conjuntos 3
TRANSCRIPT
Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul 1
Curso: SEG. DO TRABALHO / TEC. INFORMÀTICA
Disciplina: Matemática Data: / /
Modalidade: Integrado. Turma: 1° Ano
Turno: matutino
Professor: LUIZ J DA SILVA
Estudante: No
NOÇÕES DE CONJUNTOS
1. PRIMEIROS CONCEITOS
1.1 CONCEITOS PRIMITIVOS
O conceito de CONJUNTO é PRIMITIVO, ou seja,
NÃO DEFINIDO. Um cacho de bananas, um cardume
de peixes ou uma porção de livros, são todos exemplos
de conjuntos de coisas.
Convém notar que, em não se adotando uma
definição matemática de CONJUNTO, recaímos no
caso análogo da GEOMETRIA EUCLIDIANA, no qual,
sem darmos uma definição para PONTO, RETA e
PLANO, estamos interessados em saber o que
podemos e o que não podemos fazer com esses entes
geométricos. O mesmo se dá, portanto, aqui na
TEORIA DOS CONJUNTOS.
1.2 NOTAÇÕES
Quanto à notação dos conjuntos estabelecemos
três formas, entre as usuais, de apresentar um
conjunto.
a) Conjunto determinado pela designação de
seus elementos.
É o caso em que o conjunto é dado pela
enumeração de seus elementos. Indicamo-lo
escrevendo os seus elementos entre chaves e
separando-os, dois a dois, por uma vírgula.
Exemplos:
b) Conjunto determinado pela propriedade de
seus elementos.
Conhecida uma propriedade P que caracterize os
elementos de um conjunto A, este fica bem
determinado.
O termo “propriedade P que caracteriza os
elementos de um conjunto A” significa que dado
um elemento x qualquer temos:
x A, se e somente se, x satisfaz P.
x A, se e somente se, x não satisfaz P.
Exemplos:
c) Conjunto determinado pelo diagrama de Venn-
Euler.
O diagrama de Venn-Euler consiste em
representar o conjunto através de um círculo de tal
forma que seus elementos e somente eles estejam
no círculo.
Se A = {a, e, i, o, u}, então
2. CONJUNTO VAZIO
Seja A um conjunto. Se para todo elemento x, x
A, dizemos que A é um conjunto que não possui
elementos. Chamamo-lo CONJUNTO VAZIO e o
indicamos pela letra do alfabeto norueguês.
e a
o i
u
A = x, x A
Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul 2
3. RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
Para indicar o relacionamento entre elemento e
conjunto.
Exemplos:
4. SUBCONJUNTO OU PARTE RELAÇÃO DE
INCLUSÃO
4.1 DEFINIÇÃO
Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de
A é também elemento de B, dizemos que A é um
SUBCONJUNTO ou PARTE de B e indicamos por
A B.
Em símbolos:
Por outro lado, A B significa que A NÃO é um
SUBCONJUNTO (PARTE) de B.
Portanto, A B se, e somente se, existe, pelo
menos, um elemento de A que não é elemento de B.
Em símbolos:
Exemplo:
1. {2, 4} {2, 3, 4}
2. {2, 3, 4} {2, 4}
3. {5, 6} {5, 6}
4.2 RELAÇÃO DE INCLUSÃO
A definição de SUBCONJUNTO nos dá um
relacionamento entre dois conjuntos que recebe o
nome de RELAÇÃO DE INCLUSÃO.
A RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA () e a Relação
de Inclusão () são conceitualmente muito diferentes.
Enquanto a INCLUSÃO é REFLEXIVA, a
PERTINÊNCIA já não o é, ou seja, A A é sempre
verdadeira e A A é sempre falsa.
Apesar disso, a INCLUSÃO e a PERTINÊNCIA se
interligam segundo o que se segue:
01. Sendo A = {a, {b}, , {1, 2}}, conclui-se que:
(01) a A
(02) {b} A
(04) {a, b} A
(08) A
(16) {1, 2} A
02. Assinale os itens verdadeiros.
(01) {2} {0, 1, 2}
(02) {1, 2} {0, 1, 2}
(04) {{1}, 2} {0, 1, 2}
(08) {{1}, 2} {0, 2, {1}, {2}}
(16) {{1}, 2} {0, {1,2}}
(32) {0, 1, 2}
EXERCÌCIO DE SALA
a) x A {x} A
b) x A {x} A
A B (x) (x A e x B)
A B (x) (x A x B)
Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul 3
5. IGUALDADE DE CONJUNTOS
Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é
IGUAL a B e indicamos por A = B se, e somente se, A
é subconjunto de B e B é também subconjunto de A.
Em símbolos:
Segue da definição que dois conjuntos são iguais
se, e somente se, possuem os mesmos elementos.
Por outro lado, A B significa que A é diferente
de B. Portanto, A B se e somente se, A não é
subconjunto de B ou B não é subconjunto de A.
Em símbolos:
6. CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO
6.1 DEFINIÇÃO
Dado um conjunto A podemos construir um novo
conjunto formado por todos os subconjuntos (partes) de
A. Esse novo conjunto chama-se CONJUNTO DOS
SUBCONJUNTOS (OU DAS PARTES) DE A e é
indicado por IP (A).
Em símbolos:
Assim sendo,
Exemplos:
1. A = {2, 4, 6}
IP(A) = {,{2}, {4},{6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, A}
2. B = {3, 5}
IP(B) = {, {3}, {5}, B}
6.2 TEOREMA
“Se A tem k elementos, então IP(A) tem 2k
elementos”.
6.3 PROPRIEDADES
Seja um conjunto qualquer. Valem as seguintes
propriedades:
01. Sabendo-se que um conjunto A possui 1024
subconjuntos, quantos elementos possui o
conjunto A?
02. Julgue as proposições:
(01) O cardinal do conjunto {5, {5}, {5, 5}} é 2.
(02) O cardinal do conjunto {x; x = (-1)n e
n N} é 2.
(04) Sendo P(M) = {, {1}, {2}, {1, 2}} então M
= {1, 2, }.
(08) Sendo A = {x Z; -2 x < 3}, o número
de subconjuntos de P(A) é 232
.
(16) Se a e b são números reais quaisquer e
M = {a, b, {a}, {b}, {a, b}} então
n(M) = 5 ou n(M) = 2.
A = B A B e B A
A B A B ou B A
IP(A) = {x | x A}
x IP(A) x A
1. A IP(A)
2. IP(A)
3. Se A tem k elementos, então A possui 2k
subconjuntos.
EXERCÍCIO DE SALA
Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul 4
03. Sendo A = {1, 2, {2, 3}, }. Conclui-se que:
(01) {2} P(A)
(02) P(A)
(04) {2, 3} P(A)
(08) {{2, 3}} P(A)
(16) {} P(A)
(32) {2, 3} P(A)
04. Sobre os conjuntos numéricos, pode-se afirmar :
(01) A soma de dois racionais é sempre um
racional
(02) O produto de dois irracionais é sempre
irracional
(04) A soma de um inteiro com fracionário
nunca pode ser inteiro
(08) Se x N e y Z , então x.y Z
(16) Se x Q e y Q’ , então x.y Q’
(32) O quociente de dois racionais sempre é
racional
(64) -0,212223... é um número racional
05. Dados os conjuntos A = { 1, 2, {2}, 3, {3,4}, {a}}
B = { {2, {a}, 4}
C= {1,2}
D = {{3,4}}
E = {a}
Classificar em verdadeiro ou falso as proposições:
a) {2} є A b) 2 є A
c) {{2}} є A d) {3, 4} є A
e) a A f) {a} є A
g) C є A h) E є A
i) D є A j) B A
k) C A l) D A
m) {E} A n) B C
o) {E} B p) E C
q) Φ A Φ Φ
7. OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
7.1 REUNIÃO OU UNIÃO
Dados dois conjuntos A e B, chama-se REUNIÃO
(ou UNIÃO) de A e B, e se indica por A B, ao
conjunto formado pelos elemento de A ou de B. Em
símbolos:
Exemplos:
1. {2, 3} {4, 5, 6} = {2, 3, 4, 5, 6}
2. {2, 3, 4} {3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5}
3. {2, 3} {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}
4. {a, b} = {a, b}
7.2 INTERSECÇÃO
Dados dois conjuntos A e B, chama-se
INTERSECÇÃO de A e B, e se indica por A B, ao
conjunto formado pelos elementos de A e de B.
Em símbolos:
A B = {x | x A ou x B}
A B = {x | x A e x B}
B A
A B
Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul 5
Exemplos:
1. {2, 3, 4} {3, 5} = {3}
2. {1, 2, 3} {2, 3, 4} = {2, 3}
3. {2, 3} {1, 2, 3, 4} = {2, 3}
4. {2, 4} {3, 5, 7} =
7.3 SUBTRAÇÃO
Dados dois conjuntos A e B, chama-se
DIFERENÇA entre A e B, e se indica por A B, ao
conjunto pelos elementos que são de A e não
são de B.
Em símbolos:
O conjunto A B é também conhecido por
CONJUNTO COMPLEMENTAR DE B EM RELAÇÃO
a A e, para tal, usa-se a notação CA B. Portanto:
Exemplos:
1. A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2}
CA B = A B = {1, 3} e CB A = B A =
Observação :
Exemplos:
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então:
1. A = {2, 3, 4} A = {0, 1, 5, 6}
2. B = {3, 4, 5, 6} B = {0, 1, 2}
3. C = C = S
8. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO
FINITO
Seja A um conjunto com um número finito de
elementos. Indicaremos por n(A) o NÚMERO DE
ELEMENTOS DE A.
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. valem as
seguintes propriedades:
1. B A n(A B) = n(A) n(B)
2. n(A B) = n(A) n(A B)
3. A B = n(A B) = n(A) + n(B)
4. n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)
5. n(A) = k n [IP(A)] = 2k
A B = {x | x A e x B}
B A
A B
CA B = A B{x | x A e x B}
X S X = S - X = C XS
B A
A B
S
X
X
Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul 6
01. Com os seguintes conjuntos :
A = { -1, 2, 3}
B = { 0, -1}
C = { 2, 3, 5} e todos no conjunto universo
U = {-1, 0, 2, 3, 4, 5}. Determine
a) (A C) - B
b) A - B
c) ( A B) C
d) A ( B C)
e) (A B) - C
02. Dados os três conjuntos finitos A, B e C,
determinar o número de elementos de
A (B C) , sabendo-se:
a) A B tem 26 elementos.
b) A C tem 10 elementos.
c) A B C tem 7 elementos.
03. Numa escola mista existem 42 meninas, 24
crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e 9
meninas ruivas. Pergunta-se:
a) quantas crianças existem na escola?
b) quantas crianças são meninas ou são
ruivas?
04. (UFBA) No colégio A fez-se uma pesquisa entre
os alunos, com duas perguntas apenas: Gosta de
futebol? Gosta de cinema? 75 alunos
responderam sim a primeira pergunta e 86
responderam sem a segunda pergunta, sen do
que 23 responderam sim às duas; 42 alunos
responderam não as duas perguntas. Conclui-se
que o colégio A tem:
05. (UNEB) Em um vestibular 80 alunos acertaram
pelo menos uma questão entre as questões nº 1
e nº 2. sabe-se que 70 deles acertaram a
questão nº 1 e 50 a questão nº 2. O número de
alunos que acertaram ambas as questões é
igual a:
06. (UFBA) Uma pesquisa realizada com um grupo
de pessoas revelou a seguinte preferência pelas
revistas A, B e C.
109 lêem a revista A;
203 lêem a revista B;
162 lêem a revista C;
025 lêem a revista A e B;
041 lêem as revistas B e C;
028 lêem as revistas A e C;
005 lêem as três revistas;
115 não lêem revista.
Das informações conclui-se:
(01) 500 pessoas foram consultadas.
(02) 051 pessoas lêem somente a revista A.
(04) 176 pessoas não lêem as revistas B ou C.
(08) 094 pessoas pelo menos duas revistas.
(16) 223 pessoas lêem as revistas A ou B e
não lêem a revista C.
EXERCÍCIOS DE SALA
Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul 7
9. INTERVALOS NUMERICOS
Chama-se intervalo numérico ao conjunto de todos
os números reais, limitados por dois outros.
Representaremos o conjunto R por um eixo orientado e
temos dois números quaisquer a e b com a < b
INTERVALO FECHADO
( a x b) ou [a,b]
INTERVALO ABERTO
( a < x < b ) ou ]a,b[
INTERVALO FECHADO À ESQUERDA
( a x < b) ou [a,b[
INTERVALO FECHADO À DIREITA
( a < x b) ou ]a,b]
01. (UnB) Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o
número máximo de subconjuntos distintos é:
a) 21
b) 128
c) 64
d) n.d.a.
02. (PUC) Para os conjuntos A = {a} e B = {a, {A}}
podemos afirmar:
a) B A
b) A = B
c) A B
d) a = A
e) {A} B
03. (OSEC) Dados os conjuntos A = {a, b, c},
B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e} o conjunto:
(A C) (C B) (A B C) é:
a) {a, b, c, e}
b) {a, c, e}
c) A
d) {b, d, e}
e) {a, b, c, d}
04. (PUC) Sabendo-se que A e B são subconjuntos
de U, A B = {c, d}, A B = {a, b, c, d, e, f} e
U
A
C {e,f , g, h, i}, então:
a) n(A) = 2 e n(B) = 4
b) n(A) = 4 e n(B) = 2
c) n(A) = 3 e n(B) = 3
d) n(A) = 4 e n(B) = 4
e) n(A) = 1 e n(B) = 5
05. (Londrina) Sendo A = {; a; {b}} com
{b} a b , então:
a) {; {b}} A
b) {; {a}} A
c) {{a}; {b}} A
d) {; b} A
e) {a; b} A
06. (Cesgranrio) Sejam M, N e P conjuntos.
Se M N = {1, 2, 3, 5} e M P = {1, 3, 4}, então
M N P é:
a)
b) {1, 2, 3, 5}
c) {1, 3}
d) {1, 2, 3, 4, 5}
e) {1, 3, 4}
EXECÍCIOS DE CASA
Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul 8
07. (Objetivo) o número dos conjuntos X que
satisfazem: {1; 2} X {1, 2, 3, 4} é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
08. (Londrina) Se A = {1}, B = {0; 1} e E = {0; 1; 2}
então (A B) é o conjunto: EC
a)
b) {0}
c) {1}
d) {0; 2}
e) {1; 2}
09. (PUC-RIO) Um levantamento sócio-econômico
entre os habitantes de uma cidade revelou que,
exatamente:
17% têm casa própria
22% têm automóvel
8% têm casa própria e automóvel
Qual o percentual dos que não tem casa própria
nem automóvel?
10. (UFGO) Numa certa idade são consumidos três
produtos A, B e C, sendo:
A um tipo de desodorante
B um tipo de sabonete
C um tipo de creme dental
Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo
desses produtos foram colhidos os dados da
tabela abaixo:
Produto Nº de Consumidores
A 120
B 180
C 250
A e B 40
A e C 50
B e C 60
A, B e C 30
Nenhum dos três 180
O conjunto das pessoas consultadas constitui
uma amostra. Note-se que os três primeiros
dados da tabela (120, 180 e 250) não
representam os que consomem apenas A ou
apenas B ou apenas C, e sim o número total de
consumidores dos 3 produtos (isolados ou
conjuntamente). Nessas condições, quantas
pessoas foram consultadas?
a) 500
b) 560
c) 610
d) 730
e) 910
11. (PUC) Numa comunidade constituída de 1.800
pessoas há três programas de TV favoritos:
Esporte (E), Novela (N) e Humorismo (H). A
tabela abaixo indica quantas pessoas assistem
a esses programas.
Program
as
E N H E e
N
N e
H
E e
H
E, N e
H
Número
de
Telespe
cta-
dores
40
0
122
0
108
0
22
0
800
180
100
Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul 9
Através desses dados, verifica-se que o número
de pessoas da comunidade que não assistem a
qualquer dos três programas é:
a) 200
b) os dados do problema estão incorretos
c) 900
d) 100
e) n.d.a.
12. (UFBA) Sendo M = p(N) Q’ , tem-se
a) {0, -1, 2 } M
b) {0, 1, 2 } M
c) {{0,1}, 2 } M
d) { 2 } M
e) 0 M
13. (UFBA) O número 3 5 4 3
315
pertence a :
a) Q’+
b) Z
c) N*
d) Z+
e) Q’-
14. (UFBA) O conjunto - solução da equação
(x + 4)2 - 2 = (x - 3)(x + 2) é subconjunto de :
a) N
b) Z
c) Q
d) Q’
e) R*+
15. (UCSAL) Se A = { , 3, {3}, {2,3}}, então :
a) {2,3} A
b) 2 A
c) A
d) 3 A
e) {3} A
16. (UCSAL) Indica-se por n(X) o nº de elementos de
um conjunto X. Se n(A) = 3 , n(B) = 4 e
n(AB) = 2, quantos subconjuntos tem o
conjunto A B ?
a) 36
b) 12
c) 32
d) 18
e) 5
17. (UCSAL) Sejam A e B dois subconjuntos do
universo e sabendo que n(E) = 100, n(A-B) =3x,
n(B) = 5x , n(AB) = x e n[ CE AB
] = x + 19, n(A
- B) é :
a) 9
b) 45
c) 36
d) 27
e) 28
Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul 10
18. (UFB) Se o conjunto A tem 15 elementos e o
conjunto B tem 12 elementos, o nº de elementos
que pertencem a A ou b, sabendo que os que
pertencem a A e B são 5, é :
a) 22
b) 27
c) 32
d) 45
e) 20
19. (UCSAL) Numa sala de aula existem 19 garotas,
20 crianças que usam óculos, 6 rapazes que não
usam óculos e 9 garotas que não usam óculos.
O nº de alunos da sala é :
a) 42
b) 36
c) 35
d) 29
e) 28
20. Sejam 3 conjuntos finitos A,B e C. Determine o
nº de elementos de A(BC) sendo
n(AB) = 20, n (AC) = 10 e n(ABC) = 5.
a) 20
b) 25
c) 15
d) 30
e) 5
Questões de 21 a 22
Num grupo de 99 pessoas, 40 jogam vôlei; 20
jogam vôlei e xadrez; 22 jogam xadrez e tênis;
18 jogam vôlei e tênis; 11 jogam as três
modalidades. O nº de pessoas que jogam xadrez
é igual ao nº de pessoas que jogam tênis.
Pergunta-se :
21. Quantos jogam tênis e não jogam vôlei ?
a) 26
b) 36
c) 46
d) 56
e) 73
22. Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei
?
a) 19
b) 29
c) 39
d) 49
e) 59
23. Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez ?
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
24. (UFBA)Na figura, a parte sombreada representa :
C
A B
Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul 11
(01) [ (ABC) -C] (AC)
(02) (AB) - C
(04) A(B-C)
(08) (B-C) (A-C) ( AC)
(16) (A-C) B
25. (UFBA) Considerando-se os conjuntos A
= { xN; x< 4}, B = {xZ ; 2x + 3 = 7} e
C= { xR ; x2 + 5x + 6 = 0} , pode-se concluir :
(01) A B = A
(02) A C = {2,3}
(04) A - B = {0,1,3}
(08) A C = R
(16) (B C) A
(32) CZA = Z-
*
26. (UFBA) Considere os conjuntos :
A = { xZ ; x2 25} ;
B = { xZ ; x = (-1)n . (2n+1) ; 0n3 };
C = { xZ ; x2 + 1 = 0 } , pode-se concluir :
(01) A soma dos elementos de A B = 3
(02) Sendo y o menor elemento de ABD,
então |y| = 7
(04) O maior elemento de CBD é 7
(08) O cardinal do conjunto D é 1
(16) CZB
= Z - B
27. (UFBA) Considerando-se os conjuntos A,B e C
representados abaixo e sabendo-se que :
n (AB) = 24 ; n (A B) = 4 ; n( BC) = 16
n (A-C) = 11 ; n( B-C) = 10
Pode-se afirmar :
(01) n(A-B) = 8
(02) n(ABC) = 1
(04) n( B - (AC)) = 12
(08) n((AB) -C) = 4
(16) n(B - (AB)) = 12
28. (UFBA) Uma pesquisa realizada com um grupo
de pessoas revelou a seguinte preferência pelas
revistas A, B e C.
109 lêem a revista A;
203 lêem a revista B;
162 lêem a revista C;
025 lêem a revista A e B;
041 lêem as revistas B e C;
028 lêem as revistas A e C;
005 lêem as três revistas;
115 não lêem revista.
Das informações conclui-se:
(01) 500 pessoas foram consultadas.
(02) 051 pessoas lêem somente a revista A.
(04) 176 pessoas não lêem as revistas B ou C.
(08) 094 pessoas pelo menos duas revistas.
(16) 223 pessoas lêem as revistas A ou B e
não lêem a revista C.
C
B
A
Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul 12
29. (UFBA) Sendo M = p(N) Q’ , tem-se
a) {0, -1, 2 } M
b) {0, 1, 2 } M
c) {{0,1}, 2 } M
d) { 2 } M
e) 0 M
30. (Ita/2000) Denotemos por n(x) o número de
elementos de um conjunto finito X. sejam A,B e
C conjuntos tais que n( A B) = 8, n( A C) = 9,
n(B C) = 10,n(ABC) = 11e n(ABC) = 2.
Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a:
a) 11
b) 14
c) 15
d) 18
e) 25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 - B E A D A D B D 69%
1 C A C B C E C D A C
2 D B E B 13 21 19 19 21 C
3 A
TEORIA DOS CONJUNTOS
Símbolos
: pertence : existe
: não pertence : não existe
: está contido : para todo (ou
qualquer que seja)
: não está contido : conjunto vazio
: contém N: conjunto dos
números naturais
: não contém Z : conjunto dos
números inteiros
/ : tal que Q: conjunto dos
números racionais
: implica que Q'= I: conjunto dos
números irracionais
: se, e somente se R: conjunto dos
números reais
GABARITO DOS TESTES DE CASA