conjuntos, elementos, pertinência, igualdade e inclus˜ao

Conjuntos,elementos,pertinencia,igualdade e

inclusao

Renata deFreitas ePetrucio

Viana

Conjuntos,elementos,pertinencia

Conjuntosfinitos einfinitos

Definicao deconjuntos

Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao

Problemas ealgoritmos

Conjuntos, elementos, pertinencia,igualdade e inclusao

Renata de Freitas e Petrucio Viana

Instituto de Matematica e Estatıstica, UFFMarco de 2011


inclusao


Viana




Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Sumario

• Conjuntos, elementos, pertinencia.

• Conjuntos finitos, conjuntos infinitos.

• Definicao de conjunto: por lista, por propriedade.

• Conjuntos numericos.

• Igualdade, inclusao.

• Propriedades basicas.

• Problemas e algoritmos.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Christos Papadimitriou

• Autor dos livros Elementos da Teoria da Computacao,Otimizacao Combinatoria: algoritmos e complexidade,Complexidade Computacional, entre outros.

• Premio Knuth, em 2002 for longstanding and seminalcontributions to the foundations of computer science.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Conjuntos, elementos, pertinencia

Os conceitos

ser um conjunto e ser um elemento de um conjunto

sao considerados como primitivos, i.e., nao sao definidosformalmente.

O nosso entendimento sobre eles e guiado pela familiaridade ea intuicao que temos sobre

conjuntos e elementos.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Conjuntos de elementos

Um problema e que a nossa intuicao sobre elementos econjuntos, geralmente, esta errada!

Por exemplo, conjuntos podem ser elementos.

• Podemos considerar o conjunto dos alunos da Turma A2da disciplina Matematica Discreta.Cada um dos alunos que compoem a turma e umelemento deste conjunto.Bruno e um elemento deste conjunto.

• Podemos considerar o aluno Bruno como um conjunto deorgaos.Coracao e um elemento de Bruno.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Conjuntos de conjuntos

Esta situacao e, na verdade, corriqueira.

• Podemos considerar o conjunto das pastas da pastaMeus documentos do desktop da Profa. Renata.Cada pasta armazenada nesta pasta e um elemento desteconjunto.

Assim, um mesmo objeto pode tanto ser considerado como umelemento ou um conjunto, dependendo do contexto.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Notacao

• Bruno ∈ Turma A2

• Jogos 6∈ Meus Documentos

notacao leitura

a ∈ b a e elemento de ba ∈ b a pertence a ba 6∈ b a nao e elemento de ba 6∈ b a nao pertence a b


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Conjuntos finitos

Um conjunto e finito se possui um numero (natural) bemdeterminado de elementos.

• O conjunto cujo unico elemento e o time carioca que ja foicampeao mundial.

• O conjunto das celulas de memoria deste computador.

• O conjunto dos graos de areia da praia de Copacabana.

• O conjunto dos atomos do universo.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Conjuntos infinitos

Um conjunto e infinito se quando retiramos qualquerquantidade finita de elementos dele, ele continua tendoinfinitos elementos.

• O conjunto dos numeros naturais.

• O conjunto dos numeros racionais.

• O conjunto dos pontos do Plano Cartesiano.

• O conjunto das curvas que podemos desenhar no espaco.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Definicao de conjuntos

Um conjunto e denotado pela apresentacao de sua definicaoentre chaves: { , }.

Vamos estudar duas maneiras de definir um conjunto:

• por lista ou indicacao de uma lista,

• por propriedade.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Definicao por lista

Para definir um conjunto por lista, apresentamos uma lista dos“nomes” dos elementos do conjunto.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Notacao

Um conjunto definido por lista e denotado pela apresentacaodos nomes dos seus elementos separados por vırgulas eencerrados entre chaves.

Meus Documentos ={Artigos , Orientacoes , Aulas , Apresentacoes , Projetos}


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Definicao por indicacao de lista

A definicao por lista e adequada apenas para conjuntos finitos“pequenos”.

No caso de conjuntos finitos “grandes” ou de conjuntosinfinitos, podemos apresentar uma indicacao da lista doselementos do conjunto.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Notacao

Um conjunto definido por indicacao de lista e denotado pelaapresentacao dos nomes de alguns dos seus elementosseparados por vırgulas e encerrados entre chaves e sao usadasreticencias para substituir os nomes de elementos do conjuntoque nao sao listados.

Devem ser listados nomes de elementos em quantidadesuficiente para que o leitor possa inferir quais nomes foramsubstituıdos pelas reticencias.

D = {Andre , Bruno , Carlos , Daniel , . . . , Walter}


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Notacao

No caso de conjuntos infinitos, podem ser usadosnomes genericos que indiquem a forma dos elementos doconjunto.

N = {0, 1, 2, . . . , n , . . .}

P = {0, 2, 4, . . . , 2n , . . .}

Ha ainda outras formas mais complicadas, dependendo do quese passa na cabeca do autor da definicao do conjunto.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Definicao por propriedade

Para definir um conjunto por propriedade, devemos apresentarum conjunto universo e uma propriedade que se aplica aelementos desse universo.

Os elementos do conjunto definido sao os elementos doconjunto universo que possuem a propriedade.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Notacao

Um conjunto definido por propriedade e denotado do seguintemodo:

{x ∈ U : P(x)},

onde U e o nome do conjunto universo e P(x) e umaespecificacao da propriedade, envolvendo a variavel x .

Apesar de ser estranho, a expressao

{x ∈ U : P(x)}

costuma ser lida como

o conjunto dos x pertencentes a U tais que x e P.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Notacao

Outra maneira de denotar um conjunto definido porpropriedade e:

{x : x ∈ U e P(x)},

ou ainda de formas mais complicadas, dependendo do que sepassa na cabeca do autor da definicao do conjunto.

Por exemplo, o conjunto

P = {x ∈ N : x e par}

tambem pode ser denotado por

P = {x : existe y ∈ N tal que x = 2y}

ou, ainda, porP = {2y : y ∈ N}


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Conjuntos numericos

Do ponto de vista da matematica, os conjuntos maisimportantes sao:

N, o conjunto dos numeros naturais.

Z, o conjunto dos numeros inteiros.

Q, o conjunto dos numeros racionais.

R, o conjunto dos numeros reais.

C, o conjunto dos numeros complexos.

Observe que todos estes conjuntos sao infinitos.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Pre requisitos

Assumimos como conhecidas todas as propriedades dosconjuntos numericos, que sao abordadas no Ensino Medio.

Isso nao significa que voce tem que saber todas elas de cormas, sim, que voce deve estar preparado para usa-las e nao termedo de fazer isso, quando for preciso.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Igualdade

A relacao de igualdade entre conjuntos e regulada pelo seguinteprincıpio:

Princıpio da Extensionalidade

Dois conjuntos sao iguais se, e somente se, possuemexatamente os mesmos elementos.

Por exemplo, considere os conjuntos:

A = {x ∈ Z : x e natural},B = {x ∈ Z : x e soma de 4 quadrados}.

Temos que A e B sao iguais.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Traducao

notacao leitura

= e igual a∀ para todo∈ pertence⇐⇒ se, e somente se

Em sımbolos:

A = B se, e somente se, ∀x(x ∈ A⇐⇒ x ∈ B).


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Ordem e repeticoes

Para saber se dois conjuntos A e B sao iguais, precisamossaber apenas quais sao os elementos de A e de B.

Nao importa a ordem em que os elementos sao apresentados.

{1, 2, 3} = {3, 2, 1}

Nao importa se ha repeticao na apresentacao dos elementos.

{1, 2, 2, 3} = {1, 1, 2, 3, 3, 3}


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Representacoes e universos

Nao importa a maneira como os elementos sao apresentados.

{1, 2, 2, 2, 3} = {3, 3, |√

4|, 1}

Nao importa o universo em que os objetos sao tomados.

{x ∈ N : 1 < x < 3} = {x ∈ R : x2 − 4x + 4 = 0}


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Propriedades basicas da igualdade

Estamos interessados nas propriedades da igualdade que valempara todos os conjuntos, independente da natureza dos seuselementos.

Para todos os conjuntos A, B e C ,para todos os objetos x ∈ U , temos que:

(1) A = A.

(2) Se A = B, entao B = A.

(3) Se A = B e B = C , entao A = C .

(4) Se A = B e x ∈ A, entao x ∈ B.Se A = B e A ∈ C , entao B ∈ C .


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Verificando igualdades

Como verificar se dois conjuntos dados A e B sao iguais?

{x ∈ Z : x e soma de 3 quadrados} = N?

– Verificando se:

– todo elemento de A e tambem elemento de B,– todo elemento de B e tambem elemento de A.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Inclusao

DefinicaoSejam A e B conjuntos. Dizemos que A esta contido em B se,e somente se, todos os objetos que sao elementos de A saotambem elementos de B.

Por exemplo, o conjunto das pessoas com deficiencia estacontido no conjunto dos seres humanos.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Traducao

notacao leitura

⊆ esta contido em∀ para todo∈ pertence

=⇒ se ... entao

Em sımbolos:

A ⊆ B se, e somente se, ∀x(x ∈ A =⇒ x ∈ B).


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Notacao

notacao leitura

a ⊆ b a esta contido em ba ⊆ b a e subconjunto de ba 6⊆ b a nao esta contido em ba 6⊆ b a nao e subconjunto de b

Observe a semelhanca entre o sımbolo ≤, utilizado quandocomparamos numeros, e o sımbolo ⊆, utilizado quandocomparamos conjuntos.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Propriedades basicas da inclusao

Estamos interessados nas propriedades da inclusao que valempara todos os conjuntos, independente da natureza dos seuselementos.

Para todos os conjuntos A, B e C , temos que:

(1) A ⊆ A.

(2) Se A ⊆ B e B ⊆ A, entao A = B.

(3) Se A ⊆ B e B ⊆ C , entao A ⊆ C .

(4) Se A = B e C ⊆ A, entao C ⊆ B.Se A = B e A ⊆ C , entao B ⊆ C .


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Uma propriedade que falta

Observe que as propriedades listadas da relacao ⊆, sobreconjuntos, sao inteiramente analogas a propriedades darelacao ≤, sobre numeros.

Mas, neste contexto, a semelhanca para por aı.

Por exemplo, para numeros, vale

∀x , y(x ≤ y ou y ≤ x),

mas existem conjuntos A e B tais que

A 6⊆ B e B 6⊆ A.

Por exemplo, os conjuntos A = {1} e B = {2}.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Problemas

Um problema computacional e uma questao geral a serrespondida, possuindo determinado parametros.

Por exemplo,

• ‘multiplicar duas matrizes’,

• ‘determinar se um numero natural e primo’.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Especificacoes

Um problema e especificado quando damos (1) uma indicacaodos parametros considerados no problema, (2) o universo noqual os parametros tomam valores e (3) a questao a serrespondida.

Por exemplo:

• O problema da multiplicacao de matrizes pode serespecificado como:

Dados: Duas matrizes A e B de numeros reais, tais que onumero de colunas de A e igual ao numero de linhas de B;Questao: Calcular o produto AB.

• O problema dos numeros primos pode ser especificadocomo:

Dados: Um numero natural n, nao nulo e maior do que 1;Questao: n e primo?


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Problemas de decisao

Um problema e de decisao quando a questao pode ter comoresposta sim ou nao.

• Multiplicar matrizes nao e um problema de decisao.

• O problema de determinar se um numero natural e primo ede decisao.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Algoritmos

Um algoritmo que resolve um problema de decisao e umprocedimento que sempre para e responde corretamente comsim ou nao a questao do problema, para quaisquer dados deentrada.

• Voce conhece um algoritmo para multiplicar duasmatrizes?

• Voce conhece um algoritmo para determinar se umnumero e primo?


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Problemas de inclusao

Exercıcio

Projetar algoritmos para decidir se A ⊆ B, nos casos em que Ae B sao apresentados como segue.

A B A ⊆ B ?

listagem listagem Algoritmo ?listagem propriedade Algoritmo ?

propriedade listagem Algoritmo ?propriedade propriedade Algoritmo ?

Escrever os algoritmos o mais detalhadamente possıvel, usandoas notacoes introduzidas nesta aula.


inclusao


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Conjuntosnumericos

Igualdade einclusao


Mais exercıcios

1. Exercıcios do Capıtulo 1 do Menezes(Paulo B. Menezes, Matematica Discreta para Computacao e

Informatica, 2a. edicao, Sagra Luzzatto / Instituto de Informatica da

UFRGS, Porto Alegre, 2006).

2. Exercıcios do Capıtulo 2, pp. 55-56, itens 1, 3 e 9, doScheinerman(E.R. Scheinerman, Matematica Discreta, Thomson, Sao Paulo,

2006).

3. Exercıcios da Lista 1.

conjuntos, elementos, pertinência, igualdade e inclus˜ao

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