constraint satisfaction problem

5/28/2018 Constraint Satisfaction Problem

1/68

Constraint satisfaction problem

nbc


2/68

Satisfaccin de restricciones

Que es

Resolucin

Procesar

Restricciones

Consistencia

Algoritmos


3/68


Que es

Resolucin

Procesar

Restricciones

Consistencia

Algoritmos


4/68


Dividir en dos

reas

Satisfaccin derestricciones

Dominiosfinitos

Resolucin derestricciones

Dominiosinfinitos

Satisfaccin de restricciones, que bsicamente consiste en un

conjunto finito de variables, un dominio de valores para cada

variable y un conjunto de restricciones que acotan la combinacin de

valores que las variables pueden tomar


5/68


Que es

Resolucin

Procesar

Restricciones

Consistencia

Algoritmos


6/68

Resolucin

Modelar elproblema

Variable

DominiosRestricciones

Procesar elproblemaresultante

Algoritmos de

bsqueda

Tcnicas deconsistencia

Resolucin


7/68

Resolucin

Modelar elproblema

Variable

DominiosRestricciones

Procesar elproblemaresultante

Algoritmos de

bsqueda

Tcnicas deconsistencia

Resolucin


8/68

8

s e n d

+ m o r e

m o n e y

Variables: s,e,n,d,m,o,r,y

Dominios: s,e,n,d,m,o,r,y{0,,9}

Restricciones

103

(s+m)+102

(e+o)+10(n+r)+d+e=104

m+103

o+102

n+y

Coloreado de MapasVariables: x,y,z,w

Dominios: x,y,z,w:{r,v,a}Restricciones: binarias

x y, yz, z x, ...

x y

zw

Objetivos

Consistencia

Soluciones

El Problema de las 8Reinas

Modelacin


9/68

9

s e n d

+ m o r e

m o n e y

Variables: s,e,n,d,m,o,r,y

Dominios: s,e,n,d,m,o,r,y:{0,,9}

Restricciones

Variables: s, e, n, d, m, o, r, yDominios: s, e, n, d, m, o, r ,y : {0,,9}Restricciones:

Todas Diferentes,103(s+m) + 102(e+o) + 10(n+r) + d + e= 104m + 103o + 102n + 10e+y

EspecificacinCSP

Modelizacin 1


10/68

10

Variables: s, e, n, d, m, o, r, yDominios: s, e, n, d, m, o, r ,y : {0,,9}Restricciones:

se, sn, sd, sm, so, sr, sy, en, ed, em,..d+e = y+10c1

c1+n+r = e+10c2

c2+e+o = n+10c3

c3+s+m = 10m+o

Modelizacin 2

s e n d

+ m o r e

m o n e y


11/68


Que es

Resolucin

Conceptos

Restricciones

Consistencia

Algoritmos


12/68

A-12

Some Definitions

Constraint Network (CN): (X, D, C)X= {x1,x2,,xn} variables

D= {d1, d2,,dn} domains (finite)

C= {c1,c2,,cr } constraints

cC var(c) = {xi,xj,,xk} scope

rel(c) di x dj x .. x dk permitted tuples

arity(c)=|var(c)| (unary, binary, ternary,)

Constraint Satisfaction Problem (CSP): CN solving: assig. satisfying every constraint

NP-complete task


13/68

Conceptos

Asignacin

Instanciacin (x; a)es un par variable-valor querepresenta laasignacin del valora la variable x.

Solucin

Es una asignacinde valores a todaslas variables deforma que sesatisfagan todas lasrestricciones

Notacin

Variables: x; y; z,

Dominios/Valores:Dia,b,c (x; a).

C1::k

Cij


14/68


Que es

Resolucin

Procesar

Restricciones

Consistencia

Algoritmos


15/68

Restricciones

1. Ariedad : Variables

2. Tupla : Elemento del producto cartesiano Di x

Dj


16/68


Que es

Resolucin

Procesar

Restricciones

Consistencia

Algoritmos


17/68

Resolucin de cps

Consistencia de un CSP

Consistencia de nodos

k-consistencia: Poda devalores que no sean

posibles para un grupo dek variables

Consistencia de arcosEliminamos valores

imposibles para parejas devariables

Consistencia de caminos

Camino consistencia (3-consistencia): Eliminamos

valores imposibles paraternas de variables


18/68

Consistencia de nodos 1-consistencia


19/68

Consistencia de Arcos 2-consistencia


20/68


21/68


22/68


23/68


24/68


25/68

Consistencia de caminos


26/68


Que es

Resolucin

Procesar

Restricciones

Consistencia

Algoritmos


27/68


Que es

Resolucin

Procesar

Restricciones

Consistencia

Algoritmos


28/68

Algoritmos de bsqueda

Backtracking cronolgico

Algoritmos look-back

Backjumping

Conflict-directed Backjumping

Learning

Algoritmos look-ahead: forward checking

forward checking

Minimal forward checking


29/68


Que es

Resolucin

Procesar

Restricciones

Consistencia

Algoritmos

R l i


30/68

30

Resolucin

s e n d

+ m o r em o n e y

MODELACINCSP

RESOLUCINCSP


31/68

A-31

Backtracking Algorithm

Depth-first tree traversal (DFS)

At each node:check every completely assigned constraint

if consistent, continue DFS

otherwise, prune current branch

continue DFS

Complexity: O(dn)


32/68

A-32

Backtracking on 4-queens

2

3

2

1

1 2 3 4 1 2 3

3

4

4 2 4

1

1 12 3 4

1

1 2 3

x1

x2

x3

x4

x1x2

x3

x4

1 2 3 4

QQ Q Q

Q Q Q Q

Q

Q Q Q Q

Q

Q Q Q Q

Q Q Q Q

Q

Q Q Q

solution25 nodes


33/68

A-33

Problems of Backtracking

Thrashing: the same failure can

be rediscovered anexponential numberof times

Solutions:

check not completely assigned constraints:propagation jumping to the source of failure: non-chronological

backtracking

the first choice is

incompatible with

any last choice


34/68

A-34

Non-chronological Backtracking

1

3

5

2

4

X1

X2

X3

X4

X5

X6ChangingX5does NOTremove thedead-end

Backtrack on the culprit:X4

dead-end

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

Conflict-directed backjumping

Dynamic backtracking


35/68

A-35

Propagation

Forward Checking is a combination of:Search: backtrackingInference: at each node, infer the effect of

assigned to unassigned variables

When a domain becomes empty:No solutions following current branch

Prune current branch and backtrack

Caution:Values removed by propagationat level i, haveto be restored when bactracking at level i orabove


36/68

A-36

Example: FC on 4-queens

2

2

3

4 4

1

1

3

x1

x2

x3

x4

x1

x2

x3

x4

1 2 3 4

x1

x2

x3

x4

1 2 3 4

Qx1x2

x3

x4

1 2 3 4

QQ

Q

x1

x2

x3

x4

1 2 3 4

QQ

Q

x1

x2

x3

x4

1 2 3 4

QQ

QQ

x1

x2

x3

x4

1 2 3 4

QQ

Q

x1

x2

x3

x4

1 2 3 4

QQx1x2

x3

x4

1 2 3 4

Q Qx1x2

x3

x4

1 2 3 4

Q Q

Q

x1

x2

x3

x4

1 2 3 4

Q Q

Q

Q

x1

x2

x3

x4

1 2 3 4

Q Q

Q

Q

Q

solution8 nodes


37/68

37

Ejemplo

4 familias A, B, Cy Dviven unas junto a otras encasas numeradas 1, 2, 3y 4.

Dvive en una casa con nmero ms bajoqueB,Bvive al lado deAen una casa con nmeromayor,Hay al menos una casa entreByC,

Dno viveen la casa con nmero2,Cno viveen la casa con nmero4.

Cul familia vive en cul casa ?

El enigma de las 4 casas:


38/68

38

Representacin:

Las variables: A, B, Cy D Los dominios: dA= dB= dC= dD= { 1, 2, 3, 4}

Restricciones:

unaria: r(C) =C4 r(D) =D2binaria:

r(A,B) =B=A + 1r(B,D) =D Br(B,C) = |B-C| 1

r(A,C) =A Cr(A,D) = A Dr(C,D) = C D


39/68

39

Consistencia de nodos:

Las restricciones unarias son eliminadas porreduccin del dominio:

O: consistencia-1(solo 1 variable involucrada)

r(C) =C4

r(D) =D2

dC= { 1, 2, 3}

dD= { 1, 3,4}


40/68

40

Red de restricciones:

A B

DC

B=A + 1

A C D BAD

|B-C| 1

C D

{ 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}


41/68

Relajacin dbil

Forward CheckLookahead Check

Forward Check:


42/68

42

Forward Check:

Asuma que fijamos el valor de 1 variable zi: zi= a

Forward Check(zi) =activar cada restriccin r(zi, zj) o r(zj, zi) una vez

para remover los valores inconsistentes con zi= a

A B

DC

B=A + 1

A C D BA D

|B-C| 1

C D

{2} { 1, 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

Nuestro ejemplo: asumir A= 2:

Forward check:


43/68

43

Forward check:

consistencia dbil

Requiere que 1 variable ya haya obtenido un valorsugiere el uso en combinacin con backtracking

A B

DC

B=A + 1

A C D BA D

|B-C| 1

C D

{2} { 1, 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

No produce un estado consistenteno se realiza toda la relajacin


44/68

Look ahead check

Mtodo de relajacin ms fuerte (dbil)

Look ahead Check:


45/68

45

Look ahead Check:

Look Ahead Check =

activar cada restriccin r(zi, zj) exactamenteuna vez para remover los valores inconsistentesde los dominios Diy Dj.

Nuestro ejemplo:

A B

DC

B=A + 1

A C D BA D

|B-C| 1

C D

{ 1, 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

{ 1, 2, 3, 4}


46/68

46

Ejemplo (continuac.):

A B

DC

B=A + 1

A C D BA D

|B-C| 1

C D

{ 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

{ 1, 2, 3}

Las otras 3 restricciones:

oo a ea : resu a os


47/68

47

oo a ea : resu a osfinales:

A B

DC

B=A + 1

A C D BA D

|B-C| 1

C D

{ 3, 4}

{ 1, 2} { 1, 3}

{ 1, 2, 3}

Aun no produce un estado consistenteno se realiza toda la relajacin

El resultado puede depender del orden en el cual seprocesan las restricciones.La remocin de algunos valores inicialmente

puede permitir hallar otros inconsistentes.


48/68

Tcnicas de consistencia de

arco

Tcnicas que reducen los dominios a estadosconsistentes para cada restriccin (o arco).

Tambin llamadas: tcnicas consistencia-2


49/68

49

AC 1 (Mackworth)

AC1:

Repeat

Look ahead check;Ifalgn valor fue removido de

algn dominio thenOcurri_borrado:= verdad

Until(notOcurri_borrado)

Fuerza a que Look ahead alcance un estadoconsistentepor reactivacin de Look ahead hasta consistencia

Ocurri_borrado:= falso ;

El ejemplo (1):


50/68

50

El ejemplo (1):

A B

DC

B=A + 1

A C D BA D

|B-C| 1

C D

{ 1, 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

{ 1, 2, 3, 4}

Primera pasada (== Look ahead check):

A B

DC

B=A + 1

A C D BAD

|B-C| 1

C D

{ 3, 4}

{ 1, 2} { 1, 3}

{ 1, 2, 3}

Ocurri_borrado:= verdad

El ejemplo (2):


51/68

51

El ejemplo (2):

Segunda pasada:

A B

DC

B=A + 1

A C D BA D

|B-C| 1

C D

{ 3, 4}

{ 1, 2} { 1, 3}

{ 1, 2, 3}

Ocurri_borrado:= verdad

A B

DC

B=A + 1

A C D BA D

|B-C| 1

C D

{ 3, 4}

{ 1, 2} { 1, 3}

{ 2, 3}


52/68

52

El ejemplo (3):

Tercera pasada:

Ocurri_borrado:= falso

A B

DC

B=A + 1

A C D BA D

|B-C| 1

C D

{ 3, 4}

{ 1, 2} { 1, 3}

{ 2, 3}

Resultado: A(2 o 3) , B(3 o 4), C(1 o 2), D(1 o 3)

Consistente, pero NO REALMENTE UNA SOLUCIN !!

AC-3 (Mackworth)


53/68

53

C 3 ( ac o t )Consistencia de arco ms

eficiente:

AC3:

Remover r(x,y)de COLA;

End-While

COLA:= {todas las restricciones en el problema}

Remover todos los valores inconsistentes delos dominios Dxy Dycon respecto a r(x,y);

While not vacia(COLA) DO

Ifalgn valor fu removido de Dx(o Dy)

then agregar todas las otras restriccionesque involucran x(oy) a COLA;

El ejemplo (1):


54/68

54

El ejemplo (1):

A B

DC

B=A + 1

AC

D B

A D

|B-C| 1

C D

{ 1, 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

{ 1, 2, 3, 4}

COLA = {r(A,B), r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}:

COLA= {r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}

Para agregar: r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D)

Todo ya enCOLA!

El ejemplo (2):


55/68

55

El ejemplo (2):

A B

DC

B=A + 1

AC

D B

A D

|B-C| 1

C D

{ 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

{ 1, 2, 3}

COLA = {r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}:

COLA= {r(B,C), r(B,D), r(C,D)}

El ejemplo (3):


56/68

56

El ejemplo (3):

A B

DC

B=A + 1

AC

D B

A D

|B-C| 1

C D

{ 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

{ 1, 2, 3}

COLA = {r(B,C), r(B,D), r(C,D)}:

COLA= {r(B,D), r(C,D), r(A,B), r(A,C)}

Para agregar: r(A,B), r(A,C), r(B,D), r(C,D)

El ejemplo (4):


57/68

57

El ejemplo (4):

A B

DC

B=A + 1

AC

D B

A D

|B-C| 1

C D

{ 3, 4}

{ 1, 2} { 1, 3, 4}

{ 1, 2, 3}

COLA = {r(B,D), r(C,D), r(A,B), r(A,C)}:

COLA= {r(C,D), r(A,B), r(A,C), r(A,D)}

Para agregar: r(A,D), r(C,D)

El ejemplo (5):


58/68

58

El ejemplo (5):

A B

DC

B=A + 1

AC

D B

A D

|B-C| 1

C D

{ 3, 4}

{ 1, 2} { 1, 3}

{ 1, 2, 3}

COLA= {r(C,D), r(A,B), r(A,C), r(A,D)}:

COLA= {r(A,C), r(A,D)}

Para agregar: r(A,C), r(A,D)

El ejemplo (6):


59/68

59

El ejemplo (6):

A B

DC

B=A + 1

AC

D B

A D

|B-C| 1

C D

{ 3, 4}

{ 1, 2} { 1, 3}

{ 2, 3}

COLA= {r(A,C), r(A,D)}:

COLA= vaca PARAR !


60/68

60

Comparacin:

Igual resultado: completa consistencia de arco:A = {2,3}, B = {3,4}, C= {1,2}, D = {1,3}

Eficiencia:AC1:3 veces 6 verificaciones = 18

AC3:

9verificacones de restricciones

Consistencia-k:


61/68

61

consistencia-1 (consistencia de nodo):restricciones unarias (en 1 variable) son consistentes

consistencia-2 (consistencia de arco):restricciones binarias (en 2 variables) son consistente

consistencia-3:

todas las restricc. que involucran 3 variables son consiA B

DC

B=A + 1

A C D BA D

|B-C| 1

C D

{ 1, 2, 3, 4}

{ 1, 2, 3} { 1, 3, 4}

{ 1, 2, 3, 4}

Un valor se mantieneen el dominio si hay valoresconsistentes en los dominios de las otras 2 variables( ara todas las restricciones ue las conectan)

Ejemplo:


62/68

62

Practicidad de la

consistencia k: Verificar la consistencia-k para k 2 es muy dificil

de realizar eficientemente !!

Ejemplo: consistencia-4 para el enigma de las 4casas es equivalente a hallar soluciones delproblema original.


63/68

Procesamiento hbrido de

restricciones

Combina el poder de labsqueda exhaustiva (backtrack)

con (relajacin) poda


64/68

Forward checking

Backtracking combinadocon Forward Check


65/68

65

Forward checking:

Forward Checking:Execute Standard Backtracking

Aftercada asignacin de unvalor a una variable ziDO

Forward Check(zi)

BUT

uncionamiento de forward checking


66/68

66

1 Auncionamiento de forward checking

B

2

A B

C D

{1} {1,2,3,4}

{1,2,3} {1,3,4}

B=A+1AD

AC

A B

C D

{1} {2}

{2,3} {3,4}

|B-C|1

D B

falla

A B

C D

{2} {1,2,3,4}

{1,2,3} {1,3,4}

B=A+1AD

AC

2

B

3

A B

C D

{2} {3}

{1,3} {1,3,4}

|B-C|1D B

C1A BC D

{4} {3}

{1} {1}CD

falla

A B

C D

{3} {1,2,3,4}

{1,2,3} {1,3,4}

B=A+1AD

AC

3

B

4

A B

C D

{3} {4}

{1,2} {1,4}

|B-C|1D B

A BC D

{3} {4}

{1} {1}

CDA BC D

{3} {4}

{2} {1}

CD

1 C 2

falla exito

EJEMPLOS 2


67/68

67

Juan, Pepe y Paco nacieron y viven en ciudades diferentes(Mlaga, Madrid y Valencia). Adems, ninguno vive en la ciudaddonde naci.

Juan es ms alto que el que vive en Madrid. Paco es cuado delque vive en Valencia. El que vive en Madrid y el que naci enMlaga tienen nombres que comienzan por distinta letra. El quenaci en Mlaga y el que vive ahora en Valencia tienen nombresque comienzan por la misma letra.

Donde naci y vive cada uno?

EJEMPLOS 2

EJEMPLOS 3


68/68

"Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o en

tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30 minutos) o enmetro (40-50 minutos).

Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis llega altrabajo entre las 9:00 y las 9:10. Adems, sabemos que Juanlleg al trabajo entre 10 y 20 minutos despus de que Luissaliera de casa

Cuestiones:

Esta informacin es consistente?

Es posible que Juan haya usado el tren y Luis haya usado el Metro?

Cuales son los posibles tiempos en los que Luis pudo haber salido decasa?, etc.

constraint satisfaction problem

Documents

n r d e

n r d e

s e n d

e 10c2c2 e o

o r em o n e yvariables

e yespecificacincspmodelizacin

y 10c1c1 n r

n 10c3c3 s