construcción de una caja de base cuadrada sin tapa proporcionalidad
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YOHANA BONILLA G. 2012
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CONSTRUCCIÓN DE UNA CAJA DE BASE CUADRADA SIN TAPA
Trabajo presentado por:
Octubre 08 de 2012
1. Consideremos una caja de base cuadrada de largo y ancho , y de altura
El volumen de la caja es igual a:
El área superficial total de las 4 caras laterales de la caja es:
2. Dibujaremos una cuadrícula de 20x20 cuadrados, cada cuadrado de lado , de la
cual extraeremos el mayor número posible de cajas de base cuadrada fija 1
cuadrado de lado y alturas 1 cuadrito, 2 cuadritos, 3, 4…Hasta donde sea posible.
En este caso dibujaremos la caja de tal forma que al cortarla solamente
necesitemos doblar los lados y pegar.
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De la cuadrícula vemos que con esta opción para elaborar las cajas, se
desperdiciaría mucho papel.
Entonces elegimos otra vía para recortar las cajas, cortaremos primero las caras
de altura y luego las uniremos a la base, como mostramos en el gráfico:
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Para esto representamos todas las opciones posibles en la cuadrícula. Del 1 al 12
son las partes que necesitamos para elaborar las 12 cajas sin tapa:
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1 2 3 4 5 6
2
3 7
4 c7
5 8 9
6 10
7 11
8
9
10
11
12
13
14
15 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
16
17 12
18
19 1
20
De aquí obtenemos 12 cajas de base cuadrada de lado con las siguientes alturas
consecutivas:
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Tabla: Cajas y alturas
Caja # Altura ( unidades de c)
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
11 11
12 12
3. Examinaremos la variación del Volumen de las cajas en función de su altura
Tabla: Volumen de las cajas en función de la altura .
Caja # Altura (unidades de c)
0 0 0
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9
10 10 10
11 11 11
12 12 12
De la tabla de Volumen de las cajas en función de la altura vemos que para y=0
no hay volumen, y para el volumen es .
4. Claramente la variable dependiente es el Volumen y la altura la variable
independiente o de entrada.
5. Los puntos o parejas ordenadas se presentan en la siguiente tabla:
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Tabla:
(unidades de c)
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
11 11
12 12
6. A continuación vamos a representar las parejas de puntos en el plano
cartesiano vs :
Gráfico: V vs y, cajas de base
Del gráfico observamos claramente una relación lineal entre las variables y , de
la forma punto pendiente. La gráfica intercepta al eje vertical en el origen de
coordenadas.
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8 10 12 14
V (
c^3
)
y (c)
V(y)
V(y)
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Este gráfico también lo podemos hacer en papel milimetrado, como lo
adjuntamos.
7. De los datos graficados obtenemos el volumen máximo para la altura dada por
, .
8. Sobre el sistema de numeración usado: Recordemos que los sistemas de
numeración son conjuntos de dígitos usados para representar cantidades, así se
tienen los sistemas de numeración decimal, binario, octal, hexadecimal, romano,
etc.
Los cuatro primeros se caracterizan por tener una base (número de dígitos
diferentes: diez, dos, ocho, dieciseis respectivamente) mientras que el sistema
romano no posee base y resulta más complicado su manejo tanto con números, así
como en las operaciones básicas.
El sistema de numeración usado en nuestro caso es el sistema de numeración
decimal que tiene como base el número 10.
De los datos obtenido de y se encuentra que estas dos magnitudes son
directamente proporcionales pues cuando aumenta altura, aumenta el volumen en
la misma proporción.
La constante de proporcionalidad entre y es :
9. Dominio de la función volumen:
Df: Reales positivos y el cero.
Rango:
Rf: Reales positivos y el cero.
10. Ahora vamos a probar obtener una caja de volumen máximo pero superior al ya
encontrado con las cajas de base 1 cuadrado.
Para esto probamos tomando cajas de base cuadrada de lado . Empezamos con alturas
de 1cuadrado, 2, 3, 4… Y así sucesivamente. Si usamos la misma cuadrícula lograríamos
obtener solamente 9 cajas.
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16
17 9 1 2
18 9
19 3 4 5 6 7 8
20
Los números del 1 al 9 representan las partes de papel necesarias para construir las cajas
sin tapa, con base cuadrada de lado .
11. Para esta nueva elección en la forma de construir las cajas, llegamos nuevamente
al sistema numérico decimal para describir las variables del problema.
12. La nueva tabulación es la siguiente:
Tabla: (y,V) para las cajas de base
(unidades de c)
0 0
1 4
2 8
3 12
4 16
5 20
6 24
7 28
8 32
9 36
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Con esta tabulación obtenemos el siguiente gráfico:
Gráfico 2: V vs y, cajas con área de la base .
El gráfico obtenido es una línea recta descrito por la ecuación:
Donde la pendiente de la recta o la constante de proporcionalidad es claramente
.
13. La altura que en este caso genera un volumen máximo es .
Sugerimos que para alcanzar cajas de mayor volumen, cada vez, es conveniente
aumentar el área de la base que se mantiene fija.
Se podría probar con otras áreas de la base con área fija: por ejemplo y hallar el
número de cajas máximo que se pueden obtener de la cuadricula de 20x20cuadritos.
14. Vamos a ver el orden de magnitud del volumen en los siguientes casos:
a) En el orden de medición de las amebas:
Ejemplo: ameba Pelomyxa palustris normalmente mide de 500 a 800 μm
1μm=10-6m
El volumen se mediría en .
b) En el orden de medición más ínfima que ha alcanzado el hombre:
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 2 4 6 8 10
V(y
)
y(c)
V
V
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Podemos tener una idea con el ångström (símbolo Å ) que es una unidad
de longitud empleada principalmente para expresar longitudes de onda, distancias
moleculares y atómicas.
1 Å= 1 x 10-10 m = 0,1 nm
En este orden de magnitud, por ejemplo una caja con volumen
c) En el orden de medición de la medida más grande alcanzada por el hombre:
Un buen estimativo en este caso pueden ser las distancias astronómicas medidas
en la unidad Pársec.
Pársec = 206.265 ua = 3,2616 años luz = 3,0857 × 1016 m
Consideremos por ejemplo un volumen de
15. En los casos anteriores, con las distancias en las escalas extremas mencionadas,
aún cuando cambiamos el orden de magnitud de la altura de la caja, tenemos el
mismo dominio y rango de la función volumen:
Df: Reales positivos y el cero.
Rango:
Rf: Reales positivos y el cero.
16. La fórmula que representa la función volumen que pintamos en el plano
cartesiano es la de un modelo lineal:
Donde es la constante de proporcionalidad entre y , o la pendiente de la
recta que resulta de graficar estos datos.
En los casos que estudiamos
17. El modelo matemático para el volumen ya fue representado gráficamente usando
la herramienta Excel. Esta se usó para corroborar el trabajo realizado con el papel
milimetrado.
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18. La situación problema claramente era obtener cajas de diferente volumen con
altura variable, a partir de una cuadricula de tamaño limitado 20x20cuadrados, de
allí verificar cual era la de volumen máximo.
La situación se abordó de diferentes formas:
1. Recortando las cajas directamente de la cuadrícula para construirlas con papel.
2. Tabulando el volumen de las cajas a en función de la altura usando las medidas
especificas.
3. Graficando los datos obtenidos y para obtener la relación entre las mismas.
La opción más cómoda para abordar el problema es el procedimiento gráfico, ya
que de allí podemos ver directamente para cuál altura se obtiene el volumen
máximo, sin necesidad de recurrir a la elaboración de la caja, lo cual implica
inversión de tiempo, la tabulación la obtenemos también de las cuadriculas donde
pintamos el número de cajas que se obtenían.
19. El trabajo manual o a la antigua es importante en cuanto a que nos obliga a
cuestionarnos sobre cuál es la mejor forma de describir el problema matemático
de obtener el volumen de las cajas, empleando materiales para su construcción,
así como la gráfica manual de vs .
El problema radica en que el tiempo invertido para abordar el problema
manualmente es mayor, por eso antes de cortar, recurrimos al dibujo de nuestra
cuadrícula para ver previamente cual era la mejor forma de elaborar las cajas
desechando la mínima cantidad de material.