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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARACENTRO DE CIENCIAS EXATAS E NATURAIS
DEPARTAMENTO DE FISICA
Consequencias Quanticas e Relativısticasda Compacidade do Espaco
Trabalho de Conclusao de Curso
Thiago Roberto da Possa Carames
BelemFevereiro de 2007
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARACENTRO DE CIENCIAS EXATAS E NATURAIS
DEPARTAMENTO DE FISICA
Consequencias Quanticas e Relativısticasda Compacidade do Espaco
Trabalho de Conclusao de Curso
Orientador: Prof. Dr. Jorge Castineiras Rodrıguez
BelemFevereiro de 2007
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Consequencias Quanticas e Relativısticasda Compacidade do Espaco
Thiago Roberto da Possa Carames
Julgado em:
Conceito:
Comissao Julgadora:
———————————————–
Prof. Dr. Jorge Castineiras Rodrıguez
Orientador
———————————————–
Prof. Dr. Danilo Teixeira Alves
Membro
———————————————–
Prof. Dr. Luis Carlos Bassalo Crispino
Membro
———————————————–
Prof. Dr. Marcelo Costa Lima
Membro
BelemFevereiro de 2007
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Dedicatoria
Aos meus pais:
Roberto e Denilsa
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AgradecimentosGostaria de agradecer profundamente a todas as.pessoas que contribuıram
direta ou indiretamente para a bem sucedida conclusao desta importante emarcante etapa da minha vida. Dentre estas pessoas, gostaria de externarmeus agradecimentos :
Aos meus pais, Roberto dos Santos Carames e Denilsa da Possa Caramespor tudo o que me deram, pela educacao, pela formacao pessoal, pelo incen-tivo e apoio incondicional a minha opcao pela carreira cientıfica.
Ao Profo Jorge Castineiras pela oportunidade da orientacao neste traba-lho bem como pelo sugestao do tema.
Ao Profo Jose Maria Filardo Bassalo por haver lancado a semente queao frutificar, fez com que a Fısica chegasse a mim, bem como a todos osparaenses que vivem e trabalham por esta Ciencia.
Ao Programa de Educacao Tutorial (PET) por me haver ampliado oshorizontes, enriquecendo minha formacao dentro do tripe universitario daPesquisa, Ensino e Extensao me ensinando muito alem do que eu poderiaaprender como apenas um aluno de graduacao em Fısica. Em particularagradeco ao PET-Fısica, do qual fui bolsista por tres anos e a todos oscolegas que neste perıodo conviveram comigo por la.
Aos Professores: Silvana Perez, Marcelo Costa de Lima, Van Sergio daSilva Alves, Danilo Teixeira Alves, Angela Burlamaqui Klautau e Luis CarlosBassalo Crispino, pelas referencias pessoais e profissionais que se tornarampara mim.
Ao Profo Sergio Vizeu Lima Pinheiro por sua amizade, pela prazerosaconvivencia, pelo aprendizado que me proporcionou como meu tutor no PET-Fısica e pelo exemplo que se tornou para mim de profissional e de ser humano.
A Edney Ramos Granhen pelas discussoes referentes a resolucao do equacaode Klein-Gordon para condicoes de contorno periodicas, bem como peloauxılios computacionais.
Aos amigos que fiz no curso e as pessoas com que convivi ao longo dagraduacao, entre eles:
Miraci Silva, Aroldo Rodrigues, Fabio Rolim, Josiane Cabral, Maronil-son Monteiro, Michelle Pimentel, Elaine Palheta, Alexandre Oliveira, Mateus
v
Lima, Marcel Ferreira, Ednilton Oliveira, Ezequiel Belo, Edson Nunes, Ar-mando Neto, Mauro Cesar, Lizangela Silva e Williams Lima.
Aos amigos que fiz no PET , entre muitas outras coisas, pelos muitosaprendizados que a convivencia em grupo nos da:
Oseas Guimaraes, Joao Paulo Passos , Jaime Filho, Herondy Mota, Nil-zilene Gomes, Fernando Nunes, Jonathas Maciel, Soraya Maciel e LeonardoNascimento.
Aos grandes amigos, que tenho como irmaos e que dividiram (e dividem)comigo muitos dos sonhos que eu almejo e tambem alguns dos melhoresmomentos da minha graduacao. Agradeco-os pela importante companhianos momentos difıceis e tambem nos momentos de felicidade:
Andreson Luis Carvalho Rego e Wagner Pinheiro Pires.
A minha amiga e tambem irma, pelas valorosas conversas, pela sua ami-zade sincera e pela companhia e lealdade que a mim devotou nos momentosde dificuldades:
Aldilene Saraiva Souza.
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“Quanto mais me elevo, menor
pareco aos olhos de quem nao sabe voar”
Friedrich Nietzsche
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Sumário
1 Introdução 9
2 O Espaço Compacto 102.1 Regra de Identi�cação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Conseqüências da compacidade do espaço na RelatividadeEspecial 143.1 O paradoxo dos gêmeos usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 O paradoxo dos gêmeos em um espaço compacto . . . . . . . . 203.3 O Princípio da Relatividade no espaço compacto . . . . . . . . 243.4 Da Sincronização de relógios no espaço compacto . . . . . . . 27
4 Conseqüências da compacidade do espaço na Teoria Quânticade Campos 304.1 O Efeito Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Solução da Equação de Klein-Gordon em 1+1D (Condições de
Contorno Periódicas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Quantização Canônica de Campos Clássicos . . . . . . . . . . 394.4 Densidade de energia do campo e ordenamento normal . . . . 444.5 Cálculo da densidade de energia do campo . . . . . . . . . . . 47
5 Sugestões de compacti�cação do espaço na Física 555.1 Na Teoria de Supercordas: dimensões extras . . . . . . . . . . 555.2 Na Cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6 Conclusão 58
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Capítulo 1
Introdução
Neste trabalho mostraremos algumas conseqüências físicas de se conside-rar o espaço como sendo compacto, ao invés de in�nito como habitualmentese considera.Primeiramente, forneceremos aqui alguns conceitos básicos de Topologia,
a �m de darmos subsídios ao leitor, que o ajudem a melhor compreender oconceito de espaço compacto.Feito isto, nosso foco se voltará à Relatividade Especial, em particular
ao Paradoxo dos Gêmeos. Nosso interesse por ele deve-se ao fato de noespaço compacto ser possível, devido à sua Topologia, que o gêmeo viajantepermaneça num mesmo referencial inercial, durante o intervalo de tempo quesepara os instantes de partida do instante de reencontro com seu irmão naTerra. O que é impossível num espaço não-compacto. Veremos que a reso-lução do paradoxo, neste caso, se dá em razão da violação global do Princípioda Relatividade neste espaço. Para sustentar essa a�rmação mostraremosalguns experimentos globais que ao serem executados indicam a existênciaem tal espaço de um sistema de referência privilegiado.A seguir, já no âmbito da Teoria Quântica de Campos (TQC), obteremos
a energia do vácuo, ou energia de Casimir, para um universo compacto.Levaremos em conta que ao considerarmos a compacidade do espaço, devere-mos impor condições de contorno periódicas (CCP) ao campo.Mostraremos ainda quais seriam as possíveis implicações cosmológicas de
um universo compacto, reportando-nos a resultados recentes que indicam,a partir de análises da Radiação Cósmica de Fundo, a possibilidade de oUniverso ser, em escala global, dotado de tal propriedade.Por �m ressaltaremos o importante papel que a noção de compacti�cação
do espaço vem desempenhando dentro das teorias com dimensões extras, queestão atualmente na vanguarda da busca incessante pela Grande Uni�cação.
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Capítulo 2
O Espaço Compacto
Embora seja possível, em Topologia, de�nir espaço compacto de um modomais geral, em termos de espaços topológicos, de conjuntos abertos e sem anecessidade de se de�nir distâncias, o de�niremos aqui para o caso particularem que o espaço topológico em questão, é um espaço métrico, a saber o Rn.Antes apresentaremos, de modo muito breve, algumas de�nições.Ver([1], [2]e [3]):De�nição 2.1: De�nimos a n�bola (aberta) de raio r em torno de z;
como sendo o conjunto B(z; r) = fy 2 Rn : d(z; y) < rg. Em que d(z; y)denota a distância entre os pontos z e y:
De�nição 2.2: A vizinhança de um ponto P 2 Rn é o conjunto depontos contidos no interior de uma n-bola, centrada em P e de raio igual a� > 0.
De�nição 2.3: Diz-se que um ponto P 2 Rn é um ponto de acumulaçãode um conjunto B � Rn, se qualquer vizinhança de B ao menos um pontode B, distinto de P .
De�nição 2.4:Um subconjunto do Rn é limitado se existir uma vizinhan-ça de raio �nito na qual ele está contido.
De�nição 2.5: Um subconjunto do Rn é fechado se ele contém todos osseus pontos de acumulução.Sendo que um ponto de acumulação associado a um conjunto, é qualquer
ponto em torno do qual se pode de�nir uma vizinhança, de raio arbitrário,que contenha necessariamente pontos desse conjunto.
Teorema 2.1(Heine-Borel): Um subconjunto do Rn é compacto se esomente se ele é fechado e limitado.
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O círculo é um exemplo que podemos dar de um espaço que é com-pacto, uma vez que ele obedece as propriedades exigidas para tal, acimamencionadas.Sabemos que o espaço-tempo possui dimensão 4, porém podemos por
conveniência e sem perda de generalidade, adotar a simpli�cação segundo aqual levamos em conta apenas uma dimensão temporal e uma espacial. Talrepresentação denominaremos por 1+1D.A hipótese que nos convém aqui assumir é a de que a dimensão espacial
do espaço-tempo possa ser mapeada num círculo, isto é que seja compacta,enquanto que a dimensão temporal seja ilimitada. Poderemos escrever agoraeste espaço como o produto direto S1�R1; que corresponderá a um cilindroque, doravante, denotaremos por C2.
2.1 Regra de Identi�cação
Mostraremos aqui um artifício que nos permitirá lidar com um espaçocom tal característica usando o espaço-tempo de Minkowski usual. Paraisto, de�nimos uma família de retas paralelas (�gura 2.2) tipo-espaço, aolongo das quais estarão pontos, que separados por uma distância �xa, sãoequivalentes entre si.O espaço-tempo de Minkowski, segundo um sistema de coordenadas orto-
normal (t; x), �ca sendo o conjunto de todos os eventos representados pelospontos (t; x) mais uma pseudo-métrica, isto é, o intervalo dS entre cada parde eventos. Neste sistema de coordenadas ortonormal escolhido, a pseudo-métrica pode ser escrita como dS2 = c2dt2 � dx2:É conveniente que se escolha as dimensões das coordenadas de modo que
sejam as mesmas para t e x. Tal ajuste dimensional é feito adotando osistema de unidades naturais em que c = 1; �cando assim os eixos escritos,simplesmente, em termos de t e x ao invés de ct e x:Se de�nirmos sobre o espaço-tempo de Minkowski, o sistema de coor-
denadas (t; x); de tal modo que as retas nas quais t é constante coincidamcom as retas que ligam pontos equivalentes, podemos lidar com este espaçode�nindo uma regra de identi�cação ou regra de equivalência que estabele-cerá que um dado ponto neste espaço é equivalente a um outro, deslocadoum certo valor L na sua coordenada espacial, para uma mesma coordenadat: Esta condição aplicada ao espaço criará nele in�nitas faixas repetidas, cu-jas extremidades são retas equivalentes entre si, conforme ilustrado na �gura2.1.
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T
X= 0 X= L X= 2L X= 3L X
Figura 2.1 Faixas que repetem-se periodicamente no espaço. As retas verticais que
correspondem aos extremos das faixas, são equivalentes entre si.
E para este espaço a seguinte regra de equivalência é satisfeita:
(t; x)$ (t ; x+ nL) (2.1)
O valor de n indica em que faixa está o ponto equivalente (t ; x + nL)em relação ao ponto (t; x). Se o ponto (t; x) estiver na faixa entre x = 0 ex = L então, para n = 1; o ponto equivalente estará na faixa vizinha, entrex = L e x = 2L. Para n = 2; o ponto equivalente estará na terceira faixa da�gura 2.1 entre x = 2L e x = 3L e assim por diante. Chamaremos cada faixade célula, pois a partir de uma destas faixas e da regra de identi�cação, épossível reproduzir o espaço inteiro. E por conveniência consideraremos aquiapenas pontos equivalentes presentes em faixas vizinhas para a qual n = 1 enos restringiremos somente à primeira faixa da �gura 2.1, a qual chamaremosde célula fundamental.A regra (2.1) signi�ca mapear todos os pontos (t; x) do espaço-tempo de
Minkowski (um plano in�nito) num cilindro C2 (�gura 2.2) de comprimentoL; o comprimento do universo [4], que é a distância que neste sistema dereferência separa pontos equivalentes. Tais pontos, são interceptados poruma família de retas paralelas (�gura 2.2) que formam o que chamaremos declasse de equivalência.
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x
x=0 x=L
t t C2
t
0 = L
Figura 2.2 Classe de equivalência: família de retas paralelas, que interceptam os pontos
que são feitos equivalentes pela Regra de Identi�cação. Por meio desta regra, podemos
agora mapear o espaço-tempo de Minkowski num cilindro.
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Capítulo 3
Conseqüências da compacidadedo espaço na RelatividadeEspecial
3.1 O paradoxo dos gêmeos usual
Consideremos a experiência imaginária, que �cou posteriormente conhe-cida na literatura como paradoxo dos gêmeos. A situação consiste em doisirmãos gêmeos A e B que ambos inicialmente na Terra, são equipados comrelógios idênticos e sincronizados. Num dado momento, o gêmeo B parte parauma viagem espacial (de ida e volta) muito distante e com velocidade rela-tivística, enquanto seu irmão A permanece na Terra. Conforme o fenômenoda dilatação temporal prevista pelas transformações de Lorentz e comprovadapor vários experimentos realizados com relógios atômicos, um mesmo relógioavança no tempo com taxa máxima quando está em repouso relativo ao ob-servador. Quando o relógio se move com uma velocidade constante v relativaao observador, para este último a taxa de avanço do relógio é diminuída porum fator
p1� v2=c2 ([5] e [8]) , isto é:
�t =��p
1� v2=c2, (3.1)
em que �� é um dado intervalo de tempo �xo medido quando o relógio estáem repouso relativo ao observador.Sabemos porém que enquanto o gêmeo B se afasta com velocidade cons-
tante, ele pode a�rmar a partir de seu referencial (inercial) que é o seu irmãoA quem está se afastando, dando uma aparente simetria à situação, já queambos, segundo o Princípio da Relatividade, estão em igualdade de condições
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por se encontrarem em referenciais inerciais. Esta aparente simetria é que dáorigem ao paradoxo.Se as situações forem de fato simétricas e permutáveispara ambos os gêmeos, o que signi�ca a permanência de ambos em referenciaisinerciais durante toda a viagem de ida e volta, após o término desta, tantoA quanto B insistiriam em a�rmar que o outro é que estaria mais jovem secomparado consigo, gerando assim um contra-senso. Qual dos dois portantoestaria mais jovem ao se encontrarem após a viagem?A resolução do paradoxo está justamente na ausência de simetria nas
situações dos dois gêmeos pois, obviamente, o gêmeo B não permanece nomesmo referencial inercial durante todo o tempo de viagem, uma vez que ele,para realizar a sua viagem de ida e volta, sofre aceleração em pelo menostrês momentos: no momento da partida, antes de atingir uma velocidadeconstante, no momento em que ele inverte seu movimento para retornar àTerra e por �m quando ele está chegando à Terra, pois precisa diminuir suavelocidade até parar. O fato de um dos gêmeos ser capaz de experimentare registrar acelerações, enquanto o outro não, nos permite distinguí-los eestabelecer assim uma assimetria entre ambos.Para melhor visualização do problema, podemos representá-lo geometri-
camente por meio de um diagrama no espaço-tempo de Minkowski. Lembre-mos que a trajetória de um observador no espaço-tempo de Minkowski podeser descrita por uma curva denominada linha de mundo (�gura 3.1).
Linha de mundo do gêmeo A
t
Linha de mundo do gêmeo B
Linha de mundo de um raioluminoso
x
Instante da partida de B
Linha de mundo de um raioluminoso
Instante do reencontroentre os gêmeos
Figura 3.1 Paradoxo dos gêmeos: representação geométrica
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No entanto, podemos adotar a simpli�cação segundo a qual o tempo deviagem de B, é arbitrariamente longo. Ao assumirmos esta simpli�cação,podemos considerar que o tempo de viagem de B é muito longo em compara-ção aos instantes em que ele experimentou aceleração. E assim poderemosrepresentar a linha de mundo de B simplesmente por duas linhas retas (�gura3.2).
t
Linha de mundo do gêmeo A
Instante da partida de B
Instante do reencontroentre os gêmeos Linha de mundo do gêmeo B
retornando
Linha de mundo do gêmeoB partindo
x
Linha de mundo de um raioluminoso
Linha de mundo de um raioluminoso
Ponto de inversão domovimento de B
Figura 3.2 Representação geométrica: para uma viagem arbitrariamente longa.
A distância (intervalo)�S entre dois eventos no espaço-tempo deMinkowski,em 1+1D, com c = 1; é dada por:
(�S)2 = (�t)2 � (�x)2 , (3.2)
sendo tais cooordenadas pertencentes ao sistema de referência (t; x); e o in-tervalo medido agora a partir das coordenadas de um sistema de referência(t0; x0) que se move em relação a um observador em repouso em (t; x); teremos:
(�S 0)2 = (�t0)2 � (�x0)2 . (3.3)
Lembrando que as coordenadas do sistema (t; x) se relacionam com as dosistema (t0; x0) através das Transformações de Lorentz,�
x0 = (x� vt)t0 = (t� vx) (3.4)
onde:
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= 1=p1� v2 . (3.5)
Podemos mostrar ainda que as trasformações acima preservam o intervalo,isto é:
(�S)2 = (�S 0)2 . (3.6)
Prova. De (3.4) temos que:��x0 = (�x� v�t)�t0 = (�t� v�x) ,
elevando ao quadrado as duas equações e em seguida subtraindo a primeirada segunda teremos:
(�t0)2 � (�x0)2 = 2
�(�t)2 � 2v�t�x+ v2(�t)2
�+
� 2�(�x)2 � 2v�t�x+ v2(�x)2
�= 2
�(�t)2 � (�x)2 + v2(�t)2 � v2(�x)2
�= 2
��(�t)2 � (�x)2
�� v2
�(�t)2 � (�x)2
�= 2
�1� v2
� �(�t)2 � (�x)2
�,
de (3.5):(�t0)
2 � (�x0)2 = (�t)2 � (�x)2 ,demonstramos assim a equação (3.6),
(�S)2 = (�S 0)2 . (3.7)
Se �x = 0; então �S = �t = �� , que será o tempo medido pelo relógiopreso ao observador em repouso no sistema (t; x); isto é, seu tempo próprio.Podemos fazer analogamente para um obervador em repouso em relação aosistema (t0; x0); isto é, se �x0 = 0, seu tempo próprio será �S 0 = �t0 = �� 0:Consideremos dois eventos, um dos quais está localizado dentro do cone
de luz do outro. O intervalo entre estes dois eventos no espaço-tempo deMinkowski, [5] será o tempo próprio, medido entre estes dois eventos, porum certo observador cuja linha de mundo intercepta tais dois pontos. Por-tanto, podemos obter o tempo próprio de cada gêmeo segundo o sistema de
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coordenadas (t; x);calculando o intervalo entre os os dois eventos correspon-dentes aos dois encontros entre A e B:Para A:
�x = 0
(�SA)2 = (�t)2 � (�x)2
(�SA)2 = (�t)2
�SA = �t = ��A .
Para B:Chamemos de tm e tr os instantes, marcados no relógio de A, de inversão
do movimento de B e de reencontro dos gêmeos, respectivamente. Represen-temos ainda por �SB1 o intervalo entre a partida de B para a sua viageme a inversão de seu movimento que conforme já exposto acima, será o seutempo próprio medido entre estes dois eventos. E denominamos por �SB2 ointervalo entre a inversão de seu movimento e seu reencontro com seu irmão,que será o tempo próprio entre estes dois eventos. O tempo próprio de B aolongo de toda sua viagem será:
��B = �SB1 +�SB2
�SB1 :
(�SB1)2 = t2m � (�x)2
�SB1 =pt2m � (�x)2
�SB2 :
�SB2 =
q(tr � tm)2 � (�x)2
=pt2r � 2trtm + t2m � (�x)2
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e comotr = 2tm
e�t = tr � 0 = tr = ��A;
temos que,
�SB2 =pt2r � t2r + t2m � (�x)2
=pt2m � (�x)2
��B =pt2m � (�x)2 +
pt2m � (�x)2
= 2pt2m � (�x)2
= 2tm
s1�
��x
tm
�2
= trp1� v2 = �t
p1� v2
��B = ��Ap1� v2 ;
p1� v2 < 1 ;
��B < ��A: (3.8)
Assim temos que o tempo próprio de B é menor que o de A, logo o gêmeoB retorna mais jovem que o seu irmão, con�rmando portanto que de fato nãohá paradoxo.Contudo, se houvesse como ambos permanecerem inerciais, durante todo
o intervalo de tempo que separa os dois encontros, surgiria assim um aparenteparadoxo, pois a assimetria de outrora, entre ambos, seria eliminada.Se assim fosse, qualquer partícula que partisse de um ponto neste espaço,
e percorresse tal distância �xa em linha reta e com velocidade constante,chegaria no ponto equivalente ao primeiro e como de fato estes dois pontos sãoos mesmos, tal partícula voltaria ao seu ponto de partida, mesmo executandomovimento retilíneo e uniforme durante toda sua jornada.A compacidade seria uma propriedade do espaço, que criaria no universo
um cenário onde seriam possíveis viagens de ida e volta sem aceleração, e por-
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tanto ao se considerar uma viagem realizada num universo, com essa carac-terística, como sendo arbitrariamente longa (tornando assim desprezíveis osinstantes de partida e de chegada nos quais o viajante sofreria alguma acelera-ção), eliminaríamos aparentemente a assimetria, já mencionada, decorrenteda impossibilidade de o gêmeo viajante retornar ao seu ponto de partida ereencontrar com seu irmão gêmeo, sem precisar inverter seu movimento eportanto mudar de referencial inercial.
3.2 O paradoxo dos gêmeos em um espaçocompacto
Consideremos agora a mesma situação, envolvendo uma viagem de ida evolta do gêmeo B e a permanência de seu irmão A na terra. Agora, porémrealizada num espaço tal comoC2(Ver [4], [6] e [7]). As linhas de mundo CAe CB de A e B; respectivamente, são:
CA = f(t; 0)= t 2 Rg (3.9)
CB = f(t; vt)= t 2 Rg
At
t’(x =vt)t
Linha de mundo de um raioluminoso
Bt
(L/v, L)
(0,0)x=L
t
x
x’
x=0
Figura 3.3 Representação geométrica do paradoxo dos gêmeos em um espaço compacto.
tempo gasto para B retornar à A segundo o relógio de A:
tA = L=v (3.10)
tempo gasto para B retornar à A segundo o relógio de B:
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�� 2 = �t2 ��x2
�� 2 = (L=v)2 � L2
�� 2 = (L=v)2(1� v2)
�� = tB = tAp1� v2
tB < tA (3.11)
Mas a recíproca não deveria ser verdadeira devido a simetria estabele-cida pelo fato de ambos haverem permanecido o tempo todo como inerciais?Deveremos então calcular o tempo próprio de B, tB, segundo o seu própriosistema de referência e veri�car se existe alguma ambigüidade.O que devemos investigar, agora, é que regra de identi�cação é satisfeita
para um sistema de coordenadas (t0; x0) ;isto é:
(t0; x0)$ ?
Já vimos que no sistema de referência (t; x); segundo o qual A está parado,a regra de identi�cação de eventos equivalentes (contidos em faixas vizinhas,para a qual n = 1) é :
(t; x)$ (t; x+ L ) (3.12)
E sabemos que o sistema de referência (t; x) se relaciona com (t0; x0)através das Transformações de Lorentz. Usando portanto convenientemente,as Transformações de Lorentz (3.4), podemos obter a regra de identi�caçãono referencial (t0; x0) , no qual B está parado:
t0 = [t� v(x+ L)]
= t� vx� vL
= (t� vx)� vL
t0 $ t0 � vL
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e
x0 = [(x+ L)� vt]
x0 = [(x+ L)� vt]
x0 = x� vt+ L
x0 $ x0 + L
Para B:(t0; x0)$ (t0 � vL ; x0 + L ) (3.13)
No referencial (t0; x0) :
A : movimento com velocidade � vB : repouso
γvLS’:(γvL, γL)
γL
S’:(γL/v,0)
t’ t’tt
x
x’
tA
tB
Figura 3.4 Diagrama que ilustra que do ponto de vista do gêmeo B, o gêmeo A é quem se
move, com a mesma velocidade porém, no sentido oposto.
sendo,
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tB = tA = L
v, (3.14)
�� 0 = tA ,
�t0 = L
v+ vL
e�x0 = � L .
teremos que,
�� 02 = �t02 ��x02
t2A =
� L
v+ vL
�2� ( L)2
= ( L)2�1
v+ v
�2� ( L)2
= ( L)2�1
v2+ 2 + v2
�� ( L)2
= ( L)2�1
v2+ 1 + v2
�
= 2L2
v2+ 2L2 + 2v2L2
t2A = t2B + 2L2�1 + v2
�tB < tA (3.15)
Logo vemos que não há paradoxo e diante disso surge uma aparente con-tradição do Princípio da Relatividade, pois embora a assimetria do problematenha sido removida no ato da compacti�cação, observa-se uma distinção
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entre esses dois observadores, agora, inerciais. De fato, como veremos, esteprincípio não é preservado quando consideramos experimentos globais, nesteespaço compacto.
3.3 O Princípio da Relatividade no espaçocompacto
Mostraremos agora que é possível realizar em C2 uma outra experiênciaglobal capaz de comprometer, nessas condições, o Princípio da Relatividade[4].Considere dois observadores A e B, sendo que B se move com velocidade
constante v em relação a A. Dois sinais luminosos são emitidos a partir daorigem (onde A e B se cruzam pela primeira vez), um para a esquerda e outropara a direita. Tais sinais, após completarem uma volta no universo, sãorecebidos tanto por A como por B. Após a recepção dos sinais, comparemosos intervalos de tempo transcorrido para ambos completarem sua volta emtorno do universo (Figura 3.5). Pelo Princípio da Relatividade, não deveriahaver diferença entre os dois intervalos de tempo pois sendo A e B inerciais,ambos deveriam ser �sicamente indistinguíveis e portanto não deveria existirnenhuma experiência, realizada por qualquer um desses observadores em seupróprio referencial, que indicasse que ele está em movimento
t’(x=vt) t’(x=vt+L)
x=t+L
x=t
t t
x’(2)
(3)
(4)
(1)
xx=0 x=L
Figura 3.5 Experiência global que compromete o Princípio da Relatividade. A reta(x = �t+ L) é a linha de mundo do sinal luminoso que é emitido para a esquerda. E areta (x = t), a linha de mundo do sinal emitido para a direita. Os pontos de intersecção(1) e (2), entre os sinais vindos da direita e da esquerda, respectivamente, mostra os
instantes em que o observador A recebe ambos os sinais. O análogo vale para os pontos(3) e (4), em relação ao observador B.
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Intervalos de tempo gasto para A receber os dois sinais:t1 : pela esquerda(1): Intersecção entre as retas x = 0 e x = �t+ L
�t+ L = 0
t1 = L
ou por análise dimensional,
t1 = L=c (3.16)
t2 : pela direita(2): Intersecção entre as retas x = L e x = t
t2 = L
out2 = L=c (3.17)
) t1 = t2
logo o observador A a�rma receber os dois sinais luminosos, o da esquerdae o da direita, após intervalos de tempo iguais.
Intervalos de tempo gasto para B receber os dois sinais:t3 : pela esquerda(3): Intersecção entre as retas x = vt e x = �t+ L
vt = �t+ L
t (v + 1) = L
t3 =L
1 + v
este intervalo de tempo está sendo medido pelo observador A. SegundoB, este mesmo intervalo será:
t0
3 =L
(1 + v)
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ou, resgatando c nas equações por análise dimensional:
t0
3 =L=c
(1 + v=c)(3.18)
t4 : pela direita(4): Intersecção entre as retas x = vt+ L e x = t
vt+ L = t
t (1� v) = L
t4 =L
1� v
e para B,
t0
4 =L
(1� v)ou
t0
4 =L=c
(1� v=c) (3.19)
Em que veri�camos que o observador B, a�rma receber os dois sinaisluminosos, o da esquerda e o da direita, após intervalos de tempo diferentes.
t03 6= t04 (3.20)
Por meio desta experiência, B poderia interpretar que o universo possuium comprimento maior em um sentido do que em outro, enquanto que Anegaria qualquer ambigüidade em relação ao comprimento do universo emambos os sentidos. Além do mais, se o observador B dividir os instantes t04 port03, dividindo a equação (3.19) pela (3.18), ele obteria um termo dependenteapenas da velocidade o que o permitiria calcular sua velocidade em relação àA. Logo, este resultado claramente contradiz o Princípio da Relatividade, poistal experiência introduz uma forma de um observador inercial ser privilegiadoem relação à outro, tomando conhecimento de seu movimento a partir de umexperimento realizado em seu próprio referencial. Ao observador A, que seencontra em repouso em relação a C2; chamaremos de observador isotrópico.
26
3.4 Da Sincronização de relógios no espaçocompacto
Um outro exemplo em que se pode observar a existência de um referen-cial privilegiado em decorrência da compacti�cação do espaço, diz respeito àsincronização de relógios.Ver referência [9].Em Relatividade Especial, a �m de se ter uma noção bem de�nida acer-
ca do instante de ocorrência dos eventos no espaço-tempo para um certosistema de referência, costuma-se idealizar o procedimento segundo o qual sedistribui in�nitos relógios, sincronizados entre si, ao longo de todos os pontosdo espaço. Dessa forma a informação precisa do instante de ocorrência de umdado evento será fornecida pelo relógio localizado na mesma posição em queo evento ocorreu. Para executar este procedimento, fundamental para queestabeleçamos um sistema de referência, é necessário entretanto sincronizarestes relógios entre si, usando a emissão de sinais luminosos.No entanto, conforme veremos, a compacidade do espaço permite a um
único sistema de referência a sincronização global de seus relógios e impõea todos os outros referencias inerciais, obstáculos à execução de tal procedi-mento. Tentaremos a seguir ilustrar esta assimetria.Para isso vamos tentar primeiramente, sincronizar, dois a dois, uma
família de relógios no sistema de referência (t0; x0), ao longo da distância L; a partir da origem (0; 0) , para a direita. Sabemos, pela regra de iden-ti�cação obedecida pelo sistema de referência (t0; x0); que o evento (0; 0) éequivalente ao evento (� vL; L):Da mesma forma, o evento ( vL; 0) é equivalente ao evento (0; L). Por-
tanto se seguirmos nosso processo de sincronização mencionado acima, aoatingirmos a origem novamente em x0 = L; haverá uma discrepância entreas leituras dos relógios localizados imediatamente à esquerda da origem eaqueles situados a partir da origem à direita. Isto é, um relógio ligeiramenteà esquerda da origem estará marcando o instante t0 = 0; enquanto que outroimediatamente à direita marcará o valor de t0 = vL. Esta descontinuidadepersistirá conforme o tempo evoluir, sempre com os relógios à direita daorigem marcando instantes à frente, por uma quantidade vL; dos relógioà esquerda da origem. Alternativamente, se poderia escolher sincronizar osrelógios para esquerda ao invés de pela direita, porém em algum momentoapós se ter percorrido o ciclo completo L; a descontinuidade inevitavelmentese manifestaria.(�gura 3.6).
27
S’:(0, γvL)
t’= γvL
t
x’
x
’
(0,0)S:(0, L) e
S’:(γvL, γL)
t’= γvL
t’= 0
S’:(0, γL)
t’ t’t
Figura 3.6 Ao sincronizar-se uma família de relógios tanto pela esquerda quanto peladireita no referencial (t0; x0);a descontinuidade se manifesta ao se completar o ciclo ouseja, ao se percorrer a distância L:Aqui, chamamos de S0o sistema de referência (t0; x0)e
de So sistema de referência (t; x) e nos pontos em destaque na �gura estão asrepresentações de cada sistema para tais eventos, exceto a origem que é a mesma para
ambos.
O fato de a reta t0 = 0 em (t0; x0); como conseqüência de (t0; x0) $ (t0 � vL ; x0 + L ), não ser fechada (�gura 3.7) é a causa do surgimento destaambigüidade que impossibilita a sincronização global de relógios em (t0; x0).
Figura 3.7 A reta t0 = 0 no sistema (t0; x0)não é fechada, indicando a impossibilidadeglobal de sincronizar se relógios em movimento.
No entanto, como não há razões para descon�armos da validade local doPrincípio da Relatividade, uma vez que ele é falho neste espaço, apenas em
28
experimentos globais. Mesmo neste referencial, não haverá nenhum obstá-culo a sincronização de relógios, utilizando técnicas usuais, quando esta forrealizada localmente (em regiões menores do que L).Porém, no sistema de referência (t; x); a reta t = 0; bem como todas as
retas de simultaneidades são fechadas (�gura 3.8) sendo assim, ao sincronizar-se uma família de relógios ao longo de todo o ciclo, isto é, percorrendo adistância L não haverá a descontinuidade observada no referencial (t0; x0),mostrando ser possível para o observador cuja regra de identi�cação de pontosno espaço-tempo é (t; x) $ (t; x + L ), efetuar globalmente a sincronizaçãode seus relógios, sem que haja ambigüidades ou qualquer tipo de obstáculoà este procedimento.
T=0
T=cte
T
X
Figura 3.8 Representação do único observador capaz de efetuar uma sincronização global
de relógios neste espaço.
Dessa forma, estamos diante de um observador privilegiado, que repre-senta o único referencial inercial que neste espaço é capaz de sincronizarglobalmente seus relógios.Assim, num espaço compacto, tal como no espaço-tempo plano e sem
compacidade que é usualmente considerado na Relatividade Especial, o para-doxo dos gêmeos é resolvido de modo a mostrar que o gêmeo B mesmo sendoinercial como seu irmão A, retorna de sua viagem distante mais jovem queeste, pois a compacidade introduz neste espaço um referencial privilegiado,que torna o princípio da relatividade, válido apenas localmente e violadoglobalmente. Emitindo sinais luminosos para ambos os sentidos, é possíveldeterminar a velocidade absoluta do observador em relação ao universo. Ficaclaro também que não há um sistema de referência �sicamente aceitável, comrelógios globalmente sincronizados, colocados a se moverem junto com B. Istoindica outra clara distinção entre A e B.
29
Capítulo 4
Conseqüências da compacidadedo espaço na Teoria Quânticade Campos
Tomaremos o espaço-tempo 1+1D, em que a dimensão espacial é com-pacta, sendo representado na �gura (4.1) pelo cilindro C2, cuja célula fun-damental tem comprimento L, medido em relação a família de observadoresisotrópicos. Calcularemos em C2 a energia do vácuo ou energia de Casimir,obedecendo a procedimentos já conhecidos na TQC como: resolução daequação de Klein-Gordon, quantização canônica, ordenamento normal e métodode regularização por corte exponencial; sendo este último usualmente uti-lizado no tão conhecido Efeito Casimir, previsto por Hendrik G.B. Casimirem 1948 [10]. Calcular a Energia de Casimir em C2, implica em exigir que ocampo escalar satisfaça Condições de Contorno Periódicas (CCP), conformeveremos.
C2t
x
Figura 4.1 Cilindro C2de comprimento L. Espaço-tempo (1+1D) com a dimensão
espacial compacta (S1 � R1).
30
4.1 O Efeito Casimir
Em 1948, H.G.B Casimir calculou a força atrativa entre duas placas per-feitamente condutoras, neutras, paralelas e �xas [10]. Tal força, chamada deforça de Casimir é dada por:
F = �A �2~c240a4
. (4.1)
Onde A é a área de cada uma das placas, a é a distância que as separa.O sinal negativo indica que trata-se de uma força atrativa. Em seu trabalho,Casimir associou a força atrativa entre as placas às �utuações quânticas dovácuo, lançando mão de um método, baseado na energia do ponto zero (ener-gia do estado fundamental) do campo eletromagnético para calcular tal força.Segundo Casimir, o vácuo quântico eletromagnético é alterado pela pre-
sença das placas metálicas que impõem condições de contorno ao campoeletromagnético. Estas condições de contorno provocam uma alteração novácuo que dá origem à energia de Casimir, da qual deriva a força responsávelpela atração entre as placas. Esta energia calculada por Casimir é dada por:
E0 = �A�2~c720a3
, (4.2)
onde podemos observar que a força atrativa (4.1) é dada por F = �@E0@a:
Podemos dizer portanto que a energia de Casimir é a conseqüência da altera-ção da energia do vácuo de um campo quântico quando este é submetido àcondições de contorno.Por simpli�cação, podemos aplicar o método usado por Casimir no caso de
um espaço-tempo 1+1D. E consideraremos então um campo escalar real semmassa ', que neste caso irá simular o campo eletromagnético. Tal campo es-tará sujeito às condições de contorno '(t; 0) = 0 = '(t; L); que são condiçõesobedecidas pelo campo, na presença de placas perfeitamente condutoras lo-calizadas em x = 0 e x = L. Ressalta-se que, no caso considerado de umespaço unidimensional, as placas (fronteiras) seriam simplesmente pontos noeixo Ox:O método de Casimir, consiste em calcular a diferença, em todo o espaço,
entre a energia do estado fundamental no vácuo do campo, na presença dasfronteiras e a a energia do estado fundamental, na ausência das fronteiras.Como as freqüências do campo nas regiões fora das placas não são alteradas,basta calcularmos esta diferença apenas no intervalo entre as fronteiras [11].Sendo !n = knc =
n�cLas freqüências permitidas ao campo, esta diferença
31
que corresponde à energia de Casimir será:
Ec(L) =1Xn=1
1
2~cn�
L�Z 1
�1
1
2~ckxdkx . (4.3)
No entanto, esta de�nição da energia é �sicamente inconveniente, uma vezque ambos os termos do segundo membro da expressão acima (bem como adiferença entre eles) são in�nitos, o que compromete a atribuição de umsentido físico a estas quantidades.Para darmos signi�cado físico a esta expressão, é preciso que apliquemos
um método de regularização. Neste método, sempre que surge na teoriaquantidades divergentes e indeterminações (por exemplo do tipo1�1), asquantidades divergentes são rede�nidas em termos de um parâmetro, que aquidenotaremos por �. Esta dependência em � introduzida é tal que quando �tende a um certo valor �0, recuperam-se as quantidades (divergentes) origi-nais, mas quando � 6= �0 as quantidades deixam de divergir. Com todasas quantidades bem de�nidas (� 6= �0), efetuam-se todos os cálculos. No�nal, as quantidades físicas calculadas deverão permanecer �nitas quandofor tomado o limite �! �0.São vários os tipos de regularização adotados na física teórica para lidar
com quantidades divergentes. Para uma explanação mais detalhada acercados diferentes métodos de regularização ver ref.[12]. O método que usaremosneste capítulo para rede�nir as quantidades divergentes será o método de re-gularização por corte exponencial. Especi�camente neste método, rede�nire-mos as quantidades mal de�nidas em termos de uma função exponencial,em que o parâmetro regularizador aparece no seu argumento. Neste caso, ovalor para o qual o parâmetro deve tender para que se reobtenha a expressãooriginal (agora rede�nida) é �0 = 0:Fazendo esta regularização e seguindo os procedimentos descritos em [11]
a força entre as placas será:
Fc(L) = �@
@LEc(L) = �
�~c24L2
, (4.4)
onde o sinal negativo indica que existe uma força atrativa entre as placas.
4.2 Solução da Equação de Klein-Gordon em1+1D (Condições de Contorno Periódi-cas)
Para simular o campo eletromagnético, usaremos aqui também um campoescalar, real, sem carga e não-massivo, o campo de Klein-Gordon. A razão
32
para isto é que, além de com esta hipótese conseguirmos uma considerávelsimpli�cação dos cálculos a serem efetuados, tal hipótese permite que sereproduza muitos dos resultados obtidos em casos em que mais de uma di-mensão espacial é considerada. Adotaremos aqui todos os procedimentos jáconhecidos para se obter a densidade de energia, como no caso resumida-mente descrito na seção anterior. A diferença é que aqui levaremos em contao fato de o espaço ser compacto, o que exige que imponhamos Condições deContorno Periódicas (CCP) ao campo.Seja a equação de Klein-Gordon:
(�+ m2c2
~2)�(x; t) = 0, (4.5)
Para um campo não-massivo, e considerando o Sistema de Unidades Naturais(c = ~ = 1), teremos:
��(x; t) = 0 (4.6)
@2�(x; t)
@t2� @2�(x; t)
@x2= 0.
O campo tomado em C2; está sujeito à CCP:
�(x; t) = �(x+ L; t), (4.7)
sabemos que uma função com esta característica pode ser expandida em umasérie de Fourier, ou seja:
�(x; t) =1X
n=�1�n (t) e
i 2�nLx , (4.8)
onde,
�n(t) =1
L
Z L
0
�(x; t) e�i2�nLxdx . (4.9)
Vamos chamar:
kn =2�n
L;n 2 Z . (4.10)
Além de satisfazer as condições de contorno (4.7), queremos que (4.8) sejasolução da equação de Klein-Gordon (4.6). Assim, vamos substituir (4.8) em(4.6):
33
1Xn=�1
@2�n(t)
@t2eiknx +
1Xn=�1
�n(t) k2n e
iknx = 0 )
1Xn=�1
h��n (t) + k2n �n (t)
ieiknx = 0 . (4.11)
As funções eiknx obedecem a condição de ortogonalidadeR L0ei(kn�kn0)x =
L�n;n0, de modo que, para que a igualdade acima seja satisfeita teremos queos coe�cientes �n(t)devem satisfazer a seguinte equação diferencial:
��n(t) + k2n�n(t) = 0 , (4.12)
que é do tipo oscilador harmônico e cuja solução �ca:
�n(t) = an e�i!nt + bn e
i!nt , (4.13)
onde an e bn são constantes arbitrárias e !n = jknj (em unidades do SI!n = jknj c; mas aqui c = 1):Como o campo é real, ou seja:
�(x; t) = ��(x; t); (4.14)1X
n=�1�n (t) e
iknx =1X
n=�1��n (t) e
�iknx:
Fazendo n �! �n (kn �! k�n) na expressão do 1o membro, temos:
�1Xn=1
��n (t) e�iknx =
1Xn=�1
��n (t) e�iknx: (4.15)
Os limites do somatório podem ser invertidos sem alterar-se o resultado,então:
1Xn=�1
��n (t) e�iknx =
1Xn=�1
��n (t) e�iknx: (4.16)
assim,��n(t) = ��n(t) ) (4.17)
a�n e�i!�nt + b�n e
i!�nt = a�n ei!nt + b�n e
�i!nt , (4.18)
mas,!�n = !n , (4.19)
34
a�n e�i!nt + b�n e
i!nt = a�n ei!nt + b�n e
�i!nt , (4.20)
logo,
a�n = b�n (4.21)
a�n = b�n .
Então a expansão (4.8) do campo, torna-se:
�(x; t) =
1Xn=�1
�an e
�i!nt + bn ei!nt�eiknx (4.22)
=1X
n=�1
�an e
�i!nt+iknx + bn ei!nt+iknx
�,
no 2o termo do somatório, façamos a mudança de n para �n (kn �! �kn):
�(x; t) =1X
n=�1an e
�i!nt+iknx +1X
n=�1b�n e
i!�nt�iknx, (4.23)
em seguida,b�n = a�n , (4.24)
�(x; t) =1X
n=�1
�an e
�i!nt+iknx + a�n ei!nt�iknx
�, (4.25)
que é a solução geral da equação de Klein-Gordon.De�niremos aqui as soluções normalizadas da seguinte forma:
un(x; t) = cn e�i!nt+iknx , (4.26)
em que cn é a constante de normalização. Podemos assim escrever (4.25)como:
�(x; t) =1X
n=�1[anun(x; t) + a
�n u
�n(x; t)] , (4.27)
onde as funções un, para que se tenha um conjunto completo de soluções,devem ser ortonormais com relação ao produto escalar de Klein-Gordon. Esteproduto, entre duas funções arbitrárias �1 (x; t) e �2 (x; t), é de�nido por:
(�1 (x; t) ; �2 (x; t) ) = �iZ L
0
[�1$@t�
�2] dx (4.28)
= �iZ L
0
��1
�@��2@t
���@�1@t
���2
�dx .
35
Para as funções un(x; t) teremos:
_un (x; t) = �i!nun (x; t) ; (4.29)@
@xun (x; t) = iknun (x; t) : (4.30)
A constante cn será determinada pelas condições de ortonormalidade queas funções un(x; t) devem satifazer, isto é:
(un(x; t) ; u�n0(x; t)) = 0 ; (4.31)
(un(x; t) ; un0(x; t)) = �nn0: (4.32)
Lembrando que: Z L
0
ei(kn�kn0)x = L�n;�n0,
e considerekn0 = k0n
36
assim,
(un(x; t); u�n0(x; t)) = �i
Z L
0
(un _un0 � _unun0) dx
= �iZ L
0
[cn e�i!nt+iknx(�i!n0) cn0e�i!n0 t+ik
0nx+
� (�i!n) cn e�i!nt+iknx cn0 e�i!n0 t+ik0nx]
= �iZ L
0
[�i!n0 cn cn0 e�i!nt+iknxe�i!n0 t+ik0nx+
+ i!n cn cn0 e�i!nt+iknxe�i!n0 t+ik
0nx ]
=
Z L
0
[(�!n0 + !n) cn cn0 e�i!nte�i!n0 tei(kn+k
0n)x] dx
= (�!n0 + !n) cn cn0 e�i!nte�i!n0 t
Z L
0
ei(kn+k0n)x dx
= (�!n0 + !n) cn cn0 e�i!nte�i!n0 tL �n;�n0
= (�!n0 + !�n0) cn c�n e�i!nte�i!�n tL
= 0
pois !�n0 = !n0 = jkn0j
(un(x; t); u�n0(x; t)) = 0
Logo a equação (4.31) está satisfeita. Agora iremos à busca da condição(4.32):
37
(un(x; t) ; un0(x; t)) = �iZ L
0
�un
�@u�n0
@t
���@un@t
�u�n0
�dx
= �iZ L
0
[cn e�i!nt+iknx(i!n0) c
�n0e
i!n0 t�ik0nx+
� (�i!n) cn e�i!nt+iknx c�n0ei!nt�iknx]dx
=
Z L
0
h(!n0 + !n) cn c
�n0e
i!nt e�i!n0 t ei(kn�k0n)xidx
= (!n0 + !n) cn c�n0e
i!nt e�i!n0 tZ L
0
ei(kn�k0n)xdx
(un(x; t) ; un0(x; t)) = (!n0 + !n) cn c�n0 e
i!nt e�i!n0 tL �n;n0 ;
Para n = n0 : (un(x; t) ; un0(x; t)) = 2!n jcnj2 L ; (4.33)
Para n 6= n0 : (un(x; t) ; un0(x; t)) = 0 : (4.34)
Assim podemos escrever ambas as expressões acima em uma só, da seguinteforma:
(un(x; t) ; un0(x; t)) = 2!n jcnj2 L �n;�n0 ; (4.35)
impondo a condição (4.32) de modo que as funções un(x; t) sejam ortonor-mais, a constante cn deve ser:
jcnj =r
1
2!nL(4.36)
Assim, um conjunto completo de soluções ortonormalizadas é fun(x; t); u�n0(x; t)g,8n; n0 2 Z onde un(x; t) =
q1
2!nLe�i!nt+iknx; e a solução geral da equação
de Klein-Gordon não-massiva, poderá ser escrita como:
�(x; t) =
1Xn=�1
r1
2!nL
�an e
�i!nt+iknx + a�n ei!nt�iknx
�: (4.37)
38
4.3 Quantização Canônica de Campos Clás-sicos
Sabemos que, para um dado campo clássico �; as equações de Hamilton,que descrevem sua dinâmica devem ser satisfeitas:
_� =�H
��e _� = ��H
��, (4.38)
onde � é o campo canonicamente conjugado e de�nimos o parêntese de Pois-son entre duas variáveis dinâmicas , A = A [�; �] e B = B [�; �] da seguinteforma:
fA;Bg�� =@A
@�
@B
@�� @A
@�
@B
@�: (4.39)
Daí decorre que o parêntese de Poisson (tomado em t = t0) dos camposserá:
f�(x; t); �(x0; t)g = �(x� x0);f�(x; t); �(x0; t)g = 0; (4.40)
f�(x; t); �(x0; t)g = 0:
A quantização canônica (para passarmos da descrição clássica para adescrição quântica de um sistema), consiste na substituição das variáveisdinâmicas clássicas por operadores lineares num espaço de Hilbert e tambémo parêntese de Poisson de tais variáveis é trocado pelo comutador (vezes 1
i~)associado aos operadores. O procedimento é esquematizado abaixo:
Variável dinâmica clássica Operador linear no espaço de HilbertA �! A
B �! B
Parêntese de Poisson entre A e B Comutador entre A e B (vezes 1i~)
fA;Bg�� �! 1i~
hA; B
iEntão para os campos �(x; t) e �(x; t) teremos:
�(x; t)! �(x; t)
�(x; t)! �(x; t).
39
e como estamos trabalhando no sistema de unidades naturais em que ~ = 1;as relação de comutação serão:
[�(x; t); �(x0; t)] = i�(x� x0) ;[�(x; t); �(x0; t)] = 0 ; (4.41)
[�(x; t); �(x0; t)] = 0:
As relações de comutação a tempos iguais, acima, para � e �, bem comoa ortonormalidade das funções un(x) e u�n(x), exigem que os coe�cientes ane ayn satisfaçam as seguintes relações de comutação:
[an ; an0 ] = 0
hayn ; a
yn0
i= 0 (4.42)
han ; a
yn0
i= �nn0
Prova. Seja:an =
��(x); un(x)
�(4.43)
o produto escalar de Klein-Gordon, onde:
an = �iZ�(x)
!@t u
�n(x)dx;
an = �iZ h
�(x) @t u�n(x)� (@t�(x))u�n(x)
idx;
an = �iZ h
i ! �(x) u�n(x)� �(x)u�n(x)idx:
como,
[an ; an0 ] = an an0 � an0 anteremos que,
[an ; an0 ] = �Z Z
f[i ! �(x) u�n(x)� �(x)u�n(x)][i ! �(x0) u�n0(x0)� �(x0)u�n0(x0)]+
� [i ! �(x0) u�n0(x0)� �(x0)u�n0(x0)][i ! �(x) u�n(x)� �(x)u�n(x)]gdx dx0
40
= �Z Z
f�!2�(x) �(x0)u�n(x)u�n0(x0)� i! �(x)�(x0)u�n(x)u�n0(x0)+
�i! �(x)�(x0)u�n(x)u�n0(x0) + �(x)�(x0)u�n0(x0)u�n(x)+
+!2 �(x0) �(x)u�n0(x0)u�n(x) + i! �(x0)�(x)u�n0(x
0)u�n(x)+
��(x0)�(x)u�n0(x0)u�n(x) + i!�(x0)�(x)u�k0(x0)u�k(x)gdx dx0
= �Z Z
f!2h�(x0) ; �(x)
iu�k0(x
0)u�k(x)� i!h�(x0) ; �(x)
iu�k0(x
0)u�k(x)+
+ [�(x) ; �(x0)] u�k0(x0)u�k(x) + i!
h�(x0) ; �(x)
iu�n0(x
0)u�n(x)gdx dx0:
fazendo a seguinte mudança de variável:
x0 �! x
x �! x0
temos,
[an ; an0 ] = �i!Z Z n h
�(x0) ; �(x)i+h�(x); �(x0)
iou�n0(x
0)u�n(x)dx dx0 = 0;
pois, hA; B
i= �
hB; A
i;
então,[an ; an0 ] = 0 c:q:d:
Por meio de um procedimento análogo mostra-se quehayn ; a
yn0
i= 0:
Precisamos agora demonstrar, da mesma forma, a relação de comutaçãorestante, logo, tomando ainda (4.43):
41
an = �iZ�(x)
!@t u
�n(x)dx;
an = �iZ h
�(x) @t u�n(x)� (@t�(x))u�n(x)
idx;
an = �iZ h
i ! �(x) u�n(x)� �(x)u�n(x)idx;
ayn0 = i
Z h�i! un(x)�y(x0) � un(x) �
y(x0)idx;
como, han ; a
yn0
i= an a
yn0 � a
yn0 an = �nn0 ;
teremos que,
han ; a
yn0
i= �
Z Zfhi ! �(x) u�n(x)� �(x)u�n(x)
i hi ! un0(x
0) �(x0)� un0(x0) �(x0)
i+
+hi ! un0(x
0) �(x0) + un0(x0) �(x0)
i hi ! �(x) u�n(x)� �(x)u�n(x)
igdx dx0
= �Z Z
f�!2�(x) �(x0)u�n(x)un0(x0)� i! �(x)�(x0)u�n(x)un0(x0)+
� i! �(x) �(x0)u�n(x)un0(x0) + �(x) �(x0)u�n(x)un0(x0)+
� !2�(x0)�(x)un0(x0) u�n(x) + i!�(x0)� (x)un0(x0)u�n(x)+
� i! �(x0)� (x)un0(x0)u�n(x)� �(x) �(x0)un0(x0) u�n(x)gdx dx0
=
Z Zf!2[�(x); �(x0)]u�n(x)un0(x0) + i! [�(x); �(x0)]u�n(x)un0(x
0)+
+ i![�(x0); � (x)]un0(x0)u�n(x) + [�(x); �(x
0)]un0(x0) u�n(x)gdx dx0
42
=
Z Z2!i [�(x0); � (x)]un0(x
0) u�n(x) dx dx0
=
Z Z2!i (�i�(x� x0) ) un0(x0) u�n(x) dx dx0
= 2!
Z Z�(x� x0) un0(x0) u�n(x) dx dx0
= 2!
Zu�n(x)
�Z�(x� x0) un0(x0) dx0
�dx:
Sabemos, das propriedades da Função Delta de Dirac, que:Z�(x� x0) f(x0) dx0 = f(x); (4.44)
então,
han ; a
yn0
i= 2!
Zu�n(x)un0(x) dx
= 2!
�1
2!L
� Z L
0
ei(k0n�kn)x dx
=
�1
L
�L �nn0,
assim, han ; a
yn0
i= �nn0. c:q:d:
Lembrando que após a quantização, o campo passará a ser escrito como:
�(x; t) =Xn
�anun(x; t) + aynu
�n(x; t)
�, (4.45)
onde as funções:
un(x; t) =
r1
2!nLe�i!nt+iknx , (4.46)
e seus complexos conjugados formam um conjunto completo de soluções orto-normalizadas da equação de Klein-Gordon.
43
4.4 Densidade de energia do campo e orde-namento normal
Em um referencial inercial S; as componentes do tensor momento-energia(ver [13]) associado a um campo escalar massivo � é:
T�� = @��@���1
2������@��@��+
1
2m2�2���: (4.47)
Como �(x; t), no nosso caso, é não-massivo, podemos reescrever a expressãoacima da seguinte forma:
T�� = @��@���1
2������@��@��: (4.48)
Sabemos que a componente T00 do tensor momento-energia correspondeao operador densidade de energia do campo em S:
T00 = @0�@0��1
2�00�
��@��@�� (4.49)
=�@0��2� 12(�00@0�@0�+
3Xi=1
�ii@i� @i�)
=�@0��2� 12
�@0��2+1
2
3Xi=1
�@i��2:
Como estamos trabalhando em apenas uma dimensão espacial, teremos:
T00 =1
2
��@0��2+�@1��2�
: (4.50)
Substituindo acima a expressão do campo e integrando em todo o espaço,obtemos o operador energia do campo (Hamiltoniano), no referencial S:
H =
Zx
T00 dx, (4.51)
calculando a integral acima, encontramos que:
H =1
2
Xn
(aynan + anayn)!n, (4.52)
e pela relação de comutaçãohan ; a
yn0
i= �nn0 teremos:
44
H =Xn
�aynan +
1
2
�!n. (4.53)
Como os operadores ayn e an satisfazem as relações de comutação, o Hamil-toniano (4.53) representa a energia total de uma coleção de in�nitos os-ciladores harmônicos (um para cada modo do campo un). Aqui para evitarconfusões, substituiremos temporariamente o índice n por l. Sendo assim,podemos de�nir o operador número de partículas ou operador número, que éum operador cujo autovalor corresponde ao número de quanta presentes emseus autoestados,
N �Xl
Nl, (4.54)
onde,
Nl � ayl al. (4.55)
Poderemos assim reescrever o Hamitoniano da seguinte forma:
H =Xl
�Nl +
1
2
�!l. (4.56)
O operadores ayl tem o papel de aumentar o número de quanta nl, nooscilador correspondente ao modo ul, enquanto que al diminui nl neste modoe são por isso ayl e al, respectivamente, denominados operadores criação eaniquilação,ver ref.[14].Resgataremos a notação anterior, tornando a usar n ao invés de l. No
estado de mais baixa energia (em que é zero o número de quanta em cadaoscilador) denominado vácuo, teremos:
E0 =1X
n=�1
1
2!n (4.57)
O estado de vácuo, usualmente representado por j0i, é de�nido como oestado que é aniquilado por todos os operadores an; isto é:
an j0i = 0; 8n: (4.58)
Como, no caso que estamos estudando, este estado está associado aosmodos discretos decorrentes das CCP (4.7), o representaremos por j0Li :Nota-se pela equação (4.57) que E0 é um termo que diverge, indicando
que aparentemente o vácuo contém uma densidade in�nita de energia.
45
Sabemos que os observáveis físicos sempre estão associados a diferençasde energia e não a valores absolutos. Isto nos permite de�nir nosso Hamil-toniano de modo a eliminar o termo in�nito, sem que as quantidades físicasobserváveis sejam afetadas:
H 0 � H � E0: (4.59)
Faremos isso usando a operação ordenamento normal [14], um truquematemático frequentemente utilizado em Teoria Quântica de Campos como propósito de remover os termos divergentes que eventualmente surgem,quando se tem produtos de operadores.Para isso consideremos, o operador campo �(x; t) dado na equação (4.45):
Podemos escrevê-lo como a soma entre as suas partes em que estão contidasfreqüências positivas e freqüências negativas, assim:
�(x; t) = �(+)(x; t) + �(�)(x; t): (4.60)
A primeira parte �(+)(x; t) está associada aos operadores aniquilação,enquanto que a segunda parte aos operadores criação. Considere agora umsegundo operador campo �(x; t) que também pode ser escrito de forma seme-lhante a �(x; t): Faremos agora o ordenamento normal entre estes dois opera-dores. O produto normal, operação denotada pelo símbolo : : ; entre doisoperadores � e � é de�nido como um produto em que as partes com freqüêncianegativa são colocadas à esquerda das partes com freqüência positiva:
: �� : = �(�)�(�) + �(�)�(+) + �(�)�(+) + �(+)�(+): (4.61)
Observemos que ao aplicarmos o ordenamento normal ao Hamiltonianodado por (4.52), iremos rede�ni-lo como um H 0; dado por (4.59), em queos operadores criação são automaticamente movidos para a esquerda dosoperadores aniquilação:
: anayn : = aynan. (4.62)
Assim
: H : =Xn
aynan !n. (4.63)
e o termo problemático 12!n não aparecerá pois ao tomarmos valor esperado
no vácuo h0j : H : j0i este, conforme a de�nição de vácuo (4.58), se anulará,removendo assim a divergência.
46
4.5 Cálculo da densidade de energia do campo
A densidade de energia do campo no vácuo corresponde ao valor esperadodo tensor momento-energia neste estado, assim:
T00 =1
2[@0� @0�+ @1� @1�] (4.64)
) h0LjT00j0Li =1
2
hh0Lj@0� @0�j0Li+ h0Lj@1� @1�j0Li
i. (4.65)
Lembremos ainda (ref.[13]) que as seguintes propriedades devem ser satis-feitas:
an j0Li = 0, (4.66)
h0Lj ayn = 0.
que é a própria de�nição de vácuo (4.58),
h0Ljan ayn0j0Li = �nn0, (4.67)
que expressa a ortonormalidade entre h0Lj an e h0Lj an0 e
h0Lj@��@��j0Li =Xn
(@�un)(@�un)�, (4.68)
que é conseqüência de (4.66) e (4.67), ao se expandir o campo em termos deayn e an0 e considerando ainda que,
u�nun =1
2L!n,
!n = c jknj = kn ; c = 1,
assim retomando (4.65),
h0LjT00j0Li =1
2
(Xn
[(@0un)(@0un)� + (@1un)(@1un)
�]
)
47
h0LjT00j0Li =1
2
("Xn
(i!n)u�n (�i!n)un +
Xn
(�ikn)u�n (ikn)un
#)
=1
2
"Xn
�!2n + k2n
�u�nun
#=1
2
Xn
2k2n1
2Lkn
=1
2L
1Xn=�1
kn.
h0LjT00j0Li =1
2L
1Xn=�1
kn, (4.69)
onde j0Li obedece a condição,
j0Li ! j0i quando L!1,e sendo kn = 2�n
L:
h0LjT00j0Li =1X
n=�1
1
2L
2�n
L
=1Xn=0
2�
L2n. (4.70)
Por ordenamento normal podemos calcular a energia de Casimir para taiscondições de contorno. A operação ordenamento normal feita em h0LjT00j0Liisto é h0Lj : T00 : j0Li, implica em subtrair o valor esperado da densidade deenergia no vácuo na ausência das fronteiras, do valor esperado da densidadede energia no vácuo, na presença de fronteiras:
h0Lj : T00 : j0Li = h0LjT00j0Li � h0jT00j0i: (4.71)
Prova:Para deduzirmos a expressão acima, calcularemos individualmente os dois
termos do segundo membro da expressão e depois provaremos que a diferençaentre eles, na ordem apresentada acima, corresponde ao primeiro membro.Ao invés de j0Li, por generalidade iremos considerar aqui um vetor genérico
48
j i no espaço de Hilbert do sistema sem CCP. Ao �nal substituiremos conve-nientemente j i por j0Li que, além de ser o vácuo do espaço de Hilbert comCCP, é um estado (diferente do vácuo) no espaço de Hilbert sem CCP. Con-sideremos o caso mais geral em que não há condições contorno e portanto osmodos k, do campo, são contínuos. Assim, tomando a equação (4.50) e sub-stituindo nela as derivadas espaciais e temporais do campo de Klein-Gordongenérico (versão contínua de (4.45)), não sujeito a condições, não-massivo elivre, teremos:
T00 =1
2
�Z 1
�1
Z 1
�1dk dk0
�ak @0uk + ayk @0u
�k
��ayk0 @0u
�k0 + ak0 @0uk0
�+
Z 1
�1
Z 1
�1dk dk0
�ak @1uk + ayk @1u
�k
��ayk0 @1u
�k0 + ak0 @1uk0
�+
�=
=1
2
�Z 1
�1
Z 1
�1dk dk0
�ak a
yk0 @0uk @0u
�k0 + ak ak0 @0uk @0uk0+ (4.72)
+ ayk ayk0 @0u
�k @0u
�k0 + ayk ak0 @0u
�k @0uk0
�+
+
Z 1
�1
Z 1
�1dk dk0
�ak a
yk0 @1uk @1u
�k0 + ak ak0 @1uk @1uk0+
+ ayk ayk0 @1u
�k @1u
�k0 + ayk ak0 @1u
�k @1uk0
�i.
Calculando o valor esperado do tensor momento-energia no vácuo e con-siderando que a relação de ortonormalidade (4.67) para o caso o contínuo�ca
h0jak ayk0j0i = �(k � k0); (4.73)
e também da de�nição de vácuo (4.66) teremos:
49
h0jT00j0i =1
2
Z 1
�1
Z 1
�1(@0uk @0u
�k0 + @1uk @1u
�k0) �(k � k0) dk dk0
=1
2
Z 1
�1(@0uk @0u
�k + @1uk @1u
�k) dk
=1
2
Z 1
�1
�j@0ukj2 + j@1ukj2
�dk: (4.74)
A terceira das relações de comutação (4.42) para o caso contínuo �ca:hak; a
yk0
i= �(k � k0); (4.75)
então,
ak ayk0 � a
yk0 ak = �(k � k0)ak a
yk0 = �(k � k0) + ayk0 ak . (4.76)
Substituindo ak ayk0 por �(k�k0)+a
yk0 ak na equação (4.72), o valor esperado
de T00 no estado j i será:
h jT00j i = h j i1
2
Z 1
�1
Z 1
�1(@0uk @0u
�k0 + @1uk @1u
�k0) �(k � k0) dk dk0+
+ h j�1
2
Z 1
�1
Z 1
�1dk dk0
�ayk0 ak @0uk @0u
�k0 + ak ak0 @0uk @0uk0+
+ ayk ayk0 @0u
�k @0u
�k0 + ayk ak0 @0u
�k @0uk0
�+
+1
2
Z 1
�1
Z 1
�1dk dk0
�ayk0 ak @1uk @1u
�k0 + ak ak0 @1uk @1uk0+
+ ayk ayk0 @1u
�k @1u
�k0 + ayk ak0 @1u
�k @1uk0
�ij i :
É fácil observar que o segundo termo à direita corresponde ao valor es-perado de T00 no estado com ordenamento normal, assim a equação acima�ca:
h jT00j i =1
2
Z 1
�1
�j@0ukj2 + j@1ukj2
�dk + h j : T00 : j i; (4.77)
50
e como o primeiro termo à direita corresponde à h0jT00j0i; então:
h jT00j i = h0jT00j0i+ h j : T00 : j i
ouh j : T00 : j i = h jT00j i � h0jT00j0i: (4.78)
Se o estado j i for o vácuo na presença de fronteiras j0Li, substituindo temos:
h0Lj : T00 : j0Li = h0LjT00j0Li � h0jT00j0i: c:q:d: (4.79)
Vamos resolver (4.79) por partes. No primeiro termo, dado pela equação(4.70), vamos aplicar o método de regularização por corte exponencial, in-troduzindo a função de corte e��jknj, tomando o limite quando o parâmetro� tender à zero, isto é:
h0LjT00j0Li = lim�!0
"2�
L2
1Xn=0
n e�2�nL�
#;
= lim�!0
"1
L
1Xn=0
�� @
@�
�e�
2�nL�
#;
= lim�!0
"1
L
�� @
@�
� 1Xn=0
e�2�nL�
#: (4.80)
O termo com somatório em (4.80) corresponde à soma de uma PG in�nita:
1Xn=0
e�2�nL� = 1 + e�
2��L + e�
4��L + :::; (4.81)
cuja razão é:
q = e�2��L ;
Esta soma, como sabemos, pode ser calculada pela fórmula:
S =a11� q =
1
1� e� 2��L
,
assim,
1Xn=0
e�2�nL
� =�1� e� 2��
L
��1, (4.82)�
� @
@�
��1� e� 2��
L
��1=
���1� e� 2��
L
��2��2�L
�e� 2��
L
�,
51
e
h0LjT00j0Li = lim�!0
"1
L
�� @
@�
� 1Xn=0
e�2�nL�
#,
h0LjT00j0Li = lim�!0
�1
L
���1� e� 2��
L
��2��2�L
�e�
2��L
��
= lim�!0
8><>:2�L2 e�2��L�
1� e� 2��L
�29>=>;
=2�
L2lim�!0
8><>: 1he��L
�1� e� 2��
L
�i29>=>;
=2�
L2lim�!0
(1�
e��L � e���
L
�2)
=2�
L2lim�!0
(1
4 sinh2���L
�) . (4.83)
e como,
ex � e�x = 2 sinhx,
cosechx =1
sinh x,
cosechx =1
x� x
6+ ::: ,
cosech2x =1
x2� 13+x2
36+ :: ,
temos:
h0LjT00j0Li =2�
L2lim�!0
1
4
hcosech2
���L
�i=2�
L2lim�!0
1
4
"�L
��
�2� 13+O(�3)
#,
assim,
h0LjT00j0Li = lim�!0
�L
2��2� �
6L2+O(�3)
�. (4.84)
52
O segundo termo da equação (4.79) corresponde ao primeiro termo nolimite L!1, isto é:
h0jT00j0i = limL!1h0LjT00j0Li, (4.85)
quando de um somatório passamos para uma integral, mapeando da seguinteforma [15]:
kn =2�n
L,
1Xn=�1
!1Z�1
dn =L
2�
1Z�1
dk e kn ! k.
Tomando o segundo termo e aplicando o corte exponencial temos:
lim�!0
nlimL!1h0LjT00j0Li
o= lim
�!0
8<: L
2�
1Z�1
1
2jkj e��jknj dk
9=;= lim
�!0
8<: L
2�
�� @
@�
� 1Z0
e��jkj dk
9=;= lim
�!0
�L
2�
�� @
@�
��� 1�e��jkj
�10
�= lim
�!0
�L
2�
�� @
@�
��� 1�:0 +
1
�
��= lim
�!0
�L
2�
@
@�
�1
�
��= lim
�!0
�� L
2��2
�. (4.86)
Subtraindo (??) de (4.84) obteremos o termo h0Lj : T00 : j0Li :
h0Lj : T00 : j0Li = lim�!0
�L
2��2� �
6L2+O(�3)� L
2��2
�= � �
6L2(4.87)
ou seja,h0Lj : T00 : j0Li = � = � �
6L2, (4.88)
que é o valor esperado da densidade de Energia de Casimir do campo comordenamento normal.
53
Observamos que embora os valores esperados de T00, h0jT00j0i e h0LjT00j0Li,tomados nos estados j0i e j0Li, respectivamente, sejam individualmente di-vergentes, a diferença entre eles, efetuada aos cuidados da técnica de orde-namento normal e do método de regularização por corte exponencial, temum valor �nito. E dessa forma, conforme visto, no estado j0Li está contidouma densidade de energia �nita e negativa. A energia total que está uni-formemente distribuída neste universo, C2; é portanto ��=6L: Pela equação(4.48) e fácil ver que no caso 1+1 D, T00 = T11, assim a pressão que atua emtodos os pontos deste universo será:
p = h0Lj : T11 : j0Li = ��
6L2. (4.89)
Por análise dimensional, podemos resgatar as constantes fundamentais, logo:
p = h0Lj : T11 : j0Li = ��~c6L2
. (4.90)
Note que em uma única dimensão espacial, a pressão tem dimensão de força ecomo é de se esperar p = � d
dL(�L): Se considerarmos que o parâmetro L (que
é o comprimento do universo medido em relação à família de observadoresisotrópicos) possa variar, esta será a força atrativa responsável pela variaçãodeste parâmetro.
54
Capítulo 5
Sugestões de compacti�caçãodo espaço na Física
Ao longo das décadas recentes, observaram-se diversas propostas favoráveisà existência de dimensões compacti�cadas na natureza. Dois ambientes da co-munidade cientí�ca onde este assunto vem ganhando um considerável espaçosão na Teoria de Supercordas e na Cosmologia. Essas propostas apóiam-seou em algumas observações experimentais (no caso da Cosmologia) ou emalguma exigência da teoria (Teoria de Supercordas). Apresentaremos aquiuma descrição muito breve dessas propostas.
5.1 Na Teoria de Supercordas: dimensões ex-tras
ATeoria de Cordas é uma tentativa de compatibilizar a Relatividade Geralcom a Mecânica Quântica, compatibilização esta que nos proporcionaria acompreensão das quatro interações da natureza a partir de uma só teoria.Estaria aí alcançado um dos alvos mais perseguidos por físicos do mundotodo, durante boa parte do século XX até o presente momento: a GrandeUni�cação. A Teoria de Cordas, surgiu na década de 70 com a proposta deque as partículas elementares consistiriam não em objetos puntuais, comoestamos acostumados a tratá-los, mas sim em modos de vibração de obje-tos chamados "cordas fundamentais"[16]. Cada diferente modo de vibraçãocorresponderia a uma partícula elementar especí�ca. A conveniência destahipótese é que a interação entre dois destes objetos unidimensionais não di-verge quando eles se aproximam, tornando possível que a Teoria de Cordasuni�que o Modelo Padrão (teoria que descreve as interações eletromagnética,fraca e forte) com a Gravitação sem defrontar-se com o problema dos in�nitos
55
da Teoria Quântica. A partir dos anos 80, a teoria mostrou que os in�nitosquânticos que inviabilizam a uni�cação do modelo padrão com a gravitaçãosão removidos somente se a teoria for dotada de uma propriedade chamadade supersimetria. A Teoria de Cordas com supersimetria é denominada deTeoria de Supercordas.Mas o nosso objetivo aqui é mostrar a importância que a hipótese da exis-
tência de dimensões compacti�cadas desempenha na teoria de cordas. Nocaso em que os objetos fundamentais da teoria são puntuais (como é o casodas partículas elementares no Modelo Padrão), não há nenhuma restriçãoacerca do número de dimensões admissíveis no espaço-tempo do Universo.Porém, a relatividade especial proíbe que dois pontos distintos troquem in-formações com velocidades superiores à da luz, o que poderia ocorrer casode os dois pontos estarem na mesma corda fundamental. Esta contradiçãoé evitada ao considerar-se que as cordas vibram em dez dimensões, sendonove dimensões de espaço e uma de tempo, ao invés de em quatro dimensões(três de espaço e uma de tempo), com as quais estamos acostumados. Noentanto tais dimensões extras são compacti�cadas na escala de Planck, istoé, a 10�34 m: Dimensões tão pequenas que são necessárias quantidades al-tíssimas de energia para observá-las, quantidades estas ainda não alcançadasnos aceleradores.Além de as equações que descrevem as vibrações das cordas se tornarem
inconsistentes, a menos que o espaço-tempo seja altamente curvo (o que éincompatível com as observações) ou contenha estas seis dimensões extras,existe uma importância em assumir a hipótese da compacti�cação destasdimensões extras [17]. Uma das conveniências presentes na assunção da exis-tência das dimensões extras é a de se ter assim uma possível explicação paraao fato de a interação gravitacional ser tão menos intensa quando comparadaàs demais. A hipótese sugerida é a de que os grávitons (partículas teóricasmediadoras da interação gravitacional) possam viajar livremente nas dimen-sões extras, diferentemente das partículas mediadoras do modelo padrão que�cam "presas"apenas às três dimensões espaciais [19]. Para a teoria de cor-das conter partículas semelhantes ao modelo padrão, estas seis dimensõesdeveriam ser compactas na forma de um espaço "Calabi-Yau"[16]. No en-tanto, não há ainda evidências quanto à forma da compactação das dimensõesextras.
5.2 Na Cosmologia
Em 1991, o satélite Cosmic Background Explorer (COBE) descobriu peque-nas �utuações na Radiação Cósmica de Fundo (RCF). A existência dessas
56
�utuações, além de estar relacionada a variações de densidade do universoprimordial, que teriam sido necessárias à formação de galáxias e estrelas,pode conter respostas a questões referentes à topologia do universo.Os fótons da RCF que chegam em um dado momento na Terra, iniciaram
suas jornadas praticamente ao mesmo tempo e distância do nosso planeta.Isto ocorreu no momento do "desacoplamento"há aproximadamente 300 milanos após o Big Bang, quando o universo tornou-se transparente à RCF. Ospontos de partida dos fótons, que chegam agora na Terra, formam uma esferacom a Terra no centro. Esta esfera é chamada de última superfície de espa-lhamento. Se o universo possuir a topologia de um toro tridimensional (cujacélula fundamental é um cubo) e se a última superfície de espalhamento formaior que ele, esta então interceptará a si mesma, ver[18]. Esta intersecçãode�nirá, em cada direção, pares de círculos no espaço. Os dois círculos se-riam equivalentes devido à compacidade do universo, e portanto os padrõesde temperatura ao longo de cada um seriam idênticos e possíveis de seremobservados na RCF. A busca por esses padrões, constitui uma das formasmais utilizadas na procura da real topologia do nosso universo.Outra forma de identi�car a topologia do universo freqüentemente uti-
lizada é a procura por imagens cósmicas (de estrelas, galáxias etc ) repeti-das. Uma vez que, num universo compacto, a luz de um objeto cósmico teriamais de um caminho a percorrer até um observador na Terra. No entanto,a di�culdade deste método é que, se o universo possuir um tamanho su�-cientemente grande, as diferentes imagens de um mesmo objeto astronômicoestarão tão defasadas no tempo (com posições no espaço e propriedades in-trínsecas tão diferentes) que se torna quase impossível reconhecer que sãodiferentes imagens do mesmo objeto ([20] e [21]).A distribuição das �utuações de temperatura da RCF na esfera celeste
pode ser expandida em harmônicos esféricos (Ylm(�; ')). Os coe�cientes daexpansão (somados em m para cada l ) plotados em função de l, constituemo chamado espectro de potência angular da RCF. A análise deste espectro éuma outra ferramenta na tentativa de detecção da topologia do nosso uni-verso. Em um artigo publicado na revista Nature em 2003 [22], Luminetet al. mostraram, com base em dados do Wilkinson Microwave AnisotropyProbe (WMAP), indícios da compacidade de nosso universo no espectro depotência angular da RCF.
57
Capítulo 6
Conclusão
A hipótese da compacidade de dimensões espaciais vem ganhando ultima-mente, um considerável espaço nas teorias físicas mais modernas. Tanto nafísica do micro-mundo, no caso da Teoria de Supercordas ([16], [17] e [19]),como na física do macro-mundo, no caso da Cosmologia ([18], [20], [21] e[22]), esta hipótese vem mostrando cada vez mais a sua importância. Atual-mente, como nunca antes, a compacidade do espaço tem se tornado um temade discussão muito recorrente na Física Teórica.Neste trabalho vimos que em um espaço compacto aparece uma nova
versão do paradoxo dos gêmeos da Relatividade Especial. Como na versãooriginal, este paradoxo é apenas aparente e é resolvido com a constatação daquebra global do princípio da relatividade.Vimos também, que na presença de um campo quântico no espaço com-
pacto surge uma força de Casimir (devida às condições de contorno periódicassobre o campo) que estimula a contração do universo.A compacti�cação do espaço também tem uma grande importância con-
ceitual na Teoria Quântica de Campos onde é usada para se conseguir umconjunto completo de soluções ortonormalizadas do campo (as ondas planasnão são de quadrado-integráveis num espaço in�nito) necessárias para efe-tuar a quantização. No �nal, recupera-se a in�nitude do espaço fazendo otamanho da célula tender ao in�nito.A compacidade das nossas três dimensões espaciais, em grande escala,
poderá ser veri�cada ou descartada num futuro próximo com os aprimora-mentos no estudo da RCF e no mapeamento tridimensional em grande escalado nosso universo.Já a compacidade das dimensões extras, como previstas na teoria das
cordas, está muito longe de ser veri�cada ou descartada diretamente. Nen-hum acelerador ou fenômeno natural, imaginado até o momento, chega pertodas energias necessárias para este estudo. Em qualquer caso, a entrada em
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operação do Large Hadron Collider (LHC), no Centro Europeu de PesquisasNucleares (CERN), caso não encontre nenhuma alteração nas interações fun-damentais a distâncias muito pequenas, estabelecerá um limite máximo ex-perimental para o tamanho de qualquer dimensão extra existente na na-tureza.O estudo das conseqüências cosmológicas da existência de forças de Casimir
(devidas à compacidade do espaço) que se opõem à expansão do universo nosseus primórdios é de grande importância e poderá ser uma continuação destetrabalho.
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Referências Bibliográ�cas
[1] Lima, E. L. Elementos de Topologia Geral, Rio de Janeiro: Ao LivroTécnico S/A, 1976.
[2] Bassalo, J.M.F. Notas de Aula do Profo José Maria Filardo Bas-salo(Cálculo Exterior), DF-UFPA, 2004.
[3] Wald, R.M General Relativity (Appendix A), The University of ChicagoPress, 1984.
[4] Brans, H. C. e Stewart, R.D. , Unaccelerated-Returning-Twin Paradoxin Flat Space-Time, Phys.Rev.D. V.8, 1662, 1973.
[5] Resnick,R. Introdução à Relatividade Especial, Editora Polígono, 1968.
[6] Barrow, J.D e Levin, J. The twin paradox in compact spaces, Phys.Rev.A63 (2001) 044104.
[7] Uzan, J.P. , Luminet, J.P, Lehoucq, R. e Peter, P. The twin paradox andspace topology, Eur. J. Phys. 23 (2002) 277�284.
[8] Lima, M.C. Introdução à Relatividade, Notas de Aula do Profo MarceloLima., DF-UFPA, 2002.
[9] Peters, P.C. Periodic Boundary Conditions in Special Relativity Am.J.Phys. 51 (1983) 791.
[10] Casimir, H.G.B. On the attraction between two perfectly conductingplates Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sci-ences V.51(1948) 7-93.
[11] Alves, D.T. In�uência de paredes magneticamente permeáveis em algunsefeitos do vácuo quântico Tese de Doutorado, CBPF (2002)
[12] Passos Sobrinho J.J., Tort A.C. Uma Introdução aos Métodos de Cálculoda Energia de Casimir Rev. Bras. Ens. Física, Vol.23, No 04, 401, (Dez-2001).
60
[13] Birrel, P.D e Davies, P.C.W , Quantum �elds in curved space, CambridgeUniversity Press, 1982.
[14] Greiner,W. e Reinhardt, J ,Field Quantization, Editora Springer, 1986.
[15] Jackson, J.D. Classical Electrodynamics, JohnWiley & Sons, 1975, p.68.
[16] Berkovits, N.J. Descobrindo a Teoria das Cordas, Scienti�c AmericanBrasil, Ano 02, No 20, Jan/2004 (48-51).
[17] Veneziano, G. O enigma sobre o início do tempo, Scienti�c AmericanBrasil, Ano 03, No 25, Jun/2004 (40-49).
[18] Luminet, J.P, Starkmann G.D.,Weeks J.R. O espaço é �nito?, Scienti�cAmerican Brasil-Edição Especial No 01 (54-61).
[19] Hamed, N.M, Dimopoulos, S., Dvali, G. As dimensões invisíveis doUniverso, Scienti�c American Brasil-Edição Especial No 01 (62-69).
[20] Fagundes, H.V. Fitting Hyperbolic Universes to Cayon-Smoot Spots inCOBE Maps, The Astrophysical Journal, V.470, 43 (1996).
[21] Roukema, B.F e Blanloeil V. Three-dimensional Topology-independentmethods to look for global topology Class.Quantum Grav.15, 2645-2655,(1998).
[22] Luminet, J.P, Weeks, J.R, Riazuelo, A, Lehoucq, R.e Uzan J.P Dodeca-hedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperaturecorrelations in the cosmic microwave background, Nature, V.425, Ou-tubro 2003 (593-595).
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