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Construcción de la lemniscata con abate lenguas y su simulación en
Geogebra.
Resumen.
En este trabajo se construyó un mecanismo articulado con tres abate lenguas y
cuatro tornillos que traza el lugar geométrico de la lemniscata. Para dar una mejor
validación a nuestra construcción, simulamos el mecanismo en Geogebra y
superpusimos su construcción a la que se generó al escribir directamente la
ecuación de la lemniscata. El documento resume el trabajo llevado a cabo
principalmente en nuestra escuela con la orientación de nuestro profesor de
matemáticas y también tuvimos colaboración por parte de dos profesores de la
Facultad de Ciencias de la UNAM, a los cuales agradecemos mucho.
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1. Introducción.
1.1. Marco Teórico en que se sustenta la investigación.
Antecedentes.
A lo largo de la historia se hicieron varios intentos de aproximar rectas utilizando
un mecanismo de tres barras. Un renombrado ingeniero y desarrollador de
máquinas de vapor, James Watt, necesitaba un mecanismo para convertir el
movimiento en línea recta de un movimiento circular, utilizando la tecnología
mecanizada de muy baja capacidad disponible en 1784, y la pregunta era ¿Existe
un mecanismo adecuado? Watt fue incapaz de resolver este problema, pero él
logró elaborar un mecanismo anclando 3 barras para establecer una curva
algebraica de orden 4 (Lemniscata).
Mecanismo articulado.
Es un aparato mecánico que consiste en barras rígidas metálicas que se pueden
unir con ejes en sus extremos o a lo largo de la barra, que les permiten girar
libremente (Hurtado Cruz, 2016). Existen muchas curvas que se pueden construir
a través de mecanismos articulados, dentro de ellas se encuentra la lemniscata.
Lemniscata.
La lemniscata, conocida comúnmente como el símbolo del infinito, es uno de los
símbolos matemáticos, que todos hemos visto alguna vez o escuchado. Este
símbolo es parecido a un ocho en forma horizontal y fue descrito por primera vez
hace más de 300 años por Jakob Bernoulli (Morales Medina, 2012). Jakob
Bernoulli publicó un artículo en Acta Eruditorum en 1694, donde llamó a esta curva
lemniscus (cinta colgante en Latin) y no fue hasta 1750 que las propiedades
generales de la lemniscata fueron descubiertas por G. Fagnano (das Cragfelt,
2014).
La definición de la misma se asemeja en cierto sentido a la de la elipse pues esta
última puede definirse como el conjunto de puntos que cumplen que la suma de
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las distancias a dos puntos fijos dados, denominados focos, es constante.
Mientras que la lemniscata se define como el conjunto de puntos que cumplen que
el producto de las distancias a dos puntos dados, denominados focos, es
constante (Hurtado Cruz, 2016). Una demostración formal de que dicho conjunto
de puntos pertenecen a la lemniscata se encuentra en (Hurtado Cruz, 2016).
La ecuación cartesiana de la lemniscata es (Wikipedia, 2017):
( ) ( ) ( )
En donde representa la distancia entre los focos.
Construcción de la lemniscata a través de un mecanismo articulado.
Consultando la web, puede encontrarse la siguiente animación de un mecanismo
articulado que describe la lemniscata (Maths Challenges!, 2014).
Figura 1. Construcción encontrada en internet.
Mediante esta animación podemos hacer las siguientes observaciones:
Sabemos que las barras se encuentran unidas por una barra que tiene una
medida de .
Y que éstas también se encuentran separadas a la misma distancia
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El punto que traza en la gráfica es el punto medio de la barra que es la que
une a las que giran.
Este par barras giran sobre su eje y tienen una medida de √ .
1.2. Objetivo(s) de la investigación.
Construir un mecanismo articulado casero que trace la lemniscata y simular su
movimiento a través de Geogebra.
1.3. Problemas que se abordaron.
Construcción de un mecanismo articulado casero con materiales de bajo costo y
alta disponibilidad que realicen el movimiento para trazar la lemniscata.
Simulación del movimiento del mecanismo articulado en Geogebra.
1.4. Hipótesis formulada para su comprobación.
Con abate lenguas y tornillos se podrá construir un mecanismo articulado que
trace la lemniscata y además se podrá simular su movimiento en Geogebra.
2. Desarrollo.
Pasos para construir un mecanismo que trace la lemniscata.
En nuestro caso, debido a que usaremos abate lenguas, lo que necesitamos para
la construcción de la lemniscata es que nuestra sea , es decir que nuestro
abate lenguas tenga tres divisiones.
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Figura 2. Dimensiones usadas para la construcción de la lemniscata.
Una vez que conocemos cuales son las medidas que debemos usar comenzamos
con la construcción de nuestra lemniscata casera con abate lenguas.
A continuación se presenta una tabla con los principales materiales empleados y
su costo, posteriormente se describe el proceso que se siguió para construir el
mecanismo articulado.
Materiales Costo total
Abate lenguas $7.00
Una tabla de papel cascarón $3.50
Cuatro tornillos con su tuerca $6.00
Broca para madera $50.00
Paso 1:
Vamos a trazar en 3 abate lenguas distintos, 7 celdas con la ayuda del
ancho de otro abate lenguas (Figura 3).
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Figura 3.
Una vez hecho esto vamos a trazar en las primeras celdas unas diagonales
las cuales uniremos para localizar la mitad de nuestro abate lenguas (Figura
4).
Figura 4.
Si enumeramos nuestras celdas en el abate lenguas del 0 al 6 vamos a
perforar en las divisiones: 0, 3 y 6 como se ve a continuación (Figura 5).
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Figura 5.
Paso 2:
Para construir la barra unión, es necesario usar el teorema de Pitágoras
para calcular la raíz cuadrada de 2 (Figura 6).
Figura 6.
Paso 3:
Considerando el ancho que tienen nuestros abate lenguas vamos a
vamos a realizar un movimiento a modo que quede correcta su
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localización, desplazando nuestro abate lenguas hacia la izquierda y
seguidamente hacia abajo (Figura 7).
Figura 7.
Una vez hecho esto vamos a perforar y hacer lo mismo en 2 abate
lenguas (Figura 8).
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Figura 8.
Teniendo ya todas las piezas comenzamos con el armado de la
lemniscata tratando de que en los centros haya una distancia de
separación de (Figura 9).
Figura 9.
Procedimiento para simular el mecanismo que traza la Lemniscata en
Geogebra
1. Insertar un deslizador al cual se le llama con las siguientes características
(estas características pueden variarse): tipo entero, valor mínimo 1, valor
máximo 6, incremento 1.
2. Agregar el segmento de longitud dada de .
3. Agregar una circunferencia con centro en y radio √ . Llamaremos a esta
circunferencia .
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4. Colocar un punto en la circunferencia, al cual llamaremos ; este punto sólo
se podrá mover dentro de la circunferencia.
5. Ir al menú de segmento y colocar uno que toque el punto y el punto
(Figura 10).
Figura 10.
6. Agregar otra circunferencia con centro en y radio √ . Llamaremos a esta
circunferencia .
7. Insertar una circunferencia con centro en el punto y su longitud será de
. Llamaremos a esta circunferencia .
8. Buscar la intersección de y a las cuales llamaremos y (Figura 11).
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Figura 11.
9. Trazar un segmento para unir el punto y el punto y el punto medio de
dicho segmento.
10. Ahora unir con un segmento el punto y el punto (pero sin colocar el
punto medio).
11. A su vez también unir el punto con el punto .
12. Luego trazar un segmento para poder unir el punto y y colocar el punto
medio (Figura 12).
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Figura 12.
13. Los puntos medios de y y y son los que van a trazar la lemniscata
al mover el punto (Figura 13), pero deberás activar el modo rastro de
dichos puntos para apreciarlo.
Figura 13.
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3. Resultados. Datos recopilados en el desarrollo de la investigación.
Resultados referentes a la construcción del mecanismo articulado.
Basándonos en la animación mostrada en la Figura 1, y siguiendo los pasos
descritos en la sección 2, logramos construir un mecanismo articulado que traza la
mitad de una curva que semeja la lemniscata en gran medida (Figura 14). Este
mecanismo sólo puede trazar aproximadamente la mitad de dicha curva pues
justamente las articulaciones que empleamos (tornillos) impiden que se complete
el movimiento.
Figura 14. Mecanismos articulado construido y funcionando.
Resultados referentes a la simulación del mecanismo articulado.
Al terminar la animación en el programa Geogebra, nuestra animacion quedó de la
siguiente forma.
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Figura 15
Quitando las circunferencias obtuvimos:
Figura 16.
Activamos el rastro del punto medio del segmento pero solo formamos una
figura que asemeja la mitad del conocido símbolo llamado ying-yang (Figura 17).
Una parte de esta trayectoria es la mitad de la lemniscata.
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Figura 17.
Cuando se activó el rastro del punto medio del segmento y logramos formar la
figura deseada, es decir, el famoso “ocho horizontal” o la lemniscata aunque
aparentemente inscrita en una circunferencia (Figura 18).
Figura 18.
4. Análisis e interpretación de resultados. Confiabilidad de los resultados
obtenidos y su interpretación fundamentada.
En el caso de la construcción física de la lemniscata podemos establecer que el
mecanismo debe trazar una curva similar a la lemniscata debido a los errores
inherentes a la precariedad de los materiales usados y la falta de precisión en la
que se tuvo que haber incurrido, sin embargo, la aproximación tiene una precisión
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aceptable; además es bueno considerar que el material empleado para construir el
mecanismo fue de $16.50, sin considerar la broca que se podría considerar un lujo
y no prescindible en la construcción . En el caso de la animación, para comprobar
que la trayectoria generada por la construcción corresponde a la lemniscata,
realizamos la construcción hecha con Geogebra colocando sus focos en ( ) y
( ) y la superpusimos a la ecuación cartesiana de la lemniscata descrita en la
expresión (1). La trayectoria trazada por el mecanismo, en efecto, trazó el lugar
geométrico de la lemniscata.
Figura 19. Verificación de que el mecanismo articulado trazará la lemniscata.
5. Conclusiones.
Con este trabajo concluimos que para trazar la figura de la lemniscata se necesita
un mecanismo articulado que consta de tres barras, dos de ellas pueden girar por
uno de sus extremos y éstas se unen en sus otros extremos por la tercera barra.
Si bien esta descripción es muy sencilla, el proceso de construcción resultó muy
interesante ya que se necesita de cierta exactitud para poder construirla y requiere
de ciertos cálculos para poder montarse y realizar un ensamblado correcto.
También resultó muy interesante el proceso de simulación del movimiento en
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Geogebra y su verificación al superponerse el movimiento del mecanismo a la
expresión algebraica de la lemniscata. Adicionalmente pudimos encontrar una
justificación matemática sobre la definición de esta curva y en general
encontramos fascinante y enriquecedor todas las ideas matemáticas y
experiencias que estuvieron vinculadas. Debido a lo anterior, consideramos que
cumplimos los objetivos planteados al inicio de la investigación.
6. Fuentes de información. Listado de la bibliografía y páginas Web
consultadas.
das Cragfelt, L. (12 de Septiembre de 2014). Matematiquemos. Recuperado en
Febrero de 2017, de La Lemniscata de Bernoulli:
http://matematiquemos.blogspot.mx/2014/09/la-lemniscata-de-
bernoulli.html
Hurtado Cruz, R. E. (2016). Mecanísmos articulados. Recuperado en febrero de
2017, de
http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/calculo3_20171/lemniscata_201
6.pdf
Maths Challenges! (28 de Noviembre de 2014). Geogrebra. Recuperado en Enero
de 2017, de Lemniscata de Bernulli:
https://www.geogebra.org/m/M6ZRy6mw
Morales Medina, M. Á. (4 de Julio de 2012). Gaussianos. Recuperado en febrero
de 2017, de No lo llames infinito, llámalo lemniscata:
http://gaussianos.com/no-lo-llames-infinito-llamalo-lemniscata/
Wikipedia. (23 de Febrero de 2017). Wikipedia. Recuperado el 25 de Febrero de
2017, de Lemniscata: https://es.wikipedia.org/wiki/Lemniscata