conceitos bÁsicos de grafos prof. m.sc. fábio francisco da costa fontes agosto - 2009
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CONCEITOS BÁSICOS DE CONCEITOS BÁSICOS DE GRAFOSGRAFOS
Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes
Agosto - 2009
Caminho, PercursoUm caminho de um vértice vi0 para o vértice vik é uma seqüência de arestas
< vi0, vi1 >, < vi1 , vi2 > , . . . , < vi,k–1 , vik >.
Um caminho é dito elementar se passa exatamente uma vez por cada vértice e é simples se passa exatamente uma vez por cada aresta. Quando o grafo é não orientado o conceito de caminho é substituído por cadeia que pode ser representada pela seqüência de arestas que a forma ou dos vértices nela contidos. Alguns autores usam o termo percurso para denominar genericamente um caminho.
Caminho e Distância
Outra forma de representação encontrada na literatura:
Para grafos simples um caminho pode ser abreviado por uma seqüência de vértices:
W = <v0, v1, v2, ..., vn>
Em um grafo geral, pode-se abreviar como uma seqüência de arestas:
W = <v0, e1, e2, ..., en, vn>
Caminho, Percurso
Um caminho trivial é um caminho de comprimento zero: um vértice e nenhuma aresta
Um caminho fechado é um caminho não trivial que começa e termina no mesmo vértice.
Ciclo, Circuito
Se os vértices inicial e final são coincidentes ( vi0 = vik ), dizemos que o caminho é fechado e forma um ciclo que é chamado de circuito se o grafo for orientado.
Comprimento
O comprimento de um percurso num grafo valorado é a soma dos custos de percorrer cada aresta e num grafo não valorado é igual ao número de arestas que o compõe.Ou seja
O comprimento de um caminho é o número de arestas da seqüência
Caminho e Distância
Muitas aplicações precisam de grafos para representar percurso e distância.
Exemplos: O número de nós de rede percorridos por
uma mensagem de e-mailO número de links entre duas páginas
webA distância entre duas pessoas numa
rede de relacionamentos da internet
Caminho e Distância
A distância d(s,t) de um vértice s para um vértice t em um grafo G é o comprimento do menor caminho entre s e t
Se não existir um caminho entre s e t então a distância é infinita
Um problema interessante é o de achar sistematicamente o caminho mais curto entre dois vértices quaisquer
Excentricidade
A excentricidade de um vértice v em um grafo G=(V,E), denotado por ecc(v), é a distância de v ao vértice mais afastado de v.
)},({max)( xvdveccGVx
Diâmetro
O diâmetro de um grafo G=(V,E), denotado por diam(G), é a maior excentricidade dos vértices de G
O diâmetro é a maior distância entre dois vértices de G
)}({max)( xeccGdiamGVx
)},({max)(,
yxdGdiamGVyx
Raio
O raio de um grafo G=(V,E), denotado rad(G), é o mínimo das excentricidades dos vértices
)}({min)( xeccGradGVx
Vértice Central
O vértice central de um grafo G=(V,E) é o vértice com a menor excentricidade Se v é o vértice central, ecc(v) = rad(G)
Exemplo: O grafo abaixo tem diâmetro 4, raio 2 e os vértices centrais são x e y
x
y
u
u
u
Ciclo Euleriano e Circuito Hamiltoniano
Um Ciclo que passa por todas arestas de um grafo é dito Euleriano e um circuito elementar que passa por todos os vértices é chamado de Hamiltoniano.O problema do Caixeiro Viajante consiste em analisar todos circuitos Hamiltonianos existentes para (n+1) pontos, e o número máximo destes caminhos é n! .
Caminhos, Ciclos e Árvores
Um ciclo euleriano no grafo abaixo é ‹u,v,t,u,w,t,z,w,x,y,z,u›
w
zu t
v
y
x
Grafo Acíclico
Um grafo acíclico é um grafo que não tem ciclos
Exercício
No quadro a seguir assinale com X a classificação que atribui a cada um dos caminhos indicados:
Exercício
Descrição Elementar
Simples
Caminho
Circuito
1,2,3,4,5
1,2,1,4,5
1,2,3,1,2
1,2,2,3,4
2,2
2,3,1,2,1,2
3,1,4,5
4,5,1,2,2,3,4
Exercícios
2- Determine qual das seguintes seqüências de vértices são caminhos do grafo abaixo.
a) <u,v>b) <v>c) <u,z,v>d) <u,v,w,x,z> y
x
zu v
w
Exercícios
3- Ache todos os caminhos de comprimento 4 ou 5 do vértice w ao vértice r no grafo abaixo.
y
x
zu v
r
w s
Exercícios
4- Ache a distância entre os vértices x e y do grafo abaixo
x
y
Gabarito
Gabarito:2- a) sim b) sim (trivial) c) não d)
não