concursul de matematicĂ „olimpic pentru o zi” ediŢia a...
TRANSCRIPT
SCOALA GIMNAZIALA TITU MAIORESCU
CONCURSUL DE MATEMATICĂ
„OLIMPIC PENTRU O ZI”
EDIŢIA a XVII – a
Iaşi – 16 noiembrie 2019
Subiecte clasa a V – a
Subiectul I (30 puncte)
Fie numerele: 𝑎 = 37 × 16 𝑏 = 2019 − 1392 𝑐 = 2019 ∶ 3.
a) Aflați cu cât este mai mare o treime din numărul b , față de un sfert din numărul a.
b) Aflați numărul natural x care verifică relația:
(𝑐 − 𝑏) ∶ 𝑥 + 590 = 𝑎, unde a , b , c sunt numerele de mai sus.
Subiectul II (30 puncte)
a) Determinați cel mai mic și cel mai mare număr natural de două cifre care
împărțite la 25 dau câtul număr natural par și ca rest un număr natural pătrat perfect.
b) Determinați toate numerele naturale de două cifre care, în urma împărțirii la
25, dau un cât număr natural și ca rest un număr natural pătrat perfect.
c) Arătați că oricum am alege șase numere din cele obținute la punctul b) , există
măcar două care dau același rest la împărțirea la 25.
Subiectul III (30 puncte)
Într-o parcare, locurile sunt numerotate cu numerele 1, 2, 3, . . . , n , în parcare
fiind 25 de rânduri a câte 21 de locuri fiecare. Numerotarea pe fiecare rând este
făcută de la stânga la dreapta , iar parcarea mașinilor se face cu fața spre primul rând.
Mihai parchează mașina pe rândul din mijloc al parcării și observă că, pe rândul
său, numărul de locuri din dreapta reprezintă o treime din numărul de locuri din
stânga.
a) Aflați numărul total n al locurilor din parcare.
b) Determinați numărul locului din parcare pe care este parcată m așina lui Mihai.
c) La plecarea din parcare, Mihai observă că locurile cu numerele 9, 18, 27, 36, . . .
sunt marcate cu verde. Aflați ce numere au locurile de pe rândul din mijloc, marcate
cu verde.
Notă:
Toate subiectele sunt obligatorii.
Timpul efectiv de lucru este de 2 ore.
Se acordă 10 puncte din oficiu.
SCOALA GIMNAZIALA TITU MAIORESCU
SCOALA GIMNAZIALA TITU MAIORESCU
CONCURSUL DE MATEMATICĂ
„OLIMPIC PENTRU O ZI”
EDIŢIA a XIV – a
Iaşi – 16 noiembrie 2019
Barem clasa a V – a
Subiectul I (30 puncte)
Fie numerele: 𝑎 = 37 × 16 𝑏 = 2019 − 1392 𝑐 = 2019 ∶ 3.
a) Aflați cu cât este mai mare o treime din numărul b , față de un sfert din numărul a.
b) Aflați numărul natural x care verifică relația:
(𝑐 − 𝑏) ∶ 𝑥 + 590 = 𝑎, unde a , b , c sunt numerele de mai sus.
Calculează 𝑎 = 592, 𝑏 = 627, 𝑐 = 673. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15p
𝑏 ∶ 3 − 𝑎 ∶ 4 = 61. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9p
𝑥 = 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6p
Subiectul II (30 puncte)
a) Determinați cel mai mic și cel mai mare număr natural de două cifre care
împărțite la 25 dau câtul număr natural par și ca rest un număr natural pătrat perfect.
b) Determinați toate numerele naturale de două cifre care, în urma împărțirii la
25, dau un cât număr natural și ca rest un număr natural pătrat perfect.
c) Arătați că oricum am alege șase numere din cele obținute la punctul b) , există
măcar două care dau același rest la împărțirea la 25.
a) 𝑎𝑏̅̅ ̅ = 25 ∙ 𝑐 + 𝑛, unde 𝑐 = 0 sau 𝑐 = 2 și 𝑛 = 0, 1, 4, 9, 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p
Cel mai mic număr este 25 ∙ 0 + 16 = 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p
Cel mai mare număr este 25 ∙ 2 + 16 = 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p
b) 𝑎𝑏̅̅ ̅ = 25 ∙ 𝑐 + 𝑛, unde 𝑐 = 0, 𝑐 = 1, 𝑐 = 2 sau 𝑐 = 3 și 𝑛 = 0, 1, 4, 9, 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p
Obține numerele 16, 25, 26, 29, 34, 41, 50, 51, 54, 59, 66, 75, 76, 79, 84, 91... . . . . . . .8p
c) Sunt 5 valori posibile ale restului (pătrat perfect mai mic decât 25).. . . . . . . . . . . . . . . . . .2p
Finalizare .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
SCOALA GIMNAZIALA TITU MAIORESCU
Subiectul III (30 puncte)
Într-o parcare, locurile sunt numerotate cu numerele 1, 2, 3, . . . , n , în parcare
fiind 25 de rânduri a câte 21 de locuri fiecare. Numerotarea pe fiecare rând este
făcută de la stânga la dreapta , iar parcarea mașinilor se face cu fața spre primul rând.
Mihai parchează mașina pe rândul din mijloc al parcării și observă că, pe rândul
său, numărul de locuri din dreapta reprezintă o treime din numărul de locuri din
stânga.
a) Aflați numărul total n al locurilor din parcare.
b) Determinați numărul locului din parcare pe care este parcată mașina lui Mihai.
c) La plecarea din parcare, Mihai observă că locurile cu numerele 9, 18, 27, 36, . . .
sunt marcate cu verde. Aflați ce numere au locurile de pe rândul din mijloc, marcate
cu verde.
a) Numărul total de locuri este 𝑛 = 25 ∙ 21 = 525............................................................................5p
b) Observă că Mihai parchează pe rândul 13 .................................................................................... 3p
La dreapta sunt (21 − 1) ∶ 4 = 5 locuri, iar la stânga sunt 5 ∙ 3 = 15 locuri ..................................... 8p
Numărul locului pe care parchează Mihai este 12 ∙ 21 + 15 + 1 = 268..............................................4p
c) Pe rândul 13 locurile sunt numerotate cu 253, 254, ..., 273.............................................................5p
Sunt marcate cu verde locurile cu numerele 261, 270 ...........................................................................5p
SCOALA GIMNAZIALA TITU MAIORESCU
A B E
G F
D C
M N
P Q
CONCURSUL DE MATEMATICĂ
„OLIMPIC PENTRU O ZI”
EDIŢIA a XVII – a
Iaşi – 16 noiembrie 2019
Subiecte clasa a VI – a
SUBIECTUL I (30p)
1. Determinați numerele naturale de forma știind că sunt îndeplinite simultan condițiile:
și .
2. Calculați pătratul numărului , unde .
Subiectul II (30p)
1. Comparați numerele: și
.
2. Fie numerele și .
Calculați .
Subiectul III (30p)
1. Fie A, B și C puncte coliniare în această ordine, astfel încât . Dacă
, iar M și N sunt mijloacele segmentelor AB și respectiv BC, determinați lungimea
segmentului MN.
2. Un gospodar are un teren în formă de dreptunghi conform figurii alăturate, cu dimensiunile de , respectiv . Pătratul ABCD cu latura de reprezintă
casa, iar dreptunghiul MNPQ o alee de acces lată de și restul
suprafeței terenului este acoperit cu gazon. Știind că rulou de gazon
costă , aflați cât îl va costa pe gospodar acoperirea suprafeței cu
gazon, conform schiței. Notă:
Toate subiectele sunt obligatorii.
Se acordă 10 puncte din oficiu.
Timp de lucru 2 ore.
CONCURSUL DE MATEMATICĂ
„OLIMPIC PENTRU O ZI”
EDIŢIA a XVII – a
Iaşi – 16 noiembrie 2019
Barem clasa a VI – a
Subiectul I (30 puncte) Rezolvare
1. 3 puncte
2 puncte
1 punct
6 puncte
Finalizare: numerele sunt 256, 536 și 816. 3 puncte
TOTAL 15 puncte
2. 6 puncte
3 puncte
2 puncte
1 punct
Finalizare: 3 puncte
TOTAL 15 puncte
Subiectul II (30 puncte) Rezolvare
1. 3 puncte
2 puncte
3 puncte
2 puncte
2 puncte
2 puncte
Finalizare: 1 punct
TOTAL 15 puncte
ȘȘccooaallaa GGiimmnnaazziiaallăă „„TTiittuu
MMaaiioorreessccuu”” IIaașșii
2. 5 puncte
3 puncte
1 punct
1 punct
1 punct
1 punct
Finalizare: 3 puncte
TOTAL 15 puncte
Subiectul III (30 puncte) Rezolvare
1. Realizarea configuraţiei 2 puncte
2 puncte
2 puncte
2 puncte
Finalizare: 2 puncte
TOTAL 10 puncte
2. 3 puncte
3 puncte
2 puncte
3 puncte
3 puncte
3 puncte
Finalizare: preț gazon = 3 puncte
TOTAL 20 puncte
SCOALA GIMNAZIALA TITU MAIORESCU
CONCURSUL JUDEŢEAN DE MATEMATICĂ
“OLIMPIC PENTRU O ZI”
EDIŢIA a XVII-a – 16.11.2019
Subiect clasa a VII – a
Subiectul I (30p)
1. Fie numerele raţionale:
a=
b=[(-n)0+84n+1:163n+6 2710:(-3)28]63
c=( )54, unde n este un număr natural nenul.
a) Calculaţi a,b,c.
b) Arătaţi că numărul raţional este negativ.
2. Rezolvaţi ecuaţia:
4 -(-1)n+1=5 (-1)n+2-(-3)2 (-2)3, unde n este număr natural.
Subiectul II (30p)
1. Din staţia “Orizont” pleacă în acelaşi timp trei microbuze. Unul revine în staţie din 30 în 30 minute, al doilea
din 45 în 45 minute, iar al treilea din 72 în 72 minute. După cât timp se întâlnesc din nou în staţie cele trei
microbuze?
2. Un pachet de bomboane a fost împărţit în părţi invers proporţionale cu numerele 20, 10, respectiv 12. Unul
dintre copii observă că a primit mai puţin cu 90 de bomboane decât ar fi primit dacă acelaşi pachet de
bomboane s-ar împărţi în părţi direct proporţionale cu numerele 0,1, 0,2, respectiv 0,(3). Câte bomboane au
fost în pachet?
Subiectul III (30p)
În triunghiul isoscel ABC cu AB=AC, [BE] este înălţimea corespunzătoare laturii [AC].Se prelungeşte segmentul [BE] cu
segmentul [EF] [BE]. Fie [AD bisectoarea unghiului , D [BC] şi {P}=AD CF. Demonstraţi că:
a) Triunghiul ACF este isoscel;
b) Triunghiurile ABC şi AFC sunt congruente;
c)
d) Dacă , aflaţi .
NOTĂ
Toate subiectele sunt obligatorii.
Timp de lucru 2 ore.
Se acordă 10 puncte din oficiu.
CONCURSUL DE MATEMATICĂ
„OLIMPIC PENTRU O ZI”
EDIŢIA a XVII – a
Iaşi – 16 noiembrie 2019
Barem clasa a VII – a
Subiectul I (30 puncte)
Rezolvare
1.a)
b)
𝑎 =1
1 ∙ 2+
1
2 ∙ 3+
1
3 ∙ 4+. . . +
1
2019 ∙ 2020 2 puncte
𝑎 =1
1−
1
2+
1
2−
1
3+
1
3−
1
4+ ⋯ +
1
2019−
1
2020 2 puncte
Finalizare: 𝑎 =2019
2020 1 punct
𝑏 = [1 + 212𝑛+3: 212𝑛 + 6 ∙ 330: 328]63 2 puncte
𝑏 = [1 + 23 + 6 ∙ 32]63 2 puncte
Finalizare: 𝑏 = 6363 1 punct
𝑐 = (232: 225 + 1)54 3 puncte
Finalizare: 𝑐 = (27 + 1)54 2 puncte
6363 < 6463 = (26)63=(27)54 < (27 + 1)54 3 puncte
𝑏 < 𝑐 ⇒ 𝑏 − 𝑐 < 0 și 𝑎 > 0 ⇒ 𝑏−𝑐
𝑎< 0 2 puncte
TOTAL 20 puncte
2. 4𝑥 − (−1)𝑛 ∙ (−1)1 = 5(−1)𝑛 ∙ (−1)2 − 9 ∙ (−8) ∙ 1 2 puncte
4𝑥 + (−1)𝑛 = 5(−1)𝑛 + 72 2 puncte
4𝑥 = 4(−1)𝑛 + 72 2 puncte
Dacă n par atunci 𝑥 = 19 iar dacă n impar atunci 𝑥 = 17 4 puncte
TOTAL 10 puncte
Subiectul II (30 puncte)
Rezolvare
1. Descopune numerele în produs de factori primi 3 puncte
Observă că microbuzele se întâlnesc din nou după un număr de minute egal cu 3 puncte
c.m.m.m.c. al numerelor date
Calculează c.m.m.m.c. 4 puncte
TOTAL 10 puncte
2. Notează numărul de bomboane din pachet (ex. S) și numărul de bomboane primite
de fiecare copil în ambele cazuri (ex. a,b,c în primul caz și x,y,z în al doilea caz) 2 puncte
Scrie relația: 𝑎1
20
=𝑏1
10
=𝑐1
12
=𝑆
14
60
3 puncte
Obține: 𝑎 =3𝑆
14, 𝑏 =
6𝑆
14, 𝑐 =
5𝑆
14 3 puncte
Scrie relația: 𝑥1
10
=𝑦1
5
=𝑧1
3
=𝑆
19
30
3 puncte
Obține: 𝑥 =3𝑆
19, 𝑦 =
6𝑆
19, 𝑧 =
10𝑆
19 3 puncte
Compară și obține 𝑎 > 𝑥, 𝑏 > 𝑦 și𝑐 < 𝑧 și 𝑧 − 𝑐 = 90 3 puncte 10𝑆
19−
5𝑆
14= 90 2 puncte
Finalizare: 𝑆 = 532 1 punct
TOTAL 20 puncte
Subiectul III (30 puncte)
Rezolvare
a) Realizarea configuraţiei 4 puncte
Demonstrează că triunghiul ABF este isoscel (AE înălțime și mediană), AB=AF 4 puncte
AB=AF, AB=AC ⇒ 𝐴𝐶 = 𝐴𝐹 ⇒ ∆𝐴𝐶𝐹 isoscel 2 puncte
b) Î𝑛 ∆𝐴𝐵𝐹 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙, [𝐴𝐸 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑎𝑟𝑒 ⇒ 𝑚(∢𝐵𝐴𝐸) = 𝑚(∢𝐸𝐴𝐹) 3 puncte
∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐴𝐹𝐶 (𝐿. 𝑈. 𝐿. ) 3 puncte
c) Î𝑛 ∆𝐵𝐶𝐹: 𝐷𝐸 𝑙𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑚𝑖𝑗𝑙𝑜𝑐𝑖𝑒 4 puncte
𝐷𝐸 =𝐹𝐶
2 3 puncte
d) 𝑚(∢𝐷𝐴𝐶) = 20°, 𝑚(∢𝐶𝐴𝐹) = 40°, 𝑚(∢𝐴𝐹𝐵) = 50°, 𝑚(∢𝐸𝐹𝐶) = 20° 4 puncte
𝑚(∢𝐴𝑃𝐶) = 50° 3 puncte
TOTAL 30 puncte
SCOALA GIMNAZIALA TITU MAIORESCU
A B
C
D
E
F
M
N
CONCURSUL DE MATEMATICĂ
„OLIMPIC PENTRU O ZI”
EDIŢIA a XVII – a
Iaşi – 16 noiembrie 2019
Subiecte clasa a VIII – a
SUBIECTUL I (30p)
1. Dacă x+1
x=4, , calculaţi
2
2
1x
x ,
4
4
1x
x și
1x
x .
2. Se consideră numerele reale nenule x și y , unde
3 27 405 3 63
80 2 28 48x
și
1 1 1 1...
1 18 2 27 3 36 24 225y
a) Calculați x și y ;
b) Aflați media geometrică a numerelor x și 2y .
Subiectul II (30p)
1. Calculați valoarea expresiei: 24433169 22 xyyxE ştiind că x-y-5=0 si -3<y<2.
2. În trapezul isoscel ABCD , , și .
a) Aflați perimetrul trapezului ABCD;
b) Dacă , calculați aria triunghiului .
Subiectul III (30p)
În ABC cu construim AD BC , DE AB și
DF AC ( [ ], [ ], [ ])D BC E AB F AC și considerǎm M și N
mijloacele laturilor [ ]AB , respectiv [ ]AC .
Demonstraţi cǎ:
a) ( ) ( )AD EF ;
b) MD ND ;
c) DF AB DE AC .
Notă:
Toate subiectele sunt obligatorii.
Se acordă 10 puncte din oficiu.
Timp de lucru 2 ore.
CONCURSUL DE MATEMATICĂ
„OLIMPIC PENTRU O ZI”
EDIŢIA a XVII – a
Iaşi – 16 noiembrie 2019
Barem clasa a VIII – a
Subiectul I (30 puncte)
Rezolvare
1. Calculează (𝑥 +
1
𝑥)
2
=16 3 puncte
Deduce 2
2
1x
x =14 2 punct
Calculează
212
1962x
x
1 punct
Deduce 4
4
1x
x =194 1 punct
Calculează 2
16x
x 1 punct
Deduce 1
xx
= 6 2 punct
TOTAL 10 puncte
2. 𝑥 =
9√3 + 9√5 − 9√7
4√5 − 4√7 + 4√3 5 puncte
𝑥 =9(√3 + √5 − √7)
4(√5 − √7 + √3) 4 punct
𝑥 =9
4 1 puncte
1
1 ∙ 18+
1
2 ∙ 27+
1
3 ∙ 36+. . . +
1
24 ∙ 225=
1
9∙ (
1
1 ∙ 2+
1
2 ∙ 3+
1
3 ∙ 4+. . . +
1
24 ∙ 25) 2 puncte
1
1 ∙ 2+
1
2 ∙ 3+
1
3 ∙ 4+. . . +
1
24 ∙ 25= 1 −
1
25=
24
25 2 punct
𝑦 = √1
9∙
24
25= √
8
75=
2√6
15 1 puncte
𝑚𝑔(𝑥, 𝑦2) = √9
4∙
8
75= √
6
25=
√6
5 5 puncte
TOTAL 20 puncte
Subiectul II (30 puncte)
Rezolvare
1. Înlocuiește y=x-5 în expresiile celor doi radicali 3 puncte
Obține E= 3 1 3 7x x 5 puncte
Deduce că 2 < 𝑥 < 7 3 puncte
Finalizare E=22 4 puncte
TOTAL 15 puncte
2.a)
b)
Figura geometrică 2 puncte
Calculează 𝐵𝐶 = 8 𝑐𝑚 3 puncte
Calculează 𝐶𝐷 = 8 𝑐𝑚 3 puncte
Calculează perimetrul trapezului 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷 = 40 𝑐𝑚 3 puncte
Demonstrează că ∆𝐴𝐵𝑀 este echilateral 2 puncte
Calculează aria triunghiului 𝐴∆𝐴𝐵𝐶 = 64√3 𝑐𝑚2 2 puncte
TOTAL 15 puncte
Subiectul III (30 puncte)
Rezolvare
a) Demonstrează că AEDF este dreptunghi 5 puncte
Finalizare: 5 puncte
b) 𝑚(∢𝑁𝐷𝑀) = 𝑚(∢𝑁𝐷𝐴) + 𝑚(∢𝐴𝐷𝑀) 2 puncte
DN mediană în triunghiul ADC, DN=AN, ∢𝑁𝐴𝐷 ≡ ∢𝑁𝐷𝐴 3 puncte
DM mediană în triunghiul ADB, DM=AM, ∢𝐴𝐷𝑀 ≡ ∢𝐷𝐴𝑀 3 puncte
Finalizare: 𝑚(∢𝑀𝐷𝑁) = 𝑚(∢𝑁𝐴𝐸) = 90° ⟹ 2 puncte
c) Aplică teorema catetei în triunghiurile ADB și ADC 4 puncte
𝐴𝐷2 = 𝐴𝐸 ∙ 𝐴𝐵 = 𝐷𝐹 ∙ 𝐴𝐵
𝐴𝐷2 = 𝐴𝐹 ∙ 𝐴𝐶 = 𝐷𝐸 ∙ 𝐴𝐶 4 puncte
Finalizare: 2 puncte
TOTAL 30 puncte
( ) ( )AD EF
MD ND
DF AB DE AC