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Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008

Capítulo 1

CONCEPTOS BASICOS

1.1. Definiciones

La Teoría de Redes estudia sistemas formados por la interconexión de componentes

eléctricas.

Cada componente posee dos o más terminales conductores.

Asociados a los terminales pueden observarse y medirse variables eléctricas: voltajes y

corrientes.

Cada componente establece una relación entre sus variables terminales. Se denominará a

ésta: Relación de Equilibrio.

Las conexiones entre componentes también implican una relación entre las variables

terminales de las componentes. Se denominarán a éstas: Leyes de Interconexión o leyes de

Kirchhoff.

Una red puede describirse en forma gráfica, indicando: el tipo de componentes y la forma en

que están conectadas entre sí. Asociada a dicha red habrá un sistema de ecuaciones que

relacionan las variables terminales. Éstas se denominan: Ecuaciones de la Red.

La Teoría de Redes establece métodos para plantear, resolver y analizar las Ecuaciones de

la Red.

1.2. Componentes y Variables

Una componente cualquiera puede representarse por un pequeño rectángulo con sus

terminales. Se muestra a continuación una componente de dos terminales.

2 Teoría de Redes Eléctricas


Figura 1.1. Componente de dos terminales.

Los puntos a y b son los terminales de la componente y se encuentran unidos (soldados o

conectados) a los terminales de un rectángulo mayor, que simboliza el resto de la red.

Podría observarse, mediante instrumentos, una corriente eléctrica i, a través de la

componente; y un voltaje o diferencia de potencial v, entre los terminales.

Para medir una variable escalar se requiere un sistema de referencia y un sistema de

unidades.

1.3. Sistemas de referencia para medir posiciones

Sean dos objetos P1 y P2 ubicados sobre una línea recta.

Figura 1.2. Referencia para posiciones en el espacio.

Si establecemos un sistema de referencia x para medir posiciones indicando: una posición de

referencia, una dirección en la cual los valores que toma la variable van aumentando; y una

escala de unidades para medir los valores, tendremos que:

P1 se encuentra en posición x1; y P2 en posición x2.

Con los siguientes valores de las posiciones:

1 22, 3x x (1.1)

Podríamos haber elegido un sistema de referencia y, según:

a

b

P1 P2

0 x2

x1

x [cm]

Capítulo 1. Conceptos Básicos 3


Figura 1.3. Otro sistema de referencia.

En este caso las posiciones de P1 y P2, se representan por:

1 22, y 3y (1.2)

Se han mantenido la posición de referencia y la escala de unidades; el único cambio es la

dirección de referencia.

Entonces, la variable que describe la distancia entre P1 y P2, podría describirse por x21. La

cual tiene asociada una referencia para medirla, que se indica con una flecha.

Figura 1.4. Distancia entre objetos.

En función de las posiciones, se define:

21 2 1x x x (1.3)

La flecha es un símbolo que describe cómo debemos medir la distancia: La posición

asociada a la punta de flecha, menos la posición asociada al pequeño círculo, del otro extremo

de la flecha.

Con esta notación, se tiene que:

12 1 2x x x (1.4)

Además se cumple que:

12 21x x (1.5)

Los segmentos orientados se ilustran a continuación:

P1 P2

0 y2

y1

y [cm]

P1 P2

0

x2

x1

x [cm]

x21



Figura 1.5. Referencias para distancias.

Entonces, el valor que toma una variable, depende del sistema de referencia que estemos

usando para medirla. Es decir: de la posición de referencia, de la dirección de referencia y de la

escala que empleemos para medir.

1.4. Voltímetros y Amperímetros

Para medir variables eléctricas se emplean: amperímetros, para medir corrientes; y

voltímetros para medir voltajes. Estos instrumentos tienen dos terminales que deben ser

conectados a la componente. Uno de los terminales se marca con una flecha, o con un signo

positivo; el otro, sin marca, se denomina común. La conexión de los instrumentos puede

efectuarse de dos formas, éstas se ilustran en las Figuras 1.6 y 1.7.

Figura 1.6. Conexiones de instrumentos.

En la Figura 1.6:

El voltímetro mide la diferencia de potencial entre a y b; es decir mide:

( )V V Va b

(1.6)

El amperímetro mide la corriente que circula de a hacia b.

P1 P2

x12

x [cm]

x21

a

b

A

a

b

V



Figura 1.7. Otra forma de medir variables.

En la Figura 1.7:

El voltímetro mide la diferencia de potencial entre b y a, es decir:

( )V V Vb a

(1.7)

El amperímetro mide la corriente que circula de b hacia a.

Nótese que la corriente es la que circula a través de la componente y del amperímetro. Y

que el voltaje se mide entre los terminales de la componente.

Nótese que los terminales de los instrumentos están marcados, con una pequeña flecha el

amperímetro y con signos + y – el voltímetro.

Entonces se definen: una dirección de referencia para medir la corriente, se marca con una

flecha a través de la componente; y una polaridad de referencia, para medir voltajes, entre los

terminales de la componente.

Estas referencias indican cómo se deben medir las variables usando instrumentos. Para medir

las variables de la Figura 1.8, los instrumentos deben conectarse como se muestra en la Figura

1.6.

Figura 1.8. Variables de la componente.

En la Figura 1.8 se muestran las variables v e i, y sus referencias: la polaridad y la dirección

respectivamente.

Se interpretan según:

i es la corriente que circula desde a hacia b a través de la componente.

v es la diferencia de potencial o voltaje o tensión entre a y b.

a

b

V +

-

a

b

A

a

b

v

i



Si en la Figura 1.8 se tiene, en cierto instante, que 2v e 2i ; si las variables se miden

conectando los instrumentos como se muestra en la Figura 1.7, se tendrá que los instrumentos

indicarán: 2V y 2A .

La Figura 1.9 ilustra otros símbolos que suelen emplearse para la polaridad.

Figura 1.9. Otros símbolos para la polaridad.

Los valores que toman las variables se interpretan de acuerdo al sistema de referencia con

que son definidas.

Para la Figura 1.8:

Si en cierto instante el potencial en a es mayor que en b, se tendrá: v > 0.

Si en cierto instante el potencial en a es igual al de b, se tendrá: v = 0.

Si en cierto instante el potencial en a es menor al de b, se tendrá: v < 0.

Si hay movimiento de cargas positivas desde a hacia b, en ese instante: i > 0.

Si hay movimiento de cargas positivas desde b hacia a, en ese instante, se tendrá:

i < 0.

Si no hay movimiento de cargas se tendrá: i = 0.

Ejemplo 1.1.

En la Figura 1.10, de acuerdo a las referencias, se tienen:

1 2

1 2

v v

i i

(1.8)

Las variables tienen iguales valores, pero diferente signo.

a

b

v

i

+

-

a

b

v

i

+

-



Figura 1.10. Referencias para variables.

1.5. Ley de conservación de la carga

La ley de la conservación de la carga establece que la carga eléctrica se conserva; es decir,

no se crea ni se destruye.

Sean q la carga encerrada en un volumen V, e i la corriente que ingresa al volumen.

Podemos simbolizar la situación según se muestra en la Figura 1.11:

Figura 1.11. Conservación de la carga.

Entonces:

dqi

dt

(1.9)

Es la ecuación diferencial que representa la conservación de la carga q dentro del volumen.

La relación anterior puede considerarse como la definición de la corriente en función de la

carga y el tiempo.

Si q es constante en el tiempo, i debe ser cero. Es decir, no puede haber movimiento de

carga, hacia o desde el volumen, si la carga permanece constante dentro del volumen.

Si se tiene que:

0dq

dt

(1.10)

Esto implica que q está aumentando, lo cual requiere que existan cargas positivas

moviéndose hacia el volumen; es decir:

0i (1.11)

a

b

v1

i1

v2

i2

q i



Si existe carga positiva moviéndose hacia afuera del volumen se tendrá:

0i (1.12)

Lo cual implica que la carga q disminuye; es decir:

0dq

dt

(1.13)

Si se considera ahora una componente de dos terminales, y se definen i1, i2 y q como se

ilustra en la Figura 1.12.

Figura 1.12. Neutralidad de carga.

Se tendrá que la corriente neta que ingresa a la componente será: i1-i2, y debe cumplirse,

debido a la ley de conservación de carga que:

1 2-dq

i idt

(1.14)

Si el dispositivo opera con carga total igual a cero, o en condiciones de neutralidad de carga,

se tendrá:

1 2- 0i i (1.15)

Lo cual implica que la corriente que entra a la componente debe ser igual a la que sale de

ella. Debe mantenerse que la carga total dentro de la componente sea igual a cero.

Por esta razón se define sólo una variable corriente asociada a una componente, ya que se

cumple (1.15), en la Figura 1.12.

Ejemplo 1.2.

Si la componente tiene más de dos terminales, ver ejemplo en Figura 1.13, y opera en

neutralidad de carga, debe cumplirse:

a

b

v

i1

i2

q



31 2 0ii i (1.16)

Figura 1.13. Componente con carga total cero.

Después de estos ejemplos se puede generalizar, planteando la ley de corrientes de

Kirchhoff.

1.6. Ley de corrientes de Kirchhoff (LCK)

“La suma de las corrientes que ingresan a un volumen es cero, en todo instante”.

1.7. Concepto de voltaje en función del campo eléctrico

Debido a que las líneas de campo eléctrico apuntan en la dirección en que el voltaje

disminuye, suele definirse la integral de camino, del campo eléctrico desde a hacia a b, como la

diferencia de potencial según:

b

a b

a

v E dl

(1.17)

Sin embargo, es preferible la notación siguiente:

b

b a ba

a

v E dlV V

(1.18)

Para entender las relaciones, consideremos el siguiente esquema, que se ilustra en la Figura

1.14.

a

b

i1

i2

q i3

c



Figura 1.14. Relación entre voltaje y campo eléctrico.

Al integrar desde la posición a hacia b, el vector diferencial de camino dl y el vector campo

eléctrico E están a 180º entre sí, lo cual hace que la integral definida resulte negativa; pero como

ésta tiene signo menos resulta que el lado derecho es positivo.

Si las líneas del campo eléctrico apuntan desde b hacia a, resulta:

0bav (1.19)

Lo que justifica lo dicho al inicio, respecto de que el campo eléctrico tiene la dirección en

que el voltaje disminuye. Puede decirse que el voltaje es una medida integral del campo

eléctrico.

Nótese que si nos movemos en una trayectoria perpendicular a las líneas, la diferencia de

potencial entre dos puntos de esa trayectoria será cero, debido a que en la integral de línea se

tiene un producto escalar de vectores ortogonales; y se dice que esa trayectoria es una línea

equipotencial.

Relacionaremos ahora la diferencia de potencial con la energía.

Tenemos que la fuerza ejercida por un campo eléctrico E sobre un diferencial de carga q es:

eF Δq E

(1.20)

Si movemos, mediante una fuerza mecánica Fm, un diferencial de carga positiva q, desde un

potencial menor a uno mayor, hacia arriba en la Figura 1.15, tendremos que vencer la fuerza

electromagnética sobre la carga.

m eF F

(1.21)

La Figura 1.15 ilustra las relaciones anteriores.

b

a

dl Vba

E E



Figura 1.15. Fuerzas sobre la carga.

Como la fuerza mecánica, es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza eléctrica,

el movimiento se realiza con fuerza total cero sobre la partícula, y por lo tanto ésta tendrá

aceleración cero; lo cual implica: velocidad constante. Es decir, sin cambio de energía cinética.

Si en la definición del voltaje (1.18), en función del campo, multiplicamos ambos miembros

por q, se tendrá, empleando (1.20) y (1.21):

e m

b b b

ba

a a a

v q q E dl F dl F dl

(1.22)

Observando la última integral, reconocemos la expresión para el trabajo realizado por la

fuerza mecánica. La siguiente expresión define el cambio de energía, en términos del trabajo

realizado por la fuerza mecánica sobre el sistema.

b

m

a

W F dl

(1.23)

Reemplazando la relación (1.23) en (1.22), se obtiene:

bav q W (1.24)

La cual puede escribirse:

ba

Wv

q

(1.25)

Si se realiza un trabajo mecánico positivo, sobre un diferencial de carga positivo, la energía

de éste aumenta.

q

Fm

E

Fe

V



Si el diferencial de carga es pequeño, como para no alterar el campo eléctrico existente en la

zona, se puede escribir:

ba

dwv

dq

(1.26)

Relación que define la diferencia de potencial como el incremento de energía de la carga por

unidad de carga.

Para entender la relación anterior, podemos concebir un modelo idealizado, en el cual un

diferencial de carga está unido a un pequeño peso, mediante un sistema idealizado de poleas,

que se ilustra en la Figura 1.16.

Usamos este esquema, ya que es más sencillo y familiar comprender los cambios de energía

potencial asociados al movimiento de una masa. Si suponemos que no existe roce y que además

no hay cambios de energía cinética, entonces debido al principio de conservación de la energía:

si la masa disminuye su energía potencial, entonces en la misma medida aumenta la energía

asociada al diferencial de carga inmerso en un campo eléctrico.

Cuando la masa desciende, el diferencial de carga aumenta su energía. Cuando la masa sube,

el diferencial de carga disminuye su energía.

Figura 1.16. Energías.

Entonces podemos entender que si una carga positiva se mueve desde un potencial mayor a

uno menor la carga libera energía. La carga se mueve desde a hasta b, en la Figura 1.16.

El trabajo mecánico es negativo, y se podrá ocupar para efectuar un trabajo sobre el resto del

sistema. En la situación anterior, el peso sube, aumentando su energía potencial.

Con las denominaciones para los puntos a y b, de la Figura 1.16, se tiene:

abW v q (1.27)

La fuerza electromagnética efectúa un trabajo positivo, ya que ésta tiene igual dirección que

el desplazamiento.

q

E

mg

Vab

a

b



Se puede efectuar un razonamiento similar, si se mueve una carga desde un potencial menor

a uno mayor; es decir, si se le aporta energía al sistema formado por la carga. Lo que nos

permite entender que si una carga positiva se mueve desde un potencial menor a uno mayor la

carga aumenta su energía.

Es conveniente plantear igual situación con una carga negativa, y obtener una interpretación

de las energías y los trabajos.

Si volvemos sobre la relación (1.18) y aplicamos la integral a un camino cerrado. Es decir si

se mueve una carga, dando una vuelta completa en ese camino cerrado, el trabajo total será cero,

siempre que no exista cambio de la energía cinética.

Se dice que el campo eléctrico es conservativo. En esta situación, se cumple:

0E dl

(1.28)

La relación anterior es un caso particular de la Ley de Faraday. Mediante ésta puede

demostrarse que si no hay campos magnéticos variables, a través del camino cerrado, se debe

cumplir que la integral cerrada del campo eléctrico es cero.

Si consideramos el camino cerrado de la Figura 1.17, la relación (1.18) puede

descomponerse en dos integrales de línea, una de b hacia a, pasando por el punto c; y otra de a

hacia b, pasando por el punto d.

(1.29)

Aplicando la definición de voltaje, relación (1.18), podemos interpretar las integrales por

diferencias de potencial:

-Vab (vía c) -Vba (vía d) = 0 (1.30)

Figura 1.17. Voltajes en un camino cerrado.

Aplicando la definición, de la notación con doble subíndice planteada en (1.18), se tiene:

a

b

c d Vab

vía c

Vba

vía d

0

b

a

a

b

ldEldE



-Vba (vía d) = Vab (vía d) (1.31)

Que reemplazada en la (1.30), permite obtener:

Vab (vía c) = Vab (vía d) (1.32)

Relación que muestra que el voltaje, o diferencia de potencial, está asociado a los puntos, y

no al camino empleado para ir de un punto al otro. Por esta razón la variable voltaje resulta

sencilla de medir a través de instrumentos, basta poner en contacto los terminales del

instrumento con los puntos entre los cuales se desea medir la tensión.

Ejemplo 1.3.

Podemos generalizar la relación anterior, para caminos cerrados formados por varias

componentes, que tienen asociados voltajes entre sus terminales. Por ejemplo, para la Figura

1.18, se tiene:

1 2 3 0v v v (1.33)

Si para un camino cerrado en general, se define un sentido de recorrido (por ejemplo: según

reloj); puede definirse la suma orientada de los voltajes: como la suma de los voltajes, cuya

flecha apunta en el sentido de recorrido, menos los voltajes cuyas direcciones de referencia son

opuestas a la dirección de recorrido del camino.

Entonces, para la Figura 1.18, se cumple la relación (1.33).

Figura 1.18. Suma de voltajes.

1.8. Ley de voltajes de Kirchhoff

“La suma orientada de los voltajes asociados a un camino cerrado es cero en todo

instante”.

v1

v2

v3



1.9. Potencia y energía en una componente

Si consideramos la siguiente componente:

Figura 1.19. Energía w en una componente.

De las definiciones de corriente (1.9) y voltaje (1.26), se tienen:

(1.34)

Donde q es la carga que se mueve por unidad de tiempo a través de la componente, y w la

energía dentro de la componente.

Al formar el producto de la corriente por el voltaje, en (1.34), tenemos:

dwv i

dt

(1.35)

Si definimos la potencia p, empleando la ley de conservación de la energía, tenemos:

dwp

dt

(1.36)

La relación entre las variables en (1.36) es similar a la de la relación (1.9) de la conservación

de carga. La Figura 1.20, ilustra la relación entre la potencia y la energía.

Figura 1.20. Conservación de la energía.

La única forma en que la energía dentro de un volumen pueda aumentar, es si se tiene un

ingreso de energía en la unidad de tiempo; es decir, si ingresa potencia al volumen (p>0).

a

b

v

i

w

dq dw

i vdt dq

w p



Si existen varias potencias o flujos instantáneos de energía, asociados a un volumen, como se

ilustra en la Figura 1.21:

Figura 1.21. Varios flujos de energía.

Se tendrá, por (1.36), que el flujo neto de energía hacia el recinto es:

1 2p p

dw

dt

(1.37)

Y si el sistema es conservativo; es decir, si la energía dentro del volumen es constante, se

tendrá:

1 2p p (1.38)

Que se interpreta: la potencia que entra es igual a la que sale; es decir, el sistema es sin

pérdidas.

Volviendo al concepto de componente, podemos agregar una nueva referencia para la

potencia.

Emplearemos una flecha para indicar cómo medir la potencia, esto se ilustra en la Figura

1.22.

Figura 1.22. Referencia para la potencia que ingresa.

Para las referencias indicadas en la Figura 1.22, se tiene, empleando (1.35) y (1.36):

ip v i (1.39)

Que define la potencia que fluye hacia la componente, o que ingresa a la componente.

w

p1 p2

a

b

v

i

w pi



Si el voltaje se mide en volts, y la corriente en amperes, la unidad de potencia es el watt. La

energía se mide en Joules o en el equivalente [watt*seg]. Sin embargo la medida más empleada

es el [kW*hora].

Entonces, en la Figura 1.22, si se mueven cargas positivas, desde un potencial alto hacia uno

menor, se producirá un incremento de energía en la componente.

Las cargas que salen de la componente tienen energía menor que cuando entraron,

aumentando la energía interna de la componente. Esto es equivalente a decir que la potencia

eléctrica, que entra a la componente, es positiva.

La energía eléctrica ingresada es transformada en calor o en un aumento de energía.

En el recuadro que representa el resto de la red, en la Figura 1.22, las cargas que aumentan la

energía interna de la componente a la derecha y que salen de ésta, son movidas desde un

potencial menor a uno mayor; lo cual aumenta la energía de las cargas. Este aumento de la

energía eléctrica debe estar compensado con una disminución de la energía interna de la

componente a la izquierda. Si se trata de una batería, ésta debe disminuir su energía química.

Esto es equivalente a decir que la potencia eléctrica, que sale del resto de la red, es positiva.

Si se hubiese definido la referencia para la potencia saliendo de la componente, tendríamos:

sp v i (1.40)

En esta situación, la referencia para medir potencia se ilustra en la Figura 1.23.

Figura 1.23. Potencia que sale de la componente.

Dependiendo de la dirección elegida para la corriente y la polaridad del voltaje, y si la

potencia entra o sale de la componente, se pueden determinar otras expresiones válidas para la

relación entre potencia, voltaje y corriente en una componente, aplicando las definiciones

anteriores.

Ejemplo 1.4.

La relación (1.39) define la potencia como el producto de la corriente por el voltaje, con las

referencias para medir las variables indicadas en la Figura 1.22. Respecto de esta definición, si

se efectúa un cambio de una de las referencias se tendrá un cambio de signo en la relación

(1.39). Por ejemplo la Figura 1.23 cambia la referencia de la potencia, esto implica que:

a

b

v

i

w

ps



s ip p (1.41)

Relación que demuestra la relación (1.40).

Si por ejemplo con las referencias de la Figura 1.22 el valor, en un cierto instante de pi es -

3[Watts], esto implica que están saliendo +3[Watts], o que ps es +3[Watts].

Si respecto de la Figura 1.23, se cambia la referencia para i, como se ilustra en la Figura

1.24, se tendrá para este caso, que la expresión para la potencia que sale de la componente es:

( )sp v i (1.42)

La cual se obtiene cambiando el signo de i en la relación (1.40).

Figura 1.24. Potencia que sale. Convenio generador.

Que puede expresarse, más simplemente por:

sp v i (1.43)

Si la componente para la que se están definiendo las referencias es un dispositivo que entrega

energía al resto de la red; es decir, es un generador, resultan más adecuadas las definiciones para

las referencias de v, i y p que se indican en la Figura 1.24. A este conjunto de referencias se lo

denomina convenio generador.

De igual modo si las referencias para las tres variables se eligen según la Figura 1.22 se

denomina a éste: convenio consumidor.

1.10. Teoremas de Tellegen

Si para una red conservativa se definen todas las potencias ingresando a las componentes,

según:

ii

dwp

dt

(1.44)

a

b

v

i

w

ps



Se tendrá, debido a que los operadores sumatoria y derivada son lineales, que:

1 1

i1

d w

dt

d ( )

dt

n ni

ii i

n

i

dwp

dt

W

(1.45)

Donde W es la energía total del sistema.

Si la energía total del sistema W es constante en el tiempo, entonces:

1

0n

ii

p

(1.46)

Que se conoce como Teorema de Tellegen primera forma, y es un planteo alternativo de la

Ley de Conservación de la Energía.

Si consideramos ahora una red con n componentes, cuyas potencias han sido definidas

entrando a cada componente, más una componente externa, a la cual se le define la potencia

saliendo, lo cual se ilustra en la Figura 1.25.

Figura 1.25. Teorema de Tellegen. Segunda Forma.

Aplicando la primera forma del Teorema de Tellegen, para una red de (n+1) componentes, se

tiene:

1

0n

i ei

p p

(1.47)

Y se puede expresar, la segunda forma del teorema, como:

1

n

e ii

p p

(1.48)

we

pe wi

pi



Ejemplo 1.5.

Para las siguientes definiciones de potencias en componentes:

Figura 1.26. Relaciones entre potencias.

Se tiene, aplicando la segunda forma del teorema de Tellegen:

1 2 3 4p p p p (1.49)

Ejemplo 1.6.

Demostrar que para la siguiente red, las ecuaciones LVK y LCK implican la ley de la

conservación de la energía:

Figura 1.27. Conservación de la energía.

Si aplicamos LCK a un pequeño volumen que encierre el punto A, donde están soldadas las

componentes 1 y 2, se tendrá:

1 2 0i i (1.50)

Si aplicamos LCK en B, considerando que la corriente i2 que entra a la componente 2 es

igual a la que sale de esa componente, se tendrá:

2 3 0i i (1.51)

Si aplicamos LVK, recorriendo según reloj, al único circuito de la Figura 1.27, se obtiene:

1 2 3 0v v v (1.52)

w1 p1

w4 p4

w3 p3

w2

p2

w1 p1

w3 p3

w2

p2

i1

v1 v3

i3

i2

v2

A B



Multiplicando (1.52) por i1, y arreglando se logra:

1 1 2 1 3 1v i v i v i (1.53)

El lado izquierdo de (1.53) es p1, la potencia que ingresa a la componente uno; y usando la

primera LCK (1.50), se logra eliminar i1 en (1.53), resulta:

1 2 2 3 2p v i v i (1.54)

Pero v2i2 es la potencia que ingresa a la componente dos, reemplazando esta potencia en

(1.54), y arreglando se obtiene:

1 2 3 2p p v i (1.55)

Usando la segunda LCK (1.51), se reemplaza i2 en términos de i3 en (1.55), y reconociendo

que v3·i3 es la potencia que ingresa a la componente 3, resulta finalmente:

1 2 3 0p p p (1.56)

Aplicando (1.36), en (1.56), se obtiene:

1 2 3( ) 0d

w w wdt

(1.57)

Es decir:

1 2 3 constante( ) ( ) ( )w t w t w t (1.58)

Que es la ley de la conservación de la energía para la red de la Figura 1.27.

Este resultado se demostrará, más adelante, de manera general.

A partir de las Leyes de Conservación de la Carga y de la Energía se pueden demostrar como

teoremas las Leyes de Kirchhoff.

Ejemplo 1.7.

Analizar el balance de energías en la Figura 1.28.



Figura 1.28. Generador y carga.

En la Figura 1.28, se cumplen LCK y LVK, por esta razón se ha identificado una única

variable corriente y un solo voltaje. Aplicando (1.36), se tiene que:

2

1

2

1

( )

( )

( )

( )

dt

dt

dt

dt

w tp

w tp

(1.59)

Si la energía 1w disminuye, la potencia 1p es positiva, y fluye energía eléctrica hacia afuera de

la componente a la izquierda.

Si la energía 2w aumenta, la potencia 2p es positiva, y fluye energía eléctrica hacia el interior

de la componente a la derecha.

Debido a (1.43), se tiene que 1( ) ( ) ( )t v t i tp

Debido a (1.39), se tiene que 2 ( ) ( ) ( )t v t i tp

Lo cual implica que potencia que sale de la componente a la izquierda, debe ser igual a la

que entra a la componente a la derecha.

1 2( ) ( )t tp p (1.60)

Reemplazando (1.60) en (1.59) se obtiene:

1 2 0( ) ( )d d

dt dt

w t w t

(1.61)

La que equivale a:

1 2 constante( ) ( )w t w t (1.62)

a

b

v i

w2

p2

i

w1

p1



La cual implica que si la energía 1w disminuye, entonces 2w aumenta.

Las cargas, dentro de la componente a la izquierda, circulan desde un potencial bajo a uno

alto; mientras que en la componente a la derecha circulan desde un potencial alto a uno bajo.

Ejercicios propuestos

Ejercicio 1.1.

Para la red de la Figura E1.1:

v

i

p pi

Figura E1.1

a) Si p=-3 v = -2 calcular i.

b) Si i=-2 y p=2 calcular v.

c) Si p=4 calcular pi.

d) Con i=1 y v=2 calcular p.

Ejercicio 1.2.

v1

i

p

v2

Figura E1.2

a) Si v1=v2 calcular p

b) Si v1=2, v2=4 y p=4 calcular i.

c) Si i=-2, p=5 y v1=0 calcular v2.

d) Calcular i en términos de v1, v2 y p.



Índice general

CAPÍTULO 1 .............................................................................................. 1

CONCEPTOS BASICOS ............................................................................ 1

1.1. DEFINICIONES ................................................................................................................ 1 1.2. COMPONENTES Y VARIABLES ....................................................................................... 1 1.3. SISTEMAS DE REFERENCIA PARA MEDIR POSICIONES .................................................... 2 1.4. VOLTÍMETROS Y AMPERÍMETROS ................................................................................. 4

Ejemplo 1.1. ..................................................................................................................... 6 1.5. LEY DE CONSERVACIÓN DE LA CARGA .......................................................................... 7

Ejemplo 1.2. ..................................................................................................................... 8 1.6. LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF (LCK) .................................................................. 9 1.7. CONCEPTO DE VOLTAJE EN FUNCIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO ...................................... 9

Ejemplo 1.3. ................................................................................................................... 14 1.8. LEY DE VOLTAJES DE KIRCHHOFF ............................................................................... 14 1.9. POTENCIA Y ENERGÍA EN UNA COMPONENTE .............................................................. 15

Ejemplo 1.4. ................................................................................................................... 17 1.10. TEOREMAS DE TELLEGEN .......................................................................................... 18

Ejemplo 1.5. ................................................................................................................... 20 Ejemplo 1.6. ................................................................................................................... 20 Ejemplo 1.7. ................................................................................................................... 21

EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................... 23 Ejercicio 1.1. .................................................................................................................. 23 Ejercicio 1.2. .................................................................................................................. 23

ÍNDICE GENERAL ................................................................................................................ 24 ÍNDICE DE FIGURAS. ........................................................................................................... 24

Índice de figuras.

Figura 1.1. Componente de dos terminales. ................................................................................. 2 Figura 1.2. Referencia para posiciones en el espacio. .................................................................. 2 Figura 1.3. Otro sistema de referencia.......................................................................................... 3 Figura 1.4. Distancia entre objetos. .............................................................................................. 3 Figura 1.5. Referencias para distancias. ....................................................................................... 4 Figura 1.6. Conexiones de instrumentos. ..................................................................................... 4 Figura 1.7. Otra forma de medir variables. .................................................................................. 5 Figura 1.8. Variables de la componente. ...................................................................................... 5 Figura 1.9. Otros símbolos para la polaridad. .............................................................................. 6 Figura 1.10. Referencias para variables. ...................................................................................... 7 Figura 1.11. Conservación de la carga. ........................................................................................ 7 Figura 1.12. Neutralidad de carga. ............................................................................................... 8 Figura 1.13. Componente con carga total cero. ............................................................................ 9 Figura 1.14. Relación entre voltaje y campo eléctrico. .............................................................. 10



Figura 1.15. Fuerzas sobre la carga. ........................................................................................... 11 Figura 1.16. Energías.................................................................................................................. 12 Figura 1.17. Voltajes en un camino cerrado. .............................................................................. 13 Figura 1.18. Suma de voltajes. ................................................................................................... 14 Figura 1.19. Energía w en una componente. .............................................................................. 15 Figura 1.20. Conservación de la energía. ................................................................................... 15 Figura 1.21. Varios flujos de energía. ........................................................................................ 16 Figura 1.22. Referencia para la potencia que ingresa. ................................................................ 16 Figura 1.23. Potencia que sale de la componente. ...................................................................... 17 Figura 1.24. Potencia que sale. Convenio generador. ................................................................ 18 Figura 1.25. Teorema de Tellegen. Segunda Forma. ................................................................. 19 Figura 1.26. Relaciones entre potencias. .................................................................................... 20 Figura 1.27. Conservación de la energía. ................................................................................... 20 Figura 1.28. Generador y carga. ................................................................................................. 22 Figura E1.1 .................................................................................................................................. 23 Figura E1.2 .................................................................................................................................. 23

conceptos basicosramos.elo.utfsm.cl/~lsb/elo102/aplicaciones/aplicaciones/clases/c1.… · lo que...

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