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IMA LOGILABUniversité Catholique de l'Ouest Université de Genève44, rue Rabelais 40 Bd du Pont d'ArveB.P. 808 CH-1211 Genève 449008 Angers Cedex 01 Suisse
Conception de réseau de
distribution d'eau
Rapport de stage5e année IMA & DESS MAI
Février - Juin 2001
Présenté par Frédéric Babonneau
Responsables de stage Jean-Philippe VialEric Pinson
Abstract.
The purpose of this training period is to develop a software dedicated to the design ofdrinkable water systems. The objective is to determine the pipe diameter for each locationof a given network in order to minimize the construction cost, respecting a given qualityof service. The only acting force on the system is gravity.
The methodology used can be decomposed in three stages. At the beginning, we calcu-late the �ows which respect the quality of service and for which the network must bedimensioned. This stage uses a non-deterministic method. Next, we determine the designnetwork, for these �ows, with a linear minimization problem DESIGN. To validate the de-sign parameters, we test the system with di�erent combinations of open taps. We simulatewater �ow with a non-linear minimization problem SIMULATION.
To validate this methodology, we model the problems using AMPL (Modeling Language)and solve it using an interior point method with NLPHOPDM. The objective is to dis-tribute a freeware developed using Java Application. This application will replace AMPLand be used to analyze the results.
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Remerciements
Je tiens à remercier :
� Jean-Philippe VIAL pour m'avoir con�é ce sujet de stage et ouvert les portes dudomaine de la recherche opérationnelle, en me proposant un sujet de thèse.
� Eric PINSON pour son suivi et ses conseils tout au long de ce stage.
� Olivier EPELLY pour m'avoir aidé à utiliser le logiciel NLPHOPDM.
� l'ensemble de mes collègues de travail pour leurs précieux conseils en informatique eten optimisation.
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Table des matières
1 Présentation du laboratoire 71.1 L'université de Genève . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 HEC Genève . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Logilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Présentation du projet. 102.1 Problématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Contexte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 Données physiques du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Physique des écoulements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Architecture du projet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Conception du réseau 163.1 Étude des �ots. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Programme linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Fonction objective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2 Contrainte de longueur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.3 Contraintes sur la dynamique des �uides. . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.4 Programme linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.5 Analyse des résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Programmation AMPL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Les ori�ces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4.1 Calcul des ori�ces parfaits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.2 Choix des ori�ces commerciaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Sous-pression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.6 Découpe des tuyaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6.1 Cas 1 : l1 + l2 ≤ L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6.2 Cas 2 : l1 + l2 ≥ L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6.3 Algorithme de découpe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.7 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.8 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
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4 Simulation des écoulements 264.1 Les scénarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Programmation non linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.1 Fonction objective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.2 Contraintes de conservation aux n÷uds. . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.3 Programme non-linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4 Programmation AMPL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.5 Preuve de convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5.1 Dé�nition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5.2 La fonction objective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5.3 Les contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.6 Analyse des résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.7 Maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.7.1 Dé�nition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.7.2 E�et sur la modélisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.8 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.9 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Développement 335.1 Architecture du programme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.1 Application Java. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.1.2 Interface Application/NLPHOPDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.1.3 NLPHOPDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.4 Interface NLPHOPDM/Librairie de calcul. . . . . . . . . . . . . . . 355.1.5 Librairie de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.6 Schéma général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Application Java. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2.1 Données du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2.2 Lien NLPHOPDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2.3 Traitement des résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 NLPHOPDM - Méthode de points intérieurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.4 Librairie de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4.1 Fonction objective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4.2 Contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.5 Problème DESIGN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.5.1 Rappel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.5.2 Typologie du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.5.3 Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5.4 Contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5.5 Fonction Objective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.6 Problème SIMULATION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.6.1 Rappel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
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5.6.2 Typologie du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.6.3 Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.6.4 Contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.6.5 Fonction Objective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
References 51
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Introduction
Ce stage est réalisé au sein du laboratoire de recherche Logilab, situé à l'université deGenève. L'objectif est d'aider une petite organisation non gouvernementale, Agua Para LaVida [10], à concevoir des réseaux de distribution d'eau potable dans les pays en voie dedéveloppement. Le design de ces réseaux fait appel à des techniques et des caractéristiquesbien particulières. Dans un premier temps, nous décrivons les modèles mathématiquess'appuyant sur des lois physiques, permettant de dé�nir les caractéristiques de ces réseaux.Ensuite, nous testons ces modèles grâce au langage de modélisation AMPL, a�n de s'assurerde leur bon fonctionnement. En�n, dans une dernière partie, nous allons développer en Java,un logiciel d'aide à la conception de réseaux de distribution d'eau, basé sur ces di�érentsmodèles mathématiques.
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Chapitre 1
Présentation du laboratoire
Sommaire1.1 L'université de Genève . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 HEC Genève . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Logilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Le Logilab, laboratoire où j'e�ectue mon stage de �n d'étude, est un département del'université de Genève dont la majeure partie de l'e�ectif travaille en collaboration avecHEC Genève.
1.1 L'université de Genève
L'Académie de Genève est créée en 1559, grâce aux e�orts conjugués de Jean Calvinet de Théodore de Bèze . Elle est connue d'abord comme un séminaire théologique et huma-niste, et cet élément théologique restera prépondérant jusqu'à la �n du XVIIe siècle, bienqu'on y enseigne également le droit.
Au siècle des lumières, Genève devient une pépinière de savants illustres et l'Académies'ouvre aux sciences physiques et naturelles, ainsi qu'à des enseignements juridiques etphilosophiques profondément novateurs.
Les bouleversements politiques et sociaux du XIXe siècle transforment sensiblementl'Académie : elle perd ses allégeances ecclésiastiques et, en 1873, avec la décision de créerune faculté de médecine, elle est érigée en université.
Depuis, elle n'a cessé de développer ses ressources intellectuelles et scienti�ques, des'ouvrir à de nouveaux domaines et de multiplier et diversi�er ses activités, a�n de répondreaux besoins de formation et de recherche. Diverses institutions spécialisées ont enrichi ledomaine universitaire.
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Dès son origine et jusqu'à ce jour, l'école genevoise a été largement ouverte aux étu-diants et aux savants du monde entier, dont les contributions à l'oeuvre commune sontconsidérables.
1.2 HEC Genève
L'Université de Genève a une longue tradition d'enseignement de la gestion d'entreprisequi remonte à la fondation, en 1915, de la Faculté des Sciences Economiques et Sociales,l'une des premières en Europe à réunir ces diverses disciplines sous une même entité.
Aujourd'hui, celle-ci compte environ 12.000 étudiants dont plus d'un cinquième vientde l'étranger. Près de 700 professeurs et 1.800 collaborateurs de l'enseignement travaillentdans sept facultés, deux écoles et trois instituts rattachés dont HEC Genève.
La complexité du monde des a�aires, la globalisation des marchés et la rapidité deschangements exigent que les futurs gestionnaires possèdent une formation de plus en pluscomplète et rigoureuse. HEC Genève (Hautes Etudes Commerciales) y répond en o�rantun enseignement universitaire de haut niveau permettant aux étudiants de s'adapter à unenvironnement en pleine mutation.
Les divers enseignements de HEC Genève sont dispensés par un corps professoral réputé,en provenance d'universités suisses, européennes et nord-américaines. Selon les domainesabordés, il est complété par des intervenants d'autres universités de renom ainsi que pardes cadres supérieurs issus des milieux économiques. Chaque année, HEC délivre environ200 licences et diplômes en gestion d'entreprise.
1.3 Logilab
Depuis sa fondation en 1989 par Jean-Philippe Vial et Alain Haurie, Logilab (LOGIsticLABoratory) a spécialisé ses activités dans le développement et l'application des techniquesmodernes d'optimisation au service des problèmes pratiques de la vie courante.
Le laboratoire est composé de chercheurs de di�érents départements de l'université deGenève et accueille également des chercheurs de part le monde.
Les activités de recherche de Logilab concernent pour une bonne part la modélisationde systèmes technico-économiques. Ces modèles servent à l'analyse et à la préparation dedécisions managériales, administratives ou politiques. Ces recherches comportent trois vo-lets : (1) la création de modèles ; (2) le développement d'outils mathématiques avancés pourtraiter ces modèles (optimisation, résolution d'inégalités variationnelles) ; (3) la résolutionsur ordinateur et sur une machine à calcul parallèle.
Création de modèlesLa plupart des modèles de gestion et d'analyse économique sont de grande taille (par-
fois plus d'un million de variables et d'une centaine de milliers de contraintes). Pour les
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formuler, le décideur doit faire appel à des langages de modélisation. Une contributionimportante a été faite à Logilab pour transmettre à travers le langage de modélisation lastructure du modèle (ex. l'organisation par blocs temporels, sensoriels, etc...).
Outils mathématiquesCe point a fait l'objet de nombreuses publications. Il a abouti à la mise à disposi-
tion publique (à des �ns de recherche exclusivement) de logiciels (ACCPM, HOPDM,NLPHOPDM) disponibles sur le réseau. ACCPM permet l'exploitation de structures parblocs par décomposition, donnant accès au traitement par calcul parallèle. HOPDM etNLPHOPDM sont des logiciels d'optimisation linéaire et non-linéaire compétitifs avec lesmeilleurs logiciels commerciaux existants.
Le traitement informatiqueLa résolution se fait soit sur station de travail ou PC musclé, soit sur la machine parallèle
IBM SP2, et maintenant sur LOGIPAR, un regroupement de 10 Pentium Pro et 6 PentiumII. Le développement se fait sur station de travail ou PC.
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Chapitre 2
Présentation du projet.
Sommaire2.1 Problématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Contexte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 Données physiques du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Physique des écoulements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Architecture du projet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Problématique.
2.1.1 Contexte.Agua Para La Vida est une petite organisation non-gouvernementale. Son but est d'ai-
der les petites communautés des pays en voie de développement, comme le Nicaragua, àinstaller des systèmes de distribution d'eau potable.
La conception du design de systèmes d'eau potable est un problème d'ingéneurie stan-dard. On pourrait alors penser que des ingénieurs d'expérience pourraient concevoir debonnes solutions. Néanmoins, dans cet environnement socio-économique particulier, lescontraintes qui sont imposées sur ce projet sont inhabituelles. La simplicité dans le design,la solidité, la �abilité, ainsi que les contraintes de coût sont les premiers objectifs à sur-monter. Ainsi, les pompes, les réservoirs surélevés..., doivent être bannis du réseau. Cecis'explique par un souci économique, mais surtout parce que ce matériel est exposé à la foisaux pannes et aux manipulations indésirables par les utilisateurs (seule l'utilisation d'ori-�ces destinés à freiner l'arrivée de l'eau aux robinets est autorisée). La gravité doit alorsêtre la seule force permettant d'acheminer l'eau potable depuis la source jusqu'aux pointsde consommation. Ceci, conjugué aux très faibles di�érences d'altitude observées sur le
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terrain, rend le problème assez compliqué. En e�et, si on considère le schéma suivant, il esttrès facile de déterminer le design d'un réseau permettant d'acheminer l'eau à chacun desrobinets. Mais si les deux robinets sont ouverts simultanément, on s'aperçoit que le robinet2, situé beaucoup plus bas, risque de priver le robinet 1 d'eau. L'objectif étant d'assurer undébit constant à chaque robinet et dans n'importe quelles situations, l'ensemble des outilsexistants [9] s'avère inadapté à cette problématique.
Fig. 2.1 � Réseau de distribution d'eau
Le projet fait donc appel à de nouvelles analyses et de nouvelles règles de construction.
APLV est un groupe basé en Californie et travaille actuellement en collaboration avecune communauté située au Nicaragua et le Logilab à Genève. L'objectif à terme étantla réalisation d'un outil informatique gratuit, susceptible d'accompagner n'importe quelvillage ou communauté dans la construction de réseaux de distribution d'eau potable. Lamission du Logilab, et donc celle de mon stage, est de concevoir un logiciel d'aide au designde réseaux de distribution d'eau. L'optimisation porte alors sur la construction d'un réseaudonné de coût acceptable, o�rant une qualité de service su�sante (typiquement 90%).Cette qualité de service est dé�nie par l'utilisateur.
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2.1.2 Données physiques du problème.Tous les réseaux sont sous forme d'arbres, et chaque arbre est décrit par le graphe
G = (Nodes, P ipes). Nodes représente l'ensemble des n÷uds de l'arbre et Pipes l'en-semble de ses branches. On dé�nit un sous-ensemble Taps ⊂ Nodes, qui correspond àl'ensemble des robinets de G. Les n÷uds sont numérotés selon l'ordre induit par l'arbre.Par convention, la source est numérotée 1, et tous les robinets ont un numéro plus grandque les autres n÷uds.
On a�ecte à chaque n÷ud de l'arbre une hauteur hi, i ∈ Nodes. Par convention, lasource a une hauteur nulle et les autres n÷uds ont une hauteur négative correspondant àla di�érence d'altitude avec cette source. On détermine pour tout robinet i ∈ Taps, un �otde sortie outflow. De même, à chaque branche (i, j) ∈ Pipes, on associe une longueur lij,ainsi qu'un �ot fij. En�n, pour chaque n÷ud i ∈ Nodes, on dé�nit un chemin Γi reliantla source au n÷ud i . Nous avons donc Γi = {i1, i2, ..., ik}, avec i1 = i et ik = 1.
Un problème Type.Nous allons dé�nir un petit exemple, qui nous accompagnera tout au long du rapport
a�n d'illustrer les di�érentes parties.
Soit G(Nodes, P ipes) le réseau ci-dessous, avec Nodes = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} et Pipes ={(1, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 9); (3, 5); (3, 6); (4, 7); (4, 8)}.Nous avons la source 1 et les robinets Taps = {5, 6, 7, 8, 9}.
Fig. 2.2 � Réseau de distribution d'eau
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On dé�nit les chemins Γi ∀i ∈ Nodes :
� Γ1 = {1}.
� Γ2 = {2, 1}.
� Γ3 = {3, 2, 1}....
� Γ9 = {9, 2, 1}.
Nodes i 1 2 3 4 5 6 7 8 9hi 0 -5 -14 -6 -14 -35 -6 -10 -10
Tab. 2.1 � Hauteur des n÷uds (en mètres).
Pipes (i, j) (1,2) (2,3) (2,4) (2,9) (3,5) (3,6) (4,7) (4,8)lij 100 1000 600 600 60 10 500 1000
Tab. 2.2 � Longueur des branches (en mètres).
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2.2 Physique des écoulements.
La physique sur la dynamique des �uides en mode stationnaire est décrite par la loi dePrandl. Cette description utilise le vecteur potentiel hydraulique π. Nous avons :
β ×lij × fpijdqij
= πi − πj (i, j) ∈ Pipes. (2.1)
Dans notre cas, nous avons p=1.75, q=4.75,
et en�n{π1 = h1 = 0
πj = hj +f2ij
α+ ρj j ∈ Taps et (i, j) ∈ Pipes
Le paramètre β est �xé, et dij correspond au diamètre du tuyau utilisé sur la liaison (i, j).Le terme f2
ij
αcorrespond à la perte hydraulique dûe à l'écoulement de l'eau au robinet du
n÷ud j et ρj correspond lui à la perte de potentiel hydraulique dûe à l'utilisation d'unori�ce sur un robinet. Nous avons :
ρj = (0.56)4 ×f 2ij
do4j
(2.2)
où doj correspond au diamètre de l'ori�ce utilisé.
Nous devrions aussi prendre en compte un quatrième terme associé à la perte de l'éner-gie cinétique du �ot lors de sa sortie au robinet. Mais dans notre problème, ces quantitéssont considérées négligeables. D'autres pertes d'énergies pourraient être mentionnées, tellesque les pertes associées aux coudes, aux changements de diamètres... mais elles sont aussiconsidérées négligeables.Les équations déterminent donc les �ots en mode stationnaire pour un réseau donné. Ellesjouent un rôle crucial dans la recherche des diamètres des tuyaux dans le design.
Le principe de recherche des �ots, parcourants un réseau, réside alors en la résolutiond'un problème de minimisation des pertes d'énergie par unité de longueur. Soit A la matriced'incidence du réseau, F le vecteur de �ot intérieur au réseau et ψ le vecteur de �otd'écoulement aux robinets, ce problème est le suivant :
min∑
(i,j)∈Pipes(β × lij×fp+1
ij
(p+1)×dqij) +
∑j∈Taps
(hj × ψj +ψ3j
3α+ 0.56× ψ3
j
3do4j)
sc AF = ψ.
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2.3 Architecture du projet.
L'architecture du projet se résume en deux étapes. La conception du réseau qui per-met de déterminer, pour des �ots donnés, les paramètres de design à l'aide d'un problèmelinéaire. Ensuite la mise en place d'un système de simulation s'avère nécessaire. En e�et,il est impossible de connaître les �ots exacts qui s'écouleront dans le réseau. Il faut alorsvéri�er que les �ots pour lesquels il a été dimensionné ne sont pas en décalages avec ceuxobservés lors des simulations. Chaque simulation se fait par résolution d'un problème nonlinéaire.
Dans un premier temps, tous les problèmes linéaires et non linéaires décrits par lasuite, ont été programmés sous le langage de modélisation AMPL [1, 2, 3]. Pour résoudreces problèmes, AMPL fait appel au solveur NLPHOPDM (Non Linear Programming Hi-gher Order Primal Dual Method)[4]. Ce dernier est conçu pour la réalisation de problèmesconvexes di�érentiables par une méthode de points intérieurs. Il a été développé par Oli-vier Epelly dans le cadre de sa thèse au Logilab, sur la base de travaux antérieurs [5, 6].AMPL permet, à chaque itération, la restitution à NLPHOPDM des données nécessairesà la résolution des problèmes, c'est à dire les valeurs des contraintes et de la fonction ob-jective en un point ainsi que les valeurs des gradients et des hessiens...
A�n d'éviter l'utilisation de AMPL, logiciel payant, nous avons développé en java uneapplication permettant de faire le lien avec NLPHOPDM, et donc de transmettre à chaqueitération l'ensemble des données necéssaires à la résolution d'un problème.
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Chapitre 3
Conception du réseau
Sommaire3.1 Étude des �ots. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Programme linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Fonction objective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2 Contrainte de longueur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.3 Contraintes sur la dynamique des �uides. . . . . . . . . . . . . . 183.2.4 Programme linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.5 Analyse des résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Programmation AMPL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Les ori�ces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4.1 Calcul des ori�ces parfaits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.2 Choix des ori�ces commerciaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Sous-pression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.6 Découpe des tuyaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6.1 Cas 1 : l1 + l2 ≤ L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6.2 Cas 2 : l1 + l2 ≥ L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6.3 Algorithme de découpe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.7 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.8 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
L'objectif de cette partie est de déterminer les diamètres des tuyaux et des ori�cesà utiliser lors de la construction d'un réseau donné. Cette recherche doit s'e�ectuer a�nde répondre à des �ots, dé�nis préalablement, à l'aide d'une méthode non déterministe.Nous allons alors présenter cette méthode, puis ensuite, le modèle mathématique et lesheuristiques qui permettront de déterminer l'ensemble des paramètres nécessaires à laconception du réseau.
16
3.1 Étude des �ots.
Avant de calculer les diamètres des tuyaux sur chaque arête (i, j) ∈ Pipes, il faut iden-ti�er leur �ot fij. Ces �ots doivent assurer un débit minimal outflow à chaque robinet. Ilserait alors facile de dimensionner le réseau pour le cas où tous les robinets sont ouverts.Chaque �ot serait alors calculé uniquement en fonction du nombre de robinets qu'il dés-sert. Cette méthode est loin d'être optimale d'un point de vue coût de construction, car ilest évident que les robinets ne sont jamais ouverts simultanément. La méthode que nousallons appliquer ne va pas se baser sur une ouverture totale des robinets, mais sur uneproportion d'ouverture observée aux moments critiques. Cette proportion a été observée,par l'association APLV, sur des réseaux existants. On la note p (p est de l'ordre de 40%).L'objectif est alors de dimensionner le réseau a�n de répondre à la demande aux momentsde pointe. On dé�nit xi, ∀ i ∈ Taps la variable aléatoire telle que :
xi =
{1 si le robinet i est ouvert0 sinon
La variable xi suit donc une loi de Bernoulli β(p). Nous allons donc calculer les �ots surchaque arête en fonction du nombre de robinets à sa base (par dé�nition la source possèdedonc la totalité des robinets à sa base). Nous avons également introduit un paramètre αde satisfaction du réseau.
Soit i ∈ Nodes un n÷ud du réseau possédant n robinets à sa base. On dé�nit la variablealéatoire Xi, i ∈ Nodes, représentant le nombre de robinets ouvert à sa base. Cette v.a.Xi suit une loi binomiale B(n, p).On va alors déterminer le paramètre ri, i ∈ Nodes, tel que :
P (Xi ≤ ri | Xi ≥ 1) ≥ α, ∀i ∈ Nodes.
Cela revient donc à déterminer le nombre de robinets ri, pour lequel il faut dimen-sionner le tuyau, a�n que dans une proportion α des cas, l'eau s'écoule aux robinets auxmoments de pointe.
On en déduit alors les �ot fij ∈ Pipes tels que :fij = rj × outflow, ∀j ∈ Nodes.
Pour n ≥ 30 on approxime la loi binomiale B(n, p) par une loi Normale de moyennenp et de variance np(1− p). On pourra, par la suite, déterminer les diamètres des tuyauxnécessaires pour que ces �ots soient respectés.
Cette méthodologie a le mérite, par la suite, de réaliser une économie �nancière consi-dérable pour la construction. Néanmoins, les �ots évalués sur chaque arête peuvent être,dans certains cas, sous évalués et donc altérer la qualité de service.
17
3.2 Programme linéaire.
La programmation décrite par la suite s'inspire de l'article [8] de Zhang et Zhu, danslequel se trouve une analyse concernant les réseaux distribution de gaz. Néanmoins, ceproblème est sensiblement di�érent, et a donc été adapté à notre problème d'adductiond'eau.
Dans les équations sur la physique des écoulements, l'inconnue est le diamètre situé audénominateur. Cela nous oriente vers un problème non linaire. Mais on s'aperçoit qu'entransférant l'inconnue sur les longueurs, on revient à un problème linéaire.
3.2.1 Fonction objective.On connaît maintenant les �ots fij, ∀(i, j) ∈ Pipes. Nous avons également en entrée un
ensemble de tuyaux comerciaux Tuyau, avec tous les diamètres commerciaux dk pouvantêtre utilisés, et les prix pk.On détermine les variables lijk, ∀(i, j) ∈ Pipes et ∀k ∈ Tuyau. La variable lijk représentela longueur du tuyau k utilisé sur l'arète (i, j).L'objectif est donc de minimiser le coût du réseau :
min∑
(i,j)∈Nodes
∑k∈Tuyau
lijk × pk
3.2.2 Contrainte de longueur.Il faut que les longueurs des tuyaux a�ectés aux branches (i, j) ∈ pipes correspondent à
la longueur séparant le point i du point j. On obtient donc les contraintes sur les longueurssuivantes : ∑
k∈tuyau
lijk = lij, ∀(i, j) ∈ Nodes. (3.1)
3.2.3 Contraintes sur la dynamique des �uides.L'objectif est de minimiser le coût du design, tout en respectant les lois sur la dynamique
des �uides en mode stationnaire pour tout chemin Γj allant de la source au n÷ud j. Ene�et, il faut s'assurer que l'eau pourra atteindre chaque n÷ud du réseau. Ces lois sontdécrites dans l'article [7].
Les contraintes s'écrivent donc :∑(i,i′)∈Γj
β ×∑
k∈tuyau
lii′k × fpii′dqk
= −hj ∀j ∈ Nodes \ Taps. (3.2)
∑(i,i′)∈Γj
β ×∑
k∈tuyau
lii′k × fpii′dqk
= −hj −f 2ij
α− (0.56)4 ×
f 2ij
do4j
∀j ∈ Taps. (3.3)
18
A�n d'éviter au maximum l'utilisation des ori�ces aux robinets, nous allons les retirerde l'équation 3.3. Les diamètres des ori�ces seront calculés par la suite si leur utilisationest nécessaire. Ce qui nous donne :∑
(i,i′)∈Γj
β ×∑
k∈tuyau
lii′k × fpii′dqk
≤ −hj −f 2ij
α∀j ∈ Taps. (3.4)
3.2.4 Programme linéaire.On obtient le programme linéaire suivant :
(PL DESIGN) min∑
(i,j)∈Nodes
∑k∈Tuyau
lijk × pk
s.c.
∑(i,i′)∈Γj
β ×∑
k∈tuyau
lii′k×fp
ii′dqk
≤ −hj ∀j ∈ Nodes \ Taps∑(i,i′)∈Γj
β ×∑
k∈tuyau
lii′k×fp
ii′dqk
≤ −hj −f2ij
α∀j ∈ Taps∑
k∈tuyaulijk = lij ∀(i, j) ∈ Nodes
lijk ≥ 0 ∀(i, j) ∈ Pipes, ∀k ∈ tuyau
3.2.5 Analyse des résultats.Supposons que l'on ait une solution optimale au problème DESIGN. Cette solution
dé�nit la valeur du terme : ∑k∈Tuyau
γijklijk (i, j) ∈ Pipes
avec γijk = β × fpijdqk.
Soit hij cette valeur. La con�guration optimale de la branche (i, j) est donc solution duprogramme linéaire :
min∑
k∈tuyaupk × lijk∑
k∈Tuyauγijklijk = hij∑
k∈tuyaulijk = lij
lijk ≥ 0 ∀k ∈ tuyau
Toute solution de base de ce programme a au plus deux variables non nulles. Il existealors toujours une solution optimale comportant au plus deux sections di�érentes. Comme
19
on utilise une méthode de points intérieurs, il pourrait se faire que la solution optimale dece programme soit multiple. Auquel cas l'algorithme produira une solution au centre de lafacette optimale. Mais sur l'ensemble des problèmes testés, ce cas n'a jamais été observé.
3.3 Programmation AMPL.
La programmation sous AMPL du modèle mathématique linéaire dé�ni précédemmentest la suivante :
************************************************************** VARIABLES DÉFINITION
var l{Pipes cross diameters} >=0 , := 0;
************************************************************** OBJECTIVE FUNCTION
minimize OBJ:sum{(i,j) in Pipes , k in diameters}
l[i,j,k]*cost[k]
************************************************************** CONSTRAINTS
subject to C1 { k in Nodes : k<>Root }:beta * sum{i in Path[k] : i<>Root}(f[next(i),i]^p
* sum{r in diameters}(l[next(i),i,r] / r^{}q))<= -h[k] - if (k in Taps) then
outflows^2/alpha else 0;
subject to C2 { ( i,j) in Pipes }:sum{k in diameters}l[i,j,k] = l[i,j];
20
3.4 Les ori�ces.
3.4.1 Calcul des ori�ces parfaits.Si pour les équations (3.4), on obtient une égalité lors de la résolution du (PL DESIGN ),
c'est à dire : ∑(i,i′)∈Γj
β ×∑
k∈tuyau
lii′k×fp
ii′dqk
= −hj −f2ij
αj ∈ Taps
alors on aura un débit au robinet j de outflow. Si au contraire on obtient une inégalitéstricte, on aura un �ot au robinet supérieur au �ot initial de outflow. Dans ce cas, il fautplacer un ori�ce sur le robinet a�n de freiner le débit. On dé�nit cette surpression par lavariable Sj, telle que :
Sj =∑
(i,i′)∈Γj
β ×∑
k∈tuyau
lii′k×fp
ii′dqk
+ hj +f2ii′α
j ∈ Taps.
On peut alors calculer le diamètre idéal de l'ori�ce doj au robinet j de la façon suivante :Sj = 0.56× outflow2
do4j
soitdoj = 4
√0.56× outflow2
Sj
3.4.2 Choix des ori�ces commerciaux.Les ori�ces ne sont disponibles qu'en un nombre limité de diamètres standards. On
note alors dinf le diamètre de l'ori�ce commercial immédiatement inférieur à doj et dsup lediamètre immédiatement supérieur. Le choix du diamètre de l'ori�ce se fera entre dinf etdsup. On peut alors calculer leur contribution à la baisse de la surpression 0.56 × outflow2
d4inf
et 0.56× outflow2
d4sup
. On sélectionne alors le diamètre dont la contribution est la plus prochede Sj.
3.5 Sous-pression.
Si pour un chemin Γi allant de i à la source, les contraintes (3.2) ou (3.4) ne sont pasvéri�ées, cela implique que la di�érence de hauteur ne peut compenser les pertes d'énergiedans les tuyaux. L'eau ne pourra alors atteindre le n÷ud i. A�n de pouvoir résoudre le(PL DESIGN ), malgré cette irréalisabilité, on introduit une variable d'écart ω ≥ 0 dansles inéquations (3.2) et (3.4). On a�ecte à cette variable un poids Pω très grand dans lafonction objective, a�n d'éviter au maximum son utilisation. Ce poids est dé�ni commeétant la longueur totale du réseau multiplié par le prix du tuyau commercial le plus cher.
Pω = pmax ×∑
(i,j)∈pipeslij.
21
3.6 Découpe des tuyaux.
Comme les tuyaux ont une longueur commerciale L de vente donnée, il faut éviterau maximum les découpes. Pour chaque branche (i, j) ∈ Pipes, le solveur a�ecte deuxdiamètres d1 et d2 de longueurs respectives L1 et L2, avec d2 ≤ d1. Il faut alors modi�er cedesign a�n qu'au moins une de ces deux longueurs soit un multiple de L. On note l1 et l2les longueurs à découper sur les tuyaux de diamètre d1 et d2.
Fig. 3.1 � Jonction de tuyaux
Deux cas peuvent se présenter :
3.6.1 Cas 1 : l1 + l2 ≤ L.Dans ce cas, deux possibilités se présentent à nous. Soit on a�ecte la longueur l2 au
diamètre d1 ce qui entraîne un gain d'énergie, ou au contraire, on a�ecte la longueur l1 audiamètre d2, ce qui entraîne une perte d'énergie. On choisit alors l'option, dont la variationd'énergie est la plus faible en valeur absolue. Cette variation E d'énergie induite par latransformation est donc la suivante :
E = min{β ×
(l2dq1− l2
dq2
), β ×
(− l1dq1
+ l1dq2
)}Il faut noter que les variations d'énergies induites par cette découpe restent, dans la plupartdes cas, négligeables, en considération des longueurs des branches concernées. De plus, toutgain d'énergie pourra être compensé, par la suite, par l'utilisation d'ori�ces aux robinets.
3.6.2 Cas 2 : l1 + l2 ≥ L.La technique utilisée dans ce cas est sensiblement la même que dans le cas précédent,
excepté que les transferts de longueur d'un diamètre à un autre seront di�érents. En e�et,on va a�ecter dans un sens ou dans l'autre, seulement la di�érence de longueur nécessairepour atteindre la longueur commerciale L, et donc ainsi éviter une découpe supplémentaire.On va alors transférer, soit L − l1 de la longueur l2 vers la longueur l1 ou l'inverse. C'estla règle sur la variation d'énergie minimale qui permettra d'identi�er le transfert.
22
3.6.3 Algorithme de découpe.for all (i, j) ∈ pipes doCalcul de l1 et l2
if l1 + l2 ≤ L thenE1 = β ×
(l1dq2− l1
dq1
);
E2 = β ×(l2dq1− l2
dq2
);
if |E1| < |E2| thenL2 = L2 + l1 ;L1 = L1 − l1 ;
elseL2 = L2 − l2 ;L1 = L1 + l2 ;
end ifelseE1 = β ×
(L−l2dq2− L−l2
dq1
);
E2 = β ×(L−l1dq1− L−l1
dq2
);
if |E1| < |E2| thenL2 = L2 + (L− l2) ;L1 = L1 − (L− l2) ;
elseL2 = L2 − (L− l1) ;L1 = L1 + (L− l1) ;
end ifend if
end for
3.7 Exemple.
Pour notre exemple, et pour un �ot de sortie minimum aux robinets de outflow =0.2l/s, on obtient les diamètres ci-après 3.1.
On applique ensuite l'algorithme de découpe pour une longueur commerciale de 5 mètreset on obtient les résultats situés dans le tableau 3.2 :
Dans notre cas, nous avons observé une surpression (inégalité stricte) seulement pourle robinet 6. Ce qui est normal, car il est le seul à utiliser le plus petit tuyau (0.0182 m),celui qui ralentit déjà le débit au maximum. Nous lui a�ectons alors un ori�ce de diamètreparfait do6 = 0.00573 m.
23
Pipes (i, j) Diamètre 1 Longueur 1 Diamètre 2 Longueur 2(1,2) 0.0459 55.7 0.574 44.3(2,3) 0.0304 746.3 0.0459 253.7(2,4) 0.0459 600 - -(2,9) 0.0235 474.8 0.304 125.2(3,5) 0.0304 60 - -(3,6) 0.0182 10 - -(4,7) 0.0304 500 - -(4,8) 0.0235 189 0.0304 811
Tab. 3.1 � Longueur des di�érents diamètres à utiliser (en mètre).
Pipes (i, j) Diamètre 1 Longueur 1 Diamètre 2 Longueur 2(1,2) 0.0459 55 0.574 45(2,3) 0.0304 745 0.0459 255(2,4) 0.0459 600 - -(2,9) 0.0235 475 0.304 125(3,5) 0.0304 60 - -(3,6) 0.0182 10 - -(4,7) 0.0304 500 - -(4,8) 0.0235 190 0.0304 810
Tab. 3.2 � Longueur des di�érents diamètres à utiliser après découpe (en mètre).
24
3.8 Conclusion.
Nous avons déterminé dans cette partie l'ensemble du design (diamètres des tuyauxà utiliser) qui permet de satisfaire, dans une proportion α des cas, la demande en eaupotable. Néanmoins, cette partie s'appuie sur une étude non-déterministe des �ots. Il alorsnécessaire de tester ce réseau a�n d'éviter tout type d'erreur. Ceci fait l'objet du chapitresuivant.
25
Chapitre 4
Simulation des écoulements
Sommaire4.1 Les scénarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Programmation non linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.1 Fonction objective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.2 Contraintes de conservation aux n÷uds. . . . . . . . . . . . . . . 284.3.3 Programme non-linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4 Programmation AMPL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.5 Preuve de convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5.1 Dé�nition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5.2 La fonction objective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5.3 Les contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.6 Analyse des résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.7 Maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.7.1 Dé�nition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.7.2 E�et sur la modélisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.8 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.9 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Dans cette partie, nous allons mettre en place la simulation de scénario d'ouverturede robinet a�n de tester le réseau d'eau potable. Il faut alors, dans un premier temps,identi�er les di�érents scénarios. Puis dé�nir le programme qui permettra de les simuleravant de pouvoir analyser les résultats obtenus.
4.1 Les scénarios.
A�n que les résultats soient signi�catifs, le nombre de simulations doit être assez impor-tant. Toutes les simulations vont se faire avec un taux p d'ouverture des robinets (simulation
26
aux moments de pointes).
Pour un réseau à n robinets, il existe une combinaison Cmn de scénarios possibles, avec
m = bn× pc (partie entière). On estime qu'il faut environ 0.5× Cnm scénarios pour que la
simulation soit signi�cative. Pour chaque scénario, on dé�nit la variable sci, ∀i ∈ Taps,telle que :
sci =
{1 si le robinet i est ouvert0 sinon
4.2 Notations.
Pour chaque scénario, on peut identi�er un sous-réseau. Ce sous-réseau représente lapartie active du réseau initial, c'est à dire , la partie où l'eau s'écoule. On peut dé�nir alorsun sous-ensemble de robinets SubTaps, un sous-ensemble de n÷uds SubNodes, ainsi qu'unsous-ensemble de tuyaux SubP ipes composant ce sous-réseau.L'objectif de cette partie est alors d'identi�er les �ots circulant dans ce sous-réseau. Pourcela, on dé�nit les variables suivantes :
- Fin : Le �ot entrant dans le réseau par la source.- Fout(j), ∀j ∈ SubTaps : le �ot sortant par le robinet j.- Fij, ∀(i, j) ∈ SubP ipes : le �ot circulant dans le tuyau (i, j).
Il faudra donc par la suite identi�er les valeurs de ces variables pour chaque scénario.
4.3 Programmation non linéaire.
Cette programmation non-linéaire est, en partie, décrite dans l'article [7] de G. Corcos,C. Huizinga et J.P. Vial et dans l'article [8].
4.3.1 Fonction objective.Les �ots parcourant le sous-réseau, sont ceux qui minimisent sur chaque arête les équa-
tions suivantes :
β × F p+1ij
p+1×
∑k∈tuyau
lii′kdqk
+ hj × Fout(j) + Fout(j)3
3α+ 0.56× Fout(j)3
3do4j
j ∈ SubTaps
et β × F p+1ij
p+1×
∑k∈tuyau
lijkdqk
(i, j) ∈ SubP ipes, j /∈ SubTaps.
Ce qui nous donne la fonction objective suivante :
27
min∑
(i,j)∈SubP ipes(β × F p+1
ij
p+1×
∑k∈tuyau
lii′kdqk
)
+∑
j∈SubTaps(hj × Fout(j) + Fout(j)3
3α+ 0.56× Fout(j)3
3do4j
)
4.3.2 Contraintes de conservation aux n÷uds.La minimisation doit respecter la loi de conservation aux n÷uds. C'est à dire que tout
�ot qui entre à un n÷ud doit en en ressortir. Il existe trois cas :
La source.
∑(i,j)∈SubP ipes
Fij = Fin si i est la source
les robinets.
Fout(i) =∑
(j,i)∈SubP ipesFji ∀i ∈ SubTaps
Les n÷uds intermédiaires.
∑(i,j)∈SubP ipes
Fij =∑
(j,i)∈SubP ipesFji ∀i ∈ SubNodes \ SubTaps \ Source
4.3.3 Programme non-linéaire.On obtient le programme non linéaire suivant :
(PNL SIMULATION)min
∑(i,j)∈SubP ipes
(β × F p+1ij
p+1×
∑k∈tuyau
lijkdqk
)
+∑
j∈SubTaps(hj × Fout(j) + Fout(j)3
3α+ 0.56× Fout(j)3
3do4j
)
s.c.
∑(i,j)∈SubP ipes
Fij = Fin si i est la source
Fout(i) =∑
(j,i)∈SubP ipesFji ∀i ∈ SubTaps∑
(i,j)∈SubP ipesFij =
∑(j,i)∈SubP ipes
Fji ∀i ∈ SubNodes \ SubTaps \ Source
Fout(j), F in ≥ 0 ∀j ∈ SubTapsFij ≥ 0 ∀(i, j) ∈ SubP ipes.
28
4.4 Programmation AMPL.
La programmation sous AMPL du modèle mathématique non linéaire dé�ni précédem-ment est la suivante :
*********************************************************** VARIABLES DÉCLARATION
var F{(i,j) in SubPipes}>=0 , <=0.02;var Fout{j in SubTaps} >= 0 , <= 0.001, :=0.0002;var Fin >= 0 ;
********************************************************* OBJECTIVE FUNCTION
minimize energy :sum{(i,j) in SubPipes}(beta*sum{k in diameters}
(l[i,j,k]/k^{}q)* F[i,j]^(p+1)/(p+1))+sum{i in SubTaps}(h[i]*Fout[i])+sum{i in SubTaps}(Fout[i]^3/3/alpha)+sum{i in SubTaps : or[i]<>0}
(orconst/3/do[i]^{}4*Fout[i]^3) ;
******************************************************** CONSTRAINTS
subject to C1{i in SubNodes}:sum{(i,j) in SubPipes}(F[i,j])+ if (i in SubTaps)then Fout[i]=sum{(j,i) in SubPipes}(F[j,i])+ if (i = Root)then Fin;
29
4.5 Preuve de convexité.
A�n de pouvoir utiliser le solveur NLPHOPDM, le programme non linéaire SIMULA-TION doit être convexe. C'est à dire que la fonction obectif à minimiser (resp. maximiser)doit être convexe (resp. concave) et que l'ensemble dé�ni par les contraintes doit êtreconvexe.
4.5.1 Dé�nition.Soit f une fonction deux fois di�érentiable sur un ouvert convexe O. Alors f est convexe
sur O si f ′′(x) est semi-dé�nie positive pour tout x ∈ O.
4.5.2 La fonction objective.Soit F = (Fin, (Fij)(i,j)∈Pipes, (Fout(i))i∈Taps) le vecteur de �ot. On détermine la ma-
trice hessienne H de la fonction objective, et on trouve :FHF t = p×
∑(i,j)∈SubP ipes
F p+1ij ×
∑k∈Tuyau
lijkdqk
+∑
j∈SubTaps(2Fout(j)3
α+ 2×0.56×Fout(j)3
3×do2j
)
≥ 0
La fonction objective est donc convexe.
4.5.3 Les contraintes.Les contraintes étant toutes linéaires, l'ensemble admissible est nécessairement convexe.
Le problème non linéaire SIMULATION est donc convexe et peut être soumis à NL-PHOPDM pour sa résolution.
4.6 Analyse des résultats.
A�n que les résultats de l'ensemble des simulations soient exploités assez facilement,nous devons proposer à l'utilisateur une analyse statistique des �ots parcourant le réseaud'adduction. Cette analyse se compose pour chaque robinet et tuyau, de la moyenne, dela variance et de l'écart type des �ots. L'utilisateur pourra alors par la suite comparer les�ots simulés au robinet avec les �ots minimaux initiaux. D'autres indicateurs pourront êtremis en place par la suite. Si les résultats ne s'avèrent pas concluants, l'utilisateur pourraalors soit intervenir directement sur les résultats du design, ou soit relancer le problèmeDESIGN en modi�ant certains paramètres.
30
4.7 Maillage.
4.7.1 Dé�nition.Le maillage consiste à créer de nouvelles liaisons dans le réseau existant. Il ne pourra plus
alors être représenté sous forme d'arbre. Les raisons de telles modi�cations sont diverses.En cas de problème d'écoulement dans une partie du réseau, l'ajout d'une connexion peutpermettre une arrivée d'eau supplémentaire. De même, cela peut permettre de sécurisercertaines parties du réseau en cas de fuite...
4.7.2 E�et sur la modélisation.Le graphe représentant le réseau n'étant plus un arbre, l'eau peut dans certaines si-
tuations et dans certains tuyaux s'écouler dans un sens ou dans l'autre. Ceci nous obligeà e�ectuer quelques modi�cations dans la modélisation du problème de simulation. Ainsi,chaque variable Fij, ∀(i, j) ∈ Pipes est remplacée par deux autres variables positives ounulles F+
ij , ∀(i, j) ∈ Pipes et F−ij , ∀(i, j) ∈ Pipes. F+ij représente le �ot circulant sur
(i, j) de i vers j, et F−ij représente le �ot circulant sur (i, j) de j vers i. Dans toutes les cas,une des deux variables sera alors nulle.
Le programme SIMULATION devient alors :
(PNL SIMULATION)
min∑
(i,j)∈SubP ipes(β × (F+
ij+F−ij )p+1
p+1×
∑k∈tuyau
lii′kdqk
)
+∑
j∈SubTaps(hj × Fout(j) + Fout(j)3
3α+ 0.56× Fout(j)3
3do4j
)
s.c.
∑(i,j)∈SubP ipes
(F+ij − F−ij ) = Fin si i est la source
Fout(i) =∑
(j,i)∈SubP ipes(F+
ji − F−ji ) ∀i ∈ SubTaps∑(i,j)∈SubP ipes
(F+ij − F−ij ) =
∑(j,i)∈SubP ipes
(F+ji − F−ji ) ∀i ∈ Nodes− Taps
Fout(j), F in ≥ 0 ∀j ∈ SubTapsF+ij , F
−ij ≥ 0 ∀(i, j) ∈ SubP ipes.
Par la suite, nous allons travailler avec le problème initial pour une meilleure com-préhension. Cette modélisation reste néanmoins la modélisation exacte et dé�nitive duproblème.
31
4.8 Exemple.
Nous avons réalisé 10 simulations sur notre exemple avec une proportion d'ouverturedes robinets de 40%. On obtient les résultats suivants :
Taps i Moyenne Variance Ecart-type5 0.2415 2.29× 10−4 0.0156 0.2276 3.07× 10−4 0.0177 0.2339 1.93× 10−4 0.0148 0.2333 1.76× 10−4 0.0139 0.2338 1.23× 10−4 0.011
Tab. 4.1 � Résultat des simulations (en l/s).
Les moyennes des �ots observés sont supérieures au �ot minimum outflow avec unécart-type assez faible. Le design dé�ni dans le chapitre précédent peut donc être validé.
4.9 Conclusion.
Pour tester les deux parties, Conception du réseau et Simulation des écoulements , unedizaine de problèmes concrets nous a été fourni par APLV. La taille de ces problèmes esttrès variable. Le plus petit jeu de données est composé de seulement 5 robinets alors que leplus conséquent contient environ 200 robinets. Cela nous a permis de tester tous les typesde problèmes rencontrés sur le terrain par l'association. Sur chacun de ces problèmes,les réultats des simulations se sont révélés concluants. Ils con�rment le design identi�épréalablement dans la partie Conception du réseau . Ces résultats permettent donc de validertoute la partie de modélisation et de passer à la programmation.
32
Chapitre 5
Développement
Sommaire5.1 Architecture du programme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.1 Application Java. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.1.2 Interface Application/NLPHOPDM. . . . . . . . . . . . . . . . . 345.1.3 NLPHOPDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.4 Interface NLPHOPDM/Librairie de calcul. . . . . . . . . . . . . . 355.1.5 Librairie de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.6 Schéma général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Application Java. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2.1 Données du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2.2 Lien NLPHOPDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2.3 Traitement des résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 NLPHOPDM - Méthode de points intérieurs. . . . . . . . . . 385.4 Librairie de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4.1 Fonction objective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4.2 Contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.5 Problème DESIGN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.5.1 Rappel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.5.2 Typologie du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.5.3 Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5.4 Contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5.5 Fonction Objective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.6 Problème SIMULATION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.6.1 Rappel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.6.2 Typologie du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.6.3 Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.6.4 Contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.6.5 Fonction Objective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
33
Le développement de l'application a pour objectif de remplacer AMPL dans la modé-lisation des problèmes DESIGN et SIMULATION. La résolution se faisant toujours avecNLPHOPDM. Le développement met en oeuvre plusieurs composantes algorithmiques.Dans un premier temps, nous allons dé�nir l'architecture générale du projet. Ensuite, nousallons identi�er les transferts d'informations entre ces di�érentes composantes. En�n, nousallons présenter la méthode de point intérieur appliquée par le solveur NLPHOPDM, avantde nous intéresser plus spécialement à la résolution des problèmes DESIGN et SIMULA-TION.
5.1 Architecture du programme.
Cette partie est consacrée à l'architecture générale du projet. Nous allons y présen-ter les principales composantes algorithmiques : l' application Java , l'interface Applica-tion/NLPHOPDM, le solveur NLPHOPDM, l'interface NLPHOPDM/librairie de calculainsi que la librairie de calcul .
5.1.1 Application Java.L'application Java développée sous l'environnement JBuilder 5, sert d'interface utilisa-
teur. Ses principales fonctionnalités sont :
� Saisie des données : n÷uds (hauteur...), arêtes (longueur...), ...� Traitement des données de simulation : moyenne, variance, et écart type des �otsobservés lors des simulations.
� Restitution des résultats : paramètres de design et résultats des traitements des si-mulations.
L'application Java transmet par l'intermédiaire de l' interface Application/NLPHOPDMtoutes les données nécessaires à la résolution de chacun des problèmes au solveur NL-PHOPDM.
5.1.2 Interface Application/NLPHOPDM.Comme son nom l'indique, Application/NLPHOPDM sert d'interface entre l'Application
java et le solveur développé en Fortran. Nous avons décidé de développer cette interfaceen langage C pour trois raisons :
� Le passage de données directement entre Java et Fortran est possible, mais il existetrès peu de références à ce sujet.
34
� JBuilder 5 possède un package JNI (Java Native Interface) qui facilite énormémentle passage du Java au C et du C au Java.
� L'interfaçage C-Fortran a déjà été utilisé par Olivier Epelly pour relier NL-PHOPDM avec AMPL .
Cette interface va donc transmettre au solveur toutes les informations nécessaires à larésolution d'un problème et restituer, dans l'autre sens, les résultats à l'application Java.
5.1.3 NLPHOPDM.Le solveur NLPHOPDM est développé en Fortran. Il résoud les problèmes linéaires
et non-linéaires convexes grâce à une méthode de point intérieur en un certain nombred'itérations. Lors de la résolution d'un problème, il a besoin, à chaque itération, de plu-sieurs valeurs en un point courant (valeurs des gradients, des hessiens...). L'ensemble deces données est calculé par des routines situées dans la librairie de calcul . Il transmet donc,à chaque itération, le point en question à l' interface NLPHOPDM/Librairie de calcul.A terme, il devrait normalement être remplacé par le solveur MOSEK [11]. Ce solveur aété développé par Erling D. Andersen et utilise aussi une méthode de points intérieurs.Sa structure est sensiblement la même que celle de NLPHOPDM et ne devrait pas en-gendrer de grandes modi�cations dans le développement. Mais MOSEK n'étant pas ennotre possession actuellemment, NLPHOPDM permet de tester et d'étudier la faisabilitédu projet.
5.1.4 Interface NLPHOPDM/Librairie de calcul.Cette interface est développée en langage C. Son rôle est de faire le lien entre NL-
PHOPDM et la librairie de calcul . C'est donc elle qui va lancer les calculs nécessaires ausolveur à chacune de ses itérations.
5.1.5 Librairie de calcul.La librairie de calcul est composée d'une dizaine de routines développées en C. Chacunes
de ces routines permet de calculer une valeur nécessaire au solveur. Ces valeurs sont ensuiterestituées à l'interface NLPHOPDM/Librairie de calcul , qui elle les transmet au solveur.
5.1.6 Schéma généralLe schéma 5.1 résume le fonctionnement général du projet.
35
Fig. 5.1 � Schéma général
36
5.2 Application Java.
5.2.1 Données du problème.Les données du problème sont fournies par l'utilisateur, soit par l'intermédiaire de �-
chiers, soit par saisie manuelle. Ces données sont constituées d'informations sur :
� le réseau : les n÷uds (numéro, hauteur, robinets) et les arêtes (n÷ud de début, n÷udde �n, longueur) .
� les tuyaux commerciaux : les diamètres et les prix au mètre.� le problème : le �ot minimum aux robinets, le paramètre α ainsi que le paramètre p.Ces données sont transmises aux solveur NLPHOPDM pour la résolution des di�érents
problèmes.
5.2.2 Lien NLPHOPDM.Pour chacun des problèmes à résoudre, l'application Java doit transmettre un certain
nombre d'éléments au solveur concernant la typologie du problème, les variables et lescontraintes.
Typologie du problème.Les données concernant la typologie du problème sont :
� la variable pb qui signi�e au solveur s'il s'agit d'une minimisation ou d'une maximi-sation.
� la variable n indiquant le nombre de variables.� la variable m indiquant le nombre de contraintes.
Variables.L'application doit transmettre au solveur l'ensemble des données suivantes :
� un vecteur X contenant les valeurs des variables au point de départ.� un vecteur Upper contenant les bornes supérieures des variables.� un vecteur Lower contenant les bornes inférieures des variables.
Contraintes.Les données concernant les contraintes sont les suivantes :
� un vecteur Type indiquant le type des contraintes ( ≤ , ≥ ou =).
37
� un vecteur Cste représentant la partie constante de chaque contrainte.
Les valeurs de ces variables sont dé�nies, par la suite, pour chacun des problèmesDESIGN et SIMULATION.
5.2.3 Traitement des résultats.A�n de restituer un bilan facilement exploitable par l'utilisateur, l'application doit
fournir les moyennes, les variances ainsi que les écarts types des �ots simulés. Elle doitégalement restituer à l'utilisateur les paramètres de design (diamètre des tuyaux à utiliser,les ori�ces...).
5.3 NLPHOPDM - Méthode de points intérieurs.
Dans cette partie, nous allons expliquer, pour un problème simple de minimisation, enquoi consiste la méthode de point intérieur utilisée par le solveur NLPHOPDM.
On considère le problème de minimisation non linéaire avec g : Rn−→Rm, où chaque com-posante gi est convexe, et la fonction convexe f : Rn−→R :
min f(x)s.c
g(x) ≤ 0.
On introduit le vecteur s ∈ Rm des variables d'écart. Les contraintes d'inégalité sontdonc remplacées par :
g(x) + s = 0s ≥ 0.
Soit le paramètre µ > 0, on introduit dans le problème de minimisation une fonctionbarrière. Ce qui nous donne :
min f(x)− µm∑i=1
si
s.cg(x) + s = 0s ≥ 0.
Sous certaines hypothèses, ce problème a une solution unique, et les conditions néces-saires et su�santes d'optimalité, dites de KKT (Karush-Kuhn-Tucker), nous sont fourniespar le système d'équation suivant :
38
F (z) =
Y s− µeg(x) + s(∂g(x)∂x
)Ty + ∂f(x)
∂x
=
000
avec z = (x, s, y), s ≥ 0 et y ≥ 0, où y est la variable duale associée à x.
Un point z est dit intérieur si y > 0 et s > 0. Etant donné un tel point zk, nousdé�nissons une direction de Newton dzk = (dxk, dsk, dyk) comme solution de F̃ (zk) = 0 oùF̃ est l'approximation linéaire de F autour du point courant zk, on a donc :
∂F (zk)∂z
dzk + F (zk) = 0,
soitdzk = −
(∂F (zk)∂z
)−1
F (zk)
A chaque pas de Newton, la propriété de point intérieur peut ne pas être maintenueavec yk + dyk < 0 ou sk + dsk < 0. Pour maintenir cette propriété, on modi�e le pas deNewton en déterminant le paramètre 0 < α ≤ αmax tel que yk+αdyk ≥ 0 et sk+αdsk ≥ 0,où
αmax = {α ≥ 0 : yk + αdyk ≥ 0 , sk + αdsk ≥ 0}.
On peut démontrer ensuite que cette direction de Newton est une direction de descentepour une fonction de mérite donnée, ce qui permet d'établir une preuve de convergenceglobale, sous réserve d'un choix approprié de α.
5.4 Librairie de calcul.
La librairie de calcul est constituée de plusieurs routines. Ces routines retournent cer-taines informations concernant la fonction objective et les contraintes en un point courantx. Ce point est un vecteur fourni par le solveur, à chaque itération.
5.4.1 Fonction objective.Valeur en un point.
La fonction ObjV alue permet de calculer la valeur de la fonction objective au point x.Elle renvoie au solveur un réel.
39
Dérivée première.La fonction ObjGrad calcule la valeur de la dérivée pour chacune des composantes du
vecteur x. Elle renvoie le gradient sous forme d'un vecteur de réel.
Dérivée seconde.La fonction ObjHess détermine la valeur de la matrice héssienne au point x. Elle stocke
cette matrice sous la forme d'une matrice creuse à l'aide de la méthode ColumnWise.
Dé�nition :
La méthode ColumnWise permet de stocker des matrices creuses de manière plus éco-nomique d'un point de vue mémoire. Elle génère trois vecteurs. Un premier vecteur V alueest composé des valeurs non nulles de la matrice. Le deuxième vecteur IndiceRow indiquepour chaque valeur du vecteur V alue son indice de ligne dans la matrice initiale. La di-mension de IndiceRow correspond donc à la dimension du vecteur V alue. Le troisième etdernier vecteur Col indique, pour chaque colonne de la matrice, l'indice du vecteur V alue,dont l'élément correspond à la première valeur non nulle de la colonne en question. Ladimension du vecteur Col est donc égale au nombre de colonnes de la matrice.
Exemple :
Soit la matrice
A =
2 0 0 10 5 0 00 0 8 5
.
La méthode ColumnWise nous donne alors les trois vecteurs suivants :V alue = (2, 5, 8, 1, 5),IndiceRow = (1, 2, 3, 1, 3) etCol = (1, 2, 3, 4).
5.4.2 Contraintes.Valeur en un point.
La fonction ContV alue calcule la valeur de chaque contrainte au point x. Elle renvoiedonc un vecteur de réel au solveur.
40
Dérivée première.La fonction ContGrad génère, pour chaque contrainte, les valeurs des dérivées premières
au point x. Cela nous donne une matrice, où chaque ligne correspond à une contrainte giet chaque colonne correspond à une composante du vecteur x. Cette matrice est restituéeau solveur sous la forme ColumnWise.
Dérivée seconde.Pour chaque contrainte, la fonction ContHess calcule les valeurs de la matrice hessienne
en un point x. L'ensemble de ces matrices est renvoyé au solveur en une seule matricesous forme ColumnWise. Les contraintes des problèmes DESIGN et SIMULATION étantlinéaires, cette fonction n'intervient pas dans leur résolution.
41
5.5 Problème DESIGN.
Nous allons dé�nir, les principaux algorithmes et les valeurs des paramètres nécessairesà le résolution du problème DESIGN, concernant sa typologie, ses variables, ses contraintesmais aussi sa fonction objective.
5.5.1 Rappel.Le problème DESIGN peut s'écrire de la façon suivante :
(PL DESIGN)min l121 × p1 + l122 × p2 + ...+ l12k × pk
+l231 × p1 + ...+ l23k × pk + ...+...+lpq1 × p1 + ...+ lpqk × pk
s.c.
∑(i,i′)∈Γ2
∑k∈tuyau
lii′k×fp
ii′dqk
≤ −h2
β
.........∑(i,i′)∈Γr
∑k∈tuyau
lii′k×fp
ii′dqk
≤ −hrβ∑
(i,i′)∈Γr+1
∑k∈tuyau
lii′k×fp
ii′dqk
≤ −hr+1−f2i(r+1)α
β
.........∑(i,i′)∈Γq
∑k∈tuyau
lii′k×fp
ii′dqk
≤ −hq−f2iqα
β
l121 + ...+ l12k = l12
.........lpq1 + ...+ lpqk = lpq
lijk ≥ 0 ∀(i, j) ∈ Pipes, ∀k ∈ tuyau
5.5.2 Typologie du problème.Les dimensions du problème sont les suivantes :
� le nombre de variables n correspond au nombre d'arcs multiplié par le nombre dediamètres commerciaux existants :
n = card(Pipes)× card(Tuyau).
� pour ce problème, il existe une contrainte sur la dynamique des �uides pour chaquen÷ud de l'arbre, excepté pour la source. De plus on comptabilise une contrainte delongueur pour chaque arc. On a donc :
42
m = card(Nodes)− 1 + card(Pipes).
5.5.3 Variables.Pour la résolution du problème, l'application fournit au solveur un point de départ x.
On choisit d'a�ecter la longueur de l'arc au plus petit diamètre. D'où :
x = (l12, 0, ..., 0, l23, 0, ..., 0, l34, .....) .
Les bornes inférieures et supérieures sont les suivantes :
Lower = (0, ..., 0, 0, ..., 0, 0, ...., 0) .
Upper = (l12, ..., l12, l23, ..., l23, l34, .....) .
Ce qui nous donne :
0...00...0...
≤
l121
...l12k
l231
...l23k
...
≤
l12
...l12
l23
...l23
...
5.5.4 Contraintes.On dé�nit, dans un premier temps, la variable Type et la variable Cste. Pour toutes
les contraintes sur la dynamique des �uides du problème, on a une inégalité de type ≤. Cedernier est codé par le nombre 1. Pour les contraintes de longueur, il s'agit d'une égalitécodée par le nombre 3, d'où :
Type = (1, ..., 1, 3..., 3) .
Dans les contraintes sur la dynamique des �uides, la valeur constante pour tout i ∈
Nodes − Taps est −hiβ, alors que pour i ∈ Taps, la constante est −hi−
f2jiα
β. Dans le cas
des contraintes de longueur, pour tout (i, j) ∈ pipes, la constante est lij. Ce qui donne levecteur Cste suivant :
Cste =
(−h2
β, ..., −hr
β,−hr+1−
f2j(r+1)α
β, ...,
−hp−f2jpα
β, l12, ..., lqp
).
43
Le problème DESIGN étant linéaire, le solveur fait appel, à chaque itération aux fonc-tions ContV alue et ContGrad dé�nies ci-desous.
ContV alue :m = 0 ;for all j ∈ Nodes doResultat[m] = 0 ;for all (i, i′) ∈ Γj doResultat[m] = Resultat[m] +
∑k∈tuyau
lii′k×fp
ii′dqk
;
end form+ + ;
end forfor all (i, j) ∈ Pipes doResultat[m] =
∑k∈tuyau
lijk ;m+ + ;
end forReturn Resultat ;
ContGrad :for all (i, j) ∈ Pipes dofor all k ∈ Tuyau dofor all r ∈ Nodes doif (i, j) ∈ Γr thenRemplir V alue, IndiceRow et Col avec fp
ii′dqk
;end if
end forRemplir V alue, IndiceRow et Col avec 1 ;
end forend forReturn V alue, IndiceRow et Col ;
44
5.5.5 Fonction Objective.Les fonctions utilisées par le solveur, concernant la fonction objective, sont les deux
fonctions ObjValue et ObjGrad.
ObjV alue :V alue = 0 ;for all (i, j) ∈ Pipes dofor all k ∈ Tuyau doV alue = V alue+ lijk × pk ;
end forend forReturn V alue ;
ObjGrad :m = 0 ;for all (i, j) ∈ Pipes dofor all k ∈ Tuyau doResultat[m] = pk ;m+ + ;
end forend forReturn Resultat ;
45
5.6 Problème SIMULATION.
Nous allons dé�nir, les principaux algorithmes et les valeurs des paramètres nécessairesà la résolution du problème SIMULATION, concernant sa typologie, ses variables, sescontraintes mais aussi sa fonction objective.
5.6.1 Rappel.Le problème SIMULATION peut s'écrire de la manière suivante :
min β × F p+112
p+1×
∑k∈tuyau
l12k
dqk
+.....
+(β × F p+1rt
p+1×
∑k∈tuyau
lrtkdqk
)
+(hj × Fout(j) + Fout(j)3
3α+ 0.56× Fout(j)3
3do4j
)
+.....
+(hj × Fout(t) + Fout(t)3
3α+ 0.56× Fout(t)3
3do4t
)
s.c.
∑(1,j)∈SubP ipes
F1j = Fin∑(2,j)∈SubP ipes
F2j =∑
(j,2)∈SubP ipesFj2
......∑(t,j)∈SubP ipes
Ftj =∑
(j,t)∈SubP ipesFjt
Fout(i) =∑
(j,i)∈SubP ipesFji
......Fout(r) =
∑(j,r)∈SubP ipes
Fjr
Fout(j), F in ≥ 0 ∀j ∈ SubTapsFij ≥ 0 ∀(i, j) ∈ SubP ipes.
5.6.2 Typologie du problème.Les dimensions du problème sont les suivantes :
� pour ce problème, il exste une variable Fij, ∀(i, j) ∈ Pipes, une variable Fout(i), ∀i ∈Taps et en�n une variable Fin pour le �ot entrant à la source. D'où :
n = card(Pipes) + card(Taps) + 1.
� il y a une contrainte de conservation du �ot par n÷ud. On a donc :
46
m = card(Nodes).
5.6.3 Variables.Pour la résolution du problème, l'application fournit au solveur un point de départ y.
On a�ecte à chaque arête (i, j) ∈ Pipes, le �ot calculé préalablement dans la partie Etudedes �ots. D'où :
y = (f12, f12, f23, ..., fpq, ....) .
Les bornes inférieures et supérieures sont les suivantes :
Lower = (0, , 0, ..., 0, 0, ..., 0) .
Upper = (f12 ∗ 100, f12 ∗ 100, f23 ∗ 100, .....) .= 100 ∗ y
Ce qui nous donne :
00...00...0
≤
FinF12
...FpqFout(k)...Fout(q)
≤
f12 ∗ 100f12 ∗ 100...fpq ∗ 100fk′k ∗ 100...fq′q ∗ 100
5.6.4 Contraintes.On dé�nit, dans un premier temps, la variable Type et la variable Cste. Pour toutes
les contraintes du problème, on a une égalité codée par le nombre 3, d'où :
Type = (3, 3, ..., 3, 3, ..., 3) .
Dans les contraintes sur la loi de conservation aux n÷uds la valeur constante est nulle,d'où :
Cste = (0, 0, ..., 0, 0..., 0) .
Les contraintes du problème SIMULATION étant linéaires, le solveur fait appel, àchaque itération aux fonctions ContV alue et ContGrad dé�nies ci-desous.
47
ContV alue :m = 0 ;for all i ∈ SubNodes dofor all (i, j) ∈ SubP ipes doResultat[m] = Resultat[m] + Fij ;
end forfor all (j, i) ∈ SubP ipes doResultat[m] = Resultat[m]− Fji ;
end forif i = Source thenResultat[m] = Resultat[m] + Fin ;
end ifif i ∈ SubTaps thenResultat[m] = Resultat[m] + Fin ;
end ifm+ + ;
end forReturn Resultat ;
ContGrad :Cette fonction dé�nit une matrice constante composée uniquement de 1, de -1 et de 0.
Cette matrice correspond à la matrice d'incidence du réseau.
5.6.5 Fonction Objective.Les fonctions utilisées par le solveur, concernant la fonction objective, sont les fonctions
ObjV alue, ObjGrad et ObjHess.
ObjV alue :V alue = 0 ;for all (i, j) ∈ SubP ipes doV alue = V alue+ β × F p+1
ij
p+1×
∑k∈tuyau
lijkdqk
;
end forfor all j ∈ SubTaps do
48
V alue = V alue+ hj × Fout(j) + Fout(j)3
3α+ 0.56× Fout(j)3
3do4j
;end forReturn V alue ;
ObjGrad :m = 0 ;for all (i, j) ∈ SubP ipes doResultat[m] = β × F p
ij
∑k∈tuyau
lijkdqk
;m+ + ;
end forfor all j ∈ SubTaps doResultat[m] = hj + Fout(j)2
α+ 0.56× Fout(j)2
do4j
;m+ + ;
end forReturn Resultat ;
ObjHess :for all (i, j) ∈ SubP ipes doRemplir V alue, InidiceRow et Col avec β × p× F p−1
ij
∑k∈tuyau
lijkdqk
;
end forfor all j ∈ SubTaps doRemplir value, InidiceRow et Col avec 2Fout(j)
α+ 0.56× 2Fout(j)
do4j
;end forReturn V alue, IndiceRow et Col ;
Pour les deux problèmes DESIGN et SIMULATION, les valeurs fournies par les fonc-tions ContGrad et ObjGrad sont constantes et seront donc calculées une seule fois et nonà chaque itération comme prévu initialement. Cela permet de gagner en temps de calcul.
49
Conclusion.
Dans ce rapport, nous traitons de deux problèmes d'optimisation di�érents, le problèmelinéaire DESIGN et le problème non-linéaire SIMULATION. Ils ont été modélisés, dans unpremier temps, à l'aide d'AMPL, a�n de les tester. Après leur validation, nous avons décidéde nous dispenser de l'utilisation de ce langage de modélisation payant, en développantnotre propre application en Java. Dans les deux cas, la résolution numérique s'est faitegrâce au solveur NLPHOPDM.
La méthodologie mise en place donne de très bons résultats. Mais la résolution du pro-blème DESIGN s'appuie préalablement sur une étude des �ots non déterministe. Cetteétude peut s'avérer, dans certains cas, en décalage avec la réalité. C'est pour cela que l'onparlera d'une aide à la construction de réseau de distribution d'eau, et non d'un outil dontles résultats peuvent être directement utilisés pour la construction d'un réseau.
Au cours de ce stage, j'ai eu l'opportunité d'e�ectuer quelques tâches d'assistant. J'ai puainsi évaluer les di�cultés du travail d'enseignant-chercheur. En e�et, il n'est pas toujoursfacile de concilier ces deux activités en parfaite harmonie car l'une et l'autre demandentune forte implication. De plus, si les examens sont une source de tracas pour les étudiants,il en est de même pour les enseignants-chercheurs. Du point de vue technique, ce stage m'apermis d'approfondir mes connaissances sur la relaxation lagrangienne et la dualité maisaussi de découvrir un domaine d'optimisation appelée méthode de points intérieurs. En�nil m'a permis d'appréhender di�érents langages de modélisation tel que AMPL.
50
Bibliographie
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Résumé.
Ce stage a pour objectif �nal de développer un logiciel d'aide à la construction deréseau de distribution d'eau potable pour les pays en voie développement. Le but est dedéterminer, pour un réseau donné, les diamètres des tuyaux à utiliser a�n de minimiserle coût total de construction, tout en assurant une qualité de service donnée. Ce réseaudoit fonctionner uniquement par la gravité. La méthodologie mise en place peut se dé-composer en trois phases. Dans un premier temps, nous identi�ons les �ots pour lesquelsle réseau doit être dimensionné. Cette étape s'appuie sur une méthode non-déterministe.Ensuite un design, respectant les �ots calculés, peut être déterminé à l'aide d'un problèmede minimisation linéaire DESIGN. En�n, pour valider les paramètres de ce design, nouse�ectuons une série de tests. Nous déterminons alors di�érents scénarios d'ouverture desrobinets dans le réseau et nous e�ectuons des simulations d'écoulement d'eau. Les �otsobservés sont calculés à l'aide d'un problème de minimisation non-linéaire SIMULATION.A�n de valider cette méthodologie, ces problèmes ont été modélisés à l'aide du langage demodélisation AMPL et testés pour des problèmes de di�érentes tailles. Pour la résolution,ce dernier fait appel au solveur NLPHOPDM qui utilise une méthode de points intérieurs.L'objectif étant de distribuer un produit gratuit, nous avons développé une application enJava qui évite l'utilisation d'AMPL (logiciel payant) et qui permet une analyse rapide desrésultats.
Mots-clés :
Design, programmation linéaire, simulation, programmation non-linéaire, NLPHOPDM,méthode de point intérieur, AMPL, application Java.