Conjuntos DifusosConjuntos Difusos

Conceptos BásicosParte I

Por Ramiro Aduviri Velasco

@ravsirius

¿Qué es esta “cosa difusa”?

Diccionario de Webster: difuso

1. Cubierto con algo o similar a algo borroso

2. No claro: confuso

3. Borroso, vago.

Conjuntos difusos y lógica difusa

Métodos para la representación de incertidumbres y razonamientos bajo incertidumbre.

Tipos de incertidumbre:

casualidad, fortuito (estocástico)

imprecisión, vaguedad, ambigüedad (no estocástico)

Conjuntos difusos y lógica difusa

Propuesto en 1965 por L.A. Zadeh

70s primera aplicación, control fuzzy (Mamdani)80s aplicaciones industriales, operación del tren, reconocimiento por patrón90s productos de consumo, carros, hardware y software especiales.

El término “lógica difusa” con frecuencia también denota a la teoría de conjuntos difusos y sus aplicaciones (p.e., control de lógica difusa).

Precisión contra pertinencia

Teoría clásica de conjuntos

Un conjunto es una colección de objetos con una propiedad común.

Ejemplos:

Conjunto de números naturales menores a 5:

A = {1,2,3,4}

Disco unitario en el plano complejo:

A = {zIz Є C, IzI 1}

Una línea en IR2:

A = {(x, y)I ax + by + c = 0 [x,y,a,b,c Є IR]}

Representación de conjuntos

Enumeración de elementos:

A = {x1, x2, …, xn}

Definición por propiedad:

A = {x Є X I x tiene propiedad P}

Función característica:

A(x): X {0, 1}

1, si x miembro de AA(x) =

0, si x no es miembro de A

Operaciones con conjuntos

Intersección: C = A B

Unión: C = A B

Complemento: C = A

C contiene elementos que pertenecen a A y B

Función característica:

C = min{A, B}

C contiene elementos que pertenecen a A o a B

Función característica:

C = max{A, B}

C contiene elementos que no pertenecen a A

Función característica:

C =1 A

¿Por qué conjuntos difusos?

Conjuntos clásicos son para conceptos bien definidos, pero… Poco útil para representar información en términos de conceptos

vagos como:

• una persona alta, carretera resbaladiza, buena agua, …

• quiero comprar un carro grande con consumo moderado

• si la temperatura de demasiado baja, incremente más

calor.

Enfoque de conjuntos clásicos

Un conjunto es una colección de elementos con cierta propiedad.

“Jhon es alto” . . . verdadero o falso

Altura de Jhon:

hJhon = 180.0 A(180.0) = 1(verdadero)hJhon = 179.5 A(179.5) = 1(falso)

Ejemplo:

Enfoque de conjuntos difusos

Conjunto con membresía graduada, es decir, un elemento pertenece a un conjunto para un grado dado.

“Jhon es alto” … grado de verdad

Altura de Jhon

hJhon = 180.0 A[180.0] = 0.55hJhon = 179.5 A[179.5] = 0.5hJhon = 201.0 A[201.0] = 1

Ejemplo:

Subjetivo y dependiente del contexto

Variable linguística

Requerimientos básicos:

Alcance (extensión)Validez semántica

Soporte de un conjunto difuso

sup(A) = {x I A(x) > 0}

Soporte es un conjunto ordinario.

Corazón (núcleo) de un conjunto difuso

cor(A) = {x I A(x) = 1}

Corazón es un conjunto ordinario.

cut de un conjunto difuso

A = {x I A(x) > } o A = {x I A(x) }

A es un conjunto ordinario.

Conjuntos difusos convexos y no convexos

Un conjunto difuso es convexo todos sus -cuts son conjuntos convexos.

Conjuntos difusos no convexos: un ejemplo

Epoca de alto riesgo para póliza de seguros en autos.

Representación de conjuntos difusos

Apropiado como una lista de pares membresía/elemento:

Como una lista de pares -nivel/-cut:

Fórmula analítica para la función de membresía

o de forma más general

donde d(x, v) es una medición de desigualdad.Varias notaciones de taquigrafía: A(x), A(x), a

Formas de funciones de membresía

Cantidades difusas y Singletons

Regresión lineal difusa: y = 3~x1 + 5~x2

Complemento de un conjunto difuso

c: [0, 1] [0, 1]A(x) c(A(x))

Axiomas fundamentales

Condiciones de límite c se comporta como el complemento ordinarioc(0) = 1 c(1) = 0

Ningún incremento monotónicoa, b [0, 1], si a < b, entonces c(a) c(b)

Otros axiomas

c es una función continua. c es involutive, lo que significa que

c(c(a)) = a, a [0, 1]