواب یک یافتن گری ریخته مسئله جمله از مسائل از بسیاری در

. بود سریعتری الگوریتم دنبال به توان می احتماال پس کافیست، با نزديكي ارتباط معادالت، از مجموعه يك براي جواب يك يافتن

در شده شناخته و linear optimizationكه operations researchمسئله. linear programming يا در كه تفاوت اين با دارد شود، مي ناميده

( مي ماكسيمم را خطي تابع كه جوابي خاصي جواب خطي برنامهيعني.( : است، نياز مورد معادالت مجموعه از كند

Maximize c1x1+ c2x2+…+ cdxd

Subject to a1,1x1+…+ a1,dxd ≤ b1

a2,1x1+…+ a2,dxd ≤ b2

. . . an,1x1+…+ an,dxd ≤ bn

.bi و ciو ai,jكه دهند مي شكل را مسئله ورودي كه هستند ثوابتي

مضاعف كار

مضاعف توسعه 4-3 همت خطی های برنامهیافته

36

تابع شود مي ماكسيمم كه به objectiveتابعي معادالت مجموعه ،تابع خطي objهمراه متغيرهاي برنامه تعداد مي Lpو ناميده آن بعد

شود. در فضاهايي نيم عنوان به خطي معادالت كه آنجا باشند، Rdاز مي

ناحيه عنوان به كند مي صدق معادالت همه در كه فضاها نيم اين تقاطعامكان( feasibleامكان) نقاط ناحيه اين در موجود نقاط و خطي برنامه

( ناممكن نقاط ناحيه اين از خارج نقاط . infiseableو شوند( مي ناميده ( باشد تهي امكان نقاط قسمت( 2-4 اگر ناميده v( )Lpشكل ناممكن

. شود مي تابعobj يعني كردن ماكسيمم و شده بيان فضاي در جهت يك عنوان به

نقطه . (x1,x2,…,xd)يافتن باشد ماكسيمم بردار جهت در كه

حل نتيجه كه Lpدر امكان ناحيه در نقطه يك يافتن يعني

. باشد ماكسيمم جهت در : تابعobj. بردار توسط شده تعريف

c cf

c

c

مضاعف كار

مضاعف یافته 4-3 همت توسعه خطی های برنامه

37

:نقطه يك يافتن و ,p∩H كه pR2مسئله(. شود ماكسيمم

و ( با را خطي )برنامه H) از , و دهيم، مي Cنمايش

. چهار كه شود مي استفاده امكان ناحيه نمايش براي. دارد ممكن جواب

مضاعف كار


cf

),( yx ccc

yyxxc

pcpcf

c

38

.1LP است معادالت ناممكن مجموعه براي جوابي هيچ . ندارد وجود

است 2. بيكران امكان پرتوي ناحيه كه ρيك دارد وجودناحيه در كامل طور تابع Cبه و گيرد مي قرار

طول در دلخواه بزرگ . ρمقادير حل اينجا در گيرد مي. است پرتويي اينچنين توصيف مسئله

يال Cناحيه 3. جهت eيك در آن خارجي نرمال كه داردروي است نقطه را eهر كه ايست نقطه

. كند مي ماكسيممنيفتد 4. اتفاق فوق حالت سه از كدام يگانه هيچ جواب

v. است ماكسيمم جهت در كه دارد، وجود

مضاعف كار


cf

c

c

)( pfc

39

: يكي معادالت كه شود مي فرض اوال مسئله حل برايخوش مياني، خطي برنامه هر جواب و شده اضافه يكينهايي جواب دهد، مي نتيجه اين كه است يگانه و تعريف

(. شكل مطابق است يگانه (ivنيز به معادله دو منظور برنامه LPبدين تا شود، مي اضافه

اگر مثال شود، كراندار يك cy>0 و cx>0خطي بازاي آنگاهMR معادالت .py<Mو px<Mبزرگ، شوند مي اضافه

(M بهينه جواب روي اثري تا شود، انتخاب بزرگ بايد). باشد نداشته

به زير معادله دو مي درنتيجه اضافه معادالت مجموعهشود:

مضاعف كار


woMp

cMpm

woMp

cMpm

y

yy

x

xx

.

0:

.

0:

2

1

40

:نكته m1وm2 هاي صفحه نيم از ومستقل هستند و Hتابعامكان .C0=m1∩m2ناحيه است قائمه زاویه يك

( مورد: در يگانه جواب وجود براي كوچكترين( iiiدوما هممعادل كه شود، مي گرفته درنظر قاموسي لحاظ از نقطهنرمال از كدام هيچ با تا شود چرخانده اندكي اينكه با است

: (. يك حتي توجه نباشد جهت هم ممكن LPصفحات محدود ( تمرين باشد نداشته قاموسي يگانه جواب با( 4-11است كه

.(m2وm1وجود باشد نمي ممكن

:برنامه هر قرارداد دو اين اعمال با نتيجهناحيه راس يك كه دارد يگانه جواب خطي . شود مي ناميده بهينه راس و است ممكن

مضاعف كار


c

c

41

:فرض(H) نظر، , مورد خطي شماره h1,h2,…,hnبرنامهصفحات معادالت H،Hi iگذاري همراه به اول m2وm1معادله

ممكن Ciو انتخاب آنها ناحيه ممكن C0با ناحيه يك Ci هريگانه بهينه Hi:={m1, m2, h1,.., hi} دارد vi راس

Ci := m1 ∩ m2 ∩ h1∩ …∩ hi

C1… Cn=C C0 اگر Ci ji Cj==و

4-5لم ( اضافه: از پس بهينه راس تغيير چگونگي بررسي:n 1iاگر (hiشدن داريم آنگاه

i( if vi-1 hi vi= vi-1

ii( if vi-1 hi Ci= or vi li li is the line bounding hi

مضاعف كار


c

42

مثال

مضاعف كار


43

: اثبات i )اگرvi-1 hi به توجه با نتيجه vi-1 Ci-1و hi Ci-1∩= Ciآنگاه ، vi-1 Ciدر

كه آنجا بهينه Ci Ci-1از نقطه بهينه Ciپس نقطه از بهتر تواند Ci-1نمي

نتيجه در بهينه vi-1باشد، راس .Ciهمان باشد مي

ii( vi-1hi : خلف فرض ،Ci وvi رويli . خط آنگاه نگيرد را vi-1viقرارچون. نتيجه viCi Ci-1داريم بودن viCi-1در محدب به توجه با و Ci-1و

خط vi-1Ci-1اينكه داخل vi-1viو . Ci-1كامال چون حال نقطه vi-1استتابع Ci-1بهينه و باشد، objاست مي خطي ،

خط طول در .vi-1به viاز vi-1viپس يابد مي افزايش

با مذكور خط تقاطع نقطه .qرا liحال گيريم مي درنظر

) q : چون دارد عضو viCi q و vi-1hiوجود

Ci (. است هم

بودن بهينه با است تناقض اين ناحيه viو Ci.در

مضاعف كار


cf

)()( iccvfqf

44

4-5لم. كند نمي بيان را جديد راس يافتن چگونگي :نقطه يافتن محدوديت كه liروي pمسئله تحت p را

h برايh Hi-1 . كند مي ماكسيمم

شود مي فرض سادگي مؤلفه liبراي با آنگاه نيست، xعمودي : . شود مي تعريف زير تابع پس شود مي پارامتري

صفحه نيم هر تقاطع xمؤلفه )h،б)h,liبراي خط liنقطه و: hمرزي (. روي نقطه هر يا تقاطع عدم معادله liاست hدر

معادله كه كند، مي هيچ hصدق يا و شود، مي گرفته ناديدهاز اي كه hدر liنقطه كند نمي مي LPصدق گزارش ناممكن

شود.(

مضاعف كار


)( pfc

ixcc

c

lpforpfpf

RRf

)()(

:

45

:اينكه به توجه با راست li∩hمسئله به يا شود مي كراندار چپ به: به شود مي تبديل مسئله

Maximize

subject to x б)h,li( , h Hi-1 and li∩h is bounded to the left

x б)h,li( , h Hi-1 and li∩h is bounded to the right

. باشد مي بعدي يك خطي برنامه يك كه

مضاعف كار


)(xfc

46

: كنيد فرض

xleft=max hHi

{б)h,li(: li∩h is bounded to the left}

and

xright=min hHi{б)h,li(: li∩h is bounded to the right}

ممكن [xleft:xright]فاصله اگر LPناحيه پس است، بعدي < xleftيكxright LP, خط روي اي نقطه بهينه نقطه اينصورت درغير و ناممكن

li نقطه .( xrightيا xleft در تابع به توجه با باشد )objمي

4-6لم ). يافتن: شود مي حل خطي زمان در بعدي يك خطي برنامه) iماكسيمم جديد بهينه راس محاسبه آنگاه بنابراين صفحه viنيم

لم( دوم حالت برنامه) 4-5يعني بودن ناممكن گيري تصميم يا وزمان در .)o)iخطي گيرد مي انجام

مضاعف كار


47

مضاعف كار


48

با: 4-7لم كراندار خطي برنامه يك حل فوق و nالگوريتم معادلهزمان در را متغير .)o)n2دو كند مي محاسبه خطي ذخيره و

: لم به توجه با الگوريتم صحت جديد 4-5اثبات صفحه نيم hiهرگاهنقطه شود، مي بهينه viاضافه نقطه اگربرنامه Ciهمچنان و است

روي بعدي يك آنگاه liخطي باشد، درنتيجه Ciناممكن و است تهيC=Cn Ci . است ناممكن خطي برنامه پس است، تهي هم

: در يكي يكي ها صفحه نيم اجرا زمان مي nاثبات اضافه مرحلهخط در اجرا زمان بيشترين در 6شوند، كه شود، مي سپري ام

برابر iمرحله :)o)iام با است برابر كل زمان پس باشد، مي

قبل الگوريتم به نسبت ولي است خوب و ساده الگوريتم گرچهمي صحيح تحليل اين آيا است، كندتر يافت مي را نقاط تمام كه

باشد؟؟

مضاعف كار


)()( 2

1

noion

i

49

مرحله هر اگر )o)iبا iهزينه شود، مي . .vi-1hiكراندار

اگر .iمرحله vi-1hiولي گردد مي انجام ثابت زمان در

تواند مي حداكثر بهينه اگر nراس ولي كند تغيير بارمقدار اين باشد، مناسب صفحات شدن اضافه ترتيب

. يابد مي كاهش

اجرا زمان كه دهد مي نشان روبرو شكلحالت بدترين .)o)n2در باشد مي

مضاعف كار


50

:كه كرد اضافه ترتيبي به را ها صفحه نيم توان مي پس سؤال. vi اصال هر براي اينكه شود خطي اجرا زمان تا نكند تغييري

صحيح دارد وجود مناسب ترتيب يك ها صفحه نيم از مجموعهصرفه به مقرون يا و ممكن ترتيب اين يافتن آيا ولي است

است؟ :هنوز كه الگوريتم شروع از قبل بايد ترتيب اين چون پاسخ

باشد موجود نيست دست در ها صفحه نيم تقاطع از هيچ . ترتيب يك اينجا در كه نيست ساده مناسب ترتيب يافتن

از .Hتصادفي داريم برمي را تابع از تصادفي شود )RANDOM)kدرالگوريتم مي استفاده

بين تصادفي عدد يك ثابت زمان در .kتا 1كه دهد مي را در شده ساخته تصادفي انتخاب به وابسته اجرا زمان

. ميباشد الگوريتم

مضاعف كار

مضاعف تصادفي 4-4 همت خطي برنامه

51

مضاعف كار


52

مختلف حاالت خاص !nتعداد زمان هركدام كه است . هاي زمان اين از هركدام چون حال دارد را خود اجرايانتظار مورد اجراي زمان دارند، يكساني احتمال اجرا

تمام متوسط كه زمان !nالگوريتم مختلف حالت. گيرد مي قرار بررسي مورد اجراست،

:تصادفي متغير ميانگين يا و رياضي اميد يادآوري

f)x( :احتمال چگالي تابع

مضاعف كار


peyvastexxf

gosastexxfxE

)(

)()(

53

با: 4-8لم دوبعدي خطي نويسي برنامه nمسئلهانتظار مورد زمان در خطي )o)nمعادله سازي ذخيره و

. شود مي حل :اجراي زمان RANDOMPERMUTATIONاثبات

با متغير .)o)nبرابراست صفحات، كردن اضافه براي:Xiتصادفي كنيم مي تعريف صورت بدين را

براي شده سپري زمان خط nپس در برابر 6صفحه: با است

: رياضي اميد بودن خطي به بودن توجه با

مضاعف كار


wo

hvX ii .0

1 1

n

iiXio

1

)(

n

i i

n

i i XEioXioE11

)().()).((

54

:سؤالE)Xi( چيست؟ :اينكه احتمال در vi-1hiپاسخ بهينه نقطه اينكه احتمال يعني ،

. روند از احتمال اين تحليل براي كند تغيير مرحله اينBackwardsAnalysis شود مي فرض يعني شود، مي استفاده

بهينه راس و گرفته انجام الگوريتم حال vnكه آمده، بدستكنيم، hnصفحه مي حذف را

كند؟ مي تغيير بهينه نقطه احتمالي چه با

كه آنجا باشد، Cnراس vnاز ميشوند مي تعريف ها صفحه نيم از تا دو توسط حداقلوقتي از vnو راسي كه كند مي يعني Cn-1تغيير يكي hnنباشد،

كه است هايي صفحه نيم . vnاز كه آنجا از و كند مي تعريف رااينكه احتمال اند، شده اضافه تصادفي طور به ها صفحه hnنيم

كننده تعريف هاي صفحه نيم از حداكثر vnيكي مي n/2باشدباشد.

مضاعف كار


55

o :حداكثر چرا ؟ n/2سؤالo :اگر اوال حذف vnپاسخ آنگاه باشد، يال دو از بيش كننده تعريف

hn تغيير باعث است است vnممكن ممكن چون از vnنشود، بعد. hnحذف بر عالوه دوما باشد راس هم معادله، nباز

m1 وm2 ساختن در توانند مي داشته vnهم دخالتاز را احتمال هم اين .n/2باشند،كه كند مي كمتر

: روند همين اگر حال پاسخ اول iبراي Backwardsادامه Hمعادله: داريم هم باز شود، گرفته درنظر

E)xi( 2/ i

دو خطي هاي برنامه تمام حل براي انتظار مورد كل زمان نتيجه در: با است برابر بعدي)o)i(.2/ i( = o)n(

مضاعف كار


56

دو اعمال با را نامحدود خطي برنامه قبل قسمت درممكن هميشه اين اما كرديم، كراندار اضافي محدوديتولي شود مي محدود خطي برنامه گاهي حتي و نيستبه شود مي بزرگ بسيار ممكن ناحيه مرز همان يا كران

. نيست شناخت قابل كه اي گونه :** برنامه غيركرانداري تشخيص چگونگي اول مسئله

؟, (H)خطي خطي: 4-9لم برنامه و , (H)يك اگر است غيركراندار

و بطوريكه باشد داشته وجود بردار اگريك فقطتمام خطي hHبراي برنامه ’, ( H)و

اگر باشد مي ممكن

مضاعف كار

مضاعف غير 4-5 همت خطي برنامهكراندار

c

c

d

}0).(|{

dhHhH

c 0)(.

hd 0.

cd

57

: اثبات : بودن بيكران كه شد گفته قبال رفت معني Cطرف به

پرتوي ممكن ρوجود ناحيه در كامل كه ايست گونه بهتابع و بگيرد طول objقرار دلخواه ρدر بزرگ مقادير

بگيرد.p :شروع آن : ρنقطه جهت بردار ، ρ={p+λ : λ>0

} تابعobj طول اگر ρدر فقط اگرو گيرد مي بزرگ مقادير

صفحه . نيم نرمال بردار اگر ديگر طرف hاز : داريم آنگاه باشد، ممكن ناحيه سمت به

مضاعف كار


d

d0.

cd

0)(.

hd

)(h

58

: برگشت خطي طرف شرايط , (H)برنامه با بردار و . چون است مفروض لم در شده )داده H) است ’, ممكن

نقطه p0پسhH’

h . پرتوی کنید فرض دارد وجود

ρ0:={p0+ λ : λ >0} برای که آنجا ، ’h H،ازصفحات ρ0پرتوی از کدام هر در کامل طور می ’Hبه قرار

که. آنجا از بنابراین طول objتابع گیرد ρ0در. گیرد می دلخواه بزرگ مقادیر

صفحه هرنیم نتیجه ’h H\Hبرای که داریم ،پارامتر دهد تمام λhمی برای که دارد، وجود λh =<λ p0+ λی

h. فرض به ρ0پرتوی +λ’ P:=P0و ’λh λ’ :=maxh H\Hباعضو صفحات از کدام هر در کامل . Hطور گیرد می قرار

. (, Hدرنتیجه ) است بیکران

مضاعف كار


c

c

c

d

d

d

0)(.

hd

0.

cd

0)(.

hd

d

59

مضاعف كار


60

مضاعف كار


Title

• Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Vivamus et magna. Fusce sed sem sed magna suscipit egestas.

• Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Vivamus et magna. Fusce sed sem sed magna suscipit egestas.

computational geometry(madsg.com)

Education